Régulation Industrielle - Benjelloun

8/2/2019 Rgulation Industrielle - Benjelloun

1/193

U n i v e r s i t M o h a m e d V A G D A L

E c o l e M o h a m m a d i a d e s I n g n i e u r s - R A B A T

D p a r t e m e n t E l e c t r i q u e

S e c t i o n A u t o m a t i q u e e t I n f o r m a t i q u e I n d u s t r i e l l e

A u t o m a t i q u e d e s S y s t m e s C o n t i n u s

A u t e u r : K . B E N J E L L O U N

S e p t e m b r e 2 0 1 1

E M I - R A B A T

K . B E N J E L L O U N

R E C U E I L D E T R A N S P A R E N T S


2/193

S o u r c e

C e d o c u m e n t e s t b a s s u r l e l i v r e :

M o d e r n c o n t r o l S y s t e m s D o r f

c 2 0 1 1

E M I - R A B A T




3/193

T A B L E D E S M A T I R E S

C h a p i t r e 1 :

C h a p i t r e 2 :

C h a p i t r e 3 :

C h a p i t r e 4 :

C h a p i t r e 5 :

C h a p i t r e 6 :

C h a p i t r e 7 :

C h a p i t r e 8 :

N o t i o n s g n r a l e s . . . . . . . . . . . . . . .

R e p r s e n t a t i o n d e s s y s t m e s

d y n a m i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A n a l y s e d e l a c o m m a n d e

e n b o u c l e f e r m e . . . . . . . . . . . . . . .

A n a l y s e d a n s l e d o m a i n e

t e m p o r e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S t a b i l i t e t

l i e u d e s r a c i n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A n a l y s e f r q u e n t i e l l e . . . . . . . . . . . .

D e s i g n d e s s y s t m e s a s s e r v i s . . .

R e p r s e n t a t i o n i n t e r n e :

A n a l y s e e t D e s i g n . . . . . . . . . . . . . . .

p a g e 4

p a g e 2 1

p a g e 5 2

p a g e 6 5

p a g e 8 4

p a g e 1 0 3

p a g e 1 4 0

p a g e 1 6 5

E M I - R A B A T


!



4/193

C H A P I T R E 1

N O T I O N S G N R A L E S

E M I - R A B A T


"

T I T R E D U C H A P I T R E


5/193

O b j e c t i f s :

D c r i r e l e s s y s t m e s a s s e r v i s D n i r l a t e r m i n o l o g i e d e s s y s t m e s

a s s e r v i s l i n a i r e s

D i s t i n g u e r l a s t r u c t u r e d e c o m m a n d e e n

b o u c l e o u v e r t e d e c e l l e e n b o u c l e f e r m e

I n t r o d u i r e l e s c o n c e p t s d ' a n a l y s e e t d e s y n t h s e

S o m m a i r e :

T e r m i n o l o g i e d e l ' a u t o m a t i q u e E x e m p l e s d e s y s t m e s a s s e r v i s C l a s s i c a t i o n d e s s t r u c t u r e s d e c o m m a n d e T e c h n i q u e s d ' a n a l y s e e t d e s y n t h s e

E M I - R A B A T


#



6/193

D n i t i o n :

U n s y s t m e e s t d i t a u t o m a t i q u e

l o r s q u ' i l a c c o m p l i t u n e t c h e b i e n

d t e r m i n e s a n s i n t e r v e n t i o n

h u m a i n e

E x e m p l e :

c o m m a n d e

~

E

T

'

c

c

E

c n e r g i e

dd

t e m p r a t u r e

d s i r e

m o t e u r

v a n n e

e a u

f r o i d e

e a u

c h a u d e

M

T

t h e r m o c o u p l e

c h a n g e u r

c o n d e n s a t i o n

E M I - R A B A T


$



7/193

S c h m a - b l o c

Ec o r r e c t e u r

E s y s t m e c o m m a n d

c

p e r t u r b a t i o n s

E

'c a p t e u r s

T

g r a n d e u r s

d ' e n t r e

g r a n d e u r s

d e s o r t i e

s

T e r m i n o l o g i e

G r a n d e u r s d ' e n t r e o u d s i r e s

o u d e r f r e n c e

C o r r e c t e u r o u C o n t r l e u r

S y s t m e c o m m a n d o u O b j e t

G r a n d e u r s d e s o r t i e

C a p t e u r s o u o r g a n e s d e m e s u r e

P e r t u r b a t i o n s o u g r a n d e u r s p a r a s i t e s :

I n u e n c e s e x t e r n e s

C o m p a r a t e u r : c o m p a r a i s o n d e l a s o r t i e

a v e c l ' e n t r e

E M I - R A B A T


%



8/193

A s s e r v i s s e m e n t d e v i t e s s e d ' u n c o n v o y e u r

grrrrrss

&%'$w

&%'$w

gss

d

d

d

d

'

M

m o t e u r

d . c

'

''

ER

B

A

r o b o t 2 r o b o t 1

v(t)

c o n v o y e u r

S t r u c t u r e d e c o m m a n d e e n b o u c l e f e r m e

vref u(t)E~ E c o r r e c t e u r E+ m o t e u r

+ r d u c t e u r

+ c o n v o y e u r

cp(t)

E

'c a p t e u r

T

v(t)s

E M I - R A B A T


&



9/193

R g l a g e d e l a t e m p r a t u r e d ' u n l o g e m e n t

E

'

c

EE

E

EE

T T

t h e r m o s t a t

r a d i a t e u r

qi(t)

: t e m p r a t u r e

d u l o g e m e n t

q

(t)

q

(t)

: t e m p r a t u r e d e

l ' a i r a m b i a n t

e a u

c h a u d e

d

d

S c h m a - b l o c d e c o m m a n d e

rE

T h e r

m o s t a t

u(t)E

V a n n e

EL o g e m e n t

E

c

T

sqi(t)q(t)

(t)

E M I - R A B A T


'



10/193

C o m m a n d e d e n i v e a u d ' u n b a s s i n

u u

d

d

d

d

~

w ' v i s d e r g l a g e d e l a c o n s i g n e hr

c

c

c

T

V a n n e

qi(t)

q0(t)

'

' E

E' E

T

l1 l2

h(t)

d

hrE~ sE V a n n e

qi(t)E

+

B a s s i n

c

p(t)

Eh(t)

'c a p t e u r

T

hdE ~ sE V a n n e

qi(t) h(t)E

+

r e t a r d

Eqi(t )

B a s s i n

c

p(t)

E

'c a p t e u r

T

E M I - R A B A T




11/193


12/193

S y s t m e d e r g l a g e d ' u n g o u v e r n a i l d e n a v i r e

T

E'

'

b

T T

R o u e

d e c o m m a n d e

T R 1

'

E

A m p l i

s e r v o v a n n e

T R 2

g o u v e r n a i l

r o u e

d e n t e

O

O '

u

y

0

e1

e2

S c h m a - b l o c d e c o m m a n d e

E E E E E

c

E+

'

TT R 1

T R 2

A m p l i

S e r v o v a n n e G o u v e r n a i l

s~e1 ee2

u y0

p(t)

E M I - R A B A T




13/193

S y s t m e d e r g l a g e d ' u n g o u v e r n a i l d ' a v i o n

'

E'

cT

c

'

'

E

c

'

'

c T'

'

' '

s

s e r v o

v a n n e

C(s) A m p l i Kr

r

y(t)

(t)

T R

x

v r i n

vr

ei

o

v

r

v i s d e r g l a g e

E E E E E E+

c

'

Tr

p o t e n t i o -

m t r e

~ C(s) s e r v o v a n n e + v r i n g o u v e r n a i l p(t)

s

T R

vr e

v

i y

E M I - R A B A T


!



14/193

C l a s s i c a t i o n d e s s y s t m e s

s t a t i q u e

s y s t m e

d y n a m i q u e

p a r a m t r e s

d i s t r i b u s

p a r a m t r e s

l o c a l i s s

a l a t o i r e d t e r m i n i s t e

d i s c r e t c o n t i n u

n o n l i n a i r e l i n a i r e

v a r i a n t i n v a r i a n t

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

E M I - R A B A T


"



15/193

M o d l e m a t h m a t i q u e d ' u n s y s t m e

S y s t m e

E

E

E

E

r1(t)

rm(t)

y1(t)

yp(t)E n t r e s S o r t i e s

F o r m e g n r a l e d ' u n m o d l e :

y1 (t) = f1 [ y1(t), . . . , yp(t), r1(t), . . . , rm(t), P, t ]

.

.

.

.

.

.

.

.

.

yp (t) = fp [ y1(t), . . . , yp(t), r1(t), . . . , rm(t), P, t ]

F o r m e m a t r i c i e l l e d ' u n m o d l e :

y (t) = f [ y(t), r(t), P, t ]

y(t) = [ y1(t), . . . , yp(t) ]T

r(t) = [ r1(t), . . . , rm(t) ]T

f(.) = [ f1(.), . . . , fp(.) ]T

E M I - R A B A T


#



16/193

L i n a r i s a t i o n : a p p r o c h e g r a p h i q u e

y

r

ye

re

y = f(r)

c

E

T

f(r) = f(re) +df(re)

dr(r re) + o(r re)

y = ye +df

dr(re)(r re) + o(r re)

y=y yer=r re

k=df(re)dr

limrreo(r re)=0

q u a t i o n l i n a r i s e :

y = k r

E M I - R A B A T


$



17/193

L i n a r i s a t i o n : a p p r o c h e a n a l y t i q u e

y (t) = f(y(t), r(t))

y (t) = A y(t) + B r(t)

A(pp) =f

y(ye, re) =

f1y1

. . . f1yp.

