Post on 30-Jan-2018
. . . . . .
Iskazna logika 1
Matematicka logika u racunarstvu
Department of Mathematics and Informatics,Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia
oktobar 2012
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Iskazi, istinitost, veznici
• Intuitivno, iskaz je recenica koja je ima tacno jednu jednuistinitosnu vredost: ” tacno” ili ”netacno”.
• Iskaze cemo obelezavati slovima, recimo p, q, r, . . . . Umesto”iskaz koji je obelezen slovom p”, mi cemo krace reci ”iskaz p”.
• Ako iskaz p ima istinitosnu vrednost ”tacan”, onda kazemo i daje ”iskaz p tacan” (i analogno za istinitosnu vrednost ”netacan”).
• Logicki veznici sluze da od polaznih iskaza dobijemo slozenijeiskaze.
• Logicki veznici koje cemo ovde razmatrati su: ”i”, ”ili”,”ako...onda”, ”ako i samo ako” (binarni veznici), i ”nije”(unarni veznik):
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Iskazi, istinitost, veznici
• Intuitivno, iskaz je recenica koja je ima tacno jednu jednuistinitosnu vredost: ” tacno” ili ”netacno”.
• Iskaze cemo obelezavati slovima, recimo p, q, r, . . . . Umesto”iskaz koji je obelezen slovom p”, mi cemo krace reci ”iskaz p”.
• Ako iskaz p ima istinitosnu vrednost ”tacan”, onda kazemo i daje ”iskaz p tacan” (i analogno za istinitosnu vrednost ”netacan”).
• Logicki veznici sluze da od polaznih iskaza dobijemo slozenijeiskaze.
• Logicki veznici koje cemo ovde razmatrati su: ”i”, ”ili”,”ako...onda”, ”ako i samo ako” (binarni veznici), i ”nije”(unarni veznik):
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Iskazi, istinitost, veznici
• Intuitivno, iskaz je recenica koja je ima tacno jednu jednuistinitosnu vredost: ” tacno” ili ”netacno”.
• Iskaze cemo obelezavati slovima, recimo p, q, r, . . . . Umesto”iskaz koji je obelezen slovom p”, mi cemo krace reci ”iskaz p”.
• Ako iskaz p ima istinitosnu vrednost ”tacan”, onda kazemo i daje ”iskaz p tacan” (i analogno za istinitosnu vrednost ”netacan”).
• Logicki veznici sluze da od polaznih iskaza dobijemo slozenijeiskaze.
• Logicki veznici koje cemo ovde razmatrati su: ”i”, ”ili”,”ako...onda”, ”ako i samo ako” (binarni veznici), i ”nije”(unarni veznik):
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Iskazi, istinitost, veznici
• Intuitivno, iskaz je recenica koja je ima tacno jednu jednuistinitosnu vredost: ” tacno” ili ”netacno”.
• Iskaze cemo obelezavati slovima, recimo p, q, r, . . . . Umesto”iskaz koji je obelezen slovom p”, mi cemo krace reci ”iskaz p”.
• Ako iskaz p ima istinitosnu vrednost ”tacan”, onda kazemo i daje ”iskaz p tacan” (i analogno za istinitosnu vrednost ”netacan”).
• Logicki veznici sluze da od polaznih iskaza dobijemo slozenijeiskaze.
• Logicki veznici koje cemo ovde razmatrati su: ”i”, ”ili”,”ako...onda”, ”ako i samo ako” (binarni veznici), i ”nije”(unarni veznik):
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Iskazi, istinitost, veznici
• Intuitivno, iskaz je recenica koja je ima tacno jednu jednuistinitosnu vredost: ” tacno” ili ”netacno”.
• Iskaze cemo obelezavati slovima, recimo p, q, r, . . . . Umesto”iskaz koji je obelezen slovom p”, mi cemo krace reci ”iskaz p”.
• Ako iskaz p ima istinitosnu vrednost ”tacan”, onda kazemo i daje ”iskaz p tacan” (i analogno za istinitosnu vrednost ”netacan”).
• Logicki veznici sluze da od polaznih iskaza dobijemo slozenijeiskaze.
