Cour Regulation Industrielle

Cours Régulation IndustriellePar S. DOUBABI

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Chapitre1 : Introduction à la régulationindustrielle

1- Qu’est-ce que la régulation industrielle ?

C’est l’ensemble des techniques utilisées visant à contrôler une grandeurphysique de telle sorte que celle-ci garde constamment sa valeur ou reste prochede la valeur désirée, quelles que soient les perturbations qui peuvent subvenir.

Pour réguler un système physique, il faut obligatoirement les trois opérationsfondamentales suivantes :

i- Mesure : mesurer la grandeur réglée avec un capteur/transmetteur.ii- Décision : en se basant sur la mesure, le régulateur doit élaborer le

signal de commande qui permet de maintenir la grandeur réglée à lavaleur désirée.

iii- Action : suite à la décision du régulateur, l’actionneur agit sur lagrandeur réglée.

Exemple : Régulation de niveau d’eau dans un réservoir

Figure 1.1 : Schéma de principe d’une régulation de niveau

RégulateurConsigne(niveau référence)

Niveau mesuré

Commande

eau

Actionneur

Capteur deniveau

Réservoir

Grandeurrégulée

(niveau d’eau)

Perte


2

On peut représenter une régulation sous forme de schéma bloc de la manièresuivante :

Figure 1.2 : Schéma bloc d’une boucle de régulation

2- Régulation et asservissement

Dans une régulation, on s’attachera à limiter les variations de la grandeur régléeautour d’une consigne constante lorsque le système est soumis à desperturbations.Pour d’autre systèmes, la perturbation la plus importante est la consigne ellemême. En effet, la consigne peut varier en fonction du temps et par conséquentla grandeur réglée doit suivre les variations de la consigne. On parle, dans cecas, d’un asservissement.

3- Transmission

Deux types de transmission analogique sont couramment utilisés pour lacommunication entre les différents instruments des systèmes de régulationindustrielle. Transmission pneumatique : utilisée dans les industries pétrolières,

pétrochimiques, sidérurgiques…Le signal pneumatique est une pression analogique (air comprimé).Le transmetteur convertit la grandeur mesurée (pression, débit, niveau…)en un signal analogique pneumatique normalisé, variable de 200 à 1000millibars (mb) soit 3-15 psi.La représentation courante de cette transmission dans le schéma deprocédé et d’instrumentation (Process and Instrument Diagram, P&ID)est un trait continu barré comme indiqué sur la figure 1.4.

Figure 1.4 : Schéma d’une transmission pneumatique

transducteuur Régulateur Actionneur Procédé

Capteur /transmetteur

ConsigneEcart

Commandeu

Grandeurmesurée

+-

Grandeurréglée

Perturbation


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Transmission électrique : le signal électrique utilisé est une intensité ( ouune tension) analogique normalisée. Plusieurs échelles sont employées :intensité : 4-20 mA ; 10-50 mA,tension : 0-10V ; 1-11V ; 2.5-12.5V.Le signal intensité, d’échelle 4-20mA, est le plus souvent admis commenormalisée. La représentation courante de la transmission électrique, dansles P&ID, est une ligne en pointillé comme il est représenté sur la figuresuivante :

……………….

Figure 1.5 : Schéma d’une transmission électrique

Transmission numérique : En numérique, les signaux sont codés enbinaire sur 8, 16, 32 ou 64 bits en liaison série ou parallèle. Lareprésentation courante de la transmission numérique, dans les P&ID,est un trait discontinu.

---------------------

Figure 1.6 : Schéma d’une transmission numérique

Souvent, il est nécessaire de faire une transformation du signal intensité en unsignal pneumatique. A cet effet, on utilise un transducteur qui permet deconvertir le signal électrique normalisé en un signal pneumatique normalisé.

4- Schéma de procédé et d’instrumentation

Dans le schéma de procédés et d’instrumentation (P&ID), les instrumentsutilisés sont représentés par des cercles entourant des lettres définissant lagrandeur physique réglée et leurs fonctions. La première lettre définie lagrandeur physique réglée, les suivants la fonction des instruments. Un nombreindiquant le numéro de la boucle peut s’ajouter à l’intérieur du cercle.

Exemple :

Transmetteur de pressionPT

Pression Transmetteur


4

Transmetteur de niveau

Transmetteur de débit

Indicateur de température

Régulateur Indicateur de pression

Régulateur Indicateur de niveau

Régulateur Indicateur de débit

Régulateur Indicateur de température

Signification de quelques lettres :

1ère lettre Lettres suivantesA Analyse AlarmeC Conductivité Régulation (Control)E Tension Elément primaireF Débit (Flow rate) -I Courant IndicationJ Puissance -L Niveau (Level) Lumière (Light or Low)P Pression -S Vitesse (Speed) Commutateur (Switch)T Température TransmetteurV Viscosité Vanne (Valve)

Pression

PIC10

Régulateur

Numéro de la boucle

Indicateur

FT

TI

LT

LIC

FIC

TIC


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Exemple : Régulation de niveau

Reprenons le schéma de la figure 1.2. Ce schéma devient en utilisant le schémade procédé et d’instrumentation (P&ID) :

Figure 1.7 : Schéma de procédé et d’instrumentation d’une régulation de niveaud’eau dans un réservoir

Vanne de régulation avec positionneur électro-pneumatique.

Pompe centrifuge.

5- Régulateurs

Un régulateur est un organe qui reçoit la valeur d’une grandeur mesurée à partird’un transmetteur sous forme de signal pneumatique ou électronique standard, lecompare avec une consigne et génère un signal d’erreur, puis calcule et transmetun signal de commande fonction de l’erreur à un actionneur (vanne par exemple)qui agit sur le procédé dans le sens de la réduction du signal d’erreur. Lafonction d’erreur peut être simple ou obéir à un algorithme mathématiquecomplexe.

hLIC

1

LT1

Qe

Qs

hd


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5.1- Classification des régulateursLes régulateurs sont classés selon la nature de l’énergie qu’ils utilisent :

a- PneumatiqueIls sont utilisés dans l’industrie chimique du gaz, ne présentent pas de dangerd’explosion, de moins en mois utilisés car lents et encombrants, mais le poids dupassé est important car beaucoup d’installations sont encore en pneumatique.Sortie : 0,2 à 1 bar (3 à 15 psi).

b- ElectroniqueIls utilisent des signaux analogiques à base d’amplificateurs opérationnels.Sortie : 4 à 20 mA.

c- NumériqueActuellement, la plupart des régulateurs sont implantés dans les systèmes deconduite sous forme numérique, c'est-à-dire que la sortie du régulateur estcalculée à chaque cycle de traitement en fonction de la consigne et de la mesure.La technologie numérique permet d’avoir une grande souplesse : opérationarithmétique, auto ajustement des coefficients, possibilité d’émettre ou derecevoir des données.

Le PID reste le régulateur le plus utilisé et le mieux connu, et bien qu’implantésous forme numérique et avec de nombreuses améliorations, il se présente àl’utilisateur sous une forme très proche de la version initiale continue.

5.2 Aspects fonctionnels des régulateurs PID

A- Action proportionnelle

L’action proportionnelle consiste à générer une action qui varie de façonproportionnelle au signal d’erreur :

u(t) = u0 + Kc e(t) = u0 + Kc (yc(t) – y(t))

où : u(t) est la sortie du contrôleur,u0 est une valeur d’offset,Kc est le gain du contrôleur,yc(t) est la consigne,y(t) est la mesure de la variable à réguler.

La valeur de u0 peut être ajustée. Puisque u=u0 lorsque e=0, elle correspond à lavaleur nominale de l’action autour du point de fonctionnement. Dansl’implantation pratique, u0 est mesurée en % (de même que u). Sa valeur pardéfaut est fixée généralement à 50%.Le gain Kc est ajustable.


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La fonction de transfert d’un régulateur proportionnel est C(s) = cKE(s)U(s)

.

Un inconvénient inhérent au régulateur P est son incapacité à éliminer leserreurs en régime permanent, après un changement de point de consigne ou unevariation de charge.

B- Action Intégrale et Proportionnelle Intégrale

L’intérêt du régulateur intégral est qu’il permet d’éliminer l’erreur de régulationqui persistait avec un régulateur proportionnel seul.Le régulateur intégral est rarement utilisé seul, on l’utilise avec un régulateurproportionnel.La sortie d’un régulateur PI est de la forme :

u(t) = u0 + Kc (e(t) + τ)dτe(T1 t

0i )

La fonction de transfert du PI est :C(s) = )

siT1(1cK

E(s)U(s)

.