.

. . . . ...fpy1

. . .fpyp

|ye,reB(pm) =

f

r(ye, re) =

f1r1

. . . f1rm.

.

. . . . ...fpr1

. . .fprm

|ye,re

E M I - R A B A T


%



18/193

L i n a r i s a t i o n l e l o n g d ' u n e t r a j e c t o i r e

y(t) y(t) y(t)

tE

T

y

(t) = f(y(t), r(t))

y(t) = y(t) + y(t)

r(t) = r(t) + r(t)

y (t) = f(y, r) f(y, r)

y (t) = f

y

(y, r) y +f

r

(y, r) r

y (t) = A(t) y + B(t) r

A(t) =f

y(y, r)

B(t) =f

r(y, r)

E M I - R A B A T


&



19/193

S t r u c t u r e s d e c o m m a n d e

Ec o r r e c t e u r

Ea c t i o n n e u r

Es y s t m e

E

cs o r t i e

y(t)

e n t r e

r(t)

p e r t u r b a t i o n p(t)B o u c l e o u v e r t e

r(t)E ~E c o r r e c t e u r E a c t i o n n e u r E+ s y s t m e

c

Es

'c a p t e u r

T

y(t)

s o r t i e e n t r e

p e r t u r b a t i o n p(t)B o u c l e f e r m e

P r i n c i p e d e s u p e r p o s i t i o n

A d d i t i v i t :

e n t r e s s o r t i e s

r1(t) = y1(t)r2(t) = y2(t)r1(t) + r2(t) = y1(t) + y2(t)

H o m o g n i t :

r(t) = y(t)a r(t) = a y(t)

E M I - R A B A T


'



20/193

T e c h n i q u e s d ' a n a l y s e e t d e s y n t h s e

A N A L Y S E :

D o m a i n e t e m p o r e l

D o m a i n e f r q u e n t i e l

S P C I F I C A T I O N S :

P r c i s i o n e n r g i m e p e r m a n e n t

C o m p o r t e m e n t e n r g i m e t r a n s i t o i r e

S t a b i l i t

S e n s i b i l i t

R o b u s t e s s e

S Y N T H S E :

C h o i x d e s c o m p o s a n t e s

M o d l i s a t i o n m a t h m a t i q u e

V a l i d a t i o n d u m o d l e

C o n s t r u c t i o n e t t e s t

E M I - R A B A T




21/193

C H A P I T R E 2

R E P R S E N T A T I O N D E S

S Y S T M E S D Y N A M I Q U E S

E M I - R A B A T




22/193

O b j e c t i f s :

t a b l i r d i r e n t e s f o r m e s d e m o d l e s m a t h m a t i q u e s d e s s y s t m e s d y n a m i q u e s

t a b l i r l e s s c h m a s - b l o c d e s s y s t m e s d y n a m i q u e s

S i m p l i e r l e s s c h m a s - b l o c

S o m m a i r e :

R e p r s e n t a t i o n p a r d e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s

R e p r s e n t a t i o n p a r u n m o d l e d ' t a t

T r a n s f o r m e d e L a p l a c e

R e p r s e n t a t i o n p a r l a f o n c t i o n d e t r a n s f e r t M o d l i s a t i o n d e s s y s t m e s m c a n i q u e s -

l e c t r i q u e s - l e c t r o m c a n i q u e s - h y d r a u l i q u e s -

p n e u m a t i q u e s - t h e r m i q u e s e t c o m p l e x e s .

S i m p l i c a t i o n d e s s c h m a s - b l o c

E M I - R A B A T


R E P R S E N T A T I O N

D E S S Y S T M E S D Y N A M I Q U E S


23/193


24/193

R e p r s e n t a t i o n p a r m o d l e d ' t a t

O b j e c t i f :

T r a n s f o r m e r u n e q u a t i o n d i r e n t i e l l e

d ' o r d r e n e n n q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s d ' o r d r e

1

q u a t i o n d i r e n t i e l l e d ' o r d r e 2 :

m

d2

dt2 l(t) + b

d

dtl(t) + k l(t) = f(t)

l(0) = l0,d

dtl(0) = v0

V a r i a b l e s d ' t a t :

x1(t) = l(t) = y(t) = x1 (t) = ddtl(t)

x2(t) =ddt

l(t) = x2 (t) = d2dt2 l(t)

q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s d ' o r d r e 1 :

x1 (t) = x2(t)x2 (t) = k

mx1(t) b

mx2(t) +

1

mf(t)

x1(0) = l0

x2(0) =d

dtl0

E M I - R A B A T


"




25/193

R e p r s e n t a t i o n p a r m o d l e d ' t a t

F o r m e m a t r i c i e l l e : x1 (t)x2 (t)

=

0 1

km

bm

x1(t)

x2(t)

+

01

m

u(t)

y(t) =

[1 0

]

x1(t)

x2(t)

+

[0

]u(t)

F o r m e g n r a l e :

x (t) = A x(t) + B u(t)

y(t) = C x(t) + D u(t)

x(0) = x0

u(t) y(t)x(t)B ~+

+

++

x C ~

A

D

es seE E E E E E

E

c

'

T

E M I - R A B A T


#




26/193

T r a n s f o r m e d e L a p l a c e

A v a n t a g e :

T r a n s f o r m a t i o n d e s q u a t i o n s d i r e n t i e l l e s

e n q u a t i o n s a l g b r i q u e s .

D n i t i o n :

L[f(t)] = F(s) =

0f(t)estdt t > 0

s = +j

f ( t ) 0 F ( s )

(t) : i m p u l s i o n 1

u1(t) : c h e l o n 1s

t : r a m p e 1s2

E M I - R A B A T


$




27/193

P r o p r i t s d e l a t r a n s f o r m e d e L a p l a c e

L i n a r i t :

L[ f1(t) ] F1(s)L[ f2(t) ] F2(s)

L[ a1 f1(t) + a2 f2(t) ] a1 F1(s) + a2 F2(s)

D r i v a t i o n :

L

dn

dtnf(t)

= snF(s)

nk=1

snk

dk1

dtk1f(t)

|t=0

V a l e u r i n i t i a l e :

f(0) = limt0f(t) = limssF(s)

V a l e u r n a l e :

f() = limtf(t) = lims0sF(s)

E M I - R A B A T


%




28/193

E x e m p l e d e t r a n s f o r m a t i o n p a r L a p l a c e

q u a t i o n d i r e n t i e l l e :

3d3

dt3y(t) + 2

d2

dt2y(t) + 5

d

dty(t) + y(t) = 6r(t)

T r a n s f o r m a t i o n d e c h a q u e t e r m e :

L d3

dt3 y(t) s3Y(s)s2y(0)s y (0) y (0)

L

d2

dt2y(t)

s2Y(s)sy(0) y (0)

L

d

dty(t)

sY(s) y(0)

L [y(t)] Y(s)

L [r(t)] R(s)T r a n s f o r m a t i o n g l o b a l e :

[3s3 + 2s2 + 5s + 1] Y(s)

[3s2 + 2s + 5] Y(0)

[3s + 2] Y (0) 3 Y (0) = 6 R(s)

E M I - R A B A T


&




29/193

T r a n s f o r m e d e L a p l a c e i n v e r s e

F(s) =b0 + b1s + + bisi + + bmsm

a0 + a1s1 + + an1sn1 + sn =N(s)

D(s), m n

P r o c d u r e :

1 . D c o m p o s i t i o n e n l m e n t s s i m p l e s

2 . C a l c u l d e s r s i d u s

3 . T r a n s f o r m e d e L a p l a c e i n v e r s e

R a c i n e s s i m p l e s

D c o m p o s i t i o n e n l m e n t s s i m p l e s :

F(s

) =

c1

s + p1 + +cn

s + pn

R s i d u s :

ci = limspi [(s + pi)F(s)]

T r a n s f o r m e d e L a p l a c e i n v e r s e :

f(t) = c1ep1t + + ciepit + + cnepnt =n

i=1

ciepit

E M I - R A B A T


'




30/193

R a c i n e s m u l t i p l e s


F(s) =ck

(s + p1)k+

ck1(s + p1)k1

+ + c1(s + p1)

R s i d u s :

ckj = limsp1

1

j!

dj

dsj [F(s)(s + p1)

k

]

, j = 0, . . . , k 1

T r a n s f o r m e i n v e r s e :

f(t) =

ck

(k 1)!tk1 +

ck1(k 2)!t

k2 + + c2t + c1

ep1t

R a c i n e s c o m p l e x e s c o n j u g u e s


F(s) =c

s + a jb +c

s + a +jb

R s i d u s :

c = [F(s)(s + a jb)] s=a+jb = Kc = K

T r a n s f o r m e i n v e r s e :

f(t) = 2Keatcos(bt + )

E M I - R A B A T


!




31/193


32/193

F o n c t i o n d e t r a n s f e r t : c i r c u i t l e c t r i q u e :

c E

c

T

E n t r e = v(t)

i(t) = S o r t i e

R

L

v(t) = R i(t) + Ld

dti(t)

i(0) = i0

T r a n s f o r m e d e L a p l a c e :

V(s) = RI(s) + LsI(s) Li(0) = (Ls + R)I(s) Li(0)I(s) = K

s + 1V(s) +

s + 1i(0) = G(s)V(s) + G0(s)i(0)

K = 1R

= Gain , = LR

= C o n s t a n t e d e t e m p s

E

E

T

cE

E

E

T

cE E

I(s)

i(0)

V(s)

I(s)

V(s)

i(0)

K1

s+1

G0(s) =

s+1

G(s) = Ks+1

|

|

E M I - R A B A T


!




