Wiener Norbert - Soy un Matematico

Soy un matemtico

por

Norbert Wiener

CONSEJO NACIONAL DE CIENCIA Y TECNOLOGIAMEXICO

Ttulo original: I AM A MATHEMATICIAN The later life of a prodigy

Copyright 1956, Norbert WienerPrimera edicin, 1 de agosto de 1964,de M .I.T. Press Paperback Edition,con la autorizacin de Doubleday and Co., Ine.

Traduccin: /tig. Sergio Francisco Beltrn

Consejo Nacional de Qdncia y Tecnologa, 1982Circuito CulturalCentro Cultural Universitari* >Ciudad Universitaria**04515-Mxico, D.F,

ISBN: 968-82S-110-X

Diseo Grfico: Judith Nasser

Impreso y hecho en Mxico Printed and made in Mexico

Al Instituto de Tecnologa de Massachusetts, donde obtuve el estmulo para trabajar y la

libertad pata pensar

Prefacio

Acabo de dictar la ltima palabra de este libro. Ella representa la porcin de mi autobiografa que comienza aproximadamente con mi llegada al MIT en 1919, cuando tena veinticuatro aos de edad. La primera parte, llamada Ex prodigio, trataba de mi infancia y de mi adolescencia, mientras que este libro se ocupa de mi madurez personal y de mi carrera cientfica.

Por esta razn se refiere a mi trabajo, mis viajes y mis experiencias personales, y espero que proporcione una ideP adecuada de mi desarrollo intelectual. Mi principal preocupacin ha consistido en explicar a un pblico no demasiado interesado en la ciencia, y que, desde luego, carece del conocimiento tcnico sobre ella, el desenvolvimiento de ideas que son fundamentalmente cientficas. Por ello he eludido todo lo posible el vocabulario tcnico para traducir mis conceptos al lenguaje cotidiano. Es sta una prctica esplndida para un autor, pero tambin corre el riesgo de no acceder al xito total. A menudo el uso de trminos cientficos se convierte en una jerga, pero es muy difcil expresar algn aspecto significativo de los conceptos cientficos sin el sentido concreto de las denotaciones y connotaciones que la historia de la ciencia ha conferido a estos trminos. Por lo tanto las probabilidades de obtener un xito total son escasas, mucho ms all de lo que un crtico literario pudiera pensar.

As, me he sometido a dos aos de disciplina en una obra en la que, por su naturaleza, debo esperar el juicio del pblico para poder estar seguro de haber obtenido algn xito. Por qu emprend esta Labor poco gratificante, que

5

en el mejor de los casos puede agregar muy poco a mi carrera cientfica y en el peor ofrecer nuevas oportunidades a aquellos que se sientan inclinados a criticarme? En verdad, lo ignoro. Desde luego existen motivos de vanidad literaria y el deseo de demostrar que, tanto en lo personal como en mi actividad cientfica, he podido realizar una tarea a pulso.

Admitido esto libremente, existen otros motivos ms importantes. Al igual que en el primer volumen de mi autobio grafa, tambin aqu quiero reflexionar acerca de lo que ha significado mi carrera y llegar a una paz emocional que slo puede adquirirse a travs de la consideracin y comprensin del propio pasado. Asimismo, deseo acercar esta reflexin a los jvenes que vienen llegando de carreras similares en matemticas y otras ciencias. Soy consciente de que el cientfico, su forma de vida y las presiones que sufre, no es lo suficientemente conocido por un amplio pblico intelectual, razn por la cual creo tener el deber de hacer una exgesis. Finalmente, no he tenido antes la oportunidad para escribir muchas ideas -tratadas aisladamente de mi trabajo literario anterior- en forma de un recuento histrico consistente y de explicar cmo llegu a ellas.

Deseo mencionar a los colegas con quienes he discutido esta empresa: Prof. Karl Deutsch de MIT, Departamento de Humanidades; Prof. Armand Siegel, de la Universidad de Boston; Dra. Dana L. Farnsworth, que perteneca al Departamento Mdico del MIT y actualmente es profesora de higiene de la Universidad de Harvard y al Dr. Morris Cha- fetz. Adems, quiero agradecer a las secretarias que han tomado mis dictados, que han criticado mis ideas y me han ayudado a dar a mi trabajo la forma adecuada para su publicacin.

Norbert Wiener

Cambridge, Massachusetts Aniversario de Washington, 1955

6

Contenido

Prefacio

Mis comienzos como matemtico 11

1 congreso internacional de matemticas de 1920en Estrasburgo 42

Los aos de la consolidacin1920-1925 72

1 periodo de mis viajes al extranjero: Max Born y la terica cuntica 92

A Europa, con m esposa, como becario de la *Guggenheim 115

Los aos de crecimiento y de progreso1927-1931 130

Un don no oficial en Cambridge 155

De nuevo en casa1932- 1933 174

Las voces que profetizaban una guerra1933- 1935 183

En China y alrededor del mundo 194

Los das que precedieron a la guerra1936-1939 222

Los aos de la guerra1940-1945 242

Mxico, 1944 300

Los problemas morales de un cientfico. La bomba atmica1942 319

7

Nancy, la ciberntica, Pars y lo que sigui1946-1952 342

India 1953 *6*

E p lo go 389

ndice 399

8

Soy un matemtico

Mis comienzos como matemtico

Este libro es el segundo volumen de mi autobiografa. El primero titulado Exprodigio, fue primordialmente dedicado a mi educacin temprana, a mis relaciones con mi padre y a la poco usual experiencia de ser un nio prodigio. El presente volumen est dedicado a mi carrera como matemtico prcticamente.

Para mantener un orden debo comenzar este volumen en algn periodo bien definido y el ms natural es el ao de 19X9, cuando por primera vez llegu al Instituto Tecnolgico de Massachusetts. En aquel entonces tena veinticuatro aos de edad: ya era demasiado viejo para seguir siendo nio prodigio, pero no lo suficiente para llevar ya a cuestas, firmemente impresas en m, las huellas de haberlo sido.

No es mi intencin volver a hablar de mi infancia para explicar los orgenes de dichas huellas pues esto fue materia de mi libro anterior, pero s debo referirme a ciertas caractersticas de mi adolescencia, a las que en el volumen previo alud como a las ltimas etapas en la vida de un nio pero que aqu deben ser interpretadas ms bien como las primeras etapas de la vida de un hombre.

De todas las influencias que incidieron en m durante mi infancia, la ms importante fue la de mi padre, Leo Wiener, quien era profesor de lenguas y literaturas eslavas en la Universidad de Harvard: un hombre pequeo, vigoroso, de emociones sbitas y profundas, de movimientos y gestos

11

Soy un matemtico

rpidos, siempre listo para la aprobacin o la condena; un intelectual ms por propia naturaleza que por capacitacin especfica alguna. En l se reunan las mejores tradiciones del pensamiento germnico, las del intelecto judo y las del espritu norteamericano. Era dado a atropellar los deseos de aquellos que lo rodeaban, ms por la intensidad de su emocin que por cualquier deseo particular de dominio.

Despus de ms de veinte aos a la sombra de semejante hombre y sabiendo que era yo carne de su carne y hueso de sus huesos, fui forjado en un molde radicalmente diferente de aquel en que lo fueron la mayora de quienes me rodeaban. Me hice un intelectual, en parte porque se era el deseo de mi padre, pero tambin porque sa era mi necesidad interior. Desde pequeo me mostr muy interesado por el mundo que me rodeaba y muy inquisitivo en cuanto a su naturaleza. A la edad de cuatro aos ya haba aprendido a leer y casi desde entonces acostumbraba a sumergirme en lecturas cientficas de la ms diversa naturaleza. Cuando llegu a los siete aos mis lecturas abarcaban desde la i/ istoria N atural de Darwin y Kingsley hasta los trabajos psiquitricos de Charcot, Janet y otros ms de la escuela del Salpe- triere. Esta abigarrada coleccin de aprendizajes haba sido ensamblada en aquellos diversificados y notables volmenes, de impresin pequea y tosca, conocidos como la Biblioteca Humboldt.

Mi errtica curiosidad estaba equiparada por la insistencia paterna en que mi capacitacin deba ser disciplinada. Mis conocimientos cientficos los adquir por m mismo; mi padre me abri las puertas a las lenguas, tanto antiguas como modernas, as como a las matemticas. Todos estos campos posean cierto inters para m, pero no haba inters casual que dejara satisfecha la urgencia que mi padre senta por un conocimiento preciso y completo. Esta urgencia era severa y penosa, aunque mi total confianza en su integridad y poder intelectual la haca tolerable.

12


El arduo camino de aprendizaje al que fui lanzado tendi a aislarme del mundo y a darme una cierta ingenuidad spera y agresiva. Acostumbraba a jugar bastante con otros nios, pero no era muy bienvenido por ellos. Cuando ingres a la secundaria, a los nueve aos, los pocos amigos que encontr no se contaban entre mis compaeros de secundaria sino entre los nios de mi misma edad.

La naturaleza especial de mi posicin se vio agravada por una miopa que en alguna ocasin pareci poner en peligro mi visin total. Aunque esto no tuvo efecto alguno sobre mi vigor fsico, me apart de todo aquel sector de la vida infantil que depende de la destreza en los juegos. Tambin, contribuy a acentuar mi ya muy marcada torpeza fsica. Esta torpeza representaba algo bastante serio por s misma, pero era trada an ms a un primer plano por la forma en que mi padre machacaba sobre ella y acostumbraba a humillarme a ese respecto. El mismo no era ningn prodigio en cuanto a destreza manual, pero estaba interesado en la agricultura, en la jardinera y en la vida al aire libre, para lo que utilizaba sus limitadas aptitudes manuales hasta el lmite de sus posibilidades. Su desconcierto por mi falta de habilidad era real.

Con el inevitable aislamiento provocado por la educacin que me dio mi padre me convert en un adolescente pagado de s mismo: pasaba de estados de nimo de gran arrogancia cuando me daba cuenta de mis propias habilidades hasta una gran frustracin cuando deba aceptar en su justo valor las observaciones de mi padre en relacin con mis limitaciones, o cuando contemplaba el incierto y largo camino que habra que recorrer para alcanzar los logros a los cuales me haba condenado la excntrica educacin que haba recibido. Ms an, permanentemente tena a mi padre frente a m como un ejemplo de esa cierta agresividad admisible, aunque su misma naturalidad y, hasta cierto punto, su misma justificacin, lo hacan menos devastador para m mismo que lo que hubiese sido si las cosas hubieran ocurrido de otra manera.