Problème de saturation de l’intégraleUn des problèmes du régulateur PI est le phénomène appelé saturation del’intégrale (reset-windup en anglais). Celui-ci se produit lorsque la sortie durégulateur atteint une limite physique de l’actionneur.

C- Action proportionnelle Dérivée

L’objectif de l’action dérivée est d’anticiper les variations à venir du signal demesure en appliquant une correction proportionnelle à sa vitesse de variation.La sortie d’un régulateur PD idéal est de la forme :

u(t) = u0 + Kp (e(t) +dt

de(t)Td )

où la constante Td est appelée temps de dérivée.

La fonction de transfert du PD est :

C(s) = s)T(1pKE(s)U(s)

d .

En pratique, il n’est pas possible de réaliser un régulateur PD idéal. On utilise enfait un module de dérivée filtrée :


8

C(s) = )T1

sT(1pKE(s)U(s)

dd

sN

.

Le réglage de la constante de filtrage Td/N permet d’amortir et de limiter lasortie du régulateur. Le coefficient N (5<N<100) correspond au gain du moduledérivée filtrée. En d’autres termes, le bruit de mesure ou les changements deconsigne sont amplifiés au plus par un coefficient N.

t0 t0

Tds1

t t

t0 t0

1t t

sN

d

dT

1

sT

N


9

D- Action proportionnelle Intégrale Dérivée

Les régulateurs rencontrés sur les installations industrielles combinent les effetsP, I et D. La sortie d’un régulateur PID mixte standard, avec filtrage de ladérivée calculée sur l’écart, est donc de la forme :

u(t) = u0 + Kp (e(t) + τ)dτe(T1 t

0i +Td D(t))

avec dtde(t)D(t)

dtdD(t)

NTd .

La fonction de transfert du PID standard est :

C(s) = )T1

sT1(1pKE(s)U(s)

dd

sN

sTi .

L’effet dérivé est destiné à accélérer la réponse du régulateur. Cetteaccélération n’est en général pas souhaitée lors des changements de consigne,mais seulement pour corriger une erreur due à une perturbation. C’est pour cetteraison qu’il est souvent possible d’utiliser une dérivée sur la mesure seule plutôtque sur l’erreur de régulation. L’effet dérivée n’existe donc que lorsque lamesure y(t) varie (perturbation) et non lorsque la consigne varie (changement depoint de consigne).

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Chapitre2 :Critère de performance d’une régulation1- Introduction

Lorsque l'automaticien doit réaliser la régulation d'un procédé ildoit d'abord étudier le procédé, et déterminer quelles sont sesgrandeurs caractéristiques : entrées, sorties, grandeurs d'état sipossible. En suite, il réalise un modèle du procédé. Ce peut être unmodèle de comportement ou un modèle de connaissance plus oumoins détaillé (intégrant la connaissance physique que l'on a duphénomène).


2

Dans un premier temps, il utilise ce modèle pour réaliser unesimulation afin d'examiner la justesse au sein d'un système decommande afin de tester les réponses du procédé simulé face à desvariations de consigne ou à des perturbations. Pour cela, il mettraau point une loi de commande qui peut être très simple lorsquel'organe de commande est un P, PI ou PID ou complexe.

Ce système de commande a pour but de permettre d'assurer lastabilité de fonctionnement du procédé, de minimiser l'influencedes perturbations et d'optimiser les performances globales.


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2- Schéma fonctionnel d'un système mono-variable réguléOn peut représenter une régulation de la manière suivante :

P1 : perturbation mesurableP2 : perturbation non mesurable.

Figure 2.1 : Schéma fonctionnel général d'un système régulé

CapteurTransmetteur

R(s)

Ym

Mesuretransmise

YSortie

TransducteurE(s)

CorrecteurC1(s)

AnticipateurC2(s)

CompensateurC3(s)

Ampli. depuissance Actionneur Processus

Fp(s)

Yc

Consigne

+-

Ecart

+

+

+ +

+ +CommandeU

F(s)

P1 P2


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L'objectif de la régulation est de garder la sortie y aussi voisineque possible de la consigne yc désirée, quelque soit lesperturbations.La sortie est mesurée à l'aide d'un capteur/transmetteur indiquantla valeur ym. Cette valeur est comparée à la consigne ("set-point")yc d'où l'écart consigne – mesure : yc - ym.La valeur de l'écart est fournie au correcteur principal qui a pourfonction de modifier la valeur de la variable commande u afin deréduire l'écart Le correcteur n'agit pas directement, mais à travers unamplificateur de puissance et un actionneur (vanne, moteur, …)auxquels il fournit une valeur u.


5

3- Relations entrées - sorties du système régulé

L'étude complète d'un système asservi exige de connaître les effetsde la commande non seulement sur la sortie du processus, maiségalement sur son entrée de réglage. Dans le premier cas, onconsidère les performances vis-à-vis de l'utilisation (temps deréponse, précision, ...) alors que dans le second cas, on s'intéresseplutôt aux contraintes que supporte le processus; en effet, desniveaux importants peuvent être atteints durant les régimestransitoires et provoquer ainsi la saturation des organes de réglage.Dans ces conditions, six fonctions de transfert décrivent lecomportement de l'ensemble tel que nous l'envisageons.


6

3.1 Fonctions de transfert sur la sortie réglée

Y(s) = P2(s) + Fp(s) P1(s) + F(s) [C3(s) P1(s) + C2(s) Yc(s)

+C1(s) (E(s) Yc(s) - R(s) Y(s))]

Les grandeurs d'entrée de ce système linéaire sont des variablesindépendantes de sorte que leurs effets peuvent être isolés(théorème de superposition)

- Fonction de transfert en poursuite

Hpour (s) = 0,0 21)

)()(

PPc sY

sY= )()()(1

)]()()()[(

1

12

sRsCsFsCsEsCsF

,


7

- Fonction de transfert en régulation

- Partie mesurable : Hreg1(s) = 0;01

2)

)()(

PycsPsY

= )()()(1)()()(

1

3

sRsCsFsCsFsFp

,

- Partie inconnue : Hreg2(s) = 0;02

1)

)()(

PycsPsY

= )()()(11

1 sRsCsF .

Constatations :

La fonction Hreg2(s) montre que le système est insensible àtoute perturbation si le produit F(s)C1(s)R(s) maintient unmodule de valeur très élevée sur une plage fréquentielleétendue.


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La partie mesurable (P1) des perturbations peuvent êtreéliminées s'il existe une fonction de transfert de compensation

C3(s) telle que : C3(s) = - )()(

sFsFp

.

La fonction de transfert Hpour(s) montre d'abord quel'anticipateur C2 et le transducteur E permettent un ajustementde la dynamique de poursuite indépendamment de celle desrégulations. En suite, le module de valeur élevée du produitF(s)C1(s)R(s) ne peut provenir que du processus F ou ducorrecteur C1 ou des deux simultanément.


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3.2 Fonctions de transfert sur la commande :

U(s) = C3(s) P1(s) + C2(s) Yc(s) + C1(s) [E(s) Yc(s) - R(s) ( P2(s) +

Fp(s)P1(s) + F(s) U(s))]

- Fonction de transfert en poursuite

L pour (s) = 0;0 21)

)()(

PPc sY

sU= )()()(1

)()()(

1

12

sFsRsCsEsCsC


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-Fonction de transfert en régulation

- Partie mesurable : Lreg1(s) = 0;0 2)

)(1)(

PycsPsU

= )()()(1)()()()(

1

13

sFsRsCsFsRsCsC p

- Partie inconnue : Lreg2(s) = 0;0 1)

)(2)(

PycsPsU

= )()()(1)()(

1

1

sFsRsCsRsC

En conclusion, on observe que les 6 fonctions ont un pointcommun : leur dénominateur directement lié aux caractéristiquesdu produit F(s)C1(s)R(s) que nous désignons désormais par :T(s)=F(s)C1(s)R(s) la fonction de transfert de la boucle.


11

4- Caractérisation des performances

L'analyse d'un système régulé (asservi) débouche toujours sur unschéma fonctionnel dont la structure générale est présentée sur lafigure suivante :

Figure 2.2 : Schéma fonctionnel d'un système régulé

TransducteurE(s)

CorrecteurC(s)

ProcessusF(s)

+-

Ecart

CommandeU

TransmetteurR(s)

++

YcConsigne

P

YSortie

Chaîne d’action (directe)G(s)

Chaîne de réaction (retour)


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Dans la plupart des cas, le compensateur et l'anticipateurn'apparaissent pas a priori, de sorte qu'une partie importante de lasynthèse de la loi de commande du processus s'effectue à partir duschéma relativement simplifié de la figure 3.2.

