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• 7/29/2019 Methode Rotations

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Cours de- mcanique -

_______________________________________________

METHODE DES ROTATIONS :

Application de la mthode des dplacements

aux ossatures nuds fixes.

• 7/29/2019 Methode Rotations

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SOMMAIRE

1. GNRALITS SUR LE CALCUL DES STRUCTURES PAR LA MTHODE DES DPLACEMENTS ________________ 3

1.1. GNRALITS SUR LE CALCUL DES STRUCTURES.......................................................................................31.2. HYPOTHSES RELATIVES LA MTHODE DES DPLACEMENTS : .................................................................31.3. OSSATURES NUDS FIXES :DFINITION..................................................................................................3

2. LES DPLACEMENTS ET DEGRS DE LIBERT (DDL)__________________________________________ 5

2.1. DFINITION DES DEGRS DE LIBERT ........................................................................................................52.2. NOTATIONS POUR UNE BARRE ..................................................................................................................72.3. MTHODOLOGIE DANS LE CAS OU LES DFORMATIONS DEFFORT NORMAL SONT NGLIGES.......................92.4. PRINCIPE DE LA MTHODE ......................................................................................................................11

3. ACTIONS NODALES, SOLLICITATIONS, ACTIONS DE BLOCAGE DES EXTRMITS DES BARRES______________ 13

3.1. ACTIONS NODALES .................................................................................................................................133.2. LES SOLLICITATIONS...............................................................................................................................14

4. QUATIONS INTRINSQUES OU RELATIONS DE COMPORTEMENT DUNE BARRE A Ai j OU MATRICE DE RIGIDIT

LMENTAIRE__________________________________________________________________ 15

4.1. EQUATIONS INTRINSQUES.....................................................................................................................154.2. SIGNIFICATION DES TERMES DE LA MATRICE DE RIGIDIT. ........................................................................164.3. ASSEMBLAGE MATRICIEL ........................................................................................................................164.4. ALGORITHME DTUDE............................................................................................................................174.5. PRISE EN COMPTE DES RELAXATIONS : CONDENSATION STATIQUE. ..........................................................234.6. BARRES COMPORTANT DES EXTRMITS LIBRES (CONSOLES)..................................................................264.7. STRUCTURES GOMTRIE SYMTRIQUE SYMTRIQUEMENT CHARGE ...................................................26

5. FORMULAIRE : ACTIONS DE BLOCAGE AUX EXTRMITS DES BARRES _____________________________28

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Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n3/29

1. Gnralits sur le calcul des structures par la mthode des dplacements

1.1. Gnralits sur le calcul des structures

La mthode des dplacements permet dtudier les structures hyperstatiques voire isostatiques. Dans lamthode des forces (ou mthode des coupures), les inconnues sont soit des actions extrieures statiquement

indtermines (actions de liaison indterminables par application du PFS), soit des sollicitations extriorisespar la cration de coupures. La rsolution du problme repose sur le respect de conditions cinmatiques (nullitdu dplacement relatif des lvres de la coupure ou des dplacements des inconnues hyperstatiques auxappuis). Dans la mthode des dplacements, les inconnues sont les composantes du vecteur dplacement descentres de gravit de sections droites (origine et extrmit) dlimitant les barres ainsi que les rotations de cessections droites. Ces centres de gravit de sections droites sont appels nuds. Ces inconnuesindpendantes que nous appellerons degrs de libert DDL sont calculs compte tenu de conditionsstatiques respecter appliques aux diffrents nuds de la structure. Do le nom de cette mthode.

Suivant la structure tudier, le choix de la mthode utiliser pour le calcul manuel est important. Il fautdonc comparer le nombre dinconnues hyperstatiques et le nombre de degrs de libert de la structure pourchoisir la meilleure mthode utiliser.

Notons que la plupart des logiciels de calcul des structures sont bass sur la mthode des dplacements.

Pour ltude dune structure, lobjectif principal est de dterminer les sollicitations ainsi que les dplacementspour pouvoir vrifier les 2 critres principaux : le critre de rsistance et celui de flche admissible.

1.2. Hypothses relatives la mthode des dplacements

Restriction de ltude au cas des structures planes, en considrant des dplacements petits appartenantau plan de la structure, le matriau utilis suit la loi de comportement lastique ( pas de plasticit ), pasdinstabilit.

La structure est compose de barres droites.

Les forces sont appliques dans le plan de symtrie, pas de torsion.

Les liaisons sont parfaites (pas de dissipation dnergie)

Nous ngligeons les dformations dues leffort tranchant (cette hypothse est justifie sauf si lespoutres sont ajoures ou de grande hauteur ou si nous tudions un treillis assimil une poutreprismatique).

Remarque : la mthode des dplacements peut tre formalise pour des structures spatiales comprenantdes barres de section variable, avec prise en compte de la torsion, de la contribution de leffort tranchantdans les dformations de la structure, de grands dplacements pour ltude des instabilits,...

Nous allons restreindre ltude dans ce fascicule aux structures, dites ossatures nuds fixes qui sont trssimples tudier.

1.3. Ossatures nuds fixes : dfinition

Ossatures ou portiques plans, chargs dans leur plan, dont on nglige la dformation axiale des barres (due leffort normal) et dont les nuds sont bloqus au niveau des dplacements en translation : Par un noyau rigide (bton arm). Par raison de symtrie. Pour une structure gomtrie symtrique et charge symtriquement.Les nuds ne peuvent que tourner.

