Libro de-integrales

100
¿ •”»fi»²‰•¿· ² »· ‰«fi›– …» ‰?·‰«·– …•”»fi»²‰•¿· ¿fi»²…•‡–› ¿ ‰¿·‰«·¿fi ·¿ …»fi•“¿…¿ …» «²¿ ”«²‰•-² »· ‰?·‰«·– •²‹»„fi¿· •”»fi»²‰•¿· ˝»¿ § ª l¤ «²¿ ”«²‰•-² ‰–² ›« fi•‡»fi¿ …»fi•“¿…¿ ‰–²‹3²«¿ § ¤ «² •²‰fi»‡»²‹– »² ·¿ “¿fi•¿·» ¤ ¿ …§ ª l¤ ¤ ² ¿·¿fi¿› ·¿ …•”»fi»²‰•¿· …» § »› •„«¿· ¿· fi–…«‰‹– …» ·¿ …»fi•“¿…¿ …» ·¿ ”«²‰•-² ‡«·‹•·•‰¿…¿ –fi »· •²‰fi»‡»²‹– »² ¤ ¶»‡·– ¿·‰«·¿ ·¿ …•”»fi»²‰•¿· ¿fi¿ ·¿ ”«²‰•-² § ª ¤ ı ¤ ı ¤ …§ ª l¤ ¤ —fi•‡»fi– ‰¿·‰«·¿‡–› l ¤ l¤ª …§ …¤ ª ¤ ı ¤ ‚–fi¿ –…»‡–› ‰¿·‰«·¿fi ·¿ …•”»fi»²‰•¿· ‡«·‹•·•‰¿²…– l¤ –fi ¤ …§ ª ¤ ı ¤ ¤ ª ¤¤ ı ¤ ¤ ¤ ˛»‰«»fi…¿ fl«» ¤ fi»fi»›»²‹¿ «²¿ ‰¿²‹•…¿… – »› »· fi–…«‰‹– …» …–› ‰¿²‹•…¿…»› –fi ¤ › …»‰•fi ¤ »› «² ›–·– ›3‡–·– —«»…»› »²‰»fifi¿fi·– »²‹fi» ¿fi7²‹»›•› ¿fi¿ »“•‹¿fi ‰–²”«›•-² ›• ¿›3 ·– …»›»¿› ¶»‡·– ¿·‰«·¿ ·¿ …•”»fi»²‰•¿· ¿fi¿ ·¿ ”«²‰•-² § ª ‰–›l›•² ¤ —fi•‡»fi– ‰¿·‰«·¿‡–› ·¿ fi•‡»fi¿ …»fi•“¿…¿ …» ·¿ ”«²‰•-² …§ …¤ ª ›•²l›•² ¤ ‰–› ¤ —¿fi¿ ‰¿·‰«·¿fi ·¿ …•”»fi»²‰•¿· ‡«·‹•·•‰¿‡–› »›‹¿ …»fi•“¿…¿ –fi »· •²‰fi»‡»²‹– »² ¤ …§ ª ›•²l›•² ¤ ‰–›l ¤ ¤ –‡– «»…»› “»fi »· ‰?·‰«·– …» ·¿ …•”»fi»²‰•¿· …» «²¿ ”«²‰•-² »› ‡«§ ›»²‰•··– ›–·¿‡»²‹» ‡«·‹•·• ‰¿‡–› ›« …»fi•“¿…¿ –fi ¤ ‚–fi¿ “¿‡–› ¿ …¿fi «²¿ •²‹»fifi»‹¿‰•-² „»–‡7‹fi•‰¿ …» »›‹» ‰–²‰»‹– ¤ …§ …§ …¤ ª ‚–fi¿ –…»‡–› ‰¿·‰«·¿fi ·¿ …•”»fi»²‰•¿· ‡«·‹•·•‰¿²…– ‚–fi¿ –…»‡–› ‰¿·‰«·¿fi ·¿ …•”»fi»²‰•¿· ‡«·‹•·•‰¿²…– ‚–fi¿ –…»‡–› ‰¿·‰«·¿fi ·¿ …•”»fi»²‰•¿· ‡«·‹•·•‰¿²…– ¤ …§ …§ …§ …§ …§ …§ ª …§ …§ …§ …¤ …¤ ª ª ª ª ª ‚–fi¿ –…»‡–› ‰¿·‰«·¿fi ·¿ …•”»fi»²‰•¿· ‡«·‹•·•‰¿²…– ‚–fi¿ –…»‡–› ‰¿·‰«·¿fi ·¿ …•”»fi»²‰•¿· ‡«·‹•·•‰¿²…– ‚–fi¿ –…»‡–› ‰¿·‰«·¿fi ·¿ …•”»fi»²‰•¿· ‡«·‹•·•‰¿²…– ‚–fi¿ –…»‡–› ‰¿·‰«·¿fi ·¿ …•”»fi»²‰•¿· ‡«·‹•·•‰¿²…– ‚–fi¿ –…»‡–› ‰¿·‰«·¿fi ·¿ …•”»fi»²‰•¿· ‡«·‹•·•‰¿²…– ‚–fi¿ –…»‡–› ‰¿·‰«·¿fi ·¿ …•”»fi»²‰•¿· ‡«·‹•·•‰¿²…– ‚–fi¿ –…»‡–› ‰¿·‰«·¿fi ·¿ …•”»fi»²‰•¿· ‡«·‹•·•‰¿²…– ‚–fi¿ –…»‡–› ‰¿·‰«·¿fi ·¿ …•”»fi»²‰•¿· ‡«·‹•·•‰¿²…– ‚–fi¿ –…»‡–› ‰¿·‰«·¿fi ·¿ …•”»fi»²‰•¿· ‡«·‹•·•‰¿²…–

Transcript of Libro de-integrales

Page 1: Libro de-integrales

Ô¿ Ü·º»®»²½·¿´

Û² »´ ½«®­± ¼» ½?´½«´± ¼·º»®»²½·¿´ ¿°®»²¼·³±­ ¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ ¼» «²¿ º«²½·-²ò

»´ ½?´½«´± ·²¬»¹®¿´ò

ï

Ü·º»®»²½·¿´Í»¿ § ã º ø¨÷ «²¿ º«²½·-² ½±² ­« °®·³»®¿ ¼»®·ª¿¼¿ ½±²¬3²«¿ § ܨ «² ·²½®»³»²¬± »² ´¿ ª¿®·¿¾´» ¨ò Ô¿

¼§ ã º ðø¨÷ ܨ

Û² °¿´¿¾®¿­ô ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼» § »­ ·¹«¿´ ¿´ °®±¼«½¬± ¼» ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-² ³«´¬·°´·½¿¼¿ °±® »´·²½®»³»²¬± »² ¨ò

Û¶»³°´± ï

Ý¿´½«´¿ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ °¿®¿ ´¿ º«²½·-²æ

§ ã ¨î õ ¨ õï

¨

¼§ ã º ðø¨÷ ܨ

Ю·³»®± ½¿´½«´¿³±­ º ðø¨÷æ

º ðø¨÷ 㼧

¼¨ã î ¨ õ ï

ï

¨î

߸±®¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿²¼± º ðø¨÷ °±® ܨæ

¼§ ã î ¨ õ ïï

¨îܨ ã î ¨Ü¨ õ ܨ

ܨ

¨î

뽫»®¼¿ ¯«» ܨ ®»°®»­»²¬¿ «²¿ ½¿²¬·¼¿¼ò Ò± »­ »´ °®±¼«½¬± ¼» ¼±­ ½¿²¬·¼¿¼»­æ Ü °±® ¨ò Û­ ¼»½·®ôܨ »­ «² ­±´± ­3³¾±´±ò Ы»¼»­ »²½»®®¿®´± »²¬®» °¿®7²¬»­·­ °¿®¿ »ª·¬¿® ½±²º«­·-² ­· ¿­3 ´± ¼»­»¿­ò

Û¶»³°´± îÝ¿´½«´¿ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ °¿®¿ ´¿ º«²½·-²æ § ã ½±­ø­·² ¨÷ò

Ю·³»®± ½¿´½«´¿³±­ ´¿ °®·³»®¿ ¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-²æ

¼§

¼¨ã ­·²ø­·² ¨÷ ½±­ ¨

п®¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿³±­ »­¬¿ ¼»®·ª¿¼¿ °±® »´ ·²½®»³»²¬± »² ¨æ

¼§ ã ­·²ø­·² ¨÷ ½±­ø¨÷ ܨ

ݱ³± °«»¼»­ ª»®ô »´ ½?´½«´± ¼» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼» «²¿ º«²½·-² »­ ³«§ ­»²½·´´±æ ­±´¿³»²¬» ³«´¬·°´·ó½¿³±­ ­« ¼»®·ª¿¼¿ °±® ܨò

߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ¼¿® «²¿ ·²¬»®°®»¬¿½·-² ¹»±³7¬®·½¿ ¼» »­¬» ½±²½»°¬±ò

î ¨

¼§

¼§

¼¨ã

߸±®¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿²¼±ß¸±®¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿²¼±ß¸±®¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿²¼±

î ¨

¼§¼§¼§

¼§¼§¼§÷ ã

¼§¼§¼§¼§

¼¨

¼§

¼¨ããããã

߸±®¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿²¼±ß¸±®¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿²¼±ß¸±®¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿²¼±ß¸±®¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿²¼±ß¸±®¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿²¼±ß¸±®¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿²¼±ß¸±®¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿²¼±ß¸±®¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿²¼±ß¸±®¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿²¼±ß¸±®¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿²¼±ß¸±®¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿²¼±ß¸±®¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿²¼±ß¸±®¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿²¼±

Page 2: Libro de-integrales

ײ¬»®°®»¬¿½·-² ¹»±³7¬®·½¿

Ç¿ ­¿¾»³±­ ¯«» ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ ¼» «²¿ º«²½·-² »­ ´¿ ³»¶±® ¿°®±¨·³¿½·-² ´·²»¿´ ¿ ´¿ º«²½·-² »² «²°«²¬±ò

Û² °¿®¬·½«´¿®ô ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ »ª¿´«¿¼¿ »² «² °«²¬± ¼» ´¿ º«²½·-² »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ °»²¼·»²¬» ¼» ´¿ ®»½¬¿¬¿²¹»²¬» ¿ ´¿ º«²½·-² »² »­» °«²¬±ò

ß´ ³«´¬·°´·½¿® º ðø¨ð÷ ø´¿ °»²¼·»²¬» ¼» ´¿ ®»½¬¿ ¬¿²¹»²¬» ¿ ´¿ º«²½·-² »² »´ °«²¬± ¨ð÷ °±® ܨ ø»´·²½®»³»²¬± »² ¨÷ ±¾¬»²»³±­ »´ ·²½®»³»²¬± »² § ¿´ ³±ª»®²±­ ­±¾®» ´¿ ®»½¬¿ ¬¿²¹»²¬»ò Ю±º»­±®æ

Ô¿ ·²¬»®°®»¬¿½·-²

¹»±³7¬®·½¿ ¼» ´¿

°»²¼·»²¬» ¿§«ó

¼¿®? ¿ »²¬»²¼»®

»­¬¿ »¨°´·½¿½·-²ò

¨¨ð ¨ð õ ܨ

§

º ø¨ð÷

º ø¨ð õ ܨ÷

§ ã º ø¨÷

ܨ

¼§ ã º ðø¨ð÷ ܨ»

ܧ

Ѿ­»®ª¿ ¯«» » õ ¼§ ã ܧò Û­ ¼»½·®ô ¼§ ã ܧ »ò

Û² °¿´¿¾®¿­ô ¼§ »­ «²¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¿ ܧò Ý«¿²¼± »´ ª¿´±® ¼» » ­» ¸¿½» ³«§ °»¯«»/±ô ´¿ ¿°®±¨·ó³¿½·-² ­» ¸¿½» ½¿¼¿ ª»¦ ³»¶±®ò

» ­» ¸¿®? ½¿¼¿ ª»¦ ³?­ °»¯«»/± ½«¿²¼± ´¿ ­»¹«²¼¿ ¼»®·ª¿¼¿ ­»¿ ½¿­· ½»®±ò Û­¬± »­ ¿­3 °±®¯«»

½»®½¿²3¿ ¼» ¨ðò

Û² ®»¿´·¼¿¼ »­¬¿³±­ ½¿´½«´¿²¼± «²¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¿ ܧ ø»´ ·²½®»³»²¬± ¼» §÷ô ­«°±²·»²¼± ¯«» ´¿º«²½·-² »­ ´·²»¿´ »² »´ ·²¬»®ª¿´± ø¨ðô ¨ð õ ܨ÷ò

Û­¬» ¿®¹«³»²¬± ­» ¸¿½» »ª·¼»²¬» ¿´ ­«°±²»® ¯«» ´¿ º«²½·-² § ã º ø¨÷ »­ «²¿ ´3²»¿ ®»½¬¿ô °«»­ ­«°®·³»® ¼»®·ª¿¼¿ »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ °»²¼·»²¬» ¼» ´¿ ®»½¬¿ § ­« ­»¹«²¼¿ ¼»®·ª¿¼¿ »­ ½»®±ò

Ô¿ ­»¹«²¼¿ ¼»®·ª¿¼¿ ²±­ »­¬? ¼·½·»²¼± ¯«» ´¿ °»²¼·»²¬» ¼» ´¿ ®»½¬¿ ²«²½¿ ½¿³¾·¿ô °±® ´± ¯«» ´¿

°«²¬±­ò

Ô¿ ¼·º»®»²½·¿ » ã º ø¨ð õܨ÷ ø º ø¨ð÷ õ ¼§÷ »­ »´ »®®±® ¯«» ½±³»¬»³±­ ¿´ ¸¿½»® ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¼»º ø¨ð õ ܨ÷ ­«°±²·»²¼± ¯«» ­» ½±³°±®¬¿ ´¿ º«²½·-² »¨¿½¬¿³»²¬» ·¹«¿´ ¯«» «²¿ ®»½¬¿ò

Û­¬¿ ­«°±­·½·-² ²±­ »­ °»®³·¬·¼¿ ­·»³°®» ¯«» ´¿ ½«®ª¿ »­ ­«¿ª»ô »­ ¼»½·®ô ¯«» ²± ¬·»²» ½¿³¾·±­¾®«­½±­ »² ´¿ ½»®½¿²3¿ ¼» ¨ðò Û² ±¬®¿­ °¿´¿¾®¿­ô ­· ´¿ ®»½¬¿ ¬¿²¹»²¬» ¿ ´¿ ½«®ª¿ »­ «²¿ ¾«»²¿¿°®±¨·³¿½·-² ¿ ´¿ ½«®ª¿ »² ´¿ ½»®½¿²3¿ ¼»´ °«²¬± ¨ðô »²¬±²½»­ °±¼»³±­ ¿°®±¨·³¿® ´¿ ½«®ª¿ °±®³»¼·± ¼» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ò

­» ¸¿®? ½¿¼¿ ª»¦ ³?­ °»¯«»/± ½«¿²¼± ´¿ ­»¹«²¼¿ ¼»®·ª¿¼¿ ­»¿ ½¿­· ½»®±ò Û­¬± »­ ¿­3 °±®¯«»

»ò

ò Ý«¿²¼± »´ ª¿´±® ¼»ò Ý«¿²¼± »´ ª¿´±® ¼»ò Ý«¿²¼± »´ ª¿´±® ¼»

­» ¸¿®? ½¿¼¿ ª»¦ ³?­ °»¯«»/± ½«¿²¼± ´¿ ­»¹«²¼¿ ¼»®·ª¿¼¿ ­»¿ ½¿­· ½»®±ò Û­¬± »­ ¿­3 °±®¯«»

»ò

ò Ý«¿²¼± »´ ª¿´±® ¼»ò Ý«¿²¼± »´ ª¿´±® ¼»ò Ý«¿²¼± »´ ª¿´±® ¼»ò Ý«¿²¼± »´ ª¿´±® ¼»ò Ý«¿²¼± »´ ª¿´±® ¼»ò Ý«¿²¼± »´ ª¿´±® ¼»ò Ý«¿²¼± »´ ª¿´±® ¼»ò Ý«¿²¼± »´ ª¿´±® ¼»ò Ý«¿²¼± »´ ª¿´±® ¼»

Page 3: Libro de-integrales

λ¹´¿­ ¼» ¼·º»®»²½·¿½·-²

̱¼± »´ ­»³»­¬®» °¿­¿¼± ²±­ ´¿ °¿­¿³±­ ½¿´½«´¿²¼± ´¿­ ¼»®·ª¿¼¿­ ¼» º«²½·±²»­ò

³±­ ´¿ø­÷ ®»¹´¿ø­÷ ½±®®»­°±²¼·»²¬»ø­÷ò

Ô¿­ ®»¹´¿­ ¼» ¼·º»®»²½·¿½·-² ¹»²»®¿´³»²¬» ­» ¼¿² »² «² º±®³«´¿®·± ¯«» ­» ³«»­¬®¿ »²­»¹«·¼¿æ

·ò¼½

¼¨ã ð

··ò¼¨

¼¨ã ï

···ò¼ø« õ ª÷

¼¨ã

¼«

¼¨õ

¼ª

¼¨

·ªò¼ø½ ª÷

¼¨ã ½

¼ª

¼¨

ªò¼ø« ª÷

¼¨ã «

¼ª

¼¨õ ª

¼«

¼¨

ª·ò¼øª²÷

¼¨ã ²ª² ï ¼ª

¼¨

ª··ò¼

¼¨

«

ªã

ª¼«

¼¨«

¼ª

¼¨ªî

ª···ò¼§

¼¨ã

¼§

¼ª

¼ª

¼¨

·¨ò¼§

¼¨ã

ï

¼¨

¼§

Ô¿­ ­·¹«·»²¬»­ ­±² ´¿­ ®»¹´¿­ ¼» ¼»®·ª¿½·-² ¼» º«²½·±²»­ ¬®¿­½»²¼»²¬»­ò

·ò¼ø­·² ª÷

¼¨ã ½±­ ª

¼ª

¼¨

··ò¼ø½±­ ª÷

¼¨ã ­·² ª

¼ª

¼¨

···ò¼ø¬¿² ª÷

¼¨ã ­»½î ª

¼ª

¼¨

·ªò¼ø½±¬ ª÷

¼¨ã ½­½î ª

¼ª

¼¨

ªò¼ø­»½ ª÷

¼¨ã ­»½ ª ¬¿² ª

¼ª

¼¨

ª·ò¼ø½­½ ª÷

¼¨ã ½­½ ª ½±¬ ª

¼ª

¼¨

ª··ò¼ø¿®½­·² ª÷

¼¨ã

ï°

ï ªî

¼ª

¼¨

ª···ò¼ø¿®½½±­ ª÷

¼¨ã

ï°

ï ªî

¼ª

¼¨

·¨ò¼ø¿®½¬¿² ª÷

¼¨ã

ï

ï õ ªî

¼ª

¼¨

¨ò¼ø¿®½½±¬ ª÷

¼¨ã

ï

ï õ ªî

¼ª

¼¨

¨·ò¼ø¿®½­»½ ª÷

¼¨ã

ï

ª°

ªî ï

¼ª

¼¨

¨··ò¼ø¿®½½­½ ª÷

¼¨ã

ï

ª°

ªî ï

¼ª

¼¨

¨···ò¼ø´² ª÷

¼¨ã

ï

ª

¼ª

¼¨

¨·ªò¼ø´±¹¿ ª÷

¼¨ã

´±¹¿ »

ª

¼ª

¼¨

¨ªò¼ø¿ª÷

¼¨ã ¿ª ´² ¿

¼ª

¼¨

¨ª·ò¼ø»ª÷

¼¨ã »ª ¼ª

¼¨

¨ª··ò¼ø«ª÷

¼¨ã ª «ª ï õ ´² « «ª ¼ª

¼¨

¼» »­¬» ´·¾®±ò

Ô¿­ ­·¹«·»²¬»­ ­±² ´¿­ ®»¹´¿­ ¼» ¼»®·ª¿½·-² ¼» º«²½·±²»­ ¬®¿­½»²¼»²¬»­ò

¿®½½­½ ª

¼¨

Ô¿­ ­·¹«·»²¬»­ ­±² ´¿­ ®»¹´¿­ ¼» ¼»®·ª¿½·-² ¼» º«²½·±²»­ ¬®¿­½»²¼»²¬»­òÔ¿­ ­·¹«·»²¬»­ ­±² ´¿­ ®»¹´¿­ ¼» ¼»®·ª¿½·-² ¼» º«²½·±²»­ ¬®¿­½»²¼»²¬»­òÔ¿­ ­·¹«·»²¬»­ ­±² ´¿­ ®»¹´¿­ ¼» ¼»®·ª¿½·-² ¼» º«²½·±²»­ ¬®¿­½»²¼»²¬»­ò

¨·ò¨·ò

¼¼ø¿®½½­½

Ô¿­ ­·¹«·»²¬»­ ­±² ´¿­ ®»¹´¿­ ¼» ¼»®·ª¿½·-² ¼» º«²½·±²»­ ¬®¿­½»²¼»²¬»­ò

¿®½½­½ ª

¼¨

Ô¿­ ­·¹«·»²¬»­ ­±² ´¿­ ®»¹´¿­ ¼» ¼»®·ª¿½·-² ¼» º«²½·±²»­ ¬®¿­½»²¼»²¬»­òÔ¿­ ­·¹«·»²¬»­ ­±² ´¿­ ®»¹´¿­ ¼» ¼»®·ª¿½·-² ¼» º«²½·±²»­ ¬®¿­½»²¼»²¬»­òÔ¿­ ­·¹«·»²¬»­ ­±² ´¿­ ®»¹´¿­ ¼» ¼»®·ª¿½·-² ¼» º«²½·±²»­ ¬®¿­½»²¼»²¬»­òÔ¿­ ­·¹«·»²¬»­ ­±² ´¿­ ®»¹´¿­ ¼» ¼»®·ª¿½·-² ¼» º«²½·±²»­ ¬®¿­½»²¼»²¬»­òÔ¿­ ­·¹«·»²¬»­ ­±² ´¿­ ®»¹´¿­ ¼» ¼»®·ª¿½·-² ¼» º«²½·±²»­ ¬®¿­½»²¼»²¬»­òÔ¿­ ­·¹«·»²¬»­ ­±² ´¿­ ®»¹´¿­ ¼» ¼»®·ª¿½·-² ¼» º«²½·±²»­ ¬®¿­½»²¼»²¬»­òÔ¿­ ­·¹«·»²¬»­ ­±² ´¿­ ®»¹´¿­ ¼» ¼»®·ª¿½·-² ¼» º«²½·±²»­ ¬®¿­½»²¼»²¬»­òÔ¿­ ­·¹«·»²¬»­ ­±² ´¿­ ®»¹´¿­ ¼» ¼»®·ª¿½·-² ¼» º«²½·±²»­ ¬®¿­½»²¼»²¬»­òÔ¿­ ­·¹«·»²¬»­ ­±² ´¿­ ®»¹´¿­ ¼» ¼»®·ª¿½·-² ¼» º«²½·±²»­ ¬®¿­½»²¼»²¬»­ò

¨·ò¨·ò¨·ò¨·ò¨·ò¨·ò¨·ò¨·ò¨·ò

¼¼¼ø¿®½½­½ø¿®½½­½øø¿®½½­½¿®½½­½¿®½½­½

Page 4: Libro de-integrales

Ô¿ ¼·º»®»²½·¿´ ½±³± ¿°®±¨·³¿½·-² ¿´ ·²½®»³»²¬±

߸±®¿ ª¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ °¿®¿ ¸¿½»® ¿°®±¨·³¿½·±²»­ò Û­¬¿ ¿°®±¨·³¿½·-² »­¬? ¾¿­¿¼¿»² ´¿ ·²¬»®°®»¬¿½·-² ¹»±³7¬®·½¿ ¯«» ¿½¿¾¿³±­ ¼» ¼¿® ¼» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ò

Û¶»³°´± ïß°®±¨·³» ½±² ¼·º»®»²½·¿´»­ »´ ª¿´±® ¼»°

ìðîò

ݱ²­·¼»®»³±­ ´¿ º«²½·-²æ § ã°

¨ ã ¨ïñîò

Í¿¾»³±­ ¯«» ´¿ ®¿3¦ ½«¿¼®¿¼¿ ¼» ìðð »­ îðò

б¼»³±­ «¬·´·¦¿® »­¬» ª¿´±® °¿®¿ ¿°®±¨·³¿® »´ ª¿´±® ¼» ´¿ ®¿3¦ ½«¿¼®¿¼¿ ¼» ìðîò

Ю·³»®± »²½±²¬®¿³±­ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼» ´¿ º«²½·-²æ

¼§ ãܨ

î°

¨

п®¿ »­¬» ½¿­± ¸¿½»³±­ ܨ ã îô § ¨ ã ìððò

Û­¬± »­ ¿­3 °±®¯«» ¨ õ ܨ ã ìðð õ î ã ìðîò Ѿ­»®ª¿ ´¿

·²¬»®°®»¬¿½·-²

¹»±³7¬®·½¿ ¼» ´¿

¼·º»®»²½·¿´ò

Û²¬±²½»­ô ­«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ±¾¬»²»³±­æ

¼§ ãܨ

î°

¨ã

î

î°

ìððã

ï

îðã ðòðë

߸±®¿ô § õ ¼§ ã îð õ ðòðë ã îðòðë

Û´ ª¿´±® »¨¿½¬± ¿ é ¼»½·³¿´»­ »­æ°

ìðî ã îðòðìççíééò

Ò±­ ®»­«´¬- «²¿ ¾«»²¿ ¿°®±¨·³¿½·-²ò

Û¶»³°´± îß°®±¨·³» ½±² ¼·º»®»²½·¿´»­ »´ ª¿´±® ¼»°

îëòîò

Ü» ²«»ª±ô ½±²­·¼»®¿³±­ ´¿ º«²½·-² § ã°

¨ ã ¨ïñîò

Ç¿ ­¿¾»³±­ ¯«» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ½±®®»­°±²¼·»²¬» »­æ

¼§ ãܨ

î°

¨

ß´ ­«­¬·¬«·® ܨ ã ðòîô § ¨ ã îë »² »­¬¿ º-®³«´¿ô ±¾¬»²»³±­æ

¼§ ãܨ

î°

¨ã

ðòî

î°

îëã

ðòî

ïðã ðòðî

Ü» ³¿²»®¿ ¯«»°

îëòî°

îë õ ¼§ ã ë õ ðòðî ã ëòððîò

ãã

Û²¬±²½»­ô ­«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ±¾¬»²»³±­æ

õ

Û²¬±²½»­ô ­«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ±¾¬»²»³±­æÛ²¬±²½»­ô ­«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ±¾¬»²»³±­æ

Üܨ̈°

¨ãã

î

îðòðìççíééòîðòðìççíééò

ãã ìðð

Û²¬±²½»­ô ­«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ±¾¬»²»³±­æÛ²¬±²½»­ô ­«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ±¾¬»²»³±­æ

õ

Û²¬±²½»­ô ­«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ±¾¬»²»³±­æÛ²¬±²½»­ô ­«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ±¾¬»²»³±­æÛ²¬±²½»­ô ­«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ±¾¬»²»³±­æ

õ îõ

ÜÜÜ

Û²¬±²½»­ô ­«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ±¾¬»²»³±­æÛ²¬±²½»­ô ­«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ±¾¬»²»³±­æÛ²¬±²½»­ô ­«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ±¾¬»²»³±­æ

Ü ¨̈̈̈̈̈°

¨̈ãã

¨ îîîîîãããã

îðòðìççíééòîðòðìççíééòîðòðìççíééòîðòðìççíééòîðòðìççíééòîðòðìççíééòîðòðìççíééòîðòðìççíééòîðòðìççíééòîðòðìççíééò

Page 5: Libro de-integrales

Û¶»³°´± íß°®±¨·³» ½±² ¼·º»®»²½·¿´»­ ´¿ ®¿3¦ ½&¾·½¿ ¼» îèò

߸±®¿ ½±²­·¼»®¿³±­ ´¿ º«²½·-²æ § ã í°

¨ ã ¨ïñí

Í¿¾»³±­ ¼» ¿²¬»³¿²± ¯«» ´¿ ®¿3¦ ½&¾·½¿ ¼» îé »­ íò Û­¬± ­«¹·»®» ¯«» «¬·´·½»³±­ ܨ ã ï §¨ ã îéò ߸±®¿ »²½±²¬®¿³±­ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼» ´¿ º«²½·-²æ

¼§ ãܨ

í ¨îñí

Í«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ¼» ´¿­ ·²½-¹²·¬¿­ »²½±²¬®¿³±­ »´ ª¿´±® ¾«­½¿¼±æ

¼§ ãܨ

í ¨îñíã

ï

í øîé÷îñí

ãï

í øí÷îã

ï

í øç÷

ãï

îé

Û²¬±²½»­ô ¼» ¿½«»®¼± ¿ ´± ­«¹»®·¼±ô ¬»²»³±­ ¯«»æ

í°

îèí°

îé õï

îéã í õ

ï

îéã

èï

îéõ

ï

îéã

èî

îé

èî

îé

í

ãëëï íêè

ïç êèíã îèòðïîíçêìè

Þ«»²¿ ¿°®±¨·³¿½·-²ò

Û¶»³°´± ì ß°®±¨·³» ´¿ ®¿3¦ ½&¾·½¿ ¼» ðòððç

ݱ²­·¼»®¿³±­ ´¿ º«²½·-² ®¿·¦ ½&¾·½¿æ§ ã í

°¨

߸±®¿ ¸¿½»³±­ ¨ ã ðòððè ø°±®¯«» ´¿ ®¿3¦ ½&¾·½¿ ¼» ðòððè »­ ðòî÷ § ܨ ã ðòððï

Ç¿ ­¿¾»³±­ ¯«» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼» ´¿ º«²½·-² »­æ