La fonction de transfert de boucle a pour expression :

T(s) = F(s) C(s) R(s) = K s1

)()(

sDsN

avec deg N(s) = m < deg D(s) = n, le nombre d'intégrateurs(classe du système), m le nombre de zéro, n + le nombre total depôles, K le gain de boucle.


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Les fonctions de transfert en BF sont données par des expressions(§3) toutes factorisées par 1/(1+T(s)). Il en résulte, pour cesexpressions, un dénominateur commun dont on démontre qu'il estle polynôme caractéristique du système.

Les racines du polynôme caractéristique sont les pôles obtenuslorsque le système est bouclé. Ils sont déterminants de ladynamique du système.

Pour un système bouclé, il suffit d'effectuer la somme dunumérateur et du dénominateur de la fonction de transfert T(s)pour retrouver ce polynôme caractéristique :

PC (s)= KN(s) + s D(s).


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Les pôles en BF sont soit complexes conjugués, soit réels etinduisent respectivement des modes de comportementoscillatoires ou apériodiques.

Quels sont les critères qui permettent de définir le cahier descharges d'un système asservi ?

4.1- Stabilitéa- Définition

Un système est déclaré stable lorsque, soumis à une actionextérieure fugitive, il revient dans son état initial.


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Le système asservi doit être stable, en d'autres termes les racinesdu polynôme caractéristique (pôles de sa fonction de transfert de laboucle) doivent être à partie réelle négative, donc se situent dans lapartie gauche du plan complexe (Re, Im).

Figure 3.3 : Pôles stables

Im

Re


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- Détermination des conditions de stabilité : Les méthodes du lieu des pôles sont générales sans restriction

d'application. De plus, elles renseignent directement sur lanature du ou des modes instables, mais il est souhaitable dedisposer d'un outil logiciel pour la mise en œuvre. Le critère de Routh Le critère de revers Le critère de Nyquist

En présence d'un retard on utilise la formule de Padé pourapprocher efficacement l'effet d'un retard :

e Ts 22

121

2212

1

5,015,01

sTTssTTs

.


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Cette approximation est très suffisante pour évaluer les conditionsde stabilité.

b- Degré de stabilité

Un système stable exhibe un comportement transitoire : lent s’il possède un pôle réel trop proche de l’origine, oscillatoire mal amorti s’il possède une paire de pôles

complexes conjugués proches de l’axe des imaginaires.

Ainsi, la stabilité d’un système ne veut pas toujours dire uncomportement satisfaisant.Un comportement convenable exige non seulement que les pôlesdu système aient tous une partie réelle négative mais en plus qu’ilssoient situés suffisamment loin de l’axe des imaginaires purs.


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Ces considérations justifient l'ajout d'une zone d'exclusion, définiepar une droite verticale d'abscisse -3/TM signifiant que les pôlesréels les plus lents assurent chacun un régime transitoire d'unedurée maximale égale à TM.

Figure 3.4 : Marge de stabilité

Re

Im

-3/TM

Pôlesdominants


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La marge de stabilité absolue, fixée à =3/TM, est respectée enrecherchant les conditions de stabilité après avoir effectué lechangement de variable suivant: s s-TM : correspond à la durée maximale du régime transitoire despôles réels les plus lents ou des pôles complexes conjuguéssuffisamment amortis .

La méthode des lieux des pôles ou le critère de Routh sont alorsappliqués à T (s)=T(s-).


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c- AmortissementA une paire de pôles complexes conjugués correspond au niveaude la réponse indicielle du système, un terme oscillatoire de laforme : eat sin(bt+).Le facteur sin(bt+) a une période de 2/b secondes.

La condition de bonne stabilité est que les pôles complexes nesoient pas situés dans la zone du plan comprise entre l’axeimaginaire et les deux demi-droites faisant avec lui un angledonné.


21

Figure 3.5 : Amortissement minimal

Re

Im

-3/TM


22

Prescrire une marge de stabilité pour le système linéaire, c’estchoisir les réels 3/TM et et interdire pour ses pôles la zone duplan hachurée sur la figure 3.5.Pour un système à mode dominant du seconde ordre, l'angle représente le facteur d'amortissement minimum puisque sin

d- Marge de gain et marge de phaseLes marges de gain et de phase sont une manière de qualifier ledegré de stabilité et d'amortissement d'un système asservi

Marge de gain : Elle correspond au coefficient multiplicateurdu gain de boucle qui conduit le système à la limite de stabilité,soit:

mg = )(1

cjT avec Arg(T(jwc)) = - 180°,


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Ou mg,dB = -20log/T(jwc)/.

Marge de phase : Elle correspond à l'avance de phase , parrapport à la frontière de stabilité, que présente la fonction detransfert T(jw) lorsque son module est unitaire, soit :

mp = + Arg ( T(jw1)) avec /T(jw1)/=1.

Figure 6 : Marge de gain et marge de phase

/T/dB

Arg(T)-180°

mg

mp

c

1

Re

Im

c

1

-1

1/mg

mp


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L'imposition de valeurs minimales à ces marges vise à assurer undegré de stabilité correct au système. En pratique, il est d'usage derespecter simultanément les conditions mp>45° et mg>5dB.

4.2- Rapiditéa- Influence des pôles

Les pôles ne doivent pas être trop négative car cela signifie qu’onsouhaite une réponse très rapide en boucle fermée qui ne peut êtreobtenue qu’au prix d’une sollicitation très importante desactionneurs. Dans le plan complexe, cette disposition restreintencore le domaine des pôles dominants qui doivent rester en deçàd'une frontière de rapidité.


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Figure 3.7 : Limitation imposée pour ne pas trop solliciter lesactionneurs

Re

Im

-3/TM


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b- Influence des zérosLa nature des zéros d’un système, comme celle des pôles, joue unrôle important dans sa dynamique. L’existence de zéroscorrespond à la présence de termes liés aux dérivées de l’entrée etva donc accroître la "vitesse de réaction" d’un processus pouvantmême, si un zéro est dominant par rapport au(x) pôle(s), provoquerun risque de dépassement dans le cas d’une variation brutale del’entrée du type échelon de position (figure 3.8).

Exemple : )1)(1(1)(

21 sbsbassF


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0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0-1 . 5

- 1

- 0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

2

a = - 2 , b 1 = 1 , b 2 = 0 .1

a = 0 .5 , b 1 = 1 , b 2 = 0 .1

a = 0 , b 1 = 1 , b 2 = 0 .1

a = 2 , b 1 = 1 , b 2 = 0 .1

Figure 3.8 : Influence des zéros sur la dynamique d’un système


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La position des zéros dans le plan complexe et la présence ou nond’un retard, nous permettent de distinguer deux classes desystèmes linéaires : celle des systèmes dits à phase minimale etcelle des autres.

Définition : Un système linéaire est à phase minimale (on dit aussià déphasage minimal) si :

1- sa fonction de transfert ne comporte pas de terme de retardpur se ,

2- ses zéros sont stables,3- ses pôles sont stables.

Un système qui n’est pas à phase minimale est dit à phase nonminimale ou encore à déphasage non minimal (on dit aussi à nonminimum de phase).


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4.3- PrécisionLe système régulé est précis si à tout instant la grandeur de sortiey(t) doit être au plus près de sa consigne yc(t). Pour qualifier etquantifier cette précision, on analyse l'écart ou l'erreur entre cesdeux grandeurs, soit (t) = yc(t)-y(t). Cet écart est étudié en régimepermanent ou en régime transitoire, selon que l'on s'intéresse à laprécision statique ou à la précision dynamique.

a- Précision statique des systèmes asservis

En général, la précision statique ou l'erreur en régime permanentest plus employée lors de la conception des systèmes asservis.


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Une telle erreur est défini comme étant la valeur prise par (t)lorsque le temps tend vers l'infini.La fonction de transfert en boucle ouverte d'un système asservi estde la forme :

T(s) = sK

...1...1

1

1

sasb

, K gain statique, classe du système.

L’écart (s) = yc(s)-y(s) s’écrit sous la forme (s) = )(11

sT yc(s).L’écart statique )(lim)(

0ss

s

et lorsque s tend vers zéro T(s) K/s

alors )(lim)(0

syKs

ss cs

.Le tableau suivant résume les résultats obtenus pour les signauxtests unitaires en échelon de position, de vitesse (rampe) etd'accélération (parabole) et pour différentes classes de système:


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Signal test =0 =1 =2

Position 1/(K+1) 0 0Vitesse 1/K 0accélération 1/K

La précision statique est d'autant meilleure que K possède unevaleur élevée.