Nglige la dformation axiale des barres barre de longueur invariable donc connueQuelques exemples :

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Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n5/29

2. Les dplacements et degrs de libert (DDL)

2.1. Dfinition des degrs de libert

La structure est discrtise (dcompose) en barres (tronons droits) et en nuds. La structure est dcritecomme tant un assemblage fini de barres et de nuds. Si vous souhaitez connatre les dplacements en un

point quelconque kA , il faut crer un nud en ce point. Si vous voulez tudier manuellement la structure, ilfaut placer un nombre minimum de nuds.

Exemple

1

pEI

tEI

h

L

0A

1A 2A

p

Y

X

Y

X

OX

Y

Z repre global

la structure est compose de 3 nuds et de 2 barres.

pEI

tEI

h

L

1Ap

Y

X

Y

X

OX

Y

Z repre global

2A

0A

12

0A

Reprsentation du schma mcanique faisant apparatre les barres et les nuds.

Le repre global : pour dfinir les coordonnes des inconnues cinmatiques (DDL)

Le repre local : il est dfini pour chacune des barres, par un sens de parcours depuis lorigine Ai vers

lextrmit Aj , il donne le sens de x.

Le plan xy est le plan de symtrie de la barre, il est confondu avec le plan XY du repre global. De mmelaxe des z est confondu avec laxe Z du repre global perpendiculaire au plan de la structure.

Matriau constitutif

module dYoung E

module de dformation transversal G , uniquement si on prend en compte les dformations dues leffort tranchant,gnralement elles sont ngliges.

La gomtrie

barre A Ai j de longueur Lij , et les caractristiques gomtriques de la section droite. ( ijI moment

quadratique par rapport laxe Gz , (laire de la section droite ijA nintervient pas:).

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Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n6/29

Analyse de la dformation de cette structure

A2

A0

A1

p

Y

X

A'1 A'1

A1U1

V11Z

Y

X

Y

X

Les degrs de libert (DDL) sont les dplacements nodaux indpendants, ces dplacements crentdes sollicitations dans la structure.

Les DDL sont les inconnues cinmatiquesindpendantes entre-elles. Pour lexemple ci-dessus, 3 degrsde libert.

Les dplacements des nuds en tant quinconnues du problme seront exprims par leurs coordonnes

(composantes) par rapport au repre global : on distingue la translation Ur

et la rotation du nud Zr

.

Z

UV

U

UU

r

rrr

1

21

1

10

0

0

0

00

0

0

Pour simplifier, nous noterons :

0

00

0

00

2

1

1

1

10 UVU

UUrrr

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Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n7/29

2.2. Notations pour une barre

Isolons une barre A Ai j , nous allons prciser les notations utilises. Pour ne pas alourdir le dessin nous

avons volontairement omis de reprsenter les ventuelles charges appliques sur la barre.

Nous avons reprsent les actions des nuds sur les extrmits des barres. Ces actions sont toujours descoordonnes (composantes) par rapport au repre local de la barre. On les nomme actions nodales.

Ai

A'j

G(x)

Uj(x)i

yj

xj

zjMj i

zj

zj

A'i

Nij xj

Vij yj

zjMij

Nj ixj

j zj

MzzVy y

xN

UjUi

ligne moyenne dforme

Vj i yjzjj

Lij

Les dplacements des nuds reprsents ci-dessous sont ici exprims dans le repre local de la

barre ji AA .

xj

Ui

ui

vi yj

i zj

Ai

A'i

r r

U

u

v U

u

vii

i

i x y z

j

j

j

jx y zj j j j j j

Aj

A'j

Uj

j zj

uj

vj yj

xj

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Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n8/29

Les inconnues cinmatiques que sont les composantes

U

Vi

i

i XYZ

, exprimes dans le repre global,

des vecteurs dplacement des nuds iA de la structure sont appeles inconnues primaires. Certaines

composantes sont linairement dpendantes entre elles, elles peuvent sexprimer en fonction de celles qui sontlinairement indpendantes.

Les seules inconnues indpendantes DDL constituent les degrs de libert de la structure ouinconnues cinmatiques. Les DDL (degrs de libert) permettent de dfinir entirement le champ dedplacement de celle-ci.

Les composantes des dplacements des extrmits des barres qui interviennent dans les quationsintrinsques doivent tre exprimes dans le repre local.

Ai

A 'iij

ik

j

k

Ui

Les rotations des extrmits des barres sont diffrentes ij ik La rotation du nud i na pas de signification

physique.

Ai

A'i

ij

i

j

k

Ui

L

i

La rotation du nud Ai est i i= , elle esttotalement diffrente de la rotation de lextrmitde la barre articule ij

La rotation dun nud articul nest pas un DDL, cest une inconnue primaire qui sexprime en fonctiondes DDL :

en utilisant, pour la figure de gauche, lquation 0ijM et 0ikM

pour la figure de droite 0ijM .

On dit que lon effectue des condensations statiques. 5.1

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Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n9/29

2.3. Mthodologie dans le cas ou les dformations deffort normal sont ngliges

Pour certaines poutres de forte section, on peut ngliger la dformation due leffort normal. Cettehypothse est exclue pour les lments de treillis, les cbles (haubans) ou les tirants de prcontrainte.

Cette hypothse dincompressibilit ou dinextensibilit permet dtablir une relation cinmatique entre lesdplacements en translation des extrmits des barres.

