Tasas Activas Anuales de las Operaciones en Moneda Nacional Realizadas en los ltimos 30 Das tiles Por Tipo de Crdito al 02/08/2011Tasa Anual (%) Continental Comercio Crdito Financiero BIFScotiabank Citibank Interbank Mibanco HSBC Falabella Santander Ripley Azteca Deutsche Promedio Corporativos5.76 - 6.43 7.407.595.74 6.46 7.32 -6.33- 9.04 - - - 6.37Descuentos 6.01 - 6.92 -6.716.07 - 5.91 - - - 9.09 - - - 7.75Prstamos hasta 30 das5.23 - 7.48 -7.075.69 6.61 - -6.08- - - - - 6.38Prstamos de 31 a 90 das5.67 - 6.84 7.166.555.33 6.75 - -6.40- - - - - 5.89Prstamos de 91 a 180 das6.00 - 5.37 -7.706.01 5.84 8.48 - - - - - - - 5.63Prstamos de 181 a 360 das6.12 - 6.02 - - 6.27 - - - - - 7.45 - - - 6.15Prstamos a ms de 360 das6.72 - 6.49 8.308.756.04 - - - - - 7.91 - - - 6.60Grandes Empresas7.78 11.99 7.10 8.887.696.76 6.14 7.58 -7.63- 8.32 - - - 8.00Descuentos 7.85 19.52 7.21 8.727.327.41 8.64 7.47 -7.79- 8.60 - - - 7.42Prstamos hasta 30 das7.51 10.50 7.33 14.006.495.77 5.60 9.09 -6.68- - - - - 6.94Prstamos de 31 a 90 das7.85 11.00 6.90 8.467.706.60 6.02 7.86 -7.84- - - - - 7.34Prstamos de 91 a 180 das7.48 12.00 6.66 9.2710.406.28 8.11 7.46 -7.26- - - - - 9.79Prstamos de 181 a 360 das7.38 - 6.61 -12.00- 8.20 - - - - 6.89 - - - 7.23Prstamos a ms de 360 das8.23 10.00 7.24 12.00 - - - 7.90 - - - 7.31 - - - 8.08Medianas Empresas13.05 17.71 10.16 11.7810.959.39 5.41 12.87 21.0010.86- 8.64 - - - 11.10Descuentos 12.49 21.37 9.86 9.4110.539.36 6.43 9.84 -10.86- 8.50 - - - 10.43Prstamos hasta 30 das13.10 12.59 9.72 15.0013.278.61 6.75 14.21 20.339.32- - - - - 10.73Prstamos de 31 a 90 das13.52 12.20 10.98 10.7911.947.56 5.11 10.46 22.6810.61- - - - - 10.16Prstamos de 91 a 180 das13.44 13.18 11.61 10.6811.9410.15 7.78 9.48 -11.87- - - - - 12.19Prstamos de 181 a 360 das13.51 - 8.88 12.8310.118.19 8.25 12.14 22.9513.33- 8.66 - - - 11.58Prstamos a ms de 360 das12.62 14.07 11.31 18.5611.4315.94 - 19.61 20.5412.00- - - - - 14.00Pequeas Empresas23.29 27.97 16.86 25.0814.2325.05 8.25 19.30 25.8710.30- - - - - 23.32Descuentos 26.41 26.09 13.83 12.9614.4413.94 - 11.38 -10.23- - - - - 15.94Prstamos hasta 30 das24.84 14.00 13.28 38.00 - 20.20 - 11.82 23.9510.46- - - - - 23.33Prstamos de 31 a 90 das22.56 26.80 19.72 27.2710.1919.95 - 20.37 31.3310.48- - - - - 21.56Prstamos de 91 a 180 das22.73 34.00 23.64 25.7218.7621.03 8.25 24.50 29.1715.50- - - - - 23.34Prstamos de 181 a 360 das23.20 29.67 8.35 26.0116.2824.62 - 20.42 28.09 - - - - - - 25.55Prstamos a ms de 360 das20.19 29.09 14.64 24.9717.2826.27 - 19.97 25.9210.50- - - - - 24.43Microempresas33.35 31.45 30.32 38.928.1830.79 - 26.76 37.08 - - - - - - 33.82Tarjetas de Crdito36.30 26.18 32.17 - - 45.79 - - - - - - - - - 32.98Descuentos 31.91 22.11 10.67 -12.6519.50 - 10.45 - - - - - - - 27.46Prstamos Revolventes32.00 - - -27.00- - 24.56 29.33 - - - - - - 29.26Prstamos a cuota fija hasta 30 das31.34 34.00 - 25.10 - 24.68 - - 53.07 - - - - - - 31.13Prstamos a cuota fija de 31 a 90 das31.12 30.60 33.51 41.41 - 23.37 - 28.75 42.72 - - - - - - 33.47Prstamos a cuota fija de 91 a 180 das31.05 44.44 33.67 38.73 - 18.96 - 55.00 46.56 - - - - - - 34.42Prstamos a cuota fija de 181 a 360 das31.73 34.65 - 44.4230.0028.67 - 34.45 44.87 - - - - - - 44.05Prstamos a cuota fija a ms de 360 das29.98 31.56 19.35 38.067.8628.60 - 27.97 33.18 - - - - - - 31.50Consumo 35.93 16.53 26.46 30.8824.2822.67 38.36 35.74 45.4131.1854.02 7.0059.47148.96- 40.22Tarjetas de Crdito46.71 25.72 29.05 -30.0023.47 43.60 46.35 55.9636.1254.15 -59.87189.38- 44.16Prstamos Revolventes14.83 - - - - 115.00 - 22.90 - - - - - - - 22.74Prstamos no Revolventes para automviles10.33 - 9.92 11.9910.359.99 - 10.64 -9.37- - - - - 10.28Prstamos no Revolventes para libre disponibilidad hasta 360 das18.79 16.58 13.94 31.9018.7517.51 - 19.80 46.2515.2523.52 -75.48244.62- 100.95Prstamos no Revolventes para libre disponibilidad a ms de 360 das18.83 16.45 18.76 30.8417.2215.42 18.68 16.54 42.5015.5122.34 7.0056.22108.65- 27.53Crditos pignoraticios- 66.28 - - - - - - - - - - - - - 66.28Hipotecarios9.97 10.09 10.26 8.839.179.34 - 9.53 13.139.08- - - - - 9.77Prstamos hipotecarios para vivienda9.97 10.09 10.26 8.839.179.34 - 9.53 13.139.08- - - - - 9.77Matemticas Financieras Autor:Cuarta Edicin Editorial: McGraw Hill Matemticas Financieras Autor: Alfredo Daz Mata / Victor M. Aguilera Gmez Cuarta Edicin Editorial: McGraw Hill Problemario de Matemticas Financieras Autor: Abraham Hernndez Hernndez / Abraham Hernndez Villalobos / Alejandro Hernndez SuarezEditorial: Thomson Las Matemticas Financieras o Ingeniera Econmica tienen como objetivo fundamental el estudio y anlisis de todas aquellas operaciones y planteamientos en los cuales intervienen las magnitudes de: Capital, Inters, Tiempo y Tasa. La Matemtica Financiera la podemos asociar con dos smbolos es decir el de los nmeros (#) y el de los soles (S/.), ya, que cuando hablamos de Matemticas automticamente hacemos relacin con los nmeros; y cuando hablamos de Finanzas lo relacionamos con el signo soles; de all la asociacin. Es la disciplina que se encarga del estudio de la teora y de suaplicacineneltiempoyelespacio,sobrelaobtencin delosrecursos,suasignacin,distribucinyminimizacin delriesgoenlasorganizacionesaefectosdelograrlos objetivos que satisfagan sus requerimientos. DecaBernardShawquenotenemosmasderechoa consumir felicidad sin producirla, que a consumir riqueza sin producirla, por lo cual es importante poner en claro que esta disciplina tiene por finalidad servir de apoyo, dar informacin ycoordinacinyserfacilitadoradelasactividadesque realizanlasotrasreasdelaorganizacin,produccin(de bienes y/o servicios), marketing (de bienes y/o servicios).Filosficamente pensamos que el dinero no es importante por si solo, sino como medio o instrumento que nos sirve para lograr satisfaceralgunasdelasnecesidadesquetienenlosseres humanos, como las fisiolgicas, de seguridad, de estatus, etc. Sector PublicoDeterminacion de necesidades publicasGasto publico como causa del ingreso publicoIngreso publicoMaximizacion del bienestar integral de la poblacionSector PrivadoEstimacion de ingresos e inversionesFinanciamientoMaximizacion del valor del capital invertidoDistribucion de dividendosActividad FinancieraPodemos diferenciar tres periodos de las finanzas: Lavisindescriptivadelasfinanzasempresariales hasta la segunda guerra mundial Desdemediadosdeladcadadelos40hastala cimentacindelamodernateoradelafinanzas empresariales Finanzasempresarialesexpansinyprofundizacin de las finanzas hasta nuestros das. Elorigendeldinero comounidaddecuentaodevalorseremontaen una de las citas de la Biblia, pinturas rupestres y jeroglficos. Antes de Cristo Existencia de elementos que favorecan los intercambios comerciales y elcobrodeimpuestocomoporejemploelcdigodeHammurabi, asimismoaparecenunaespeciedeopcionesdescritaspor Aristteles. Anos 1500 1900 EnelsigloXVnacenlosbancosinternacionalesconelpoderdelos grandes bancos florentinos (Italia). En1590nacensociedadesconelcapitaldistribuidosentrevarios inversoresquesedenominaroninversionistasenInglaterraconel registro de East India Compani. En1650nacenlosfuturos(proteccinantelafluctuacindelos precios de los mercados) . En 1792 nace la bolsa de Nueva York. A principio del siglo XVIII la inquietud de las finanzas era como obtener losfondosdelaformamaseconmicaposibledescuidandoel financiamiento a corto plazo . EnelsigloXIXavanzaconsiderablementelateoraeconmicacomo disciplinaacadmicasurgiendoelllamadomodeloclsicodelamano de Adan Smith hasta principios del siglo XIX los gerentes financieros se dedicaron a llevar libros de contabilidad o controlar la tenedura, siendo su principal tarea buscar financiacin cuando fuera necesario. Anos 1900-1930 Lasinnovacionestecnolgicasylasnuevasindustriasprovocaronla necesidad de mayor cantidad de fondo. En 1929 la economa se encuentra inmersa en una crisis internacional cada labolsadeNuevaYorkyenfrentamientodegruposnorteamericanosy britnicosseencontrabanenfrentados(excesosdeprestamos)como consecuencia de ello empresas fueron quebradas y otras liquidadas. Aparecealinteresporlapreocupacinfinancieradelaempresayel intervencionismo estatal . Despus de la segunda guerra mundiala mediados de la dcada de los 50, adquieraimportancialaplanificacinycontrolreorganizandolaestructura orgnica de las empresas. Primanlosobjetivosderentabilidad;crecimientoydiversificacin internacional. Se analizan profundamente la teora del riesgo. En la dcada de los 50 despus de la segunda guerra mundial como se ve a la gerencia financiera como parte de la gerencia total. Se le da importancia al presupuesto de capital; aparecen nuevos mtodos ytcnicasparaseleccionarproyectosdeinversin,basados fundamentalmente en el valor presente de los flujos de fondo. En la dcada de los 60 se da en el mercado los dos tipos de riesgo el Diversificable y el Sistemtico. Enladcadadelos70hastanuestrosdascreceelinteresdel estudiodelasfinanzassurgiendonuevaslneasdeinvestigaciones como: La teora de valoracin de opciones. La teora de valoracin por arbitraje. La teora de agencia.Duranteladcadadelos80sedagranatencinalas imperfecciones del mercado y su efecto sobre el valor . Nace las ideasdecalidadtotalylaingenierafinanciera,ademsse implementannuevasformasdelasoperacionesconttulos, valores y nuevos tipos de contrato. Se avanza en la teora sobre opciones, futuros y swaps , etc. En la dcada de los 90 aparecen las pymes y la globalizacin de lafinanzasproducindoselaintegracindelosmercados financieros mundiales en forma creciente. La funcin financiera actual presta especial atencin al costo de capital correspondiente al proyecto de inversin.Nivel de endeudamiento que mas le conviene a la empresa. Gestin de la liquidez y la tesorera Planificacin financiera a largo y mediano plazo Control financiero. Tcnicasanalticasparalaadopcindedecisionesinternasen el campo de la inversin y financiacin de la empresa. Teora Financiera- Poltica Financiera Objetivo Financiero. Las decisiones empresarialessuponen un aumento o disminucin del empleodelosrecursosdelasempresasyrespondenalastres interrogantes planteadas: Cual debe ser la dimensin de la empresa y su ritmo de crecimiento. Que clase de activos debe poseer la empresa. Cual debe ser la composicin de su pasivo. Laempresadebeserfrenteatrescategorasdedecisiones financieras: Volumen y destino de sus inversiones. Volumen de los dividendos a distribuir. Volumen y origen de los recursos a utilizar. Las funciones de la administracin financiera en una organizacin adquierengranimportanciaportratarsedelqueadministra(la planificacin,gestinycontrol),delrecursoqueoficiacomo unidad de cuenta, medida de valor, coordinador y facilitador de las actividadesdelasdemsreas(produccin,comercializacin, direccin ).EMPRESA SINDICATOS CLIENTES PROVEEDORES ACCIONISTAS COMPETIDORES BANCOS GOBIERNO COMUNIDAD a Caja y bancosb Cobranzasc Planeamiento y control de los fondos d Analisis de los costos financierose Relevamiento de las fuentes de fondos y sus costos y plazosf Relevamiento de inversiones de corto plazo y su rendimientogAnalisis del riesgo implicado en todas las operaciones financieras tanto de inversion como de financiamientohCustodia de titulos, valores, polizas y toda otra documentacion que represente la propiedad de bienes de capitali Resguardo documentacion legal de la oprganizacionjRelacionarse con Instituciones financieras y mantener actualizadas las carpetas de credito con la documentacion que las mismas exigenPROCESOS DE TESORERIAaContabilidad general: registro, analisis y confeccion de balances y estados de resultado y anexosbContabilidad de costos: determinacion costos estandares,analisis de desvios, niveles de equilibriocLiquidacion y registros de sueldos y jornales, control de la documentacion y legajos del personal de la organizacion.d Supervision y seguimiento area procesamiento de datosPROCESO DE REGISTROa Analisis de la organizacion, estructura y procesob Diseno de la estructura, procedimientos y formulariosc Redaccin de manualesd Control y organizaciones de archivosMETODOS Y PROCEDIMIENTOSa Cordinacion del planeamiento estrategicode la organizacionb Coordinacion del presupuesto c Evaluacion de las inversiones d Analisis de la informacion micro y macroeconomicae Seguimiento y anticipacion del mercadof Confeccion del tablero de comando o controlPLANEAMIENTO ECONOMICO-FINANCIEROa Organizacion del sectorb Deteccion de proveedoresc Supervision de la logistica internad Control de las existenciasCOMPRASaControl internob Mantener relaciones con el control externoAUDITORIAObjetivo tradicional de las empresas: Maximizacin del beneficio. Objetivoplanteadoporlagestinfinanciera:Maximizacindel valordelmercadodelaempresadesdeelpuntodevistadesus propietarios (accionistas en el caso de una SA). Esteobjetivo,puedesercriticadopuestoquenotodaslas empresascotizanenbolsa,sinembargoesunesquemaque permite demostrar la debido a que puede tener una demostracin operativa, sencilla, nica y con objetivos cuantificables. Ellopuededarsedebidoaquelatomadedecisionesenuna empresa es tomada no por los propietarios sino por los directivos, quetienenasatisfacerlosinteresesdelosaccionistas maximizando el precio de las acciones.A mediano plazo, se puede optar por maximizar las ganancias con productosdebajacalidad,consecuenciadelautilizacinde insumos tambin de baja calidad, lo que repercutir en que en el largo plazo se pierdan los clientes y reduzca la productividad. Los rendimientos a largo plazo, dependern de la planeacin que serealiceeneliniciodealgnproyecto,siendoresponsabilidad delosdirectivosdelaempresa,adoptarunaactitudsistmicay una metodologa de mejora continua.Proporcionarlasherramientasnecesariasparaplantearsoluciones a problemas generales o especficos de las finanzas empresariales. Daraconocerelanlisis,usoyeldesarrollodelasdistintas herramientas y estrategias financieras. Desarrollar la capacidad para identificar, analizar y dar soluciones a los diferentes problemas financieros. Orientar el diseo de estrategias. Generarhabilidadesquepermitanprevertendenciasyescenarios negativos. Anlisis correcto de la informacin financiera. Proporcionarherramientasalaaltagerenciaparaliderarprocesos de desarrollo empresarial y toma de decisiones. Elprincipalobjetivodelagerenciafinanciera,esla maximizacin del valor de las acciones de la empresa. Operaciones de la empresa (conjunto de activos reales) Mercado de capitales (inversores que poseen activos financieros) Gerente Financiero ( 1 ) (4a) (4b) ( 3 ) ( 2 ) Elflujocomienzacuandoseemitenlosttulosparaobtenerdinero(lnea1enlafigura).El dineroesutilizadoparacompraractivosrealesempleadosenlasoperacionesdelaempresa (lnea2).(PuedeustedimaginarlasoperacionesdelaempresacomounConjuntodeactivos reales).Mastarde,silaempresamarchabien,losactivosrealesgeneranflujosdetesorera superioresalreembolsodelainversininicial(lnea3).Finalmenteeldineroesreinvertido (lnea 4) o devuelto a los inversores que adquirieron la emisininicial de ttulos (lnea 4b). Por supuesto la eleccin entre las lneas 4a y 4b no es algo completamente libre. Por ejemplo, si un banco presta dinero a la etapa 1,este debe recobrar su dinero a la empresa en la etapa 1, este debe recobrar su dinero mas los intereses en la etapa 4b.En qu debe invertir la empresa? Cmo conseguir los fondos para esas inversiones? DECISIONES DE INVERSIONCuanto invertir y en que activos hacerlos?DECISIONES DE FINANCIAMIENTOComo conseguir los fondos necesarios?Analisis de proyectos (estimacion decostos, riesgos y opciones futuras.Identificacion de fuentes definanciacion (fondos propios, acciones ydeuda)Tesoreria (calculo y colocacion de fondos) Calculo de costos de financiacion.Adquisicion de otras empresas (calculo decostos y riesgos)Estimacion de contribucion de metodosde financiacion al riesgo de la empresa.Gastos independientes de proyectos (decapital fijo y administrativo)Evaluacion de otras ventajas ydesventajas (impacto sobre el controlde la empresa, senales del mercado,etc)En qu consiste la planificacin financiera de un individuo? Maximizacin de las utilidades. Maximizacin del patrimonio neto. Maximizar el valor actual neto de la empresa Valor de una empresa. Maximizacin de la creacin de valor. Responsabilidad social. laresponsabilidadsocialdelasempresasserefiereaaspectos relacionados con los empleados y aspectos medioambientales; lo mismoqueconlascomunidadeslocales,socioscomerciales, proveedores,compradores,losderechoshumanosyproblemas ecolgicos mundiales. Su practica requiere de la voluntad poltica de las diferentes naciones as como el dialogo y la negociacin de los diferentes accionistas Inters es el pago por el uso del dinero ajeno, se denota con I. Otraformadeconceptualizarelintersorditoeselcambioenel valor del dinero con el paso del tiempo. Eldineroqueproduceuncapitalalprestarlooinvertirloparaque otros lo usen sin ser de su propiedad. Por ejemplo, si usted consigue unprstamobancario,estarutilizandoundineroquenoessuyo, sino del banco. Tambin se invierte un capital en un banco, entonces el banco le pagar intereses por usar el dinero de usted. El precio que tiene el dinero como cualquier otro bien, es el pago por la adquisicin de bienes y servicios en operaciones de crdito, etc. Numricamentehablando,losinteresessonladiferenciaentredos cantidades: el capital y el monto.SialtranscurrireltiempounacantidaddedineroP,seincrementa hasta otra S, entonces el inters es I = S-P, donde P es el capital y S el monto del capital. Dependiendodelcasoylascircunstancias,elcapitaltambintiene elnombredeprincipal,valorpresenteovaloractual.Deigual maneraalgunossinnimosdelmontodelcapitalsonvalorfuturo, valor acumulado o simplemente monto. Al numero de das u otras unidades de tiempo que transcurren entre las fechas inicial y final en una operacin financiera se le llama plazo o tiempo. CAPITALCAPITAL INTERESES Fecha Terminal Fecha Inicial Plazo De este punto de vista, el monto siempre es mayor que el capital y se ubica en un tiempo futuro respecto del capital. La razn entre el inters I y el capital P por unidad de tiempo se llama tasa de inters, por lo tanto: i = I/P Gracias a la estabilidad econmica que actualmente se vive en el pas, las tasas de inters son relativamente bajas, muy por debajo a la de pocas anteriores. No obstante a pesar de lo anterior, estas tasas son variable y se determinan sumando puntos porcentuales a las tasas de referencia siguientes: La tasa lder, de rendimiento. El costo porcentual promedio de captacin. La tasas de inters interbancaria de equilibrio. Estas varan con lapsos diferentes y su nuevo valor se publica en la pagina web del BCRP. Silatasadeinterssemultiplicapor100seobtienelatasade intersenporcentaje.Deestamaneralatasadeintersesel valor de una unidad monetaria en el tiempo. Si esta en proporcin ser el valor de 100 unidades monetarias en el tiempo. Cuandolatasadeintersseexpresaenporcentajeselellama tipodeinters,yalvalorcorrespondienteexpresadoen decimales,elqueseempleaenlasoperaciones,sedenomina comotasadeinters.,peroenlapracticaesalprimeroalquele llaman tasa de inters.