B

Soy un matemtico

Adems de todo esto exista otra fuente de inseguridad que continu persiguindome a lo largo de gran parte de mi vida. Mi madre, al igual que mi padre, era juda. Pero a diferencia de l, ella renegaba de serlo. Ambos acordaban con toda certeza, en el deseo de asimilarse e identificarse, tanto ellos mismos como sus hijos, con el medio norteamericano en general. Pero en tanto este deseo adoptaba en mi padre una forma defensiva cuyos mltiples intereses le permitan poner bajo algo que pareca una perspectiva apropiada al hecho mismo de nuestro origen, el antisemitismo se transformaba con toda su inflexibilidad en la principal preocupacin de mi madre.

Por otra parte nosotros, los hijos, fuimos educados no slo dentro de una total ignorancia acerca de nuestros orgenes sino bajo una falsa impresin acerca de los mismos. Por un lado, no podamos dejar de darnos cuenta por completo de que en nuestro ambiente existan algunos elementos judos de difcil explicacin. Mi madre acostumbraba a hacer muchos comentarios poco favorables respecto a los judos, lo que contribuy en gran medida a darme la certidumbre de que su origen judo y, por lo tanto, nuestro propio judaismo, constitua una fuente de vergenza. Cuando ms tarde, a los quince aos de edad mi padre me hizo saber sin lugar a duda que ramos judos, el recuerdo de algunas observaciones de mi madre cre en m una sensacin de inferioridad que contribuy en gran medida a mi falta de seguridad; y transcurrieron muchos aos antes de que adquiriese cierta confianza en m mismo. As estaba sujeto a cambios que alternaban entre darme cuenta de mis propias capacidades y dudar acerca de mi propio valor, lo que me haca oscilar entre una spera arrogancia y una objecin igualmente spera.

Sin embargo, existan en m formacin algunos factores importantes que aseguraron que, en general, tuviera xito, particularmente, en lo intelectual. La independencia de mi padre se reflejaba tanto en mi naturaleza como en mis hbi-

14


tos. Su poder no resida slo en su elevado nivel intelectual sino tambin en su disposicin para complementarlo con un trabajo arduo y constante. Yo haba visto cmo mi padre se llevaba a s mismo hasta el borde de un colapso al desarrollar la herclea tarea de traducir veinticuatro volmenes de las obras de Tolstoi en slo dos aos. Y lo que l esperaba de s mismo lo esperaba tambin de m; as es que desde mi niez no he sabido de periodo alguno en el cual me sintiera satisfecho con los logros alcanzados en el pasado.

De la secundaria pas al colegio Tufts, cerca de Boston, y despus, a los estudios de grado en Harvard y en Cornell; obtuve mi ttulo profesional en Tufts a la edad de catorce aos y el grado de doctor en filosofa en Harvard, a los dieciocho. A medida que adquira alguna independencia (muy limitada) respecto de mi padre, descubr que esa libertad que despuntaba al aproximarse mi edad adulta era sobre todo una libertad para cometer errores y saber de fracasos. Y sin embargo, aun esta alegre libertad me era coartada por la tendencia de mi padre a tomar decisiones sbitas que afectaban mi futuro y me constrean tanto como si las hubiese adoptado yo mismo.

Despus de obtener mi doctorado la Universidad de Harvard me concedi una beca para estudiar en el extranjero, la que disfrut estudiando primero en Cambridge, Inglaterra, y despus en Gotinga, Alemania. Aunque anteriormente ya haba vivido fuera de mi hogar, sta fue la primera vez en que llegu a ser capaz de vivir solo, lo que me hizo posible aprender algo acerca de la libertad que da trabajar en forma independiente. El ms importante entre mis mentores y profesores fue Bertrand Russell, con quien estudi lgica matemtica y muchas otras materias generales ms relacionadas con la filosofa de la ciencia y con las matemticas. Russell se pareca ya entonces, como se parece hoy en da, al Sombrerero Loco, e imparta bellas conferencias dedicadas en gran medida a la nueva teora de la relatividad de Einstein.

15

Soy un matemtico

Estudi, con un pequeo grupo de sus estudiantes que se reunan en sus cubculos, los trabajos de lgica matemtica del propio Russell y segu otros cursos que l me recomend. El ms importante de stos fue un curso sobre matemticas superiores que dictaba G.H. Hardy, quien despus llegara a convertirse en profesor tanto de Oxford como en Cambridge y en la figura ms grande de aquella generacin de matemticos de Inglaterra.

Mi tesis doctoral en Harvard vers sobre la filosofa de las matemticas. Russell me inculc la nocin de que para hacer un trabajo slido en lo referente a esa materia debera saber ms acerca de la misma de lo que ya saba.

Recurr a Hardy, quien era un mentor ideal y un modelo para cualquier matemtico joven y ambicioso. Lo haba visto por primera vez en los cubculos de Russell cuando mi padre me llev a Cambridge y me dej ah, distradamente, a que nadara o me ahogara. En esa ocasin tanto mi padre como yo pensamos que Hardy era un estudiante de licenciatura, tmido y que se borraba a s mismo; ms tarde supe que era un atleta excelente y una autoridad en todos los juegos en que se utiliza pelota. En sus ltimos aos se convertira en una figura entera, con apariencia de sabio y vestido con el inevitable saco y los pantalones sin planchar caractersticos de todo seor de Cambridge: bondadoso y amable pero alejado y desesperadamente temeroso de toda mujer; sta es la forma en que mejor lo recuerdo.

Su curso fue un verdadero placer para m. Mis aventuras previas en las matemticas superiores no haban sido por completo satisfactorias porque senta que haba fallas en muchas de las pruebas, fallas que no quera pasar por alto (y en eso estaba en lo correcto, como comprob despus, puesto que existan y deban haber llamado no slo mi atencin sino tambin la de mis anteriores profesores). Sin embargo, Hardy me condujo a travs de la complicada lgica de las matemticas superiores con tal claridad y tanto detalle

16


que resolvi todas aquellas dificultades cuando llegamos a ellas y me dio un sentido real de lo que requiere toda prueba matemtica. Tambin me introdujo en la integral de Lebes- gue, la que me conducira en forma directa a los principales logros de la parte temprana de mi carrera.

La integral de Lebesgue no es una concepcin fcil de aprender por el lego, pero como es fundamental para este libro poseer una percepcin acerca de ella tratar de sugerir, si no su complejidad total, al menos el tema principal en el cual se fundamenta. Es fcil medir un intervalo a lo largo de una lnea o de un rea que est por dentro de un crculo o de una curva regular cerrada cualquiera. Sin embargo, cuando el problema estriba en medir conjuntos de puntos que estn dispersos sobre un nmero infinito de reas limitadas por curvas, o conjuntos de puntos con distribuciones tan irregulares que aun aquella complicada descripcin deja de ser adecuada para ellas, las mismas nociones elementales de rea y volumen requieren ser pensadas con gran profundidad para hacer posible definirlas. La integral de Lebesgue es una herramienta que permite la medicin de estos complejos fenmenos.

La medicin de regiones altamente irregulares es indispensable para las teoras de la probabilidad y la estadstica; y estas dos teoras tan estrechamente ligadas entre s me parecan aun en aquellos remotos das anteriores a la primera guerra mundial como a punto de invadir grandes reas de la fsica. Estaban situadas en esa tierra intermedia en la cual se encuentran la fsica y las matemticas, y fue justamente en esa tierra intermedia donde yo llegara a desarrollar mis mejores trabajos, pues al parecer dicha disciplina estaba en armona con un aspecto bsico de mi propia personalidad.

Y ms an, aquellas teoras anticipaban las principales tendencias de las matemticas modernas, basadas en la fsica y en dependencia respecto de las ideas de medida y probabilidad expuestas en la mecnica estadstica del gran cientfico

17

Soy un matemtico

norteamricano Josiah Willard Gibbs. El desarrollo de problemas que giran alrededor de la aplicacin de las ideas matemticas a los problemas que surgen en el mundo de la fsica constituye uno de los principales temas de este volumen.

La teora de la integral de Lebesgue conduce al estudiante desde la medicin de intervalos hasta la medicin de fenmenos ms complejos que resultan de la combinacin de sucesiones de intervalos y, posteriormente, a conjuntos a los cuales el investigador puede aproximarse mediante dichas secuencias, en tanto que los conjuntos de puntos que quedan excluidos de ellas tambin pueden ser aproximados en forma similar. En todo esto no existe nada que pueda ser explicado satisfactoriamente al lego, aunque tampoco existe nada que involucre una complicacin excesiva de lgica o de manipulacin matemticas. Esta teora le posibilit a Lebesgue extender la nocin de longitud, o de medida, desde un intervalo aislado hasta los lmites significativos extremos hasta los cuales es posible extender la medicin.

Hardy muri hace algunos aos, pero an vive J.E. Little- wood, quien, ms joven que l, fue su colega y compaero en la investigacin y con quien tambin trabaj. En aquellos tiempos Littlewood me pareca simplemente un joven brillante entre muchos otros jvenes brillantes, pero cuando lo conoc mejor supe que era un gran escultista a la vez que un matemtico. Tena la compacta complexin de un verdadero escalador de montaas, pequeo y musculoso, y tanto como escultista como matemtico demostr siempre un poder sin lmites y una tcnica impecable.

Durante su larga asociacin Hardy y Littlewood asumieron papeles fcilmente distinguibles, pues en tanto el primero era el hombre de la claridad y de las ideas originales, Littlewood era el de la autoridad y la persistencia indomables. Curiosamente, Littlewood era de los dos el que ms se autoborraba, al grado de que ms adelante, cuando visit a

18


Edmund Landau en Gotinga, ese irrefrenable y mal educado nio de las matemticas le dijo: jAs que usted s existe! Yo crea que era slo un nombre que Hardy usaba par firmar aquellos trabajos suyos que no consideraba lo suficientemente buenos para publicarlos bajo su propio nombre.

Posteriormente Landau y David Hilbert fueron mis maestros, pero en el mismo ao acadmico, cuando estudi en Gotinga en el primer semestre de 1914, justo cuando estaba a punto de estallar la primera guerra mundial. Landau provena de una rica familia de banqueros judos y l mismo haba tenido tambin algo de nio prodigio. Fue criado con todos los lujos que sus acomodados padres podan proporcionarle. Con su pequea figura de querubn, su reducido bigote spero y una arrogancia completamente fuera de toda disciplina, pareca estar siempre algo fuera de lugar en el mundo real. Cuando alguien le preguntaba cmo encontrar su casa en Gotinga, l contestaba con gran ingenuidad: No tendr dificultad alguna para encontrarla. Es la mejor casa de toda la ciudad.

