Bab IV Interpolasi

8/17/2019 Bab IV Interpolasi

1/26

4. INTERPOLASI

Di dalam beberapa masalah sering diperlukan menaksir (mengestimasi suatu nilai di antara

beberapa titik data !ang telah diketahui nilain!a. "et#de !ang biasa digunakan untuk meksud tersebut

dinamakan interp#lasi. "et#de interp#lasi !ang paling ban!ak digunakan adalah interp#lasi

p#l!n#mial.

Persamaan p#lin#mial (suku ban!ak adalah persamaan al$abar !ang han!a mengandung $umlah

dari %ariable x berpangkat bilangan bulat (interger n#n negati&. 'entuk umum persamaan p#lin#mial

#rde n adalah

( ) nn xa xa xaa x f ++++= )

)*+ ,4.*-

ntuk *+n titik data/ han!a terdapat satu p#lin#mial #rde n atau kurang !ang melalui semua titik.

/isaln!a/ han!a ada satu garis lurus (p#lin#mial #rde * !ang menghubungkan dua titik (lihat gambar

4.*. P#lin#mial #rde * dikenal dengan &ungsi linear. Demikian $uga/ tiga buah titik dapat dihubungkan

#leh parab#la (p#lin#mial #rde ) (lihat gambar 4.)/ untuk empat titik dapat dilalui kur%a p#lin#mial

#rde 0/ untuk lima titik dapat dilalui kur%a p#lin#mial #rde empat dan seterusn!a.

"isalkan diberikan *+n pasangan titik ( ) ( ) ( ) ( )///// ))**++ nn f x f x f x f x dengan n x x x x //// )*+

berbeda satu dengan lainn!a. 1ita akan men2ari p#lin#m/ !aitu( ) x P

n !ang pada setiap x $ mengambil

nilai f $ !ang diberikan/ $adi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nnnnnnn f x P f x P f x P f x P f x P ===== 00))**++ ,4.)-

Dimana p#lin#m( ) x P n mempun!ai dera$at sama atau kurang dari n. p#lin#m ( ) x P n !ang demikian ini

dsebut polinom penginterpolasi . Nilai3nilai n x x x x //// )*+ disebut simpul .

Awal Van Basten


2/26

P#lin#m( ) x P n digunakan untuk mendapatkan nilai3nilai penghampiran dari f ( x atau nilai3nilai

pada x !ang tidak dilakukan pengukuran. Disebut interpolasi karena $ika x !ang diminati (!ang akan

di2ari nilai hampirann!a terletak diantara simpul3simpul/ sedangkan bila x terletak di luar

simpul3simpul disebut ekstrapolasi .

A. Interpolasi Linear

Interp#lasi linear disebut interp#lasi !ang menggunakan garis lurus !ang melalui dua titik

( )++ / f x dan ( )** / f x !ang diberikan #leh p#lin#m linear

( ) ( ) [ ]*+++* / x x f x x f x P −+= ,4.0-

Dengan[ ]*+ / x x f adalah beda terbagi pertama !ang dide&enisikan sebagai

[ ]+*

+**+ /

x x

f f x x f

−

−=

,4.4-

Dengan mensubtitusi persamaan ,4.4- ke ,4.0-/ diper#leh

( ) ( )+*

+*++*

x x

f f x x f x P

−−

−+=,4.-

Dari ,4.- perhatikan bah5a

( ) ( )

( ) ( )

( ) **+++*

+*+

+*

+

+*

+*+

+*

f f f f x x

f f x x f x P

f x x

f f x x f x P

=−−=−

−−+=

=−

−−+=

Tern!ata p#lin#m P *( x memenuhi s!arat persamaan ,4.)- sebagaimana !ang dituntut.

Contoh 1 :

)


3/26

Taksirlah berapa p#pulasi penduduk Ind#nesia di tahun *677 (dalam $uta bila diketahui

Tahun *67+ *66+

P#pulasi *86.0 )+0.)

Penyelesaian :

( ) ( ) +*

+*

++* x x

f f

x x f x P −

−

−+=

( ) ( )

4.*67

*.*60.*86

*67+*66+

0.*86).)+0*67+*6770.*86*677*

=+=

−−

−+= P

9adi taksiran p#pulasi penduduk Ind#nesia di tahun *677 adalah *67.4

Contoh 2 :

Taksirlah berapa nilai ln(6.) bila diketahui ln(6.+ : ).*68) dan ln(6. : ).)*0 dengan

menggunakan interp#lasi linier. 1emudian tentukan kesalahan (err#r;galat mutlak dan kesalahan

relati&n!a/ bila nilai sebenarn!a adalah ln(6.) : ).)*6).

Penyelesaian :

Diketahui( ) ( )*68).)/).6+ = f xo dan ( ( ))*0.)/.6*/* = f x sehingga

( ) ( )

( )+.6*+7).+*68).)

