Ingenieria Economica Real

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CINTALAPA FEBRERO- JUNIO del 2012 MATERIA.: INGENIERIA ECONOMICA

Autor: ING. FRANCISCO JAVIER RUIZ CRUZ CINTALAPA DE FIGUEROA CHIAPAS 1

INGENIERIA ECONOMICA



S.E.P. S.E.I.T

DIRECCION GENERAL DE INSTITUTOS TECNOLÓGICOS INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CINTALAPA

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: INGENIERIA ECONOMIA. CATEDRATICO: ING. FRANCISCO JAVIER RUIZ CRUZ

CARRERA: INGENIERÍA INDUSTRIAL –INDUSTRIAS ALIMENTARIAS TEMARIO:

NUM.

TEMAS SUBTEMAS

I

CONCEPTOS Y CRITERIOS ECONÓMICOS Y EL VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO.

1.1 Introducción 1.1.1 Definición y terminología de Ingeniería Económica.

1.1.2. Interés simple e interés compuesto 1.1.3. Equivalencia 1.1.4. Simbología a utilizar 1.1.5. Diagrama de flujo de efectivo 1.2. Factores de Interés y su Empleo 1.2.1. Factores de pago único 1.2.1.1 Factor valor presente (F/P) 1.2.1.2 Factor valor futuro (P/F) 1.2.2. Factor de serie uniforme 1.2.2.1 Factor valor presente-serie uniforme (P/A) 1.2.2.2 Factor de recuperación de capital (A/P) 1.2.2.3 Factor valor futuro-serie uniforme (F/A) 1.2.2.4 Factor fondo de amortización (A/F) 1.3. Factores de Gradiente 1.3.1 Factores de gradiente aritmético 1.3.2 Factor de gradiente geométrico 1.4 Factores múltiples ración de capital (A/P)

II CAPITALIZACION DE INTERES

2.1. Tasa de Capitalización 2.1.1 Tasa nominal 2.1.2 Tasa efectiva 2.2 Cálculos para Periodos de Pago 2.2.1 Iguales a los periodos de capitalización 2.2.2 Mayores a los periodos de capitalización Menores a los periodos de capitalización Factores de Capitalización de Interés 2.3.1 Factores de pago único 2.3.2 Factores de serie uniforme

III ANÁLISIS DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

3.1 Método del Valor Presente 3.1.1.Comparación de alternativas con vidas útiles iguales 3.1.2 Comparación de alternativas con vidas útiles diferentes 3.1.3 Costo capitalizado 3.1.4 Comparación de alternativas según el costo capitalizado. 3.2 Método del Valor Anual 3.2.1 Comparación de alternativas con vidas útiles diferentes 3.2.2Método del valor presente de salvamento 3.2.3 Método de recuperación de capital 3.2.4 Comparación de alternativas por CAUE 3.2.5 Valor anual de una inversión perpetua 3.3 Método de la Tasa Interna de Retorno 3.3.1 Cálculo de la tasa interna de retorno para un proyecto

único



3.3.1.1 Por medio del valor presente 3.3.1.2 Por medio del valor anual 3.3.1.1 Por medio del valor presente 3.3.1.2 Por medio del valor anual 3.3.2 Análisis incremental 3.3.3 Comparación de alternativas mutuamente excluyentes 3.4 Evaluación de la Razón Beneficio/Costo 3.4.1 Clasificación y cálculo de beneficios, costos y beneficios

negativos para un proyecto único 3.4.2 Selección de alternativas mutuamente excluyentes

utilizando análisis beneficio/costo 3.4.3 Selección de alternativas mutuamente excluyentes utilizando análisis beneficio/costo incremental 3.5 Evaluación de alternativas bajo condiciones de riesgo

e incertidumbre 3.5.1 Interpretación de certidumbre, riesgo e incertidumbre 3.5.2 Elementos importantes para la toma de decisiones bajo riesgo 3.5.2.1 Valor esperado

IV DEPRECIACION Y ANALISIS DESPUES DE IMPUESTO.

4.1 Modelos de Depreciación 4.1.1 Terminología de la depreciación 4.1.2 Depreciación en línea recta 4.1.3 Depreciación por el método de la suma de los dígitos de

los años 4.1.4 Depreciación por el método del saldo decreciente y saldo doble decreciente 4.1.5 Métodos de agotamiento 4.1.5 Ley del impuesto sobre la renta 4.2 Análisis Después de Impuestos 4.2.1 Terminología básica para los impuestos sobre la renta 4.2.2 Ganancias y pérdidas de capital 4.2.3 Efectos de los diferentes modelos de depreciación 4.2.4 Tabulación del flujo de caja después de impuestos 4.2.5 Análisis después de impuestos utilizando los métodos de valor presente, valor anual y tasa interna de retorno

V

ANALISIS DE REEMPLAZO

5.1. Técnicas de análisis de reemplazo 5.2. Conceptos de retador y defensor en análisis de reemplazo 5.3. Modelos de reemplazo de equipo 5.4. Análisis de reemplazo utilizando un horizonte de planificación especificado 5.5. Cuando la vida útil restante del defensor es igual a la del retador.

5.6. Cuando la vida útil restante del defensor es mayor a la del retador

5.7. Análisis de reemplazo para retención adicional de un año 5.8. Factores de deterioro y obsolescencia 5.9. Determinación del costo mínimo de vida útil.

VI

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD E INFLACIÓN

6.1 La Sensibilidad en las Alternativas de Inversión 6.1.1 Enfoque de análisis de sensibilidad 6.1.2 Determinación de sensibilidad de estimaciones de

parámetros 6.1.3 Análisis de sensibilidad utilizando tres estimaciones de

parámetros 6.2 Valor Esperado y Árbol de Decisión



6.2.1 Variabilidad económica y valor esperado 6.2.2 Cálculo de valor esperado para alternativas 6.2.3 Selección de alternativas utilizando árboles de decisión 6.3 Efectos de la Inflación en Alternativas 6.3.1 Terminología de inflación y su efecto 6.3.2 Análisis de alternativas considerando la inflación

CRITERIO DE EVALUACION * EVALUACIÓN ESCRITA 50% * PARTICIPACION 15% * TRABAJOS DE INVESTIGACION 15% * TAREAS 15% * ASISTENCIA 05% SUMA 100% . FUENTES DE INFORMACIÓN

1. Blank, Leland T. Tarquin Anthony J. Ingeniería Económica, Editorial Mc Graw Hill. 2. Canada, John R. Técnicas de Análisis Económico para Administradores e Ingenieros.

Editorial Diana. 3. Coss Bu, Raúl. Análisis de Proyectos de Inversión, Editorial Limusa. 4. Newnan, Donald G. Análisis Económico en Ingeniería, Editorial Mc Graw Hill. 5. Degarmo Paul E., Sullivan William G., Bontadelli James A., Wicks Elin M. Iingeniería

Económica, Editorial Prentice Hall. 6. Park Chan, S. Ingeniería Económica Contemporánea, Editorial Addison Wesley.

Iberoamericana. 7. Thuesen H.G., Fabrycky W.J., Thuesen G.J. Ingeniería Económica, Editorial Prentice Hall. 8. Smith, Gerald W. Ingeniería Económica: Análisis de Gastos de Capital, Editorial Limusa. 9. Baca Urbina, Gabriel. Ingeniería Económica, Editorial Mc Graw Hill. 10. White J.A., Agee M.H., Case K.E. Principles of Engineering Economic Analysis, Editorial

John Wiley and Sons. 11. ILPES. Guía para la Presentación de Proyectos, Editorial Siglo XXI. 12. FONEP. Guía para la Presentación de Proyectos de Inversión, Editorial Nacional

Financiera. 13. Sapag Chain Nassir, Sapag Chain Reynaldo. Fundamentos de Preparación y Evaluación

de Proyectos, Editorial Mc Graw Hill. 14. Baca Urbina, Gabriel, Evaluación de Proyectos, Editorial Mc Graw Hill. 15. Manual de Proyectos de Desarrollo, ONU.

. PRÁCTICAS PROPUESTAS

• Solución a problemas reales. • Investigación de la ley de depreciación bajo la ley del impuesto sobre las renta del país. • Análisis de proyectos de inversión para la toma de decisiones



UNIDAD I CONCEPTOS Y CRITERIOS ECONOMICOS Y EL VALOR A TRAVES DEL TIEMPO 1.1.- ORIGEN: The Economic Theory of the Location of Railways (Teoría económica del trazado de vías férreas), obra escrita por Arthur M. Wellington en 1887, inició el interés de la ingeniería en las evaluaciones económicas. Wellington, que era ingeniero civil, razonaba que debía utilizarse el método de análisis de costo capitalizado para seleccionar las longitudes preferidas de las vías férreas o las curvaturas, de dichas vías. En forma muy peculiar capturó la orientación de la Ingeniería económica, afirmando:

Sería bueno que a la Ingeniería se le considerara en forma menos general o Incluso que no se le definiera, como el arte de construir. En un sentido ciertamente es más bien el arte de no construir, o para decirlo en forma más burda, aunque no Inadecuada, viene a ser el arte, de hacer con un dólar lo que cualquier ignorante puede hacer gastando dos.

En los años 20 J. C. L. Fish y 0. B. Coldman analizaron las Inversiones efectuadas en estructuras de ingeniería desde la perspectiva de las matemáticas actuariales. Fish formuló un modelo de inversión relacionado con el mercado de obligaciones. Coldman, en su libro titulado Financial Engineering (Ingeniería Financiera) proponía un método de Interés compuesto para determinar los valores comparativos y afirmaba:

Resulta raro, y desde luego muy desafortunado, que tantos autores, en sus libros de ingeniería no den consideración o le presten muy poca a los costos, a pesar del hecho de que el primer deber del Ingeniero es el de tener éstos en cuenta al objeto de obtener una economía real, es decir, lograr que el mayor número posible de dólares y centavos obtengan el óptimo rendimiento financiero.

Los límites de la Ingeniería económica clásica fueron trazados en 1930 por Eugene L. Grant en su texto Principles of Engineering Economy (Principios de Ingeniería Económica). El profesor Grant examinó la Importancia de los factores de Juicio y de la evaluación de Inversiones a corto plazo, al mismo tiempo.

Los desarrollos modernos están empujando fronteras de la Ingeniería Económica hasta hacerlas abarcar nuevos métodos de riesgo, sensibilidad, análisis de intangibles. Los métodos tradicionales están siendo refinados para reflejar la preocupación actual por la conservación de los recursos y la utilización eficaz de los fondos públicos.

LA INGENIERIA ECONOMICA

Así, como los viejos términos financieros y bancarios pasan ahora al ámbito industrial y particularmente al área productiva de las empresas, a este conjunto de técnicas de análisis para la toma de decisiones monetarias, empieza a llamársele Ingeniería Económica.

De esta forma con el paso del tiempo se desarrollan técnicas específicas para situaciones especiales dentro de la empresa como:

Análisis solo de costos en el área productiva.

Remplazo de equipo sólo con el análisis de costos.



Remplazo de equipo involucrando ingresos e impuestos.

Creación de plantas totalmente nuevas.

Análisis de inflación.

Toma de decisiones económicas bajo riesgo, etc.

Conforme el aparato industrial se volvía más complejo, las técnicas se adaptaron y se volvieron más específicas. Por lo tanto, la ingeniería económica o análisis económico en la ingeniería, se convirtió en:

Conjunto de técnicas para tomar decisiones de índole económica en el ámbito industrial, considerando siempre el valor del dinero a través del tiempo.

Disciplina que se preocupa de los aspectos económicos de la ingeniería; implica la evaluación sistemática de los costos y beneficios de los proyectos técnicos propuestos.

Técnicas de análisis económico adaptadas a sus empresas, creando en ellas un ambiente para toma de decisiones orientadas siempre a la ejecución de la mejor alternativa en toda ocasión.

En el nombre, la ingeniería económica lleva implícita su aplicación, es decir, en la industria productora de bienes y servicios. Los conceptos que se utilizan en análisis financiero, como las inversiones en bolsa de valores, son los mismos, aunque para este caso también se han desarrollado técnicas analíticas especiales.

La ingeniería económica es la disciplina que se preocupa de los aspectos económicos de la ingeniería; implica la evaluación sistemática de los costos y beneficios de los proyectos técnicos propuestos. Los principios y metodología de la ingeniería económica son partes integral de la administración y operación diaria de compañías y corporaciones del sector privado, servicios públicos regulados, unidades o agencias gubernamentales, y organizaciones no lucrativas. Estos principios se utilizan para analizar usos alternativos de recursos financieros, particularmente en relación con las cualidades físicas y la operación de una organización. Por último, la ingeniería económica es sumamente importante para usted al evaluar los méritos económicos de los usos alternativos de sus recursos personales.

Por tanto, la ingeniería económica se encarga del aspecto monetario de las decisiones tomadas por los ingenieros al trabajar para hacer que una empresa sea lucrativa en un mercado altamente competitivo. Inherentes a estas decisiones son los cambios entre diferentes tipos de costos y el desempeño (tiempo de respuesta, seguridad, peso, confiabilidad, etcétera) proporcionado por el diseño propuesto o la solución del problema. La misión de la ingeniería económica es balancear esos cambios de la forma más económica.

PRINCIPIOS DE LA INGENIERÍA ECONÓMICA

El desarrollo, estudio y aplicación de cualquier disciplina debe comenzar con una base fundamental; la cual en ingeniería económica se definirá como un conjunto de principios, o conceptos fundamentales, que proporcionan una doctrina comprensiva para llevar a cabo la metodología. La experiencia ha mostrado que la mayoría de los errores cometidos en esta disciplina tienen su origen



en transgresiones o en el seguimiento inadecuado de los siete principios básicos, que a continuación se definen:

PRINCIPIO 1: DESARROLLAR LAS ALTERNATIVAS

La elección (decisión) se da entre las alternativas. Es necesario identificar las alternativas y después definirlas para el análisis subsecuente.

PRINCIPIO 2: ENFOCARSE EN LAS DIFERENCIAS

Al comparar las alternativas debe considerarse solo aquello que resulta relevante para la toma de decisiones, es decir, las diferencias en los posibles resultados.

PRINCIPIO 3: UTILIZAR UN PUNTO DE VISTA CONSISTENTE

Los resultados probables de las alternativas, económicas y de otro tipo, deben llevarse a cabo consistentemente desde un punto de vista definido (perspectiva).

PRINCIPIO 4: UTILIZAR UNA UNIDAD DE MEDICIÓN COMÚN

Utilizar una unidad de medición común para enumerar todos los resultados probables hará más fácil el análisis y comparación de las alternativas.

PRINCIPIO 5: CONSIDERAR LOS CRITERIOS RELEVANTES

La selección de una alternativa (toma de decisiones) requiere del uso de un criterio (o de varios criterios). El proceso de decisión debe considerar los resultados enumerados en la unidad monetaria y los expresados en alguna otra unidad de medida o hechos explícitos de una manera descriptiva.

PRINCIPIO 6: HACER EXPLICITA LA INCERTIDUMBRE

La incertidumbre es inherente al proyectar (o estimar los resultados futuros de las alternativas y debe reconocerse en su análisis y comparación.

PRINCIPIO 7: REVISAR SUS DECISIONES

La toma de decisiones mejorada resulta de un proceso adaptativo, hasta donde sea posible, los resultados iniciales proyectados de la alternativa seleccionada deben comparase posteriormente con los resultados reales logrados.

La ingeniería Económica se aplica, asimismo, para analizar los resultados del pasado. Los datos observados se evalúan para determinar si los resultados satisficieron el criterio específico. Como por ejemplo: LA TASA DE RETORNO REQUERIDA.

Existe un procedimiento importante para abordar la cuestión del desarrollo y elección de alternativas. Los pasos de este enfoque, comúnmente denominados ENFOQUE DE SOLUCION DE PROBLEMAS o PROCESO DE TOMA DE DECISIONES, son los siguientes:



1. Compresión del problema y definición del objetivo 2. Recopilación de información relevante 3. Definición de posibles soluciones alternativas y realización de estimaciones realistas 4. Identificación de criterios para la toma de decisiones empleando uno o mas atributos 5. Evaluación de cada alternativa aplicando un análisis de sensibilidad para reforzar la

evaluación 6. Elección de la mejor alternativa 7. Aplicación de la solución y seguimiento de los resultados.

La Ingeniería Económica desempeña el papel principal en todos los pasos y es fundamental en los pasos del 2 al 6. Los pasos 2 y 3 establecen las alternativas y permiten hacer las estimaciones para cada una de ellas. El paso 4 requiere que el analista identifique los atributos para la elección de la alternativa. Este paso determina la etapa para la aplicación de la técnica. El paso 5 utiliza los modelos de Ingeniería Económica para completar la evaluación y realizar cualquier análisis de sensibilidad sobre el cual se basa una decisión (paso 6).

Algunas medidas de valor que podemos emplear son las siguientes:

Valor presente (VP) Valor Futuro (VF) Periodo de recuperación

Valor Anual (VA) Tasa de Retorno (TR) Valor económico agregado

Razón beneficio/costo (B/C) Costo capitalizado ( CC)

El Concepto del VALOR DEL DINERO en el tiempo es muy valioso en nuestro estudio. A menudo se dice que DINERO LLAMA DINERO. De hecho, la afirmación es verdadera, porque si hoy decidimos en invertir dinero, intrínsicamente esperamos tener más dinero en el futuro. Si una persona solicita UniCredito el día de hoy, mañana deberá más que el capital del préstamo original. Este hecho se explica por medio del VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO.

“LA VARIACION DE LA CANTIDAD DEL DINERO EN UN PERIODO DE TIEMPO DADO RECIBE EL NOMBRE DEL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO; ESTE ES EL CONCEPTO MAS IMPORTANTE DE LA INGENIERIA ECONOMICA.”

TASA DE INTERES y TASA DE RENDIMIENTO

El INTERES es la manifestación del valor del dinero en el tiempo. Desde una perspectiva de cálculo, el interés es la diferencia entre una cantidad final de dinero y la cantidad original. Si la diferencia es nula o negativa, no hay interés. Existe dos variantes del interés: El interés PAGADO y el Interés GANADO.

El Interés se paga cuando una persona u organización pide dinero prestado y paga una cantidad mayor. El interés se gana cuando una persona u organización ahorra, invierte o presta dinero y recibe una cantidad mayor.

INTERÉS:

1. Cantidad de dinero que excede a lo prestado. 2. Es el costo de un préstamo.



Interés = cantidad pagada - cantidad prestada O Bien Interés = cantidad que se debe ahora - cantidad original

TASA DE INTERÉS:

Porcentaje que se cobra por una cantidad de dinero prestada durante un periodo específico.

Tasa de Interés (%): Interés acumulado por unidad de tiempo X 100% Suma Original La unidad de tiempo de la tasa recibe el nombre de PERIODO DE INTERES. Por ahora, el periodo de interés mas comúnmente utilizado para fijar una tasa de interés es de un año. Ejemplo: 1.- Una empresa que brinda servicios de banda ancha obtuvo un préstamo de $2 millones de pesos para adquirir un nuevo equipo y reembolso el préstamo con una cantidad de $2.25 millones de pesos después de un año. ¿Cuál fue la tasa de interés aplicada al préstamo? Solución: Datos: Formula Cantidad Inicial= $2,000,000.00 Interés=Cantidad Final – Cantidad Inicial Cantidad Final= $2,250,000.00 Interés= $2250000-$2000000=$250,000.00 Tasa de Interés= Interes Acumulado por unidad de Tiempo X 100% Cantidad Original Tasa de Interés (%) = 250,000.00 X 100% = 0.125 x 100%= 12.5% 2000000 2.-Una firma de Ingeniería de diseño en construcción concluyo un proyecto de tuberías, en el cual la empresa obtuvo un rendimiento con una tasa del 32% anual. Si la cantidad de dinero que la compañía invirtió fue de $6,000,000.00. ¿A Cuanto ascendieron las utilidades de la compañía durante el primer año? Datos: Formula a emplear Tasa de rendimiento= 32% Utilidades= Cantidad original X Tasa de Interés Capital de Inversión o inicial=$6,000,000.00 Utilidades= $6000000.00 X 0.32=$1,920,000.00

Ejercicios para practicar:

a) Una compañía financiada por estado informo que acaba de liquidar un préstamo que recibió hace un año. Si la cantidad de dinero que la compañía pago fue de $1.6 millones de pesos y la tasa de interés fue del 12% anual. ¿Cuanto dinero obtuvo en `préstamo la compañía hace un año?



b) A una tasa de Interés del 10% anual ¿A cuantos equivalen $10000.00 de hoy dentro de un año y hace un año?

c) Una empresa de sustancias químicas que acaba de iniciar se fijo el objetivo de, al menos, conseguir utilidades con una tasa de rendimiento de 25% sobe su inversión. Si la empresa adquirió $40 millones de pesos de capital riesgoso. ¿Cuanto tuvo que ganar en el primer año?

d) Se invirtieron $10´000.000 el 17 de mayo y se retiro un total de $10´600.000 exactamente un año después. Calcular el interés ganado sobre la inversión inicial y la tasa de interés ganado sobre la inversión

Desde la perspectiva de un ahorrador, un prestamista o un inversionista, el interés ganado es la cantidad final menos la cantidad inicial o principal.

Interés= Cantidad total actual – Cantidad original

El interés ganado durante un periodo específico de tiempo se expresa como porcentaje de la cantidad original y recibe el nombre de TASA DE RETORNO (TR)

Tasa de Rendimiento (%) = Interés Acumulado por unidad de Tiempo X 100% Cantidad Original La unidad de tiempo para la tasa de retorno recibe el nombre de PERIODO DE INTERES. En diversas industrias el termino RENDIMIENTO SOBRE LA INVERSION (RSI) se emplea como sinónimo de TR, en particular cuando se asignan grandes fondos de capital a programas orientados a la ingeniería. Ejemplo: Calcula la cantidad depositada hace un año si ahora se tienen $1000.00 a una tasa de rendimiento del 5% anual. Además, determine la cantidad por intereses ganados durante ese periodo. SOLUCION La cantidad total acumulada es la suma del depósito original y del interés ganado. Si X representa el depósito original, tendremos: Total acumulado= Cantidad original + cantidad original (tasa de interés) $1000 =X + X(0.05)= X(1+0.5)=1.05X Por lo tanto el deposito original es X= 1000/1.05=$952.38 El interés ganado durante este periodo será igual a: Interés= Cantidad total – Cantidad inicial= $1000.00-$952.38=$47.62 Una cuestión adicional de índole económica para el estudio de la ingeniería económica es la INFLACION.

• Elevación del nivel general de los precios, ello implica perdida del poder adquisitivo. Por lo tanto el dinero se desvaloriza debido a la inflación.