Soit ij la rotation densemble de la barre, A Ai j' ' reprsentant la corde de la barre dplace voir 2.2

tude dans le repre global : ( )jiij

Z. 'A'A,xjjrrr

=

jijij AAUUrrrr ijijjij x.LZUU rrrr

+

=

+

=

00

0

0

00ijijji

ijijji

ij

ij

ij

j

i

i

j

j

cos.L.V

sin.L.U

sin

cos

LV

U

V

U

ijijjij sin.L.UU ijijjij cos.L.VV ijij

ij

ijij

ij

jsin.L

UU

cos.L

VV

=

j peut sexprimer en fonction des dplacements en translation des nuds dextrmit, nous avons donc

4 inconnues en translation jiji V,V,U,U et la rotation densemble j lies par 2 quations, soit 3

inconnues indpendantes.

La connaissance de jji ,U,U entrane celle de ji V,V . Cela se traduit par une diminution des DDL entranslation et par consquent du volume de calcul.

Dans le repre local, nous avons u ui j=

( )( )

v y v y z L x v L yv v

Lj ij i ij j ij ij ij i j ij ij jj i

ij

r r r r r

= + = + =

Dmarche. Nous pouvons procder analytiquement ou graphiquement. Cette dernire mthode est

trs rapide

r r r

r

U U Z L xj i j ij ij= + . . Il faut penser que le vecteur jijijijj AAZxLZ

rr

r

r

= estorthogonal la barre dans sa configuration initiale.

ij

ij

ij

ij

jij

ij

j

i

i

j

j

yy

UU

xx

VV

yy

xxZ

V

U

V

U

=

=

+

=

r

On distingue deux types dossatures :

Les ossatures nuds indplaables (on dit aussi nuds fixes) qui ne possdent que desDDL en rotation i . (objet de ce fascicule)

Pour une structure nuds fixes, nous devons obtenir toutes les rotations densemble des barresnulles : 0j .

voir fig. 2.2

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Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n10/29

On utilisera la mthode des rotations pour les structures dont les nuds sont fixes , car seulesinterviennent, dans lquilibre des nuds, les quations des moments nodaux.

Parmi ces paramtres de dplacement, certains peuvent tre connus parce que les proprits de symtriede la structure conjointement au proprits de symtrie du chargement les rendent nuls ou gaux en valeurabsolue.

En outre pour les barres articules une de ses extrmits, la rotation peut tre dtermine en fonction dela rotation de lautre extrmit (condensation statique).

Dans une structure, si nous plaons une articulation tous les nuds de celle-ci y compris lesnuds correspondant aux appuis encastrs:

- si la structure obtenue est isostatique ou hyperstatique cest dire stable, la gomtrie estinvariable et les nuds ne peuvent subir des translations , cest une structure nuds fixes ;

- si la structure obtenue est un mcanisme (hypostatique) on doit distinguer :

- avec un chargement symtrique, cest une structure nuds fixes.

- avec un chargement quelconque, cest une structure nuds dplaables.

Les ossatures nuds dplaables qui comportent aussi des DDL en translation, seronttudies par la mthode des dplacements. (elles ne font pas lobjet du prsent expos)

5.1

• 7/29/2019 Methode Rotations

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Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n11/29

2.4. Principe de la mthode

A2

A0

A1

p

Y

X

A'1

L

h

tEI

pEI

Du fait de lincompressibilit des barres, le nud 1A est fixe.

Les nuds 0A , 2A sont des encastrements : ces nuds, par

dfinition de la liaison, ne tournent pas.Si nous positionnons une articulation aux diffrents nuds 0A , 1A ,

2A nous obtenons une structure 3 articulations isostatique. Cestbien une structure nuds fixes.

Nous pouvons utiliser le principe de superposition dtats dquilibre(car la loi de comportement du matriau est lastique)Nous pouvons considrer ltat rel comme la superposition dun tatbloqu et dun tat dbloqu.

( ) ( ) ( )dbloqubloqu SSS +=

Pour simplifier la notation nous noterons ( ) ( ) ( )S S S= +0 ' lexposant0 indique ltat bloqu.

Ci-contre la structure ( )S

tat bloqu, nous avons visualis le

blocage en rotation du nud. ( )S0

A2

A0

p

Y

X

A'1

A1

tat dbloqu, cest un tat dfini par des dplacements imposs aux

nuds identiques ceux de la structure initiale. ( )S'

En 1A , sexercent des actions nodales, gnrant des dplacements

nodaux identiques ceux de ltat rel ( )S

A2

A0

A1

Y

X

A'1

tat bloqu ( )S0 : La structure est cinmatiquement dtermine. La rotation du nud 1A est nulle.On considre quun oprateur par lintroduction dlments infiniment rigides bloque en rotation les nuds desextrmits des barres de la structure. Le nombre dlments de blocage est gal au nombre de DDL (DegrsDe Libert). Le seul dplacement possible concerne le dplacement de la ligne moyenne des barres soumisesau chargement.

