Ii 1 I

I

TABLA DE INTEGRALES

ECUACIONES DEL PRIMER ORDEN

NOTACIONES. En Ia ecuaci6n M dy N dx 0, M y N repre­sentan funciones de x y de y; X representa a una funci6n de x solamente 0 a una constante y Y a una funci6n de y unicamente 0 a otra constante.

PAG.

1. - Ecuac1~one.s de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13

Si en M dy + N dx

X'.Y'dy

Soluci6n:

0, M X'.Y' y N

X".Y" dx 0

fY'/Y" dy + f X"/X' dx

X".Y"

C

2. - Ecuaciones Exactas ................................. 22

Cuando en M dy + N dx = 0, 8M/8x 8N/8y

Soluci6n:

fM dy + f[N - l)/l)x JM dy] dx C

3. - Ecuaciones Homogeneas . . . . . . . . . . .. . ............... 28

Cuando al substituir en la ecuaci6n

M dy + N dx ° a x par tx yay por ty se transforma en

t n [M dy N dx] o

I r

112

P1'imer metodo de soluci6n: En gran numero de casos la ecua­cion

M dy -I- N dx =0

My+ Nx

es una diferencial total facilmente observable.

Segundo metodo de soluci6n: Al efectuar las substituciones,

y= v:x dy =v dx + x dv

se obtiene una ecuacion de variables separables.

4. - Ecuaciones a la vez Homogeneas 1/ Exactas

M dy + N dx=O

Soluci6n:

My+ Nx ----=c

n

en donde n es el grado de My y de Nx.

PAG.

........... 33

5. - Ecuaciones reducibles a la forma Hoinogenea ......... 34

(ax + by +c)dy + (ex + fy + g)dx = 0

Soluci6n. La substitucion,

x=x' + h

y=y' + k

la hace tomar la forma homogenea,

(ax' + by') dy' + (ex' + fy')dx' = 0

No puede aplicarse cuando be = af.

6. - Ecuaciones homogeneas de primer orden y de segundo grado ............................ . ............... 37

Primer metodo de soluci6n. Se resuelve para dyI dx resul­tando una ecuacion homogenea de primer grado.

Segundo metodo de soluci6n. Se resuelve para yIx y se hace la substitucion dyI dx = p.

j 113

Derivando con respecto a x a la ecuacion resultante, se obtie­ne una ecuacion de variables separables.

7. - Ecuaci6n Lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ............... 41

dy/dx + X/y = X"

Soluci6n:

Si X" =T- 0 y ~ C ef-X""+ ef m" SX" efX''' dx

Si X" = 0 y = C eS·-X/<lx

8. - Ecuaciones j'educibles a la fonna Lineal . . . . . . . . . . . . . .. 49

dy/dx + X'y = X" yn

Soluci6n. La substitucion l/yn-l = z la transforma en la ecuacion lineal,

dz/dx + (1- n)X'z = (1- n)X"

cuya solucion es,

z ~ C ef(H ,.'0. dx + ef{o-'lV," dx S(l-n) X" ef1'-0'"'" dx

9 - Ecuaciones carentes de una de las 'variables en forma ex­plicita ............................ . ............... 52

PTimel' caso. Falta la variable independiente.

Se resuelve para dy/dx obteniendose,

dy/dx= Y

Soluci6n: x=C + fdy/Y

Si es mas facil de resolver para y se hace la substitucion dy/dx = p obteniendose la ecuacion,

y=G(p)

cuya solucion se obtiene por eliminacion de p entre las ecuaciones,

x = C + JG'(p)dp/p

y = C' + jG'(p)dp

118

Derivando con respecto a x a la eeuaci6n resultante, se obtie­ne una ecuaci6n de variables separables.

7. - Ecuacion Lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ............... 41

dy/dx X'y = x" Solucion:

Si X" 0 y C aJ-x,", er-x", SX" aIx", dx

Si X" 0 y C ef--XTdx

8. - Ecuaciones reducibles a la forma Lineal . . . . . . . . . . . . . .. 49

dy/dx + X'y = X" yn

Solucion. La substituci6n l/yn-l = z la transforma en la ecuaci6n lineal,

dz/dx (l-n)X'z (1-n)X"

cuya soluci6n es,

z ~ C aJ,H'"'' dx + aJ"-'l·'" dx S(l-n)X" eI"-""'" dx

9 - Ecttaciones carentes de una de las 1.:ariables en forma ex­plicita ............................................ 52

Primer caso. Falta la variable independiente.

