04-Interpolasi
3
Diktat Praktikum Metoda Numerik – Irwan Ary Dharmawan (2008) Metnum 4-1 METNUM – 4 INTERPOLASI 4.1 Objektif Mahasiswa mampu membedakan kasus Interpolasi dan Ekstrapolasi, selain itu mahasiswa mampu menyelesaikan masalah interpolasi menggunakan metoda Polinomial, Lagrange dan Newton forward difference. 4.2 Teori Sebuah sensus dari suatu populasi daerah “X” yang diperoleh selama sepuluh tahun disajikan dalam tabel berikut : Tabel 4.1 Sensus penduduk daerah “X” selama sepuluh tahun (dari 1940 s.d 1990) Tahun 1940 1950 1960 1970 1980 1990 Populasi (ribu) 132,165 151,326 179,323 203,302 226,542 259,633 Dalam tabel di atas kita bisa bertanya berapakah jumlah penduduk pada tahun 1955? Atau berapakah jumlah penduduk pada tahun 2000? . Pertanyaan- pertanyaan tersebut tentunya dapat kita jawab dengan memanfaatkan teknik interpolasi dan ekstrapolasi. 4.2.1 Interpolasi Polynomial dan Polynomial Taylor Salah satu teknik interpolasi yang sering digunakan dalam menghampiri suatu fungsi yang kontinyu adalah dengan interpolasi polinomial yang dirumuskan sebagai berikut : n n n n n x a x a x a a x P + + + + = − − 1 1 1 0 ) ( L (4.1) Dengan n merupakan bilangan integer nonnegatif dan n a a a , , , 1 0 L merupakan konstanta riil. Teorema Weierstrass Jika ada suatu fungsi f yang kontinyu dalam interval ] , [ b a , maka untuk setiap 0 > ε terdapat suatu polinom ) ( x P , dengan sifat sebagai berikut : ε < − ) ( ) ( x P x f , untuk semua x dalam ] , [ b a
description
Interpolasi
Transcript of 04-Interpolasi
-
Diktat Praktikum Metoda Numerik Irwan Ary Dharmawan (2008) Metnum 4-1
METNUM 4 INTERPOLASI
4.1 Objektif Mahasiswa mampu membedakan kasus Interpolasi dan Ekstrapolasi, selain itu mahasiswa mampu menyelesaikan masalah interpolasi menggunakan metoda Polinomial, Lagrange dan Newton forward difference. 4.2 Teori Sebuah sensus dari suatu populasi daerah X yang diperoleh selama sepuluh tahun disajikan dalam tabel berikut :
Tabel 4.1 Sensus penduduk daerah X selama sepuluh tahun (dari 1940 s.d 1990)
Tahun 1940 1950 1960 1970 1980 1990
Populasi (ribu)
132,165 151,326 179,323 203,302 226,542 259,633
Dalam tabel di atas kita bisa bertanya berapakah jumlah penduduk pada tahun 1955? Atau berapakah jumlah penduduk pada tahun 2000? . Pertanyaan-pertanyaan tersebut tentunya dapat kita jawab dengan memanfaatkan teknik interpolasi dan ekstrapolasi. 4.2.1 Interpolasi Polynomial dan Polynomial Taylor Salah satu teknik interpolasi yang sering digunakan dalam menghampiri suatu fungsi yang kontinyu adalah dengan interpolasi polinomial yang dirumuskan sebagai berikut :
nn
nnn xaxaxaaxP ++++=
1110)( L (4.1)
Dengan n merupakan bilangan integer nonnegatif dan naaa ,,, 10 L merupakan konstanta riil. Teorema Weierstrass Jika ada suatu fungsi f yang kontinyu dalam interval ],[ ba , maka untuk setiap
0> terdapat suatu polinom )(xP , dengan sifat sebagai berikut :
-
Diktat Praktikum Metoda Numerik Irwan Ary Dharmawan (2008) Metnum 4-2
Teorema di atas menjamin kepada kita bahwa untuk semua fungsi yang kontinyu dalam selang tertentu, maka fungsi tersebut dapat diaproksimasi oleh suatu polinom. Dalam menentukan konstanta-konstanta dalam persamaan 3.1 sering digunakan pendekatan Deret Taylor, sehingga interpolasi yang menggunakan deret Taylor disebut juga dengan Interpolasi Taylor Polynomial. Namun pada kasus interpolasi, pendekatan jarang digunakan karena metoda ini lebih ditekankan pada estimasi error. Teorema Taylor Jika ],[ baCf n dengan kata lain f merupakan suatu fungsi yang dapat diturunkan secara kontinyu sebanyak n kali dalam interval ],[ ba dan terdapat
)1( +nf dalam interval ],[ ba dan ],[0 bax . Untuk setiap ],[ bax terdapat sejumlah )(x antara 0x dan x dengan )()()( xRxPxf nn += dimana
kn
k
k
n xxkxfP )(!)(
00
0)(
==
(4.2)
dan
100
)1(
)()!1())(( +
=
+
+
= nn
k
n
n xxnxfR (4.3)
Dalam hal ini nP disebut dengan Polinom Taylor ke n untuk f sekitar 0x , dan
nR disebut dengan truncation error. 4.2.2 Interpolasi Polinom Lagrange Dengan keterbatasan metoda Interpolasi Taylor, maka metoda Interpolasi Lagrange digunakan untuk menutupi kekurangan tersebut. Teorema 4.1 Jika nxxx ,,, 10 L adalah 1+n bilangan yang berbeda dan f merupakan sebuah fungsi dimana nilainya diberikan pada bilangan-bilangan tersebut, maka akan terdapat sebuah Polinomial )(xP dengan derajat sebanyak n
)()( kk xPxf = , untuk setiap nk ,,1,0 L= (4.4)
dengan Polinomialnya didefinisikan sebagai berikut
-
Diktat Praktikum Metoda Numerik Irwan Ary Dharmawan (2008) Metnum 4-3
=
=++=n
kknknnnn xLxfxLxfxLxfxP
0,,0,0 )()()()()()()( L (4.5)
dimana untuk setiap nk ,,1,0 L= berlaku
=
+
+
=
=
n
kii ik
i
nkkkkkkk
nkkkn
xxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxL
0
1110
1110,
)()(
)())(())(()())(())(()(
LL
LL
(4.6)
Biasanya penulisan knL , lebih sering ditulis dengan nL untuk menghindari kebingungan kita dalam menentukan derajat polinom. 4.3 Percobaan 1. Untuk fungsi )(xf yang diketahui, misal 6.0,0 10 == xx dan 9.02 =x . Carilah
Interpolasi polinom derajat satu dan dua untuk mengaproksimasi nilai )45.0(f dari fungsi-fungsi berikut ini dan tentukan pula nilai absolut errornya a. )cos()( xxf = b. )1ln()( += xxf c. xxf += 1)(
2. Gunakan metoda Interpolasi Lagrange derajat satu, dua dan tiga untuk
memprediksi populasi daerah X sesuai dengan Tabel 4.1 pada tahun 1935,1945, 1955, 1965, 1975, 1985 dan 1995.
4.4 Tugas Pendahuluan 1. Buatlah algoritma pemrograman untuk semua metoda di atas termasuk
metoda Newton Forward Difference 2. Turunkan persamaan (4.5) dan (4.6) dengan pendekatan interpolasi linier. 4.5 Tugas Akhir 1. Jalankan percobaan 4.3.2 menggunakan metoda Newton Forward Difference 2. Buatlah summary (tidak lebih dari satu halaman) untuk menganalisa dari
semua metoda yang telah anda kerjakan.