Tasa de inflación: Porcentaje promedio del alza de precios en un período.

El efecto de la inflación se observa en el hecho de que el dinero permite comprar menos bienes que tiempo atrás. La inflación contribuye a: La reducción del poder de compra El incremento en el IPC (Índice de Precios al Consumidor) El incremento en el costo del equipo y su mantenimiento El incremento en el costo de los profesionistas asalariados y empleados contratados por

horas La reducción en la tasa de retorno real sobre los ahorros personales y las inversiones

corporativas. En otras palabras, la inflación puede contribuir materialmente a modificar el análisis económico individual y empresarial.

1.1.2.- El INTERES SIMPLE Y COMPUESTO

INTERÉS SIMPLE: Se calcula utilizando exclusivamente el Capital inicial o principal e ignorando cualquier interés generado en los periodos de intereses precedentes. Los intereses no se capitalizan. Se calcula con base a la inversión o préstamo original. Interés = capital x n°de periodos x tasa de interés En este tipo de Interés la tasa de interés se expresa en forma decimal INTERÉS COMPUESTO: Es el interés generado durante cada periodo del interés, se calcula sobre la cantidad original más el monto total del interés ACUMULADO EN TODOS LOS PERIODOS ANTERIORES. Así pues, el interés compuesto es un interés sobre el interés Se calcula con base en el saldo al principio del periodo. Los intereses generan intereses, es decir, se capitalizan. De tal forma que se calculan a partir de la siguiente expresión: INTERES COMPUESTO = (CANTIDAD ORIGINAL + TODOS LOS INTERESES ACUMULADOS)(TASA DE INTERES) Ejemplo: Se prestan $1.000 al 14 % anual. ¿Cuánto dinero se deberá al cabo de tres años si se utiliza interés simple y cuánto si se utiliza interés compuesto? Solución: Interés simple Interés por año = $1.000 x 0.14 = $ 140 Total de intereses =$1.000 x 3 x 0.14 = $ 420

Fin de año

Cantidad prestada

Interés Cantidad adeudada Cantidad pagada

0 1.000

1 ... 140 1.000 + 140 = 1.140 0

2 ... 140 1.140 + 140 = 1.280 0

3 ... 140 1.280 + 140 = 1.420 1.420



SI FUERA INTERES COMPUESTO TENDRIAMOS

1.1.4.- Terminología y símbolos

Las ecuaciones y procedimientos de la ingeniería económica emplean los siguientes términos y símbolos. Incluyen unidades de muestra:

P = valor o cantidad de dinero en un momento denotado como presente o tiempo 0. También P recibe el nombre de valor presente (VP); valor presente neto (VPN), flujo de efectivo descontado(FED) y costo capitalizado(CC); unidades monetarias

F= Valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro. F también recibe el nombre de valor futuro(VF); unidades monetarias

A= Serie de cantidades de dinero consecutivas, iguales y del final del periodo. A también se le denomina valor anual (VA) y valor anual uniforme equivalente (VAUE); unidades monetarias por año, unidades monetarias por mes.

n= numero de periodos de interés: años, meses, días i = Tasa de interés o tasa de retorno por periodo; porcentaje anual, porcentaje mensual. t = Tiempo expresado en periodos ; años, meses, días

Los símbolos P y F indican que se presentan una sola vez en el tiempo; A tiene el mismo valor una vez cada periodo de interés durante un numero especifico de periodos. Se da por supuesto que la tasa de interés i corresponde a una tasa de interés compuesto, a menos que se indique lo contrario. La tasa i se expresa como un valor en porcentaje por periodo de interés.

El diagrama de flujo de efectivo emplea varias convenciones:

1.- La línea horizontal es una escala de tiempo, con el avance del tiempo de izquierda a derecha. Los letreros del periodo (año, mes, Trimestre) pueden aplicarse a intervalos del tiempo en lugar de a los puntos en la escala de tiempo. Por ejemplo, advierta que el final del periodo 2 coincide con el comienzo del periodo 3. Cuando se utiliza la convención del final de periodo de los flujos de efectivo, los números de los periodos se colocan al final de cada intervalo de tiempo.

Fin de año

Cantidad prestada

Interés Cantidad adeudada Cantidad pagada

0 1.000

1 ... 140,00 1.000 + 140 = 1.140 0

2 ... 159,60 1.140 + 159,6 = 1.299,6 0

3 ... 181,94 1.299,6 + 181,94 = 1.481,54 1.481,54



2.- Las flechas significan los flujos de efectivo y se colocan al final del periodo. Si fuera necesario hacer una distinción, las flechas que apuntan hacia abajo representan egresos(Flujos de efectivo negativo o salida de efectivo) y las flechas hacia arriba representan ingresos(Flujos de efectivo positivos o entradas de efectivo)

3.- Un diagrama de flujo de efectivo depende del punto de vista de la persona que lo realiza.

1.1.5 Diagrama DE FLUJO DE EFECTIVO

FACTORES DE INTERES Y SU EMPLEO

1.2.1 FACTORES DE PAGO UNICO (F/P y P/F) CALCULO DEL VALOR DE F CUANDO SE CONOCE EL DE P El Factor fundamental en la ingeniería económica es el que determina la cantidad de dinero F que se acumula después de n años o periodos, a partir de un valor único presente P con interés compuestos una vez por año. Por consiguiente, si una cantidad P se invierten en algún momento t=0, la cantidad de dinero F, que se habrá acumulado en un año a partir del momento de la inversión a una tasa de interés de i por ciento anual será igual a:

F = P + Pi =P(1+i ) Donde la tasa de interés se expresa en forma decimal. Al final del segundo año, la cantidad de dinero acumulada F2 es la cantidad acumulada después del año 1, mas el interés desde el final del año 1, hasta el final del año 2 sobre la cantidad total F1

F2= F1 + F1i =P(1+i )+ P(1+i ) i Esta es la lógica para calcular el interés compuesto, la cantidad F se expresa como:

F2= P(1+i +i + i2 )=P(1+2i + i2)=P(1+i)2

En forma muy similar, la cantidad de dinero acumulado al final del año 3 se obtiene: F3= F2+F2i y que al sustituir P(1+i)2 por F y simplificar nos queda:

F3= P(1+i)n

De acuerdo con los valores anteriores y por inducción matemática es evidente que podemos generalizar dicha expresión de la manera siguiente:

Fn =P(1+i)n Ecuación 1 El factor (1+i)n se denomina FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA DE PAGO UNICO (FCCPU); pero en general se hace referencia a este como el factor F/P . Este es el factor de conversión, que cuando se multiplica por P, produce la cantidad futura F de una inversión inicial P después de n años a los intereses i. El diagrama de flujo de efectivo se muestra a continuación



P= dado I= Dado 0 1 2 3 n-2 n-1 n F=?

Diagrama de flujo de efectivo

Ahora invierta la situación para calcular el valor P para una cantidad dada F que consume n periodos en el futuro. Tan solo resuelva la ecuación 1 para obtener P P = F [ 1/(1+i)n ] La expresión ente corchetes se le conoce como el FACTOR DE VALOR DE PAGO UNICO (FVPPU). Tal expresión determina el valor presente F de una cantidad futura dada F , después de n años a una tasa de interés i . El diagrama correspondiente se muestra a continuación: P= ? I= Dado 0 1 2 3 n-2 n-1 n F= Dado

Diagrama de flujo de efectivo Ejemplo Suponga que solicita prestar $8000 en este momento y promete pagar el capital más el interés que se acumulen dentro de cuatro años a un i=10% anual. ¿Cuál será el monto total a pagar al final de los cuatro años?

año Cantidad que se Adeuda al principio De año

Interés que se Adeuda por Cada año

Cantidad que se Adeuda al final De cada año

Pago total Al final del año

1 P=$8000 iP=$800 P(1+i)=$8800 0

2 P=(1+i)n iP(1+i)1=$880 P(1+i)2=$9680 0

3 P=(1+i)2 iP(1+i)2=$968 P(1+i)3=$10648 0

4 P(1+i)3 iP(1+i)3=$1065 P(1+i)4=$11713 F=$11713

La cantidad (1+i)n para fines de nuestro estudio se representa como símbolo funcional de factor (F/P,i%,N) para (1+i)n. La manera de representarlo matemáticamente es F=P(F/P,i%, N) CALCULO DE VALOR DE P CUANDO SE CONOCE EL DE F De la ecuación anterior F=P(1+i)n, al despejar P se obtiene la siguiente relación:

P= F [1 / (1+i)]n = F(1+i)-n



La cantidad (1+i)-n se conoce como el FACTOR DE VALOR PRESENTE DE UN PAGO UNICO, representado por:

P=F(P/F,i%,N) Ejemplo Un inversionista tiene la opción de comprar una extensión de tierra cuyo valor será de $10000 dentro de seis años. Si el valor de la tierra se incrementa en un 8% anual. ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar el inversionista por la propiedad? El precio de compra se determina a partir de la ecuación anterior P=$100000(P/F, 8%,6)= F [1 / (1+i)]n P = $100000 [1 / (1+0.08)]6 P=$100000 [1 / (1.08)]6

P=$100000 [ 0.92592 ]6 P=$10000(0.6302) P=$6302 La siguiente tabla resume la notación estándar y las ecuaciones para los factores F/P y P/F asi como de A/P , A/F, P/A y F/A

FACTOR

ENCONTRAR/ DADO

ECUACION EN NOTACION ESTANDAR

ECUACION CON FORMULA DE FACTOR

FUNCIONES EN EXCELL

NOTACION NOMBRE

(F/P, i, n) Cantidad compuesta pago único

F/P

F=P(F/P, i, n)

F=P(1+i)n

FV(i%,,,P)

(P/F, i, n) Valor presente único

P/F P=F(P/F, i, n) P=F[1/(1+i)n ] PV(i%,n,,F)

(F/A, i, n) Monto compuesto de la serie uniforme

F/A F=A(F/A, i, n) F=A[(1+i)n-1 ] 1

(P/A, i, n) Valor presente de una serie uniforme

P/A P=A(P/A ,i, n) P=A [(1+i)n-1 i ( 1+i)n

(A/F, i, n) Fondo de amortización

A/F A=F(A/F, i, n) A=F( i /[(1+i)n - 1] )

(A/P, i, n) Recuperación de capital

A/P A=P(A/P, i, n) A=P ( i )(1+i)n ( 1+i)n-1

Ejemplo: 1.- Antonio Monjaras ha ahorrado $120000.00 lo cuales quiere invertir ahora. Quiere calcular el valor equivalente después de 24 años, cuando planea usar todo el dinero resultante como enganche



o pago inicial de una casa de vacaciones en una isla. Suponga una tasa de retorno del 08% anual, para cada uno de los 24 años. Determine:

a) La capacidad que puede pagar inicialmente usando la notación estándar como la formula de factor.

Solución Los símbolos y sus valores son: P= $120000.00 F=? i= 08% anual n= 24 años Notación estándar: Determinamos F usando el factor F/P para el 08% y 24 años. F=P(F/P, i, n) F= 120000(F/P,08,24) F =P(1+i)n F=120000 [120000(1+.08)24 ] F=120000(6.3412)=$760941.68 2.- Hewlett-Packard realizo un estudio que indica que $50000 en la reducción del mantenimiento este año en una línea de procesamiento, fue el resultado del mejoramiento de la tecnología de circuitos integrados, con base en diseños que cambian rápidamente: a) Si HP considera que este tipo de ahorro vale un 20% anual, encuentre el valor equivalente de este resultado después de 05 años. b) Si el ahorro de $50000 en mantenimiento ocurre ahora. Calcule su valor equivalente 03 años antes con un interés del 20% anual. Solución a) Los símbolos y sus valores son: P=50000 , F=? , i=20% anual , n= 05 años Utilizando el factor F/P para determinar F después de 05 años: F=P(F/P, i, n)=50000(F/P,20%,05) P=F(1+i)n

F=50000[50000(1+.20)5 ] F=50000(2.4883) F= $ 124,415.00 b) Los símbolos y sus valores son: P=? , F=50000 i=20% anual, n= 03 años Utilizando el factor P/F para determinar P tres años antes P= F(P/F, i, n)= 50000(P/F,20%.03) P = F [ 1/(1+i)n ] P=50000( 50000(1/(1+.20 )3 ) P=50000 / (1.728) P=$ 1.2.2 FACTOR VALOR PRESENTE (F/P) Y DE RECUPERACION DE CAPITAL EN SERIES UNIFORMES (P/A y A/P) El valor presente P equivalente de una serie uniforme A de flujo de efectivo al final del periodo se muestra a continuación:

P= ? I= Dado 0 1 2 3 n-2 n-1 n A= Dado



Puede determinarse una expresión para el valor presente considerando cada valor de A con un valor futuro F, Calculando su valor presente con le factor P/F para luego sumar los resultados: P=A[ 1/(1+i)1]+ A[ 1/(1+i)2]+ A[ 1/(1+i)3]+,….,+A[ 1/(1+i)n-1]+ A[ 1/(1+i)n] Los términos entre corchetes representan los factores P/F durante los años 1 hasta n, respectivamente. Si se factoriza A tendremos: P=A[ 1/(1+i)1 + 1/(1+i)2 + 1/(1+i)3+,….,+ 1/(1+i)n-1+ 1/(1+i)n ] Para simplificar la ecuación anterior y obtener el factor P/A, multiplicamos toda la dicha expresión por el factor (P/F,i%,1) el cual es 1/(1+i). Y nos da: P/(1+i) =A[ 1/(1+i)2 + 1/(1+i)3 + 1/(1+i)4+,….,+ 1/(1+i)n+ 1/(1+i)n+1 ] P/(1+i) =A[ 1/(1+i)2 + 1/(1+i)3 + 1/(1+i)4+,….,+ 1/(1+i)n+ 1/(1+i)n+1 ] -P =A[ 1/(1+i)1 + 1/(1+i)2 + 1/(1+i)3+,….,+ 1/(1+i)n-1+ 1/(1+i)n ] -i P/(1+i)= A[ 1/(1+i)n+1 -1/(1+i)1] P= (A/- i)[ 1/(1+i)n-1] P= A[ (1+n)n – 1)/(n(1+i)n)] i≠0 El termino entre corchete en esta ecuación es el FACTOR DE CONVERSION REFERIDO como VALOR PRESENTE DE SERIE UNIFORME (FVPSU). Se trata del factor P/A utilizado para calcular el valor de P equivalente en el año 0 para una serie uniforme de final de periodo de valores A, que empiezan al final del periodo 1 y se extienden durante n periodos. EJERCICIOS para practicar. Suponga una tasa de retorno igual al 18% para todos y cada uno de ellos. 1.- Una empresa alimenticia solicita $100000 durante 08 años ¿Cuánto debe de pagar en una sola exhibición al final del octavo año? 2.- Una compañía desea tener $214360 dentro de 08 años. ¿Qué cantidad debe depositar hoy para obtener esa cifra? 3.- Si se hacen 08 depósitos anuales de $1874.5 en una cuenta ¿Cuánto dinero hay acumulado inmediatamente después del último deposito? 4.- ¿Cuánto debe depositarse hoy en un fondo para que durante 08 años puedan hacerse retiros de $1874.5 al final de cada año? 5.- ¿Qué cantidad uniformemente anual debe depositarse cada año con el objetivo de acumular $213460 en el momento del octavo depósito anual? 6.- ¿Cuál es el monto de 8 pagos anuales para pagar un préstamo de $10000? El primer pago se dará un año después de recibir el préstamo.



UNIDAD II.- CAPITALIZACION DE INTERES 2.1. TASA DE CAPITALIZACION (DE INTERESES).

La tasa de interés nominal es la tasa de interés anual, es decir, la tasa que tiene una capitalización anual. La tasa de interés efectiva es la tasa de interés que tiene una capitalización con cualquier duración, esta duración puede ser mensual, bimestral. Semestral, etc. Así que la capitalización viene siendo el periodo en que se generan intereses.

Anteriormente se introdujeron los conceptos de tasas de interés compuesto y de interés simple, la diferencia básica entre los 2 es que el interés compuesto incluye interés sobre el interés obtenido el año anterior. En esencia, la tasa de interés nominal y la tasa de interés efectiva tienen la misma relación que el interés compuesto y el simple.

El cálculo para la tasa de interés nominal ignora el valor del dinero en el tiempo, al igual que el cálculo del interés simple. Cuando se considera el valor del dinero en el tiempo, al calcular las tasas anuales de interés de las tasas de interés de periodo, la tasa anual se denomina tasa de interés efectiva.

2.1.1. TASA NOMINAL.

La fórmula que involucra ambos tipos de tasas es la siguiente: Donde: r = tasa de interés efectiva.

i = tasa de interés nominal.

t = numero de periodos de capitalización al año.

Ejemplo: 1. Se invierten hoy $ 3 450 a una tasa de interés del 45 %, ¿Cuánto se tendrá dentro de dos años. Resuelva para las siguientes tasas de intereses.

a) nominal.

b) Efectiva (considere una capitalización bimestral).

Solución.

Datos: P=3450 i=45% i=0.45 n=2años. F=¿?

a) Nominal.

F = P (F/P, i %, n) = 3 450 (F/P, 45 %, 2) = 3 450 (2.10250) = $ 7 253.62



2.1.2. TASA EFECTIVA.

La fórmula que involucra ambos tipos de tasas es la siguiente:

Donde: r = tasa de interés efectiva.

i = tasa de interés n

i = tasa de interés nominal.

t = numero de periodos de capitalización al año.

Ejemplo:

1. Se invierten hoy $ 3 450 a una tasa de interés del 45 %, ¿Cuánto se tendrá dentro de dos años.

Resuelva para las siguientes tasas de intereses.

a) nominal.

b) Efectiva (considere una capitalización bimestral).

Solución.

Datos: P = $ 3450 i= 45 % i = 0.45 n= 2 años. F = ¿?

b) Efectiva.

F = P (F/P, i %, n) = 3 450 (F/P, 54.3301526 %, 2) = 3 450 (1.543301526)2 = $ 8 217.14

2.2. CALCULOS PARA PERIODOS DE PAGOS.

Además de considerar el interés o el periodo de capitalización, es también necesario considerar la frecuencia de los pagos o entradas dentro del intervalo de un año. Para simplificar, la frecuencia de los pagos o entradas se conoce como periodo de pago.



Es importante distinguir entre periodo de capitalización y de periodo de pago, porque en muchos casos ambos no coinciden. Por ejemplo si una persona deposita dinero cada mes en una cuenta de ahorros que produce una tasa de interés nominal del 6% anual capitalizada semestralmente, el periodo de pago seria un mes mientras que el periodo de capitalización seria 6 meses.

De manera semejante, si una persona deposita dinero cada año en una cuenta de ahorros que capitaliza el interés trimestralmente, el periodo de pago es un año, mientras que el periodo de capitalización es trimestral. Si el pago y los periodos de capitalización son iguales, la tasa se expresa como los capítulos anteriores (es decir, 1% mensual, donde el periodo de capitalización es un mes y los pagos deben hacerse al final de cada mes).

2.2.1. IGUALES AL LOS PERIODOS DE CAPITALIZACION.

Caso 1: periodos de capitalización y de pago iguales.(P=C).

n = número de años

Ejemplo: 1. Se invierten $ 7 500 cada mes (empezando el próximo mes) y por tres años, si la tasa de interés es del 40 %, capitalizable mensualmente, ¿Cuánto se tendrá en el momento de efectuar el último depósito? Solución: Datos: A =7 500 i= 40 % i= 0.40 cap.mens. n = 3 años, t = 12, F= ¿?

F = 7 500 (F/A, 3.3333%,36) = 7 500 (67.67357027) = $ 507 551.78

2.2.2. MAYORES A LOS PERIODOS DE CAPITALIZACION.

Caso 2: Periodos de pago mayores a los periodos de capitalización. (P>C).

k= numero de pagos al año. z = número de veces de la capitalización en un periodo de pago.



Ejemplo: Se invierten $ 50 000 cada semestre (empezando el próximo semestre) y durante 4 años, si la tasa de interés es del 35 % capitalizable bimestralmente, ¿Cuánto se tendrá de valor equivalente a la información anterior y que se ubique en este momento?

Solución: Datos: A = 50 000 i = 35 % i = 0.35 n = 4 años t = 6 k = 2 z = 3 P =¿?

P = 50 000 (P/A, 18.5407 %,8) = 50 000 (4.010185675) = $ 200 509.28

2.2.3. MENORES ALOS PERIODOS DE CAPITALIZACIÓN.

Caso 3: periodos de pago menor al los periodos de capitalización. (P < C).

y = numero de pagos por Periodo de capitalización.

Ejemplo:

1. Se invierten $ 24 700 cada mes (empezando el próximo mes) y durante 5 años, si la tasa de

interés es del 30 % capitalizable trimestralmente, ¿Cuánto se tendrá en el momento de efectuar el

último depósito?

Solución:

Datos: A = 24 700 i = 30 %= 0.30 n = 5 años t = 4 y = 3 k = 12 F =¿?



2.3.1. FACTORES DE PAGO UNICO.

Para esta condición debemos satisfacer dos requisitos: 1) Debe utilizarse la tasa periódica para i, y 2) las unidades en n deben ser las mismas que aquéllas en i. Luego, las ecuaciones de pago único pueden generalizarse de la siguiente forma:

VA = VF (VA/VF), i periódica, número de períodos

VF = VA (VF/VA), i periódica, número de períodos

Así, para la tasa de interés del 18% anual compuesto mensualmente, podemos utilizar variedad de valores para i y los valores correspondientes de n como indicamos a continuación con algunos ejemplos:

Tasa de interés efectiva i Unidades para n

1.5% mensual (Meses)

4.57% trimestral (Trimestres)

9.34% semestral (Semestre)

19.56% anual (Años)

42.95% cada 2 años (Período de dos años)

70.91% cada 3 años (Período de tres años)

Los cálculos de la tasa periódica, lo hacemos aplicando la ecuación [43]. Como ejemplo desarrollaremos el proceso para la obtención de la tasa efectiva trimestral:

j = 1.5 * 3 = 4.5% (0.045); m = 3; i =?

El mismo procedimiento es aplicable para la obtención de la tasa efectiva de un número infinito de unidades de n..

Ejercicio (Capitalización de depósitos variables)

Si depositamos UM 2,500 ahora, UM 7,500 dentro de 3 años a partir de la fecha del anterior abono y UM 4,000 dentro de seis años a la tasa de interés del 18% anual compuesto trimestralmente. Deseamos saber cuánto será el monto acumulado dentro de 12 años.

Solución: Como sabemos, en las ecuaciones sólo utilizamos tasas de interés efectivas o periódicas, por ello, primero calculamos la tasa periódica trimestral a partir de la tasa nominal del 18%:

j = 0.18; n = 4; i =?



