Ayrık MatematikTanıtlama

H. Turgut Uyar Aysegul Gencata Yayımlı Emre Harmancı

2001-2013

Lisans

c©2001-2013 T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı

You are free:

to Share – to copy, distribute and transmit the work

to Remix – to adapt the work

Under the following conditions:

Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in anyway that suggests that they endorse you or your use of the work).

Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes.

Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work onlyunder the same or similar license to this one.

Legal code (the full license):http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/

Konular

1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları

2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım

Konular

1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları

2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım

Kaba Kuvvet Yontemi

olası butun durumları teker teker incelemek

Teorem

{2, 4, 6, . . . , 26} kumesinden secilecek her sayı,en fazla 3 tamkarenin toplamı seklinde yazılabilir.

Tanıt.2 = 1+1 10 = 9+1 20 = 16+44 = 4 12 = 4+4+4 22 = 9+9+46 = 4+1+1 14 = 9+4+1 24 = 16+4+48 = 4+4 16 = 16 26 = 25+1

18 = 9+9

Kaba Kuvvet Yontemi

olası butun durumları teker teker incelemek

Teorem

{2, 4, 6, . . . , 26} kumesinden secilecek her sayı,en fazla 3 tamkarenin toplamı seklinde yazılabilir.

Tanıt.2 = 1+1 10 = 9+1 20 = 16+44 = 4 12 = 4+4+4 22 = 9+9+46 = 4+1+1 14 = 9+4+1 24 = 16+4+48 = 4+4 16 = 16 26 = 25+1

18 = 9+9

Kaba Kuvvet Yontemi

olası butun durumları teker teker incelemek

Teorem

{2, 4, 6, . . . , 26} kumesinden secilecek her sayı,en fazla 3 tamkarenin toplamı seklinde yazılabilir.

Tanıt.2 = 1+1 10 = 9+1 20 = 16+44 = 4 12 = 4+4+4 22 = 9+9+46 = 4+1+1 14 = 9+4+1 24 = 16+4+48 = 4+4 16 = 16 26 = 25+1

18 = 9+9

Temel Kurallar

Evrensel Ozellestirme (Universal Specification - US)

∀x p(x) ⇒ p(a)

Evrensel Genellestirme (Universal Generalization - UG)

rasgele secilen bir a icin p(a) ⇒ ∀x p(x)

Temel Kurallar

Evrensel Ozellestirme (Universal Specification - US)

∀x p(x) ⇒ p(a)

Evrensel Genellestirme (Universal Generalization - UG)

rasgele secilen bir a icin p(a) ⇒ ∀x p(x)

Evrensel Ozellestirme Ornegi

Ornek

Butun insanlar olumludur. Sokrates bir insandır.O halde Sokrates olumludur.

U : butun insanlar

p(x): x olumludur

∀x p(x): Butun insanlar olumludur.

a: Sokrates, a ∈ U : Sokrates bir insandır.

o halde, p(a): Sokrates olumludur.

Evrensel Ozellestirme Ornegi

Ornek

Butun insanlar olumludur. Sokrates bir insandır.O halde Sokrates olumludur.

U : butun insanlar

p(x): x olumludur

∀x p(x): Butun insanlar olumludur.

a: Sokrates, a ∈ U : Sokrates bir insandır.

o halde, p(a): Sokrates olumludur.

Evrensel Ozellestirme Ornegi

Ornek

∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)

∴ ¬s(m)

1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A

2. p(m) A

3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1

4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2

5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4

6. ¬s(m) AndE : 5

Evrensel Ozellestirme Ornegi

Ornek

∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)

∴ ¬s(m)

1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A

2. p(m) A

3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1

4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2

5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4

6. ¬s(m) AndE : 5

Evrensel Ozellestirme Ornegi

Ornek

∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)

∴ ¬s(m)

1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A

2. p(m) A

3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1

4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2

5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4

6. ¬s(m) AndE : 5

Evrensel Ozellestirme Ornegi

Ornek

∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)

∴ ¬s(m)

1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A

2. p(m) A

3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1

4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2

5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4

6. ¬s(m) AndE : 5

Evrensel Ozellestirme Ornegi

Ornek

∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)

∴ ¬s(m)

1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A

2. p(m) A

3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1

4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2

5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4

6. ¬s(m) AndE : 5

Evrensel Ozellestirme Ornegi

Ornek

∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)

