Tetraedro. Representacin, desarrollo y secciones planas.Tetraedro con una de sus caras apoyada en el plano horizontal de proyeccin.El Tetraedro se puede considerar como una pirmide recta y regular, de cuatro caras idnticasy cuya base, y por tanto sus caras laterales son tringulos equilteros. Los lados de estos tringulos son las aristas de la superficie.Dibujamos una de estas caras sobre el plano horizontal de proyeccinpara una magnitud arbitraria de la arista y completamos esta vista dibujando la proyeccin del vrtice superior V que coincide con el centro del tringulo.Para dibujar la proyeccin vertical, tendremos en cuenta quela magnitud de la altura del tetraedro est en funcin de la magnitud de sus aristas. sta es elcateto mayor de un tringulo rectngulo, siendo el cateto menor la proyeccin horizontal de una de las aristas (v-b) y la hipotenusa, la verdadera magnitud de dicha arista.Determinada la altura h dibujamos la proyeccin vertical del cuerpo. Figura 1.

Tetraedro con una de sus caras apoyada en el plano horizontal de proyeccin. Desarrollo.DesarrolloEl desarrollo se ejecuta como en la pirmide recta. En cualquier caso tenemos quedibujar en verdadera magnitud las cuatro caras triangulares del cuerpo con el mayor nmero posible de aristas comunes. Figura 1.Tetraedro con una de sus aristas contenida en plano horizontal de proyeccin siendo otra horizontal.Cuando el tetraedro est en esta posicin, el contorno aparente de sus aristas en proyeccin horizontal es un cuadrado.Las diagonales de este cuadrado son las aristas contenida y paralela al plano horizontal de proyeccin (a las que se hace referencia en el ttulo) que estn enverdadera magnitud. Dibujaremos por tanto un cuadrado a partir de sus diagonales de valor igual al valor constante de la arista del cuerpo.Figura 2La altura -h- del cuerpo es la mnima distancia existente entre las dos aristas mencionadaso, la distancia entre los puntos medios m y n de ambas. Dicha altura es, a su vez,cateto mayor de un tringulo rectngulo de cateto menor la mitad de la arista del cuerpo e hipotenusa la apotema(o altura) de una de las caras segn se advierte en la ilustracin de la figura 3. Determinada la altura, dibujamos la proyeccin vertical del cuerpo.

Tetraedro con una de sus aristas contenida en plano horizontal de proyeccin siendo otra horizontal.Tetraedro con una de sus caras apoyada en un plano cualquiera.

Tetraedro con una de sus caras apoyada en un plano cualquiera.Dado el plano oblicuo Q, dibujaremos sobre l un tetraedro de arista definida y centro O de dicha cara en l contenida.Abatimos el centro O dado sobre uno de los planos de proyeccin, en el ejercicio de la figura 4 sobre el plano horizontal de proyeccin, ydibujamos en verdadera magnitud, el tringulo equiltero de la cara del tetraedro correspondiente a este centro.Desabatimosel plano Q y con l la cara ABC dibujada obteniendo de este modo su proyeccin horizontal.Calculamos la proyeccin vertical auxilindonos de rectas del plano(en el ejemplo, horizontales) que contengan a los puntos A. B y C.El vrtice superior V del tetraedro est sobre una recta perpendicular al plano Q que contiene a la base, trazada por el centro O.Su posicin sobre esta perpendicular queda determinada por la altura del tetraedro que, como sabemos, est en funcin de la arista del cuerpo.Determinamos la altura h sobre la cara abatidacomo en el ejercicio de la figura 1.Para situar sobre la recta perpendicular al plano Q, a partir del punto O, la magnitud de la altura, tomamos un punto arbitrario M de esta recta y calculamos la verdadera magnitud del segmento O-Mmediante giro. Sobre el segmento o-M1(en verdadera magnitud) y a partir de o, llevamos la altura h determinada y obtenemos el punto V1.Deshaciendo el giro queda determinada la proyeccin vertical v buscada, del vrtice superior.Secciones planas del Tetraedro.Seccin por un plano oblicuo.Dado el cuerpo por sus proyecciones calcularemos la seccin generada por el plano secante P en l mediante uncambio de plano vertical.Mediante este cambioel plano secante queda convertido en proyectante verticalde modo que podemos apreciar la seccin directamenteen las nuevas proyecciones verticales de la figura.Verdadera magnitud de la seccin.Para mayor brevedad abatimos, sobre el plano horizontal de proyeccin para su clculo, la traza vertical P1 del plano secante obtenida tras el cambio y a partir de ella el propio plano y el polgono de la seccin en l contenido. Figura 5.

