Ayrık Matematik - Önermeler
-
Upload
turgut-uyar -
Category
Education
-
view
4.885 -
download
3
description
Transcript of Ayrık Matematik - Önermeler
Ayrık MatematikOnermeler
H. Turgut Uyar Aysegul Gencata Yayımlı Emre Harmancı
2001-2013
Lisans
c©2001-2013 T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı
You are free:
to Share – to copy, distribute and transmit the work
to Remix – to adapt the work
Under the following conditions:
Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in anyway that suggests that they endorse you or your use of the work).
Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes.
Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work onlyunder the same or similar license to this one.
Legal code (the full license):http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
Konular
1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil
2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme
Konular
1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil
2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme
Onerme
Tanım
onerme: dogru ya da yanlıs olan bir bildirim cumlesi
ara degeri dıslama kuralı:bir onerme kısmen dogru ya da kısmen yanlıs olamaz
celiski kuralı:bir onerme hem dogru hem yanlıs olamaz
Onerme
Tanım
onerme: dogru ya da yanlıs olan bir bildirim cumlesi
ara degeri dıslama kuralı:bir onerme kısmen dogru ya da kısmen yanlıs olamaz
celiski kuralı:bir onerme hem dogru hem yanlıs olamaz
Onerme
Tanım
onerme: dogru ya da yanlıs olan bir bildirim cumlesi
ara degeri dıslama kuralı:bir onerme kısmen dogru ya da kısmen yanlıs olamaz
celiski kuralı:bir onerme hem dogru hem yanlıs olamaz
Onerme Ornekleri
Ornek (onerme)
Ay Yeryuzu’nuncevresinde doner.
Filler ucabilir.
3 + 8 = 11
Ornek (onerme degil)
Saat kac?
Ali topu at!
x < 43
Onerme Ornekleri
Ornek (onerme)
Ay Yeryuzu’nuncevresinde doner.
Filler ucabilir.
3 + 8 = 11
Ornek (onerme degil)
Saat kac?
Ali topu at!
x < 43
Onerme Degiskeni
Tanım
onerme degiskeni:onermeyi simgeleyen isim
Dogru (D) ya da Yanlıs (Y ) degerlerini alabilir
Ornek
p1: Ay Yeryuzu’nun cevresinde doner. (D)
p2: Filler ucabilir. (Y )
p3: 3 + 8 = 11 (D)
Onerme Degiskeni
Tanım
onerme degiskeni:onermeyi simgeleyen isim
Dogru (D) ya da Yanlıs (Y ) degerlerini alabilir
Ornek
p1: Ay Yeryuzu’nun cevresinde doner. (D)
p2: Filler ucabilir. (Y )
p3: 3 + 8 = 11 (D)
Konular
1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil
2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme
Birlesik Onermeler
birlesik onermeler
bir onermenin degillenmesiyle, ya dabirden fazla onermenin mantıksal baglaclar ile birlestirilmesiyle
elde edilir
yalın onermeler daha kucuk birimlere bolunemez
dogruluk tablosu:onerme degiskenlerinin olası butun degerleri icinbirlesik onermenin sonuclarını listeleyen tablo
Birlesik Onermeler
birlesik onermeler
bir onermenin degillenmesiyle, ya dabirden fazla onermenin mantıksal baglaclar ile birlestirilmesiyle
elde edilir
yalın onermeler daha kucuk birimlere bolunemez
dogruluk tablosu:onerme degiskenlerinin olası butun degerleri icinbirlesik onermenin sonuclarını listeleyen tablo
Degilleme (NOT)
Tablo: ¬p
p ¬p
D Y
Y D
Ornek
¬p1: Ay Yeryuzu’nun cevresinde donmez.¬D: Yanlıs
¬p2: Filler ucamaz.¬Y : Dogru
Degilleme (NOT)
Tablo: ¬p
p ¬p
D Y
Y D
Ornek
¬p1: Ay Yeryuzu’nun cevresinde donmez.¬D: Yanlıs
¬p2: Filler ucamaz.¬Y : Dogru
VE Baglacı (AND)
Tablo: p ∧ q
p q p ∧ q
D D D
D Y Y
Y D Y
Y Y Y
Ornek
p1 ∧ p2: Ay Yeryuzu’nun cevresindedoner ve filler ucabilir.D ∧ Y : Yanlıs
VE Baglacı (AND)
Tablo: p ∧ q
p q p ∧ q
D D D
D Y Y
Y D Y
Y Y Y
Ornek
p1 ∧ p2: Ay Yeryuzu’nun cevresindedoner ve filler ucabilir.D ∧ Y : Yanlıs
VEYA Baglacı (OR)
Tablo: p ∨ q
p q p ∨ q
D D D
D Y D
Y D D
Y Y Y
Ornek
p1 ∨ p2: Ay Yeryuzu’nun cevresindedoner veya filler ucabilir.D ∨ Y : Dogru
VEYA Baglacı (OR)
Tablo: p ∨ q
p q p ∨ q
D D D
D Y D
Y D D
Y Y Y
Ornek
p1 ∨ p2: Ay Yeryuzu’nun cevresindedoner veya filler ucabilir.D ∨ Y : Dogru
DAR VEYA Baglacı (XOR)
Tablo: p Y q
p q p Y q
D D Y
D Y D
Y D D
Y Y Y
Ornek
p1 Y p2: Ya Ay Yeryuzu’nuncevresinde doner ya da filler ucabilir.D Y Y : Dogru
DAR VEYA Baglacı (XOR)
Tablo: p Y q
p q p Y q
D D Y
D Y D
Y D D
Y Y Y
Ornek
p1 Y p2: Ya Ay Yeryuzu’nuncevresinde doner ya da filler ucabilir.D Y Y : Dogru
Kosullu Baglac (IF)
Tablo: p → q
p q p → q
D D D
D Y Y
Y D D
Y Y D
p: oncul
q: sonuc
okunusları:
p ise qp, q icin yeterliq, p icin gerekli
¬p ∨ q
Kosullu Baglac (IF)
Tablo: p → q
p q p → q
D D D
D Y Y
Y D D
Y Y D
p: oncul
q: sonuc
okunusları:
p ise qp, q icin yeterliq, p icin gerekli
¬p ∨ q
Kosullu Baglac (IF)
Tablo: p → q
p q p → q
D D D
D Y Y
Y D D
Y Y D
p: oncul
q: sonuc
okunusları:
p ise qp, q icin yeterliq, p icin gerekli
¬p ∨ q
Kosullu Baglac Ornekleri
Ornek
p4: 3 < 8, p5: 3 < 14, p6: 3 < 2
p7: Gunes Yeryuzu’nun cevresinde doner.