Hilbert era una persona totalmente diferente, callada y con aire de campesino de Prusa oriental. Era muy consciente de su gran fuerza, pero genuinamente modesto. De su hijo, quien ciertamente careca del poder de su padre, acostumbraba a decir: Tiene la capacidad matemtica de su madre y todo lo dems de m. Hilbert haba ido tomando, en sucesin, la mayor parte de los problemas que se presentaban en los diversos campos de la matemtica moderna, y en cada uno de ellos haba realizado una caza mayor. Representaba la gran tradicin en las matemticas de principios de este siglo y, para un joven como yo, se convirti en el tipo de matemtico que me gustara llegar a ser, combinando un tremendo poder de abstraccin con un sentido de la realidad fsica, con los pes muy sobre la tierra.

En Cambridge Russell inculc no slo la importancia de las matemticas sino tambin la necesidad de mantener un

19

Soy un matemtico

sentido fsico, y me sugiri estudiar los nuevos desarrollos de Rutherford y otros ms en relacin con la teora del electrn y la naturaleza de la materia. En esa poca no adelant gran cosa en esos tpicos, pero cuando menos me fue dada una visin de esa teora del ncleo atmico que a partir de entonces ha dado origen a la trasmutacin de los elementos y a la construccin de la bomba atmica. Esta teora ha llegado a ocupar una posicin ai lado de la teora de la relatividad de Einstein, cuya importancia tambin aprend de Russell. Encontr que aquel respeto que Russell tena por la fsica era an mayor en la atmsfera cientfica de Gotinga.

Despus de estar en Gotinga regres a Nueva Hampshire para pasar el verano, cuando estall la primera guerra mundial. Volv a Inglaterra para cursar el siguiente ao acadmico en Cambridge, pero en aquella atmsfera de calamidad y de ruina no encontr a mucha gente que tuviese la determinacin necesaria para pensar cientficamente en serio; tampoco yo me senta capaz de seguir adelante con algn buen objetivo. Al finalizar el invierno transcurrido entre 19 H y 1913 la campaa de guerra submarina desatada por Alemania lleg a constituir una amenaza y mi padre me conmin a regresar a casa.

La guerra tard algunos aos en llegar a los Estados Unidos, pero siempre estuvo presente en mis pensamientos. La generacin actual, que fue criada con la crisis como una presencia diaria, difcilmente puede comprender el choque que la guerra represent para mis contemporneos. Nosotros fuimos criados considerando que la larga paz victoriana representaba lo normal; y esperbamos que para alcanzar mejores condiciones bastara con una evolucin lenta y continua. Ni siquiera ahora, cuarenta aos despus, nos ha sido realmente posible aceptar como normal la prolongada sucesin de catstrofes en que nos vimos envueltos. Mucho me temo que todos nosotros tuvimos, de tiempo en tiempo, la

20


secreta esperanza de que un da despertaramos para encontrarnos nuevamente en los lnguidos, tibios das de principios de siglo.

Durante el primer periodo de la primera guerra mundial desarroll una serie de actividades de tipo personal cientfico en forma inconstante. En el fondo de mi cerebro albergaba alguna idea de que la guerra terminara relativamente pronto y que entonces podramos volver a nuestros viejos hbitos de vida y a la confeccin de planes a largo plazo. Termin el ao acadmico de 1914 a 1915, que haba quedado incompleto, en la Universidad de Columbia, escuchando con paciencia y con faltas de urbanidad a diversos profesores que despus de mi experiencia con Hardy y con los filsofos de Harvard no me causaron la ms mnima impresin. Me convert en el azote de los muchachos mayores que vivan en los dormitorios de la escuela de graduados gracias a la seguridad en m mismo y a lo mal que jugaba al bridge, y llenaba mis horas de esparcimiento, abundantes

pero solitarias, caminando desde la Universidad de Columbia hasta la Batera, con intermedios llenos de sobredosis de pelculas y obras de teatro.

Mi trabajo matemtico era activo, pero estril. Realic algunos intentos para aplicar el pensamiento abstracto que haba aprendido de Russell a la topologa, esa extraa rama de las matemticas que se ocupa de nudos y de otras figuras geomtricas cuyas relaciones fundamentales no sufren cambio alguno ni aun por el ms completo amasamiento del espacio, en la medida en que nada sufra corte alguno ni se unan dos puntos del espacio muy separados entre s. La topologa incluye al estudio de figuras tan familiares como la faja de Mbius con una sola superficie lateral que resulte de tomar una cinta de papel larga y plana, hacer girar uno de sus extremos en la mitad de una revolucin completa y pegar ambos extremos uno con el otro. Esta superficie constituye un excelente tpico de conversacin cuando se pregunta a

21

Soy un matemtico

un lego qu es lo que pasar cuando cortemos la faja por la mitad a todo lo largo de su longitud. Cuando se efecte dicho corte se encontrar que la faja permanece como una sola pieza, pero que ahora el giro sobre su eje longitudinal es de una revolucin en lugar de la media revolucin inicial.

Pocos aos mas tarde la topologa se convirti en la rama de las matemticas de moda en los Estados Unidos, bajo la direccin de Oswald Veblen y J.W. Alexander. Pero para este tiempo yo ya me haba decepcionado de la lentitud con que mi trabajo lograba alcanzar algn resultado positivo y haba destruido o perdido el manuscrito que haba redactado sobre la topologa durante mi estada en Columbia.

Durante el ao acadmico de 1915 a 1916 regres a Harvard como conferencista docente y ayudante, e impart una serie de conferencias acogido a la peculiar clusula de los estatutos de esa Universidad, de acuerdo con la cual toda persona que haya obtenido el doctorado goza del privilegio de dictar tales conferencias bajo su estricta responsabilidad. El tema que escog estaba relacionado con los trabajos de Alfred North Whitehead y las conferencias fueron dedicadas a mostrar cmo las matemticas podran estar basadas en procesos de construccin lgica. Whitehead haba demostrado mediante ejemplos, cmo estos mtodos podran asegurar que diversos conceptos matemticos posean aquellas propiedades que otra de las escuelas matemticas, la de los postulacinistas, consideraron como consecuencias derivadas de hiptesis formales hasta cierto punto arbitrarias. Por ejemplo, fue Whitehead quien pens en representar un punto como el conjunto de todas las reas que de acuerdo con el lenguaje matemtico ms usual seran definidas como aquellas que contienen a ese punto. Pero mis conferencias desembocaban en ciertas dificultades lgicas que me fueron muy certeramente sealadas por el profesor Garrett D. Birkhoff, de la Universidad de Harvard, a quien tendr ocasin de referirme con mucha frecuencia en este libro.

22


Era un alto y delgado holands de Michigan, con la cara estirada y la boca firme apretada de un calvinista ortodoxo, y era a la vez el primero de los matemticos norteamericanos que realiz toda su formacin en los Estados Unidos. Haba escrito una brillante tesis doctoral sobre ciertas ramas de la dinmica, en la cual se ocupaba en particular de la mecnica de los planetas, cuyo campo haba sido delineado por Henri Poincar en Francia. Birkhoff era perfectamente consciente de su gran poder y estaba decidido a llegar a ser, y a mantenerse, como el primero de los matemticos norteamericanos que se dedicaban a esas ramas clsicas de las matemticas conocidas como anlisis que constituye la extensin y la elaboracin de la fsica y del clculo de Newton.

Como ms tarde llegara a saberlo, era muy intolerante con todo rival posible y an ms si el posible rival era judo. Consideraba que la supuesta temprana madurez que alcanzaban los judos les confera una injusta ventaja sobre el resto de los jvenes matemticos, precisamente en la etapa de la vida en la que todos comenzaban a buscar dnde trabajar; y ms an, pensaba que esta ventaja era particularmente injusta porque, segn crea, los judos carecan de capacidad para permanecer en un lugar determinado. En un principio yo era un jovenzuelo bastante poco importante para atraer su atencin, pero ms tarde, y a medida que desarrollaba ms fuerza y logros me convert en el objeto especial de su antipata, tanto por ser judo como por ser, en ltima instancia, un posible rival.

Cuando por primera vez sent la hostilidad de Birkhoff, no haba comprendido an todas las fuerzas que contribuan a ella y que provenan de mi propio interior y del ambiente inmediato. Ya he indicado que yo no era un joven amable. Y con franqueza, mal poda esperarse que lo fuera. Me he extendido acerca del hecho de haber sido un nio prodigio y no necesito extenderme acerca del disgusto que siente la gente ya establecida en la vida cuando tiene que enfrentarse

23

Soy un matemtico

con un jovenzuelo al cual no puede ni sabe cmo ubicar. Una carrera que desde la niez ha sido dedicada a la realizacin cientfica deja muy poco tiempo para el cultivo de los encantos sociales.

Pero aun tomando en cuenta todo esto, yo era un joven agresivo. En el fondo de mi conciencia sent que necesitara toda la agresividad de la cual fuese capaz para alcanzar el xito desde aquella ambigua situacin en la cual me encontraba. Ms an, mi padre mismo, quien a pesar de todos los elementos de conflicto que pudiesen existir entre nosotros era mi ideal y mi mentor ms cercano, posea tambin una personalidad muy agresiva.

Yo haba escuchado mucho acerca de las fricciones algo triviales que mi padre haba tenido con sus colegas, pero no me daba cuenta de que adems de estos incidentes individuales era considerado como un hombre esencialmente conflictivo. Parte de esta reputacin era justificada, pero una parte an ms importante provena de la falta de comprensin que su temperamento mercurial provocaba en las personas menos mviles. Muchos aos despus de aquel suceso, he comprendido que en el antagonismo de Birkhoff contra m alentaba como un elemento no despreciable una falta de comprensin respecto de mi padre y el disgusto que le causaban las bravatas algo carentes de inhibiciones que pregonaba con respecto a m.

El ao siguiente me encontr en la Universidad de Maine, donde obtuve trabajo a travs de una agencia de colocaciones para profesores. Me senta bastante humillado por el hecho de no poder conseguir trabajo en forma directa y con el prestigio de mi carrera acadmica. Las tribulaciones que padec en este periodo, que consideraba como un exilio, forman parte de mi libro anterior y ya fueron examinadas en l.

Los Estados Unidos entraron en la guerra a fines de ese ao acadmico. Trat de alistarme en alguna rama de las

24


fuerzas armadas, pero sin xito, porque en todas partes fui rechazado por la pobreza de mi vista. Trabaj por un corto tiempo en las instalaciones de la General Electric en Lynn, pero mi padre me retir de este trabajo en favor de lo que l consideraba la mejor oferta que me haba sido hecha: la de ser escritor a sueldo de la Enciclopedia americana, con sede en Albany.

