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132 – Matematicas I

Parte IV

Calculo integral en IR

Prof: Jose Antonio Abia Vian I.T.I. en Electricidad

133 – Matematicas I : Calculo integral en IR

Tema 12

Calculo de primitivas

12.1 Primitiva de una funcion

Definicion 257.- Diremos que la funcion F continua en [a, b] , es una primitiva de la funcion f en el intervalo[a, b] si y solo si F ′(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b).

Teorema 258.- Si F y G son dos funciones primitivas de la funcion f en [a, b] , entonces F−G es una funcionconstante en [a, b] .

Demostracion:Para cada c ∈ (a, b), se tiene que (F −G)′(c) = F ′(c)−G′(c) = f(c)− f(c) = 0, luego tiene derivada nula.Por el teorema del valor medio de Lagrange, para cada x ∈ [a, b] ,

(F (x)−G(x)

)− (F (a)−G(a)

)= (F −G)′(c)(x− a) = 0,

luego F (x)−G(x) = F (a)−G(a) = k para todo x ∈ [a, b] .

Observacion:Como consecuencia del teorema anterior, se tiene que si F es una funcion primitiva de f en [a, b] , entonces{F (x) + C : C ∈ IR} es el conjunto formado por todas las funciones primitivas de f en [a, b] .

Definicion 259.- Llamaremos integral indefinida de f al conjunto de todas las primitivas de la funcion f ,

y lo denotaremos por∫

f(x) dx .

Si F es una funcion primitiva de f , escribiremos unicamente∫

f(x) dx = F (x) + C , con C ∈ IR .

Propiedad 260.-

∫(λf + µg)(x) dx = λ

∫f(x) dx + µ

∫g(x) dx . Es decir, una primitiva de la suma y el

producto por escalares se obtiene como suma de primitivas y como primitivas por escalares.

Demostracion:Sean F ′(x) = f(x) y G′(x) = g(x). Entonces

((λF + µG)(x))′ = λF ′(x) + µG′(x) = λf(x) + µg(x) = (λf + µg)(x),

luego λF + µG es una primitiva de λf + µg .

12.1.1 Tabla de integrales inmediatas

Es usual manejar una tabla de primitivas inmediata, pero que en realidad se reduce a una tabla de derivadasconocidas:∫

xa dx = 1a+1 xa+1 + C, a 6= −1

∫1x dx = ln |x|+ C

∫ax dx = 1

ln a ax + C∫

cosx dx = sen x + C

∫sen x dx =− cos x + C

∫1

cos2 x dx = tg x + C∫

dxsen2 x =− cotg x + C

∫1√

1−x2 dx = arcsen x + C

∫−1√1−x2 dx = arccos x + C

∫1

1+x2 dx = arctg x + C

∫−1

1+x2 dx = arccotg x + C

∫ch x dx = sh x + C

∫shx dx = ch x + C

∫1

ch2 xdx = th x + C

∫1√

x2+1dx = argshx = ln(x +

√x2 + 1) + C

∫1

1−x2 dx = argth x = 12 ln 1+x

1−x + C

∫1√

x2−1dx = argch x = ln(x +

√x2 − 1) + C


134 – Matematicas I : Calculo integral en IR 12.2 Metodos de integracion

12.2 Metodos de integracion

12.2.1 Metodo de sustitucion

Si F (x) es una primitiva de f(x), entonces F (φ(x)) es una primitiva de la funcion f(φ(x))φ′(x), es decir,∫

f(φ(x))φ′(x)dx = F (φ(x)) + C.

En efecto, por la Regla de la cadena, (F (φ(x)))′ = f(φ(x))φ′(x).

Ejemplo Encontrar una expresion para∫

4(x2 + 1)32xdx .

Solucion:F (x) = x4 es una primitiva de f(x) = 4x3 y, si φ(x) = x2+1 se tiene φ′(x) = 2x . Luego F (φ(x)) = (x2+1)4

es una primitiva de f(φ(x))φ′(x) = 4(x2 + 1)32x . Es decir,∫

4(x2 + 1)32xdx = (x2 + 1)4 + C. 4

Combinando este metodo con la tabla de integrales inmediatas, podemos componer toda una tabla deintegrales “casi inmediatas”:

12.2.1.1 Tabla de integrales casi–inmediatas∫

(v(x))av′(x)dx =(v(x))a+1

a + 1+ C, a 6= −1

∫1

v(x)v′(x)dx = ln |v(x)|+ C

∫av(x)v′(x)dx =

av(x)

ln a+ C

∫cos(v(x))v′(x)dx = sen(v(x)) + C

∫sen(v(x))v′(x)dx = − cos(v(x)) + C

∫1

cos2(v(x))v′(x)dx = tg(v(x)) + C

∫1

sen2(v(x))v′(x)dx = − cotg(v(x)) + C

∫1√

1− (v(x))2v′(x)dx = arcsen(v(x)) + C

∫ −1√1− (v(x))2

v′(x)dx = arccos(v(x)) + C

∫1

1 + (v(x))2v′(x)dx = arctg(v(x)) + C

∫ −11 + (v(x))2

v′(x)dx = arccotg(v(x)) + C

∫ch(v(x))v′(x)dx = sh(v(x)) + C

∫sh(v(x))v′(x)dx = ch(v(x)) + C

∫1

ch2(v(x))v′(x)dx = th(v(x)) + C

∫1√

(v(x))2 + 1v′(x)dx = argsh(v(x)) + C

∫1

1− (v(x))2v′(x)dx = argth(v(x)) + C

∫1√

(v(x))2 − 1v′(x)dx = argch(v(x)) + C.

12.2.2 Cambio de variable

Sea∫

f(x)dx . Si x = φ(t), con φ derivable y existe φ−1 tambien derivable. Entonces

∫f(x)dx =

∫f(φ(t))φ′(t)dt.

Demostracion:

Sean∫

f(x)dx = F (x) + C1 y∫

f(φ(t))φ′(t)dt = G(t) + C2 . Como F (x) es una primitiva de f(x) se tiene

que F (φ(t)) es una primitiva de f(φ(t))φ′(t), luego F (φ(t)) = G(t) + C , y, por tanto, F (x) = F (φ(φ−1(x))) =G(φ−1(x)) + C .

Se hace un cambio de variable x = φ(t) para transformar la integral de partida en otra mas sencilla oinmediata.


135 – Matematicas I : Calculo integral en IR 12.3 Integracion segun el tipo de funcion

Ejemplo Hallar∫

3√

1 + xdx .

Solucion:Si tomamos 1 + x = t3 , es decir, x = φ(t) = t3 − 1, φ es derivable, existe φ−1 y es derivable. Entonces,

como dx = φ′(t)dt = 3t2dt , se tiene∫

3√

1 + xdx =∫

3√

t33t2dt =∫

3t3dt = 3∫

t3dt = 3t4

4=

34

(3√

1 + x)4

+ C. 4

12.2.3 Integracion por partes

En forma clasica, la derivada de un producto se escribe como d(uv) = udv + vdu , de donde udv = d(uv)− vdu .Entonces ∫

udv = uv −∫

vdu

expresion conocida como formula de integracion por partes.

Ejemplo Calcular∫

ln xdx .

Solucion:

Si tomamos{

u = ln xdv = dx

, se tiene{

du = 1xdx

v = x, de donde

∫ln x dx = x ln x−

∫x

1x

dx = x ln x−∫

dx = x ln x− x + C. 4

12.3 Integracion segun el tipo de funcion

12.3.1 Integrales racionales

Resumen de resultados conocidos. Sea la ecuacion polinomica P (x) = a0 + a1x + . . . + anxn = 0, conai ∈ IR .

? Si ai ∈ ZZ , para todo i , entonces toda raiz entera de P (x) es divisor del coeficiente a0 .

? Si ai ∈ ZZ , para todo i , el denominador de toda raiz fraccionaria de P (x) es divisor del coeficiente an yel numerador es divisor del coeficiente a0 .

? Si ai ∈ IR , para todo i , y α+βi es una raiz compleja de P (x) entonces, tambien α−βi es raiz de P (x).

? Todo polinomio con coeficientes reales puede descomponerse en la forma

P (x) = an(x− r1)n1(x− r2)n2 · · · (x− rs)ns(x2 + p1x + q1)m1 · · · (x2 + pkx + qk)mk ,

donde n1 + · · ·+ns +2m1 + · · ·+2mk = n , los ri son las raices reales de P (x) y los terminos x2 +pjx+qj

agrupan las raices complejas αj + βji y αj − βji (verifican por tanto que p2j − 4qj < 0).

12.3.1.1 Descomposicion en fracciones simples

Sean Q y P funciones polinomicas reales y Q(x)P (x) la funcion racional cociente de ambas.

? Si el grado de P es mayor que el de Q se dice que es una fraccion propia, en cuyo caso, si P (x) sedescompone como en el punto anterior, Q(x)

P (x) puede descomponerse de manera unica en la forma

Q(x)P (x)

=1an

·[

A1

(x− r1)n1+

A2

(x− r1)n1−1+ · · ·+ An1

(x− r1)+

+B1

(x− r2)n2+

B2

(x− r2)n2−1+ · · ·+ Bn2

(x− r2)+

+ · · · · · · · · ·++

L1

(x− rs)ns+

L2

(x− rs)ns−1+ · · ·+ Lns

(x− rs)+



+M1x + N1

(x2 + p1x + q1)m1+

M2x + N2

(x2 + p1x + q1)m1−1+ · · ·+ Mm1x + Nm1

x2 + p1x + q1+

+ · · · · · · · · ·++

E1x + F1

(x2 + pkx + pk)mk+

E2x + F2

(x2 + pkx + qk)mk−1+ · · ·+ Emk

x + Fmk

x2 + pkx + qk

]

Descomposicion que se denomina en fracciones simples.

? Si el grado de Q es mayor que el grado de P , se dice que la fraccion es impropia, en cuyo caso, al dividirde forma entera el numerador por el denominador, se obtiene que

Q(x)P (x)

= M(x) +R(x)P (x)

,

donde M(x) es un polinomio y R(x)P (x) una fraccion propia.

Como P (x) es el polinomio denominador comun de los terminos de la descomposicion, el polinomio Q(x)debe coincidir con el polinomio que se obtiene en el numerador al sumar las fracciones simples. En consecuencialos nuevos coeficientes que aparecen en la descomposicion son aquellos que hacen iguales ambos polinomios.

12.3.1.2 Integracion de funciones racionales

Encontrar una primitiva de Q(x)P (x) , es resolver integrales de los tipos

a)∫

A(x−r)k dx b)

∫Mx+N

(x2+px+q)k dx

a) Estas integrales son inmediatas, pues si k = 1,∫

A

x− rdx = A ln |x− r|,

y si k > 1, ∫A

(x− r)kdx =

∫A(x− r)−kdx = A

(x− r)−k+1

−k + 1=

A

1− k

1(x− r)k−1

.

b) Como 4q − p2 > 0, se tiene que

x2 + px + q = (x + p2 )2 + (q − p2

4 ) = (x− p2 )2 + R2 = R2(t2 + 1),

donde R =√

q − p2

4 y t = x− p2

R , luego haciendo el cambio x = Rt + p2 , con dx = Rdt , se tiene que

∫Mx + N

(x2 + px + q)kdx =

1(R2)k

∫M ′t + N ′

(t2 + 1)kRdt =

1R2k−1

(∫M ′t

(t2 + 1)kdt +

∫N ′

(t2 + 1)kdt

)

=1

R2k−1

(M ′

2

∫2t

(t2 + 1)kdt + N ′

∫1

(t2 + 1)kdt

)=

M ′

2R2k−1I ′k +

N ′

R2k−1Ik

integrales que se resuelven de forma inmediata en los siguientes casos:

? Si k = 1, I ′1 =∫

2tt2+1dt = ln |t2 + 1| , I1 =

∫1

t2+1dt = arctg t .

? Si k > 1, I ′k =∫

2t(t2+1)k dt = 1

1−k1

(t2+1)k−1 .

Para resolver Ik , se realiza un proceso que consiste en ir bajando sucesivamente la potencia k hasta quesea 1, de la forma siguiente

Ik =∫

1(t2 + 1)k

dt =∫

1− t2 + t2

(t2 + 1)kdt =

∫ (1 + t2

(t2 + 1)k− t2

(t2 + 1)k

)dt

=∫

1(t2 + 1)k−1

dt−∫

t2

(t2 + 1)kdt = Ik−1 − I



Haciendo en I integracion por partes,{

u = tdv = t

(1+t2)k dt

}se tiene

{du = dtv = 1

2(1−k)1

(1+t2)k−1

}, luego

Ik = Ik−1 − 12(1− k)

t

(1 + t2)k−1+

12(1− k)

∫1

(1 + t2)k−1dt

=1

2(k − 1)t

(1 + t2)k−1+

(1− 1

2(k − 1)

)Ik−1

Si k − 1 = 1, Ik−1 = I1 = arctg t . Si k − 1 > 1, se repite el proceso.

Ejemplo Calcular∫

1+xx4+x3+x2 dx .

Solucion Como P (x) = x2(x2 + x + 1), y x2 + x + 1 no tiene raices reales, se tiene

1 + x

x2(x2 + x + 1)=

A

x2+

B

x+

Mx + N

x2 + x + 1=

A(x2 + x + 1) + Bx(x2 + x + 1) + (Mx + N)x2

x2(x2 + x + 1)

de donde 1 + x = A + (A + B)x + (A + B + N)x2 + (B + M)x3 , es decir,1 + x + 0x2 + 0x3 = A + (A + B)x + (A + B + N)x2 + (B + M)x3 ,

obteniendose el sistema

1 = A1 = A + B0 = A + B + N0 = B + M

con soluciones

A = 1B = 0N =−1M = 0

. Entonces

∫dx

x2(x2 + x + 1)=

∫dx

x2−

∫dx

x2 + x + 1=−1x− 4

3

∫dx

43 (x− 1

2 )2 + 1

=−1x− 4

3

∫dx

( 2x−1√3

)2 + 1=−1x− 4

3

∫ √3

2 dt

t2 + 1

=−1x− 2√

3arctg t =

−1x− 2√

3arctg

2x− 1√3

+ C 4

12.3.2 Integracion de funciones trigonometricas

Cambios de variable especıficos.

? Integrales de los tipos:∫

sen(mx) cos(nx)dx

∫cos(mx) cos(nx)dx

∫sen(mx) sen(nx)dx.

se resuelven usando las relaciones

(1) + (2) : 2 sen x cos y = sen(x + y) + sen(x− y)(3) + (4) : 2 cos x cos y = cos(x + y) + cos(x− y)(3)− (4) : −2 sen x sen y = cos(x + y)− cos(x− y)

obtenidas a partir de la formulas trigonometricas:

(1) sen(x + y)=sen x cos y + sen y cos x (3) cos(x + y)=cosx cos y − senx sen y(2) sen(x− y)=sen x cos y − sen y cos x (4) cos(x− y)=cosx cos y + sen x sen y

? Integrales de la forma∫

senm x cosn xdx con m,n ∈ ZZ .

– Si m es impar se resuelven usando el cambio t = cos x .

– Si n es impar con el cambio t = senx .

– Si m y n son pares positivos se resuelven utilizando las formulas del angulo mitad

sen2 x =1− cos(2x)

2cos2 x =

1 + cos(2x)2

sen x cos x =sen(2x)

2.




tgn xdx ,∫

cotgn xdx con n ∈ IN se calculan mediante las formulas:

tg2 x = sec2 x− 1 cotg2 x = cosec2 x− 1

Ejemplo Hallar∫

sen2 x cos2 xdx .