p4 → p5: 3, 8’den kucukse3, 14’den kucuktur.D → D: Dogru
p4 → p6: 3, 8’den kucukse3, 2’den kucuktur.D → Y : Yanlıs
p2 → p1: Filler ucabilirse AyYeryuzu’nun cevresindedoner.Y → D: Dogru
p2 → p7: Filler ucabilirseGunes Yeryuzu’nuncevresinde doner.Y → Y : Dogru
Kosullu Baglac Ornekleri
Ornek
p4: 3 < 8, p5: 3 < 14, p6: 3 < 2
p7: Gunes Yeryuzu’nun cevresinde doner.
p4 → p5: 3, 8’den kucukse3, 14’den kucuktur.D → D: Dogru
p4 → p6: 3, 8’den kucukse3, 2’den kucuktur.D → Y : Yanlıs
p2 → p1: Filler ucabilirse AyYeryuzu’nun cevresindedoner.Y → D: Dogru
p2 → p7: Filler ucabilirseGunes Yeryuzu’nuncevresinde doner.Y → Y : Dogru
Kosullu Baglac Ornekleri
Ornek
p4: 3 < 8, p5: 3 < 14, p6: 3 < 2
p7: Gunes Yeryuzu’nun cevresinde doner.
p4 → p5: 3, 8’den kucukse3, 14’den kucuktur.D → D: Dogru
p4 → p6: 3, 8’den kucukse3, 2’den kucuktur.D → Y : Yanlıs
p2 → p1: Filler ucabilirse AyYeryuzu’nun cevresindedoner.Y → D: Dogru
p2 → p7: Filler ucabilirseGunes Yeryuzu’nuncevresinde doner.Y → Y : Dogru
Kosullu Baglac Ornekleri
Ornek
p4: 3 < 8, p5: 3 < 14, p6: 3 < 2
p7: Gunes Yeryuzu’nun cevresinde doner.
p4 → p5: 3, 8’den kucukse3, 14’den kucuktur.D → D: Dogru
p4 → p6: 3, 8’den kucukse3, 2’den kucuktur.D → Y : Yanlıs
p2 → p1: Filler ucabilirse AyYeryuzu’nun cevresindedoner.Y → D: Dogru
p2 → p7: Filler ucabilirseGunes Yeryuzu’nuncevresinde doner.Y → Y : Dogru
Kosullu Baglac Ornekleri
Ornek
p4: 3 < 8, p5: 3 < 14, p6: 3 < 2
p7: Gunes Yeryuzu’nun cevresinde doner.
p4 → p5: 3, 8’den kucukse3, 14’den kucuktur.D → D: Dogru
p4 → p6: 3, 8’den kucukse3, 2’den kucuktur.D → Y : Yanlıs
p2 → p1: Filler ucabilirse AyYeryuzu’nun cevresindedoner.Y → D: Dogru
p2 → p7: Filler ucabilirseGunes Yeryuzu’nuncevresinde doner.Y → Y : Dogru
Kosullu Baglac Ornekleri
Ornek
”70 kg’yi gecersem spor yapacagım.”
p: 70 kg’den agırım.
q: Spor yapıyorum.
bu onerme ne zaman yanlıs olur?
Tablo: p → q
p q p → q
D D D
D Y Y
Y D D
Y Y D
Kosullu Baglac Ornekleri
Ornek
”70 kg’yi gecersem spor yapacagım.”
p: 70 kg’den agırım.
q: Spor yapıyorum.
bu onerme ne zaman yanlıs olur?
Tablo: p → q
p q p → q
D D D
D Y Y
Y D D
Y Y D
Kosullu Baglac Ornekleri
Ornek
”70 kg’yi gecersem spor yapacagım.”
p: 70 kg’den agırım.
q: Spor yapıyorum.
bu onerme ne zaman yanlıs olur?
Tablo: p → q
p q p → q
D D D
D Y Y
Y D D
Y Y D
Karsılıklı Kosullu Baglac (IFF)
Tablo: p ↔ q
p q p ↔ q
D D D
D Y Y
Y D Y
Y Y D
okunusları:
p yalnız ve ancak q isep, q icin yeterli ve gerekli
(p → q) ∧ (q → p)
¬(p Y q)
Karsılıklı Kosullu Baglac (IFF)
Tablo: p ↔ q
p q p ↔ q
D D D
D Y Y
Y D Y
Y Y D
okunusları:
p yalnız ve ancak q isep, q icin yeterli ve gerekli
(p → q) ∧ (q → p)
¬(p Y q)
Karsılıklı Kosullu Baglac (IFF)
Tablo: p ↔ q
p q p ↔ q
D D D
D Y Y
Y D Y
Y Y D
okunusları:
p yalnız ve ancak q isep, q icin yeterli ve gerekli
(p → q) ∧ (q → p)
¬(p Y q)
Ornek
Ornek
Anne cocuga:”Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.”
s: Cocuk odevini yapar.
t: Cocuk bilgisayar oyunu oynar.
annenin soyledigi hangisi?
s → t
¬s → ¬t
s ↔ t
Ornek
Ornek
Anne cocuga:”Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.”
s: Cocuk odevini yapar.
t: Cocuk bilgisayar oyunu oynar.
annenin soyledigi hangisi?
s → t
¬s → ¬t
s ↔ t
Ornek
Ornek
Anne cocuga:”Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.”
s: Cocuk odevini yapar.
t: Cocuk bilgisayar oyunu oynar.
annenin soyledigi hangisi?
s → t
¬s → ¬t
s ↔ t
Ornek
Ornek
Anne cocuga:”Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.”
s: Cocuk odevini yapar.
t: Cocuk bilgisayar oyunu oynar.
annenin soyledigi hangisi?
s → t
¬s → ¬t
s ↔ t
Ornek
Ornek
Anne cocuga:”Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.”
s: Cocuk odevini yapar.
t: Cocuk bilgisayar oyunu oynar.
annenin soyledigi hangisi?
s → t
¬s → ¬t
s ↔ t
Konular
1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil
2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme
Saglıklı Formul
yazım
birlesik onermeler hangi kurallara gore olusturulacak?
kurallara uyan formuller: saglıklı formul (SF)
anlam
yorum: yalın onermelere deger atayarakbirlesik onermenin degerini hesaplama
dogruluk tablosu: onermenin butun yorumları
Saglıklı Formul
yazım
birlesik onermeler hangi kurallara gore olusturulacak?