∴ ¬s(m)

1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A

2. p(m) A

3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1

4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2

5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4

6. ¬s(m) AndE : 5

Evrensel Ozellestirme Ornegi

Ornek

∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)

∴ ¬s(m)

1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A

2. p(m) A

3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1

4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2

5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4

6. ¬s(m) AndE : 5

Evrensel Genellestirme Ornegi

Ornek

∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]

∴ ∀x [p(x) → r(x)]

1. ∀x [p(x) → q(x)] A

2. p(c) → q(c) US : 1

3. ∀x [q(x) → r(x)] A

4. q(c) → r(c) US : 3

5. p(c) → r(c) HS : 2, 4

6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5

Evrensel Genellestirme Ornegi

Ornek

∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]

∴ ∀x [p(x) → r(x)]

1. ∀x [p(x) → q(x)] A

2. p(c) → q(c) US : 1

3. ∀x [q(x) → r(x)] A

4. q(c) → r(c) US : 3

5. p(c) → r(c) HS : 2, 4

6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5

Evrensel Genellestirme Ornegi

Ornek

∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]

∴ ∀x [p(x) → r(x)]

1. ∀x [p(x) → q(x)] A

2. p(c) → q(c) US : 1

3. ∀x [q(x) → r(x)] A

4. q(c) → r(c) US : 3

5. p(c) → r(c) HS : 2, 4

6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5

Evrensel Genellestirme Ornegi

Ornek

∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]

∴ ∀x [p(x) → r(x)]

1. ∀x [p(x) → q(x)] A

2. p(c) → q(c) US : 1

3. ∀x [q(x) → r(x)] A

4. q(c) → r(c) US : 3

5. p(c) → r(c) HS : 2, 4

6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5

Evrensel Genellestirme Ornegi

Ornek

∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]

∴ ∀x [p(x) → r(x)]

1. ∀x [p(x) → q(x)] A

2. p(c) → q(c) US : 1

3. ∀x [q(x) → r(x)] A

4. q(c) → r(c) US : 3

5. p(c) → r(c) HS : 2, 4

6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5

Evrensel Genellestirme Ornegi

Ornek

∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]

∴ ∀x [p(x) → r(x)]

1. ∀x [p(x) → q(x)] A

2. p(c) → q(c) US : 1

3. ∀x [q(x) → r(x)] A

4. q(c) → r(c) US : 3

5. p(c) → r(c) HS : 2, 4

6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5

Evrensel Genellestirme Ornegi

Ornek

∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]

∴ ∀x [p(x) → r(x)]

1. ∀x [p(x) → q(x)] A

2. p(c) → q(c) US : 1

3. ∀x [q(x) → r(x)] A

4. q(c) → r(c) US : 3

5. p(c) → r(c) HS : 2, 4

6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5

Bos Tanıt

bos tanıt

P ⇒ Q tanıtı icin P’nin yanlıs oldugunu gostermek

Bos Tanıt Ornegi

Teorem

∀S [∅ ⊆ S ]

Tanıt.

∅ ⊆ S ⇔ ∀x [x ∈ ∅ → x ∈ S ]∀x [x /∈ ∅]

Bos Tanıt Ornegi

Teorem

∀S [∅ ⊆ S ]

Tanıt.

∅ ⊆ S ⇔ ∀x [x ∈ ∅ → x ∈ S ]∀x [x /∈ ∅]

Bos Tanıt Ornegi

Teorem

∀S [∅ ⊆ S ]

Tanıt.

∅ ⊆ S ⇔ ∀x [x ∈ ∅ → x ∈ S ]∀x [x /∈ ∅]

Degersiz Tanıt

degersiz tanıt

P ⇒ Q tanıtı icin Q’nun dogru oldugunu gostermek

Degersiz Tanıt Ornegi

Teorem

∀x ∈ R [x ≥ 0 ⇒ x2 ≥ 0]

Tanıt.

∀x ∈ R [x2 ≥ 0]

Degersiz Tanıt Ornegi

Teorem

∀x ∈ R [x ≥ 0 ⇒ x2 ≥ 0]

Tanıt.

∀x ∈ R [x2 ≥ 0]

Konular

1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları

2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım

Dogrudan Tanıt

dogrudan tanıt

P ⇒ Q tanıtı icin P ` Q oldugunu gostermek

Dogrudan Tanıt Ornegi

Teorem

∀a ∈ Z [3|(a− 2) ⇒ 3|(a2 − 1)]

Tanıt.