http://www.sbs.gob.pe/app/stats/TasaDiaria_7A.asp?FECHA_CONSULTA=02/08/2011 La licenciada Adriana invierte $ 4000 a al termino de 01 ao recibe $ 4500 por su inversin. El valor presente del capital es P = $ 4000, el monto es S = $ 4500 y los intereses son la diferencia de S y P: I = 4500 4000 I = 500 La tasa de inters es i = 500/4000 = 0.125. El tipo de inters es, por lo tanto, 0.125 (100) = 12.5% anual y el plazo de 01 ao. En diapositivas anteriores se dijo que la tasa de inters por unidad de tiempo es i = I/P. Si se despeja I multiplicando los dos miembros de la ecuacin por P, se obtienen los intereses: I = Pi Pero si el plazo no es la unidad sino cualquier otro valor, digamos n periodos, entonces los intereses sern: I = Pni Es decir, que son proporcionales al capital, al plazo y a la tasa de inters, lo cual se formaliza en el siguiente teorema:Los intereses que produce un capital P con una tasa de inters simple anual i durante n aos, estn dados por: I = Pin Cul es la tasa de inters simple anual, si con $ 14,644 se liquida un prstamo de $ 14,000 en un plazo de 06 meses?. Los intereses son la diferencia entre el monto y el capital prestado I = 14,644-14000(I = S P) I = $ 644 El plazo es n = , que equivale a un semestre. La tasa anual i, se despeja de la ecuacin siguiente que resulto de sustituir los valores anteriores en I = Pin 644 = 14,000(i)(1/2) De donde, 644(2)/14000 = i I = 0.092 o 9.2% simple anual. La unidad de tiempo para la tasa de inters puede no ser anual, sino mensual, diaria,trimestral,odecualquierotraunidaddetiempo.Sinembargo,en cualquiercasoesimportantehacercoincidirlaconlasunidadesdetiempodel plazo;porejemplo,silatasadeintersessemanalentonceselplazodebe expresarse y manejarse en semanas. Sinosediceotracosaconrespectoalatasadeinters,estaseconsiderar como simple anual. Por ejemplo, al decir una tasa del 11.5% se sobreentender como 11.5% simple anual. Recuerdeadems,queparalasoperacioneslatasadadadebedividirseentre 100,recorriendoelpuntodecimaldoslugareshacialaizquierdaylomas importante,quedebemosentodocasoaclarar,laformaenqueseestn tratandolastasasdeintersdecualquieroperacinfinancieraocomercial,ya que de no hacerlo podran podran suscitarse ciertos problemas entre las partes queintervienenentalesoperaciones.Veremosque,unatasadel13%arroja diferentesresultadossiessimple,compuestapormesesocompuestapor semestres, por ejemplo, aunque en todo caso es una tasa anualizada.Anteriormente se menciono que los intereses son la diferencia entre el monto y el capital: I = S P Si pasamos sumando la P al lado izquierdo, se despeja S S = P + Iy I = Pin Entonces, S = P + Pin Factorizando: S = P(1+in) ElvaloracumuladoSdeuncapitalPquedevengainteresesconla tasa de inters simple anual i, al final de n periodos anuales es: S = P(1+in) Esmuyimportanteinsistirenquesilatasadeintersnoesanual, entonces es necesario que tanto la tasa como el plazo esten en las mismas unidades de tiempo.Cunto acumula en 2 aos en su cuenta bancaria el seor Morales, si invierte $ 28,000 ganando intereses del 7.3% simple anual. Solucin. Los valores a sustituir en la ecuacin anterior son: P= $ 28,000, el capital N = 2 el plazo en aos. I = 0.073, la tasa de inters simple anual M = la incgnita, entones, M = 28,000[ 1+0.073(2)] M = $ 32,088 Recuerde que de esta formula, o de cualquier otra, puede determinarse una de las variables que en ella aparecen. Para despejar una cualquiera, es recomendable hacerlo hasta despues de haber reemplazadolos valores que son conocidos, es decir los datos.En cuanto tiempo se duplica una inversin con un tipo de inters del 13% simple anual?Solucin:Si P es el capital inicial, entonces el monto S al final del plazo ser el doble de P, es decir S = 2p, por lo que al reemplazar esto en la ecuacin del teorema, esta quedar as: 2P = P(1+0.13n) ya que S = P(1+in) Paradespejar la incognita n, la ecuacin se divide entre P y se anula, se resta el 1 y por ltimo, se dividen los dos miembros entre 0.13 2 = 1+0.13n N= 1/0.13 o n = 7.69.2307692 Paraexpresaresteplazoenaosconmesesydas,lapartedecimalse multiplica por 12, que son los meses que tien el ao: 0.692307692(12) = 8.307692304 Estosignificaque0.692307692aosequivalena8.307692304meses.Ahora bien,lapartefraccionariadeestenmerosemultiplicapor30,losdas contenidos en un mes. 0.307692304(30) = 9.23076912 Resultadoqueseredondeaa9,porloqueelplazoquedacomo:7aos,8 meses y 9 das Notequeelplazopuedeexpresarseenhoras,mediantelamultiplicacindela fraccin por 24, por lo que esto pudiera continuar sucesivamente. Enelresultadonotieneimportanciaeltamaodelcapitalqueseinvierta,P, puestoqueseeliminodesdeelprimerpasoeneldearrolloanterior,locual quiere decir que cualquier capital se duplicar en este plazoa una tasa del 13% simple anualCul es el precio de un televisor que se paga con un anticipo del 30% y un documento a tres meses con valor nominal de $ 3,600? Suponga que la tasa de interes es igual a la TIIE mas 4 puntos porcentuales y que el da de la compra la TIIE fue de 9.8%. Solucin. Prmero se encuentra el valor presente de los $ 3600, sustituyendo la tasa I = 0.098+0.04 = 0.138 en la formula del interes simple y los demas valores: S por $ 3600, el valor futurodel credito, y n por 3/12 o 0.25 aos, que es el plazo. La ecuacin queda as: 3600 = P[1+0.138(0.25)] S = P(1+in) C= $ 3479.94 El valor presente del documento es $ 3479.94, puesto que el anticipo fue del 30%, este resultado corresponde al 70% del precio del televisor y por eso: (0.70) Precio = 3479.94 De donde: Precio = 4971.35 Con que tasa de interessimple se realiz una operacin crediticia que se liquedo con un pago a los 10 meses con $ 42,350, suponiendo que el credito fue por $ 37644.44? Solucin. Los valores a sustituir en la formula del interes simple son: S = 42,350, el calor futuro del credito P = 37,644.44, el valor presente, es decir, el valor del crdito. n = 10 meses, el plazo o n = 10/12 aos i = la tasa de interes simple annual es la incgnita. Entonces: 42,350 = 37,644.44 [1+(10/12)i]S = P(1+in) 42350/37644.44 = 1+(10/12)I 1.125-1 = (10/12)I I = 0.15 o 15% simple anual. 1) Cul de las siguientes opciones de gratificacin conviene mas a los intereses de un empleado? a. Recibir ahora $7,700. b. Recibir $ 4,400 ahora y otros $ 4,000 en dos meses. c. Recibir tres pagos de $ 2,800 cada uno a 30, 60 y 90 das. 2)LaExportadoraQuiriarteSArealizounimportanteoperacinde compraventapor$350,000ylepaganentresbonosiguales.El primeroeldadelacompraylosotrosdosa30y60das.De cuantoescadaunositienencargosdel13.2%deinterssimple anual.Para plantear y resolver situaciones en las que interviene un numero relativamente grande de cantidades y fechas por ejemplo, cuando un conjunto de obligaciones que deudores y acreedores contrajeron con anterioridad se reemplaza por otro que es equivalente, pero con otrostiemposycantidadesseutilizangraficasqueseconocen comodiagramasdetiempo.Estosconsistenenunasimplelinea rectaenlaqueseanotanlosvalores,losmontos,loscapitales,las fechas y los plazos del problema a resolver. Algunasveces,cuandolosperiodossoniguales,eneltemade anualidades,porejemplo,enlugardeunarectaseutilizan rectangulosquerepresentanlosperiodos.Entodocasoespreciso senalarqueundiagramadetiempootemporalsirveparailustrar cantidades en el tiempo. Cuantodeberinvertirseal5.1%simpleanualel15defebrero,paradisponer de$7000el9demayo,$15500el20dejunioyde$10000el23de diciembre? 15 febrero9 mayo20 junio23 diciembre 84 dias41 dias183 dias 70001550010000 P1 P3 P2 Formula: S = P(1+in) SOLUCION El 11 de marzo Adriana deposit $ 10000 en una cuenta que devenga intereses del12.48%simpleanual.El15dediciembrehabadepositadootros$15000, peroel28deeneroretiro$9500Cuntopodrretirarel9demayo?.Cuanto gano por intereses? Formula: S = P(1+in) SOLUCION El 15 de noviembre un comerciante compro mercancia que liquido con un 35% de contado, un pago por $ 32050, que corresponde al 40% el dia 3 de marzo, y otroporelrestoeldia22deabril.Considerandocargosdel16.8%anual. Determinar: a)El valor de la mercancia el dia de la compra. b)El monto que se paga el 22 de abril. c)Los intereses o cargos por no pagar de contado. Formula: P= S(1+in)-1 SOLUCION INTERES Y TASAS DE INTERES Tipos de tasas de inters: Tasa de inters activa: Es el precio que un individuo paga por un crdito o por el uso del dinero (no es en s el precio del dinero).