33/193

F o n c t i o n d e t r a n s f e r t : m a s s e - r e s s o r t - a m o r t i s s e u r

m d2

dt2l(t) + b d

dtl(t) + kl(t) = f(t)

l(0) = l0,d

dtl(0) = v0, mg = kl0

m

c

bc

f

lc

0

k

T r a n s f o r m e d e L a p l a c e :

F(s) = (ms2 + bs + k)L(s) (ms + b)l0 mv0L(s) =

(1/m)F(s)

s2 + bm

s + km

+(s + b

m)l0

s2 + bm

s + km

+v0

s2 + bm

s + km

L(s) = G(s) F(s) + G01(s) l0 + G02(s) v0

L(s) = K2n

s2

+2ns+2

n

F(s)

n =

km

=P u l s a t i o n

n a t u r e l l e

=b

2mk =T a u x

d ' a m o r t i s s e m e n t

K = 1k

=G a i n d u s y s t m e

1

E

E

E

E

T

cm E E+ 1s2+ bms+

km

s + bm

1m

v0

l0

F(s)

L(s)

E M I - R A B A T


! !




34/193

M o d l i s a t i o n d e s s y s t m e s m c a n i q u e s

D y n a m i q u e e n t r a n s l a t i o n :

md2

dt2x(t) =

ni=1

Fi(t)

D y n a m i q u e e n r o t a t i o n :

J d

2

dt2(t) =

ni=1

Ci(t)

t r a n s l a t i o n q u a t i o n r o t a t i o n q u a t i o n

a

b

ccf l

k f = kl

r rE EEfl1 l2

k

f = k(l1 l2)

r rE E

Ef

l1 l2

bf = b(

l1

l2)

EE mf

lf = m l

' 'J

CC = J

TT

C

k C = k

r r''

C

1 2

k

C = k(1 2)

rr ' 'C1 2b

C = b( 1 2)

E M I - R A B A T


! "




35/193


36/193


37/193

M o d l i s a t i o n d e s s y s t m e s l e c t r o m c a n i q u e s

E n t r a n e m e n t q u i v a l e n t

'

T1, 1

'T2, 2

R2

R1

n

J

s c h m a q u i v a l e n t r e l a t i o n s

'

T1, 1

'T2, 2R2

R1

n

'

T1, 1

'T2, 2

R2

R1

n

ke

be

b

k'

'

'

T1, 1

T1, 1

T1, 1

T2 = J 2

nT1 = J

1n

T1 = Je 1

Je =J

n2

T2 = k2

nT1 = k1

n

T1 = ke1

ke =k

n2

T2 = b2

nT1 = b

1n

T1 = be1

be =b

n2

Je

E M I - R A B A T


! %




38/193

M o d l i s a t i o n d e s s y s t m e s l e c t r o m c a n i q u e s

E n t r a n e m e n t q u i v a l e n t

S c h m a i n i t i a l :

u(t)

TTm, m

Tc, c

'

'

R

em(t)

ia(t)

c

c

"!#E T

E

'

bm bcRc

Rm

Jc

Jm

L

R e l a t i o n s d ' q u i v a l e n c e :

J = Jm + Jc/n2

b = bm + bc/n2

S c h m a q u i v a l e n t :

u(t)T

c

c

E

T

em(t)

ia(t)

L R

'

'Td

Tm, m

b

EJ

J m= Tm b

m Td

E M I - R A B A T


! &




39/193

M o d l i s a t i o n d e s s y s t m e s h y d r a u l i q u e s

p1 p2

Tc

E E

Eq

h V, Ch

c

E

qs, p

qe

d

dd

d

dd

T

R s i s t a n c e h y d r a u l i q u e :

p = p1 p2 h = h1 h2

Rh =p

q R = u

iRh =

hq

R = ui

C a p a c i t h y d r a u l i q u e :

Ch =Vp

Ch =qh

=Ch

dpdt

= qe qs

Chdhdt

= qe qs Cdu

dt= i

I n d u c t a n c e o u i n e r t i e h y d r a u l i q u e :

u = L didt

(pi pf) =

lA

dq

dt

E M I - R A B A T


! '




40/193

M o d l i s a t i o n d e s s y s t m e s p n e u m a t i q u e s

peE

Rp

q

rrrrr

r

E

pr, Cp

R s i s t a n c e p n e u m a t i q u e :

Rp =dp

dq R = u

i

C a p a c i t p n e u m a t i q u e :

Cp =dM

dp= dM = Cpdp

dM

dt

= Cpdp

dt C

du

dt

= i(t)

E M I - R A B A T


"




41/193

M o d l i s a t i o n d e s s y s t m e s t h e r m i q u e s

R s i s t a n c e t h e r m i q u e e n c o n d u c t i o n :

dQ = kAd

dx= Q = kA

L[1 2]

i =u

R Q = 1 2

LkA

= Rtcd = LkA

R s i s t a n c e t h e r m i q u e e n c o n v e c t i o n :

Q = hAdT = hA(s )

i =u

R Q = s

1hA

= Rtcv = 1hA

R s i s t a n c e t h e r m i q u e e n r a y o n n e m e n t :

Q = AaFab(a4 b4)

i =u

R Q = a4 b4

1AaFab

= Rtr = 1AaFab

C a p a c i t t h e r m i q u e :

Mc =Qdt

t e = Q = Mcd

dt

i = Cdu

dt Q = Mc

d

dt

=

Ct = Mc = Vc

E M I - R A B A T


"




42/193

M o d l i s a t i o n d e s s y s t m e s r e t a r d

E

P1

P2c

C2cd E'

bb EvC1

M e s u r e d e l a c o n c e n t r a t i o n :

C2(t) = C1(t d) = C2(s) = edsC1(s)[d =

dv

]

E

E

E

E

E

X(s)

C1(s)

U(s)

U(s)

G(s)

G1(s)

eds

Y(s)

Y(s)

C2(s)

eee

eee

E M I - R A B A T


"




43/193

M o d l i s a t i o n d e s s y s t m e s r e t a r d

A p p r o x i m a t i o n c l a s s i q u e :

es =1

(1 + sp

)pp N

A p p r o x i m a t i o n d e P A D :

es =P(s)

D(s)=

b0 + b1(s) + b2(s)2 + b3(s)

3 + . . .

a0 + a1(s) + a2(s)2 + a3(s)3 + . . .

es =

12

s

1+2

sOrdre 1

126s+(s)212+6s+(s)2 Ordre 2

12060s+12(s)2+(s)3120+60s+12(s)2+(s)3 Ordre 3

E M I - R A B A T


" !




44/193

M o d l i s a t i o n d e s s y s t m e s c o m p l e x e s

R g l a g e d e l a p o s i t i o n d ' u n e a n t e n n e p a r a b o l i q u e

v i s d e r g l a g e

ddd

E k0 E

A m p l i

d i r e n t i e l 0e1

E

e2eE

A m p l i d e

p u i s s a n c e

c

E

ea

1

2

n

r d u c t e u r

T R

m o t e u r

eeeee

dd

ddd

rrrrreeeee

d

dd

x

'

'

E M I - R A B A T


" "




45/193

R g l a g e d e l a p o s i t i o n d ' u n e a n t e n n e p a r a b o l i q u e

M o m e n t d ' i n e r t i e d e l ' a n t e n n e : Ja R d u c t e u r d e r a p p o r t : n = 2

1

V i t e s s e d e r o t a t i o n d e l ' a n t e n n e : 2 =ddt

M o t e u r l e c t r i q u e c o u r a n t c o n t i n u :

1(s) =n 1

skt

RabEa(s) n s+1b 1s Td(s)

(es + 1)(ms + 1) +ktkwRab

T r a n s f o r m a t e u r d i r e n t i e l : e2 = k2

A m p l i c a t e u r d i r e n t i e l : e = k1(e1 e2) A m p l i c a t e u r d e p u i s s a n c e : ea = kAe

P o t e n t i o m t r e : e1 = k00

0k0 ~ ~E E E E E E E E E Ec

c

+

'

T

Td

k1 kAkt

Rab

1D(s) n

1s

k2

es+1b

D(s) = (es + 1)(ms + 1) + ktkwRab

CR

+e1

e2

e ea

Cm

E M I - R A B A T


" #




46/193


s c h m a - b l o c

q u i v a l e n t

T '

E

E

E

E

E

E

E

E

'

E

'

TE E

E

T

E

E E

E

E

T

E

E E

E

' '

E

E

'

E

'

EE

ET

E

E E

T

E

'

E E

E E

E E

mz

mz

mz

mz

mz

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r

r

r

r

r

r

++

+

+

+

+

+

++

+

+

G

G

G

G

H

G

G2

G1

G1 G2 G1G2

G1 + G2

G1+GH

1/G

G

G

G

G

GG

1/G

E M I - R A B A T


" $




47/193


E x e m p l e s

E E E E E E Ec+ + +

T

T

T'

'

'

'

c

+

+

ss s~~

~

~ G2(s) G3(s)

H1(s)

H2(s)

H3(s)

G1(s)R(s)

Y(s)

P(s)

E E E E E EEc+ + +

T' '

''

'

c

'

T

T

+

+

~ ~ ~

~

sss

G1(s) G2(s) G3(s)

H1(s)

1/G3(s)

1/G3(s)

H2(s)

H3(s)

R(s)

Y(s)

P(s)

E E E E Ec+

+

+

'

T~ ~C(s) G(s)

H(s)

R(s) Y(s)

P(s)

E M I - R A B A T


" %




48/193


E x e m p l e s

E

E

E E

E

T

T

T

T

T

c

+ +

+ +

E

E T

cE

A2

A1

A3

A4+|

+| +| +|

r r

r1

r2

y G1(s)

G2(s)

r1

r2

y

E

E E E

E E

T

Tc

c

E

E

E

E

+

+

+|

+|r

rr rA4

A1

A3

A2

G1(s)

G2(s)

r

y1

y2

r

y1

y2

E M I - R A B A T


" &




49/193


R g l e d e M A S O N : p r o c d u r e

F(s) =1

k

Tk(s) k

= 1

i Li +

i,j LiLj

i,j,k LiLjLk + = d t e r m i n a n t t o t a l

d u g r a p h e .

i Li = s o m m e d e s g a i n s d e s d i r e n t e s b o u c l e s

i,j LiLj = S o m m e d e s p r o d u i t s d e g a i n s d e t o u t e s

l e s c o m b i n a i s o n s p o s s i b l e s d e d e u x b o u c l e s d i s -

j o i n t e s [ q u i n e s e c r o i s e n t p a s ] .

i,j,k LiLjLk = S o m m e d e s p r o d u i t s d e g a i n s d e

t o u t e s l e s c o m b i n a i s o n s p o s s i b l e s d e t r o i s b r a n c h e s

d i s j o i n t e s .

