X S12 Factorización

8/19/2019 X S12 Factorización

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75SAN MARCOS REGULAR 2009 - III QUÍMÁLGEBRA12

TEMA

I. DEFINICIÓNEs un proceso de transformaciones sucesivas en la cual

un polinomio se expresa como una multiplicación indi-

cada de sus factores primos, dentro de un campo nu-

mérico.

x -x-6 = (x-3)(x+2)2

Factorización

Polinomio primo o irreductible

Es aquel polinomio que no acepta transformación a

multiplicación indicada de dos o mas polinomios no cons-

tantes, pertenecientes a dicho campo numérico.

II. CRITERIO DE FACTORIZACIÓN

A. Criterio del factor común y/o agrupación de

términos

El factor común es el factor que más se repite en todos

los términos de una expresión, para factorizar se extrae

el factor común pero elevado a su menor potencia.

Desde tiempos muy lejanos surge la teoría de los números la cual está apoyada en la parte algebraica como una necesidad

para facilitar la resolución de ecuaciones e inecuaciones, el estudio de las funciones, etc. Surgen diversos procedimientos

de transformación de polinomios a los cuales se les denomina factorización, en el cual se busca expresar un polinomio

como una multiplicación indicada de otros polinomios de menor grado.

Ejemplo:

2P a,b a ab ac bc

a a b c a b

a b a c

B. Criterio de las Identidades

En estos casos debe tenerse en cuenta los diversos

casos vistos en productos notables.

Ejemplo:

Factorizar: x - xz + y - yz + 2xy2 2

Acomodando

2 2

T . C . P

2

x +2xy+y xz yz

x y z x y

x y x y z

Todo polinomio primo presenta como únicos divisores

a él mismo y cualquier constante no nula.

IDEAS FUERZA

FACTORIZACIÓN

ÁLGEBRA - TEMA 12

Generalmente el campo numérico a utilizarse será

el de los racionales, salvo se indique lo contrario.

SUGERENCIAS



FACTORIZAC IÓN A cademias Exigimos más!P amer

76 SAN MARCOS REGULAR 2009 - III12

TEMA ÁLGEBRA

C. Criterio del aspa simple

Se utilizan en polinomios que adoptan la forma:

2n n n 2nax bx y cy

Pasos a seguir:

• Descomponer los extremos, a los cuales vamosa llamar términos fijos.

• Multiplicar en aspa y sumar los resultados y nos

reproduzca el término central.

• Los factores serán las sumas horizontales.

Ejemplo:

Factorizar

30x +13x-102

6x5x

5-2

25x-12x13x

+

Finalmente: (6x + 5)(5x – 2)

D. Criterio del aspa doble

Se utiliza este criterio para factorizar polinomios que

tienen la forma general.

2n n m 2m n m Ax Bx y Cy Dx Ey F

Pasos a seguir:

• Se adecua el polinomio a la forma general en

caso falte uno o más términos se completa con

ceros.

• A los tres primeros términos se le aplica el aspa

simple para comprobar el término Bxnym.

• Luego el último término se descompone en 2factores primos con la finalidad de comprobar

los términos Dxn e Eym, utilizando para ello dos

veces el aspa simple.

• Los factores se tomarán con los elementos de

una misma fila.

Ejemplo:

Factorizar

3x +10xy+8y +14x+22y+152 2

3xx

4y2y

53

Finalmente: (3x + 4 y + 5)(x + 2y + 3)

E. Criterio del aspa doble especial

Se utiliza para factorizar polinomios que adopten la

forma:

4n 3n 2n n Ax Bx Cx Dx E

El método consiste en descomponer los términos

extremos de tal manera que al efectuar el producto

en aspa y sumar los resultados nos de un valor igual

o próximo al término central, la cantidad que falte

o sobre será la que se descomponga en los

términos centrales de los nuevos dos factores de

tal manera que comprueba cada uno de los términos

del polinomio.

Ejemplo:

x +5x+9x +11x+64 2

x2

x2

32

4xx

Se observa que* Se tiene: 5x2

* Se debe tener: 9x* Se necesita: 4x =(4x)x

2

2

(x2 + 4x + 3)(x2 + x + 2)

(x + 3)(x – 1)(x2 + x + 2)

F. Criterio de los divisores binomios

Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier

grado y de una sola variable que aceptan factores

binomios de la forma (ax b).

Cero de un polinomio: es el valor o conjunto de

valores que tienen la propiedad de anular a

determinado polinomio.