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Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n12/29

tat dbloqu ( )S' : Nous venons de le dfinir comme tant un tat de dplacement impos desnuds de la structure identique celui de ltat rel. Or on peut aussi dire que loprateur prcdent enlveces lments de blocage, mcaniquement cela revient exercer sur les nuds loppos des actions deblocage. Les dplacements rels des nuds de la structure sont identiques ceux de ltat dbloqu. On peutdonc remplacer les charges extrieures qui sont appliques sur les barres par loppos des actions de blocageappliques aux nuds, tout ce passe comme si la structure ntait plus sollicite que par les charges nodales.Sous leffet des charges appliques la structure, chaque section droite subit un dplacement. Mais seuls lesdplacements des sections droites dextrmits nous importent. Dans une barre, la connaissance des

dplacements une de ses extrmits suffit pour atteindre ceux de nimporte quelle section droite de celle-ci.Nous remarquons que les dplacements nodaux de ltat dbloqu sont identiques ceux de ltat rel. Si onne sintresse quaux dplacements des nuds et ce sont bien les inconnues que lon cherche dterminer,on peut donc tudier la structure dans ltat dbloqu. En ce qui concerne des dplacements ou sollicitationsdans les sections autres que les nuds, il faut appliquer la superposition des 2 tats dquilibre.

A2

A0

A1

p

Y

X

A'1

A2

A0

p

Y

X

A'1 A2

A0

A1

Y

X

A'1

A1

pL12

2 pL12

2pL2

pL2

pL2

pL2

pL12

2 pL12

2

( )S = ( )S0 + ( )S'

tat rel tat bloqu tat dbloqu

A2

A0

A1

Y

X

A'1

pL2 pL

12

2

tat dbloqu ( )S'

Comme en A2 dans ( )S' les actions appliques sont transmisesdirectement aux appuis, on peut remplacer ( )S par ( )S' pour cequi est de la recherche des dplacements nodaux qui ici serduisent 1.

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Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n13/29

3. actions nodales, sollicitations, actions de blocage des extrmits des barres

3.1. Actions nodales

A0

A1

A2

1

2

p

L

h

Y

X

repre global

M21V21

N21N12

V12M12

-N12

-V12-M12

N10

V 10M10

M01

V01

N01

-N10-V10

-M10Pour simplifier la notation etprivilgier la lisibilit, nous navonspas indiqu les vecteurs unitairesdes diverses actions, sachez queles actions aux extrmits desbarres sont toujours exprimes parrapport aux repres locaux. Parapplication du Principe des ActionsMutuelles, les actions des barres surles nuds sont opposes.

A0

A1 A2

1

2

p

L

h

Y

X

repre global

pL12

2pL2 pL

12

2 pL2

( )S0 tat bloquA0

A1

A2

1

2

L

hY

X

repre global

M'21V'21

N'21N'12

V'12M'12

-N'12

-V'12-M'12

N'10

V'10 M'10

M'01

V'01N'01

-N'10-V'10 -M'10

pL2

pL12

2

( )S'tat dbloqu

Pour une barre A Ai j nous avons toujours par

rapport au mme repre local :

N

V

M

N

V

M

N

V

M

ij

ij

ij

ij

ij

ij

ij

ij

ij

=

+

0

0

0

'

'

'

Les actions dans ( )S0 sont donnes dans un formulaire.Les actions dans ( )S0 sont facilement calcules par unemthode nergtique ou par application de la formule des3 moments. Il suffit de calculer ces actions en supposant

la poutre bi-encastre. Il est prfrable de connatre cesactions dans le cas dune charge uniformment rpartie.

• 7/29/2019 Methode Rotations

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Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n14/29

3.2. Les sollicitations

Le repre local (i, xj, yj, zj) est associ la barre j.

xj

yjMij

Vij

Nij

j

Mji

jVji

Njii

yj

xj

zj

yj

zj

xj

Le torseur de cohsion au point Ai

{ } ( )( )( )

=

=ij

ij

ij

Aizi

yi

i

Ai

cohAi

M

V

N

M

V

N

T

0

0

0

00

00

00

ziyii M,V,N reprsentent respectivement l'effortnormal, l'effort tranchant, le moment de flexion.

Au point Aj { }( )( ) ( )

=

=ji

ji

ji

Ajijzj

ijyj

ijj

Aj

cohAj

MV

N

LMLV

LN

T0

0

0

00

0

La barre ij tant isole, ijM reprsente la composante sur z du moment (ou couple nodal) en i. Les

composantes des dplacements apparaissant dans les formules doivent tre dtermines par rapport au reprelocal.

Reprsentationdun tronon de barrepour faire apparatreles sollicitations dansune section droitequelconque p M

zj(x)

Vyj(x)

Nj(x)Mij jVij

Nij

x

zj

yj

xjyj zj

xjxj

yj

• 7/29/2019 Methode Rotations

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Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n15/29

4. quations intrinsques ou relations de comportement dune barre A Ai j ou matrice de

rigidit lmentaire

4.1. Equations intrinsques

Les actions aux extrmits des barres de la structure sexpriment en fonction des dplacements nodaux etdes efforts de blocage par ces relations linaires que lon nomme quations intrinsques.

n0

24ijj

ij

ij

i

ij

ij

ij ML

EI

L

EIM +

o0

24jii

ij

ij

j

ij

ij

ji ML

EI

L

EIM +

Ces quations peuvent scrire sous forme matricielle

+

=

0

0

42

24

ji

ij

j

i

ij

ij

ij

ij

ij

ij

ij

ij

ji

ij

M

M

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

M

M

[ ] iiiij FFU.K =+0 [ ]Kij matrice de rigidit de la barre ij, elle est symtrique

Cette matrice ne dpend que des caractristiques gomtriques de la barre et des caractristiques dumatriau constitutif de la barre. Elle est indpendante des charges appliques. Elle reprsente unecaractristique intrinsque de la barre A Ai j .