Tk(s) = T r a n s m i t t a n c e d u k ieme c h e m i n d i r e c t .

k = D t e r m i n a n t d u k ieme c h e m i n d i r e c t . I l e s t o b t e n u p a r t i r d u d t e r m i n a n t t o t a l e n e n l e v a n t

c e d e r n i e r l e s b o u c l e s q u i t o u c h e n t c e c h e m i n .

F(s) = F o n c t i o n d e t r a n s f e r t d u s y s t m e .

E M I - R A B A T


" '




50/193

R g l e d e M A S O N : g r a p h e s q u i v a l e n t s

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E E

T

T

T

c

'

rrrj

B

z

$$$$$$$X

E E

EE

E

'

E

E

E

E

E

E

+

+

+

+

+

+

+

''

TH1

G1

G1

G2

G1

G2

G2

G1

G2

G1

H1

G3

X1

X1

X1

X1

X1

X2

X1

X1

X1

X1

X1

X2

X1

X1

X1

X1

X1

X2

X2

X2

X2

X2

X3

X2

X2

X2

X2

X3

X2

X2

X2

X2

X3

X3 X3G1 G2

G1

G2

G1

G2

G1

G1

G2

G3

G1G2

G1 + G2

G11G1G2

G11+G1H1

G1G3

G2G3

}

}

}

}

fr

fr

fr

fr

frfr

fr

fr

fr

fr

fr

fr

fr

fr

fr

fr

fr

frfr

fr

fr

fr

fr

fr

S c h m a - b l o c G r a p h e c o r r e s p o n d a n t G r a p h e s i m p l i

E M I - R A B A T


#




51/193

R g l e d e M A S O N : e x e m p l e

E E E E E E E E+ +x1 x2 x3 x4

x5T

c

T

''

'

U(s) | | |G1 G2 G3 G4

H2

H1 H3

r r rY(s)

f f f f f f fEE E E E ET c

c

T c

T

'

'

'

U(s)

H1

H2

H3

Y(s)x1 x2 x3 x4 x51 1G1 G2 G3 G4

T1 = 1 G1 G2 1 G3 G4 = G1G2G3G4L1 =

G1G2H1

L2 = G3G4H3L3 = G2G3H2

= 1 (L1 + L2 + L3) + (L1L2)1 = 1

F(s) = 1

(T1 1)

F(s) =Y(s)

U(s)=

G1G2G3G4

1 (L1 + L2 + L3) + (L1L2)

E M I - R A B A T


#




52/193

C H A P I T R E 3

A N A L Y S E

D E L A C O M M A N D E

E N B O U C L E F E R M E

E M I - R A B A T


#



53/193

O b j e c t i f s :

D c r i r e l e s d i r e n t e s c o m p o s a n t e s d ' u n e s t r u c t u r e d e c o m m a n d e d o n n e

D c r i r e l e s s t r u c t u r e s d e s c o r r e c t e u r s c l a s s i q u e s e t d u c o r r e c t e u r p a r r e t o u r d ' t a t

S o m m a i r e :

S t r u c t u r e d e c o m m a n d e e n b o u c l e f e r m e

S t r u c t u r e d e s c o r r e c t e u r s c l a s s i q u e s

C o m m a n d e p a r r e t o u r d ' t a t

C a r a c t r i s t i q u e s d e l a c o m m a n d e e n b o u c l e f e r m e

E M I - R A B A T


# !

A N A L Y S E D E L A C O M M A N D E



54/193


55/193

S t r u c t u r e s s t a n d a r d s d e c o m m a n d e

E E E Ec+

'

T~ c o r r e c t e u r +

a m p l i c a t e u r

a c t i o n n e u r

+ s y s t m e

c a p t e u r

p e r t u r b a t i o n

g r a n d e u r

c o m m a n d e

r f r e n c e s

E E E E+

T

R(s)

c a s c a d e

| C(s) G(s) Y(s)r E E E E+ +

'

T T

R(s)

| | rrG(s)

C(s)

f e e d b a c k

Y(s)

E E E E E+ +

'

T T

R(s)

|

| r

rG(s)

C2(s)

C1(s)

c a s c a d e - f e e d b a c k

Y(s)

E E E E+ x(t)

'

T

r(t)

|

G(s) D(s)

C(s)

y(t)

rr e t o u r d ' t a t

E E E E E

E

c+

+

+

TR(s)

| |r r

C2(s)

C1(s) G(s)

a n t i c i p a t i o n

Y(s)

E M I - R A B A T


# #




56/193

C o r r e c t e u r p r o p o r t i o n n e l

u(t) = kpe(t) = C(s) = U(s)E(s)

= kp

E Ekpe r r e u r : e ( t ) u ( t ) : c o m m a n d e

c o r r e c t e u r

E

T

E

T

e(t)

t

u(t)

t

e(t)

kpe(t)

A v a n t a g e : s i m p l e i m p l a n t e r .

I n c o n v n i e n t : a u c u n e p o s s i b i l i t p o u r a n n u l e r l ' e r -

r e u r d u s y s t m e e n r g i m e p e r m a n e n t .

E M I - R A B A T


# $




57/193

C o r r e c t e u r i n t g r a l

u(t) = kI

0

te()d C(s) = U(s)E(s)

=kI

s

E EkIs

e r r e u r : e ( t ) u ( t ) : c o m m a n d e

c o r r e c t e u r

E

T

E

T

t

t

e(t)

e ( t )

u(t)

kIs e(t)

A v a n t a g e : a m l i o r e l e r g i m e p e r m a n e n t

I n c o n v n i e n t : d t r i o r e l e r g i m e t r a n s i t o i r e

E M I - R A B A T


# %




58/193

C o r r e c t e u r p r o p o r t i o n n e l - i n t g r a l

E E

c o r r e c t e u r

kp +kIs

e r r e u r : e ( t ) u ( t ) : c o m m a n d e

u(t) = kpe(t) + kI 0te()d =

C(s) =U(s)

E(s)= kp +

kI

s= kp

s + z

s, z =

kI

kp

E

T

E

T

e(t)

e(t)

u(t)

(kp +kIs

)e(t)

t

t

P a r t i c u l a r i t :

c o m b i n e l e s a v a n t a g e s d e s c o r r e c t e u r s P e t I

E M I - R A B A T


# &




59/193

C o r r e c t e u r d r i v

u(t) = kDd

dte(t) = C(s) = U(s)

E(s)= kDs

Non causalite = C(s) = U(s)E(s)

=kDs

s + 1

E EkDse r r e u r : e ( t ) u ( t ) : c o m m a n d e

c o r r e c t e u r

E

T

E

T

t

t

u(t)

kDd

dte(t)

e(t)

e(t)

P a r t i c u l a r i t s :

c e c o r r e c t e u r p r o d u i t u n e a c t i o n u n i q u e m e n t

l o r s q u e l e s i g n a l d ' e r r e u r v a r i e .

i n s e n s i b l e a u x v a r i a t i o n s l e n t e s d e l ' e r r e u r .

E M I - R A B A T


# '




60/193

C o r r e c t e u r p r o p o r t i o n n e l - d r i v

u(t) = kpe(t) + kDd

dte(t)

C(s) =U(s)

E(s)= kp + kDs = kD(s + z), z =

kp

kD

E E

c o r r e c t e u r

kp + kDse r r e u r : e ( t ) u ( t ) : c o m m a n d e

E

T

E

T

t

t

dd

dd

dd

e(t)

e(t)

u(t)

kpe(t) + kDd

dte(t)

P a r t i c u l a r i t :

s e n s i b l e a u x d i r e n t s t a u x d e v a r i a t i o n

d e l ' e r r e u r g r c e kp .

E M I - R A B A T


$




61/193

C o r r e c t e u r p r o p o r t i o n n e l - i n t g r a l - d r i v

u(t) = kpe(t) + kI

0

te()d + kDd

dte(t)

C(s) =U(s)

E(s)= kp +

kI

s+ kDs

E E

c o r r e c t e u r

kp + kIs + kDse r r e u r : e ( t ) u ( t ) : c o m m a n d e

E

E

E

E

T

cE

+

+

+

~t

kp

kI

s

kDs

E(s) U(s)

P a r t i c u l a r i t s :

A c t i o n P : a m l i o r e l a r a p i d i t .