Classe


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b- Précision dynamique des systèmes asservis

Assurer une bonne précision dynamique c'est garantir un boncomportement de la partie transitoire de l'écart (t). On entendpar ceci un amortissement suffisant et une convergence assezrapide de la partie transitoire.

Assurer un amortissement suffisant revient à prescrire une bornesupérieure pour le coefficient de résonance Q (facteurd’amortissement pour les systèmes de 2ème ordre). Le problème quiconsiste à réduire le temps de convergence de la partie transitoireest un problème de rapidité, très lié à la bande passante dusystème.


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A présent, montrons sur un exemple que la bande passante d'unsystème caractérise sa rapidité.


34

Exemple : Considérons le système de fonction de transfert de

boucle T(s) = )1( TssK , la fonction de transfert en boucle fermée est

donc H(s) = 21

1)(1

)(

sKT

KssT

sT

. En posant KT21

et TK

n ,

Nous obtenons H(s) =2

221

1

nn

ss

.

Etudions le régime transitoire de (t) qui résulterait del’application au système asservi d’une consigne en échelonunitaire. Supposons dans un premier temps que le coefficient


35

d’amortissement est supérieur à 1. Dans ce cas, nous savons que laréponse indicielle du système asservi est donné par :

y(t) =21

1221

1SS

eSeS tStS

,

avec )1( 21 nS et )1( 2

2 nS .

D’ou l’expression suivante de l’écart 12

)1()1()(

2

22 21

tStS eet

Comme S1 et S2 sont négatifs, (t) converge vers zéro. Des deuxexponentielles composant l'écart, la plus lente est e ts2 . Donc, (t)converge vers zéro, d'autant plus rapidement que 2S est grand. Or,pour un fixe, 2S croit avec n , donc avec la bande passante.


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D'après l'expression de n , l'augmentation de n peut être réaliséepar une élévation du gain statique K. Ceci demeure vrai dans le casgénéral.Si K continue à croître alors, compte tenue de l'expression de ,décroît et devient inférieur à 1. La réponse indicielle et l'écartt correspondant deviennent oscillatoires en conséquence doncla diminution de la stabilité en boucle fermée.Les considérations précédentes sont générales : l'augmentation dugain statique en boucle ouverte améliore la précision dynamiqueet réduit la stabilité.


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c- Critères de performances

Les critères de performances sont en général des "critères deprécision". Ils ont pour but de caractériser la qualité d'un systèmeasservi au moyen de la valeur prise par une certaine grandeurdéterminée à partir de la réponse du système à une entrée donnée.Les critères de performances permettent de déterminer les valeursqu'il convient de donner aux paramètres du système; vu qu'ilexiste un certain compromis entre la précision dynamique et laprécision statique d'un asservissement.On va citer maintenant les critères les plus souvent utilisés :


38

Critère de l'intégrale du carré de l'écart (ISE Integral of theSquared Error)

D'après ce critère, un système asservi possède des performances

d'autant meilleures que la quantité I = dtt2

0)(

est faible.

Pour en montrer la signification, on va appliquer ce critère à uneentrée en échelon unitaire :


39

a bFigure 9 : a- Réponse indicielle d’un système b- : Evolution de l’écart en temps


40

c dFigure 9 : c- Valeur absolue de l’écart d- Evolution du carré de l’écart


41

Pour que I ne devienne pas infini, le système asservi doit avoir unécart statique nul. Les valeurs les plus élevées de , comprisesentre 0 et t1 , jouent le rôle le plus grand dans cette expression.En fin une valeur réduite de I se traduit par une limitation del'amplitude des oscillations de la réponse et correspond donc à uncertain amortissement du système.


42

Critère de l'intégrale de la valeur absolue de l'écart (IAEIntegral of Absolute value of Error)

Avec le critère précédent, on est souvent amené à choisir unamortissement trop faible, car intervient au carré et les valeurspeu élevées de l'écart jouent parfois un rôle insuffisant dansl'expression de I. Aussi a-t-on proposé de caractériser lesperformances d'un système asservi par

I =

0)( dtt


43

Critère de l'intégrale de la valeur absolue de l'écart multipliéepar le temps (ITAE Integral of Time multiplied Absolute valueof Error)

Le critère consiste à considérer le système d'autant meilleur quel'intégrale :

I=

0)( dttt

est petite.

L'application de ce critère à un asservissement garantit uneréduction des oscillations transitoires de longue durée pouvantapparaître dans la réponse du système, ainsi qu'un temps deréponse peu élevé.


44

Exemple : Pour illustrer l'usage des critères de performancespour l'analyse et la synthèse des systèmes asservis, considérons le

système de fonction de transfert de boucle T(s)= )2(1ss et dont

la fonction de transfert en boucle fermée est : H(S) = 2211

ss .

Sa pulsation propose étant sradn /1 , ses performances nedépendent que de son coefficient d'amortissement .On souhaite choisir de manière à minimiser un critère deperformance donné. La figure 10 montre, pour différents critèresde performances, la courbe représentant la valeur I, du critère enfonction du coefficient d'amortissement.


45

Figure 10 : la valeur du critère I en fonction du coefficientd'amortissement

1

2

3

4

I

0.5 1 1.5 2

1 I = dtt2

0)(

2 I =

0)( dtt

3 I=

0)( dttt 1

2

3


46

L'examen de ces courbes montre que l'intégral du carré de l'erreur (1)n'a pas une bonne sélectivité, c'est à dire qu'un changement de auvoisinage du minimum (par exemple de 0,6 à 0,8) ne produit pas unchangement sensible de l'indice. Les autres courbes ont une meilleuresélectivité.Les courbes de la figure 10 montrent également, que pour le système

du second ordre considéré, = 0,7 est la valeur optimale par rapport àl'ensemble des critère considérés.

Cours Régulation IndustriellePar S.DOUBABI FST Marrakech 1

Chapitre 3Méthodes de synthèse

des correcteurs PID analogiques

1- IntroductionUn système asservi doit être suffisamment robuste pourgarantir trois niveaux de performance:

Sa stabilité Une bonne précision statique Une rapidité suffisante


Le gros problème est que ces trois critères sontcontradictoires: la précision comme la rapidité sont liées augain, mais trop de gain peut avoir un effet déstabilisant.

Corriger un système asservi, c'est assurer unecompatibilité entre ces critères contradictoires et le correcteursera l'élément " intelligent" qu'on ajoute au système initialpour assurer cette compatibilité.

Dans ce chapitre, nous étudions le réglage des paramètresd'un correcteur dont la structure est préalablement fixée, c'estle cas du correcteur standard PID, très utilisé dans le milieuindustriel.


2- Synthèse par l’abaque de Black-NicholsPour satisfaire au mieux les objectifs précédents il

convient donc : d'éloigner le lieu de Block de T(j ) du point -1 (0dB, -

180°) de façon à accroître sa stabilité, un tel résultatconduit à accroître la marge de phase et la marge de gain,souvent on prend mp>45° et mg> 10dB,

d'augmenter le gain du système en boucle ouverte, enparticulier du côté des basses fréquences de façon àaugmenter la précision, l'annulation de l'erreur de statismepeut être obtenue si le système en boucle ouverte admetune intégration.


d'augmenter la bande passante en provoquant un tassementdes fréquences du côté des gains élevés pour le système enboucle ouverte, ce qui permet de limiter les distorsionstout en diminuant le temps de réponse du processus.


2.1- Régulateur à action proportionnelleL'action proportionnelle correspond à un gain constant positif

C(s) = kp.En effet, il permet seulement une translation verticale du lieude Black du système en BO représentée dans l'abaque deBlack.Un gain k <1 (atténuation) permet d'accroître la stabilité enabaissant la courbe mais cette action se fait au détriment de laprécision. Un gain >1 (amplification) permet d'accroître laprécision mais l'action se fait cette fois au détriment de lastabilité puisque 'on a m et mg qui décroissent.


Le gain k =1 correspond à une recopie de signal d'entrée ducorrecteur, mais avec une éventuelle amplification depuissance.


2.2- Régulateur à action proportionnelle etintégrale ( PI)

Le correcteur de transmettante C(s) = kp ( 1 + sT1

i)

introduit un pôle à l'origine et il est caractérisé par les lieux deBode :


On constate que la correction PI n'affecte que les bassesfréquences.Elle ramène un gain infini pour = 0, c'est à dire en régimestatique. Dans ces conditions l'écart de position est annulé.