Dej este trabajo con el objeto de trabajar, con un conjunto heterogneo de matemticos civiles y militares, en el Campo de pruebas de Aberdeen, en Maryland. Nuestra tarea estaba relacionada con los problemas de diseo de tablas de alcances para diversas armas de artillera. Aqu pas ms de medio ao, primero como civil y despus como un soldado; mi actuacin fue ms bien pobre, ya que el hecho de haber sido un nio prodigio me condujo a cometer muchos errores que, si bien no provenan de un espritu vicioso, podran haber dejado una impresin desagradable acerca de mi personalidad en su conjunto. Me senta infeliz y desesperado viviendo bajo las condiciones de las barracas y nunca hice nada por ganarme el afecto de mis compaeros. Fui dado de baja honorablemente en febrero de 1919.

Despus de varios meses como escritor mercenario redact un par de artculos cientficos sobre lgebra; dentro de su propio estilo eran bastante buenos, aunque permanecieron por completo fuera de los caminos trillados. Por aquel entonces el profesor W.F. Osgood, de Harvard, me consigui un puesto como instructor en el Departamento de matemticas del Instituto Tecnolgico de Massachusetts.

Osgood era amigo de mi padre y sus hijos haban sido hasta cierto punto mis compaeros de juegos haca muchos aos. Era quiz el principal representante de la tradicin alemana en el seno de las matemticas norteamericanas, pues haba estudiado en Gotinga, donde se cas con una muchacha alemana; y regres con la determinacin de vivir en los Estados Unidos la vida de un profesor alemn. O quiz

25

Soy un matemtico

debera decir lade un "consejero privado, pues Flix Klein, quien era su modelo para todas las cosas, haba sido por aos el Papa de las matemticas alemanas, gozando del altsimo ttulo de Geheimrat ("privado o secreto). Osgood era un hombre corpulento, de complexin robusta, que acusaba ya una calvicie pronunciada y luca una barba "de candado a la usanza europea. Acostumbraba a pontificar en las reuniones del Club de matemticas de Harvard, durante las cuales fumaba su puro en forma obviamente copiada de alguna otra persona; posteriormente descubrimos que era del mismo Flix Klein. Los descabezaba con su navaja de bolsillo y los fumaba hasta quemarse los dedos.

Escribi algunos de sus libros en un alemn bastante tolerable y tena ideas casi moralistas sobre lo que era correcto y lo que no lo era en matemticas, por completo alejadas de cualquier cuestin acerca de su simple correccin lgica. Quienes trabajaban con l se sentan constreidos por dichas ideas.

Quiz me he mostrado insuficientemente agradecido al profesor Osgood por el giro tan importante que en realidad dio a mi vida al conseguirme la entrada al MIT, como se designa con mayor frecuencia. Y es que haba ciertos reparos en este mismo acto bondadoso. Por una parte, yo nunca sent que me hubiese granjeado estimacin real alguna de su parte, ni que l hubiese hecho algo por hacerme bienvenido en Harvard. Incluso las oportunidades de trabajo eran abundantes al reanudarse la vida normal una vez terminada la guerra, El MIT necesita una gran cantidad de personal para la enseanza rutinaria. Para los niveles elevados del aparato administrativo de aquel tiempo, la funcin del Departamento de matemticas no era otra que la enseanza rutinaria y ninguna otra cosa que no fuera sta.

Es cierto que en el Departamento de matemticas del MIT haba algunos espritus de gran dedicacin que esperaban, contra toda esperanza, que llegara el da en que este Insti-

26


tuto ocupara un lugar al lado de Harvard y de Princeton como otro gran centro norteamericano de creacin de matemticas. Estos matemticos mantenan su valiente desafo al ambiente desfavorable, ya que el MIT era simplemente una escuela de ingeniera y las matemticas eran consideradas como una herramienta que complementaba la capacitacin en ese campo. Sin embargo, encontraban una cierta tolerante simpata, aunque no mucha cooperacin activa, de parte del profesor H.W. Tyler, quien era jefe del Departamento. Tyler era un hombre pequeo, activo, que usaba barba y que en s mismo no era un investigador sino alguien a quien originalmente dejaba contento el hecho de que su departamento fuese un departamento de servicio: esto es, que contribuyera a la educacin de personas cuyos principales intereses eran los campos de la ingeniera. Pero como todo buen administrador, estaba siempre listo para aprovechar cualquier oportunidad que hiciera progresar a su departamento, y despus, cuando se present la ocasin de ganar algn prestigio en el campo de la investigacin, mantuvo el apoyo que nos daba.

Muchos de mis colegas eran amigables, pero quien en realidad hizo mucho para darme nimo fue C.L.E. Moore. Tena el don humano del afecto y un amor por las matemticas que estimulaba a los dems a luchar por alcanzar un nivel al cual l mismo nunca podra aspirar. Deseo rendir aqu tributo al desprendimiento y a la integridad de este hombre alto y bondadoso, de buen talante y moderadamente raro.

Durante mis primeros aos en el MIT viva en mi casa. Mi hermana mayor, Constance, se haba graduado en Radcliffe y cursaba estudios de grado en matemticas en Chicago. Las descripciones que haca de sus bastante ortodoxos estudios excitaban mi ambicin pero me hacan abrigar serias dudas acerca de si realmente yo estaba destinado a obtener algn xito significativo. La ms joven de mis hermanas, Bertha, estudiaba qumica, primero en Radcliffe y despus en el MIT.

27

Soy un matemtico

En esos tiempos procur desarrollar algo de vida social, principalmente en los ts dominicales que mis padres organizaban en nuestra casa y entre las amistades de mis hermanas. En estas actividades siempre me mostraba torpe y an estaba sujeto a las perentorias demandas de mis padres. Ellos se esforzaban por seleccionar mis amistades y por rechazar a todas aquellas a las que no consideraban adecuadas. De hecho, ejercan por completo un derecho de veto sobre todas las muchachas jvenes a las cuales yo dedicaba alguna atencin. Y este veto estaba gobernado fundamentalmente por lo que ellos consideraban que podra llegar a ser la reaccin de cada jovencita en particular respecto del resto de la familia ms que por cualquier otro factor que me ataiese directamente a m. Esto me dejaba frustrado y confuso, y cada vez ms decidido a utilizar mis vacaciones de verano para sacudirme el peso del dominio familiar.

El Instituto era el lugar en el cual no poda alcanzarme fcilmente la presin de la familia, mi programa de imparticin de clases era bastante intenso, pues tena ms de veinte horas semanales de docencia. Sin embargo, encontraba tiempo no slo para estudiar matemticas sino tambin para crearlas. Con la fuerza de mi juventud poda pasar el da entero en el MIT, desde las nueve de la maana hasta las cinco de la tarde, y aun as, mi mayor placer era pasar los domingos (pues los sbados eran das laborales) en mi solitaria oficina sin que nadie perturbase mis pensamientos. Hoy en da, una quinta parte de lo que en aquel entonces haca sera ya demasiado para m.

En cuanto a mis diversiones, adems del cine y de la compaa de teatro del viejo teatro Copley, acostumbraba a caminar por las Colinas Azules o por los peascos de Middlesex y me lanc a la construccin de un tosco tobogn con el cual quera deslizarme por las laderas hasta el cementerio del monte Auburn. Contaba con algunos amigos entre mis colegas ms jvenes y entre los estudiantes de grado en

28


Harvard. En el invierno sola caminar sobre el hielo desde nuestra casa, en la calle Sparks, hasta el MIT, o hasta Boston, y en la primavera y en el otoo me entretena en ligeros juegos de un tenis muy falto de habilidad.

Fue tambin en el MIT donde comenz a tomar forma definida mi siempre creciente inters en los aspectos fsicos de las matemticas. Los edificios en los cuales se albergan las diversas escuelas se reflejan en el ro Charles y originan un perfil de apariencia perpetuamente bello. Siempre era agradable contemplar los cambiantes cursos de las aguas del ro.

Para m, como matemtico y como fsico, todo eso tena significados adicionales. Cmo podra ser incorporado el estudio de estas masas de rizaduras y ondulaciones siempre cambiantes a algn tipo de regularizacin matemtica, ya que el ms elevado de los destinos de las matemticas es el descubrimiento del orden dentro de todo desorden? En ocasiones, las ondas corran altas y coronadas con manchones de espuma, en tanto que en otras eran rizos apenas perceptibles. Algunas veces las longitudes de las ondas podan ser medidas en funcin de pulgadas, y en otras, en funcin de muchas yardas. Qu lenguaje descriptivo podra llegar a utilizarse para describir estos hechos claramente visibles sin verse involucrado en la inextrncable complejidad de la descripcin exhaustiva de la superficie del agua? Era muy claro que estos problemas de las ondas eran de promediacin y de estadstica y que, por ende, estaban estrechamente relacionados con la integral de Lebesgue, que por aquellos tiempos yo estudiaba. En esta forma ca en la cuenta de que la herramienta matemtica que buscaba era una en cuyos trminos pudiera ser descrita la naturaleza y llegu a la conviccin de que era en su mismo seno donde debera buscar el lenguaje y los problemas que seran la materia de mis investigaciones matemticas.

De los muchos colegas de mayor edad que tena en el MIT, uno en particular me ayud a descubrir el lado fsico de las

29

Soy un matemtico

matemticas. Henry Bayard Phillips, cuyos das fructferos an no han terminado, es un largo y delgado hijo de las Carolinas, por quien no pasan los aos y que creci en aquel periodo en el cual an no eran memorias lejanas los malos das de la guerra civil. l era, y contina sindolo, un individualista completo, con mayor inters en hacer cosas nuevas que en publicarlas. Fue de Phillips ms que de cualquier otra persona de quien aprend la importancia para todo matemtico puro de mantener una actitud fsica y por quien llegu a darme cuenta del grandioso trabajo desarrollado por Willard Gibbs en el campo de la mecnica estadstica. ste fue un hito intelectual en mi vida.

Willard Gibbs, el ms grande de los cientficos norteamericanos, trabaj en estos campos intermedios y ciertamente fue pionero en ellos. Vivi una vida quieta y tranquila en Yale, donde muri en 1913 prcticamente como un desconocido para sus alumnos y para sus colegas. Hizo muchas contribuciones, tanto en la fsica como en las matemticas, pero la parte de su trabajo que siempre tuvo mayor inters para m fue su mecnica estadstica. Y es en relacin con su trabajo en este rea que este cientfico ejerci una influencia tan profunda sobre mi propia carrera.

La gran tradicin fsica de Newton fue necesariamente determinista; en ella se sobrentiende que un conocimiento perfecto del universo en un instante cualquiera involucra un conocimiento perfecto de su historia a travs de todo el tiempo. Para Newton, estar en posibilidad de dar las posiciones y las velocidades que en la actualidad tienen las partculas en una onda de las aguas del ro Charles hara posible graficar el movimiento de toda esta onda para siempre. Desafortunadamente, la imperfeccin y las limitaciones de nuestros instrumentos de medicin hacen imposible que dispongamos de un conocimiento perfecto del presente, y el problema que enfrenta el fsico es prcticamente el de en-

30


contrat qu tan lejos puede llegar con el conocimiento imperfecto que est a su alcance.