A c t i o n I : a m l i o r e l e r g i m e p e r m a n e n t .

A c t i o n D : a m l i o r e l a s t a b i l i t .

E M I - R A B A T


$




62/193

C o r r e c t e u r a v a n c e d e p h a s e

Kc

aT

d

dte(t) + e(t)

= T

d

dtu(t) + u(t)

C(s) = KcaTs + 1

Ts + 1= kp

s + z

s + p

a > 1, kp = aKc, z =1

aT, p =

1

T

C o r r e c t e u r r e t a r d d e p h a s e

Kc

aT

d

dte(t) + e(t)

= T

d

dtu(t) + u(t)

C(s) = KcaTs + 1

Ts + 1 = kp

s + z

s + p

a < 1, kp = aKc, z =1

aT, p =

1

T

C o r r e c t e u r a v a n c e - r e t a r d d e p h a s e

C(s) = kp(s + 1

a1T1)(s + 1

a2T2)

(s + 1T1

)(s + 1T2

)

a1 > 1, a2 < 1

E M I - R A B A T


$




63/193

C o m m a n d e p a r r e t o u r d ' t a t

S y s t m e i n i t i a l :

x (t) = A x(t) + B u(t)

y(t) = C x(t) + D u(t)

N o u v e l l e l o i d e c o m m a n d e :

u(t) =

K x(t) + N r(t)

S y s t m e c o r r i g :

x (t) = [ A BK ] x(t) + BN r(t)y(t) = [ C DK ] x(t) + DN r(t)

+

+

++

E E E E E E

E

cE E

'

T

+

'

Tr(t) u(t) y(t)}} } x

xr r

rB

C

A

D

d d

dN

K

E M I - R A B A T


$ !




64/193

R e j e t d e s p e r t u r b a t i o n s

Y(s) =C(s)G(s)

1 + C(s)G(s)H(s)R(s) +

G(s)

1 + C(s)G(s)H(s)P(s)

Y(s) = G1(s) R(s) + G2(s) P(s)

C(s)G(s)H(s)

1 =

G2(s) = 0

G1(s) = 1H(s)

Si H(s) = 1 = Y(s) = R(s)

S e n s i b i l i t

SF(s)G(s) =

dF(s)

dG(s) G(s)

F(s)

SF(s)G(s) =

1

1 + CGH

C(s)G(s)H(s) 1 = SF(s)G(s) 0

E M I - R A B A T


$ "




65/193

C H A P I T R E 4

A N A L Y S E

D A N S L E D O M A I N E

T E M P O R E L

E M I - R A B A T


$ #



66/193

O b j e c t i f s :

A n a l y s e r l e c o m p o r t e m e n t d e s s y s t m e s a s s e r v i s d a n s l e d o m a i n e d u t e m p s e n l e s

e x c i t a n t p a r d e s s i g n a u x - t e s t :

1 . i m p u l s i o n

2 . c h e l o n

3 . r a m p e

D d u i r e l e s p e r f o r m a n c e s d e s s y s t m e s e n r g i m e p e r m a n e n t e t e n r g i m e t r a n s i t o i r e

S o m m a i r e :

C a r a c t r i s t i q u e s d e l a r p o n s e t e m p o r e l l e d e s s y s t m e s

R p o n s e d ' u n s y s t m e d u p r e m i e r o r d r e R p o n s e d ' u n s y s t m e d u d e u x i m e o r d r e I m p a c t d e s p l e s e t z r o s d o m i n a n t s t u d e d e l a p r c i s i o n d e s s y s t m e s

E M I - R A B A T


$ $

A N A L Y S E

D A N S L E D O M A I N E T E M P O R E L


67/193

C a r a c t r i s t i q u e s d e l a r p o n s e d e s s y s t m e s

E

T

t

d

tm

tp

tr

d

y = 1.05

y = 0.955% ou 2%

e r r e u r e n

r g i m e

p e r m a n e n t

0 . 1

0 . 9

1

0

r

rr

rT

c

E'

E'

E'

T

c

T Tcc

E'

r

y(t)

p e r f o r m a n c e s

r g i m e t r a n s i t o i r e r g i m e p e r m a n e n t

d : d p a s s e m e n t

tr : t e m p s d e r p o n s e p r c i s i o n 5 %

tm : t e m p s d e m o n t e p r c i s i o n 2 %

tp : t e m p s d e p i c

d : d l a i

E M I - R A B A T


$ %

A N A L Y S E



68/193

R p o n s e d ' u n s y s t m e d u p r e m i e r o r d r e

E+

E E E

T~R(s) kp Ks+1 Y(s)

Y(s) = kpK

s + 1 + kpK

R(s) =K

s + 1

R(s)

G a i n d u s y s t m e :

K =kpK

1 + kpK

C o n s t a n t e d e t e m p s d u s y s t m e :

=

1 + kpK

S i g n a u x - t e s t s :

t y p e d ' e n t r e f o n c t i o n t r a n s f o r m e

i m p u l s i o n (t) 1

c h e l o n

u1(t) 1/sr a m p e t 1/s2

E M I - R A B A T


$ &

A N A L Y S E



69/193

R p o n s e i m p u l s i o n n e l l e d ' u n p r e m i e r o r d r e

(t) =

1 s i t = 0

0 a i l l e u r s = R(s) = 1

Y(s) = K

s + 1R(s) =

K

s + 1

Y(s) = K/

s + 1

y(t) = K

e 1 t

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

temps en secondes

reponse

y(t)

Reponse Impulsionnelle - Premier Ordre

R p o n s e i m p u l s i o n n e l l e d ' u n s y s t m e d u p r e m i e r

o r d r e a v e c K = 1 e t = 0.2s

E M I - R A B A T


$ '

A N A L Y S E



70/193

R p o n s e i n d i c i e l l e d ' u n p r e m i e r o r d r e

r(t) =

1 s i t 00 a i l l e u r s

= R(s) = 1s

Y(s) = K

s + 1R(s) =

K/

s + 1 1

s

Y(s) = K1s

+ K2s + 1

y(t) = K1 + K2et

= K1

1 e t

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

temps en secondes

reponse

y(t)

Reponse Indicielle - Premier Ordre

R p o n s e i n d i c i e l l e d ' u n s y s t m e d u 1er o r d r e , K = 1e t = 0.2s

E M I - R A B A T


%

A N A L Y S E



71/193

R p o n s e d ' u n p r e m i e r o r d r e u n e r a m p e

r(t) =

t s i t 00 a i l l e u r s

= R(s) = 1s2

Y(s) = K

s + 1R(s) =

K

s + 1 1

s2

Y(s) = K1s2 +K2

s+ K3

s + 1

y(t) = K(t ) + Ke t

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

temps en secondes

reponse

y(t)

Reponse A Une Rampe - Premier Ordre

R p o n s e d ' u n s y s t m e d u p r e m i e r o r d r e u n e

r a m p e u n i t a i r e a v e c K = 1 e t = 0.2s

E M I - R A B A T


%

A N A L Y S E



72/193

R p o n s e d ' u n s y s t m e d u d e u x i m e o r d r e

E E E+

TR(s)

~ 2ns(s + 2)n

b Y(s)

F o n c t i o n d e t r a n s f e r t e n b o u c l e f e r m e :

F(s) =Y(s)

R(s)=

2ns2 + 2 ns + 2n

: t a u x d ' a m o r t i s s e m e n t

n : p u l s a t i o n n a t u r e l l e

q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e :

s2 + 2ns + 2n = 0

a m o r t i s s e m e n t r a c i n e s

s o u s - a m o r t i : 0 < < 1 p1,2 = n jn

1 2

c r i t i q u e : = 1 p1,2 = ns u r - a m o r t i : > 1 p1,2 = n jn

2 1

n o n a m o r t i :

= 0 p1,2 = jn

E M I - R A B A T


%

A N A L Y S E



73/193

R p o n s e i m p u l s i o n n e l l e d ' u n d e u x i m e o r d r e

S y s t m e s o u s - a m o r t i :

R(s) = 1

Y(s) = 2n

s2 + 2 ns + 2n

y(t) =

n

1 2entsin

nt

1 2

0 5 10 15-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

temps en secondes

reponsey

(t)

Reponse Impulsionnelle - Deuxieme Ordre

R p o n s e i m p u l s i o n n e l l e d ' u n s y s t m e d u

2e

o r d r e

a v e c n = 1rd/s e t = 0.5

E M I - R A B A T


% !

