Diagramas de Bode (Traduccion)

8/17/2019 Diagramas de Bode (Traduccion)

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Análisis de Bode

• Introducción

El análisis de sistemas de control de retroalimentación mediante el método de Bode esequivalente a análisis de Nyquist en ambas técnicas emplean representaciones gráfcas

de la unción de respuesta de recuencia de lazo abierto GH (ω) , donde GH (ω )

se refere a un tiempo discreto o un sistema de tiempo continuo. in embargo! los

diagramas de Bode consisten en dos gráfcos" la magnitud de la GH (ω) , y el ángulo

de ase de GH (ω ) , ambos trazan como una unción de la recuencia de ω

. Escalas logar#tmicas se utilizan generalmente para los e$es de recuencia |GH (ω)| .

%os diagramas de Bode ilustran claramente la relativa estabilidad de un sistema. &e'ec'o! son los márgenes de ganancia y de ase a menudo se defne en términos dediagramas de Bode (vea el e$emplo )*.)+. Estas medidas de la estabilidad relativapueden ser determinadas para un sistema en particular con un m#nimo de esuerzocomputacional utilizando los diagramas de Bode! especialmente para aquellos casosdonde e,isten datos de respuesta de recuencia e,perimental.

Escalas logarítmicas y Diagramas de Bode

e utilizan escalas logar#tmicas para &iagramas de Bode porque simplifcaconsiderablemente su construcción! manipulación y la interpretación.

-na escala logar#tmica se utiliza para los ω e$es (abscisas+ debido a la magnitud y

la ase ángulo puede ser representada gráfcamente a través de una gama derecuencias mayor que con los e$es de recuencia lineales! todas las recuencias queigualmente acentuados y esos gráfcos para sistemas de tiempo continuo a menudoresultan en l#neas rectas (sección )/.0+.

%a magnitud | P(ω)| de cualquier unción de respuesta de recuencia P(ω) para

cualquier valor de ω se representa en una escala logar#tmica en unidades de

decibelios (dB+! donde

db=20log10| P (ω )|

()/.)+

12er también ecuación (10.4).]

E$emplo )/.)3

i | P(2)| 4 |GH (2)|=10 ! la magnitud es 20log10|10|=20db .

5a que el decibelio es una unidad logar#tmica! la magnitud db de una unción de

respuesta de recuencia integrada de un producto de términos es igual a la suma de las


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magnitudes db de los términos individuales. 6s#! cuando se emplea la escala

logar#tmica! la gráfca de la magnitud de una unción de respuesta de recuenciae,presable como un producto de más de un término se puede obtener mediante la

adición de las parcelas de magnitud db individuales para cada término de producto.

El logotipo gráfco de magnitud versus db ! se llama la gráfca de la magnitud de

Bode! y el ángulo de ase versus logotipo de trama! es la trama ángulo de ase deBode. %a gráfca de la magnitud de Bode es a veces llamado el modulo del registro dediagrame en literatura

E$emplo )/.73 %a magnitud del diagrama de Bode para la unción de respuestade recuencia de tiempo continuo

P ( jω )=

100[1+ j( ω10 )]1+ jω

puede obtenerse mediante la adición de los diagramas de magnitud de Bode

para 100,1+ j ( ω10 ) , y1

(1+ jω )

La forma Bode y la Ganancia Bode para Sistemas de TiempoContinuo

Es conveniente utilizar la llamada orma Bode de una unción de respuesta de

recuencia de tiempo continuo cuando utilizamos diagramas de Bode para elanálisis y el dise8o debido a las apro,imaciones asintóticas en la ección )/.0.

