Ayrık Matematik - Tanıtlama

145
Ayrık Matematik Tanıtlama H. Turgut Uyar Ay¸ seg¨ ul Gen¸ cata Yayımlı Emre Harmancı 2001-2013

description

Tanıt teknikleri, çelişkiyle tanıt, tümevarım.

Transcript of Ayrık Matematik - Tanıtlama

Page 1: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Ayrık MatematikTanıtlama

H. Turgut Uyar Aysegul Gencata Yayımlı Emre Harmancı

2001-2013

Page 2: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Lisans

c©2001-2013 T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı

You are free:

to Share – to copy, distribute and transmit the work

to Remix – to adapt the work

Under the following conditions:

Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in anyway that suggests that they endorse you or your use of the work).

Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes.

Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work onlyunder the same or similar license to this one.

Legal code (the full license):http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/

Page 3: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Konular

1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları

2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım

Page 4: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Konular

1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları

2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım

Page 5: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Kaba Kuvvet Yontemi

olası butun durumları teker teker incelemek

Teorem

{2, 4, 6, . . . , 26} kumesinden secilecek her sayı,en fazla 3 tamkarenin toplamı seklinde yazılabilir.

Tanıt.2 = 1+1 10 = 9+1 20 = 16+44 = 4 12 = 4+4+4 22 = 9+9+46 = 4+1+1 14 = 9+4+1 24 = 16+4+48 = 4+4 16 = 16 26 = 25+1

18 = 9+9

Page 6: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Kaba Kuvvet Yontemi

olası butun durumları teker teker incelemek

Teorem

{2, 4, 6, . . . , 26} kumesinden secilecek her sayı,en fazla 3 tamkarenin toplamı seklinde yazılabilir.

Tanıt.2 = 1+1 10 = 9+1 20 = 16+44 = 4 12 = 4+4+4 22 = 9+9+46 = 4+1+1 14 = 9+4+1 24 = 16+4+48 = 4+4 16 = 16 26 = 25+1

18 = 9+9

Page 7: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Kaba Kuvvet Yontemi

olası butun durumları teker teker incelemek

Teorem

{2, 4, 6, . . . , 26} kumesinden secilecek her sayı,en fazla 3 tamkarenin toplamı seklinde yazılabilir.

Tanıt.2 = 1+1 10 = 9+1 20 = 16+44 = 4 12 = 4+4+4 22 = 9+9+46 = 4+1+1 14 = 9+4+1 24 = 16+4+48 = 4+4 16 = 16 26 = 25+1

18 = 9+9

Page 8: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Temel Kurallar

Evrensel Ozellestirme (Universal Specification - US)

∀x p(x) ⇒ p(a)

Evrensel Genellestirme (Universal Generalization - UG)

rasgele secilen bir a icin p(a) ⇒ ∀x p(x)

Page 9: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Temel Kurallar

Evrensel Ozellestirme (Universal Specification - US)

∀x p(x) ⇒ p(a)

Evrensel Genellestirme (Universal Generalization - UG)

rasgele secilen bir a icin p(a) ⇒ ∀x p(x)

Page 10: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Evrensel Ozellestirme Ornegi

Ornek

Butun insanlar olumludur. Sokrates bir insandır.O halde Sokrates olumludur.

U : butun insanlar

p(x): x olumludur

∀x p(x): Butun insanlar olumludur.

a: Sokrates, a ∈ U : Sokrates bir insandır.

o halde, p(a): Sokrates olumludur.

Page 11: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Evrensel Ozellestirme Ornegi

Ornek

Butun insanlar olumludur. Sokrates bir insandır.O halde Sokrates olumludur.

U : butun insanlar

p(x): x olumludur

∀x p(x): Butun insanlar olumludur.

a: Sokrates, a ∈ U : Sokrates bir insandır.

o halde, p(a): Sokrates olumludur.

Page 12: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Evrensel Ozellestirme Ornegi

Ornek

∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)

∴ ¬s(m)

1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A

2. p(m) A

3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1

4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2

5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4

6. ¬s(m) AndE : 5

Page 13: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Evrensel Ozellestirme Ornegi

Ornek

∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)

∴ ¬s(m)

1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A

2. p(m) A

3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1

4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2

5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4

6. ¬s(m) AndE : 5

Page 14: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Evrensel Ozellestirme Ornegi

Ornek

∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)

∴ ¬s(m)

1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A

2. p(m) A

3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1

4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2

5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4

6. ¬s(m) AndE : 5

Page 15: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Evrensel Ozellestirme Ornegi

