01a-Introd-MetodosRRHH2015 [Modo de Compatibilidad]

METODOS NUMRICOS EN INGENIERA DE RECURSOS HDRICOS

METODOS NUMRICOS EN INGENIERA DE RECURSOS HDRICOS

Mg. Ing Roberto Alfaro Alejo

Mayo 2015

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANOESCUELA DE POST GRADO

Maestria en Ingenieria AgricolaMencion: INGENIERA DE RECURSOS HDRICOS

Lectura #1. Introduccion al Analisis de Recursos Hidricos con Metodos Numericos

Introduccion al Analisis Hidraulico con Metodos Numericos

Introduccion al Analisis Hidraulico con Metodos Numericos

1.1 Descripcion General de Clases 1.2 Clasificacion de Metodos Numericos 1.3 Filosofia de Modelamiento Numerico

Objetivos Objetivos

Al final del curso, el estudiante debera ser capaz de:

Tener conocimiento basico de formulacion de metodos numericos FEM y FDM.

realizar analisis numerico en problemas hidraulicos.

Aplicar metodos numericos para su trabajo de investigacin.

Sugerir mtodo numerico adecuado para el diseo y anlisis de campo.

Temas a Tratar Temas a Tratar

1.0 Introduccion del Analisis Recursos Hidricos con Metodos Numericos

2.0 Metodos Numericos Basicos3.0 Parametros de Fluidos para Analisis Numerico4.0 Introduccion a Metodo de Elemento Finito FEM5.0 Introduccion a Metodo de Diferencia Finita FDM6.0 Introduccion a Metodo de Volumenes Finitos FVM7.0 Analisis en tres dimensiones

Metodologia de EnseanzaMetodologia de Enseanza

a. Lecturas Lecturas dadas para cubrir principios de cada tema. Lectura

de fondo de los materiales de referencia ser asignado. Asignaciones actualizadas se dan al final de cada tema.

b. Practica Laboratorio de Computo Proceso de Modelamiento sera instruido en el laboratorio de

computo. c. Proyecto Final El proyecto final sera asignado durante la primera sesion para

estimular e iniciar el desarrollo de una investigacin de relevancia con estructura subterranea o superficial. Al final del curso, el trabajo sera presentado y expuesto.

EvaluacinEvaluacin

Trabajos en Curso : 60% Asistencia Intervencion 1% * 10 veces 10 % Practica 1 15 % Practica 2 15 % Trabajo Final 20 %

Examen Final 40% Total 100 %

BibliografiaBibliografia

Introductory Finite Element Method Chandrakant S. Desai & Tribikram Kundu

Finite difference equations H. Levy & F. Lessman

Chapra, Canale, 2004, Metodos Numericos para Ingenieros, 5rd Edition

Manuales y Textos de MATLAB Manuales FLOW3D Manuales

1) Nombre y apellido

2) Formacin bsica

3) Cul es su rea de trabajo?

EPG- FIA Mg Ing Roberto Alfaro Alejo

Presentacin de los participantes y casos individuales de inters

Presentacin de los participantes y casos individuales de inters

Historia de Analisis Numerico en Ingenieria Hidraulica


Analisis Numerico durante 60~70s Metodo Principal: Metodo Elemento Finito Computadora: Analisis basado en Main Frame Area de Aplicacion: Ingenieria Mecanica,

Ingenieria Aeroespacial, Arquitectura Naval America y Europa tienen una posicion de

monopolio en el mercado.



Analisis Numerico durante 80s Metodo Principal: Metodo Elemento Finito Computadora: Analisis basado Mini computer Sistema Operativo: Computer basado OS, VAX etc. Area Aplicacion: Ingenieria Estructural (Truss Structure, Presa,

Tunel) Japan developed a few FEM software. Numerical analysis methods are introduced to South Korea. Analisis Numerico durante 90s Computer: Personal computer based analysis Operating System: Windows and GUI(Graphic User Interface) Application area: Hydraulic engineering (Seepage) Various numerical analysis software are developed in the world.

VAX Mini Computer

Post Proceso con Plotter

Efecto de desarrollo de PC en anlisis FEMEfecto de desarrollo de PC en anlisis FEM

n .

n .

IntroduccionIntroduccion

n .