TasadeintersPasiva:eslaquepaganlosintermediarios financieros a los oferentes de recursos por el dinero captadoTasa Nominal:es la tasa que se pacta en la operacin. Una tasa anual que se capitaliza en perodos ms cortos que el ao. Ej: Tasa Nominal Anual que capitaliza trimestralmente Tasa Proporcional (en el caso de las tasas nominales):Fijada una tasa anual, se llama tasa proporcional ( semestral, cuatrimestral, trimestral, etc ) al cociente entre la tasa anual por el nmero de perodos ( semestres, cuatrimestres, trimestres, etc ) Ej.i/2 ; i/3 ; i/4 Tasas Equivalentes: las que correspondiendo a perodos de tiempo diferentes y aplicadas a capitales iguales, producen montos iguales al cabo de un mismo tiempo. Tasa Efectiva Anual: es la que se obtiene reinvirtiendo peridicamente durante un ao, capital ms intereses, obtenidos por el uso de la tasa proporcional Tasa Contnua: es la tasas que se obtiene capitalizando contnuamente intereses e = 2,71828 S = P x enxi Tasa de inters compuesto discreto: Es la tasa de inters que se aplica cuando el perodo de capitalizacin es una variable discreta, es decir, cuando el perodo se mide en intervalos fijos de tiempo tales como ao, semestre, cuatrimestre, trimestre, bimestre, mes, da u otro. Ademas Inters compuesto discreto: Es el que se aplica cuando los intereses causados, no retirados o pagados, pasan a su vez a causar intereses cada cierto perodo de tiempo especificado previamente. AHORA, VEAMOS LAS TASAS CON LAS TRABAJAREMOS CONSTANTEMENTE Tasas nominales y efectivas Perodo de Capitalizacin El inters puede ser convertido en capital anual, semestral trimestral, y mensual as como diario,dicho perodo es denominado perodo de capitalizacin. Al nmero de veces que el inters capitaliza durante un ao se le denomina frecuencia de conversin. Por ejemplo, cul es el perodo de capitalizacin de un depsito bancario que paga el 5% de inters capitalizable trimestralmente? Un ao = 12 meses/3 meses= 4 4 es el perodo de capitalizacin trimestral Tasa de Inters Nominal,Efectiva (o real) y Equivalente Cuandoserealizaunaoperacinfinanciera,sepactauna tasa de inters anual querige durante el lapso que dure la operacin, sta es denominada tasa de inters nominal. Sin embargo, si el intersse capitaliza en forma semestral , trimestralomensual,lacantidadefectivapagadaoganada esmayorquesisecomponeenformaanual.Cuandoesto sucede,sepuededeterminarunatasaefectivade inters. Dostasasdeintersanualescondiferentesperiodosde capitalizacinsernequivalentessialcabodeunao producen el mismo inters compuesto, es decir si dos tasas anualesdeinterscondiferentesperodosdecapitalizacin es se dice que son equivalentes, si el rendimiento obtenido por capitalizacin es igual al final del ao. Ejemplos de tasas nominales: conversiones ejercicios de la hoja de trabajo. Conversin de las tasas nominales a efectiva Conversin entre tasas efectivas y alternativa de conversin TIPS: Puntos porcentuales: 1 punto porcentual = cambio de un 1% en la cotizacin. Ejemplo: Ejemplo: La tasa de inters se redujo en 5 puntos porcentuales: Tasa de inters menos 5% Puntosa bsicos:100 puntos bsicos = 1 punto porcentual (1%) Ejemplo: La tasa de inters se redujo en 50 puntos bsicos: Tasa de inters menos 0.5%Concepto: Es el inters que se genera sobre intereses. Los intereses que se generan en el primer perodo de capitalizacin se convierten en capirtal para generar mas intereses para el segundo perido de capitalizacin y as sucesivamente. Si por ejemplo en una inversin a plazo fijo, no se retiran elcapital ni los interesesquesegeneraron,entoncesestospuedenagregarsealcapital, por lo que a partir del segundo periodo producirn sus propios intereses, ysiestocontinua,elcapitalenlainversin,alcomenzarunperiodo cualquiera, ser mayor que el que se tenia al empezar el periodo anterior. Setratadelacaracteristicaescencialdelinterescompuesto,locuallo hacediferentedelinteressimple,encuyocasosoloelcapitaloriginal generaintereses,esdecir,alcomenzarcualquierperiodoelcapitales constante, es el mismo. Sibienesciertoqueelinterescompuestohaexistidodesdesiempre,se puso de manifiesto con el llamado anatocismo, cuando los deudores de la banca no pueden liquidar sus deudas, ya que aun estando al corriente en sus pagos, el capital que debian, en vez de reducirse, crecia cada vez mas, por lo que se buscaron otras formas para liquidarlas. El interes compuesto no es mas que una aplicacin importante de las progresiones geometricas. Suponga que nuestra poblacin aumenta un 3% cada ao. Cunto crecer en 3 aos? Cuandolavariacindelosvaloresesuniformeyse expresacomountantoporciento,sedistinguendos tasas de crecimiento, o reduccin, la que corresponde al porcentajedado,el3%delincrementoanualenla poblacinporejemploylaqueresultadedividir cualquiertermino,esdecir,cualquiervalorentreelque precede, 1.03 en el mismoejemplo. sta, el 1.03, es la queseaplicaenlasformulasdelasprogresiones geomtricas,denotndolacomor,larazncomn,y estardadaengeneralporr=1+v,dondevesel porcentaje del incremento en la sucecin de valores. INTERES COMPUESTO FORMULA GENERAL n S = P ( 1 + i ) ElmontoacumuladoSdeuncapitalPalfinalden periodos es S = P(1+i) n

