Iskazna logika 1 - people.dmi.uns.ac.rspeople.dmi.uns.ac.rs/~rozi/MatLogRac...

. . . . . .

Iskazna logika 1

Matematicka logika u racunarstvu

Department of Mathematics and Informatics,Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia

oktobar 2012

MatLogRac 2012 University of Novi Sad

Iskazna logika 1

. . . . . .

Iskazi, istinitost, veznici

• Intuitivno, iskaz je recenica koja je ima tacno jednu jednuistinitosnu vredost: ” tacno” ili ”netacno”.

• Iskaze cemo obelezavati slovima, recimo p, q, r, . . . . Umesto”iskaz koji je obelezen slovom p”, mi cemo krace reci ”iskaz p”.

• Ako iskaz p ima istinitosnu vrednost ”tacan”, onda kazemo i daje ”iskaz p tacan” (i analogno za istinitosnu vrednost ”netacan”).

• Logicki veznici sluze da od polaznih iskaza dobijemo slozenijeiskaze.

• Logicki veznici koje cemo ovde razmatrati su: ”i”, ”ili”,”ako...onda”, ”ako i samo ako” (binarni veznici), i ”nije”(unarni veznik):

Iskazna logika 1

. . . . . .

Iskazna logika 1

. . . . . .

Iskazna logika 1

. . . . . .

Iskazna logika 1

. . . . . .

Iskazna logika 1

. . . . . .

Slozeni iskazi

• konjunkcija iskaza p i q je iskaz ”p i q”,

• disjunkcija iskaza p i q je iskaz :”p ili q”,• implikacija iskaza p i q je iskaz :” ako p onda q”,• ekvivalencija iskaza p i q je iskaz :” p ako i samo ako q”,• negacija iskaza p je iskaz :” nije p”.

Iskazna logika 1

. . . . . .

Slozeni iskazi

• konjunkcija iskaza p i q je iskaz ”p i q”,• disjunkcija iskaza p i q je iskaz :”p ili q”,

• implikacija iskaza p i q je iskaz :” ako p onda q”,• ekvivalencija iskaza p i q je iskaz :” p ako i samo ako q”,• negacija iskaza p je iskaz :” nije p”.

Iskazna logika 1

. . . . . .

Slozeni iskazi

• konjunkcija iskaza p i q je iskaz ”p i q”,• disjunkcija iskaza p i q je iskaz :”p ili q”,• implikacija iskaza p i q je iskaz :” ako p onda q”,

• ekvivalencija iskaza p i q je iskaz :” p ako i samo ako q”,• negacija iskaza p je iskaz :” nije p”.

Iskazna logika 1

. . . . . .

Slozeni iskazi

• konjunkcija iskaza p i q je iskaz ”p i q”,• disjunkcija iskaza p i q je iskaz :”p ili q”,• implikacija iskaza p i q je iskaz :” ako p onda q”,• ekvivalencija iskaza p i q je iskaz :” p ako i samo ako q”,

• negacija iskaza p je iskaz :” nije p”.

Iskazna logika 1

. . . . . .

Slozeni iskazi

• konjunkcija iskaza p i q je iskaz ”p i q”,• disjunkcija iskaza p i q je iskaz :”p ili q”,• implikacija iskaza p i q je iskaz :” ako p onda q”,• ekvivalencija iskaza p i q je iskaz :” p ako i samo ako q”,• negacija iskaza p je iskaz :” nije p”.

Iskazna logika 1

. . . . . .

Istinitosna vrednost slozenog iskaza

Istinitosna vrednost slozenog iskaza zavisi od istinitosnih vrednostiiskaza od kojih se taj iskaz sastoji, i to na sledeci nacin:• iskaz ”p i q”je tacan ako i samo ako su i p i q tacni,• iskaz ”p ili q” je netacan ako i samo ako su i p i q netacni,• iskaz ” ako p onda q” je netacan ako i samo ako je p tacan a q

netacan,• iskaz ” p ako i samo ako q” je tacan ako i samo ako iskazi p i q

imaju istu istinitosnu vrednost,• iskaz ” nije p” je tacan ako i samo ako je iskaz p netacan.