Software Pre y Post-procesamiento para analisis FEM

Software FEM basado en Windows

KoreaJapanAmericaEurope

13

Analisis Numerico en Siglo 21Analisis Numerico en Siglo 21

Computer: Analisis basado Comp. Personal Sistema Operativo: 32 bit y 64 bit Windows

(significant digit problem) CPU: Dual core, Quad Core, i7, etc. Generacion malla Avanzado, solver alta velocidad Avances Teoricos y modelos constitutivos varios

14

Modelos de Materiales y ComportamientoModelos de Materiales y Comportamiento

Modelo Material Comportamiento

Clasificacion de Metodos Numericos usados en Hidraulica

Clasificacion de Metodos Numericos usados en Hidraulica

Finite Volume Method (FVM) Finite Element Method (FEM) Finite Difference Method (FDM)n Spectral methods.n Boundary element.n Vorticity based methods.n Lattice gas/lattice Boltzmann.n And more!n Ver, por ejemplo,

1.2 Clasificacion de metodos numericos1.2 Clasificacion de metodos numericos

FDM Historically, the oldest of the three. Techniques published as early as 1910 by L. F. Richardson. Seminal paper by Courant, Fredrichson and Lewy (1928) derivedstability criteria for explicit time stepping. First ever numerical solution: flow over a circular cylinder byThom (1933). Scientific American article by Harlow and Fromm (1965) clearlyand publicly expresses the idea of computer experiments for thefirst time and CFD is born!! Advantage: easy to implement..

Disadvantages: restricted to simple grids and does not conservemomentum, energy, and mass on coarse grids

VENTAJA DESVENTAJAFinite difference method


n The domain is discretized into a series of grid points.n A structured (ijk) mesh is required.

n The governing equations (in differential form) are discretized (converted to algebraic form).n First and second derivatives are approximated by truncatednTaylor series expansions.n The resulting set of linear algebraic equations is solved eitherniteratively or simultaneously..

Finite difference method


FEM Earliest use was by Courant (1943) for solving a torsion problem. Clough (1960) gave the method its name. Method was refined greatly in the 60s and 70s, mostly foranalyzing structural mechanics problem. FEM analysis of fluid flow was developed in the mid- to late 70s. Advantages: highest accuracy on coarse grids. Excellent fordiffusion dominated problems (viscous flow) and viscous, freesurface problems. Disadvantages: slow for large problemsand not well suited for turbulent flow.

.

VENTAJA DESVENTAJAMetodo Elemento Finito

coextrusionmetal insert

contours of velocity magnitude


FVMn First well-documented use was by Evans and Harlow (1957) at LosnAlamos and Gentry, Martin and Daley (1966).n Was attractive because while variables may not be continuouslyndifferentiable across shocks and other discontinuities mass, momentumnand energy are always conserved.n FVM enjoys an advantage in memory use and speed for very largenproblems, higher speed flows, turbulent flows, and source termndominated flows (like combustion).n Late 70s, early 80s saw development of body-fitted grids. By early 90s,nunstructured grid methods had appeared.n Advantages: basic FV control volume balance does not limit cell shape;nmass, momentum, energy conserved even on coarse grids; efficient,niterative solvers well developed.n Disadvantages: false diffusion when simple numerics are used.

VENTAJA DESVENTAJAMetodos Volumen Finito

1.2 Clasificacin de Mtodos Numricos1.2 Clasificacin de Mtodos Numricos

Caracteristicas de Metodo NumericoDesventajas y problemas involucrados con el anlisis numricon Problemas de Costosn Problemas de Tiempon Problemas de Complejidadn Limitacion y restriccion de parametros de entradan Estabilidad de analisis (Verificacion de resultados)n Limitacion de aproximacion (problema de Simplificacion)

1.2 Clasificacion de Metodos Numericos1.2 Clasificacion de Metodos Numericos

Desventajas y problemas involucran con analisis numericoEfecto de errores involucra con anlisis numricon A: Forma Geometrican B: Secuencias Construccionn C: Modelo Constitutivon D: Theoretical backgroundn E: Habilidad del Diseadorn F: Incertidumbre del Parametro de Entradan ETCComprender y minimizar es la principal tarea para el analizador

hidraulico habil.

Total Error (%) =A + B + C + D + E + F + etc

1.3 Filosofia de Modelamiento Numerico1.3 Filosofia de Modelamiento Numerico

n Por qu debemos utilizar el anlisis numrico?

Diseo Ingenieria Eficiencia Economica

n Mejor que nada? Aceptar ciegamente?

n Funciona como una herramienta de ingeniera: Anlisis numrico es una herramienta competente mejor que otro mtodo de anlisis.

Analisis Numerico

Formulando un Modelo Matemtico versus un Modelo FsicoFormulando un Modelo Matemtico versus un Modelo Fsicon Los ingenieros a menudo se encontraran con problemas de

formular las leyes fundamentales de conservacin para describir matemticamente lo que ocurre fsicamente. Tambin definir las relaciones constitutivas necesarias (relacionar variables basadas en observaciones) y condiciones de frontera y/o compatibilidad de restricciones.

n Usar las leyes de la fsica aplicada a un objeto/dominio para desarrollar las ecuaciones gobernantes

n Ecuaciones algebraicasn Ecuaciones Integrales -> valido para el dominio como un todo

