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FINITE-ELEMENT-METHODE

JUN.-PROF. DR.-ING. DANIEL JUHRE

INSTITUT FÜR MECHANIK, FAKULTÄT FÜR MASCHINENBAU

OTTO-VON-GUERICKE-UNIVERSITÄT MAGDEBURG

KURSINFORMATIONEN

WS 2014/15 FINITE-ELEMENT-METHODE JUN.-PROF. D. JUHRE 2

Verantwortlicher:

Jun.-Prof. Dr.-Ing. Daniel Juhre

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Büro: 10-040

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Übungsleiter:

Dr.-Ing. Harald Berger

E-Mail: [email protected]

Büro: 10-013

Tel: 0391/67-52406

mailto:[email protected]

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INHALT DER VORLESUNG

1. Einführung

2. Grundlagen linearer Strukturmechanik

3. Räumliche isoparametrische Stabelemente

4. Ebene finite Elemente

5. Finite Volumenelemente

6. Strukturelemente

7. Erweiterte Elementtechnologie

3WS 2014/15 FINITE-ELEMENT-METHODE JUN.-PROF. D. JUHRE


1. Einführung





6. Strukturelemente



1. EINFÜHRUNG1.1 ANWENDUNGEN DER FEM IN DEN INGENIEURWISSENSCHAFTEN


Die Finite-Element-Methode

Die Finite-Element-Methode, ursprünglich zur Lösung strukturmechanischer Problemstellungen

entwickelt, wurde bis heute zu einem leistungsfähigen numerischen Lösungsverfahren natur- und

ingenieurwissenschaftlicher partieller, zeit- und ortsabhängiger Differentialgleichungen mit

entsprechenden Anfangs- und Randbedingungen weiterentwickelt.

Mit der rasanten Steigerung der Rechenleistung moderner Computeranlagen und der nicht weniger

fortschreitenden Entwicklung kommerzieller Programmsysteme auf Basis der Finite-Element-

Methode hat sich dieses Verfahren im Alltag des Ingenieurs etabliert.

Die Finite-Element-Methode hat sich in vielen Bereichen gegen die Alternativen Finite-

Differenzenverfahren, Global-Ritz-Verfahren, Finite-Volumen-Verfahren oder Randelementverfahren

vor allem wegen seiner Vielseitigkeit, der Möglichkeit zur Berechnung beliebiger Geometrien mit

unstrukturierten Netzen oder Unterteilungen des Lösungsgebiets durchgesetzt.

1. EINFÜHRUNG1.1 ANWENDUNGEN DER FEM IN DEN INGENIEURWISSENSCHAFTEN


Medium Grundgleichung Materialgesetz Anwendung

Struktur Energiegleichung Fourier Wärmeleitung (Bauphysik, Motorenbau,

Kühlungstechnologie)

Impulsgleichung Materialgesetz Elastostatik und –dynamik

(Tragwerksberechnung, Fahrzeugbau, Luft-

und Raumfahrt)

Fluid Masse- und

Impulserhaltung

(Navier-Stokes)

Newton Fluid inkompressible und kompressible

Strömungssimulation (Fahrzeug- und

Flugkörperumströmung, Rohrströmung)

Energiegleichung Fourier Wärmetransport in strömenden Medien

(Wärmetauscher)

Fluid - Struktur Maxwellgleichungen elektrische

Feldstärke

magnetische

Induktion

Elektrostatik und –dynamik

(Kondensatoren, Elektromotoren,

Generatoren)

1. EINFÜHRUNG1.2 STRUKTUR VON PROGRAMMEN DER FINITE-ELEMENT-METHODE


Kommerzielle FEM-Programme

Kommerzielle Programme der Finite-Element-Methode wie z.B.

• Abaqus

• Adina

• Ansys

• COMSOL Multiphysics

• MSC.MARC

• LS-DYNA

• …

werden derzeit sehr erfolgreich im allen Bereichen des Ingenieurswesen zur Berechnung linearer

und nichtlinearer Probleme der Strukturmechanik eingesetzt.



Akademische FEM-Programme

Neben diesen anwendungsfreundlichen Programmen existiert eine Vielzahl von

Forschungsprogrammen, die insbesondere zur Weiterentwicklung der Finite-Element-Methode im

Bereich der Elemententwicklung und der Lösungsalgorithmen sowie zur Entwicklung weiterer

Applikationen der Methode eingesetzt werden. Exemplarisch seien hier die folgenden Programme

genannt :

• CARAT (Institut für Baustatik, Universität Stuttgart)

• COSAR (Institut für Mechanik, Universität Magdeburg)

• FEAP (University of Berkeley, USA)

• INA (Institut für Mechanik, Universität Hannover)

• KRATOS (CIMNE, Uinversidad de Catalunya, Barcelona)



Aufbau und Ablauf der FE-Berechnung

Kommerziellen Programmen sowie Forschungsprogrammen gemeinsam ist der prinzipielle

Aufbau und Ablauf der Berechnung, wobei kommerzielle Programme für gewöhnlich den 'Blick

hinter die Kulissen' sowie Erweiterungen oder Modifikationen der Prozeduren nur begrenzt

zulassen.

