Eindimensionale Finite Elemente978-3-642-04992... · 2017. 8. 23. · Vorwort Der Titel des Buches...

Eindimensionale Finite Elemente

Markus Merkel · Andreas Öchsner

Eindimensionale FiniteElemente

Ein Einstieg in die Methode

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ISBN 978-3-642-04991-0 e-ISBN 978-3-642-04992-7DOI 10.1007/978-3-642-04992-7Springer Heidelberg Dordrecht London New York

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Prof. Dr. Markus MerkelHochschule Technik Wirtschaft AalenFakultät Maschinenbau/WerkstofftechnikBeethovenstr. 173430 [email protected]

Prof. Dr. Andreas ÖchsnerTechnical University of MalaysiaFac. Mechanical EngineeringDept. Applied Mechanics91310 Skudai, [email protected]

Unseren Vätern gewidmet.

Vorwort

Der Titel des Buches - Eindimensionale Finite Elemente, Ein Einstieg in dieMethode - steht für Inhalt und Ausrichtung. Zum Thema Finite-Elemente-Methode gibt es heute zahlreiche Literatur. Die unterschiedlichen Werkespiegeln die vielfältigen Sichtweisen und Anwendungsmöglichkeiten wider.Der Grundgedanke dieser Einführung in die Methode der Finiten Elementewird von dem Konzept getragen, die komplexe Methode anhand eindimensio-naler Elemente zu erläutern. Ziel ist es, die vielfältigen Aspekte der Finite-Elemente-Methode vorzustellen und dem Leser das methodische Verständ-nis wichtiger Themenbereiche zu ermöglichen. Der Leser lernt die Annah-men und Ableitungen bei verschiedenen physikalischen Problemstellungen inder Strukturmechanik zu verstehen und Möglichkeiten und Grenzen der Me-thode der Finiten Elemente kritisch zu beurteilen. Zusätzliche umfangreichemathematische Beschreibungsformen entfallen, die lediglich aus der erweiter-ten Darstellung für zwei- oder dreidimensionale Problemstellungen entstehen.Somit bleibt die mathematische Beschreibung weitgehend einfach und über-schaubar. Die Behandlung eindimensionaler Elemente ist jedoch nicht nureine reine Beschränkung auf eine einfachere und übersichtlichere formale Dar-stellung der notwendigen Gleichungen. Im konstruktiven Ingenieurbau gibtes zahlreiche Strukturen - zum Beispiel Brücken oder Hochspannungsmasten- die üblicherweise mittels eindimensionaler Elemente modelliert werden kön-nen. Somit umfasst dieses Werk auch einen ’Satz von Werkzeugen’, der auchin der Praxis seine Anwendung findet.

Die Konzentration auf eindimensionale Elemente ist neu für ein Lehr-buch und ermöglicht die Behandlung verschiedenster grundlegender und an-spruchsvoller physikalischer Problemstellungen der Strukturmechanik in ei-nem einzigen Lehrbuch. Dieses neue Konzept erlaubt somit das methodischeVerständnis wichtiger Themenbereiche (zum Beispiel Plastizität oder Ver-bundwerkstoffe), die einem angehenden Berechnungsingenieur in der Berufs-praxis begegnen, jedoch in dieser Form nur selten an Hochschulen behandeltwerden. Folglich ist ein einfacher Einstieg möglich, auch in weiterführendeAnwendungsgebiete der Methode der Finiten Elemente.

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viii Vorwort

Dieses Buch ist entstanden aus einer Sammlung von Skripten, die als schrift-liche Unterlagen für Vorlesungen ausgeteilt wurden, und Schulungsunterlagenfür Spezialkurse zur Finite-Elemente-Methode. Besonders bei den durchge-rechneten Beispielen und den weiterführenden Aufgaben sind typische Fra-gestellungen von Studierenden und Kursteilnehmern aufgegriffen.

Voraussetzung für ein gutes Verständnis sind Grundlagen in der linearen Al-gebra, Physik, Werkstoffkunde und Festigkeitslehre, so, wie sie typischerwei-se im Grundstudium eines technischen Faches im Umfeld des Maschinenbausvermittelt werden.

In den ersten Kapiteln werden die eindimensionalen Elemente vorgestellt,anhand derer sich die Grundbelastungsarten Zug/Druck, Torsion und Bie-gung abbilden lassen. Hergeleitet werden jeweils die Differenzialgleichung unddie grundlegenden Gleichungen aus der Festigkeitslehre zur Kinematik, zurkonstitutiven Beziehung und zur Bildung des Gleichgewichtes. Im Anschlussdaran werden die Finiten Elemente mit den üblichen Definitionen für Kraft-und Verschiebungsgrößen eingeführt. An Beispielen wird die prinzipielle Vor-gehensweise präzisiert. Für weiterführende Aufgaben sind Kurzlösungen imAnhang angegeben.