A N A L Y S E



74/193

R p o n s e i n d i c i e l l e d ' u n d e u x i m e o r d r e


R(s) =1

s

Y(s) = 2n

s(s2 + 2 ns + 2n)

y(t) = 1 ent

1 2 sin (dt )p u l s a t i o n d ' o s c i l l a t i o n : d = n

1 2

d p h a s a g e : tg1

12

0 5 10 150

0.5

1

1.5

temps en secondes

reponse

y(t)

Reponse Indicielle - Deuxieme Ordre

R p o n s e i n d i c i e l l e d ' u n s y s t m e d u 2e o r d r e a v e c

n = 1 rd/s e t = 0.5

E M I - R A B A T


% "

A N A L Y S E



75/193

R p o n s e i n d i c i e l l e d ' u n d e u x i m e o r d r e

v e r s u s e m p l a c e m e n t s d e s p l e s

E

T

Im

Re

E

T

Im

Re

y(t)

tE

T y(t)

tE

T

E

T

d o u b l e Im

Re

E

T

d o u b l e Im

Re

y(t)

tE

Ty(t)

tE

T

E M I - R A B A T


% #

A N A L Y S E



76/193

R p o n s e d ' u n d e u x i m e o r d r e u n e r a m p e


R(s) =1

s2

Y(s) = 2n

s2(s2 + 2ns + 2n)

y(t) = t 2n

+1

n

1 2entsin

nt

1 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

temps en secondes

reponsey

(t)

Reponse A Une Rampe - Deuxieme Ordre

R p o n s e d ' u n s y s t m e d u

2e

o r d r e u n e r a m p e

a v e c n = 1rd/s e t = 0.5

E M I - R A B A T


% $

A N A L Y S E



77/193

P e r f o r m a n c e s d ' u n s e c o n d o r d r e

E

TIm

Re

d

d

n

= n

T

' dd

dd

dd

dds

r a c i n e s c o m p l e x e s :

p1,2 = n jn1 2p1,2 = jd

p u l s a t i o n d e s o s c i l l a t i o n s : d = n

1 2

f a c t e u r d ' a m o r t i s s e m e n t : = n

c o n s t a n t e d e t e m p s :

= 1n

t e m p s d e r p o n s e : tr = 3 =3

n( 5 % )

d p a s s e m e n t : d = 100e

1

2

t e m p s d e p i c : tp =

n

12

m a x i m u m d e l a r p o n s e : y(tp) = 1 + e

1

2

0 20 40 60 80 100 1200

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Amortissement zeta

depassementd

Depassement (d) vs Amortissement (zeta)

D p a s s e m e n t v e r s u s

E M I - R A B A T


% %

A N A L Y S E



78/193

I m p a c t d e l ' a d d i t i o n d ' u n p l e

F(s) =2n

(s2 + 2ns + 2n)(1 + s)=

1

(s2 + s + 1)(1 + s)

p1,2 = n jn

1 2 = 12

j

3

2

(1 + s) = (1 + 10s)

(1 + 0.3s)

(1 + 2s)

=

p3 =

1

= 0.1 c a s 1

3.33 c a s 2

0.5 c a s 3

E

T

E

T

E

T

Re

Im

Re

Im

Re

Im

p2

p1

p3p2

p1

p3p2

p1

p3

1 2 3

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

temps en secondes

reponse

y(t)

AJOUT - POLE

cas 1

cas 2

cas 3

I m p a c t d ' u n p l e a j o u t s u r l a r p o n s e d ' u n s y s t m e d e s e c o n d o r d r e ,

( 1 )p3 = 3, ( 2 ) p3 = .5, ( 3 ) p3 = .1

E M I - R A B A T


% &

A N A L Y S E



79/193

I m p a c t d e l ' a d d i t i o n d ' u n z r o

F(s) =2n(s + 1)

s2 + 2 ns + 2n=

s + 1

s2 + s + 1

p1,2 = n jn

1 2 = 12

j

3

2

(s + 1) = (1 + 5s)

(1 + 0.3s)

(1 + 2s)

=

z1 =

1

= 0.2 c a s 1

3.33 c a s 2

0.5 c a s 3

E

T

E

T

E

T

Re

Im

Re

Im

Re

Im

p2

p1

z1p2

p1

z1

p2

p1

z1f f f

1 2 3

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

temps en secondes

reponse

y(t)

AJOUT - ZERO

cas 3

cas 2

cas 1

I m p a c t d e l ' a d d i t i o n d ' u n z r o , ( 1 ) z = 3

, ( 2 ) z = 0.5

, ( 3 ) z = 0.2

E M I - R A B A T


% '

A N A L Y S E



80/193

P l e s d o m i n a n t s

F(s) =Y(s)

R(s)=

0.4(s + 10)

(s2 + s + 1)(s + 4)

E

TIm

Re

f

3

2

32

10 4 .5

Y(s) =1

s 0.046

s + 4+

0.60781os + 0.5 +j0.867

+0.60781o

s + 0.5 j0.867

F o n c t i o n d o m i n a n t e : F(s) = 1(s2 + s + 1)

0 5 10 150

0.5

1

1.5

temps en secondes

reponse

y(t)

POLES DOMINANTS

P l e s d o m i n a n t s d e l a f o n c t i o n F(s) = 0.4(s+10)(s2+s+1)(s+4)

E M I - R A B A T


&

A N A L Y S E



81/193

E x p r e s s i o n g n r a l e d e l ' e r r e u r s t a t i q u e

E+

Ec

E(s)

E

+

+

c

c

E E

'

T

R(s)

P(s)

~

~s C(s)

G1(s)

G(s)Y(s)

H(s)

Y(s) = C(s)G(s)E(s) + G1(s)G(s)P(s)

E(s) = R(s) Y(s)H(s)T(s) = C(s)G(s)H(s)

P r c i s i o n g l o b a l e :

E(s) =1

1 + T(s)R(s) T(s)

1 + T(s) G1(s)

C(s)P(s)

E(s) = ER(s) + EP(s)

e() = lims0

sE(s)

e() = lims0

sER(s) + lims0

sEP(s)

E M I - R A B A T


&

A N A L Y S E



82/193

P r c i s i o n r e l a t i v e l ' e n t r e p r i n c i p a l e , P(s) = 0

T(s) = C(s)G(s)H(s) =K

sl1 + a1s + + amsm1 + b1s + + bnsn

ER(s) =1

1 + T(s)R(s) =

1

1 + Ksl

1+a1s++amsm1+b1s++bnsn

1

sp

eR() = lims0

sER(s) lims0

1sp1[1 + Ksl]

t y p e l d u c h e l o n r a m p e a c c l e r a t i o n

s y s t m e eR() =1

1+CpeR() =

1Cv

eR() =1

Ca

0

11+K

1 0 1K

2 0 0 1K

E M I - R A B A T


&

A N A L Y S E



83/193

P r c i s i o n r e l a t i v e l a p e r t u r b a t i o n , R(s) = 0

Ec

Ep(s)

E

+

+

c

c

E E

'

T

P(s)

~ ~s C(s)

G1(s)

G(s)

Y(s)

H(s)

T(s) = C(s)G(s)H(s)

EP(s) =T(s)

1 + T(s)

G1(s)

C(s)P(s)

EP(s) =G(s)G1(s)H(s)

1 + T(s)P(s)

eP() = lims0 sEP(s)

E M I - R A B A T


& !

A N A L Y S E



84/193


85/193

O b j e c t i f s :

t u d i e r l a s t a b i l i t d e n ' i m p o r t e q u e l s y s t m e l i - n a i r e i n v a r i a n t

T r a c e r l e l i e u d e s r a c i n e s d e n ' i m p o r t e q u e l l e s t r u c - t u r e d e c o m m a n d e q u a n d u n o u p l u s i e u r s p a r a -

m t r e s v a r i e n t

U t i l i s e r l e l i e u d e s r a c i n e s p o u r x e r l e s p a r a m t r e s d ' u n c o r r e c t e u r d o n n s e l o n d e s s p c i c a t i o n s i m -

p o s e s

S o m m a i r e :

R s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e C r i t r e a l g b r i q u e d e R o u t h - H u r w i t z L i e u d e s r a c i n e s

E M I - R A B A T


& #

S T A B I L I T E T

L I E U D E S R A C I N E S


86/193

S t a b i l i t d e s s y s t m e s l i n a i r e s

E E E+

'

TR(s)

~ G(s)

H(s)

Y(s)

B o u c l e o u v e r t e :

T(s) = G(s) H(s)

B o u c l e f e r m e :

F(s) =G(s)

1 + H(s)G(s)


1 + T(s) = 0

Re

Imd o m a i n e

d e s t a b i l i t

d o m a i n e

d ' i n s t a b i l i t

E

T

E M I - R A B A T


& $

S T A B I L I T E T



87/193

M t h o d e s d ' t u d e s d e l a s t a b i l i t

1 . R s o l u t i o n d e l ' q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e :

L o r s q u e l ' o r d r e d e l ' q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e n e

d p a s s e p a s d e u x .

S i t o u t e s l e s r a c i n e s s o n t p a r t i e s r e l l e s n -

g a t i v e s , l e s y s t m e e s t s t a b l e .

S i a u m o i n s u n e d e s r a c i n e s e s t p a r t i e r e l l e

p o s i t i v e , l e s y s t m e e s t i n s t a b l e .

2 . U t i l i s a t i o n d u c r i t r e d e R o u t h :

L ' o r d r e d e l ' q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e e s t s u p -

r i e u r d e u x .

L ' q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e c o n t i e n t d e s p a r a -

m t r e s v a r i a b l e s .

3 . U t i l i s a t i o n d u l i e u d e s r a c i n e s :

V o i r l ' v o l u t i o n d e s p l e s d u s y s t m e e n b o u c l e

f e r m e l o r s q u ' u n o u p l u s i e u r s p a r a m t r e s v a -

r i e n t .

D d u i r e l e s p a r a m t r e s d u c o r r e c t e u r q u i a s -

s u r e l e s s p c i c a t i o n s i m p o s e s .