+.6.6

*68).))*0.)+/6*68).)*

−+=

−−

−+=

x

x x P

( ) ( ) ( ) )*77.)).+*+7).+*68).)).6).6 ) =+=≈ P ln

( ) +++4.+)*6).))*77.)).6 =−= E

( )


4/26

1esalahan !ang ter$adi pada n#m#r ) di atas adalah karena kur%a dari &ungsi didekati #leh

garis lurus. ntuk memperke2il kesalahan !ang sering ter$adi maka perkiraan dapat dilakukan

dengan menggunakan garis lengkung !ang menghubungkan titik3titik data. Apabila terdapat tiga

titik data/ maka perkiraan dapat dilakukan dengan p#lin#mial #rde dua. Interp#lasi !ang demikian

disebut Interpolasi Kuadrat / dimana p#lin#m interp#lasi kuadrat dide&inisikan sebagai

( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ])*+*+*+++) /// x x x f x x x x x x f x x f x P −−+−+= ,4.=-

Dengan[ ]*+ / x x f adalah beda terbagi pertama seperti dide&inisikan pada ,4.0- sedangkan

[ ])*+ // x x x f adalah beda terbagi kedua !ang dide&inisikan sebagai

[ ] [ ] [ ]

+)

*+)*)*+

////

x x

x x f x x f x x x f

−−

=,4.8-

Dengan mensubtitusi persamaan ,4.0-/ ,4.=-/ ke ,4.-/ diper#leh

( ) ( ) ( )( )+)

+*

+*

*)

*)

*+

+*

+*

++) x x

x x

f f

x x

f f

x x x x x x

f f x x f x P

−−−

−−−

−−+−−

−+=,4.7-

Dari ,4.8- perhatikan bah5a

( ) ( ) ( ) ( ) +*)

+*

+*

*)

*)

*+++

+*

+*

++++) f x x

x x

f f

x x

f f

x x x x x x

f f x x f x P =

−−−

−−−

−−+−−

−+=

( ) ( ) ( )( ) ( ) *+*+*)

+*

+*

*)

*)

**+*

+*

+*+*+*) f f f f x x

x x

f f

x x

f f

x x x x x x

f f x x f x P =−+=−

−−

−−−

−−+−−

−+=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) )*)+*+

*)

+*

+*+*+

+*

+*

*)

*)

*)*)

+*

+*

+)+

*)

+*

+*

*)

*)

*)+)

+*

+*

+)+))

f f f f f f

f f x x

f f x x f

x x

f f x x

x x

f f x x

x x

f f x x f

x x

x x

f f

x x

f f

x x x x x x

f f x x f x P

=−+−+=

−+−−

−+=

−−

−−−−

−+−−

−+=

−−−

−−−

−−+−−

−+=

Tern!ata p#lin#m ( ) x P ) memenuhi s!arat persamaan ,4.)- sebagaimana !ang dituntut.

4


5/26

Contoh 3 :

"isalkan diberikan tiga titik/ masing3masing

+++++.)4

4*4)*.*)

+++++.**

))

**

++

======

f x

f x

f x

Tentukan ( ) x P * bila menggunakan simpul *+ = x dan 4) = x / kemudian bandingkan hasiln!a bila

menggunakan simpul )) = x dan 4) = x . Tentukan pula ( ) x P ) . Tentukan nilai ( )0* P dan ( )0) P /

kemudian hitunglah kesalahan relati& dari hasil perhitungan di atas/ bila diketahui ( ) 80)+.*0 = f .

Penyelesaian :

'ila menggunakan interp#lasi linear dengan simpul*+ = x dan 4) = x /

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )*00000.+*

**4

+++++.*+++++.)*

*

*

+)

+)

++*

−+=

−

−

−+=

−

−

−+=

x x P

x x P

x x

f f

x x f x P

Sehingga

( ) ( ) ====8.**000000.+*0* =−+= P

( ) +=07.+====8.*80)+.*0 =−= E

( )


6/26

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )))6)6+.+4*4)*.*

))4

+++++.*+++++.)4*4)*.*

*

*

*)

*)***

−+=

−

−−

+=

−−

−+=

x x P

x x P

x x

f f x x f x P

Sehingga ( ) ( ) 8+8**.*)000000.+4*4)*.*0* =−+= P

( ) +)464.+8+8**.*80)+.*0 =−= E

( )


7/26

C. Interpolasi Beda Terbagi Newton

'erikut ini akan diperlihatkan kasus khusus dari rumus interp#lasi umum !ang

berkepentingan praktis besar. Dari persamaan ,4.0- dan ,4.- tampak bah5a

( ) ( ) lainsuku*) += x P x P

>al tersebut sangat berman&aat/ karena membantu meringankan ker$a kita/ bila kita menganggap

bah5a ( ) x P * (interp#lasi linier belum 2ukup 2ermat dan kita ingin melan$utkan ke ( ) x P )

