Tema 9 [Modo de compatibilidad]

FORMULACIÓN DE CARATHEODORYTEMA 9

FORMULACIÓN DE CARATHEODORYENTROPÍA

2 FORMALISMO DE CARATHEODORY DEL SEGUNDO PRINCIPIO DE LA

1. INTRODUCCIÓN

2. FORMALISMO DE CARATHEODORY DEL SEGUNDO PRINCIPIO DE LA

TERMODINÁMICA

Á3. SUPERFICIES ADIABÁTICAS REVERSIBLES

4. ENTROPÍA EMPÍRICA

5. INTEGRABILIDAD DE LA FORMA DIFERENCIAL DEL CALOR

Información entorno al denominador integrante

6. ESCALA TERMODINÁMICA DE TEMPERATURAS Y CONCEPTO DE6. ESCALA TERMODINÁMICA DE TEMPERATURAS Y CONCEPTO DE

ENTROPÍA

Prof. Mohamed Khayet Souhaimi Facultad de Ciencias Físicas (UCM) Grado en Física y Doble Grado en Matemáticas y Física

REFERENCIAS

* C Fernández Pineda S Velasco Maíllo (Termodinámica) (2009): C. Fernández Pineda, S. Velasco Maíllo (Termodinámica) (2009): Capítulo 6:(Entropía)

* M.W. Zemansky y R.H. Dittman (Calor y Termodinámica):

Capítulo 7 - (Reversibilidad y escala Kelvin de temperatura)C í l 8 ( í )Capítulo 8 - (Entropía)

* J. Aguilar Peris (Curso de Termodinámica):

Capítulo 7 - (Segundo principio de la Termodinámica)

Capítulo 8 - (Entropía)


1. INTRODUCCIÓN

2º Principio

Método Técnico Método Axiomático

Enunciado de Carnot-Kelvin-Planck Postulado de Caratheodory

Método Técnico

Enunciado de ClausiusPostulado de Caratheodory

E i t i d Adi báti iblExistencia de sup. Adiabáticas reversibles Existencia de factores integrantes de Q

Rendimiento de un ciclo Ciclo de Carnot

Teoremas de Carnot

Escala termodinámica de TEscala termodinámica de T

Función de estado entropía (S)Función de estado entropía (S)


2. FORMALISMO DE CARATHEODORY DEL SEGUNDO PRINCIPIO

Dados dos estados de equilibrio termodinámico 2 y 3d idé i fi ió ól d llde idéntica configuración, sólo uno de ellos es

accesible por vía adiabática reversible desde otro estado de equilibrio 1 C i C h destado de equilibrio, 1 Constantin Caratheodory

(1873-1950)

→ Caso simple de un gas ideal:


U i t di báti i táti

Aplicaciones del 2º Principio:

Una isoterma y una adiabática cuasiestáticas no pueden tener dos o más estados comunes

Teoremas de Poincaré

Dos adiabáticas cuasiestáticas no pueden tener un estado común


3. SUPERFICIES ADIABÁTICAS REVERSIBLES

Existencia en el espacio termodinámico de superficies adiabáticas reversibles

Cada estado se encuentra sobre una superficie adiabática reversible

= (U, a , a´)= Cte.→ Haz de superficies adiabáticas

reversibles del sistema

Las superficies adiabáticas reversibles no pueden cortarse


- Ejemplo dos dimensiones

Gas ideal: PV = Cte.

.),(. CteVpCtePV ),( p


4. ENTROPÍA EMPÍRICA

- Existen en el espacio termodinámico superficies adiabáticas reversibles

- Cada estado se encuentra sobre una superficie adiabática reversible

= (U, a , a´)= Cte.→ Haz de superficies adiabáticas

ibl d l i Función de estado “Entropía Empírica”

reversibles del sistema

Resumen:Resumen:

1- En el espacio termodinámico de todo sistema existen superficies adiabáticas ibl d fi id di i d l i ( ´)reversibles definidas mediante expresiones del tipo = (U, a , a´)

2- Cuando un proceso tiene lugar sobre una superficie adiabática reversible se cumple que Qrev =0 y también d=0cumple que Q 0 y también d 0

3- A cada estado de equilibrio le asociamos el valor de la función de estado = (U, a , a´) “entropía empírica” correspondiente a la superficie

di báti ibl (ú i ) t dadiabática reversible (única) que pasa por ese estado


5. INTEGRABILIDAD DE Q

Si el estado de un sistema evoluciona sobre una de las superficies adiabáticas reversibles: 00 dQrev