∫sen4 x cos2 xdx =

∫ (1− cos 2x

2

)2 (1 + cos 2x

2

)dx =

18

∫ (1− cos 2x− cos2 2x + cos3 2x

)dx

=18

∫ (1− cos 2x−

(1 + cos 4x

2

)+ cos3 2x

)dx

=18

∫12dx− 1

8

∫cos 2xdx− 1

16

∫cos 4xdx +

18

∫cos3 2xdx

=x

16− sen 2x

16− sen 4x

64+

18

∫cos3 2xdx =

{t = sen 2x

dt = 2 cos 2xdx

}

=x− sen 2x

16− sen 4x

64+

18

∫(1− t2)

dt

2=

x− sen 2x

16− sen 4x

64+

116

(t− t3

3)

=x− sen 2x

16− sen 4x

64+

sen 2x

16− sen3 2x

48+ C

=x

16− sen 4x

64+− sen3 2x

48+ C 4

Cambios mas generales para las integrales trigonometricas.

Las integrales de la forma∫

R(senx, cos x)dx , siendo R(senx, cos x) una funcion racional en sen x y cos x .

? Si se cumple R(senx, cosx) = R(− sen x,− cosx) entonces la integral se puede reducir a una integralracional empleando el cambio t = tg x .

Es decir, x = arctg t −→ dx =dt

1 + t2.

Por otra parte 1 + tg2 x =1

cos2 x=⇒ cos x =

1√1 + t2

y por tanto sen x =t√

1 + t2.

? En general, una integral del tipo∫

R(senx, cosx)dx se transforma en una integral racional utilizando el

cambio

t = tgx

2=⇒ x

2= arctg t −→ dx =

2dt

1 + t2, cosx =

1− t2

1 + t2y sen x =

2t

1 + t2.

12.3.3 Integracion de funciones exponenciales e hiperbolicas∫

R(ax)dx ; siendo R(ax) una funcion racional en ax .

El cambio t = ax convierte dicha integral en racional:

t = ax =⇒ dt = ax ln adx =⇒ dx =dt

t ln a

Dado que chx = ex+e−x

2 y sh x = ex−e−x

2 , resulta que entonces cualquier integral del tipo∫

R(sh x, ch x)dx

se puede resolver por el cambio anterior. Pero tambien existen unas relaciones entre las funciones hiperbolicasque hacen que su integracion sea similar a la de las funciones trigonometricas:

ch2 x− sh2 x = 1 sh2 x =ch 2x− 1

2ch2 x =

ch 2x + 12

sh 2x = 2 sh x chx 1− th2 x =1

ch2 x

De entre todos los casos que nos aparecen en la integracion de funciones racionales hiperbolicas destacamos:



? Cambio t = th x =⇒ dx = dt1−t2 chx = 1√

1−t2shx = t√

1−t2

? Cambio t = th(

x2

)=⇒ dx = 2dt

1−t2 ch x = 1+t2

1−t2 shx = 2t1−t2

Ejemplo Hallar∫

ex−1ex+1dx .

Solucion Con el cambio t = ex , se tiene dt = exdx = tdx , luego∫

ex

ex + 1dx =

∫t− 1t + 1

dt

t=

∫ (2

t + 1− 1

t

)dt = 2 ln |t + 1| − ln |t| = ln

∣∣∣∣(ex + 1)2

ex

∣∣∣∣ + C. 4

12.3.4 Integrales irracionales


R

(x,

(ax+bcx+d

) p1q1

,(

ax+bcx+d

) p2q2

, . . . ,(

ax+bcx+d

) pkqk

)dx , siendo R una funcion racional

en esas variables y las fracciones p1q1

, p2q2

, . . . , pk

qkirreducibles.

Sea n = mcm(q1, q2, . . . , qk), el cambio de variable tn = ax+bcx+d transforma la integral irracional en una

racional. (Ver ejemplo 12.2.2.)

? Integrales del tipo∫

R(x,√

a2 − x2)dx

Se resuelven mediante alguno de los cambios: x = a sen t o x = a cos t o x = th t .


R(x,√

a2 + x2)dx

Se resuelven mediante alguno de los cambios: x = a tg t o x = a sh t .


R(x,√

x2 − a2)dx

Se resuelven mediante alguno de los cambios: x = a sec t o x = a ch t .

Ejemplo Encontrar∫ √

1− x2dx .

Solucion Con el cambio x = sen t , dx = cos tdt . Entonces∫ √

1− x2dx =∫ √

1− sen2 t cos tdt =∫ √

cos2 t cos tdt =∫

cos2 tdt

=12

∫(1− cos 2t)dt =

t

2− sen 2t

4=

arcsen x

2− sen(2 arcsen x)

4+ C 4

12.3.4.1 Integrales binomias

Las integrales binomias, son de la forma∫

xp(a + bxq)rdx , con p, q, r ∈ Q.

Chebichev probo que es posible racionalizar la integral binomia cuando es entero uno de los tres numerossiguientes: r, p+1

q , p+1q + r .

? Si r ∈ IN , entonces se desarrolla (a + bxq)r segun el binomio de Newton.

? Si r /∈ IN , haremos el cambio: t = xq =⇒ dx = 1q t

1−qq dt , por tanto

∫xp(a + bq)rdx =

1q

∫t

p+1q −1(a + bt)rdt.

– Si r ∈ ZZ , con r negativo, la integral siempre se va a poder convertir en una racional con el cambiou = t

1s siendo s ∈ IN el denominador de la fraccion irreducible m

s = p+1q − 1.

– Si r /∈ ZZ , pero p+1q ∈ ZZ , la integral se ha convertido en un tipo ya estudiado. Si no

1q

∫t

p+1q −1(a + bt)rdt =

1q

∫t

p+1q −1+r

(a + bt

t

)r

dt,

con lo que si p+1q + r ∈ Z la integral se ha convertido de nuevo en una del tipo anterior.


140 – Matematicas I : Calculo integral en IR 12.4 Ejercicios

Ejemplo Hallar∫

x12 (1 + x

13 )−

12 dx .

Solucion Como r = −12 /∈ IN , hacemos el cambio t = xq = x

13 , luego x = t3 y dx = 3t2dt . Entonces

∫x

12 (1 + x

13 )−

12 dx =

∫t

32 (1 + t)−

12 3t2dt =

∫3t

72 (1 + t)−

12 dt

Como 72 /∈ ZZ , multiplicamos y dividimos por t−

12 , obteniendo

∫3t

72 (1 + t)−

12 dt = 3

∫t

72− 1

2

(1 + t

t

)− 12

dt = 3∫

t3(

t

1 + t

) 12

dt ={

u2 = t1+t

} →{

t = u2

1−u2

dt = 2udu(1−u2)2

}

= 3∫

u6

(1− u2)3u

2udu

(1− u2)2= 6

∫u8

(1− u2)5du = 6

∫u8

(1− u)5(1 + u)5du

que es una integral racional en u . Se resuelve, y teniendo en cuenta que u =√

t1+t =

√x

13

1+x13

se obtiene el

resultado buscado. 4

12.4 Ejercicios

Encontrar la expresion de las siguientes integrales indefinidas:

1)∫

tg2 xdx 2)∫

x(3x2 + 1)4dx 3)∫

6x2+4x3+2x+7dx

4)∫

e− sen x cos xdx 5)∫

x1+x4 dx 6)

∫x(2x + 5)10dx

7)∫ √

1− x2dx 8)∫

1+x1+√

xdx 9)

∫dx

x√

x2−2

10)∫

dx√ex−1

11)∫

ln(2x)x ln(4x)dx 12)

∫ln2 xdx

13)∫

x sen xdx 14)∫

arctg xdx 15)∫

x3+x−1(x2+2)2 dx

16)∫

x4−6x3+12x2+6x3−6x2+12x−8 dx 17)

∫dx

(x+1)(x2+x+2)2 18)∫

xx6+1dx

19)∫

dx(x+1)2(x2+1)2 20)

∫x8

(1−x2)5 dx 21)∫

2x+1(x2+4)3 dx

22)∫

cosx cos2(3x)dx 23)∫

cos x2 cos x

3dx 24)∫

tg2(5x)dx

25)∫ (

tg3 x4 + tg4 x

4

)dx 26)

∫sen5 xdx 27)

∫sen3 x

2 cos5 x2dx

28)∫

cos5 xsen3 xdx 29)

∫cos6(3x)dx 30)

∫sen4 xdx

31)∫

dxcos6 x 32)

∫cos2 xsen6 xdx 33)

∫dx

1+3 cos2 x

34)∫

3 sen x+2 cos x2 sen x+3 cos xdx 35)

∫dx

cos x+2 sen x+3 36)∫

dxex+1

37)∫

ch4 xdx 38)∫

sh3 x ch xdx 39)∫

dxsh2 x+ch2 x

40)∫ √

x+1+2(x+1)2−√x+1

dx 41)∫

x√

x−1x+1dx 42)

∫dx

(2−x)√

1−x

43)∫

dx√x+ 3√x

44)∫

dxx√

x2+4x−445)

∫x√

x2−x−2dx

46)∫

dx(x−2)

√5x−x2−4

47)∫

x−4(1 + x2)−12 dx 48)

∫2x

3√1+x3 dx.



Tema 13

Integral de Riemann

13.1 Sumas inferiores y superiores

13.1.1 Particiones de un intervalo

Definicion 261.- Se llama particion de un intervalo cerrado [a, b] a cualquier conjunto finito de puntos P ={x0, x1, . . . , xn} tales que a = x0 < x1 < · · · < xn = b . Una particion divide al intervalo como union deintervalos mas pequenos, es decir,

[a, b] = [a, x1] ∪ [x1, x2] ∪ · · · ∪ [xn−2, xn−1] ∪ [xn−1, b] =n∪

i=1[xi−1, xi]

La longitud de estos subintervalos se denomina incremento de xi y se representa por ∆xi = xi − xi−1 .

Denotaremos por P[a, b] al conjunto de todas las particiones del intervalo cerrado [a, b] . Considerando en elconjunto la relacion de orden de inclusion, diremos que P2 es mas fina que P1 , si P1 ⊆ P2 .

Como P2 tiene todos los puntos de P1 y quizas alguno mas, cada subintervalo obtenido con P2 estacontenido en alguno de los dados por P1 , es decir, la particion dada por P2 es mas fina que la dada por P1 .

Ejemplo Sea [0, 1], entonces P ={

0, 14 , 2

4 , 34 , 1

}es una particion de [0, 1], que “parte” el intervalo en 4

trozos [0, 1] = [0, 14 ] ∪ [ 14 , 2

4 ] ∪ [ 24 , 34 ] ∪ [ 34 , 1], de igual longitud ∆xi = 1

4 , para i = 1, 2, 3, 4.

La particion P1 ={

0, 14 , 1

3 , 24 , 3

4 , 1}

es mas fina que P y la particion P2 ={

0, 24 , 1

}es menos fina que la

particion P . Es decir, P2 ⊆ P ⊆ P1 .Sea [a, b] , entonces la particion P =

{a, a + b−a

n , a + 2(b−a)n , . . . , a + (n−1)(b−a)

n , b}

divide al intervalo [a, b]

en n subintervalos de longitud b−an : [a, b] =

n∪k=1

[a + (k−1)(b−a)

n , a + k(b−a)n

]. 4

13.1.2 Sumas inferiores y superiores

Definicion 262.- Sea f : [a, b] −→ IR una funcion acotada y P ∈ P[a, b] . En cada subintervalo [xi−1, xi] ,considemos el inferior y el superior de f en el:

mi = inf{f(x) : xi−1 ≤ x ≤ xi} Mi = sup{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}.

Llamarenos suma inferior de f para la particion P al valor L(f, P ) =n∑

i=1

mi(xi − xi−1) =n∑

i=1

mi ∆xi

y llamaremos suma superior de f para la particion P a U(f, P ) =n∑

i=1

Mi(xi − xi−1) =n∑

i=1

Mi ∆xi.

Si la funcion es positiva, graficamente las sumas inferioressignifican dar una cota por defecto del valor del area queencierra la funcion con el eje de abcisas (es la suma de lasareas de los rectangulos de base ∆xi y altura mi ), y lassumas superiores una cota por exceso del valor del area.En la figura de la derecha, el valor de la suma inferior es elarea de la zona gris oscuro y el valor de la suma superior elde dicha zona mas las areas de los rectangulos superiores.Puede observarse como el area que encierra la curva estaprecisamente entre ambos valores.

a b

m

M


142 – Matematicas I : Calculo integral en IR 13.2 Integral de una funcion real de variable real

Ejemplo 263 Si tomamos f : [0, 1] −→ IR donde f(x) = 2x , y la particion P ={

0, 13 , 2

3 , 1}

, se tiene que

[0, 1] = [0, 13 ] ∪ [ 13 , 2

3 ] ∪ [ 23 , 1] y que ∆x1 = ∆x2 = ∆x3 = 13 . Luego

m1 = inf{2x : x ∈ [0, 13 ]} = 0 M1 = sup{2x : x ∈ [0, 1

3 ]} = 23

m2 = inf{2x : x ∈ [ 13 , 23 ]} = 2

3 M2 = sup{2x : x ∈ [ 13 , 23 ]} = 4

3

m3 = inf{2x : x ∈ [ 23 , 1]} = 43 M3 = sup{2x : x ∈ [ 23 , 1]} = 2

L(f, P ) = 0 · 13 + 2

3 · 13 + 4

3 · 13 = 2

3 U(f, P ) = 23 · 1

3 + 43 · 1

3 + 2 · 13 = 4

3

Como el area encerrada por la funcion es 1 (es el area de un triangulo de altura 2 y base 1), se verifica queL(f, P ) = 2

3 ≤ 1 ≤ 43 = U(f, P ). 4

Propiedades 264.- Sea f : [a, b] −→ IR una funcion acotada.

a) Para toda P ∈ P[a, b] , se verifica que L(f, P ) ≤ U(f, P ).

b) Para todas P1, P2 ∈ P[a, b] con P1 ⊆ P2 , se verifica que

L(f, P1) ≤ L(f, P2) y U(f, P2) ≤ U(f, P1).

c) Para cualesquiera P, Q ∈ P[a, b] , se verifica que L(f, P ) ≤ U(f, Q). .

Corolario 265.- Sean f : [a, b] −→ IR una funcion acotada y P0 ∈ P[a, b] . Entonces, para toda P ∈ P[a, b] conP0 ⊆ P , se verifica que

0 ≤ U(f, P )− L(f, P ) ≤ U(f, P0)− L(f, P0).Demostracion:Usando las propiedades b) y a) anteriores, se tiene la cadena de desigualdades

L(f, P0) ≤ L(f, P ) ≤ U(f, P ) ≤ U(f, P0),entonces, restando entre si los elementos extremos y los centrales, se tiene

0 ≤ U(f, P )− L(f, P ) ≤ U(f, P0)− L(f, P0).

13.2 Integral de una funcion real de variable real

Sea f : [a, b] −→ IR una funcion acotada, los conjuntos de numeros realesA = {L(f, P ) : P ∈ P[a, b]} y B = {U(f, P ) : P ∈ P[a, b]}

son no vacıos. Por la propiedad c) de 264, el conjunto A esta acotado superiormente (cualquier suma superiores cota superior de A) y por tanto tiene extremo superior, que denotamos por I , y al que denominaremosintegral inferior de f en [a, b] . Es decir,

I = sup A = sup{

L(f, P ) : P ∈ P[a, b]}

.

Analogamente el conjunto B esta acotado inferiormente (cualquier suma inferior es cota inferior de B ) y portanto tiene extremo inferior, que denotamos por I , y al que denominaremos integral superior de f en [a, b] .Es decir,

I = inf B = inf{

U(f, P ) : P ∈ P[a, b]}

.

Como cualquier elemento de A es menor o igual que cualquier elemento de B , se tiene que I ≤ I .