¼§ ãܨ

í ¨îñí

ˬ·´·¦¿²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ ±¾¬»²»³±­æ

¼§ ãܨ

í ¨îñíã

ðòððï

í øðòððè÷îñíã

ðòððï

í øðòðî÷îã

ðòððï

í øðòðì÷ã

ï

ïîð

Û²¬±²½»­ô

í°

ðòððçí°

ðòððè õï

ïîðã ðòî õ

ï

ïîðã

î

ïðõ

ï

ïîð

ãîì

ïîðõ

ï

ïîðã

îë

ïîðã

ë

îì

Û²¬±²½»­ô ¼» ¿½«»®¼± ¿ ´± ­«¹»®·¼±ô ¬»²»³±­ ¯«»æÛ²¬±²½»­ô ¼» ¿½«»®¼± ¿ ´± ­«¹»®·¼±ô ¬»²»³±­ ¯«»æ

°îé

°í

îé õ

ëëï íêèëëï íêè

ïç êèí

Û²¬±²½»­ô ¼» ¿½«»®¼± ¿ ´± ­«¹»®·¼±ô ¬»²»³±­ ¯«»æÛ²¬±²½»­ô ¼» ¿½«»®¼± ¿ ´± ­«¹»®·¼±ô ¬»²»³±­ ¯«»æ

°îéîé

Û²¬±²½»­ô ¼» ¿½«»®¼± ¿ ´± ­«¹»®·¼±ô ¬»²»³±­ ¯«»æ

°í°

õõ°

îé õîé õõõ°

îé

Û²¬±²½»­ô ¼» ¿½«»®¼± ¿ ´± ­«¹»®·¼±ô ¬»²»³±­ ¯«»æÛ²¬±²½»­ô ¼» ¿½«»®¼± ¿ ´± ­«¹»®·¼±ô ¬»²»³±­ ¯«»æ

ëëï íêèëëï íêèëëï íêèëëï íêèëëï íêèëëï íêèëëï íêè

ïç êèíïç êèíïç êèíïç êèí

ëëï íêè

ïç êèíïç êèí

ëëï íêè

Page 6: Libro de-integrales

Û´»ª¿²¼± ¿´ ½«¾± »­¬» ®»­«´¬¿¼±ô »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æ

ë

îì

í

ãïîë

ïí èîìã ðòððçðìîîìëí

Û¶»³°´± ëß°®±¨·³» ½±² ¼·º»®»²½·¿´»­ ´¿ ®¿3¦ ½«¿®¬¿ ¼» ïëò

ݱ²­·¼»®» ´¿ º«²½·-²æ § ã ì°

¨ò

Û²½±²¬®¿³±­ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ½±®®»­°±²¼·»²¬»æ

¼§ ãܨ

ì ¨íñì

Í¿¾»³±­ ¯«» îì »­ ·¹«¿´ ¿ ïêò Û­¬± ­«¹·»®» ¯«» ¸¿¹¿³±­ ¨ ã î § ܨ ã ïò

Í«­¬·¬«§»²¼± »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ±¾¬»²»³±­æ

¼§ ãܨ

ì ¨íñìã

ï

ì øïê÷íñìã

ï

ì øî÷íã

ï

íî

б® ¬¿²¬±ô ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¾«­½¿¼¿ »­æ

ì°

ïë ãì°

ïêï

íîã î

ï

íîã

êí

íî

Û´»ª¿²¼± ¿ ´¿ ½«¿®¬¿ °±¬»²½·¿ô ¬»²»³±­æ

êí

íî

ì

ãïë éëî çêï

ï ðìè ëéêã ïëòðîíïçìíï

Û¶»³°´± êË­» ¼·º»®»²½·¿´»­ °¿®¿ »­¬·³¿® øðòçè÷ìò

Í»¿ § ã ¨ìò Û­ ½´¿®± ¯«» ¼§ ã ì ¨íܨò

б¼»³±­ ¸¿½»® ¨ ã ï § ܨ ã ðòðîò Í«­¬·¬«§»²¼± »­¬±­ ª¿´±®»­ »²½±²¬®¿³±­æ

¼§ ã ìøï÷íø ðòðî÷ ã ðòðè

»²¬±²½»­ô øðòçè÷ì »­ ¿°®±¨·³¿¼¿³»²¬» ·¹«¿´ ¿ ïì ðòðè ã ï ðòðè ã ðòçîò

Û¶»³°´± é

Ë­» ¼·º»®»²½·¿´»­ °¿®¿ ¿°®±¨·³¿®æ

Ò ã øîòðï÷ì í øîòðï÷í õ ì øîòðï÷î ë øîòðï÷ õ éò

Í»¿ Ó ã ¨ì í ¨í õ ì ¨î ë ¨ õ é

¼§

ïëòðîíïçìíï

б® ¬¿²¬±ô ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¾«­½¿¼¿ »­æб® ¬¿²¬±ô ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¾«­½¿¼¿ »­æб® ¬¿²¬±ô ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¾«­½¿¼¿ »­æ

°°ì

ïêïê

ïë éëî çêïã ïëòðîíïçìíï

¼§

ïëòðîíïçìíï

б® ¬¿²¬±ô ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¾«­½¿¼¿ »­æб® ¬¿²¬±ô ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¾«­½¿¼¿ »­æб® ¬¿²¬±ô ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¾«­½¿¼¿ »­æ

¨

б® ¬¿²¬±ô ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¾«­½¿¼¿ »­æб® ¬¿²¬±ô ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¾«­½¿¼¿ »­æб® ¬¿²¬±ô ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¾«­½¿¼¿ »­æб® ¬¿²¬±ô ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¾«­½¿¼¿ »­æб® ¬¿²¬±ô ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¾«­½¿¼¿ »­æ

¨̈

б® ¬¿²¬±ô ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¾«­½¿¼¿ »­æб® ¬¿²¬±ô ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¾«­½¿¼¿ »­æ

°°ì°ì°°°ì°ì°°

ïêïê°

ïêïêïêïê

ïë éëî çêïã ïëòðîíïçìíïïëòðîíïçìíï

Page 7: Libro de-integrales

Ú?½·´³»²¬» °±¼»³±­ »²½±²¬®¿®æ

¼Ó ã øì ¨í ç ¨î õ è ¨ ë÷ ܨ

߸±®¿ ¸¿½»³±­ ¨ ã îô § ܨ ã ðòðï § ­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ¼Óò

¼Ó ã øì øî÷í ç øî÷î õ è øî÷ ë÷øðòðï÷

ã øì øè÷ ç øì÷ õ è øî÷ ë÷øðòðï÷

ã øíî íê õ ïê ë÷øðòðï÷ ã øé÷øðòðï÷ ã ðòðé

Û²¬±²½»­ô Óø¨ õ ܨ÷ ã Óøîòðï÷ »­ ¿°®±¨·³¿¼¿³»²¬» ·¹«¿´ ¿ Óøî÷ õ ¼Óò

Óøî÷ ã øî÷ì íøî÷í õ ìøî÷î ëøî÷ õ é ã ïê îì õ ïê ïð õ é ã ë

Ô«»¹±ô Óøîòðï÷ ã Óøî÷ õ ¼Ó ã ë õ ðòðé ã ëòðé

п®¿ ½±³°¿®¿® »­¬» ®»­«´¬¿¼± ½±² »´ ª¿´±® »¨¿½¬±ô »ª¿´&¿ Óøîòðï÷ò

Û´ ½±²½»°¬± ¼» ¼·º»®»²½·¿´ ­» °«»¼» «¬·´·¦¿® °¿®¿ ¿°®±¨·³¿® »´ ª¿´±® ¼» «²¿ ½¿²¬·¼¿¼ ®»´¿½·±²¿¼¿¿ ±¬®¿­ »² ¼·º»®»²¬»­ ­·¬«¿½·±²»­òÛ´ ½±²½»°¬± ¼» ¼·º»®»²½·¿´ ­» °«»¼» «¬·´·¦¿® °¿®¿ ¿°®±¨·³¿® »´ ª¿´±® ¼» «²¿ ½¿²¬·¼¿¼ ®»´¿½·±²¿¼¿Û´ ½±²½»°¬± ¼» ¼·º»®»²½·¿´ ­» °«»¼» «¬·´·¦¿® °¿®¿ ¿°®±¨·³¿® »´ ª¿´±® ¼» «²¿ ½¿²¬·¼¿¼ ®»´¿½·±²¿¼¿¿ ±¬®¿­ »² ¼·º»®»²¬»­ ­·¬«¿½·±²»­òÛ´ ½±²½»°¬± ¼» ¼·º»®»²½·¿´ ­» °«»¼» «¬·´·¦¿® °¿®¿ ¿°®±¨·³¿® »´ ª¿´±® ¼» «²¿ ½¿²¬·¼¿¼ ®»´¿½·±²¿¼¿Û´ ½±²½»°¬± ¼» ¼·º»®»²½·¿´ ­» °«»¼» «¬·´·¦¿® °¿®¿ ¿°®±¨·³¿® »´ ª¿´±® ¼» «²¿ ½¿²¬·¼¿¼ ®»´¿½·±²¿¼¿¿ ±¬®¿­ »² ¼·º»®»²¬»­ ­·¬«¿½·±²»­ò

Page 8: Libro de-integrales

Û®®±®»­ °»¯«»/±­

Û¶»³°´± ïÔ¿ ¿®·­¬¿ ¼» «² ½«¾± ª¿®·¿¾´» ½®»½» ¿ ®¿¦-² ¼» í ½³ñ­ò aݱ² ¯«7 ®¿°·¼»¦ »­¬? ½®»½·»²¼± »´ª±´«³»² ½«¿²¼± ´¿ ¿®·­¬¿ ¬·»²» ïð ½³ ¼» ´±²¹·¬«¼á

Í¿¾»³±­ ¯«» »´ ª±´«³»² ¼» «² ½«¾± ­» ½¿´½«´¿ °±® ³»¼·± ¼» ´¿ º-®³«´¿æ Ê ã Ôíò Ü» ¿¯«3°±¼»³±­ »²½±²¬®¿® ¼Ê ã íÔî¼Ôò

Ò±­±¬®±­ ½±²±½»³±­ ´¿ ®¿°·¼»¦ ½±² ´¿ ¯«» ½®»½» ´¿ ¿®·­¬¿ô ¼Ôñ¼¬ô § ¯«»®»³±­ »²½±²¬®¿® ´¿®¿°·¼»¦ ½±² ´¿ ¯«» ½®»½» »´ ª±´«³»²ô »­¬± »­ô ¼Êñ¼¬ò

Û²¬±²½»­ô ®»¯«»®·³±­ »²½±²¬®¿® ¼Êñ¼¬ô ½±²±½·¼±­ ¼Ôñ¼¬ § Ôò Í«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±ó½·¼±­ ±¾¬»²»³±­æ

¼Ê

¼¬ã í Ôî ¼Ô

¼¬ã í øïð÷îøí÷ ã çðð½³íñ­»¹ò

Û¶»³°´± îÍ· ­» ³·¼» »´ ®¿¼·± ¼» «²¿ »­º»®¿ô ­» »²½«»²¬®¿ ¯«» »­ îð ½³òô ½±² «² »®®±® ³?¨·³± ¼» ðòðë ½³òß°®±¨·³» »´ »®®±® ³?¨·³± ¯«» °«»¼» ½±³»¬»®­» ¿´ ½¿´½«´¿® »´ ?®»¿ ¼» ´¿ »­º»®¿ ½±² »­¬±­ ¼¿¬±­ò

ß ã ì °®îò

«¬·´·¦¿® ¼·º»®»²½·¿´»­ò

Û²½±²¬®¿³±­ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ?®»¿ ½±³± º«²½·-² ¼»´ ®¿¼·± ¼» ´¿ »­º»®¿æ

¼ß ã è °® ø¼®÷

߸±®¿ ­«­¬·¬«·³±­ ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­æ

¼ß ã è ° øîð÷øðòðë÷ ã è° ½³î îëòïíîéìïîí ½³î

Û¶»³°´± íÔ¿­ ê ½¿®¿­ ¼» «²¿ ½¿¶¿ ½&¾·½¿ ³»¬?´·½¿ ¬·»²»² ðòîë ½³ ¼» »­°»­±®ô § »´ ª±´«³»² ·²¬»®·±® ¼» ´¿½¿¶¿ »­ ¼» ìð ½³íò Û²½«»²¬®» «²¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¼»´ ª±´«³»² ¼»´ ³»¬¿´ «­¿¼± ¿´ ¸¿½»® ´¿ ½¿¶¿ò

Í¿¾»³±­ ¯«» ´¿ ½¿¶¿ »­ ½&¾·½¿ô ´«»¹±ô »´ ª±´«³»² »­¬? ¼¿¼± °±®æ Ê ã Ôíò

Ô¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼» ª±´«³»² ­» »²½«»²¬®¿ °±® ³»¼·± ¼» ´¿ º-®³«´¿æ

¼Ê ã í Ôî ø¼Ô÷

Û´ ¬»¨¬± ·²¼·½¿ ¯«» »´ ª±´«³»² ¼» ´¿ ½¿¶¿ »­ ìð ½³íô ´«»¹±ô »´ ´¿¼± ¼»¾» ­»® ·¹«¿´ ¿ ´¿ ®¿3¦

½&¾·½¿ ¼» ìðô »­¬± »­æ Ô ã í°

ìðô § ¼Ô ã ðòîë ½³ò

Í«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ¼» ´¿­ ·²½-¹²·¬¿­ »² ´¿ º-®³«´¿ ±¾¬»²»³±­æ

¼Ê ã íí°

ìðîøðòîë÷ ã í î

í°

ëî ï

ì

ã í øì÷ ëîñí ï

ìã í ëîñí

ã íí°

îë ½³

îëòïíîéìïîí ½³îëòïíîéìïîí ½³

Û²½±²¬®¿³±­ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ?®»¿ ½±³± º«²½·-² ¼»´ ®¿¼·± ¼» ´¿ »­º»®¿æÛ²½±²¬®¿³±­ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ?®»¿ ½±³± º«²½·-² ¼»´ ®¿¼·± ¼» ´¿ »­º»®¿æ

è °°® ø

îëòïíîéìïîí ½³îëòïíîéìïîí ½³

Û²½±²¬®¿³±­ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ?®»¿ ½±³± º«²½·-² ¼»´ ®¿¼·± ¼» ´¿ »­º»®¿æÛ²½±²¬®¿³±­ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ?®»¿ ½±³± º«²½·-² ¼»´ ®¿¼·± ¼» ´¿ »­º»®¿æÛ²½±²¬®¿³±­ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ?®»¿ ½±³± º«²½·-² ¼»´ ®¿¼·± ¼» ´¿ »­º»®¿æÛ²½±²¬®¿³±­ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ?®»¿ ½±³± º«²½·-² ¼»´ ®¿¼·± ¼» ´¿ »­º»®¿æÛ²½±²¬®¿³±­ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ?®»¿ ½±³± º«²½·-² ¼»´ ®¿¼·± ¼» ´¿ »­º»®¿æÛ²½±²¬®¿³±­ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ?®»¿ ½±³± º«²½·-² ¼»´ ®¿¼·± ¼» ´¿ »­º»®¿æÛ²½±²¬®¿³±­ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ?®»¿ ½±³± º«²½·-² ¼»´ ®¿¼·± ¼» ´¿ »­º»®¿æÛ²½±²¬®¿³±­ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ?®»¿ ½±³± º«²½·-² ¼»´ ®¿¼·± ¼» ´¿ »­º»®¿æ

è

Û²½±²¬®¿³±­ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ?®»¿ ½±³± º«²½·-² ¼»´ ®¿¼·± ¼» ´¿ »­º»®¿æÛ²½±²¬®¿³±­ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ?®»¿ ½±³± º«²½·-² ¼»´ ®¿¼·± ¼» ´¿ »­º»®¿æ

è °°°°°®°® øøøøø

Page 9: Libro de-integrales

Û¶»³°´± ìÛ²½±²¬®¿®¼» í ¿ íòðîë ½³ò

Í¿¾»³±­ ¯«» »´ ?®»¿ ¼» «²¿ »­º»®¿ »­¬? ¼¿¼± °±®æ ß ã ì ° ®î ò

п®¿ »­¬» ½¿­± ¬»²»³±­ ® ã í ½³ § ¼® ã ðòðîë ½³ò Ô¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ?®»¿ »­æ

¼ß

¼®ã è ° ® ÷ ¼ß ã è ° ® ø¼®÷

Í«­¬·¬«·³±­ ´±­ ª¿´±®»­ ¼» ´¿­ ª¿®·¿¾´»­æ

¼ß ã è ° ® ø¼®÷ ã è ° øí÷øðòðîë÷ ã ðòê ½³î

Û­¬± ¬¿³¾·7² °«»¼» »¨°®»­¿®­» ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» ³¿²»®¿æ

¼ß ã è ° ® ø¼®÷ ã è ° øí÷îë

ï ðððã

îì °

ìðã

ê °

ïð½³î

Û¶»³°´± ëß½»°¬¿²¼± ¯«» «²¿ ¾«®¾«¶¿ ¼» ¶¿¾-² ½±²­»®ª¿ ­« º±®³¿ »­º7®·½¿ ½«¿²¼± ­» »¨°¿²¼»ô a½±² ¯«7

¼» ì °´¹íñ­á

ݱ²±½»³±­ ´¿ º-®³«´¿ °¿®¿ »²½±²¬®¿® »´ ª±´«³»² Ê ¼» «²¿ »­º»®¿æ

Ê ãì

í° ®í

ݱ³± ²»½»­·¬¿³±­ »²½±²¬®¿® ´¿ ®¿°·¼»¦ ½±² ´¿ ¯«» ½®»½» »´ ®¿¼·±ô ¼»®·ª¿³±­ ´¿ º-®³«´¿®»­°»½¬± ¼»´ ¬·»³°± ¼» ³¿²»®¿ ·³°´3½·¬¿æ

¼Ê

¼¬ã ì ° ®î ¼®

¼¬

߸±®¿ ¼»­°»¶¿³±­ ¼®ñ¼¬ô ¯«» »­ ²«»­¬®¿ ·²½-¹²·¬¿æ

¼®

¼¬ã

¼Ê

¼¬

ì ° ®î

Í«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ ±¾¬»²»³±­æ

¼®

¼¬ã

¼Ê

¼¬

ì ° ®îã

ì

ì ° øî÷îã

ï

ì °

°´¹ñ­

Û¶»³°´± êÍ» »­¬·³¿ ¯«» »´ ®¿¼·± ¼» «² ¾¿´-² »­ ¼» ïî °´¹òô ½±² «² ³?¨·³± »®®±® »² ´¿ ³»¼·½·-² ¼» ðòðë°´¹ò Ø¿¹¿ «²¿ »­¬·³¿½·-² ¼»´ ³?¨·³± »®®±® ¯«» ­» °«»¼» ½±³»¬»® ¿´ ½¿´½«´¿® »´ ª±´«³»² ¼»´¾¿´-² »² »­¬¿­ ½±²¼·½·±²»­ò

²»½»­·¬¿³±­ »²½±²¬®¿® ´¿ ®¿°·¼»¦ ½±² ´¿ ¯«» ½®»½» »´ ®¿¼·±ô ¼»®·ª¿³±­ ´¿ º-®³«´¿²»½»­·¬¿³±­ »²½±²¬®¿® ´¿ ®¿°·¼»¦ ½±² ´¿ ¯«» ½®»½» »´ ®¿¼·±ô ¼»®·ª¿³±­ ´¿ º-®³«´¿²»½»­·¬¿³±­ »²½±²¬®¿® ´¿ ®¿°·¼»¦ ½±² ´¿ ¯«» ½®»½» »´ ®¿¼·±ô ¼»®·ª¿³±­ ´¿ º-®³«´¿

¯«» «²¿ ¾«®¾«¶¿ ¼» ¶¿¾-² ½±²­»®ª¿ ­« º±®³¿ »­º7®·½¿ ½«¿²¼± ­» »¨°¿²¼»ô a½±² ¯«7

²»½»­·¬¿³±­ »²½±²¬®¿® ´¿ ®¿°·¼»¦ ½±² ´¿ ¯«» ½®»½» »´ ®¿¼·±ô ¼»®·ª¿³±­ ´¿ º-®³«´¿

¯«» «²¿ ¾«®¾«¶¿ ¼» ¶¿¾-² ½±²­»®ª¿ ­« º±®³¿ »­º7®·½¿ ½«¿²¼± ­» »¨°¿²¼»ô a½±² ¯«7¯«» «²¿ ¾«®¾«¶¿ ¼» ¶¿¾-² ½±²­»®ª¿ ­« º±®³¿ »­º7®·½¿ ½«¿²¼± ­» »¨°¿²¼»ô a½±² ¯«7¯«» «²¿ ¾«®¾«¶¿ ¼» ¶¿¾-² ½±²­»®ª¿ ­« º±®³¿ »­º7®·½¿ ½«¿²¼± ­» »¨°¿²¼»ô a½±² ¯«7

´¿ º-®³«´¿ °¿®¿ »²½±²¬®¿® »´ ª±´«³»²´¿ º-®³«´¿ °¿®¿ »²½±²¬®¿® »´ ª±´«³»²´¿ º-®³«´¿ °¿®¿ »²½±²¬®¿® »´ ª±´«³»²

ì°

í®

¯«» «²¿ ¾«®¾«¶¿ ¼» ¶¿¾-² ½±²­»®ª¿ ­« º±®³¿ »­º7®·½¿ ½«¿²¼± ­» »¨°¿²¼»ô a½±² ¯«7

²»½»­·¬¿³±­ »²½±²¬®¿® ´¿ ®¿°·¼»¦ ½±² ´¿ ¯«» ½®»½» »´ ®¿¼·±ô ¼»®·ª¿³±­ ´¿ º-®³«´¿²»½»­·¬¿³±­ »²½±²¬®¿® ´¿ ®¿°·¼»¦ ½±² ´¿ ¯«» ½®»½» »´ ®¿¼·±ô ¼»®·ª¿³±­ ´¿ º-®³«´¿²»½»­·¬¿³±­ »²½±²¬®¿® ´¿ ®¿°·¼»¦ ½±² ´¿ ¯«» ½®»½» »´ ®¿¼·±ô ¼»®·ª¿³±­ ´¿ º-®³«´¿²»½»­·¬¿³±­ »²½±²¬®¿® ´¿ ®¿°·¼»¦ ½±² ´¿ ¯«» ½®»½» »´ ®¿¼·±ô ¼»®·ª¿³±­ ´¿ º-®³«´¿²»½»­·¬¿³±­ »²½±²¬®¿® ´¿ ®¿°·¼»¦ ½±² ´¿ ¯«» ½®»½» »´ ®¿¼·±ô ¼»®·ª¿³±­ ´¿ º-®³«´¿

¯«» «²¿ ¾«®¾«¶¿ ¼» ¶¿¾-² ½±²­»®ª¿ ­« º±®³¿ »­º7®·½¿ ½«¿²¼± ­» »¨°¿²¼»ô a½±² ¯«7¯«» «²¿ ¾«®¾«¶¿ ¼» ¶¿¾-² ½±²­»®ª¿ ­« º±®³¿ »­º7®·½¿ ½«¿²¼± ­» »¨°¿²¼»ô a½±² ¯«7¯«» «²¿ ¾«®¾«¶¿ ¼» ¶¿¾-² ½±²­»®ª¿ ­« º±®³¿ »­º7®·½¿ ½«¿²¼± ­» »¨°¿²¼»ô a½±² ¯«7¯«» «²¿ ¾«®¾«¶¿ ¼» ¶¿¾-² ½±²­»®ª¿ ­« º±®³¿ »­º7®·½¿ ½«¿²¼± ­» »¨°¿²¼»ô a½±² ¯«7¯«» «²¿ ¾«®¾«¶¿ ¼» ¶¿¾-² ½±²­»®ª¿ ­« º±®³¿ »­º7®·½¿ ½«¿²¼± ­» »¨°¿²¼»ô a½±² ¯«7¯«» «²¿ ¾«®¾«¶¿ ¼» ¶¿¾-² ½±²­»®ª¿ ­« º±®³¿ »­º7®·½¿ ½«¿²¼± ­» »¨°¿²¼»ô a½±² ¯«7¯«» «²¿ ¾«®¾«¶¿ ¼» ¶¿¾-² ½±²­»®ª¿ ­« º±®³¿ »­º7®·½¿ ½«¿²¼± ­» »¨°¿²¼»ô a½±² ¯«7

´¿ º-®³«´¿ °¿®¿ »²½±²¬®¿® »´ ª±´«³»²´¿ º-®³«´¿ °¿®¿ »²½±²¬®¿® »´ ª±´«³»²´¿ º-®³«´¿ °¿®¿ »²½±²¬®¿® »´ ª±´«³»²´¿ º-®³«´¿ °¿®¿ »²½±²¬®¿® »´ ª±´«³»²´¿ º-®³«´¿ °¿®¿ »²½±²¬®¿® »´ ª±´«³»²´¿ º-®³«´¿ °¿®¿ »²½±²¬®¿® »´ ª±´«³»²´¿ º-®³«´¿ °¿®¿ »²½±²¬®¿® »´ ª±´«³»²´¿ º-®³«´¿ °¿®¿ »²½±²¬®¿® »´ ª±´«³»²´¿ º-®³«´¿ °¿®¿ »²½±²¬®¿® »´ ª±´«³»²

ì° ®®°° ®®ííí®í

Page 10: Libro de-integrales

Í¿¾»³±­ ¯«» »´ ª±´«³»² Ê ¼» «²¿ »­º»®¿ »­¬? ¼¿¼± °±®æ

Ê ãì

í° ®í

Ô¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¯«» ´» ½±®®»­°±²¼» ¿ »­¬¿ º«²½·-² »­æ

¼Ê ã ì °®î ø¼®÷

п®¿ »­¬» °®±¾´»³¿ô ½±²±½»³±­ ¯«» ® ã ïî § ¼® ã ðòðëò Û²¬±²½»­

¼Ê ã ì ° øïî÷îøðòðë÷

»­¬± »­ ·¹«¿´ ¿æ ¼Ê ãïìì °

ë°´¹íò

Û¶»³°´± éÍ«°±²¹¿ ¯«» ¿ ´± ´¿®¹± ¼»´ »½«¿¼±® § °±® ¬±¼± ¿´®»¼»¼±® ¼» ´¿ ¬·»®®¿ ­» ½±´±½¿ «²¿ ½»®½¿ ¯«»¬·»²» «²¿ ¿´¬«®¿ ¼» ï ³ò Í«°±²¹¿ ¯«» ´¿ ¬·»®®¿ »­ »­º7®·½¿ § ¯«» ­« ®¿¼·± »­ ¼» ìðôððð Õ³òaÝ«?²¬± ¼»¾» ³»¼·® »´ ?®»¿ ¼» ´¿ ½»®½¿á

Í¿¾»³±­ ¯«» »´ ?®»¿ ¼» «²¿ ½·®½«²º»®»²½·¿ ­» »²½«»²¬®¿ °±® ³»¼·± ¼» ´¿ º-®³«´¿æ ß ã ° ®îòÜ» ¿¯«3 ¯«» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼» ?®»¿ ­»¿æ

¼ß ã î ° ® ø¼®÷

Í«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æ

¼ß ã î °øìð ððð ððð÷øï÷ ã èð ððð ððð ° ã è ïðé° ³î

Û¶»³°´± èÛ´ ¼·?³»¬®± »¨¬»®·±® ¼» «²¿ ½±²½¸¿ »­º7®·½¿ ¼»´¹¿¼¿ »­ ¼» ï ³ò Í· »´ »­°»­±® ¼» ´¿ ½±²½¸¿ »­ ¼»í ½³òô ¿°®±¨·³» »´ ª±´«³»² ®»¯«»®·¼± ¼» ³¿¬»®·¿´ °¿®¿ º¿¾®·½¿® »­¿ ½±²½¸¿ »­º7®·½¿ò

Û´ ª±´«³»² ¼» «²¿ »­º»®¿ »­¬? ¼¿¼± °±®æ

Ê ãì

í° ®í

б¼»³±­ ·³¿¹·²¿® »´ »­°»­±® ¼» ´¿ ½±²½¸¿ ½±³± «²¿ °»¯«»/¿ ª¿®·¿½·-² ¼» ª±´«³»² ¼» «²¿»­º»®¿ ¼»´¹¿¼¿ ¼» «² ³»¬®± ¼» ®¿¼·± § »­°»­±® ·¹«¿´ ¿ ðòðí ³ò Û²¬±²½»­ ¬»²¼®»³±­æ ® ã ï §¼® ã ðòðíò

߸±®¿ »²½±²¬®¿³±­ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼» ª±´«³»² ½±³± º«²½·-² ¼»´ ®¿¼·±æ

¼Ê ã ì ° ®î ø¼®÷

ß´ ­«­¬·¬«·® ´±­ ª¿´±®»­ °±¼»³±­ »²½±²¬®¿® ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¼»´ ª±´«³»² ¼»´ ³¿¬»®·¿´ «¬·ó´·¦¿¼± ¿´ º¿¾®·½¿® ´¿ »­º»®¿æ

¼Ê ã ì ° øï÷îøðòðí÷ ã ì ° øðòðí÷ ã ì °

í

ïððã

í °

îë³í

Û´ ¼·?³»¬®± »¨¬»®·±® ¼» «²¿ ½±²½¸¿ »­º7®·½¿ ¼»´¹¿¼¿ »­ ¼» ï ³ò Í· »´ »­°»­±® ¼» ´¿ ½±²½¸¿ »­ ¼»Û´ ¼·?³»¬®± »¨¬»®·±® ¼» «²¿ ½±²½¸¿ »­º7®·½¿ ¼»´¹¿¼¿ »­ ¼» ï ³ò Í· »´ »­°»­±® ¼» ´¿ ½±²½¸¿ »­ ¼»

¯«» »´ ?®»¿ ¼» «²¿ ½·®½«²º»®»²½·¿ ­» »²½«»²¬®¿ °±® ³»¼·± ¼» ´¿ º-®³«´¿æ¯«» »´ ?®»¿ ¼» «²¿ ½·®½«²º»®»²½·¿ ­» »²½«»²¬®¿ °±® ³»¼·± ¼» ´¿ º-®³«´¿æÜ» ¿¯«3 ¯«» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼» ?®»¿ ­»¿æ

¯«» »´ ?®»¿ ¼» «²¿ ½·®½«²º»®»²½·¿ ­» »²½«»²¬®¿ °±® ³»¼·± ¼» ´¿ º-®³«´¿æÜ» ¿¯«3 ¯«» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼» ?®»¿ ­»¿æ