Si variables de estado ( , a , a´) U=U( , a , a´)

adAAdadUWWdUQrev 21

adUdaUdUdU

1er Principio:

aa aaaa

,,,

adAUdaAUdUQrev

Superficie adiabática reversible: → Qrev=0 y d = 0

aa aaaa

,,,

dUQaa

rev

,

0,

AaU

a

0,

AaU

a

Nueva función de estado),,(,

aaU

aa

daaQrev ),,(


0),,( aa

0),,( aa

dQQaa revrev

1

)(10),,(

Diferencial exacta ya queexiste la función de estado

aa ),,(

Factor integrante de Q

La función de estado es un divisor (o denominador) integrante de Qf ( ) g Q


* Información entorno al denominador integranterevQQ

revQ1 revQ2

revrevrev QQQ 21

Como: 2211 ddd dQrev

= (t, 1,a1´, 2, a2´)

dddddtd

2

,,,22

,,,21

,,,11

,,,1,,,2112112212212211

ada

dada

ddtt

dataatataataa

=0 =0 =2/ =0=1/Prof. Mohamed Khayet Souhaimi Facultad de Ciencias Físicas (UCM) Grado en Física y Doble Grado en Matemáticas y Física

Relaciones de Schwartz: 00 21

tt3º

1 no depende de a´1 02

1

a01

1

a 2º → no depende de a´11 a1 a

02

a01

a1º no depende de a´2 →2 no depende de a´2

1º- no puede depender de la variable a´1 ni de a´22º d d d d l i bl ´

2

a2

a

2º- 1 no puede depender de la variable a´12 no puede depender de la variable a´2

( ( ) ( )1 = 1 (t, 1) 3º- 1 , 2 y deben depender de la variable temperatura empírica (t) de forma

que sus cocientes sean independientes de t

2 = 2 (t, 2) = (t, 1, 2)

)()( f

que sus cocientes sean independientes de t 1 = (t) f1 (1) 2 = (t) f2 (2) = (t) f (1, 2)

)()( ft

Función exclusiva de la entropía empíricaCarácter universalProf. Mohamed Khayet Souhaimi Facultad de Ciencias Físicas (UCM) Grado en Física y Doble Grado en Matemáticas y Física

6. ESCALA TERMODINÁMICA DE TEMPERATURAS Y CONCEPTO DE ENTROPÍA

dftQrev )()(dSdf )( )(tT

T: Temperatura termodinámicaS: Entropía termodinámicaf )( )(

dSTQrev Propiedades de S:

i)- Función de estado → diferencial exacta (dS)

Q

ii)- Carácter extensivoiii)- Permanece constante en todo sistema termodinámico que realiza un

proceso adiabático reversibleiv)- Forma pareja con la temperatura termodinámica (T) en la expresión de la

dif i l d l l [S] J/Kdiferencial del calor [S]=J/K Magnitudes específicas: [Sm]=J/K.mol , [s]=J/K.kg

)(tT Tiene un carácter universal Definir una “Escala (Absoluta) Termodinámica de Temperaturas” o “Escala Kelvin”


Có d di t t t di á i i t l i ?

)(tT

¿ Cómo se puede medir esa temperatura termodinámica en un sistema cualquiera?

“Escala Termodinámica de Temperaturas” ↔ “Escala Absoluta del Gas Ideal”

12 SSTQ T = Cste. (b → c):

SSTQT = Cste (a → d):

TT

QQ

1233 SSTQ T3 = Cste. (a → d):

33 TQ

T se puede medir ya que Q y Q3 se pueden determinar experimentalmente y T3 se d fij l d l i l T 273 16 Kpuede fijar a la temperatura del punto triple T3=273.16 K


Si gas ideal → pV=nRTid

b

cid V

VnRTQ lnTid = Cste. (b → c):

b

cid V

VTQ

ln

a

did V

VnRTQ ln3,3Tid,3 = Cste. (a → d):

a

did

b

VVT

QQ

ln3,3

WQdU

a

Transformación adiabática reversible G id l dVnRTpdVdTnC idT

mVid Q Gas ideal V

pmV ,

bidV

VnRTnC lnlnAdiab. rev. (a → b):

d

c

a

b

VV

VV

cid VRTC ll

aid

mV VnR

TnC lnln

3,,

( )

Adi b (d )

d

c

id

idmV V

nRT

nC lnln3,

,Adiab. rev. (d → c):

a

d

b

c

VV

VV

TTid 33,3 T

TTT

QQ

id

id


- Expansión adiabática irreversible

* Un mol de gas ideal (Cv,m=2.5 R) inicialmente a T1=300 K se expansiona de forma adiabática y brusca contra la presión ambiente P=101.325 kPa, hasta

d d ilib i l i l d l i i i locupar un nuevo estado de equilibrio con un volumen triple del inicial. Calcular la variación de entropía del sistema.

* U l d id l i i é i li d ió

- Compresión isoterma irreversible

* Un mol de gas ideal se comprime isotérmicamente aplicando una presión constante, P=15 105 Pa, desde un volumen V1=18.2 l hasta un V2=9.85 l a la t t T 13 2 ºCtemperatura T=13.2 ºC. Determinar el incremento de entropía que experimenta el gas.


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