Donde: n es el plazo de tiempo S el monto que se acumula P el capital inicial. i es la tasa de inters efectiva. Despejemos otras incgnitas P = i = n = y ahora, el inters serComparativo entre el inters simple y el inters compuesto Capital 100,000 $Tasa 10% AnualTiempo 5 AosPeriodo Diferenciaen aos MontoInteresInt. Acumul. MontoInteresInt. Acumul. en intereses0 0 0 0 0 01 110,000 10,000 10,000 110,000 10,000 10,000 02 120,000 10,000 20,000 121,000 11,000 21,000 1,0003 130,000 10,000 30,000 133,100 12,100 33,100 3,1004 140,000 10,000 40,000 146,410 13,310 46,410 6,4105 150,000 10,000 50,000 161,051 14,641 61,051 11,051Inters simple Inters compuestoPeriodo Int. Sim. Int. Com.en aos MontoMonto 01 110,000 110,0002 120,000 121,0003 130,000 133,1004 140,000 146,4105 150,000 161,051Comparativo entre el inters simple y el inters compuesto Veamos un ejemplo grfico: MAT. FIN\Comparacin I simple i compuesto.xlsDecir que el inters es compuesto por meses significa que cada mes los intereses que se generan se capitalizan, es decir se suman al capital.Qucapitaldebeinvertirseahoraal12.69%anual capitalizableporbimestresparatener$40,000en10 meses?Obtengaelmontoqueseacumulaentresaos,siun capitalde$65,000seinvierteal10%compuestopor semestres.Quedadeberinvertir$10,000elmatemtico Gutierrezparadisponerde$10,512.00el11demayo? Supongaquelainversingenerainteresesdel13% compuesto por semanas. El 25% del precio de un mueble de sala se paga con un documento convalornominalde$4,000yvencimientoa30das.Un30%se liquidamedianteunpagoa60dasdeplazo,otro30%conun documento a 90 das de la compra y el 15% restante se deja como anticipo. Obtenga: a)El precio del mueble. b)El anticipo y los otros dos pagos. c)El cargo total por intereses. Supongaquelamuebleracargael22.20%anualcompuestopor meses en sus ventas a crdito. Conquetasadeintersanualcapitalizablepor bimestres se duplica un capital por tres aos?.INTERES COMPUESTO 5.0004.000x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12f echaf ocal10.000Regla comercial: INTERES COMPUESTO 5.0004.000x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12f echaf ocal10.000Regla de saldos insolutos: Enelinterssimple,estudiamoslosdiagramasdetiempo que constituyen herramientas tiles para plantear y resolver problemasfinancieros,yaquefacilitanlosdesplazamientos simblicosdecapitaleseneltiempo.Estosdesplazamientos permitenllevartodaslascantidadesdedineroque intervienenenunproblemahastaunafechacomn,quese conoce como fecha focal o fecha de referencia. Contodoslosvaloresenesafechafocalyseparando aquellosquecorrespondenalasdeudasdelosque correspondenalospagos,esdecir,agrupandoporun ladolosdeldebeyporotrolosdelhaber,seestablece unaigualdadqueseconocecomoecuacindevalores equivalentesosimplementecomoecuacindevalor. Despusestaecuacinseresuelvedespejandola incgnitaolasincgnitasqueencelaaparezcan,para lograr as la solucin del problema. Esta solucin varia un poco de acuerdo con la localizacin de lafechafocaltratandosedeinterssimple;perocuandoel inters es compuesto, la soluciin es la misma para cualquier ubicacin de la fecha focal. Cabe sealar que las cantidades de dinero pueden estar antes o despues de la fecha de referencia. Si la cantidad de dinero A esta antes de esa fecha, se suman los intereses hallando su valorfuturoequivalenteenlafechafocal;perosiesta despus,entoncesserestaranlosinteresesobteniendosu valor presente equivalente en la misma fecha focal.B A FECHA FOCAL PB SA Enlasiguientefiguraseilustranlasdos posibilidades, donde SA es el monto de A y PB es el valor presente de P Enamboscasos,eltrasladoserealizaconla formuladelinterscompuestoodelinters simple si as lo estipula el problema LIQUIDACION DE CREDITOS CON PAGOS DIFERIDOS El da de hoy se cumplen 5 meses de que un comerciante de alimentos consigui un crdito de$30000firmandoundocumentoa7 mesesdeplazo.Hacetresmesesle concedieronotroyfirmoundocumentocon valornominalde$54000,valorqueincluye losinteresesdelos6mesesdeplazo.Hoy abona $ 60000 a sus deudas y acuerda con su acreedorliquidarel restoaloscuatromeses, contados a partir de ahora. Por qu cantidad esestepago,sisetienencargosointereses del 11.76% nominal mensual.INTERESES EN CREDITO CON ABONOS DIFERIDOS Hallarlosinteresesquesecarganenel ejemplo anterior. COMPRAS A CREDITO, PAGOS EQUIVALENTES E INTERESES Coninteresesdel16.56%nominaldiario,el21 de abril se otorga un crdito en mercanca por $ 63000,parapagarseel01deoctubre.El30de junioseconcedeotropor$46000quevenceel 15dediciembreyotroelda25dejuliopor$ 76000, incluidos los intereses, con vencimiento al 3 de setiembre. En un arreglo se acuerda liquidar loscompromisoscon2pagos,unoel10de agosto y otro el 10 de noviembre, de tal manera que el segundo duplica al primero. Determine: Por qu cantidad es cada uno de los dos pagos? Cunto se paga por intereses?EJEMPLO Suponiendoqueunapersonarealizalos siguientesdepsitosydisposicionesenuna cuentaquebonificael9.36%nominaldiarioen los primeros tres meses y el 10.32% capitalizable pormeses,despus,obtengaelmontoensu cuentaelda20dediciembreluegodesu disposicin,considerandoquecuandohizosu primer retiro tenia $ 47925.PROBLEMAS DE APLICACIN FLUJO DE CAJA EN CONSTRUCCION DE VIVIENDA Para la construccin de un ncleo de vivienda, un contratistarequierede$5000,000distribuidos delasiguienteforma:40%alcomenzarlas obras, 30% a los tres meses, 20% a los 6 meses yel10%restantealentregarlasviviendas,8 mesesdespusdehaberempezadolasobras. Conestepropsito,elpropietariodeposita$ 2000,000,unmesantesdecomenzarla construccin.Tresmesesdespusdelprimer deposito,haceotro,equivalentealrestodel presupuesto,enunbancoquepagael13.92% de inters anual capitalizable por meses. De que cantidad es este pago? REESTRUCTURACION DE UN CREDITO AUTOMOTRIZ Se compra un camin con precio de contado de $ 193,500conunanticipoytresabonos bimestrales iguales al anticipo, con un inters del 16.2%anualcapitalizableporbimestres.Poco antesdehacerelprimerpagobimestralse conviene en reestructurar la deuda con dos pagos a 3 y 6 meses de la compra, de tal manera que el segundo pago es un 25% mayor que el primero. De cuanto es cada pago? Cunto se paga por intereses? CONSTITUCION DE UN FIDEICOMISO CON TASA VARIABLE Cuntodebedepositarseahora,cuantodentro de2aosycuantomas3aosdespues,para constituirunfideicomisoydisponerde4.5 millones de soles, al cabo de 12 aos contados a partirdeahora,considerandoqueelsegundo deposito es un 25% mayor que el primero y que el ultimo exede en S/. 450,000 al anterior? Supongaquesedevenganinteresesdel9.3% nominal mensual en los primeros cuatro aos, del 10.4% anual capitalizable por semestres en los 3 aossiguientesydel11.8%efectivoenlos ltimos cinco.Acuantoasciendenlosinteresesquese devengan en el fideicomiso? PLAZOS EQUIVALENTES Qudadeberefectuarseunpagonicopor$ 60000quesustituyeadosmontos,elprimero por$25000conplazode5mesesyelsegundo por35000conplazode8meses,suponiendo intereses del 10% efectivo?EJEMPLO Qudadebenpagarse$50500ensustitucin de 3 pagos: el primero por $ 9000 del da 10 de julio, el segundo por $ 28500 del 25 de agosto y elotropor$13000del3deoctubre, considerandointeresesdel12.87%nominal mensual? Unaoperacindedescuento,esunadelasformasde crditoqueconsisteenobtenerelpagoanticipadode ttulosvaloresletrasdecambio,pagaresuotros documentos, mediante la cesin del mencionado titulo a otra persona, generalmente una institucin de crdito, la cualadelantaelimportedelvalornominaldeltitulo deduciendo los intereses anticipadamente, por el tiempo que falta para el vencimiento de la obligacin. Eldescuentoconstituyeladiferenciaentreelvalor nominalomontodeunadeudaasuvencimientoysu respectivo importe recibido en el presente: D = VN-VL DondeVN : Valor nominal VL : Valor liquido D : Descuento Esnecesariodistinguirlosdiferentesconceptosdel terminodescuentoaplicadosenelsistemafinancieroy en las actividades comerciales y mercantiles:

CLASES DE DESCUENTO RACIONALBANCARIOCOMERCIAL SIMPLESIMPLEUNITARIO COMPUESTOCOMPUESTOSUCESIVO El descuento racional aplicado a un titulo de crdito que venceenelfuturoeselintersdeducido anticipadamentecalculadoconlatasai,sobreel importequeverdaderamenterecibeeldescontante. Esteimporteeselrespectivovalorpresentedelvalor nominaldeltitulo.Deestemodoelintersyel descuentoracionalcalculadosparaelmismoplazoy aplicando la misma tasa generan iguales resultados.