kurallara uyan formuller: saglıklı formul (SF)
anlam
yorum: yalın onermelere deger atayarakbirlesik onermenin degerini hesaplama
dogruluk tablosu: onermenin butun yorumları
Formul Ornekleri
Ornek (saglıklı degil)
∨p
p ∧ ¬p¬ ∧ q
Islem Onceligi
1 ¬2 ∧3 ∨4 →5 ↔
hesap sırasını degistirmek icin parantez kullanılır
Islem Onceligi Ornekleri
Ornek
s: Filiz gezmeye cıkar.
t: Mehtap var.
u: Kar yagıyor.
asagıdaki SF’ler ne anlama gelir?
t ∧ ¬u → s
t → (¬u → s)
¬(s ↔ (u ∨ t))
¬s ↔ u ∨ t
Islem Onceligi Ornekleri
Ornek
s: Filiz gezmeye cıkar.
t: Mehtap var.
u: Kar yagıyor.
asagıdaki SF’ler ne anlama gelir?
t ∧ ¬u → s
t → (¬u → s)
¬(s ↔ (u ∨ t))
¬s ↔ u ∨ t
Islem Onceligi Ornekleri
Ornek
s: Filiz gezmeye cıkar.
t: Mehtap var.
u: Kar yagıyor.
asagıdaki SF’ler ne anlama gelir?
t ∧ ¬u → s
t → (¬u → s)
¬(s ↔ (u ∨ t))
¬s ↔ u ∨ t
Islem Onceligi Ornekleri
Ornek
s: Filiz gezmeye cıkar.
t: Mehtap var.
u: Kar yagıyor.
asagıdaki SF’ler ne anlama gelir?
t ∧ ¬u → s
t → (¬u → s)
¬(s ↔ (u ∨ t))
¬s ↔ u ∨ t
Islem Onceligi Ornekleri
Ornek
s: Filiz gezmeye cıkar.
t: Mehtap var.
u: Kar yagıyor.
asagıdaki SF’ler ne anlama gelir?
t ∧ ¬u → s
t → (¬u → s)
¬(s ↔ (u ∨ t))
¬s ↔ u ∨ t
Formul Nitelikleri
1 gecerli: butun yorumlar icin dogru (totoloji)
2 celiskili: butun yorumlar icin yanlıs (celiski)
3 tutarlı: bazı yorumlar icin dogru
Totoloji Ornegi
Ornek
Tablo: p ∧ (p → q)→ q
p q p → q p ∧ A B → q(A) (B)
D D D D D
D Y Y Y D
Y D D Y D
Y Y D Y D
Celiski Ornegi
Ornek
Tablo: p ∧ (¬p ∧ q)
p q ¬p ¬p ∧ q p ∧ A(A)
D D Y Y Y
D Y Y Y Y
Y D D D Y
Y Y D Y Y
Konular
1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil
2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme
Ustdil
Tanım
hedef dil:uzerinde calısılan dil
Tanım
ustdil:hedef dilin ozelliklerinden soz ederken kullanılan dil
gecerlilik, celiskililik ve tutarlılık ustdile ait tanımlar
Ustdil
Tanım
hedef dil:uzerinde calısılan dil
Tanım
ustdil:hedef dilin ozelliklerinden soz ederken kullanılan dil
gecerlilik, celiskililik ve tutarlılık ustdile ait tanımlar
Ustdil
Tanım
hedef dil:uzerinde calısılan dil
Tanım
ustdil:hedef dilin ozelliklerinden soz ederken kullanılan dil
gecerlilik, celiskililik ve tutarlılık ustdile ait tanımlar
Ustdil Ornekleri
Ornek
anadili Turkce olan biri Ingilizce ogrenirken
hedef dil: Ingilizceustdil: Turkce
Ornek
bir ogrenci programlama ogrenirken
hedef dil: C, Python, Java, . . .ustdil: Ingilizce, Turkce, . . .
Ustdil Ornekleri
Ornek
anadili Turkce olan biri Ingilizce ogrenirken
hedef dil: Ingilizceustdil: Turkce
Ornek
bir ogrenci programlama ogrenirken
hedef dil: C, Python, Java, . . .ustdil: Ingilizce, Turkce, . . .
Ustmantık
P1,P2, . . . ,Pn ` QP1,P2, . . . ,Pn varsayıldıgında Q’nun dogrulugu tanıtlanabilir.
P1,P2, . . . ,Pn � QP1,P2, . . . ,Pn dogruysa Q dogrudur.
Ustmantık
P1,P2, . . . ,Pn ` QP1,P2, . . . ,Pn varsayıldıgında Q’nun dogrulugu tanıtlanabilir.
P1,P2, . . . ,Pn � QP1,P2, . . . ,Pn dogruysa Q dogrudur.
Bicimsel Sistemler
Tanım
tutarlı: butun P ve Q saglıklı formulleri icinP ` Q ise P � Q
tanıtlanabilen butun onermeler dogrudur
Tanım
eksiksiz: butun P ve Q saglıklı formulleri icinP � Q ise P ` Q
dogru olan butun onermeler tanıtlanabilir
Bicimsel Sistemler
Tanım
tutarlı: butun P ve Q saglıklı formulleri icinP ` Q ise P � Q
tanıtlanabilen butun onermeler dogrudur
Tanım
eksiksiz: butun P ve Q saglıklı formulleri icinP � Q ise P ` Q
dogru olan butun onermeler tanıtlanabilir
Godel Kuramı
Onermeler mantıgı tutarlı ve eksiksizdir.
Godel Kuramı
Sıradan aritmetigi ifade edecek kadar gucluhicbir mantıksal sistem hem tutarlı hem eksiksiz olamaz.
Godel Kuramı
Onermeler mantıgı tutarlı ve eksiksizdir.
Godel Kuramı
Sıradan aritmetigi ifade edecek kadar gucluhicbir mantıksal sistem hem tutarlı hem eksiksiz olamaz.