Para lograr esto debe trabajar no slo con un universo nico e inmutable sino, en forma simultnea con varios universos diferentes, cada uno de ellos con una probabilidad previamente asignada. Nunca podr decir qu es lo que siempre habr de ocurrir, en un tiempo determinado, dadas ciertas condiciones. Esta nueva fsica de probabilidades estuvo en curso de desarrollo durante un periodo considerable, pero incuestionablemente el trabajo de Gibbs tenda hacia una formulacin fnal clara.

Cuando llegu al MIT estaba intelectualmente preparado para ser influido por el trabajo de Gibbs. Justo antes de que comenzara el semestre apareci en Cambridge I. Bamett, de Cincinnatti, y convers conmigo sobre diversos temas matemticos y personales. Como sta era la primera ocasin en la que yo asuma un trabajo realmente maduro en matemticas, senta bastante inquietud acerca de cul debera ser el problema que constituyera el centro de mi nueva tarea. Ped a Barnett que me sugiriera un problema nuevo y vital y mencion que se estaba trabaj ando mucho sobre la generalizacin del concepto de probabilidad para abarcar probabilidades en las cuales las diversas ocurrencias bajo estudio no estaran representadas por puntos en el plano o en un espacio sino por algo de naturaleza similar a curvas en el espacio.

Por ejemplo, un problema de probabilidad puntual puede referirse a las distribuciones de los agujeros de bala que se presentan en un blanco y a plantearse la cuestin de lo que podra decirse con antelacin acerca de la forma en la cual podran acumularse en el espacio que ocupa el ojo de un buey. Por otro lado, un problema de probabilidad en curva surgira si se pidiera la caracterizacin del vuelo de una abeja, o an mejor, la marcha de un hombre que estuviese tan ebrio que no existiera relacin alguna entre la direccin del ltimo paso dado por l y la del siguiente. Si este hombre

31

Soy un matemtico

fuese colocado en el centro de un campo cuadrado de dimensiones dadas, cunto tiempo le tomara, en promedio, salir de ese campo? Esta nueva preocupacin acerca del resultado final de todo comportamiento irregular tiene cierto significado histrico. La primera parte del siglo XX haba presenciado un cambio en las matemticas hacia una visin del mundo mucho ms complicada. El gran inters del siglo XIX fue estudiar los puntos y las cantidades que de ellos dependan. El nuevo inters trataba de realizar con las curvas lo que el anlisis antiguo haba hecho con los puntos.

Las races de este nuevo inters estaban firmemente asentadas en el trabajo realizado en el siglo XIX y aun en el XVIII, y se relacionaban con el clculo de variaciones. El clculo diferencial de Newton y de Leibniz, directo sin rodeos, se haba abocado al estudio de problemas de mximos y de mnimos como los de las cimas de las colinas o los fondos de las cuencas, o los de las formas que presentan los pasos en las montaas. El clculo de variaciones se ocupa de problemas tales como el del camino ms rpido para ir de un punto a otro recorriendo una trayectoria curva contenida en un espacio en el cual es posible que la velocidad .de desplazamiento vare de uno a otro punto.

Sin embargo, aunque los orgenes de las matemticas de los mximos y de los mnimos en las curvas eran ya bastante antiguos, su completo desarrollo no lo era tanto. El mundo de las curvas tiene una textura ms rica que el mundo de los puntos. Le ha correspondido al siglo XX penetrar en su completa riqueza.

Como resultado de las sugerencias de Barnett dediqu el primero de los aos que pas en el MIT a investigar diversas extensiones de la integral de Lebesgue a sistemas an ms complicados que los estudiados por el propio Lebesgue. Exista una publicacin sobre este mismo tema, escrita por un joven matemtico francs de nombre Gateaux que haba muerto en la guerra. Pero esto representaba slo un frag-

32


mento, y cuando profundic un poco ms en mis investigaciones tuve la impresin de que todo me conduca en una direccin equivocada.

Exista tambin cierto nmero de publicaciones que contenan algunas indicaciones acerca de este tema, debidas al investigador britnico P.J. Danieli, quien en ese entonces era profesor en el Instituto Rice de Houston, Texas. Lo realizado por Danieli era ms satisfactorio para m que lo hecho por Gteaux y por ello lo utilic como modelo para mi propio trabajo. Sin embargo, no se refera especficamente al estudio de familias de curvas y la forma en que lo continu con objeto de cubrir este campo me pareci entonces artificial y poco satisfactorio.

Yo era vido lector de revistas, en particular de los Proceedings, de la Sociedad matemtica de Londres. En ellos le un trabajo de G.I. Taylor, quien despus llegara a ser Sir Geoffrey Taylor, que se refera a la teoria de la turbulencia. Este es un campo de importancia esencial para la aerodinamica y la aviacin y Sir Geoffrey fue por muchos aos un puntal del trabajo que sobre esta materia se ha llevado a cabo en el Reino Unido. Esta publicacin estaba ligada con mis propios intereses, puesto que las trayectorias de las partculas de aire son curvas y los resultados fsicos de Taylor involucran la promediacin o la integracin sobre familias de curvas como stas.

Quisiera recalcar que durante mis visitas posteriores a Inglaterra llegu a conocer muy bien a Taylor. Representa un tipo de investigador cientfico muy peculiarmente britnico: el aficionado, pero dotado de competencia profesional. Es un yatista famoso y tiene esa particular apariencia que proporciona la vida al aire libre. Uno de sus logros, que cuenta entre aquellos de los cuales est ms orgulloso, es haber inventado un nuevo tipo de ancla para los yates.

Con el respaldo del trabajo de Taylor pens ms y ms en las posibilidades fsicas de una teora para los promedios de

33

Soy un matemtico

las ondas. El problema de la turbulencia era demasiado complicado para emprender un ataque inmediato sobre l; pero exista un problema relacionado, que encontr de envergadura justa para las consideraciones tericas del campo que haba seleccionado para m mismo. Este problema era el de los movimientos brownianos y estaba destinado a proveer el tema de mi primera contribucin de importancia a las matemticas.

Para comprender el movimiento browniano imaginemos una pelota que puede ser empujada en un campo a lo largo del cual pasea una multitud en todas direcciones.

Entre todas aquellas personas habr un cierto nmero que tropezar con la pelota y la mover de uno a otro punto. Algunos la empujarn en una direccin y otros en otra, y es probable que la resultante de todos estos empujones sea aceptablemente uniforme y est en equilibrio. Sin embargo, y a pesar de todos estos empujones que se equilibran aproximadamente entre s, persistir el hecho de que son impartidos por personas individuales y de que su equilibrio es slo aproximado. Por ello, en el curso del tiempo la pelota vagabundear por todo el campo en forma parecida a aquel borracho que se mencion anteriormente y se obtendr un cierto movimiento irregular en el cual lo que suceda en el futuro tendr muy poco que ver con lo que haya pasado anteriormente.

Considrense ahora las molculas de un fluido, sea un gas o un lquido. Estas molculas no permanecern en reposo sino que estarn ^ animadas por un movimiento irregular aleatorio similar a aquel que tenan las personas que conformaban la multitud.

Este movimiento ser tanto ms rpido cuanto ms se eleve la temperatura. Supngase que en el seno de este fluido se ha introducido una pequea esfera que puede ser empujada por las molculas de la misma manera en que la pelota era empujada por la multitud. Si esta esfera es extre-

34


madamente pequea no podremos verla, en tanto que si es extremadamente grande y permanece suspendida en el fluido, las colisiones de las partculas del fluido con ella llegarn a equilibrarse unas con las otras hasta un grado tal que el movimiento del cuerpo sea tan pequeo que no podr observarse. Existe un nivel intermedio en el cual la esfera es suficientemente grande como para ser visible y suficientemente pequea para que bajo un microscopio pueda ser observado su constante movimiento irregular. Este estado de agitacin indicado por los movimientos irregulares de las molculas es conocido con el nombre de movimiento browniano. Fue observado por primera vez por los microscopis- tas del siglo XVIII como un estado universal de agitacin que se daba en todas las partculas suficientemente pequeas, bajo el campo del microscopio.

Aqu yo contaba con una situacin en la cual las partculas describen no slo trayectorias curvas sino ensambles estadsticos de curvas. Era un campo de pruebas ideal para mis ideas referentes a la integral de Lebesgue en un espacio de curvas y, a la vez, tena la abundante textura fisica que caracterizaba al trabajo de Gibbs. Fue a este campo al cual decid aplicar el trabajo que ya haba realizado siguiendo los lincamientos de la teora de la integracin. Y me encontr con un grado elevado de xitos.

El movimiento browniano no era nada nuevo como sujeto de estudio de los fsicos. Existan trabajos fundamentales debidos a Einstein y a Smoluchowski que lo cubran: pero si bien estos trabajos se referan a lo que le suceda a una partcula dada en cualquier tiempo especfico, o al anlisis estadstico a largo plazo de un conjunto numeroso de partculas, ninguno se ocupaba de las propiedades matemticas de la trayectoria curva seguida por una partcula.

En lo que a esto respecta la literatura era muy escasa, pero contaba con un interesante comentario del fsico francs Perrin, incluido en su libro Les Atomes, en el cual ste

35

Soy un matemtico

deca, en efecto, que las trayectorias curvas muy irregulares que eran seguidas por las partculas sujetas a movimiento browniano, conducan a pensar en las curvas no diferenciables, supuestamente continuas, que manejaban los matemticos. Llamaba continuo a este movimiento porque las partculas nunca saltan sobre espacio vaco alguno, y las consideraba no diferenciables porque en ningn momento parecen tener una direccin de movimiento bien definida.

En el movimiento fsico browniano se cumple, naturalmente, que la partcula no est sujeta a ninguna influencia absolutamente perpetua que sea la resultante de la colisin de las molculas sino que, por el contrario, se presentan cortos intervalos de tiempo entre una colisin cualquiera y aquella que la siga. Sin embargo, estos intervalos son demasiado cortos para ser observados por cualquiera de los mtodos ordinarios. Por lo tanto, es natural que se idealice al movimiento browniano suponiendo a las partculas como infinitesimales en tamao, describiendo las colisiones como si fuesen continuas. Este modelo ideal del movimiento browniano fue objeto de mis estudios y en l encontr un excelente sustituto para estudiar las propiedades ms crudas del movimiento browniano verdadero.

Para mi sorpresa y mi satisfaccin, descubr que concebir el movimiento browniano en aquella forma le proporcionaba una teora formal, con un alto grado de perfeccin y elegancia. Apoyado en esta teora me fue posible confirmar la conjetura de Perrin y mostrar que con excepcin de un conjunto de casos con probabilidad igual a cero, todos los movimientos brownianos son funciones continuas no diferenciables.