Iskazna logika 1

. . . . . .

Sintaksa iskazne logike

Azbuka iskazne logike se sastoji od sledecih simbola:• skup iskaznih slova S,• simboli logickih operacija: ∧,∨,⇒,⇔,¬,• pomocni znaci: (, ).

Skup iskaznih formula je najmanji skup reci nad azbukom L tako da• Sva iskazna slova su iskazne formule;• Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeci izrazi:

(A ∧ B), (A ∨ B), (A⇒ B), (A⇔ B), (¬A)

Iskazna logika 1

. . . . . .

Sintaksa iskazne logike

Azbuka iskazne logike se sastoji od sledecih simbola:• skup iskaznih slova S,• simboli logickih operacija: ∧,∨,⇒,⇔,¬,• pomocni znaci: (, ).

Skup iskaznih formula je najmanji skup reci nad azbukom L tako da• Sva iskazna slova su iskazne formule;• Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeci izrazi:

(A ∧ B), (A ∨ B), (A⇒ B), (A⇔ B), (¬A)

Iskazna logika 1

. . . . . .

Indukcija po slozenosti formula

Teorema

Neka je O neki podskup skupa svih iskaznih formula Form tako davaze sledeci uslovi• S ⊆ O,• Ako formule A i B pripadaju skupu O, tada i formule A ∧ B,

A ∨ B, A⇒ B, A⇔ B, ¬A pripadaju skupu O.

Tada je O = Form.

Iskazna logika 1

. . . . . .

Iskazna algebra

Iskazna algebra je algebra I = ⟨{⊤,⊥},∧,∨,⇒,⇔,¬⟩, gde suoperacije ∧,∨,⇒,⇔ binarne, a ¬ unarna operacija, definisane svojimCayleyevim tablicama na sledeci nacin:∧ ⊤ ⊥⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊥

∨ ⊤ ⊥⊤ ⊤ ⊤⊥ ⊤ ⊥

⇒ ⊤ ⊥⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊤ ⊤

⇔ ⊤ ⊥⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊤

p ¬p⊤ ⊥⊥ ⊤

Iskazna logika 1

. . . . . .

Interpretacija iskazne formule

Valuacija u iskaznoj logici je svako preslikavanje τ : S → {⊤,⊥}.Interpretacija iskaznih formula za datu valuaciju τ jestepreslikavanje vτ : Form→ {⊤,⊥} tako da• ako je p ∈ S iskazno slovo, onda vτ (p) = τ(p),• vτ (A ∧ B) = vτ (A) ∧ vτ (B),• vτ (A ∨ B) = vτ (A) ∨ vτ (B),• vτ (A⇒ B) = vτ (A)⇒ vτ (B),• vτ (A⇔ B) = vτ (A)⇔ vτ (B),• vτ (¬A) = ¬vτ (A).

Za vτ (A) kazemo da je vrednost formule u valuaciji τ (ili uinterpretaciji vτ ). Ukoliko je vτ (A) = ⊤, kazemo da je formula A utoj valuaciji (interpretaciji) tacna, a ako je vτ (A) = ⊥, da je netacna.

Iskazna logika 1

. . . . . .

Istinitosna funkcija

Teorema

Vrednost iskazne formule A u nekoj valuaciji zavisi samo odvrednosti onih iskaznih slova koja figurisu u formuli A.

Definicija

Istinitosna funkcija je svaka funkcija f : {⊤,⊥}n → {⊤,⊥}, gden ≥ 1. Ako je A = A(p1, p2, . . . , pn) neka formula, onda istinitosnafunkcija indukovana sa A jeste funkcija fA : {⊤,⊥}n → {⊤,⊥}takva da za sve a1, a2, . . . , an ∈ {⊤,⊥} vazifA(a1, a2, . . . , an) = vτ (A), gde je τ valuacija u kojoj je τ(pi) = ai, zasve i ∈ {1, 2, . . . , n}.

Primer... Test A ...

Iskazna logika 1

. . . . . .