Formulando un Modelo Matemtico versus un Modelo FsicoFormulando un Modelo Matemtico versus un Modelo Fsicon Ecuaciones diferenciales parciales

l e.g. la segunda ley de Newton aplicada a un punto en un continuo hipottico -> ecuaciones de Navier Stokes

n Resolver las ecuaciones resultantes usando:l Soluciones analticasl Soluciones numricas o discretas

n Verificar que tan bien es resuelto el problema comparado a las mediciones

1.2 Fuentes de Error en una solucin Matemtica1.2 Fuentes de Error en una solucin Matemtican Error 1: Desacierto o incorrecta fsica

l Modelo no incluye un proceso importante (e.g. fuerzas de tensin superficial)

l Relaciones constitutivas no son una buena aproximacin (e.g. leyes de friccin en tuberas y canales no son aplicables a los ocanos abiertos)

n Error 2: Soluciones Numricas implica errores relacionadas al Algoritmol Discretizacinl Especificacin de condiciones de frontera y seleccin del dominiol Tipo de computadora

1.2 Fuentes de Error en una solucin Matemtica1.2 Fuentes de Error en una solucin Matemtican Error 3: Errores observacionales ocurren en

l Mediciones -> e.g. instrumentos de limitada precisinl Tcnicas de anlisis de datos -> e.g. tcnicas pueden no ser

apropiadas o estar basadas en pobres o invlidos asunciones y aproximaciones

l Interpretacin -> e.g. son los objetos apropiadamente comparados?

1.2 Fuentes de Error en una solucin Matemtica1.2 Fuentes de Error en una solucin Matemtican Los ingenieros que modelan debern distinguir los Errores en

la Formulacin, Errores en la Discretizacin Numrica y Errores de Datos..

UN MODELO MATEMATICO

SISTEMA FISICO Naturaleza

ERROR 3: Errores de Datos ERROR 1: Error en Formulacin

SOLUCIONES ECUACIONES NUMERICAS GOBERNANTES Nmeros Ecuaciones Matemticas ERROR 2: Errores Numricos

Solucin de las ecuaciones gobernantesSolucin de las ecuaciones gobernantes

n Esto puede ser muy dificultoso para resolver un conjunto de ecuaciones matemticas analticamente (i.e. en forma cerrada) para problemas de Ingeniera y geofsica.

n Las ecuaciones gobernantes pueden incluirl No linealidadesl Geometras complejasl Variacin de las condiciones de fronteral Extensos nmeros de ecuaciones ensambladas

n Estos problemas no son resueltas analticamente a no ser que grandes simplificaciones son hechas en los aspectos citados anteriormente

n Simplificaciones de las ecuaciones gobernantesn Posiblemente una pobre respuesta

1.3 Mtodos Numricos1.3 Mtodos Numricos

n Usado en clculos manuales (muchos mtodos numricos tienen alrededor de un centenar de aos)

n Usado con computadoras (facilita el tipo de operaciones requerido en mtodos numricos: Inicialmente 1940 -> 1970; mas desarrollado 1970 -> al presente

n Cmo trabajan los mtodos Numricosl Las computadoras pueden nicamente ejecutar operaciones sobre nmeros en

puntos discretos en espacio/tiempo

l Representacin del continuo de una funcin debe ser cambiada a una representacin discreta.


n Las computadoras/compiladores no ejecutan operaciones diferenciales, integrales o algebraicas

n Las operaciones diferenciales, integrales y algebraicas pueden ser transformadas a operaciones aritmticas usando puntos discretos.

n Los mtodos Numricos involucran la representacin y manipulacin de ecuaciones gobernantes en forma discreta aritmtica


n As hay muchos mtodos numricos para muchas tareas, a saber:l Resolver ecuaciones algebraicas no lineales

l Resolver ecuaciones lineales simultneas

l Interpolar funciones

l Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE)l Resolver ecuaciones diferenciales parciales

l Integrar funciones

n Muchas de estas tcnicas pueden ser usadas para resolver un simple problema

1.4 Por que estudiamos los mtodos numricos?1.4 Por que estudiamos los mtodos numricos?

n Un mtodo No numrico es completamente libre de dificultades en todas las situaciones!

l Como debo elegir / usar un algoritmo para conseguir trouble free and accurate answers?

l Un mtodo No numrico esta libre de error!

l Que nivel de error/precisin tiene la manera que estoy resolviendo el problema? Identificar error 2! (e.g. movimiento de una construccion)

n Metodos No numericos son optimos para todos los tipos/formas de una ecuacion!

l Eficiencia varia por el orden de magnitud!!!

l Un algoritmo para un problema especifico segundos para resolver en una computadora

l Otro algoritmo para el mismo problema decadas para resolver en la misma

1.5 Dificultades tpicas encontradas con los mtodos numricos1.5 Dificultades tpicas encontradas con los mtodos numricos

n La solucin puede hacerse inestable

n La solucion puede ser inconsistentel Aun cuando el tamano de la discretizacion es hecha muy pequena, la solucion nunca puede

acercarse a la solucion analitica hipotetica del problema!