Pourquoi ce qualificatif dintrinsque ? Tout simplement parce que cette matrice de rigidit lmentaire,lorsquelle est exprime dans le repre local, est invariante quelle que soit la position du repre local et la barredans lespace. Elle permet de relier les actions et les dplacements aux extrmits de celle-ci. Elle traduit etreprsente le comportement mcanique de la barre. Cest sa carte didentit !

[ ]F i0 matrice colonne des actions des nuds sur les extrmits de la barre ji AA , considre comme bi-encastre et soumise au charges appliques. Cest un tat bloqu ou chargement sans dplacement. Cesactions doivent tre crites dans le repre local. Les charges appliques sur la barre ninterviennent quici.

• 7/29/2019 Methode Rotations

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Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n16/29

4.2. Signification des termes de la matrice de rigidit

Les termes correspondent des actions quil faut appliquer aux extrmits pour crer les dplacementsunitaires.

tat 1 :i = 1

0j

MEI

Lijij

ij

' =4

MEI

Ljiij

ij

' =2

Aj

i = 1Ai

6EIijLij2

4EIijLij

2EIijLij

6EIijLij2

tat 2 : j = 1

0i

MEI

Lijij

ij

' =2

MEI

Ljiij

ij

' =4

Ajj = 1

6EIijLij2

4EIijLij

2EIijL ij

6EIijLij2

Ai

4.3. Assemblage matriciel

Dans lquation dquilibre de chaque nud (uniquement ceux o il existe un DDL en rotation), on remplace

les moments nodaux par leur expression en fonction des DDL. Pour k barres lies en i, ( ) + ==

M Cijj

k

i1

0

Ci reprsente un couple appliqu au nud iA

Dans le cas de la structure nuds fixes, il y a finalement autant dquations que dinconnues. Cesont les rotations i des nuds iA . Soit n nuds, le nombre de DDL est gal n. Le nombre dquation est

gal aussi n. Les coordonnes (composantes) des rotations, par rapport au repre local et au repre global,sont identiques. ii = .

• 7/29/2019 Methode Rotations

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Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n17/29

4.4. Algorithme dtude

Dfinir le repre global

Dnombrer et dfinir les DDL :

Les degrs de libert sont les inconnues cinmatiques de rotation des nuds ( ces coordonnes exprimesdans le repre global sont les mmes exprimes dans le repre local car z du repre local est confondu avec Z

du repre global) ii = . Si ce nombre est plus grand que le degr dhyperstaticit, la mthode des rotationsest plus indique.

Si la structure admet un axe de symtrie, les rotations de 2 nuds symtriques sont opposes et la rotationdun nud situ sur laxe de symtrie est nul. Aux appuis encastrs, les rotations sont nulles.

Reprsenter le schma mcanique en y indiquant toutes les donnes gomtriques : longueur, momentsquadratiques, les caractristiques mcaniques, les actions, le sens de parcours et dfinir les repres locaux.

Dterminer les quations de rsolution du problme (quations dquilibre)

crire, pour chaque nud dont la rotation constitue un DDL, les quations dquilibre en moment .

crire les quations intrinsques qui interviennent dans les quations dquilibre.

dterminer les actions de blocage : moments,... M Mij ji0 0, (voir formulaire)

prendre en compte les relaxation dextrmit de barre, et effectuer les condensations statiques.

Effectuer lassemblage matriciel, mme classement des DDL et des quations associes

[ ] [ ] [ ]F K U= . La matrice obtenue doit tre dfinie, symtrique et positive.

Calculer les dplacements par inversion du systme matriciel. Il faut procder linversion de la matrice de

rigidit[ ] [ ] [ ]F.KU 1=

Calculer les M ij en injectant les valeurs des DDL [ ]U dans les quations intrinsques

Trac du diagramme des moments de flexion

Nous connaissons les moments nodaux, nous pouvons en dduire les moments de flexion aux extrmits,

Le moment de flexion au nud iA : ziM =loppos du moment nodal ( ijM )

Le moment de flexion au nud jA : zjM =moment nodal ( jiM )

Puis ajouter le diagramme des moments isostatiques (barre isostatique associe articule en iA et appuy

simplement en jA et soumise au chargement initial). On peut en dduire le champ des moments de flexion

M z sur lensemble de la structure.

Si lquation est demande : ( ) ( ) ] [ijij

zj

ij

zizjzj l,xpourl

x.M

l

x.MxMxM 0100

• 7/29/2019 Methode Rotations

18/29

Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n18/29

diagramme des efforts tranchants

Les ijV (efforts nodaux sur y) ou efforts tranchants ( jiyjijyi VVVV = ) aux extrmits des barrespeuvent tre dtermins :

en appliquant le PFS aux barres ji AA ;

o les quations intrinsques. p [ ] 026 ijjiijijij VLEIV + q [ ] 026 jijiij ijji VLEIV + si le moment de flexion est une fonction affine (reprsent par une droite), utiliser V

dM

dxyz

=

si on demande les quations, ( ) ( ) ] [ijij

zizj

yjyj l,xpourl

MMxVxV 000

Par lquilibre des nuds, en forces, on peut en dduire les forces nodales axiales ijN et donc le diagramme

de leffort normal.

Les valeurs de N ij pourront tre dtermines en isolant les nuds et en crivant les 2 quations de

projection des forces sur le repre global, mais uniquement aprs avoir dtermin les efforts nodaux sury : ijV .