¯«» »´ ?®»¿ ¼» «²¿ ½·®½«²º»®»²½·¿ ­» »²½«»²¬®¿ °±® ³»¼·± ¼» ´¿ º-®³«´¿æÜ» ¿¯«3 ¯«» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼» ?®»¿ ­»¿æ

¼ß

Í«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æÍ«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æÍ«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æ

èð ððð ðððèð ððð ðððèð ððð ððð

¯«» »´ ?®»¿ ¼» «²¿ ½·®½«²º»®»²½·¿ ­» »²½«»²¬®¿ °±® ³»¼·± ¼» ´¿ º-®³«´¿æ

Û´ ¼·?³»¬®± »¨¬»®·±® ¼» «²¿ ½±²½¸¿ »­º7®·½¿ ¼»´¹¿¼¿ »­ ¼» ï ³ò Í· »´ »­°»­±® ¼» ´¿ ½±²½¸¿ »­ ¼»Û´ ¼·?³»¬®± »¨¬»®·±® ¼» «²¿ ½±²½¸¿ »­º7®·½¿ ¼»´¹¿¼¿ »­ ¼» ï ³ò Í· »´ »­°»­±® ¼» ´¿ ½±²½¸¿ »­ ¼»Û´ ¼·?³»¬®± »¨¬»®·±® ¼» «²¿ ½±²½¸¿ »­º7®·½¿ ¼»´¹¿¼¿ »­ ¼» ï ³ò Í· »´ »­°»­±® ¼» ´¿ ½±²½¸¿ »­ ¼»Û´ ¼·?³»¬®± »¨¬»®·±® ¼» «²¿ ½±²½¸¿ »­º7®·½¿ ¼»´¹¿¼¿ »­ ¼» ï ³ò Í· »´ »­°»­±® ¼» ´¿ ½±²½¸¿ »­ ¼»

¯«» »´ ?®»¿ ¼» «²¿ ½·®½«²º»®»²½·¿ ­» »²½«»²¬®¿ °±® ³»¼·± ¼» ´¿ º-®³«´¿æÜ» ¿¯«3 ¯«» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼» ?®»¿ ­»¿æÜ» ¿¯«3 ¯«» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼» ?®»¿ ­»¿æ

¯«» »´ ?®»¿ ¼» «²¿ ½·®½«²º»®»²½·¿ ­» »²½«»²¬®¿ °±® ³»¼·± ¼» ´¿ º-®³«´¿æÜ» ¿¯«3 ¯«» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼» ?®»¿ ­»¿æÜ» ¿¯«3 ¯«» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼» ?®»¿ ­»¿æ

¯«» »´ ?®»¿ ¼» «²¿ ½·®½«²º»®»²½·¿ ­» »²½«»²¬®¿ °±® ³»¼·± ¼» ´¿ º-®³«´¿æ¯«» »´ ?®»¿ ¼» «²¿ ½·®½«²º»®»²½·¿ ­» »²½«»²¬®¿ °±® ³»¼·± ¼» ´¿ º-®³«´¿æ¯«» »´ ?®»¿ ¼» «²¿ ½·®½«²º»®»²½·¿ ­» »²½«»²¬®¿ °±® ³»¼·± ¼» ´¿ º-®³«´¿æ¯«» »´ ?®»¿ ¼» «²¿ ½·®½«²º»®»²½·¿ ­» »²½«»²¬®¿ °±® ³»¼·± ¼» ´¿ º-®³«´¿æÜ» ¿¯«3 ¯«» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼» ?®»¿ ­»¿æÜ» ¿¯«3 ¯«» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼» ?®»¿ ­»¿æ

¼ß¼ß

Í«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æÍ«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æÍ«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æÍ«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æÍ«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æÍ«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æÍ«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æÍ«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æÍ«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æÍ«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æÍ«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æÍ«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æÍ«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æÍ«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æ

èð ððð ðððèð ððð ððð

Í«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æÍ«­¬·¬«§»²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æ

èð ððð ðððèð ððð ðððèð ððð ðððèð ððð ðððèð ððð ðððèð ððð ððð

Page 11: Libro de-integrales

Û¶»³°´± ç

Í» ³·¼» »´ ¼·?³»¬®± ¼» «²¿ »­º»®¿ § ½±² »´ ®»­«´¬¿¼± ­» ½¿´½«´¿ »´ ª¿´±® ¼» ­«ª±´«³»²ò Í· »´ ³?¨·³± »®®±® °±­·¾´» ¿´ ³»¼·® »´ ¼·?³»¬®± »­ ðòðî ½³ § »´ »®®±®³?¨·³± ¿½»°¬¿¾´» ¿´ ³»¼·® »´ ª±´«³»² »­ ¼» í ½³íô a½«?´ »­ »´ ¼·?³»¬®± ¿°®±¨·³¿¼± ¼» ´¿»­º»®¿ »² »­¬¿­ ½±²¼·½·±²»­á

Í¿¾»³±­ ¯«» »´ ª±´«³»² ¼» ´¿ »­º»®¿ ­» »²½«»²¬®¿ °±® ³»¼·± ¼» ´¿ º-®³«´¿æ

Ê ãì

í° ®í

Ü» ¿¯«3 °±¼»³±­ º?½·´³»²¬» ±¾¬»²»® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ª±´«³»² ½±³± «²¿ º«²½·-² ¼»´ ®¿¼·±æ

¼Ê ã ì ° ®î ø¼®÷

Û­¬¿ ·¹«¿´¼¿¼ »­ »¯«·ª¿´»²¬» ¿ ´¿ ­·¹«·»²¬»æ

®î ãø¼Ê÷

ì ° ø¼®÷

Í¿¾»³±­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± °»®³·­·¾´» »² »´ ª±´«³»² »­ ¼» í ½³íô »­¬± ½±®®»­°±²¼» ¿ ¼Êô³·»²¬®¿­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± »² ´¿ ³»¼·½·-² ¼»´ ®¿¼·± »­ ¼» ðòðî ½³ô ¯«» ½±®®»­°±²¼» ¿´ª¿´±® ¼» ¼®ò

Í«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ô § »²½±²¬®¿³±­ ®îò

®î ãø¼Ê÷

ì ° ø¼®÷ã

í

ì ° øðòðî÷ã

íðð

è °

ãéë

î °

Û­¬± ·³°´·½¿ ¯«»æ

® ã

®éë

î °

Û´ ¼·?³»¬®± »­ »´ ¼±¾´» ¼»´ ®¿¼·±ô »²¬±²½»­æ

Ü ã î

®éë

î °

ã

®ïëð

°

½³

Û¶»³°´± ïðÔ¿ ¿´¬«®¿ ¼» «² ½·´·²¼®± ½·®½«´¿® ®»½¬± »­ ¼» ïð ½³ò Í· »´ ®¿¼·± ¼» ´¿ ¾¿­» ½¿³¾·¿ ¼» î ¿ îòðê ½³ô½¿´½«´» »´ ½¿³¾·± ¼» ª±´«³»² ¿°®±¨·³¿¼± ¼»´ ½·´·²¼®±ò

Û´ ª±´«³»² ¼»´ ½·´·²¼®± »­¬? ¼¿¼± °±®æ

Ê ã ° ®î ¸

¼±²¼» Ê »­ »´ ª±´«³»² ø»² ½³í÷ô ® »­ »´ ®¿¼·± ¼»´ ½·´·²¼®± ø»² ½³÷ § ¸ »­ ´¿ ¿´¬«®¿ ø»² ½³÷¼»´ ³·­³±ò

ݱ³± ¸¿®»³±­ «²¿ °»¯«»/¿ ª¿®·¿½·-² »² »´ ®¿¼·±ô ¼»¾»³±­ »²½±²¬®¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ª±´«³»² ½±³± «²¿ º«²½·-² ¼»´ ®¿¼·±ô »­¬± ®»­«´¬¿ »²æ

¼Ê ã î ° ® ¸ ø¼®÷

Í¿¾»³±­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± °»®³·­·¾´» »² »´ ª±´«³»² »­ ¼» í ½³Í¿¾»³±­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± °»®³·­·¾´» »² »´ ª±´«³»² »­ ¼» í ½³Í¿¾»³±­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± °»®³·­·¾´» »² »´ ª±´«³»² »­ ¼» í ½³³·»²¬®¿­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± »² ´¿ ³»¼·½·-² ¼»´ ®¿¼·± »­ ¼» ðòðî ½³ô ¯«» ½±®®»­°±²¼» ¿´Í¿¾»³±­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± °»®³·­·¾´» »² »´ ª±´«³»² »­ ¼» í ½³³·»²¬®¿­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± »² ´¿ ³»¼·½·-² ¼»´ ®¿¼·± »­ ¼» ðòðî ½³ô ¯«» ½±®®»­°±²¼» ¿´Í¿¾»³±­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± °»®³·­·¾´» »² »´ ª±´«³»² »­ ¼» í ½³³·»²¬®¿­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± »² ´¿ ³»¼·½·-² ¼»´ ®¿¼·± »­ ¼» ðòðî ½³ô ¯«» ½±®®»­°±²¼» ¿´

Í«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ô § »²½±²¬®¿³±­Í«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ô § »²½±²¬®¿³±­Í«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ô § »²½±²¬®¿³±­ ®

í

° øøðòðîðòðî

Í¿¾»³±­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± °»®³·­·¾´» »² »´ ª±´«³»² »­ ¼» í ½³Í¿¾»³±­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± °»®³·­·¾´» »² »´ ª±´«³»² »­ ¼» í ½³Í¿¾»³±­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± °»®³·­·¾´» »² »´ ª±´«³»² »­ ¼» í ½³³·»²¬®¿­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± »² ´¿ ³»¼·½·-² ¼»´ ®¿¼·± »­ ¼» ðòðî ½³ô ¯«» ½±®®»­°±²¼» ¿´³·»²¬®¿­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± »² ´¿ ³»¼·½·-² ¼»´ ®¿¼·± »­ ¼» ðòðî ½³ô ¯«» ½±®®»­°±²¼» ¿´Í¿¾»³±­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± °»®³·­·¾´» »² »´ ª±´«³»² »­ ¼» í ½³³·»²¬®¿­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± »² ´¿ ³»¼·½·-² ¼»´ ®¿¼·± »­ ¼» ðòðî ½³ô ¯«» ½±®®»­°±²¼» ¿´³·»²¬®¿­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± »² ´¿ ³»¼·½·-² ¼»´ ®¿¼·± »­ ¼» ðòðî ½³ô ¯«» ½±®®»­°±²¼» ¿´Í¿¾»³±­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± °»®³·­·¾´» »² »´ ª±´«³»² »­ ¼» í ½³³·»²¬®¿­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± »² ´¿ ³»¼·½·-² ¼»´ ®¿¼·± »­ ¼» ðòðî ½³ô ¯«» ½±®®»­°±²¼» ¿´³·»²¬®¿­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± »² ´¿ ³»¼·½·-² ¼»´ ®¿¼·± »­ ¼» ðòðî ½³ô ¯«» ½±®®»­°±²¼» ¿´Í¿¾»³±­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± °»®³·­·¾´» »² »´ ª±´«³»² »­ ¼» í ½³³·»²¬®¿­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± »² ´¿ ³»¼·½·-² ¼»´ ®¿¼·± »­ ¼» ðòðî ½³ô ¯«» ½±®®»­°±²¼» ¿´Í¿¾»³±­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± °»®³·­·¾´» »² »´ ª±´«³»² »­ ¼» í ½³³·»²¬®¿­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± »² ´¿ ³»¼·½·-² ¼»´ ®¿¼·± »­ ¼» ðòðî ½³ô ¯«» ½±®®»­°±²¼» ¿´Í¿¾»³±­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± °»®³·­·¾´» »² »´ ª±´«³»² »­ ¼» í ½³Í¿¾»³±­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± °»®³·­·¾´» »² »´ ª±´«³»² »­ ¼» í ½³Í¿¾»³±­ ¯«» »´ »®®±® ³?¨·³± °»®³·­·¾´» »² »´ ª±´«³»² »­ ¼» í ½³

Í«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ô § »²½±²¬®¿³±­Í«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ô § »²½±²¬®¿³±­Í«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ô § »²½±²¬®¿³±­Í«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ô § »²½±²¬®¿³±­Í«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ô § »²½±²¬®¿³±­Í«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ô § »²½±²¬®¿³±­Í«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ô § »²½±²¬®¿³±­Í«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ô § »²½±²¬®¿³±­ ®®Í«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ô § »²½±²¬®¿³±­

° øøøøøøðòðîðòðî

ííí

øðòðîøðòðîðòðî

Page 12: Libro de-integrales

߸±®¿ ­«­¬·¬«·³±­ ´±­ ª¿´±®»­ ¼» ´¿­ ª¿®·¿¾´»­æ ¼» ¿½«»®¼± ¿´ ¬»¨¬± ¸ ã ïð ½³ô ® ã î ½³ô¼® ã ðòðê ½³ò

¼Ê ã î ° ® ¸ ø¼®÷ ã î ° øî÷øïð÷øðòðê÷ ã îòì ° ½³í

Û¶»³°´± ïïÜ» «² ½±²¬»²»¼±® ½¿» ¿®»²¿ º±®³¿²¼± «² ½±²± ½·®½«´¿® ½«§¿ ¿´¬«®¿ »­ ­·»³°®» ·¹«¿´ ¿´ ®¿¼·±ò Í·»² ½·»®¬± ·²­¬¿²¬»ô »´ ®¿¼·± »­ ïð ½³òô «¬·´·½» ¼·º»®»²½·¿´»­ °¿®¿ »²½±²¬®¿® ¯«7 ½¿³¾·± »² »´ ®¿¼·±±½¿­·±²¿®? «² ¿«³»²¬± »² »´ ª±´«³»² ¼» ¿®»²¿ »² î ½³íò

Û´ ª±´«³»² ¼»´ ½±²± ¼» ®¿¼·± ® § ¿´¬«®¿ ¸ »­¬? ¼¿¼± °±®æ

Ê ã° ®î ¸

í

л®± °¿®¿ »­¬» ½¿­± °¿®¬·½«´¿®ô ´¿ ¿´¬«®¿ ­·»³°®» »­ ·¹«¿´ ¿´ ®¿¼·±ô »²¬±²½»­ »´ ª±´«³»² ¼»»­¬» ½±²± ¼»¾» ­»®æ

Ê ãï

í° ®í

Ô¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ª±´«³»² ½±³± º«²½·-² ¼»´ ®¿¼·± »­æ

¼Ê ã ° ®î ø¼®÷

Í¿¾»³±­ ¯«» ® ã ïð ½³òô § ¯«» ¼Ê ã î ½³íò

Ò«»­¬®± °®±¾´»³¿ ½±²­·­¬» »² »²½±²¬®¿® »´ ·²½®»³»²¬± »² »´ ®¿¼·± ¯«» ¸¿®? ¯«» »´ ª±´«³»²½®»¦½¿ »² ¼Ê ã î ½³íò

Ю·³»®± ¼»­°»¶¿³±­ ¼® ¼» ´¿ »¨°®»­·-² ¯«» ²±­ ¼¿ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ª±´«³»²ô § ¼»­°«7­­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ²«»ª¿ »¨°®»­·-²ô ½±² ´± ¯«» ±¾¬»²»³±­æ

¼® ãø¼Ê÷

° ®îã

î

° øïð÷îã

ï

ëð °

½³ò

Û¶»³°´± ïî˲ ²·/± »­¬? »´»ª¿²¼± «² °¿°¿´±¬» ø«²¿ ½±³»¬¿÷ò Í· »´ °¿°¿´±¬» »­¬? ¿ ç ³»¬®±­ ¼» ¿´¬«®¿ § »´ª·»²¬± »­¬? ­±°´¿²¼± ¿ ®¿¦-² ¼» ë ³ñ­òô a½±² ¯«7 ®¿°·¼»¦ »­¬? ­±´¬¿²¼± »´ ²·/± ´¿ ½«»®¼¿ »² »´³±³»²¬± ¯«» ¸¿ ­±´¬¿¼± ïëð ³»¬®±­á

п®¿ ®»­±´ª»® »­¬» °®±¾´»³¿ ­«°±²¼®»³±­ ¯«» ´¿ ½±³»¬¿ »­ ¿®®¿­¬®¿¼¿ °±® »´ ª·»²¬± ¿ ´¿ª»´±½·¼¿¼ ¼»´ ³·­³± øë ³ñ­÷ò

Û²¬±²½»­ô ´¿ ½±³»¬¿ ª·¿¶¿ ¼» ³¿²»®¿ ¸±®·¦±²¬¿´ ¿ ®¿¦-² ¼» ë ³ñ­ô ¿ «²¿ ¿´¬«®¿ ½±²­¬¿²¬» ¼»ç ³»¬®±­ò

Í»¿ ® ´¿ ´±²¹·¬«¼ ¼» ´¿ ½«»®¼¿ ¯«» »´ ²·/± ¸¿ ­±´¬¿¼±ô ¨ ´¿ ¼·­¬¿²½·¿ ³»¼·¼¿ ¼»­¼» »´ °·» ¼»´²·/± ¸¿­¬¿ »´ °«²¬± ¼±²¼» ¬±½¿ »´ ­«»´± ´¿ °®±§»½½·-² ª»®¬·½¿´ ¼» ´¿ ½±³»¬¿ò

¨

ç ³

˲ ²·/± »­¬? »´»ª¿²¼± «² °¿°¿´±¬» ø«²¿ ½±³»¬¿÷ò Í· »´ °¿°¿´±¬» »­¬? ¿ ç ³»¬®±­ ¼» ¿´¬«®¿ § »´Ë² ²·/± »­¬? »´»ª¿²¼± «² °¿°¿´±¬» ø«²¿ ½±³»¬¿÷ò Í· »´ °¿°¿´±¬» »­¬? ¿ ç ³»¬®±­ ¼» ¿´¬«®¿ § »´

ëð °

¼Êïð ½³òô § ¯«» ¼Ê ãïð ½³òô § ¯«»

Ò«»­¬®± °®±¾´»³¿ ½±²­·­¬» »² »²½±²¬®¿® »´ ·²½®»³»²¬± »² »´ ®¿¼·± ¯«» ¸¿®? ¯«» »´ ª±´«³»²Ò«»­¬®± °®±¾´»³¿ ½±²­·­¬» »² »²½±²¬®¿® »´ ·²½®»³»²¬± »² »´ ®¿¼·± ¯«» ¸¿®? ¯«» »´ ª±´«³»²

¼» ´¿ »¨°®»­·-² ¯«» ²±­ ¼¿ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ª±´«³»²ô § ¼»­°«7­¼» ´¿ »¨°®»­·-² ¯«» ²±­ ¼¿ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ª±´«³»²ô § ¼»­°«7­­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ²«»ª¿ »¨°®»­·-²ô ½±² ´± ¯«» ±¾¬»²»³±­æ­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ²«»ª¿ »¨°®»­·-²ô ½±² ´± ¯«» ±¾¬»²»³±­æ­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ²«»ª¿ »¨°®»­·-²ô ½±² ´± ¯«» ±¾¬»²»³±­æ

î

­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ²«»ª¿ »¨°®»­·-²ô ½±² ´± ¯«» ±¾¬»²»³±­æ

îã

ïð ½³òô § ¯«»

˲ ²·/± »­¬? »´»ª¿²¼± «² °¿°¿´±¬» ø«²¿ ½±³»¬¿÷ò Í· »´ °¿°¿´±¬» »­¬? ¿ ç ³»¬®±­ ¼» ¿´¬«®¿ § »´Ë² ²·/± »­¬? »´»ª¿²¼± «² °¿°¿´±¬» ø«²¿ ½±³»¬¿÷ò Í· »´ °¿°¿´±¬» »­¬? ¿ ç ³»¬®±­ ¼» ¿´¬«®¿ § »´

ëð °

¼Ê ãïð ½³òô § ¯«» ¼Êïð ½³òô § ¯«» ¼Êïð ½³òô § ¯«» ¼Ê¼Ê ãã¼Êïð ½³òô § ¯«»ïð ½³òô § ¯«» ¼Ê¼Ê

Ò«»­¬®± °®±¾´»³¿ ½±²­·­¬» »² »²½±²¬®¿® »´ ·²½®»³»²¬± »² »´ ®¿¼·± ¯«» ¸¿®? ¯«» »´ ª±´«³»²Ò«»­¬®± °®±¾´»³¿ ½±²­·­¬» »² »²½±²¬®¿® »´ ·²½®»³»²¬± »² »´ ®¿¼·± ¯«» ¸¿®? ¯«» »´ ª±´«³»²Ò«»­¬®± °®±¾´»³¿ ½±²­·­¬» »² »²½±²¬®¿® »´ ·²½®»³»²¬± »² »´ ®¿¼·± ¯«» ¸¿®? ¯«» »´ ª±´«³»²Ò«»­¬®± °®±¾´»³¿ ½±²­·­¬» »² »²½±²¬®¿® »´ ·²½®»³»²¬± »² »´ ®¿¼·± ¯«» ¸¿®? ¯«» »´ ª±´«³»²Ò«»­¬®± °®±¾´»³¿ ½±²­·­¬» »² »²½±²¬®¿® »´ ·²½®»³»²¬± »² »´ ®¿¼·± ¯«» ¸¿®? ¯«» »´ ª±´«³»²Ò«»­¬®± °®±¾´»³¿ ½±²­·­¬» »² »²½±²¬®¿® »´ ·²½®»³»²¬± »² »´ ®¿¼·± ¯«» ¸¿®? ¯«» »´ ª±´«³»²Ò«»­¬®± °®±¾´»³¿ ½±²­·­¬» »² »²½±²¬®¿® »´ ·²½®»³»²¬± »² »´ ®¿¼·± ¯«» ¸¿®? ¯«» »´ ª±´«³»²

¼» ´¿ »¨°®»­·-² ¯«» ²±­ ¼¿ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ª±´«³»²ô § ¼»­°«7­¼» ´¿ »¨°®»­·-² ¯«» ²±­ ¼¿ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ª±´«³»²ô § ¼»­°«7­¼» ´¿ »¨°®»­·-² ¯«» ²±­ ¼¿ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ª±´«³»²ô § ¼»­°«7­¼» ´¿ »¨°®»­·-² ¯«» ²±­ ¼¿ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ª±´«³»²ô § ¼»­°«7­¼» ´¿ »¨°®»­·-² ¯«» ²±­ ¼¿ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ª±´«³»²ô § ¼»­°«7­­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ²«»ª¿ »¨°®»­·-²ô ½±² ´± ¯«» ±¾¬»²»³±­æ

¼» ´¿ »¨°®»­·-² ¯«» ²±­ ¼¿ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ª±´«³»²ô § ¼»­°«7­­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ²«»ª¿ »¨°®»­·-²ô ½±² ´± ¯«» ±¾¬»²»³±­æ­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ²«»ª¿ »¨°®»­·-²ô ½±² ´± ¯«» ±¾¬»²»³±­æ

¼» ´¿ »¨°®»­·-² ¯«» ²±­ ¼¿ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ª±´«³»²ô § ¼»­°«7­­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ²«»ª¿ »¨°®»­·-²ô ½±² ´± ¯«» ±¾¬»²»³±­æ­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ²«»ª¿ »¨°®»­·-²ô ½±² ´± ¯«» ±¾¬»²»³±­æ­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ²«»ª¿ »¨°®»­·-²ô ½±² ´± ¯«» ±¾¬»²»³±­æ

¼» ´¿ »¨°®»­·-² ¯«» ²±­ ¼¿ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ª±´«³»²ô § ¼»­°«7­¼» ´¿ »¨°®»­·-² ¯«» ²±­ ¼¿ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ª±´«³»²ô § ¼»­°«7­¼» ´¿ »¨°®»­·-² ¯«» ²±­ ¼¿ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ª±´«³»²ô § ¼»­°«7­­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ²«»ª¿ »¨°®»­·-²ô ½±² ´± ¯«» ±¾¬»²»³±­æ­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ²«»ª¿ »¨°®»­·-²ô ½±² ´± ¯«» ±¾¬»²»³±­æ­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ²«»ª¿ »¨°®»­·-²ô ½±² ´± ¯«» ±¾¬»²»³±­æ­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ²«»ª¿ »¨°®»­·-²ô ½±² ´± ¯«» ±¾¬»²»³±­æ­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ²«»ª¿ »¨°®»­·-²ô ½±² ´± ¯«» ±¾¬»²»³±­æ­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ²«»ª¿ »¨°®»­·-²ô ½±² ´± ¯«» ±¾¬»²»³±­æ

î

­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ²«»ª¿ »¨°®»­·-²ô ½±² ´± ¯«» ±¾¬»²»³±­æ­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ²«»ª¿ »¨°®»­·-²ô ½±² ´± ¯«» ±¾¬»²»³±­æ

îããããã

Page 13: Libro de-integrales

Ü» ¿½«»®¼± ¿´ ¬»±®»³¿ ¼» з¬?¹±®¿­æ ¨î õ øç÷î ã ®î ÷ ¨î õ èï ã ®îò

Û²½±²¬®¿³±­ ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ ·³°´3½·¬¿ ¼» »­¬¿ »¨°®»­·-² ®»­°»½¬± ¿´ ¬·»³°±æ

î ¨¼¨

¼¬ã î ®

¼®

¼¬

߸±®¿ ¼»­°»¶¿³±­ ´¿ ·²½-¹²·¬¿æ

¼®

¼¬ã

¨¼¨

¼¬®

п®¿ »²½±²¬®¿® »´ ª¿´±® ¼» ´¿ ·²½-¹²·¬¿ô ¼»¾»³±­ ½±²±½»® °®·³»®± ® øïëð ³÷ô ¼¨ñ¼¬ øë ³ñ­÷ §»´ ª¿´±® ¼» ¨ò

п®¿ »­¬± «¬·´·¦¿³±­ »´ ¬»±®»³¿ ¼» з¬?¹±®¿­æ

¨ ã°

ïëðî çî ã°

îî ëðð èï ã°

îî ìïç

߸±®¿ô ´± ¯«» º¿´¬¿ »­ ­«­¬·¬«·® ´±­ ª¿´±®»­ ½±²±½·¼±­ °¿®¿ »²½±²¬®¿® »´ ª¿´±® ¼» ´¿ ·²½-¹²·¬¿æ

¼®

¼¬ã

¨¼¨

¼¬®

ã

°îî ìïç øë÷

ïëðã

°îî ìïç

íðìòçç ³»¬®±­ °±® ­»¹«²¼±ò

°°îî ìïç

ïëð

îî ìïç

ïëð

°°îî ìïç

ïëð

îî ìïç

ïëðïëðïëðïëðïëðïëð

îî ìïçîî ìïçîî ìïç

Page 14: Libro de-integrales

Û´ ­»³»­¬®» °¿­¿¼± »­¬«¼·¿³±­ »´ °®±½»­± ¼» ¼»®·ª¿½·-²ô ¯«» ½±²­·­¬» »² ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ ¼»«²¿ º«²½·-²ò

߸±®¿ ²±­ ª¿³±­ ¿ ±½«°¿® ¼»´ °®±½»­± ·²ª»®­±ò

Û¶»³°´± ï

л²­7 «²¿ º«²½·-²òòò Ý¿´½«´7 ­« ¼»®·ª¿¼¿ § ±¾¬«ª»æ

¼§

¼¨ã »¨

aÏ«7 º«²½·-² °»²­7á

߯«3 ¬»²»³±­ ¯«» »²½±²¬®¿® ´¿ º«²½·-² ¯«» ¿´ ¼»®·ª¿® ¼¿ ½±³± ®»­«´¬¿¼± »¨ò

л®± ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ ¼» »¨ »­ »´´¿ ³·­³¿ò

Û²¬±²½»­ô ¼»¾·- °»²­¿® ´¿ º«²½·-²æ§ ã »¨

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ½±²±½»³±­ º ðø¨÷ § ¯«»®»³±­ »²½±²¬®¿® ± ½¿´½«´¿® º ø¨÷ò Û­¬» °®±½»­± »­ »¨¿½¬¿³»²¬»»´ ·²ª»®­± ¼» ´¿ ¼»®·ª¿½·-²ò

ï

ß²¬·¼»®·ª¿¼¿Í»¿ § ã Úø¨÷ «²¿ º«²½·-² ¼»®·ª¿¾´»ô § ­« ¼»®·ª¿¼¿ §ð ã Úðø¨÷ ã º ø¨÷ò Û²¬±²½»­ô¼»½·³±­ ¯«» Úø¨÷ »­ «²¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º ø¨÷ò ß ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¬¿³¾·7² ­» ´» ½±²±½» ½±³± º«²½·-²°®·³·¬·ª¿ò

Û² °¿´¿¾®¿­ô ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» «²¿ º«²½·-² º ø¨÷ »­ ±¬®¿ º«²½·-² Úø¨÷ô ½±² ´¿ °®±°·»¼¿¼æ Úðø¨÷ 㺠ø¨÷ò

Û¶»³°´± îÝ¿´½«´¿ ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º ø¨÷ ã î ¨ õ ïò

Ô¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» »­¬¿ º«²½·-² »­ ±¬®¿ º«²½·-² ¬¿´ ¯«» ¿´ ¼»®·ª¿®´¿ô ±¾¬»²»³±­æ î ¨ õ ïò

˲¿ º«²½·-² ¯«» ½«³°´» »­» ®»¯«·­·¬± »­æ

Úø¨÷ ã ¨î õ ¨

л®± ²± »­ ´¿ &²·½¿ò

Ô¿ º«²½·-²æ § ã ¨î õ ¨ õ ï ¬¿³¾·7² »­ «²¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ò

ß´ ·¹«¿´ ¯«» ´¿ º«²½·-²æ § ã ¨î õ ¨ ïò

Ç »² ¹»²»®¿´ô ´¿ º¿³·´·¿ ¼» º«²½·±²»­æ § ã ¨î õ ¨ õ µô ­·»²¼± µ ½«¿´¯«·»® ²&³»®± ®»¿´ô »­ «²¿¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-²æ º ø¨÷ ã î ¨ õ ïò

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» «²¿ º«²½·-² ²± »­ ­±´¿³»²¬» «²¿ º«²½·-²ô ­·²± «²¿ º¿³·´·¿ ¼»º«²½·±²»­ò