Ornek

∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)

∴ ¬s(m)

1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A

2. p(m) A

3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1

4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2

5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4

6. ¬s(m) AndE : 5

Page 16: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Evrensel Ozellestirme Ornegi

Ornek

∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)

∴ ¬s(m)

1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A

2. p(m) A

3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1

4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2

5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4

6. ¬s(m) AndE : 5

Page 17: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Evrensel Ozellestirme Ornegi

Ornek

∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)

∴ ¬s(m)

1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A

2. p(m) A

3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1

4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2

5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4

6. ¬s(m) AndE : 5

Page 18: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Evrensel Ozellestirme Ornegi

Ornek

∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)]p(m)

∴ ¬s(m)

1. ∀x [j(x) ∨ s(x) → ¬p(x)] A

2. p(m) A

3. j(m) ∨ s(m) → ¬p(m) US : 1

4. ¬(j(m) ∨ s(m)) MT : 3, 2

5. ¬j(m) ∧ ¬s(m) DM : 4

6. ¬s(m) AndE : 5

Page 19: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Evrensel Genellestirme Ornegi

Ornek

∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]

∴ ∀x [p(x) → r(x)]

1. ∀x [p(x) → q(x)] A

2. p(c) → q(c) US : 1

3. ∀x [q(x) → r(x)] A

4. q(c) → r(c) US : 3

5. p(c) → r(c) HS : 2, 4

6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5

Page 20: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Evrensel Genellestirme Ornegi

Ornek

∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]

∴ ∀x [p(x) → r(x)]

1. ∀x [p(x) → q(x)] A

2. p(c) → q(c) US : 1

3. ∀x [q(x) → r(x)] A

4. q(c) → r(c) US : 3

5. p(c) → r(c) HS : 2, 4

6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5

Page 21: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Evrensel Genellestirme Ornegi

Ornek

∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]

∴ ∀x [p(x) → r(x)]

1. ∀x [p(x) → q(x)] A

2. p(c) → q(c) US : 1

3. ∀x [q(x) → r(x)] A

4. q(c) → r(c) US : 3

5. p(c) → r(c) HS : 2, 4

6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5

Page 22: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Evrensel Genellestirme Ornegi

Ornek

∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]

∴ ∀x [p(x) → r(x)]

1. ∀x [p(x) → q(x)] A

2. p(c) → q(c) US : 1

3. ∀x [q(x) → r(x)] A

4. q(c) → r(c) US : 3

5. p(c) → r(c) HS : 2, 4

6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5

Page 23: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Evrensel Genellestirme Ornegi

Ornek

∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]

∴ ∀x [p(x) → r(x)]

1. ∀x [p(x) → q(x)] A

2. p(c) → q(c) US : 1

3. ∀x [q(x) → r(x)] A

4. q(c) → r(c) US : 3

5. p(c) → r(c) HS : 2, 4

6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5

Page 24: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Evrensel Genellestirme Ornegi

Ornek

∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]

∴ ∀x [p(x) → r(x)]

1. ∀x [p(x) → q(x)] A

2. p(c) → q(c) US : 1

3. ∀x [q(x) → r(x)] A

4. q(c) → r(c) US : 3

5. p(c) → r(c) HS : 2, 4

6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5

Page 25: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Evrensel Genellestirme Ornegi

Ornek

∀x [p(x) → q(x)]∀x [q(x) → r(x)]

∴ ∀x [p(x) → r(x)]

1. ∀x [p(x) → q(x)] A

2. p(c) → q(c) US : 1

3. ∀x [q(x) → r(x)] A

4. q(c) → r(c) US : 3

5. p(c) → r(c) HS : 2, 4

6. ∀x [p(x) → r(x)] UG : 5

Page 26: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Bos Tanıt

bos tanıt

P ⇒ Q tanıtı icin P’nin yanlıs oldugunu gostermek

Page 27: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Bos Tanıt Ornegi

Teorem

∀S [∅ ⊆ S ]

Tanıt.

∅ ⊆ S ⇔ ∀x [x ∈ ∅ → x ∈ S ]∀x [x /∈ ∅]

Page 28: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Bos Tanıt Ornegi

Teorem

∀S [∅ ⊆ S ]

Tanıt.

∅ ⊆ S ⇔ ∀x [x ∈ ∅ → x ∈ S ]∀x [x /∈ ∅]

Page 29: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Bos Tanıt Ornegi

Teorem

∀S [∅ ⊆ S ]

Tanıt.

