Inženjerska grafika - masfak.ni.ac.rs

Inženjerska grafikageometrijskih oblika

(4. predavanje, tema 1)

Prva godina studijaMašinskog fakulteta u Nišu

Predavač:

Dr Predrag Rajković

Maj 7, 2007 Lekcija 9

OBJEKTISLOBODNE FORME(FREE-FORM OBJECTS)

OBJEKTI SLOBODNE FORME(FREE-FORM OBJECTS)

•Ovo su krive, površi i tela čiji analitički oblik nije unapred poznat. U zavisnosti od postavljenih zahteva, nekada se može odrediti tačan izraz.Češće se mora potražiti približno,

numeričko rešenje problema.

KRIVE SLOBODNE FORME(CURVE - FREE-FORM)

1. Control Points - krive na osnovu kontrolnih tačaka (Bezierove krive)2. Interpolating Points –interpolacione krive3. Sketch – krive crtane slobodnom rukom

INTERPOLACIONA KRIVA(INTERPOLATE POINTS)

Interpolaciona kriva je kriva koja

prolazi kroz unapred zadate tačke.

Ove tačke se nazivaju čvorovima.

Jednačinu interpolacione krive tražimo

u obliku interpolacionog polinoma

INTERPOLACIONA KRIVA U RAVNI

)n,,1,0k(y)x(P kkn

Interpolaciona kriva u ravni je kriva koja

prolazi čvorove

)Nn()y,x(,),y,x(),y,x( nn1100

Njena jednačina se formira na osnovu

uslova


1

01

00

10

11 )( y

xx

xxy

xx

xxxP

Pravolinijska interpolacija

),(),( 111000 yxMyxM


Parabolična interpolacija

2

1202

101

2101

200

2010

212

))((

))((

))((

))((

))((

))(()( y

xxxx

xxxxy

xxxx

xxxxy

xxxx

xxxxxP

),(),(),( 222111000 yxMyxMyxM

LAGRANGEOVA INTERPOLACIJA

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

n

ki0i ik

i

kk

n

0k

kn

kkn

xx

xx)x(Ljegde),x(Ly)x(P

)n,,1,0k(y)x(P

GLOBALNO SVOJSTVOLAGRANGEOVE INTERPOLACIJE

Lagrangeova interpolaciona kriva ima

globalnu kontrolu oblika krive, tj.

male promene u izabranim tačkama dovode

do promena u obliku cele krive.

U ekstremnim slučajevima, promene oblika

krive mogu biti neočekivano velike.

GLOBALNO SVOJSTVOLAGRANGEOVE INTERPOLACIJE

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

Primer. Rungeova kriva ima osobinu da,

suprotno očekivanjima, povećanje broja

čvorova dovodi do sve veće greške

interpolacione krive.

21

1)(

xxf

RED POVEZANOSTI KRIVIH

0. red 1. red 2. red

Splajn (Spline)

•Splajn je složena interpolaciona kriva

sastavljena od delova od kojih je svaki za sebe

polinomna interpolaciona kriva pri čemu u

čvorovima nadovezivanja imaju određenu

glatkost.

• Splajn ima lokalnu kontrolu oblika krive, tj.

male promene u izabranim tačkama dovode do

malih promena u obliku krive.

Splajn ima lokalnu kontrolu oblika krive, tj.

male promene u izabranim tačkama dovode do

malih promena u obliku krive.

Splajn (Spline)

Termin “splajn” je prvi put zvanično upotrebljen 1752., a

označavao je drven savitljiv štap koji je korišćen u 17.

veku za crtanje glatkih krivih u brodogradnji. Kako nije bilo

preciznih crteža trupa broda, on se dobijao variranjem

rebra duž kobilice broda, pa se za ove krive korisitio

splajn. Ovo je rana varijanta današnjih površi tenzorskog

proizvoda.

Vrste splajnova

•Linearni splajn čine duži koje spajaju

zadate čvorove.

•Nije sačuvana glatkost u čvornim

tačkama

Vrste splajnova

• Kvadratni (parabolični) splajn čine

delovi parabola spojeni tako da imaju

istu tangentu u dodrinom čvoru.

• Krivina nije ista u tim čvorovima

Kubni splajn

Kubni splajn čine delovi kubne krive, čiji

delovi u čvorovima imaju istu tangentu i

krivinu.

Kubni splajnFunkcija S3(x) je kubni splajn za funkciju f(x) na

mreži čvorova Dn : a=x0 <x1<…<xn=b ako je:

(1) S3(xi)= f(xi) za svako i = 0,1,…,n.