Definicion 266.- Sea f : [a, b] −→ IR una funcion acotada. Se dice que f es integrable si y solo si I = I .El valor I = I = I , se denomina integral de Riemann de la funcion f en [a, b] , y se representa por

I =∫ b

a

f o I =∫ b

a

f(x) dx (si se quiere poner enfasis en la variable usada)



Teorema 267.- (Condicion de integrabilidad de Riemann)Una funcion f : [a, b] −→ IR acotada es integrable Riemann si, y solo si, para todo ε > 0 existe una particionPε ∈ P[a, b] tal que

U(f, Pε)− L(f, Pε) < ε.

Demostracion:=⇒c Sea f integrable Riemann y sea ε > 0. Como I = I es el inferior de las sumas superiores y I = I es elsuperior de las sumas inferiores, existe una particion P1 y existe una particion P2 , tales que

U(f, P1)− I <ε

2y I − L(f, P2) <

ε

2.

Tomando Pε = P1 ∪ P2 , se tiene que P1 ⊆ Pε y P2 ⊆ Pε y, por tanto,U(f, Pε) ≤ U(f, P1) y L(f, P2) ≤ L(f, Pε).

LuegoU(f, Pε)− I ≤ U(f, P1)− I < ε

2 y I − L(f, Pε) ≤ I − L(f, P2) < ε2 ,

y sumando ambas desigualdades U(f, Pε)− L(f, Pε) < ε .

⇐=c Recıprocamente, supongamos que para cualquier ε > 0 existe una particion Pε ∈ P[a, b] tal queU(f, Pε)− L(f, Pε) < ε . Sabemos tambien que

I ≤ U(f, Pε) y L(f, Pε) ≤ I ,restando entonces ambas expresiones obtenemos

0 ≤ I − I ≤ U(f, Pε)− L(f, Pε) < ε,

luego I = I .

Propiedades 268.- Sean f, g: [a, b] −→ IR integrables en [a, b] , λ ∈ IR y a < c < b . Entonces

1.- f + g es integrable en [a, b] y∫ b

a

(f + g) =∫ b

a

f +∫ b

a

g .

2.- λf es integrable en [a, b] y∫ b

a

λf = λ

∫ b

a

f .

3.- f integrable en [a, b] si, y solo si, f es integrable en [a, c] y [c, b] .

En ese caso,∫ b

a

f =∫ c

a

f +∫ b

c

f . .

Definicion 269.- Por convenio,∫ a

a

f(x) dx = 0;∫ a

b

f(x) dx = −∫ b

a

f(x) dx .

Como consecuencia de esta definicion la propiedad (3) puede generalizarse a cualquier c ∈ IR , siempre quela funcion sea integrable en los intervalos correspondientes, es decir:

Proposicion 270.- Sea [a, b] ⊂ IR y c ∈ IR . Entonces

∫ b

a

f(x) dx =∫ c

a

f(x) dx +∫ b

c

f(x) dx,

siempre que las integrales existan (es decir, que f sea integrable en los intervalos correspondientes).

Demostracion:Sea a ≤ b ≤ c (analogamente si c ≤ a ≤ b). Si f es integrable en [a, c] , por la propiedad (3),

∫ c

a

f(x) dx =∫ b

a

f(x) dx +∫ c

b

f(x) dx,

luego∫ b

a

f(x) dx =∫ c

a

f(x) dx−∫ c

b

f(x) dx =∫ c

a

f(x) dx +∫ b

c

f(x) dx.



13.2.1 Sumas de Riemann

Definicion 271.- Sea f : [a, b] −→ IR una funcion acotada. Para cada particion P ∈ P[a, b] elijamos unconjunto E = {e1, e2, . . . , en} tal que ei ∈ [xi−1, xi] para todo i = 1, . . . , n . Se llama suma de Riemann dela funcion f para la particion P y el conjunto E al numero

S(f, P,E) =n∑

i=1

f(ei)∆xi.

Observacion:Es claro que para cualquier P y cualquier conjunto E elegido,

L(f, P ) ≤ S(f, P, E) ≤ U(f, P ),

pues, para todo i = 1, . . . , n , se verifica que mi ≤ f(ei) ≤ Mi para cualquier ei ∈ [xi−1, xi] .

Mi

f(ei)

mi

Fig. 13.1. Sumas de Riemann.

Lema 272.- Sean f : [a, b] −→ IR acotada y P ∈ P[a, b] . Para cualquier ε > 0 es posible elegir dos conjuntosE1 y E2 asociados a P de forma que

S(f, P,E1)− L(f, P ) < ε y U(f, P )− S(f, P, E2) < ε .Demostracion:Probaremos solamente la primera ya que la segunda se prueba de forma analoga.

Sea ε > 0. Para cada i = 1, . . . , n , por ser mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]} existe ei ∈ [xi−1, xi] tal quef(ei)−mi < ε

b−a , y sea E1 el conjunto formado por estos ei . Entonces

S(f, P, E1)− L(f, P ) =n∑

i=1

(f(ei)−mi)∆xi <

n∑

i=1

ε

b− a∆xi =

ε

b− a

n∑

i=1

∆xi = ε.

Proposicion 273.- Sea f : [a, b] −→ IR una funcion acotada. Entonces f es integrable en [a, b] y el valor desu integral es I si y solo si para cada ε > 0 existe Pε ∈ P[a, b] tal que para toda P mas fina, Pε ⊆ P , ycualquier eleccion del conjunto E asociado a P se cumple que |S(f, P, E)− I| < ε . .

13.2.2 Otras propiedades de la integral

Proposicion 274.- Sea f : [a, b] −→ IR integrable en [a, b] y tal que f ≥ 0 en [a, b] , entonces∫ b

a

f ≥ 0.

Demostracion:

Es claro, pues para cualquier P ∈ P[a, b] se tiene que 0 ≤ L(f, P ) ≤ I =∫ b

a

f .

Corolario 275.- Sean f y g integrables en [a, b] tales que f ≤ g en [a, b] . Entonces∫ b

a

f ≤∫ b

a

g.



Demostracion:

Como 0 ≤ (g − f), se tiene 0 ≤∫ b

a

(g − f) =∫ b

a

g −∫ b

a

f . Luego∫ b

a

f ≤∫ b

a

g .

Proposicion 276.- Sea f integrable en [a, b] , entonces |f | es integrable en [a, b] y se verifica que∣∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(x)| dx . .

Corolario 277.- Sea f : [a, b] −→ IR integrable en [a, b] . Para cualesquiera c, d ∈ [a, b] se verifica que∣∣∣∣∣∫ d

c

f(x) dx

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣∫ d

c

|f(x)| dx

∣∣∣∣∣ .

Demostracion:En efecto, si c ≤ d es la proposicion 276. Si d ≤ c , se tiene

−∫ c

d

|f(x)| dx ≤∫ c

d

f(x) dx ≤∫ c

d

|f(x)| dx =⇒∫ d

c

|f(x)| dx ≤ −∫ d

c

f(x) dx ≤ −∫ d

c

|f(x)| dx,

luego

∣∣∣∣∣∫ d

c

f(x) dx

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣∫ d

c

|f(x)| dx

∣∣∣∣∣ .

Proposicion 278.- Si f y g son integrables en [a, b] , entonces fg es integrable en [a, b] . .

13.2.3 Algunas funciones integrables

Proposicion 279.- Sea f : [a, b] −→ IR una funcion monotona. Entonces f es integrable en [a, b] .

Demostracion:Supongamos que f es monotona creciente (analogo para decreciente). Entonces, para cualquier particionP ∈ P[a, b] se tiene que mi = f(xi−1) y Mi = f(xi), para todo i = 1, 2, . . . , n . En particular, si Pn es laparticion equiespaciada de [a, b] , con xi = a + i b−a

n , es decir,

Pn ={a, a + b−a

n , a + 2 b−an , . . . , a + (n− 1) b−a

n , a + n b−an = b

}

y ∆xi = b−an , para todo i , se tiene que

U(f, Pn)− L(f, Pn) =n∑

i=1

f(xi)∆xi −n∑

i=1

f(xi−1)∆xi =n∑

i=1

(f(xi)− f(xi−1)

)b− a

n

=b− a

n

n∑

i=1

(f(xi)− f(xi−1)

)=

b− a

n

(f(b)− f(a)

).

Luego tomando n suficientemente grande para que b−an < ε

f(b)−f(a) , entonces

U(f, Pn)− L(f, Pn) =b− a

n

(f(b)− f(a)

)<

ε

f(b)− f(a)

(f(b)− f(a)

)= ε.

Teorema 280.- Sea f : [a, b] −→ IR una funcion continua en [a, b] . Entonces f es integrable en [a, b] .

Teorema 281.- Sea f : [a, b] −→ IR una funcion acotada en [a, b] y continua en [a, b] salvo acaso en unacantidad numerable de puntos de dicho intervalo. Entonces f es integrable en [a, b] .


146 – Matematicas I : Calculo integral en IR 13.3 Integracion y derivacion

13.3 Integracion y derivacion

Teorema 282.- Sea f : [a, b] −→ IR integrable en [a, b] , con a < b , y m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ [a, b] .Entonces

m ≤ 1b− a

∫ b

a

f(x) dx ≤ M.

Demostracion:Por ser m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ [a, b] , se tiene que

∫ b

a

m dx ≤∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

M dx,

entonces (ver ejercicio 13.166) m(b− a) ≤∫ b

a

f(x) dx ≤ M(b− a), luego

m ≤ 1b− a

∫ b

a

f(x) dx ≤ M.

Nota: Como 1b−a

∫ b

a

f(x) dx = 1a−b

∫ a

b

f(x) dx , tambien es cierto que m ≤ 1a−b

∫ a

b

f(x) dx ≤ M .

Teorema de la media 283.- Sea f : [a, b] −→ IR una funcion continua en [a, b] , entonces existe ξ ∈ [a, b] talque ∫ b

a

f(x) dx = f(ξ)(b− a).

Demostracion:Al ser f continua en [a, b] , alcanzara el mınimo y el maximo en [a, b] . Sean estos m y M respectivamente.

Por el teorema anterior 282, m ≤ 1b−a

∫ b

a

f(x) dx ≤ M y, por ser f continua, toma todos los valores entre el

mınimo y el maximo; por consiguiente, existe ξ ∈ [a, b] tal que f(ξ) = 1b−a

∫ b

a

f(x) dx.

Definicion 284.- Sea f : [a, b] −→ IR integrable en [a, b] . La funcion F : [a, b] −→ IR definida de la forma

F (x) =∫ x

a

f(t) dt recibe el nombre de funcion integral de la funcion f .

Teorema 285.- Sea f : [a, b] −→ IR integrable en [a, b] . Entonces su funcion integral es continua en [a, b] .

Demostracion:Como f esta acotada en [a, b] , existe M ∈ IR tal que |f(x)| ≤ M , para todo x ∈ [a, b] .

Sea entonces x ∈ [a, b] , la funcion F estara definida en todos los puntos de la forma x + h siempre quea < x + h < b , luego

F (x + h)− F (x) =∫ x+h

a

f(t) dt−∫ x

a

f(t) dt =∫ x+h

x

f(t) dt.

Como −M ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ [a, b] , por el teorema 282 y la observacion posterior, se tiene que

−M ≤ 1h

∫ x+h

x

f(t) dt ≤ M,

y, por tanto,

|F (x + h)− F (x)| = |h|∣∣∣∣∣1h

∫ x+h

x

f(t) dt

∣∣∣∣∣ ≤ M |h| .

Tomando lımites, cuando h → 0,lımh→0

(F (x + h)− F (x)

)= 0. 〈13.1〉


147 – Matematicas I : Calculo integral en IR 13.3 Integracion y derivacion

y, por tanto, F es continua en [a, b] .

Teorema fundamental del calculo 286.- Sea f : [a, b] −→ IR integrable y F (x) =∫ x

a

f(t) dt su funcion inte-

gral. Si f es continua en [a, b] , entonces

a) F es derivable en [a, b] .

b) F ′(x) = f(x), para todo x ∈ [a, b] .

Demostracion:Sea x ∈ (a, b). La funcion F estara definida en todos los puntos de la forma x + h siempre que a < x + h < b ,entonces

lımh→0

F (x + h)− F (x)h

= lımh→0

∫ x+h

x

f(t) dt

h= lım

h→0

f(ξ)hh

= lımh→0

f(ξ) = f(x),

ya que, por el teorema de la media 283, ξ es un punto comprendido entre x y x + h ; y f es continua en [a, b] .Ası pues F es derivable para todo x ∈ (a, b) y F ′(x) = f(x).

Como F y f son continuas en [a, b] , F es derivable “por la derecha” en a y “por la izquierda” en b ,verificandose que F ′(a) = f(a) y F ′(b) = f(b).

Regla de Barrow 287.- Sea f : [a, b] −→ IR integrable en [a, b] . Si G: [a, b] −→ IR es una primitiva de f en[a, b] , entonces ∫ b

a

f(x) dx = G(b)−G(a).

Demostracion:Sea ε > 0. Por ser f integrable en [a, b] existe Pε ∈ P[a, b] , tal que U(f, Pε) − L(f, Pε) < ε . Aplicando elteorema del valor medio de Lagrange a la funcion G , para cada i = 1, 2, . . . , n existe ei ∈ (xi−1, xi) tal que

G(xi)−G(xi−1) = G′(ei)(xi − xi−1) = f(ei)(xi − xi−1).Puesto que mi = inf{f(x) : xi−1 ≤ x ≤ xi} y Mi = sup{f(x) : xi−1 ≤ x ≤ xi} , se tiene que

mi ≤ f(ei) ≤ Mi,

de dondemi(xi − xi−1) ≤ f(ei)(xi − xi−1) ≤ Mi(xi − xi−1)

mi(xi − xi−1) ≤ G(xi)−G(xi−1) ≤ Mi(xi − xi−1)n∑

i=1

mi∆xi ≤n∑

i=1

(G(xi)−G(xi−1)

)≤

n∑

i=1

Mi∆xi

L(f, Pε) ≤ G(b)−G(a) ≤ U(f, Pε).

Como tambien es L(f, Pε) ≤∫ b

a

f(x) dx ≤ U(f, Pε), se verifica que

∣∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx−(G(b)−G(a)

)∣∣∣∣∣ < ε

y, por tanto,∫ b

a

f(x) dx = G(b)−G(a).

Teorema del Cambio de variable 288.- Sean f : [a, b] −→ IR continua en [a, b] y x = φ(t) siendo φ(t) y φ′(t)funciones continuas en [α, β] (o [β, α]), con φ(α) = a y φ(β) = b . Entonces:

∫ b

a

f(x) dx =∫ β

α

f(φ(t))φ′(t) dt.



Demostracion:f(φ(t))φ′(t) es tambien continua, luego las funciones

F (x) =∫ x

a

f(u) du y G(t) =∫ t

α

f(φ(v))φ′(v) dv

son respectivamente primitivas de f(x) y f(φ(t))φ′(t).Ahora bien, como F es una primitiva de f , F (φ(t)) es tambien una primitiva de f(φ(t))φ′(t), luego

F (φ(t)) = G(t) + C , para todo t ∈ [α, β] .Para t = α se tiene F (φ(α)) = G(α) + C , y como F (φ(α)) = F (a) = 0 y G(α) = 0, entonces C = 0.Y para t = β se tiene F (φ(β)) = G(β), es decir,

∫ b

a

f(x) dx =∫ β

α

f(φ(t))φ′(t) dt.

13.4 Ejercicios

13.166 Comprobar que la funcion f(x) = k , donde k es constante, es integrable en cualquier intervalo [a, b] deIR y calcular el valor de la integral.

13.167 Comprobar que la funcion f(x) ={

1, si x ∈ [0, 1]2, si x ∈ (1, 2] es integrable Riemann en [0, 2]. (Utilizar la condicion

de integrabilidad de Riemann.)