3|(a− 2) ⇒ ∃k ∈ N [a− 2 = 3k]

⇒ a + 1 = a− 2 + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1)

⇒ a2 − 1 = (a + 1)(a− 1) = 3(k + 1)(a− 1)

Dogrudan Tanıt Ornegi

Teorem

∀a ∈ Z [3|(a− 2) ⇒ 3|(a2 − 1)]

Tanıt.

3|(a− 2) ⇒ ∃k ∈ N [a− 2 = 3k]

⇒ a + 1 = a− 2 + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1)

⇒ a2 − 1 = (a + 1)(a− 1) = 3(k + 1)(a− 1)

Dogrudan Tanıt Ornegi

Teorem

∀a ∈ Z [3|(a− 2) ⇒ 3|(a2 − 1)]

Tanıt.

3|(a− 2) ⇒ ∃k ∈ N [a− 2 = 3k]

⇒ a + 1 = a− 2 + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1)

⇒ a2 − 1 = (a + 1)(a− 1) = 3(k + 1)(a− 1)

Dogrudan Tanıt Ornegi

Teorem

∀a ∈ Z [3|(a− 2) ⇒ 3|(a2 − 1)]

Tanıt.

3|(a− 2) ⇒ ∃k ∈ N [a− 2 = 3k]

⇒ a + 1 = a− 2 + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1)

⇒ a2 − 1 = (a + 1)(a− 1) = 3(k + 1)(a− 1)

Dolaylı Tanıt

dolaylı tanıt

P ⇒ Q tanıtı icin ¬Q ` ¬P oldugunu gostermek

Dolaylı Tanıt Ornegi

Teorem

∀x , y ∈ N [x · y > 25 ⇒ (x > 5) ∨ (y > 5)]

Tanıt.

¬Q ⇔ (0 ≤ x ≤ 5) ∧ (0 ≤ y ≤ 5)

x · y ≤ 5 · 5 = 25

Dolaylı Tanıt Ornegi

Teorem

∀x , y ∈ N [x · y > 25 ⇒ (x > 5) ∨ (y > 5)]

Tanıt.

¬Q ⇔ (0 ≤ x ≤ 5) ∧ (0 ≤ y ≤ 5)

x · y ≤ 5 · 5 = 25

Dolaylı Tanıt Ornegi

Teorem

∀x , y ∈ N [x · y > 25 ⇒ (x > 5) ∨ (y > 5)]

Tanıt.

¬Q ⇔ (0 ≤ x ≤ 5) ∧ (0 ≤ y ≤ 5)

x · y ≤ 5 · 5 = 25

Dolaylı Tanıt Ornegi

Teorem

∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])

Tanıt.

¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])

⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])

⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)

⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1

⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1

⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])

Dolaylı Tanıt Ornegi

Teorem

∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])

Tanıt.

¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])

⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])

⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)

⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1

⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1

⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])

Dolaylı Tanıt Ornegi

Teorem

∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])

Tanıt.

¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])

⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])

⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)

⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1

⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1

⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])

Dolaylı Tanıt Ornegi

Teorem

∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])

Tanıt.

¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])

⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])

⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)

⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1

⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1

⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])

Dolaylı Tanıt Ornegi

Teorem

∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])

Tanıt.

¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])

⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])

⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)

⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1

⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1

⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])

Dolaylı Tanıt Ornegi

Teorem

∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])

Tanıt.

¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])

⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])

⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)

⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1

⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1

⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])

Dolaylı Tanıt Ornegi

Teorem

∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])

Tanıt.

¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])

⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])

⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)

⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1

⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1

⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])

Konular

1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları

2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım

Celiskiyle Tanıt

celiskiyle tanıt

P tanıtı icin ¬P ` Q ∧ ¬Q oldugunu gostermek

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

En buyuk asal sayı yoktur.

Tanıt.

¬P: En buyuk asal sayı vardır.

Q: En buyuk asal sayı S .

asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez

1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

En buyuk asal sayı yoktur.

Tanıt.

¬P: En buyuk asal sayı vardır.

Q: En buyuk asal sayı S .

asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez

1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

En buyuk asal sayı yoktur.

Tanıt.