Descuento racional simple (equivalencia) Descuento racional compuesto (equivalencia)

Cual es el descuento real de un documento con valor nominal de $ 25300, 72 dias antes de su vencimiento con una tasa de descuento del 11.4% simple annual? Una letra de S/. 3800 con vencimiento el 26 de febrero es descontada el 18 de enero a una tasa de interes simple annual del 24%. Calcule el importe del descuento racional. En la fecha se tienen dos obligaciones de S/. 3000 y S/. 4000 que vencen dentro de 28 y 46 das respectivamente. Cul ser el pago total por ambas obligaciones si deciden cancelarse hoy?. El acreedor aplica una tasa annual de interes simple del 15% para la letra a 28 das y del 18% para la letra a 46 das. Hallar el valor nominal de un documento sabiendo que su descuento racional es S/ 20000 y la tasa de inters es 50%. Se sabe adems, que faltan 75 das para el vencimiento del plazo. Un equipo dental cuyo precio al contado es deS/ 4 000 000, se vende mediante una inicialde S/ 1 000 000 y el resto en tres letras de 30, 60 y 90 das, utilizando una tasa dedescuento del 50% anual. Hallar el importe de las letras sabiendo que son iguales. La empresa X firmo letras a favor de sus proveedores por S/ 10000000 a 90 das; S/ 8000,000 a 60 das, mientras que tiene en su poder 7 letras con vencimiento cada 30 das por un importe de S/ 1000,000 cada una; 4 letras de S/ 2000000 a 45, 90, 135 y 180 das, respectivamente, 3 letras de S/. 2000,000 a 30, 60 y 90 das respectivamente. Hallar su saldo financiero el da de hoy, utilizando 50% para sus obligaciones y deudores. Calcule el descuento racional compuesto a practicarse a un pagare con valor nominal de S/. 10,000 y vencimiento a 60 das. Utilice una tasa efectiva mensual del 4%. Por qu monto deber aceptarse un pagar con vencimiento a 60 das, para descontarlo racionalmente hoy, si se requiere disponer un importe de S/. 10,000?. Utilice una tasa efectiva mensual del 4% y compruebe la respuesta.

El Comite de Descuentos del Banco Interbank aprobo hoy (7 de enero) a la empresa Transur su cartera de letras, de acuerdo a la siguiente relacin:

El banco cobra una tasa efectiva mensual del 5% y portes de S/.5 por cada documento. Cual ser el importe que dispondra Transur? Letra # Vencimiento Importe Aceptante420 01-Feb 6348 Cargil510 18-Feb 8946 Transportec586 23-Feb 9673 Alitec Supongamos un pagare de valor nominal de S/. 30,000 que genera intereses del 6.25% fue descontado en el banco el mismo da de su emisin a una tasa de descuento del 7%, siendo su producto liquido de S/. 29,950. Cul fue la vida del pagar?

Eldescuentobancarioconstituyeelinterescalculado sobreelvalornominalovalorfuturo(S)deuntitulo valor,importeadeducirdelmontodeldocumentopara encontrarsuvalorliquido,elcualvaarepresentarel verdaderoimportefinanciado.Latasadeinteres aplicadaesconocidacomotasaadelantadaotasade descuento d, la cual se diferencia de la tasa vencida i en que esta se aplica sobre P y aquella sobre S, lo que originaunimporteliquidomenoralvalorpresentedel documento.

Descuento bancario simple Descuento bancario compuesto

Calcule el descuento bancario simple al 3 de marzo, sobre un documento con valor nominal de S/ 5000 y fecha de vencimiento el 15 de abril. La tasa de descuento mensual es del 5%?

Calcule la tasa de descuento bancario simple aplicada a un pagar de valor nominal de S/. 6,666.66 y cuyo descuento ha sido S/. 500 en un periodo de 45 das.

Supongamos que un pagare deS/. 10000, fue descontado en el banco el 1 de Marzo de 2007 y que tenia esa misma fecha, devengaba el 5 % de inters y venca el 1 de Septiembre de 2007. El tipo de descuento del banco tambin fue del 5 %. Cul fue le descuento retenido por el banco?

A cuantos das se ha efectuado el descuento bancario de un pagar con valor nominal de S/. 4000 utilizando una tasa de descuento simple mensual del 4%, si recibio un importe liquido de S/. 3500.

Cualeselvalorcomercialel12demayode undocumentoqueamparaunprestamode$ 26500recibidoel25deeneropasadocon interesesdel12%simpleannualycuyo vencimientoesel30dejulio.Supongaquela tasa de descuento simple anual es de 12.5%?

Quediasenegociaen$32406elsiguientedocumentocon descuentodel10.02%simpleanual?Cualfuelatasadeinteres simple anual? Pagare por $ 33050 Por este pagare me obligo a pagar incondicionlamente a la ordende CB DATA SRL en lima el 17 dediciembredel2010lacantidadde$33050 (treintaytresmilcincuentadolaresamericanos) valor recibido a mi entera satisfaccion. Lugar y fecha: Lima, Republica del Peru a 11 de agosto del 2010 Nombre: Paolo Cesar Davila Escudero Domicilio: Victor Estremadoyro 172 San Borja ______ Acepto

El Banco de Comercio descuenta al Sr. Grandez el 15%deinteressimpleanual(tasadedescuento) deundocumentoconvalornominalde$30000 quevence45diasdespues.Elmismodia,el bancodescuentaelpagareenelBancoInterbank conel13.5%annual.Cualfuelautilidaddel Banco de Comercio?

Encuantosedescuentaundocumentoconvalor nominalde$20,250el10deabril,sivenceel10de octubre y se descuenta el 13.5% nominal mensual.

El21dejuliosetransfiere,esdecir,secomercializaun pagaren$55,770condescuentocompuestodel11% nominaldiario.Porqucantidadfueelcrditoque originoeldocumento,sisecarganinteresesdel10% simpleanual?.Supongaquelafirmaserealizel5de marzo con plazo hasta el 10 de diciembre.

Un pagar con valor nominal de S/. 5000 y que se vence dentrode4meses,hasidodescontadobancarimanete aplicando una tasa de descuento mensual del 3% para el primer mes y 4% para los ultimos 3 meses. Cul ser el valor liquido?

Un pagar con valor nominal de S/. 5000 y que se vence dentrode4meses,hasidodescontadobancarimanete aplicando una tasa de descuento mensual del 3% para el primer mes y 4% para los ultimos 3 meses. Cul ser el valor liquido?

En el financiamiento de un auto cuyo precio de contado es de $ 10000 la institucin financiera exige al cliente una cuota inicial de $ 4000, un pago adelantado de $ 1000 y una letra a 90 das por $ 5312.41, en la cual le han cargado una tasa de descuento bancario compuesto mensual del 2%. Si el cliente solicita que el importe de los $ 1000 se incluya en la letra a los 90 das. Cul ser el nuevo valor nominal de la letra?

Determine el tiempo que falta para el vencimiento de una letra de S/. 5000, la que descontada bancariamente a una tasa de descuento del 1% mensual, ha producido un valor liquido de S/. 4938.40.

Calcule el descuento bancario compuesto efectuado a una letra con valor nominal de S/. 2500 faltando 37 das para su vencimiento , si a este titulo valor se le aplico una tasa de descuento mensual del 1.5%.

El21dejuliosetransfiere,esdecir,secomercializaun pagaren$55,770condescuentocompuestodel11% nominaldiario.Porqucantidadfueelcrditoque originoeldocumento,sisecarganinteresesdel10% simpleanual?.Supongaquelafirmaserealizel5de marzo con plazo hasta el 10 de diciembre. Determinar el valor liquido de un documento comercial cuyo valor nominal es de S/. 130,000 que vence dentro de 16 meses, si le hacen los siguientes ajustes en cuento a las tasas de descuento del 2.5%, 4% y 5% mensuales al 4, 5 y 7 mes respectivamente.

En cuanto tiempo podr vencerse un documento de crdito, si al decontarlo hoy da al tipo de descuento del 10% se ha obtenido un valor efectivode 1/8 de su valor nominal. Eldescuentocomerciales larebajaconcedidasobreel precio de lista de un articulo. Descuentocomercialunitario:Sepracticaunasola vez. Descuento comercial sucesivo: Mas de un descuento sobre el mismo articulo.