∅ ⊆ S ⇔ ∀x [x ∈ ∅ → x ∈ S ]∀x [x /∈ ∅]

Page 30: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Degersiz Tanıt

degersiz tanıt

P ⇒ Q tanıtı icin Q’nun dogru oldugunu gostermek

Page 31: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Degersiz Tanıt Ornegi

Teorem

∀x ∈ R [x ≥ 0 ⇒ x2 ≥ 0]

Tanıt.

∀x ∈ R [x2 ≥ 0]

Page 32: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Degersiz Tanıt Ornegi

Teorem

∀x ∈ R [x ≥ 0 ⇒ x2 ≥ 0]

Tanıt.

∀x ∈ R [x2 ≥ 0]

Page 33: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Konular

1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları

2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım

Page 34: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Dogrudan Tanıt

dogrudan tanıt

P ⇒ Q tanıtı icin P ` Q oldugunu gostermek

Page 35: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Dogrudan Tanıt Ornegi

Teorem

∀a ∈ Z [3|(a− 2) ⇒ 3|(a2 − 1)]

Tanıt.

3|(a− 2) ⇒ ∃k ∈ N [a− 2 = 3k]

⇒ a + 1 = a− 2 + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1)

⇒ a2 − 1 = (a + 1)(a− 1) = 3(k + 1)(a− 1)

Page 36: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Dogrudan Tanıt Ornegi

Teorem

∀a ∈ Z [3|(a− 2) ⇒ 3|(a2 − 1)]

Tanıt.

3|(a− 2) ⇒ ∃k ∈ N [a− 2 = 3k]

⇒ a + 1 = a− 2 + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1)

⇒ a2 − 1 = (a + 1)(a− 1) = 3(k + 1)(a− 1)

Page 37: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Dogrudan Tanıt Ornegi

Teorem

∀a ∈ Z [3|(a− 2) ⇒ 3|(a2 − 1)]

Tanıt.

3|(a− 2) ⇒ ∃k ∈ N [a− 2 = 3k]

⇒ a + 1 = a− 2 + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1)

⇒ a2 − 1 = (a + 1)(a− 1) = 3(k + 1)(a− 1)

Page 38: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Dogrudan Tanıt Ornegi

Teorem

∀a ∈ Z [3|(a− 2) ⇒ 3|(a2 − 1)]

Tanıt.

3|(a− 2) ⇒ ∃k ∈ N [a− 2 = 3k]

⇒ a + 1 = a− 2 + 3 = 3k + 3 = 3(k + 1)

⇒ a2 − 1 = (a + 1)(a− 1) = 3(k + 1)(a− 1)

Page 39: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Dolaylı Tanıt

dolaylı tanıt

P ⇒ Q tanıtı icin ¬Q ` ¬P oldugunu gostermek

Page 40: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Dolaylı Tanıt Ornegi

Teorem

∀x , y ∈ N [x · y > 25 ⇒ (x > 5) ∨ (y > 5)]

Tanıt.

¬Q ⇔ (0 ≤ x ≤ 5) ∧ (0 ≤ y ≤ 5)

x · y ≤ 5 · 5 = 25

Page 41: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Dolaylı Tanıt Ornegi

Teorem

∀x , y ∈ N [x · y > 25 ⇒ (x > 5) ∨ (y > 5)]

Tanıt.

¬Q ⇔ (0 ≤ x ≤ 5) ∧ (0 ≤ y ≤ 5)

x · y ≤ 5 · 5 = 25

Page 42: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Dolaylı Tanıt Ornegi

Teorem

∀x , y ∈ N [x · y > 25 ⇒ (x > 5) ∨ (y > 5)]

Tanıt.

¬Q ⇔ (0 ≤ x ≤ 5) ∧ (0 ≤ y ≤ 5)

x · y ≤ 5 · 5 = 25

Page 43: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Dolaylı Tanıt Ornegi

Teorem

∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])

Tanıt.

¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])

⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])

⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)

⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1

⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1

⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])

Page 44: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Dolaylı Tanıt Ornegi

Teorem

∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])

Tanıt.

¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])

⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])

⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)

⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1

⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1

⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])

Page 45: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Dolaylı Tanıt Ornegi

Teorem

∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])

Tanıt.

¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])

⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])

⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)

⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1

⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1

⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])

Page 46: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Dolaylı Tanıt Ornegi

Teorem

∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])

Tanıt.

¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])

⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])

⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)

⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1

⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1

⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])

Page 47: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Dolaylı Tanıt Ornegi

Teorem

∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])

Tanıt.

¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])

⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])

⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)

⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1

⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1

⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])

Page 48: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Dolaylı Tanıt Ornegi

Teorem

∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])

Tanıt.

¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])

⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])

⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)

⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1

⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1

⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])

Page 49: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Dolaylı Tanıt Ornegi

Teorem

∀a, b ∈ N∃k ∈ N [ab = 2k] ⇒ (∃i ∈ N [a = 2i ]) ∨ (∃j ∈ N [b = 2j ])

Tanıt.

¬Q ⇔ (¬∃i ∈ N [a = 2i ]) ∧ (¬∃j ∈ N [b = 2j ])

⇒ (∃x ∈ N [a = 2x + 1]) ∧ (∃y ∈ N [b = 2y + 1])

⇒ ab = (2x + 1)(2y + 1)

⇒ ab = 4xy + 2x + 2y + 1

⇒ ab = 2(2xy + x + y) + 1

⇒ ¬(∃k ∈ N [ab = 2k])

Page 50: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Konular

1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları

2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım

Page 51: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Celiskiyle Tanıt

celiskiyle tanıt

P tanıtı icin ¬P ` Q ∧ ¬Q oldugunu gostermek

Page 52: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

En buyuk asal sayı yoktur.

Tanıt.

¬P: En buyuk asal sayı vardır.

Q: En buyuk asal sayı S .

asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez

1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q

Page 53: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

En buyuk asal sayı yoktur.

Tanıt.

¬P: En buyuk asal sayı vardır.

Q: En buyuk asal sayı S .

asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez

1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q

Page 54: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

En buyuk asal sayı yoktur.

Tanıt.

¬P: En buyuk asal sayı vardır.

Q: En buyuk asal sayı S .

asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez

1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q

Page 55: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

En buyuk asal sayı yoktur.

Tanıt.

¬P: En buyuk asal sayı vardır.

Q: En buyuk asal sayı S .

asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez

1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q

Page 56: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

En buyuk asal sayı yoktur.

Tanıt.

¬P: En buyuk asal sayı vardır.

Q: En buyuk asal sayı S .

asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez

1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q

Page 57: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

En buyuk asal sayı yoktur.

Tanıt.

¬P: En buyuk asal sayı vardır.

Q: En buyuk asal sayı S .

asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez

1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q

Page 58: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

En buyuk asal sayı yoktur.

Tanıt.

¬P: En buyuk asal sayı vardır.

Q: En buyuk asal sayı S .

asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, . . . ,S

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · · ·S + 1 sayısı,[2,S ] aralıgındaki hicbir asal sayıya kalansız bolunmez

1 ya kendisi asaldır: ¬Q2 ya da S ’den buyuk bir asal sayıya bolunur: ¬Q

Page 59: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Page 60: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Page 61: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Page 62: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Page 63: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Page 64: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Page 65: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Page 66: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Page 67: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Page 68: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Page 69: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Celiskiyle Tanıt Ornegi

Teorem

¬∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Tanıt.

¬P: ∃a, b ∈ Z+ [√

2 = ab ]

Q: obeb(a, b) = 1

⇒ 2 =a2

b2

⇒ a2 = 2b2

⇒ ∃i ∈ Z+ [a2 = 2i ]

⇒ ∃j ∈ Z+ [a = 2j ]

⇒ 4j2 = 2b2

⇒ b2 = 2j2

⇒ ∃k ∈ Z+ [b2 = 2k]

⇒ ∃l ∈ Z+ [b = 2l ]

⇒ obeb(a, b) ≥ 2 : ¬Q

Page 70: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Konular

1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları

2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım

Page 71: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtları

P ⇔ Q tanıtı icin hem P ⇒ Q, hem de Q ⇒ P tanıtlanmalı

P1 ⇔ P2 ⇔ · · · ⇔ Pn tanıtı icin bir yontem:P1 ⇒ P2 ⇒ · · · ⇒ Pn ⇒ P1

Page 72: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtları

P ⇔ Q tanıtı icin hem P ⇒ Q, hem de Q ⇒ P tanıtlanmalı

P1 ⇔ P2 ⇔ · · · ⇔ Pn tanıtı icin bir yontem:P1 ⇒ P2 ⇒ · · · ⇒ Pn ⇒ P1

Page 73: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

Teorem

a, b, n, q1, r1, q2, r2 ∈ Z+

a = q1 · n + r1b = q2 · n + r2

r1 = r2 ⇔ n|(a− b)

Page 74: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

r1 = r2 ⇒ n|(a− b).