¬P: En buyuk asal sayı vardır.

Q: En buyuk asal sayı S .

asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez

1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

En buyuk asal sayı yoktur.

Tanıt.

¬P: En buyuk asal sayı vardır.

Q: En buyuk asal sayı S .

asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez

1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

En buyuk asal sayı yoktur.

Tanıt.

¬P: En buyuk asal sayı vardır.

Q: En buyuk asal sayı S .

asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez

1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

En buyuk asal sayı yoktur.

Tanıt.

¬P: En buyuk asal sayı vardır.

Q: En buyuk asal sayı S .

asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez

1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

En buyuk asal sayı yoktur.

Tanıt.

¬P: En buyuk asal sayı vardır.

Q: En buyuk asal sayı S .

asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez

1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Konular

1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları

2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım

Esdegerlilik Tanıtları

P ⇔ Q tanıtı icin hem P ⇒ Q, hem de Q ⇒ P tanıtlanmalı

P1 ⇔ P2 ⇔ · · · ⇔ Pn tanıtı icin bir yontem:P1 ⇒ P2 ⇒ · · · ⇒ Pn ⇒ P1

Esdegerlilik Tanıtları

P ⇔ Q tanıtı icin hem P ⇒ Q, hem de Q ⇒ P tanıtlanmalı

P1 ⇔ P2 ⇔ · · · ⇔ Pn tanıtı icin bir yontem:P1 ⇒ P2 ⇒ · · · ⇒ Pn ⇒ P1

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

Teorem

a, b, n, q1, r1, q2, r2 ∈ Z+

a = q1 · n + r1b = q2 · n + r2

r1 = r2 ⇔ n|(a− b)

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

r1 = r2 ⇒ n|(a− b).

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ a− b = (q1 − q2) · n

n|(a− b) ⇒ r1 = r2.

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ r1 = r2

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

r1 = r2 ⇒ n|(a− b).

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ a− b = (q1 − q2) · n

n|(a− b) ⇒ r1 = r2.

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ r1 = r2

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

r1 = r2 ⇒ n|(a− b).

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ a− b = (q1 − q2) · n

n|(a− b) ⇒ r1 = r2.

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ r1 = r2

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

r1 = r2 ⇒ n|(a− b).

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ a− b = (q1 − q2) · n

n|(a− b) ⇒ r1 = r2.

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ r1 = r2

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

r1 = r2 ⇒ n|(a− b).

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ a− b = (q1 − q2) · n

n|(a− b) ⇒ r1 = r2.

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ r1 = r2

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

r1 = r2 ⇒ n|(a− b).

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ a− b = (q1 − q2) · n

n|(a− b) ⇒ r1 = r2.

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ r1 = r2

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

r1 = r2 ⇒ n|(a− b).

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ a− b = (q1 − q2) · n

n|(a− b) ⇒ r1 = r2.

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ r1 = r2

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

r1 = r2 ⇒ n|(a− b).

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ a− b = (q1 − q2) · n

n|(a− b) ⇒ r1 = r2.

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ r1 = r2

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

Teorem

A ⊆ B

⇔ A ∪ B = B

⇔ A ∩ B = A

⇔ B ⊆ A

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.

A ∪ B = B ⇔ A ∪ B ⊆ B ∧ B ⊆ A ∪ B

B ⊆ A ∪ B x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B

A ⊆ B ⇒ x ∈ B

⇒ A ∪ B ⊆ B

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.

A ∪ B = B ⇔ A ∪ B ⊆ B ∧ B ⊆ A ∪ B

B ⊆ A ∪ B x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B

A ⊆ B ⇒ x ∈ B

⇒ A ∪ B ⊆ B

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.

A ∪ B = B ⇔ A ∪ B ⊆ B ∧ B ⊆ A ∪ B

B ⊆ A ∪ B x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B

A ⊆ B ⇒ x ∈ B

⇒ A ∪ B ⊆ B

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.

A ∪ B = B ⇔ A ∪ B ⊆ B ∧ B ⊆ A ∪ B

B ⊆ A ∪ B x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B

A ⊆ B ⇒ x ∈ B

⇒ A ∪ B ⊆ B

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.

A ∪ B = B ⇔ A ∪ B ⊆ B ∧ B ⊆ A ∪ B

B ⊆ A ∪ B x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B

A ⊆ B ⇒ x ∈ B

⇒ A ∪ B ⊆ B

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.