A partir de =iT

2, le correcteur PI n'a quasiment plus

d'influence.La figure suivante résume l'influence sur la fonction detransfert de la boucle du correcteur PI :


Il est important d'avoiriT

1 < R , de façon à éviter un effetdéstabilisant ainsi qu'il apparaît sur le schéma de la figure oùle déphasage intervient trop en haute fréquence. C'estpourquoi on préfère souvent un réseau PI à un simple réseauintégrateur qui déphaserait de façon identique toute la gammede fréquences


2.4- Régulateur à action proportionnelle et dérivée( PD)

La correction dérivée pure n'est que théorique :C(s) = kp ( 1 +Tds).

Elle provoque un accroissement du gain et de phase vers lesfréquences élevées ainsi qu'il apparaît sur les lieux de Bode. :


L'introduction de ce réseau correcteur (kp =1) produit lesmodifications du lieu de Black suivantes :


On constate que pour être efficace ce réseau correcteur doitvérifier 1/Td < R , c'est- à - dire que l'effet doit se produiresuffisamment tôt.Dans ce cas, il y a augmentation de la marge de phase, de lamarge de gain, de la pulsation de résonance et de la bandepassante. Globalement, il y a donc, en augmentant kp,augmentation de la stabilité et de la précision du système enstatique et en dynamique.


2.6- Régulateur à action proportionnelle, intégraleet dérivée

Ce type de correcteur essentiellement théorique, combine lesavantages des correcteurs PI et PDLa fonction de transfert du régulateur PID s'écrit :

C(s) = kp( 1 + siT1

+ Tds) = kp sTsTTsT

i

dii21

On cherche les racines du numérateur. Celles-ci sont réelles si : = 2

iT - 4Ti Td = 2iT ( 1 -

i

dTT4 )0.

Condition réalisée pour Td 4iT.


C(s) = kp sTss

i

)1)(1( 21 avec 21 = dTiT et 21 = iT

les deux racines s'écrivent : i

di1 T

T41(12Tτ ) = 2

iT (1+ )

i

diTTT 411(

22 ) = 2iT (1 - )

Comme <1, mais relativement proche de 0 si 4Td Ti; larelation d'ordre entre les racines du numérateur et laconstante de temps intégrale peut s’écrire :

12 < iT


Pour = p , la phase ramenée par le correcteur est nulle

p =diTT

1

Pour cette valeur, on vérifie que dB)pj(C = 20 log kp.Ce point particulier du lieu de transfert est intéressant : lesactions intégrale et dérivée n'y ont plus aucune influence. Onl'appelle point de pivot.


L'action intégrale modifie les basses fréquences ( gaininfini en BO) et assure un gain statique égal 0dB. L'écartde position est nul;

L’action dérivée agit sur les hautes fréquences en lesamplifiants et en leur amenant une avance de phase. Il y adonc accroissement de la bande passante et de la stabilité


2.7 ConclusionLe correcteur qu'on essaie de synthétiser doit déformer le lieude transfert en boucle ouverte de manière telle que le lieu detransfert en boucle fermée soit proche de celui d'un secondordre équivalent de gain statique si possible égal à 1,d'amortissement proche de 0,7 et de pulsation propre n

élevée.

Le nombre d'intégrations en BO fixe la capacité du systèmerégulé à suivre sans erreur une consigne variable. Si lesystème non corrigé comporte un intégrateur, il n'est peut-êtrepas nécessaire d'en mettre un dans le correcteur.


3- Méthodes simplifiées de synthèsedes correcteurs PID analogiques

3.1- Méthodes basées sur un modèle de réponse àl’échelon3.1.1 Approximation de Ziegler et Nichols

C'est la méthode la plus ancienne (1942). Elle a pour objet ladétermination du réglage d'un régulateur PID à partir de laréponse à un échelon du procédé.L’idée consiste à approximer la réponse du procédé à unéchelon unitaire, que l’on suppose apériodique, par un

modèle très simple de type F(s) = K Se Ts

1 .


Le coefficient de pente R est défini comme étant R= K

.


Ils ont ensuite cherché, pour ce modèle, les paramètres du

correcteur minimisant le critère J =

0)( dtt .

Pratique de la méthode :

S'il est possible d'ouvrir la boucle, on règle Kp = 1, Ti à l' etTd à 0, sans débrancher le correcteur. On envoie un échelond'amplitude E0 en entrée, on observe la sortie et on mesure Tet R. Les valeurs des paramètres du correcteur sont donnéessur le tableau au dessous. Le PID proposé est un PID mixte.


Régulateur Boucle ouverte

P Kp = TR1

PI Kp = 0,9 TR1

Ti = 3,3T

PIDKp = 1,27 TR

1

Ti =2TTd = 0,5T


Cette approche est aussi valable pour un processusintégrateur. Le modèle recherché est de la forme :

F(s) = R Se Ts

.


Cette approche est intéressante et facile à mettre en œuvre :une simple réponse indicielle suffit, le calcul des paramètresest aisé et ne nécessite pas de tâtonnements.

On pourra remarquer que, pour le réglage du PID, Td = 4iT

En général, la réponse obtenue n’est pas satisfaisante maisconstitue un point de départ pour un ajustement fin desparamètres du correcteur utilisé.

Exemple :


3.1.2 Méthode de Chien – Hrones - ReswickLes essais s’effectuent en BO, mais les auteurs distinguent lecas où le système travaille en régulation ou en poursuite.Le tableau suivant donne le réglage proposé pour une réponseen BF à amortissement 7,0 (temps de réponse minimum)


Régulateur régulation Poursuite

P Kp = 0,3 TR1 Kp = 0,3 TR

1

PIKp = 0,6 TR

1;

Ti = 4TKp = 0,35 TR

1;

Ti = 1,2

PIDKp = 0,95 TR

1

Ti = 2,4T ;Td=0,4T

Kp = 0,6 TR1

Ti = ;Td = 0,5 T


3.1.3 Méthode de l’optimisation des critèresDes tables ont été établies pour calculer le réglage optimal

d’un PID, pour un modèle du type : τs1KeG(s)

Ts

.

Les coefficients du régulateur PID peuvent être calculés parles relations suivantes à partir des coefficients de la table ci-dessous :

b

p τTa

k1k

;

τTdc

τKT pi pour le réglage en asservissement ;


dpi

τTc

τKT

pour le réglage en régulation ;

f

pd τ

TekτT

.

Elles sont valables si .1τT0.1

Dans, les cas où le retard est très faible par rapport à laconstante de temps, le plus simple consiste à choisir cerapport à 0,1.


Réglage Asservissement Réglage Régulation

ISE IAE ITAE ISE IAE ITAE

a 1.26239 1.13031 0.98384 1.3466 1.31509 1.3176

b -0.83880 -0.81314 -0.49851 -0.9304 -0.8826 -0.7937

c 6.03560 5.7527 2.71348 1.6585 1.2587 1.12499

d -6.0191 -5.7241 -2.29778 -1.25738 -1.3756 -1.42603

e 0.47617 0.32175 0.21443 0.79715 0.5655 0.49547

f 0.24572 0.17707 0.16768 0.41941 0.4576 0.41932


Les coefficients du régulateur PI peuvent être calculés par lesmêmes relations que pour le PID avec les coefficients de latable ci-dessous, en prenant Td=0.

Réglage Asservissement Réglage Régulation

ISE IAE TAE ISE IAE ITAE

a - 0.758 0.586 1.305 0.984 0.859

b - 0.861 -0.916 - 0.960 -0. 986 -0.977

c - 1.02 1.030 0.492 0.608 0.674

d - -0.323 -0.165 - 0.739 -0.707 -0.680


3.2 Réglage en ligneDans un certain nombre de cas, il est impossible de laisser leprocédé évoluer en BO. Pour ces systèmes, il est impossiblede déterminer le modèle en BO du système. On est amené àrégler le régulateur en BF.

3.2.1 Réglage par essai - erreurLe réglage en ligne peut se faire de façon empirique en

utilisant une procédure qu’on peut résumer ainsi1- Mettre le régulateur en mode manuel.2- Enlever l’action intégrale et dérivée (mettre Ti au

maximum Td au minimum).3- Mettre le gain à une faible valeur.


4- Mettre le contrôleur en mode automatique.5- Faire une petite variation de consigne et observer la

réponse de la variable contrôlée. Comme le gain est petit, laréponse sera très amortie.

6- Doubler le gain et refaire une variation de consigne.Continuer ainsi de suite jusqu'à ce que la réponse devienneoscillante. Cette valeur du gain est notée kc

7- mettre le gain kc/2.8- Faire la même opération en réduisant Ti par un facteur de 2,

jusqu'à obtenir une réponse oscillante pour une petitevariation de consigne.

9- Mettre Ti au double de cette valeur.10- Procéder de même pour la constante de dérivée :

augmenter Td jusqu’ à obtenir une réponse oscillante, puismettre Td à 1/3 de cette valeur.


