Observaci on de patrones de Chladni en placas de super cie ... · se deben analizar como un...
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Observaci´ on de patrones de Chladni en placas de superficie plana Nina Adhara Elena ´ Avila Ort´ ız H´ ector Olvera Vital [email protected] [email protected] Facultad de Ciencias, UNAM Fen´ omenos colectivos Grupo 8752 5 de junio de 2015 Resumen El presente trabajo pretende replicar los patrones de Chladni, originados por ondas estacionarias que viajan sobre la superficie de una placa sometida a diversas frecuencias. Se observaron once patrones de las cuales nueve correspondieron a los patrones registrados por Chladni. 1. Introducci´ on Una onda consiste en la propagaci´ on de una per- turbaci´ on o pulso desde un punto origen hacia todo el medio que lo rodea. Toda onda, con excepci´ on de las ondas magn´ eticas, requiere de un medio el´ asti- co para propagarse. Se pueden clasificar por el tipo de vibraci´ on respecto a la direcci´ on de propagaci´ on, es decir, pueden ser longitudinales o transversales. Muchos fen´ omenos en la naturaleza no se pueden describir como un s´ olo pulso. Las ondas complejas se deben analizar como un combinaci´ on de ondas viajeras y estas a su vez se pueden representar por una suma de funciones sinusoidales. Las ondas via- jeras se pueden analizar por el principio de super- posici´ on que dice que si una o m´ as ondas viajeras se mueven por un medio, la funci´ on de onda resultan- te en cualquier punto ser´ a la suma algebraica de las funciones de onda de las ondas individuales. Una de las consecuencias del principio de superposici´ on es que dos ondas pueden pasar entre s´ ı sin ser destrui- das o alteradas. La combinaci´ on de dos ondas en el mismo espacio y tiempo se llama interferencia, esta puede ser constructiva o destructiva dependiendo de la direcci´ on de cada una. Si la onda sinusoidal que se combina en un medio lineal tiene la misma fre- cuencia y longitud de onda, se produce un patr´ on estacionario llamado onda estacionaria. Una onda estacionaria es un patr´ on de oscilaci´ on con un esquema fijo que resulta de la superposici´ on de dos ondas id´ enticas viajando en direcci´ on contra- ria. Esta situaci´ on se puede describir a trav´ es de la ecuaci´ on y = (2A sen(kx))cos(t). Cada part´ ıcula del medio oscila en un movimiento arm´ onico simple con la misma frecuencia. El m´ aximo desplazamiento de una part´ ıcula del medio tiene un m´ ınimo valor de cero cuando x satisface la condici´ on kx = 0. Estos puntos de cero desplazamiento se llaman nodos. Las posiciones del medio donde la part´ ıcula alcanza el mayor desplazamiento se llama antinodo. En una onda viajera la energ´ ıa es transferida junto con la onda. Una part´ ıcula en un nodo no ex- perimenta desplazamiento, as´ ı no puede hacer tra- bajo en el ´ area vecina. Como resultado la energ´ ıa no es propagada en un una onda estacionaria. Ernst Florens Friedrich Chladni fue un f´ ısico y m´ usico alem´ an, conocido como “el padre de la ac´ ustica” por sus aportaciones en el campo. Uno de sus trabajos mejor conocido es la invenci´ on de la t´ ecnica para mostrar varios modos de vibraci´ on en placas r´ ıgidas publicado en su libro “Entdeckungen ¨ uber die Theorie des Klanges”. Originalmente esta t´ ecnica consiste en “tocar” una placa o membrana (circular, cuadrada o rectangular), cubierta ligera- mente de arena, con un arco. Al tocar la placa con el arco, ´ esta entra en resonancia con sus frecuencias naturales. La arena sobre la superficie de la placa se mueve hasta llegar a los nodos y una vez ah´ ı perma- nece inm´ ovil, por lo cual se producen los patrones que Chladni observ´ o. 1
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Observacion de patrones de Chladni en placas de superficie plana
Nina Adhara Elena Avila OrtızHector Olvera [email protected]
Facultad de Ciencias, UNAM
Fenomenos colectivos Grupo 8752
5 de junio de 2015
Resumen
El presente trabajo pretende replicar los patrones de Chladni, originados por ondas estacionariasque viajan sobre la superficie de una placa sometida a diversas frecuencias. Se observaron once patronesde las cuales nueve correspondieron a los patrones registrados por Chladni.