Utilizando la tasa periódica de 4.5% por trimestre y luego períodos trimestrales para n, aplicamos sucesivamente la fórmula [19].

n1...3 = (12*4) = 48, (8*4) = 32 y (6*4) = 24

Respuesta:

El monto que habremos acumulado dentro de 12 años, capitalizados trimestralmente es UM 62,857.55

En esencia, un número infinito de procedimientos correctos pueden utilizarse cuando solamente hay factores únicos involucrados. Esto se debe a que sólo hay dos requisitos que deben ser satisfechos: (1) Debe utilizarse una tasa efectiva para i. y (2) las unidades en n deben ser las mismas que aquéllas en i. en notación estándar de factores, entonces, las ecuaciones de pago único pueden generalizarse de la siguiente manera:

P = F (P/F, i efectivo por periodo, número de periodos)

F = P (F/P, i efectivo por periodo, número de periodos)

Por consiguiente, para una tasa de interés del 12% anual compuesto mensualmente, podrían utilizarse cualquiera de las i y los valores correspondientes de n que aparecen en la siguiente tabla, en las fórmulas de pago único. Por ejemplo, si se utiliza la tasa efectiva equivalente por mes para i (1%), entonces el término n debe estar en meses (12). Si se utiliza una tasa de interés efectiva semestral para i, es decir (1.03)3 - 1 ó 3.03%, entonces n debe estar en trimestres (4).

Ejemplo 1: El señor Hernández planea invertir su dinero en un depósito que paga el 18% anual compuesto diariamente. ¿Qué tasa efectiva recibirá anual y semestralmente?

i anual = (1+0.18/365)365-1 = 19.72%

i semestral = (1+.09/182)182-1 = 9.41%

TASA DE INTERÉS EFECTIVA UNIDADES PAR N

1%mensual Meses

3.03%trimestral Trimestre

6.15%semestral periodos semestrales

12.68%anual Años

26.97%cada 2 años periodo de 2 años



Ejemplo 2: Si una persona deposita $1000 ahora, $3000 dentro de 4 años a partir de la fecha del anterior depósito y $1500 dentro de 6 años a una tasa de interés del 12% anual compuesto semestralmente. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta dentro de 10 años?

Solución:

Suponga que se ha decidido utilizar una tasa de interés anual para resolver el problema. Dado que solamente pueden ser utilizadas tasas de interés efectivas en las ecuaciones, el primer paso es encontrar la tasa efectiva anual. De acuerdo con la tabla anterior, para r = 12% y capitalización semestral, i efectivo = 12.36%, o mediante la ecuación:

i anual =(1 +0.12/2)2 - 1 = 0.1236 = 12.36%

Dado que el i está expresado en unidades anuales, n debe estar expresado en años. Por lo tanto.

F = 1000(F/P,12.36%,10)+3000(F/P,12.36%,6)+1500(F/P,12.36%,4) F = 1000(3.21)+3000(2.01)+1500(1.59) F = $11625.00

Como el interés capitaliza semestralmente, si utilizamos la tasa de interés efectiva semestral, obtenemos el siguiente resultado:

F = 1000(F/P, 6%,20)+3000(F/P, 6%,12)+1500(F/P, 6%,8) F = 1000(3.2071)+3000(2.0122)+1500(1.5938) F = $11634.40

Ejemplo 3: Si una mujer deposita $500 cada 6 meses durante 7 años. ¿Cuánto dinero tendrá luego del último depósito si la tasa de interés es del 20% anual compuesto trimestralmente?

n = 14 semestres; convertir la tasa trimestral en semestral

i= (1+0.10/2)2-1 = 10.25% Semestral. F = A (F/A, i, n) = 500(10.25%,14) = 500[(1.1025)14-1/.1025] F = $14244.53

En seguida se muestran los 2 factores de flujo de efectivo únicos con sus respectivas formulas.P=F

(P/F, i %, n) ------------------------------>

Donde la expresión del factor del tipo (Y/X, i %, n) se lee, Y dado X al i % en n periodos. Y representa al valor buscado o incógnita y X representa al valor conocido o dado.



Las ubicaciones de P y de F, así como las ubicaciones de los valores resultantes del uso de los factores anteriores se muestran en los siguientes diagramas.

EJERCICIOS PARA PRACTICAR 1.- Se invierten hoy $123456 a una tasa de interés del 15% ¿Cuanto se tendrá dentro de 02 años si aplicamos las siguientes tasas de interés? a) TASA NOMINAL B) TASA EFECTIVA 2.- Un inversionista decide realizar un deposito inicial de $ 567890 mensualmente y durante los próximos 4 años. Considerando una tasa de retorno del 15% anual y capitalizable trimestralmente ¿Cuánto dinero lograra obtener al cabo del periodo planeado? 3.- Benjamín González Ortega acude a una sucursal bancaria en Cintalapa y pregunta por los planes de inversión que maneja la firma bancaria. Optando por la siguiente sugerencia. Realizar un depósito inicial de $45670 cada 2 bimestres y durante los próximos 3 años. Le ofertan una tas de interés del 14% capitalizable bimestralmente.¿ Cuanto dinero lograr financiar la institución bancaria durante ese lapso de tiempo? 4.-Se invierten $55000 cada semestre y durante 6 años. La tasa de interés correspondiente es de 18% y se capitaliza cada 2 trimestres. ¿Cuánto se tendrá de valor en moneda nacional, en relación a la información anterior? 5.- Se realiza una aportación a una institución financiera de $150000 cada semestre y durante los próximos 5 años. Si la tasa de interés capitalizable es de 12% mensualmente. ¿Cuánto se tendrá de valor en moneda nacional, en relación a la información anterior 6.-Se invierten hoy $ 22145 a una tasa de interés del 19% ¿Cuanto se tendrá dentro de 02 años si aplicamos las siguientes tasas de interés? a) TASA NOMINAL B) TASA EFECTIVA



UNIDAD III ANALISIS DE ALTERNATIVAS DE INVERSION

3.1 MÉTODO DEL VALOR PRESENTE NETO (VPN)

El método del Valor Presente Neto es muy utilizado por dos razones, la primera porque es de muy fácil aplicación y la segunda porque todos los ingresos y egresos futuros se transforman a pesos de hoy y así puede verse, fácilmente, si los ingresos son mayores que los egresos. Cuando el VPN es menor que cero implica que hay una pérdida a una cierta tasa de interés o por el contrario si el VPN es mayor que cero se presenta una ganancia. Cuando el VPN es igual a cero se dice que el proyecto es indiferente.

La condición indispensable para comparar alternativas es que siempre se tome en la comparación igual número de años, pero si el tiempo de cada uno es diferente, se debe tomar como base el mínimo común múltiplo de los años de cada alternativa relevante.

En la aceptación o rechazo de un proyecto depende directamente de la tasa de interés que se utilice

Por lo general el VPN disminuye a medida que aumenta la tasa de interés, de acuerdo con la siguiente gráfica

En consecuencia para el mismo proyecto puede presentarse que a una cierta tasa de interés, el VPN puede variar significativamente, hasta el punto de llegar a rechazarlo o aceptarlo según sea el caso.

Al evaluar proyectos con la metodología del VPN se recomienda que se calcule con una tasa de interés superior a la Tasa de Interés de Oportunidad (TIO), con el fin de tener un margen de seguridad para cubrir ciertos riesgos, tales como liquidez, efectos inflacionarios o desviaciones que no se tengan previstas.

EJEMPLO:

Se presenta la oportunidad de montar una fábrica que requerirá una inversión inicial de $4.000.000 y luego inversiones adicionales de $1.000.000 mensuales desde el final del tercer mes, hasta el final del noveno mes. Se esperan obtener utilidades mensuales a partir del doceavo mes en forma indefinida, de

A) $2.000.000

B) $1.000.000

Si se supone una tasa de interés de 6% efectivo mensual, ¿Se debe realizar el proyecto?

Las inversiones que realiza la empresa deben ser constantemente vigiladas y supervisadas por los responsables del área financiera sin excepción



SOLUCIÓN:

En primera instancia se dibuja la línea de tiempo para visualizar los egresos y los egresos.

A) Se calcula el VPN para ingresos de $2.000.000.

VPN = -4.000.000 - 1.000.000 a7¬6% (1.06)-2 + 2.000.000/0.06 *(1.06)-11

VPN = -4.000.000 - 4.968.300 + 17.559.284

VPN = 8.591.284

En este caso el proyecto debe aceptarse ya que el VNP es mayor que cero.

B) Se calcula el VNP para ingresos de $1.000.000

VPN = -4.000.000 - 1.000.000 a7¬6% (1.06)-2 + 1.000.000/0.06 *(1.06)-11

VPN = -188.508

En esta situación el proyecto debe ser rechazado.

MÉTODO DEL VALOR PRESENTE NETO INCREMENTAL (VPNI)

El Valor Presente Neto Incremental es muy utilizado cuando hay dos o más alternativas de proyectos mutuamente excluyentes y en las cuales solo se conocen los gastos. En estos casos se justifican los incrementos en la inversión si estos son menores que el Valor Presente de la diferencia de los gastos posteriores.

Para calcular el VPNI se deben realizar los siguientes pasos:

1. Se deben colocar las alternativas en orden ascendente de inversión. 2. Se sacan las diferencias entre la primera alternativa y la siguiente. 3. Si el VPNI es menor que cero, entonces la primera alternativa es la mejor, de lo contrario, la

segunda será la escogida.



4. La mejor de las dos se compara con la siguiente hasta terminar con todas las alternativas. 5. Se deben tomar como base de análisis el mismo periodo de tiempo.

Para analizar este tipo de metodología se presenta el siguiente ejercicio práctico

EJEMPLO 1

Dadas las alternativas de inversión A, B y C, seleccionar la más conveniente suponiendo una tasa del 20%.

Alternativas de inversión A B C

Costo inicial -100.000

-120.000 -125.000

Costa anual de operación Año 1 -10.000 -12.000 -2.000


Costa anual de operación Año 3 -14.000 -2.000 0

SOLUCIÓN

Aquí se debe aplicar rigurosamente el supuesto de que todos los ingresos se representan con signo positivo y los egresos como negativos.

1 A) Primero se compara la alternativa A con la B

Alternativas de inversión A B B-A


-120.000

-20.000


Costa anual de operación Año 2 -12.000 -2.000 +10.000


B) La línea de tiempo de los dos proyectos seria:

C) El VPNI se obtiene:



VPNI = -20.000 - 2.000 (1+0.2)-1 + 10.000 (1+0.2)-2 + 12.000 (1+0.2)-3

VPNI = -7.777,7

Como el VPNI es menor que cero, entonces la mejor alternativa es la A.

A) Al comprobar que la alternativa A es mejor, se compara ahora con la alternativa C.

Alternativas de inversión A C C-A


-125.000

-25.000



Costa anual de operación Año 3 -14.000 0 +14.000

B) La línea de tiempo para los dos proyectos A y C seria:

B) El VPNI se calcula como en el caso anterior

VPN = -25.000 + 8.000 (1+0.2)-1 + 11.000 (1+0.2)-2 + 14.000 (1+0.2)-3

VPN = -2.593

Como el Valor Presente Neto Incremental es menor que cero, se puede concluir que la mejor alternativa de inversión es la A, entonces debe seleccionarse esta entre las tres.

3.1.1 COMPARACIÓN ALTERNATIVAS CON VIDAS UTILES IGUALES

Tienen capacidades de alternativas idénticas para un mismo periodo de tiempo

Guía para seleccionar alternativas:

1. Para una sola alternativa: Si el VP es > o = a ―0‖, entonces la Tasa de Interés es lograda o

excedida y la alternativa es financieramente viable.

2. Para 2 o más alternativas: Se selecciona la alternativa menos negativa o la mas positiva.

Comparación de Alternativas con vidas iguales



Ejercicios:

1. Realice una comparación del valor presente de las maquinas y seleccione lamedor para las

cuáles se muestran los costos:

CONCEPTO ELECTRICO GAS SOLAR

COSTO INICIAL 2500 3500 6000

COSTO ANUAL DE OPERACIONES 900 700 50

VALOR DE SALVAMENTO 200 350 100

VIDA EN AÑOS 05 05 05

2. Un agente desea comprar un auto y estima: Costo inicial=$10000, Valor comercial= $500 dentro

de 4 años, el mantenimiento anual y seguro= $1500 y le ingreso anual adicional debido a la

capacidad de viaje= $5000, ¿Podrá el agente obtener una tasa de retorno del 20% anual de su

compra 3.1.2 COMPARACION ALTERNATIVAS CON VIDAS UTILES DIFERENTES Deben compararse durante el mismo número de años

Una comparación comprende el cálculo del VP equivalente de todos los flujos de efectivo futuros para cada alternativa Requerimiento del servicio igual: • Comparar alternativas durante un periodo= MCM de sus vidas • Comparar en un periodo de estudio de longitud n años (Enfoque de horizonte de planeación)

Enfoque del MCM: Hace que automáticamente los flujos de efectivo se extiendan al mismo periodo de tiempo. Ejercicios: 1. Un superintendente debe decidir entre 2 maquinas excavadoras en base a: MAQUINA A : Costo inicial 11000, costo anual operación 3500, valor de salvamento 1000, vida útil 6 años. Maquina? B: Costo inicial 18000, costo anual 3100, valor salvamento 2000, vida 9 años. Interés 15%. Respuestas: VPA=−38559.2, VPB= −41384, se debe escoger la maquina A 3.-Un ingeniero mecánico contempla 2 tipos de sensores de presión con una tasa de interés de 18% anual, si los dos materiales para construcción de un vehiculo espacial: Material A: Costo Inicia 35000, Mantenimiento anual 7000, Valor Salvamento 20000, Vida Útil 6 MATERIAL B:

http://www.mitecnologico.com/Main/MAquina?action=edit




Costo Inicia 15000, Mantenimiento anual 9000, Valor Salvamento 2000, Vida Útil 6 RESPUESTAS: vpa= −52075.2 Y VPB=−53649.4 SE ESCOGE EL a 3.1.3 COSTO CAPITALIZADO MÉTODO DEL COSTO CAPITALIZADO (CC) El Método del Costo Capitalizado se presenta como una aplicación del Valor Presente de una Anualidad Infinita. Este es aplicado en proyectos que se supone tendrán una vida útil indefinida, tales como represas, universidades, organizaciones no gubernamentales, etc. También, es aplicable en proyectos que deben asegurar una producción continua, en los cuales los activos deben ser reemplazados periódicamente. Para realizar un análisis sobre esta metodología, se debe hallar el Valor Presente de todos los gastos no recurrentes y sumarlos con el Valor Presente de la Anualidad Infinita, que conforman dichos gastos. EJEMPLO Un industrial tiene dos alternativas para comprar una máquina. La primera máquina se la ofrecen con un costo inicial de $900.000 y tiene una vida útil de 10 años, al final de los cuales deberá ser reemplazada a un costo de $1.000.000. La segunda máquina la ofrecen a un costo de $1.000.000; su vida útil es de 15 años y su costo de reemplazo es de $1.500.000. Si se supone que el interés efectivo es del 20%. ¿Cuál máquina debe comprar? SOLUCIÓN 1. Como la primera máquina debe ser reemplazada cada 10 años, debe constituirse un fondo, mediante pagos anuales $R, con el objeto de tener disponibles $1.000.000 al final del periodo, para efectuar el reemplazo, se tiene entonces que la gráfica de tiempo sería: 1.1. Se halla el valor de los pagos: 1.000.000 = RS 10?¬20% R = 38.523 1.2. El Valor Presente de la renta perpetua será: Anualidad (A)= R / i Anualidad (A)= 38.523/ 0.2 Anualidad (A)= 192.614 1.3. Los costos no recurrentes son $900.000, que están en valor presente, por lo tanto el costo capitalizado es: CC = 900.000 + 192614 CC = 1.092.614 2. La segunda máquina debe ser reemplazada cada 15 años, también debe constituirse un fondo, mediante pagos anuales $R, para tener el dinero necesario de $1.500.000 al final del periodo, para efectuar el reemplazo, se tiene entonces que la gráfica de tiempo sería:

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2.1. Se halla el valor de los pagos: 1.500.000 = R S15¬20% R = 20.823 2.2. El Valor Presente de la renta perpetua será: Anualidad (A)= R / i Anualidad (A)= 20.823 / 0.2 Anualidad (A)= 104.115 2.3. Los costos no recurrentes son $1.000.000, que están en valor presente, por lo tanto el costo capitalizado es: CC = 1.000.000 + 104.115 CC = 1.104.115 La decisión que se tomaría sería por la primera máquina, que es la que tiene el menor costo capitalizado. 3.1.4. COMPARACIÓN DE ALTERNATIVAS SEGÚN EL COSTO CAPITALIZADO. Cuando se comparan 2 o más alternativas en base de su costo capitalizado se emplea el procedimiento del ejemplo 1 del tema anterior. Puesto que el costo capitalizado representa el costo total presente de financiación y mantenimiento de una alternativa dada para siempre, las alternativas se compararan automáticamente para el mismo número de años. La alternativa con el menor costo capitalizado es la más económica. Como en el método del valor presente y otros métodos de evaluación de alternativas, solo se deben considerar las diferencias en el flujo d caja entre las alternativas. Por lo tanto y cuando sea posible, los cálculos deben simplificarse eliminando los elementos de flujo de caja comunes a las 2 alternativas. El ejemplo siguiente ilustra el procedimiento para comparar 2 alternativas en base a su costo capitalizado. Ejemplo 1: Se consideran 2 lugares para un puente que cruce un río. El sitio norte conecta una carretera principal con un cinturón vial alrededor de la ciudad y descongestionaría el tráfico local. Las desventajas de este sitio son que prácticamente no solucionaría la congestión del tráfico local durante las horas de mayor afluencia y tendría que extenderse de una colina para abarcar la parte más ancha del río, la vía férrea y las carreteras locales que pasan por debajo. Por lo tanto ese puente tendría que ser un puente colgante. El sitio sur requiere de una distancia mucho mas corta, lo que permite la construcción de un puente de armadura, pero seria necesario construir una nueva carretera. El puente colgante tendría un costo inicial de de $ 30 millones con costos anuales de inspección y mantenimiento de $ 15 000. Además, la plataforma de concreto tendría que recubrirse cada 10 años a un costo de $ 50 000. Se espera que el puente de armadura y las carreteras cercanas tengan un costo de $ 12 millones y un costo anual de mantenimiento de $ 8 000. Cada 3 años se debería pintar el puente a un costo de $ 10 000. Además, cada 10 años habría que limpiarlo con arena a presión y pintarlo a un costo de $ 45 000. Se espera que el costo del derecho de vía para el puente colgante sea de $ 8 000 y para el puente de armadura sea de $ 10.3 millones. Compare las alternativas en base a su costo capitalizado, si la tasa de interés es del 6 %.



Solución: (elabore los diagramas de flujo de caja antes de tratar de solucionar el problema. Esto se debe hacer ahora). 3.2.- EL MÉTODO DEL VALOR ANUAL EQUIVALENTE (VAE) El método del Valor Presente Neto es muy utilizado por dos razones, la primera porque es de muy fácil aplicación y la segunda porque todos los ingresos y egresos futuros se transforman a pesos de hoy y así puede verse, fácilmente, si los ingresos son mayores que los egresos. Cuando el VPN es menor que cero implica que hay una pérdida a una cierta tasa de interés o por el contrario si el VPN es mayor que cero se presenta una ganancia. Cuando el VPN es igual a cero se dice que el proyecto es indiferente. La condición indispensable para comparar alternativas es que siempre se tome en la comparación igual número de años, pero si el tiempo de cada uno es diferente, se debe tomar como base el mínimo común múltiplo de los años de cada alternativa. En consecuencia para el mismo proyecto puede presentarse que a una cierta tasa de interés, el VPN puede variar significativamente, hasta el punto de llegar a rechazarlo o aceptarlo según sea el caso. Al evaluar proyectos con la metodología del VPN se recomienda que se calcule con una tasa de interés superior a la Tasa de Interés de Oportunidad (TIO), con el fín de tener un margen de seguridad para cubrir ciertos riesgos, tales como liquidez, efectos inflacionarios o desviaciones que no se tengan previstas. Este método se basa en calcular qué rendimiento anual uniforme provoca la inversión en el proyecto durante el período definido. Por ejemplo: supongamos que tenemos un proyecto con una inversión inicial de $1.000.000. El período de beneficio del proyecto es de 5 años a partir de la puesta en marcha y la reducción de costo cada año (beneficio del proyecto) es de $400.000. La TREMA (Tasa de recuperación mínima aceptada) o Tasa de Descuento es del 12%. Se calculan las anualidades de la inversión inicial: esto equivale a calcular qué flujo de efectivo anual uniforme tiene el proyecto, combinando la inversión y los beneficios. La situación equivale a pedir un préstamo de $1.000.000 por 5 años al 12%. Si es así, se devolverían $277.410 cada año durante 5 años. El VAE del proyecto se puede calcular usando la función PAGO (C1, C2, C3) de Excel, en donde c1 = TREMA (Tasa de recuperación mínima aceptada) o Tasa de Descuento (12%), C2 = cantidad de años que dura el proyecto (5 años) y c3 = inversión inicial ($1.000.000). En nuestro caso sería: PAGO (12, 5, 1.000.000) = $277.410. Esto equivale a que el proyecto arrojará un flujo de efectivo positivo de $277.410 durante los cinco años, cada año. VAE = $400.000 - $277.410 = $122.590 . (VAE = ingreso anual provocado por el proyecto - gastos anuales). Este ejemplo asume que conocemos los gastos y los ingresos del proyecto. Para comparar dos proyectos: el supuesto es que los dos proyectos duran la misma cantidad de períodos. Este método se basa en calcular qué rendimiento anual uniforme provoca la inversión en el proyecto durante el período definido. Por ejemplo: supongamos que tenemos un proyecto con una inversión inicial de $1.000.000. El período de beneficio del proyecto es de 5 años a partir de la puesta en marcha y la reducción de costo cada año (beneficio del proyecto) es de $400.000. La TREMA (Tasa de recuperación mínima aceptada) o Tasa de Descuento es del 12%. Se calculan las anualidades de

http://www.monografias.com/trabajos7/tain/tain.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/pmbok/pmbok.shtml

http://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtml

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http://www.monografias.com/trabajos/seguinfo/seguinfo.shtml

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la inversión inicial: esto equivale a calcular qué flujo de efectivo anual uniforme tiene el proyecto, combinando la inversión y los beneficios. La situación equivale a pedir un préstamo de $1.000.000 por 5 años al 12%. Si es así, se devolverían $277.410 cada año durante 5 años. El VAE del proyecto se puede calcular usando la función PAGO (C1, C2, C3) de Excel, en donde c1 = TREMA (Tasa de recuperación mínima aceptada) o Tasa de Descuento (12%), c2 = cantidad de años que dura el proyecto (5 años) y c3 = inversión inicial ($1.000.000). En nuestro caso sería: PAGO (12, 5, 1.000.000) = $277.410. Esto equivale a que el proyecto arrojará un flujo de efectivo positivo de $277.410 durante los cinco años, cada año. VAE = $400.000 - $277.410 = $122.590 . (VAE = ingreso anual provocado por el proyecto - gastos anuales). Este ejemplo asume que conocemos los gastos y los ingresos del proyecto. Para comparar dos proyectos: el supuesto es que los dos proyectos duran la misma cantidad de períodos. MÉTODO DEL VALOR ANUAL EQUIVALENTE (VAE). Este método consiste en convertir en una Anualidad con pagos iguales todos los ingresos y gastos que ocurren durante un período. Cuando dicha anualidad es positiva, entonces es recomendable que el proyecto sea aceptado. El método se utiliza comúnmente para comparar alternativas. El VAE significa que todos los ingresos y desembolsos (irregulares y uniformes) son convertidos en una cantidad uniforme anual equivalente, que es la misma cada período.