Los trabajos que escrib sobre este tema fueron, segn creo, los primeros en sacar a luz algo muy nuevo: la combinacin de la tcnica de integracin de Lebesgue con las ideas fsicas de Gibbs. En ellos no se daba solucin a algunos de los problemas que estaban implcitos en la justificacin tcnica

36


del trabajo realizado por Gibbs, los que seran resueltos posteriormente en el sentido de Lebesgue por Bernard Loopman, J. von Newmann y G.D. Birkhoff. Sin embargo, esto no ocurri sino hasta 1930, cuando la ideade que Gibbs y Lebesgue tenan algo en comn ya no era una completa novedad.

Cuando escriba mis primeros trabajos sobre el movimiento browniano, exista otro fenmeno que surga a la vista y que poda considerarse como igualmente susceptible de ser descrito por mi investigacin. Era el llamado efecto de disparo, que se refiere a la conduccin de corrientes elctricas a lo largo de un alambre o a travs de un tubo al vaco bajo la forma de un chorro de electrones discretos. No existe forma alguna de crear un chorro discreto que no origine que a veces los electrones se acumulen, en tanto que en otras ocasiones deje al chorro un tanto ralo. Estas irregularidades, que constituyen el efecto de disparo, son muy pequeas pero pueden ser amplificadas hasta proporciones audibles mediante el uso de los amplificadores que en ese tiempo utilizaban tubos al vaco. Este ruido de los tubos o de los conductores constituye un efecto limitante de importancia en el uso de los aparatos elctricos cuando estn sujetos a condiciones de carga elevada.

En 1920 eran muy pocos los aparatos elctricos cuyas condiciones de carga fueran suficientemente elevadas como para que el efecto de disparo llegara a ser una condicin crtica. Sin embargo el desarrollo ulterior, primero el de la trasmisin de ondas de radio y despus el del radar y la televisin, hicieron que el efecto de disparo llegara a convertirse en la preocupacin ms inmediata de todo ingeniero en comunicaciones. Este efecto no slo era similar al movimiento browniano en cuanto a su origen, puesto que era uno de los resultados de la naturaleza discreta de la naturaleza, sino que se ajustaba, en lo esencial, a la misma teora matemtica.

37

Soy un matemtico

En esta forma, mi trabajo acerca del movimiento browniano se convirti veinte aos despus en una herramienta vital para el ingeniero electricista. Sin embargo, durante un periodo considerable de tiempo mi investigacin fue como un aborto. Cuando al fin llegu a escribir mis primeros trabajos acerca del movimiento browniano (durante un verano que pas en Estrasburgo y del cual hablar en el siguiente captulo), no provoqu ninguna gran agitacin en el mundo de las matemticas.

La conmocin que puede crear un trabajo cualquiera no depende slo de sus mritos internos sino tambin de los intereses del resto de las personas que trabajan en el mismo campo. En lo concerniente a los matemticos norteamericanos, los grandes nombres despus de la primera guerra mundial eran Veblen y Birkhoff. El primero estaba interesado en la topologa, de la cual ya he hablado, y crea que su destino era introducir este campo abstracto como una nueva matemtica norteamericana en contraste con las matemticas del anlisis, del clculo integral y diferencial, que l consideraba como matemticas europeas moribundas y estriles.

Contribuy al nacimiento de un tema matemtico valioso, pero su preocupacin acerca de la salud del anlisis ha demostrado ser, cuando menos, algo prematuro. De cualquier manera, yo estaba demasiado entregado a este campo como para aceptar los mandatos de una nueva moda.

Birkhoff era un analista. Como ya lo he mencionado, haba llegado a ser el lder incuestionable del anlisis en los Estados Unidos y estaba decidido a mantener esa posicin. Se haba convencido a s mismo de que el verdadero anlisis consista primordialmente de aquellos campos de la dinmica en los cuales haba trabajado Poincar y en los que Birkhoff mismo haba realizado contribuciones de gran importancia. Para l, cualquier otra cosa debera ser relegada al limbo de los problemas especiales.

38


En esta forma, no haba lugar para mi trabajo a los ojos de los lderes de las matemticas norteamericanas, y no fue sino muchos aos despus, cuando surgi una nueva generacin y las urgentes necesidades de la industria y de la guerra demostraron que los problemas que yo haba resuelto sobre los cuales haba arrojado alguna luz merecan en realidad la atencin.

La recepcin que recib en Europa fue mucho mejor que en los Estados Unidos. Maurice Frchet, con quien iba a pasar el verano de 1920, mostr un moderado inters en mi trabajo, el cual en diversas formas estaba dentro del espritu del suyo. Paul Lvy, uno de sus jvenes colegas, ya haba iniciado algn trabajo de acuerdo con esas mismas lneas de pensamiento. Y Taylor, en Inglaterra, mostraba receptividad con mis ideas.

Mi antiguo maestro Hardy se mostr bondadoso con quien haba sido su estudiante y me ofreci un gran apoyo en una poca en la cual se era un bien difcil de encontrar. Y aun as, tanto en Europa como en los Estados Unidos yo era considerado como un joven con cierta habilidad perifrica ms que como uno de los puntales de la siguiente generacin.

Fuera como fuese estaba totalmente convencido de la importancia de mis nuevas ideas sobre todo al ver que ellas mismas se organizaban bastante rpidamente hasta formar un tema con un pequeo y pulcro formalismo propio. Todo el material apareca correcto y a m no me hubiera sorprendido, aun en esa poca, saber que todo eso llegara a tener un futuro considerable. Con el objetivo de entender las ramificaciones de mi trabajo deba estudiar mucho ms de lo que para entonces ya saba en lo que respecta a ondas y vibraciones, o en trminos matemticos, a series de Fourier, de la integral de Fourier y cosas por el estilo. Comenc concienzudamente a familiarizarme con aquellas ramas de las matemticas que ya haban probado tener significancia fisica.

39

Soy un matemtico

Todo esto imbric en muy buena forma con el deseo de mis colegas del MIT de que me dedicase a las matemticas aplicadas. A partir de esta poca mi trabajo jams volvi a ser aleatorio y aburrido sino que, por el contrario, tuvo una direccin definida a lo largo de la cual podra proseguir en forma muy natural.

Las matemticas son en gran medida un juego para hombres jvenes. Es el atletismo del intelecto, el cual entabla demandas que slo pueden ser plenamente satisfechas cuando se cuenta con juventud y fortaleza. Despus de una o dos publicaciones promisorias, muchos jvenes matemticos que haban dado muestras de habilidad se hundieron en aquel mismo limbo que rodea a los hroes deportivos cuya mejor poca ya ha pasado.

Y por otra parte, no es soportable sentir un breve reconocimiento y una ebullente actividad cuando es continuada por un aburrimiento total que dura el resto de la vida. S la carrera de un matemtico ser algo diferente a una vida anticlimatrica, debe dedicar esta breve primavera de su existencia, en la cual se da la mxima creatividad, al descru- brimiento de nuevos campos y nuevos problemas, de una riqueza tal y de tan arrebatadoras caractersticas que escasamente podr agotarlos dedicndoles todo el lapso de su vida. Ha sido una gran fortuna para m que aquellos problemas que excitaron mi intelecto en la juventud y para cuya iniciacin desarroll un considerable esfuerzo no hayan perdido an su poder para plantear demandas mximas aun en mi sexagsimo aniversario.

No se crea ni por un momento que mi nuevo xito hizo de m un heroe en mi pas natal. Mi padre estaba complacido por mi laboriosidad y por mi aparente habilidad para producir trabajos que, cuando menos, me satisfacan a m mismo; pero en aquella poca mis propios reclamos autolaudatorios no provocaron nada parecido a un gran eco de parte de sus colegas. M padre ya no era suficientemente activo ni intere-

40


sado en matemticas como para estar en juzgar mi trabajo por mis propios mritos.

posibilidad de

41

El Congreso Internacional de Matemticas de 1920 en Estrasburgo

En este captulo, as como en los posteriores, tendr oportunidad de escribir acerca de mis diversas visitas al extranjero. stas representan una parte esencial tanto de mi vida personal como de mi vida cientfica. Nunca fueron meras comilonas ni intermedios de inters slo por la diversin que me proporcionaran, aunque de hecho siempre resultaron muy satisfactorias. Permtaseme explicar algo de lo que significaron para m y, en particular, cul fue el sentido del viaje que hice en 1920.

En esto, como en todos los otros temas que se refieren a mi historia, es necesario retrotraerse a mi padre. Su educacin formal fue totalmente al estilo europeo y aunque en la Polonia rusa asisti al Gymasum y hasta por un breve periodo a una escuela de medicina era perfectamente consciente de que sus principales afiliaciones educativas eran alemanas. El alto nivel del Gymasium alemn, equivalente a la escuela secundaria clsica, predomin a travs de toda Europa central y oriental. Todos los oriundos de Europa oriental que eran cultos tenan influencia de la educacin alemana.

Pero adems de eso mi padre tena una conexin particular con esta educacin. Su padre haba sido un periodista de la prensa Yiddish, pero a la vez era un gran entusiasta de la lengua alemana pura, la que prefera sobre el yiddish. Un da decidi cambiar la lengua (del yiddish al alemn culto) en la

42

1 Congreso Internacional de Matemticas

cual se imprima su peridico en Bielostok. Naturalmente, esto le cost la casi totalidad de sus suscrptores y, a partir de entonces, la carrera de mi abuelo se convirti en una vida carente de xito.

Debido a estas circunstancias mi padre fue educado con el alemn literario como lengua materna. Ms tarde fue a Berln para cursar unos cuantos meses de ingeniera en el antiguo Instituto Tecnolgico de Berln, que en ese tiempo an no se mudaba de su local en el centro de Berln a su famosa sede ulterior en Charlottenburgh. La capacitacin acadmica de mi padre en ese Instituto fue breve y tormentosa. Finalmente dej Alemania (pas del cual era ciudadano) para involucrarse en un nebuloso plan que tena como objetivo fundar una colonia vegetariana humanstica en algn lugar de Centroamrica.

El plan nunca estuvo bien concebido. El otro joven que viajara con mi padre pronto descubri que por su parte no tena las agallas necesarias para esa aventura. Y mi padre se encontr en Nueva Orleans, abandonado y sin un centavo, y jams lleg a Centroamrica. Por algunos aos vivi una vida de vagabundo al estilo Huckleberry Finn a lo largo de las partes sur y oeste de los Estados Unidos.