A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B

A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B

A ∪ B = B ⇒ y ∈ B

⇒ y ∈ A ∩ B

⇒ A ⊆ A ∩ B

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.

A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B

A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B

A ∪ B = B ⇒ y ∈ B

⇒ y ∈ A ∩ B

⇒ A ⊆ A ∩ B

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.

A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B

A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B

A ∪ B = B ⇒ y ∈ B

⇒ y ∈ A ∩ B

⇒ A ⊆ A ∩ B

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.

A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B

A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B

A ∪ B = B ⇒ y ∈ B

⇒ y ∈ A ∩ B

⇒ A ⊆ A ∩ B

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.

A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B

A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B

A ∪ B = B ⇒ y ∈ B

⇒ y ∈ A ∩ B

⇒ A ⊆ A ∩ B

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.

A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B

A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B

A ∪ B = B ⇒ y ∈ B

⇒ y ∈ A ∩ B

⇒ A ⊆ A ∩ B

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A.

z ∈ B ⇒ z /∈ B

⇒ z /∈ A ∩ B

A ∩ B = A ⇒ z /∈ A

⇒ z ∈ A

⇒ B ⊆ A

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A.

z ∈ B ⇒ z /∈ B

⇒ z /∈ A ∩ B

A ∩ B = A ⇒ z /∈ A

⇒ z ∈ A

⇒ B ⊆ A

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A.

z ∈ B ⇒ z /∈ B

⇒ z /∈ A ∩ B

A ∩ B = A ⇒ z /∈ A

⇒ z ∈ A

⇒ B ⊆ A

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A.

z ∈ B ⇒ z /∈ B

⇒ z /∈ A ∩ B

A ∩ B = A ⇒ z /∈ A

⇒ z ∈ A

⇒ B ⊆ A

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A.

z ∈ B ⇒ z /∈ B

⇒ z /∈ A ∩ B

A ∩ B = A ⇒ z /∈ A

⇒ z ∈ A

⇒ B ⊆ A

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

B ⊆ A ⇒ A ⊆ B.

¬(A ⊆ B) ⇒ ∃w [w ∈ A ∧ w /∈ B]

⇒ ∃w [w /∈ A ∧ w ∈ B]

⇒ ¬(B ⊆ A)

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

B ⊆ A ⇒ A ⊆ B.

¬(A ⊆ B) ⇒ ∃w [w ∈ A ∧ w /∈ B]

⇒ ∃w [w /∈ A ∧ w ∈ B]

⇒ ¬(B ⊆ A)

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

B ⊆ A ⇒ A ⊆ B.

¬(A ⊆ B) ⇒ ∃w [w ∈ A ∧ w /∈ B]

⇒ ∃w [w /∈ A ∧ w ∈ B]

⇒ ¬(B ⊆ A)

Konular

1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları

2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım

Tumevarım

Tanım

S(n): n ∈ Z+ uzerinde tanımlanan bir yuklem

S(n0) ∧ (∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]) ⇒ ∀n ≥ n0 S(n)

S(n0): taban adımı

∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]: tumevarım adımı

Tumevarım

Tanım

S(n): n ∈ Z+ uzerinde tanımlanan bir yuklem

S(n0) ∧ (∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]) ⇒ ∀n ≥ n0 S(n)

S(n0): taban adımı

∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]: tumevarım adımı

Tumevarım

Tanım

S(n): n ∈ Z+ uzerinde tanımlanan bir yuklem

S(n0) ∧ (∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]) ⇒ ∀n ≥ n0 S(n)

S(n0): taban adımı

∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]: tumevarım adımı

Tumevarım

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]

Tanıt.

n = 1: 1 = 12

n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)

= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]

Tanıt.

n = 1: 1 = 12

n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)

= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]

Tanıt.

n = 1: 1 = 12

n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)

= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]

Tanıt.

n = 1: 1 = 12

n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)

= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]

Tanıt.

n = 1: 1 = 12

n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)

= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]

Tanıt.

n = 1: 1 = 12

n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)

= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 4 [2n < n!]

Tanıt.

n = 4: 24 = 16 < 24 = 4!

n = k: 2k < k! kabul edelim

n = k + 1:2k+1 = 2 · 2k < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)!

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 4 [2n < n!]