13.168 Justificar razonadamente la falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) U(f, P1) = 4 para P1 = {0, 1, 32 , 2} y U(f, P2) = 5 para P2 = {0, 1

4 , 1, 32 , 2} .

b) L(f, P1) = 5 para P1 = {0, 1, 32 , 2} y L(f, P2) = 4 para P2 = {0, 1

4 , 1, 32 , 2} .

c) Tomando P ∈ P[−1, 1],

(i) L(f, P ) = 3 y U(f, P ) = 2.

(ii) L(f, P ) = 3 y U(f, P ) = 6 y∫ 1

−1

f(x) dx = 2.

(iii) L(f, P ) = 3 y U(f, P ) = 6 y∫ 1

−1

f(x) dx = 10.

13.169 Se sabe que∫ 1

0

f(x) dx = 6,∫ 2

0

f(x) dx = 4 y∫ 5

2

f(x) dx = 1. Hallar el valor de cada una de las

siguientes integrales:

a)∫ 5

0

f(x) dx b)∫ 2

1

f(x) dx c)∫ 5

1

f(x) dx.

13.170 Sean f derivable y F (x) =∫ x

a

f(t) dt . ¿Es cierto que F ′(x) =∫ x

a

f ′(t) dt? ¿Por que?

13.171 Sea f(x) =∫ x

a

11+sen2 t dt . Calcular f(x) y f ′(x), indicando sus dominios de definicion.

13.172 Hallar f ′(x), indicando su dominio de definicion, para

a) f(x) =∫ x3

a

11+sen2 tdt. b) f(x) =

(∫ x

a

11+sen2 tdt

)3

.

c) f(x) =∫ sen x

a

11+sen2 tdt. d) f(x) =

∫ (∫ x

a

11+sen2 t

dt)

a

11+sen2 tdt.



13.173 Hallar el dominio y la expresion de f ′(x) para cada una de las siguientes funciones:

a) f(x) =∫ 47

1x

1t dt b) f(x) =

∫ sec x

x2

1t dt c) f(x) =

∫ cos x

x3sen(t2) dt

13.174 Si f es continua, calcular F ′(x), siendo F (x) =∫ x

0

xf(t) dt .

13.175 Probar que si f : IR −→ IR es continua y periodica de periodo T , entonces∫ a+T

a

f(x) dx =∫ T

0

f(x) dx ∀ a ∈ IR.

13.176 Demostrar que si f : IR −→ IR es continua, entonces∫ x

0

(x− u)f(u) du =∫ x

0

(∫ u

0

f(t) dt

)du.

13.177 Demostrar que se verifica la igualdad∫ b

a

f(x) dx =∫ b

a

f(a + b− x) dx.

Como consecuencia, probar que si f(a + b− x) = f(x), entonces∫ b

a

xf(x) dx =a + b

2

∫ b

a

f(x) dx,

y usar este resultado para calcular∫ 3π

4

π4

x sen x dx .

13.178 Sea f : IR −→ IR estrictamente creciente y continua, con f(0) = 0. Calcular los extremos de la funcion∫ (x+3)(x−1)

0

f(t) dt .

13.179 Dada la funcion f estrictamente creciente en IR , con f(0) = 0, y continua, estudiar el crecimiento,

decrecimiento y los extremos de F (x) =∫ x3−2x2+x

1

f(t) dt .

13.180 Encontrar los valores de x para los que la funcion F (x) =∫ x

0

te−t2dt alcanza algun extremo.

13.181 Sea f : [a, b] −→ IR de clase 1, tal que f(a) = f(b) = 0 y∫ b

a

f2(x) dx = 1. Probar que

∫ b

a

xf(x)f ′(x) dx = −12.

13.182 Sean f y g funciones reales continuas en [a, b] que verifican que∫ b

a

f(x) dx =∫ b

a

g(x) dx.

Demostrar que existe un punto c ∈ [a, b] tal que f(c) = g(c).

13.183 Se define la funcion beta por B(n,m) =∫ 1

0

xn−1(1− x)m−1dx para n,m ∈ IN , n,m > 0.

a) Probar que B(n,m) = B(m,n).

b) Probar que B(n, 1) = B(1, n) =n! · 1!

(n + 1)!.

c) Probar que si n,m ≥ 2, B(n,m) = n−1m B(n− 1,m + 1) = m−1

n B(n + 1,m− 1) y deducir de ello que

B(n,m) =n! ·m!

(n + m)!.



Tema 14

Aplicaciones de la integral

14.1 Areas de superficies planas

14.1.1 Funciones dadas de forma explıcita

A la vista del estudio de la integral definida realizado en el Tema 13, parece razonable la siguiente definicion:

Definicion 289.- Sea f : [a, b] −→ IR una funcion continua y positiva, y consideremos la region R del planocuya frontera viene dada por las rectas x = a , x = b , el eje de abcisas y la grafica de f (ver figura debajo).Entonces el area de la region R esta definida por

A(R) =∫ b

a

f(x) dx.

En efecto, en su momento hemos comentado como las sumas inferio-res y sumas superiores nos ofrecen aproximaciones por “defecto” ypor “exceso” del area encerrado por la curva y = f(x), es decir, elvalor de ese area esta siempre entre el area calculado por defectoo yel calculado por exceso. Entonces, cuando la funcion es integrable,el inferior de las cotas superiores y el superior de las cotas inferiorescoinciden, y como el valor del area indicado por la funcion esta en-tre ambos valores, necesariamente debe conincidir con el valor de laintegral.

R

y = f(x)

a b

Ejemplo Calcular el area de la region limitada por la curva f(x) = x2

3 + 1, los ejes coordenados y la rectax = 3.Solucion:La funcion es positiva en todo IR . En particular, lo es en el dominio deintegracion y, por tanto, el valor del area que buscamos vendra dado por

A(R) =∫ 3

0

f(x) dx.

En nuestro caso, como F (x) = x3

9 + x es una primitiva de f en [0, 3],basta aplicar la regla de Barrow para obtener que

R

f(x)= x23 +1

x=3

1

A(R) =∫ 3

0

(x2

3+ 1

)dx =

(x3

9+ x

)]3

0

= (3 + 3)− (0 + 0) = 6,

nos ofrece el area del recinto R de la figura. 4

14.1.1.1 Funciones negativas

R

R′

y = f(x)

y = −f(x)

a b

Cuando la funcion f : [a, b] −→ IR que limita R , es continua y nega-tiva, es decir, f(x) ≤ 0 para todo x ∈ [a, b] , el valor de la integral sera∫ b

a

f(x) dx ≤ 0, por lo que no puede representar el valor del area de R

como magnitud de medida positiva. Sin embargo, es claro que el areade la region R coincide con el area de la region R′ determinada por lafuncion −f (ver figura a la izquierda), por lo que, teniendo en cuentalas propiedades de la integral, puede darse la siguiente definicion.


151 – Matematicas I : Calculo integral en IR 14.1 Areas de superficies planas

Definicion 290.- Sea f : [a, b] −→ IR una funcion continua y negativa. Consideremos la region R del planocuya frontera viene dada por las rectas x = a , x = b , el eje de abcisas y la grafica de f . Entonces el area dela region R esta definida por

A(R) =∫ b

a

−f(x) dx = −∫ b

a

f(x) dx.

Observacion 291.- Es claro entonces, que para calcular el area de regiones planas debe analizarse el signo dela funcion en el intervalo de integracion. De no hacerlo ası, la parte negativa de la funcion “restara” el areaque encierra del area encerrado por la parte positiva.

Contraejemplo.- Hallar el area encerrado por la funcion f(x) = sen x , en el intervalo [0, 2π] .

El valor∫ 2π

0

sen x dx = − cosx]2π

0= (− cos(2π)) − (− cos 0) = 0, es claro que no representa el area

encerrada por la curva.

π 2ππ 2π

R1

R2

Ahora bien, teniendo en cuenta que la funcion sen x es positiva en [0, π] y negativa en [π, 2π] , el valor real delarea encerrado sera por tanto

A(R) =A(R1) +A(R2) =∫ π

0

sen x dx +∫ 2π

π

− sen x dx = − cosx]π

0+ cos x

]2π

π= 2 + 2 = 4. 4

Ejemplo Hallar el area determinada por la curva f(x) = (x−1)(x−2),las rectas x = 0, x = 5

2 y el eje de abcisas.Como la funcion f(x) es menor o igual a cero en [1, 2] y positiva en elresto, se tendra que

A(R) =∫ 1

0

f(x) dx−∫ 2

1

f(x) dx +∫ 5

2

2

f(x) dx.

Como G(x) = x3

3 − 3x2

2 + 2x es una primitiva de f(x) en [0, 52 ] ,

A(R) =(G(1)−G(0)

)− (G(2)−G(1)

)+

(G

(52

)−G(2))

=5− 4 + 5 + 5− 4

6=

76. 4

1 2 2.5

2

1 2 2.5

2

R1R2

R3

f(x)=(x−1)(x−2)

14.1.1.2 Area entre dos funciones

En las definiciones anteriores puede considerarse, que el area calculado esta encerrado por la funcion y = f(x)y la funcion y = 0, cuando la f es positiva, y por la funcion y = 0 y la funcion y = f(x), cuando la f esnegativa. En ambos casos, se tiene que

A(R) =∫ b

a

f(x) dx−∫ b

a

0 dx =∫ b

a

(f(x)− 0) dx y A(R) =∫ b

a

0 dx−∫ b

a

f(x) dx =∫ b

a

(0− f(x)) dx,

es decir, que el area encerrado por ambas funciones es la integral de la funcion mayor menos la integral de lafuncion menor. En general, se tiene que:

Proposicion 292.- Si f, g: [a, b] −→ IR son funciones continuas, con f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b] . Enton-ces, si R es la region del plano cuya frontera viene dada por las rectas x = a , x = b , el eje de abcisas y lasgraficas de f y g , el area de R se obtiene como

A(R) =∫ b

a

f(x) dx−∫ b

a

g(x) dx =∫ b

a

(f(x)− g(x)

)dx.


152 – Matematicas I : Calculo integral en IR 14.2 Volumenes de cuerpos solidos

En efecto, si las funciones verifican que 0 ≤ g(x) ≤ f(x), es claro que el area encerrado por f y g es el areaencerrado por f menos el area encerrado por g (ver figura siguiente), es decir,

A(Rf−g) = A(Rf )−A(Rg) =∫ b

a

f(x) dx−∫ b

a

g(x) dx.

Si alguna de ellas toma valores negativos, el area entre ambas, R , es el mismoque si le sumamos a cada funcion una constante k que las haga positivas y,por tanto, el area R es el area R′ encerrado por f+k menos el area encerradopor g + k (ver figura), es decir,

A(Rf−g) =A(Rf+k)−A(Rg+k) =∫ b

a

(f(x) + k) dx−∫ b

a

(g(x) + k) dx

=∫ b

a

f(x) dx +∫ b

a

k dx−∫ b

a

g(x) dx−∫ b

a

k dx

=∫ b

a

f(x) dx−∫ b

a

g(x) dx.

R

y = f(x)

y = g(x)a b

R′y = f(x)+k

y = g(x)+k

Observacion 293.- De forma analoga, si la region esta limitada por funciones x = f(y), x = g(y) y las rectasy = c e y = d , siendo g(y) ≤ f(y) para todo y ∈ [c, d] , el area de la region puede encontrarse mediante laformula

A(R) =∫ d

c

(f(y)− g(y)

)dy.

Ejemplo Calcular el area de la region acotada comprendida entre las parabolas de ecuaciones y2 + 8x = 16e y2 − 24x = 48.

Las parabolas pueden escribirse como funciones de y , de la forma

x = g(y) =16− y2

8y x = f(y) =

y2 − 4824

Los puntos de corte de ambas parabolas son las soluciones de la ecuacion

16− y2

8=

y2 − 4824

=⇒ y = ±√

24.

Como en el intervalo [−√24,√

24] es f(y) ≤ g(y), se tiene que

A(R) =∫ √

24

−√24

16−y2

8dy −

∫ √24

−√24

y2−4824

dy=∫ √

24

−√24

(4− y2

6

)dy

=(

4y− y3

18

)]√24

−√24

=163

√24. 4

R

−√24

√24

x=g(y)

x=f(y)

14.2 Volumenes de cuerpos solidos

Trataremos ahora de calcular el volumen de un solido S . Paraello supongamos que esta colocado en los ejes coordenados de IR3

y que los extremos del solido en la direccion del eje de abcisasse toman en los valores x = a y x = b . Consideremos paracada x ∈ [a, b] que A(x) representa el area de la intersecciondel cuerpo con un plano perpendicular al eje de abcisas (verfigura).Entonces, para cada particion P = {a = x0, x1, ..., xn = b} delintervalo [a, b] , consideremos

mi = inf{A(x) : x1 ≤ x ≤ xi−1}Mi = sup{A(x) : x1 ≤ x ≤ xi−1} x=x1 x=x2 x=x3

A(x1)A(x2)

A(x3)

a

b

S


153 – Matematicas I : Calculo integral en IR 14.2 Volumenes de cuerpos solidos

el inferior y el superior de los valores de las areas A(x) de las secciones del solido entre xi−1 y xi .Definimos suma superior e inferior asociadas al solido S y la particion P en la forma

U(A,P ) =n∑

i=1

Mi4xi y L(A,P ) =n∑

i=1

mi4xi,

donde cada termino de las sumas representa el volumen de un cuerpo con area de la base mi o Mi y alturaxi − xi−1 = 4xi .

Fig. 14.1. Volumenes por exceso y por defecto.

Por tanto, ambas sumas corresponden a volumenes que aproximan por exceso y por defecto, respectivamente,al verdadero volumen de S (fig 14.1).

Considerando todas las particiones de [a, b] y razonando de forma analoga a como se hizo en el Tema 13,para la construccion de la integral de Riemann, estamos en condiciones de dar la siguiente definicion:

Definicion 294.- Sea S un solido acotado comprendido entre los planos x = a y x = b . Para cada x ∈ [a, b] ,sea A(x) el area de la seccion que produce sobre S el plano perpendicular al eje de abcisas en el punto x . SiA(x) es continua en [a, b] definimos el volumen de S como

V(S) =∫ b

a

A(x) dx.

Nota: Podemos dar definiciones analogas si tomamos secciones perpendiculares al eje y o al eje z .

Ejemplo Hallar el volumen del solido S ={(x, y, z) ∈ IR3 : x, y, z ≥ 0; x + y + z ≤ 1

}.

El solido S es la parte del primer octante limitada por el plano x+y+z = 1, es decir, el tetraedro (piramidede base triangular) cuyas caras son los planos coordenados y el plano x + y + z = 1.Las secciones formadas por planos perpendiculares al eje x sontriangulos y su area, para cada x , es A(x) = base(x)×altura(x)

2 .Para cada x de [0, 1], la base del triangulo es la coordenada y de

la recta interseccion de los planos{

x + y + z = 1z = 0 , luego base(x) =

y = 1 − x . La altura es la coordenada z de la recta interseccion de

los planos{

x + y + z = 1y = 0 , luego altura(x) = z = 1− x . Por tanto,

A(x) = (1−x)(1−x)2 y

V (S) =∫ 1

0

A(x) dx =∫ 1

0

(1− x)2

2dx =

(− (1− x)3

6

)]1

0

=16 4

z=1−x

A(x)

y=1−x

1

1

1

14.2.1 Volumenes de revolucion

Un caso particular de gran importancia de la definicion anterior es el de los solidos de revolucion, es decir,solidos generados al girar respecto a un eje.

Supongamos dada una funcion f : [a, b] −→ IR y consideremos la region limitada por la curva y = f(x) eleje de abcisas y las rectas x = a y x = b (como e la figura inical del tema). Una rotacion completa de estaalrededor del eje de abcisas produce un solido S para el cual, cada seccion es un cırculo de radio f(x) (o |f(x)|si la funcion es negativa, ver la figura anexa al ejemplo siguiente de la esfera) y por tanto, su area sera

A(x) = πf2(x).