(interp#lasi kuadrat. 'ila kita merasa dengan interp#lasi kuadrat belum 2ermat dapat kita lan$utkan

ke interp#lasi kubik dan seterusn!a. Se2ara umum kita ingin mempun!ai

lainsuku* += −nn P P

"isaln!a

( ) ( ) ( ) x g x P x P nnn += −* ,4.6-

Dengan ( ) ( ) ( ) ( ) ***))****++* /// −−−−−− ==== nnnnnn f x P f x P f x P f x P lebih lan$ut ( ) nnn f x P = . 1itamemperlihatkan bah5a pemikiran ini menu$u ke suatu rumus interp#lasi umum !ang 5a$ar. 1ita

tentukan

( ) ( ) ( ) x P x P x g nnn *−+= ,4.*+-

1arena P * dan P n3* bersesuaian pada *)*+/// −n x x x x kita lihat bah5a g n : + pada *)*+

/// −n x x x x /

#leh karena itu g n haruslah berbentuk

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*)*+ −−−−−= nnn x x x x x x x xa x g ,4.**-

Pertama akan ditentukan an. ntuk itu substitusikan + x x =

kedalam persamaan ,4.**-/ kemudian

men!elesaikan se2ara al$abar persamaan ,4.*+- untuk an. Dengan menggantikan( )nn x g menurut

,4.6- dan dengan menggunakan( ) nnn f x P = akan memberikan

( )

( ) ( ) ( ) ( )*)*+

*

−

−

−−−−−

=nnnnn

nnnn

x x x x x x x x

x P f a

,4.*)-

'ilamana n : */ maka( ) ( ) +*+* f x P x P nn ==− sehingga dengan ,4.**- memberikan

( )

( ) ( ) [ ]*+

+*

+*

+*

*+** / x x f

x x

f f

x x

x P f a =

−−

=−

−=

Selan$utn!a bila n : )/ maka( ) ( ) +)** f x P x P nn ==− sehingga dengan ,4.**- memberikan

( )

( ) ( )

( ) [ ]

( ) ( ) [ ]

)*+

*)+)

*++)+*

*)+)

)*)

) ///

x x x f x x x x

x x f x x f f

x x x x

x P f a =

−−−−−

=−−

−=

8


8/26

1esamaan !ang terakhir men!usul langsung perhitungan dan perbandingan dengan beda terbagi

kedua/ dengan pemikiran !ang sama diper#leh

[ ] [ ]

( ) [ ]0)*+

+0

)*+0)*0 ///

//// x x x x f

x x

x x x f x x x f a =

−−

=

Dan se2ara umum

[ ] [ ] [ ]( )+*)*+0)*

)*+ /////////// x x

x x x x f x x x x f x x x x f ak

k k k k −−==

−

?ang disebut beda terbagi ke3k .

Dengan demikian se2ara umum

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )*)*+* −− −−−−+= k k k k x x x x x x x xa x P x P

!ang disebut interp#lasi terbagi Ne5t#n

Alg#ritma untuk perhitungan ini diberikan dalam tabel 4.* berikut ini. L##p !ang pertama

menghitung beda3beda terbagi dan l##p !ang kedua menghitung nilai

( ) x f n !ang diinginkan.

Sedangkan pada tabel 4.) memberikan suatu %ariasi dari perhitungan p#lin#m beda terbagi. Disini

diberikan nilai ketelitian epsil#n/ sehingga ada kemungkinan tidak semua *+n titik !ang diberikan

terpakai/ bilamana ketelitian !ang diinginkan tersebut sudah ter2apai.

Tabel 1

AL@ORIT"A 'EDA TER'A@I NETON

Alg#ritma ini menghitung hampiran( ) z P n dari ( ) z f pada z

"asukkan ( ) ( ) ( ) ( ) z f x f x f x f x nn B//////// ))**++

1eluaran hampiran ( ) z P n dari ( ) z f

Langkah3langkah

ntuk n j //)/*/+ = lakukan

j j f x f =

ntuk *//)/*/+ −= nm dan untuk mn j −= //)/*/+ lakukan

[ ]( ) jm j

m j j jm j j j

m j j j x x

x x x f x x x f x x x f

−

−=

+

−+++++

++

**)*

*

////////

( ) ++ f z P =

ntuk nk /0/)/* =

lakukan( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( )**+*+* // −− −−−+= k k k k x z x z x z x x x f z P z P

Interp#lasi beda terbagi Ne5t#n bila diker$akan dengan k#mp#sisi tangan/ $auh lebih mudah bila

dihitung dengan menggunakan tabel seperti pada 2#nt#h berikut

Tabel 2

AL@ORIT"A POLINO" 'EDA TER'A@I NETON

"asukkan nB z f f f f x x x x nn ///B//// )*+)*+ B Epsil#n

7


9/26

1eluaran P bagi

Langkah3langkah

( ) *&akt#r b pbagi #++ === x f b

ntuk ni //)/*/+ = lakukan( )ii x f b =

ntuk +//0/)/* −−−= j j j j lakukan

ji

ji

jbb

bbb−−= +*

Cakt#r :&a2t#r( )*−− i x z

Suku : b+ &a2t#r

Pbagi : pbagi suku

9ika sukuF epsil#n. Selesai

Contoh 4

@unakan nilai3nilai pada tabel berikut untuk menghitung nilai pendekatan ( )).+ f . "ulailah

dengan dera$at interp#lasi !ang lebih rendah/ dari interp#lasi beda terbagi Ne5t#n/ hitunglah nilai

kesalahan relati&n!a. Perhatikan bah5a nilai sebenarn!a tidak diketahui.