1.5 Dificultades tpicas encontradas con los mtodos numricos1.5 Dificultades tpicas encontradas con los mtodos numricos

n La solucion puede ser altamente imprecisa para una discretizacion dada

l Esto puede resultar en significantes under/over predicciones de la solucin

n Un Ingenierio/Cientifico como un desarrollador y usuario debe entender que un metodo numerico realiza para su problema dado

35

Tipicas aplicaciones de metodos numericos en problemas RRHHTipicas aplicaciones de metodos numericos en problemas RRHH

Ejemplo - Flujo Geofisico debido a Mareas y Vientos en el Oceano Phenomena: Currientes en el oceano y elevacion de

la superficie del mar son controladas por viento, presion atmosferica, variaciones en la densidad (debido a variaciones de temperatura/salinidad) y by gravitational pull from the moon and sun (tides) and by Earths gravity and wobble

Interes: Transporte de contaminantes (aguas residuales, txicos

industriales, residuos de calderas, derrame de petrleo) Transporte de sedimentos (dragado, erosin costera) Elevacin de la Superficie del mar /corrientes (navegacin,

inundacin costera)

36


Ecuaciones Gobernantes:

37


Ecuaciones Gobernantes:

38


Flujo de Aguas Superficiales en Cauces Naturales Ecuaciones Gobernantes

- Ecuacin de Continuidad - Ecuacin de Cantidad de Movimiento

Anlisis de Campos de Velocidades, Anlisis de Estructuras Hidrulicas

Modos y Frecuencias Naturales de Lagos, Puertos.

39


Modelos de Aguas Subterraneas Modelos de Flujo , Modelos de Transporte de

Solutos, Flujo de Calor y Deformacin de Acuferos Usualmente estan los mtodos de los elementos Finitos o

de Diferencias Finitas Calculo de Estructuras

Esfuerzo Plano, Deformacin Plana Frecuencias Naturales y Modos de Vibracin de

Estructuras, Estabilidad y Pandeo, Respuestas de Estructuras a Cargas Peridicas (sismos)

Ing. Roberto Alfaro Alejo 40

Modelamiento (ejemplos)Modelamiento (ejemplos)Free surface animation for ship in regular waves

Flujo tras un vertedero (Bell et al., 2001)

Modelacion Numerica de un Acuifero c(C.Narayanan)

Ing. Roberto Alfaro Alejo 41

Modelamiento (ejemplos, contn)Modelamiento (ejemplos, contn)

Vrtice 3D desprendimiento detrs de un cilindro circular (Re=100,DNS,J.Dijkstra)

Obtain an accurate Turbulent Energy Dissipation Mapa a traves del Floculador.

Flujo a traves de un sedimentador

Taludes (Presa, Terraplen)Taludes (Presa, Terraplen)

42 Talud Terraplen

Taludes (Presa, Terraplen)Taludes (Presa, Terraplen)

43

Analisis de estabilidad talud de terraplen: Muar

4m

4.5m

5m

5.5m

Aguas Subterraneas (Saturacion y desaturacion, Fuerza Filtracin)

Aguas Subterraneas (Saturacion y desaturacion, Fuerza Filtracin)

44Analisis Infiltracion Hydraulic-Mechanical coupled analysis

Consolidacion (Condicion

Drenado y no drenado)

Consolidacion (Condicion

Drenado y no drenado)

45 Consolidacion de terraplen

Transfer. Termal (Heating and

cooling)

Transfer. Termal (Heating and

cooling)

46Condicion Inicial 1 Year later 5 Years later

Excavaciones (Tunel, Caverna, Open-cut)

Excavaciones (Tunel, Caverna, Open-cut)

47 Excavacion Tunel

Fundaciones (Raft, Pilote)Fundaciones (Raft, Pilote)

48 Fundacin Superficial Group pile foundation (Dry dock)

Analisis Sismico (Simulacion Terremoto, Licuefaccion)

Analisis Sismico (Simulacion Terremoto, Licuefaccion)

49Blasting at tunnel excavation face Simulacin terremoto en tunel

Sistema Geo-ambiental (Flujo de

contaminante)

Sistema Geo-ambiental (Flujo de

contaminante)

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Seleccin de alternativasSeleccin de alternativas

El uso de los mtodos numricos en ingeniera no es trivial, pues se requiere elegir entre:

- Varios mtodos numricos alternativos para cada tipo de problema

- Varias herramientas tecnolgicas

Existen diferentes maneras de abordar los problemas entre una persona y otra, que depende de:

l El nivel de participacin en el modelado matemtico del problema

l Ingenio y creatividad para enfrentarlo y resolverlo

l La habilidad para elegir, conforme a criterio y experiencia

1.1. Introduccin

Tipo de problema a resolver:- Races de ecuaciones- Sistemas de ecuaciones lineales simultneas- Interpolacin, diferenciacin e integracin- Ecuaciones diferenciales ordinarias- Ecuaciones diferenciales parciales- Otros (no contemplados en este curso; vistos en otras asignaturas)

n Equipo:l Supercomputadoral Computadora personall Calculadora graficadoral Calculadora cientfica de bolsillol Regla de calculo

Las herramientas de cmputo sonmquinas tontas que slo hacen lo que se le ordena; sin embargo, lostediosos clculos numricos los hacenmuy rpido y muy bien, sin fastidiarse.