Dans le cas des lments supposs incompressibles, il ny a plus de relation directe entre les effortsnormaux et les dplacements. Les quations intrinsques ne fournissent aucune information sur les effortsnormaux, seules les 2 quations en moment sont utiles.

( )NEA

L u uijij

ijj i= avec ( )u uj i 0 et

EA

L

ij

ij Nij indtermin

Dans lquilibre des nuds, il nest pas question dutiliser les quations intrinsques relatives N ij mais

uniquement les quations intrinsques en moment. Ces quations sont suffisantes pour dterminer lesinconnues cinmatiques.

Reprenons lexemple prcdent :

pEI

tEI

h

L

0A

1A 2Ap

Y

X

Y

X

OX

Y

Z repre global

Soit ( )SMontrons que la structure est nuds fixes.

La barre 10AA a une longueur invariable, le dplacement en

translation du nud 1A tant orthogonal la barre, il ne peuttre quhorizontal.On peut ritrer ce raisonnement pour la traverse 21AA : le

dplacement en translation du nud 1A tant orthogonal labarre, il ne peut tre que vertical. Or nous avons montr que ledplacement du nud 1A devait tre horizontal, pourrespecter ces 2 conditions il doit tre fixe.Les inconnues cinmatiques sont les rotations des nuds.

0A et 2A sont des encastrement , ces nuds ne tournent

pas. Le seul degr de libert est donc 11 = .

• 7/29/2019 Methode Rotations

19/29

Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n19/29

Cest une structure hyperstatique de degr 3La mthode des rotations est adapte ce problme, cest la plus efficace (rapidit et simplicit). quation dquilibre du nud 1A : [ ] 01210 =MMcrivons les quations intrinsques :

Barre 10AA : 1012

h

EIM

p= 110 4 h

EIM

p=Barre 21AA :

12

4 2

112

pL

L

EIM t +

12

2 2

121

pL

L

EIM t

Reprenons lquation dquilibre du nud 1A : [ ] 01210 =MM0

12

44 2

11 =pLL

EI

h

EItp

12

44 2

1

pL

L

EI

h

EItp

+

[ ]kEI hpLp +1482

1 avecLI

hIk

p

t=Barre 10AA :

+ k

pL

h

EIM

p

1

1

24

2 2

101

+ kpL

h

EIM

p

1

1

12

4 2

110

Barre 21AA : [ ]kpLpLLEIM t +1112124 22112

[ ]

+++ k

kpLpL

k

kpLpL

L

EIM t

1

23

241212412

2 2222

121

On vrifie que 1210 MM Diagramme des moments de flexion

+ kpL

M z 1

1

24

2

0 ;

+ kpL

M z 1

1

12

2

1 ;

++k

kpLM z 1

23

24

2

2

Diagramme des efforts tranchants :

Leffort tranchant dans le poteau : V dMdxy

z= ; ( ) ( )khpLhMMdxdMxV zzzy + 18

201

1

Pour la traverse on isole la traverse et on applique le PFS quation du moment en Pour la traverse on isole latraverse et on applique le PFS quation du moment en 1A .

02

2

212112 =pLL.VMM ; [ ]L

MMpLV 211221

2

+ ; ( )kpLkpLV +18221 ; ( )( )kkpLV + += 18 4521On isole la traverse et on applique le PFS : quation du moment en 2A .

02

2

122112 =pLL.VMM ; [ ] 1221122

VpL

L

MM = ; ( ) 12218 VpLkpLk =+ ; ( )( )kkpLV + += 18 4312On peut vrifier que 02112 =pLVVOn peut en dduire la distance entre 2A et la section droite ou leffort tranchant sannule :( )( ) akkLpV =++= 18 4521On en dduit la valeur du moment extremum dans la traverse : on se place dans cette section droite

paVpa

a.VMM ext,z =212

2121 2

( )( ) ( )

+

+=

+++

++

2

22222

21124

328051

818

45

1

23

242 k

kkpL

k

kLp

k

kpLpaMM ext,z

0ext,zM

• 7/29/2019 Methode Rotations

20/29

Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n20/29

Diagramme des efforts normauxIsolons le nud 1A

( )( )kkpL + +18 43

( )khpL+182

XNxNr

r

121212

YNxNr

r

121010

1A

En projection sur X

( ) 0182

12 =+ khpL

N ( )khpLN +182

12

leffort normal dans la traverse est une compression ( )khpLN +182

2

En projection sur Y :( )( ) 018 4310 =+ + kkpLN ( )( )kkpLN + + 18 4310 leffort normal dans le poteau est une compression

( )( )kkpLN + + 18 431

zM

zM

8

2pL

+ k

pLM z

1

1

24

2

0

+ k

pLM z

1

1

12

2

1

++k

kpLM z

1

23

24

2

2

( )khpL+182

yV

yV

( )( )kkpL

++

18

45

( )( )kkpL + + 18 43( )( )kkL ++18 45

( )( )kkpL

N ++

18

43

1

( )khpLN +182

2

N

N

• 7/29/2019 Methode Rotations

21/29

Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n21/29

pEI

tEI

h

L

0A

1A 2A

Y

X

Y

X

OX

Y

Z repre global

12

2pL2

pLSoit la structure ( )'S , tat dbloquOn peut montrer que la rotation du nud 1A est identique cellequi correspond aux charges uniformment rparties sur la traverse quation dquilibre du nud

1A : [ ] 0122

1210=pL

MMcrivons les quations intrinsques :