x + +.) +.4 +.= +.7 +.6 *.+

( ) x f *.+++++ *.+64 *.+*67+ *.)=46* *.04*=4 *.0874+ *.4*4)*

Penyelesaian :

Dengan nilai3nilai di atas dapat disusun tabel berikut

x ( ) x f 'eda I 'eda II 'eda III 'eda IG 'eda G

+.+ *.+++++

+.4=8)*

+.+0 *.*4+*8 3+.+6)**+.40+4+ +.+0*=60

+.+4 *.*70)*= 3+.+80++6 3+.+*)+08

+.4+748= +.+))+=4 +.++487

+.+= *.)=46** 3+.+=)+=8 3+.++846

+.070=46 +.+*=74)

+.+7 *.04*=4* 3+.+*6=)

+.0=)7=0

*.+ *.4*4)*

Dari perhitungan pada tabel beda terbagi Ne5t#n di atas diper#leh

Dengan menggunakan interp#lasi linier maka

( ) ( )+4=8)*.+++++++.** −+= x x P

Sehingga

( ) ( ) ( ) **=7*0.*).+4=8)*.+++++++.*).+).+ * =+=≈ P f

1arena nilai sebenarn!a tidak diketahui/ maka kesalahann!a tidak dapat dihitung. Dengan

menggunakan interp#lasi kuadrat maka

6


10/26

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )0.++6)**.+4=8)*.+++++++.*

0.+++6)**.+*)

−−+=−−−+=

x x x

x x x P x P

( ) ( ) ( ) ( )( ) **86=4.*+.+).++6)**.+).+4=8)*.+++++++.*).+).+ * =−−+=≈ P f

1arena nilai sebenarn!a tidak diketahui/ maka kesalahann!a han!a dapat bila dilakukan

perhitungan dengan iterasi numeri2. Olehn!a itu perhitungan kesalahan dilakukan dengan

menggunakan rumus

( ) ( ) ( ) z P z P z E k k k *−−= ,4.*0-

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )


11/26

( ) +++++7.+**7+)4.***7+0).*).+4 =−= E

( )


12/26

D. Interpolasi Pada Titi! "ang Ber#ara! $a%a

Pada interp#lasi beda terbagi Ne5t#n !ang berbentuk

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )*)*+* −− −−−−+= k k k k x x x x x x x xa x P x P ,4.*-

Dengan

[ ]

[ ] [ ]

+

*)*+0)*

)*+

////////

//// x x

x x x x f x x x x f

x x x x f a k

k k

k k −

−

== −

,4.*=-

'erlaku untuk $arak antara simpul !ang satu dengan simpul berikutn!a sebarang (tidak harus sama

seperti !ang mungkin ter$adi dalam praktek/ berikut ini akan dibi2arakan bilamana $arakn!a sama.

"isalkan $arak antara suatu simpul dengan simpul berikutn!a sama/ katakanlah h/ maka

nh xh x x

h xh x xh xh x x

h xh x x

h x x

x

nn +=+=

+=+= +=+=

+=+=+=

− +*

+04

+)0

+*)

+*

+

40

)

B

B

,4.*8-

ntuk kasus demikian 'eda terbagi Ne5t#n/ dibedakan atas

Interpolasi Beda &a#u

'eda ma$u pertama dari f dan x $ adalah

j j j f f f −=∆ +* ,4.*7-

'eda ma$u kedua dari f dan x $ adalah

j j j f f f ∆−∆=∆ +*)

,4.*6-

'eda ma$u ketiga dari f dan x $ adalah

j j j f f f )*

)0 ∆−∆=∆ + ,4.)+-

Dan dengan melan$utkan 2ara tersebut diper#leh 'eda mau ke3 k dari f dan x $ adalah

( ) ( )/0/)/*B**

* =∆−∆=∆ −+− k f f f j

k

j

k

j

k

,4.)*-

'ila kita mempun!ai $arak simpul teratur/ maka persamaan ,4.*=- dapat disederhanakan

men$adi

[ ] ( )k k k f hk

x x x x f a k k k k

D*D0D)D*I

*//// +)*+ −=∆==

,4.))-

*)


13/26

Dengan induksi dapat ditun$ukkan bah5a/ untuk k : */ maka

[ ] +*+**

/ f h

x x f a ∆==,4.)0-

ntuk k : )/ diper#leh

[ ] [ ] [ ]

( ) h

f f

xh x x x

x x f x x f x x x f a +*

+++)

*+)*)*+*

)

*////

∆−∆

−+

=

−

−==

[ ]( ) +

)

)+

)

)*+*I)

*

)I*

*// f

h f

hh x x x f a ∆=∆==

,4.)4-

"isalkan untuk k : n * benar/ maka

[ ] [ ] [ ]

( )

( ) ( )