Konular
1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil
2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme
Onerme Hesabı Yaklasımları
1 anlamsal yaklasım: dogruluk tabloları
degisken sayısı artınca yonetimi zorlasır
2 yazımsal yaklasım: akıl yurutme kuralları
var olan onermelerden mantıksal gerektirmeler kullanarakyeni onermeler uretme
3 aksiyomatik yaklasım: Boole cebri
esdegerli formulleri denklemlerde birbirlerinin yerine koyma
Onerme Hesabı Yaklasımları
1 anlamsal yaklasım: dogruluk tabloları
degisken sayısı artınca yonetimi zorlasır
2 yazımsal yaklasım: akıl yurutme kuralları
var olan onermelerden mantıksal gerektirmeler kullanarakyeni onermeler uretme
3 aksiyomatik yaklasım: Boole cebri
esdegerli formulleri denklemlerde birbirlerinin yerine koyma
Onerme Hesabı Yaklasımları
1 anlamsal yaklasım: dogruluk tabloları
degisken sayısı artınca yonetimi zorlasır
2 yazımsal yaklasım: akıl yurutme kuralları
var olan onermelerden mantıksal gerektirmeler kullanarakyeni onermeler uretme
3 aksiyomatik yaklasım: Boole cebri
esdegerli formulleri denklemlerde birbirlerinin yerine koyma
Dogruluk Tablosu Ornegi
p → q
kontrapozitif: ¬q → ¬pkonvers: q → pinvers: ¬p → ¬q
Ornek
p q p → q ¬q → ¬p q → p ¬p → ¬q
D D D D D D
D Y Y Y D D
Y D D D Y Y
Y Y D D D D
Dogruluk Tablosu Ornegi
p → q
kontrapozitif: ¬q → ¬pkonvers: q → pinvers: ¬p → ¬q
Ornek
p q p → q ¬q → ¬p q → p ¬p → ¬q
D D D D D D
D Y Y Y D D
Y D D D Y Y
Y Y D D D D
Konular
1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil
2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme
Mantıksal Esdegerlilik
Tanım
P ↔ Q totoloji ise P ve Q mantıksal esdegerli:P ⇔ Q
Mantıksal Esdegerlilik Ornegi
Ornek
¬p ⇔ p → Y
Tablo: ¬p ↔ p → Y
p ¬p p → Y ¬p ↔ A(A)
D Y Y D
Y D D D
Mantıksal Esdegerlilik Ornegi
Ornek
p → q ⇔ ¬p ∨ q
Tablo: (p → q)↔ (¬p ∨ q)
p q p → q ¬p ¬p ∨ q A↔ B(A) (B)
D D D Y D D
D Y Y Y Y D
Y D D D D D
Y Y D D D D
Mantık Yasaları
Cifte Degilleme (Double Negation - DN)¬(¬p)⇔ p
Degisme (Commutativity - Co)p ∧ q ⇔ q ∧ p p ∨ q ⇔ q ∨ p
Birlesme (Associativity - As)(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
Sabit Kuvvetlilik (Idempotence - Ip)p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p
Terslik (Inverse - In)p ∧ ¬p ⇔ Y p ∨ ¬p ⇔ D
Mantık Yasaları
Cifte Degilleme (Double Negation - DN)¬(¬p)⇔ p
Degisme (Commutativity - Co)p ∧ q ⇔ q ∧ p p ∨ q ⇔ q ∨ p
Birlesme (Associativity - As)(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
Sabit Kuvvetlilik (Idempotence - Ip)p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p
Terslik (Inverse - In)p ∧ ¬p ⇔ Y p ∨ ¬p ⇔ D
Mantık Yasaları
Cifte Degilleme (Double Negation - DN)¬(¬p)⇔ p
Degisme (Commutativity - Co)p ∧ q ⇔ q ∧ p p ∨ q ⇔ q ∨ p
Birlesme (Associativity - As)(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
Sabit Kuvvetlilik (Idempotence - Ip)p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p
Terslik (Inverse - In)p ∧ ¬p ⇔ Y p ∨ ¬p ⇔ D
Mantık Yasaları
Cifte Degilleme (Double Negation - DN)¬(¬p)⇔ p
Degisme (Commutativity - Co)p ∧ q ⇔ q ∧ p p ∨ q ⇔ q ∨ p
Birlesme (Associativity - As)(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
Sabit Kuvvetlilik (Idempotence - Ip)p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p
Terslik (Inverse - In)p ∧ ¬p ⇔ Y p ∨ ¬p ⇔ D
Mantık Yasaları
Cifte Degilleme (Double Negation - DN)¬(¬p)⇔ p
Degisme (Commutativity - Co)p ∧ q ⇔ q ∧ p p ∨ q ⇔ q ∨ p
Birlesme (Associativity - As)(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
Sabit Kuvvetlilik (Idempotence - Ip)p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p
Terslik (Inverse - In)p ∧ ¬p ⇔ Y p ∨ ¬p ⇔ D
Mantık Yasaları
Etkisizlik (Identity - Id)p ∧ D ⇔ p p ∨ Y ⇔ p
Baskınlık (Domination - Do)p ∧ Y ⇔ Y p ∨ D ⇔ D
Dagılma (Distributivity - Di)p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Yutma (Absorption - Ab)p ∧ (p ∨ q)⇔ p p ∨ (p ∧ q)⇔ p
DeMorgan Yasaları (DM)¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q
Mantık Yasaları
Etkisizlik (Identity - Id)p ∧ D ⇔ p p ∨ Y ⇔ p
Baskınlık (Domination - Do)p ∧ Y ⇔ Y p ∨ D ⇔ D
Dagılma (Distributivity - Di)p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Yutma (Absorption - Ab)p ∧ (p ∨ q)⇔ p p ∨ (p ∧ q)⇔ p
DeMorgan Yasaları (DM)¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q
Mantık Yasaları
Etkisizlik (Identity - Id)p ∧ D ⇔ p p ∨ Y ⇔ p
Baskınlık (Domination - Do)p ∧ Y ⇔ Y p ∨ D ⇔ D
Dagılma (Distributivity - Di)p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Yutma (Absorption - Ab)p ∧ (p ∨ q)⇔ p p ∨ (p ∧ q)⇔ p
DeMorgan Yasaları (DM)¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q
Mantık Yasaları
Etkisizlik (Identity - Id)p ∧ D ⇔ p p ∨ Y ⇔ p
Baskınlık (Domination - Do)p ∧ Y ⇔ Y p ∨ D ⇔ D
Dagılma (Distributivity - Di)p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Yutma (Absorption - Ab)p ∧ (p ∨ q)⇔ p p ∨ (p ∧ q)⇔ p
DeMorgan Yasaları (DM)¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q
Mantık Yasaları
Etkisizlik (Identity - Id)p ∧ D ⇔ p p ∨ Y ⇔ p
Baskınlık (Domination - Do)p ∧ Y ⇔ Y p ∨ D ⇔ D
Dagılma (Distributivity - Di)p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Yutma (Absorption - Ab)p ∧ (p ∨ q)⇔ p p ∨ (p ∧ q)⇔ p
DeMorgan Yasaları (DM)¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
p → q
⇔ ¬p ∨ q
⇔ q ∨ ¬p Co
⇔ ¬¬q ∨ ¬p DN
⇔ ¬q → ¬p
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
p → q
⇔ ¬p ∨ q
⇔ q ∨ ¬p Co
⇔ ¬¬q ∨ ¬p DN
⇔ ¬q → ¬p
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
p → q
⇔ ¬p ∨ q
⇔ q ∨ ¬p Co
⇔ ¬¬q ∨ ¬p DN
⇔ ¬q → ¬p
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
p → q
⇔ ¬p ∨ q
⇔ q ∨ ¬p Co
⇔ ¬¬q ∨ ¬p DN
⇔ ¬q → ¬p
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
p → q
⇔ ¬p ∨ q
⇔ q ∨ ¬p Co
⇔ ¬¬q ∨ ¬p DN
⇔ ¬q → ¬p
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)
⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM
⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN
⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As
⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co
⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As
⇔ q ∧ r Ab
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)
⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM
⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN
⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As
⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co
⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As
⇔ q ∧ r Ab
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)
⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM
⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN
⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As
⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co
⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As
⇔ q ∧ r Ab
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)
⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM
⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN
⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As
⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co
⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As
⇔ q ∧ r Ab
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)
⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM
⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN
⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As
⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co
⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As
⇔ q ∧ r Ab
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)
⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM
⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN
⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As
⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co
⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As
⇔ q ∧ r Ab
Esdegerlilik Hesabı Ornegi
Ornek
¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)
⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM
⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN
⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As
⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co
⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As
⇔ q ∧ r Ab
Dualite
Tanım
∧ ve ∨ dısında bir baglac icermeyen bir s onermesinindual onermesi sd ,∧ yerine ∨, ∨ yerine ∧, D yerine Y , Y yerine Dkonarak elde edilir.