Seleccin de alternativas1.1. Introduccin

n Softwarel Desarrollo de programas:

< lenguaje C< Basic< Fortran< Otro.

l Utilizacin de software matemtico:< Maple,< MatLab,< MathCad,< Mathematica.

l El manejo de hojas de clculo en PC:< Excel< Lotus

l Manejo expedito de una calculadora graficadora

Es recomendable que elingeniero sepa programar enpor lo menos un lenguaje,sepa utilizar algn softwarematemtico, y manejar muyeficientemente una hoja declculo y una calculadoragraficadora


Mtodo numrico: no existe el mejor, pero si los favoritos Amplitud de aplicacin Amigabilidad Estabilidad Rapidez de convergencia Nmero de valores iniciales requeridos

Se ha de tomar en cuenta, adems Complejidad del modelo Turbulencia de los datos Ingenio y creatividad


Ejemplos:Determinar la profundidad normal (tirante) de un canal de seccin trapezoidalcon las siguientes caractersticas:Caudal (Q) = 0.5 m3/sAncho de solera (b) = 0.5 mTalud (Z) = 1Coeficiente de rugosidad (n) = 0.014Pendiente (S) = 0.001Rpta: Y = 0.5203 m

2/13/21 SARn

Q = yZybA )( +=PAR =212 ZybP ++=ZybT 2+=

Solucin por el Mtodo Algebraico: Tanteos

2/13/21 SARn

Q =

Despejando los valores conocidos3/2

2/1* AR

SnQ

=

Como R=A/P, se tiene

Elevando al cubo, resulta

3/2

3/2

2/1 **

PAA

SnQ

= 3/2

3/5

2/1*

PA

SnQ

=

2

53

2/1*

PA

SnQ

=

[ ][ ]2

53

2/1 8284.25.0)5.0(

001.0014.0*5.0

yyy

+

+=

Sustituyendo valores:yyyZybA )5.0()( +=+=

yyZybP 8284.25.0225.012 2 +=+=++=

[ ][ ] 0108.08284.25.0

)5.0()( 25

=

+

+=

yyyyf

Como se observa, se tiene una ecuacin en funcin de y, para su solucinprocedemos a dar valores a y, evaluando para cada caso el valor numricodel primer miembro. La solucin de la ecuacin ser aquella en que el valornumrico de f(y) sea igual al miembro de la derecha de la ltima ecuacin,en este caso igual a 0.0108.

Ejemplo de clculo:Para y=0.4 el valor numrico de f(y) ser:

[ ][ ]

0023.06614.20060.0

)6314.1()36.0()4.0(

4.0*8284.25.04.0)4.05.0()4.0(

2

5

2

5

===

+

+=

f

f

Como f(0.4) = 0.0023 0.0108, se procede a dar otro valor a y, adems,como el resultado 0.0023 es menor que 0.0108, el nuevo valora asignar a ydebe ser mayor que 0.4. continuamos los clculos en forma anloga, hastalograr un valor muy prximo a 0.0108.

Rpta: y = 0.52 my f(y)

0.40 0.00230.60 0.02590.45 0.00450.50 0.00850.55 0.01520.52 0.0108

Solucin con Mtodos Numricos: (MatLab)

Modelamiento de Aguas Subterrneas

022

2

2

=

+

yx ( )1,1,,1,1, 4

1++ +++= jijijijiji

x

xxx

dxd

x

)()(

022

2

22

=

+

=yx

Mtodo de diferencias finitas

Ejemplo de Aplicacin en el Modelamiento de Acuferos

Concepto of the Physical System

Partial differential equations, boundary and initial

conditions

Discretize domain into elementsDiscretize domain into grid

Elementos Finitos

Diferencias Finitas

Apply Finite Difference approximations to space and

time derivativesFirst order differential

equations

Sistema de ecuaciones algebraicas (n incognitas n

ecuaciones) [A]*[h]=[q]

Solutions Techniques:Mtodos Iterativos o Mtodos

Directos

Waterloo Hydrogeologic, Inc.