»­ ±¬®¿ º«²½·-²

§ ¯«»®»³±­ »²½±²¬®¿® ± ½¿´½«´¿®§ ¯«»®»³±­ »²½±²¬®¿® ± ½¿´½«´¿®§ ¯«»®»³±­ »²½±²¬®¿® ± ½¿´½«´¿®

«²¿ º«²½·-² ¼»®·ª¿¾´»ô § ­« ¼»®·ª¿¼¿ §«²¿ º«²½·-² ¼»®·ª¿¾´»ô § ­« ¼»®·ª¿¼¿ §ò ß ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¬¿³¾·7² ­» ´» ½±²±½» ½±³± º«²½·-²ò ß ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¬¿³¾·7² ­» ´» ½±²±½» ½±³± º«²½·-²ò ß ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¬¿³¾·7² ­» ´» ½±²±½» ½±³± º«²½·-²

»­ ±¬®¿ º«²½·-²»­ ±¬®¿ º«²½·-²

§ ¯«»®»³±­ »²½±²¬®¿® ± ½¿´½«´¿®§ ¯«»®»³±­ »²½±²¬®¿® ± ½¿´½«´¿®§ ¯«»®»³±­ »²½±²¬®¿® ± ½¿´½«´¿®§ ¯«»®»³±­ »²½±²¬®¿® ± ½¿´½«´¿®§ ¯«»®»³±­ »²½±²¬®¿® ± ½¿´½«´¿®§ ¯«»®»³±­ »²½±²¬®¿® ± ½¿´½«´¿®§ ¯«»®»³±­ »²½±²¬®¿® ± ½¿´½«´¿®§ ¯«»®»³±­ »²½±²¬®¿® ± ½¿´½«´¿®§ ¯«»®»³±­ »²½±²¬®¿® ± ½¿´½«´¿®

«²¿ º«²½·-² ¼»®·ª¿¾´»ô § ­« ¼»®·ª¿¼¿ §«²¿ º«²½·-² ¼»®·ª¿¾´»ô § ­« ¼»®·ª¿¼¿ §«²¿ º«²½·-² ¼»®·ª¿¾´»ô § ­« ¼»®·ª¿¼¿ §ò ß ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¬¿³¾·7² ­» ´» ½±²±½» ½±³± º«²½·-²ò ß ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¬¿³¾·7² ­» ´» ½±²±½» ½±³± º«²½·-²

«²¿ º«²½·-² ¼»®·ª¿¾´»ô § ­« ¼»®·ª¿¼¿ §«²¿ º«²½·-² ¼»®·ª¿¾´»ô § ­« ¼»®·ª¿¼¿ §«²¿ º«²½·-² ¼»®·ª¿¾´»ô § ­« ¼»®·ª¿¼¿ §«²¿ º«²½·-² ¼»®·ª¿¾´»ô § ­« ¼»®·ª¿¼¿ §«²¿ º«²½·-² ¼»®·ª¿¾´»ô § ­« ¼»®·ª¿¼¿ §«²¿ º«²½·-² ¼»®·ª¿¾´»ô § ­« ¼»®·ª¿¼¿ §«²¿ º«²½·-² ¼»®·ª¿¾´»ô § ­« ¼»®·ª¿¼¿ §«²¿ º«²½·-² ¼»®·ª¿¾´»ô § ­« ¼»®·ª¿¼¿ §ò ß ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¬¿³¾·7² ­» ´» ½±²±½» ½±³± º«²½·-²ò ß ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¬¿³¾·7² ­» ´» ½±²±½» ½±³± º«²½·-²ò ß ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¬¿³¾·7² ­» ´» ½±²±½» ½±³± º«²½·-²ò ß ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¬¿³¾·7² ­» ´» ½±²±½» ½±³± º«²½·-²ò ß ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¬¿³¾·7² ­» ´» ½±²±½» ½±³± º«²½·-²ò ß ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¬¿³¾·7² ­» ´» ½±²±½» ½±³± º«²½·-²ò ß ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¬¿³¾·7² ­» ´» ½±²±½» ½±³± º«²½·-²

»­ ±¬®¿ º«²½·-²»­ ±¬®¿ º«²½·-²»­ ±¬®¿ º«²½·-²»­ ±¬®¿ º«²½·-²

Page 15: Libro de-integrales

ݱ²­¬¿²¬» ¼» ·²¬»¹®¿½·-²

Ý«¿²¼± ·³°±²¹¿³±­ «²¿ ½±²¼·½·-² ¯«» ¼»¾¿ ­¿¬·­º¿½»® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-² ¼¿¼¿ô °±®»¶»³°´±ô ¯«» °¿­» °±® «² °«²¬± ¼¿¼±ô ¬»²¼®»³±­ ´¿ °±­·¾·´·¼¿¼ ¼» ®»¼«½·® ¬±¼¿ «²¿ º¿³·´·¿ ¼»º«²½·±²»­ ¿ «²¿ ­±´¿ º«²½·-²ò

Û¶»³°´± ï

Ý¿´½«´¿ ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-²æ

º ø¨÷ ã î ¨ õ ï

¯«» °¿­¿ °±® »´ °«²¬± ßøðô ï÷ò

Ю·³»®± ½¿´½«´¿³±­ ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ § ¼»­°«7­ ²±­ °®»±½«°¿®»³±­ °±® ¯«» °¿­» °±® »´ °«²¬±¼¿¼±ò

Ô¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-² »­æ

Úø¨÷ ã ¨î õ ¨ õ Ý

Úðø¨÷ ã º ø¨÷ò

Í· ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼»¾» °¿­¿® °±® »´ °«²¬± ßøðô ï÷ô »²¬±²½»­ 7­¬¿ ¼»¾» ­¿¬·­º¿½»® ´¿­ ½±±®¼»ó²¿¼¿­ ¼» »­» °«²¬±ò

Ó¿¬»³?¬·½¿³»²¬»ô ¬»²»³±­æ Úøð÷ ã ï

Úøð÷ ã øð÷î õ ð õ Ý ã ï ÷ Ý ã ï

Û²¬±²½»­ô ´¿ ½±²­¬¿²¬» ¼» ·²¬»¹®¿½·-² »­ Ý ã ïô § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ °¿®¬·½«´¿® ¯«» ­¿¬·­º¿½» ´¿½±²¼·½·-² ¼» °¿­¿® °±® »´ °«²¬± ßøðô ï÷ »­æ

Úø¨÷ ã ¨î õ ¨ õ ï

߸±®¿ »´ ®»­«´¬¿¼± ²± º«» «²¿ º¿³·´·¿ ¼» º«²½·±²»­ô ¼¿¼± ¯«» ¼»¾3¿² ­¿¬·­º¿½»® ´¿ ½±²¼·½·-² ¼»°¿­¿® °±® »´ °«²¬± ¼¿¼±ò

Û´ ¸»½¸± ¼» ­¿¬·­º¿½»® ´¿ ½±²¼·½·-² ±½¿­·±²- ¯«» ´¿ ½±²­¬¿²¬» ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ­» ½±²ª·®¬·»®¿ »² «²¿½±²­¬¿²¬» °¿®¬·½«´¿® ø»² »­¬» ½¿­±ô Ý ã ï÷ò

Ý«¿²¼± ²± ·³°±²»³±­ ´¿ ½±²¼·½·-² ¼» ¯«» °¿­» °±® «² °«²¬±ô ²±­ ¯«»¼¿³±­ ½±² «²¿ º¿³·´·¿ ¼»

§ ã Úø¨÷ò

Í· ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼»¾» °¿­¿® °±® »´ °«²¬±

ïô § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿

Í· ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼»¾» °¿­¿® °±® »´ °«²¬±Í· ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼»¾» °¿­¿® °±® »´ °«²¬±Í· ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼»¾» °¿­¿® °±® »´ °«²¬±

ï

õ ÝÝ ã

ïô § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ïô § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ïô § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿

Í· ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼»¾» °¿­¿® °±® »´ °«²¬±

ï

ïô § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿

Í· ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼»¾» °¿­¿® °±® »´ °«²¬±Í· ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼»¾» °¿­¿® °±® »´ °«²¬±Í· ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼»¾» °¿­¿® °±® »´ °«²¬±Í· ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼»¾» °¿­¿® °±® »´ °«²¬±Í· ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼»¾» °¿­¿® °±® »´ °«²¬±Í· ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼»¾» °¿­¿® °±® »´ °«²¬±Í· ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼»¾» °¿­¿® °±® »´ °«²¬±Í· ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼»¾» °¿­¿® °±® »´ °«²¬±

ïïïï

õ ÝÝõ ÝÝ ããã

ïô § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ïô § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ïô § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ïô § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ïô § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ïô § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ïô § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ïô § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ïô § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿

Page 16: Libro de-integrales

¨

§ § ã Úø¨÷ õ Ý

ß´ ±¾´·¹¿® ¿ § ã Úø¨÷ õ Ý ¯«» °¿­» °±® «² °«²¬± °¿®¬·½«´¿® ßø¨ðô §ð÷ô »­¬¿³±­ ®»¼«½·»²¼± ´¿º¿³·´·¿ ¼» º«²½·±²»­ ¿ «²¿ ­±´¿ò

Ò±­±¬®±­ ½¿´½«´¿³±­ »´ ª¿´±® ¼» ´¿ ½±²­¬¿²¬» Ý ¿ °¿®¬·® ¼» ´¿ ½±²¼·½·-²æ Úø¨ð÷ ã §ðò ß´ ·³°±²»®»­¬¿ ½±²¼·½·-² ­±¾®» ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ±¾¬»²»³±­æ

Ý ã §ð Úø¨ð÷

Ç ´¿ º«²½·-² ¯«» °»®¬»²»½» ¿ ´¿ º¿³·´·¿ ¼» º«²½·±²»­ § ã Úø¨÷ õ Ý ¯«» ½«³°´» ½±² »­¿ ½±²¼·½·-²»­æ

§ ã Úø¨÷ õ ŧð Úø¨ð÷Ã

Û²¬±²½»­ô ¼»­¼» »´ °«²¬± ¼» ª·­¬¿ ¹»±³7¬®·½±ô ´¿ ½±²­¬¿²¬» Ý »­ ´¿ ¯«» ¹»²»®¿ ¬±¼¿ ´¿ º¿³·´·¿ ¼»º«²½·±²»­ô °«»­ °¿®¿ ½¿¼¿ ª¿´±® ¼» Ý ¼·­¬·²¬±ô ±¾¬»²»³±­ «²¿ ²«»ª¿ º«²½·-²ò

Û¶»³°´± î

Ý¿´½«´¿ ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-²æ

º ø¨÷ ã î »î¨ ï

¯«» °¿­¿ °±® »´ °«²¬± ßøðô ð÷ò

Ô¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-² »­æÚø¨÷ ã »î¨ ï õ Ý

п®¿ ¯«» °¿­» °±® »´ °«²¬± ßøðô í÷ô ­» ®»¯«·»®» ¯«»æ Úøð÷ ã ðò Û²¬±²½»­ô

Úøð÷ ã » ï õ Ý ã ð ÷ Ý ã » ï

÷ õ÷ õ÷ õ

¯«» °¿­» °±® «² °«²¬± °¿®¬·½«´¿®¯«» °¿­» °±® «² °«²¬± °¿®¬·½«´¿®

¿ °¿®¬·® ¼» ´¿ ½±²¼·½·-²æ¿ °¿®¬·® ¼» ´¿ ½±²¼·½·-²æ¿ °¿®¬·® ¼» ´¿ ½±²¼·½·-²æ

÷ õ÷ õ÷ õ÷ õ

¯«» °¿­» °±® «² °«²¬± °¿®¬·½«´¿®¯«» °¿­» °±® «² °«²¬± °¿®¬·½«´¿®¯«» °¿­» °±® «² °«²¬± °¿®¬·½«´¿®¯«» °¿­» °±® «² °«²¬± °¿®¬·½«´¿®¯«» °¿­» °±® «² °«²¬± °¿®¬·½«´¿®¯«» °¿­» °±® «² °«²¬± °¿®¬·½«´¿®¯«» °¿­» °±® «² °«²¬± °¿®¬·½«´¿®¯«» °¿­» °±® «² °«²¬± °¿®¬·½«´¿®¯«» °¿­» °±® «² °«²¬± °¿®¬·½«´¿®

¿ °¿®¬·® ¼» ´¿ ½±²¼·½·-²æ¿ °¿®¬·® ¼» ´¿ ½±²¼·½·-²æ¿ °¿®¬·® ¼» ´¿ ½±²¼·½·-²æ¿ °¿®¬·® ¼» ´¿ ½±²¼·½·-²æ¿ °¿®¬·® ¼» ´¿ ½±²¼·½·-²æ¿ °¿®¬·® ¼» ´¿ ½±²¼·½·-²æ¿ °¿®¬·® ¼» ´¿ ½±²¼·½·-²æ¿ °¿®¬·® ¼» ´¿ ½±²¼·½·-²æ¿ °¿®¬·® ¼» ´¿ ½±²¼·½·-²æ¿ °¿®¬·® ¼» ´¿ ½±²¼·½·-²æ¿ °¿®¬·® ¼» ´¿ ½±²¼·½·-²æ¿ °¿®¬·® ¼» ´¿ ½±²¼·½·-²æ

÷

Page 17: Libro de-integrales

Ô¿ º«²½·-² ¯«» ½«³°´» ½±² ´¿ ½±²¼·½·-² »­æ

§ ã »î¨ ï » ï

Úøð÷ ã »îøð÷ ï » ï ã » ï » ï ã ð

Ì¿³¾·7² °±¼»³±­ ¼¿® «²¿ ·²¬»®°®»¬¿½·-² º3­·½¿ ¼» ´¿ ½±²­¬¿²¬» ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ò

Û¶»³°´± í

˲¿ °·»¼®¿ ­» ¼»¶- ½¿»® ¼»­¼» «²¿ ¿´¬«®¿ ¸ ³»¬®±­ § ­« ª»´±½·¼¿¼ ø»² ³»¬®±­ °±® ­»¹«²¼±÷ »­¬?¼¿¼¿ °±®æ

ªø¬÷ ã çòèï ¬

¼±²¼» ¬ »­¬? ³»¼·¼± »² ­»¹«²¼±­ò Ý¿´½«´¿ ´¿ ¿´¬«®¿ ¼» ´¿ °¿®¬3½«´¿ ø»² ³»¬®±­÷ °¿®¿ ½¿¼¿ ª¿´±®¼» ¬ò

Ô¿ ¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ °±­·½·-² »­ ´¿ ª»´±½·¼¿¼ ¼» ´¿ °¿®¬3½«´¿ò

Û²¬±²½»­ô ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ ª»´±½·¼¿¼ ²±­ ¼¿ ´¿ °±­·½·-² ¼» ´¿ °¿®¬3½«´¿ò

Û­¬± ¯«·»®» ¼»½·® ¯«» ²»½»­·¬¿³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-²æ

ªø¬÷ ã çòèï ¬

aÏ«7 º«²½·-²ô ½«¿²¼± ´¿ ¼»®·ª¿³±­ô ²±­ ¼¿ «²¿ º«²½·-² ´·²»¿´á

Ô¿ ®»­°«»­¬¿ ¿ »­¬¿ °®»¹«²¬¿ »­æ u«²¿ º«²½·-² ½«¿¼®?¬·½¿òe

Í· § ã ¿ ¨î õ ¾ ¨ õ ½ ÷¼§

¼¨ã î ¿¨ õ ¾

°¿´ ·¹«¿´ ¿ ´¿ ³·¬¿¼ ¼» ´¿ °»²¼·»²¬» ¼» ´¿ ´·²»¿´ò

Û­¬± ²±­ ­«¹·»®» ¯«» ¸¿¹¿³±­æ

­ø¬÷ ãçòèï

î¬î õ Ý ã ìòçðë ¬î õ Ý

߸±®¿ ²±­ º¿´¬¿ ¼»¬»®³·²¿® »´ ª¿´±® ¼» ´¿ ½±²­¬¿²¬»ò

Ü»´ ¬»¨¬± ¼»´ °®±¾´»³¿ ­¿¾»³±­ ¯«» ´¿ °·»¼®¿ ­» ¼»¶- ½¿»® ¼»­¼» «²¿ ¿´¬«®¿ ¸ò

Û­¬± ²±­ »­¬? ¼·½·»²¼± ¯«» »² ¬ ã ð ´¿ °±­·½·-² ¼» ´¿ °¿®¬3½«´¿ »­æ ­øð÷ ã ¸ò

Ê¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿® »­¬¿ ·²º±®³¿½·-² °¿®¿ ½¿´½«´¿® »´ ª¿´±® ¼» ´¿ ½±²­¬¿²¬»æ

­øð÷ ã ìòçðë øð÷î õ Ý ã ¸ ÷ Ý ã ¸

Ô«»¹±ô ´¿ º«²½·-² ¯«» ²±­ ¼¿ ´¿ °±­·½·-² ¼» ´¿ °·»¼®¿ °¿®¿ ½¿¼¿ ¬ »­æ

­ø¬÷ ã ìòçðë ¬î õ ¸

¼±²¼» ¸ »­ ´¿ °±­·½·-² ¼»­¼» ´¿ ½«¿´ ­» ¼»¶- ½¿»® ´¿ °·»¼®¿ò

Û²¬±²½»­ô ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ ª»´±½·¼¿¼ ²±­ ¼¿ ´¿ °±­·½·-² ¼» ´¿ °¿®¬3½«´¿òÛ²¬±²½»­ô ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ ª»´±½·¼¿¼ ²±­ ¼¿ ´¿ °±­·½·-² ¼» ´¿ °¿®¬3½«´¿òÛ²¬±²½»­ô ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ ª»´±½·¼¿¼ ²±­ ¼¿ ´¿ °±­·½·-² ¼» ´¿ °¿®¬3½«´¿ò

¼§

Û­¬± ¯«·»®» ¼»½·® ¯«» ²»½»­·¬¿³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-²æ

Û²¬±²½»­ô ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ ª»´±½·¼¿¼ ²±­ ¼¿ ´¿ °±­·½·-² ¼» ´¿ °¿®¬3½«´¿ò

Û­¬± ¯«·»®» ¼»½·® ¯«» ²»½»­·¬¿³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-²æÛ­¬± ¯«·»®» ¼»½·® ¯«» ²»½»­·¬¿³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-²æ

ª

aÏ«7 º«²½·-²ô ½«¿²¼± ´¿ ¼»®·ª¿³±­ô ²±­ ¼¿ «²¿ º«²½·-² ´·²»¿´áaÏ«7 º«²½·-²ô ½«¿²¼± ´¿ ¼»®·ª¿³±­ô ²±­ ¼¿ «²¿ º«²½·-² ´·²»¿´á

«²¿ º«²½·-² ½«¿¼®?¬·½¿ò«²¿ º«²½·-² ½«¿¼®?¬·½¿ò«²¿ º«²½·-² ½«¿¼®?¬·½¿ò«²¿ º«²½·-² ½«¿¼®?¬·½¿ò

÷

Û²¬±²½»­ô ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ ª»´±½·¼¿¼ ²±­ ¼¿ ´¿ °±­·½·-² ¼» ´¿ °¿®¬3½«´¿òÛ²¬±²½»­ô ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ ª»´±½·¼¿¼ ²±­ ¼¿ ´¿ °±­·½·-² ¼» ´¿ °¿®¬3½«´¿òÛ²¬±²½»­ô ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ ª»´±½·¼¿¼ ²±­ ¼¿ ´¿ °±­·½·-² ¼» ´¿ °¿®¬3½«´¿ò

¼§

Û­¬± ¯«·»®» ¼»½·® ¯«» ²»½»­·¬¿³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-²æÛ­¬± ¯«·»®» ¼»½·® ¯«» ²»½»­·¬¿³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-²æ

Û²¬±²½»­ô ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ ª»´±½·¼¿¼ ²±­ ¼¿ ´¿ °±­·½·-² ¼» ´¿ °¿®¬3½«´¿ò

Û­¬± ¯«·»®» ¼»½·® ¯«» ²»½»­·¬¿³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-²æÛ­¬± ¯«·»®» ¼»½·® ¯«» ²»½»­·¬¿³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-²æÛ­¬± ¯«·»®» ¼»½·® ¯«» ²»½»­·¬¿³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-²æÛ­¬± ¯«·»®» ¼»½·® ¯«» ²»½»­·¬¿³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-²æÛ­¬± ¯«·»®» ¼»½·® ¯«» ²»½»­·¬¿³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-²æÛ­¬± ¯«·»®» ¼»½·® ¯«» ²»½»­·¬¿³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-²æ

Û²¬±²½»­ô ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ ª»´±½·¼¿¼ ²±­ ¼¿ ´¿ °±­·½·-² ¼» ´¿ °¿®¬3½«´¿ò

ªªªªªªªªª

aÏ«7 º«²½·-²ô ½«¿²¼± ´¿ ¼»®·ª¿³±­ô ²±­ ¼¿ «²¿ º«²½·-² ´·²»¿´áaÏ«7 º«²½·-²ô ½«¿²¼± ´¿ ¼»®·ª¿³±­ô ²±­ ¼¿ «²¿ º«²½·-² ´·²»¿´áaÏ«7 º«²½·-²ô ½«¿²¼± ´¿ ¼»®·ª¿³±­ô ²±­ ¼¿ «²¿ º«²½·-² ´·²»¿´áaÏ«7 º«²½·-²ô ½«¿²¼± ´¿ ¼»®·ª¿³±­ô ²±­ ¼¿ «²¿ º«²½·-² ´·²»¿´áaÏ«7 º«²½·-²ô ½«¿²¼± ´¿ ¼»®·ª¿³±­ô ²±­ ¼¿ «²¿ º«²½·-² ´·²»¿´áaÏ«7 º«²½·-²ô ½«¿²¼± ´¿ ¼»®·ª¿³±­ô ²±­ ¼¿ «²¿ º«²½·-² ´·²»¿´áaÏ«7 º«²½·-²ô ½«¿²¼± ´¿ ¼»®·ª¿³±­ô ²±­ ¼¿ «²¿ º«²½·-² ´·²»¿´áaÏ«7 º«²½·-²ô ½«¿²¼± ´¿ ¼»®·ª¿³±­ô ²±­ ¼¿ «²¿ º«²½·-² ´·²»¿´áaÏ«7 º«²½·-²ô ½«¿²¼± ´¿ ¼»®·ª¿³±­ô ²±­ ¼¿ «²¿ º«²½·-² ´·²»¿´á

«²¿ º«²½·-² ½«¿¼®?¬·½¿ò«²¿ º«²½·-² ½«¿¼®?¬·½¿ò«²¿ º«²½·-² ½«¿¼®?¬·½¿ò«²¿ º«²½·-² ½«¿¼®?¬·½¿ò

aÏ«7 º«²½·-²ô ½«¿²¼± ´¿ ¼»®·ª¿³±­ô ²±­ ¼¿ «²¿ º«²½·-² ´·²»¿´áaÏ«7 º«²½·-²ô ½«¿²¼± ´¿ ¼»®·ª¿³±­ô ²±­ ¼¿ «²¿ º«²½·-² ´·²»¿´á

«²¿ º«²½·-² ½«¿¼®?¬·½¿ò«²¿ º«²½·-² ½«¿¼®?¬·½¿ò«²¿ º«²½·-² ½«¿¼®?¬·½¿ò«²¿ º«²½·-² ½«¿¼®?¬·½¿ò«²¿ º«²½·-² ½«¿¼®?¬·½¿ò«²¿ º«²½·-² ½«¿¼®?¬·½¿ò«²¿ º«²½·-² ½«¿¼®?¬·½¿ò«²¿ º«²½·-² ½«¿¼®?¬·½¿ò«²¿ º«²½·-² ½«¿¼®?¬·½¿ò«²¿ º«²½·-² ½«¿¼®?¬·½¿ò

÷

Page 18: Libro de-integrales

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ­· ¼»®·ª¿³±­ ´¿ º«²½·-² ®»­°»½¬± ¼»´ ¬·»³°±ô ±¾¬»²»³±­ ´¿ º«²½·-² ¯«» ²±­¼·»®±² °¿®¿ ´¿ ª»´±½·¼¿¼æ

¼­

¼¬ã øî÷øìòçðë÷ ¬ ã çòèï ¬ ã ªø¬÷

Ô¿ ½±²­¬¿²¬» Ý ¼» ´¿ º¿³·´·¿ ¼» º«²½·±²»­ § ã Úø¨÷ õ Ý ø¼»­¼» »´ °«²¬± ¼» ª·­¬¿ º3­·½±÷ ®»°®»­»²¬¿´¿ ½±²¼·½·-² ·²·½·¿´ ¿ ´¿ ¯«» ­» ®»¿´·¦¿ »´ »¨°»®·³»²¬± ¯«» »­¬? ³±¼»´¿¼± °±® »´ ·²¬»¹®¿²¼±ò

Û² »´ »¶»³°´± ¿²¬»®·±®ô ·²·½·¿´³»²¬» ´¿ °±­·½·-² ¼» ´¿ °·»¼®¿ »®¿ ¼» ¸ ³»¬®±­ ­±¾®» »´ ­«»´±ô °±®»­± ´¿ ½±²¼·½·-² ·²·½·¿´ ·³°«»­¬¿ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ´¿ º«²½·-² ¯«» ³±¼»´¿ »´ º»²-³»²± º«» ¯«» °¿­¿®¿°±® »´ °«²¬± Ðøðô ¸÷ò

б® »­± ¼·¶·³±­ ¯«» ­øð÷ ã ¸ò Û­ ¼»½·®ô ½«¿²¼± ¬ ã ð ø»´ ®»´±¶ »­¬? »² »´ °«²¬± ¼» ¿®®¿²¯«»÷ô ´¿°±­·½·-² ¼» ´¿ °·»¼®¿ »­ ¸ ³»¬®±­ ­±¾®» »´ ²·ª»´ ¼»´ ­«»´±ò

ß »­¬» °®±½»­± ¼» ½¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ­» ´» ´´¿³¿ ·²¬»¹®¿® ´¿ º«²½·-²ô § ¿´ ®»­«´¬¿¼± ­» ´» ´´¿³¿

ï

ײ¬»¹®¿´Í»¿² § ã Úø¨÷ô § ã º ø¨÷ º«²½·±²»­ ¬¿´»­ ¯«» Úðø¨÷ ã º ø¨÷ ø¨÷®»­°»½¬± ¼» ¨ »­ Úø¨÷ õ Ýô § »­¬± ­» ¼»²±¬¿ °±®æ

Æ

º ø¨÷ ¼¨ ã Úø¨÷ õ Ý

Û´ ­3³¾±´±Î

­» ½±²±½» ½±³± »´ ­·¹²± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ô º ø¨÷ ½±³± »´ ·²¬»¹®¿²¼± § ´¿ ½±²­¬¿²¬» Ý ½±³± ´¿½±²­¬¿²¬» ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ò

Ü¿¼± ¯«» ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º«²½·±²»­ ­±² °®±½»­±­ ·²ª»®­±­ «²± ¼»´ ±¬®±ô»´ ½?´½«´± ¼» ´¿­ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿­ ­» °«»¼» ¸¿½»® º?½·´³»²¬» ½¿³¾·¿²¼± »´ º±®³«´¿®·± ¼» ´¿­ ®»¹´¿­

·²¬»®½¿³¾·¿²¼± ´±­ ¿®¹«³»²¬±­ »² ´¿­ ®»¹´¿­ ¼» ¼»®·ª¿½·-²æ

Ы»¼»­ »²½±²¬®¿®

«²¿ ¬¿¾´¿ ¼»

·²¬»¹®¿´»­ ³?­

½±³°´»¬¿ »²

´±­ ¿°7²¼·½»­

¼»´ ´·¾®±ò

·òÆ

ø¼ª õ ¼©÷ ãÆ

¼ª õÆ

¼©

··òÆ

¿ ¼ª ã ¿Æ

¼ª

···òÆ

¼¨ ã ¨ õ Ý

·ªòÆ

ª² ¼ª 㪲õï

² õ ïõ Ý

ªòÆ

¼ª

ªã ´² ¶ª¶õ Ý

ª·òÆ

¿ª ¼ª 㿪

´² ¿õ Ý

ª··òÆ

»ª ¼ª ã »ª õ Ý

ª···òÆ

­·² ª ¼ª ã ½±­ ª õ Ý

·¨òÆ

½±­ ª ¼ª ã ­·² ª õ Ý

¨òÆ

­»½î ª ¼ª ã ¬¿² ª õ Ý

¨·òÆ

½­½î ª ¼ª ã ½±¬ ª õ Ý

¨··òÆ

­»½ ª ¬¿² ª ¼ª ã ­»½ ª õ Ý

Ýô § »­¬± ­» ¼»²±¬¿ °±®æ

Æ

º øÆ

º ø¨Æ

­» ½±²±½» ½±³± »´ ­·¹²± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ô º­» ½±²±½» ½±³± »´ ­·¹²± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ô º­» ½±²±½» ½±³± »´ ­·¹²± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ô º

¯«» ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º«²½·±²»­ ­±² °®±½»­±­ ·²ª»®­±­ «²± ¼»´ ±¬®±ô¯«» ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º«²½·±²»­ ­±² °®±½»­±­ ·²ª»®­±­ «²± ¼»´ ±¬®±ô»´ ½?´½«´± ¼» ´¿­ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿­ ­» °«»¼» ¸¿½»® º?½·´³»²¬» ½¿³¾·¿²¼± »´ º±®³«´¿®·± ¼» ´¿­ ®»¹´¿­

¯«» ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º«²½·±²»­ ­±² °®±½»­±­ ·²ª»®­±­ «²± ¼»´ ±¬®±ô»´ ½?´½«´± ¼» ´¿­ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿­ ­» °«»¼» ¸¿½»® º?½·´³»²¬» ½¿³¾·¿²¼± »´ º±®³«´¿®·± ¼» ´¿­ ®»¹´¿­

¯«» ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º«²½·±²»­ ­±² °®±½»­±­ ·²ª»®­±­ «²± ¼»´ ±¬®±ô»´ ½?´½«´± ¼» ´¿­ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿­ ­» °«»¼» ¸¿½»® º?½·´³»²¬» ½¿³¾·¿²¼± »´ º±®³«´¿®·± ¼» ´¿­ ®»¹´¿­