Ornek (dual onerme)
s : (p ∧ ¬q) ∨ (r ∧ D)
sd : (p ∨ ¬q) ∧ (r ∨ Y )
Dualite
Tanım
∧ ve ∨ dısında bir baglac icermeyen bir s onermesinindual onermesi sd ,∧ yerine ∨, ∨ yerine ∧, D yerine Y , Y yerine Dkonarak elde edilir.
Ornek (dual onerme)
s : (p ∧ ¬q) ∨ (r ∧ D)
sd : (p ∨ ¬q) ∧ (r ∨ Y )
Dualite Ilkesi
Dualite Ilkesi
s ve t, ∧ ve ∨ dısında bir baglac icermeyen onermeler olsun.s ⇔ t ise sd ⇔ td .
Konular
1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil
2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme
Mantıksal Gerektirme
Tanım
P → Q bir totoloji ise P formulu Q formulunu mantıksal gerektirir:P ⇒ Q
Mantıksal Gerektirme Ornegi
Ornek
p ∧ (p → q)⇒ q
Tablo: p ∧ (p → q)→ q
p q p → q p ∧ A B → q(A) (B)
D D D D D
D Y Y Y D
Y D D Y D
Y Y D Y D
Akıl Yurutme
dogrulugu varsayılan ya da tanıtlanmısbir onermeler kumesinden yola cıkarakbir onermenin dogruluguna varma
gosterilim
p1
p2
. . .pn
∴ q
p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q
Akıl Yurutme
dogrulugu varsayılan ya da tanıtlanmısbir onermeler kumesinden yola cıkarakbir onermenin dogruluguna varma
gosterilim
p1
p2
. . .pn
∴ q
p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q
Temel Kurallar
Ozdeslik (Identity - ID)
p
∴ p
Celiski (Contradiction - CTR)
Y
∴ p
Temel Kurallar
Ozdeslik (Identity - ID)
p
∴ p
Celiski (Contradiction - CTR)
Y
∴ p
Temel Kurallar
Kosul Ekleme (Implication Introduction - ImpI)
p ` q
∴ ` p → q
p dogru varsayıldıgında q dogru oldugu gosterilebiliyorsa,p dogru varsayılmadan p → q dogrudur
p bir gecici varsayım (PA - provisional assumption)
gecici varsayımlar sonradan kaldırılabilmeli
Temel Kurallar
Kosul Ekleme (Implication Introduction - ImpI)
p ` q
∴ ` p → q
p dogru varsayıldıgında q dogru oldugu gosterilebiliyorsa,p dogru varsayılmadan p → q dogrudur
p bir gecici varsayım (PA - provisional assumption)
gecici varsayımlar sonradan kaldırılabilmeli
Temel Kurallar
VE Ekleme (AND Introduction - AndI)
pq
∴ p ∧ q
VE Eleme (AND Elimination - AndE)
p ∧ q
∴ p
Temel Kurallar
VE Ekleme (AND Introduction - AndI)
pq
∴ p ∧ q
VE Eleme (AND Elimination - AndE)
p ∧ q
∴ p
Temel Kurallar
VEYA Ekleme (OR Introduction - OrI)
p
∴ p ∨ q
VEYA Eleme (OR Elimination - OrE)
p ∨ qp ` rq ` r
∴ ` r
Temel Kurallar
VEYA Ekleme (OR Introduction - OrI)
p
∴ p ∨ q
VEYA Eleme (OR Elimination - OrE)
p ∨ qp ` rq ` r
∴ ` r
Temel Kurallar
Modus Ponens (Implication Elimination - ImpE)
p → qp
∴ q
Modus Tollens (MT)
p → q¬q
∴ ¬p
Temel Kurallar
Modus Ponens (Implication Elimination - ImpE)
p → qp
∴ q
Modus Tollens (MT)
p → q¬q
∴ ¬p
Modus Tollens
Ornek
p → q¬q
∴ ¬p
1. p → q A
2. ¬q → ¬p 1
3. ¬q A
4. ¬p ImpE : 2, 3
Modus Tollens
Ornek
p → q¬q
∴ ¬p
1. p → q A
2. ¬q → ¬p 1
3. ¬q A
4. ¬p ImpE : 2, 3
Modus Tollens
Ornek
p → q¬q
∴ ¬p
1. p → q A
2. ¬q → ¬p 1
3. ¬q A
4. ¬p ImpE : 2, 3
Modus Tollens
Ornek
p → q¬q
∴ ¬p
1. p → q A
2. ¬q → ¬p 1
3. ¬q A
4. ¬p ImpE : 2, 3
Modus Tollens
Ornek
p → q¬q
∴ ¬p
1. p → q A
2. ¬q → ¬p 1
3. ¬q A
4. ¬p ImpE : 2, 3
Modus Ponens Ornegi
Ornek
Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.
Ali piyangoyu kazandı.