(2) S3(x) polinom trećeg stepena

S3,i(x)=aix3+ bix

2 +cix+di na svakom segmentu [xi,xi+1];

(3) S3(x) je neprekidna zajedno sa svojim izvodima prvog

i drugog reda na celom segmentu [a,b]

S’3(xi)= mi , S’’

3(xi)= Mi , za svako i = 0,1,…,n.

(4) S’3(a)= S’

3(b) , S’’3(a)= S’’

3(b) (uslovi periodičnosti)

Problem se svodi na rešavanje sistema

linearnih algebarskih jednačina.

Splajn (Spline)

• Otvoreni Zatvoreni

UPOTREBA INTERPOLACIONE KRIVE

Primer. Nacrtati interpolacionu krivu kroz tačke A(0,12,0)B(5,11,0)C(10,8,0)D(15,4,0)E(22,0,0).Nacrtati površ (šešir) koja nastaje rotacijom ove krive oko z-ose.

Primenom Surrface-Revolve nacrtati šešir na slici

INTERPOLACIONE KRIVEU PROSTORU

Ove dve krive ne leže na omotaču kao što se očekuje

Interpolaciona kriva na površi

1. Nacrtati površ2. Krivu na površi crtamo pomoćuCurve > Free-form > Interpolate on Surface

Otvorena Zatvorena


Za crtanje većeg broja duži primeniti

Transform-Array-Along curve

Za crtanje površi primeniti

Rail Revolve.


1. Nacrtati interpolacaionu krivu2. Primeniti rotaciju Surface-Revolve

BEZIEROVE KRIVE

To je kriva formirana na osnovu kontrolnih tačakaCurves-FreeForm-Control Points

Pierre Bezier (1910-1999)• P. Bezier je bio inženjer u francuskoj fabrici

automobila Renault od 1933 do 1975 i profesorna Conservatoire national des arts et métiers (CNAM) od 1968 to 1979.

Uveo je novi tip krivih, koje sada nose njegovo ime i koje su deo familije krivih "free-form curves" unutar CAD/CAM sistema koji je stvorio 1968.

http://www.cnam.fr/

BEZIEROVE KRIVEVektori kontrolnih tačaka i blendirajuće funkcije zadovoljavaju sledeće uslove:

(1) kriva prolazi kroz početnu i krajnju kontrolnu tačku;

(2) tangente u početnoj tački i krajnjoj tačka su pravca

)1()(),0()1( npnppp

BEZIEROVE KRIVE

(4) blendirajuće funkcije (tj. funkcije koje stoje uz vektore položaja kontrolnih tačaka) moraju biti simetrične u odnosu na t i 1-t. Ovo znači da posmatranje niza tačaka u obrnutom redu ne dovodi do promena oblika krive.

(3) R - ti izvod u jednoj od krajnjih tačaka mora biti odreĎen pomoću r susednih temena

BEZIEROVE KRIVE(Control Points)

• Bezierova kriva je kriva data

parametarskom funkcijom u kojoj

učestvuju vektori kojima su zadate

kontrolne tačke

i blendirajuće funkcije

)1,0(t),t(fp)t(p k

n

0k

k

kp

)t(f k


• Jednačine Bezierovih krivih glase

)1,0(

,)1()()(0

,

0

t

ttk

nptBptp

knkn

k

knk

n

k

k

• Osnovni Bernsteinovi polinomi su

knk

n,k )t1(tk

n)t(B


• Bezierova kriva kroz 3 tačke

• Bezierova kriva kroz 4 tačke

3

2

1

0

23

0001

0033

1363

1331

1

p

p

p

p

ttt

z

y

x

2

2

10

2)1(2)1()( ptpttpttp

PODELA BEZIEROVE KRIVE

PODELA BEZIEROVE KRIVE –DE CASTELJOV ALGORITAM

LOKALNO SVOJSTVO BEZIEROVE KRIVEBezierova kriva ima lokalnu kontrolu oblika krive, tj.

male promene u izabranim tačkama dovode do malih

promena u obliku krive.

DEFORMACIJA POMERANJEM KONTROLNIH TAČAKA

Edit-Control points-Control points on (F10)

1.Obeležiti objekt i pritisnuti Enter.

2.Izabrati kontrolnu tačku i razvući objekt.

3. Isključiti pomoću Control points off (F11)

Inženjerska grafika - masfak.ni.ac.rs

Documents

Transcript of Inženjerska grafika - masfak.ni.ac.rs