La Depreciacin Eslaprdidadelvalordeunactivofijo,ladepreciacinesla disminucin del valor de propiedad de un activo fijo, producido por elpasodeltiempo,desgasteporuso,eldesuso,insuficiencia tcnica,obsolescenciauotrosfactoresdecarcteroperativo, tecnolgico, tributario, etc. Ladepreciacinpuedecalcularsesobesuvalordeuso,suvaloren libros,elnmerodeunidadesproducidosoenfuncindealgn ndiceestablecidoporlaautoridadcompetenteoporestudios tcnicosdeingenieraeconmicasobrereemplazamientosde activos. Ladepreciacinconstituyelaprdidaprogresivadevalordeuna mquina,equipooinmuebleporcadaaoqueenvejece.Algunos autoressealanladepreciacincomounarrendamientoquela empresasepagaasmismaporelusoydeteriorodesus instalaciones y equipos. Segn la Superintendencia Nacional de Administracin Tributaria SUNAT. Prdida o disminucin del valor de un activo fijo debido al uso, a la accin del tiempo o a la obsolescencia. La depreciacin tiene por objeto ir separando y acumulando fondos para restituir un determinado bien, que va perdiendo valor por el uso. Finalidad de la Depreciacin Las depreciaciones se realizan con el fin de cargar a gastos es costo del activo, y que este valor ser reembolsable en un futuro prximos, ya sea para la adquisicin de otro activo, o el mejoramiento de ella, dependiendo de las decisiones gerenciales de la empresa. As mismo tiene las siguientes finalidades: Lograr que cada ejercicio econmico venga gravado por el total de gastos que le corresponden y han contribuido a forma el producto de ste. Valorar el desgaste anual de los elementos que forman su Activo Fijo. Constituir una reserva para reponer el valor inicial de los elementos que forman el Activo Fijo.Importancia Realizar las depreciaciones es tan importante para la empresa ya que mediante ellas la empresa deduce los gastos, siempre y cuando estas estn aceptadas por Ley. Mediante las depreciaciones se pueden reponer una unidad completa, o de lo contrario reacondicionarlos. Paracubrirladepreciacindelactivofijoesnecesarioformarun fondodereserva(F)atravsdeloscargospordepreciacin efectuadosperidicamentedeacuerdoconelmtodopreviamente escogido. Elfondodereservaodepreciacinacumuladapermitirsufragarel costo de reemplazo del activo al final de su vida til. Conlaexcepcindelosterrenos,lamayoradelosactivosfijos tienenunavidatillimitada,osea,quedarnservicioalacompaa durante un nmero determinado de futuros periodos contables Mtodos de Depreciacin Lnea Recta Doble saldo decreciente Decreciente Suma de aos dgitos Unidades producidas Bienes Vida til PorcentajeGanado de trabajo y reproduccin 4 aos 25%Vehculos de transporte terrestre; hornos en general 5 aos 20%Maquinarias y equipo para actividad minera y petrolera (excepto muebles) 5 aos 20%Equipo de Procesamiento de Datos 5 aos 20%Otros bienes del Activo Fijo 10 aos 10%Seleccin del Mtodo Paradecidirrespectodelmejormtodoaplicablealadepreciacin, las consideraciones desde el punto de vista fiscal deben separarse de lasconsideracionesdelacontabilidadfinancieras.Paralosfines fiscales,elmejormtodoesaquelqueminimizalosefectosdelos impuestosenlaempresa.Generalmenteseescogeunodelos mtodos de depreciacin acelerada permitidos. Con respecto a la contabilidad financiera, cada uno de sus conceptos quesehandescritoconanterioridadtienesuspartidarios.Lagran mayora de los negocios usan el mtodo de lnea recta, en razn de su simplicidad, pero el nmero de empresas que van aplicando los otros mtodos est aumentando. Debe hacerse hincapi en que en una sola negociacinpuedenusarsediferentesmtodosparadiferentestipos de activos. Por ejemplo, el de lnea recta para los edificios uno de los aceleradosparaciertostiposdemaquinariayequipo,yelde unidadesdeproduccinparaotrasclasesdeactivo.Unimperativo esencialesqueexistaunmtodo.Laprcticadeantaodecargar depreciacinenlamedidaqueaguantenlosresultadoses insubstancial. CASO PRCTICO Enunciado Se compra una camioneta al precio de S/. 7,000, su vidatilestimadaesde5aos,suvalorde desecho de S/. 1000. Sepideelaborartablasdedepreciacinporlos mtodos conocidos. Paraelcasodelsistemadeunidadesproducidas, considerar 75,000 kms.

ANUALIDADES El objetivo de este estudio es reconocer, definir y clasificar los diferentestiposdeanualidadesymanejarlosdistintos factoresqueintervienenenlasanualidades.Alterminareste estudio,podremoscalcularlosmontosovaloresfuturos, valoresactualesopresentes,rentasdeanualidades,tasasde intersotiemposdelasanualidadesciertasordinarias. Podremoselaborardiagramasdeflujoyresolverecuaciones de equivalencia entre anualidades. Enmatemticasfinancieras,laexpresinanualidadseempleaparaindicarel sistemadepagodesumasfijasaintervalosiguales.Lapalabraanualidadse utiliza por costumbre desde sus orgenes. Asi es que se usa en las anualidades contingentes,enlasqueintervienelaprobabilidadanualdevidadelas personas.Enfinanzasanualidadnosignificapagosanuales,sinopagosa intervalosiguales.Porconsiguiente,seconsideran anualidadeslosdividendos sobrelasacciones,fondosdeamortizacin,lospagosaplazos,lospagos peridicosdelascompaasdesegurosyenformamasgenerallossueldosy todoslostiposderentas.Laexpresinanualidadpuedecambiarseporlade rentas,seriesuniformes,pagosperidicos,amortizacionesuotros,segnel caso y costumbres. Definicin de anualidad Una anualidad es una sucesin de pagos peridicos iguales. Si los pagos son diferentes o alguno de ellos es diferente de los dems, la anualidad toma, segn el caso los nombre de las anualidades variables o anualidades impropias. AnualidadesCiertas:Sonaquellasanualidadescuyas condicionesseconocendeantemano(plazotasasdasdel periodocapitalizable,etc.)yseestablecenpreviamente, generalmente por contrato entre las partes intervinientes. Estas anualidades de acuerdo a duracin pueden ser: Temporales(leasing,cuotas,sueldosaplazodeterminado, pensiones estudios,etc) Perpetuas(emisin de bonos)TEMPORALPERPETUAVITALICIA TEMPORALSIMPLEGENERALIMPROPIA O VARIABLECIERTAEVENTUAL VENCIDA U ORDINARIA ANTICIPADA O DIFERIDAVENCIDA O ANTICIPADAAnualidadeseventualesocontingentes:Sonaquellascuyafecha inicial o terminal dependen de algn suceso previsible, pero cuya fechaderealizacinnopuedeespecificarseporestarenfuncin dealgnacontecimientoexternonoprevisible(ej.segurosde vida).Eldesarrollodeestosflujoscorrespondenalcampodelas matemticas actuariales, el cual de manda no solo el conocimiento delinterescompuesto,sinotambinlasprobabilidades.Estas anualidades a su vez pueden ser: Vitalicia: Dura mientras dure la vida del rentista. Temporales:Estadeterminadaporunafechadeinicioydefin, aun cuando el rentista contine con vida. Las anualidades ciertas y contingentes pueden se a su vez: ANULAIDADVENCIDA:ESAQUELLAENQUELOSPAGOSSE REALIZAN AL FINAL DE CADA PERIODO. EJEMPLO:COMPRAACUOTAS,SERVICIOSBASICOS,PRESTAMOS,EN GENERAL EL SISTEMA COMERCIAL. ANULAIDADANTICIPADA:ESAQUELLAENQUELOSPAGOSSE REALIZAN AL INICIO DE CADA PERIODO. EJEMPLO: PAGO DE PRIMAS DE SEGURO, ALQUILERES, ESTUDIOS, ETC. ANULAIDADDIFERIDA:ESAQUELLAENQUELOSPAGOSSE REALIZANALINICIOOFINALDECADAPERIODO,CONSIDERANDO UN PERIODO DE GRACIA (DIAS, SEMANAS, MESES, ETC)EJEMPLO:PAGODENTRODE90DIAS,PAGUEDENTRODETRES MESESHIOTECAS,COMPRASCOMERCIALES(SAGA,RIPLEY, CURACAO, ETC) ANUALIDADES VENCIDAS ANUALIDADES VENCIDAS ESAQUELLAENQUELOSPAGOSSEREALIZANALFINAL DE CADA PERIODO. APLICACIN:COMPRAACUOTAS,SERVICIOSBASICOS, PRESTAMOS, EN GENERAL EL SISTEMA COMERCIAL. CARACTERISTICAS Todos los pagos deben tener el mismo valor. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo. A todos los pagos se les aplica la misma tasa de inters. El numero de pagos es igual al numero de periodos. PRINCIPIO ANULAIDAD El valor presente de una anualidad queda ubicado a principio del periodo en que se efecta el primer pago Renta.- Es el valor de cada pagoperidico PerododePago.-Tiempoquesefijaentredos pagos sucesivosPlazodelaAnualidad.-Intervalodetiempoque transcurreentreelcomienzodelprimerperodo de pago y el final del ltimo. Tasa de la anualidad.- Tipo de inters que se fija a la anualidad, puede ser nominal o efectivo. Supongamosquequeremoscalcularelvalordeunaanualidad,existendos formas:cuandolacalculamosasuterminacineselMonto,ycuandola calculamos a su comienzo es el valor actual. Supongamos nuevamenteque al finalde cadaao recibimos una renta deS/. 2000.oo, durante 6 aos, tendr un Monto S, al finalizar los seis aos y tendr un valor actual A, en su fecha inicial. Grficamente tenemos AS

0 123 45 6 aos 20002000 2000 200020002000 Monto.- Los pagos efectuados al final de cada periodo ganan intereses, hasta la fecha final, entonces tenemos para el primer pago, el segundo pago y hasta el final de la anualidad, suponga que esta renta gana una tasa de inters del 10 % efectivo anual. S=15431,22 S = 15431.22 1 2 345 6

" " " " " 3221,02+ 2928,20 + 2662,00 + 2420,00 + 2200,00+ 2000,00 Es decir el monto de una anualidad de S/. 2000 pagaderos al final de ao, durante 6 aos, a la tasa de intersdel 10 % ascender a S/. 15431,22. 0 1 2 3 4 5) 1 , 0 1 ( 2000 ) 1 , 0 1 ( 2000 ) 1 , 0 1 ( 2000 ) 1 , 0 1 ( 2000 ) 1 , 0 1 ( 2000 ) 1 , 0 1 ( 2000 + + + + + + + + + + + Supongamos que la anualidad se efecta durante n periodos, grficamente tenemos: 012 3............ n-2 n-1 n aos RRR RRR En que Res el pago peridico de una anualidad es decir la Renta. Entonces el primer pago se acumula durante (n 1) perodos, el segundo (n 2) perodos y assucesivamentehastalltimopagoquenoganarinteresesyaquesu pago coincide con la fecha del trmino de la anualidad: Invirtiendo la suma, tenemos: Los trminos del segundo miembro formanuna progresin geomtricade n trminos, la razn es (1+i) y el primer miembro es R. Si multiplicamos la ecuacin por (1+i), tenemos: Esta ecuacin la restamos de la primera: Reordenando la ecuacin tenemos que: 0 1 2 3 2 1) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ..... ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( i R i R i R i R i R i R Sn n n+ + + + + + + + + + + + = 1 2 2) 1 ( ) 1 ( ..... ) 1 ( ) 1 ( + + + + + + + + + =n ni R i R i R i R R Sn ni R i R i R i R i S ) 1 ( ) 1 ( ..... ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (1 2+ + + + + + + + = +1 21 2) 1 ( ..... ) 1 ( ) 1 () 1 ( ) 1 ( ..... ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (+ + + + + + + = + + + + + + + + = +nn ni R i R i R R Si R i R i R i R i Sni R R S i S ) 1 ( ) 1 ( + + = +| |R i R Sii R R i Snn + =+ + = +) 1 () 1 ( 1 ) 1 () 1 (1 ) 1 (((

+=iiR SnClculodelValorActual.-Elvaloractualdeunaanualidadesaquella cantidadA,dedineroqueconsusinteresescompuestos,eneltiempodela anualidad dar una cantidad equivalente al monto de la anualidad. Regresando al ejemplo anterior, tenemos: A = 8710,52 12 3456 aos

1818,18 + 1852,89+ 1502,63+ 1366,03+ 1241,84+ 1128,95 =8710.52 Formulando la ecuacin de equivalencia y utilizando como fecha focal la fecha final: Frmula para calcular el valor actual de una anualidad de R por ao, durante n aos a la tasa de inters i efectiva anual. ") 1 , 0 1 (2000") 1 , 0 1 (2000") 1 , 0 1 (2000") 1 , 0 1 (2000") 1 , 0 1 (2000") 1 , 0 1 (20006 5 4 3 2+ + + + + +)2( )1(1 )1( 1)1( )1( ( ( + = + ( ( + = =+ i i RP finalmentequedando i i i RA SiA n n n n )2( )1(1 )1( 1)1( )1( ( ( + = + ( ( + = =+ i i RA finalmentequedando i i i RA SiA n n n n P 012 34 TASA DE INTERS % P S RR RR 0123401234 PP 231234145 1234 4321 ANUALIDADES VENCIDAD 0123 4 P 1234 S ) 1 (1 ) 1 (((