• Logicki veznici koje cemo ovde razmatrati su: ”i”, ”ili”,”ako...onda”, ”ako i samo ako” (binarni veznici), i ”nije”(unarni veznik):
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Slozeni iskazi
• konjunkcija iskaza p i q je iskaz ”p i q”,
• disjunkcija iskaza p i q je iskaz :”p ili q”,• implikacija iskaza p i q je iskaz :” ako p onda q”,• ekvivalencija iskaza p i q je iskaz :” p ako i samo ako q”,• negacija iskaza p je iskaz :” nije p”.
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Slozeni iskazi
• konjunkcija iskaza p i q je iskaz ”p i q”,• disjunkcija iskaza p i q je iskaz :”p ili q”,
• implikacija iskaza p i q je iskaz :” ako p onda q”,• ekvivalencija iskaza p i q je iskaz :” p ako i samo ako q”,• negacija iskaza p je iskaz :” nije p”.
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Slozeni iskazi
• konjunkcija iskaza p i q je iskaz ”p i q”,• disjunkcija iskaza p i q je iskaz :”p ili q”,• implikacija iskaza p i q je iskaz :” ako p onda q”,
• ekvivalencija iskaza p i q je iskaz :” p ako i samo ako q”,• negacija iskaza p je iskaz :” nije p”.
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Slozeni iskazi
• konjunkcija iskaza p i q je iskaz ”p i q”,• disjunkcija iskaza p i q je iskaz :”p ili q”,• implikacija iskaza p i q je iskaz :” ako p onda q”,• ekvivalencija iskaza p i q je iskaz :” p ako i samo ako q”,
• negacija iskaza p je iskaz :” nije p”.
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Slozeni iskazi
• konjunkcija iskaza p i q je iskaz ”p i q”,• disjunkcija iskaza p i q je iskaz :”p ili q”,• implikacija iskaza p i q je iskaz :” ako p onda q”,• ekvivalencija iskaza p i q je iskaz :” p ako i samo ako q”,• negacija iskaza p je iskaz :” nije p”.
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Istinitosna vrednost slozenog iskaza
Istinitosna vrednost slozenog iskaza zavisi od istinitosnih vrednostiiskaza od kojih se taj iskaz sastoji, i to na sledeci nacin:• iskaz ”p i q”je tacan ako i samo ako su i p i q tacni,• iskaz ”p ili q” je netacan ako i samo ako su i p i q netacni,• iskaz ” ako p onda q” je netacan ako i samo ako je p tacan a q
netacan,• iskaz ” p ako i samo ako q” je tacan ako i samo ako iskazi p i q
imaju istu istinitosnu vrednost,• iskaz ” nije p” je tacan ako i samo ako je iskaz p netacan.
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Sintaksa iskazne logike
Azbuka iskazne logike se sastoji od sledecih simbola:• skup iskaznih slova S,• simboli logickih operacija: ∧,∨,⇒,⇔,¬,• pomocni znaci: (, ).
Skup iskaznih formula je najmanji skup reci nad azbukom L tako da• Sva iskazna slova su iskazne formule;• Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeci izrazi:
(A ∧ B), (A ∨ B), (A⇒ B), (A⇔ B), (¬A)
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Sintaksa iskazne logike
Azbuka iskazne logike se sastoji od sledecih simbola:• skup iskaznih slova S,• simboli logickih operacija: ∧,∨,⇒,⇔,¬,• pomocni znaci: (, ).
Skup iskaznih formula je najmanji skup reci nad azbukom L tako da• Sva iskazna slova su iskazne formule;• Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeci izrazi:
(A ∧ B), (A ∨ B), (A⇒ B), (A⇔ B), (¬A)
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Indukcija po slozenosti formula
Teorema
Neka je O neki podskup skupa svih iskaznih formula Form tako davaze sledeci uslovi• S ⊆ O,• Ako formule A i B pripadaju skupu O, tada i formule A ∧ B,
A ∨ B, A⇒ B, A⇔ B, ¬A pripadaju skupu O.
Tada je O = Form.