Der typische Ablauf numerischer Analysen im Rahmen der Finite-Element-Methode zur Lösung

linearer Probleme der Elastostatik kann in drei Schritte unterteilt werden

1. Preprocessing

2. Processing

3. Postprocessing



Preprocessing

Hierin werden dem Finite-Element-Programm die zur Berechnung des Problems notwendigen

Eingabedaten interaktiv oder auch in Form von Eingabedateien zur Verfügung gestellt.

Die Kontrolle der Eingabe kann zumeist grafisch durchgeführt werden.

Wesentliche Eingabedaten sind:

• Geometrie

• Material

• geometrische Randbedingungen (Verschiebungen, Lager)

• statische Randbedingungen (Lasten)

• Volumenlasten

• Typ der verwendeten finiten Elemente

• Netzgenerierung (Zerlegung der Struktur in finite Elemente)



Processing

Innerhalb des Processing findet die numerische Umsetzung der Finite-Element-Methode statt.

Hierzu sind im wesentlichen folgende Schritte notwendig:

• Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen

• Berechnung der Elementlastvektoren (Volumen- und Randlasten)

• Zusammenbau (Assemblierung) der Systemsteifigkeitsmatrix und das Systemlastvektors

• Auflösung des entstandenen linearen Gleichungssystems nach dem

Systemverschiebungsvektor



Postprocessing

Die Ausgabe der Lösung und die Interpretation und Kontrolle der Ergebnisse durch den

anwendenden Ingenieur erfolgt im Postprocessor des Programmsystems.

Durchzuführende Operationen sind:

• Separierung der Elementverschiebungsvektoren

• Berechnung der approximierten kontinuierlichen Verschiebungen mittels der Ansatzfunktionen

• Berechnung der approximierten kontinuierlichen Verzerrungen und Spannungen

• Visualisierung von Deformationen, Dehnungen und Spannungen



Methodik der FE-Berechnung

Methodisch kann die Entwicklung und Anwendung der Finite-Element-Methode durch die unten

dargestellten wesentlichen Schritte bei der grundlegenden Formulierung des Verfahrens

charakterisiert werden.

Modellbildung

Umsetzung des physikalischen Problems in ein mathematisch und geometrisch formulierbares Modell

Formulierung der modellbeschreibenden Differentialgleichungen und Randbedingungen

Schwache Formulierung

Übergang von (starken oder lokalen) Differentialgleichungen und Randbedingungen zu (globalen oder schwachen)

Integralgleichungen – schwache Form der Differentialgleichung

Gebietszerlegung

Zerlegung des Geometriemodells in geometrisch ähnliche Teilgebiete oder Elemente und Anwendung der schwachen

Form auf die Elemente



Methodik der FE-Berechnung

Diskretisierung

Approximation der kontinuierlichen primären Lösungsvariablen mit Hilfe von Ansatzfunktionen und diskreten

Lösungsvariablen, Formulierung von Elementmatrizen und Belastungsvektoren

Assemblierung

Zusammenbau der Elementvektoren und -matrizen zu Systemgrößen, dies ergibt die diskrete schwache Form des

Systems

Fundamentallemma der Variationsrechnung

Die schwache Form muss für alle Variationen der primären Variablen erfüllt sein, damit ergibt sich ein

Gleichungssystem für die diskreten Lösungsvariablen

Lösung des Gleichungssystems

Direkte Lösung für lineare stationäre Systeme

Zeitintegration und iterative Lösung für nichtlineare instationäre Systeme

Nachlaufrechnung abhängiger Größen

Berechnung von abgeleiteten Größen mit Hilfe der diskreten Lösungsvariablen und der Ansatzfunktionen auf

Elementebene

1. EINFÜHRUNG1.2 LITERATUR ZUR FINITE-ELEMENT-METHODE


Literatur in deutscher Sprache

• F.R.S. Argyris und H.-P. Mlejnek. Die Methode der finiten Elemente in der elementaren

Strukturmechanik. Band I - III. Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft, Braunschweig,

1988.

• K.-J. Bathe. Finite-Elemente-Methoden. Springer, Berlin, 2002.

• J. Betten. Finite Elemente für Ingenieure I - II. Springer, Berlin, 1997/98.