Finalmente le fue posible regresar a la carrera para la cual estaba mejor capacitado: la lingstica, a lo largo de un tortuoso camino. Durante cierto periodo dio clases en la secundaria central de la ciudad de Kansas, y despus en la Universidad de Missouri, de donde lleg a Harvard en alguna aventura y llam la atencin de Francis Child, editor de las Baladas Escocesas. Esto lo condujo a un puesto como instructor en la Universidad de Harvard y finalmente, despus de muchos aos, al cargo de profesor titular de literatura y lenguas eslavas.

Mi padre era un intelectual muy entusiasta cuyos intereses iban mucho ms all de las lenguas eslavas. Se haba imaginado a s mismo como un gran intelectual semejante a aque-

43

Soy un matemtico

los de la Alemania de entonces, y esto le provoc una considerable ambivalencia.

Por un lado, l era en lo esencial un liberal alemn del tipo bien conocido a mediados y fines del siglo XIX, que simpatizaba por completo con la tradicin intelectual alemana que provena de los tiempos en que Goethe era el representante ms genuino de las aspiraciones alemanas, tanto como jams llegara a serlo el emperador Guillermo II. Tan lejos como estaba mi padre de Alemania, en gran medida autodidacta y por completo ajeno a la tradicin acadmica ortodoxa alemana, acarici sin embargo por muchos aos la esperanza de que por la pura fuerza e integridad intelectuales podra llegar a ganar el reconocimiento que se tributa en Alemania a todo gran intelectual alemn.

Mi padre nunca fue completamente realista en cuanto a esta esperanza. Era un hombre honesto, demasiado inocente como para darse cuenta de las realidades de la vida. Le tom muchos aos aprender hasta qu punto la gran tradicin intelectual alemana ha llegado a subordinarse a un grupo de intereses creados, en todo aquello que concierne a la cultura. Los grandes progresos que efectivamente hizo el imperio germano despus de la guerra franco-prusiana trajeron consigo un grado nada despreciable de ese espritu del trepador y del adorador del xito material. Debo admitir que en las universidades alemanas haba muchsima gente dispuesta a aceptar ideas nuevas, vinieran de donde vinieren. Por todo esto, con el paso de los aos se hizo cada vez ms difcil ingresar en los crculos exclusivos de la vida intelectual alemana, sobre todo para el extrao. Y esto era particularmente cierto en aquellos crculos en los cuales, como es el caso de la lingstica y la filologa, es muy difcil, si no imposible, alcanzar una aceptacin definitiva acerca del mrito de cualquier nuevo trabajo. Las puertas de un reconocimiento integral estaban cerradas para mi padre.

Cuando ms o menos a principios de siglo visit Alema-

44

El Congreso Internacional de Matemticas

nia, as como ms tarde, en 1914, se sinti mucho ms como un extrao de lo que nunca haba esperado o temido. Y esto lo lastim. Lleg a resentirse, y verdaderamente a odiar a Alemania, con esa clase de odio que se reserva para aquellos de los nuestros de quienes sentimos que nos han traicionado injustamente.

Este odio era reforzado por los cambios polticos y sociolgicos que haba observado en la Nueva Alemania.

Y adems, no le gust lo que vio del militarismo alemn justo antes de que estallara la primera guerra mundial. Lleg a ser uno de los principales partidarios norteamericanos del punto de vista de los aliados: el de Francia y el Reino Unido. Junto con el profesor Bierwirth, del Departamento alemn de Harvard, quien era otro ardiente antimilitarista, acostumbraba caminar cada maana a lo largo de la calle Brattle denostando a Alemania en alemn. La misma intensidad de sus emociones marcaba ya un involucramiento personal en los problemas europeos que presentaba un marcado constaste con el aislamiento potencial del norteamericano promedio y aun del tpico intelectual norteamericano.

Mi padre era al mismo tiempo un gran entusiasta de los Estados Unidos y de la mayor parte de lo que fuera estadounidense y un defensor de lo extranjero. Criticaba profundamente muchas cosas de los Estados Unidos, y en especial, la superficialidad de una gran parte de la educacin estadounidense. La intensidad explcita de su amor por los Estados Unidos, as como el carcter especfico de este amor, eran> quiz las cosas menos americanas que tena. Amaba a los Estados Unidos como si hubiesen sido su propio descubrimiento personal y no como un marco de fondo tan prximo a su propio ser que podra llegar a ser tomado como algo natural.

Nos habituamos a recibir en nuestro hogar a una considerable cantidad de intelectuales europeos, quienes en gran parte eran liberales y poco afectos al estado que presentaban

45

Soy un matemtico

los asuntos de Europa. Algunos de ellos se contaban entre los grandes reformadores de comienzos del siglo XX. Tuvimos como invitados a nuestra casa a Toms Masaryk, quien posteriormente llegara a ser presidente de Checoslovaquia y el ms grande de los viejos estadistas europeos; a Paul Milyukov, que era historiador, economista, miembro de la Duma en Rusia y, finalmente, uno de los asociados de Kerensky; al padre Palmieri, de la Propaganda, que era la principal autoridad catlica en la Iglesia oriental y sus diversas iglesias Uniticas que haba derivado hacia la rbita del catolicismo; y durante la primera guerra mundial misma recibamos a Michael Yatsevich, el ingeniero siberiano que tuvo a su cargo la firma de muchos contratos para la Rusia imperial y que haba preservado los caudales producidos por ellos en contra de los reclamos de los comunistas para alguna futura Rusia posiblemente democrtica.

Era pues una parte de nuestra vida familiar escuchar lenguas extranjeras resonando en nuestro hogar. Mi padre poda hablar en unas cuarenta de ellas. Y era tan capaz en lingstica que su insistencia como profesor en la precisin y en la fluidez tuvo el efecto un tanto sorprendente de inhibir casi por completo los esfuerzos que mi madre y nosotros, los hijos, hacamos por hablar ms de una lengua.

Con estos antecedentes, era inevitable que se despertara en m una gran curiosidad acerca de Europa y una sed profunda por abrevar en las fuentes de la intelectualidad europea. Estos factores fueron complementados por otros ms directamente ligados con mi persona y mis intereses personales. Mis aos en Inglaterra y, en menor grado, el semestre que pas en Gotinga, representaron casi el primer alivio verdadero de las presiones paternas y de la intensidad de nuestra vida hogarea que llegu a experimentar. Mi temprana capacitacin como investigador fue primordialmente inglesa, y en menor grado alemana. El amistoso reconocimiento que comenc a encontrar en Europa contrastaba

46


vivamente con ese sentimiento de rechazo que haba sentido en Harvard.

Es cierto que en las universidades inglesas existe una cierta pretensin caballeresca, para dar la impresin de que se es un aficionado y de que no se encuentra uno profundamente involucrado en el duro y apabullante trabajo intelectual. Se sobrentenda universalmente que sta era una pose. N o se requera gran perspicacia para ver que eran precisamente aquellas personas que se ajustaban a la convencin del poco interesado las ms excitadas por las ideas y las que estaban ms que ansiosas de hablar acerca de ellas. Por otro lado, la pose de falta de inters en el trabajo intelectual creativo era en Harvard algo ms que una actitud convencional. El tpico hombre de Harvard consideraba de mal gusto hablar y pensar demasiado acerca de la ciencia. El esfuerzo desarrollado para aparentar ser un caballero era suficiente para agotar sus recursos.

Por ello es fcil comprender por qu el fin de la guerra me sorprendi ansioso de establecer contactos con Europa y de retornar a la relativa libertad que me procuraba todo viaje a ese continente. El vigoroso brazo familiar apenas si poda alcanzarme all. Pero exista una razn adicional por la cual me tentaba este viaje: el ya prximo congreso internacional de matemticas que tendra lugar en Estrasburgo.

En todas las ramas de la ciencia se haba establecido como norma que cada cierto nmero de aos, por ejemplo cuatro, aquellos que trabajaban en temas importantes como las matemticas, la fsica o la qumica se reunieran en algn lugar central, leyeran trabajos y discutieran acerca de los problemas de sus respectivos intereses. La primera gran guerra (oh dolor!) interrumpi estas muestras de la humanidad universal de la ciencia y el alineamiento que se present, al dividir al mundo en dos campos hostiles entre s, tenda a frustrar an ms estas reuniones.

Antes de estallar la guerra tuvo lugar en Inglaterra, en

47

Soy un matemtico

1912, en Cambridge el ltimo congreso internacional de matemticas. El congreso que iba a realizarse en 1916 era claramente imposible y se abandon la idea de llevarlo a cabo. El siguiente, en el ao 1920, no encontr ninguna base establecida para llevar a cabo su organizacin. Francia decidi llenar este vaco y celebrar el congreso internacional en ia ciudad de Estrasburgo, nuevamente hecha francesa, y en su Universidad, que ahora tambin era francesa. Esta se haba convertido en la segunda universidad de Francia y en la nica de provincia que contaba con una gran tradicin propia.

Esta fue una decisin poco afortunada en ms de un sentido, una decisin que ms tarde me hara deplorar la pequea parte que para sancionar dicha reunin haba significado mi presencia. Los alemanes fueron excluidos, como medida punitiva. En mi opinin ya madura y reflexiva, las medidas punitivas estn fuera de lugar en las relaciones cientficas internacionales. Quiz hubiese sido imposible realizar una reunin verdaderamente internacional por otros dos aos ms, pero este retraso hubiera sido preferible a lo que sucedi en realidad: la conversin de una institucin verdaderamente internacional en una organizacin nacional. Todo lo que puedo decir en mi descargo es que era muy joven y no me senta en una posicin de responsabilidad personal directa por el curso que haba tomado la ciencia internacional. Estaba vido de tener la oportunidad de ir nuevamente a Europa ya con cierta categora cientfica.

Abrigaba la esperanza de que me sera posible utilizar el periodo anterior a la apertura del congreso en septiembre para trabajar con algn investigador europeo en cuyo campo estuviese interesado personalmente. Escog a Maurice Fr- chet, quien haba investigado en mayor medida que cualquier otro las implicaciones de la nueva matemtica de las curvas en contraposicin a aquella de los puntos, campo al cual hice referencia en el captulo anterior. En aquellos

48


tiempos todos (incluido yo mismo) tenan grandes esperanzas de que su trabajo marcara el siguiente gran paso hacia las matemticas del futuro.

Permtaseme decir que en el presente el trabajo de Fr- chet ha demostrado ser muy importante pero menos central de lo que se haba pensado. Est escrito en el espritu de un formalismo abstracto que es, en lo fundamental, hostil a toda aplicacin fsica profunda. Sin embargo, la visin retrospectiva es siempre ms fcil que la visin prospectiva y hubiese sido algo difcil cuando estbamos en Estrasburgo predecir que Frchet no se iba a convertir en el lder absoluto de los matemticos de su generacin.