Barre 10AA : 1012

h

EIM

p= 110 4 h

EIM

p=Barre 21AA : 112

4 L

EIM t= 121 2

L

EIM t=

Reprenons lquation dquilibre du nud 1A :

012

44 2

11 =pLL

EI

h

EItp ;

12

44 2

1

pL

L

EI

h

EItp

+

12

44 2

1

pL

L

EI

h

EItp

+ est de la forme [ ] [ ] [ ]F K U= . La matrice de rigidit [ ]K ne

comprend quun terme. Elle est indpendante du chargement. Remarquez [ ]12

2pLF

Supposons que cette mme structure soit soumise un autre cas de chargement, il suffit de dterminerles actions de ltat dbloqu (seuls les couples interviennent) pour dterminer [ ]F , la matrice derigidit [ ]K tant la mme :

12

44 2

1

qh

L

EI

h

EItp =

+

pEI

tEI

h

0A

1A 2A

Y

X

Y

X

O X

Y

Z repre global

q

L

pEI

tEI

h

0A

1A

2A

Y

X

Y

X

O X

Y

Z repre global

L

12

2qh

2

qh

• 7/29/2019 Methode Rotations

22/29

Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n22/29

Exemple n2

Cest une structure gomtriquement symtrique et symtriquement charge. Laxe de symtrie est

confondu avec la ligne moyenne de 32AA .

Montrons que la structure est nuds fixes.

La barre 10AA a une longueur invariable, le dplacement en translation du nud 1A tant orthogonal la

barre, il ne peut tre quhorizontal.On peut ritrer ce raisonnement pour la barre 10 'A'A : le dplacement en translation du nud 1'A ne peut

tre quhorizontal.De mme pour la barre 32AA , mais comme 2A appartient laxe de symtrie, il est fixe.

Sachant que 2A est fixe, on peut ritrer ce raisonnement pour la traverse 21AA : le dplacement en

translation du nud 1A tant orthogonal la barre, il ne peut tre que vertical. Or nous avons montr que le

dplacement du nud 1A devait tre horizontal, pour respecter ces 2 conditions il doit tre fixe.

Idem pour le nud 1'A qui est fixe.

Les inconnues cinmatiques sont les rotations des nuds 121 'A,A,A .

Or en raison de la symtrie 11 ' et comme 2A appartient laxe de symtrie 02 =Le seul degr de libert est donc 11 = .Les exercices n1 et n2 sont des problmes identiques qui admettent la mme solution.

Y

X

pEI

tEI

h

L

0A

1A 2A

p

pEI

tEI

L

0'A

1'A

pEI

3A

Y

X

X

Y

X

Y

OX

Y

Z

• 7/29/2019 Methode Rotations

23/29

Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n23/29

4.5. Prise en compte des relaxations : condensation statique.

La rotation dextrmit dune barre lie un nud par une articulation nest pas un DDL. Il faut donclliminer des quations de comportement. La condensation statique consiste liminer la rotation en exprimantque le moment transmis est nul.

Cas ou la barre A Ai j est articule lorigine Ai M ij = 0

024

ijj

ij

ij

i

ij

ij

ij ML

EI

L

EIM + 024 jii

ij

ij

j

ij

ij

ji ML

EI

L

EIM +

+ 022

120 ijj

ij

ij

i

ij

ij

ij ML

EI

L

EIM 002

2

14jiijj

ij

ij

j

ij

ij

ji MML

EI

L

EIM +

+

MEI

L

EI

L

v v

LM Mji

ij

ijj

ij

ij

j i

ijji ij=

+

3 3 1

20 0

Cas ou la barre A Ai j est articule lextrmit Aj M ji = 0 ;

002

13jiiji

ij

ij

ij MML

EIM

Exemple 3 :

pEI

tEI

h

L

0A

1A 2A

p

Y

X

Y

X

OX

Y

Z

On peut monter que la structure est nudsfixes.Voir exemple n1Le seul degr de libert est donc 11 = .Cest une structure hyperstatique de degr 2La mthode des rotations est adapte ceproblme, cest la plus efficace (rapidit etsimplicit).

quation dquilibre du nud 1A : [ ] 01210 =MMcrivons les quations intrinsques :

Barre 10AA : 1012

h

EIM

p= 110 4 h

EIM

p=Barre 21AA :

12

24 2

2112

pL

L

EI

L

EIM tt +

12

24 2

1221

pL

L

EI

L

EIM tt

Or 1

2

2

2

1221

24

20

12

24 L

EIpL

L

EIpL

L

EI

L

EIM tttt

• 7/29/2019 Methode Rotations

24/29

Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n24/29

8

3

1224

4

12

24 2

1

2

1

2

1

2

2112

pL

L

EIpL

L

EIpL

L

EIpL

L

EI

L

EIM ttttt +

8

3 2

112

pL

L

EIM t +Reprenons lquation dquilibre du nud 1A : [ ] 01210 =MM

08

34 2

11=pL

L

EI

h

EItp [ ]kEI

hpL

p 348

2

1 + avec LIhI

k p

t=Barre 10AA :

+ kpL

h

EIM

p

34

1

4

2 2

101

+ k

pL

h

EIM

p

34

1

2

4 2

110

Barre 21AA : [ ]

+

+ kpLpL

kEI

hpL

L

EIpL

L

EIM

p

tt

34

1

28348

3

8

3 2222

112

On vrifie que 1210 MM Diagramme des moments de flexion

+ k

pLM z

34

1

4

2

0 ;

+ k

pLM z

34

1

2

2

1 ; 02 =zM Diagramme des efforts tranchants :

Leffort tranchant dans le poteau : VdM

dxyz

= ; ( ) ( )kh pLhMM

dx

dMxV zzzy 344

3 2011 +

Pour la traverse on isole la traverse et on applique le PFS quation du moment en Pour la traverse on isole latraverse et on applique le PFS quation du moment en 1A .