• D. Braess. Finite Elemente Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie.

Springer, Berlin, 1997.

• F. Hartmann und C. Katz. Statik mit finiten Elementen. Springer, Berlin, 2002.

• K. Knothe und H. Wessels. Finite Elemente. Eine Einführung für Ingenieure. Springer, Berlin,

1999.

• M. Link. Finite Elemente in der Statik und Dynamik. Teubner Studienbücher, Stuttgart, 2002.

• P. Wriggers. Nichtlineare Finite-Element-Methoden. Springer, Berlin, 2001.

1. EINFÜHRUNG1.2 LITERATUR ZUR FINITE-ELEMENT-METHODE


Literatur in englischer Sprache

• T. Belytschko, W.K. Liu und B. Moran. Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures.

John Wiley & Sons, Chicester, 2000.

• J. Bonet und R.D. Wood. Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis.

Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

• S.C. Brenner und L.R. Scott. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Springer,

New York, 1994.

• M.A. Crisfield. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. I-II. John Wiley &

Sons, Chicester, 1991.

• G.A. Holzapfel. Nonlinear Solid Mechanics. A Continuum Approach for Engineering. John Wiley

& Sons, Chichester, 2000.

• T.J.R. Hughes. The Finite Element Method. Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis.

Dover Publications, New York, 2000.

• O.J. Zienkiewicz und R.L. Taylor. The Finite Element Method. I-III. Butterworth-Heinemann,

Oxford, 2000.


1. Einführung





6. Strukturelemente



2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS


Verschiebungsfeld

Die Kinematik des Kontinuums beschreibt die Geometrie eines Körpers, dessen Bewegung im

Raum sowie seine Deformation während der Bewegung.

Basis dieser Beschreibung bildet die

Betrachtung eines Körpers als

Ensemble materieller Punkte sowie

der Charakterisierung ihres

ursprünglichen und aktuellen Orts

mit Hilfe des Orts- und

Verschiebungsvektors.

Abbildung



Verschiebungsfeld

Während der Bewegung existiert zu jeder Zeit 𝑡 eine eindeutige Konfiguration des Körpers. Sie wird

Momentankonfiguration genannt. In der Ausgangslage heißt sie Ausgangskonfiguration.

Der Ortsvektor 𝐗 gibt die Position

eines Materialpunkts in der Ausgangs-

konfiguration an. Die Bewegung des

Materialpunkts wird mit Hilfe des

Verschiebungsvektors 𝐮 bestimmt.

Abbildung



Verschiebungsfeld

Die Komponenten der Orts- und Verschiebungsvektoren sind in der kartesischen Basis mit den

orthogonalen Einheitsvektoren oder auch Basisvektoren 𝐞𝑖 für 𝑖 ∈ 1,2,3 definiert.

Die aktuelle Position des betrachteten

materiellen Punkts zur Zeit 𝑡 ist mit dem

Ortsvektor 𝐱 gegeben.

Abbildung



Definition eines allgemeinen Verzerrungsmaßes

Durch das Verschiebungsfeld kann die Lage und Gestalt des deformierten Körpers eindeutig

beschrieben werden. Eine Aussage über lokale Verzerrungen oder Dehnungen ist allerdings nicht

möglich.

Hierzu bedarf es der Betrachtung des

differentiellen Umfelds eines materiellen

Punkts. Das kann mit Hilfe der zeitlichen

Veränderung des Linienelements 𝑑𝐗in der Ausgangskonfiguration zu 𝑑𝐱in der Momentankonfiguration

ermöglicht werden.

Abbildung




Der funktionale Zusammenhang zwischen 𝑑𝐗 und 𝑑𝐱 kann

wie folgt dargestellt werden.

Abbildung




Hierin ist 𝟏 der Einheitstensor zweiter Stufe, dessen Komponenten dem Kroneckersymbol 𝛿𝑖𝑗entsprechen.

mit

Abbildung




Der Verschiebungsgradient 𝛻𝐮 bezeichnet die Ableitung des Verschiebungsvektors nach dem

Ortsvektor der Ausgangskonfiguration.

Abbildung




Als Maß für die Längenänderung eines Linienelements 𝑑𝐗 während der Deformation wird das

Längenquadrat in der Ausgangskonfiguration

bzw. das Längenquadrat in der

Momentankonfiguration

gebildet (s. Folie 22).

Abbildung




Die Differenz der beiden Längenquadrate ergibt

Bezieht man nun die Differenz auf das

zweifache Längenquadrat der

Referenzkonfiguration erhält man

𝐄 ist der sogenannte Green-Lagrange

Verzerrungstensor.

Abbildung

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