O halde, Ali araba alacak.
Modus Ponens Ornegi
Ornek
Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.
Ali piyangoyu kazandı.
O halde, Ali araba alacak.
Modus Tollens Ornegi
Ornek
Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.
Ali araba almadı.
O halde, Ali piyangoyu kazanmadı.
Modus Tollens Ornegi
Ornek
Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.
Ali araba almadı.
O halde, Ali piyangoyu kazanmadı.
Yanılgılar
sonucu onaylama yanılgısı
p → qq
∴ p
(p → q) ∧ q → p bir totoloji degil:p = Y , q = D ise: (Y → D) ∧ D → Y
Yanılgılar
sonucu onaylama yanılgısı
p → qq
∴ p
(p → q) ∧ q → p bir totoloji degil:p = Y , q = D ise: (Y → D) ∧ D → Y
Sonucu Onaylama Yanılgısı Ornegi
Ornek
Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.
Ali araba aldı.
O halde, Ali piyangoyu kazandı.
Sonucu Onaylama Yanılgısı Ornegi
Ornek
Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.
Ali araba aldı.
O halde, Ali piyangoyu kazandı.
Yanılgılar
onculu yadsıma yanılgısı
p → q¬p
∴ ¬q
(p → q) ∧ ¬p → ¬q bir totoloji degil:p = Y , q = D ise: (Y → D) ∧ D → Y
Yanılgılar
onculu yadsıma yanılgısı
p → q¬p
∴ ¬q
(p → q) ∧ ¬p → ¬q bir totoloji degil:p = Y , q = D ise: (Y → D) ∧ D → Y
Onculu Yadsıma Yanılgısı Ornegi
Ornek
Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.
Ali piyangoyu kazanmadı.
O halde, Ali araba almayacak.
Onculu Yadsıma Yanılgısı Ornegi
Ornek
Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.
Ali piyangoyu kazanmadı.
O halde, Ali araba almayacak.
Ayırıcı Kıyas
Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)
p ∨ q¬p
∴ q
1. p ∨ q A
2. ¬p A
3. p → Y 2
4a1. p PA
4a2. Y ImpE : 3, 4a1
4a. q CTR : 4a2
4b1. q PA
4b. q ID : 4b1
5. q OrE : 1, 4a, 4b
Ayırıcı Kıyas
Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)
p ∨ q¬p
∴ q
1. p ∨ q A
2. ¬p A
3. p → Y 2
4a1. p PA
4a2. Y ImpE : 3, 4a1
4a. q CTR : 4a2
4b1. q PA
4b. q ID : 4b1
5. q OrE : 1, 4a, 4b
Ayırıcı Kıyas
Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)
p ∨ q¬p
∴ q
1. p ∨ q A
2. ¬p A
3. p → Y 2
4a1. p PA
4a2. Y ImpE : 3, 4a1
4a. q CTR : 4a2
4b1. q PA
4b. q ID : 4b1
5. q OrE : 1, 4a, 4b
Ayırıcı Kıyas
Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)
p ∨ q¬p
∴ q
1. p ∨ q A
2. ¬p A
3. p → Y 2
4a1. p PA
4a2. Y ImpE : 3, 4a1
4a. q CTR : 4a2
4b1. q PA
4b. q ID : 4b1
5. q OrE : 1, 4a, 4b
Ayırıcı Kıyas
Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)
p ∨ q¬p
∴ q
1. p ∨ q A
2. ¬p A
3. p → Y 2
4a1. p PA
4a2. Y ImpE : 3, 4a1
4a. q CTR : 4a2
4b1. q PA
4b. q ID : 4b1
5. q OrE : 1, 4a, 4b
Ayırıcı Kıyas
Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)
p ∨ q¬p
∴ q
1. p ∨ q A
2. ¬p A
3. p → Y 2
4a1. p PA
4a2. Y ImpE : 3, 4a1
4a. q CTR : 4a2
4b1. q PA
4b. q ID : 4b1
5. q OrE : 1, 4a, 4b
Ayırıcı Kıyas
Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)
p ∨ q¬p
∴ q
1. p ∨ q A
2. ¬p A
3. p → Y 2
4a1. p PA
4a2. Y ImpE : 3, 4a1
4a. q CTR : 4a2
4b1. q PA
4b. q ID : 4b1
5. q OrE : 1, 4a, 4b
Ayırıcı Kıyas
Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)
p ∨ q¬p
∴ q
1. p ∨ q A
2. ¬p A
3. p → Y 2
4a1. p PA
4a2. Y ImpE : 3, 4a1
4a. q CTR : 4a2
4b1. q PA
4b. q ID : 4b1
5. q OrE : 1, 4a, 4b
Ayırıcı Kıyas
Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)
p ∨ q¬p
∴ q
1. p ∨ q A
2. ¬p A
3. p → Y 2
4a1. p PA
4a2. Y ImpE : 3, 4a1
4a. q CTR : 4a2
4b1. q PA
4b. q ID : 4b1
5. q OrE : 1, 4a, 4b
Ayırıcı Kıyas
Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)
p ∨ q¬p
∴ q
1. p ∨ q A
2. ¬p A
3. p → Y 2
4a1. p PA
4a2. Y ImpE : 3, 4a1
4a. q CTR : 4a2
4b1. q PA
4b. q ID : 4b1
5. q OrE : 1, 4a, 4b
Ayırıcı Kıyas Ornegi
Ornek
Ali’nin cuzdanı cebinde veya masasında.
Ali’nin cuzdanı cebinde degil.
O halde, Ali’nin cuzdanı masasında.
Ayırıcı Kıyas Ornegi
Ornek
Ali’nin cuzdanı cebinde veya masasında.
Ali’nin cuzdanı cebinde degil.
O halde, Ali’nin cuzdanı masasında.