( ) +*

*

+**

+*

+*

*+*)*

*)*+*

*

*

I**

I

*

I

*

*

*

//////////

f hn

f f hn

f hn

f hnhn

x x

x x x f x x x f x x x x f a

n

n

nnn

n

n

n

n

n

nn

nn

++

+

+

+++

∆+

=

∆−∆+=

∆−∆

+=

−−

==

Dengan mengganti nilai (n * dengan k / diper#leh

[ ] +)*+

I

*//// f

hk x x x x f a k

k k k ∆==

Perhatikan bah5a/ untuk x : x+ rh/ kemudian dengan berdasar pada persamaan ,4.*8-

diper#leh

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )hnr nh x x x x

hr h x x x x

hr h x x x x

rh x x

n −=+−=−

−=+−=−−=+−=−

=−

+

+)

+*

+

/))

/*

/

,4.)-

Sehingga persamaan ,4.))- dan persamaan ,4.*- men$adi rumus interp#lasi beda ma$u Ne5t#n

(atau @reg#r!3Ne5t#n

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )++

*

+0

+)

++

I

*)*

*

))*

I0)*

I)*(

f n

nr r r r f

n

nr r r r

f r r r f r r f r f x P x f

nn

n

∆+−−−

+∆−

+−−−

++∆−−+∆−+∆+=≈

−

,4.)=-

Dimana rh x x += + atau

nr h

x xr ≤≤

−= +/+

Contoh '

*0


14/26

Interpolasi beda %a#u Newton

Perhatikan nilai3nilai pada tabel berikut/ kemudian dengan menggunakan interp#lasi beda ma$u

Ne5t#n/ hitung nilai perkiraan untuk x : +.=. Dengan menggunakan tabel berikut dan

>itunglah err#rn!a untuk = desimal.

j j x j f j f ∆ j f

)∆ j f 0∆

+ +. *.*)8=)=+.+8706

* +.= *.*74= +.+**7=

+.+=68+4 +.+++=68

) +.8 *.)*=6 +.+*)=)

+.+7))==

0 +.7 *.08840

berdasarkan persamaan ,4.)=- diper#leh

=.+*.+

+.+=.++ =−

=−

=h

x xr

Sehingga

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( )+++=68.+

I0

)=.+*=.+=.+

+**7=.+I)

*=.+=.++8706.+=.+*)8=)=.*=.+(=.+ 0

−−

+−

++=≈ P f

( ) *=+644.*++++06.+++*4)4.++048+0.+*)8=)=.*=.+ =+−+≈ f

'ila nilai sebenarn!a adalah ( ) *=+64*.*=.+ = f maka

( ) +++++0.+*=+64*.**=+644.*=.+ =−= E

( )


15/26

*

))0

−∇−∇=∇ j j j f f f ,4.)6-

Dan dengan melan$utkan 2ara tersebut diper#leh beda mundur ke3k dari f pada x $ adalah

( ) ( ) ( )/0/)/**** =∇−∇=∇ −

−− k f f f jk

j

k

j

k

,4.0+-

Dan dengan pr#ses !ang sama pada beda ma$u/ diper#leh rumus interp#lasi beda mundur

Ne5t#n (atau @reg#r!3Ne5t#n

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )++

*

+

0

+

)

++

I

*)*

*

))*

I0

)*

I)

*(

f n

nr r r r f

n

nr r r r

f r r r

f r r

f r f x P x f

nn

n

∇+++++∇−

++−+

++∇++

+∇+

+∇+=≈

−

,4.0*-

Dimana rh x x += + atau

nr h

x xr ≤≤

−= +/+

Contoh ) :

Interpolasi Beda &undur Newton

>itung hampiran 8 desimal dari Cungsi 'essel(+ x J untuk x : *.8) dengan berdasarkan pada

nilai3nilai dalam tabel berikut dengan menggunakan rumus interp#lasi beda mundur Ne5t#n

(persamaan ,4.0*-. 'andingkan hasiln!a bila menggunakan beda ma$u Ne5t#n (persamaan

,).)=-.

maju J mundur J j x (+ j x J 'eda I 'eda II 'eda III

+ 30 *.8 +.0686476

*+,+)--.* 3) *.7 +.00667=4 *+,+++1'-3

3+.+7*=87 0.0004093

) 3* *.6 +.)7*7*7= 0.000!00

-0.0"#$#%

0 + ).+ +.))076+7

'erdasarkan persamaan ,4.0*- diper#leh

7.)*.+

+.)8).*+ −=−

=−

=h

x xr

Sehingga dengan menggunakan interp#lasi beda mundur Ne5t#n (digunakan tulisan miring dari

ba5ah ke kanan atas/ diper#leh

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )( )+++4+60.+

I0

)7.)*7.)7.)