ó Por lo tanto, si: VAE ³ 0 Acéptese la inversión. VAE < 0 Rechácese la inversión. 3.2.1 COMPARACIÓN DE ALTERNATIVAS CON VIDAS DIFERENTES Deben compararse durante el mismo número de años

Una comparación comprende el cálculo del VP equivalente de todos los flujos de efectivo futuros para cada alternativa Requerimiento del servicio igual: • Comparar alternativas durante un periodo= MCM de sus vidas • Comparar en un periodo de estudio de longitud n años (Enfoque de horizonte de planeación)

Enfoque del MCM: Hace que automáticamente los flujos de efectivo se extiendan al mismo periodo de tiempo. Ejercicios: 1. Un superintendente debe decidir entre 2 maquinas excavadoras en base a: MAQUINA A: Costo inicial 11000, costo anual operación 3500, valor de salvamento 1000, vida útil 6 años. Maquina? B:




Costo inicial 18000, costo anual 3100, valor salvamento 2000, vida 9 años. Interés 15%. Respuestas: VPA=−38559.2, VPB= −41384, se debe escoger la maquina A 3.-Un ingeniero mecánico contempla 2 tipos de sensores de presión con una tasa de interés de 18% anual, si los dos materiales para construcción de un vehiculo espacial: Material A: Costo Inicia 35000, Mantenimiento anual 7000, Valor Salvamento 20000, Vida Útil 6 MATERIAL B: Costo Inicia 15000, Mantenimiento anual 9000, Valor Salvamento 2000, Vida Útil 6 RESPUESTAS: vpa= −52075.2 Y VPB=−53649.4 SE ESCOGE EL a 3.2.2. MÉTODO DEL VALOR PRESENTE DE SALVAMENTO. El método de valor presente de salvamento es el segundo método por el cual los costos de inversión que son valores de salvamento, pueden convertirse a un CAUE. El valor presente del valor de salvamento se resta del costo inicial de inversión y la diferencia resultante se anualiza para la vida útil del activo. La ecuación general es: Los pasos que deben seguirse en este método son: 1) Calcular el valor presente del valor de salvamento por medio del factor P/F. 2) Restar el valor obtenido en el paso 1del costo inicial, P. 3) Anualizar la diferencia resultante sobre la vida útil del activo, empleando el factor A/P 4) Sumar los costos anuales al resultado del paso 3. Ejemplo 1: Calcule el CAUE de una maquina que tiene un costo inicial de $ 8 000 y un VS de $ 500 después de 8 años. Los costos anuales de operación (CAO) para la maquina se estiman en $ 900 y la tasa de interés es del 6%. Utilice el método del valor presente de salvamento. Solución: Empleando los pasos señalados anteriormente y la siguiente ecuación. tenemos:

3.2.3. MÉTODO DE RECUPERACION DE CAPITAL. Otro procedimiento para calcular el CAUE de un activo con un valor de salvamento es el método de recuperación de capital mas intereses; la manera general de resolver este método es mediante la aplicación de cinco pasos, y la formula que se aplica a este tipo de problemas es la siguiente:

Se reconoce que se recuperara el valor de salvamento si se resta el valor de salvamento del costo de la inversión antes de multiplicar por el factor A/F. Sin embargo, el hecho de que el valor de salvamento no se recuperara’ para n años debe tenerse en cuenta al sumar el interés (VSi) perdido durante la vida útil del activo. Al no incluir este término se supone que el valor de salvamento se obtuvo en el año cero en vez del año n. Los pasos que deben seguirse para este método son los siguientes: 1) Restar el valor de salvamento del costo inicial.



2) Anualizar la diferencia resultante con el factor A/P. 3) Multiplicar el valor de salvamento por la tasa de interés. 4) Sumar los valores obtenidos en los pasos 2 y 3. 5) Sumar los costos anuales uniformes al resultado del paso 4. 3.2.4. COMPARACION DE ALTERNATIVAS POR CAUE. El método del costo anual uniforme equivalente para comparar alternativas es probablemente la más simple de las técnicas de evaluación de alternativa expuestas en este libro. La selección se hace con base en el CAUE, siendo la alternativa de menor costo la más favorable. Obviamente, la información no cuantificable debe ser considerada también para llegar a la solución final, pero en general se seleccionaría la alternativa con el menor CAUE. Talvez la regla más importante que es necesario recordar al hacer comparaciones por medio del CAUE es que solo se debe considerar un ciclo de la alternativa. Esto supone, evidentemente, que los costos en todos los periodos siguientes serán los mismos. La selección se hace con base en el CAUE, siendo la alternativa de menor costo la más favorable. Obviamente, la información no cuantificable debe ser considerada también para llegar a la solución final, pero en general se seleccionaría la alternativa con el menor CAUE. Talvez la regla más importante que es necesario recordar al hacer comparaciones por medio del CAUE es que solo se debe considerar un ciclo de la alternativa. Esto supone, evidentemente, que los costos en todos los periodos siguientes serán los mismos. Ejemplo: Los costos siguientes se han propuesto a una planta de conservas para 2 maquina iguales para pelar tomates:

Si la tasa mínima de retorno requerida es del 15 %, ¿Que maquina seleccionaría usted?



Solución: El diagrama de flujo de caja para cada alternativa se muestra en la fig. 3.2.4. A. El CAUE para cada maquina utilizando el método de amortización de fondo de salvamento, se calcula con la siguiente ecuación:

Se selecciona la maquina B, dado que CAUEB < CAUEA. 3.2.5. VALOR ANUAL DE UNA INVERSION PERPETUA. Algunas veces es necesario comparar alternativas que se espera tengan una vida útil perpetua (represas para control de inundaciones etc.) para esta clase de análisis es importante reconocer que el costo anual de una inversión inicial perpetua es simplemente el interés anual sobre la suma global inicial. Es decir, si el gobierno invirtiera hoy $ 10 000en cierto proyecto de obras publicas, el CAUE de la inversión seria: $ 10 000 (0.04)= $ 400, si la tasa de interés fuera del 4%. Este cálculo es fácil de



entender cuando se cae en cuenta de que el gobierno podría gastar $ 10 000 o $ 400 indefinidamente. Al gastar hoy los $ 10 000, el gobierno esta perdiendo los $ 400 de interés que obtendría al depositarlos en un banco, al 4% de interés. Por otra parte, el gobierno podría permitir que un inversionista pagara los $ 10 000 por el proyecto y luego pagar al inversionista $ 400 de pérdidas de interés. Los costos periódicos a intervalos irregulares o irregulares se manejan exactamente como en los problemas convencionales de CAUE. Es decir todos los costos deben convertirse en costos anuales uniformes equivalentes para un ciclo. Ejemplo 1: El ministerio de agricultura esta considerando 2 propuestas para aumentar la capacidad del sistema de irrigación de un canal. La propuesta A incluye dragar el canal para remover los sedimentos y las malezas que se han acumulado durante la operación de los años anteriores. Dado que la capacidad del canal debe mantenerse en su máximo debido al la creciente demanda, el ministerio se propone comprar el equipo de draga y sus accesorios por $ 65 000. Se espera que el equipo tenga una vida útil de 10 años, con su valor de salvamento de $ 7 000. La mano de obra anual y los costos de operación se calculan en aproximadamente $ 22 000. Para controlar las malezas en el canal y las orillas, se hará una operación de fumigación durante la época de irrigación. El costo anual de esta operación, incluida la mano de obra seria de $ 12 000. La propuesta B incluye el revestimiento de canal en concreto a un costo inicial de $ 650 000. Se supone que el recubrimiento será permanente, pero se requeriría un mantenimiento menor cada año a un costo de $ 1 000. Además, las reparaciones del recubrimiento se tendrían que hacer cada 5 años, a un costo de $ 10 000. Compare las 2 alternativas con base en el costo anual uniforme equivalente, utilizando una tasa de interés del 15%. Solución: (nota: el lector deberá realizar el diagrama de flujo de caja). El CAUE de cada propuesta se determina de la siguiente manera:

• Se debe seleccionar la propuesta B. Comentario: Para la propuesta A, fue necesario considerar solamente un ciclo. No fue necesario calcular los costos d dragado y de control de malezas puesto que ya estaban expresadas como costos anuales. Para la propuesta B, el CAUE de la inversión inicial se obtuvo multiplicando por la tasa de interés. Lo que no es otra cosa que, P = A/ i, resuelta para A y redenominada CAUE.



Si se incluyeran costos en serie o sencillos no periódicos, estos tendrían que convertirse a valor presente y luego multiplicarse por la tasa de interés. Observe el factor de fondo de amortización A/F, para el costo de reparación de recubrimiento. El factor A/F se utiliza en vez del factor de recuperación d capital A/P, por que el costo de reparación de recubrimiento comenzó en el año 5 y no en el año 0 y continúo indefinidamente a intervalos de 5 años. 3.3.- MÉTODO DE LA TASA INTERNA DEL RETORNO Este método consiste en encontrar una tasa de interés en la cual se cumplen las condiciones buscadas en el momento de iniciar o aceptar un proyecto de inversión. Tiene como ventaja frente a otras metodologías como la del Valor Presente Neto (VPN) o el Valor Presente Neto Incremental (VPNI) por que en este se elimina el cálculo de la Tasa de Interés de Oportunidad (TIO), esto le da una característica favorable en su utilización por parte de los administradores financieros. La Tasa Interna de Retorno es aquélla tasa que está ganando un interés sobre el saldo no recuperado de la inversión en cualquier momento de la duración del proyecto. En la medida de las condiciones y alcance del proyecto estos deben evaluarse de acuerdo a sus características, con unos sencillos ejemplos se expondrán sus fundamentos. Esta es una herramienta de gran utilidad para la toma de decisiones financiera dentro de las organizaciones Para determinar una decisión de inversión, una empresa utiliza el valor presente neto (VPN) del ingreso futuro proveniente de la inversión. Para calcularlo, la empresa utiliza el valor presente descontado (VPD) del flujo de rendimientos netos (futuros ingresos del proyecto) tomando en cuenta una tasa de interés, y lo compara contra la inversión realizada. Si el valor presente descontado es mayor que la inversión, el valor presente neto será positivo y la empresa aceptará el proyecto; si el valor presente descontado fuera menor que la inversión la empresa lo rechazaría. El procedimiento técnico para computar el valor actual de una empresa es semejante al que se emplea para computar el valor actual de una inversión en bonos u obligaciones. Los factores que deben emplearse al computar el valor actual de una empresa son: 1.- Importe de las actividades futuras. 2.- Tiempo o fecha de las actividades futuras. 3.- Importe de los desembolsos futuros. 4.- Tiempo o fecha de los desembolsos futuros. 5.- Tasa de descuento. Los administradores computan el valor actual descontado para evaluar los proyectos de operaciones dentro de la empresa y las posibles compras de otras empresas. En ciertos casos, el calculo puede servir para valorar equipos especiales, aunque solamente cuando la ganancia prevista provenga de ellos y pueda determinarse y medirse en dinero. El valor presente neto es el valor actual de los flujos de caja netos menos la inversión inicial. 3.3.1 CALCULO TASA INTERNA RETORNO PARA PROYECTO ÚNICO La capacidad que tiene cualquier sistema para generar flujo de utilidades depende de las restricciones o del cuello de botella, es este el motivo por el cual una mejor local, no conduce necesariamente a una mejora global. Para impactar a la empresa como un todo, que conduzca al incremento de la riqueza de los dueños, debemos de explotar (sacarle el máximo jugo) y elevar

http://www.monografias.com/trabajos16/proyecto-inversion/proyecto-inversion.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtml


http://www.monografias.com/trabajos7/cofi/cofi.shtml

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http://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos10/bono/bono.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/obligaciones/obligaciones.shtml

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http://www.monografias.com/trabajos6/diop/diop.shtml

http://www.monografias.com/trabajos5/elciclo/elciclo.shtml


http://www.monografias.com/trabajos16/marx-y-dinero/marx-y-dinero.shtml

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(lograr más con los recursos disponibles) la restricción. En la evaluación de proyectos de inversión y alternativas operacionales, la restricción es el dinero. En la empresa todos los gerentes (producción, mercadeo, personal, etc.) son generadores de proyecto, están sugiriendo permanentemente como lograr que la empresa alcance su objetivo y lógicamente todas estas ideas de proyecto demandan dinero y evaluando proyectos es precisamente el dinero el recurso más escaso, es la restricción. Vamos a efectuar una afirmación, la cual demostraremos en el sentido de que la TIR solamente es un criterio que evalúa impactos locales y por lo tanto no permite optimizar el uso del dinero. El criterio del VPN, es un indicador de impacto global y con este tendremos que seguir evaluando para explotar y elevar la restricción, este criterio coincide con el valor económico agregado VEA. En conclusión hemos establecido el objetivo de los proyectos, el cual es agregar mas valor a la empresa ahora y en el futuro (aumentar la velocidad de generar dinero) y también determinamos la brújula o el indicador, el VPN, que nos permita comprobar si nos acercamos o alejamos de nuestro objetivo. Tratemos de seleccionar el mejor proyecto entre estos dos: el proyecto A tiene una TIR del 80% y la TIR del B del 20%. ¿Cuál proyecto debemos de escoger para optimizar el uso de los recursos?. Tanto el proyecto A como el B, supongamos, pertenecen al mismo sector económico, es decir tienen los mismos niveles de riesgo y son evaluados en el mismo horizonte de tiempo. ¿Estaremos seguros de nuestra escogencia?. Si no estamos seguros, definitivamente la TIR no nos satisface y necesitamos tener el criterio totalmente valido para realizar la selección. Realicemos el análisis y confirmemos nuestras apreciaciones con el siguiente ejercicio: Seleccionar con la TIR y verificar con el VPN los resultados en la evaluación financiera entre los siguientes proyectos de inversión:



TIRA : VPIA = VPEA TIRB : VPIB = VPEB Supongamos que la tasa de interés de oportunidad, iop (la cual todavía no hemos mencionado cómo se calcula) sea del 5% periódica para que establezcamos la comparación y efectuemos la selección apropiada.

Como la TIRA>TIRB y además ambas tasas superan la tasa de interés de oportunidad del 5%, escogemos el proyecto A. Estamos partiendo del supuesto que ambos proyectos tengan el mismo nivel de riesgo y que los recursos de dinero son limitados, sino fuera así la capacidad de generar riqueza de la empresa seria ilimitado, ¿ocurre esto en la realidad?. Verifiquemos los anteriores resultados con el criterio del VPN y establezcamos las conclusiones pertinentes:

Como el VPNB>VPNA y ambos valores son mayores que cero preferimos seleccionar el proyecto B.



El orden arrojado por la TIR y el VPN ha sido totalmente contradictorio, ¿quién tiene la razón?. Destruyamos la contradicción y mencionemos algunos métodos que nos aclaren la situación presentada: 1. El análisis marginal. En el análisis marginal encontramos la diferencia entre los dos proyectos, por lo general y si tienen inversiones iniciales diferentes, al de mayor inversión se le resta el de menor inversión y surge un nuevo proyecto que llamaremos el proyecto marginal o diferencia, luego nos focalizamos en evaluar este proyecto resultante:

Este proyecto resultante, sería lo que ocurre si decidimos invertir en el proyecto de mayor inversión con el excedente de no invertir en el de menor inversión. Partimos del supuesto que se efectuará inicialmente el de mayor inversión. Evaluamos entonces este proyecto diferencia con cualquiera de los criterios mencionados, si la TIR es mayor que el interés de oportunidad o si el VPN es positivo (mayor que cero) seleccionamos el de mayor inversión, si lo anterior no sucede escogemos el de menor inversión, pues si realizamos este, el excedente de no llevar acabo lo estaremos invirtiendo a la tasa de oportunidad que será mayor que la TIR o el valor presente es igual a cero, lo cual es preferible que invertir en una alternativa que destruye valor. El interrogante que tenemos que resolver es si se justifica invertir el excedente a una tasa superior al interés de oportunidad. Luego de efectuar los cálculos hemos determinado los valores de: TIR= 7.93%. VPN5%=+$16.47. Conclusión: Se deberá escoger el proyecto B, el de mayor inversión, puesto que al realizarlo, sobre el excedente de no realizar el de menor inversión se obtiene una tasa mayor al 5%, que seria lo que gana si se realiza el A, el de menor inversión. Este ordenamiento fue el dado desde el principio por



el VPN. El costo de tomar la decisión con un criterio inadecuado como seria escoger el proyecto A, el señalado por la TIR, es de $16.47, equivalente a la destrucción de valor y corresponde exactamente a la diferencia de los valores presentes netos (VPNA= $482.37, VPNB= $498.84). 2. La tasa interna de retorno incremental. TIRI. En el método anterior, a través del análisis marginal encontramos la tasa de quiebre de las dos alternativas la cual corresponde exactamente a la tasa de interés de oportunidad. Donde estas son indiferentes. Lo anterior significa, que si la tasa de oportunidad es del 7.93% es indiferente la una o la otra, pero si la tasa de oportunidad es menor que esta se selecciona la de mayor inversión, puesto que es mejor invertir a la TIRI= 7.93% y no a una tasa menor. Si la tasa de oportunidad es mayor que la TIRI, se deberá escoger la de menor inversión, pues es mejor liberar recursos para invertir a una tasa superior . Veámoslo gráficamente: en unos ejes cartesianos representemos la tasa de interés en la abscisa y en la ordenada el VPN y dibujemos en ellos las funciones de los valores presentes netos de A y B.

3. Verdadera tasa de rentabilidad. Es bueno precisar algunos conceptos de tasa de interés.



Tasa interna de retorno. TIR. Es la característica del proyecto, independiente del evaluador o inversionista. Supone reinversion de los recursos liberados durante el horizonte de evaluación del proyecto a la misma tasa de retorno. Tasa de interés de oportunidad. CCPP. Corresponde a la característica del inversionista y con esta tasa calculamos el VPN. La característica fundamental del VPN es suponer reinversion a la tasa de oportunidad, de acá las bondades de este criterio en la selección de proyectos mutuamente excluyentes, donde la restricción es el dinero. Verdadera tasa de rentabilidad. VTR. Combina las características del proyecto, con las características del evaluador o inversionista. Supone que la reinversion de los recursos liberados por el proyecto se realiza a la tasa de oportunidad. Cuando evaluamos proyectos con este criterio, los cuales sean mutuamente excluyentes, las inversiones iniciales deben de ser totalmente iguales, de no ser así, como en este caso, las diferencias se reinvierten a la tasa de oportunidad. Ilustrémoslo con el siguiente diagrama de flujo de caja, para los proyectos A y B del ejercicio anterior y con una tasa de oportunidad del 5%:

F = P(1+i)N A : 1.636,66= 800(1+VTR)5 VTRA = 15.39% B: 1.657.69 = 800(1+VTR)5 VTRB = 15.69% En los diagramas destacamos el hecho de que se han convertido los flujos de caja en esquemas de pagos únicos, con un pago único de valor P y un pago único futuro que llamaremos el valor futuro de los flujos de caja (VFFF). El VFFF ya es un criterio para tomar la decisión, puesto que partimos en ambos casos del mismo valor presente y naturalmente donde obtengamos el mayor resultado futuro, siempre y cuando estén ubicados en la misma fecha, esa será nuestra decisión que nos permita



optimizar los recursos. La VTR es la tasa de interés que haga equivalentes los pagos únicos presente y futuros. De la ecuación del esquema de pagos únicos, se despeja el valor de esta tasa. Como la VTRB>VTRA, escogemos el proyecto A y de nuevo este criterio coincide con el ordenamiento preferencial dado por el criterio del VPN. En resumen: Hemos destacado el VPN como criterio o indicador de impacto global en la evaluación financiera de proyectos. La TIR, solamente evalúa impactos locales que no necesariamente impactan globalmente a la empresa como un sistema, cuyo objetivo es ganar mas dinero. La TIR es importante para calcular la rentabilidad de los recursos, solamente de ese proyecto al cual se refiere. El VPN, permite realizar análisis de factibilidad, cuando sea positivo este indicador los proyectos son atractivos y además permite optimizar los recursos cuando el proyecto tenga un mayor VPN que otros. La TIR, solamente permite evaluar la factibilidad, cuando esta sea mayor que la tasa de oportunidad, pero definitivamente no permite optimizar los recursos. Cuando estamos evaluando proyectos para sistemas empresariales con ánimo de lucro, el criterio a emplear, proponemos sea el VPN. En empresas sin animo de lucro, el criterio apropiado puede ser la TIR, porque permite identificar la factibilidad financiera y la optimización de los recursos, corresponde a los criterios o indicadores de evaluación social, donde el dueño del proyecto, que es la población lo requiera con mayor necesidad y urgencia. 3.3.1.1. POR MEDIO DEL VALOR PRESENTE En este tema se demuestra un método para calcular la tasa de retorno sobre una inversión cuando se involucran varios factores. En los cálculos de la tasa de retorno, el objetivo es encontrar la tasa de interés a la cual la suma presente y la suma futura sean equivalentes La esencia del método de la tasa de retorno es una ecuación de tasa de retorno, que es simplemente una expresión que iguala una suma presente de dinero a valor presente de sumas futuras. Ejemplo 1: Si usted invierte $ 1 000 hoy y le prometen $ 500 en tres años y $ 1 500 en 5 años, la ecuación de la tasa de retorno seria:

Ec. 3.3.1.1. A. Donde se debe calcular el valor de i que satisfaga la igualdad (ver Fig. 3.3.1.1. a). Si se trasladan los $ 1 000 al lado derecho de la Ec. 3.3.1.1. A. Tenemos:

Ec. 3.3.1.1. B. La ecuación Ec. 3.3.1.1. B. es la forma que se seguirá para establecer todos los cálculos de tasa de retorno. La ecuación debe resolverse para i por ensayo y error para obtener i =16.95%. Dado que un proyecto siempre incluye desembolsos e ingresos, se puede encontrar algún valor de i; sin embargo, solo si la cantidad total de ingresos es mayor que la cantidad total de desembolsos la tasa d retorno será mayor que cero.