%a orma de Bode para la unción

jω+ z jω+ z jω+ z jω+ p jω+ p jω+ p

(¿¿ 2)…(¿¿n)(¿¿ 1)¿( jω )

l¿

(¿¿ 2)…(¿¿ m)

¿(¿¿ 1)¿ K ¿¿


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donde l es un entero no negativo! se obtiene mediante la actorización toda

z i y p y reordenando en la ormar

[ K ∏i=1

m

zi

∏i=1

n

pi ](1+ jω z1 )(

1+ jω z2 )…(

1+ jω zm )

( jω )l(1+ jω p1 )(1+ jω p2 )…(

1+ jω pn )

()/.7+

%a ganancia K B Bode se defne como el coefciente del numerador en la

ecuación ()/.7+"

K B= K ∏

i=1

m

z i

∏i=1

n

pi

()/.9+

• Diagramas de Bode de la Respuesta Simple en Frecuencia deFunciones de Tiempo Continuo y sus Aproimaciones

%a constante K B tiene una magnitud de ¿ K B∨¿ ! un ángulo de ase de *

:si K B es positiva! y );*: si K B ! es negativo.


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%a recuencia de los diagramas de Bode para (o unción de transerencia

sinusoidal+ para un polo de orden l en el origen es

1

( jω )l ()/.0+

%os diagramas de Bode para esta unción son l#neas rectas! como se muestraen la =igs. )/9 y )/0.


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e,iones sobre las l#neas * db y *? de las

=igs. )/9 y )/0! como se muestra en las =igs. )// y )/@.


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Aonsidere la unción

de transerencia de un polo simple p

(s+ p), p>0. %os diagramas de Bode para

su unción de respuesta en recuencia

1

1+ jω p

()/.@+

se dan en las =igs. )/ y )/;. Cenga en cuenta que la escala de recuencia

logar#tmica se normaliza en términos de p .


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−6 db/octava cuando se representa en una escala de recuencia logar#tmica

como se muestra en la =ig. )/. %os dos as#ntotas se cortan en la recuencia

de corte ω= prad

sec .


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Error deGagnitud (

db +

−0.17 −0.96 −3 −0.96 −0.17

Error deángulos de

ase

−11.3 ? −0.8 ? *? +0.8 ? +11.3 º

%as grafcas de Bode y sus apro,imaciones asintóticas para la unción de larespuesta en recuencia del cero simple

1+ jω

z1

()/.+

on mostradas en las =igs. )/ y )/)*


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%as gráfcas de Bode y sus apro,imaciones asintóticas para la unción de larespuesta en recuencia de segundo orden con polos comple$os

1

1+ j2 ζ ω

ωn−( ωωn )

2

0≤ζ ≤1 ()/.;+

se muestran en las =igs. )/)) y )/)7. Cenga en cuenta que el coefciente de

amortiguamiento ζ es un parámetro en estos gráfcos.

%a magnitud as#ntota se muestra en la =ig. )/)) tiene una recuencia de

esquina en ω=ωn ! y una pendiente doble de alta recuencia que la de la

as#ntota para el caso de un polo simple de la fg. )/. El ángulo de ase de laas#ntota es similar a la de la =ig. )/;! e,cepto que la porción de alta recuenciaes en H);*? en lugar de H*? y el punto de tangencia! o in>e,ión! es a *?.

%os diagramas de Bode para un par de ceros comple$os son las re>e,ionesacerca del * dB y *? de l#neas de aquellos para los polos comple$os.

• Construcci!n de las Grá"cas de Bode para Sistemas de TiempoContinuo

%os diagramas de Bode de unciones de respuesta en recuencia de tiempocontinuo se pueden construir mediante la suma de las contribuciones demagnitud y ángulo de ase de cada polo y cero (o pares de polos comple$os yceros+. %as apro,imaciones asintóticas de estas grafcas son a menudosufcientes. i se desean gráfcos más precisos! muc'os paquetes de sotareestán disponibles para llevar a cabo rápidamente esta tarea.


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e construyen utilizando las ecuaciones ()/.)*+ y ()/.))+"


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Diagramas de Bode defunciones tiempo discreto frecuencia derespuesta#

%a orma actorizada de la unción general de bucle abierto discreta en eltiempo de respuesta de recuencia es"

GH (e jω

)= K (e jω

+! 1 ) (e jω

+! 2 )… (e jω

+! m)(e jω

+ P1) (e jω

+ P2 )… (e jω

+ Pn ) (15.13 )

6pro,imaciones asintóticas simples! similares a los de la ección )/.0! noe,isten para los términos individuales en la ecuación ()/.)7+.