Ecuaciones Algebraicas en Forma Matricial

1.2. Teora de errores1.2. Teora de errores

Aproximacin numrica y ErroresDebemos conformarnos siempre, en la prctica de la ingeniera, con unasolucin aproximada a un problema por las siguientes razones: Los modelos matemticos son aproximados; esto es; simplificaciones alproblema real. No se toman en cuenta todos los factores que afectan a unfenmeno. Por ejemplo, en el caso del tiro parablico, se suele despreciar laresistencia del aire, sin embargo, esta puede ser importante. Los modelos matemticos requieren de parmetros, los cuales la mayora delas veces provienen de mediciones experimentales y estas, solo tienen unaprecisin limitada, que depende del instrumento de medicin. Por ejemplo laconstante de los gases ideales. Tambin pueden provenir de clculos y estostienen una precisin limitada que depende tanto del mtodo como delinstrumento de clculo que se utilicen. Los modelos matemticos resultantes son imposibles de resolver pormtodos analticos y se debe de aproximar la solucin numricamente. Porejemplo una ecuacin de quinto grado.

1.2. Teora de errores1.2. Teora de erroresAproximacin numrica y Errores

Se entiende por aproximacin numrica X* una cifra que representa a unnmero cuyo valor exacto es X. En la medida en que la cifra X* se acerca msal valor exacto X, ser una mejor aproximacin de ese nmeroEjemplos:

3.1416 es una aproximacin numrica de pi,2.7183 es una aproximacin numrica de e,1.4142 es una aproximacin numrica de 2, y0.333333 es una aproximacin numrica de 1/3.

Aunque pueda parecer contradictorio, la mayor parte de las tcnicasdesarrolladas en el curso tienen la caracterstica de poseer errores. En laprctica profesional los errores pueden resultar costosos y en algunos casoscatastrficos. Se puede perder hasta la vida si una estructura llegara a fallar.

Uno de los dos errores ms comunes son los errores de redondeo que sedeben a que la computadora slo puede representar cantidades con un nmerofinito de dgitos. Otro tipo de error son los errores de truncamiento querepresentan la diferencia entre la formulacin matemtica exacta de un problemay la aproximacin dada por un mtodo numrico. Hay otros tipos de errorescomo errores por equivocacin, errores en la formulacin de modelos y laincertidumbre en la obtencin de datos (inherentes), entre otros.


Cifras Significativas

Cuado se emplea un nmero en un clculo, debe haber seguridad de que puedeusarse con confianza. El concepto de cifra o dgitos significativos se hadesarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numrico.

Los ceros no siempre son cifras significativas, ya que pueden usarse slo paraubicar el punto decimal. Los nmeros 0.00001845 y 0.001845 tienen cuatrocifras significativas. En forma similar, cuando se incluye ceros en nmeros muygrandes, no es claro cuntos son significativos. Por ejemplo, en el valornominal, 45300 puede tener tres, cuatro o cinco dgitos significativos,dependiendo si los ceros se conocen con exactitud. La incertidumbre se puededesechar usando la notacin cientfica en donde 4.5310^4, 4.53010^4,4.530010^4 muestran que el nmero tiene tres, cuatro y cinco cifrassignificativas.


Cifras SignificativasEl concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en elestudio de los mtodos numricos: Como los mtodos numricos obtienen resultados aproximados, se debedesarrollar criterios para especificar qu tan precisos son los resultadosobtenidos. Una manera de hacerlo es en trminos de cifras significativas. Porejemplo, se puede decidir que la aproximacin es aceptable para cuatro cifrassignificativas. Algunas cantidades tales como: y e no se pueden expresar exactamentecon un nmero de dgitos. Por ejemplo, = 3.141592653589793238462643..., ydebido a que las computadoras retienen solo un nmero finito de cifrassignificativas, tales nmeros jams se podrn representar con exactitud. A laomisin del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo.


Exactitud y PrecisinLos errores asociados con los clculos y medidas se pueden caracterizarobservando su exactitud y precisin. La exactitud se refiere a qu tan cercanoestn el valor calculado o medido con el valor verdadero. La precisin serefiere a qu tan cercano est un valor individual medido o calculado conrespecto a otros. La inexactitud (sesgo) se define como un alejamientosistemtico de la verdad. La imprecisin (incertidumbre), se refiere a lamagnitud del esparcimiento de los datos.

Los mtodos numricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos paraque cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniera. Tambindeben ser lo suficientemente precisos para el diseo en la ingeniera. En elcurso se usa el trmino error para representar la inexactitud y la impresin delas predicciones.


Exactitud y Precisin

Un ejemplo de puntera ilustra los conceptos de exactitud y precisin a) Inexactoe Impreciso; b) Exacto e Impreciso; c) Inexacto y preciso; d) Exacto y Preciso.

Aumenta la exactitud

A

u

m

e

n

t

a

l

a

p

r

e

c

i

s

i

n

b)a)

c) d)

1.2. Teora de errores1.2. Teora de erroresConvergencia y Estabilidad

Se entiende por convergencia de un mtodo numrico la garanta de que, alrealizar un buen nmero de iteraciones, las aproximaciones obtenidasterminan por acercarse cada vez ms al verdadero valor buscado.