Debería ser evidente que los cálculos de la tasa de retorno son tan solo lo contrario de los cálculos de valor presente. Es decir, si se diera la tasa de interés anterior (16.95%) y se deseara encontrar el valor presente de $ 500 en 3 años y $ 1 500 en 5 años, la ecuación seria:

La que se puede arreglar de la siguiente manera:

Ec. 3.3.1.1. C. La Ec. 3.3.1.1. C. esta ilustrando, al igual que la Ec. 3.3.1.1. B, que las ecuaciones de la tasa de retorno y el valor presente se establecen exactamente de la misma manera. La única diferencia radica en lo que se da y en lo que se busca. El procedimiento general utilizado para hacer un cálculo de la tasa de retorno es el siguiente: 4) Dibujar un diagrama de flujo de caja. 5) Establecer la ecuación de la tasa de retorno en la forma:

Ec. 3.3.1.1 D. 6) Seleccionar los valores i por ensayo y error hasta que la ecuación este balanceada. En una solución de ensayo y error es útil acercarse a la respuesta correcta en la primera prueba. Si los flujos de caja se pudiesen combinar de tal manera que se pudiesen utilizar los ingresos y desembolsos para calcular un factor único tal como P/F, P/A, etc. Seria posible buscar la tasa de interés correspondiente al valor de dicho factor para n años. El problema es entonces combinar los flujos de caja en el formato de solo uno de los factores estándar. Esto se puede lograr mediante el siguiente procedimiento: 1) Convertir todos los desembolsos ya sea a cantidades únicas (P o F) o cantidades uniformes (A) sin tener en cuenta el valor del dinero en el tiempo. Por ejemplo, si se deseara convertir un valor A en un valor F, simplemente multiplique A por el número de años (n). el movimiento de los flujos de caja debe minimizar el error causado al no tener en cuenta el valor del dinero en el tiempo. 2) Convierta todos los ingresos en un valor único o a valores uniformes como en el paso 1.



3) Habiendo reducido todos los ingresos y los desembolsos ya sea a un formato P/F, P/A o A/F utilice las tablas de interés para encontrar la tasa de interés aproximada a la cual el valor respectivo de P/F, P/A, o A/F se satisface para el valor n adecuado. La tasa obtenida es una buena cifra ―básica‖ para utilizar en la primera prueba. Ejemplo 2: Si se invierten $ 5 000 hoy en acciones comunes y se espera que produzcan $ 100 anuales durante 10 años y $ 7 000 al final de los 10 años, ¿Cuál es la tasa de retorno?

Solución: El diagrama de flujo de caja (fig.3.3.1.1. a) indica que la tasa de retorno se puede calcular utilizando la Ec. 3.3.1.1. B. en la forma:

Para calcular la tasa en la primera prueba, todos los ingresos se consideraran como un simple F en el año 10 para poder utilizar el factor P/F. Se selecciona el factor P/F puesto que casi todo el flujo de caja se ajusta ya a ese factor y se minimizaran los errores causados al no tener en cuenta el valor del dinero en el tiempo. De esta manera, P = $ 5, 000 F = 10 (100) + 7,000 = $ 8 000. 3.3.1.2. POR MEDIO DEL VALOR ANUAL. Así como se puede encontrar i por medio del valor presente de un proyecto, también se pude encontrar este valor por una formulación de CAUE de la forma general:

Donde P es el valor presente de todas las cantidades no uniformes y A es una serie anual y uniforme equivalente para n años. Como se hizo anteriormente, se necesita una solución de ensayo y error para i.



Ejemplo 1: Utilice el método CAUE para encontrar la tasa de retorno para la información del ejemplo 2 del tema anterior: Solución Para utilizar la EC. (3.3.1.2.A) primero debemos calcular un A equivalente para las entradas (fig. 3.3.1.1.a) esto se calcula de la siguiente manera A = 100 + 7.000(A/F, i %, 10) La formulación de CAUE para la tasa de retorno es 0 = - 5.000(A/P, i %, 10) + 100 + 7.000 (A/F, i %, 10) Los resultados son los siguientes: i = 5,16 %, como en el caso anterior. De esta manera para los cálculos de tasa de retorno se puede escoger cualquier método ya sea de valor presente o CAUE. Generalmente es mejor acostumbrarse a utilizar uno de los dos métodos para evitar errores innecesarios. 3.3.2 ANALISIS INCREMENTAL MÉTODO DEL VALOR PRESENTE NETO INCREMENTAL (VPNI) El Valor Presente Neto Incremental es muy utilizado cuando hay dos o más alternativas de proyectos mutuamente excluyentes y en las cuales solo se conocen los gastos. En estos casos se justifican los incrementos en la inversión si estos son menores que el Valor Presente de la diferencia de los gastos posteriores. Para calcular el VPNI se deben realizar los siguientes pasos: Se deben colocar las alternativas en orden ascendente de inversión. Se sacan las diferencias entre la primera alternativa y la siguiente. Si el VPNI es menor que cero, entonces la primera alternativa es la mejor, de lo contrario, la segunda será la escogida. La mejor de las dos se compara con la siguiente hasta terminar con todas las alternativas. Se deben tomar como base de análisis el mismo periodo de tiempo. Para analizar este tipo de metodología se presenta el siguiente ejercicio práctico EJEMPLO 1 Dadas las alternativas de inversión A, B y C, seleccionar la más conveniente suponiendo una tasa del 20%.

Alternativas de inversión A B C


-120.000 -125.000



Costa anual de operación Año 3 -14.000 -2.000 0



SOLUCIÓN Aquí se debe aplicar rigurosamente el supuesto de que todos los ingresos se representan con signo positivo y los egresos como negativos. 1. A) Primero se compara la alternativa A con la B

Alternativas de inversión A B B-A


-120.000

-20.000




B) La línea de tiempo de los dos proyectos seria:

C) El VPNI se obtiene: VPNI = -20.000 - 2.000 (1+0.2)-1 + 10.000 (1+0.2)-2 + 12.000 (1+0.2)-3 VPNI = -7.777,7 Como el VPNI es menor que cero, entonces la mejor alternativa es la A. 2. A) Al comprobar que la alternativa A es mejor, se compara ahora con la alternativa C.

Alternativas de inversión A C C-A


-125.000

-25.000



Costa anual de operación Año 3 -14.000 0 +14.000

B) La línea de tiempo para los dos proyectos A y C seria:



B) El VPNI se calcula como en el caso anterior VPN = -25.000 + 8.000 (1+0.2)-1 + 11.000 (1+0.2)-2 + 14.000 (1+0.2)-3 VPN = -2.593 Como el Valor Presente Neto Incremental es menor que cero, se puede concluir que la mejor alternativa de inversión es la A, entonces debe seleccionarse esta entre las tres. 3.3.3. COMPARACION DE ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES. Cuando se debe seleccionar sólo una entre tres o más alternativas mutuamente excluyentes (independientes), se requiere una evaluación de alternativas múltiples. En este caso, es necesario efectuar un análisis sobre los beneficios y costos increméntales semejante al método utilizado en el tema para las tasas de retorno incremental. La alternativa de "no hacer nada" puede ser una de las consideraciones. Hay dos situaciones que deben considerarse respecto al análisis de alternativas múltiples por el método beneficio/costo. En el primer caso, si hay fondos disponibles de manera que se pueda escoger más de una alternativa entre varias, sólo es necesario comparar las alternativas contra la alternativa de "no hacer nada". En este caso las alternativas se denominan independientes. Por ejemplo, si se pudieran construir varias represas de control de inundaciones en un río determinado y hubiese disponibilidad de fondos para todas las represas, las relaciones B/C deben ser las que estén asociadas con una represa en particular contra ninguna represa. Es decir, el resultado de los cálculos podría demostrar que la construcción de tres represas a lo largo del río seria económicamente justificable en base a la disminución de los daños causados por las inundaciones, a la recreación, etc., y, por consiguiente, debe construirse. Por otra parte, cuando sólo se puede seleccionar una alternativa entre varias, es necesario comparar las alternativas entre sí en lugar de hacerlo contra la alternativa de "no hacer nada". Sin embargo es importante que el estudiante entienda en este momento la diferencia entre el procedimiento que se debe seguir cuando los proyectos múltiples son mutuamente excluyentes y cuando no lo son. En el caso de proyectos mutuamente excluyentes es necesario compararlos contra cada uno, mientras que en el caso de proyectos que no son mutuamente excluyentes (proyectos independientes) es necesario compararlos sólo contra la alternativa de "no hacer nada". Tomando en cuenta que: • El criterio es el mismo usado para la evaluación de la tasa de retorno, excepto valor de B/C incremental debe ser mayor que 1. • Se selecciona el proyecto que tenga un B/C incremental = >1, y •Que requiera la mayor inversión justificada.

• Aquellas alternativas que tengan un , pueden eliminarse inmediatamente y no necesitan considerarse en el análisis incremental. Sin embargo, en un análisis B/C por lo común es conveniente calcular una relación B/C general para cada una alternativa, ya que el VP total o el CAUE deben calcularse como preparación para el análisis incremental.



Ejemplo 1: Supóngase que existe un inversionista o un grupo de ellos, que desea instalar una escuela de estudios universitarios. Después de realizar una municiona investigación de mercado sobre ese tipo de estudios, concluyen que la demanda es muy elevada y solo tienen $ 7 millones para invertir. La universidad aun no esta construida y tiene varias opciones en cuanto a la construcción para diferentes capacidades de población estudiantil. Inicialmente se presentan 3 alternativas mutuamente exclusivas, es decir, construyendo una de ellas, ya no será posible construir otra universidad. Los beneficios se han calculado con base en las características de mantenimiento del edificio y con base en la población estudiantil que se podría atender. La TMAR de los inversionistas es del 7%. El problema de los inversionistas es el tamaño óptimo de la universidad, que se debe construir. Los datos son los siguientes (datos en miles de pesos):

Solución: Inicialmente debe calcularse el VPN de cada alternativa para descartar aquellas que no presenten rentabilidad.

Si cada una de las opciones es independiente, según el criterio del VPN, cualquier alternativa es atractiva como inversión. Pero el problema para los inversionistas es distinto. Si se sabe que construyendo la universidad de menor inversión, ya se tiene una rentabilidad, dado que el VPN es > 0, la pregunta seria: ¿es conveniente, desde el punto de vista económico, incrementar la inversión de $ 4 500 a $ 6 000 (miles de pesos) o aun a $ 7 000, dadas las expectativas de ganancia de cada inversión adicional? Como ya se determino que la alternativa de menor inversión, la A, por si misma es rentable, se toma como punto de comparación. A partir de esta referencia, se analiza si a los incrementos de la inversión corresponde el suficiente incremento en ganancias. Como el objetivo es la comparación de cada una de las alternativas en orden creciente de inversión, para realizar el análisis incremental, conviene hacer un ordenamiento de las alternativas, de menor a mayor inversión, tal y como se muestra en la tabla 3.3.3.B. (en miles de pesos):



Como ya se sabe que la alternativa A es rentable, dado que VPNA = 16, analícese ahora si el incremento de inversión de $ 4 500 a $ 6 000, es decir, si aumentando la inversión $ 6 000 - 4 500 = $ 1 500, la ganancia extra de $ 870 – 643 = 227 es económicamente conveniente a la tasa de referencia de 7%. Este análisis se puede expresar como la obtención de ?VPNC:A, léase VPN incremental de C respecto de A.

El resultado indica que es conveniente utilizar la inversión extra de $ 1 500 puesto que el VPN de los incrementos es positivo. Aquí es necesario señalar 2 cosas: la primera es que en la forma de cálculo siempre se deben restar las cifras de la alternativa de mayor inversión de las d menor inversión. Por ejemplo, se debe restar 6000 – 4 500 y no 4 500 – 6 000. El siguiente aspecto es que para aceptar realizar un incremento de inversión, se sigue el criterio normal de decisión del VPN, es decir,

acéptese cualquier inversión cuyo . Dado que se acepto incrementar la inversión a $ 6 000, el siguiente paso es calcular el nuevo incremento en VPN, al pasar la inversión de $ 6 000 a $ 7 000, pero ahora se toma como referencia a la última alternativa cuya inversión fue aceptada, es decir C. en caso de que no hubiera sido

aceptado incrementar la inversión a C, es decir, en caso de que entonces se tendría que analizar el incremento de A hasta B, es decir, de $ 4 500 a $ 7 000. Por tanto:

En este caso, el resultado es que no debe aceptarse incrementar la inversión de $ 6 000 a $ 7 000, pues el incremento de las ganancias no compensa el incremento de la inversión extra. La conclusión es que la máxima inversión que debe realizarse es C con $ 6 000. Esta es la misma conclusión que se obtuvo analizando las alternativas en forma independiente, ya que VPNC = $ 110.51, que es el mayor valor de VPN de las 3 alternativas. Ahora supóngase que se presenta una nueva alternativa D, cuyos datos son: $ 8 190 y beneficio anual $ 1 182. Se calcula el VPN de la alternativa por si misma (en miles de $):

El valor es ligeramente al VPN de la alternativa C que es $ 110.51. Desde el punto de vista de alternativas independientes, debería seleccionarse D, por presentar el mayor VPN de todas las alternativas. Ahora analícese lo que sucede con el análisis incremental. Para analizar el incremento de la inversión hasta $ 8 190 se toma como punto de comparación la ultima alternativa con un VPN incremental positivo, es decir, la alternativa C, de forma que (en miles de $):

Como dice la regla, acéptese cualquier inversión cuyo, entonces debe aceptarse el incremento de inversión hasta $ 8 190 (miles), es decir, acéptese D.



La conclusión que se puede obtener, es que el VPN sigue siendo valido para seleccionar la mejor alternativa dentro de 1 grupo de ellas, ya sea que las alternativas sean independientes o mutuamente exclusivas. En el ejemplo, se tienen 4 alternativas. Con el calculo del VPN considerando a las alternativas independientes, resulto que se debe seleccionar D, ya que presenta el mayor VPN = $ 111.87, de todas las alternativas. Cuando se aplica el análisis incremental, resulta que también debe invertirse en la alternativa D, lo cual indica que los resultados de ambos métodos son congruentes. 3.4.- EVALUACIÓN DE LA RELACIÓN BENEFICIO/COSTO El costo-beneficio es una lógica o razonamiento basado en el principio de obtener los mayores y mejores resultados al menor esfuerzo invertido, tanto por eficiencia técnica como por motivación humana. Se supone que todos los hechos y actos pueden evaluarse bajo esta lógica, aquellos dónde los beneficios superan el coste son exitosos, caso contrario fracasan. El análisis de costo-beneficio es un término que se refiere tanto a: • Una disciplina formal (técnica) a utilizarse para evaluar, o ayudar a evaluar, en el caso de un proyecto o propuesta, que en sí es un proceso conocido como evaluación de proyectos. • Un planteamiento informal para tomar decisiones de algún tipo, por naturaleza inherente a toda acción humana. Bajo ambas definiciones el proceso involucra, ya sea explícita o implícitamente, un peso total de los gastos previstos en contra del total de los beneficios previstos de una o más acciones con el fin de seleccionar la mejor opción o la más rentable. Muy relacionado, pero ligeramente diferentes, están las técnicas formales que incluyen análisis coste-eficacia y análisis de la eficacia del beneficio. El análisis costo-beneficio es una técnica importante dentro del ámbito de la teoría de la decisión. Pretende determinar la conveniencia de un proyecto mediante la enumeración y valoración posterior en términos monetarios de todos los costes y beneficios derivados directa e indirectamente de dicho proyecto. Este método se aplica a obras sociales, proyectos colectivos o individuales, empresas privadas, planes de negocios, etc., prestando atención a la importancia y cuantificación de sus consecuencias sociales y/o económicas. El análisis de costo-beneficio es una herramienta de toma de decisiones para desarrollar sistemáticamente información útil acerca de los efectos deseables e indispensables de los proyectos públicos. En cierta forma, podemos considerar el análisis de costo-beneficio del sector público como el análisis de rentabilidad del sector privado. En otras palabras, el análisis de costo-beneficio pretende determinar si los beneficios sociales de una actividad pública propuesta superan los costos sociales. Estas decisiones de inversión pública usualmente implican gran cantidad de gastos y sus beneficios se esperan que ocurran a lo largo de un período extenso. Para evaluar proyectos públicos diseñados para lograr tareas muy distintas, es necesario medir los beneficios o los costos con las mismas unidades en todos los proyectos, de manera que tengamos una perspectiva común para juzgar los diversos proyectos. En la práctica, esto comprende expresar los costos y los beneficios en unidades monetarias, tarea que con frecuencia debe realizarse sin datos precisos. Al efectuar análisis de costo-beneficio, lo más usual es definir a los ―usuarios‖ como el público y a los ―patrocinadores‖ como el gobierno.



El esquema general para el análisis de costo-beneficio se puede resumir de la siguiente manera: 1 Identificar los beneficios para los usuarios que se esperan del proyecto. 2 Cuantificar en la medida de lo posible, estos beneficios en términos monetarios, de manera que puedan compararse diferentes beneficios entre sí y contra los costos de obtenerlos. 3 Identificar los costos del patrocinador. 4 Cuantificar, en la medida de lo posible, estos costos en términos monetarios para permitir comparaciones. 5 Determinar los beneficios y los costos equivalentes en el período base, usando la tasa de interés apropiada para el proyecto. 6 Aceptar el proyecto si los beneficios equivalentes de los usuarios exceden los costos equivalentes de los promotores (B>C). Valuación de Costos y Beneficios. • Beneficios para el Usuario: Para iniciar el análisis costo-beneficio, se identifican todos los beneficios del proyecto (resultados favorables) y sus perjuicios o contrabeneficios (resultados no favorables) para el usuario. También debemos considerar las consecuencias indirectas relacionadas con el proyecto, los llamados efectos secundarios. Beneficios para el usuario (B) = beneficios - perjuicios • Costos del Patrocinador: Podemos determinar el costo para el patrocinador identificando y clasificando los gastos necesarios y los ahorros (o ingresos) que se obtendrán. Los costos del patrocinador deben incluir la inversión de capital y los costos operativos anuales. Cualquier venta de productos o servicios que se lleve acabo al concluir el proyecto generar ingresos; por ejemplo, las cuotas de peaje en carreteras. Estos ingresos reducen los costos del patrocinador. Entonces podemos calcular los costos del patrocinador combinando estos elementos de costo: Costos del patrocinador = Costos de capital + Costos de operación y mantenimiento - Ingresos • Selección de una tasa de interés. Anteriormente aprendimos que la selección de una TMAR apropiada para la evaluación de un proyecto de inversión es un aspecto crítico en el sector privado. En los análisis del sector público también hay que seleccionar una tasa de interés, llamada tasa de actualización social, para determinar los beneficios y costos equivalentes. La selección de una tasa de actualización social para la evaluación de un proyecto público es tan crítica como la selección de la TMAR en el sector privado. En los proyectos públicos como no tiene fines de lucro, se dice que debe de seleccionarse una tasa de actualización social que refleje únicamente la tasa gubernamental vigente de obtención de prestamos (CETES); y cuando se desarrollan proyectos con contrapartidas privadas una TMAR mixta resultante de la tasa de actualización social y la tasa exigida por los inversionistas privados. • Razón Costo-Beneficio (C/B) Se han hecho diversas formulaciones de la razón C/B. A continuación

se presentan las más comunes: Considerando BENEFICIOS / COSTOS: ; C/B=B/C = B/C+1 Si: B / C ³ 1 Acéptese el proyecto; ya que, por cada peso de costo se obtiene lo equivalente a uno o más pesos de beneficio. De lo contrario rechácese. Donde: t Número de período. I Inversión de capital. B Beneficios. bt Beneficio del período t. C Costo. ct Beneficio del período t. Razón costo-beneficio modificado:



Si: C / B ³ 1 Acéptese el proyecto; ya que, por cada peso invertido se obtiene lo equivalente a uno o más pesos de beneficio. De lo contrario rechácese.

Expresando la razón costo-beneficio como COSTOS / BENEFICIOS: C / B £ 1 Acéptese el proyecto; ya que, cada peso de beneficio obtenido se obtuvo con una cantidad menor a un peso de costo. De lo contrario rechácese. C/B= 1/B-C Si: C / B £ 1 Acéptese el proyecto; ya que, cada peso de beneficio obtenido se obtuvo con menos de un peso de inversión. De lo contrario rechácese. 3.4.1 CLASIFICACIÓN CALCULO BENEFICIOS COSTOS Y BENEFICIOS NEGATIVOS PARA UN PROYECTO ÚNICO El método para seleccionar alternativas más utilizado por las agencias federales para analizar la conveniencia de los proyectos de obras públicas es la relación beneficio/costo (relación B/C). Como su nombre lo indica, el método de análisis B/C se basa en la relación entre los costos y beneficios asociados con un proyecto particular. Por lo tanto, el primer paso en un análisis B/C es determinar cuáles elementos son beneficios y cuáles son costos. En general, los beneficios son ventajas, expresadas en términos monetarios, que recibe el propietario. Por otra parte, se presentan desbeneficios (beneficios negativos) cuando el proyecto bajo consideración involucra desventajas para el propietario. Finalmente, los costos son los gastos anticipados de construcción, operación, mantenimiento, etc. Puesto que el análisis B/C es común en los estudios económicos de los órganos federales, es aconsejable pensar que el público es el propietario y el que incurre en los costos es el gobierno federal. La determinación para considerar un artículo como beneficio, desbeneficio o costo, depende, por lo tanto, de quién se ve afectado por las consecuencias. En la tabla 3.4.1.A. se ilustran ejemplos de cada uno.