+++)4++.+I)

*7.)7.)+86)87.+7.)))076+7.+8).*+

+−+−−

++−−

+−−+≈ J

( ) 07=4*74.++++)8+.++++=+47.+*=)*687.+))076+7.+8).*+ =−++≈ J

*


16/26

Dengan beda ma$u Ne5t#n (dipakai tulisan tebal dari atas ke kanan ba5ah berdasarkan ,).)=-/

diper#leh

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( )+++4+60.+

I0

)).+*).+).+

+++*=60.+I)

*).+).++8667.+).+0686746.+8).*+

−−

+−−

+−+≈ J

( ) 07=4*70.+++++*6=.+++++*0.++**6680686746.+8).*+ =++−≈ J

'ila nilai eksak( )8).*+ J sampai 8 desimal adalah +.07=4*7 sehingga interp#lasi beda mundur

Ne5t#n diper#leh

( ) ++++++*.+07=4*74.+07=4*7.+8).* =−= E

Sedangkan untuk interp#lasi beda ma$u Ne5t#n diper#leh

( ) ++++++).+07=4*70.+07=4*7.+8).* =−= E

Tern!ata dengan interp#lasi beda mundur Ne5t#n (atau ma$u Ne5t#n diper#leh $a5aban !angsama hingga = desimal.

E. Interpolasi Lagrange

Diberikan( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn f x f x f x f x f x //////// 00))**++ dengan x $ ber$arak sebarang/ Lagrange

mempun!ai pemikiran memperkalikan masing3masing f $ dengan suatu p#lin#m !ang bernilai * pada

x $ dan benilai + pada n titik simpul lainn!a/ kemudian men$umlahkan n * p#lin#m tersebut untuk

memper#leh p#lin#m interp#lasi tunggal ber#rde n atau lebih ke2il. Rumus !ang dihasilkan/ disebut

Interpolasi lagrange, adalah

( ) ( ) ( )

( )∑==≈

n

k

k

k k

k n f

xl

xl x & x f

+ ,4.0)-

ntuk k ' +/ digunakan

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnn x x x x x x x x x x xl −−−−−= − ///// *0)* ,4.00-

ntuk k ' n/ digunakan

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*))*+ ///// −− −−−−−= nnn x x x x x x x x x x xl ,4.04-

Sedangkan untuk k : */ )/ 0/ 4/ / J/ n H * berlaku

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnk k k x x x x x x x x x x x x xl −−−−−−= −+− /////// ****+ ,4.0-

Dengan mudah dapat dilihat bah5a

( ) k k k f x & = ,4.0=-

*=


17/26


18/26

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) +++++.0+.*++.**.6+.**+.6+.**+.**

++++.++.**+.*+.6+.*++.6+.*++.*+

08++.++.**.6+.*+.6+.6.6.6

+++++.*+.**+.6+.*++.6.6+.6+.6

0

)

*

+

=−−−=−=−−−=

=−−−=−=−−−=

l

l

l

l

Dengan demikian/ maka

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )+.**+.**

).6+.*++.*+

).6.6.6

).6+.6+.6

).6).6

0

0

)

)

*

*

+

+0 f l

l f l

l f l

l f l

l & +++=

( ) 068++.)+++++.0

+47++.+0+)6.)

++++.+

*+7++.+)*)6.)

08++.+

)77++.+*68)).)

+++++.*

40)++.+).6

0 +

−++

−

−= &

( ) +070.+4680.+8766.*646*6.+).60 +−+= &

( ) )*6)+.)).60 = &

Dengan demikian( ) ( ) )*6)+.)).6).6 0 =≈ & f (nilai ini eksak hingga desimal

P#lin#m Interp#lasi Lagrange( ) x &n kurang praktis dalam ker$a numerik. 1#mputasi b#leh $adi

men$adi memerlukan 5aktu dan !ang lebih penting ker$a sebelumn!a tidak berman&aat dalam

peralihan ke p#lin#m berdera$at lebih tinggi. Namun sangat berman&aat dalam penurunan

rumus3rumus lain. Suatu penerapan penting tipe ini adalah penurunan aturan pengitegralan

Simps#n.

F. Interpolasi /ungsi $pline

ntuk mem#ti%asi de&inisi dan penggunaan &ungsi spline/ kita mulai dengan pers#alan

penginterp#lasian data !ang diperlihatkan dalam tabel berikut

Tabel 3

x +.+ *.+ ).+ ). 0.+ 0. 4.+ ( ).++ +.++ +.++ *.++ *.++ *.*) +

"et#de interp#lasi !ang paling sederhana adalah menghubungkan titik3titik simpul dengan

p#t#ngan3p#t#ngan garis lurus/ gra&ik !ang dihasilkan diperlihatkan dalam )ambar 4.. Ini disebut

interp#lasi sep#t#ng3sep#t#ng dan &ungsi penginterp#lasi !ang berpadanan din!atakan #leh ( ) x I .

Cungsi tersebut bersesuaian dengan data/ tetapi mempun!ai kekurangan bah5a gra&ikn!a tidak

mulus. 1eban!akan data akan me5akili suatu gra&ik !ang mulus/ !akni tanpa p#$#k3p#$#k dari

( ) xl ( = .