154 – Matematicas I : Calculo integral en IR 14.3 Otras aplicaciones

En consecuencia, el volumen se obtendra de

V (S) =∫ b

a

πf2(x) dx = π

∫ b

a

f2(x) dx.

Ejemplo Hallar el volumen de la esfera x2 + y2 + z2 ≤ 4.La esfera es claramente un solido de revolucion, pues si gira-mos el cırculo maximo se genera una esfera. De hecho, bastagirar el cırculo maximo media vuelta para conseguirla, o daruna vuelta completa a uno de los semicırculos.Como el circulo maximo, interseccion de la esfera con el planoy = 0, tiene por ecuacion (en el plano xz ) a x2 + z2 = 4, ob-tenemos la esfera al girar una rotacion completa la superficieencerrada por la semicircunferencia superior, z =

√4− x2 .

Para cada x ∈ [−2, 2], el area de la seccion generada esA(x) = π(

√4− x2)2 = π(4 − x2), con lo que el volumen

sera

V (S) = π

∫ 2

−2

(4−x2) dx = π

(4x− x3

3

)]2

−2

= π323

=43π23,

como ya sabıamos. 4

Observaciones 295.- ? Analogamente, si tenemos una funcion x = f(y) y hacemos rotar su grafica alre-dedor del eje de ordenadas, el volumen del solido sera

V (S) = π

∫ d

c

f2(y) dy.

donde c y d son los extremos de variacion de y .

? En el caso mas general, los volumenes de los cuerpos engendrados por la rotacion de una figura limitadapor las curvas continuas y = f(x), y = g(x) (donde 0 ≤ g(x) ≤ f(x) o f(x) ≤ g(x) ≤ 0) y por lasrectas x = a e x = b alrededor del eje de abcisas es

V (S) = π

∫ b

a

f2(x) dx− π

∫ b

a

g2(x) dx = π

∫ b

a

(f2(x)− g2(x)

)dx.

Nota: Si sucede que g(x) ≤ 0 ≤ f(x), al girar alrededor del eje de abcisas la superficie comprendida entre

las graficas, debe tenerse en cuenta unicamente la superficie (por encima o por debajo del eje de giro) demayor radio de giro, pues el volumen que engendra al girar la parte mayor contiene al volumen engendradopor la parte menor. Es decir, si |g(x)| ≤ |f(x)| se gira solo la parte superior y si |g(x)| ≥ |f(x)| se giraunicamente la parte inferior.

14.3 Otras aplicaciones

14.3.1 Longitudes de arcos

La integral definida se puede usar tambien para encontrar la longitud de una curva dada por la grafica de unafuncion f(x) derivable y con derivada continua en [a, b] .

Definicion 296.- Sea f : [a, b] −→ IR derivable y con derivada continua en [a, b] , entonces la longitud L de dela grafica de f , esta dada por

L =∫ b

a

√1 + (f ′(x))2 dx.

Sin una justificacion completa, esta definicion se obtiene de lo siguiente: sea P = {a = x0, x1, ..., xn = b}una particion del intervalo [a, b] y denotemos por Pxi = (xi, f(xi)) al punto correspondiente de la grafica de f ,entonces la longitud la lınea poligonal, L(QP ), formada por los n segmentos rectilineos, Pxi−1Pxi , que unen


155 – Matematicas I : Calculo integral en IR 14.3 Otras aplicaciones

Px0

Pxi−1

Pxi

Pxn

a b

Fig. 14.2.

los puntos consecutivos de la grafica es una aproximacion por defecto (la recta es mas corta que el arco, verfigura aneja) de la longitud de la curva, L(f). Es decir,

L(QP ) =n∑

i=1

L(Pxi−1Pxi

)=

n∑

i=1

√(xi − xi−1)2 +

(f(xi)− f(xi−1)

)2 ≤ L(f)

Por el teorema del valor medio de Lagrange, en cada subintervalo [xi−1, xi] existe un ei ∈ (xi−1, xi) tal quef(xi)− f(xi−1) = f ′(ei)(xi − xi−1), luego

L(QP ) =n∑

i=1

√(xi − xi−1)2 +

(f ′(ei)(xi − xi−1)

)2 =n∑

i=1

√1 +

(f ′(ei)

)2(xi − xi−1) 〈14.1〉

Para particiones mas finas P ⊆ P1 ⊆ P2 se verifica que L(Qp) ≤ L(QP1) ≤ L(QP2) por lo que si tomamosparticiones cada vez mas finas se tendra que L(QP ) −→ L(f).

Por otra parte, la expresion final de 〈14.1〉 es la suma de Riemann de la funcion g(x) =√

1 + (f ′(x))2 , en

la particion P y el conjunto E , es decir S(g, P,E) =n∑

i=1

√1 + (f ′(ei))2(xi − xi−1) =

n∑i=1

√1 + (f ′(ei))24xi .

Y como f ′ es continua en [a, b] , la funcion g es continua e integrable en [a, b] , de donde

S(g, P,E) =n∑

i=1

√1 + (f ′(ei))24xi −→

∫ b

a

√1 + (f ′(x))2 dx.

Ejemplo Determinar la longitud del arco de la grafica de f(x) = x32 sobre el intervalo [0, 4].

Solucion:f es continua en [0, 4] y f ′(x) = 3

2x12 es tambien continua en [0, 4], luego

L =∫ 4

0

√1 +

(32x

12

)2

dx =∫ 4

0

12√

4 + 9x dx =(4 + 9x)

32

27

]4

0

=40

32 − 4

32

27. 4

14.3.2 Area de una superficie de revolucion

Definicion 297.- Sea f : [a, b] −→ IR con derivada continua en [a, b] , entonces el area de la superficie engendradapor la rotacion alrededor del eje de abcisas del arco de curva f(x) entre x = a y x = b , se obtiene de

S = 2π

∫ b

a

f(x)√

1 + (f ′(x))2 dx.

Ejemplo Calcular el area de la superficie esferica x2 + y2 + z2 = 4.Solucion:

La esfera es una superficie de revolucion obtenida al girar el arco de curva y =√

4− x2 en el intervalo[−2, 2]. Luego

S = 2π

∫ 2

−2

√4− x2

√1 +

( −x√4− x2

)2

dx = 2π

∫ 2

−2

2 dx = 16π. 4



14.4 Ejercicios

14.184 Hallar el area de la figura limitada por la curva y = x(x− 1)(x− 2) y el eje de abcisas.

14.185 Probar que el area encerrado por la curva f(x) = pxn , con x ∈ [0, a] , p ∈ IR y n ∈ IN es a|f(a)|n+1 .

14.186 Calcular el area de la figura limitada por la curva y = x3 , la recta y = 8, y el eje OY .

14.187 Calcular el area de la figura limitada por la curva y3 − y + 2 = x , la recta x = 8, y el eje OX .

14.188 Hallar el area encerrado por la elipse x2

a2 + y2

b2 = 1.

14.189 Hallar el area de la figura comprendida entre las parabolas y = x2 , y = x2

2 , y la recta y = 2x .

14.190 Calcular el area de las dos partes en que la parabola y2 = 2x divide al cırculo x2 + y2 = 8.

14.191 Calcular el area de la figura limitada por la hiperbola x2

a2 − y2

b2 = 1 y la recta x = 2a .

14.192 Calcular el area de cada una de las partes en que las curvas 2y = x2 y 2x = y2 dividen al cırculox2 + y2 ≤ 3.

14.193 Calcular el area limitada por las curvas f(x) = ex

1+ex y g(x) = 1(x+1)2+1) cuando x ∈ [0, 1].

14.194 Calcular el area encerrada por la curva y =√

1− x2 + arcsen√

x y el eje de abcisas.(Nota: Estudiar el dominio y el signo de la funcion.)

14.195 La curva que aparece en la figura de la derecha, llamada astroide, viene dadapor la ecuacion

x23 + y

23 = a

23

Hallar el area encerrada por la astroide.(Nota: Se sugiere el cambio x = a sen3 t o x = a cos3 t .)

14.196 Calcular el area de la figura limitada por la curva a2y2 = x2(a2 − x2).

a−a

x23 + y

23 = a

23

14.197 Calcular el area de la figura comprendida dentro de la curva (x5 )2 + (y

4 )23 = 1.

14.198 Comprobar usando la integracion, que el volumen de una esfera de radio r es 43πr3

14.199 Hallar el volumen del elipsoide x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 = 1.

14.200 Considerar el solido V formado al cortar el cilindro x2 +y2 ≤ 22 por losplanos z = 0 e y+z = 2 (ver la figura de la derecha), que analıticamenteviene descrito por:

V ={(x, y, z) : x2 + y2 ≤ 22; 0 ≤ z ≤ 2− y

}

Describir y calcular el area de las secciones de V perpendiculares a cadauno de los ejes.Calcular el volumen de V mediante las secciones correspondientes a dosde los ejes.

14.201 Hallar el volumen encerrado por el paraboloide elıptico y2

4 + z2

6 = x y limitado por el plano x=5.

14.202 Hallar el volumen del elipsoide, engendrado por la rotacion de la elipse x2

a2 + y2

b2 = 1 alrededor del eje OX .

14.203 Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OY , la parte de la parabola y2 = 12x ,que intercepta la recta x = 3.



14.204 Hallar volumen del toro engendrado por la rotacion del cırculo (x− b)2 + y2 ≤ a2 , con b > a , alrededordel eje OY .

14.205 La recta x = 2 divide al cırculo (x− 1)2 + y2 ≤ 4 en dos partes.

a) Calcular el volumen generado al girar alrededor de la recta y = 0 la parte de mayor area.

b) Calcular el volumen generado al girar alrededor de la recta x = 0 la parte de mayor area.

c) Calcular el volumen generado al girar alrededor de la recta x = 2 la parte de menor area.

14.206 Considerar las curvas y = sen(x) e y = sen(2x) en el intervalo [0, π] .

a) Hallar el area de la region encerrada entre las dos curvas.

b) Hallar el area de cada uno de los trozos en que la recta y = 12 divide a la region encerrada entre las

dos curvas.

c) Si giramos ambas curvas alrededor de la recta y = 12 , ¿cual de las dos engendrara mayor volumen?

14.207 Hallar el volumen de la parte del hiperboloide de una hoja S = {x2

a2 + y2

a2 − z2

c2 ≤ 1; 0 ≤ z ≤ h} .

14.208 Hallar el volumen del cono elıptico recto, de base una elipse de semiejes a y b y cuya altura es h .

14.209 Hallar el volumen del cuerpo limitado por la superficies de los cilindrosparabolicos z = x2 y z = 1 − y2 (ver figura de la derecha) a partir delas areas formadas al seccionar el cuerpo por planos paralelos al planoz = 0.

14.210 Hallar el volumen del cuerpo limitado por los cilindros: x2 + z2 = a2 e y2 + z2 = a2 .

14.211 Calcular el volumen de cada una de las partes en que queda dividido un cilindro circular recto de radio 2y de altura 8 por un plano que, conteniendo un diametro de una de las bases, es tangente a la otra base.

14.212 Sobre las cuerdas de la astroide x23 +y

23 = 2

23 , paralelas al eje OX , se han construido unos cuadrados, cuyos

lados son iguales a las longitudes de las cuerdas y los planos en que se encuentran son perpendiculares alplano XY . Hallar el volumen del cuerpo que forman estos cuadrados.

14.213 El plano de un triangulo movil permanece perpendicular al diametro fijode un cırculo de radio a . La base del triangulo es la cuerda correspon-diente de dicho cırculo, mientras que su vertice resbala por una rectaparalela al diametro fijo que se encuentra a una distancia h del planodel cırculo. Hallar el volumen del cuerpo (llamado “conoide”, ver figuraaneja) engendrado por el movimiento de este triangulo desde un extremodel diametro hasta el otro.

14.214 Un cırculo deformable se desplaza paralelamente al plano XZ de talforma, que uno de los puntos de su circunferencia descansa sobre eleje OY y el centro recorre la elipse x2

a2 + y2

b2 = 1. Hallar el volumen delcuerpo engendrado por el desplazamiento de dicho cırculo.

14.215 Sea S el recinto del plano limitado por la parabola y = 4 − x2 y el eje de abscisas. Para cada p > 0consideramos los dos recintos en que la parabola y = p x2 divide a S ,

A(p) = {(x, y) ∈ S : y ≥ p x2} y B(p) = {(x, y) ∈ S : y ≤ p x2}.a) Hallar p para que las areas de A(p) y B(p) sean iguales.

b) Hallar p para que al girar A(p) y B(p) alrededor del eje de ordenadas obtengamos solidos de igualvolumen.

14.216 Hallar el perımetro de uno de los triangulos curvilıneos limitado por el eje de abscisas y las curvasy = ln | cos x| e y = ln | sen x| .



14.217 Hallar la longitud del arco y = arcsen(e−x) desde x = 0 hasta x = 1.

14.218 Calcular la longitud del arco de la curva x = ln(sec y), comprendido entre y = 0 e y = π3 .

14.219 Hallar el area de la superficie del toro engendrado por la rotacion de la circunferencia (x− b)2 + y2 = a2 ,con b > a , alrededor del eje OY .



Tema 15

Integrales impropias

15.1 Introduccion

En el tema anterior se ha definido la integral de Riemann con las siguientes hipotesis

? Dom(f) = [a, b] es un conjunto acotado.

? f : [a, b] −→ IR esta acotada en [a, b] .

Si alguna de estas condiciones no se cumple denominaremos a la integral correspondiente integral impropia.

15.2 Integrales impropias de primera especie

Definicion 298.- Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t] , para todo t ≥ a , y sea entonces F : [a,+∞) −→ IR

la funcion definida por F (t) =∫ t

a

f(x) dx .

El par (f, F ) se denomina integral impropia de primera especie en [a,+∞) y se designa por

∫ +∞

a

f(x) dx o∫ +∞

a

f.

Definicion 299.- Diremos que la integral impropia∫ +∞

a

f(x) dx es convergente si existe y es finito

lımt→+∞

F (t) = lımt→+∞

∫ t

a

f(x) dx

y si ese lımite es L se dice que el valor de la integral impropia es L . Es decir,

L =∫ +∞

a

f(x) dx.

Si el lımite anterior es infinito (∞ o −∞) se dice que la integral impropia es divergente (hacia ∞ o hacia−∞), y si no existe se dice que es oscilante.

De forma analoga se definen las integrales impropias de primera especie en intervalos de la forma (−∞, b]para funciones f : (−∞, b] −→ IR integrables en [t, b] , para todo t ∈ IR , y las representamos por

∫ b

−∞f(x) dx o

∫ b

−∞f.

Ejemplo La integral∫ ∞

1

x dx es divergente, pues lımt→+∞

∫ t

1

x dx = lımt→+∞

(x2

2

]t

1= lım

t→+∞t2

2 − 12 = +∞ 4


0

sen x dx es oscilante, pues lımt→+∞

∫ t

0

sen x dx = lımt→+∞

(cos x]t0 = lımt→+∞

cos t − 1 y

este ultimo lımite no existe 4

Ejemplo

∫ 0

−∞1

1+x2 dx converge a π2 , pues lım

t→−∞

∫ 0

t

11+x2 dx = lım

t→−∞(arctg x]0t = lım

t→−∞0− arctg t = π

2 4


160 – Matematicas I : Calculo integral en IR 15.2 Integrales impropias de primera especie

Ejemplo 300 Estudiar el caracter de∫ ∞

1

dxxα , para α ∈ IR .

Como la funcion tiene primitivas distintas para α = 1 y α 6= 1, las estudiamos por separado:

Si α = 1,

lımt→+∞

∫ t

1

1x

dx = lımt→+∞

(ln x

]t

1= lım

t→+∞(ln t− ln 1) = lım

t→+∞ln t = +∞,

luego diverge.