E M I - R A B A T


& %

S T A B I L I T E T



88/193

C r i t r e d e R o u t h - H u r w i t z

P r o c d u r e :

R e m p l i r l e t a b l e a u d e R o u t h - H u r w i t z p a r t i r d e l ' q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e

V o i r l e n o m b r e d e c h a n g e m e n t d e s i g n e d e l a 1rec o l o n n e d ' u n e l i g n e u n e a u t r e d u t a b l e a u

C o n c l u r e s u r l a s t a b i l i t e n s e b a s a n t s u r l a 1re c o l o n n e

A n a l y s e :

L ' a b s e n c e d e c h a n g e m e n t d e s i g n e d a n s l a 1re c o l o n n e i n d i q u e q u e l e s y s t m e e s t s t a b l e

L ' e x i s t e n c e d ' a u m o i n s u n c h a n g e m e n t d e s i g n e d a n s l a 1re c o l o n n e i n d i q u e q u e l e s y s t m e e s t i n -

s t a b l e

E M I - R A B A T


& &

S T A B I L I T E T



89/193

T a b l e a u d e R o u t h - H u r w i t z


1 + T(s) = ansn + an1sn1 + + a1s1 + a0 = 0

sn an an2 an4 sn1 an1 an3 an5

sn2 b1 b2 b3

sn3 c1 c2 c3

sn4 d1 d2 d3 . . . . s0 . . .

b1 =an1an2anan3

an1 ; b2 =an1an4anan5

an1

c1 =b1an

3

an

1b2

b1 ; c2 =b1an

5

b3an

1

b1

. . . ; . . .

E M I - R A B A T


& '

S T A B I L I T E T



90/193

C a s p a r t i c u l i e r s

U n d e s p i v o t s e s t g a l z r o T o u s l e s t e r m e s d ' u n e l i g n e s o n t n u l s S y s t m e s a v e c r e t a r d

P i v o t g a l z r o

1 . R e m p l a c e r s p a r 1x

d a n s l ' q u a t i o n

c a r a c t r i s t i q u e e t r e f o r m e r l e t a b l e a u

2 . M u l t i p l i e r l ' q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e

p a r (s + 1) e t r e f o r m e r l e t a b l e a u

3 . R e m p l a c e r l e z r o p a r e t p a s s e r

l a l i m i t e

E x e m p l e s :

s4 + 2s2 + s + 4 = 0

s4 + 2s3 + 4s2 + 8s + 10 = 0

E M I - R A B A T


'

S T A B I L I T E T



91/193

T o u s l e s t e r m e s d ' u n e l i g n e s o n t n u l s

1 . F o r m e r l ' q u a t i o n a u x i l i a i r e p a r t i r d e l a l i g n e

p r c d e n t e

2 . P r e n d r e s a d r i v e p a r r a p p o r t

s

3 . L e s c o e c i e n t s d e l a d r i v e d e v i e n d r o n t l e s n o u -

v e a u x c o e c i e n t s d e l a l i g n e i n i t i a l e m e n t n u l l e

4 . t u d i e r l a s t a b i l i t s u r l e n o u v e a u t a b l e a u o b -

t e n u

E x e m p l e :

s3 + 3s2 + 4s + 12 = 0

E M I - R A B A T


'

S T A B I L I T E T



92/193

S y s t m e s a v e c r e t a r d p u r

A p p r o x i m e r es p a r l ' u n e d e s q u a t i o n s s u i v a n t e s :

1 : es = 1 s + 2s22!

3s33!

+ . . . 1 s + 2s22!

2 : es = 11s+2s2

2!

3 : es = 1s2

1+ s2P a d 1er o r d r e

4 : es = 1(1+s

p)p

p N

c r i r e l a n o u v e l l e q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e

R e f o r m e r l e t a b l e a u d e R o u t h t u d i e r l a s t a b i l i t

E x e m p l e :

G(s) = es

s2(s2 + 2s + 2)

C(s) = Kp

E M I - R A B A T


'

S T A B I L I T E T



93/193


94/193

D e g r d e s t a b i l i t

E n v a l e u r a b s o l u e , c ' e s t l a p l u s p e t i t e p a r t i e r e l l e p a r m i t o u t e s c e l l e s d e s r a c i n e s d e

l ' q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e

I l r e p r s e n t e u n e m e s u r e d e l a r a p i d i t d ' a m o r t i s - s e m e n t d u r g i m e t r a n s i t o i r e

E E E

T T TIm Im Im

Re Re Reer er er

donne donne et donnes

ddd

dd

dd

d

E x e m p l e :

s3 + 3s2 + 3s + 5 = 0

D e g r d e s t a b i l i t g a l 2 ? (s 2)3 + 3(s 2)2 + 3(s 2) + 5 = 0

s3 s2 + 5s + 3 = 0 = 0 L e t e s t p a r R o u t h i n d i q u e q u e N O N

E M I - R A B A T


' "

S T A B I L I T E T



95/193

L i e u d e s r a c i n e s

O b j e c t i f :

t u d i e r l e C o m p o r t e m e n t d e s r a c i n e s d e

l ' q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e , o u p l e s d u s y s t m e

e n b o u c l e f e r m e , q u a n d u n o u p l u s i e u r s

p a r a m t r e s v a r i e n t

E x e m p l e :

E E E E+

T

R(s)

} K 1s+1 Y(s)

F(s) =K

s + 1 + K=

s =

1 + K

E

T

j

K

K = 0'

1

K 0 1 2 s 1 - 2 - 3

E M I - R A B A T


' #

S T A B I L I T E T



96/193

D n i t i o n :

U n p o i n t M d e c o o r d o n n e s (, ) a p p a r t i e n t a u l i e u d e s r a c i n e s s i s o n a x e s = +j

v r i e l ' q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e :

1 + T(s) = 0 T(s) = 1

C o n d i t i o n d ' a m p l i t u d e :

|T(s)| = |1| = 1 C o n d i t i o n d ' a n g l e :

arg(T(s)) = arg(1) = (2q + 1), q = 0, 1, 2,...


1 + T(s) = 0

1 + Km

i=1 (s + zi)ni=1 (s + pi)

= 0

n : n o m b r e d e p l e s d u s y s t m e

m : n o m b r e d e z r o s d u s y s t m e

K : g a i n d u s y s t m e

zi : z r o s d e T(s)

pi : p l e s d e T(s)

E M I - R A B A T


' $

S T A B I L I T E T



97/193

R g l e s d u t r a c d u l i e u d e s r a c i n e s

R g l e 1 : N o m b r e d e b r a n c h e s d u l i e u

R g l e 2 : S y m t r i e d u l i e u d e s r a c i n e s

R g l e 3 : D p a r t e t a r r i v e d e s b r a n c h e s

R g l e 4 : A s y m p t o t e s d e s b r a n c h e s i n n i e s

R g l e 5 : B r a n c h e s d e l ' a x e r e l a p p a r t e n a n t a u

l i e u

R g l e 6 : T a n g e n t e d u l i e u e n u n p o i n t d e d p a r t

o u d ' a r r i v e ( n i )

R g l e 7 : I n t e r s e c t i o n d u l i e u a v e c l ' a x e r e l

R g l e 8 : I n t e r s e c t i o n d u l i e u a v e c l ' a x e

i m a g i n a i r e

E M I - R A B A T


' %

S T A B I L I T E T



98/193

E x e m p l e s

1 .

1 +K

s(s + 5)= 0

2 .

1 +K

s(.1s + 1)(.2s + 1)= 0

3 .

1 + Ks + 10

s(s + 5)= 0

4 .

1 +K

s(s2 + 6s + 13)= 0

5 .

1 +2K

s(s + 1)(s + 2)= 0

E M I - R A B A T


' &

S T A B I L I T E T



99/193

L i e u d e s r a c i n e s a v e c p l u s i e u r s p a r a m t r e s

E E E E+

T

R(s)

~ kp + kIs 31+0.2s

Y(s)


1 +3(kps + kI)

s(0.2s + 1)= 0

t a p e 1 :

kI = 0 = 1 + kp 30.2s + 1

= 0

t a p e 2 :

kI= 0kp = fixe = 1 + kI

3

s(0.2s + 1 + 3kp)

= 0

E M I - R A B A T


' '

S T A B I L I T E T



100/193

L i e u d e s r a c i n e s a v e c r e t a r d p u r


1 + K3es

0.2s + 1= 0, = 1

A p p r o x i m a t i o n u t i l i s e :

es =1

(1 + sp

)pp N

1er c a s : p = 1

es =1

1 + s= 1 + K 3

(s + 1)(0.2s + 1)= 0

2e c a s : p = 5

es =3125

(s + 5)5

=

1 + K

9375

(s + 5)5

(0.2s + 1)

= 0

E M I - R A B A T


S T A B I L I T E T



101/193

E x e m p l e d ' t u d e d e s e n s i b i l i t

B u t :

t u d i e r l a v a r i a t i o n d e s p l e s d ' u n s y s t m e

d o n n e n b o u c l e f e r m e s u i t e

u n e v a r i a t i o n d e g a i n K


1 + 2Ks(s + 5)

= 0

s2 + 5s + 2K = 0

D r i v e p a r r a p p o r t K :

2sds

dK

+ 5ds

dK

+ 2 = 0

ds

dK= 2

2s + 5

L a s e n s i b i l i t e s t :

SsK =ds

s K

dK= 2K

s(2s + 5)

si K = 3,l e s p l e s s o n t

= s1 = 2 et s2 = 3

E M I - R A B A T


S T A B I L I T E T



102/193

E x e m p l e d ' t u d e d e s e n s i b i l i t

s1 = 2 = Ss1=2K = 232(2(2)+5) = 3 s2 = 3 = Ss2=3K = 233(2(3)+5) = 2

S i l e g a i n K v a r i e d e 10% KK

= 0.1

l a s e n s i b i l i t e s t :

s|s1=2 = s1Ss1K Ss1KK

K= (2)(3)(0.1) = 0.6

s1 = s1 + s|s1=2 = (2) + (0.6) = 2.6

s|s2=3 = s2Ss2KK

K= (3)(2)(0.1) = +0.6

s2 = s2 + s|s2=3 = (3) + (0.6) = 2.4

E

Tj

c c 3 2.4

2.6 2

s1

s2

E M I - R A B A T


S T A B I L I T E T



103/193

C H A P I T R E 6

A N A L Y S E

F R Q U E N T I E L L E

E M I - R A B A T


!