1. Introduccion
Una onda consiste en la propagacion de una per-turbacion o pulso desde un punto origen hacia todoel medio que lo rodea. Toda onda, con excepcion delas ondas magneticas, requiere de un medio elasti-co para propagarse. Se pueden clasificar por el tipode vibracion respecto a la direccion de propagacion,es decir, pueden ser longitudinales o transversales.Muchos fenomenos en la naturaleza no se puedendescribir como un solo pulso. Las ondas complejasse deben analizar como un combinacion de ondasviajeras y estas a su vez se pueden representar poruna suma de funciones sinusoidales. Las ondas via-jeras se pueden analizar por el principio de super-posicion que dice que si una o mas ondas viajeras semueven por un medio, la funcion de onda resultan-te en cualquier punto sera la suma algebraica de lasfunciones de onda de las ondas individuales. Una delas consecuencias del principio de superposicion esque dos ondas pueden pasar entre sı sin ser destrui-das o alteradas. La combinacion de dos ondas en elmismo espacio y tiempo se llama interferencia, estapuede ser constructiva o destructiva dependiendo dela direccion de cada una. Si la onda sinusoidal quese combina en un medio lineal tiene la misma fre-cuencia y longitud de onda, se produce un patronestacionario llamado onda estacionaria.
Una onda estacionaria es un patron de oscilacioncon un esquema fijo que resulta de la superposicion
de dos ondas identicas viajando en direccion contra-ria. Esta situacion se puede describir a traves de laecuacion y = (2A sen(kx))cos(t). Cada partıcula delmedio oscila en un movimiento armonico simple conla misma frecuencia. El maximo desplazamiento deuna partıcula del medio tiene un mınimo valor decero cuando x satisface la condicion kx = 0. Estospuntos de cero desplazamiento se llaman nodos. Lasposiciones del medio donde la partıcula alcanza elmayor desplazamiento se llama antinodo.
En una onda viajera la energıa es transferidajunto con la onda. Una partıcula en un nodo no ex-perimenta desplazamiento, ası no puede hacer tra-bajo en el area vecina. Como resultado la energıa noes propagada en un una onda estacionaria.
Ernst Florens Friedrich Chladni fue un fısicoy musico aleman, conocido como “el padre de laacustica” por sus aportaciones en el campo. Uno desus trabajos mejor conocido es la invencion de latecnica para mostrar varios modos de vibracion enplacas rıgidas publicado en su libro “Entdeckungenuber die Theorie des Klanges”. Originalmente estatecnica consiste en “tocar” una placa o membrana(circular, cuadrada o rectangular), cubierta ligera-mente de arena, con un arco. Al tocar la placa conel arco, esta entra en resonancia con sus frecuenciasnaturales. La arena sobre la superficie de la placa semueve hasta llegar a los nodos y una vez ahı perma-nece inmovil, por lo cual se producen los patronesque Chladni observo.
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2 Observacion de patrones de Chladni en placas de superficie plana Resultados
2. Desarrollo
La ley de Chladni relaciona la frecuencia de losmodos de vibracion para placas de superficie planacomo una funcion de los numeros m y n, donde n esnumero de nodos radiales, m es el numero de nododiametrico. Dependiendo de la forma de la placa laecuacion puede variar. En el caso de placas circu-lares la ecuacion es f = c(m + 2n)p, donde c y pdependen de las propiedades de la placa.
La teorıa para el caso de una placa cuadradaobligan a que el borde de la placa sea un antino-do. Si se resuelve la ecuacion para esas condicionesde contorno se encuentra la siguiente solucion paralas frecuencias de resonancia ω = V π/a(m2 + n2)
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donde a es la dimension de la placa cuadrada, v lavelocidad del sonido en la placa.
Se colocaron placas de forma cuadrada, circulary triangular sobre una bocina adaptada para tras-mitir la vibracion a la placa. La bocina se conecto aun generador de funciones. Sobre la superficie de laplaca se coloco una fina capa de arena. Se buscaronlas frecuencias en donde la placa entraba en reso-nancia.
Cuando la placa entra en resonancia se formauna onda estacionaria. En los nodos la arena per-manece inmovil y en los antinodos la arena salta yempieza a moverse a las zonas de menor energıa, esdecir, a los nodos. La arena acumulada en los nodosforman patrones que son los que observo Chladni.Cualquier placa tiene un numero indefinido de posi-bles modos de vibracion, cada uno correspondientea una frecuencia especıfica de sonido. Cada modoproduce un patron unico. La complejidad del patronaumentara con la frecuencia. La forma de los patro-nes dependera de otros factores como, la forma dela placa, su espesor y el material del que esta fabri-cada.
3. Experimento
Se coloco una lamina cuadrada de 19 cm×19 cmcon 2 mm de espesor sobre la bocina adaptada conun eje que transmite los pulsos mecanicos a la placa.Con la bocina conectada a un generador de funcio-nes y se busco las frecuencias en las que la placa
entro en resonancia en un rango de 1 Hz a 1000 Hz.Cuando la arena sobre la superficie de la placamostro un patron estable y repetible se tomo comoresultado valido para la comparacion con las figurasde Chladni.