Istinitosna funkcija

Teorema

Vrednost iskazne formule A u nekoj valuaciji zavisi samo odvrednosti onih iskaznih slova koja figurisu u formuli A.

Definicija

Istinitosna funkcija je svaka funkcija f : {⊤,⊥}n → {⊤,⊥}, gden ≥ 1. Ako je A = A(p1, p2, . . . , pn) neka formula, onda istinitosnafunkcija indukovana sa A jeste funkcija fA : {⊤,⊥}n → {⊤,⊥}takva da za sve a1, a2, . . . , an ∈ {⊤,⊥} vazifA(a1, a2, . . . , an) = vτ (A), gde je τ valuacija u kojoj je τ(pi) = ai, zasve i ∈ {1, 2, . . . , n}.

Primer... Test A ...

Iskazna logika 1

. . . . . .

Vrste iskaznih formula

Definicija

Kazemo da je iskazna formula A• zadovoljiva ako postoji valuacija u kojoj je vrednost te formule

tacna,• oboriva ako postoji valuacija u kojoj je vrednost te formule

netacna,• tautologija ili valjana formula je tacna za sve valuacije,• kontradikcija ako je njena vrednost netacna za sve valuacije.

Test A...

Iskazna logika 1

. . . . . .

1. ¬¬p⇔ p Zakon dvojne negacije2. p ∨ ¬p Tertium non datur3. ¬(p ∧ ¬p) Zakon neprotivrecnosti4. (p ∧ (p⇒ q))⇒ q Modus Ponens5. ((p⇒ q) ∧ ¬q)⇒ ¬p Modus Tollens6. (p⇒ q)⇒ (¬q⇒ ¬p) Kontrapozicija7. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q De Morganov zakon za ∧8. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q De Morganov zakon za ∨9. ((p⇒ q) ∧ (q⇒ r))⇒ (p⇒ r) Zakon silogizma

10. (¬p⇒ (q ∧ ¬q))⇒ p Reductio ad absurdum11. ¬p⇒ (p⇒ q) Ex falso quolibet12. p⇒ (q⇒ p) Verum ex quolibet13. ((p⇒ r) ∧ (q⇒ r))⇒ ((p ∨ q)⇒ r) Zakon nabrajanja14. (p⇒ q)⇒ ((q⇒ r)⇒ (p⇒ r)) Tranzitivnost za⇒15. ((p⇔ q) ∧ (q⇔ r))⇒ (p⇔ r) Tranzitivnost za⇔16. ((p⇒ q)⇒ p)⇒ p Pierceov zakon

Iskazna logika 1

. . . . . .

Zamena, logicka ekvivalentnost

Neka je A = A = A(p1, p2, . . . , pn), i neka su B1,B2, . . . ,Bn nekeformule. Sa A(B1,B2, . . . ,Bn) oznacimo formulu koja nastajesimultanom zamenom formule Bi umesto iskaznog slova pi

(i ∈ {1, 2, . . . , n}).

Teorema

Neka je A = A = A(p1, p2, . . . , pn) neka tautologija. Tada zaproizvoljne formule B1,B2, . . . ,Bn vazi da je A(B1,B2, . . . ,Bn)takodje tautologija.

Definicija

Za dve formule A i B kazemo da su logicki ekvivalentne ako jeformula A⇔ B tautologija. U tom slucaju pisemo A ≡ B.

Iskazna logika 1

. . . . . .

(i ∈ {1, 2, . . . , n}).

Teorema

Definicija

Iskazna logika 1

. . . . . .

(i ∈ {1, 2, . . . , n}).

Teorema

Definicija

Iskazna logika 1

. . . . . .

Najlakse tautologije

1. A ∧ A ≡ A Idempotentnost konjunkcije2. A ∨ A ≡ A Idempotentnost disjunkcije3. A ∧ B ≡ B ∧ A Komutativnost konjunkcije4. A ∨ B ≡ B ∨ A Komutativnost disjunkcije5. A⇔ B ≡ B⇔ A Komutativnost ekvivalencije6. (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C) Asocijativnost konjunkcije7. (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C) Asocijativnost disjunkcije8. (A⇔ B)⇔ C ≡ A⇔ (B⇔ C) Asocijativnost ekvivalencije9. A ∨ (A ∧ B) ≡ A Apsorpcija ∨ prema ∧

10. A ∧ (A ∨ B) ≡ A Apsorpcija ∧ prema ∨11. A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) Distributivnost ∧ prema ∨12. A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) Distributivnost ∨ prema ∧

Iskazna logika 1

. . . . . .