*7


19/26

Pilihan interp#lasi berikutn!a adalah menggunakan interpolasi polinom. Terdapat tu$uh titik

data/ sehingga mempertimbangkan p#lin#m penginterp#lasi dera$at enam ( ) x P = . @ra&ikn!a

diperlihatkan pada )ambar 4.=. perhatikan perubahan pada skala tegak/ gra&ik ini sangat berlainan

dari gra&ik ( ) x I . alaupun gra&ikn!a mulus namun terlalu beris#lasi diantara titik3titik simpul

interp#lasi. 1#mentar ini memberikan praduga bah5a sebenarn!a kita menginginkan suatu kur%a

mulus !ang tidak men!impang terlalu $auh dari gra&ik ( ) xl ( = .

*6


20/26

Pilihan ketiga adalah menghubungkan titik data dengan tabel dengan menggunakan

serangkaian p#lin#m penginterp#lasi kuadrat. Pada selang + K x K 4 kita n!atakan &ungsi ini

memakai k ( x dan kita berikan gra&ikn!a pada )ambar 4.8.

Selang ,+.4- dibagi atas selang3selang bagian !ang memuat setiap tiga titik simpul/ !akni

selang ,+.)-/ ,).0-/ dan ,0.4-/ k ( x berupa p#lin#m kuadrat !ang menginterp#lasikan data pada

selang bagian tersebut. @ra&ik k ( x nampak agak lebih baik bila dibanding dengan ( ) x I ataupun

( ) x P = . Namun masih terdapat masalah di titik )= x dan 0= x / tampak gra&ik mempun!ai sudut M/

turunan k* ( x tidak k#ntinu pada titik3titik !ang demikian. 1ita bermaksud men2ari &ungsi

penginterp#lasi ini dapat 2ukup lengkap/ misaln!a dengan pengintegralan numerik data tersebut.

)+


21/26

Interpolasi $pline

ntuk men$elaskan masalah Spline lebih mendalam/ andaikan diberikan n titik data

( )ii ( x / untuk kemudahan/ anggap

n x x x


22/26

1ita men!atakan ( ) x s dalam nilai3nilai i + !ang tidak diketahui/ kemudian kita akan

menghasilkan suatu sistem persamaan linier !ang dapat digunakan menghitung nilai3nilai i +

.

1arena ( ) x s berupa persamaan kubik pada tiap selang j j ( x /*− maka &ungsi ( ) x s NN akan linier

pada selang tersebut. Suatu &ungsi linier ditentukan #leh dua titik dan kita gunakan

( ( j j j j

+ x s + x s

== −− P/NN

** ,4.06-1emudian

( )*

**P

−

−−

−

−+−=

j j

j j j j

x x

+ x x + x x x s

untuk j j x x x ≤≤−* ,4.4+-

Sekarang kita membentuk anti turunan !ang kedua dari ( ) x s NN pada(

j j ( x /*− dan menerapkan

k#ndisi penginterp#lasi

j j j j ( x s ( x s == −− /** ,4.4*-

Setelah melalui serangkaian manipulasi dan pen!usunan ini menghasilkan p#lin#m kubik

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )[ ] j j j j j j j j

j j

j j j j

j j

j j j j

x x x + x x + x x x x

x x

( x x ( x x

x x

+ x x + x x x s

≤≤−+−−−

−

−+−+

−

−+−=

−−−−−

−

−−

−

−−

*****

*

**

*

0

**

0

untuk =

*

=

,4.4)-

Dapat diperiksa langsung bah5a turunan kedua rumus ini menghasilkan ,4.4+- dengan

menggunakan pen!ulihan (substitusi langsung ,4.4)- memenuhi k#ndisi penginterp#lasi ,4.4*-.

Persamaan ,4.4)- diterapkan pada tiap selang !ang bertetangga ( j j ( x /*− dan ( */ + j j ( x akan

bersesuaian pad titik bersamaa n!a j x x =

karena k#ndisi penginterp#lasi j j ( x s =

!ang

sesuai dengan de&inisi. Ini memba5akan bah5a ( ) x s akan k#ntinu pada seluruh pada seluruh

selang ,a/b-. Dengan argumentasi !ang serupa/ rumus ,4.0=- untuk ( ) x s NN memba5akan bah5a

ia k#ntinu pada ,a/b-

ntuk me!akinkan kek#ntinuan( ) x sN

pada ,a/b-/ rumus3rumus untuk( ) x sN

pada

( j j ( x /*−

dan

*/ + j j ( x dis!aratkan untuk memberikan nilai !ang sama pada titik bersaman!a j x x =

untuk

*//4/0/) −= n j . Setelah disederhanakan akan menghasilkan sistem persamaan linier

*//4/0/)untuk

=0= *

*

*

*

*

***

*

*

−=

−

−−

−

−=

−+

−+

−

−

−

+

++

+−+−

−

n j

x x

( (

x x

( ( +

x x +

x x +

x x

j j

j j

j j

j j

j

j j

j

j j

j

j j

,4.40-

))


23/26

1e ( ))−n persamaan ini bersama dengan asumsi () sebelumn!a/

+* == n + + ,4.44-

"enghasilkan nilai3nilai n + + + + //// 0)* dan selan$utn!a &ungsi penginterp#lasi ( ) x s .