En la medida en la que un mtodo numrico requiera de un menor nmero deiteraciones que otro, para acercarse al valor deseado, se dice que tiene unamayor rapidez de convergencia.

Se entiende por estabilidad de un mtodo numrico el nivel de garanta deconvergencia, y es que algunos mtodos numricos no siempre convergen y,por el contrario, divergen; esto es, se alejan cada vez ms del resultadodeseado.

En la medida en la que un mtodo numrico, ante una muy amplia gama deposibilidades de modelado matemtico, es ms seguro que converja que otro,se dice que tiene una mayor estabilidad.

Es comn encontrar mtodos que convergen rpidamente, pero que son muyinestables y, en contraparte, modelos muy estables, pero de lenta convergencia.


Definiciones de ErrorLos errores numricos surgen con el uso de aproximaciones para representarlas operaciones y cantidades matemticas. Pueden ser: errores detruncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimientomatemtico exacto y errores de redondeo que se producen cuando losnmeros tienen un lmite de cifras significativas que se usan para representarnmeros exactos. Para los dos tipos de errores, la relacin entre el resultadoexacto o verdadero y el aproximado est dada por:

Valor verdadero = aproximacin + error

De aqu se encuentra que:

E = Error = Valor verdadero aproximacin

Un defecto en esta definicin es que no toma en consideracin el orden demagnitud del valor que se esta probando. Por ejemplo un error de 1 centmetroes mucho ms significativo si se mide una ventana que un puente.


Magnitud del ErrorUna manera de medir las magnitudes de las cantidades que se esta evaluandoes normalizar el error respecto al valor verdadero, como:

Error: e = Vr Va

Error Relativo:

Error Porcentual:

Ejemplo: La medicin de la longitud de un puente se da 9999 cm. Si la medidaverdadera es 10000 cm, calcular: a) el error verdadero y b) el error relativo.Solucin: Error en la medicin: e = 10000 9999 = 1 cmEl error relativo para el puente es:

e = 1 *100% = 0.01%10000

r

ar

r

r VVV

Ve

e

==

(%)100(%)100(%)100r

ar

r

rp VVV

Ve

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===


Tipos de ErroresErrores de RedondeoLos errores de redondeo, se originan al realizar los clculos que todo mtodonumrico o analtico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todaslas cifras que resultan de operaciones aritmticas como los productos y loscocientes, teniendo que retener en cada operacin el nmero de cifras quepermita el instrumento de clculo que se este utilizando. Por ejemplo al calcularel valor de 1/3, tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3,que maneje nuestro instrumento de calculo.

Errores de Truncamiento y la Serie de TaylorEl error de truncamiento se debe a las aproximaciones utilizadas en la frmulamatemtica del modelo. La serie de Taylor es el medio ms importante que seemplea para obtener modelos numricos y analizar los errores de truncamiento.

Las soluciones numricas son, en su mayora, aproximaciones de lassoluciones exactas. Gran parte de los mtodos numricos se basan en laaproximacin de funciones por medio de polinomios, an cuando esto no seaevidente. Se construyen algoritmos ms avanzados ligando los algoritmosbsicos. Por lo tanto, cuando se objeta el error de un mtodo numrico, hay queinvestigar la precisin con la que el polinomio aproxima la funcin verdadera.


Tipos de Errores

Errores de Truncamiento y la Serie de TaylorEl desarrollo de Taylor, que es una serie infinita de potencias, representa demanera exacta a una funcin dentro de un cierto radio alrededor de un puntodado. Por lo tanto, mediante la comparacin del desarrollo polinomial de lasolucin numrica con la serie de Taylor de la solucin exacta, particularmenteal descubrir el orden en donde aparece la discrepancia, es posible evaluar elerror, el cual se conoce como error de truncamiento.

Tambin se usa la serie de Taylor para obtener mtodos numricos. Si seignoran todos los nmeros de la serie de Taylor, excepto algunos, se puedeobtener un polinomio que se aproxime a la funcin verdadera. A este polinomiose le llama una serie de Taylor truncada y se usa como punto de partida paraobtener mtodos numricos. Sin embargo, el error del mtodo numrico seorigina en el truncamiento.


Tipos de ErroresErrores de Truncamiento y la Serie de TaylorSe dice que una funcin f(x) es analtica en x = a , s f(x) se puede representarpor medio de una serie de potencias en trminos de h = x a dentro de un radiode convergencia, D>|xa|>0. Una condicin necesaria para que una funcin seaanaltica es que todas sus derivadas sean continuas tanto en x = a, como enalguna vecindad alrededor de ese punto.

Un punto en donde una funcin f(x) no es analtica recibe el nombre de puntosingular. Si f(x) es diferenciable en todas partes en la vecindad de xo excepto enxo, entonces xo es un punto singular. Por ejemplo, tan(x) es analtica excepto enx = (n+1/2) ; n = 0, 1, 2,..., los cuales son puntos singulares. Los polinomiosson analticos en todas partes.