Si α 6= 1,

lımt→+∞

∫ t

1

x−αdx = lımt→+∞

(x−α+1

−α + 1

]t

1

= lımt→+∞

(t−α+1

−α + 1− 1−α+1

−α + 1

)= lım

t→+∞t1−α − 11− α

={ −1

1−α , si α > 1+∞, si α < 1

luego diverge si α < 1 y converge si α > 1.

Resumiendo,∫ ∞

1

dxxα diverge si α ≤ 1 y converge si α > 1. En este ultimo caso,

∫ ∞

1

dxxα = 1

α−1 . 4

Definicion 301.- Sea f : IR −→ IR integrable en todo intervalo cerrado de IR . Diremos que∫ +∞

−∞f(x) dx es

convergente si existe algun a ∈ IR tal que las integrales∫ a

−∞f(x) dx y

∫ +∞

a

f(x) dx,

son ambas convergentes. En ese caso su valor es∫ +∞

−∞f(x) dx =

∫ a

−∞f(x) dx +

∫ +∞

a

f(x) dx

Ejemplo Como∫ 0

−∞1

1+x2 dx = π2 y

∫ ∞

0

11+x2 dx = lım

t→∞

∫ t

0

11+x2 dx = lım

t→∞(arctg x]t0 = lım

t→∞arctg t− 0 = π

2 ,

la integral∫ ∞

−∞1

1+x2 dx converge y∫ ∞

−∞1

1+x2 dx =∫ 0

−∞1

1+x2 dx +∫ ∞

0

11+x2 dx = π

2 + π2 = π 4

Observaciones:

1.- Sea f : IR −→ IR integrable en todo intervalo cerrado de IR . El caracter de∫ +∞

−∞f(x) dx no depende del

punto a dado en la definicion.

Y si la integral es convergente, su valor no depende del punto elegido ya que, para cualquier b ∈ IR ,

∫ a

−∞f +

∫ ∞

a

f =∫ b

−∞f +

∫ a

b

f +∫ b

a

f +∫ ∞

b

f =∫ b

−∞f +

∫ ∞

b

f.

2.- Sea f : IR −→ IR integrable en todo intervalo cerrado. Si∫ ∞

−∞f converge, entonces

∫ +∞

−∞f = lım

t→+∞

∫ t

−t

f .

La implicacion contraria es falsa. Es decir, puede existir ese lımite y la integral ser divergente.

Contraejemplo

∫ +∞

−∞2x dx no es convergente, pues

∫ ∞

0

2x dx = lımt→+∞

∫ t

0


(x2

]t

0= lım

t→+∞t2 = +∞

es divergente, sin embargo

lımt→+∞

∫ t

−t


(x2

]t

−t= lım

t→+∞t2 − (−t)2 = 0. 4

Al valor del lımt→+∞

∫ t

−t

f(x)dx se le denomina Valor Principal de Cauchy, y suele denotarse por V P

∫ +∞

−∞f



Definicion 302.- Diremos que dos integrales impropias tienen el mismo caracter, y lo representaremos por“∼”, si son simultaneamente convergentes, divergentes u oscilantes.

Propiedades 303.-

1.- Sea f : [a,+∞) −→ IR integrable en [a, t] para todo t ≥ a y sea b ≥ a . Entonces

∫ +∞

a

f(x)dx ∼∫ +∞

b

f(x)dx.

2.- Sea f : [a,+∞) −→ IR integrable en [a, t] , ∀ t ≥ a y λ ∈ IR , con λ 6= 0. Entonces

∫ +∞

a

f(x) dx ∼∫ +∞

a

λf(x) dx.

3.- Sean f, g: [a,+∞) −→ IR integrables en [a, t] , ∀ t ≥ a . Si∫ +∞

a

f y∫ +∞

a

g convergen, entonces:

∫ +∞

a

(f + g) converge y∫ +∞

a

(f + g)(x) dx =∫ +∞

a

f(x) dx +∫ +∞

a

g(x) dx.

Demostracion:1.- Como

lımt→+∞

∫ t

a

f(x) dx = lımt→+∞

(∫ b

a

f(x) dx +∫ t

b

f(x) dx

)=

∫ b

a

f(x) dx + lımt→+∞

∫ t

b

f(x) dx

el lımite de la izquierda es finito, infinito o no existe si el lımite de la derecha es finito, infinito o no existerespectivamente. Y viceversa.

2.- Como lımt→+∞

∫ t

a

λf(x) dx = λ lımt→+∞

∫ t

a

f(x) dx , ambos lımites son simultaneamente finitos, infinitos o no

existen.

3.- Basta considerar que lımt→+∞

∫ t

a

(f +g)(x) dx = lımt→+∞

∫ t

a

f(x) dx+ lımt→+∞

∫ t

a

g(x) dx , si los segundos lımites

existen.


2

x+2x3 dx es convergente, ya que x+2

x3 = 1x2 + 2 1

x3 y por las propiedades 303 ante-

riores,∫ ∞

2

1x2 dx

(P.1)∼∫ ∞

1

1x2 dx y

∫ ∞

2

2 1x3 dx

(P.2)∼∫ ∞

2

1x3 dx

(P.1)∼∫ ∞

1

1x3 dx , que son ambas convergentes

(ejemplo 300). Luego por la propiedad (P.3) la integral∫ ∞

2

x+2x3 dx es convergente por ser suma de integrales

convergentes y∫ ∞

2

x+2x3 dx =

∫ ∞

2

1x2 dx +

∫ ∞

2

2 1x3 dx 4

Proposicion 304.- Sea f : [a,+∞) −→ IR integrable en [a, t] para todo t ∈ [a,+∞). Si lımx→+∞

f(x) = L 6= 0

entonces∫ ∞

a

f(x) dx diverge. .

Observacion 305.- Como consecuencia de este resultado, si una funcion tiene lımite en +∞ , su integral solopuede ser convergente cuando el lımite es cero. (Si el lımite no existe no se puede asegurar nada.)

El recıproco de la proposicion 304 no es cierto, una integral puede ser divergente, aunque su lımite sea 0.

Contraejemplo

∫ ∞

1

dxx diverge (ver ejemplo 300) y sin embargo, lım

x→+∞1x = 0.



15.2.1 Criterios de comparacion para funciones no negativas

Lema 306.- Sea f : [a,+∞) −→ IR integrable y no negativa en [a, t] , para todo t ∈ IR . Entonces la funcion

F (t) =∫ t

a

f(x) dx es creciente en [a,+∞).

Demostracion:La funcion F es creciente ya que si t1, t2 ∈ [a, +∞), con t1 ≤ t2 , entonces

F (t2)− F (t1) =∫ t2

t1

f(x) dx ≥ 0

por ser f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, +∞).

Teorema 307.- Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable y no negativa en [a, t] , ∀t ∈ IR .

∫ +∞

a

f(x) dx es convergente ⇐⇒ F (t) =∫ t

a

f(x) dx esta acotada superiormente. .

Nota: En consecuencia, para funciones no negativas,∫ +∞

a

f(x) dx solo puede ser convergente o divergente.

Primer criterio de comparacion 308.- Sean f, g: [a,+∞) −→ IR integrables en [a, t] para todo t ≥ a y su-pongamos que existe b > a tal que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x ≥ b . Entonces:

a) Si∫ +∞

a

g(x) dx converge ⇒∫ +∞

a

f(x) dx tambien converge.

b) Si∫ +∞

a

f(x) dx diverge ⇒∫ +∞

a

g(x) dx tambien diverge.

Demostracion:Por la propiedad 1 de 303,

∫ +∞

a

f(x) dx ∼∫ +∞

b

f(x) dx y∫ +∞

a

g(x) dx ∼∫ +∞

b

g(x) dx,

luego basta probarlo en [b,+∞).

a) Si∫ +∞

b

g(x) dx converge, G(t) =∫ t

b

g(x) dx esta acotada superiormente.

Por ser 0 ≤ f(x) ≤ g(x), se tendra que

F (t) =∫ t

b

f(x) dx ≤∫ t

b

g(x) dx = G(t),

luego F (t) esta acotada superiormente y∫ +∞

b

f(x) dx es convergente.

b) Si∫ +∞

a

f(x) dx es divergente tambien lo es∫ +∞

b

f(x) dx y, por tanto, F (t) =∫ t

b

f(x) dx no esta acotada

superiormente. Como F (t) ≤ G(t), G no esta acotada superiormente y∫ +∞

b

g(x) dx es divergente, luego∫ +∞

a

g(x) dx es divergente.

Ejemplo

∫ ∞

1

1x2+1 dx es convergente, pues en [1,+∞), 0 < x2 < x2 + 1 de donde 0 < 1

1+x2 < 1x2 . Luego

∫ ∞

1

1x2+1 dx ≤

∫ ∞

1

1x2 dx y como la mayor es convergente, la menor tambien. 4



Ejemplo

∫ ∞

1

1x+1 dx es divergente, pues en [1,+∞), 0 < x+1 < x+x = 2x de donde 0 < 1

2x < 1x+1 . Luego

∫ ∞

1

12

1x dx ≤

∫ ∞

1

1x+1 dx y como la menor es divergente, la mayor tambien lo es. 4

Segundo criterio de comparacion 309.- Sean f, g: [a,+∞) −→ IR integrables en [a, t] , para todo t ≥ a y nonegativas. Supongamos que existe lım

x→+∞f(x)g(x) = L . Entonces:

a) Si 0 < L < +∞ =⇒∫ +∞

a

f(x) dx ∼∫ +∞

a

g(x) dx .

b) Si L = 0, se tiene:

[i] si∫ +∞

a

g(x) dx converge =⇒∫ +∞

a

f(x) dx converge.

[ii] si∫ +∞

a

f(x) dx diverge =⇒∫ +∞

a

g(x) dx diverge.

c) Si L = +∞ , se tiene:

[i] si∫ +∞

a

f(x) dx converge =⇒∫ +∞

a

g(x) dx converge.

[ii] si∫ +∞

a

g(x) dx diverge =⇒∫ +∞

a

f(x) dx diverge. .

Ejemplo

∫ ∞

2

1x2−√x

dx es convergente, pues [2, +∞) es positiva y lımx→+∞

1x2−√x

1x2

= lımx→+∞

x2

x2−√x= 1 6= 0.

Luego∫ ∞

2

1x2−√x

dx ∼∫ ∞

2

1x2 dx que converge. 4

Observacion:Aunque los criterios dados son validos unicamente para funciones positivas en un entorno de +∞ , teniendo en

cuenta que∫ +∞

a

f ∼∫ +∞

a

−f , para las funciones negativas basta estudiar el caracter de∫ +∞

a

− f .

15.2.2 Convergencia absoluta

Definicion 310.- Sea f : [a,+∞) −→ IR integrable en [a, t] para todo t ≥ a . Diremos que∫ +∞

a

f(x)dx es

absolutamente convergente si∫ +∞

a

|f(x)|dx converge.

Teorema 311.- Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t] para todo t ≥ a .

Si∫ ∞

a

|f(x)|dx converge, entonces∫ +∞

a

f(x)dx converge.

En otras palabras, si una integral impropia converge absolutamente entonces converge.

Demostracion:Para todo x ∈ [a,+∞) se tiene −|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)| , luego 0 ≤ f(x) + |f(x)| ≤ 2|f(x)| . Entonces, si∫ +∞

a

|f(x)|dx converge se tiene que∫ +∞

a

(|f(x)|+ f(x)) dx es convergente y, por tanto, aplicando al propiedad

3 de 303, se tiene que ∫ +∞

a

f(x)dx =∫ +∞

a

(f(x) + |f(x)|) dx−∫ +∞

a

|f(x)|dx

converge.


164 – Matematicas I : Calculo integral en IR 15.3 Integrales impropias de segunda especie

Nota: El recıproco no es cierto.

Contraejemplo

∫ ∞

π

sen xx dx converge pero no converge absolutamente.

Veamos que∫ ∞

π

sen xx dx converge.

∫ ∞

π

sen x

xdx = lım

t→+∞

∫ t

π

sen x

xdx =−→

{u = 1

xdv = sen x dx

} {du = −1

x2 dxv =− cos x

}−→

= lımt→+∞

((− cos x

x

]t

π

−∫ t

π

cos x

x2dx

)= lım

t→+∞

(1π− − cos t

t

)− lım

t→+∞

∫ t

π

cosx

x2dx

=1π−

∫ ∞

π

cos x

x2dx

Como | cos x|x2 ≤ 1

x2 y∫ ∞

π

1x2 dx converge,

∫ ∞

π

cos xx2 dx converge absolutamente, luego converge y, por tanto

∫ ∞

π

sen x

xdx =

1π−

∫ ∞

π

cos x

x2dx

converge.

Veamos que no converge absolutamente. Si∫ ∞

π

| sen x|x dx convergiera, entonces

∫ ∞

π

| cos x|x dx convergerıa,

puesto que ∫ ∞

π

| cos x|x

dx =∫ ∞

π

| sen(x + π2 )|

xdx =

∫ ∞

3π2

| sen(t)|t− π

2

dt ∼∫ ∞

π

| sen t|t

dt

(por el segundo criterio de comparacion); en consecuencia,∫ ∞

π

| sen x|+| cos x|x dx convergerıa. Pero esto es absurdo

puesto que | sen x|+| cos x|x ≥ 1

x y como∫ ∞

π

1x dx diverge, necesariamente

∫ ∞

π

| sen x|+| cos x|x dx ha de ser divergente.

Luego∫ ∞

π

| sen x|x dx diverge y

∫ ∞

π

sen xx dx no converge absolutamente. 4

Observacion 312.- Los criterios establecidos para integrales impropias de primera especie en [a,+∞) ası comola convergencia absoluta admiten versiones analogas para integrales impropias de primera especie en (−∞, b](se construyen similarmente a como se hace en la seccion 15.3.1).

No obstante, si f : (−∞, b] −→ IR , la funcion g: [−b,+∞) −→ IR definida por g(x) = f(−x) verifica que∫ b

t

f(x)dx =∫ −t

−b

g(u)du , para todo t ∈ (−∞, b] , luego

∫ b

−∞f(x)dx ∼

∫ ∞

−b

g(u)du.

Puede, por tanto, estudiarse f(x) en (−∞, b] estudiando f(−x) en [−b,+∞).

Ejemplo Estudiar el caracter de∫ −1

−∞1x2 dx .

Como∫ +∞

−(−1)

1(−x)2 dx =

∫ +∞

1

1x2 dx que converge, la integral

∫ −1

−∞1x2 dx converge.

15.3 Integrales impropias de segunda especie

Definicion 313.- Sea f : (a, b] −→ IR integrable en [t, b] , para todo t ∈ (a, b] , y no acotada. Sea F : (a, b] −→ IR

la funcion definida por F (t) =∫ b

t

f(x)dx .

El par (f, F ) se denomina integral impropia de segunda especie en (a, b] y se designa por

∫ b

a+f(x)dx o

∫ b

a+f.



Definicion 314.- Diremos que la integral impropia∫ b

a+f(x)dx es convergente si existe y es finito

lımt→a+

F (t) = lımt→a+

∫ b

t

f(x)dx

y si ese lımite es L se dice que el valor de la integral impropia es L , es decir,

L =∫ b

a+f(x)dx.

Si el lımite anterior es infinito se dice que la integral impropia es divergente y si no existe se denominaoscilante.

De forma analoga se definen las integrales impropias de segunda especie en intervalos de la forma [a, b) parafunciones f : [a, b) −→ IR integrables en [a, t] , ∀t ∈ [a, b) y no acotadas. Las representaremos por

∫ b−

a

f(x)dx o∫ b−

a

f.

Definicion 315.- Sea f : (a, b) −→ IR integrable en todo intervalo cerrado contenido en (a, b) y no acotada.

Diremos que∫ b−

a+f(x)dx es convergente si existe algun c ∈ IR tal que las integrales

∫ c

a+f(x)dx y

∫ b−

c

f(x)dx

son ambas convergentes. En ese caso su valor es

∫ b−

a+f(x)dx =

∫ c

a+f(x)dx +

∫ b−

c

f(x)dx.