Sistem linier ,4.40- mempun!ai matriks k#e&isien tridiag#nal/ dan mempun!ai met#de khusus

untuk men!elesaikann!a.

Contoh -

>itung spline kubik alamiah !ang menginterp#lasi data

( )

4

*.4/

0

*.0/

)

*.)/*.*

Penyelesaian :

'an!akn!a titik adalah n : 4 dan** =− − j j x x / sehingga dengan persamaan ,4.40- men$adi

0

*

=

*

0

)

=

*0) =++ + + + t

*)

*

=

*

0

)

=

*40) =++ + + +

'ersama3sama dengan ,4.44- akan menghasilkan

+B)

*0* == + +

Dengan mensubstitusi ke persamaan ,4.4)- diper#leh

( )

≤≤+−

≤≤+−+−

≤≤−−−

=

40untuk *)

8

*)

*

0)untuk =

*8

0

8

4

0

*)

*

)*untuk 0

)

0

*

4

*

*)

*

)0

)0

x x

x x x x

x x x x

x s

Contoh : 1+

>itunglah spline kubik alamiah !ang menginterp#lasi data dalam tabel 4.=*

0awab :

1arena terdapat

8=ntitik/ sistem persamaan linier ,4.40- akan mengandung persamaan.

@ra&ik &ungsi ( ) x s !ang dihasilkan diberikan pada )ambar 4.7 dan umumn!a agak serupa

dengan gra&ik ( ) xk pada )ambar 4.8/ tetapi dengan ( ) x s gra&ik tidak lagi memuat p#$#k3p#$#k

atau perubahan kemiringan !ang tidak k#ntinu seperti pada titik simpul )= x dan 0= x .

Tampak gra&ik ( ) x s berupa &ungsi penginterp#lasi !ang lebih baik dibandingkan dengan ( ) xk .

)0


24/26

)4


25/26

$L*$L LTIN 4

Dalam s#al * H 4/ hitung interp#lasi kuadrat dari

*. ( )6.+ f $ika diketahui ( ) ( ) 74*.++.*B486.+.+ == f f dan ( ) 6+6.++.) = f

2. ( )7.+ f dari nilai3nilai !ang diberikan dalam s#al n#m#r *

0. ( )0.+Sinh $ika diketahui ( ) )*.+.+Sinh −=− / ( ) ++Sinh = / ( ) *8.**Sinh =

4. ( )+*.* f dan ( )+0.* f dari ( ) +++.*++.* = f / ( ) 676.++).* = f / ( ) 687.++4.* = f

5. arilah ( ).= f dari ( ) *+=.++.= = f / ( ) 0++*.++.8 = f / ( ) )==0.+.8 = f / ( ) )40=.+8.8 = f memakai

interp#lasi kubik.

6. Dengan memakai nilai3nilai dalam tabel berikut/ 2arilah ( ))=.+sin memakai interp#lasi linier dan

kuadrat. 'erapa angka dibelakang k#ma !ang eksakQ

(sin (+.)= : +.)8+7 eksak sampai desimal

x +.+ +.) +.4 +.= +.7 *.+

( ) xsin +.+++++ +.*67=8 +.0764) +.=4=4 +.8*80= +.74*48

7. >itung ( ))=.+sin memakai (*0 dengan 0=n dan 4=n . 'erapa angka desimal !ang eksakQ

8. Terapkan rumus interp#lasi beda mundur ,4.)6-

a. Dengan *=n

b. Dengan )=n

ntuk mendapatkan ( ))=.+sin . Amati bah5a dalam kedua kasus tersebut/ dalam kedua kasus

tersebut/ dua angka desimal !ang pertama akan eksak. 1arenan!a/ hasil dalam (b lebih buruk

daripada !ang dalam s#al =. 1enapaQ

9. Dengan memakai nilai3nilai di ba5ah/ 2ari( ) ( ) ( ) x P x P x P 0)* // untuk +.)= x dan amati bagaimana

ke2ermatan bertambah. ( 4087).*+.) = sampai = desimal x ).+ ).* ).) ).0 ).4

x *.4*4)*4 *.446*07 *.470)4+ *.*=8 *.46*60

*+. Perhatikan tiga pasang data ( ) ( ) ( )[ ].)*.**.+

a. arilah &ungsi penginterp#lasi linier sep#t#ng3sep#t#ng untuk data tersebut.

b. arilah p#lin#m penginterp#lasi kuadratc. arilah spline kubik alamiah !ang menginterp#lasi data tersebut.

Dalam ketiga kasus tersebut/ gambarkan gra&ik &ungsi penginterp#lasi untuk )+ ≤≤ x

**. >itung suatu tabel beda dari ( ) 0 x x f = untuk //*/+ = x

Pilih)+ = x dan tuliskan semua bilangan !ang ter$adi dalam bentuk n#tasi

a. ntuk beda pusat

)


26/26

Bab IV Interpolasi

Documents

Transcript of Bab IV Interpolasi