Seccin por un plano oblicuo. Verdadera magnitud de la seccin.Seccin producida por un plano de perfil.La seccin en este caso se aprecia directamente en ambas proyecciones(intersecciones de las trazas del plano con las proyecciones de las aristas del cuerpo) por ser el plano de perfil un plano proyectante. Para determinar laverdadera magnitud de la seccin, abatimos el plano de perfil dado sobre el vertical de proyeccin. Figura 6Seccin producida por un plano que pasa por la lnea de tierra.Determinado el plano Q que pasa por la lnea de tierra por el punto N, para resolver la seccinnos auxiliaremos en este caso de una proyeccin de perfil.Para ello dibujamos un plano de perfilP sobre el que proyectamos la figura y el punto N que determina el plano secante. Abatimos el plano de perfil sobre el plano vertical de proyeccin obteniendo latercera proyeccinde la pieza y la traza con el plano de perfil del plano Q.En esta tercera proyeccin as obtenida podemos apreciar directamente la seccinque el plano genera en el cuerpo pues el plano Q, por ser paralelo a la lnea de tierra es perpendicular al de perfil y por tanto proyectante en su tercera traza Q.Calculando las proyecciones didricas del tringulo seccin as obtenido queda concluido el ejercicio. Figura 7.Para resolver la verdadera magnitud de la seccin se ha de tener en cuenta queel abatimiento de un plano que pasa por la lnea de tierra se realiza de forma exactamente igual que si se tratara de cualquier otro plano.

Seccin del tetraedro por un plano de perfil y por uno paralelo a la lnea de tierra.

Hexaedro.Representacin, desarrollo y secciones planas.Elhexaedroes unprisma recto y regular, de bases y caras cuadradas e idnticas.Hexaedro con una de sus caras apoyada en el plano horizontal de proyeccin.El contorno aparente en proyeccin horizontal es uncuadrado cuyo lado es igual a la verdadera magnitud de las aristas. Dibujado el cubo en posicin arbitraria en proyeccin horizontal, dibujamos su proyeccin vertical sabiendo quesu altura es igual a la verdadera magnitud de las aristas. Figura 1.Hexaedro con una de sus aristas contenida en uno de los planos de proyeccin.Dadas las proyecciones didricas de la arista A-B contenida en el plano horizontal de proyeccin dibujaremos las proyecciones didricas del hexaedro. Para ello dibujamos un plano Pperpendicular a la arista dada(proyectante horizontal por tanto) y que contenga a uno de sus extremos (A).El plano P dibujado contendr a una de las caras del hexaedro.Abatimosel plano P en el plano horizontal de proyeccin ydibujamos la caramencionada teniendo en cuenta que uno de sus vrtices es el propio punto A y endonde uno de sus lados forme un ngulo a arbitrario de no indicarse lo contrario,con el plano horizontal de proyeccin.Por los vrtices A, E, C y G de esta cara pasarn aristas perpendiculares a ella y por tanto al plano P,desabatimospues estos puntos y trazamos por ellos las mencionadas aristas perpendiculares a P, queestarn delimitadas en el otro extremo por los vrtices B, D, H y F que quedan determinados pues sabemos que las magnitudes de todas estas aristas es idntica y que todas ellas se muestran en verdadera magnitud por tratarse derectas horizontales.Dibujamos las proyecciones verticales de los vrticestrazados y completamos el dibujo del hexaedrodeterminando sus aristas vistas y ocultas. Figura 2.