Ýô § »­¬± ­» ¼»²±¬¿ °±®æ

Æ

ºÆÆ

ºÆ

øÆ

øÆ

º ø¨º ø¨Æ

º ø¨ø¨ÆÆÆÆ

­» ½±²±½» ½±³± »´ ­·¹²± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ô º­» ½±²±½» ½±³± »´ ­·¹²± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ô º­» ½±²±½» ½±³± »´ ­·¹²± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ô º­» ½±²±½» ½±³± »´ ­·¹²± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ô º­» ½±²±½» ½±³± »´ ­·¹²± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ô º­» ½±²±½» ½±³± »´ ­·¹²± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ô º­» ½±²±½» ½±³± »´ ­·¹²± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ô º­» ½±²±½» ½±³± »´ ­·¹²± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ô º­» ½±²±½» ½±³± »´ ­·¹²± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ô º­» ½±²±½» ½±³± »´ ­·¹²± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ô º­» ½±²±½» ½±³± »´ ­·¹²± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ô º

¯«» ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º«²½·±²»­ ­±² °®±½»­±­ ·²ª»®­±­ «²± ¼»´ ±¬®±ô¯«» ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º«²½·±²»­ ­±² °®±½»­±­ ·²ª»®­±­ «²± ¼»´ ±¬®±ô¯«» ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º«²½·±²»­ ­±² °®±½»­±­ ·²ª»®­±­ «²± ¼»´ ±¬®±ô¯«» ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º«²½·±²»­ ­±² °®±½»­±­ ·²ª»®­±­ «²± ¼»´ ±¬®±ô¯«» ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º«²½·±²»­ ­±² °®±½»­±­ ·²ª»®­±­ «²± ¼»´ ±¬®±ô¯«» ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º«²½·±²»­ ­±² °®±½»­±­ ·²ª»®­±­ «²± ¼»´ ±¬®±ô»´ ½?´½«´± ¼» ´¿­ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿­ ­» °«»¼» ¸¿½»® º?½·´³»²¬» ½¿³¾·¿²¼± »´ º±®³«´¿®·± ¼» ´¿­ ®»¹´¿­»´ ½?´½«´± ¼» ´¿­ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿­ ­» °«»¼» ¸¿½»® º?½·´³»²¬» ½¿³¾·¿²¼± »´ º±®³«´¿®·± ¼» ´¿­ ®»¹´¿­»´ ½?´½«´± ¼» ´¿­ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿­ ­» °«»¼» ¸¿½»® º?½·´³»²¬» ½¿³¾·¿²¼± »´ º±®³«´¿®·± ¼» ´¿­ ®»¹´¿­

¯«» ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º«²½·±²»­ ­±² °®±½»­±­ ·²ª»®­±­ «²± ¼»´ ±¬®±ô¯«» ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º«²½·±²»­ ­±² °®±½»­±­ ·²ª»®­±­ «²± ¼»´ ±¬®±ô¯«» ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º«²½·±²»­ ­±² °®±½»­±­ ·²ª»®­±­ «²± ¼»´ ±¬®±ô¯«» ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º«²½·±²»­ ­±² °®±½»­±­ ·²ª»®­±­ «²± ¼»´ ±¬®±ô¯«» ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º«²½·±²»­ ­±² °®±½»­±­ ·²ª»®­±­ «²± ¼»´ ±¬®±ô¯«» ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º«²½·±²»­ ­±² °®±½»­±­ ·²ª»®­±­ «²± ¼»´ ±¬®±ô»´ ½?´½«´± ¼» ´¿­ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿­ ­» °«»¼» ¸¿½»® º?½·´³»²¬» ½¿³¾·¿²¼± »´ º±®³«´¿®·± ¼» ´¿­ ®»¹´¿­»´ ½?´½«´± ¼» ´¿­ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿­ ­» °«»¼» ¸¿½»® º?½·´³»²¬» ½¿³¾·¿²¼± »´ º±®³«´¿®·± ¼» ´¿­ ®»¹´¿­

¯«» ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º«²½·±²»­ ­±² °®±½»­±­ ·²ª»®­±­ «²± ¼»´ ±¬®±ô»´ ½?´½«´± ¼» ´¿­ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿­ ­» °«»¼» ¸¿½»® º?½·´³»²¬» ½¿³¾·¿²¼± »´ º±®³«´¿®·± ¼» ´¿­ ®»¹´¿­»´ ½?´½«´± ¼» ´¿­ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿­ ­» °«»¼» ¸¿½»® º?½·´³»²¬» ½¿³¾·¿²¼± »´ º±®³«´¿®·± ¼» ´¿­ ®»¹´¿­

¯«» ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ § ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º«²½·±²»­ ­±² °®±½»­±­ ·²ª»®­±­ «²± ¼»´ ±¬®±ô»´ ½?´½«´± ¼» ´¿­ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿­ ­» °«»¼» ¸¿½»® º?½·´³»²¬» ½¿³¾·¿²¼± »´ º±®³«´¿®·± ¼» ´¿­ ®»¹´¿­»´ ½?´½«´± ¼» ´¿­ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿­ ­» °«»¼» ¸¿½»® º?½·´³»²¬» ½¿³¾·¿²¼± »´ º±®³«´¿®·± ¼» ´¿­ ®»¹´¿­»´ ½?´½«´± ¼» ´¿­ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿­ ­» °«»¼» ¸¿½»® º?½·´³»²¬» ½¿³¾·¿²¼± »´ º±®³«´¿®·± ¼» ´¿­ ®»¹´¿­»´ ½?´½«´± ¼» ´¿­ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿­ ­» °«»¼» ¸¿½»® º?½·´³»²¬» ½¿³¾·¿²¼± »´ º±®³«´¿®·± ¼» ´¿­ ®»¹´¿­

Page 19: Libro de-integrales

Û¶»³°´± ïø¨î ï÷ ¼¨

Û³°»¦¿³±­ ¿°´·½¿²¼± ´¿ ®»¹´¿ ø·÷ °¿®¿ ­»°¿®¿® »´ ·²¬»¹®¿²¼± § ¿­3 º±®³¿® ¼±­ ·²¬»¹®¿´»­æ

ø¨î ï÷ ¼¨ ã ¨î ¼¨ ¼¨

߸±®¿ ¿°´·½¿³±­ ´¿­ ®»¹´¿­ ø···÷ § ø·ª÷ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ´¿­ ·²¬»¹®¿´»­ò

п®¿ ´¿ °®·³»®¿ ·²¬»¹®¿´ô ¬»²»³±­ ² ã îô ½±² ´± ¯«» ² õ ï ã íæ

¨î ¼¨ ¼¨ ã¨í

í¨ õ Ý

Ѿ­»®ª¿ ¯«» »² »´ »¶»³°´± ¿²¬»®·±® ¬»²3¿³±­ ¯«» ­«³¿® ¼±­ ½±²­¬¿²¬»­ò л®± »´ ®»­«´¬¿¼± ¼»

Û¶»³°´± îî ¨ õ

¨î

îõ ì ¨í ¼¨

Û³°»¦¿³±­ ¿°´·½¿²¼± ´¿ ®»¹´¿ ø·÷ ¼» ·²¬»¹®¿½·-²æ

î ¨ õ¨î

îõ ì ¨í ¼¨ ã î ¨ ¼¨ õ

¨î

 õ ì ¨í ¼¨

߸±®¿ ¿°´·½¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ ø··÷ »² ½¿¼¿ ·²¬»¹®¿´æ

î ¨ ¼¨ õ¨î

 õ ì ¨í ¼¨ ã î ¨ ¼¨ õ

ï

î¨î ¼¨ õ ì ¨í ¼¨

î ¨ ¼¨ õï

î¨î ¼¨ õ ì ¨í ¼¨ ã î

¨î

îõ

ï

î

¨í

íõ ì

¨ì

ìõ Ý

ã ¨î õ¨í

êõ ¨ì õ Ý

Û²¬±²½»­ô

î ¨ õ¨î

îõ ì ¨í ¼¨ ã ¨î õ

¨í

êõ ¨ì õ Ý

Ѿ­»®ª¿ ¯«» »² »´ »¶»³°´± ¿²¬»®·±® ¬»²3¿³±­ ¯«» ­«³¿® ¼±­ ½±²­¬¿²¬»­ò л®± »´ ®»­«´¬¿¼± ¼»Ñ¾­»®ª¿ ¯«» »² »´ »¶»³°´± ¿²¬»®·±® ¬»²3¿³±­ ¯«» ­«³¿® ¼±­ ½±²­¬¿²¬»­ò л®± »´ ®»­«´¬¿¼± ¼»

î

õ ìì ¨í

Ѿ­»®ª¿ ¯«» »² »´ »¶»³°´± ¿²¬»®·±® ¬»²3¿³±­ ¯«» ­«³¿® ¼±­ ½±²­¬¿²¬»­ò л®± »´ ®»­«´¬¿¼± ¼»Ñ¾­»®ª¿ ¯«» »² »´ »¶»³°´± ¿²¬»®·±® ¬»²3¿³±­ ¯«» ­«³¿® ¼±­ ½±²­¬¿²¬»­ò л®± »´ ®»­«´¬¿¼± ¼»Ñ¾­»®ª¿ ¯«» »² »´ »¶»³°´± ¿²¬»®·±® ¬»²3¿³±­ ¯«» ­«³¿® ¼±­ ½±²­¬¿²¬»­ò л®± »´ ®»­«´¬¿¼± ¼»Ñ¾­»®ª¿ ¯«» »² »´ »¶»³°´± ¿²¬»®·±® ¬»²3¿³±­ ¯«» ­«³¿® ¼±­ ½±²­¬¿²¬»­ò л®± »´ ®»­«´¬¿¼± ¼»Ñ¾­»®ª¿ ¯«» »² »´ »¶»³°´± ¿²¬»®·±® ¬»²3¿³±­ ¯«» ­«³¿® ¼±­ ½±²­¬¿²¬»­ò л®± »´ ®»­«´¬¿¼± ¼»Ñ¾­»®ª¿ ¯«» »² »´ »¶»³°´± ¿²¬»®·±® ¬»²3¿³±­ ¯«» ­«³¿® ¼±­ ½±²­¬¿²¬»­ò л®± »´ ®»­«´¬¿¼± ¼»Ñ¾­»®ª¿ ¯«» »² »´ »¶»³°´± ¿²¬»®·±® ¬»²3¿³±­ ¯«» ­«³¿® ¼±­ ½±²­¬¿²¬»­ò л®± »´ ®»­«´¬¿¼± ¼»Ñ¾­»®ª¿ ¯«» »² »´ »¶»³°´± ¿²¬»®·±® ¬»²3¿³±­ ¯«» ­«³¿® ¼±­ ½±²­¬¿²¬»­ò л®± »´ ®»­«´¬¿¼± ¼»Ñ¾­»®ª¿ ¯«» »² »´ »¶»³°´± ¿²¬»®·±® ¬»²3¿³±­ ¯«» ­«³¿® ¼±­ ½±²­¬¿²¬»­ò л®± »´ ®»­«´¬¿¼± ¼»

î

õ ììììì ¨ì ¨ííí¨

Page 20: Libro de-integrales

Û¶»³°´± í

Ý¿´½«´¿

¨ì õ ¨î ï

¨¼¨

п®¿

¨ì

¨¼¨ õ

¨î

¨¼¨

ï

¨¼¨

¨í ¼¨ õ ¨ ¼¨ï

¨¼¨

߸±®¿ °±¼»³±­ ¿°´·½¿® ´¿ ®»¹´¿ ø·ª÷æ

¨í ¼¨ õ ¨ ¼¨¼¨

¨ã

¨ì

ìõ

¨î

î´² ¨ õ Ý

Û²¬±²½»­ô¨ì õ ¨î ï

¨¼¨ ã

¨ì

ìõ

¨î

î´² ¨ õ Ý

Û¶»³°´± ì

Ý¿´½«´¿

ï õï

¨õ

ï

¨î

ï

¨í¼¨

Û³°»¦¿³±­ ¿°´·½¿²¼± ´¿ ®»¹´¿ ø·÷æ

ï õï

¨õ

ï

¨î

ï

¨í¼¨ ã ¼¨ õ

ï

¨¼¨ õ

ï

¨î¼¨

ï

¨í¼¨

߸±®¿ ª¿³±­ ¿ »¨°®»­¿® ½¿¼¿ ·²¬»¹®¿´ ½±² «² »¨°±²»²¬» ²»¹¿¬·ª±ô ­¿´ª± ´¿ ­»¹«²¼¿ô ¯«» §¿­¿¾»³±­ ½-³± ·²¬»¹®¿®æ

¼¨ õï

¨¼¨ õ

ï

¨î¼¨

ï

¨í¼¨ ã ¼¨ õ

¼¨

¨õ ¨ î ¼¨ ¨ í ¼¨

߸±®¿ °±¼»³±­ ¿°´·½¿® ´¿­ ®»¹´¿­ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ø···÷ô ø·ª÷ § øª÷æ

¼¨ õ¼¨

¨õ ¨ î ¼¨ ¨ í ¼¨ ã ¨ õ ´² ¨ õ

¨ ï

ï

¨ î

îõ Ý

ã ¨ õ ´² ¨ï

¨õ

ï

î ¨îõ Ý

Û²¬±²½»­ô

ï õï

¨õ

ï

¨î

ï

¨í¼¨ ã ¨ õ ´² ¨

ï

¨õ

ï

î ¨îõ Ý

õ ¨

¨

ï

¨í

õõõ îìì

¨

¨

ïïïï

¨̈̈̈̈ííí

Page 21: Libro de-integrales

Û¶»³°´± ëøî ¨ é÷îï ¼¨

Ò± »­ «²¿ ¾«»²¿ ·¼»¿ »³°»¦¿® »­¬» °®±¾´»³¿ ¼»­¿®®±´´¿²¼± »´ ¾·²±³·± ¿ ´¿ °±¬»²½·¿ îïò

ª ã î ¨ éô »²¬±²½»­ô ¼ª ã î ¼¨ò

Û²¬±²½»­ô ¸¿½» º¿´¬¿ ½±³°´»¬¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ °¿®¿ °±¼»® ·²¬»¹®¿®ò

п®¿ »­± ³«´¬·°´·½¿³±­ °±® îñî § º¿½¬±®·¦¿³±­ º«»®¿ ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿´ î ¼»´ ¼»²±³·²¿¼±®æ

øî ¨ é÷îï î

 ã

ï

îøî ¨ é÷îï øî ¼¨÷

߸±®¿ °±¼»³±­ ¿°´·½¿® ´¿ ®»¹´¿ ø·ª÷æ

øî ¨ é÷îï ¼¨ ãï

îøî ¨ é÷îï øî ¼¨÷

ãï

î

øî ¨ é÷îî

îîõ Ý

ãøî ¨ é÷îî

ììõ Ý

Û¶»³°´± ê¨í ¨ì ï ¼¨

Û´ ·²¬»¹®¿²¼± ²± ¿°¿®»½» »² ¿´¹«²¿ ¼» ´¿­ ®»¹´¿­ ½±²±½·¼¿­ °±® ²±­±¬®±­ ¿&²ò

л®± °±¼»³±­ ¸¿½»® ´¿ ­·¹«·»²¬» ¬®¿²­º±®³¿½·-²æ

ª ã ¨ì ïò

Û²¬±²½»­ô ¼ª ã ì ¨í ¼¨ ÷ ¨í ¼¨ 㼪

ìò

¨í ¨ì ï ¼¨ ã ¨ì ï ¨í ¼¨ ã°

ª¼ª

ìã

ï

ì

°ª ¼ª ã

ï

ìªïñî ¼ª

߸±®¿ °±¼»³±­ ¿°´·½¿® ´¿ ®»¹´¿ ø·ª÷æ

ï

ìªïñî ¼ª ã

ï

ì

ªíñî

íñîõ Ý ã

ï

ì

î ªíñî

íõ Ý ã

ªíñî

êõ Ý

λ¹®»­¿²¼± ¬±¼± »² ¬7®³·²±­ ¼» ¨ô ±¾¬»²»³±­æ

¨í ¨ì ï ¼¨ ã¨ì ï

íñî

êõ Ý

Û´ ·²¬»¹®¿²¼± ²± ¿°¿®»½» »² ¿´¹«²¿ ¼» ´¿­ ®»¹´¿­ ½±²±½·¼¿­ °±® ²±­±¬®±­ ¿&²òÛ´ ·²¬»¹®¿²¼± ²± ¿°¿®»½» »² ¿´¹«²¿ ¼» ´¿­ ®»¹´¿­ ½±²±½·¼¿­ °±® ²±­±¬®±­ ¿&²ò

ï ¼¨¼¨

Û´ ·²¬»¹®¿²¼± ²± ¿°¿®»½» »² ¿´¹«²¿ ¼» ´¿­ ®»¹´¿­ ½±²±½·¼¿­ °±® ²±­±¬®±­ ¿&²òÛ´ ·²¬»¹®¿²¼± ²± ¿°¿®»½» »² ¿´¹«²¿ ¼» ´¿­ ®»¹´¿­ ½±²±½·¼¿­ °±® ²±­±¬®±­ ¿&²òÛ´ ·²¬»¹®¿²¼± ²± ¿°¿®»½» »² ¿´¹«²¿ ¼» ´¿­ ®»¹´¿­ ½±²±½·¼¿­ °±® ²±­±¬®±­ ¿&²ò

ïï ¼¨ï ¼¨¼¨ï ¼¨¼¨¼¨

Page 22: Libro de-integrales

Û¶»³°´± é

Ý¿´½«´¿

è ¨í ï°

¨¼¨

ß°´·½¿²¼± ´¿ ®»¹´¿ ø·÷ § ´¿­ ´»§»­ ¼» ´±­ »¨°±²»²¬»­ô °±¼»³±­ ¬®¿²­º±®³¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿ ´¿­·¹«·»²¬» º±®³¿æ

è ¨í ï°

¨¼¨ ã è ¨í¼¨ ø¨÷ ïñî ¼¨

߸±®¿ °±¼»³±­ ·²¬»¹®¿® ½¿¼¿ «²¿ ¼» ´¿­ ·²¬»¹®¿´»­ ¯«» ¯«»¼¿®±² ·²¼·½¿¼¿­ ¿°´·½¿²¼± ´¿®»¹´¿ ø·ª÷æ

è ¨í¼¨ ø¨÷ ïñî ¼¨ ã è¨ì

ì

¨ïñî

ïñîõ Ý ã î ¨ì î

°¨ õ Ý

Û²¬±²½»­ô

è ¨í ï°

¨¼¨ ã î ¨ì î

°¨ õ Ý

Û¶»³°´± è

Ý¿´½«´¿¨ õ î

¨°

¨¼¨

б¼»³±­ ¬®¿²­º±®³¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿ ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æ

¨ õ î

¨°

¨¼¨ ã

¼¨°

¨õ

î ¼¨

¨°

¨ã

¼¨

¨ïñîõ

î ¼¨

¨íñî

Ý¿¼¿ «²¿ ¼» »­¬¿­ ·²¬»¹®¿´»­ »­ ·²³»¼·¿¬¿æ

¼¨

¨ïñîõ

î ¼¨

¨íñîã ¨ ïñî ¼¨ õ î ¨ íñî ¼¨

ã¨ïñî

ïñîõ

î ¨ ïñî

ïñîõ Ý

ã î°

¨ì°

¨õ Ý

Û²¬±²½»­ô¨ õ î

¨°

¨¼¨ ã î

°¨

ì°

¨õ Ý

Û¶»³°´± ç

Ý¿´½«´¿

¨í

¨ì H

¬®¿²­º±®³¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿ ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æ

¨

¨°

¨

¬®¿²­º±®³¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿ ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æ¬®¿²­º±®³¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿ ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æ

¨

¨̈̈̈°°°

¨¨°

¨¨ ¨°

¨¨̈°°

¨ õ¨°

¬®¿²­º±®³¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿ ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æ¬®¿²­º±®³¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿ ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æ¬®¿²­º±®³¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿ ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æ¬®¿²­º±®³¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿ ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æ¬®¿²­º±®³¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿ ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æ

Page 23: Libro de-integrales

ª ã ¨ì ï ÷ ¼ª ã ì ¨í ¼¨ ÷ ¨í ¼¨ 㼪

ì

Û²¬±²½»­ô ¸¿½·»²¼± ´¿ ­«­¬·¬«½·-² ª ã ¨ì ïô ¬®¿²­º±®³¿³±­ ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿æ

¨í ¼¨

¨ì ïã

¼ª

ì ªã

ï

ì

¼ª

ªã

ï

ì´² ª õ Ý ã

ï

ì´² ¨ì ï õ Ý

п®¿ »´ ½?´½«´± ¼» ´¿­ ·²¬»¹®¿´»­ ¼» º«²½·±²»­ ¿´¹»¾®¿·½¿­ô »´ ¬®«½± ½±²­·­¬» »² ¬®¿²­º±®³¿® »´·²¬»¹®¿²¼± °¿®¿ ±¾¬»²»® ·²¬»¹®¿´»­ ·²³»¼·¿¬¿­ò Û­ ¼»½·®ô »­½®·¾·®´¿ »² º±®³¿ ¯«» ­» °«»¼¿² ·²¬»¹®¿®«¬·´·¦¿²¼± ´¿­ º-®³«´¿­ ½±²±½·¼¿­ò

ß´¹«²¿­ ª»½»­ «²¿ ³¿²·°«´¿½·-² ¿´¹»¾®¿·½¿ ¾¿­¬¿®?ò Û² ±¬®±­ ½¿­±­ ­» ª¿ ¿ ®»¯«»®·® «²¿ ­«­¬·¬«ó½·-²ò

Page 24: Libro de-integrales

§ ã »ª § § ã ¿ª

Û¶»³°´± ï

Ý¿´½«´¿ Æ

»î¨ ¼¨

Ü»¾»³±­ «­¿® ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² øª··÷ò

ª ã î ¨ò

Û²¬±²½»­ô ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼ª ã î ¼¨

л®± »² »´ ·²¬»¹®¿²¼± º¿´¬¿ «² î °¿®¿ ¯«» »­¬7 ½±³°´»¬¿ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ § °±¼¿³±­ ¿°´·½¿® ´¿®»¹´¿ò

п®¿ ½±³°´»¬¿®´¿ ª¿³±­ ¿ ¿°´·½¿® »´ ­·¹«·»²¬» ¬®«½±æ

Ü¿¼± ¯«» ´¿ ®»¹´¿ ø··÷ ²±­ °»®³·¬» ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ «²¿ ½±²­¬¿²¬»ô ª¿³±­ ¿ ³«´¬·°´·½¿® »²»´ ·²¬»¹®¿²¼± °±® îñîô ª¿³±­ ¿ ¼»¶¿® ¼»²¬®± ¼»´ ·²¬»¹®¿²¼± ¿´ î ¼»´ ²«³»®¿¼±® § ª¿³±­ ¿­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿´ î ¼»´ ¼»²±³·²¿¼±®æ

Æ

»î¨ ¼¨ ãÆ

»î¨ î

 ã

ï

î

Æ

»î¨ øî ¼¨÷ ãï

î»î¨ õ Ý

Û¶»³°´± î

Ý¿´½«´¿ Æ

ï » ¨ ¼¨

Ю·³»®± ¿°´·½¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ ø·÷ ¼» ·²¬»¹®¿½·-²æ

Æ

ï » ¨ ¼¨ ãÆ

¼¨Æ

» ¨ ¼¨

߸±®¿ ¿°´·½¿³±­ ´¿­ ®»¹´¿­ ø···÷ § øª··÷ °¿®¿ ¬»®³·²¿®ò

ª ã ¨ô »²¬±²½»­ô ¼ª ã ¼¨ô °±® ´± ¯«»¬»²»³±­ ¯«» ½±³°´»¬¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´æ

Æ

¼¨Æ

» ¨ ¼¨ ã ¨ õ » ¨ õ Ý

Û¶»³°´± íÆ

îì ¨í »î¨ì¼¨

п®¿ ½±³°´»¬¿®´¿ ª¿³±­ ¿ ¿°´·½¿® »´ ­·¹«·»²¬» ¬®«½±æп®¿ ½±³°´»¬¿®´¿ ª¿³±­ ¿ ¿°´·½¿® »´ ­·¹«·»²¬» ¬®«½±æп®¿ ½±³°´»¬¿®´¿ ª¿³±­ ¿ ¿°´·½¿® »´ ­·¹«·»²¬» ¬®«½±æп®¿ ½±³°´»¬¿®´¿ ª¿³±­ ¿ ¿°´·½¿® »´ ­·¹«·»²¬» ¬®«½±æ

Ü¿¼± ¯«» ´¿ ®»¹´¿ ø··÷ ²±­ °»®³·¬» ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ «²¿ ½±²­¬¿²¬»ô ª¿³±­ ¿ ³«´¬·°´·½¿® »²»´ ·²¬»¹®¿²¼± °±® îñîô ª¿³±­ ¿ ¼»¶¿® ¼»²¬®± ¼»´ ·²¬»¹®¿²¼± ¿´ î ¼»´ ²«³»®¿¼±® § ª¿³±­ ¿Ü¿¼± ¯«» ´¿ ®»¹´¿ ø··÷ ²±­ °»®³·¬» ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ «²¿ ½±²­¬¿²¬»ô ª¿³±­ ¿ ³«´¬·°´·½¿® »²»´ ·²¬»¹®¿²¼± °±® îñîô ª¿³±­ ¿ ¼»¶¿® ¼»²¬®± ¼»´ ·²¬»¹®¿²¼± ¿´ î ¼»´ ²«³»®¿¼±® § ª¿³±­ ¿»´ ·²¬»¹®¿²¼± °±® îñîô ª¿³±­ ¿ ¼»¶¿® ¼»²¬®± ¼»´ ·²¬»¹®¿²¼± ¿´ î ¼»´ ²«³»®¿¼±® § ª¿³±­ ¿­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿´ î ¼»´ ¼»²±³·²¿¼±®æ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿´ î ¼»´ ¼»²±³·²¿¼±®æ

¼¨ ãï

î

Æ

î

Æ

п®¿ ½±³°´»¬¿®´¿ ª¿³±­ ¿ ¿°´·½¿® »´ ­·¹«·»²¬» ¬®«½±æп®¿ ½±³°´»¬¿®´¿ ª¿³±­ ¿ ¿°´·½¿® »´ ­·¹«·»²¬» ¬®«½±æ

Ü¿¼± ¯«» ´¿ ®»¹´¿ ø··÷ ²±­ °»®³·¬» ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ «²¿ ½±²­¬¿²¬»ô ª¿³±­ ¿ ³«´¬·°´·½¿® »²Ü¿¼± ¯«» ´¿ ®»¹´¿ ø··÷ ²±­ °»®³·¬» ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ «²¿ ½±²­¬¿²¬»ô ª¿³±­ ¿ ³«´¬·°´·½¿® »²

п®¿ ½±³°´»¬¿®´¿ ª¿³±­ ¿ ¿°´·½¿® »´ ­·¹«·»²¬» ¬®«½±æп®¿ ½±³°´»¬¿®´¿ ª¿³±­ ¿ ¿°´·½¿® »´ ­·¹«·»²¬» ¬®«½±æп®¿ ½±³°´»¬¿®´¿ ª¿³±­ ¿ ¿°´·½¿® »´ ­·¹«·»²¬» ¬®«½±æп®¿ ½±³°´»¬¿®´¿ ª¿³±­ ¿ ¿°´·½¿® »´ ­·¹«·»²¬» ¬®«½±æп®¿ ½±³°´»¬¿®´¿ ª¿³±­ ¿ ¿°´·½¿® »´ ­·¹«·»²¬» ¬®«½±æ