Odnos medju veznicima

A⇒ B ≡ ¬A ∨ B A⇒ B ≡ ¬(A ∧ ¬B)A ∨ B ≡ ¬A⇒ B A ∧ B ≡ ¬(A⇒ ¬B)

A ∨ B ≡ ¬(¬A ∧ ¬B) A ∧ B ≡ ¬(¬A ∨ ¬B)A⇔ B ≡ (A⇒ B) ∧ (B⇒ A) A⇔ B ≡ (¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ A)

Iskazna logika 1

. . . . . .

Potformule

ekvivalencijska transformacija formula: postupak kada se od jedneformule konstruise lanac ekvivalentnih formula...

Definicija

Neka je F neka formula. Skup potformula formule F definisemo kaonajmanji skup formula koji zadovoljava sledeca dva uslova:• svaka formula je sama sebi potformula;• ako je F jednaka nekoj od formula A ∧ B,A ∨ B,A⇒ B,A⇔ B,

onda je svaka od podformula formula A i svaka potformulaformule B ujedno i potformula od F; ako je F = ¬A, onda jesvaka potformula formule A ujedno i potformula od F.

Neka je A neka formula i C njena potformula. Ako je D neka formulatako da je C ≡ D tada je A ≡ A[C← D].

Iskazna logika 1

. . . . . .

Potformule

Definicija

Iskazna logika 1

. . . . . .

Potformule

Definicija

Iskazna logika 1

. . . . . .

Logicke konstante

Prosirena azbuka iskazne logike L′

se dobija dodavanjem dvasimbola logickih konstanti ⊤ i ⊥ standardnoj azbuci L. Skupiskaznih formula Form

′je najmanji skup reci nad azbukom L

′tako da

..1 Sva iskazna slova i simboli logickih konstanti ⊤ i ⊥ su iskazneformule;

..2 Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeci izrazi:

(A ∧ B), (A ∨ B), (A⇒ B), (A⇔ B), (¬A)

Valuacija τ odnosno odgovarajuca interpretacija vτ iskaznihformula na prosirenoj azbuci se definise na isti nacin kao nastandardnoj azbuci, s tim da za svaku valuaciju τ vazi da jevτ (⊤) = ⊤ i vτ (⊥) = ⊥.

Iskazna logika 1

. . . . . .

Logicke konstante

Prosirena azbuka iskazne logike L′

se dobija dodavanjem dvasimbola logickih konstanti ⊤ i ⊥ standardnoj azbuci L. Skupiskaznih formula Form

′je najmanji skup reci nad azbukom L

′tako da

..1 Sva iskazna slova i simboli logickih konstanti ⊤ i ⊥ su iskazneformule;

..2 Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeci izrazi:

(A ∧ B), (A ∨ B), (A⇒ B), (A⇔ B), (¬A)

Valuacija τ odnosno odgovarajuca interpretacija vτ iskaznihformula na prosirenoj azbuci se definise na isti nacin kao nastandardnoj azbuci, s tim da za svaku valuaciju τ vazi da jevτ (⊤) = ⊤ i vτ (⊥) = ⊥.

Iskazna logika 1

. . . . . .

Tautologije sa konstantama

A ∧ ⊤ ≡ A A ∧ ⊥ ≡ ⊥A ∨ ⊤ ≡ ⊤ A ∨ ⊥ ≡ AA⇒ ⊤ ≡ ⊤ A⇒ ⊥ ≡ ¬A⊤ ⇒ A ≡ A ⊥ ⇒ A ≡ ⊤A⇔ ⊤ ≡ A A⇔ ⊥ ≡ ¬AA⇒ A ≡ ⊤ A⇔ A ≡ ⊤A ∧ ¬A ≡ ⊥ A ∨ ¬A ≡ ⊤

Iskazna logika 1

. . . . . .