Im Kapitel 6 werden Fragestellungen unabhängig von der Belastungsart undder damit einhergehenden Elementformulierung aufgegriffen. Behandelt wer-den ein allgemeines eindimensionales Finites Element, das aus der Kombinati-on von Grundelementen aufgebaut werden kann, die Transformation von Ele-menten im allgemeinen dreidimensionalen Raum und die numerische Integra-tion als wichtiges Hilfsmittel bei der Implementierung der Finite-Elemente-Methode.

In Kapitel 7 wird die vollständige Analyse eines Gesamttragwerks vorgestellt.Die Gesamtsteifigkeitsbeziehung entsteht aus den Einzelsteifigkeitsbeziehun-gen der Basiselemente unter Berücksichtigung der Verbindungen zueinander.Mit den Randbedingungen entsteht ein reduziertes System, aus dem die un-bekannten Größen ermittelt werden. Beispielhaft wird die Vorgehensweise anebenen und allgemein dreidimensionalen Tragwerken vorgestellt.

In den Kapiteln 8 bis Kapitel 12 werden Themen aufgegriffen, die nicht zumStandardrepertoire eines Grundlagenbuches gehören. In Kapitel 8 wird dasBalkenelement mit Schubanteil vorgestellt. Grundlage ist der Timoshenko-Balken.

In Kapitel 9 wird in eine Finite-Elemente-Formulierung für eine besondereWerkstoffklasse - die Verbundwerkstoffe - eingeführt. Zunächst werden ver-schiedene Beschreibungsformen für richtungsabhängiges Stoffverhalten vor-gestellt. Kurz wird auch auf die Faserverbundwerkstoffe eingegangen. Ein

Vorwort ix

Verbundelement wird beispielhaft am Verbundstab und am Verbundbalkendemonstriert.

In den Kapiteln 10, 11 und 12 wird auf Nichtlinearitäten eingegangen. InKapitel 10 werden kurz die verschiedenen Arten von Nichtlinearitäten vorge-stellt. Tiefer beleuchtet wird der Fall der nichtlinearen Elastizität. Die Proble-matik wird exemplarisch für Stabelemente dargestellt. Zuerst wird die Finite-Elemente-Hauptgleichung unter Beachtung der Dehnungsabhängigkeit abge-leitet. Zur Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems werden die direkteIteration und die vollständige und modifizierte Newton-Raphsonsche Ite-ration abgeleitet und anhand von zahlreichen Beispielen demonstriert.

In Kapitel 11 wird elasto-plastisches Verhalten berücksichtigt, eine der häufigauftretenden Form der materiellen Nichtlinearität. Zuerst werden die konti-nuumsmechanischen Grundlagen zur Plastizität am eindimensionalen Kon-tinuumsstab zusammengestellt. Die Fließbedingung, die Fließregel, das Ver-festigungsgesetz und der elasto-plastische Stoffmodul werden für einachsige,monotone Belastungszustände eingeführt. Im Rahmen der Verfestigung ist dieBeschreibung auf die isotrope Verfestigung beschränkt. Zur Integration deselasto-plastischen Stoffgesetzes wird das inkrementelle Prädiktor-Korrektor-Verfahren allgemein eingeführt und für den Fall des vollständig impliziten unddes semi-impliziten Backward-Euler-Algorithmus abgeleitet. An entschei-denden Stellen wird auf den Unterschied zwischen ein- und dreidimensiona-ler Beschreibung hingewiesen, um eine einfache Übertragung der abgeleitetenVerfahren auf allgemeine Probleme zu gewährleisten.

Mit der Stabilität wird in Kapitel 12 ein Thema aufgegriffen, das insbeson-dere bei der Gestaltung und Dimensionierung von LeichtbaukomponentenBerücksichtigung findet. Die für diese Art der Nichtlinearität entwickeltenFiniten Elemente werden zur Lösung der Eulerschen Knickfälle herangezo-gen.

In Kapitel 13 wird eine FE-Formulierung für dynamische Probleme vorge-stellt. Neben den Steifigkeitsmatrizen werden auch Massenmatrizen aufge-stellt. Unterschiedliche Annahmen zur Verteilung der Massen, ob kontinuier-lich oder konzentriert, führen auf unterschiedliche Formulierungen. Beispiel-haft wird der Sachverhalt an Dehnschwingungen des Stabes diskutiert.