3.1.1 Approximation de Ziegler et Nichols

Lorsqu'il n'est pas possible d'étudier le système en boucleouverte, on réalise un essai de pompage. Pour cela, on faitTi = ; Td = 0 et on augmente Kp jusqu'à sa valeur critiqueKc. On mesure la période des oscillations Tc.Ziegler et Nichols proposent alors les valeurs de réglage dutableau suivant :


Régulateur Boucle fermé

P Kp = 0,5 Kc

PIKp = 0,45 KcTi = 0,83 Tc

PIDKp = 0,6 KcTi = 0,5 TcTd = 0,125 Tc

1

Chapitre 4Correction des processus retardés

1- Notion de réglabilité

Cette notion est principalement utilisée pour les processusayant des retards purs importants. Si on examine la réponseindicielle suivante d'un processus apériodique sans effetintégrale :

2

On distingue trois phases successives :- un temps de retard TR,- un temps de décollement Td,- un temps de montée Tm.

TR TmTd

3

=TR+Td : correspond en fait au délai nécessaire pour qu'unecommande ait une action réellement significative.Il est en général plus facile à déterminer que TR et Td.

L'essai étant effectué en boucle ouverte sur le processus sansaction intégrale, on appelle réglabilité le rapport Tm/. Enpratique, le processus sera d'autant plus facile à régler que cerapport sera important.

Les systèmes à réglabilité élevée ont une réglabilité Tm/ >10.Toute action sur l'entrée provoque immédiatement uneaction sur la sortie et les processus correspondants sont engénéral faciles à réguler et à commander.

4

Les systèmes à faible réglabilité sont souvent ceux ayant unTm/<4 (limite tirée de l'expérience industrielle). Cessystèmes se trouvent facilement dans l'industrie en particulierlà où il y a transport de matière : Cimenterie, papeterie,chimie etc...

5

Exemple de système à retard :

Le débit de matière q2(t), en sortie du transporteur , est égal àcelui en sortie de la trémie à l'instant t-, étant la durée misepar l'élément de matière considéré lors de son déplacemententre x1 et x2.

x1 x2

Trémie

q2(t)q1(t)

6

Si Tm/ est faible, il faut attendre un temps élevé,comparativement à la constante de temps du processus, pourqu'une entrée commence à agir sur la sortie.

Si on cherche à augmenter la précision par les méthodesusuelles comme l'accroissement du gain ou l'interventiond'une action intégrale, on a de grands risques de déstabiliserle processus. De tels processus ne peuvent pas en général êtrerégulés par simples PID mais nécessitent des commandes pluscomplexes du type PIR, prédicteur de Smith ou plusgénéralement une correction numérique.

7

2- Régulateur PIR et prédicteur de Smith

Les PID ne peuvent pas compenser entièrement ces retards,et dans ces conditions, ils conduisent à des réponsesfortement oscillatoires.On utilise alors d'autres techniques dont certaines ont pourbut de masquer le retard réel afin de travailler ensuite sur lastabilité et la précision.

8

2.1- Correcteur PIRL'utilisation d'un correcteur PIR, ou correcteur Proportionnel,Intégral et Retard, est intéressante dans le cas de systèmeidentifié selon le modèle de Broïda :

F(s) =sθe

Sτ1K

Le schéma fonctionnel du correcteur PIR est la suivante :

9

On peut écrire :)

)e(1A1A)(

sT1Kp(1

ε(s)U(s)

TssT

1ii

,

ε(s)U(s)

= )e(1sTs)TA(1k

Tsi

ip

A .

En pratique, ce correcteur est réalisé sous forme numérisée etla fonction de transfert est transformée en algorithmenumérique.

10

La fonction de transfert de la boucle du système s'écrit :

T(s)= sθsT

i

ip esτ1

K)eA(1sT

s)TA(1K

Les choix KpK=1, Ti = et T= conduisent à :

T(s) = )eA(1sτAe

sθ

sθ

,et par suite à un polynôme caractéristique ne comprenant plusde termes de retard

Pc(s) = 1 + sAτ

11

Les fonctions de transfert en poursuite et en régulation ontalors pour expressions :

Sur la sortie :

Hpour(s) = (s)yy(s)

c=

sesA

1

1et Hreg(s) = p(s)

y(s)= s

A

esA

s

1

1

.

Le système bouclé se comporte comme un premier ordreretardé, de gain statique égal à 1 (écart de position nul) de

constant de temps A

ce qui revient à diminuer le temps deréponse (hors temps de retard bien entendu).

12

Sur la commande :

Lpour(s) = S1Sτ1

(s)yu(s)

Aτ

c

et Lreg(s)= ss

A

11

Le coefficient A est alors fixé selon la dynamique voulue ouen fonction des conditions de précision du régime établi.Le point remarquable apporté par la structure du correcteurPIR est dans les fonctions de transfert vis -à- vis du réglage(u) qui apparaissent totalement indépendantes du retard, dansla mesure où la compensation apportée par la boucleinterne du correcteur

)s(W)s(U est correctement ajustée.

13

2.2- Prédicteur de Smith :

Plus élaboré que le correcteur PIR, le prédicteur de Smiths'utilise également dans le cas de retard important. Il met enjeu la fonction de transfert F(s) e-s du processus.

Sa fonction de transfert s'écrit : )eA(s)F(s)(11A(s)

ε(s)U(s)C(s) s

où A(s) est un correcteur classique.

14

on déduit la fonction de transfert de boucle

T(s) = )1)(()(1)()(

s

s

esFsAesFsA

puis la fonction de transfert en BF:

H(s)= A(s)F(s)1A(s)F(s)e sθ

Le schéma équivalent du système bouclé, corrigé par unprédicteur de Smith, est donc simple :

15

Le schéma équivalent du système bouclé, corrigé par unpréditeur de Smith, est donc simple:On obtient un ensemble "correcteur + processus " classiquebouclé, mais cette fois retardé. Le correcteur étant classiquesa synthèse peut s'effectuer par les méthodes classiques.

1

Chapitre 5Méthodes analytiques de synthèse

Des correcteurs analogiques1- Méthode des polynômes de Graham et Lathrop

Dans cette méthode, on cherche à atteindre un modèle de fonction de transfert enboucle fermée qui nous convient le mieux.

1.1- Approche par un seconde ordre

On essaie d'atteindre en BF le modèle du deuxième ordre :

22 211

)(211)(

rrsH

nn

ss

où r =n

S

est la pulsation complexe réduite.

Cette expression conduit à une fonction de transfert en BO

T(s) = C(s) F(s) telle que T(s) =)(1

)(sHsH

= 22

1rr

=)

21(

21

rr

.

T(s) présente donc : - une intégration

- un gain statique K=2n

Les performances attendues sont donc les suivantes :

écart de position nul

écart de traînagen

v 2

dépassement fixé par

2

Exemple : On prend 7,0 (temps de réponse minimum et faible dépassement)n est choisie de deux manières :

Soit n =v4,1 , v étant fixé par le cahier des charges.

Soit en fonction du temps de réponse demandé ( )37,0 nrt

Mais attention, des exigences trop importantes sur le temps de réponse peuventconduire à la saturation de la commande (la saturation des actionnaires entraîne unedégradation des performances attendues). On obtient alors le modèle:

24,111)(rr

sH

.

Si on désire en plus un écart de traînage nul, on montre que H(s) doit avoir la forme

H(s) = ..1

.12rrara

On vérifie en effet que la fonction de transfert en BO s'écrit alors T(s) = 2.1

rra .

Le système comporte une double intégration qui annule l'écart de traînage.

1.2- Généralisation

Imposer le modèle du deuxième ordre n'est pas toujours possible et il faut prendreun modéle plus élevé équivalent au deuxième ordre.Graham et Lathrop ont calculé les modéles d'ordres supérieurs à 2, équivalents audeuxième ordre, qui minimisent le critère

0

,)( dttt Pour une entrée en échelon unité dans le cas d'un processus en BF et ont déterminépar simulation les valeurs des fonctions de transfert en BF de divers ordresassurant la minimisation du critère.Ils proposent deux modèles : Le modéle H1(s) correspondant à 0P et v fini Le modéle H2(s) correspondant à P v = 0

3

Application

Soit un système de F(s) =sK1

, que l'on veut corriger pour un correcteur C(s)

pour que le système bouclé ait les caractéristiques suivantes : P v = 0 et .rt

On prend le modéle H2(s) le plus simple : H2 (s) = 22,312,31rrr

avecn

Sr pour

,7,0 on sait que .33

r

n t

Dans ces conditions : 222 11,007,1107,11

2,31

2,31)(

2

2

ssssH

nn

n

SS

S

Comme C(s) =))(1()(

)(sHsF

sH

alors C(s) = 2211,0)1)(07,11(

sKss

qui est

physiquement réalisable.