Ü¿¼± ¯«» ´¿ ®»¹´¿ ø··÷ ²±­ °»®³·¬» ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ «²¿ ½±²­¬¿²¬»ô ª¿³±­ ¿ ³«´¬·°´·½¿® »²»´ ·²¬»¹®¿²¼± °±® îñîô ª¿³±­ ¿ ¼»¶¿® ¼»²¬®± ¼»´ ·²¬»¹®¿²¼± ¿´ î ¼»´ ²«³»®¿¼±® § ª¿³±­ ¿»´ ·²¬»¹®¿²¼± °±® îñîô ª¿³±­ ¿ ¼»¶¿® ¼»²¬®± ¼»´ ·²¬»¹®¿²¼± ¿´ î ¼»´ ²«³»®¿¼±® § ª¿³±­ ¿Ü¿¼± ¯«» ´¿ ®»¹´¿ ø··÷ ²±­ °»®³·¬» ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ «²¿ ½±²­¬¿²¬»ô ª¿³±­ ¿ ³«´¬·°´·½¿® »²Ü¿¼± ¯«» ´¿ ®»¹´¿ ø··÷ ²±­ °»®³·¬» ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ «²¿ ½±²­¬¿²¬»ô ª¿³±­ ¿ ³«´¬·°´·½¿® »²Ü¿¼± ¯«» ´¿ ®»¹´¿ ø··÷ ²±­ °»®³·¬» ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ «²¿ ½±²­¬¿²¬»ô ª¿³±­ ¿ ³«´¬·°´·½¿® »²Ü¿¼± ¯«» ´¿ ®»¹´¿ ø··÷ ²±­ °»®³·¬» ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ «²¿ ½±²­¬¿²¬»ô ª¿³±­ ¿ ³«´¬·°´·½¿® »²»´ ·²¬»¹®¿²¼± °±® îñîô ª¿³±­ ¿ ¼»¶¿® ¼»²¬®± ¼»´ ·²¬»¹®¿²¼± ¿´ î ¼»´ ²«³»®¿¼±® § ª¿³±­ ¿»´ ·²¬»¹®¿²¼± °±® îñîô ª¿³±­ ¿ ¼»¶¿® ¼»²¬®± ¼»´ ·²¬»¹®¿²¼± ¿´ î ¼»´ ²«³»®¿¼±® § ª¿³±­ ¿»´ ·²¬»¹®¿²¼± °±® îñîô ª¿³±­ ¿ ¼»¶¿® ¼»²¬®± ¼»´ ·²¬»¹®¿²¼± ¿´ î ¼»´ ²«³»®¿¼±® § ª¿³±­ ¿»´ ·²¬»¹®¿²¼± °±® îñîô ª¿³±­ ¿ ¼»¶¿® ¼»²¬®± ¼»´ ·²¬»¹®¿²¼± ¿´ î ¼»´ ²«³»®¿¼±® § ª¿³±­ ¿Ü¿¼± ¯«» ´¿ ®»¹´¿ ø··÷ ²±­ °»®³·¬» ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ «²¿ ½±²­¬¿²¬»ô ª¿³±­ ¿ ³«´¬·°´·½¿® »²Ü¿¼± ¯«» ´¿ ®»¹´¿ ø··÷ ²±­ °»®³·¬» ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ «²¿ ½±²­¬¿²¬»ô ª¿³±­ ¿ ³«´¬·°´·½¿® »²Ü¿¼± ¯«» ´¿ ®»¹´¿ ø··÷ ²±­ °»®³·¬» ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ «²¿ ½±²­¬¿²¬»ô ª¿³±­ ¿ ³«´¬·°´·½¿® »²Ü¿¼± ¯«» ´¿ ®»¹´¿ ø··÷ ²±­ °»®³·¬» ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ «²¿ ½±²­¬¿²¬»ô ª¿³±­ ¿ ³«´¬·°´·½¿® »²Ü¿¼± ¯«» ´¿ ®»¹´¿ ø··÷ ²±­ °»®³·¬» ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ «²¿ ½±²­¬¿²¬»ô ª¿³±­ ¿ ³«´¬·°´·½¿® »²»´ ·²¬»¹®¿²¼± °±® îñîô ª¿³±­ ¿ ¼»¶¿® ¼»²¬®± ¼»´ ·²¬»¹®¿²¼± ¿´ î ¼»´ ²«³»®¿¼±® § ª¿³±­ ¿­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿´ î ¼»´ ¼»²±³·²¿¼±®æ»´ ·²¬»¹®¿²¼± °±® îñîô ª¿³±­ ¿ ¼»¶¿® ¼»²¬®± ¼»´ ·²¬»¹®¿²¼± ¿´ î ¼»´ ²«³»®¿¼±® § ª¿³±­ ¿­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿´ î ¼»´ ¼»²±³·²¿¼±®æ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿´ î ¼»´ ¼»²±³·²¿¼±®æ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿´ î ¼»´ ¼»²±³·²¿¼±®æ»´ ·²¬»¹®¿²¼± °±® îñîô ª¿³±­ ¿ ¼»¶¿® ¼»²¬®± ¼»´ ·²¬»¹®¿²¼± ¿´ î ¼»´ ²«³»®¿¼±® § ª¿³±­ ¿­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿´ î ¼»´ ¼»²±³·²¿¼±®æ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿´ î ¼»´ ¼»²±³·²¿¼±®æ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿´ î ¼»´ ¼»²±³·²¿¼±®æ­¿½¿® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿´ î ¼»´ ¼»²±³·²¿¼±®æ

¼¨ ããããïïïïïïïïï

îîîî

ÆÆÆÆ

î

ÆÆÆÆ

Page 25: Libro de-integrales

Ì»²»³±­ »´ °®±¼«½¬± ¼» ¼±­ º«²½·±²»­ô °»®± °±­·¾´»³»²¬» «²¿ ¼» »´´¿­ ­»¿ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´¿®¹«³»²¬± ¼» ´¿ ±¬®¿ò

ª ã î ¨ìô ¬»²»³±­ ¯«»æ ¼ª ã è ¨íò

Û²¬±²½»­ô °±¼»³±­ ®»»­½®·¾·® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ½±³±æ

Æ

îì ¨í »î¨ì¼¨ ã í

Æ

»î¨ìè ¨í ¼¨ ã í

Æ

»ªø¼ª÷

߸±®¿ ´¿ ·²¬»¹®¿´ »­ ·²³»¼·¿¬¿æ

íÆ

»î¨ìè ¨í ¼¨ ã í »î ¨ì

õ Ý

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ¿¸±®¿ ´¿ ·²¬»¹®¿´ »­¬¿¾¿ ½±³°´»¬¿ô ³«´¬·°´·½¿¼¿ô ¿¼»³?­ °±® íò

Û¶»³°´± ì

Ý¿´½«´¿ Æ

¨ »¨î¼¨

Í· ¸¿½»³±­ ª ã ¨îô ª»³±­ ¯«» ¼ª ã î ¨ ¼¨ò

Û²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ ®»¿´³»²¬» »­æ

Æ

»¨î î

î¨ ¼¨ ã

ï

î

Æ

»¨îøî ¨ ¼¨÷ã

ï

î

Æ

»ªø¼ª÷

߸±®¿ ·²¬»¹®¿³±­ ¿°´·½¿²¼± ¿´ ®»¹´¿ øª··÷æ

Æ

¨ »¨î¼¨ ã

ï

î

Æ

»¨îøî ¨ ¼¨÷ ã

ï

î

õ Ý

Û¶»³°´± ë

Ý¿´½«´¿ Æ

î¨ ¼¨

ß°´·½¿³±­ ¼·®»½¬¿³»²¬» ´¿ ®»¹´¿ øª·÷ ¼» ·²¬»¹®¿½·-²æ

Æ

î¨ ¼¨ ãî¨

´² îõ Ý

Û¶»³°´± ê

Ý¿´½«´¿ Æ

¨

Ю·³»®

÷ ãî

¼ª ã î

ïÆÆ

»¨Æ

ø

÷ ãî

¼ª¼ª ã îî

ïÆ

ïïÆÆ

Ȯ

»¨Æ

¨Æ

¨̈ÆÆÆÆ

»» ¨̈̈ øî

Page 26: Libro de-integrales

п®¿ »­± ª¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿® ´¿ ®»¹´¿ ¼» ¼»®·ª¿½·-² ø¨ª÷ò

Í· ª ã î¨ô »²¬±²½»­¼ª ã î¨ ´² î ¼¨

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ »­¬? ·²½±³°´»¬¿ò

Ú¿´¬¿ ³«´¬·°´·½¿®´¿ °±® ´¿ ½±²­¬¿²¬» ´² îò

߸±®¿ ®»»­½®·¾·³±­ ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¼» ´¿ º±®³¿æ

Æ

»î¨ î¨ ´² î ¼¨

´² îã

ï

´² î

Æ

»î¨øî¨ ´² î ¼¨÷ ã

ï

´² î

Æ

»ª ¼ª 㻪

´² îõ Ý ã

»î¨

´² îõ Ý

Û¶»³°´± éÆ

»¨ ø»¨ õ ïé÷ï缨

Ò± »­ ¾«»²¿ ·¼»¿ ¼»­¿®®±´´¿® »´ ¾·²±³·± ¿ ´¿ °±¬»²½·¿ ïçò

ª ã »¨ õ ïé § ª»³±­ ¯«» ¼ª ã »¨ ¼¨ò

Û²¬±²½»­ôÆ

»¨ ø»¨ õ ïé÷ïç ¼¨ ãÆ

ø»¨ õ ïé÷ïç ø»¨ ¼¨÷ ãø»¨ õ ïé÷îð

îðõ Ý

Û¶»³°´± èÆ

¼¨

»¨ õ ï

Û³°»¦¿³±­ ±¾­»®ª¿²¼± ¯«» ²± ¸¿§ ¿´¹«²¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ·²³»¼·¿¬¿ ¯«» ²±­ °»®³·¬¿½¿´½«´¿® »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ò

ß­3 ¯«» ¬»²¼®»³±­ ¯«» ¬®¿²­º±®³¿®´¿ ¿´¹»¾®¿·½¿³»²¬» ¸¿­¬¿ ±¾¬»²»® «²¿ ·²¬»¹®¿´ ·²³»¼·¿¬¿òÛ­¬± ²± ­·»³°®»

»­ °±­·¾´»òÛ³°»¦¿³±­ º¿½¬±®·¦¿²¼± »¨ »² »´ ¼»²±³·²¿¼±®æ

Ƽ¨

»¨ õ ïã

Ƽ¨

»¨ øï õ » ¨÷ã

Æ» ¨ ¼¨

ï õ » ¨

ª ã ï õ » ¨ô § ¬»²»³±­ ¯«» ¼ª ã » ¨ò

ݱ³°´»¬¿³±­ ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿²¼± °±® ï ¬¿²¬± ¼»²¬®± ½±³± º«»®¿ ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´æ

Æ» ¨ ¼¨

ï õ » ¨ã

Æ» ¨ ¼¨

ï õ » ¨ã

Ƽª

ªã ´² ï õ » ¨ õ Ý

Ò± »­ ¾«»²¿ ·¼»¿ ¼»­¿®®±´´¿® »´ ¾·²±³·± ¿ ´¿ °±¬»²½·¿ ïçò

ïé § ª»³±­ ¯«»ïé § ª»³±­ ¯«»ïé § ª»³±­ ¯«»ïé § ª»³±­ ¯«»

ø»¨ õõ ïé

Ò± »­ ¾«»²¿ ·¼»¿ ¼»­¿®®±´´¿® »´ ¾·²±³·± ¿ ´¿ °±¬»²½·¿ ïçò

ïé § ª»³±­ ¯«»ïé § ª»³±­ ¯«»ïé § ª»³±­ ¯«»ïé § ª»³±­ ¯«»ïé § ª»³±­ ¯«»ïé § ª»³±­ ¯«»ïé § ª»³±­ ¯«»ïé § ª»³±­ ¯«»ïé § ª»³±­ ¯«»

ÆÆ

»¨ õø»¨ õÆ

ø õ ïéïé

Page 27: Libro de-integrales

Ƽ¨

»¨ õ ïã ´² ï õ » ¨ õ Ý

ã ´² ï õï

»¨õ Ý

ã ´²ï õ »¨

»¨õ Ý

ã ´² øï õ »¨÷ õ ´² ø»¨÷ õ Ý

ã ¨ ´² øï õ »¨÷ õ Ý

Ç ¬»®³·²¿³±­ò

Û² ½¿­± ¼» ¯«» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ®»¯«·»®¿ ¼» ³«´¬·°´·½¿®­» °±® «²¿ ª¿®·¿¾´» °¿®¿ ½±³°´»¬¿®´¿ô ­»®?·³°±­·¾´»ô ¼¿¼± ¯«» »² ´¿ ®»¹´¿ ø··÷ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ­» ­«°±²» ¯«» ¿ »­ «²¿ ½±²­¬¿²¬»ò

б® »¶»³°´±ô »² ´¿ ·²¬»¹®¿´æ Æ

»¨î¼¨

ª ã ¨îô ¬»²»³±­ ¯«» ¼ª ã î ¨ ¼¨ò ß­3 ¯«» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ »­¬? ·²½±³°´»¬¿ò

л®± »² »­¬» ½¿­± ¼»¾»³±­ ³«´¬·°´·½¿® °±® î ¨ô ¯«» ²± »­ ½±²­¬¿²¬»ò ß­3 ¯«» ²± °±¼»³±­ ½±³°´»¬¿®´¿ ¼·º»®»²½·¿´ò

Ü» ¸»½¸±ô »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ²± ­» °«»¼» ½¿´½«´¿® ½±² ´±­ ³7¬±¼±­ ¯«» ¸»³±­ ª·­¬± ¸¿­¬¿ ¿¯«3ò л®± ­3¸¿§ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ½¿´½«´¿®´¿ ¼» ³¿²»®¿ ¿°®±¨·³¿¼¿ò

ô ¬»²»³±­ ¯«»ô ¬»²»³±­ ¯«» ¼ª

л®± »² »­¬» ½¿­± ¼»¾»³±­ ³«´¬·°´·½¿® °±®

î

л®± »² »­¬» ½¿­± ¼»¾»³±­ ³«´¬·°´·½¿® °±® î

Ü» ¸»½¸±ô »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ²± ­» °«»¼» ½¿´½«´¿® ½±² ´±­ ³7¬±¼±­ ¯«» ¸»³±­ ª·­¬± ¸¿­¬¿ ¿¯«3ò л®± ­3Ü» ¸»½¸±ô »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ²± ­» °«»¼» ½¿´½«´¿® ½±² ´±­ ³7¬±¼±­ ¯«» ¸»³±­ ª·­¬± ¸¿­¬¿ ¿¯«3ò л®± ­3Ü» ¸»½¸±ô »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ²± ­» °«»¼» ½¿´½«´¿® ½±² ´±­ ³7¬±¼±­ ¯«» ¸»³±­ ª·­¬± ¸¿­¬¿ ¿¯«3ò л®± ­3¸¿§ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ½¿´½«´¿®´¿ ¼» ³¿²»®¿ ¿°®±¨·³¿¼¿ò

ô ¬»²»³±­ ¯«»ô ¬»²»³±­ ¯«» ¼ª

л®± »² »­¬» ½¿­± ¼»¾»³±­ ³«´¬·°´·½¿® °±®Ð»®± »² »­¬» ½¿­± ¼»¾»³±­ ³«´¬·°´·½¿® °±®Ð»®± »² »­¬» ½¿­± ¼»¾»³±­ ³«´¬·°´·½¿® °±®Ð»®± »² »­¬» ½¿­± ¼»¾»³±­ ³«´¬·°´·½¿® °±®Ð»®± »² »­¬» ½¿­± ¼»¾»³±­ ³«´¬·°´·½¿® °±®Ð»®± »² »­¬» ½¿­± ¼»¾»³±­ ³«´¬·°´·½¿® °±®Ð»®± »² »­¬» ½¿­± ¼»¾»³±­ ³«´¬·°´·½¿® °±® îл®± »² »­¬» ½¿­± ¼»¾»³±­ ³«´¬·°´·½¿® °±® îîл®± »² »­¬» ½¿­± ¼»¾»³±­ ³«´¬·°´·½¿® °±®Ð»®± »² »­¬» ½¿­± ¼»¾»³±­ ³«´¬·°´·½¿® °±®

îîî

Ü» ¸»½¸±ô »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ²± ­» °«»¼» ½¿´½«´¿® ½±² ´±­ ³7¬±¼±­ ¯«» ¸»³±­ ª·­¬± ¸¿­¬¿ ¿¯«3ò л®± ­3Ü» ¸»½¸±ô »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ²± ­» °«»¼» ½¿´½«´¿® ½±² ´±­ ³7¬±¼±­ ¯«» ¸»³±­ ª·­¬± ¸¿­¬¿ ¿¯«3ò л®± ­3Ü» ¸»½¸±ô »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ²± ­» °«»¼» ½¿´½«´¿® ½±² ´±­ ³7¬±¼±­ ¯«» ¸»³±­ ª·­¬± ¸¿­¬¿ ¿¯«3ò л®± ­3Ü» ¸»½¸±ô »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ²± ­» °«»¼» ½¿´½«´¿® ½±² ´±­ ³7¬±¼±­ ¯«» ¸»³±­ ª·­¬± ¸¿­¬¿ ¿¯«3ò л®± ­3Ü» ¸»½¸±ô »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ²± ­» °«»¼» ½¿´½«´¿® ½±² ´±­ ³7¬±¼±­ ¯«» ¸»³±­ ª·­¬± ¸¿­¬¿ ¿¯«3ò л®± ­3¸¿§ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ½¿´½«´¿®´¿ ¼» ³¿²»®¿ ¿°®±¨·³¿¼¿ò¸¿§ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ½¿´½«´¿®´¿ ¼» ³¿²»®¿ ¿°®±¨·³¿¼¿òÜ» ¸»½¸±ô »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ²± ­» °«»¼» ½¿´½«´¿® ½±² ´±­ ³7¬±¼±­ ¯«» ¸»³±­ ª·­¬± ¸¿­¬¿ ¿¯«3ò л®± ­3Ü» ¸»½¸±ô »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ²± ­» °«»¼» ½¿´½«´¿® ½±² ´±­ ³7¬±¼±­ ¯«» ¸»³±­ ª·­¬± ¸¿­¬¿ ¿¯«3ò л®± ­3Ü» ¸»½¸±ô »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ²± ­» °«»¼» ½¿´½«´¿® ½±² ´±­ ³7¬±¼±­ ¯«» ¸»³±­ ª·­¬± ¸¿­¬¿ ¿¯«3ò л®± ­3¸¿§ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ½¿´½«´¿®´¿ ¼» ³¿²»®¿ ¿°®±¨·³¿¼¿ò¸¿§ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ½¿´½«´¿®´¿ ¼» ³¿²»®¿ ¿°®±¨·³¿¼¿ò¸¿§ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ½¿´½«´¿®´¿ ¼» ³¿²»®¿ ¿°®±¨·³¿¼¿ò¸¿§ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ½¿´½«´¿®´¿ ¼» ³¿²»®¿ ¿°®±¨·³¿¼¿ò¸¿§ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ½¿´½«´¿®´¿ ¼» ³¿²»®¿ ¿°®±¨·³¿¼¿òÜ» ¸»½¸±ô »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ²± ­» °«»¼» ½¿´½«´¿® ½±² ´±­ ³7¬±¼±­ ¯«» ¸»³±­ ª·­¬± ¸¿­¬¿ ¿¯«3ò л®± ­3¸¿§ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ½¿´½«´¿®´¿ ¼» ³¿²»®¿ ¿°®±¨·³¿¼¿òÜ» ¸»½¸±ô »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ²± ­» °«»¼» ½¿´½«´¿® ½±² ´±­ ³7¬±¼±­ ¯«» ¸»³±­ ª·­¬± ¸¿­¬¿ ¿¯«3ò л®± ­3

Page 28: Libro de-integrales

·²³»¼·¿¬¿ò

Û¶»³°´± ïÆ

½±­øî ¨÷ ¼¨

п®¿ ½¿´½«´¿® »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ª¿³±­ ¿ ¿°´·½¿® ´¿ ®»¹´¿ ø·¨÷ò

ª ã î ¨ô »²¬±²½»­æ ¼ª ã î ¼¨ò

ß­3 ¯«» ¬»²»³±­ ¯«» ½±³°´»¬¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿²¼± °±® îæ

Æ

½±­øî ¨÷ ¼¨ ãï

î

Æ

½±­øî ¨÷øî ¼¨÷ ãï

î­·²øî ¨÷ õ Ý

ß´¹«²¿­ ª»½»­ °±¼®»³±­ «¬·´·¦¿® »´ ®»­«´¬¿¼± ¼» «²¿ ·²¬»¹®¿´ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ³?­ º?½·´³»²¬» ±¬®¿·²¬»¹®¿´ò

б® »¶»³°´±ôÆ

½±­ø¿¨÷ ¼¨ ãï

¿­·²ø¿¨÷ õ Ý

¯«» ¬»²¹¿² »­¿ º±®³¿ò

Ü» ³¿²»®¿ ­»³»¶¿²¬» ­» °«»¼» ³±­¬®¿® ¯«»æ

Æ

­·²ø¿¨÷ ¼¨ ãï

¿½±­ø¿¨÷ õ Ý

Û¶»³°´± î

Ý¿´½«´¿ Æ

ø¨ ­·² ¨ õ ½±­øî¨÷÷ ¼¨

ß°´·½¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ ø·÷ °®·³»®±æ

Æ

ø¨ ­·² ¨ õ ½±­øî¨÷÷ ¼¨ ãÆ

¨ ¼¨Æ

­·² ¨ ¼¨ õÆ

½±­øî¨÷ ¼¨

߸±®¿ ¿°´·½¿³±­ ´¿­ ®»¹´¿­ ø·ª÷ô øª···÷ § ø·¨÷ò

Æ

¨ ¼¨Æ

­·² ¨ ¼¨ õÆ

½±­øî¨÷ ¼¨ ã¨î

îõ ½±­ ¨ õ

ï

î­·²øî¨÷ õ Ý

Ý

ß´¹«²¿­ ª»½»­ °±¼®»³±­ «¬·´·¦¿® »´ ®»­«´¬¿¼± ¼» «²¿ ·²¬»¹®¿´ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ³?­ º?½·´³»²¬» ±¬®¿ß´¹«²¿­ ª»½»­ °±¼®»³±­ «¬·´·¦¿® »´ ®»­«´¬¿¼± ¼» «²¿ ·²¬»¹®¿´ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ³?­ º?½·´³»²¬» ±¬®¿

­·²øø¿¨÷ õ Ý

ß´¹«²¿­ ª»½»­ °±¼®»³±­ «¬·´·¦¿® »´ ®»­«´¬¿¼± ¼» «²¿ ·²¬»¹®¿´ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ³?­ º?½·´³»²¬» ±¬®¿ß´¹«²¿­ ª»½»­ °±¼®»³±­ «¬·´·¦¿® »´ ®»­«´¬¿¼± ¼» «²¿ ·²¬»¹®¿´ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ³?­ º?½·´³»²¬» ±¬®¿ß´¹«²¿­ ª»½»­ °±¼®»³±­ «¬·´·¦¿® »´ ®»­«´¬¿¼± ¼» «²¿ ·²¬»¹®¿´ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ³?­ º?½·´³»²¬» ±¬®¿ß´¹«²¿­ ª»½»­ °±¼®»³±­ «¬·´·¦¿® »´ ®»­«´¬¿¼± ¼» «²¿ ·²¬»¹®¿´ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ³?­ º?½·´³»²¬» ±¬®¿ß´¹«²¿­ ª»½»­ °±¼®»³±­ «¬·´·¦¿® »´ ®»­«´¬¿¼± ¼» «²¿ ·²¬»¹®¿´ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ³?­ º?½·´³»²¬» ±¬®¿ß´¹«²¿­ ª»½»­ °±¼®»³±­ «¬·´·¦¿® »´ ®»­«´¬¿¼± ¼» «²¿ ·²¬»¹®¿´ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ³?­ º?½·´³»²¬» ±¬®¿ß´¹«²¿­ ª»½»­ °±¼®»³±­ «¬·´·¦¿® »´ ®»­«´¬¿¼± ¼» «²¿ ·²¬»¹®¿´ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ³?­ º?½·´³»²¬» ±¬®¿ß´¹«²¿­ ª»½»­ °±¼®»³±­ «¬·´·¦¿® »´ ®»­«´¬¿¼± ¼» «²¿ ·²¬»¹®¿´ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ³?­ º?½·´³»²¬» ±¬®¿

­·²øø­·²ø­·²ø¿¨÷ õ¿¨¿¨÷ õ¿¨÷ õ¿¨÷ õ¿¨÷ õ÷ õ

Page 29: Libro de-integrales

Û¶»³°´± í

Ý¿´½«´¿ Æ

½­½îøí¨÷ ¼¨

ª ã í ¨ô ª»³±­ ¯«» ¼ª ã í ¼¨ò

Û­¬± ²±­ »­¬? ·²¼·½¿²¼± ¯«» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ »­¬? ·²½±³°´»¬¿ò

ß°´·½¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ ø¨÷ °¿®¿ ·²¬»¹®¿®æ

Æ

½­½îøí¨÷ ¼¨ ãï

í

Æ

½­½îøí¨÷ øí ¼¨÷ ã½±¬øí¨÷

íõ Ý

п®¿ ¿´¹«²¿­ ¼» ´¿­ ·²¬»¹®¿´»­ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿­ ª¿³±­ ¿ ®»¯«»®·® ¼»´ «­± ¼» ´¿­ ·¼»²¬·¼¿¼»­

Û¶»³°´± ì

Ý¿´½«´¿ Æ

­·²î ¨ ¼¨

ݱ³± ²± ¬»²»³±­ «²¿ ®»¹´¿ ¯«» ²±­ °»®³·¬¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ô ¬»²»³±­ ¯«» ¬®¿²­º±®³¿®»´ ·²¬»¹®¿²¼± °¿®¿ °±¼»®´± ·²¬»¹®¿®ò

ˬ·´·¦¿³±­ ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿æ

­·²¿

îã

®ï ½±­ ¿

î

´¿ ½«¿´ ¬®¿²­º±®³¿®»³±­ ­«­¬·¬«§»²¼±æ ¨ ã ¿ñî § »´»ª¿²¼± ¿´ ½«¿¼®¿¼± ¿³¾±­ ´¿¼±­ ¼» ´¿·¹«¿´¼¿¼æ

­·²îø¨÷ ãï ½±­øî ¨÷

î

Û²¬±²½»­

Æ

­·²î ¨ ¼¨ ãï

î

Æ

øï ½±­øî¨÷÷ ¼¨

ß°´·½¿²¼± ´¿­ ®»¹´¿­ ø·÷ô ø···÷ § ø·¨÷ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ·²¼»¬»®³·²¿¼¿ ·²³»¼·¿¬¿æ

Æ

­·²î ¨ ¼¨ ãï

î

Æ

øï ½±­øî¨÷÷ ¼¨

ãï

î

Æ

¼¨ï

î

Æ

½±­øî¨÷ ¼¨

ã¨

î

ï

ì­·²øî¨÷ õ Ý

Ç ¬»®³·²¿³±­ò

ñî § »´»ª¿²¼± ¿´ ½«¿¼®¿¼± ¿³¾±­ ´¿¼±­ ¼» ´¿ñî § »´»ª¿²¼± ¿´ ½«¿¼®¿¼± ¿³¾±­ ´¿¼±­ ¼» ´¿ñî § »´»ª¿²¼± ¿´ ½«¿¼®¿¼± ¿³¾±­ ´¿¼±­ ¼» ´¿

¿

î

ݱ³± ²± ¬»²»³±­ «²¿ ®»¹´¿ ¯«» ²±­ °»®³·¬¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ô ¬»²»³±­ ¯«» ¬®¿²­º±®³¿®Ý±³± ²± ¬»²»³±­ «²¿ ®»¹´¿ ¯«» ²±­ °»®³·¬¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ô ¬»²»³±­ ¯«» ¬®¿²­º±®³¿®Ý±³± ²± ¬»²»³±­ «²¿ ®»¹´¿ ¯«» ²±­ °»®³·¬¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ô ¬»²»³±­ ¯«» ¬®¿²­º±®³¿®

®ï ½±­

ñî § »´»ª¿²¼± ¿´ ½«¿¼®¿¼± ¿³¾±­ ´¿¼±­ ¼» ´¿ñî § »´»ª¿²¼± ¿´ ½«¿¼®¿¼± ¿³¾±­ ´¿¼±­ ¼» ´¿ñî § »´»ª¿²¼± ¿´ ½«¿¼®¿¼± ¿³¾±­ ´¿¼±­ ¼» ´¿ñî § »´»ª¿²¼± ¿´ ½«¿¼®¿¼± ¿³¾±­ ´¿¼±­ ¼» ´¿

¿

î

ݱ³± ²± ¬»²»³±­ «²¿ ®»¹´¿ ¯«» ²±­ °»®³·¬¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ô ¬»²»³±­ ¯«» ¬®¿²­º±®³¿®Ý±³± ²± ¬»²»³±­ «²¿ ®»¹´¿ ¯«» ²±­ °»®³·¬¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ô ¬»²»³±­ ¯«» ¬®¿²­º±®³¿®Ý±³± ²± ¬»²»³±­ «²¿ ®»¹´¿ ¯«» ²±­ °»®³·¬¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ô ¬»²»³±­ ¯«» ¬®¿²­º±®³¿®Ý±³± ²± ¬»²»³±­ «²¿ ®»¹´¿ ¯«» ²±­ °»®³·¬¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ô ¬»²»³±­ ¯«» ¬®¿²­º±®³¿®Ý±³± ²± ¬»²»³±­ «²¿ ®»¹´¿ ¯«» ²±­ °»®³·¬¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ô ¬»²»³±­ ¯«» ¬®¿²­º±®³¿®Ý±³± ²± ¬»²»³±­ «²¿ ®»¹´¿ ¯«» ²±­ °»®³·¬¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ô ¬»²»³±­ ¯«» ¬®¿²­º±®³¿®Ý±³± ²± ¬»²»³±­ «²¿ ®»¹´¿ ¯«» ²±­ °»®³·¬¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ô ¬»²»³±­ ¯«» ¬®¿²­º±®³¿®Ý±³± ²± ¬»²»³±­ «²¿ ®»¹´¿ ¯«» ²±­ °»®³·¬¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ô ¬»²»³±­ ¯«» ¬®¿²­º±®³¿®Ý±³± ²± ¬»²»³±­ «²¿ ®»¹´¿ ¯«» ²±­ °»®³·¬¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ô ¬»²»³±­ ¯«» ¬®¿²­º±®³¿®

®ïïï ½±­½±­½±­½±­½±­½±­

Page 30: Libro de-integrales

Û¶»³°´± ëÆ

½±­îøë¨÷ ¼¨

Ô¿ ·¼»²¬·¼¿¼ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿ ¯«» ²±­ ¿«¨·´·¿®? ¿ ½¿´½«´¿® »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ »­æ

½±­¿

îã

®ï õ ½±­ ¿

î

¯«» ª¿³±­ ¿ ¬®¿²­º±®³¿® °¿®¿ ±¾¬»²»®æ

½±­îø¨÷ ãï õ ½±­øî¨÷

î

Ç ´¿ ·²¬»¹®¿´ ­»®?æÆ

½±­îøë ¨÷ ¼¨ ãï

î

Æ

øï õ ½±­øïð¨÷÷ ¼¨

ײ¬»¹®¿³±­ ¿°´·½¿²¼± ´¿­ ³·­³¿­ ®»¹´¿­ ¯«» »² »´ »¶»³°´± ¿²¬»®·±®æ

Æ

½±­îøë ¨÷ ¼¨ ãï

î

Æ

øï õ ½±­øïð¨÷÷ ¼¨

ãï

î

Æ

¼¨ õï

îð

Æ

½±­øïð¨÷ ¼¨

ã¨

îõ

ï

îðð­·²øïð¨÷ õ Ý

Ó?­ ¿¼»´¿²¬» ª¿³±­ ¿ »­¬«¼·¿® ½-³± ·²¬»¹®¿® °±¬»²½·¿­ ¼» º«²½·±²»­ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿­ò

Û² ´¿ ­·¹«·»²¬» ­»½½·-² »­¬«¼·¿®»³±­ «² ³7¬±¼± ¯«» ²±­ ¿§«¼¿ ¿ ·²¬»¹®¿® º«²½·±²»­ ·®®¿½·±²¿´»­¯«» ½±²¬·»²»² »² ­«­ ¿®¹«³»²¬±­ º±®³¿­ ½±³±æ ¿î ªîô ªî õ ¿îô ªî ¿îô »¬½ò