+=iiR Sn)1(1 ( ( + = i i RP n ((

+ =iiR Pn) 1 ( 1EJEMPLO Cuantopodrretirarcadaviernes durante8meseselIngenieroSerrano, sialcomienzodelplazosedeposita$ 30000devengandointeresesdel26% compuesto por semanas? Labeneficiariadeunsegurodevida recibira$3100mensualesdurante10 anos,aunqueprefierenqueledenel equivalentetotalaliniciodelplazo. Cuantoledarnsieldineroredituaun promediodel19.35%anualcompuesto por meses. Valor presente se un seguro de vida Plazo en la compra de un tractor Cuantosabonostrimestralesvencidosde$ 40000sonnecesariosparapagarelprecio de un tractor que se compro con un anticipo yuncrditode$350000?Suponga interesesdel13.8%capitalizablepor bimestres. Toma de decisiones al vender un camin Eldueodeunvolquetetienelassiguientes opciones para vender su unidad: Un cliente puede pagarle $300000 al contado. Otroleofrece$100000decontadoy7 mensualidades de $ 30000 cada una. Unterceroleofrece$63000decontadoy20 abonos quincenales de $12500 cada uno. Determinecualleconvienemas,sisabequeel dineroreditael9.6%deintersanual capitalizable por quincenas. EJERCICIOS TIPO

Una inversin se inicia hoy con $300.oo, adems, cada mes el inversionista deposita $60.oo, pero tambin cada mes le hacen una retencin del 1% sobre los intereses devengados en ese mes por concepto de mantenimiento de cuenta. Si la tasa de inters es del3.23%,nominal anual que se capitaliza mensualmente. Determinar el monto total que tendr el inversionista al cabo de tres aos, antes del depsito de esa fecha. EJERCICIOS TIPO

Un joven estudiante desea disponer de$ 230.oo mensuales desde enero hasta Diciembre de cada ao de carrera universitaria durante los cinco aos de estudio .Que cantidad uniforme debi haberle depositado anualmente el padre del estudiante , desde que el hijo cumpli diez aos de edad, en una institucin financiera (digamos fondos mutuos) que paga un inters del 2.8% efectivo anual durante los tres primeros aos y de 3.2% los siguientes aos, sabiendo que el hijo ingresa a la universidad cuando cumpla los 17 aos de edad y que los depsitos se harn hasta la fecha de ingreso. EJERCICIOS TIPO

Una persona adquiere un apartamento con el siguiente plan: cuota inicial financiada a seis pagos mensuales de $2100.oo cada una y un inters del 14% al rebatir, es decir 14%/12 = 1.167 mensualy el resto a diez aosen cuotas mensuales iguales; debe pagar la primera una vez que haya cancelado la ultima cuota de la inicial, es decir en el mes sptimo y el inters es del 11,25% tambin al rebatir. Determinar el valor de las cuotas mensuales, si el apartamento tiene un valor de contado (VA)$ 42500.oo EJERCICIOS TIPO

Una empresa construy una gran bodega en el cualsobra un espacio considerable. La empresa puede arrendar parte de la bodega y depositar ese dinero al 3.1% efectivo anual. Si el metro cbico de bodega puede arrendarse por $6.50/mes Cuantos metros cbicos deber arrendar la empresa para lograr tener, por este concepto un total acumulado en la cuenta de $6000 al cabo de cuatro aos? EJERCICIOS TIPO

Financiar dos obligaciones, una por $23000.oo de hoy otra de $ 17000.oo para dentro de quince meses, ambas con un inters de 8.7% efectivo anual, por su equivalente en 36 cuotas mensuales iguales y un inters del 6.9% efectivo mensual para el primer ao y del 9.15% efectivo anual de all en adelante, sabiendo que la primera de estas cuotas se pagara dentro de tres meses. EJERCICIOS TIPO

Una persona compra un automvil que de contado tiene un valor de $16000.oo. Lo adquiere con una cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto en 36 cuotas mensuales iguales; siendo la primera despus del pago de la cuota inicial y a un inters del 14% efectivo anual. Cada mes debe pagar un seguro del 0.15% del crdito. Determinar el valor de las cuota. EJERCICIOS TIPO

Una empresa adquiere un crdito por el valor de $70000 de una institucin bancaria con el fin de ampliar la produccin. La deuda debe pagarse en diez aos en cuotas trimestrales iguales y un inters del 7.6% nominal anual capitalizable trimestralmente. El gerente de finanzas de la empresa ordena ahorrar cada mes la cuarta parte de las utilidades mensuales en una institucin de fondos mutuos que le abona el 6% efectivo anual. Cuales debern ser las utilidades mensuales de la empresa para que con este plan de ahorros la deuda quede saldada al cabo de los diez aos. EJERCICIOS TIPO

Una inversin requiere hoy$160000 los cuales se obtienen de una entidad financiera que cobra un inters del 10.8% efectivo anual y deben cubrirsecon dos pagos iguales a uno y dos aos. Para cubriresta obligacin, el gerente de finanzas deber depositar mensualmente cantidades igualesen un fondo mutuo que paga el 8.55 % nominal anual capitalizable mensualmente,.. Determinar el valor de los depsitos mensuales. EJERCICIOS TIPO

Un individuo acaba de jubilarse de una empresa y decide seguir trabajando libremente y para tal fin compra un taxi amarillo. Debe pagar de cuota inicial el equivalente al 30% del valor del auto y el resto a cuatro aos con cuotas mensuales iguales y un inters del 8.1% nominal anual capitalizable mensualmente. Al cabo de dos aos y medio de estar pagando las cuotas, el banco que financio la compra del auto le informa al propietario que las cuotas que an faltan pagar tienen un valor actual de $ 5925. Determinar el valor de contado del taxi. EJERCICIOS TIPO

Un pequeo inversionista abre una cuenta en un fondo mutuo hoy con $860.oo y liego hace depsitos mensuales de $ 75.oo cada uno. El fondo tiene invertidos los depsitosuna tasa anual del 4.7%, pero cuando el saldo sea igual o superior a $3500, se har un descuento cada mes del 1% sobre los intereses devengados en ese mes por concepto de mantenimiento de cuenta. Dentro de cuanto tiempo tendr $4250.oo? ANUALIDADES ANTICIPADAS Una anualidad anticipada(o inmediata) es cuando los pagos se hacen al comienzo del perodo, es decir el 1 de Enero de cada ao o elprimer da de cada mes. Ejemplo de anualidades anticipadas son los pagos del alquiler de inmuebles, pago de la pensin en los colegios, o pagos de deudas contradas. ANUALIDADES ANTICIPADAS Una anualidad anticipada(o inmediata) es cuando los pagos se hacen al comienzo del perodo, es decir el 1 de Enero de cada ao o elprimer da de cada mes. Ejemplo de anualidades anticipadas son los pagos del alquiler de inmuebles, pago de la pensin en los colegios, o pagos de deudas contradas. ANUALIDADES ANTICIPADAS La diferencia entre una anualidad simple vencida y una anualidad simple anticipada, dado un numero igual de rentas, radica en que en la anualidad vencida la ultima renta no percibe inters porque coincide con el termino del plazo de la anualidad, mientras que en la anualidad anticipada la ultima renta no coincide con el final del plazo de la anualidad, ubicndose al inicio del ultimo periodo de la renta y percibiendo el inters o beneficio hasta el final del periodo, fecha en que concluye el plazo de la anualidad. ANUALIDADES ANTICIPADAS 0 1 2 3 4P1 2 3 4S) 9 ( 11 ) 1 (1((