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ a− b = (q1 − q2) · n

n|(a− b) ⇒ r1 = r2.

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ r1 = r2

Page 75: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

r1 = r2 ⇒ n|(a− b).

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ a− b = (q1 − q2) · n

n|(a− b) ⇒ r1 = r2.

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ r1 = r2

Page 76: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

r1 = r2 ⇒ n|(a− b).

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ a− b = (q1 − q2) · n

n|(a− b) ⇒ r1 = r2.

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ r1 = r2

Page 77: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

r1 = r2 ⇒ n|(a− b).

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ a− b = (q1 − q2) · n

n|(a− b) ⇒ r1 = r2.

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ r1 = r2

Page 78: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

r1 = r2 ⇒ n|(a− b).

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ a− b = (q1 − q2) · n

n|(a− b) ⇒ r1 = r2.

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ r1 = r2

Page 79: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

r1 = r2 ⇒ n|(a− b).

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ a− b = (q1 − q2) · n

n|(a− b) ⇒ r1 = r2.

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ r1 = r2

Page 80: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

r1 = r2 ⇒ n|(a− b).

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ a− b = (q1 − q2) · n

n|(a− b) ⇒ r1 = r2.

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ r1 = r2

Page 81: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

r1 = r2 ⇒ n|(a− b).

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

r1 = r2 ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ a− b = (q1 − q2) · n

n|(a− b) ⇒ r1 = r2.

a− b = (q1 · n + r1)

−(q2 · n + r2)

= (q1 − q2) · n+(r1 − r2)

n|(a− b) ⇒ r1 − r2 = 0

⇒ r1 = r2

Page 82: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

Teorem

A ⊆ B

⇔ A ∪ B = B

⇔ A ∩ B = A

⇔ B ⊆ A

Page 83: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.

A ∪ B = B ⇔ A ∪ B ⊆ B ∧ B ⊆ A ∪ B

B ⊆ A ∪ B x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B

A ⊆ B ⇒ x ∈ B

⇒ A ∪ B ⊆ B

Page 84: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.

A ∪ B = B ⇔ A ∪ B ⊆ B ∧ B ⊆ A ∪ B

B ⊆ A ∪ B x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B

A ⊆ B ⇒ x ∈ B

⇒ A ∪ B ⊆ B

Page 85: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.

A ∪ B = B ⇔ A ∪ B ⊆ B ∧ B ⊆ A ∪ B

B ⊆ A ∪ B x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B

A ⊆ B ⇒ x ∈ B

⇒ A ∪ B ⊆ B

Page 86: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.

A ∪ B = B ⇔ A ∪ B ⊆ B ∧ B ⊆ A ∪ B

B ⊆ A ∪ B x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B

A ⊆ B ⇒ x ∈ B

⇒ A ∪ B ⊆ B

Page 87: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.

A ∪ B = B ⇔ A ∪ B ⊆ B ∧ B ⊆ A ∪ B

B ⊆ A ∪ B x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B

A ⊆ B ⇒ x ∈ B

⇒ A ∪ B ⊆ B

Page 88: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.

A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B

A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B

A ∪ B = B ⇒ y ∈ B

⇒ y ∈ A ∩ B

⇒ A ⊆ A ∩ B

Page 89: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.

A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B

A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B

A ∪ B = B ⇒ y ∈ B

⇒ y ∈ A ∩ B

⇒ A ⊆ A ∩ B

Page 90: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.

A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B

A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B

A ∪ B = B ⇒ y ∈ B

⇒ y ∈ A ∩ B

⇒ A ⊆ A ∩ B

Page 91: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.

A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B

A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B

A ∪ B = B ⇒ y ∈ B

⇒ y ∈ A ∩ B

⇒ A ⊆ A ∩ B

Page 92: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.

A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B

A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B

A ∪ B = B ⇒ y ∈ B

⇒ y ∈ A ∩ B

⇒ A ⊆ A ∩ B

Page 93: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∪ B = B ⇒ A ∩ B = A.