Zur Veranschaulichung wird jedes Kapitel sowohl mit ausführlich durchge-rechneten und kommentierten Beispielen als auch mit weiterführenden Auf-gaben - inklusive Kurzlösungen - vertieft. Jedes Kapitel schließt mit einerumfangreichen Literaturliste ab.

Hüttlingen, Skudai, Markus MerkelMärz 2010 Andreas Öchsner

Danksagung

Wir danken dem Springer-Verlag, insbesondere Herrn Dr. Baumann, für dasEingehen hinsichtlich der Ausrichtung des Buches und für die ansprechendeAusstattung des Buches.

Studierenden und Kursteilnehmern sei gedankt, sie haben durch kritischesHinterfragen zur vorliegenden Form beigetragen.

Wir danken herzlich Frau Angelika Brunner für die Unterstützung bei derAnfertigung des Manuskripes und Frau Gertrud Rubly für die sorgfältigeDurchsicht.

Abschließend sei unseren Familien für das Verständnis und die Geduld wäh-rend der Erstellung des Buches gedankt.

xi

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Die Finite-Elemente-Methode im Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Grundlagen zur Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Motivation zur Finite-Elemente-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1 Aus der ingenieurmäßigen Anschauung motivierte Verfahren . 5

2.1.1 Die Matrix-Steifigkeitsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Übergang zum Kontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Integralprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Die Methode der gewichteten Residuen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1 Verfahren auf Basis des inneren Produktes . . . . . . . . . . . 202.3.2 Verfahren auf Basis der schwachen Formulierung . . . . . 242.3.3 Verfahren auf Basis der inversen Formulierung . . . . . . . 26

2.4 Beispielprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Stabelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1 Grundlegende Beschreibung zum Zugstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Das Finite Element Zugstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1 Herleitung über Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.2 Herleitung über Satz von Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.3 Herleitung über das Prinzip der gewichteten Residuen . 43

3.3 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 473.3.1 Beispielprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.2 Weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Torsionsstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.1 Grundlegende Beschreibungen zum Torsionsstab . . . . . . . . . . . . 534.2 Das Finite Element Torsionsstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

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xiv Inhaltsverzeichnis

5 Biegeelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.1 Einführende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2 Grundlegende Beschreibung zum Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.2 Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.3 Stoffgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2.4 Differenzialgleichung der Biegelinie . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2.5 Analytische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3 Das Finite Element ebener Biegebalken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3.1 Herleitung über Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.3.2 Prinzip der gewichteten Residuen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3.3 Anmerkungen zur Ableitung der Formfunktionen . . . . . 90

5.4 Das Finite Element Biegebalken mit zwei Verformungsebenen 925.5 Transformation in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.6 Transformation im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.7 Ermittlung äquivalenter Knotenlasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.8 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 105

5.8.1 Beispielprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.8.2 Weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114


6 Allgemeines 1D-Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.1 Überlagerung zum allgemeinen 1D-Element . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.1.1 Beispiel 1: Stab unter Zug und Torsion . . . . . . . . . . . . . . 1196.1.2 Beispiel 2: Balken in der Ebene mit Zuganteil . . . . . . . . 121

6.2 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.2.1 Ebene Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.2.2 Allgemeine dreidimensionale Tragwerke . . . . . . . . . . . . . 126

6.3 Numerische Integration eines Finiten Elementes . . . . . . . . . . . . 1296.4 Interpolationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.5 Einheitsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.6 Weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7 Ebene und räumliche Rahmenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.1 Aufbau der Gesamtsteifigkeitsbeziehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.2 Lösen der Systemgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.3 Lösungsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.4 Beispiele in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.4.1 Ebenes Tragwerk mit zwei Stäben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.4.2 Ebenes Tragwerk: Balken und Stab . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.5 Beispiele im Dreidimensionalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547.6 Weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Inhaltsverzeichnis xv

8 Balken mit Schubanteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1658.1 Einführende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1658.2 Grundlegende Beschreibung zum Balken mit Schubeinfluss . . . 169

8.2.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1728.2.2 Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.2.3 Stoffgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.2.4 Differenzialgleichungen der Biegelinie . . . . . . . . . . . . . . . 1748.2.5 Analytische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.3 Das Finite Element ebener Biegebalken mit Schubanteil . . . . . 1808.3.1 Herleitung über Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1818.3.2 Herleitung über Satz von Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . 1858.3.3 Herleitung über das Prinzip der gewichteten Residuen . 1868.3.4 Lineare Ansatzfunktionen für das Durchbiegungs-

und Verschiebungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1908.3.5 Höhere Ansatzfunktionen für den Balken mit

Schubanteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2028.4 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 207



9 Balken aus Verbundmaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.1 Verbundwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.2 Anisotropes Stoffverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

9.2.1 Spezielle Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2249.2.2 Ingenieur-Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2269.2.3 Transformationsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2289.2.4 Ebene Spannungszustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

9.3 Einführung in die Mikromechanik der Faserverbundwerkstoffe 2349.4 Mehrschichtiger Verbund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

9.4.1 Eine Schicht im Verbund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2369.4.2 Der vielschichtige Verbund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

9.5 Eine Finite-Elemente-Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2409.5.1 Der Verbundstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2409.5.2 Der Verbundbalken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

9.6 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 243Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

10 Nichtlineare Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24510.1 Einführende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24510.2 Elementsteifigkeitsmatrix für dehnungsabhängige Elastizität . 24710.3 Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . 253

10.3.1 Direkte Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25310.3.2 Vollständiges Newton-Raphsonsches Verfahren . . . . . . . 25910.3.3 Modifiziertes Newton-Raphsonsches Verfahren . . . . . . . 273

xvi Inhaltsverzeichnis

10.3.4 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27610.4 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 278



11 Plastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28911.1 Kontinuumsmechanische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

11.1.1 Fließbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29111.1.2 Fließregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29211.1.3 Verfestigungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29311.1.4 Elasto-plastischer Stoffmodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

11.2 Integration der Materialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29711.3 Ableitung des vollständigen impliziten Backward-Euler-

Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30311.3.1 Mathematische Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30311.3.2 Interpretation als konvexes Optimierungsproblem . . . . . 309

11.4 Ableitung des semi-impliziten Backward-Euler-Algorithmus . . 31211.5 Beispielprobleme und weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 314



12 Stabilität (Knickung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33312.1 Stabilität im Stab/Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33312.2 Große Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33512.3 Steifigkeitsmatrizen bei großen Verformungen . . . . . . . . . . . . . . 337

12.3.1 Stab mit großen Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33812.3.2 Balken mit großen Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

12.4 Beispiele zum Knicken: Die vier Eulerschen Knickfälle . . . . . . . 34212.4.1 Analytische Lösung zu den Eulerschen Knickfällen . . . . 34212.4.2 Finite-Elemente-Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

12.5 Weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

13 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34713.1 Grundlagen zur linearen Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34713.2 Die Massenmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35013.3 Modale Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35013.4 Erzwungene Schwingungen, Periodische Belastungen . . . . . . . . 35313.5 Direkte Integrationsverfahren, Transiente Analysen . . . . . . . . . 354

13.5.1 Integration nach Newmark. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35513.5.2 Zentrales Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

13.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35713.6.1 Bereitstellung von Massen- und Steifigkeitsmatrizen . . 358

Inhaltsverzeichnis xvii

13.6.2 Dehnschwingungen im Zugstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36213.7 Weiterführende Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

A Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381A.1 Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

A.1.1 Das griechische Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381A.1.2 Häufig benutzte Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382A.1.3 Spezielle Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382A.1.4 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382A.1.5 Grundlagen zur linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385A.1.6 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390A.1.7 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391A.1.8 Entwicklung einer Funktion in eine Taylor-Reihe . . . . . 393

A.2 Einheiten und Umrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394A.2.1 Konsistente Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394A.2.2 Umrechnung wichtiger angelsächsischer Einheiten . . . . . 395

Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

Formelzeichen und Abkürzungen

Lateinische Formelzeichen (Großbuchstaben)

A Fläche, QuerschnittsflächeB Matrix mit Ableitungen der FormfunktionenC Stoffmatrix,

DämpfungsmatrixCelpl elasto-plastische StoffmatrixD DurchmesserD StoffmatrixE ElastizitätsmodulEelpl elasto-plastischer ModulEpl plastischer ModulẼ mittlerer ModulF Fließbedingung,

KraftF Spaltenmatrix der äußeren BelastungG SchubmodulI FlächenträgheitsmomentK KompressionsmodulK GesamtsteifigkeitsmatrixKT TangentensteifigkeitsmatrixL ElementlängeL1 Differenzialoperator 1. OrdnungLni Lagrange-PolynomLk KnicklängeM MomentM MassenmatrixN FormfunktionN Zeilenmatrix der Formfunktionen, N = {N1 N2 . . . Nn}Q plastisches Potenzial,Q Stoffmatrix, ebener Fall,