ײ¬»¹®¿³±­ ¿°´·½¿²¼± ´¿­ ³·­³¿­ ®»¹´¿­ ¯«» »² »´ »¶»³°´± ¿²¬»®·±®æײ¬»¹®¿³±­ ¿°´·½¿²¼± ´¿­ ³·­³¿­ ®»¹´¿­ ¯«» »² »´ »¶»³°´± ¿²¬»®·±®æ

Û² ´¿ ­·¹«·»²¬» ­»½½·-² »­¬«¼·¿®»³±­ «² ³7¬±¼± ¯«» ²±­ ¿§«¼¿ ¿ ·²¬»¹®¿® º«²½·±²»­ ·®®¿½·±²¿´»­Û² ´¿ ­·¹«·»²¬» ­»½½·-² »­¬«¼·¿®»³±­ «² ³7¬±¼± ¯«» ²±­ ¿§«¼¿ ¿ ·²¬»¹®¿® º«²½·±²»­ ·®®¿½·±²¿´»­Û² ´¿ ­·¹«·»²¬» ­»½½·-² »­¬«¼·¿®»³±­ «² ³7¬±¼± ¯«» ²±­ ¿§«¼¿ ¿ ·²¬»¹®¿® º«²½·±²»­ ·®®¿½·±²¿´»­¿¿îô

Ó?­ ¿¼»´¿²¬» ª¿³±­ ¿ »­¬«¼·¿® ½-³± ·²¬»¹®¿® °±¬»²½·¿­ ¼» º«²½·±²»­ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿­ò

Û² ´¿ ­·¹«·»²¬» ­»½½·-² »­¬«¼·¿®»³±­ «² ³7¬±¼± ¯«» ²±­ ¿§«¼¿ ¿ ·²¬»¹®¿® º«²½·±²»­ ·®®¿½·±²¿´»­

¨÷ ¼¨ë ¨÷î

ã

¨

îõõ

îððîðð

Ó?­ ¿¼»´¿²¬» ª¿³±­ ¿ »­¬«¼·¿® ½-³± ·²¬»¹®¿® °±¬»²½·¿­ ¼» º«²½·±²»­ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿­ò

ײ¬»¹®¿³±­ ¿°´·½¿²¼± ´¿­ ³·­³¿­ ®»¹´¿­ ¯«» »² »´ »¶»³°´± ¿²¬»®·±®æײ¬»¹®¿³±­ ¿°´·½¿²¼± ´¿­ ³·­³¿­ ®»¹´¿­ ¯«» »² »´ »¶»³°´± ¿²¬»®·±®æ

Û² ´¿ ­·¹«·»²¬» ­»½½·-² »­¬«¼·¿®»³±­ «² ³7¬±¼± ¯«» ²±­ ¿§«¼¿ ¿ ·²¬»¹®¿® º«²½·±²»­ ·®®¿½·±²¿´»­Û² ´¿ ­·¹«·»²¬» ­»½½·-² »­¬«¼·¿®»³±­ «² ³7¬±¼± ¯«» ²±­ ¿§«¼¿ ¿ ·²¬»¹®¿® º«²½·±²»­ ·®®¿½·±²¿´»­Û² ´¿ ­·¹«·»²¬» ­»½½·-² »­¬«¼·¿®»³±­ «² ³7¬±¼± ¯«» ²±­ ¿§«¼¿ ¿ ·²¬»¹®¿® º«²½·±²»­ ·®®¿½·±²¿´»­¿î¿îô

Ó?­ ¿¼»´¿²¬» ª¿³±­ ¿ »­¬«¼·¿® ½-³± ·²¬»¹®¿® °±¬»²½·¿­ ¼» º«²½·±²»­ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿­ò

Û² ´¿ ­·¹«·»²¬» ­»½½·-² »­¬«¼·¿®»³±­ «² ³7¬±¼± ¯«» ²±­ ¿§«¼¿ ¿ ·²¬»¹®¿® º«²½·±²»­ ·®®¿½·±²¿´»­

¨÷ ¼¨¼¨ëë ¨ë ¼¨¨÷ ¼¨÷ ¼¨¼¨÷îø

ãã

¨̈

îõ

¨

îõ

îîõõõõ

îððîððîððîððîððîððõ

îððîððîððîððõ

îðð

Ó?­ ¿¼»´¿²¬» ª¿³±­ ¿ »­¬«¼·¿® ½-³± ·²¬»¹®¿® °±¬»²½·¿­ ¼» º«²½·±²»­ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿­òÓ?­ ¿¼»´¿²¬» ª¿³±­ ¿ »­¬«¼·¿® ½-³± ·²¬»¹®¿® °±¬»²½·¿­ ¼» º«²½·±²»­ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿­òÓ?­ ¿¼»´¿²¬» ª¿³±­ ¿ »­¬«¼·¿® ½-³± ·²¬»¹®¿® °±¬»²½·¿­ ¼» º«²½·±²»­ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿­òÓ?­ ¿¼»´¿²¬» ª¿³±­ ¿ »­¬«¼·¿® ½-³± ·²¬»¹®¿® °±¬»²½·¿­ ¼» º«²½·±²»­ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿­ò

Page 31: Libro de-integrales

ײ¬»¹®¿½·-² °±® ­«­¬·¬«½·-² ¬®·¹±²±³7¬®·½¿

Û² »­¬¿ ­»½½·-² ª¿³±­ ¿ »­¬«¼·¿® »´ °®·³»® ³7¬±¼± °¿®¿ ·²¬»¹®¿® º«²½·±²»­ ¯«» ²± ­±² ·²³»¼·¿¬¿ó³»²¬» ·²¬»¹®¿¾´»­ ¿ °¿®¬·® ¼» ´¿ ¬¿¾´¿ ¼» ·²¬»¹®¿´»­ ¯«» ¬»²»³±­ò

·²¬»¹®¿¾´»æ

п®¿æ Í«­¬·¬«·®æ °¿®¿ ±¾¬»²»®æ°

¿î ¾î«î « ã¿

¾­·² ¦ ¿ ï ­·²î ¦ ã ¿ ½±­ ¦

°¿î õ ¾î«î « ã

¿

¾¬¿² ¦ ¿

°ï õ ¬¿²î ¦ ã ¿ ­»½ ¦

°¾î«î ¿î « ã

¿

¾­»½ ¦ ¿

°­»½î ¦ ï ã ¿ ¬¿² ¦

Ü»¾»­ ®»½±®¼¿® ­·»³°®» ­«­¬·¬«·® ¼¨ ¿ °¿®¬·® ¼»´ ½?´½«´± ½±®®»­°±²¼·»²¬» °¿®¿ ¯«» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´¯«»¼» »² ¬7®³·²±­ ¼» ¼¦ò

´¿­ ·¼»²¬·¼¿¼»­ ³?­ º®»½«»²¬»³»²¬» «­¿¼¿­ò

Û¶»³°´± ï

Ý¿´½«´¿ ´¿ ­·¹«·»²¬» ·²¬»¹®¿´æ °ç ì ¨î

¨¼¨

Û³°»¦¿³±­ ±¾­»®ª¿²¼± ¯«» ¿î ã çô ´± ½«¿´ ·³°´·½¿ ¯«» ¿ ã íô § ¾î ã ìô »­ ¼»½·®ô ¾ ã îò

Û²¬±²½»­ ¸¿½»³±­æ ¨ ã ø¿ñ¾÷ ­·² ¦æ

¨ ãí

î­·² ¦ ÷ ¼¨ ã

í

î½±­ ¦ ¼¦

Í«­¬·¬«§»²¼± »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ ±¾¬»²»³±­æ

°ç ì ¨î

¨¼¨ ã

ç ìí

î­·² ¦

î

í

î­·² ¦

í

î½±­ ¦ ¼¦

ç ìí

î­·² ¦

î

í

î­·² ¦

í

î½±­ ¦ ¼¦ ã

ç ç ­·²î ¦

­·² ¦½±­ ¦ ¼¦

ãí ï ­·²î ¦

­·² ¦½±­ ¦ ¼¦

´¿­ ·¼»²¬·¼¿¼»­ ³?­ º®»½«»²¬»³»²¬» «­¿¼¿­ò´¿­ ·¼»²¬·¼¿¼»­ ³?­ º®»½«»²¬»³»²¬» «­¿¼¿­ò

í

î

çô ´± ½«¿´ ·³°´·½¿ ¯«»çô ´± ½«¿´ ·³°´·½¿ ¯«»çô ´± ½«¿´ ·³°´·½¿ ¯«»çô ´± ½«¿´ ·³°´·½¿ ¯«»

´¿­ ·¼»²¬·¼¿¼»­ ³?­ º®»½«»²¬»³»²¬» «­¿¼¿­ò´¿­ ·¼»²¬·¼¿¼»­ ³?­ º®»½«»²¬»³»²¬» «­¿¼¿­ò

í

î

çô ´± ½«¿´ ·³°´·½¿ ¯«»çô ´± ½«¿´ ·³°´·½¿ ¯«»çô ´± ½«¿´ ·³°´·½¿ ¯«»çô ´± ½«¿´ ·³°´·½¿ ¯«»çô ´± ½«¿´ ·³°´·½¿ ¯«»çô ´± ½«¿´ ·³°´·½¿ ¯«»çô ´± ½«¿´ ·³°´·½¿ ¯«»çô ´± ½«¿´ ·³°´·½¿ ¯«»çô ´± ½«¿´ ·³°´·½¿ ¯«»çô ´± ½«¿´ ·³°´·½¿ ¯«»

Page 32: Libro de-integrales

л®± ï ­·²î ¦ ã ½±­î ¦ô´«»¹±ô

íï ­·²î ¦

­·² ¦½±­ ¦ ¼¦ ã í

½±­ ¦

­·² ¦½±­ ¦ ¼¦

ã í½±­î ¦

­·² ¦¼¦

ã íï ­·²î ¦

­·² ¦¼¦

ã íï

­·² ¦­·² ¦ ¼¦

߸±®¿ °±¼»³±­ ·²¬»¹®¿®æ

°ç ì ¨î

¨¼¨ ã í

ï

­·² ¦¼¦ í ­·² ¦ ¼¦

ã í ½­½ ¦ ¼¦ õ í ½±­ ¦

ã í ´² ¶ ½­½ ¦ ½±¬ ¦¶õ í ½±­ ¦ õ Ý

Ø¿­¬¿ ¿¯«3 ¸»³±­ ±¾¬»²·¼± «² ®»­«´¬¿¼± °¿®½·¿´ò

뽫»®¼¿ ¯«» ·²·½·¿´³»²¬» ´¿ ·²¬»¹®¿´ »­¬¿¾¿ ¼¿¼¿ »² ¬7®³·²±­ ¼» ¨ô ²± ¼» ¦ò

б® ´± ¯«» ²±­±¬®±­ ¼»¾»³±­ ¼¿® »´ ®»­«´¬¿¼± »² ¬7®³·²±­ ¼» ¨ò

п®¿ ´±¹®¿® »­±ô ª¿³±­ ¿ ®»°®»­»²¬¿® ¹»±³7¬®·½¿³»²¬» ´¿ ­«­¬·¬«½·-² ·²·½·¿´æ

¨ ãí

î­·² ¦ ÷ ­·² ¦ ã

î ¨

íã

Ý¿¬»¬± ±°«»­¬±

Ø·°±¬»²«­¿

Û² »´ ¬®·?²¹«´± ®»½¬?²¹«´± ¬»²»³±­ïæ

¦°

ç ì ¨î

î ¨

б®¹«´± ¬»²»³±­æ

½­½ ¦ ãí

î ¨ô ½±­ ¦ ã

°ç ì ¨î

í§ ½±¬ ¦ ã

°ç ì ¨î

î ¨

ïп®¿ ½¿´½«´¿® »´ ½¿¬»¬± ¿¼§¿²½»²¬» ¿´ ?²¹«´± ¦ ¸»³±­ «¬·´·¦¿¼± »´ ¬»±®»³¿ ¼» з¬?¹±®¿­ò

Ø¿­¬¿ ¿¯«3 ¸»³±­ ±¾¬»²·¼± «² ®»­«´¬¿¼± °¿®½·¿´òØ¿­¬¿ ¿¯«3 ¸»³±­ ±¾¬»²·¼± «² ®»­«´¬¿¼± °¿®½·¿´òØ¿­¬¿ ¿¯«3 ¸»³±­ ±¾¬»²·¼± «² ®»­«´¬¿¼± °¿®½·¿´ò

뽫»®¼¿ ¯«» ·²·½·¿´³»²¬» ´¿ ·²¬»¹®¿´ »­¬¿¾¿ ¼¿¼¿ »² ¬7®³·²±­ ¼»

Ø¿­¬¿ ¿¯«3 ¸»³±­ ±¾¬»²·¼± «² ®»­«´¬¿¼± °¿®½·¿´ò

뽫»®¼¿ ¯«» ·²·½·¿´³»²¬» ´¿ ·²¬»¹®¿´ »­¬¿¾¿ ¼¿¼¿ »² ¬7®³·²±­ ¼»

б® ´± ¯«» ²±­±¬®±­ ¼»¾»³±­ ¼¿® »´ ®»­«´¬¿¼± »² ¬7®³·²±­ ¼»Ð±® ´± ¯«» ²±­±¬®±­ ¼»¾»³±­ ¼¿® »´ ®»­«´¬¿¼± »² ¬7®³·²±­ ¼»Ð±® ´± ¯«» ²±­±¬®±­ ¼»¾»³±­ ¼¿® »´ ®»­«´¬¿¼± »² ¬7®³·²±­ ¼»

п®¿ ´±¹®¿® »­±ô ª¿³±­ ¿ ®»°®»­»²¬¿® ¹»±³7¬®·½¿³»²¬» ´¿ ­«­¬·¬«½·-² ·²·½·¿´æ

­·²­·² ¦ ã

Ø¿­¬¿ ¿¯«3 ¸»³±­ ±¾¬»²·¼± «² ®»­«´¬¿¼± °¿®½·¿´òØ¿­¬¿ ¿¯«3 ¸»³±­ ±¾¬»²·¼± «² ®»­«´¬¿¼± °¿®½·¿´òØ¿­¬¿ ¿¯«3 ¸»³±­ ±¾¬»²·¼± «² ®»­«´¬¿¼± °¿®½·¿´ò

뽫»®¼¿ ¯«» ·²·½·¿´³»²¬» ´¿ ·²¬»¹®¿´ »­¬¿¾¿ ¼¿¼¿ »² ¬7®³·²±­ ¼»Î»½«»®¼¿ ¯«» ·²·½·¿´³»²¬» ´¿ ·²¬»¹®¿´ »­¬¿¾¿ ¼¿¼¿ »² ¬7®³·²±­ ¼»

Ø¿­¬¿ ¿¯«3 ¸»³±­ ±¾¬»²·¼± «² ®»­«´¬¿¼± °¿®½·¿´ò

뽫»®¼¿ ¯«» ·²·½·¿´³»²¬» ´¿ ·²¬»¹®¿´ »­¬¿¾¿ ¼¿¼¿ »² ¬7®³·²±­ ¼»Î»½«»®¼¿ ¯«» ·²·½·¿´³»²¬» ´¿ ·²¬»¹®¿´ »­¬¿¾¿ ¼¿¼¿ »² ¬7®³·²±­ ¼»Î»½«»®¼¿ ¯«» ·²·½·¿´³»²¬» ´¿ ·²¬»¹®¿´ »­¬¿¾¿ ¼¿¼¿ »² ¬7®³·²±­ ¼»Î»½«»®¼¿ ¯«» ·²·½·¿´³»²¬» ´¿ ·²¬»¹®¿´ »­¬¿¾¿ ¼¿¼¿ »² ¬7®³·²±­ ¼»

Ø¿­¬¿ ¿¯«3 ¸»³±­ ±¾¬»²·¼± «² ®»­«´¬¿¼± °¿®½·¿´òØ¿­¬¿ ¿¯«3 ¸»³±­ ±¾¬»²·¼± «² ®»­«´¬¿¼± °¿®½·¿´ò

б® ´± ¯«» ²±­±¬®±­ ¼»¾»³±­ ¼¿® »´ ®»­«´¬¿¼± »² ¬7®³·²±­ ¼»Ð±® ´± ¯«» ²±­±¬®±­ ¼»¾»³±­ ¼¿® »´ ®»­«´¬¿¼± »² ¬7®³·²±­ ¼»Ð±® ´± ¯«» ²±­±¬®±­ ¼»¾»³±­ ¼¿® »´ ®»­«´¬¿¼± »² ¬7®³·²±­ ¼»Ð±® ´± ¯«» ²±­±¬®±­ ¼»¾»³±­ ¼¿® »´ ®»­«´¬¿¼± »² ¬7®³·²±­ ¼»Ð±® ´± ¯«» ²±­±¬®±­ ¼»¾»³±­ ¼¿® »´ ®»­«´¬¿¼± »² ¬7®³·²±­ ¼»Ð±® ´± ¯«» ²±­±¬®±­ ¼»¾»³±­ ¼¿® »´ ®»­«´¬¿¼± »² ¬7®³·²±­ ¼»Ð±® ´± ¯«» ²±­±¬®±­ ¼»¾»³±­ ¼¿® »´ ®»­«´¬¿¼± »² ¬7®³·²±­ ¼»Ð±® ´± ¯«» ²±­±¬®±­ ¼»¾»³±­ ¼¿® »´ ®»­«´¬¿¼± »² ¬7®³·²±­ ¼»

п®¿ ´±¹®¿® »­±ô ª¿³±­ ¿ ®»°®»­»²¬¿® ¹»±³7¬®·½¿³»²¬» ´¿ ­«­¬·¬«½·-² ·²·½·¿´æп®¿ ´±¹®¿® »­±ô ª¿³±­ ¿ ®»°®»­»²¬¿® ¹»±³7¬®·½¿³»²¬» ´¿ ­«­¬·¬«½·-² ·²·½·¿´æ

б® ´± ¯«» ²±­±¬®±­ ¼»¾»³±­ ¼¿® »´ ®»­«´¬¿¼± »² ¬7®³·²±­ ¼»

п®¿ ´±¹®¿® »­±ô ª¿³±­ ¿ ®»°®»­»²¬¿® ¹»±³7¬®·½¿³»²¬» ´¿ ­«­¬·¬«½·-² ·²·½·¿´æп®¿ ´±¹®¿® »­±ô ª¿³±­ ¿ ®»°®»­»²¬¿® ¹»±³7¬®·½¿³»²¬» ´¿ ­«­¬·¬«½·-² ·²·½·¿´æп®¿ ´±¹®¿® »­±ô ª¿³±­ ¿ ®»°®»­»²¬¿® ¹»±³7¬®·½¿³»²¬» ´¿ ­«­¬·¬«½·-² ·²·½·¿´æп®¿ ´±¹®¿® »­±ô ª¿³±­ ¿ ®»°®»­»²¬¿® ¹»±³7¬®·½¿³»²¬» ´¿ ­«­¬·¬«½·-² ·²·½·¿´æп®¿ ´±¹®¿® »­±ô ª¿³±­ ¿ ®»°®»­»²¬¿® ¹»±³7¬®·½¿³»²¬» ´¿ ­«­¬·¬«½·-² ·²·½·¿´æп®¿ ´±¹®¿® »­±ô ª¿³±­ ¿ ®»°®»­»²¬¿® ¹»±³7¬®·½¿³»²¬» ´¿ ­«­¬·¬«½·-² ·²·½·¿´æ

­·²­·²­·²­·²­·² ¦¦ ã㦠ãí

Page 33: Libro de-integrales

Û²¬±²½»­ô °±¼»³±­ ®»»­½®·¾·® ´¿ ­±´«½·-² ½±³±æ

°ç ì ¨î

¨¼¨ ã í ´² ¶ ½­½ ¦ ½±¬ ¦¶õ í ½±­ ¦ õ Ý

ã í ´²í

î ¨

°ç ì ¨î

î ¨õ í

°ç ì ¨î

íõ Ý

ã í ´²í

°ç ì ¨î

î ¨õ ç ì ¨î õ Ý

·²³»¼·¿¬¿ ¼»¾·¼± ¿ ´¿ º±®³¿ ¯«» ¬·»²»ô ­¿¾·»²¼± ¯«» °«»¼» ¬®¿²­º±®³¿®­» ¿ «²¿ º±®³¿ ·²³»¼·¿¬¿ó³»²¬» ·²¬»¹®¿¾´» «­¿²¼± «²¿ ­«­¬·¬«½·-² ¬®·¹±²±³7¬®·½¿ô ª¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿® ´¿ ¬®¿²­º±®³¿½·-² ­«¹»®·¼¿»² ´¿ ¬¿¾´¿ ¼¿¼¿ »² ´¿ °?¹·²¿ ïò

Ü»­°«7­ ¼» ¸¿½»® ´¿ ­«­¬·¬«½·-² ±¾¬»²»³±­ «²¿ ·²¬»¹®¿´ »² ¬7®³·²±­ ¼» º«²½·±²»­ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿­¯«» ­» °«»¼» ·²¬»¹®¿® «­¿²¼± ´¿ ª¿®·¿¾´» ¦ò

п®¿ ®»¹®»­¿® »­¬» ®»­«´¬¿¼± ¿ ¬7®³·²±­ ¼» ¨ô «¬·´·¦¿³±­ ´¿ ­«­¬·¬«½·-² ¯«» ¬±³¿³±­ ¼» ´¿ ¬¿¾´¿

½·±²»­ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿­ »² 7´ò

Û¶»³°´± î

Ô¿ ·²¬»¹®¿´¨ ¼¨

°ç ¨î ì

­» °«»¼» ®»­±´ª»® ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ø·ª÷ò ˬ·´·¦¿ ­«­¬·¬«½·-² ¬®·¹±²±³7¬®·½¿ °¿®¿

Ü» ¿½«»®¼± ¿ ´¿ ¬¿¾´¿ ¼» ­«­¬·¬«½·±²»­ °¿®¿ »­¬» ¬·°± ¼» ·²¬»¹®¿´»­ô ¸¿®»³±­æ

¨ ãî

í­»½ ¦ ÷ ¼¨ ã

î

í­»½ ¦ ¬¿² ¦ ¼¦

߸±®¿ ­«­¬·¬«·³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ °¿®¿ ¬®¿²­º±®³¿®´¿æ

¨ ¼¨°

ç ¨î ìã

î

í­»½ ¦

î

í­»½ ¦ ¬¿² ¦ ¼¦

çî

í­»½ ¦

î

ì

ãì

ç

­»½î ¦ ¬¿² ¦ ¼¦°

ì ­»½î ¦ ì

ãì

ç

­»½î ¦ ¬¿² ¦ ¼¦

î°

­»½î ¦ ï

л®±ô°

­»½î ¦ ï ã°

¬¿²î ¦ ã ¬¿² ¦ô ´«»¹±

¨ ¼¨°

ç ¨î ìã

î

ç

­»½î ¦ ¬¿² ¦ ¼¦

¬¿² ¦ã

î

ç­»½î ¦ ¼¦ ã

î

笿² ¦ õ Ý

߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ®»»­½®·¾·® »´ ®»­«´¬¿¼± »² ¬7®³·²±­ ¼» ¨ò

î­»½­»½

Ü» ¿½«»®¼± ¿ ´¿ ¬¿¾´¿ ¼» ­«­¬·¬«½·±²»­ °¿®¿ »­¬» ¬·°± ¼» ·²¬»¹®¿´»­ô ¸¿®»³±­æ

î

°

­» °«»¼» ®»­±´ª»® ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ø·ª÷ò ˬ·´·¦¿ ­«­¬·¬«½·-² ¬®·¹±²±³7¬®·½¿ °¿®¿­» °«»¼» ®»­±´ª»® ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ø·ª÷ò ˬ·´·¦¿ ­«­¬·¬«½·-² ¬®·¹±²±³7¬®·½¿ °¿®¿

Ü» ¿½«»®¼± ¿ ´¿ ¬¿¾´¿ ¼» ­«­¬·¬«½·±²»­ °¿®¿ »­¬» ¬·°± ¼» ·²¬»¹®¿´»­ô ¸¿®»³±­æ

î­»½­»½­»½

Ü» ¿½«»®¼± ¿ ´¿ ¬¿¾´¿ ¼» ­«­¬·¬«½·±²»­ °¿®¿ »­¬» ¬·°± ¼» ·²¬»¹®¿´»­ô ¸¿®»³±­æ

î

­» °«»¼» ®»­±´ª»® ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ø·ª÷ò ˬ·´·¦¿ ­«­¬·¬«½·-² ¬®·¹±²±³7¬®·½¿ °¿®¿­» °«»¼» ®»­±´ª»® ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ø·ª÷ò ˬ·´·¦¿ ­«­¬·¬«½·-² ¬®·¹±²±³7¬®·½¿ °¿®¿

°°°

­» °«»¼» ®»­±´ª»® ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ø·ª÷ò ˬ·´·¦¿ ­«­¬·¬«½·-² ¬®·¹±²±³7¬®·½¿ °¿®¿­» °«»¼» ®»­±´ª»® ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ø·ª÷ò ˬ·´·¦¿ ­«­¬·¬«½·-² ¬®·¹±²±³7¬®·½¿ °¿®¿­» °«»¼» ®»­±´ª»® ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ø·ª÷ò ˬ·´·¦¿ ­«­¬·¬«½·-² ¬®·¹±²±³7¬®·½¿ °¿®¿­» °«»¼» ®»­±´ª»® ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ø·ª÷ò ˬ·´·¦¿ ­«­¬·¬«½·-² ¬®·¹±²±³7¬®·½¿ °¿®¿­» °«»¼» ®»­±´ª»® ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ø·ª÷ò ˬ·´·¦¿ ­«­¬·¬«½·-² ¬®·¹±²±³7¬®·½¿ °¿®¿­» °«»¼» ®»­±´ª»® ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ø·ª÷ò ˬ·´·¦¿ ­«­¬·¬«½·-² ¬®·¹±²±³7¬®·½¿ °¿®¿

Ü» ¿½«»®¼± ¿ ´¿ ¬¿¾´¿ ¼» ­«­¬·¬«½·±²»­ °¿®¿ »­¬» ¬·°± ¼» ·²¬»¹®¿´»­ô ¸¿®»³±­æÜ» ¿½«»®¼± ¿ ´¿ ¬¿¾´¿ ¼» ­«­¬·¬«½·±²»­ °¿®¿ »­¬» ¬·°± ¼» ·²¬»¹®¿´»­ô ¸¿®»³±­æÜ» ¿½«»®¼± ¿ ´¿ ¬¿¾´¿ ¼» ­«­¬·¬«½·±²»­ °¿®¿ »­¬» ¬·°± ¼» ·²¬»¹®¿´»­ô ¸¿®»³±­æÜ» ¿½«»®¼± ¿ ´¿ ¬¿¾´¿ ¼» ­«­¬·¬«½·±²»­ °¿®¿ »­¬» ¬·°± ¼» ·²¬»¹®¿´»­ô ¸¿®»³±­æÜ» ¿½«»®¼± ¿ ´¿ ¬¿¾´¿ ¼» ­«­¬·¬«½·±²»­ °¿®¿ »­¬» ¬·°± ¼» ·²¬»¹®¿´»­ô ¸¿®»³±­æÜ» ¿½«»®¼± ¿ ´¿ ¬¿¾´¿ ¼» ­«­¬·¬«½·±²»­ °¿®¿ »­¬» ¬·°± ¼» ·²¬»¹®¿´»­ô ¸¿®»³±­æ

Page 34: Libro de-integrales

Û´ ¬®·?²¹«´± ®»½¬?²¹«´± ¯«» ®»°®»­»²¬¿ ´¿ ­«­¬·¬«½·-² ¯«» ¸·½·³±­ ¿´ °®·²½·°·± ¼»´ °®±¾´»³¿»­ »´ ­·¹«·»²¬»æ

¦

î

°ç ¨î ì

Û²¬±²½»­ô ¼» ¿½«»®¼± ¿ »­¬» ¬®·?²¹«´±ô ¬»²»³±­æ

¬¿² ¦ ã

°ç ¨î ì

î

Ç ¿´ ­«­¬·¬«·® »­¬» ª¿´±® »² »´ ®»­«´¬¿¼± ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ ±¾¬»²»³±­æ

¨ ¼¨°

ç ¨î ìã

î

ç

°ç ¨î ì

îõ Ý ã

°ç ¨î ì

çõ Ý

ª ã ç ¨î ìò Û²¬±²½»­ô ¼ª ã ïè ¨ ¼¨ò Ô«»¹± ¨ ¼¨ 㼪

ïèò

¨ ¼¨°

ç ¨î ìã

¼ª

ïè°

ªã

ï

ïèª ïñî ¼ª ã

ï

ïè

ªïñî

ïñîõ Ý

ãï

ïè

î

ïç ¨î ì

ïñîõ Ý

ã

°ç ¨î ì

çõ Ý

Ç ¬»®³·²¿³±­ò

Û¶»³°´± í

Ý¿´½«´¿ ´¿ ·²¬»¹®¿´æ¼¨

°ïê ¨î õ îë

Ë­¿®»³±­ ´¿ ­«­¬·¬«½·-²æ

¨ ãë

쬿² ¦ ÷ ¼¨ ã

ë

ì­»½î ¦ ¼¦

ç ¨î

ïñîõ

ì

ìò Û²¬±²½»­ôìò Û²¬±²½»­ô

ïï

ïèïñî

ç ¨î

ïñîõ

ìììì

ìò Û²¬±²½»­ôìò Û²¬±²½»­ôìò Û²¬±²½»­ôìò Û²¬±²½»­ôìò Û²¬±²½»­ôìò Û²¬±²½»­ôìò Û²¬±²½»­ôìò Û²¬±²½»­ôìò Û²¬±²½»­ôìò Û²¬±²½»­ôìò Û²¬±²½»­ô