A ∩ B = A ⇔ A ∩ B ⊆ A ∧ A ⊆ A ∩ B

A ∩ B ⊆ Ay ∈ A ⇒ y ∈ A ∪ B

A ∪ B = B ⇒ y ∈ B

⇒ y ∈ A ∩ B

⇒ A ⊆ A ∩ B

Page 94: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A.

z ∈ B ⇒ z /∈ B

⇒ z /∈ A ∩ B

A ∩ B = A ⇒ z /∈ A

⇒ z ∈ A

⇒ B ⊆ A

Page 95: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A.

z ∈ B ⇒ z /∈ B

⇒ z /∈ A ∩ B

A ∩ B = A ⇒ z /∈ A

⇒ z ∈ A

⇒ B ⊆ A

Page 96: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A.

z ∈ B ⇒ z /∈ B

⇒ z /∈ A ∩ B

A ∩ B = A ⇒ z /∈ A

⇒ z ∈ A

⇒ B ⊆ A

Page 97: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A.

z ∈ B ⇒ z /∈ B

⇒ z /∈ A ∩ B

A ∩ B = A ⇒ z /∈ A

⇒ z ∈ A

⇒ B ⊆ A

Page 98: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

A ∩ B = A ⇒ B ⊆ A.

z ∈ B ⇒ z /∈ B

⇒ z /∈ A ∩ B

A ∩ B = A ⇒ z /∈ A

⇒ z ∈ A

⇒ B ⊆ A

Page 99: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

B ⊆ A ⇒ A ⊆ B.

¬(A ⊆ B) ⇒ ∃w [w ∈ A ∧ w /∈ B]

⇒ ∃w [w /∈ A ∧ w ∈ B]

⇒ ¬(B ⊆ A)

Page 100: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

B ⊆ A ⇒ A ⊆ B.

¬(A ⊆ B) ⇒ ∃w [w ∈ A ∧ w /∈ B]

⇒ ∃w [w /∈ A ∧ w ∈ B]

⇒ ¬(B ⊆ A)

Page 101: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Esdegerlilik Tanıtı Ornegi

B ⊆ A ⇒ A ⊆ B.

¬(A ⊆ B) ⇒ ∃w [w ∈ A ∧ w /∈ B]

⇒ ∃w [w /∈ A ∧ w ∈ B]

⇒ ¬(B ⊆ A)

Page 102: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Konular

1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları

2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım

Page 103: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Tumevarım

Tanım

S(n): n ∈ Z+ uzerinde tanımlanan bir yuklem

S(n0) ∧ (∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]) ⇒ ∀n ≥ n0 S(n)

S(n0): taban adımı

∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]: tumevarım adımı

Page 104: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Tumevarım

Tanım

S(n): n ∈ Z+ uzerinde tanımlanan bir yuklem

S(n0) ∧ (∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]) ⇒ ∀n ≥ n0 S(n)

S(n0): taban adımı

∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]: tumevarım adımı

Page 105: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Tumevarım

Tanım

S(n): n ∈ Z+ uzerinde tanımlanan bir yuklem

S(n0) ∧ (∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]) ⇒ ∀n ≥ n0 S(n)

S(n0): taban adımı

∀k ≥ n0 [S(k) ⇒ S(k + 1)]: tumevarım adımı

Page 106: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Tumevarım

Page 107: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]

Tanıt.

n = 1: 1 = 12

n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)

= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2

Page 108: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]

Tanıt.

n = 1: 1 = 12

n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)

= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2

Page 109: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]

Tanıt.

n = 1: 1 = 12

n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)

= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2

Page 110: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]

Tanıt.

n = 1: 1 = 12

n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)

= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2

Page 111: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]

Tanıt.

n = 1: 1 = 12

n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)

= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2

Page 112: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) = n2]

Tanıt.

n = 1: 1 = 12

n = k: 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)

= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2

Page 113: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 4 [2n < n!]

Tanıt.

n = 4: 24 = 16 < 24 = 4!

n = k: 2k < k! kabul edelim

n = k + 1:2k+1 = 2 · 2k < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)!

Page 114: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 4 [2n < n!]

Tanıt.

n = 4: 24 = 16 < 24 = 4!

n = k: 2k < k! kabul edelim

n = k + 1:2k+1 = 2 · 2k < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)!

Page 115: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 4 [2n < n!]

Tanıt.

n = 4: 24 = 16 < 24 = 4!

n = k: 2k < k! kabul edelim

n = k + 1:2k+1 = 2 · 2k < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)!

Page 116: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 4 [2n < n!]

Tanıt.

n = 4: 24 = 16 < 24 = 4!

n = k: 2k < k! kabul edelim

n = k + 1:2k+1 = 2 · 2k < 2 · k! < (k + 1) · k! = (k + 1)!