Varsayımlı Kıyas
Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)
p → qq → r
∴ p → r
1. p PA
2. p → q A
3. q ImpE : 2, 1
4. q → r A
5. r ImpE : 4, 3
6. p → r ImpI : 1, 5
Varsayımlı Kıyas
Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)
p → qq → r
∴ p → r
1. p PA
2. p → q A
3. q ImpE : 2, 1
4. q → r A
5. r ImpE : 4, 3
6. p → r ImpI : 1, 5
Varsayımlı Kıyas
Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)
p → qq → r
∴ p → r
1. p PA
2. p → q A
3. q ImpE : 2, 1
4. q → r A
5. r ImpE : 4, 3
6. p → r ImpI : 1, 5
Varsayımlı Kıyas
Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)
p → qq → r
∴ p → r
1. p PA
2. p → q A
3. q ImpE : 2, 1
4. q → r A
5. r ImpE : 4, 3
6. p → r ImpI : 1, 5
Varsayımlı Kıyas
Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)
p → qq → r
∴ p → r
1. p PA
2. p → q A
3. q ImpE : 2, 1
4. q → r A
5. r ImpE : 4, 3
6. p → r ImpI : 1, 5
Varsayımlı Kıyas
Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)
p → qq → r
∴ p → r
1. p PA
2. p → q A
3. q ImpE : 2, 1
4. q → r A
5. r ImpE : 4, 3
6. p → r ImpI : 1, 5
Varsayımlı Kıyas
Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)
p → qq → r
∴ p → r
1. p PA
2. p → q A
3. q ImpE : 2, 1
4. q → r A
5. r ImpE : 4, 3
6. p → r ImpI : 1, 5
Varsayımlı Kıyas Ornegi
Ornek (Uzay Yolu)
Spock - Yarbay Decker:
Su anda dusman gemisine saldırmak intihar olur.Intihara tesebbus eden biri Atılgan’ın komutanlıgınıyapmaya psikolojik olarak yetkin degildir.O halde, sizi gorevden almak zorundayım.
Varsayımlı Kıyas Ornegi
Ornek (Uzay Yolu)
p: Decker dusman gemisine saldırır.
q: Decker intihara tesebbus eder.
r : Decker Atılgan’ın komutanlıgını yapmaya psikolojik olarakyetkin degildir.
s: Spock Decker’ı gorevden alır.
Varsayımlı Kıyas Ornegi
Ornek
pp → qq → rr → s
∴ s
1. p → q A
2. q → r A
3. p → r HS : 1, 2
4. r → s A
5. p → s HS : 3, 4
6. p A
7. s ImpE : 5, 6
Varsayımlı Kıyas Ornegi
Ornek
pp → qq → rr → s
∴ s
1. p → q A
2. q → r A
3. p → r HS : 1, 2
4. r → s A
5. p → s HS : 3, 4
6. p A
7. s ImpE : 5, 6
Varsayımlı Kıyas Ornegi
Ornek
pp → qq → rr → s
∴ s
1. p → q A
2. q → r A
3. p → r HS : 1, 2
4. r → s A
5. p → s HS : 3, 4
6. p A
7. s ImpE : 5, 6
Varsayımlı Kıyas Ornegi
Ornek
pp → qq → rr → s
∴ s
1. p → q A
2. q → r A
3. p → r HS : 1, 2
4. r → s A
5. p → s HS : 3, 4
6. p A
7. s ImpE : 5, 6
Varsayımlı Kıyas Ornegi
Ornek
pp → qq → rr → s
∴ s
1. p → q A
2. q → r A
3. p → r HS : 1, 2
4. r → s A
5. p → s HS : 3, 4
6. p A
7. s ImpE : 5, 6
Varsayımlı Kıyas Ornegi
Ornek
pp → qq → rr → s
∴ s
1. p → q A
2. q → r A
3. p → r HS : 1, 2
4. r → s A
5. p → s HS : 3, 4
6. p A
7. s ImpE : 5, 6
Varsayımlı Kıyas Ornegi
Ornek
pp → qq → rr → s
∴ s
1. p → q A
2. q → r A
3. p → r HS : 1, 2
4. r → s A
5. p → s HS : 3, 4
6. p A
7. s ImpE : 5, 6
Varsayımlı Kıyas Ornegi
Ornek
pp → qq → rr → s
∴ s
1. p → q A
2. q → r A
3. p → r HS : 1, 2
4. r → s A
5. p → s HS : 3, 4
6. p A
7. s ImpE : 5, 6
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u
∴ ¬p
1. u ∨ ¬x A
2. ¬u A
3. ¬x DS : 1, 2
4. x ∨ ¬s A
5. ¬s DS : 4, 3
6. r → s A
7. ¬r MT : 6, 5
8. p → r A
9. ¬p MT : 8, 7
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u
∴ ¬p
1. u ∨ ¬x A
2. ¬u A
3. ¬x DS : 1, 2
4. x ∨ ¬s A
5. ¬s DS : 4, 3
6. r → s A
7. ¬r MT : 6, 5
8. p → r A
9. ¬p MT : 8, 7
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u
∴ ¬p
1. u ∨ ¬x A
2. ¬u A
3. ¬x DS : 1, 2
4. x ∨ ¬s A
5. ¬s DS : 4, 3
6. r → s A
7. ¬r MT : 6, 5
8. p → r A
9. ¬p MT : 8, 7
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u
∴ ¬p
1. u ∨ ¬x A
2. ¬u A
3. ¬x DS : 1, 2
4. x ∨ ¬s A
5. ¬s DS : 4, 3
6. r → s A
7. ¬r MT : 6, 5
8. p → r A
9. ¬p MT : 8, 7
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u
∴ ¬p
1. u ∨ ¬x A
2. ¬u A
3. ¬x DS : 1, 2
4. x ∨ ¬s A
5. ¬s DS : 4, 3
6. r → s A
7. ¬r MT : 6, 5
8. p → r A
9. ¬p MT : 8, 7
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u
∴ ¬p
1. u ∨ ¬x A
2. ¬u A
3. ¬x DS : 1, 2
4. x ∨ ¬s A
5. ¬s DS : 4, 3
6. r → s A
7. ¬r MT : 6, 5
8. p → r A
9. ¬p MT : 8, 7
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u
∴ ¬p
1. u ∨ ¬x A
2. ¬u A
3. ¬x DS : 1, 2
4. x ∨ ¬s A
5. ¬s DS : 4, 3
6. r → s A
7. ¬r MT : 6, 5
8. p → r A
9. ¬p MT : 8, 7
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u
∴ ¬p
1. u ∨ ¬x A
2. ¬u A
3. ¬x DS : 1, 2
4. x ∨ ¬s A
5. ¬s DS : 4, 3
6. r → s A
7. ¬r MT : 6, 5
8. p → r A
9. ¬p MT : 8, 7
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u
∴ ¬p
1. u ∨ ¬x A
2. ¬u A
3. ¬x DS : 1, 2
4. x ∨ ¬s A
5. ¬s DS : 4, 3
6. r → s A
7. ¬r MT : 6, 5
8. p → r A
9. ¬p MT : 8, 7
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u
∴ ¬p
1. u ∨ ¬x A
2. ¬u A
3. ¬x DS : 1, 2
4. x ∨ ¬s A
5. ¬s DS : 4, 3
6. r → s A
7. ¬r MT : 6, 5
8. p → r A
9. ¬p MT : 8, 7
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x
∴ p
1. r → x A
2. ¬x A
3. ¬r MT : 1, 2
4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3
5. ¬(r ∧ s) DM : 4
6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A
7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5
8. p ∧ q DM : 7
9. p AndE : 8
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x
∴ p
1. r → x A
2. ¬x A
3. ¬r MT : 1, 2
4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3
5. ¬(r ∧ s) DM : 4
6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A
7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5
8. p ∧ q DM : 7
9. p AndE : 8
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x
∴ p
1. r → x A
2. ¬x A
3. ¬r MT : 1, 2
4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3
5. ¬(r ∧ s) DM : 4
6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A