Hexaedro con una de sus caras apoyada en el plano horizontal de proyeccin.Hexaedro con una de sus diagonales perpendicular a uno de los planos de proyeccin.Conocida la arista del cuerpo,dibujaremos previamente el hexaedro apoyado por una de sus caras en el plano horizontal de proyeccin(colocaremos una de las diagonales de esta cara, de punta o con su proyeccin horizontal perpendicular a la lnea de tierra.)Se pretende representar el hexaedro con una de sus diagonales principales en posicin vertical, para ellotomaremos la diagonal C-E, ya representada, y la giraremos el ngulo a necesario hasta convertirla en recta vertical, tomamos para el giro un eje de punta que contenga al extremo C de dicha diagonal.Efectuamos,con este mismo eje de giro, el mismo giro (igual ngulo y sentido de giro) para todos los vrtices del hexaedro previamente representado, obteniendo de este modo el cuerpo en la posicin requerida. Figura 3.Podemos observar en las proyecciones as obtenidas, queel contorno de las aristas en proyeccin horizontal representa un hexgono regularpor cuyo centro pasa la diagonal vertical y que las caras del cubo presentan, en esta proyeccin,una de sus diagonales en verdadera magnitudpor presentarse paralelas al plano horizontal de proyeccin.Las diagonales de las caras del cubo, mencionadas, forman adems entre stringulos equilteros inscritos en la circunferencia circunscrita del hexgono antedicho. Se forman dos tringulos equilteros (no dibujados), uno formado por las diagonales de las caras que concurren en uno de los extremos de la diagonal vertical y otro entre las diagonales de las caras del cubo que concurren en el otro extremo de dicha diagonal.Por otro lado se advierte que,en proyeccin vertical, las alturas de los vrtices del hexaedro se corresponden con alguna de las tres divisiones iguales, efectuadas a la diagonal vertical del cuerpo.Las caractersticas recin observadas son comunes a cualquier hexaedro que tenga una de sus diagonales en posicin verticalpor lo que podremos, haciendo uso de ellas, dibujar en adelante los hexaedros as dispuestos sin necesidad de realizar el giro de la figura 3.As se ha procedido en el ejemplo de la figura 4, partiendo de la magnitud de la arista del cubo,este se ha representado directamente con una de sus diagonales en posicin vertical.Para ello se ha representado en la figura 4 y en proyeccin horizontal, (con posicin y orientacin no definidas),un tringulo equiltero cuyo lado es igual a la verdadera magnitud de la diagonal de las caras cuadradas del cuboy en proyeccin vertical se ha dibujado, por el centro del tringulo equiltero antedicho, una diagonal del cubo que se ha dividido en tres partes iguales para determinar las alturas de los vrtices del cuerpo.Calculando el hexgono regular inscrito en la circunferencia circunscrita del tringulo y de vrtices coincidentes con los vrtices de este, obtenemos la proyeccin horizontal del contorno aparente del cuerpo. Completamos esta proyeccin dibujando las aristas que concurren en los extremos de la diagonal vertical.Dibujamos la proyeccin vertical del cuerpo sin ms que adjudicar a cada vrtice su correspondiente alturade las cuatro posibles definidas al dividir en tres partes iguales la diagonal vertical.

Hexaedro con una de sus aristas contenida en uno de los planos de proyeccin.Paradeterminar la magnitud de la diagonal del cuadrado de las caras y la magnitud de la diagonal del cubo, se ha procedido segn la ilustracin de la figura 5A.En ella se aprecia queel valor de la diagonal del cuadrado es igual que el de la hipotenusa de un tringulo rectngulo e issceles, de lados iguales a las aristas del cubo, y quela diagonal del cuboes la hipotenusa de un tringulo rectngulo cuyo cateto menor es arista del cubosiendo su cateto mayor igual a la magnitud de la diagonal de las caras del cubo. Figura 5B.

Determinacin de la magnitud de la diagonal del cuadrado de las caras y la magnitud de la diagonal del cubo.Desarrollo.Se resuelve como en el caso del prisma recto, en cualquier caso tendremos que dibujarseis caras cuadradas con el mayor nmero posible de aristas comunes. El lado del cuadrado es arista del hexaedro, si es necesario mediante un giro se calcula su verdadera magnitud. Figura 6.