Page 117: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]

Tanıt.

n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = k: k = 3i + 8j kabul edelim

n = k + 1:

k = 3i + 8j , j > 0 ⇒ k + 1 = k − 8 + 3 · 3⇒ k + 1 = 3(i + 3) + 8(j − 1)k = 3i + 8j , j = 0, i ≥ 5 ⇒ k + 1 = k − 5 · 3 + 2 · 8⇒ k + 1 = 3(i − 5) + 8(j + 2)

Page 118: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]

Tanıt.

n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = k: k = 3i + 8j kabul edelim

n = k + 1:

k = 3i + 8j , j > 0 ⇒ k + 1 = k − 8 + 3 · 3⇒ k + 1 = 3(i + 3) + 8(j − 1)k = 3i + 8j , j = 0, i ≥ 5 ⇒ k + 1 = k − 5 · 3 + 2 · 8⇒ k + 1 = 3(i − 5) + 8(j + 2)

Page 119: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]

Tanıt.

n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = k: k = 3i + 8j kabul edelim

n = k + 1:

k = 3i + 8j , j > 0 ⇒ k + 1 = k − 8 + 3 · 3⇒ k + 1 = 3(i + 3) + 8(j − 1)k = 3i + 8j , j = 0, i ≥ 5 ⇒ k + 1 = k − 5 · 3 + 2 · 8⇒ k + 1 = 3(i − 5) + 8(j + 2)

Page 120: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]

Tanıt.

n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = k: k = 3i + 8j kabul edelim

n = k + 1:

k = 3i + 8j , j > 0 ⇒ k + 1 = k − 8 + 3 · 3⇒ k + 1 = 3(i + 3) + 8(j − 1)k = 3i + 8j , j = 0, i ≥ 5 ⇒ k + 1 = k − 5 · 3 + 2 · 8⇒ k + 1 = 3(i − 5) + 8(j + 2)

Page 121: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Konular

1 Temel TekniklerGirisDogrudan TanıtCeliskiyle TanıtEsdegerlilik Tanıtları

2 TumevarımGirisGuclu Tumevarım

Page 122: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Guclu Tumevarım

Tanım

S(n0) ∧ (∀k ≥ n0 [(∀i ≤ k S(i)) ⇒ S(k + 1)]) ⇒ ∀n ≥ n0 S(n)

Page 123: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Guclu Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 2n asal sayıların carpımı seklinde yazılabilir.

Tanıt.

n = 2: 2 = 2

∀i ≤ k icin dogru kabul edelim

n = k + 1:

1 asalsa: n = n2 asal degilse: n = u · v

u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biriasal sayıların carpımı seklinde yazılabilir

Page 124: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Guclu Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 2n asal sayıların carpımı seklinde yazılabilir.

Tanıt.

n = 2: 2 = 2

∀i ≤ k icin dogru kabul edelim

n = k + 1:

1 asalsa: n = n2 asal degilse: n = u · v

u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biriasal sayıların carpımı seklinde yazılabilir

Page 125: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Guclu Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 2n asal sayıların carpımı seklinde yazılabilir.

Tanıt.

n = 2: 2 = 2

∀i ≤ k icin dogru kabul edelim

n = k + 1:

1 asalsa: n = n2 asal degilse: n = u · v

u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biriasal sayıların carpımı seklinde yazılabilir

Page 126: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Guclu Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 2n asal sayıların carpımı seklinde yazılabilir.

Tanıt.

n = 2: 2 = 2

∀i ≤ k icin dogru kabul edelim

n = k + 1:

1 asalsa: n = n2 asal degilse: n = u · v

u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biriasal sayıların carpımı seklinde yazılabilir

Page 127: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Guclu Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 2n asal sayıların carpımı seklinde yazılabilir.

Tanıt.

n = 2: 2 = 2

∀i ≤ k icin dogru kabul edelim

n = k + 1:

1 asalsa: n = n2 asal degilse: n = u · v

u < k ∧ v < k ⇒ u ve v sayılarının her biriasal sayıların carpımı seklinde yazılabilir

Page 128: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Guclu Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]

Tanıt.

n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = 15: 15 = 3 · 5 + 8 · 0n = 16: 16 = 3 · 0 + 8 · 2n ≤ k: k = 3i + 8j kabul edelim

n = k + 1: k + 1 = (k − 2) + 3

Page 129: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Guclu Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]

Tanıt.

n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = 15: 15 = 3 · 5 + 8 · 0n = 16: 16 = 3 · 0 + 8 · 2n ≤ k: k = 3i + 8j kabul edelim

n = k + 1: k + 1 = (k − 2) + 3

Page 130: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Guclu Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]

Tanıt.