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argGH (e jω

)=argK +arg(e jω

+! 1)+…

+arg (e jω

+! m)+arg 1

(e jω

+ P1 )+…+arg( 1e jω + Pn ) (15.14 )

Es importante tener en cuenta que tanto la magnitud y ángulo de ase de larespuesta de recuencia de tiempo en unciones discretas son periódicas en elverdadero angular variable de recuencia o. Esto es cierto ya que

e jω =e

j(ω+2"# ) =e j$ e j2"#

6s# e jω

es periódica en el dominio de la recuencia con el per#odo de2 #

.

Aada término en tanto la magnitud como ángulo de ase es de este modoperiódico.


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Esta$ilidad Relati%a#

%os indicadores de estabilidad relativa :margen de ganancia: y :margen dease: para ambos discreta en el tiempo y los sistemas de tiempo continuo sedefnen en términos de la respuesta de recuencia del sistema de bucle abiertoen la sección)*.0. En consecuencia! estos parámetros se determinan ácilmente a partir de

los diagramas de Bode de GH ( jω ) como se ilustra en el E$emplo )*.)! y en ele$emplo )/.0 anterior. &esde * dB corresponde a una magnitud de )! la

ganancia margen es el nJmero de decibelios que |GH ( jω )| está por deba$o

de * dB a la recuencia de cruce de ase ω# (argGH (ω# )=−180 % ) & El margen

de ase es el nJmero de grados argGH (ω) está por encima de −180 % en la

parte ganar de la recuencia de cruce ω1 (| HG (ω1 )|=1) . &iagramas de Bode


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generadas por computadora deben ser utilizados para determinar con precisión

una ω# ,ω1 y los márgenes de ganancia y ase.

En la mayor#a de casos los márgenes de ganancia y de ase positiva! como sedefne anteriormente! se asegurará la estabilidad del sistema de circuito

cerrado. in embargo! un diagrama de Nyquist de estabilidad (Aap#tulo ))+puede ser esbozado! o uno de los métodos del cap#tulo / se puede utilizar paraverifcar la estabilidad absoluta del sistema.

E$emplo )/./"El sistema de tiempo continuo cuyos diagramas de Bode se muestra enla =ig. )/) tiene un margen de ganancia ; dB y un margen de ase de0*L.

E$emplo )/.@"


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6unque no 'ay un método directo para el trazado de la respuesta de recuencia

en bucle cerrado (' R ) (ω ) a partir de diagramas de Bode de GH (ω ) , quepuede apro,imarse de la siguiente manera! por tanto sistemas de control detiempo continuo y discreto . %a respuesta de recuencia de bucle cerrado está

dada por"

'

R (ω )=

G (ω )1+GH (ω)

si|GH (ω)|≫1,

'

R (ω )|

|GH (ω)|≫1≅ G (ω)GH (ω )

= 1

H (ω )

si|GH (ω)|≪1,

'

R (ω )|

|GH (ω)|≪1≅G (ω )

%a respuesta en recuencia en lazo abierto de la mayor#a de los sistemas secaracteriza por una alta ganancia para las recuencias ba$as y la disminuciónde ganancia para recuencias más altas! debido al e,ceso de costumbre depolos más de ceros. 6s#! el circuito cerrado respuesta de recuencia para un

sistema de retroalimentación unidad ( H =1 ) se apro,ima por una magnitud

de ) (* dB+ y ángulo de ase de *L para recuencias ineriores a la recuencia de

cruce de ganancia ω1 .


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• Construcci!n De Bode (ara Sistemas De Tiempo Continuo

Aonstruir los diagramas de Bode asintótica para la unción de respuesta derecuencia

%os diagramas de Bode asintóticas se determinan mediante la suma de lasgráfcas de las representaciones asintóticas para cada uno de los términos deGH ( j$) ! al igual que en las ecuaciones ()/.)*+ y ()/.))+. %as as#ntotas para

cada uno de estos términos se muestran en las =igs. )/79 y )/70 y los

diagramas de Bode asintótica para GH ( j$) en las fguras. )/7/ y )/7@.

%os diagramas de Bode e,actas generadas por ordenador se muestran paracomparación.