7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5
8. p ∧ q DM : 7
9. p AndE : 8
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x
∴ p
1. r → x A
2. ¬x A
3. ¬r MT : 1, 2
4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3
5. ¬(r ∧ s) DM : 4
6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A
7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5
8. p ∧ q DM : 7
9. p AndE : 8
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x
∴ p
1. r → x A
2. ¬x A
3. ¬r MT : 1, 2
4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3
5. ¬(r ∧ s) DM : 4
6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A
7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5
8. p ∧ q DM : 7
9. p AndE : 8
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x
∴ p
1. r → x A
2. ¬x A
3. ¬r MT : 1, 2
4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3
5. ¬(r ∧ s) DM : 4
6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A
7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5
8. p ∧ q DM : 7
9. p AndE : 8
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x
∴ p
1. r → x A
2. ¬x A
3. ¬r MT : 1, 2
4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3
5. ¬(r ∧ s) DM : 4
6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A
7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5
8. p ∧ q DM : 7
9. p AndE : 8
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x
∴ p
1. r → x A
2. ¬x A
3. ¬r MT : 1, 2
4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3
5. ¬(r ∧ s) DM : 4
6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A
7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5
8. p ∧ q DM : 7
9. p AndE : 8
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x
∴ p
1. r → x A
2. ¬x A
3. ¬r MT : 1, 2
4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3
5. ¬(r ∧ s) DM : 4
6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A
7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5
8. p ∧ q DM : 7
9. p AndE : 8
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x
∴ p
1. r → x A
2. ¬x A
3. ¬r MT : 1, 2
4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3
5. ¬(r ∧ s) DM : 4
6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A
7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5
8. p ∧ q DM : 7
9. p AndE : 8
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p
ps
∴ Y
1. q → ¬p A
2. p A
3. ¬q MT : 1, 2
4. s A
5. s → ¬r A
6. ¬r ImpE : 5, 4
7. p → (q ∨ r) A
8. q ∨ r ImpE : 7, 2
9. q DS : 8, 6
10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
Eger yagmur yagması olasılıgı varsa veya sac bandını bulamazsa,Filiz cimleri bicmez. Hava sıcaklıgı 20 dereceden fazlaysayagmur yagma olasılıgı yoktur. Bugun hava sıcaklıgı 22 dereceve Filiz sac bandını takmıs. O halde, Filiz cimleri bicecek.
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
p: Yagmur yagabilir.
q: Filiz’in sac bandı kayıp.
r : Filiz cimleri bicer.
s: Hava sıcaklıgı 20 dereceden fazla.
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q
∴ r
1. s ∧ ¬q A
2. s AndE : 1
3. s → ¬p A
4. ¬p ImpE : 3, 2
5. ¬q AndE : 1
6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5
7. ¬(p ∨ q) DM : 6
8. (p ∨ q)→ ¬r A
9. ? 7, 8
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q
∴ r
1. s ∧ ¬q A
2. s AndE : 1
3. s → ¬p A
4. ¬p ImpE : 3, 2
5. ¬q AndE : 1
6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5
7. ¬(p ∨ q) DM : 6
8. (p ∨ q)→ ¬r A
9. ? 7, 8
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q
∴ r
1. s ∧ ¬q A
2. s AndE : 1
3. s → ¬p A
4. ¬p ImpE : 3, 2
5. ¬q AndE : 1
6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5
7. ¬(p ∨ q) DM : 6
8. (p ∨ q)→ ¬r A
9. ? 7, 8
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q
∴ r
1. s ∧ ¬q A
2. s AndE : 1
3. s → ¬p A
4. ¬p ImpE : 3, 2
5. ¬q AndE : 1
6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5
7. ¬(p ∨ q) DM : 6
8. (p ∨ q)→ ¬r A
9. ? 7, 8
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q
∴ r
1. s ∧ ¬q A
2. s AndE : 1
3. s → ¬p A
4. ¬p ImpE : 3, 2
5. ¬q AndE : 1
6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5
7. ¬(p ∨ q) DM : 6
8. (p ∨ q)→ ¬r A
9. ? 7, 8
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q
∴ r
1. s ∧ ¬q A
2. s AndE : 1
3. s → ¬p A
4. ¬p ImpE : 3, 2
5. ¬q AndE : 1
6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5
7. ¬(p ∨ q) DM : 6
8. (p ∨ q)→ ¬r A
9. ? 7, 8
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q
∴ r
1. s ∧ ¬q A
2. s AndE : 1
3. s → ¬p A
4. ¬p ImpE : 3, 2
5. ¬q AndE : 1
6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5
7. ¬(p ∨ q) DM : 6
8. (p ∨ q)→ ¬r A
9. ? 7, 8
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q
∴ r
1. s ∧ ¬q A
2. s AndE : 1
3. s → ¬p A
4. ¬p ImpE : 3, 2
5. ¬q AndE : 1
6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5
7. ¬(p ∨ q) DM : 6
8. (p ∨ q)→ ¬r A
9. ? 7, 8
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q
∴ r
1. s ∧ ¬q A
2. s AndE : 1
3. s → ¬p A
4. ¬p ImpE : 3, 2
5. ¬q AndE : 1
6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5
7. ¬(p ∨ q) DM : 6
8. (p ∨ q)→ ¬r A
9. ? 7, 8
Akıl Yurutme Ornekleri
Ornek
(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q
∴ r
1. s ∧ ¬q A
2. s AndE : 1
3. s → ¬p A
4. ¬p ImpE : 3, 2
5. ¬q AndE : 1
6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5
7. ¬(p ∨ q) DM : 6
8. (p ∨ q)→ ¬r A
9. ? 7, 8
Kaynaklar
Okunacak: Grimaldi
Chapter 2: Fundamentals of Logic
2.1. Basic Connectives and Truth Tables2.2. Logical Equivalence: The Laws of Logic2.3. Logical Implication: Rules of Inference
Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page
Chapter 6: Propositional Logic