Ejemplo:

F(x) = x3 + 3x – 4

Para x = 1

F(1) = 13 + 3(1) – 4 = 0

1 será un "cero" de F

Regla para calcular los posibles ceros de un polinomio

P.C.=PosiblesCeros

= + Divisores del T.I.

Divisores del 1er Coef.

Ejemplo:

E(x) = x3 – 11x2 + 31x – 21

P.C. = 1, 3, 7,, 21,

Para x = 1 se anula, luego tendrá un factor (x – 1)

determinado el otro factor por la regla de Ruffini.

1

1

1

-11

-10

31

21

-10

1

-21

21

0

E(x)=(x – 1)(x2 – 10x + 21)

E(x)=(x – 1)(x – 7)(x – 3)



FACTORIZACIÓN

77SAN MARCOS REGULAR 2009 - III QUÍMÁLGEBRAICA

A cademias Exigimos más!P amer

12TEMA

NIVEL I

1. Si:

P(x)=axa – bxc+b+2; {a; b; c}

Es de grado 2 y admite el factor

(x – 3). Encuentre la suma de

coeficientes de P(x).

A) 1 B) –1

C) 0 D) 5

E) 4

2. Factorice el polinomio:

P(a; b) = ca3 + a2bc + ab2c + b3c

Y dé el valor de las siguientes

proposiciones:

I. Posee 3 factores primos.

II. P(a;b) posee 1 factor primo

lineal.

III. La suma de los factores primos

es a2 + b2 + a + b + c.

A) VFF B) FVV

C) FFF D) FVF

E) FFV

3. Factorice:P(a; b) = a3 + a2b – b3 – ab2

E indique el número de factores

primos.

A) 2 B) 3

C) 4 D) 5

E) 6

4. Factorice:

P(x; y; z) = (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2

Luego indique el número de facto-

res algebraicos.

A) 16 B) 7

C) 15 D) 11

E) 8

NIVEL II

5. Factorice:

P(x; y) = 4x4 – 16x2 – y2x2 + 4y2

Indique el número de factores

primos.

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4

E) 5

6. Factorice:

P(x; y) = 4x2y2 – x2 + 1 – 4xy

Indique un factor.

A) x + y

B) x – y

C) 2xy – 1 – x

D) 2xy – 1

E) 24 – x

7. Luego de factorizar:

P(x) = x2 + 5x + 4

Q(x) = x2 – 2x – 3

R(x) = x6 – 4x4 – x2 + 4

Indique el factor primo en común. A) x – 1 B) x – 3

C) x + 4 D) x + 1

E) x – 2

8. Factorizar:

R(x; y) = 4x4 + 15x2y2 – 54y4

Luego indique el N.F.A.

A) 1 B) 3

C) 7 D) 8

E) 5

Problema 1

Factorizar:

5r(p4

+ q) – p2

(r2

+ 25q)Luego indique un factor primo

A) 5p2 + r

B) p2 – 5q

C) rp – q

D) pq + r

E) 5p2 – r

Resolución:

5rp 5rq p r 25p q4 2 2 2

Agrupando los términos indicados y

factorizando parcialmente:

= 5p2(rp2 – 5q) – r(rp2 – 5q)

= (rp2 – 5q)(5p2 – r)

Respuesta : E) (5p2 – r)

Problema 2

Factorizar:

10x2+21y2+29xy

Hallar la suma de sus factores primos

A) 4x + y

B) 5x – 2y

C) 5x – 3y

D) 7x + 3y

E) 4x + 2y

Resolución:

10x2+29xy+21y2

5x

2x

7y

3y

14xy

15xy

29xy

+

Finalmente:

(5x + 7y)(2x + 3y)

Respuesta : D) (7x+3y)

Problema 3

Factorizar e indicar la suma de sus

factores primos.

12a2 – 59b – 63 – 7ab – 10b2 + 15a

A) 5a + 2b – 2

B) 4a + 5b + 3

C) 7a – 3b + 2

D) 8a + 5b – 2

E) 3a + 2b + 3

Resolución:

Ordenando y aplicando el criterio de

aspa doble

4a

3a

–

2b

5b

12a -7ab - 10b - 15a - 59b - 632

–7

9

2

Finalmente (4a – 5b – 7)(3a + 2b + 9)

Luego factores primos: 7a – 3b + 2

Respuesta : C) 7a–3b+2

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