Se repitio el mismo procedimiento para una pla-ca circular de 15 cm de diametro y 1 mm de espesor;y para una placa triangular de 20.5 cm de catetos y29 cm de hipotenusa.
4. Resultados
Para la placa cuadrada se observaron once pa-trones con alta simetrıa en un rango de frecuenciade 1 a 1000 Hertz. Se puede observar que conformela frecuencia aumenta, el nivel de complejidad de lospatrones tambien aumenta.
Las frecuencias en las que se observaron los pa-trones fueron 56, 76, 96, 227, 232, 385, 402, 489,502, 575 y 603 Hertz. Los patrones se muestran acontinuacion.
Figura 1: Placa cuadrada f = 56 Hz.
Figura 2: Placa cuadrada f = 76 Hz.
Resultados Nina Adhara Elena Avila Ortız y Hector Olvera Vital 3
Figura 3: Placa cuadrada f = 96 Hz.
Figura 4: Placa cuadrada f = 227 Hz.
Figura 5: Placa cuadrada f = 232 Hz.
Figura 6: Placa cuadrada f = 385 Hz.
Figura 7: Placa cuadrada f = 402 Hz.
Figura 8: Placa cuadrada f = 489 Hz.
4 Observacion de patrones de Chladni en placas de superficie plana Analisis
Figura 9: Placa cuadrada f = 502 Hz.
Figura 10: Placa cuadrada f = 575 Hz.
Figura 11: Placa cuadrada f = 603 Hz.
Para la placa triangular solo se observo unpatron el cual no se tomo como valido ya que la
placa mostro tener deformidades que afectaron elresultado.
Para la placa circular no se tomo ningun resulta-do como valido por la inestabilidad que presentaba.
5. Analisis
Se dibujo el patron de la arena y se comparo conlos observados por Chladni. A continuacion se mues-tran las comparaciones.
f = 56 Hz
f = 76 Hz
f = 96 Hz
f = 385 Hz
Conclusiones Nina Adhara Elena Avila Ortız y Hector Olvera Vital 5
f = 402 Hz
f = 489 Hz
f = 502 Hz
f = 575 Hz
f = 603 Hz
Los dos patrones encontrados que no correspon-dieron a algun patron de Chladni, son los siguientes.
f = 227 Hz f = 232 Hz
6. Conclusiones
Pese a que la placa cuadrada mostro tener irre-gularidades, se pudieron observar once figuras de lascuales nueve forman parte de los patrones reporta-dos por Chladni.
Para la placa triangular, el unico patron obser-vado no se tomo como valido porque la placa tenıadeformidades y abolladuras que ocasionaron que lasuperficie no fuera plana, ası es que la arena se asen-taba en lugares que podrıan no ser nodos.
La placa circular tenıa poca rigidez y no se pu-dieron observar lıneas nodales por su excesiva vibra-cion, en cambio mostro un comportamiento donde laarena formaba pequenas dunas que se desplazabanhacia afuera de la placa.
Efectivamente, el espesor, la rigidez y la formade la placa son factores que afectan los patrones quepueden generarse. Tambien se pudo observar clara-mente que el nivel de complejidad de los patronesformados aumentaba junto con la frecuencia.
Otro problema que se observo fue que la mesade trabajo tambien entraba en resonancia con algu-nas frecuencias, lo que pudo ocasionar que existie-ran interferencias con la placa. Puede que las figurasobservadas que no se asociaron ningun patron ob-servado por Chladni correspondiera a la frecuenciadonde la mesa y la placa entraban en resonancia si-multaneamente, pero tambien puede que correspon-diera a las irregularidades de la placa, como valles,cambios de densidad o alguna otra imperfeccion.
En un trabajo futuro se tomarıan en cuenta los
6 Observacion de patrones de Chladni en placas de superficie plana Anexo
siguientes puntos para mejorar el resultado obteni-do:
Utilizar placas con mayor rigidez y de un ma-terial homogeneo;
utilizar un amplificador, ya que a mayor fre-cuencia menor amplitud mecanica;
utilizar una mesa de trabajo que no entre enresonancia con el aparato;
analizar aparte de cualitativamente cuantita-tivamente los resultados;
para la placa triangular usar un trianguloequilatero;
arena de distintos colores para observar el des-plazamiento de los granos; y
comparar entre placas con la misma forma pe-ro diferente espesor.
Referencias
[Re01] David Halliday, Robert Resnick, KennethS. Krane. Physics Vol 1, 5th Edition. April2001.
[www1] http://monoskop.org/Ernst Chladni#WorkConsultado el 2/6/2015
[www2] http://www.hps.cam.ac.uk/whipple/explore/acoustics/ernstchladni/chladniplates/ Con-sultado el 2/6/2015
7. Anexo
Para consultar fotos y videos del experi-mento, ası como el codigo y el esquema delgenerador de funciones; ingrese a la pagina:http://cursosdehector.com/programas/chladni/