Ejemplo 316 Estudiar el caracter de∫ b

a+

dx(x−a)α y de

∫ b−

a

dx(b−x)α , para los α ∈ IR .

Solucion:Si α = 1,

lımt→a+

∫ b

t

dx

x− a= lım

t→a+

(ln |x− a|

]b

t= lım

t→a+

(ln |b− a| − ln |t− a|

)= +∞

lımt→b−

∫ t

a

dx

b− x= lım

t→b−

(− ln |b− x|

]t

a= lım

t→b−

(ln |b− a| − ln |b− t|

)= +∞

Si α 6= 1,

lımt→a+

∫ b

t

dx

(x− a)α= lım

t→a+

(1

1− α

1(x− a)α−1

]b

t

= lımt→a+

11− α

(1

(b− a)α−1− 1

(t− a)α−1

)=

{ 1(1−α)(b−a)α−1 , si α < 1

+∞, si α > 1

lımt→bb

∫ t

a

dx

(b− x)α= lım

t→b−

( −11− α

1(b− x)α−1

]t

a

= lımt→b−

1α− 1

(1

(b− t)α−1− 1

(b− a)α−1

)=

{ 1(1−α)(b−a)α−1 , si α < 1

+∞, si α > 1

luego converge si α < 1 y diverge si α ≥ 1.

Analogamente se hace la segunda, y se obtiene que∫ b−

a

dx(b−x)α converge si α < 1 y diverge si α ≥ 1.

15.3.1 Criterios de comparacion para funciones no negativas

Las integrales impropias de segunda especie para funciones no negativas, admiten criterios analogos a los dadospara las integrales de primera especie. En este sentido, observese que el Teorema 318 siguiente es identico a suhomologo para integrales de primera especie.



Por ello, enunciaremos los criterios omitiendo sus demostraciones, que tienen un desarrollo parejo a lasdemostraciones de los criterios para las integrales de primera especie. Vease la observacion 322 posterior, que“identifica” las integrales de segunda especie con las de primera especie, donde se aporta mas informacion sobreestos comentarios.

Lema 317.- Sea f : (a, b] −→ IR integrable en [t, b] , para todo t ∈ (a, b] , no negativa y no acotada. Entonces,

la funcion F (t) =∫ b

t

f(x)dx es decreciente.

Teorema 318.- Sea f : (a, b] −→ IR integrable en [t, b] , para todo t ∈ (a, b] , no negativa y no acotada. Entonces

∫ b

a+f(x)dx es convergente ⇐⇒ F (t) =

∫ b

t

f(x)dx esta acotada superiormente. .

Primer criterio de comparacion 319.- Sean f, g: (a, b] −→ IR integrables en [t, b] , para todo t ∈ (a, b] , y noacotadas. Supongamos que existe c ∈ (a, b] tal que 0 ≤ f(x) ≤ g(x), para todo x ∈ (a, c] , entonces

a) Si∫ b

a+g(x)dx converge =⇒

∫ b

a+f(x)dx tambien converge.

b) Si∫ b

a+f(x)dx diverge =⇒

∫ b

a+g(x)dx tambien diverge.

Segundo criterio de comparacion 320.- Sean f, g: (a, b] −→ IR integrables en [t, b] , para todo t ∈ (a, b] , nonegativas y no acotadas. Supongamos que existe y es finito lım

x→a+

f(x)g(x) = L . Entonces:

a) Si L 6= 0 entonces,∫ b

a+f(x)dx ∼

∫ b

a+g(x)dx .


[i] Si∫ b

a+g(x)dx converge =⇒

∫ b

a+f(x)dx tambien converge.

[ii] Si∫ b

a+f(x)dx diverge =⇒

∫ b

a+g(x)dx tambien diverge.

Teorema 321.- (Convergencia absoluta.)Sea f : (a, b] −→ IR integrable en [t, b] , ∀t ∈ (a, b] , y no acotada.

Si∫ b

a+|f(x)|dx convergente =⇒

∫ b

a+f(x)dx es convergente.

Nota: Tambien pueden darse enunciados analogos para integrales impropias de segunda especie en [a, b).

Observacion 322.- Cualquier integral impropia de segunda especie puede transformarse mediante un cambiode variable adecuado en una integral impropia de primera especie:

Segunda especie Cambio de variable Primera especie

∫ b

a+f(x)dx t = 1

x−a

∫ +∞

1b−a

f( 1t +a)

t2 dt

∫ b−

a

f(x)dx t = 1b−x

∫ +∞

1b−a

f(b− 1t )

t2 dt



Por consiguiente, como ya anunciabamos, los teoremas y criterios de comparacion estudiados para las in-tegrales impropias de primera especie admiten enunciados analogos para las integrales impropias de segundaespecie.

Las demostraciones pueden hacerse utilizando los cambios de variable arriba indicados y los resultados yaconocidos referentes a las integrales impropias de primera especie, o bien siguiendo los mismos pasos de lasdemostraciones realizadas en la subseccion 15.2.1.

15.4 Ejercicios

15.220 Calcular el valor de∫ +∞

−∞dx

1+x2 .

15.221 Calcular∫ +∞

0

e−xdx y∫ 0

−∞exdx .

15.222 Estudiar el caracter de∫ +∞

−∞2x−11+x2 dx y hallar V P

∫ +∞

−∞2x−11+x2 dx .

15.223 Probar que∫ +∞

0

dxxα diverge para cualquier α ∈ IR .

15.224 Probar que∫ +∞

−∞sen xdx no es convergente. ¿Existe V P

∫ +∞

−∞sen xdx?

15.225 Estudiar el caracter de las siguientes integrales, segun los valores de a .

a)∫ +∞

a

sen2 xx2 dx .

b)∫ +∞

a

dxln x , para a > 1.

15.226 Responder razonadamente, sobre la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) Si f : [a,+∞) −→ IR , es integrable en [a, t] para todo t ∈ [a,+∞), y lımx→+∞

f(x) = 0, entonces∫ +∞

a

f(x)dx converge.

b) Si f : [a,+∞) −→ IR , es continua y lımx→+∞

f(x) = 0, entonces∫ ∞

a

f(x)dx converge.

c) Si f : [a,+∞) −→ IR , es derivable, creciente y acotada entonces∫ ∞

a

f ′(x)dx converge.

d) Si∫ ∞

a

f(x)dx es convergente, entonces∫ 1000

a

f(x)dx ≤∫ ∞

a

f(x)dx .

e) Si∫ ∞

a

(f(x) + g(x))dx converge, entonces∫ ∞

a

f(x)dx y∫ ∞

a

g(x)dx convergen necesariamente.

f) Si∫ 1

0

f(x)dx y∫ 1

0

g(x)dx convergen, entonces∫ 1

0

f(x)g(x)dx converge necesariamente.

15.227 Probar que si f y g son funciones positivas tales que∫ ∞

a

f(x)dx y∫ ∞

a

g(x)dx convergen y existe, cuando

x →∞ , el lımite de una de las funciones, entonces∫ ∞

a

f(x)g(x)dx converge.



15.228 Estudiar el caracter de las integrales siguientes:

a)∫ ∞

0

(2 + sen x)dx b)∫ ∞

−∞e−xdx c)

∫ ∞

−∞e−x2

dx

d)∫ ∞

1

1ch xdx e)

∫ 0

−∞x2+1x4+1dx f)

∫ ∞

0

e2x(2x2 − 4x)dx

g)∫ 0

−∞e2x(2x2 − 4x)dx h)

∫ ∞

0

xe−x2dx i)

∫ ∞

0

sen3 x1+cos x+ex dx

j)∫ ∞

1

x1+x4 dx k)

∫ ∞

0

dx√x

l)∫ ∞

0

x ln x(1+x2)2 dx

m)∫ ∞

0

e−x sen xdx n)∫ 1

0

dx√x(1−x)

o)∫ 1

0

sen x+cos x√x(1−x)

dx

p)∫ π

0

dx1−cos x q)

∫ 1

0

ex

ex−1dx r)∫ π

2

0

ex√sen x

dx


a)∫ 1

0

sen xx2 dx b)

∫ π

0

sen2 2xx2 dx c)

∫ ∞

1

ln xx4−x3−x2+xdx

d)∫ √

2

0

x

(x2−1)45dx e)

∫ 2

1

dxx ln x f)

∫ ∞

0

dx

x+(x3+1)12

g)∫ +∞

1

sen2 1xdx h)

∫ 1

0

ln x ln(x + 1)dx i)∫ ∞

0

ex

ex+1dx.


a)∫ π

4

0

(1−tg x) sen x

( π4−x)

32 x

32

dx b)∫ √

22

0

π4−arcsen x

x12 ( 1√

2−x)

32dx

c)∫ ∞

0

ex

ex+1 − ex

ex−1dx d)∫ ∞

1

arctg(x−1)3√

(x−1)4dx

e)∫ 1

0

sen3(x−1)x ln3 x

dx f)∫ ∞

0

√x sen 1

x2

ln(1+x) dx

g)∫ π

4

0

(1−e−x2

x2 cos x − 1)

dx h)∫ π

2

π4

(1−e−x2

x2 cos x − 1)

dx

i)∫ π

0

1+ x2− x2

8 −√

1+sen x

x72

dx j)∫ ∞

0

sen x arctg13 (x−1)

(x−1)23 sh x

dx.

15.231 Encontrar los valores de a , para que las integrales siguientes sean convergentes.

a)∫ π

2

0

1−cos xxa dx b)

∫ ∞

2

(ax

x2+1 − 12x+1

)dx c)

∫ ∞

0

1−e1√x

xa dx

d)∫ ∞

0

x−sen xxa dx e)

∫ ∞

0

(1√

1+2x2 − ax+1

)dx f)

∫ ∞

0

dxx1−a 3√1−x2

g)∫ ∞

0

xa sen xdx h)∫ ∞

a

sen2 xx2−1 dx i)

∫ ∞

a

xa

x4−1dx

15.232 Se define la funcion beta por B(p, q) =∫ 1

0

xp−1(1− x)q−1dx . Encontrar los valores reales de p y q para

los que la funcion B(p, q) esta definida.



15.233 Se define la funcion gamma por Γ(p) =∫ ∞

0

xpe−xdx .

a) Probar que esta funcion esta definida para todo p > −1.

b) Probar que se verifica la igualdad Γ(p + 1) = pΓ(p), para cualquier p .

c) Calcular, usando b),∫ ∞

0

x6e−xdx .

15.234 Sea f : [0,+∞) −→ IR . Se define la funcion transformada integral de Laplace de la funcion f , que

denotaremos por L{f} , como L{f(x)} = F (s) =∫ ∞

0

f(x)e−sxdx , siempre que la integral exista. Probarque:

a) Si f(x) = 1, F (s) = L{1} = 1s .

b) Si F (s) = L{f(x)} y G(s) = L{g(x)} , entonces, para todo λ, µ ∈ IR ,

L{λf(x) + µg(x)} = λL{f(x)}+ µL{g(x)}.

c) Si f es derivable y verifica que lımx→+∞

f(x)e−sx = 0, a partir de un cierto s , y existe L{f ′(x)} ,entonces

L{f ′(x)} = sL{f(x)} − f(0).

d) L{x} = 1s2 y que L{sen(ax)} = a

s2+a2 , usando el resultado del apartado c).



Anexo 3: Demostraciones

Integral de Riemann

Demostracion de: Propiedades 264 de la pagina 142

Propiedades 264.- Sea f : [a, b] −→ IR una funcion acotada.

a) Para toda P ∈ P[a, b] , se verifica que L(f, P ) ≤ U(f, P ).

b) Para todas P1, P2 ∈ P[a, b] con P1 ≤ P2 , se verifica que

L(f, P1) ≤ L(f, P2) y U(f, P2) ≤ U(f, P1).

c) Para cualesquiera P, Q ∈ P[a, b] , se verifica que L(f, P ) ≤ U(f, Q).

Demostracion:

a) Como mi ≤ Mi , para todo i , se tiene L(f, P ) =n∑

i=1

mi∆xi ≤n∑

i=1

Mi∆xi = U(f, P ).

b) Probaremos solo la desigualdad para las sumas superiores (la demostracion es analoga para las sumasinferiores).

Supongamos primero que P2 tiene exactamente un punto mas que P1 , es decir,

P1 ={a = x0, x1, . . . , xj−1, xj , . . . , xn = b} y P2 ={x0, x1, . . . , xj−1, c, xj , . . . , xn} .

Si M ′ = sup{f(x) : x ∈ [xj−1, c]} y M ′′ = sup{f(x) : x ∈ [c, xj ]} , se tiene que

U(f, P2) =j−1∑i=1

Mi∆xi + M ′(c− xj−1) + M ′′(xj − c) +n∑

i=j+1

Mi∆xi .

xj−1 c xj

Mj =M ′

m′ M ′′

mj =m′′

Fig. 15.1. Anadir un punto a la particion.

Como Mj = sup{f(x) : x ∈ [xj−1, xj ]} , es M ′ ≤ Mj y M ′′ ≤ Mj y por tanto

U(f, P2)≤j−1∑

i=1

Mi∆xi + Mj(c− xj−1) + Mj(xj − c) +n∑

i=j+1

Mi∆xi

=j−1∑

i=1

Mi∆xi + Mj∆xi +n∑

i=j+1

Mi∆xi = U(f, P1).


171 – Matematicas I : Calculo integral en IR Anexo 3

Supongamos ahora que P2 tiene exactamente k puntos mas que P1 . Construimos k particiones delintervalo [a, b] de forma que cada una de ellas contenga un punto mas que la anterior, P1 ≤ Q1 ≤ Q2 ≤· · · ≤ Qk−1 ≤ P2 . Entonces,

U(f, P2) ≤ U(f,Qk−1) ≤ · · · ≤ U(f, Q2) ≤ U(f,Q1) ≤ U(f, P1).

c) Si consideramos P∗ = P ∪Q , P∗ es una particion de [a, b] y se verifica que P ≤ P∗ y Q ≤ P∗ . Usandolas propiedades b), a) y b) en las desigualdades siguientes, se tiene

L(f, P ) ≤ L(f, P∗) ≤ U(f, P∗) ≤ U(f, Q).

Demostracion de: Propiedades 268 de la pagina 143

Propiedades 268.- Sean f, g: [a, b] −→ IR integrables en [a, b] , λ ∈ IR y a < c < b . Entonces

1.- f + g es integrable en [a, b] y∫ b

a

(f + g) =∫ b

a

f +∫ b

a

g .

2.- λf es integrable en [a, b] y∫ b

a

λf = λ

∫ b

a

f .

3.- f integrable en [a, b] si, y solo si, f es integrable en [a, c] y [c, b] .

En ese caso,∫ b

a

f =∫ c

a

f +∫ b

c

f .

Demostracion:

1.- Como f y g son integrables en [a, b] , existen P1 y P2 particiones de [a, b] , tales que U(f, P1)−L(f, P1) <ε2 y U(g, P2)− L(g, P2) < ε

2 ; luego tomando Pε = P1 ∪ P2 , al ser mas fina que P1 y P2 , se verifica que

U(f, Pε)− L(f, Pε) =n∑

i=1

(M ′i −m′

i)∆xi <ε

2U(g, Pε)− L(g, Pε) =

n∑

i=1

(M ′′i −m′′

i )∆xi <ε

2.

Sea Pε = {x0 < x1 < · · · < xn} , y sean mi y Mi el inferior y superior de f + g en [xi−1, xi] . Entonces,como m′

i ≤ f(x) ≤ M ′i y m′′

i ≤ g(x) ≤ M ′′i , se tiene que m′

i + m′′i ≤ f(x) + g(x) ≤ M ′

i + M ′′i , luego que

m′i + m′′

i ≤ mi ≤ Mi ≤ M ′i + M ′′

i . En consecuencia,

U(f + g, Pε)− L(f + g, Pε) =n∑

i=1

(Mi −mi)∆xi ≤n∑

i=1

((M ′

i + M ′′i )− (m′

i + m′′i )

)∆xi

=n∑

i=1

(M ′i −m′

i)∆xi +n∑

i=1

(M ′′i −m′′

i )∆xi <ε

2+

ε

2= ε.