+=+iiR Sn) 11 ( 1) 1 ( 1) 1 (((

++ = iiR AnP ANUALIDADES ANTICIPADAS En lugar de estar pagando S/. 125 por una renta al principio de cada mes, por los prximos 8 anos, el Sr. Cavero decide comprar una casa. Cul es el valor actual en efectivo de los 8 anos de renta al 5% convertible mensualmente? ANUALIDADES ANTICIPADAS El seor Lescanito esta percibiendo una renta de S/. 150,000 a principio de cada mes, faltan 8 anos para que se agote, pero este seor espera recibir S/. 250,000 a principio de cada mes. Por cuanto tiempo percibir esta renta, si el inters es del 51% capitalizable semestralmente?. ANUALIDADES ANTICIPADAS El Seor Ruben Calderon deposito S/. 100,000 a principio de cada mes, excepto en dos oportunidades: el tercer mes del segundo ano, no pudo depositar nada, mas bien retiro S/. 200,000 que necesitaba con urgencia y el cuarto mes del tercer ano deposito a parte de los S/. 100,000, S/. 300,000 mas por haber recibido el pago de un prstamo que haba hecho un pariente. Si el banco paga 55% capitalizable semestralmente Cunto tendr en su cuenta final al final del tercer ano? ANUALIDADES ANTICIPADAS El Sr. Enrique Zapata compro una poliza de seguro de vida, por la cual cuando llegar a los 60 aos de edad, recibiria S/. 15000,000. Al llegar a esta fecha, la compaa de seguros le ofrecio en lugar de esa suma de dinero, una renta de S/. 600,000 a principio de cada mes, durante 15 aos, y si el fallecia a sus herederos. Cul de las dos alternativas le conviene, si el inters es de 55% capitalizable semestralmente?. ANUALIDADES ANTICIPADAS El Sr. Daniel Hernndez recibe una renta de S/. 700,000 al principio de cada ao, durante 7 aos. Despus comienza a recibir durante los 10 aos siguientes S/. 400,000 al principio de cada ao, durante 5 aos. Durante los 10 aos siguientes transfiere una renta de S/. 300,000 a principios de cada ao para su hijo y l percibe una renta de solo S/. 200,000 al principio de cada ao. La renta se le agota al final de estos 10 aos. Si los intereses han sido del 30.5% capitalizable semestralmente, durante los 7 primeros aos, los 5 aos siguientes y los ltimos 10 aos respectivamente. Calcular:Cuando se hubiese agotado la renta del Sr. Hernndez si reciba S/. 700,000 durante todo el tiempo y no hacia ninguna transferencia. Si el Sr. Hernndez Hubiese cobrado S/. 200,000 a principio de cada ao durante todo el tiempo Cunto hubiese recibido su hijo al principio de cada ao durante los 10 aos?. Calcular el monto para cada una de las rentas al final de los 22 aos y el monto total.RENTAS PERPETUAS Rentas perpetuas son aquellas que empiezan a pagarse en una fechadefinida,ysepagaransiempredebidoaqueprovienen solo de los intereses generados de un capital. Los trminos R por periodo, son iguales, mnimo a los intereses porperiodogeneradoporelcapital.Silostrminosfuesen mayores que el inters por periodo, el capital se agotara con el transcurso del tiempo y la renta ya no sera perpetua. Si los trminos fuesen menores que los intereses por periodo, el capital crecera con el transcurso del tiempo y la renta seguira siendo perpetua. Nosotros consideraremos que los trminos R, son iguales a los intereses por periodo. MONTO DE LAS RENTAS PERPETUAS Comolostrminosdelarentaperpetuasepaganduranteun numeroinfinitodeperiodos,elmontoesimposibledeser calculado. VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA Se presentan tres casos: Valor actual de una renta perpetua de pago vencido. Valor actual de una renta perpetua de pago anticipado. Valoractualdeunarentaperpetuadepagodiferido,yasean vencidas o adelantadas. VALORACTUALDEUNARENTAPERPETUADEPAGO VENCIDO DigamosquePeselcapitalcuyosinteresesporperiodo constituyeneltrminodelarentaperpetuadepagovencido entonces: R = P x i es el termino de la renta perpetua, y P = R / i Formuladelvaloractual,lamismaquepuedeserdeducidade la formula del valor actual de rentas de pago vencido: En efecto: La formula (17) podemos obtenerla como un limite de: Por lo tanto l, Es decir P = R * 1/i Resulta la misma frmula hallada por definicin, con lo quelas rentasperpetuasresultanuncasoparticular,cuando,delas rentas de pago vencido. Ejemplos: Material de trabajo. inito a tiende n cuandoiperoiiRiiR RaRannn nni nni ninf 0) 1 (1lim) 1 (11) 1 ( 1lim lim=++=+ = iR Rain1lim - = VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA DE PAGO ANTICIPADO Elvaloractualenestecaso,eselcapital,digamosPque posibilitacobrarlosinteresesRainiciodecadaperiodo.Es decir: P = R + R/i oP = R [ (1+i)/i ] Donde R es el cobro a inicio del primer periodo y R/i es el valor actual del resto de periodos. Despejando R, obtendremos: R = Pi / 1+iVALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA DE PAGO DIFERIDO Dependiendo de si se trata de rentas vencidas o anticipadas, a cada formula se le multiplica por el factor (1/1+i)y Para el caso de las rentas perpetuas diferidas de pago vencido, la formula del valor actual es: P = R/i (1/1+i)y Paraelcasodelasrentasperpetuasdiferidasdepago anticipado, la formula del valor actual es: P = R [ (1+i)/i ] [(1/1+i)y] Valorpresentedeunaperpetuidadapagaralfinaldecada cierto numero de periodos de capitalizacin Sucede en la practica que las rentas perpetuas estipulan pagos quedebernefectuarseaintervalosdemasdeunao,por ejemplocarreteras,edificiosoactivosfijos.Comoelcostede sustitucinocurreunnmeroinfinitodevecesyporlotanto constituyeunarentaperpetua,esconvenientehallarelvalor actual de esoscargos que se renuevan perpetuamente. La formula es la siguiente: Donde:k = Numero de aos o periodos que median entre dos pagos sucesivos de una renta perpetua.W:MontodeloskpagosdeimporteR,efectuadosalfinaldecadaperiodode capitalizacin.) 19 (1 ) 1 ( 1 ) 1 ( += +=k kiWPiiiWPCapitalizacin Capitalizacin es el valor presente de una renta perpetua.EjemploNo24.LaEmpresaElctricaresuelvecrearun fondoparaproveeraperpetuidadlasreposicionesdelos postesdealumbradopublico,quehacostadoS/.150000en undistritodelacapital,lospostesdebenserreemplazados cada 10 aos, con un coste de S/. 91000. Hallar el valor que habrqueponerenelfondoparaproveerlosreemplazos futuros, si la tasa de inters es del 7 % efectivo anual? Solucin: 75 , 9409096715136 , 0910001 07 , 19100010= = = P PW = 91000; k = 10; i = 0,07; P =? Respuesta.-Alcabode10aossetendrunvalordeS/ 185,090.75, de los cuales S/. 91000 seutilizaran para reponer lospostesdealumbradopublicoyS/.94,090.75seutilizar paragenerarunnuevomontode91000parafuturos reemplazos. VALOR CAPITALIZADO Se conoce como costo capitalizado al valor de un activo, mas la actualizacin de todos los costos futuros que garanticen su reposicin perpetuamente. Elcostecapitalizadodeunactivosedefinecomoelcoste inicialdelactivomaselvaloractualdeunnmeroinfinitode renovaciones. Smbolos: K = coste capitalizado del activo C = coste inicial del activo W = coste de reemplazo del activo k = nmero de aos de vida til del activo i = tasa de inters supuesta. Por definicin el Coste Capitalizado es: K = C + P DondePeselvaloractualdelarentaperpetua,necesaria paralasrenovacionesfuturas.SustituyendoPporsuvalor tenemos: ) 20 (1 ) 1 ( ++ =kiWC KEjemplo: Hallar el coste capitalizado de una mquina que se compra en S/. 50000, si su vida til es de 10 aos, al final de los cuales debe ser reemplazarse al mismo coste. El precio del dinero es del 5 % efectivo anual? Solucin: W = 50000; C = 50000; k = 10;i = 0,05; K =? Reemplazando estos valores en la formula (20) tenemos: Respuesta.-ElcostedelamaquinaesS/.50000yS/. 79504.57generardentrode10aosS/.50000parala renovacin. 57 , 1295041 ) 05 , 0 1 (500005000010= ++ = KCuando C = W, podemos utilizar a siguiente frmula: Ecuaciones del Coste Capitalizado.- Muchasvecesesnecesariotomardecisionessobreactivos quehayquecompraroconstruir,cuandoestetienequeser reemplazado peridicamente, en estos casos la decisin tiene que basarse en la comparacin de costes capitalizados. ) 21 () 1 ( 1kiCK+ =Ejemplo.-Lamunicipalidaddeunpueblodebetomarunadecisinparala construccin de un puente, las ofertas ms convenientes son: Construirunpuentedemaderaconuncostede$75000ysuvidade20aosque debe ser reemplazadoal mismo coste. Construir un puente de acerocon un coste de $ 140000, su vida til de 50 aos y que debe ser reemplazadotambin al mismo coste. Culdelospuentesresultaalalargamaseconmico?.Latasadeintersse supone del 4 % efectivo anual. Solucin: Puente de Madera: C = W = 75000; k = 20;i = 0,04; Km =? Reemplazando en la formula tenemos: Respuesta.- El Coste Capitalizado del puente de madera es de $ 137965,78 Puente de Acero: C = W = 140000; k = 50; i = 0,04; Ka =? Respuesta.- As el coste capitalizado del puente de acero es $ 162925,70. Puesto que el coste del puente de madera es menor, resulta ms econmico. 78 , 137965) 04 , 0 1 ( 17500020 =+ =mK70 , 162925) 04 , 0 1 ( 114000050 =+ =aKEstoscasosdegastoscomparadosdeconstruirocomprarun activo, sugieren otro tipo de problema. Cunto podr gastarse en la construccin de un puente de acero para que el desembolso, en un perodo de tiempo infinitamente largo fuera igual al desembolso para el puente de madera? Regresemos al ejemplo anterior: Si el coste del puente de madera se fija en $ 75000 y su vida en 20 aos.Cuntodebergastarseenconstruirunodeaceroque dure 50 aos, prestando el mismo servicio y que a la larga sea taneconmicocomoelpuentedemadera?.Latasadeinters es del 4 % efectivo anual? En este caso tenemos que hallar el coste inicial y de reemplazo de unpuentedeacerotalquesucostecapitalizadoseaigualal coste capitalizado del puente de madera. Designemos,elcosteinicialydereemplazodelpuentede madera por K, su duracin por k aos y la tasa de inters por i. Entonces el coste capitalizado K del puente de madera es. La incgnita, esto es, el coste inicial y de reemplazo del puente de acero, lo representamos por el smboloC',la duracin del puenteporkaosylatasadeinterspori.Elcoste capitalizado K del puente de acero es, segn formula es: Puestoqueelcostecapitalizadodelpuentedemaderadebe ser igual al coste capitalizado del puente de acero, para que alalargaseanamboseconmicamenteiguales,entonces puede establecerse la siguiente relacin: K = K kiCK+ =) 1 ( 1kiCK+ =) 1 ( 1ik kiCiC + =+ ) 1 ( 1 ) 1 ( 1iDespejando C'. Que es coste inicial del puente acero, tenemos Reemplazando valores tenemos: Respuesta:As,paraqueelpuentedeaceroresultealalarga tan econmico como el de madera, su coste de construccin y de reemplazo debe ser de $ 118552,26. ((

+ + =2050) 1 ( 1) 1 ( 1kkiiC Ci2050) 04 , 0 1 ( 1) 04 , 0 1 ( 175000+ + =iC26 , 118552543613 , 0859287 , 075000 =((

=iC ANUALIDADES VARIABLES lasanualidadesvariables,sonaquellasenlas que las cuotas sufren variaciones de aumento odedisminucin,soncantidadesconstantes ylasdefinimoscomoanualidadesde variacinuniforme.Lacantidaddevariacin recibeelnombredegradienteylaprimera cantidaddelflujodecajaeslabase.El gradiente puede ser positivo o negativo. GRADIENTES En una anualidad vencida cuyas rentas consecutivas varan de acuerdo con una ley predeterminada, se denomina gradiente a la diferencia entre cualquier renta a partir de la segunda y la anterior. Cada renta es igual a la cuata base ms la suma de los gradientes acumulados, siendo la cuota base un importe igual a la primera renta. GRADIENTE ARITMETICO En una anualidad cuyas rentas varan en progresin aritmtica, los gradientes son uniformes, es decir la diferencia entre una renta y la anterior es siempre la misma. El siguiente grfico representa una anualidad con gradientes uniformes: A 1 23n-1n R R+g R+2g R+(n-2)g R+ (n-1) g FORMULAS DEL GRADIENTE ARITMETICO INCREMENTO ( ) ( )( ) ((

++ +((

+ = nn niniiigiiR P11 1 1 1 ( ) ( )((

++((

+= niiigiiR Sn n1 1 1 1 DISMINUCIN ( ) ( )( ) ((

++ ((

+ = nn niniiigiiR P11 1 1 1 ( ) ( )((

+((

+= niiigiiR Sn n1 1 1 1 GRADIENTE GEOMETRICO Se llama gradiente geomtrico a una serie de pagos peridicos en la cual cada pago es igual al del perodoinmediatamente anterior incrementando en un mismo porcentaje. Sea una serie de n pagos, por perodo vencido, en la que el primero tiene un valor de R y cada uno de los siguientes es igual al del perodo inmediatamente anterior aumentando en un porcentaje de G %y en la tasa de inters es i %por perodo. Se trata de hallar expresiones que nos midan el monto y el valor actual en esta serie.El presente diagrama muestra la serie de pagos. S A St St+1 01 2 3..tt+1 ...n R R(1+G)

tG R ) 1 ( +

1) 1 (+nG Ren que el primer pago es R, el segundo pago es R ( 1 + G ), el tercero es y as sucesivamente. En general el pago n-simo ser . 2) 1 ( G R +1) 1 (+nG RFORMULAS DEL GRADIENTE GEOMETRICO INCREMENTO PORCENTUAL (((

|.|

\|++=niGG iRP111 ( ) ( ) | |n nG iG iRS + += 1 1 DISMINUCIN PORCENTUAL (((

|.|

\|++=niGG iRP111 ( ) ( ) | |n nG iG iRS ++= 1 1