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Filosofía De Dise)o

&ise8ar un sistema de control de retroalimentación usando técnicas de Bodeimplica dar orma y la remodelación de la Bode magnitud y ángulo de aseparcelas 'asta las especifcaciones del sistema están satisec'os. Estasespecifcaciones son más convenientemente e,presada en términos de ciras

de dominio de recuencia de mérito! como la ganancia y la ase de margenpara el desempe8o transitorio y las constantes de error (cap#tulo + para elestado estacionario respuesta de dominio de tiempo.

%a conormación de los diagramas de Bode asintóticas de los sistemas detiempo continuo mediante la adición de cascada o realimentacióncompensación es un procedimiento relativamente simple. %os diagramas deBode para varios de tiempo continuo comJn redes de compensación sepresentan en las ecciones )@.9! )@.0 y )@./. Aon estos gráfcos! la magnitud ylas contribuciones ángulo de ase de un compensador particular! se puedena8adir directamente a la compensación de diagramas de Bode del sistema.


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on mostradas en la =ig. )@.) para -n4).

%a cantidad má,ima SB se puede incrementar para me$orar el rendimiento delsistema en estado estacionario sin disminuir el margen de ase por deba$o de0/? se determina como sigue. En la =ig. )@)! el margen de ase es 0/? si lagananciarecuencia de cruce )! es de 7 rad D seg y la gráfca de la magnitud puedeelevarse 'asta en un dB antes ) se convierte en 7 rad D seg.


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Compensaci!n Dirigida (ara Sistemas Continuos

El compensador de adelanto! presentado en las ecciones @.9 y )7.0! tiene lasiguiente recuencia de orma Bode unción de respuesta"

%os diagramas de Bode de este compensador! para dierentes proporciones deplomo a D b! se muestran en la =ig. )@7 .estos gráfcos ilustran que la adiciónde un compensador de cascada de plomo a un sistema de ba$a la curva generalde magnitud en la región de ba$a recuencia y eleva la curva de ángulo de aseglobal en la región de ba$a a media recuencia.

Ftras propiedades del compensador de adelanto se discuten en la ección)7.0.%a cantidad de atenuación de ba$a recuencia y la ase de plomo producido porel compensador de adelanto depende de la relación de plomo a D b .má,ima delos cables de ase se produce a la recuencia a! 4 f y es igual a


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%a

compensación se utiliza normalmente para aumentar los márgenes deganancia y D o de ase de un sistema o aumentar su anc'o de banda. -namodifcación adicional de la ganancia S Bode! se requiere generalmente conplomo redes! tal como se describe en la ección )7.0

El error de estado estacionario (m+ está dado por la ecuación (.)9+ como ) D S!para una entrada de la unidad de unción de rampa.


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ganancia es de )0 dB y el margen de ase es /*?. &e este modo la segundaespecifcación se satisace. %a recuencia de cruce de ganancia ) 4 )0radDseg es sustancialmente mayorque el valor especifcado! lo que indica que el sistema responderá una buenaoerta rápidamente de lo requerido por el tercer especifcación. El diagrama debloques del sistema compensado se muestra en la =ig. )@/. -n amplifcador

dise8ado adecuadamente puede además! servir al propósito de aislamiento decarga de eecto si se coloca entre las dos redes de plomo.


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Dise)o De Bode (ara Sistemas De Tiempo Discreto

&ise8o de sistemas de tiempo discreto se basa en la misma floso#a que eldise8o de Bode.

%os sistemas de tiempo continuo! en el que se supone que modelan yremodelan la magnitud y el ángulo de ase de Bode se cumplen las parcelas'asta las especifcaciones del sistema.


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7. Aon$unto 4 mand#bula. 5! a continuación! transormar las recuenciascr#ticas en las especifcaciones de rendimiento de la T a la Qdominio! usando"

9. &esarrollar compensación de tiempo continuo (como en las ecciones )@.9 através de )@./+ de tal manera que el sistema en el Qdominio satisace lasespecifcaciones que fguran en las recuencias obtenidas en el paso 7 (como sieldominio uera el dominio s+.

Cransormar los elementos de compensación obtenidos en el paso 9 de nuevoal dominio z para completar el dise8o! con 4 (z l+ D (z O )+.


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