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Iskazna algebra
Iskazna algebra je algebra I = ⟨{⊤,⊥},∧,∨,⇒,⇔,¬⟩, gde suoperacije ∧,∨,⇒,⇔ binarne, a ¬ unarna operacija, definisane svojimCayleyevim tablicama na sledeci nacin:∧ ⊤ ⊥⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊥
∨ ⊤ ⊥⊤ ⊤ ⊤⊥ ⊤ ⊥
⇒ ⊤ ⊥⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊤ ⊤
⇔ ⊤ ⊥⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊤
p ¬p⊤ ⊥⊥ ⊤
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Interpretacija iskazne formule
Valuacija u iskaznoj logici je svako preslikavanje τ : S → {⊤,⊥}.Interpretacija iskaznih formula za datu valuaciju τ jestepreslikavanje vτ : Form→ {⊤,⊥} tako da• ako je p ∈ S iskazno slovo, onda vτ (p) = τ(p),• vτ (A ∧ B) = vτ (A) ∧ vτ (B),• vτ (A ∨ B) = vτ (A) ∨ vτ (B),• vτ (A⇒ B) = vτ (A)⇒ vτ (B),• vτ (A⇔ B) = vτ (A)⇔ vτ (B),• vτ (¬A) = ¬vτ (A).
Za vτ (A) kazemo da je vrednost formule u valuaciji τ (ili uinterpretaciji vτ ). Ukoliko je vτ (A) = ⊤, kazemo da je formula A utoj valuaciji (interpretaciji) tacna, a ako je vτ (A) = ⊥, da je netacna.
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Istinitosna funkcija
Teorema
Vrednost iskazne formule A u nekoj valuaciji zavisi samo odvrednosti onih iskaznih slova koja figurisu u formuli A.
Definicija
Istinitosna funkcija je svaka funkcija f : {⊤,⊥}n → {⊤,⊥}, gden ≥ 1. Ako je A = A(p1, p2, . . . , pn) neka formula, onda istinitosnafunkcija indukovana sa A jeste funkcija fA : {⊤,⊥}n → {⊤,⊥}takva da za sve a1, a2, . . . , an ∈ {⊤,⊥} vazifA(a1, a2, . . . , an) = vτ (A), gde je τ valuacija u kojoj je τ(pi) = ai, zasve i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Primer... Test A ...
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Istinitosna funkcija
Teorema
Vrednost iskazne formule A u nekoj valuaciji zavisi samo odvrednosti onih iskaznih slova koja figurisu u formuli A.
Definicija
Istinitosna funkcija je svaka funkcija f : {⊤,⊥}n → {⊤,⊥}, gden ≥ 1. Ako je A = A(p1, p2, . . . , pn) neka formula, onda istinitosnafunkcija indukovana sa A jeste funkcija fA : {⊤,⊥}n → {⊤,⊥}takva da za sve a1, a2, . . . , an ∈ {⊤,⊥} vazifA(a1, a2, . . . , an) = vτ (A), gde je τ valuacija u kojoj je τ(pi) = ai, zasve i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Primer... Test A ...
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Vrste iskaznih formula
Definicija
Kazemo da je iskazna formula A• zadovoljiva ako postoji valuacija u kojoj je vrednost te formule
tacna,• oboriva ako postoji valuacija u kojoj je vrednost te formule
netacna,• tautologija ili valjana formula je tacna za sve valuacije,• kontradikcija ako je njena vrednost netacna za sve valuacije.
Test A...
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
1. ¬¬p⇔ p Zakon dvojne negacije2. p ∨ ¬p Tertium non datur3. ¬(p ∧ ¬p) Zakon neprotivrecnosti4. (p ∧ (p⇒ q))⇒ q Modus Ponens5. ((p⇒ q) ∧ ¬q)⇒ ¬p Modus Tollens6. (p⇒ q)⇒ (¬q⇒ ¬p) Kontrapozicija7. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q De Morganov zakon za ∧8. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q De Morganov zakon za ∨9. ((p⇒ q) ∧ (q⇒ r))⇒ (p⇒ r) Zakon silogizma
10. (¬p⇒ (q ∧ ¬q))⇒ p Reductio ad absurdum11. ¬p⇒ (p⇒ q) Ex falso quolibet12. p⇒ (q⇒ p) Verum ex quolibet13. ((p⇒ r) ∧ (q⇒ r))⇒ ((p ∨ q)⇒ r) Zakon nabrajanja14. (p⇒ q)⇒ ((q⇒ r)⇒ (p⇒ r)) Tranzitivnost za⇒15. ((p⇔ q) ∧ (q⇔ r))⇒ (p⇔ r) Tranzitivnost za⇔16. ((p⇒ q)⇒ p)⇒ p Pierceov zakon
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Zamena, logicka ekvivalentnost
Neka je A = A = A(p1, p2, . . . , pn), i neka su B1,B2, . . . ,Bn nekeformule. Sa A(B1,B2, . . . ,Bn) oznacimo formulu koja nastajesimultanom zamenom formule Bi umesto iskaznog slova pi
(i ∈ {1, 2, . . . , n}).