Si f es analtica alrededor de x = a, se puede representar f(x) de manera exactaen la vecindad de x = a por medio de su serie de Taylor, que es una serie depotencias dada por:

.....)(!

.......)('''''!5

)(''''!4

)('''!3

)(''!2

)(')()(5432

++++++++= afm

hafhafhafhafhahfafxf m

m

Donde: h=x-a


Tipos de Errores

Errores de Truncamiento y la Serie de TaylorPor ejemplo, los desarrollos de Taylor de, e-x y sen(x), alrededor de x = 1 son,respectivamente:

donde: h = x 1. La serie de Taylor es nica. Esto quiere decir que no existe otra serie de potencias en h = x a para representar f(x).

El desarrollo de Taylor de una funcin alrededor de x = 0 recibe el nombre deserie de Maclaurin. Por ejemplo, las series de Maclaurin de las funciones exp(x),sen(x), Cos(x), y ln(x+1) son respectivamente:

..........

!4!3!21

41

31

211 ++= e

he

he

hheee x

......)1(!4

)1cos(!3

)1(!2

)1cos()1()(432

+++= senhh

senhhsenxSen


Tipos de Errores

Errores de Truncamiento y la Serie de Taylor

En las aplicaciones prcticas, hay que truncar la serie de Taylor despus de untrmino de cierto orden, ya que es imposible incluir un nmero infinito detrminos. Si la serie de Taylor se trunca despus del trmino de orden N, seexpresa como:

donde h = x - a y O(hN+1) representa el error provocado por el truncamiento delos trminos de orden N+1 y superiores.

.....

!4!3!21

432

+++++=xxx

xex .....!6!4!2

1)cos(642

+++=xxx

x

.....

!7!5!3)(

753

+++=xxx

xxsen .....432

)1ln(432

+++=+xxx

xx

)()(!

.......)('''''!5

)(''''!4

)('''!3

)(''!2

)(')()( 15432

+++++++++= NNN

hOafNh

afhafhafhafhahfafxf


Tipos de ErroresErrores de Truncamiento y la Serie de TaylorEl error global se puede expresar como:

puesto que no se puede calcular con exactitud, es frecuente aproximar eltrmino de error haciendo =0 que es el trmino dominante de los trminostruncados. Si N = 1, por ejemplo, la serie de Taylor truncada es:

Si se incluye el efecto del error, tambin se expresa como:

)!1()()(1

)1(1+

+=+

++

NhhafhO

NNN 10

)!1()()(1

)1(1+

=

+++

Nh

afhON

NN hafafxf )(')()( += axh =

)()(')()( 2hOhafafxf ++=

2)('')(

22 hhafhO += 10


Tipos de Redondeo

Al realizar los clculos que todo mtodo numrico o analtico requiere debemosde redondear. Para redondear se emplea usualmente:

El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacin alnmero de cifras significativas que se estn utilizando. Por ejemplo sredondeamos a 4 cifras significativas tenemos 0.7777.

El redondeo simtrico consiste en aumentar en uno la ltima cifra retenida sla primera cifra descartada esta entre 5 y 9, o dejarla igual s la primera cifradescartada esta entre 0 y 4. Por ejemplo s redondeamos a 4 cifras significativastenemos 0.7778.

Por ejemplo: 1/3+2/3=1. En la prctica puede no ser as. S Realizamos la sumaempleando nicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos deredondeo. Se obtiene:0.3333+0.6666=0.9999 (Redondeo truncado)0.3333+0.6667=1.000 (Redondeo simtrico)Puede demostrarse que por lo general el redondeo simtrico lleva a resultadosms precisos.

Comentarios FinalesComentarios Finales

El Analisis Numerico siempre utiliza un conjunto discreto de puntos para representar funciones

Los metodos numericos permiten operaciones tales como diferenciacion e integracion lo que realizan usando puntos discretos

Desarrollo utilizando modelos Matematicos Numericosrequiere de un detallado entendimiento de los algoritmos usados asi como de la fisica del problema!

Comentarios FinalesComentarios Finales

Ingeniero geotcnico: En el presente, anlisis numrico no est bien educado. Los ingenieros estructurales abordan los problemas geotcnicos. Comprender el comportamiento geotcnico y mecanismos.

Software numrico: pre y post-proceso de desarrollo enfocado. Modelos constitutivos y materiales avanzados son ahora solicitados. Relajacin Creep, acoplamiento General, ablandamiento plstico, rotura frgil, Licuefaccin

Parametro Geotcnico: Basura entra, Basura sale. La comunicacin entre el analizador y el investigador del sitio. Comprensin del parmetro y modelo de material

Modelamiento numrico: Heterogneos, anisotropa, complejidad, simplificacin razonable de borde por experiencia de campo. Ejecucin -> Verificacin -> Feedback -> Modelamiento Aceptable

The EndThe End

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Gracias

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