2- Méthode des polynômes de Naslin

Cette méthode a été proposée par Naslin. Le choix de 7,0 impose undépassement maximum de 5%. On peut consentir un dépassement plus élevé maisinférieur à une limite Dmax% fixé à l'avance, ce qui correspond à un amortissement min .L'origine de cette méthode est la suivante. Soit une fonction de transfert de 2cd

ordre :

H(s) = 2210

0

sasaab

Si on pose2

02

aa

n ,2

12aa

n et0

0abK , on peut ramener cette expression à la

forme classique : 22 2)(

ssKsHnn

n

.

4

est donné parnaa

2

12 , soit .420

212

aaa

Comme le régime optimal d'un

second ordre est obtenu pour227,0 , on en déduit que

20

21aaa = 2 = 1.

Naslin a ensuite généralisé ce résultat à une fonction de transfert en BF de degréquelconque.

2.1- Fonctions de transfert à numérateur constant

Les fonctions de transfert proposées par Naslin sont de la forme :

nnsasaa

bsH

...

)(10

0

Dans laquelle il définit les rapports caractéristiques :

,20

21

1 aaa

,31

22

2 aaa

... , ,11

2

nn

nn aa

a

Il montre alors que le premier dépassement Dmax% à l'instant tpic est garanti si :.... 021 n La constante 0 est de l'ordre de 2.

Naslin vérifie ensuite expérimentalement ce choix sur des fonctions de transferttelles que b0=a0. Des fonctions de transfert de ce type donnent un écart de positionnul.

Il obtient des résultats très probants avec : %log8,421

0 D

Pour cette valeur, tpic0

12,2aa

.

RésuméNaslin a vérifié expérimentalement que le choix d'un réglage 0i constant del'ordre de 2 : 1,8 ,4,20 avec b0 = a0, permet d'assurer à la réponse indicielleun premier dépassement D (en%) à l'instant tpic vérifiant :

log10 (D%) 4,8- 2 0 tpic0

1aa

2,2

De façon générale la condition 0i avec 0 de l'ordre de 2 assure unamortissement correct des régimes transitoires.

5

Le tableau suivant donne des indications pour le choix de la valeur de 0 enfonction du dépassement admissible ainsi que la valeur du coefficientd'amortissement associé.

D 40% 20% 6% 1%0 1,6 1,7 2 2,4 0,3 0,45 0,7 0,9

2.2- Fonction de transfert à numérateur non constant

On a maintenant H(s) = nnsasaa

sbb

...10

10

Il peut en résulter un accroissement du dépassement et une réduction du temps deréponse. C'est en particulier le cas pour des systèmes munis de correcteurs PI ouPID.La méthode reste applicable mais exige quelques modifications : Il convient

d'adopter le réglage tel que : )5,1(45,1 00

1

1

0 bb

aa

c c = 0 corrigée

Les conditions b0 = a0 et b1 = a1 imposeraient des erreurs en position et vitessenulles. Si la transmittante admet un numérateur du second ordre

H(s) = nnsasaasbsbb

10

2210

Le réglage à adopter correspond à : c = 1,5 + 16 32

0

1

1

0

bb

aa ( 0 - 1,5) avec

4 2 =20

21bbb .

Les condition b0 = a0, b1 = a1 et b2 = a2 imposeraient des erreurs en position, vitesseet accélération nulles.

6

Application :

On veut régler le processus de fonction de transfert en BO : F(s) =)51)(1(

2,3ss

avec les performances suivantes : écart de position p = 0 dépassement D 10%

Le système ne possède pas d'intégrateur, le correcteur doit être de type PI. Sa

fonction de transfert s'écrit C(s) = kp ( 1 +sTi

1 ) et on va chercher à régler kp et Ti

La fonction de transfert en BF s'écrit : H(s) =CFCF1

=

)51)(1()1(2,3)1(2,3

sssTsTksTk

iip

ip

H(s) = 32 56)12,3(2,3

2,32,3

sTsTskTksTkk

iipip

ipp

,

Où nous identifions : b0 = a0 = 3,2kp, b1 = 3,2kpTi , a1 = Ti(3,2kp+1) , a2 = 6Ti,a3 = 5Ti

Le critère Naslin impose 0 =21 [ 4,8 - log10 10 ] =

28,3 = 1,9

Mais cette valeur demandera à être corrigée puisque le numérateur est du premierordre avec a1 b1.

Dans ces conditions :

1 =ip

piTk

kT2,19

)12,3( 22 c (1)

2 =)12,3(5

362

2

pi

ikTT

c (2)

donc c = 1,5 +4)12,3(2,3

2,32,3pip

ipp

kTkTkk

( 1,9 - 1,5) = 1,5 +12,3

12,5p

p

kk

7

Remplaçons cette valeur dans (2), il vient :)12,3(5

36pk

1,5 +12,3

12,5p

p

kk

Ce qui conduit à kp 0,57. Prenons Kp = 0,57, on obtient tout de suite Ti 3,5s.Une autre solution aurait été de choisir Ti = 5s ce qui permet de compenser le pôledominant de F(s) .

Cours Régulation IndustriellePar S. DOUBABI FST Marrakech

1

Chapitre 6Numérisation d’un régulateur analogique

Pour fixer les paramètres d’un régulateur analogique, on utilise deux approches :- La première est une mode pratique, par exemple celle de Ziegler-Nichels toujoursappréciée dans la pratique.- La deuxième est une synthèse analytique fournissant la fonction de transfert durégulateur C(s).

Figure 1 : Schéma fonctionnel intervenant dans le dimensionnement de régulateuranalogique

1- Echantillonnage du régulateur analogique

Une façon de traduire sous forme d’algorithme la fonction de transfert C(s)découlant d’une synthèse analogique se fonde sur l’approximation que la mise ensérie de convertisseur analogique - numérique et numérique - analogique nedéforme pratiquement pas un signal analogique, comme le schématise la figuresuivante :

=

Figure 2 : Approximation commise lors d’une numérisation par échantillonnage

CorrecteurC(s)

ProcessusF(s)

+-

Ecart

CommandeUYc

ConsigneY

Sortie

e(t)CAN CAN

e(t)CAN CAN

e(t)CAN CAN

e(t)CAN CAN

e(t)CAN CAN

e(t)CAN CAN

e(t)CAN CAN

e(t)CAN CAN

e(t)CAN CAN

e(t)CAN CAN

e(t)CAN CAN

e(t)CAN CNA

e(t)


2

Il est clair que l’approximation est d’autant meilleure que la périoded’échantillonnage est petite et que les signaux en jeu varient lentement au cours dutemps.En commettant cette approximation, la fonction de transfert C(s) est maintenantcomplétée en amont et en aval par des convertisseurs. Le schéma fonctionnel de lafigure 2 et donc remplacée par celui de la figure 3.

Figure 3 : Transformation du schéma fonctionnel de la figure 4.2

Théorème :Supposons que le processus analogique est au report, linéaire, causal etstationnaire ; soit C(s) sa fonction de transfert. Alors la mise en série du C.A.N, dusystème et du C.A.N est un processus discret décrit par la fonction de transfertdiscrète :

))(()1()( 11

ssCLZzzC

Démonstration :

Le C.N.A, le système et le C.A.N sont tous des éléments au report, linéaire, causalet stationnaire, leur mise en série est un processus discret lui aussi au report,linéaire, causal et stationnaire. Il peut ainsi être caractérisé par une fonction detransfert discrète C(z).On sait que C(z)=U(z)/(z) ne dépend pas de l’entrée (z) sélectionnée.

Figure 4 :

Soit par exemple, l’échelon unité {(k)}={…, 0,1,1, …} dont la transformée en zest (z)=z/(z-1).

CAN CANCAN CANCAN CANCAN CAN(z)

C(s)CANCANCANCNACAN CNA G(s)(s) (s) u(s) u(z) u(s) y(s)

yc(s)

C(z)

CAN CANCAN CANCAN CANCAN CANC(s)CANCANCANCNA(s) u(s)(z) u(z)

C(z)1zz

s1

ssC)( ])([1

ssCLZ


3

Dans ce cas la sortie du C.N.A est e(s)=1/s, le système fournie alors la réponseC(s)/s, ou dans le domaine temporel u(t)=L-1(C(s)/s). Finalement, le C.A.N génèrele signal discret {u(k)}. Sa transfert en z est U(z)= Z{L-1[C(s)/s]}.