Tanıt.

n = 4: 24 = 16 < 24 = 4!

n = k: 2k < k! kabul edelim

n = k + 1:2k+1 = 2 · 2k < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)!

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 4 [2n < n!]

Tanıt.

n = 4: 24 = 16 < 24 = 4!

n = k: 2k < k! kabul edelim

n = k + 1:2k+1 = 2 · 2k < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)!

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 4 [2n < n!]

Tanıt.

n = 4: 24 = 16 < 24 = 4!

n = k: 2k < k! kabul edelim

n = k + 1:2k+1 = 2 · 2k < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)!

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]

Tanıt.

n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = k: k = 3i + 8j kabul edelim

n = k + 1:

k = 3i + 8j , j > 0 ⇒ k + 1 = k − 8 + 3 · 3⇒ k + 1 = 3(i + 3) + 8(j − 1)k = 3i + 8j , j = 0, i ≥ 5 ⇒ k + 1 = k − 5 · 3 + 2 · 8⇒ k + 1 = 3(i − 5) + 8(j + 2)

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]

Tanıt.

n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = k: k = 3i + 8j kabul edelim

n = k + 1:

k = 3i + 8j , j > 0 ⇒ k + 1 = k − 8 + 3 · 3⇒ k + 1 = 3(i + 3) + 8(j − 1)k = 3i + 8j , j = 0, i ≥ 5 ⇒ k + 1 = k − 5 · 3 + 2 · 8⇒ k + 1 = 3(i − 5) + 8(j + 2)

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]

Tanıt.

n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = k: k = 3i + 8j kabul edelim

n = k + 1:

k = 3i + 8j , j > 0 ⇒ k + 1 = k − 8 + 3 · 3⇒ k + 1 = 3(i + 3) + 8(j − 1)k = 3i + 8j , j = 0, i ≥ 5 ⇒ k + 1 = k − 5 · 3 + 2 · 8⇒ k + 1 = 3(i − 5) + 8(j + 2)

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]

Tanıt.

n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = k: k = 3i + 8j kabul edelim

n = k + 1:

k = 3i + 8j , j > 0 ⇒ k + 1 = k − 8 + 3 · 3⇒ k + 1 = 3(i + 3) + 8(j − 1)k = 3i + 8j , j = 0, i ≥ 5 ⇒ k + 1 = k − 5 · 3 + 2 · 8⇒ k + 1 = 3(i − 5) + 8(j + 2)

Konular

1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları

2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım

Guclu Tumevarım

Tanım

S(n0) ∧ (∀k ≥ n0 [(∀i ≤ k S(i)) ⇒ S(k + 1)]) ⇒ ∀n ≥ n0 S(n)

Guclu Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 2n asal sayıların carpımı seklinde yazılabilir.

Tanıt.

n = 2: 2 = 2

∀i ≤ k icin dogru kabul edelim

n = k + 1:

1 asalsa: n = n2 asal degilse: n = u · v

u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biriasal sayıların carpımı seklinde yazılabilir

Guclu Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 2n asal sayıların carpımı seklinde yazılabilir.

Tanıt.

n = 2: 2 = 2

∀i ≤ k icin dogru kabul edelim

n = k + 1:

1 asalsa: n = n2 asal degilse: n = u · v

u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biriasal sayıların carpımı seklinde yazılabilir

Guclu Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 2n asal sayıların carpımı seklinde yazılabilir.

Tanıt.

n = 2: 2 = 2

∀i ≤ k icin dogru kabul edelim

n = k + 1:

1 asalsa: n = n2 asal degilse: n = u · v

u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biriasal sayıların carpımı seklinde yazılabilir

Guclu Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 2n asal sayıların carpımı seklinde yazılabilir.

Tanıt.

n = 2: 2 = 2

∀i ≤ k icin dogru kabul edelim

n = k + 1:

1 asalsa: n = n2 asal degilse: n = u · v

u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biriasal sayıların carpımı seklinde yazılabilir

Guclu Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 2n asal sayıların carpımı seklinde yazılabilir.