Jedan primer

p q r f⊤ ⊤ ⊤ ⊤⊤ ⊤ ⊥ ⊥⊤ ⊥ ⊤ ⊥⊤ ⊥ ⊥ ⊤⊥ ⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊤ ⊥ ⊤⊥ ⊥ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊥ ⊤

Iskazna logika 1

. . . . . .

Disjunktivna normalna forma

Neka istinitosna funkcija f : {⊤,⊥}n → {⊤,⊥} nije kontradikcija(tj. nema stalno vrednost ⊥). Tada za sve x1, . . . , xn ∈ {⊤,⊥} vazi:

f (x1, . . . , xn) =

=∨{x1

a1 ∧ · · · ∧ xnan : ⟨a1, . . . , an⟩ ∈ {⊤,⊥}n, f (a1, . . . , an) = ⊤}

gde je xi⊤ znaci xi, a xi

⊥ znaci ¬xi.

Iskazna logika 1

. . . . . .

Konjunktivna normalna forma

Neka istinitosna funkcija f : {⊤,⊥}n → {⊤,⊥} nije tautologija (tj.nema stalno vrednost ⊥). Tada za sve x1, . . . , xn ∈ {⊤,⊥} vazi:

f (x1, . . . , xn) =

=∧{x1

¬a1∨· · ·∨xn¬an : ⟨a1, . . . , an⟩ ∈ {⊤,⊥}n, f (a1, . . . , an) = ⊥}

gde je xi⊤ znaci xi, a xi

⊥ znaci ¬xi.

Iskazna logika 1

. . . . . .

Baze iskazne algebre

Kao posledicu dobijamo: Za svaku iskaznu formulu A postoji njojekvivalentna iskazna formula B, koja od logickih veznika ima samo∧,∨,¬ ili ∧,¬ ili ∨,¬ ili⇒,¬.

Definicija

Neka je F neki skup istinitosnih funkcija. Kazemo da je F bazaiskazne algebre I ako se svaka istinitosna funkcija moze dobitikompozicijom funkcija iz skupa F .

Iskazna logika 1

. . . . . .

Baze iskazne algebre

Kao posledicu dobijamo: Za svaku iskaznu formulu A postoji njojekvivalentna iskazna formula B, koja od logickih veznika ima samo∧,∨,¬ ili ∧,¬ ili ∨,¬ ili⇒,¬.

Definicija

Neka je F neki skup istinitosnih funkcija. Kazemo da je F bazaiskazne algebre I ako se svaka istinitosna funkcija moze dobitikompozicijom funkcija iz skupa F .

Iskazna logika 1

. . . . . .

Jednoelementne baze

Shefferova operacija (ili operacija nand), u oznaci ↑ je binarnaoperacija skupa {⊤,⊥} koja se definise sa

p ↑ q := ¬(p ∧ q).

Lukasiewiczeva operacija (ili operacija nor), u oznaci ↓ je binarnaoperacija skupa {⊤,⊥} koja se definise sa

p ↓ q := ¬(p ∨ q).

Teorema

Jedine binarne operacije skupa {⊤,⊥} koje, svaka za sebe, cinejednoelementnu bazu iskazne algebre jesu Shefferova operacije ↑odnosno Lukasiewiczeva operacija ↓.

Iskazna logika 1

. . . . . .

Jednoelementne baze

p ↑ q := ¬(p ∧ q).

p ↓ q := ¬(p ∨ q).

Teorema

Iskazna logika 1

. . . . . .

Jednoelementne baze

p ↑ q := ¬(p ∧ q).

p ↓ q := ¬(p ∨ q).

Teorema

Iskazna logika 1

Iskazna logika 1 - people.dmi.uns.ac.rspeople.dmi.uns.ac.rs/~rozi/MatLogRac...

Documents

Transcript of Iskazna logika 1 - people.dmi.uns.ac.rspeople.dmi.uns.ac.rs/~rozi/MatLogRac...