Aunque los ejemplos presentados en este capitulo son directos en lo que se refiere a la Identificación de beneficios, desbeneficios o costos, debe señalarse que en situaciones reales a veces deben

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emitirse juicios que están sujetos a la interpretación, particularmente cuando es necesario determinar si un elemento del flujo de caja es un desbeneficio o un costo. En otros casos simplemente no es posible colocar un valor en pesos a todos los beneficios, beneficios o costos involucrados. Estas consideraciones no cuantificables deben incluirse la decisión final, tal como se incluyen en otros métodos de análisis. En general, sin embargo los valores en pesos están disponibles, o se pueden obtener, y los resultados de un análisis B/C adecuado corresponderán a los de los métodos estudiados en temas anteriores (tales como valor presente, costo anual uniforme equivalente o tasa de retorno sobre inversión incremental). Antes de calcular una relación B/C, todos los beneficios, desbeneficios y costos que se van a utilizar en los cálculos deben convertirse a unidades monetarias comunes, tal como en los cálculos de valor presente, o a pesos por año, como en las comparaciones de costo anual, Es indiferente utilizar el método de valor presente o el de costo anual, mientras se sigan los procedimientos correctos. Se puede calcular la relación B/C utilizan¬do el valor presente o el CAUE, así:

EC. 3.4.1. A. Observe que los desbeneficios o beneficios negativos se restan de los beneficios, y no se suman a los costos. Es importante reconocer que la relación B/C podría cambiar considerablemente si los desbeneficios se consideran como costos. Por ejemplo, si se utilizan los números 10, 8 y 8 para representar beneficios, desbeneficios y costos respectivamente, el procedimiento correcto daría como resultado una relación B/C de (10 — 8)/8 = 0,25, mientras que el procedimiento incorrecto daría una relación B/C de 10/(8 + 8) = 0,625, la cual es más del doble. Por lo tanto, es muy importante el método por el cual se manejan los desbeneficios. Cuando se sigue el procedimiento correcto, una relación B/C mayor que o igual a 1,0 indica que el proyecto bajo consideración es económicamente ventajoso. Un método alterno que se puede utilizar para evaluar la factibilidad de los proyectos federales es restar los costos de los beneficios, es decir, B – C. En este caso, si B – C es mayor o igual a cero, el proyecto es aceptable. Este método tiene la ventaja obvia de eliminar las discrepancias observadas anteriormente cuando los desbeneficios se consideran como costos, puesto que B representa los beneficios netos. De esta manera, para los números 10, 8 y 8 se obtiene el mismo resultado independientemente de cómo se traten los desbeneficios . Restando los desbeneficios: B – C = [(10 - 8) – 8] = – 6. Sumando los desbeneficios a los costos: B – C = [10 — (8 + 8)] = – 6. Antes de calcular la relación B/C, asegúrese que la propuesta con el CAUE más alto es la que produce los beneficios más altos después de que los beneficios y costos se han expre¬sado en unidades comunes. De esta manera, una propuesta con un costo inicial más alto pue¬de tener realmente un CAUE o valor presente menor cuando se consideran todos los otros costos. El siguiente ejemplo. Ejemplo 1: El Departamento de carreteras está considerando rutas alternas para la idealización de una nueva carretera. La ruta A, con un costo de construcción de $ 4, 000,000; producirá beneficios



anuales de $125, 000 a los negocios locales. La ruta B costaría $ 6, 000, 000, pero daría $ 100, 000 en beneficios. El costo anual de mantenimiento de A es $ 200, 000 y el de B es $120, 000. Si la vida útil de cada carretera es de 20 anos y se utiliza una tasa de interés del 8%, ¿qué alternativa se debe seleccionar con base en un análisis beneficio/costo? Solución Los beneficios en este ejemplo son $125, 000 para la ruta A y $100, 000 para la ruta B. El CAUE de cada alternativa es:

La ruta B tiene un CAUE mayor que la ruta A de $123.700 anuales y menos beneficios que A. Por lo tanto, no habría necesidad de calcular la relación beneficio/costo para la ruta B, dado que esta alternativa es obviamente inferior a A. Además, si se hubiera tomado la decisión que se debe aceptar ya sea la ruta A o la B (que seria el caso si no hubiese más alternativa) entonces no habría necesidad de cálculos adicionales y se aceptaría la ruta A. 3.4.2 SELECCIÓN DE ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES UTILIZANDO ANALISIS BENEFICIO COSTO El método de selección de alternativas más comúnmente utilizado por las agencias gubernamentales federales, estatales, provinciales y municipales para analizar la deseabilidad de los proyectos de obras públicas es la razón beneficio/costo (B/C). Como su nombre lo sugiere, el método de análisis B/C está basado en la razón de los beneficios a los costos asociada con un proyecto particular. Se considera que un proyecto es atractivo cuando los beneficios derivados de su implementación y reducidos por los beneficios negativos esperados exceden sus costos asociados. Por lo tanto, el primer paso en un análisis B/C es determinar cuáles de los elementos son beneficios positivos, negativos y costos. Se pueden utilizar las siguientes descripciones que deben ser expresadas en términos monetarios. Beneficios (B) Ventajas experimentadas por el propietario. Beneficios negativos (BN) Desventajas para el propietario cuando el proyecto bajo consideración es implementado. Costos ( C ) Gastos anticipados por construcción, operación, mantenimiento etc. menos cualquier valor de salvamento. Dado que el análisis B/C es utilizado en los estudios de economía por las agencias federales, estatales o urbanas, piénsese en el público como el propietario que experimenta los beneficios positivos y negativos y en el gobierno como en quien incurre en los costos. Por consiguiente, la determinación de si un renglón debe ser considerado un beneficio positivo o negativo o un costo, depende de quién es afectado por las consecuencias.

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3.5.-EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS BAJO CONDICIONES DE RIESGO E INCERTIDUMBRE. Los modelos tradicionales para la evaluación de proyectos y alternativas de inversión, usan reglas tales como período de recuperación de la inversión y técnicas de flujos de caja descontados, conocidas como Valor Actual Neto (VAN). Estos métodos, asumen que el proyecto reunirá el flujo de caja esperado sin la intervención de la gerencia en el proceso. Toda la incertidumbre es mantenida en la tasa de descuento, la cual es ajustada de acuerdo al riesgo. Sin embargo, las empresas no son inversionistas pasivos. La gerencia tiene la flexibilidad de reasignar recursos, vender el activo, invertir después, esperar y ver cómo se comporta la competencia e inclusive puede abandonar el proyecto. Dicha flexibilidad, no es tomada en cuenta en los modelos tradicionales, lo cual crea análisis erróneos y costo de oportunidad. Para incluir el efecto riesgo, los métodos basados en mediciones estadísticas son los que logran superar en mejor forma al criterio subjetivo, que a pesar de ser uno de los más utilizados, se basa en consideraciones de carácter informal de quien toma la decisión, sin incorporar específicamente el riesgo del proyecto. La falta de estimaciones del comportamiento futuro se puede asociar normalmente a una distribución de probabilidad de los flujos de caja generados por la inversión. Existen sin embargo, formas precisas de medición que manifiestan su importancia principalmente en la comparación de proyectos o entre alternativas de un mismo proyecto. La más común es la desviación estándar, que se calcula mediante la expresión: Así se puede determinar cuáles son las probabilidades de obtener rentabilidad negativa o viceversa, si los resultados probables de los rendimientos se encuentran dispersos o no al resultado probable medio y la búsqueda de proyectos con menor probabilidad de riesgo. Es necesario destacar que la desviación estándar no es convincente utilizarle como única medida de riesgo, porque discrimina en función del valor esperado. De esta manera, dos alternativas con valores esperados diferentes de sus retornos netos pueden tener desviaciones estándares iguales, requiriendo una desviación complementaria para identificar diferenciaciones en el riesgo. El análisis de sensibilidad nos permite considerar una sola o más variables. Con el método de escenarios se tiene la posibilidad de considerar el efecto combinado de un número reducido de variables y en limitadas combinaciones. Sin embargo, el método de Monte Carlo, renovado con aplicación del software @ RISK que mediante el entorno de las hojas de cálculo del Excel permite la modelización del riesgo en todos sus aspectos, eliminando así este inconveniente dentro de los siguientes pasos básicos del método: 1. Definir la incertidumbre. Comience por reemplazar los valores inciertos de su hoja de cálculo por distribuciones de probabilidad de @RISK. Estas funciones simplemente representan una serie de posibles valores en lugar de limitarse a un solo valor. 2. Seleccione sus objetivos. 3. Simular: Calcular el modelo de su hoja de cálculo cientos y miles de veces. En cada simulación, toma muestras de valores aleatorios de las funciones de RISK que usted ha introducido. A través de esta técnica, se asigna un comportamiento aleatorio a cada variable de entrada ( Observar Tabla 1) del modelo sobre la que no exista certidumbre en su realización a través de definir que cada entrada tiene asociado una distribución de frecuencia determinada, como la distribución normal , donde es más probable que el valor realizado se encuentre cerca de la media teniendo en cuenta un cierto desvío, o la uniforme donde se debe establecer entre que mínimo y máximo puede fluctuar la variable aleatoria de entrada de manera equiprobable, o la triangular, donde fluctúa entre un mínimo y un máximo con mayor probabilidad hacia un valor en especial.



Tabla 1 Comportamiento aleatorio de las variables de entrada del modelo. Así, independientemente de cuantas sean, y con las correlaciones necesarias, esta inyección de incertidumbre el @RISK generará realizaciones para cada variable aleatoria de entrada, proveyendo de incertidumbre a la variable aleatoria de salida, determinando un rango de variación posible (el intervalo mencionado previamente) para la salida: VAN, TIR o cualquier otro. En términos simples, será decir que ―el crecimiento a largo plazo del mercado puede fluctuar entre 3% y 5% con igual probabilidad‖, o que ―el margen de ganancias sigue una distribución normal con media 20% y volatilidad de 3%‖, ―el requerimiento de la inversión en capital de trabajo varía entre 5% y 7% del incremento en las ventas netas, y así sucesivamente en todas las variables cuyo valor exacto no se pueda predecir. Luego se procede a la simulación (Observar Tabla 2) que consiste en generar escenarios para la variable de salida a partir de las potenciales realizaciones conjuntas de las variables de entrada (a través de una generación de números aleatorios) y dado esos valores de entrada se calcula la valuación, obteniéndose un valor consecuente con los valores generados. Tabla 2 Simulación de valores aleatorios de las funciones de RISK La estadística descriptiva para la variable del VAN, en este caso se encuentra expresado en la siguiente tabla: Tabla 3 Resumen estadístico Donde se observa el mínimo y máximo de la variable de output, el valor más probable, su desviación estándar y los intervalos de un intervalo de confianza que con un 90%de exactitud captura el ver verdadero valor del estimador que se busca (definido entre $4098315 y $219713700). De esta manera, con la herramienta de la simulación hemos generado un intervalo de posibles valores , con máximo y mínimo estadístico para los posibles valores del proyecto, estando relativamente seguros de los posibles valores que puede adoptar el proyecto. Contamos con 10000 resultados para cada una de las variables de output, lo que nos permite enriquecer el análisis del proyecto. El análisis debe complementarse con un análisis de sensibilidad a partir de las correlaciones. Tabla 4 Correlación entre variables input - output Se basa en el hecho que la variable de output y las variables de input tienen una variabilidad asociada, entonces mide con que variable de inputs se muestra más correlacionada la variable output, tanto positivamente como negativamente. El Gráfico # 1 se denomina ―tornado‖ por su forma, y permite ver cuales son las variables de input que más inciden en la variable de salida. El objetivo por un lado es verificar que la incertidumbre inyectada es razonable, caso contrario se revisan los comportamientos de las variables de input; por otro lado permite hacer análisis y gestión del riesgo del proyecto, ya que se buscará cobertura o seguros para aquellas variables que más inciden en la variabilidad del proyecto. Gráfico 1 Vista de la correlación entre variables de entrada y salida De donde surge que la variable que más impacta en la variabilidad (y por ende en el riesgo de realización) del valor del proyecto son los costos en materiales, que por ser negativa implica que valores altos en la realización de esta entrada impacten negativamente en el valor del proyecto. Con esta información sobre asociación de variables y causales de riesgo, se puede hacer una adecuada gestión del riesgo del proyecto a través de disminuir el rango de variación de dicha variable de entrada, a través de mecanismos de transferencia del riesgo. En la evaluación de inversiones en activos reales o financieros se realizan con valores esperados. Reconocer que los mismos son



producto de variables aleatorias implica incorporar una dimensión completamente nueva de análisis a la evaluación de una inversión. La simulación corre con la ventaja de poder incorporar muchas variables aleatorias al mismo tiempo, expresando la incertidumbre en la variable de salida u objeto de análisis. Por lo tanto, manteniendo que el criterio básico para el análisis de los proyectos de inversión ha de seguir siendo el VAN, en tanto que representa el valor creado para los inversionistas, un proyecto puede ser aceptado si es positivo el VAN, calculado de la forma que hasta ahora se ha descrito, pero teniendo en cuenta además, el valor de las opciones de invertir ahora o más tarde; de ampliar la capacidad; de abandonar; de emplear distintas materias primas, productos o procesos de producción; etc. En la visión tradicional un alto nivel de incertidumbre conduce a reducir el valor de los activos. El enfoque de las opciones reales muestra que un incremento de la incertidumbre puede conducir a un alto valor de los activos si los directivos identifican y usan sus opciones para responder flexiblemente a los eventos que se desarrollan. La Figura 1 ilustra los cambios importantes en el enfoque de las opciones reales: la incertidumbre crea oportunidades. Cuando una decisión futura depende del origen de la incertidumbre, los directivos se preocupan acerca del rango de posibles resultados que la variable de la incertidumbre puede tener cuando llega la fecha de la decisión. Por lo que la clave del problema radica en la alienación entre el tiempo y la incertidumbre. La Figura 2, introduce cómo el valor se comporta a lo largo del tiempo. Figura 2 Resolución de la incertidumbre en el tiempo Figura 1 La incertidumbre incrementa el valor de la inversión Efectivamente, la oportunidad de invertir dependerá probablemente de más variables que el VAN o la TIR del proyecto. Se considera que los cuatros factores más relevantes que influyen en la oportunidad de invertir son: 1. El período de tiempo el cual se puede decidir llevar a cabo un proyecto de inversión. Cuanto mayor sea éste, menor será la posibilidad de cometer errores en la elección, Y también será el valor de la opción de crecimiento que le corresponda. Si un proyecto puede posponerse el tiempo suficiente, incluso un proyecto con VAN negativo podría ser aceptado por llevar apareada una opción de ampliación o crecimiento suficientemente positiva. Lógicamente, la empresa de asegurarse si puede conseguir totalmente los beneficios de dicha opción o si éstos estarán también disponibles para otros competidores. Si la decisión de emprender el proyecto puede posponerse en el tiempo, éste podrá llevarse a cabo si finalmente, su VAN llegara a ser positivo, o rechazarse (sin incurrir en pérdidas) si fuese negativo. 2. El riesgo del proyecto es un factor de influencia positiva sobre la opción de crecimiento. Ello es debido a que un mayor riesgo involucra una mayor rentabilidad. Una mayor incertidumbre en cuanto a tipos de interés elevado y horizontes lejanos de inversión (cuando se puede aplazar una parte de ésta) no son necesariamente perjudiciales para el valor de una oportunidad de inversión. A pesar que estas variables reducen el VAN estático de un proyecto, también pueden provocar un aumento del valor de las opciones del mismo (valor de flexibilidad de la dirección) que puede contrarrestar el efecto negativo anterior. 3. Los tipos de interés. Tipos elevados disminuyen el valor de la opción porque conllevan tasas de actualización más altas que, a su vez, disminuyen el valor de los flujos descontados. Sin embargo, también reducen el valor actual del precio de ejercicio de la opción. Este efecto compensador puede ayudar a mantener a flote el valor de la opción a medida que los flujos de interés aumentan, lo cual puede proporcionar, a ciertas clases de proyectos (especialmente a las opciones de crecimiento), un enorme valor a tener en cuenta en el análisis de inversiones.



4. El grado de exclusividad del derecho de la empresa a aceptar un proyecto de inversión. Es decir, el derecho de ejercicio puede ser compartido o no. Las opciones exclusivas son, lógicamente más valiosas y resultan de patentes, del conocimiento privativo del mercado por parte de la empresa o de una tecnología que la competencia no puede imitar. Las oportunidades compartidas tienen, por lo general, un valor inferior. Todas estas opciones y la consideración de cuándo, verosímilmente, habrá que tomar una u otra, deben entrar en el cálculo del VAN esperado del proyecto, pero no es cierto que el valor de estas opciones reales haya que calcularlo necesariamente aplicando la teoría de opciones financieras, entre otras razones porque en la mayoría de los casos no será posible hacerlo. A nuestro juicio, el valor de las opciones reales se determina correctamente mediante el cálculo del VAN de los flujos que se producirán o dejarán de producirse si se toma una u otra de dichas opciones. Lo cual, puede hacerse perfectamente utilizando los conocidos árboles decisión, con tal de modificar los flujos, de acuerdo con las opciones, por ejemplo de ampliar, si la demanda del producto resulta alta, o de abandonar, si la demanda es baja. En la Figura 3 se puede apreciar como se organiza la información y cómo se desarrollan y conducen las diferentes opciones de decisión. En la opción de crecimiento (Círculo 2) se pone de evidencia la posibilidad de realizar inversiones adicionales (Círculo1) si las cosas funcionan bien en una primera inversión. Estas inversiones adicionales le permiten a la empresa capitalizar estados favorables de la naturaleza; es decir son contingentes o condicionales en buenos estados de la naturaleza. Figura 3 Estructura de la información en opciones de decisión Es decir actuando bajo incertidumbre, invertir apuradamente se asemejaría a realizar una acción muy arriesgada, y si eventualmente se puede esperar y ver cómo se desarrolla la incertidumbre, se podrá evitar por ejemplo invertir en escenarios malos. Sin embargo, esperar puede tener costos potenciales, en términos que si se aprovecha la oportunidad otro pude hacerlo, que este caso actuarán reduciendo el valor esperado del flujo de fondos a capturar ($8842817.155 – $8591509.52 = $251307.635). Este caso la opción de ampliar la producción o la escala operativa de un proyecto, es una opción real equivalente a una opción de compra americana; debido a que proporciona la posibilidad de realizar inversiones adicionales de seguimiento (en cualquier intervalo de tiempo antes de su vencimiento) como por ejemplo, aumentar la producción o las inversiones continuadas, por lo que podemos concluir, que el proyecto que pueda ampliarse vale más que el mismo proyecto sin esa misma posibilidad. Además se refleja la flexibilidad que puede tener el inversionista en esperar a tomar la decisión de inversión o asignación de recursos hasta que la circunstancia lo haga aconsejable, en este caso el precio. Gráfico 2 Ramas de Decisión del Nodo contra un Precio alto También el árbol de decisión como técnica, puede contribuir a realizar un análisis de sensibilidad para mostrar cómo un cambio en cualquiera de sus asunciones afectará, el resultado obtenido. Modifica el valor de la célula para variar y grabar los cambios en el valor esperado de la célula analizar. Un gráfico de sensibilidad despliega el cambio en el valor esperado como la sensibilidad los cambios inconstantes. El Gráfico 3 despliega el cambio del porcentaje en el valor esperado como la sensibilidad en los cambios inconstantes para cada análisis. Aquí, el éxito (tradúzcase en demanda



alta) y el precio eran variados por 10%. Las líneas indican que una demanda alta lleva a un cambio más grande en el valor esperado, seguido también como es lógico de un aumento del precio. 3.5.1. INTERPRETACION DE CERTIDUMBRE, RIESGO E INCERTIDUMBRE. En el momento de tomar decisiones, todos los administradores deben de ponderar alternativas, muchas de las cuales implican sucesos futuros que resultan difíciles de prever: la reacción de un competidor a una nueva lista de precios, las tasas de interés dentro de tres años, la confiabilidad de un nuevo proveedor. Por esta razón, las situaciones de toma de decisiones se consideran dentro de una línea continua que va de la certeza (altamente previsible) a la turbulencia (altamente imprevisible). Certidumbre: Bajo las condiciones de certidumbre, conocemos nuestro objetivo y tenemos información exacta, medida y confiable acerca del resultado de cada una de las alternativas que consideremos. RIESGO: Es la probabilidad de que suceda un evento, impacto o consecuencia adversos. Se entiende también como la medida de la posibilidad y magnitud de los impactos adversos, siendo la consecuencia del peligro, y está en relación con la frecuencia con que se presente el evento. Riesgo: Se produce el rieSgo siempre que no somos capaces de preveer con certeza el resultado de alguna alternativa, pero contamos con suficiente información como para preveer la probabilidad que tenga para llevarnos a un estado de cosas deseado. Incertidumbre: Bajo condiciones de incertidumbre es poco lo que se sabe de las alternativas o de sus resultados. Turbulencia: Bajo condiciones de certeza, riesgo e incertidumbre, el objetivo final esta siempre claro, pero bajo condiciones de turbulencia incluso el objetivo puede ser poco claro. La turbulencia también tiene lugar cuando el ambiente mismo cambia con velocidad o es de hecho incierto. En Análisis de Riesgo prácticamente cada decisión se basa en al interacción de variables importantes, muchas de las cuales tienen un elemento de incertidumbre pero quizás un grado bastante alto de probabilidad. Por lo tanto, la sensatez de lanzar un nuevo producto podría desprender de varias variables críticas: el costo de producto, la inversión del capital, el precio que se puede fijar, el tamaño del mercado potencial y la participación del mercado total Ejemplo: Los gerentes pueden comprender la verdadera probabilidad de una decisión que conduzca a los resultados deseados La probabilidad puramente estadística, como se aplican a la toma de decisiones, descansan sobre la suposición de que los encargados de tomar las decisiones las seguirán. Podría parecer razonable que si existiera una posibilidad del 60% de que la decisión sea cierta, una persona la tomaría. Sin embargo esto no es necesariamente cierto, pues el riesgo de estar equivocados es del 40%, quizás la persona no desee correr este riesgo. 3.5.2. ELEMENTOS IMPORTANTES PARA LA TOMA DE DECISIONES BAJO RIESGO.



Las aportaciones mas actuales en el campo de las finanzas continúan apuntando a la maximización del valor de la empresa, pero en este orden se imponen preguntas como, ¿se crea valor con la inversión?, ¿es o no una decisión correcta desde el punto de vista económico y financiero? La Toma de Decisiones y la Incertidumbre 1. La mayoría de las decisiones personales o de los negocios se toman bajo condiciones de incertidumbre. 2. El decisor debe seleccionar una alternativa o curso de acción entre todos los posibles. 3. Bajo condiciones de incertidumbre puede ocurrir más de un resultado para cada alternativa. Tipos de Decisiones (según el conocimiento del ambiente): 1. Bajo certeza: No hay ninguna posibilidad de que suceda un resultado distinto al esperado. 2. Bajo incertidumbre: Ante imposibilidad de precisar el futuro se espera Que ocurra uno u otro resultado según como se Presenten diferentes eventos. Como consecuencia de la existencia de incertidumbre, los resultados estarán sujetos a riesgo, es decir a variabilidad. Formas de Disminuir el Riesgo y la Incertidumbre: • Clásico........... Diversificación El riesgo no diversificable se mide con el índice beta. • Nuevo enfoque... Generación interna de dinero para nuevas inversiones. Origen del Riesgo y la Incertidumbre en las Decisiones de inversión: ―Fluctuaciones de variables económicas y financieras como tasa de cambio, tasa de interés y precios influyen en los estimados de costos e ingresos asociados a alternativas de inversión con efectos sobre las estrategias corporativas y por ende en su desempeño.‖ Actitudes frente al Riesgo y la Incertidumbre en la Toma de Decisiones: • Aversión ? Mínima Dispersión. • Arriesgada ? Máximo Valor Esperado • Indiferencia Riesgo e Incertidumbre de un Proyecto y de una Empresa: • Controlables ? Internos • No controlables ? Externos ¿Cuándo efectuar un análisis que contemple la consideración del Riesgo y la Incertidumbre?