Se resuelve para dy/dx obteniendose,

dy/dx Y

Soluci6n: x C + fdy/Y

Si es mas facil de resolver para y se hace la substituci6n dy/dx = p obteniendose la ecuaci6n,

y=G(p)

euya soluci6n se obtiene por eliminaci6n de p entre las ecuaciones,

x = C + fG'(p)dp/p

y=C' fG'(p)dp

, "

114

Segundo caso. Falta la variable dependiente.

F(x, dy/dx) = F(x,p) = 0 si dy/dx = p

Soluci6n. Si puede resolverse para p obteniendose p G(x) la solucionsera,

y=C + fG(x)dx

Si es mas sencillo resolverla para x, la soludon se obtiene por eliminacion de p entre las ecuaciones,

x=g(p)

y C'+fp g'(p) dp

PAG.

10. - Ecuaciones de prime1' orden y de un g'rado cualquiera 58

Si la ecuacion F (x,y,p) = 0, en la eual dy/ dx = p, puede factorizarse,

(p-XI ) (p-YI ) (p-X!l) (p-Y2 ) ••••• = 0

cad a factor sera una ecuacion del tipo anterior y por 10 tanto da­ran Ia soludon,

[y-(C1+ fX1dx)] [x-(C2 + fdy/Y1] [y-(Cg + fX2dx)]

.... [y-(C4 +fdY/Y\l] .... =0

11. - Casos especiales en el tipo anterior ................ 60

Caso A. F (dy/dx) = F(p) = (J

F(p) (P-al) (P!-all) ...... (p-an ) = 0

Soluci6n.

Caso B. Cuando al resolver para y la ecuacion F(x,y,p)=O, resuIta,

y=xp(p) +O(p) (1)

ecuacion que contiene a las do,s variables en primer grado. Al to-

i j

I J

--------------,~--- ----- ­115

mar el diferencial total de (1) se obtiene una ecuacion lineal eu­ya soludon es,

¢(p) p ~(p) p r (p)S - p' (p) dp S- p' (p)dp f r ¢' (p)dp

rJ ¢(p)-p x Ce -e --- ­ e dp

pep) - p

Por eliminaei6n de p entre esta ecuaci6n y la (1) se obtiene la primitiva.

Caso C. tiendose en,

Cuando en

y

la ecuaci6n anterior 4> (p)

xp O(p)

= p, convir­

(2)

Soluci6n. Son soluciones de esta ecuaci6n,

y=Cx + C1

y la que se obtenga por eliminacion de p entre la ecuaci6n (2) y

O'(p) =-x

SOLUCIONES ESPECIALES DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO

PAG •

12. - Ecuaciones que contengan solamente a la segunda den­vada y a una de las variables . ................ : ..... 65

Prime1' caso.

Soluci6n.

y C + Clx + x fF(x)dx-fxF(x)dx

Segundo caso.

y=C +S yIC

l

dy+ 2 fF~(c-y-)d-y-'

j I

13. - Ecuaciones que contienen solamente a la variable inde­pendiente y a la de·rivada de enesimo orden ......... ,

dny/dxn = F (x)

71

115 --_.._--------­

mar el diferencial total de (1) se obtiene una ecuacion lineal eu­ya solucion es,

- ~' (p)dp r p' (p)dp -p' (p)dp JS 9!(p)-p se p(p) -p 0' (I'» J !'l(p) p

x Ce e dp p(p) p

Por eliminaci6n de p entre esta ecuacion y Ia (1) se obtiene ia primitiva.

CaBo C. Cuando en Ia ecuaci6n anterior q,(p) = p, convir­th~ndose en,

y xp + O(p) (2)

Soluci6n. Son soluciones de esta ecuacion,

y=Cx C1

y Ia que se obtenga por eliminacion de p entre Ia ecuaci6n (2) y

6'(p) =-x

SOLUCIONES ESPECIALES DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO

PAG.

12. - Ecuaciones que contengan Bolamente a la segunda deri­vada y a una de las variables ...... . . .. ....... .... 65

Prime1' caBo. d2y/dx2 = F (x)

Soluci6n.

y=C C1x + xSF(x)dx-SxF(x)dx

Segundo caso. d2y/dx2 = F(y)

y dyC +5 V C::::--+---=2-C;S=F:-:-(y--')"--:ct:-y­

1

13. - Ecuaciones que contienen solamente a 1a variable inde-, pendiente y a la derivada de enesimo orden . ......... 71

dny/dxn= F(x)

117 116

Soluci6n.

y = Cn Cn - 1 C,,-2 X 2/f2 + . . . . C1 xn / n +

Iff ..... fF(x) (dx)n

14. - EC1l(tciones carentes de amba8 va1'iables ............. 72

Sohwi6n. Eliminando a p entre las ecuaciones,

X C1 + fdp/F(p)

Y = C!l fp dp/F(p)

PAG.