Una de las cosas que especficamente me atraan hacia Frchet era que el espritu de su investigacin estaba estrechamente emparentado con el trabajo sobre topologa que yo haba tratado de desarrollar en Columbia. Mi capacitacin al lado de Russell y mi contacto posterior con el trabajo de Whitehead me hicieron sensible al uso de las herramientas de la lgica formal de las matemticas; y en el trabajo de Frchet haba muchos elementos que desde un principio se prestaban para enmarcarlo en el lenguaje lgico matemtico tan peculiar y original que Whitehead y Russell haban desarrollado para los Principia Mathematica.

Pero para que me sea posible describir los principales acontecimientos sucedidos en Estrasburgo en 1920, antes debo escribir con algn detalle acerca de los trminos pos- tulacionalismo y construccionalismo. Esta dicotoma en la metodologa es uno de los aspectos centrales en la matemtica moderna y fue objeto de gran preocupacin para m en la conferencia de Estrasburgo.

La geometra de los griegos se remontaba a ciertas hiptesis iniciales, conocidas indistintamente como axiomas o como postulados, los que eran concebidos como reglas inviolables del pensamiento lgico y geomtrico. Algunas de ellas eran de carcter predominantemente formal y lgico,

49

Soy un matemtico

como el caso de axioma de que cantidades iguales a una tercera deberan ser iguales entre s. Alguna otra, con un contenido ms puramente espacial, era el conocido como axioma de las paralelas, que establece que en un plano que contiene a una lnea / y a un punto P no contenido en l es posible tra2ar una, y slo una lnea, que intersectar a l. sta ser, obviamente, la lnea paralela a /.

Este postulado no es tan obvio como los postulados puramente lgicos de las matemticas. Y generaciones de matemticos han buscado excepciones al mismo. En el siglo XVIII el matemtico italiano Saccheri dedic considerables esfuerzos a aislar uno tras otro todos los cambios posibles en el postulado de las paralelas con la esperanza de que cualquier negacin de esta hiptesis conducira tarde o temprano a una contradiccin lgica. Realiz un trabajo brillante en cuanto a formular diversas modificaciones del axioma, pero su esfuerzo no tuvo xito. De hecho, cuanto ms trataba de derivar una contradiccin a partir de alguna negacin del postulado, mayor era el volumen de deducciones que le era posible derivar de dicha negacin. Este conjunto de deducciones equivala a una doctrina que en lo esencial era diferente de la geometra ordinaria de Euclides, pero que era ms bien grotesca que internamente contradictoria.

Finalmente, a principios del siglo XIX un grupo de matemticos que incluan a John Bolyai, de Hungra; a Loba- chevski, de Rusia y, por ltimo al gran Gauss, de Alemania, lleg a la conclusin de que negar el postulado de las paralelas no implica contradiccin sino simplemente una geometra no euclideana, nueva y diferente. A partir de entonces se entendi cada vez con mayor claridad que los llamados postulados de la geometra, y de hecho los de otras ciencias matemticas, no eran verdades innegables. Llegaron a considerarse como hiptesis que podemos aceptar o rechazar de acuerdo con los sistemas matemticos que en lo particular queramos estudiar con mayor profundidad.

50


Esta actitud de ensayo y prueba en las matemticas, de acuerdo con la cual los postulados se transforman en suposi- ciofaes hechas con el objeto de realizar trabajos adicionales, dejando ya de ser principios fundamentales de pensamiento, comenz a convertirse gradualmente en el punto de vista estndar para los matemticos de todos los pases. Edward Vermilye Huntington, de Harvard, fue uno de sus ms tempranos exponentes, y quiz el principal de ellos; yo haba estudiado con l en 1912 y ejerci una gran influencia en mi forma de pensar.

Whitehead fue quiz el principal de los postulacionistas ingleses, pero complementaba un postulacionismo puro con la concepcin de que los entes matemticos son construcciones lgicas ms que los simples conceptos primitivos que se describen en los postulados. Por ejemplo, en ocasiones consideraba a un punto como el conjunto de todas las regiones convexas que en nuestro lenguaje ordinario podra considerarse que contienen a ese punto. De hecho, Huntington formul ideas muy similares en forma totalmente independiente, y el filsofo Josiah Royce realiz un importante ensayo en esta direccin varios aos antes. Pero el ejemplo clsico de construccionalismo en las matemticas es la definicin de nmeros enteros que se presenta en los Principia Mathematica de Russell y Whitehead.

La diferencia entre el tratamiento de los nmeros que hace el postulacionismo y el que hace el construccionalismo, que ha sido descrito por Russell y Whitehead, es que en el postulacionismo los nmeros son objetos no definidos, que estn conectados por un conjunto de relaciones formales supuestas y por cosas especficas que pueden ser construidas a partir de nuestra experiencia mediante modos definidos de combinacin de experiencias an ms elementales. El tratamiento postulaconista de los nmeros los hace simples objetos susceptibles de ser ordenados de acuerdo con una relacin de antes y despus, en forma tal que si a precede

51

Soy un matemtico

a b y b precede a c, entonces a precede a c y cualquier nmero, con excepcin del cero, tiene a otro nmero inmediatamente antes de l, y as sucesivamente. Estos son algunos de los postulados en un tratamiento de esta naturaleza del mismo sistema de los nmeros.

En el tratamiento construccionalista de los nmeros un conjunto unidad es considerado como el conjunto de entes tales que todos son l mismo. El nmero 1 se convierte as en el conjunto de todos los conjuntos unidad. Una dada es un conjunto de todos los entes que son diferentes del conjunto unidad, pero que se convierten en conjunto unidad cuando les es segregado uno cualquiera de sus elementos. El 2 es entonces el conjunto de todas las diadas. Una trada es un conjunto de entes que no es ni conjunto unidad ni dada, pero que se convierte en dada si le es segregado uno cualquiera de sus elementos. Y el 3 es entonces el conjunto de todas las tradas. De esta manera, y mediante el proceso conocido como induccin matemtica, es posible construir el conjunto total de los nmeros naturales.

Es posible que todo esto le parezaca al lego slo una vacua simplificacin lgica. De hecho, no hemos utilizado los nmeros 1, 2 y 3, slo que bajo una forma ligeramente ms oscura, al construir estas definiciones de los nmeros enteros primigenios? Pero para el lgico esta objecin no es vlida porque la mayor precisin de pensamiento que le es dada mediante definiciones le proporciona una firme base sobre la cual y desde la cual puede continuar hacia ideas matemticas ms avanzadas.

La triquiuela de construir objetos matemticos ms y ms complicados, como conjuntos de conjuntos y relaciones entre las relaciones, me era familiar por los trabajos de Huntington y de Russell. Inclusive yo haba escrito dos o tres ensayos sobre la aplicacin de esta tcnica a la construccin de ciertas situaciones matemticas elementales.

Tanto el postulamiento como el construccionasmo, en la

52


forma en que los he descrito hasta ahora, no representan movimientos exclusivos de las matemticas. En particular, el postulacionismo es compartido por la fsica. Tanto la relatividad de Einstein como la nueva mecnica cuntica constituyen regiones en las cuales la fsica ha rebasado el marco de referencia de la geometra euclidiana clsica y han supuesto nuevas definiciones, que son formuladas ms bien como conjuntos de axiomas explcitos que como intuiciones espaciales rgidas e insustituibles, como lo requera la antigua teora kantiana del espacio.

Naturalmente, es cierto que la tendencia a postular por la postulacin misma y a escribir trabajos slo por escribir es una caracterstica importante de lo que se hace en las matemticas ms recientes. De cualquier manera, el fro y duro mtodo lgico, como el duro y fro mrmol, impone una cierta disciplina interna en todos, excepto en los matemticos ms vacuos y triviales, aun cuando estn a favor de la reciente moda de libertad.

Como he dicho, yo fui formado en la tradicin postulacio- nista y compart los primeros aos de la tradicin construe- cionalista que surgi a partir de ella. Cuando busqu un investigador francs con quien estudiar, busqu a alguien cuyo trabajo pudiese encarnar a una o a ambas de esas lneas de pensamientos. En lo que a este deseo se refera, Frchet no terna rival entre los matemticos franceses.

Hasta ahora he hablado de la nueva lnea de pensamiento principalmente desde el punto de vista angloamericano. Tambin en Alemania existieron algunos tempranos exponentes tanto del postulacionismo como del construccionismo, y all los nombres ms originales y avanzados eran G. Frege y Schrder. Por otro lado, Francia era ms bien lenta en la adopcin de estos recientes hbitos de reflexin, pero hasta donde haba llegado en postulacionismo Frchet era el lder indiscutido. Yo mismo haba hecho uno o dos intentos no totalmente carentes de xito para complementar el pos-

53

Soy un matemtico

tulacionismo de Frchet como una herramienta para el estudio de espacios de curvas nuevos y ms complicados mediante una actitud construccionalista. Sin embargo, este nuevo esfuerzo quedaba fuera del marco interno del propio trabajo de aqul.

Escrib a Frchet con el fin de saber si me aceptara como su discpulo durante las vacaciones de verano que precederan al congreso en Estrasburgo y recib como respuesta una cordial carta de invitacin. Sus primeros planes haban sido pasar las vacaciones en Barn, en la frontera con Espaa. Sin embargo cambi su parecer y me invit a trabajar con l, primero en Estrasburgo y despus en un pequeo pueblo campesino de la Lorena que lleva el nombre alemn de Dagsburg y el nombre francs de Dabo.

A principios de julio me embarqu para Francia en el vapor La Touraine, de la Lnea francesa, con algunos conocidos de mi familia que prometieron a mis padres cuidar de m durante el viaje. Sin embargo los aos veinte empapados de ginebra, ya haban comenzado y descubr que el concepto de mis amigos acerca de lo que era apropiado hacer durante un viaje trasatlntico era incompatible con mis hbitos ms bien puritanos.

Nunca haba sido un abstemio total. Disfrut del vino que nos servan con las comidas en el barco, el que dilua con abundante agua. Por otro lado no gustaba de ios licores destilados y protest vigorosamente contra las convenciones en las que se escudaban mis conocidos para presionarme a beber. Me pareci que este hbito de urgir a una persona a beber, cuando abiertamente se rehsa a hacerlo, constituye un atropello a su libertad personal equiparable a cualquier prohibicin mojigata que pueda establecerse sobre la bebida. Esto me priv de toda felicidad durante el viaje y no establec amistad alguna. Estaba ansioso por desembarcar y liberarme de mis compaeros de travesa.

Pero antes de desembarcar tuvimos una experiencia inte-

54


resante de otra naturaleza, no por completo agradable. Haba sido un viaje bajo nublados y no nos fue posible ver el sol durante varios das. bamos a toda velocidad pero a ci

Wiener Norbert - Soy un Matematico

Documents

Transcript of Wiener Norbert - Soy un Matematico