1. Alta variabilidad en factores claves 2. Diferentes niveles de riesgo e incertidumbre en las alternativas bajo estudio 3. Alta inversión

Modelos propuestos para la consideración del Riesgo y la Incertidumbre: • Modelos Tradicionales: Son modelos sencillos que consideran una evaluación subjetiva del riesgo y la incertidumbre. 1. Análisis de Sensibilidad. 2. Tasa Mínima de Rendimiento Ajustada. • Modelos Probabilísticos: 1. Valor Esperado. 2. Varianza/ Desviación Estándar. 3. Probabilidad de Pérdida/Ganancia; Variabilidad expresada en probabilidades. Elementos a considerar en la Selección de Alternativas: 1. Defina un criterio acorde con su actitud frente al riesgo y la incertidumbre. 2. Emplee la información derivada en la etapa de evaluación. 3. Compare resultados y tome una decisión.



Efectivamente, la oportunidad de invertir dependerá probablemente de más variables que el VAN o la TIR del proyecto. Se considera que los cuatros factores más relevantes que influyen en la oportunidad de invertir son: 1. El período de tiempo el cual se puede decidir llevar a cabo un proyecto de inversión. Cuanto mayor sea éste, menor será la posibilidad de cometer errores en la elección, Y también será el valor de la opción de crecimiento que le corresponda. Si un proyecto puede posponerse el tiempo suficiente, incluso un proyecto con VAN negativo podría ser aceptado por llevar apareada una opción de ampliación o crecimiento suficientemente positiva. Lógicamente, la empresa de asegurarse si puede conseguir totalmente los beneficios de dicha opción o si éstos estarán también disponibles para otros competidores. Si la decisión de emprender el proyecto puede posponerse en el tiempo, éste podrá llevarse a cabo si finalmente, su VAN llegara a ser positivo, o rechazarse (sin incurrir en pérdidas) si fuese negativo. 2. El riesgo del proyecto es un factor de influencia positiva sobre la opción de crecimiento. Ello es debido a que un mayor riesgo involucra una mayor rentabilidad. Una mayor incertidumbre en cuanto a tipos de interés elevado y horizontes lejanos de inversión (cuando se puede aplazar una parte de ésta) no son necesariamente perjudiciales para el valor de una oportunidad de inversión. A pesar que estas variables reducen el VAN estático de un proyecto, también pueden provocar un aumento del valor de las opciones del mismo (valor de flexibilidad de la dirección) que puede contrarrestar el efecto negativo anterior. 3. Los tipos de interés. Tipos elevados disminuyen el valor de la opción porque conllevan tasas de actualización más altas que, a su vez, disminuyen el valor de los flujos descontados. Sin embargo, también reducen el valor actual del precio de ejercicio de la opción. Este efecto compensador puede ayudar a mantener a flote el valor de la opción a medida que los flujos de interés aumentan, lo cual puede proporcionar, a ciertas clases de proyectos (especialmente a las opciones de crecimiento), un enorme valor a tener en cuenta en el análisis de inversiones. 4. El grado de exclusividad del derecho de la empresa a aceptar un proyecto de inversión. Es decir, el derecho de ejercicio puede ser compartido o no. Las opciones exclusivas son, lógicamente más valiosas y resultan de patentes, del conocimiento privativo del mercado por parte de la empresa o de una tecnología que la competencia no puede imitar. Las oportunidades compartidas tienen, por lo general, un valor inferior. Todas estas opciones y la consideración de cuándo, verosímilmente, habrá que tomar una u otra, deben entrar en el cálculo del VAN esperado del proyecto, pero no es cierto que el valor de estas opciones reales haya que calcularlo necesariamente aplicando la teoría de opciones financieras, entre otras razones porque en la mayoría de los casos no será posible hacerlo. A nuestro juicio, el valor de las opciones reales se determina correctamente mediante el cálculo del VAN de los flujos que se producirán o dejarán de producirse si se toma una u otra de dichas opciones. Lo cual, puede hacerse perfectamente utilizando los conocidos árboles decisión, con tal de modificar los flujos, de acuerdo con las opciones, por ejemplo de ampliar, si la demanda del producto resulta alta, o de abandonar, si la demanda es baja.



UNIDAD IV DEPRECIACIÓN Y ANÁLISIS DESPUÉS DE IMPUESTOS 4.1. MODELOS DE DEPRECIACION Depreciación es el término que se utiliza más a menudo para dar a entender que el activo tangible de la planta ha disminuido en potencial de servicio. Cuando los recursos naturales, como madera, petróleo y carbón constituyen el activo, se emplea el término agotamiento. A la terminación de un activo tangible, como lo son las patentes y el crédito mercantil, se llama amortización. Para los contadores, la depreciación no es un asunto de valuación sino una manera de asignar el costo. Los activos no se deprecian basándose en una disminución de su valor justo de mercado sino cargando sistemáticamente el costo al ingreso. Métodos De Depreciación

Método basado en la actividad

Presupone que la depreciación está en función al uso o la productividad y no del paso del tiempo. La vida del activo se considera en términos de su rendimiento (unidades que produce) o del número de horas que trabaja. Conceptualmente, la asociación adecuada del costo se establece en términos del rendimiento y no de las horas de uso; pero muchas veces la producción no es homogénea y resulta difícil de medir. (Costo menos valor de desecho) X horas de uso en el año = cargo por Total de horas estimadas depreciación

Método de línea recta

Este método de línea recta supera algunas de las objeciones que se oponen al método basado en la actividad, porque la depreciación se considera como función del tiempo y no del uso. Este método se aplica ampliamente en la práctica, debido a su simplicidad. El procedimiento de línea recta también se justifica a menudo sobre una base más teórica. Cuando la obsolescencia progresiva es la causa principal de una vida de servicio limitada, la disminución de utilidad puede ser constante de un periodo a otro. En este caso el método de línea recta es el apropiado. El cargo de depreciación se calcula del siguiente modo: Costo menos valor de desecho = Cargo por depreciación Vida estimada de servicio

Métodos de cargo decreciente

Los métodos de cargo decreciente permiten hacer cargos por depreciación más altos en los primeros años y más bajos en los últimos periodos. El método se justifica alegando que, puesto que el activo es más eficiente o sufre la mayor pérdida en materia de servicios durante los primeros años, se debe cargar mayor depreciación en esos años. Por lo general con el método del cargo decreciente se siguen dos enfoques: el de suma de números dígitos o el de doble cuota sobre valor en libros. Suma de números dígitos Da lugar a un cargo decreciente por depreciación basado en una fracción decreciente del costo depreciable (el costo original menos el valor de desecho). Con cada fracción se usa la suma de los años como denominador (5+4+3+2+1=15), mientras que el número de años de vida estimada que



resta al principiar el año viene a ser el numerador. Con este método, el numerador disminuye año con año aunque el denominador permanece constante (5/15,4/15,3/15,2/15 y 1/15) al terminar la vida útil del activo, el saldo debe ser igual al valor de desecho. Ejemplo:

Año Base de la depreciación

Vida restante en años

Fracción de la depreciación

Gasto por depreciación

Valor en libros al finalizar el año

1 450000 5 5/15 150000 350000

2 450000 4 4/15 12000 230000

3 450000 2 2/15 60000 80000

5 450000 1 1/15 30000 50000

15 15/15 450000

Doble cuota sobre valor en libros Utiliza una tasa de depreciación que viene a ser el doble de la que se aplica en línea recta. A diferencia de lo que ocurre con otros métodos, el valor de desecho se pasa por alto al calcular la base de la depreciación. La tasa de doble cuota se multiplica por el valor en libros que tiene el activo al comenzar cada periodo. Además, el valor en libros se reduce cada periodo en cantidad igual al cargo por depreciación. De manera que cada año la doble tasa constante se aplica a un valor en libros sucesivamente más bajo. Siguiendo el ejemplo anterior, tendríamos:

Año Valor en libro de activos al principiar el año

tasa sobre el saldo decreciente

cargo por depreciación

saldo de la depreciación acumulada

valor en libros al finalizar el año

1 500000 40% 200000 200000 300000

2 300000 40% 12000 320000 180000

3 180000 40% 72000 392000 108000

4 108000 40% 43200 435200 64800

5 64800 40% 14800 45000 50000

Con base en el doble de la tasa del 20% aplicada en línea recta (90000/450000= 20%; 20% X 2 = 40%). Se limita a $14800 porque el valor en libros no debe ser menor que el valor de desecho.

4.1.1. TERMINOLOGIA DE LA DEPRECIACION.

Concepto de depreciación.

La depreciación es la disminución en el valor de mercado de un bien, la disminución en el valor de un activo para su propietario, o la asignación del costo de uso o demerito de un activo a lo largo de su vida útil (duración).



Es una disminución en el valor de la propiedad debido al uso, al deterioro y la caída en desuso.

Existen varias razones por las cuales un activo puede disminuir su valor original. De esta manera una maquina puede estar en perfecto estado mecánico, puede valer considerablemente menos que cuando era nueva debido a los adelantos técnicos en el campo de la maquinaria. Sin tomar en cuenta la razón de la disminución del valor de un activo, la depreciación debe ser considerada en los estudios de ingeniería económica.

El mayor efecto de la depreciación en los cálculos de la ingeniería económica se observa en lo que se refiere al impuesto sobre la renta.

Es decir, los impuestos sobre la renta se pagan sobre la entrada neta menos la depreciación; por lo tanto, esta disminuye los impuestos pagados y permite que la compañía retenga algo de sus ingresos para el reemplazo de equipos y para realizar inversiones adicionales.

A continuación de definen algunos términos comúnmente utilizados en depreciación. La terminología es aplicable a corporaciones lo mismo que a individuos que poseen activos depreciables.

Costo inicial: También llamado base no ajustada, es el costo instalado del activo que incluye el precio de compra, las comisiones de entrega e instalación y otros costos directos depreciables en los cuales se incurre a fin de preparar el activo para su uso. El término base no ajustada, o simplemente base, y el símbolo B, se utilizan cuando el activo es nuevo.

Periodo de recuperación: Es la vida depreciable, n, del activo en años para fines de depreciación (y del ISR). Este valor puede ser diferente de la vida productiva estimada debido a que las leyes gubernamentales regulan los periodos de recuperación y depreciación permisibles.

Valor de mercado: Es la cantidad estimada posible si un activo fuera vendido en el mercado abierto. Debido a la estructura de las leyes de depreciación, el valor en libros y el valor de mercado pueden ser sustancialmente diferentes.

Tasa de depreciación: También llamada tasa de recuperación, es la fracción del costo inicial que se elimina por depreciación cada año.

Esta tasa puede ser la misma cada año, denominándose entonces tasa en línea recta, o puede ser diferente para cada año del periodo de recuperación.

Valor de salvamento: Es el valor estimado de intercambio o de mercado al final de la vida útil del activo. El valor de salvamento, VS, expresado como una cantidad en dólares estimada o como un porcentaje del costo inicial, puede ser positivo, cero ó negativo debido a los costos de desmantelamiento y de exclusión.

Propiedad personal: Está constituida por las posesiones tangibles de una corporación, productoras de ingresos, utilizadas para hacer negocios. Se incluye la mayor parte de la propiedad industrial manufacturera y de servicio: vehículos, equipo de manufactura, mecanismos de manejo de materiales, computadores, muebles de oficina, equipo de proceso de refinación y mucho más.



Propiedad real: Incluye la finca raíz y las mejoras a ésta y tipos similares de propiedad, por ejemplo: edificios de oficinas, estructuras de manufactura, bodegas, apartamentos. La tierra en sí se considera como propiedad real, pero no es depreciable.

Convención de medio año: Supone que se empieza a hacer uso de los activos o se dispone de ellos a mitad de año, sin importar cuándo ocurren realmente tales eventos durante el año.

El valor en libros de un activo se refiere a la diferencia entre su costo original y la cantidad total de depreciación cargada hasta la fecha.

Es decir, el valor en libros representa el valor actual de un activo tal como aparece en los libros de contabilidad. Ya que la depreciación se carga una vez al año, el valor en libros se calcula al final del año y de esta manera se mantiene paralelo a la convención de fin de año utilizada anteriormente. El valor en libros nunca se tiene en cuenta en los estudios de ingeniería económica sobre tributación.

El valor comercial de un activo se refiere ala cantidad de dinero que se puede obtener por el activo si fuese vendido en el mercado libre. En algunos casos el valor comercial tiene muy poca relación con el valor en libros. Por ejemplo, los edificios comerciales tienden a aumentar su valor comercial, mientras que el valor en libros disminuye debido a los gastos de depreciación. Al efectuar comparaciones de ingeniería económica el valor que se debe tener en cuenta es el comercial.

4.1.2. DEPRECIACIÓN EN LÍNEA RECTA

El método de depreciación en línea recta (LR) es uno de los más comúnmente utilizados hoy. Su nombre se deriva del hecho que el valor en libros del activo disminuye linealmente con el tiempo, porque cada año se tiene el mismo costo de depreciación. La depreciación anual se determina dividiendo el primer costo del activo menos su valor de salvamento por la vida útil del activo.

D LR = (P – VS) / n …………… Ec. 4.1.2 (a).

Donde: D = Cargo anual por depreciación. n = Vida útil o duración del activo. P = Costo de un activo o inversión. VS = Valor de Salvamento.

El primer costo (P) incluye el precio de compra, el trasporte, la instalación y otros costos relacionados con el equipo. El valor de salvamento (VS) es un valor neto realizable después de haber restado cualquier costo de desmantelamiento y remoción del valor monetario actual.

Dado que el activo se deprecia en la misma cantidad cada año, el valor en libros des pues de m años de servicio (VLm) seria igual al primer costo del activo menos los tiempos anuales de depreciación m. de esta manera.

VLm = P – mD Ec.4.1.2. (b).

Ejemplo: si un activo tiene un costo inicial de $ 50 000, con un valor de salvamento de $ 10 000 después de 5 años, (a) calcule la depreciación anual y (b) calcule y diagrame el valor en libros del activo después de cada año, utilizando la depreciación en línea recta.



Solución:

a) la depreciación anual:

D LR = (P – VS) / n D LR = (50 000 – 10 000) / 5 = $ 8 000 anual.

b) el valor en libros después de cada año:

VLm = P – mD De esta manera: VL1 = 50 000 – 1 (8000) = $ 42 000. VL2 = 50 000 – 2 (8000) = $ 34 000. Y así sucesivamente hasta que:

VL5 = 50 000 – 5 (8000) = $ 10 000 = VS.

4.1.3. DEPRECIACIÓN POR EL MÉTODO DE LA SUMA DE LOS DIGITOS DE LOS AÑOS. El método de depreciación de la suma de los dígitos del año (SDA) es una técnica rápida de eliminación por la cual la mayor parte del valor del activo se disminuye en el primer tercio de la vida del activo. Es decir, los costos de depreciación son muy altos en los primeros años, pero disminuyen rápidamente en los años posteriores de la vida útil del activo. La mecánica del método incluye encontrar inicialmente la suma de los dígitos del año, desde 1 hasta n de la vida útil del activo. El número obtenido de esta manera representa la suma de los dígitos del año. El costo de depreciación para cualquier año dado se obtiene entonces multiplicando el costo inicial del activo menos su valor de recuperación (P – VS) por la relación entre el número de años que quedan en la vida útil del activo y la suma de los dígitos del año.

.



Observe que los años de depreciación restantes deben incluir el año en que se desea el cargo de depreciación. Esta es la razón por la que el 1 ha sido incluido en el numerador de la ecuación 4.1.3. (a). por ejemplo: Si se desea determinar la depreciación para el 4 año de un activo que tiene una vida útil de 8 años, el numerador de la en la ecuación 4.1.3. (a). seria 8 – 4 + 1 = 5. Si un activo tiene una vida útil de 10 años, utilizando la ecuación Ec.4.1.3. (b).

El valor en libros para cualquier año dado se puede calcular sin hacer las determinaciones de depreciación año por año mediante el uso de la siguiente ecuación:

Ejemplo: (ilustra los cálculos para el método de depreciación SDA).

Calcule los costos de depreciación para los 3 primeros años y el valor en libros para el año 3 de un activo que tuvo un costo inicial de $ 25 000, un valor de salvamento de salvamento de $ 4 000 y una vida útil de 8 años.

Solución: La suma de los dígitos de los años debe calcularse primero, utilizando la ec. 4.1.3. (b). SDA = Los costos de depreciación para cada uno de los 3 años pueden calcularse ahora, utilizando la ecuación 4.1.3. (a)



4.1.4. DEPRECIACION POR EL METODO DEL SALDO DECRECIENTE Y SALDO DOBLE DECRECIENTE. El método de depreciación de saldo decreciente, también conocido como el método de porcentaje uniforme o fijo, es otra de las técnicas rápidas de eliminación. Simplemente, el costo de depreciación para cualquier año se determina multiplicando un porcentaje uniforme por el valor en libros para ese año. Por ejemplo, si la tasa de depreciación de porcentaje uniforme fue 10%, entonces el costo de depreciación para cualquier año dado seria el 10% del valor en libros para dicho año. Obviamente, el costo de depreciación es mayor en el primer año y disminuye cada año subsiguiente. Cuando las leyes de depreciación fueron liberalizadas en 1954, el porcentaje de depreciación permitido era el doble de la tasa en línea recta, es decir 2/n. cuando se utiliza esta tasa, el método se conoce como el método de saldo decreciente doble (SDD). De esta manera si el activo tiene una vida útil de 10 años, la tasa en línea recta seria 1/n = 1/10 o 20% anual. La tasa uniforme de 20% por lo tanto, podría utilizarse en el método de depreciación SDD. La formula general para calcular la tasa uniforme máxima de depreciación anual es:

Dado que la depreciación se determina tomando un porcentaje fijo de un número decreciente (por ejemplo, el valor en libros), el valor en libros del activo no llegaría nunca a cero. Por lo tanto, las leyes tributarias permiten volver hacia atrás al método en línea recta en cualquier momento de la vida útil del activo, para que la firma pueda beneficiarse de la tasa más alta. Ya que el porcentaje utilizado en el método SDD es el doble de la tasa del método en línea recta, seria conveniente cambiar al método en línea recta cuando ya ha transcurrido la primera mitad de la vida útil del activo, si no hay valor de salvamento. Cuando se involucran los valores de salvamento (caso



que se presenta a menudo) ya que casi todo tiene por lo menos un valor residual, el momento mas oportuno para cambiar tendrá que ser determinado por eliminación de errores. Cuando se utiliza la depreciación SDD, el valor de salvamento no debe restarse del costo inicial al calcular el costo de depreciación. Es importante, ya que este procedimiento aumenta más la tasa de eliminación en los primeros años. Sin embargo, aunque los valores de salvamento no se consideran en los cálculos de depreciación, un activo no puede depreciarse por un valor inferior a la cantidad que se consideraría un valor de salvamento razonable. Generalmente, esto es solo importante para activos de vida útil corta (n < 5) o activos con grandes valores de salvamento (VS > 0.2P). La depreciación (Dm) para cualquier año dado (m) puede calcularse para cualquier valor de la tasa de depreciación (d) sin hacer los cálculos intermedios, utilizándola formula: Dm = ec.4.1.4. (a). De manera semejante, cuando se conoce d: ec. 4.1.4. (b). El valor en libros para cualquier año (VLm) puede calcularse así: ec. 4.1.4. (c). Cuando se utiliza el SDD, d = 2/n se sustituye en las 3 ecuaciones anteriores. Finalmente, dado que no se utiliza el VS directamente en el método de saldo decreciente, una relación que calcule el VS después de n años es lo mismo que VLn, es decir, Naturalmente, en el caso del método SDD, se conoce d = 2/n y en la ecuación 4.1.4. (e). no es necesaria. Ejemplo: suponga que un activo tiene un costo inicial de $ 25 000 y un valor de salvamento de $ 4 000 después de 12 años. Calcule su depreciación y el valor en libros para: (a) año 1, (b) año 4, (c) el VS después de 12 años de utilizar el método SDD. Solución: El primer paso es calcular la tasa de depreciación de SDD. (a) Para el primer año, la depreciación y el valor en libros puede calcularse por medio de las ecs. 4.1.4. (a) y 4.1.4. (c) donde VL0 = P: (b) de las ecuaciones 4.1.4. (a) y 4.1.4. (c); y d = 0.1667,



(c) Utilizando la ecuación 4.1.4. (d). el valor en salvamento en n = 12 es, VS = 25 000 (1 – 0.1667)12 = $ 2 802.57 Dado que se anticipa un valor de salvamento de $ 4 000, el límite inferior de VL es $ 4 000. Comentario: Lo más importante que hay que recordar sobre el método SDD es que el valor de salvamento no se sustrae del costo inicial cuando se calcula la depreciación anual. 4.1.5 METODOS DE AGOTAMIENTO. Hasta ahora hemos calculado la depreciación para un activo que tiene un valor que se puede recuperar comprando un reemplazo. El agotamiento es análogo a la depreciación; sin embargo, el agotamiento se aplica a los recursos naturales, los cuales, cuando se extraen, no pueden ser ―adquiridos nuevamente‖, como puede hacerse con una maquina o un edificio. Hay 2 métodos de agotamiento: factor o costo de agotamiento y descuento por agotamiento. El factor de agotamiento se basa en el nivel de actividad o uso, no de tiempo, como en la depreciación. El factor de agotamiento (dm) para el año m es:

Ec. 4.1.5. (a). Y el costo anual de agotamiento es dm veces el uso en el año o volumen de actividad. Como para la depreciación, el agotamiento acumulado por el método de costo no puede exceder el costo total del recurso. Ejemplo : Una compañía maderera ha comprado una superficie forestada por valor de $ 350 000, de los cuales son recuperables 175 millones de pies de tabla. Determine los costos de agotamiento si se sacan 15 millones de pies de tabla en el primer año y 22 millones durante el segundo año. Solución: Utilizando la ecuación 4.1.5. (a). el factor de agotamiento para cada año m = 1,2,…es:

Por millón de pies de tabla. Los costos reales de agotamiento son: Primer año: 2 000(15) = $ 350 000. m = 1. Segundo año: 2000(22) = $ 44 000. m = 1. Y así sucesivamente hasta que se acumule un agotamiento de $ 350 000. Comentario: Casi siempre la cifra de material recuperable se altera una vez que se ha iniciado la operación, en cuyo caso dm debe cambiarse.