Teorema
Neka je A = A = A(p1, p2, . . . , pn) neka tautologija. Tada zaproizvoljne formule B1,B2, . . . ,Bn vazi da je A(B1,B2, . . . ,Bn)takodje tautologija.
Definicija
Za dve formule A i B kazemo da su logicki ekvivalentne ako jeformula A⇔ B tautologija. U tom slucaju pisemo A ≡ B.
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Zamena, logicka ekvivalentnost
Neka je A = A = A(p1, p2, . . . , pn), i neka su B1,B2, . . . ,Bn nekeformule. Sa A(B1,B2, . . . ,Bn) oznacimo formulu koja nastajesimultanom zamenom formule Bi umesto iskaznog slova pi
(i ∈ {1, 2, . . . , n}).
Teorema
Neka je A = A = A(p1, p2, . . . , pn) neka tautologija. Tada zaproizvoljne formule B1,B2, . . . ,Bn vazi da je A(B1,B2, . . . ,Bn)takodje tautologija.
Definicija
Za dve formule A i B kazemo da su logicki ekvivalentne ako jeformula A⇔ B tautologija. U tom slucaju pisemo A ≡ B.
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Zamena, logicka ekvivalentnost
Neka je A = A = A(p1, p2, . . . , pn), i neka su B1,B2, . . . ,Bn nekeformule. Sa A(B1,B2, . . . ,Bn) oznacimo formulu koja nastajesimultanom zamenom formule Bi umesto iskaznog slova pi
(i ∈ {1, 2, . . . , n}).
Teorema
Neka je A = A = A(p1, p2, . . . , pn) neka tautologija. Tada zaproizvoljne formule B1,B2, . . . ,Bn vazi da je A(B1,B2, . . . ,Bn)takodje tautologija.
Definicija
Za dve formule A i B kazemo da su logicki ekvivalentne ako jeformula A⇔ B tautologija. U tom slucaju pisemo A ≡ B.
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Najlakse tautologije
1. A ∧ A ≡ A Idempotentnost konjunkcije2. A ∨ A ≡ A Idempotentnost disjunkcije3. A ∧ B ≡ B ∧ A Komutativnost konjunkcije4. A ∨ B ≡ B ∨ A Komutativnost disjunkcije5. A⇔ B ≡ B⇔ A Komutativnost ekvivalencije6. (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C) Asocijativnost konjunkcije7. (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C) Asocijativnost disjunkcije8. (A⇔ B)⇔ C ≡ A⇔ (B⇔ C) Asocijativnost ekvivalencije9. A ∨ (A ∧ B) ≡ A Apsorpcija ∨ prema ∧
10. A ∧ (A ∨ B) ≡ A Apsorpcija ∧ prema ∨11. A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) Distributivnost ∧ prema ∨12. A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) Distributivnost ∨ prema ∧
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Odnos medju veznicima
A⇒ B ≡ ¬A ∨ B A⇒ B ≡ ¬(A ∧ ¬B)A ∨ B ≡ ¬A⇒ B A ∧ B ≡ ¬(A⇒ ¬B)
A ∨ B ≡ ¬(¬A ∧ ¬B) A ∧ B ≡ ¬(¬A ∨ ¬B)A⇔ B ≡ (A⇒ B) ∧ (B⇒ A) A⇔ B ≡ (¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ A)
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Potformule
ekvivalencijska transformacija formula: postupak kada se od jedneformule konstruise lanac ekvivalentnih formula...
Definicija
Neka je F neka formula. Skup potformula formule F definisemo kaonajmanji skup formula koji zadovoljava sledeca dva uslova:• svaka formula je sama sebi potformula;• ako je F jednaka nekoj od formula A ∧ B,A ∨ B,A⇒ B,A⇔ B,
onda je svaka od podformula formula A i svaka potformulaformule B ujedno i potformula od F; ako je F = ¬A, onda jesvaka potformula formule A ujedno i potformula od F.