Querkraft

xix

xx Formelzeichen und Abkürzungen

R RadiusS StabkraftS NachgiebigkeitsmatrixT TorsionsmomentT TransformationsmatrixV VolumenW GewichtsfunktionX globale räumliche KoordinateY globale räumliche KoordinateZ globale räumliche Koordinate

Lateinische Formelzeichen (Kleinbuchstaben)

a geometrische Abmessungb geometrische Abmessung, Breitec Integrationskonstanted geometrische Abmessungh geometrische Abmessung, Höhee Einheitsvektorf Funktiong Funktion,

Erdbeschleunigungh Funktion der Verfestigungsänderungi Inkrementnummer,

Variablej Iterationsindex,

Variablek Federsteifigkeit,

Fließspannungks Schubkorrekturfaktorke Elementsteifigkeitsmatrixm Elementanzahl,

Steigung,Polynomgrad,Masse

mt kontinuierlich verteiltes Torsionsmoment pro Längem Residuenfunktionn Knotenanzahl,

Variable,Zustand

q Streckenlast,Integrationsordnung,modale Koordinaten

q Matrix der inneren Variablen

Formelzeichen und Abkürzungen xxi

r Funktion der Fließrichtung,Radius,Residuum

r Vektor der Fließrichtungt Zeit,

geometrische Abmessungtij Komponente der Transformationsmatrixux Verschiebung in x-Richtunguy Verschiebung in y-Richtunguz Verschiebung in z-Richtungu Spaltenmatrix der Knotenverschiebungenv Argumentvektor (Newtonsches Verfahren)x räumliche Koordinatey räumliche Koordinatez räumliche Koordinate

Griechische Formelzeichen (Großbuchstaben)

Γ RandΛ Parameter (Timoshenko-Balken)Π EnergieΠ̄ komplementäre EnergieΠext Potenzial der äußeren LastenΠint elastische VerzerrungsenergieΦ ModalmatrixΩ Raum, Volumen

Griechische Formelzeichen (Kleinbuchstaben)

α Temperaturausdehnungskoeffizient,Konstante,Winkel

β Winkel,Konstante

γ Schubverzerrungδ virtuellε Verzerrungεij Verzerrungstensorε Spaltenmatrix der Verzerrungεpleff plastische Vergleichsdehnungκ innere Variable (Plastizität),

Krümmung (Balkenbiegung)λ Eigenwertdλ Konsistenzparameterν Querkontraktionszahl (Poissonsche Zahl)

xxii Formelzeichen und Abkürzungen

ξ Einheitskoordinate (−1 ≤ ξ ≤ 1)π volumenspezifische Arbeit,

volumenspezifische Energieσ Spannung, Normalspannungρ Dichteσtrialn+1 Testspannungszustandσij Spannungstensorσ Spaltenmatrix der Spannungτ Schubspannungη Koordinateζ Koordinateψ Phasenwinkelφ Drehwinkel, Verdrehungϕ Drehwinkel, Verdrehungω Eigenfrequenz

Indizes, hochgestellt

. . .V Verbund

. . .e Element

. . .el elastisch

. . .ext äußere Größe

. . .geo geometrisch

. . .glo global

. . .init Anfangs- (Anfangsfließgrenze)

. . .lo lokal

. . .pl plastisch

. . .red reduziert

. . .trial Testzustand (Rückprojektion)

Indizes, tiefgestellt

. . .Im Imaginärteil einer komplexen Zahl

. . .Re Realteil einer komplexen Zahl

. . .b Biegung

. . .c Druck (’compression’),Dämpfung

. . .eff Effektivwert

. . .f Faser im Verbund

. . .k elastisch

. . .krit kritisch

. . .l Lamina

. . .m Matrix im Verbund,Trägheit

. . .p Knotenwert

Formelzeichen und Abkürzungen xxiii

. . .s Schub

. . .t Torsion,Zug (’tension’)

. . .w Wand

Mathematische Symbole

(· · · )T Transponierte| · · · | Betrag‖ · · · ‖ Norm⊗ dyadisches Produktsgn VorzeichenfunktionIR Menge der reellen Zahlen

Abkürzungen

1D eindimensional2D zweidimensionalCAD Computer Aided DesignFE Finite ElementeFEM Finite-Elemente-Methodeinc Inkrementnummer

VorwortDanksagungInhaltsverzeichnisFormelzeichen und Abkürzungen

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Eindimensionale Finite Elemente978-3-642-04992... · 2017. 8. 23. · Vorwort Der Titel des Buches...

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