Remarque :

U(s)=C(s)/s => u(t)=L-1(C(s)/s).En fait, par Z{ L-1(C(s)/s)}, il faut comprendre la transformée en z de la versionéchantillonnée u(k) du signal analogique u(t).

D’où le schéma fonctionnel de la figure 5

L’évaluation des paramètres de C(z) est ainsi achevée; Il suffit dès lors de réaliserl’algorithme en codant l’équation aux différences associée à C(z).

Exemple :Soit un régulateur PID analogique de fonction de transfert

)1

11()(s

NT

sTsT

KsCd

d

ip

La valeur N=10 est souvent adoptée en pratique. Au niveau de la synthèse de cerégulateur, la constante de temps Td/N peut normalement être négligée.

On admet que les paramètres Kp, Ti et Td ont été ajustés. Alors

)

1

11(()1()( 11

sNT

sTsTs

KLZzzC

dd

i

p

Quelques calculs conduisent à :

))1(1

1()(dTN

ip

ez

zNz

TKzC

(z)C(z)CAN CNA G(s)

(s) u(z) u(s) y(s)yc(s)


4

2- Approximations numériques

Partons du régulateur C(s) issu d’une synthèse analogique :

nnn

mmm

asasbsbsb

sEsUsC

1

10......

)()()( mn (4.1)

Ou, sous la forme d’une équation différentielle :

)()(...)()()(...)( 1)(

01)( tbtbtbtuatuatu mm

mnn

n

Cette relation est maintenant écrite au temps t=k :

)()(...)()()(...)( 1)(

01)(

kbkbkbkuakuaku mm

mnn

n (4.2)

L’idée est de remplacer les grandeurs de différentielle, telles que dérivée, par desapproximations numériques.

On considère tout d’abord la première méthode d’Euler. Soit

)()()( lim0

kukuku

Cette expression est changée avec

)()()( kukuku (4.3)

Soit maintenant

)()()( lim0

kukuku

Cette quantité est remplacée par

)()()( kukuku


5

En remplaçantu par son expression, on a :

2)()(2)2()(

kukukuku (4.4)

En portant les quantités (4.3) et (4.4) et celles obtenues par u(3)(k), … , u(n)(k),(1)(k), … ,(m)(k) dans (4.2), puis en prenant la transformée en z des deuxmembres, on obtient :

)(1)(121)(2...1)(0)(1)(1

21)(2...1)( zEmbzzEmbzzEmbmzzEbzUnazzUnazzUna

nzzU

Avec U(z)=Z (u(k)) et E(z)=Z ((k)).

Il en résulte la fonction de transfert discrète :

n

zn

nz

mz

mmz

aa

bbb

zEzUzC

11

1

11

10

...

...

)()()( (4.5)

En comparant (4.1) et (4.5), nous constatons que, pour numériser la fonction detransfert C(s), il suffit de remplacer s par (z-1)/.

Avec cette approximation, comme z=s+1, le demi plan complexe gauche (Re s<0)est transformé dans le demi plan Re z <1 : un régulateur analogique C(s) BIBOstable peut conduire à un régulateur numérique C(z) qui ne l’est pas.

Exemple 1:

Soit à nouveau le régulateur PID analogique. En remplaçant s par (z-1)/, onaboutit à :

)))(1(

)1(1

1()(d

ip

TNzzN

zTKzC

Les pôles de ce correcteur sont 1 et 1-N/Td ;


6

Le pôle réel 1-N/Td est strictement plus grand que -1 si et seulement si <2Td/Nest respecté.

- Seconde méthode d’Euler

La dérivée est définie par :

)()()( lim0

kukuku

Cette expression est changée avec

)()()( kukuku

De même, la dérivée deuxième est remplacée par

)()()( kukuku

En remplaçantu par son expression, on a :

2)2()(2)()(

kukukuku

Après substitution dans (4.2) et en prenant la transformée en z des deux membreson obtient :

)(1

1

1

2

1

0

1

1

1

2

1 1)(21)(...1)()(1)(

21)(...1)( zEbzzEbzzEbmzzEbzUazzUazzUa

nzzU mmmnnn

D’où, finalement, la fonction de transfert discrète :

nz

nnz

mz

mmz

aa

bbb

zEzUzC

11

11

11

1

11

10

...

...

)()()( (4.6)

Un examen de (4.1) et (4.6) montre que, pour numériser la fonction de transfertC(s), il faut remplacer dans celle-ci s par :


7

zzz

11 1

.

Dans cette approche, on a z=1/(1-s) ; en posant s=+j :

222)1(

1)(1

1

jz .

Il est évident que |z|<1 si <0 : le demi-plan complexe Re s<0 est transformé en undomaine contenu dans le cercle unité |z|<1.Par conséquent, la seconde méthode d’Euler bénéficie de l’atout qu’un régulateuranalogique C(s) (BIBO) stable donne un régulateur numérique C(z) lui aussi BIBOstable, raison pour laquelle elle est parfois préférée à la première méthode.

Exemple 2:

Soit à nouveau le régulateur PID analogique. En remplaçant s par (1-z)/z, onaboutit à :

)1))(1(

)1(1

1()(

zTN

zNz

zTKzC

d

ip

La composante intégrale du régulateur de l’exemple 1 et celle obtenue maintenants’écrivent, respectivement :

1

zTi

1

z

zTi

Ou :

1

1

1

z

zTi

11

zTi

Ainsi, dans le second cas, vu qu’un facteur z-1 engendre un retard d’une périoded’échantillonnage a disparu, le signal d’écart est exploité immédiatement, ce quipeut être bénéfique lors de relativement grandes périodes d’échantillonnage.

Chapitre 7Régulation des systèmes échantillonnés

Cette méthode, de synthèse d’un régulateur numérique, se fond sur lemodèle F(s), lequel est échantillonné. La fonction de transfert discrète F(z)qui en résulte rend possible une synthèse tenant compte de tous lesphénomènes discrets en jeu. Il existe donc diverses techniques de synthèsediscrète.

1- Correcteur à pôles dominants

Cette méthode est bien adaptée aux processus simple c'est-à-dire modélisables par un systèmecontinu de degré maximum égal à 2 avec ou sans retard. Elle fournit un correcteurentièrement numériquement, sans aucun rapport avec un PID numérisé. Son but est d’obtenirun système en boucle fermée dont le comportement soit encore voisin de celui d’un systèmede deuxième ordre. Le système corrigé sera caractérisé par : son régime transitoire :

o amortissement ,o pulsation naturelle n,o dépassement D désiré,o temps de réponse tr,

son régime permananto erreur statique de position nulleo erreur statique de vitesse nulle

1.1 Calcul du correcteurPour répondre au cahier des charges ci-dessus, le correcteur devra répondre aux impératifssuivants :

a) il doit composer les pôles et les zéros stables de la fonction de transfert enboucle fermée, c’est dire ceux situés à l’intérieur du cercle de rayon 1 (à l’exclusion de z=0).Ceci implique que C(z) comporte un terme C1(z) tel que :

)1)(1()1)(1()( 1

21

1

12

11

1

zzzzzpzpzC

Où les pi et zi représentent les pôles et les zéros stables de la fonction de transfert en boucleouverte F(z).

b) Pour annuler l’écart statique de position et l’écart statique de traînage, il fautque le système soit de classe 2. Un intégrateur se caractérise par une fonction de transfert dela forma 1/(1-z-1).Donc le correcteur contiendra un terme :

qzzC 212

)1(1)(

Où q est le nombre d’intégrations de la fonction de transfert en boucle ouverte.

c) enfin C(z) comportera autant de paramètres que de spécifications demandées :amortissement, temps de réponse, dépassement, … Il contiendra donc un terme de la forme :

)1)(1()1)(1()( 1

41

2

13

11

3

zAzAzAzAzC

Où les Ai correspondent, chacun, à une spécification.Dans ces conditions, la fonction de transfert du correcteur s’écrit :

C(z)=KC1(z)C2(z)C3(z)K est une constante.

1.2 Application

On considère le système)1(

1)(

ss

sF muni de son bloqueur d’ordre zéro. On désire

asservir ce système numériquement en utilisant un correcteur à pôles dominants permettantd’obtenir : p=v=0, =0.7, tpic = 4

Prenons =0.5s. La fonction de transfert du processus muni de son bloqueur d’ordre zéro est :

)6.01)(1(11.0)( 11

11

zzzzzF

Calcul du correcteurIl aura pour fonction de transfert

12

11

1

1

11

116.01)(

zAzA

zzKzC

Il faut calculer les trois paramètres K, A1 et A2.

Réalisation du correcteur

2- prédicteur de Smith

On admet

Compensation 1 intégrateur 2 spécifications

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