104/193

O b j e c t i f s :

T r a c e r l e s d i a g r a m m e s d e B o d e , d e B l a c k e t d e N y q u i s t p o u r n ' i m p o r t e q u e l s y s t m e

t u d i e r l a s t a b i l i t d a n s l e d o m a i n e f r q u e n t i e l

D t e r m i n e r l e s p e r f o r m a n c e s d e s s y s t m e s ( f a c t e u r

d e s u r t e n s i o n , b a n d e p a s s a n t e , m a r g e d e p h a s e ,

m a r g e d e g a i n . . . )

D t e r m i n e r l e s c a r a c t r i s t i q u e s d e l a f o n c t i o n d e t r a n s f e r t e n b o u c l e f e r m e e n s e s e r v a n t d e s

a b a q u e s

S o m m a i r e :

D i a g r a m m e s d e B o d e , d e B l a c k e t d e N y q u i s t

S t a b i l i t d e N y q u i s t A b a q u e s d e H a l l e t B l a c k - N i c h o l s P e r f o r m a n c e s d e s s y s t m e s

E M I - R A B A T


"

A N A L Y S E F R Q U E N T I E L L E


105/193

F o r m e d e l a r p o n s e

E ER(s) G(s) Y(s)

r(t) = sin(t) = T r a n s f o r m e = R(s) = s2 + 2

Y(s) = R(s)G(s)

y(s) = K1s j +

K2

s +j+

0 si t k1

s + p1+

k2

s + p2+ . . .

y(t) = K1ejt + K2ejt

K1 =

s +jG(s)|sj = j 1

2M()ej()

K2 =

s j G(s)|sj = j1

2M()ej()

y(t) = M()sin(t + ())

M() = |G(j)|() = argG(j)

E M I - R A B A T


#



106/193

E x e m p l e

E ER(s)

ks+1

Y(s)

G(s) = Y(s)R(s)

=k

s + 1

G(j) = Y(j)R(j)

=k

j + 1

r(t) = sin(t) =

Y(j) =

s2 + 2 k

j + 1

|G(j)| = k22 + 1

() = arctan()

y(t) =k

22 + 1sin(t

arctan())

E M I - R A B A T


$



107/193

D i a g r a m m e d e B o d e

G(s) = Ksl1 + b1s + . . . + bmsm

1 + a1s + . . . + ansn

c h e l l e s e m i - l o g a r i t h m i q u e :

M() = 20log10|G(j)| , (db)() = arg(G(j)) , (o)

B a s s e s f r q u e n c e s :

G(s) =K

sl

M() = 20log10(K) (20l)log10()()

= l

2

H a u t e s f r q u e n c e s :

G(s) =Kbms

m

ansn+l

M() = 20log10Kbman 20(n + l m)log10()

() = (n + l m)2

E M I - R A B A T


%



108/193

D i a g r a m m e d e B o d e v e r s l e s b a s s e s

e t l e s h a u t e s f r q u e n c e s

0o

0

0o

0

0o

0

0o

0

0o

0

0o

0

0o

0

c c c

|M|db

|M|db |M|db |M|db

|M|db |M|db |M|db

ddd

dd

dd

eeeeeee

fffffff

dd

dd

eeee

ffff

r r r

,o

,o ,o ,o ,o

,o ,o

90o 180o 270o

90o 180o 270o

20 40 60

20 40 60

l = 0

n + l m = 1

l = 1 l = 2

n + l m = 2

l = 3

n + l m = 3

B a s s e s f r q u e n c e s

H a u t e s f r q u e n c e s

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E E

E

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

d d d

E M I - R A B A T


&



109/193


d ' u n l m e n t p r o p o r t i o n n e l

G(j) = K, K > 0

|G(j)| = Karg(G(j))

= 0

o

M() = 20log10|G(j)| = 20log10(K) , (db)() = arctan

0

K

= 0o

M, db

20log10K

0

0

,o

E

E

T

T

E M I - R A B A T


'



110/193


d ' u n l m e n t i n t g r a l

G(j) =1

j

|G(j)| = 1j

= 1() = arg(j) = 90o

M() = 20log10

1

= 20log10() , (db)

() = 90o

dd

ddd

dd

M , d b

c

,o

90o

20 db/dec

rd E

E

T

T

E M I - R A B A T




111/193


d ' u n l m e n t d i r e n t i e l

G(j) = j

|G(j)| = () = +

2

M() = 20log10() , (db)

() = +90o

M , d b

c

,o

+90o

+20 db/dec

rd E

E

T

T

E M I - R A B A T




112/193


d ' u n l m e n t d u p r e m i e r o r d r e

G(j) =1

1 +j

M() = 20log10

1 + 22

() = arctan()

1 1M() = 0 db M() = 20log(), db

() = 0o () = 90o

M , d b

c

c

dd

dd

dd

,o

90o

20 db/dec

r

r

d

d E

E

T

T

E M I - R A B A T




113/193


d e l ' l m e n t 1 +j

G(j) = 1 +j

M() = 20log10

1 + 22

() = arctan()

1 1M() = 0 db M() = 20log() db

() = 0o () = 90o

M , d b

c

c

,o

+90o

+20 db/dec

r

r E

E

T

T

d

d

E M I - R A B A T


!



114/193

D i a g r a m m e d e B o d e a s y m p t o t i q u e

d ' u n l m e n t d u s e c o n d o r d r e

G(j) =2n

1 + 2n(j) + (j)2=

11 22n

+j2 n

M()

= 20log

101 2

2n2

+ 422

2n

() = arctan

2 n

1 22n

n nM() = 0 db M() = 40log10

n

db

() = 0o () = 180o

M , d b

c c

eeeeee

180o

40 db/decr r

,o

E E

T T

d d

E M I - R A B A T


"



115/193

D i a g r a m m e d e B o d e r e l

d ' u n l m e n t d u s e c o n d o r d r e

n x e

d i m i n u e = Mp a u g m e n t e = b a u g m e n t e a u g m e n t e = Mp d i m i n u e = b d i m i n u e

x e

n d i m i n u e = Mp i n c h a n g = b d i m i n u e n a u g m e n t e = Mp i n c h a n g = b a u g m e n t e

10-1

100

101

10-2

10-1

100

101

amplitude

Omega = fixe et Zeta = variable

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

310

-10

10-5

100

105

frequences

amplitude

Omega = variable et Zeta = fixe

D i a g r a m m e d e B o d e d ' u n l m e n t d u 2e o r d r e v s

e t n

E M I - R A B A T


#



116/193


d e l ' l m e n t 1 +j2 n + (j n )2

G(j) = 1 +j2

n+ (j

n)2 = (1

2

2n)2 +j2

n

M() = 20log101 2

2n

2

+ 422

2n

() = arctan

2 n

1 22n

n nM() = 0 db M() = +40log10

n

db

() = 0o () = +180o

M, db

c c

,o

+180o

+40 db/decr rd dE E

T T

E M I - R A B A T


$



117/193


d ' u n s y s t m e d ' o r d r e q u e l c o n q u e

G(s) = K1s + 1

(2s + 1)(3s + 1),

1

2 1 K < 43

E M I - R A B A T


! "



135/193

C r i t r e d e s t a b i l i t d e N y q u i s t

s i m p l i

N y q u i s t

Re

Im

123

0

E

T

E

T

0

B l a c k

M,

db

,o

180oK

ss' E

123

ee

B o d e

s

s

M, dbrrrrj

ff

ffffff

ee

eeeeee

dd

ddd

dd

d

rrrrjd

ddd

3

0

,o

180o

21

e

e

E

E

T

T

1 : s t a b l e

2 : l a l i m i t e

d e s t a b i l i t

3 : i n s t a b l e

E M I - R A B A T


! #



136/193

A b a q u e d e H a l l

O b j e c t i f : D t e r m i n e r l a r p o n s e f r q u e n t i e l l e e n

b o u c l e f e r m e p a r t i r d u d i a g r a m m e d e N y q u i s t

o b t e n u p o u r l a b o u c l e o u v e r t e

Mj

Mi

u ui

j

Re

Im

Re

Im

h h E

T

E

T

P r o c d u r e :

1 . j u x t a p o s e r l e d i a g r a m m e d e N y q u i s t d u s y s t m e

e n b o u c l e o u v e r t e s u r l ' a b a q u e

2 . n o t e r l e s v a l e u r s d e s c o u r b e s q u i g a i n e t

q u i p h a s e p a s s a n t p a r c h a q u e p o i n t

d ' i n t e r s e c t i o n

3 . c o n s t r u i r e l e d i a g r a m m e d e N y q u i s t d u s y s t m e

e n b o u c l e f e r m

E M I - R A B A T


! $



137/193

A b a q u e d e B l a c k - N i c h o l s

O b j e c t i f : D t e r m i n e r l a r p o n s e f r q u e n t i e l l e e n

b o u c l e f e r m e p a r t i r d u d i a g r a m m e d e B l a c k o b -

t e n u p o u r l a b o u c l e o u v e r t e

G a i n e n d b

P h a s e e n

o

150o90o

30o

2 db

6 db

24

18

12

60

+6

+12

+18

210180150120 90 60 30 0

T

'

P r o c d u r e :

1 . j u x t a p o s e r l e d i a g r a m m e d e B l a c k d u s y s t m e e n b o u c l e

Régulation Industrielle - Benjelloun

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