Tanıt.

n = 2: 2 = 2

∀i ≤ k icin dogru kabul edelim

n = k + 1:

1 asalsa: n = n2 asal degilse: n = u · v

u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biriasal sayıların carpımı seklinde yazılabilir

Guclu Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]

Tanıt.

n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = 15: 15 = 3 · 5 + 8 · 0n = 16: 16 = 3 · 0 + 8 · 2n ≤ k: k = 3i + 8j kabul edelim

n = k + 1: k + 1 = (k − 2) + 3

Guclu Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]

Tanıt.

n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = 15: 15 = 3 · 5 + 8 · 0n = 16: 16 = 3 · 0 + 8 · 2n ≤ k: k = 3i + 8j kabul edelim

n = k + 1: k + 1 = (k − 2) + 3

Guclu Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]

Tanıt.

n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = 15: 15 = 3 · 5 + 8 · 0n = 16: 16 = 3 · 0 + 8 · 2n ≤ k: k = 3i + 8j kabul edelim

n = k + 1: k + 1 = (k − 2) + 3

Guclu Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]

Tanıt.

n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = 15: 15 = 3 · 5 + 8 · 0n = 16: 16 = 3 · 0 + 8 · 2n ≤ k: k = 3i + 8j kabul edelim

n = k + 1: k + 1 = (k − 2) + 3

Hatalı Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]

taban adımı gecersiz

n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)

=k2 + k + 2

2+ k + 1 =

k2 + k + 2

2+

2k + 2

2

=k2 + 3k + 4

2=

(k + 1)2 + (k + 1) + 2

2

n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2

Hatalı Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]

taban adımı gecersiz

n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)

=k2 + k + 2

2+ k + 1 =

k2 + k + 2

2+

2k + 2

2

=k2 + 3k + 4

2=

(k + 1)2 + (k + 1) + 2

2

n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2

Hatalı Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]

taban adımı gecersiz

n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)

=k2 + k + 2

2+ k + 1 =

k2 + k + 2

2+

2k + 2

2

=k2 + 3k + 4

2=

(k + 1)2 + (k + 1) + 2

2

n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2

Hatalı Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]

taban adımı gecersiz

n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)

=k2 + k + 2

2+ k + 1 =

k2 + k + 2

2+

2k + 2

2

=k2 + 3k + 4

2=

(k + 1)2 + (k + 1) + 2

2

n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2

Hatalı Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]

taban adımı gecersiz

n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)

=k2 + k + 2

2+ k + 1 =

k2 + k + 2

2+

2k + 2

2

=k2 + 3k + 4

2=

(k + 1)2 + (k + 1) + 2

2

n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2

Hatalı Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]

taban adımı gecersiz

n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)

=k2 + k + 2

2+ k + 1 =

k2 + k + 2

2+

2k + 2

2

=k2 + 3k + 4

2=

(k + 1)2 + (k + 1) + 2

2

n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2

Hatalı Tumevarım Ornekleri

Hatalı Tumevarım Ornekleri

Teorem

Butun atlar aynı renktir.

A(n): n atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.

∀n ∈ N+ A(n)

Hatalı Tumevarım Ornekleri

Teorem

Butun atlar aynı renktir.

A(n): n atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.

∀n ∈ N+ A(n)

Hatalı Tumevarım Ornekleri

tumevarım adımı gecersiz

n = 1: A(1)1 atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.

n = k: A(k) dogru kabul edelimk atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.

A(k + 1) = {a1, a2, . . . , ak} ∪ {a2, a3, . . . , ak+1}{a1, a2, . . . , ak} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).{a2, a3, . . . , ak+1} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).

Hatalı Tumevarım Ornekleri

tumevarım adımı gecersiz

n = 1: A(1)1 atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.

n = k: A(k) dogru kabul edelimk atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.

A(k + 1) = {a1, a2, . . . , ak} ∪ {a2, a3, . . . , ak+1}{a1, a2, . . . , ak} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).{a2, a3, . . . , ak+1} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).

Hatalı Tumevarım Ornekleri

tumevarım adımı gecersiz

n = 1: A(1)1 atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.

n = k: A(k) dogru kabul edelimk atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.

A(k + 1) = {a1, a2, . . . , ak} ∪ {a2, a3, . . . , ak+1}{a1, a2, . . . , ak} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).{a2, a3, . . . , ak+1} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).

Hatalı Tumevarım Ornekleri

Kaynaklar

Okunacak: Grimaldi

Chapter 2: Fundamentals of Logic

2.5. Quantifiers, Definitions, and the Proofs of Theorems

Chapter 4: Properties of Integers: Mathematical Induction

4.1. The Well-Ordering Principle: Mathematical Induction

Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page

Chapter 4: Induction