Neka je A neka formula i C njena potformula. Ako je D neka formulatako da je C ≡ D tada je A ≡ A[C← D].
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Potformule
ekvivalencijska transformacija formula: postupak kada se od jedneformule konstruise lanac ekvivalentnih formula...
Definicija
Neka je F neka formula. Skup potformula formule F definisemo kaonajmanji skup formula koji zadovoljava sledeca dva uslova:• svaka formula je sama sebi potformula;• ako je F jednaka nekoj od formula A ∧ B,A ∨ B,A⇒ B,A⇔ B,
onda je svaka od podformula formula A i svaka potformulaformule B ujedno i potformula od F; ako je F = ¬A, onda jesvaka potformula formule A ujedno i potformula od F.
Neka je A neka formula i C njena potformula. Ako je D neka formulatako da je C ≡ D tada je A ≡ A[C← D].
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Potformule
ekvivalencijska transformacija formula: postupak kada se od jedneformule konstruise lanac ekvivalentnih formula...
Definicija
Neka je F neka formula. Skup potformula formule F definisemo kaonajmanji skup formula koji zadovoljava sledeca dva uslova:• svaka formula je sama sebi potformula;• ako je F jednaka nekoj od formula A ∧ B,A ∨ B,A⇒ B,A⇔ B,
onda je svaka od podformula formula A i svaka potformulaformule B ujedno i potformula od F; ako je F = ¬A, onda jesvaka potformula formule A ujedno i potformula od F.
Neka je A neka formula i C njena potformula. Ako je D neka formulatako da je C ≡ D tada je A ≡ A[C← D].
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Logicke konstante
Prosirena azbuka iskazne logike L′
se dobija dodavanjem dvasimbola logickih konstanti ⊤ i ⊥ standardnoj azbuci L. Skupiskaznih formula Form
′je najmanji skup reci nad azbukom L
′tako da
vazi
..1 Sva iskazna slova i simboli logickih konstanti ⊤ i ⊥ su iskazneformule;
..2 Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeci izrazi:
(A ∧ B), (A ∨ B), (A⇒ B), (A⇔ B), (¬A)
Valuacija τ odnosno odgovarajuca interpretacija vτ iskaznihformula na prosirenoj azbuci se definise na isti nacin kao nastandardnoj azbuci, s tim da za svaku valuaciju τ vazi da jevτ (⊤) = ⊤ i vτ (⊥) = ⊥.
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Logicke konstante
Prosirena azbuka iskazne logike L′
se dobija dodavanjem dvasimbola logickih konstanti ⊤ i ⊥ standardnoj azbuci L. Skupiskaznih formula Form
′je najmanji skup reci nad azbukom L
′tako da
vazi
..1 Sva iskazna slova i simboli logickih konstanti ⊤ i ⊥ su iskazneformule;
..2 Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeci izrazi:
(A ∧ B), (A ∨ B), (A⇒ B), (A⇔ B), (¬A)
Valuacija τ odnosno odgovarajuca interpretacija vτ iskaznihformula na prosirenoj azbuci se definise na isti nacin kao nastandardnoj azbuci, s tim da za svaku valuaciju τ vazi da jevτ (⊤) = ⊤ i vτ (⊥) = ⊥.
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Tautologije sa konstantama
A ∧ ⊤ ≡ A A ∧ ⊥ ≡ ⊥A ∨ ⊤ ≡ ⊤ A ∨ ⊥ ≡ AA⇒ ⊤ ≡ ⊤ A⇒ ⊥ ≡ ¬A⊤ ⇒ A ≡ A ⊥ ⇒ A ≡ ⊤A⇔ ⊤ ≡ A A⇔ ⊥ ≡ ¬AA⇒ A ≡ ⊤ A⇔ A ≡ ⊤A ∧ ¬A ≡ ⊥ A ∨ ¬A ≡ ⊤
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Jedan primer
p q r f⊤ ⊤ ⊤ ⊤⊤ ⊤ ⊥ ⊥⊤ ⊥ ⊤ ⊥⊤ ⊥ ⊥ ⊤⊥ ⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊤ ⊥ ⊤⊥ ⊥ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊥ ⊤
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Disjunktivna normalna forma
Neka istinitosna funkcija f : {⊤,⊥}n → {⊤,⊥} nije kontradikcija(tj. nema stalno vrednost ⊥). Tada za sve x1, . . . , xn ∈ {⊤,⊥} vazi:
f (x1, . . . , xn) =
=∨{x1
a1 ∧ · · · ∧ xnan : ⟨a1, . . . , an⟩ ∈ {⊤,⊥}n, f (a1, . . . , an) = ⊤}
gde je xi⊤ znaci xi, a xi
⊥ znaci ¬xi.