2.- Basta con tener en cuenta que U(λf, P )− L(λf, P ) = λ(U(f, P )− L(f, P )

)y usar que f es integrable.

3.- Sea ε > 0. Si f integrable en [a, b] existe Pε ∈ P[a, b] tal que U(f, Pε)− L(f, Pε) < ε .

Anadiendo, si no esta, el punto c a Pε obtenemos la particion de [a, b]

P = {a = x0, x1, . . . , xi−1, c, xi, . . . , xn = b}mas fina que Pε , luego se verifica que U(f, P )− L(f, P ) ≤ U(f, Pε)− L(f, Pε) < ε .

Tomando P1 = {a, x1, . . . , xi−1, c} , particion de [a, c] y P2 = {c, xi, . . . , b} , particion de [c, b] , se verificaque

L(f, P ) = L(f, P1) + L(f, P2) y U(f, P ) = U(f, P1) + U(f, P2)

y, por tanto,U(f, P )− L(f, P ) = (U(f, P1)− L(f, P1)) + (U(f, P2)− L(f, P2)) < ε.

LuegoU(f, P1)− L(f, P1) < ε y U(f, P2)− L(f, P2) < ε.

Recıprocamente, si f es integrable en [a, c] y en [c, b] , existen P1 ∈ P[a, c] y P2 ∈ P[c, b] tales que



U(f, P1)− L(f, P1) < ε2 y U(f, P2)− L(f, P2) < ε

2 .

Tomando P = P1 ∪ P2 , se tiene que P ∈ P[a, b] y

U(f, P )− L(f, P ) = (U(f, P1)− L(f, P1)) + (U(f, P2)− L(f, P2)) < ε2 + ε

2 = ε ,

luego f es integrable en [a, b] .

Si denotamos por I1 =∫ c

a

f(x) dx , I2 =∫ b

c

f(x) dx e I =∫ b

a

f(x) dx , se tiene que

L(f, P ) ≤ I ≤ U(f, P ) L(f, P1) ≤ I1 ≤ U(f, P1) L(f, P2) ≤ I2 ≤ U(f, P2)

y, por tanto,|I − (I1 + I2)| ≤ U(f, P )− L(f, P ) < ε, ∀ε > 0.

En consecuencia, I = I1 + I2 .

Demostracion de: Proposicion 273 de la pagina 144

Proposicion 273.- Sea f : [a, b] −→ IR una funcion acotada. Entonces f es integrable en [a, b] y el valor de suintegral es I si y solo si para cada ε > 0 existe Pε ∈ P[a, b] tal que para toda P ≥ Pε y cualquier eleccion delconjunto E asociado a P se cumple que |S(f, P,E)− I| < ε .

Demostracion:

=⇒c Si f integrable en [a, b] e I =∫ b

a

f(x) dx , dado ε > 0 existe Pε ∈ P[a, b] tal que

U(f, Pε)− L(f, Pε) < ε.

Por otra parte, para cualesquiera P y E asociado a P , se cumple que

L(f, P ) ≤ S(f, P,E) ≤ U(f, P )

y queL(f, P ) ≤ I ≤ U(f, P ) o mejor − U(f, P ) ≤ −I ≤ −L(f, P ),

sumando ambas−(U(f, P )− L(f, P )) ≤ S(f, P,E)− I ≤ U(f, P )− L(f, P ),

de donde|S(f, P,E)− I| ≤ U(f, P )− L(f, P ), ∀P ∈ P[a, b].

En particular, si P ≥ Pε se tendra que

|S(f, P, E)− I| ≤ U(f, P )− L(f, P ) ≤ U(f, Pε)− L(f, Pε) < ε.

⇐=c Supongamos que dado ε > 0 existe Pε ∈ P[a, b] tal que para todo P ≥ Pε y cualquier eleccion de Easociado a P se tiene que |S(f, P, E)− I| < ε

4 .Aplicando el lema 272 a la particion Pε , existiran dos conjuntos E1 y E2 asociados a la particion tales que

S(f, Pε, E1)− L(f, Pε) <ε

4y U(f, Pε)− S(f, Pε, E2) <

ε

4,

entonces

|U(f, Pε)− L(f, Pε)| ≤ |U(f, Pε)− S(f, Pε, E2)|+ |S(f, Pε, E2)− I|++ |I − S(f, Pε, E1)|+ |S(f, Pε, E1)− L(f, Pε)|

<ε

4+

ε

4+

ε

4+

ε

4= ε.

Luego f es integrable en [a, b] y existe el valor de∫ b

a

f(x) dx . Veamos que∫ b

a

f(x) dx = I .

Existe Pε tal queU(f, Pε)− L(f, Pε) <

ε

2〈15.1〉



y que|S(f, Pε, E)− I| < ε

2〈15.2〉

(existen P1 y P2 verificando respectivamente 〈15.1〉 y 〈15.2〉 , luego Pε = P1 ∪ P2 verifica a la vez 〈15.1〉 y〈15.2〉). Como

L(f, Pε) ≤∫ b

a

f(x) dx ≤ U(f, Pε) y L(f, Pε) ≤ S(f, Pε, E) ≤ U(f, Pε)

se tiene que ∣∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx− S(f, Pε, E)

∣∣∣∣∣ ≤ U(f, Pε)− L(f, Pε) <ε

2

luego

−ε

2<

∫ b

a

f(x) dx− S(f, Pε, E) <ε

2,

y de 〈15.2〉 tenemos que−ε

2< S(f, Pε, E)− I <

ε

2,

sumando ambas

−ε <

∫ b

a

f(x) dx− I < ε

y, por tanto I =∫ b

a

f(x) dx .


Proposicion 276.- Sea f integrable en [a, b] , entonces |f | es integrable en [a, b] y se verifica que∣∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(x)| dx .

Demostracion:

Como |f(x)| ={

f(x), si f(x) ≥ 0−f(x), si f(x) < 0 , si tomamos las funciones definidas por

f+(x) ={

f(x), si f(x) ≥ 00, si f(x) < 0 y f−(x) =

{0, si f(x) > 0

−f(x), si f(x) ≤ 0 ,

entonces |f | = f+ + f− y sera integrable si f+ y f− son integrables.

Veamos que f+ es integrable en [a, b] :

f es integrable, luego existe Pε tal que U(f, Pε)− L(f, Pε) =n∑

i=1

(Mi −mi)∆xi < ε

y, para esa misma particion, U(f+, Pε)− L(f+, Pε) =n∑

i=1

(M ′i −m′

i)∆xi . Ahora bien:

? si 0 ≤ mi entonces 0 ≤ f = f+ en [xi−1, xi] y M ′i −m′

i = Mi −mi .

? si Mi ≤ 0, entonces f ≤ 0 = f+ en [xi−1, xi] y M ′i −m′

i = 0− 0 ≤ Mi −mi .

? si mi < 0 < Mi , entonces mi < 0 = m′i ≤ M ′

i = Mi y M ′i −m′

i ≤ Mi −mi .

En consecuencia, U(f+, Pε)− L(f+, Pε) ≤ U(f, Pε)− L(f, Pε) < ε y f+ es integrable. en [a, b] .Como es tambien f = f+−f− , se tiene que f− = f+−f es integrable en [a, b] por ser suma de integrables

y, por tanto, |f | es integrable en [a, b] .

Aplicando ahora el corolario 275 a la desigualdad − |f | ≤ f ≤ |f | , se tiene que

−∫ b

a

|f | ≤∫ b

a

f ≤∫ b

a

|f |



y, por tanto,

∣∣∣∣∣∫ b

a

f

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f | .


Proposicion 278.- Si f y g son integrables en [a, b] , entonces fg es integrable en [a, b] .

Demostracion:Como puede escribirse fg = 1

4

((f + g)2 − (f − g)2

)y las funciones f + g y f − g son integrables, basta probar

que el cuadrado de una funcion integrable es integrable.Sea entonces h integrable en [a, b] . Por ser acotada, existe K > 0 tal que |h(x)| < K , para todo x ∈ [a, b] ,

y por ser integrable, existe Pε ∈ P[a, b] tal que

U(h, Pε)− L(h, Pε) =n∑

i=1

(Mi −mi)∆xi <ε

2K.

Para esa particion y la funcion h2 , sea U(h2, Pε)− L(h2, Pε) =n∑

i=1

(M ′i −m′

i)∆xi,

entonces,

? si 0 ≤ mi ≤ Mi , se tiene que M ′i = M2

i y m′i = m2

i , de dondeM ′

i −m′i = M2

i −m2i = (Mi + mi)(Mi −mi).

? si mi ≤ Mi ≤ 0, se tiene que M ′i = m2

i y m′i = M2

i , de dondeM ′

i −m′i = −(M2

i −m2i ) = −(Mi + mi)(Mi −mi) = |Mi + mi| (Mi −mi).

? si mi < 0 < Mi , se tiene que M ′i = max{m2

i ,M2i } y m′

i = mın{m2i ,M

2i } , de donde (por las anteriores)

M ′i −m′

i =∣∣M2

i −m2i

∣∣ = |Mi + mi| (Mi −mi).

Luegon∑

i=1

(M ′i−m′

i)∆xi =n∑

i=1

|Mi+mi| (Mi−mi)∆xi ≤n∑

i=1

2K(Mi−mi)∆xi < 2Kε

2K=ε,

y h2 es integrable. En consecuencia fg es integrable en [a, b] .

Integrales impropias


Proposicion 304.- Sea f : [a,+∞) −→ IR integrable en [a, t] para todo t ∈ [a,+∞). Si lımx→+∞

f(x) = L 6= 0

entonces∫ ∞

a

f(x) dx diverge.

Demostracion:Supongamos que lım

x→+∞f(x) = L > 0. Entonces, para cualquier ε > 0 existe k > 0 tal que si x ≥ k se verifica

que |f(x)− L| < ε , es decir, L− ε < f(x) < L + ε .En particular, tomando ε = L

2 > 0, si x ≥ k se verifica que L2 < f(x) < 3L

2 , luego 0 < L2 < f(x) para todo

x ∈ [k, +∞). Entonces,

lımt→+∞

∫ t

k

L

2dx ≤ lım

t→+∞

∫ t

k

f(x) dx

y como

lımt→+∞

∫ t

k

L

2dx = lım

t→+∞L

2(x]tk =

L

2lım

t→+∞t− k = +∞,

se tiene que lımt→+∞

∫ t

k

f(x) dx = +∞ y la integral∫ ∞

k

f(x) dx diverge, luego por la propiedad 1 de 303,∫ ∞

a

f(x) dx diverge.



Supongamos ahora que lımx→+∞

f(x) = L < 0. Entonces lımx→+∞

−f(x) = −L > 0 y, por tanto,∫ ∞

a

− f(x) dx

diverge. Luego∫ ∞

a

f(x) dx diverge.

Demostracion de: Teorema 307 de la pagina 162

Teorema 307.- Sea f : [a,+∞) −→ IR integrable y no negativa en [a, t] , ∀t ∈ IR .

∫ +∞

a

f(x) dx es convergente ⇐⇒ F (t) =∫ t

a

f(x) dx esta acotada superiormente.

Demostracion:

Si∫ ∞

a

f(x) dx converge, entonces

lımt→+∞

∫ t

a

f(x) dx = lımt→+∞

F (t) = L ∈ IR.

Como F (t) es creciente, F (t) ≤ L y esta acotada superiormente.

Recıprocamente, si F (t) esta acotada superiormente existe sup{

F (t) : t ∈ [a,+∞)}

= α ∈ IR . Veamos que

α = lımt→+∞

F (t) y habremos probado que∫ ∞

a

f(x) dx es convergente.

Sea ε > 0. Entonces, por ser α un extremo superior, existe t′ ∈ [a,+∞) tal que α − ε < F (t′), luegosi t ≥ t′ , como F es creciente, se tiene que α − ε < F (t′) ≤ F (t). Ademas, para todo t , se verifica queF (t) ≤ α < α + ε .

En consecuencia, para cualquier ε > 0 existe t′ tal que si t ≥ t′ , α−ε < F (t) < α+ε , es decir, |F (t)−α| < ε ,luego lım

t→+∞F (t) = α .

Demostracion de: Segundo criterio de comparacion 309 de la pagina 163

Segundo criterio de comparacion 309.- Sean f, g: [a,+∞) −→ IR integrables en [a, t] , para todo t ≥ a y nonegativas. Supongamos que existe lım

x→+∞f(x)g(x) = L . Entonces:

a) Si 0 < L < +∞ =⇒∫ +∞

a

f(x) dx ∼∫ +∞

a

g(x) dx .


[i] si∫ +∞

a

g(x) dx converge =⇒∫ +∞

a

f(x) dx converge.

[ii] si∫ +∞

a

f(x) dx diverge =⇒∫ +∞

a

g(x) dx diverge.

c) Si L = +∞ , se tiene:

[i] si∫ +∞

a

f(x) dx converge =⇒∫ +∞

a

g(x) dx converge.

[ii] si∫ +∞

a

g(x) dx diverge =⇒∫ +∞

a

f(x) dx diverge.

Demostracion:

1.- Si 0 < L < +∞ , tomamos ε = L2 , luego existe K > 0 tal que si x ≥ K se tiene que

∣∣∣ f(x)g(x) − L

∣∣∣ < L2 . De

donde

−L

2+ L <

f(x)g(x)

<L

2+ L



y, como g(x) ≥ 0, se tieneL

2g(x) ≤ f(x) ≤ 3L

2g(x)

para todo x ≥ K . Basta aplicar 308, a los pares de funciones L2 g ≤ f(x) y f(x) ≤ 3L

2 g(x) y tener encuenta la propiedad 2 de 303.

2.- Si L = 0, tomando ε = 1, se tiene que existe K > 0 tal que si x ≥ K entonces 0 ≤ f(x) < g(x).

De nuevo, basta con aplicar 308.

3.- Si L = +∞ , entonces lımx→+∞

g(x)f(x) = 0 y recaemos en el caso anterior.

Demostracion de: Teorema 318 de la pagina 166

Teorema 318.- Sea f : (a, b] −→ IR integrable en [t, b] , para todo t ∈ (a, b] , no negativa y no acotada. Entonces

∫ b

a+f(x)dx es convergente ⇐⇒ F (t) =

∫ b

t

f(x)dx esta acotada superiormente.

Demostracion:

Si∫ b

a+f(x)dx converge, entonces

lımt→a+

∫ b

t

fxdx = lımt→a+

F (t) = L ∈ IR.

Como F (t) es decreciente, F (t) ≤ L y esta acotada superiormente. (Notar, que como F es decreciente, cuandot “decrece” hacia a+ , F (t) “crece” hacia L .)

Recıprocamente, si F (t) esta acotada superiormente existe sup{F (t) : t ∈ (a, b]} = α ∈ IR . Veamos que

α = lımt→a+

F (t) y habremos probado que∫ b

a+f(x)dx es convergente.

Sea ε > 0. Entonces, por ser α un extremo superior, existe t′ ∈ (a, b] tal que α − ε < F (t′), luego sit ≤ t′ , como F es decreciente, se tiene que α − ε < F (t′) ≤ F (t). Ademas, para todo t , se verifica queF (t) ≤ α < α + ε .

En consecuencia, para cualquier ε > 0 existe t′ tal que si t ≤ t′ , α−ε < F (t) < α+ε , es decir, |F (t)−α| < ε ,luego lım

t→a+F (t) = α .


Parte IV - Inicioantonio/Industriales/Apuntes_09-10/MatI/Apun_09-10... · 12.1.1 Tabla de...

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