El segundo método de agotamiento denominado, descuento por agotamiento, es una consideración especial que se presenta cuando se explotan recursos naturales. Un porcentaje neto de los ingresos brutos de los recursos puede agotarse anualmente siempre que no exceda el 50% del ingreso gravable. Utilizando el descuento por agotamiento, los costos totales de agotamiento pueden exceder los costos reales sin ninguna limitación. Dado que es posible utilizar la cifra de agotamiento calculada ya sea por el método de factor o por el método de bonificación, usualmente se escoge este ultimo, debido a la posibilidad de eliminar mas que el costo original de la empresa. A continuación se enumeran algunos porcentajes para aquellas actividades que puedan utilizar el método de descuento por agotamiento.

Ejemplo 2: la compra de una mina de oro por $ 750 000, tiene un ingreso bruto anticipado de $ 1.1 millones anuales durante los años 1- 5 y $ 0.85 millones anuales después del año 5. Calcule los costos anuales agotamiento de la mina. Solución: Se aplica a la mina de oro un descuento del 15%. De esta manera, suponiendo que los costos de agotamiento no excedan del 50% del ingreso gravable, el agotamiento será del 0.15 (1.1 millón) = $ 165 000 para los años 1-5 y 0.15 (0.85 millones) = $ 127 500 cada año en adelante. A esta tasa, el costo de $ 750 000 se recuperara aproximadamente en 4.5 años de operación. 4.1.6. LEY DE IMPUESTO SOBRE LA RENTA. En la ley del Impuesto Sobre la Renta (ISR) se tiene los porcentajes de depreciación anual de los diferentes activos y los factores de ajuste por año. Cuando se vende o se cambia un bien de capital, pueden ocurrir las ganancias o pérdidas de capital (precio de venta o valor de mercado – valor en libros o un costo ajustado). El gobierno es un ―socio‖ mas de las empresas, por el impuesto sobre la renta que cobra, este ultimo aspecto, es sencillamente un desembolso mas. Los impuestos se calculan utilizando la relación: IMPUESTOS = (ingreso bruto – gastos – depreciación) T. Donde T = tasa tributaria. Entonces; IMPUESTOS = (IG) T. Sin embargo para ayudar un poco al pequeño comerciante los impuestos corporativos realmente se calculan como: Impuestos corporativos: (IG) (tasa normal de impuestos) + (IG -- $ 25 000) (sobretasa). Actualmente, la tasa tributaria federal normal es del 22% y la sobre tasa es del 26%. Así, para todo IG sobre $ 25000 la tasa tributaria aplicable (efectiva) es d 22+26= 48%



Ejemplo 1 (A): Para un año en particular la compañía ABC tiene un ingreso bruto de $ 2 750 000, con gastos y depreciación que totalizan $ 1 950 000 ¿Cuál es la cantidad de impuestos que se deben pagar ese año?

Comentario: Observe que la deducción de $ 25 000 produce una disminución en los impuestos de $ 6 500, ya que una tasa de impuesto directa del 48% requiere un total de $ 800, 000 (0.48) = $ 384, 000 en impuestos que deben pagarse. Para fines de simplificación, la tasa tributaria utilizada en un estudio económico es frecuentemente una tasa tributaria efectiva de una ―cifra‖ que sirve para contabilizar impuestos federales, estatales y municipales. Las tasas tributarias efectivas mas comúnmente usadas son de 50% a 52%. Una ventaja de aplicar una tasa efectiva es que los impuestos estatales son deducibles de los impuestos federales. De esta forma, se puede utilizar la siguiente relación para calcular la tasa tributaria efectiva como una fracción decimal. Tasa tributaria efectiva incremental = tasa estatal + (1 – tasa estatal) (tasa federal). Donde la tasa federal del 48% es generalmente aplicable, porque el IG ya ha sobre pasado $ 25 000; o sea, la tasa federal incremental es del 48%. Ejemplo 1 (B): Calcule el impuesto a la renta para la información presentada en el ejemplo anterior (A), utilizando una tasa tributaria efectiva, si la tasa estatal es del 8% y la compañía utiliza una tasa federal del 48%. Solución: Primero la tasa efectiva se calcula utilizando la ecuación: Tasa efectiva = 0.08 + (1 – 0.08) (0.48) = 0.5216 Ahora, Impuestos = IG (tasa tributaria efectiva) = 800, 000 (0.5216) = $ 417 280. Nota: No compare este resultado con el anterior ya que aquel no incluye impuesto estatal. Los estudios de la ingeniería económica en que puede utilizarse una tasa de impuestos sobre la renta se consideran estos impuestos. La tasa del 50% es una aproximación al ISR incorporado de 48% sobre el ingreso gravable superior a $ 25 000 teniendo en cuenta los ISR estatales o locales. Cuando se espera que el ingreso gravable no sea muy superior a los $ 25 000, o cuando hay razón para creer que se podría aplicar otro ISR, entonces debería utilizarse la tasa apropiada de ISR. Los gastos de capital, son en activos no depreciables como los terrenos, y en activos depreciables (bienes de vida útil de más de 1 año), donde se recupera la inversión por medio de los cargos por depreciación. Los gastos de capital y los valores de salvamento no se gravan. El procedimiento general para considerar los impuestos sobre la renta en los cálculos de ingeniería económica es determinar la diferencia de deducciones entre las dos alternativas en consideración y sumar el 50% de esta diferencia a la alternativa con menos deducciones. Esto se hace debido que la



alternativa que tenga la menor deducción tendrá que pagar mas ISR.; suponiendo que el ingreso no se vería afectado por la alternativa seleccionada, la diferencia en los impuestos sobre la renta seria el 50% de la diferencia en las deducciones entre las alternativas. Al determinar las deducciones para cada alternativa, el costo inicial de cada una debe amortizarse sobre la vida útil del activo utilizando el método en LR. Todos los otros costos anuales se suman entonces a esta cifra para obtener las deducciones totales anuales. Ejemplo 2: Determine cual de las alternativas siguientes debe pagar ISR adicional y la cantidad del impuesto utilizando la depreciación en LR y una tasa de ISR del 50%. Solución: La depreciación anual en LR para cada alternativa es:

Por año.

Por año. Al sumar los costos respectivos a la depreciación, la deducción anual para cada alternativa es:

Dado que la alternativa B tiene: 2400 – 1900 = $ 500 menos de deducciones que la alternativa A, los impuestos sobre la renta para la alternativa B serán mayores por. 0.50 (500) = $ 250 anuales. Comentario: Obsérvese que no fue necesaria una tasa de interés para esta parte del problema. Para poder comparar las alternativas por medo de uno de los métodos presentados en los siguientes capítulos se tendrá que considerar la tasa de interés. 4.2. ANÁLISIS DESPUÉS DE IMPUESTO. El objetivo del análisis después de impuesto es detallar los efectos de los impuestos en un estudio de ingeniería económica. Más que intentar utilizar en este tema una tasa de retorno inflada antes de impuesto, se consideran suficientes detalles del efecto del impuesto sobre la renta para que la tasa de retorno refleje la situación después de impuestos.



4.2.1. TERMINOLOGIA BASICA PARA LOS IMPUESTOS SOBRE LOS IMPUESTOS SOBRE LA RENTA.

Ingreso bruto: total de todos los ingresos provenientes de fuentes productoras de ingresos. Gastos: todos los costos en los que se incurre cuando se hace una transacción comercial. Ingreso gravable: el valor monetario remanente sobre el cual se deben pagar los impuestos. Y se calcula como sigue:

Ingreso gravable: ingreso bruto menos gastos menos depreciación.

Ganancia de capital: cuando el precio de venta de propiedades depreciables (activos) o de un bien raíz (terrenos) exceden el valor en libros, ha ocurrido una ganancia d capital

Ganancia =precio de venta – valor en libros. Perdida de capital: valor en libros – precio de venta.

Descuento tributario por inversiones: este es un estimulo tributario dado al comprador de equipo nuevo o usado que este calificadote acuerdo con lo dispuesto en la sección 38 de patrimonio. Este crédito tributario se otorga para estimular la compara y uso de equipo moderno. Perdida de operación: cuando una corporación experimenta un año en el que hay pérdida neta en lugar de ganancia neta, sufre una pérdida de operación.

IMPUESTOS = (ingreso bruto – gastos – depreciación) T. Donde T = tasa tributaria. IMPUESTOS = (IG) T.

Sin embargo para ayudar un poco al pequeño comerciante los impuestos corporativos realmente se calculan como: Impuestos corporativos: (IG) (tasa normal de impuestos) + (IG -- $ 25 000) (sobretasa). Actualmente, la tasa tributaria federal normal es del 22% y la sobre tasa es del 26%. Así, para todo IG sobre $ 25000 la tasa tributaria aplicable (efectiva) es d 22+26= 48%

A continuación se definen algunos conceptos:

FEAI = Flujo de Efectivo Antes de Impuesto. (Sin inflación) FEDI = Flujo de Efectivo Después de Impuesto. D = Depreciación. IG = Ingreso Gravable. I = Impuestos. T = Tasa Tributaria o Tasa de Impuestos.

Las formulas correspondientes son:



4.2.2. GANANCIAS Y PÉRDIDAS DE CAPITAL. Ganancia de capital: cuando el precio de venta de propiedades depreciables (activos) o de un bien raíz (terrenos) exceden el valor en libros, ha ocurrido una ganancia d capital. Ganancia =precio de venta – valor en libros. Donde la ganancia de capital > 0. Si la ocurre dentro de los 6 meses siguientes a la fecha de compra, se refiere a la ganancia de capital como a ganancia a corto plazo (GCP; si el periodo de propiedad es mayor de 6 meses, la ganancia es ganancia a largo plazo (GLP). La GCP y GLP se gravan de forma diferente Perdida de capital: valor en libros – precio de venta. Los términos, pérdida a corto plazo (PCP) y pérdida a largo plazo (PLP) se definen en forma análoga a la ganancia de capital, es decir, un punto de cambio a los 6 meses. El costo de amortizado, resulta una pérdida de capital. Las perdidas de ganancias de capital se tratan individualmente de acuerdo con la siguiente tabla:

A continuación se describe el procedimiento exacto utilizado para calcular los impuestos en los cuales se involucran perdidas y ganancias de capital. Una GLP se grava con una tasa del 30% sobre la ganancia en la que se ha incurrido durante el año, si el ingreso gravable sobrepasa $ 25 000. Para una firma pequeña se aplica la tasa tributaria normal del 22 % de la ganancia. Una PCP solo puede utilizarse para compensar una GLP. Así, si en un año en particular la PLP = $ 5 500 y la PCP = $ 3, 200; hay una GLP neta = $ 2, 300 que debe ser gravada. El trato que se da a la GCP y a la PCP es similar, excepto que la ganancia neta se grava como ingreso regular. Una vez que las pérdidas han sido utilizadas para compensar las ganancias, se obtiene el resultado neto. Este valor se usa entonces para el cálculo de los impuestos, no para las ganancias individuales y los valores de perdida. En todo caso, las pérdidas netas declaradas en cualquier año no pueden exceder las ganancias de ese año. Los ejemplos siguientes esclarecerán el procedimiento real. Ejemplo 1: Una compañía tiene los siguientes ingresos, ganancias y pérdidas de valores durante un año:

(Los paréntesis se usan para indicar perdidas.) Calcule los impuestos a la renta. Solución:



Utilizando las pérdidas para compensar las ganancias, se obtienen los siguientes resultados:

Por lo tanto, $ 52 000 se gravan realmente como ingresos corriente, de la siguiente manera:

El cálculo del impuesto a la renta es: Impuesto = 52 000 (0.22) + 27 000 (0.26) = $ 18 460. Ejemplo 2: Suponga que las siguientes pérdidas y ganancias ocurren en un año:

¿Cómo se haría el cálculo de impuestos de la ganancia o pérdida neta resultante? Solución: El resultado es una perdida neta de $ 2 500. Sin embargo, la ley estipula que solamente las perdidas que sumen lo mismo que las ganancias son deducibles del impuesto gravable. Por lo tanto, de los $ 2 500 de perdida solo $ 1 000, la cantidad de la ganancia, puede tomarse del IG para reducir los impuestos. Comentario: Sin embargo, las leyes tributarias permiten que la diferencia no deducida entre perdidas y ganancias puede llevarse 3 años atrás como una PCP, o 5 años adelante sino fue completamente absorbida al llevarla hacia atrás. Por lo tanto, los restantes $ 1 500 de pérdida pueden utilizarse para compensar las ganancias de capital hasta que se agoten, en un periodo máximo de 9 años. 4.2.3. EFECTOS DE LOS DIFERENTES MODELOS DE DEPRECIACION. La selección de un modelo de depreciación afecta los impuestos que deben pagarse. Aquí suponemos que algo de la tasa de retorno después de impuestos debe ser utilizado para el análisis. El ejemplo 1 compara 2 métodos de depreciación. Los resultados de este ejemplo muestran que para una tasa tributaria constante, un ingreso bruto anual mayor o igual a la depreciación anual y castigada hasta el valor de salvamento, los siguientes puntos son siempre verdaderos: 1.- El total de impuestos pagados es igual. 2.- El valor presente de los impuestos es menor para los métodos de depreciación Acelerada.



Ejemplo 1: Suponga que se compra un activo con las siguientes características: P = $ 100, 000. VS = 10, 000. FCAI = 20, 000. Por año. n = 9 años. El valor FCAI = $ 20, 000 es el flujo de caja antes de impuestos, esto es, el valor neto del ingreso bruto menos los gastos antes de que se calculen los impuestos. Si la tasa tributaria efectiva es del 50% y si se usa una tasa de retorno después de impuesto de 8%, compare: a) la depreciación en línea recta y b) la depreciación de suma de los dígitos del año desde el punto de vista de los impuestos. Solución: a) primero estudiamos la situación tributaria para la depreciación en línea recta. El ingreso gravable anual (IG) es el flujo de caja antes de impuestos (FCAI) menos la depreciación, o; IG = FCAI – depreciación. El FCAI es la diferencia entre ingreso bruto y los gastos. La tabla 4.2.3.a. Muestra el cálculo después de impuesto para la vida útil total del activo y la figura 4.2.3.A. es un diagrama de flujo de caja de tributarios.

Los impuestos totales son $ 5 000 (9) = $ 45 000. El valor presente de los impuestos, (Pimpuestos.), como se calcula por debajo del diagrama de flujo de caja, es $ 31 235.



b) la tabla. 4.2.3. b. y la figura 4.2.3.B. muestran el calculo de impuestos y de flujo de caja tributario respectivamente, utilizando la suma de los dígitos del año. Los impuestos totales son nuevamente $ 45 000, pero el valor presente de los impuestos es $ 28, 055 o 10.2% menos que el valor correspondiente para la depreciación en línea recta.

Comentario: De este ejemplo se deduce que

cualquier depreciación que castigue mas rápidamente que en línea recta da una ventaja tributaria, ya que el valor presente será mayor para una depreciación en

línea recta. Esto es verdad, ya que con castigo rápido los impuestos se mueven hacia los últimos años de propiedad, lo cual disminuye su valor presente cuando se compara a los impuestos constantes aplicables para la depreciación en línea recta.

4.2.4. TABULACION DE FLUJO DE CAJA DESPUES DE IMPUESTOS.

Es vital que el lector pueda tabular correctamente el flujo de caja después de impuestos (FEDI o FCDI) de tal manera que el valor presente, CAUE, o los cálculos de la tasa de retorno reflejen la situación correcta después de impuestos. Las formulas que se deben usar no son diferentes a las utilizadas previamente; sin embargo, se revisan aquí para una referencia fácil. Constantemente



usaremos las abreviaturas FCAI o FEAI, para flujo de caja (o efectivo) antes de impuesto; y FEDI o FCDI, para flujo de caja (o efectivo, según el autor) después de impuesto. Con el objeto de ahorrar espacio. Se emplean también continuamente las abreviaturas IG para ―ingreso gravable‖ y T (o t, según el autor) para ―tasa tributaria‖.

A continuación se definen algunos conceptos:

FEAI o FCAI = Flujo de Efectivo Antes de Impuesto. (Sin inflación) FEDI o FCDI = Flujo de Efectivo Después de Impuesto. D = Depreciación. IG = Ingreso Gravable. I = Impuestos. T = Tasa Tributaria o Tasa de Impuestos. t = Tasa Tributaria o Tasa de Impuestos. (Manejada por el ing. Arturo Castillo)

Las formulas correspondientes son: (manejadas en el curso de ingeniería económica con el ing. Arturo Castillo)

Si el valor numérico de la ecuación de impuestos es negativo, se supondrá que este impuesto negativo afectara otros impuestos para el mismo año atribuibles a otros activos productores de ingreso de propiedad de la compañía. Este proceso de simplificación se usa en lugar de las leyes tributarias de llevar atrás y adelante, que pueden ser más ventajosas.

Ejemplo 1: Se ha hecho la propuesta de comprar una nueva pieza de equipo este año. Las características del plan de compra se dan después de la tabla siguiente:



P = $ 50 000. VS = 0. n = 5 años. Ingreso Esperado = 28 000 – 1 000k. (k = 1, 2, 3, 4, 5) Desembolso esperado = 9 500 + 500k.

Si la tasa tributaria efectiva es del 40% para esta clase de activos y si usa depreciación en línea recta. Tabule el flujo de caja después de impuestos. (FCDI).

Solución: La tabla 4.2.4.a. detalla toda la información tributaria y el FCDI para el activo, usando las ecuaciones (Ec.4.2.4.A.) – (Ec.4.2.4.D.)

Comentario: Si una parte de los $ 50 000 invertidos es pedida en préstamo a fuentes externas de la compañía (financiamiento por endeudamiento), se ofrece un crédito tributario en el sentido que es deducible de los impuestos.

Ejemplo 2: Se compra un activo de capital calificado como sección 38 de patrimonio. Cuando se hace la compra, se aplica la siguiente información:

P = $ 32 000. VS = 3 100. FCAI = 8 000 al año. n = 6 años. Tasa tributaria = 52 %.



Sin embargo, la oficina de impuestos de los estados unidos (IRS) exige que esta clase de activo se deprecie en línea recta en 10 años, con un valor de salvamento máximo de $ 2, 000. Por lo tanto, aunque la compañía prevea que el activo tendrá una vida útil de 6 años, debe ser depreciado en 10 años. La compañía usara un FCAI = $ 1 000 para los años 7 – 10, cuando el activo estará en condición de reserva. Si la compañía anticipa un valor de salvamento de $ 3 100 después de 10 años de uso, tabule el FCDI para 10 años.

Depreciación = (32 000 – 2 000) / 10 = $ 3 000 anuales. Crédito tributario por inversión para un activo de 10 años de vida útil = 0.07 (32 000) = $ 2 240.

Impuesto sobre la renta = impuesto de GLP = 0.30 (3 100 – 2 000) = $ 330.

Solución: la tabla 4.2.4.b. Da detalles del FCDI. Note el crédito tributario por inversión del 7% y los $ 1 100 de ganancia a largo plazo, para los cuales los cálculos de impuestos se detallan en las notas al pie de la tabla.

4.2.5. ANALISIS DESPUES DE IMPUESTOS UTILIZANDO LOS METODOS DE VALOR PRESENTE, VALOR ANUAL Y LA TASA INTERNA DE RETORNO.

Si se establece o se sabe la tasa mínima de retorno después de impuestos se pueden utilizar los métodos de valor presente (VP) o valor anual (CAUE) para seleccionar el plan más económico. A continuación veremos los casos antes mencionados en el siguiente orden:

A) valor anual (CAUE); B) valor presente (VP); C) y tasa interna de retorno.

Ejemplo 1 (para VP y VA): Usando una tasa de retorno del 7%, seleccione el plan mas económico de los que aparecen detallados en los ejemplos 1 y 2 del tema 4.2.4 (anterior), usando:

(a). CAUE y (b) análisis de valor presente. (Los planes se resumen a continuación):



Solución: A) las ecuaciones CAUE pueden plantearse y resolverse con i = 7% como sigue:

• Se selecciona el plan A, ya que los valores CAUE son positivos (utilidad) y el CAUE es mayor.

B) El análisis de valor presente se basaría en un horizonte de 30 años para igualar las vidas útiles previstas. Utilizando los valores anuales (CAUE) anteriores;

• De nuevo se selecciona el plan A porque VPA es mayor.

Comentario: Si solo se conocen los valores de desembolso antes de impuesto, tales como costos anuales de operación, o sea FCAI < 0, los impuestos relacionados son una ventaja tributaria que se aplicara contra otros intereses de la compañía.

C) Utilizando método de tasa interna de retorno.

Para determinar el retorno después de impuestos se puede utilizar los siguientes métodos: 1. encuentre la tasa a la que el valor presente de FCDI es igual a cero.

2. encuentre la tasa en la que CAUE del FCDI es igual a cero.



Si hay 2 activos A y B, el retorno se encuentra usando uno de estos métodos; sin embargo, las ecuaciones toman estas formas respectivas:

El segundo método (CAUE) se usara exclusivamente si hay 2 activos, porque es compatible con las convenciones utilizadas en capítulos anteriores y generalmente se pueden calcular más simplemente para activos de vida útil desigual.

Ejemplo 2: Usando la compra de un activo descrita en el ejemplo 1 del tema 4.2.3 y una depreciación en línea recta, calcule la tasa de retorno después de impuestos.

Resumen: P = $ 100 000, VS = $ 10 000, n = 9, FCAI = $ 20 000 anuales, tasa tributaria = 50%)

Solución: La tabla 4.2.5.B. presenta el FCDI para el activo. La ecuación del valor presente para el retorno después de impuesto es como sigue:

Por prueba y error, i = 7.70%.

Comentario: Si usted como economista, desea usar una tasa inflada antes de impuesto para aproximar el efecto tributario en este tipo de activo, puede utilizar la ecuación siguiente: tasa de retorno antes de impuesto = tasa de retorno después de impuesto / (1-tasa tributaria); para obtener i / (1 – T) = 0.0770 / (1 – 0.50) = 0.1540, o 15.4%. El retorno real del impuesto calculado usando las cifras del FCAI en la tabla 4.2.5.B. puede despejarse de la ecuación:

Que da un valor de i = 14.56%.

La comparación del 14.56% con tasa inflada antes de impuestos del 15.4% muestra que el efecto tributario esta levemente sobre calculado al utilizar un retorno antes de impuestos del 15.4%.

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