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Konjunktivna normalna forma
Neka istinitosna funkcija f : {⊤,⊥}n → {⊤,⊥} nije tautologija (tj.nema stalno vrednost ⊥). Tada za sve x1, . . . , xn ∈ {⊤,⊥} vazi:
f (x1, . . . , xn) =
=∧{x1
¬a1∨· · ·∨xn¬an : ⟨a1, . . . , an⟩ ∈ {⊤,⊥}n, f (a1, . . . , an) = ⊥}
gde je xi⊤ znaci xi, a xi
⊥ znaci ¬xi.
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Baze iskazne algebre
Kao posledicu dobijamo: Za svaku iskaznu formulu A postoji njojekvivalentna iskazna formula B, koja od logickih veznika ima samo∧,∨,¬ ili ∧,¬ ili ∨,¬ ili⇒,¬.
Definicija
Neka je F neki skup istinitosnih funkcija. Kazemo da je F bazaiskazne algebre I ako se svaka istinitosna funkcija moze dobitikompozicijom funkcija iz skupa F .
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Baze iskazne algebre
Kao posledicu dobijamo: Za svaku iskaznu formulu A postoji njojekvivalentna iskazna formula B, koja od logickih veznika ima samo∧,∨,¬ ili ∧,¬ ili ∨,¬ ili⇒,¬.
Definicija
Neka je F neki skup istinitosnih funkcija. Kazemo da je F bazaiskazne algebre I ako se svaka istinitosna funkcija moze dobitikompozicijom funkcija iz skupa F .
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Jednoelementne baze
Shefferova operacija (ili operacija nand), u oznaci ↑ je binarnaoperacija skupa {⊤,⊥} koja se definise sa
p ↑ q := ¬(p ∧ q).
Lukasiewiczeva operacija (ili operacija nor), u oznaci ↓ je binarnaoperacija skupa {⊤,⊥} koja se definise sa
p ↓ q := ¬(p ∨ q).
Teorema
Jedine binarne operacije skupa {⊤,⊥} koje, svaka za sebe, cinejednoelementnu bazu iskazne algebre jesu Shefferova operacije ↑odnosno Lukasiewiczeva operacija ↓.
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Jednoelementne baze
Shefferova operacija (ili operacija nand), u oznaci ↑ je binarnaoperacija skupa {⊤,⊥} koja se definise sa
p ↑ q := ¬(p ∧ q).
Lukasiewiczeva operacija (ili operacija nor), u oznaci ↓ je binarnaoperacija skupa {⊤,⊥} koja se definise sa
p ↓ q := ¬(p ∨ q).
Teorema
Jedine binarne operacije skupa {⊤,⊥} koje, svaka za sebe, cinejednoelementnu bazu iskazne algebre jesu Shefferova operacije ↑odnosno Lukasiewiczeva operacija ↓.
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1
. . . . . .
Jednoelementne baze
Shefferova operacija (ili operacija nand), u oznaci ↑ je binarnaoperacija skupa {⊤,⊥} koja se definise sa
p ↑ q := ¬(p ∧ q).
Lukasiewiczeva operacija (ili operacija nor), u oznaci ↓ je binarnaoperacija skupa {⊤,⊥} koja se definise sa
p ↓ q := ¬(p ∨ q).
Teorema
Jedine binarne operacije skupa {⊤,⊥} koje, svaka za sebe, cinejednoelementnu bazu iskazne algebre jesu Shefferova operacije ↑odnosno Lukasiewiczeva operacija ↓.
MatLogRac 2012 University of Novi Sad
Iskazna logika 1