Desarrollo del hexaedro y seccin producida por un plano horizontal.Secciones.Seccin producida por un plano horizontal.Dado el plano horizontal H, la seccin producida por este en el cuerpose aprecia directamente en proyeccin vertical por ser el plano proyectante en este plano de proyeccin.La verdadera magnitud de la seccin es la propia proyeccin horizontal de la seccinpues, por ser H un plano paralelo al plano horizontal de proyeccin, no sufren deformacin lineal ni angular las proyecciones horizontales de los elementos en l contenidos.Figura 6.Hexaedro con una de sus caras apoyada en un plano cualquiera.Dado el plano Q paralelo a la lnea de tierra y la proyeccin horizontal -a- del punto A en l contenido, representaremos un hexaedro con una de sus caras apoyada en el plano dado y uno de sus vrtices coincidentes con el punto A dado. La magnitud de la arista y la orientacin del cubo se dispondrn arbitrariamente.Calcularemos primero laproyeccin vertical del punto A dado mediante una recta del plano. En el ejercicio nos hemos auxiliado de una recta oblicua u-u del plano, para determinar la proyeccin vertical del punto A.Normalmente tomamos rectas auxiliares horizontales o frontales del plano dado, por tratarse de un plano paralelo a la lnea de tierra no podemos tomar rectas de este tipo, tomaremos pues una recta oblicua cualquiera.Abatimos el punto A sobre uno de los planos de proyeccin(plano horizontal de proyeccin en la figura 8) y dibujamos en verdadera magnitud lineal y angular la cara A, B, A, D que pretendemos colocar en el plano dado Q (con orientacin y de magnitud arbitrarias).Desabatimosla cara as dibujada y obtenemos su proyeccin horizontal. Medianterectas del plano(S, T y V),calculamos su proyeccin vertical.Las aristas lateralesdel cubo (segmentos B-X, D-G, C-H y A-F),coinciden con rectas perpendiculares al plano Qtrazadas por los puntos A, B, C y D de la cara dibujada.Por tratarse de un plano paralelo a la lnea de tierra, no basta, como en otras ocasiones, con trazar por estos puntos rectas que presenten sus proyecciones normales a las trazas homnimas del plano pues de este modo, cualquier recta de perfil sera perpendicular al plano Q y esto no es cierto. Para trazar rectas perpendiculares al plano Q por los puntos A, B, C y D de la cara en l contenida,recurrimos a la tercera proyeccino proyeccin sobre un plano de perfil P. En esta vista de perfil dibujamos la traza Q del plano Q dado con el plano de perfil. Calculamos una de las proyecciones de perfil -c- de uno de los puntos -C- de la cara situada en el plano Q del cubo.Por la proyeccin de perfil del punto C podemos, ahora s,trazar una recta perpendicular al plano Q, sin ms que hacerlo a su traza de perfil Q.Para determinar el extremo H de la arista C-H perteneciente a esta recta, llevamos a partir de c la verdadera magnitud de la arista del cubo y obtenemos h. Por tratarse de la tercera proyeccin de una recta de perfil,esta se presenta en verdadera magnitud(la recta es paralela al plano de perfil), por lo que podemos situar la verdadera magnitud de la arista del cubo directamente a partir de la proyeccin c obteniendo de este modo h.Todas las rectas que contienen a las aristas laterales del cubo son rectas de perfil (normales a las trazas homnimas del plano Q). Una recta de perfil queda absolutamente definida conociendo dos puntos de ella, uno de ellos es en nuestro caso alguno de los pertenecientes a la cara A, B, C o D contenida en el plano, los otros sern los extremos superiores correspondientes de las aristas laterales que deben de estar ubicados de tal modo que los segmentos definidos sean perpendiculares al plano Q y cuya magnitud sea igual a la magnitud de la arista del cubo dibujado. Esto es lo que le sucede a la arista C-H, es normal al plano Q y su magnitud L igual a la arista del cubo.Definido el punto H por su proyeccin de perfil, obtenemos sus proyecciones vertical y horizontal. Para determinar las proyecciones didricas de los vrtices restantes del cubo, trazamos por la proyeccin vertical y horizontal del punto Haristas paralelas a las de la cara inferiorA, B, C y D hasta cortar a las aristas correspondientes (paralelas todas a la arista C-H) en los puntos X, G y F.Determinados los ocho vrtices del hexaedro solo nos queda determinar cules son suspartes vistas y ocultasteniendo en cuenta que este se introduce, en el ejemplo, en el segundo diedro. En principio las aristas ocultas son, en proyeccin vertical, las que concurren en el vrtice D que es el ms cercano al plano vertical de proyeccin y en proyeccin horizontal las concurrentes en el punto A.Por introducirse en el segundo diedro, la proyeccin horizontal del cuerpo se muestra oculta (de puntos) a partir de la lnea de tierra. Las zonas ocultas en proyeccin vertical, correspondientes al segundo diedro, se comenzarn en las trazas verticales de las aristas.Las trazas de las aristas de la base A, B, C y D, contenida en el plano Q, quedan definidas por las intersecciones entre ellas y la traza vertical del plano QLas trazas verticales de las aristas laterales podemos obtenerlas a partir de la interseccin entre ellas y la traza vertical del plano de perfil. La nica arista lateral que presenta traza (vr) con el plano vertical de proyeccin es la C-H de la que se calcula su proyeccin vertical a partir de su proyeccin de perfil.En la figura 8 se ha dibujado la proyeccin de perfil completa del cuerpo para entender mejor que partes del hexaedro se introducen en el segundo diedro (seccin del plano de proyeccin vertical con el propio cuerpo), si bien no resulta necesario trazar, en tercera proyeccin, nada ms que la recta R y en ella el segmento C-H para definir la perpendicularidad y la ubicacin de los vrtices de la base superior como hemos visto.