02

2

2112 =pLL.VM ;L

MpLV 1221 2

;

+ k

pLpLV

34

1

2221;

( )( )kkpLV 342 1321 + +=On isole la traverse et on applique le PFS : quation du moment en 2A .

02

2

1212 =pLL.VM ; 1212 2 VpLLM = ; 12234 12 VpLkpL = + ; ( )( )kkpLV 342 3512 ++=On peut vrifier que 02112 =pLVVOn peut en dduire la distance entre 2A et la section droite ou leffort tranchant sannule :( )( ) akkLpV =++= 342 1321On en dduit la valeur du moment extremum dans la traverse : on se place dans cette section droite

paVpa

a.VM ext,z =21221 2( )( )

22

34213

22 ++= kkLppaM ext,z0ext,zM

Diagramme des efforts normauxIsolons le nud 1A

• 7/29/2019 Methode Rotations

25/29

Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n25/29

XNxNr

r

121212

YNxNr

r

121010

1A

( )kh pL344 32

+

( )( )kkpL 342 35++En projection sur X

( ) 0344 32

12 =+ khpL

N ( )kh pLN 344 32

12 +leffort normal dans la traverse est une compression

( )kh pLN 344 32

2 +En projection sur Y :

( )( ) 0342 3510 =++ kkpLN ( )( )kkpLN 342 3510 ++leffort normal dans le poteau est une compression( )( )kkpLN 342 351 ++

zM

zM

8

2pL

yV

yVN

N

+ k

pLM z

34

1

4

2

0

+ kpL

M z34

1

2

2

1

( )( )kkpL 342 13 + +

( )( ) akkL =++342 13

( )kh pL344 32

+ ( )( )kkpL 342 35++

( )( )kkpLN 342 351 ++

( )kh pLN 344 32

2 +

• 7/29/2019 Methode Rotations

26/29

Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n26/29

4.6. Barres comportant des extrmits libres (consoles)

A2

Ai

A1

p

Y

X Aj

a aL

A2

Ai

A1

p

Y

X Aj

papa

2

2pa

2

2

pa

Ces barres tant statiquement dtermines, il est prfrable de les enlever, sans oublier de les remplacerpar leur action sur le reste de la structure.

4.7. Structures gomtrie symtrique symtriquement charge

Dans le cas de structures gomtrie symtrique symtriquement charge, afin de simplifier la rsolution, ilen faut en tenir compte pour linventaire des degrs de libert en rotation. Par exemple pour la structure ci-dessous, un seul degr de libert car : 12 .

• 7/29/2019 Methode Rotations

27/29

Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n27/29

Exemple 4

X1A

2A

3A

4A

L

Y

h

La a

5A

6A7A

8A

GzI2

3

GzI GzI GzI

traverse: pente 10%

GzI2

3

p

X1A 3A

4A

L

Y

h

L

5A

6A

7AGzI

2

3

GzI GzI GzI

traverse: pente 10%

GzI2

3

p

papa

2

2pa

2

2pa

On peut simplifier la structure

en remplaant les consoles.

1) Montrer que cette structureest nuds fixes. Montrerque le seul degr de libert est

44 = . La rotation 7 estaussi une inconnuecinmatique, quelle est sonexpression ?

2) Dterminer cette rotation

4 .

3) Montrez que :

06

74 =Lasi ;tracez alors les diagrammesdes sollicitations dans lastructure complte.

• 7/29/2019 Methode Rotations

28/29

Mthode des dplacements. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n28/29

5. Formulaire : actions de blocage aux extrmits des barres

Nous nindiquons que les actions nodales non nulles.

Aj

p

AiL

Aj

p

AiL

M pL

M pL

ij ji0

20

2

12 12= =

V pL

V pL

ij ji0 0

2 2= =

Aj

p

Ai

L

b ca

( )( ) ( ) ( )[ ]Mpb

Lb c a L b b c b aij

02

2 2 3 3

244 2 4 2 2 2= + + + +

( )( ) ( ) ( )[ ]M pbL b a c L b b a b cji0

22 2 3 3

244 2 4 2 2 2= + + + +

Vpb

La

b M M

Ljiij ji0

0 0

2= +

+

Vpb

Lc

b M M

Lijij ji0

0 0

2= +

+

+

Aj

F

Ai

LL/2

M FL

M FL

ij ji0 0

8 8= =

VF

VF

ij ji0 0

2 2= =

• 7/29/2019 Methode Rotations

29/29

Aj

F

Ai

L

ab

2

20

2

20

L

baFM

L

abFM jiij ==

( ) ( )3

20

3

20 33

L

abaFV

L

babFV

jiij

+=

+=

Aj

F

Ai

La

F

a

( )M M Fa

LL a

V V F

ij ji

ij ji

0 0

0 0

= =

= =

Aj

C

Ai

L

a b

( ) ( )

3

00

2

0

2

0

6

22

L

abCVV

L

abaCM

L

babCM

jiij

jiij

==

=

=

Aj

p

AiL

M pL

M pL

V p L V p L

ij ji

ij ji

02

02

0 0

30 20

320

720

= =

= =