15. - Ecuacione8 con derivadas de primer y segundo orden pe­ro carentes de una de las variables . . ............... 75

Primer caso. d2y/dx2= F(x, dy/dx)

Segundo caso. d2y/dx2 = F(y, dy/dx)

Soluci6n. Se haee dy/ dx p y al derivar con respecto a x 5e obtiene una ecuaci6n de primer orden.

ECUACION LINEAL DE ORDEN N CON COEFICIENTES CONSTANTES

16. - Ecuaci6n Lineal incompleta. (Lado dereeho de la (leUa­cion igual a cero) ................ ................ 89

Caso 1. La ecuaci6n auxiliar yS (a) = 0 tiene n rakes dife­rentes. al, a2, ...... an

Soluci6n.

17. - Caso 2. La ecuaci6n auxiliar tiene m ra-ices 'l'f3petidas " 91

Sean a1 = a2 aa = .... =am # am + 1 # .... =F ti'l

Soluci6n.

Y,= (C1 +C2X+ .... +Cmxm - 1 ) eal>'+C Ill + 1 eam+lll:

+ .... + Cn _ l ean-I': + Cne"nX

,- 'k, " ~ '" r

, .. ···1 ~

PAG.

18. - Caso 3. La ecuaci6n aua:ilia1' tiene dos 0 mas ratecs ima· ginar·ia.~ ......................... ................ 93

Sean las dOB raices (a bi) y (a ­ bi)

Soluci6n.

y e'" (Clcos bx

...... + Cne"n"

Si ademas (a bi) y (a ­ hi) son rakes dobies.

Soluei6n.

y enx [ (C + C1x) cos bx + (C~ C;IX) sen bx]

19. - Ecuaci6n Lineal completa. (EI Iado dereeho es 0 una constante 0 una funci6n de x) .... ................ 96

Soluci6n. La soluci6n consta de dos partes; la primera lla­mada la funei6n complementaria es ia soluci6n de Ia ecunci6n in­completa.

Llamando f (x) ellado derecho de la ecuaci6n, Ia segunda par­te de la soluci6n Hamada el integral pat·ticular esta dado por,

y=en!X fe(n2-- nJ)x J .... fe("n-·n~!l" ff(x)e-l1n"dx

Soluci6n B. Cuando las n raices de Ia ecuaci6n auxiliar son diferentes, el integral particular viene dado tambien por,

y=R1e'!X ff(x) e-n!Xdx + R::ell2x ff(x) e-Ilxxdx + ..... . ...... + Rnellnx f F (x) e-anxdx

en Ia cual R1, R z, .••.•. , Rn sop los coeficientes de las fracciones parciales de la fraccion

l/p(a)

117 ----_.- --.-----------.--.---~-.-------... ---..

PAG.

18. - Caso 3. La ecuaci6n au;).:iliar tiene do."! 0 mas ratoos ima­ginarial'! . _ ..................... _. . .............. _ 93

Sean las dos rakes (a + bi) y (a - bi)

Solucion.

. ..... + Cne"nx

Si ademas (a bi) y (a ­ bi) son raices dolJIes.

Solucion.

y= e""[(C Clx) cos bx + (C:! + C;jx) sen bx]

19. - Ecuaci6n Lineal completa. (EI lado derecho es 0 una constante I) una funci6n de x) .... ................ 96

Solucion. La soIuci6n consta de dos partes; 1a primera Ha­mada la fum cion complel1tentaria es 1a soluci6n de la ecua-ci6n in­comp1eta.

L1amando f(x) ellado derecho de la eeuaci6n, la segunda par­te de Ia so1uci6n Hamada el integml particular esta dado por,

y = e" lX Se(1l2-- n j)X S .... Se(nn-an-Dx S f (x) e-AnX dx

Solucion B. Cuando las n rakes de 1a ecuaci6n auxiliar son diferentes, e1 integral particular viene dado tambien por,

y = R1e"P Sf (x) e-nlxdx R2e"2x Sf (x) e-"xxdx + ...... + Rne"nx SF (x) e-anxdx

en la eual RIo R:/, ...... , Rn son los coeficientes de las fraeciones parciales de la fraecion

l/p(a)