Hexaedro con una de sus caras apoyada en un plano cualquiera.Comprtelo:

Octaedro.Representacin, desarrollo y secciones planas.Eloctaedroes, como sabemos, unasuperficie prismtica compuesta de ocho caras iguales que son adems tringulos equilteros.Todas sus aristas tienen igual magnitud y las tres diagonales de este cuerpo se cortan entre s en sus puntos medios y perpendicularmente.Se puede entender comodos pirmides, de caras tringulos equilteros, unidas por sus bases cuadradas.Octaedro con una de sus diagonales perpendicular a uno de los planos de proyeccin.En esta posicin, la proyeccin didrica del cuerpo sobre el plano de proyeccin que resulta perpendicular a la diagonal mencionada, representa elcontorno aparente de sus aristas segn un cuadrado(en el ejemplo de la figura 1 la diagonal es vertical, resultando por tanto el contorno aparente cuadrado, vrtices A, B, C y D, en proyeccin horizontal).Las aristas del octaedro, lados del cuadrado, estn en verdadera magnitud por ser rectas horizontales(o pertenecer a un plano horizontal).De las tres diagonales del octaedro, dos de ellas(A-C y B-D)tambin son horizontalesy la tercera E-F verticalen este ejemplo.Las tres se presentan en verdadera magnitudD, las dos primeras en proyeccin horizontal y la ltima en proyeccin vertical.Dibujada la proyeccin horizontal del cuerpo a partir de la magnitud de la arista, dibujamos su proyeccin vertical a partir de la verdadera magnitud de la diagonal vertical sabiendo que la altura de los vrtices A, B, C y D es D/2. Figura 1.

Octaedro con una de sus diagonales perpendicular a uno de los planos de proyeccin y una de sus caras sobre el plano horizontal.Octaedro con una de sus caras apoyada en el plano horizontal de proyeccin.El octaedro tiene sus caras triangulares paralelas dos a dos.En el ejercicio de la figura 2, representaremos un octaedro con una de sus ocho caras contenida en el plano horizontal de proyeccin.En esta posicin y en proyeccin horizontal la cara A, B, C, contenida en el plano horizontal de proyeccin y su paralela E, D, Fmuestran sus lados (aristas del cuerpo) en verdadera magnitud y tienen sus centros coincidentes,adems una estgirada respecto la otra 180.La proyeccin horizontal del cuerpo presenta elcontorno aparente de sus aristas como un hexgono regularde vrtices coincidentes con los de los tringulos equilteros mencionados. Dibujamos pues los dos tringulos equilteros girados, de lados iguales a la magnitud de la arista del cuerpo, y completamos la proyeccin horizontal uniendo sus vrtices.Para dibujar la proyeccin vertical del octaedro tendremos en cuenta que la cota de los tres vrtices situados en el plano horizontal de proyeccin es lgicamente nula, siendo la de los otros tres la misma.La altura H de estos tres puntos es igual a la magnitud de del cateto mayor de un tringulo rectngulo de cateto menor, la proyeccin horizontal de una de las aristas no horizontal (F-B) y de hipotenusa, la verdadera magnitud de la arista.Desarrollo.Se resuelve como si de dos pirmides cuadradas se tratase. En cualquier caso tenemos que dibujarocho tringulos equilteros con el mayor nmero de aristas comunes.La verdadera magnitud de la arista, lado del tringulo se aprecia en proyeccin horizontal en cualquiera de las del contorno de la pieza. Figura 4.

Desarrollo y seccin producida por un plano frontal.Secciones del octaedro.Seccin producida por un plano frontal.En este ejerciciose aprecia la seccin directamente en proyeccin horizontal y su verdadera magnitud en la vertical. Figura 3.Seccin producida por un plano paralelo a la lnea de tierra.Nos auxiliaremos en este ejercicio de una proyeccin sobre un plano de perfil P para resolver la seccin si bien podramos proceder con los mtodos habituales. Calculada la tercera proyeccin del cuerpo y la tercera traza del plano secante,la seccin se aprecia entre ellas directamentepor ser Q proyectante sobre el plano P en su tercera traza Q ya que Q al ser paralelo a la lnea de tierra es perpendicular al plano de perfil. Para concluir la seccin, dibujamos las proyecciones didricas vertical y horizontal de la misma.Verdadera magnitud.Abatimos el plano Q y con l el polgono de la seccin sobre el plano vertical de proyeccin.Para ello aprovechamos la vista de perfil existente en lugar de proceder como lo hacemos normalmente.Figura 5.

Seccin producida por un plano paralel