n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = 15: 15 = 3 · 5 + 8 · 0n = 16: 16 = 3 · 0 + 8 · 2n ≤ k: k = 3i + 8j kabul edelim

n = k + 1: k + 1 = (k − 2) + 3

Page 131: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Guclu Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+, n ≥ 14 ∃i , j ∈ N [n = 3i + 8j ]

Tanıt.

n = 14: 14 = 3 · 2 + 8 · 1n = 15: 15 = 3 · 5 + 8 · 0n = 16: 16 = 3 · 0 + 8 · 2n ≤ k: k = 3i + 8j kabul edelim

n = k + 1: k + 1 = (k − 2) + 3

Page 132: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Hatalı Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]

taban adımı gecersiz

n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)

=k2 + k + 2

2+ k + 1 =

k2 + k + 2

2+

2k + 2

2

=k2 + 3k + 4

2=

(k + 1)2 + (k + 1) + 2

2

n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2

Page 133: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Hatalı Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]

taban adımı gecersiz

n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)

=k2 + k + 2

2+ k + 1 =

k2 + k + 2

2+

2k + 2

2

=k2 + 3k + 4

2=

(k + 1)2 + (k + 1) + 2

2

n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2

Page 134: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Hatalı Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]

taban adımı gecersiz

n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)

=k2 + k + 2

2+ k + 1 =

k2 + k + 2

2+

2k + 2

2

=k2 + 3k + 4

2=

(k + 1)2 + (k + 1) + 2

2

n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2

Page 135: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Hatalı Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]

taban adımı gecersiz

n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)

=k2 + k + 2

2+ k + 1 =

k2 + k + 2

2+

2k + 2

2

=k2 + 3k + 4

2=

(k + 1)2 + (k + 1) + 2

2

n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2

Page 136: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Hatalı Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]

taban adımı gecersiz

n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)

=k2 + k + 2

2+ k + 1 =

k2 + k + 2

2+

2k + 2

2

=k2 + 3k + 4

2=

(k + 1)2 + (k + 1) + 2

2

n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2

Page 137: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Hatalı Tumevarım Ornegi

Teorem

∀n ∈ Z+ [1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n2+n+22 ]

taban adımı gecersiz

n = k: 1 + 2 + 3 + · · ·+ k = k2+k+22 kabul edelim

n = k + 1:

1 + 2 + 3 + · · ·+ k + (k + 1)

=k2 + k + 2

2+ k + 1 =

k2 + k + 2

2+

2k + 2

2

=k2 + 3k + 4

2=

(k + 1)2 + (k + 1) + 2

2

n = 1: 1 6= 12+1+22 = 2

Page 138: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Hatalı Tumevarım Ornekleri

Page 139: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Hatalı Tumevarım Ornekleri

Teorem

Butun atlar aynı renktir.

A(n): n atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.

∀n ∈ N+ A(n)

Page 140: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Hatalı Tumevarım Ornekleri

Teorem

Butun atlar aynı renktir.

A(n): n atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.

∀n ∈ N+ A(n)

Page 141: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Hatalı Tumevarım Ornekleri

tumevarım adımı gecersiz

n = 1: A(1)1 atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.

n = k: A(k) dogru kabul edelimk atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.

A(k + 1) = {a1, a2, . . . , ak} ∪ {a2, a3, . . . , ak+1}{a1, a2, . . . , ak} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).{a2, a3, . . . , ak+1} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).

Page 142: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Hatalı Tumevarım Ornekleri

tumevarım adımı gecersiz

n = 1: A(1)1 atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.

n = k: A(k) dogru kabul edelimk atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.

A(k + 1) = {a1, a2, . . . , ak} ∪ {a2, a3, . . . , ak+1}{a1, a2, . . . , ak} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).{a2, a3, . . . , ak+1} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).

Page 143: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Hatalı Tumevarım Ornekleri

tumevarım adımı gecersiz

n = 1: A(1)1 atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.

n = k: A(k) dogru kabul edelimk atlı kumelerdeki butun atlar aynı renktir.

A(k + 1) = {a1, a2, . . . , ak} ∪ {a2, a3, . . . , ak+1}{a1, a2, . . . , ak} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).{a2, a3, . . . , ak+1} kumesindeki butun atlar aynı renktir (a2).

Page 144: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Hatalı Tumevarım Ornekleri

Page 145: Ayrık Matematik - Tanıtlama

Kaynaklar

Okunacak: Grimaldi

Chapter 2: Fundamentals of Logic

2.5. Quantifiers, Definitions, and the Proofs of Theorems

Chapter 4: Properties of Integers: Mathematical Induction

4.1. The Well-Ordering Principle: Mathematical Induction

Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page

Chapter 4: Induction