ïï

ïèïè

ï

ïèïñîïñîïñîïñî

Page 35: Libro de-integrales

Û­¬± ¬®¿²­º±®³¿ ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¿æ

¼¨°

ïê ¨î õ îëã

ë

ì­»½î ¦ ¼¦

ïêë

쬿² ¦

î

õ îë

ãë

ì

­»½î ¦ ¼¦°

îë ¬¿² ¦î õ îë

ãë

ì

­»½î ¦ ¼¦

ë°

¬¿² ¦î õ ï

ãï

ì

­»½î ¦ ¼¦°

¬¿² ¦î õ ï

л®±°

¬¿² ¦î õ ï ã°

­»½î ¦ ã ­»½ ¦ô ´«»¹±ô

¼¨°

ïê ¨î õ îëã

ï

ì

­»½î ¦ ¼¦

­»½ ¦ã

ï

ì­»½ ¦ ã

ï

ì´² ¶­»½ ¦ õ ¬¿² ¦¶ õ Ý

п®¿ ¸¿½»® »´ ½¿³¾·± ¿ ´¿ ª¿®·¿¾´» ¨ «­¿³±­ »´ ­·¹«·»²¬» ¬®·?²¹«´± ®»½¬?²¹«´±æ

¦

ë

ì ¨

Û²¬±²½»­ô½¿­ »² »´ ¬®·?²¹«´± ®»½¬?²¹«´± ±¾¬»²»³±­æ

¼¨°

ïê ¨î õ îëã

ï

ì´²

°ïê ¨î õ îë

ëõ

ì ¨

ëõ Ý

Û¶»³°´± ì

Ý¿´½«´¿ ´¿ ­·¹«·»²¬» ·²¬»¹®¿´æ °ï îë ¨î

¨î¼¨

Ë­¿®»³±­ ´¿ ­«­¬·¬«½·-²æ

¨ ãï

ë­·² ¦ ÷ ¼¨ ã

ï

ë½±­ ¦ ¼¦

п®¿ ¸¿½»® »´ ½¿³¾·± ¿ ´¿ ª¿®·¿¾´»Ð¿®¿ ¸¿½»® »´ ½¿³¾·± ¿ ´¿ ª¿®·¿¾´»Ð¿®¿ ¸¿½»® »´ ½¿³¾·± ¿ ´¿ ª¿®·¿¾´» ¨Ð¿®¿ ¸¿½»® »´ ½¿³¾·± ¿ ´¿ ª¿®·¿¾´»Ð¿®¿ ¸¿½»® »´ ½¿³¾·± ¿ ´¿ ª¿®·¿¾´»Ð¿®¿ ¸¿½»® »´ ½¿³¾·± ¿ ´¿ ª¿®·¿¾´»Ð¿®¿ ¸¿½»® »´ ½¿³¾·± ¿ ´¿ ª¿®·¿¾´» ¨Ð¿®¿ ¸¿½»® »´ ½¿³¾·± ¿ ´¿ ª¿®·¿¾´»Ð¿®¿ ¸¿½»® »´ ½¿³¾·± ¿ ´¿ ª¿®·¿¾´»Ð¿®¿ ¸¿½»® »´ ½¿³¾·± ¿ ´¿ ª¿®·¿¾´» ¨

Page 36: Libro de-integrales

ß´ ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ ±¾¬»²»³±­æ

°ï îë ¨î

¨î¼¨ ã

ï îëï

ë­·² ¦

î

ï

ë­·² ¦

î

ï

ë½±­ ¦ ¼¦

ãë ï ­·²î ¦

­·²î ¦ø½±­ ¦ ¼¦÷

ã ë½±­ ¦

­·²î ¦½±­ ¦ ¼¦

ã ë½±­î ¦

­·²î ¦¼¦

ã ë ½±¬î ¦ ¼¦

߸±®¿ «¬·´·¦¿®»³±­ ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼æ ½±¬î ¦ ã ½­½î ¦ ïæ°

ï îë ¨î

¨î¼¨ ã ë ½±¬î ¦ ¼¦

ã ë ½­½î ¦ ï ¼¦

ã ë ½­½î ¦ ë ¼¦

ã ë ½±¬ ¦ ë ¦ õ Ý

߸±®¿ ½¿´½«´¿³±­ ´±­ ª¿´±®»­ ¼» ¦ § ½±¬ ¦ »² ¬7®³·²±­ ¼» ¨ ¿ °¿®¬·® ¼»´ ¬®·?²¹«´± ®»½¬?²¹«´±½±®®»­°±²¼·»²¬»æ

¦°

ï îë ¨î

ë ¨

­·² ¦ ãë ¨

ïã ë ¨ ÷ ¦ ã ¿®½­·²øë ¨÷

½±¬ ¦ ã

°ï îë ¨î

ë ¨

߸±®¿ ­«­¬·¬«³±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ »² »´ ª¿´±® ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´æ°

ï îë ¨î

¨î¼¨ ã ë ½±¬ ¦ ë ¦ õ Ý

ã ë

°ï îë ¨î

ë ¨ë ¿®½­·²øë ¨÷ õ Ý

ã

°ï îë ¨î

¨ë ¿®½­·²øë ¨÷ õ Ý

ë

»² ¬7®³·²±­ ¼»»² ¬7®³·²±­ ¼»

ë

»² ¬7®³·²±­ ¼»»² ¬7®³·²±­ ¼»»² ¬7®³·²±­ ¼»»² ¬7®³·²±­ ¼»»² ¬7®³·²±­ ¼»»² ¬7®³·²±­ ¼»»² ¬7®³·²±­ ¼»

Page 37: Libro de-integrales

Û­ ·³°±®¬¿²¬» ®»½±®¼¿¬» ¯«» ´¿ ·²¬»¹®¿´ ·²·½·¿´ »­¬¿¾¿ ¼¿¼¿ »² ¬7®³·²±­ ¼» ´¿ ª¿®·¿¾´» ¨ò

Í· »²¬®»¹¿­ «² ®»­«´¬¿¼± »² ¬7®³·²±­ ¼» ¦ô »² ®»¿´·¼¿¼ ¬« ®»­«´¬¿¼± ²± »­ ·²½±®®»½¬±ô °»®± ¬¿³°±½±»­ ½±®®»½¬±ò Í·³°´»³»²¬» »­¬? ·²½±³°´»¬±ò

Ü»¾»­ »¨°®»­¿® »´ ®»­«´¬¿¼± »² ¬7®³·²±­ ¼» ´¿ ª¿®·¿¾´» ¯«» ¿°¿®»¦½¿ ´¿ ·²¬»¹®¿´ ·²·½·¿´ò б® »­±­» ®»¯«·»®» ¸¿½»® »´ ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´» ¼±­ ª»½»­æ Ô¿ °®·³»®¿ °¿®¿ °±¼»® ¸¿½»® ´¿ ·²¬»¹®¿´ô ´¿­»¹«²¼¿ °¿®¿ »²¬»²¼»® »´ ®»­«´¬¿¼±ò

Û¶»³°´± ë

Ý¿´½«´¿ ´¿ ­·¹«·»²¬» ·²¬»¹®¿´æ¼¨

¨î°

¨î 켨

Ø¿½»³±­æ¨ ã î ­»½ ¦ ÷ ¼¨ ã î ­»½ ¦ ¬¿² ¦ ¼¦

Í«­¬·¬«§»²¼± »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ ±¾¬»²»³±­æ

¼¨

¨î°

¨î 켨 ã

î ­»½ ¦ ¬¿² ¦ ¼¦

ì ­»½î ¦°

ì ­»½î ¦ ì

ãï

î

­»½ ¦ ¬¿² ¦ ¼¦

î ­»½î ¦°

­»½î ¦ ï

ãï

ì

¬¿² ¦ ¼¦

­»½ ¦ ¬¿² ¦

ãï

ì

¼¦

­»½ ¦

ãï

ì½±­ ¦

ãï

ì­·² ¦ õ Ý

Ü¿¼± ¯«» ¨ ã î ­»½ ¦ô ­» ­·¹«»æ ­»½ ¦ ã¨

îò

Û´ ¬®·?²¹«´± ¯«» ½±®®»­°±²¼» °¿®¿ ¸¿½»® »´ ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´» ¼» ¦ ¿ ¨ »­æ

¦

î

°¨î ì

Û²¬±²½»­ô ­·² ¦ ã

°¨î ì

¨ô § ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¯«»¼¿æ

¼¨

¨î°

¨î 켨 ã

°¨î ì

ì ¨õ Ý

îî°

ÝÝ

ì

ã

ï

ì

½±­

îî°

ÝÝ

ìì

ããã

ïïïïï

ìììì

ï

ì

½±­½±­½±­½±­ ¦½±­ ¦½±­

Page 38: Libro de-integrales

¹®¿½·-²ô ¹»²»®¿´³»²¬» ·³°±²·»²¼± «²¿ ½±²¼·½·-²ô °±® »¶»³°´±ô ¯«» °¿­» °±® «² °«²¬±ò

Û­¬¿­ ·²¬»¹®¿´»­ ¬·»²»² ¹®¿² ·³°±®¬¿²½·¿ °¿®¿ ®»­±´ª»® °®±¾´»³¿­ ¼» ¼·ª»®­±­ ¬·°±­ò

Ò±¬¿½·-² ¼» ­«³¿¬±®·¿

´¿ ²±¬¿½·-² ¼» ­«³¿¬±®·¿ò

ï

Í«³¿¬±®·¿Ô¿ ­«³¿¬±®·¿ ¼» ´±­ °®·³»®±­ ² ¬7®³·²±­ ¼» «²¿ ­«½»­·-² º¨·¹

²

;·ãï

¨· ã ¨ï õ ¨î õ ¨í õ ¨ì õ õ ¨²

Û² °¿´¿¾®¿­ô ´¿ ­«³¿¬±®·¿ »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ ­«³¿ ¼» ´±­ ¬7®³·²±­ ¯«» ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿®ò

Û¶»³°´± ï

Ý¿´½«´¿ ´¿ ­«³¿¬±®·¿æïð

;·ãï

·

Û² °¿´¿¾®¿­ô »­¬¿ ²±¬¿½·-² ²±­ ¼·½» ¯«» ¼»¾»³±­ ­«³¿® ´±­ ²&³»®±­ ¼»´ ï ¿´ ïðæ

ï õ î õ í õ ì õ ë õ ê õ é õ è õ ç õ ïð ã ëë

Ì»±®»³¿ ï²

;·ãï

· ã² ø² õ ï÷

î

î

Í«³¿ ¼» Ù¿«­­

­·¹«·»²¬» º-®³«´¿æ²

;·ãï

· ã² ø² õ ï÷

î

Û¶»³°´± î

Ý¿´½«´¿æë

;·ãð

øî · õ ï÷

߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ­«³¿ ¼» ´±­ °®·³»®±­ ë ·³°¿®»­æ

ì

;·ãð

øî · õ ï÷ ã Åî øð÷ õ ïà õ Åî øï÷ õ ïà õ Åî øî÷ õ ïà õ Åî øí÷ õ ïà õ Åî øì÷ õ ïÃ

ã ï õ í õ ë õ é õ ç ã îë

°¿´¿¾®¿­ô ´¿ ­«³¿¬±®·¿ »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ ­«³¿ ¼» ´±­ ¬7®³·²±­ ¯«» ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿®ò°¿´¿¾®¿­ô ´¿ ­«³¿¬±®·¿ »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ ­«³¿ ¼» ´±­ ¬7®³·²±­ ¯«» ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿®ò°¿´¿¾®¿­ô ´¿ ­«³¿¬±®·¿ »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ ­«³¿ ¼» ´±­ ¬7®³·²±­ ¯«» ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿®ò

õ ç õ

°¿´¿¾®¿­ô ´¿ ­«³¿¬±®·¿ »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ ­«³¿ ¼» ´±­ ¬7®³·²±­ ¯«» ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿®ò°¿´¿¾®¿­ô ´¿ ­«³¿¬±®·¿ »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ ­«³¿ ¼» ´±­ ¬7®³·²±­ ¯«» ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿®ò

·ã

°¿´¿¾®¿­ô »­¬¿ ²±¬¿½·-² ²±­ ¼·½» ¯«» ¼»¾»³±­ ­«³¿® ´±­ ²&³»®±­ ¼»´ ï ¿´ ïðæ°¿´¿¾®¿­ô »­¬¿ ²±¬¿½·-² ²±­ ¼·½» ¯«» ¼»¾»³±­ ­«³¿® ´±­ ²&³»®±­ ¼»´ ï ¿´ ïðæ°¿´¿¾®¿­ô »­¬¿ ²±¬¿½·-² ²±­ ¼·½» ¯«» ¼»¾»³±­ ­«³¿® ´±­ ²&³»®±­ ¼»´ ï ¿´ ïðæ

õ è

°¿´¿¾®¿­ô ´¿ ­«³¿¬±®·¿ »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ ­«³¿ ¼» ´±­ ¬7®³·²±­ ¯«» ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿®ò°¿´¿¾®¿­ô ´¿ ­«³¿¬±®·¿ »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ ­«³¿ ¼» ´±­ ¬7®³·²±­ ¯«» ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿®ò°¿´¿¾®¿­ô ´¿ ­«³¿¬±®·¿ »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ ­«³¿ ¼» ´±­ ¬7®³·²±­ ¯«» ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿®ò

õ ç õ

°¿´¿¾®¿­ô ´¿ ­«³¿¬±®·¿ »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ ­«³¿ ¼» ´±­ ¬7®³·²±­ ¯«» ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿®ò°¿´¿¾®¿­ô ´¿ ­«³¿¬±®·¿ »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ ­«³¿ ¼» ´±­ ¬7®³·²±­ ¯«» ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿®ò°¿´¿¾®¿­ô ´¿ ­«³¿¬±®·¿ »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ ­«³¿ ¼» ´±­ ¬7®³·²±­ ¯«» ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿®ò°¿´¿¾®¿­ô ´¿ ­«³¿¬±®·¿ »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ ­«³¿ ¼» ´±­ ¬7®³·²±­ ¯«» ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿®ò°¿´¿¾®¿­ô ´¿ ­«³¿¬±®·¿ »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ ­«³¿ ¼» ´±­ ¬7®³·²±­ ¯«» ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿®ò°¿´¿¾®¿­ô ´¿ ­«³¿¬±®·¿ »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ ­«³¿ ¼» ´±­ ¬7®³·²±­ ¯«» ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿®ò°¿´¿¾®¿­ô ´¿ ­«³¿¬±®·¿ »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ ­«³¿ ¼» ´±­ ¬7®³·²±­ ¯«» ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿®ò

··ããããã;;

°¿´¿¾®¿­ô »­¬¿ ²±¬¿½·-² ²±­ ¼·½» ¯«» ¼»¾»³±­ ­«³¿® ´±­ ²&³»®±­ ¼»´ ï ¿´ ïðæ°¿´¿¾®¿­ô »­¬¿ ²±¬¿½·-² ²±­ ¼·½» ¯«» ¼»¾»³±­ ­«³¿® ´±­ ²&³»®±­ ¼»´ ï ¿´ ïðæ°¿´¿¾®¿­ô »­¬¿ ²±¬¿½·-² ²±­ ¼·½» ¯«» ¼»¾»³±­ ­«³¿® ´±­ ²&³»®±­ ¼»´ ï ¿´ ïðæ°¿´¿¾®¿­ô »­¬¿ ²±¬¿½·-² ²±­ ¼·½» ¯«» ¼»¾»³±­ ­«³¿® ´±­ ²&³»®±­ ¼»´ ï ¿´ ïðæ°¿´¿¾®¿­ô »­¬¿ ²±¬¿½·-² ²±­ ¼·½» ¯«» ¼»¾»³±­ ­«³¿® ´±­ ²&³»®±­ ¼»´ ï ¿´ ïðæ°¿´¿¾®¿­ô »­¬¿ ²±¬¿½·-² ²±­ ¼·½» ¯«» ¼»¾»³±­ ­«³¿® ´±­ ²&³»®±­ ¼»´ ï ¿´ ïðæ°¿´¿¾®¿­ô »­¬¿ ²±¬¿½·-² ²±­ ¼·½» ¯«» ¼»¾»³±­ ­«³¿® ´±­ ²&³»®±­ ¼»´ ï ¿´ ïðæ°¿´¿¾®¿­ô »­¬¿ ²±¬¿½·-² ²±­ ¼·½» ¯«» ¼»¾»³±­ ­«³¿® ´±­ ²&³»®±­ ¼»´ ï ¿´ ïðæ°¿´¿¾®¿­ô »­¬¿ ²±¬¿½·-² ²±­ ¼·½» ¯«» ¼»¾»³±­ ­«³¿® ´±­ ²&³»®±­ ¼»´ ï ¿´ ïðæ

é

°¿´¿¾®¿­ô »­¬¿ ²±¬¿½·-² ²±­ ¼·½» ¯«» ¼»¾»³±­ ­«³¿® ´±­ ²&³»®±­ ¼»´ ï ¿´ ïðæ°¿´¿¾®¿­ô »­¬¿ ²±¬¿½·-² ²±­ ¼·½» ¯«» ¼»¾»³±­ ­«³¿® ´±­ ²&³»®±­ ¼»´ ï ¿´ ïðæ°¿´¿¾®¿­ô »­¬¿ ²±¬¿½·-² ²±­ ¼·½» ¯«» ¼»¾»³±­ ­«³¿® ´±­ ²&³»®±­ ¼»´ ï ¿´ ïðæ

õ èèèõ èõõ èèè

Page 39: Libro de-integrales

í

Ю±°·»¼¿¼»­ ¼» ´¿ ­«³¿¬±®·¿Ô¿ ­«³¿¬±®·¿ °®»­»²¬¿ ´¿­ ­·¹«·»²¬»­ °®±°·»¼¿¼»­æ

·ò²

;·ãï

½ ã ² ½

··ò²

;·ãï

½ ¿· ã ½²

;·ãï

¿·

···ò²

;·ãï

ø¿· ¾·÷ ã²

;·ãï

¿·

²

;·ãï

¾·

ß¼»³?­ ¼» ´¿ ­«³¿ ¼» Ù¿«­­ô ¬»²»³±­ ´¿­ ­«³¿¬±®·¿­æ

Ì»±®»³¿ î

²

;·ãï

·î ã² ø² õ ï÷øî ² õ ï÷

ê

²

;·ãï

·í ã² ø² õ ï÷

î

î

Page 40: Libro de-integrales

_®»¿ ¾¿¶± «²¿ ½«®ª¿

б® »¶»³°´±ô °¿®¿ ½¿´½«´¿® »´ ?®»¿ ß ¼» «² ¬®·?²¹«´± ½±² ¾¿­» ¾ § ¿´¬«®¿ ¸ô «­¿³±­ ´¿ º-®³«´¿æ

ß ã¾ ¸

î

л®± ²± ­¿¾»³±­ ½-³± ½¿´½«´¿® »´ ?®»¿ ¯«» ¸¿§ »²¬®» ´¿ °¿®?¾±´¿ § ã ¨îô »´ »¶» ¨ § ´¿­ ®»½¬¿­ª»®¬·½¿´»­ ¨ ã ð § ¨ ã ïò

¨ðòï ðòï ðòî ðòí ðòì ðòë ðòê ðòé ðòè ðòç ïòð

§

ðòï

ðòî

ðòí

ðòì

ðòë

ðòê

ðòé

ðòè

ðòç

ïòð

§ ã ¨î

Í·² »³¾¿®¹±ô °±¼»³±­ ¿°®±¨·³¿® »´ ª¿´±® ¼» »­¬¿ ?®»¿ ­· ª¿³±­ ­»½½·±²¿²¼± »´·²¬»®ª¿´± øðô ï÷ § ¼·¾«¶¿³±­ ®»½¬?²¹«´±­ ½±² ¿´¬«®¿ ·¹«¿´ ¿ ´¿ ±®¼»²¿¼¿ §· ã ¨î

· ò

п®¿ »­¬± ¬»²»³±­ ¼±­ ±°½·±²»­ô ¾·»² ¼·¾«¶¿³±­ ´±­ ®»½¬?²¹«´±­ ¼» ³¿²»®¿ ¯«» «²¿ °¿®¬» ¼»´³·­³± ¯«»¼» °±® »²½·³¿ ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ô ¾·»² ´±­ ¼·¾«¶¿³±­ ¼» ³¿²»®¿ ¯«» «²¿ °¿®¬» ¯«»¼» °±®¼»¾¿¶± ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ò

Ô¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¯«» ¸¿¹¿³±­ ¬»²¼®?ô »² »´ °®·³»® ½¿­± «² »®®±® °±® »¨½»­±ô »­ ¼»½·®ô ­»®? ³¿§±®¿´ ª¿´±® ¼»´ ?®»¿ ¯«» ¾«­½¿³±­ò Û² »´ ­»¹«²¼± ½¿­± »´ ?®»¿ ¿°®±¨·³¿¼¿ ­»®? «² °±½± ³»²±® ¿´?®»¿ ¼»¾¿¶± ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ò

Page 41: Libro de-integrales

¨ðòï ðòï ðòî ðòí ðòì ðòë ðòê ðòé ðòè ðòç ïòð

§

ðòï

ðòî

ðòí

ðòì

ðòë

ðòê

ðòé

ðòè

ðòç

ïòð

§ ã ¨î

б¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ?®»¿ ¼» ½¿¼¿ ®»½¬?²¹«´± ¯«» ¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ § ¼» ´±­ ¯«»¯«»¼¿² °±® ¼»¾¿¶± § ±®¼»²¿® »­¬¿ ·²º±®³¿½·-² »² «²¿ ¬¿¾´¿æ

· ß·² º ß­«°

ï ðòð ðòððèðî ðòððèð ðòðíîí ðòðíî ðòðéîì ðòðéî ðòïîèë ðòïîè ðòî

̱¬¿´»­æ ðòîì ðòìì

Û´ ¬¿³¿/± ¼»´ »®®±® ¼»°»²¼»®? ¼» ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ®»½¬?²¹«´±­ ¯«» ¼·¾«¶»³±­ °¿®¿ ¸¿½»® ´¿ ¿°®±¨·ó³¿½·-²ò ß ³¿§±® ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ®»½¬?²¹«´±­ô ´¿­ ®»¹·±²»­ ¼» ½¿¼¿ ®»½¬?²¹«´± ¯«» ¯«»¼»² °±® »²½·³¿± °±® ¼»¾¿¶± ­»®?² ½¿¼¿ ª»¦ ³?­ °»¯«»/±­ ¯«» ´¿ ­«³¿ ¼» ¬±¼±­ »­±­ »®®±®»­ ­»®? ¼»­°®»½·¿¾´»æ

¨ï

§

ï

§ ã ¨î

¨ï

§

ï

§ ã ¨î

б¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ?®»¿ ¼» ½¿¼¿ ®»½¬?²¹«´± ¯«» ¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ § ¼» ´±­ ¯«»Ð±¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ?®»¿ ¼» ½¿¼¿ ®»½¬?²¹«´± ¯«» ¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ § ¼» ´±­ ¯«»¯«»¼¿² °±® ¼»¾¿¶± § ±®¼»²¿® »­¬¿ ·²º±®³¿½·-² »² «²¿ ¬¿¾´¿æ¯«»¼¿² °±® ¼»¾¿¶± § ±®¼»²¿® »­¬¿ ·²º±®³¿½·-² »² «²¿ ¬¿¾´¿æ

ðòîì ðòìì

б¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ?®»¿ ¼» ½¿¼¿ ®»½¬?²¹«´± ¯«» ¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ § ¼» ´±­ ¯«»¯«»¼¿² °±® ¼»¾¿¶± § ±®¼»²¿® »­¬¿ ·²º±®³¿½·-² »² «²¿ ¬¿¾´¿æ¯«»¼¿² °±® ¼»¾¿¶± § ±®¼»²¿® »­¬¿ ·²º±®³¿½·-² »² «²¿ ¬¿¾´¿æ

ï ðòð ðòððèðï ðòð ðòððèðî ðòððèð ðòðíîî ðòððèð ðòðíîí ðòðíî ðòðéîí ðòðíî ðòðéîì ðòðéî ðòïîèì ðòðéî ðòïîèí ðòðíî ðòðéîì ðòðéî ðòïîèë ðòïîè ðòîë ðòïîè ðòî

б¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ?®»¿ ¼» ½¿¼¿ ®»½¬?²¹«´± ¯«» ¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ § ¼» ´±­ ¯«»Ð±¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ?®»¿ ¼» ½¿¼¿ ®»½¬?²¹«´± ¯«» ¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ § ¼» ´±­ ¯«»¯«»¼¿² °±® ¼»¾¿¶± § ±®¼»²¿® »­¬¿ ·²º±®³¿½·-² »² «²¿ ¬¿¾´¿æб¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ?®»¿ ¼» ½¿¼¿ ®»½¬?²¹«´± ¯«» ¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ § ¼» ´±­ ¯«»¯«»¼¿² °±® ¼»¾¿¶± § ±®¼»²¿® »­¬¿ ·²º±®³¿½·-² »² «²¿ ¬¿¾´¿æ¯«»¼¿² °±® ¼»¾¿¶± § ±®¼»²¿® »­¬¿ ·²º±®³¿½·-² »² «²¿ ¬¿¾´¿æ

Û´ ¬¿³¿/± ¼»´ »®®±® ¼»°»²¼»®? ¼» ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ®»½¬?²¹«´±­ ¯«» ¼·¾«¶»³±­ °¿®¿ ¸¿½»® ´¿ ¿°®±¨·ó

ðòîì ðòìì

б¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ?®»¿ ¼» ½¿¼¿ ®»½¬?²¹«´± ¯«» ¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ § ¼» ´±­ ¯«»¯«»¼¿² °±® ¼»¾¿¶± § ±®¼»²¿® »­¬¿ ·²º±®³¿½·-² »² «²¿ ¬¿¾´¿æ¯«»¼¿² °±® ¼»¾¿¶± § ±®¼»²¿® »­¬¿ ·²º±®³¿½·-² »² «²¿ ¬¿¾´¿æ¯«»¼¿² °±® ¼»¾¿¶± § ±®¼»²¿® »­¬¿ ·²º±®³¿½·-² »² «²¿ ¬¿¾´¿æ¯«»¼¿² °±® ¼»¾¿¶± § ±®¼»²¿® »­¬¿ ·²º±®³¿½·-² »² «²¿ ¬¿¾´¿æ¯«»¼¿² °±® ¼»¾¿¶± § ±®¼»²¿® »­¬¿ ·²º±®³¿½·-² »² «²¿ ¬¿¾´¿æ¯«»¼¿² °±® ¼»¾¿¶± § ±®¼»²¿® »­¬¿ ·²º±®³¿½·-² »² «²¿ ¬¿¾´¿æб¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ?®»¿ ¼» ½¿¼¿ ®»½¬?²¹«´± ¯«» ¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ § ¼» ´±­ ¯«»¯«»¼¿² °±® ¼»¾¿¶± § ±®¼»²¿® »­¬¿ ·²º±®³¿½·-² »² «²¿ ¬¿¾´¿æб¼»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ?®»¿ ¼» ½¿¼¿ ®»½¬?²¹«´± ¯«» ¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ § ¼» ´±­ ¯«»

ï ðòð ðòððèðï ðòð ðòððèðî ðòððèð ðòðíîî ðòððèð ðòðíîî ðòððèð ðòðíîï ðòð ðòððèðî ðòððèð ðòðíîî ðòððèð ðòðíîï ðòð ðòððèðî ðòððèð ðòðíîî ðòððèð ðòðíîï ðòð ðòððèð

í ðòðíî ðòðéîî ðòððèð ðòðíîí ðòðíî ðòðéîí ðòðíî ðòðéîí ðòðíî ðòðéîí ðòðíî ðòðéîî ðòððèð ðòðíîí ðòðíî ðòðéîì ðòðéî ðòïîèì ðòðéî ðòïîèí ðòðíî ðòðéîí ðòðíî ðòðéîí ðòðíî ðòðéîí ðòðíî ðòðéîí ðòðíî ðòðéîí ðòðíî ðòðéîí ðòðíî ðòðéîí ðòðíî ðòðéîì ðòðéî ðòïîèì ðòðéî ðòïîèì ðòðéî ðòïîèì ðòðéî ðòïîèì ðòðéî ðòïîèí ðòðíî ðòðéîì ðòðéî ðòïîèë ðòïîè ðòîë ðòïîè ðòîë ðòïîè ðòîë ðòïîè ðòîë ðòïîè ðòîì ðòðéî ðòïîèì ðòðéî ðòïîèì ðòðéî ðòïîèë ðòïîè ðòîë ðòïîè ðòîë ðòïîè ðòîë ðòïîè ðòîë ðòïîè ðòîë ðòïîè ðòîë ðòïîè ðòîë ðòïîè ðòî

Page 42: Libro de-integrales

¨ï

§

ï

§ ã ¨î

¨ï

§

ï

§ ã ¨î

¨ï

§

ï

§ ã ¨î

¨ï

§

ï

§ ã ¨î

Û² ´¿ ­·¹«·»²¬» ¬¿¾´¿ ­» ³«»­¬®¿² ´±­ ®»­«´¬¿¼±­ ±¾¬»²·¼±­ °¿®¿ ¼·º»®»²¬» ²&³»®± ¼» ®»½¬?²¹«´±­ø²÷ »² »´ ·²¬»®ª¿´± øðôï÷æ

̱¬¿´»­æ

² ß·² º ß­«°

ïð ðòîèë ðòíèëîð ðòíðç ðòíëçíð ðòíïé ðòíëðìð ðòíîï ðòíìêëð ðòíîí ðòíìíïðð ðòíîè ðòíèè

Ü» ´¿ ¬¿¾´¿ ­» ¸¿½» »ª·¼»²¬» ¯«» »´ ?®»¿ ¬·»²¼» ¿ «² ²&³»®± ß ¯«» ­¿¬·­º¿½»æ

ðòíîè ß ðòíèè

Í· ¼·¾«¶¿³±­ ³?­ ®»½¬?²¹«´±­ ±¾¬»²¼®»³±­ «²¿ ³»¶±® ¿°®±¨·³¿½·-²ò

Û²¬±²½»­ô ­· »²½±²¬®¿³±­ »´ ´3³·¬» ¼» ´¿ ­«³¿ ¼» ´¿­ ?®»¿­ ¼» ¬±¼±­ ´±­ ®»½¬?²¹«´±­ ¯«» ¼·¾«¶¿³±­

½«®ª¿ § ã º ø¨÷ ¼»­¼» ¼»­¼» ¨ ã ¿ ¸¿­¬¿ ¨ ã ¾ò Û­ ¼»½·®ô

ß ã ´·³²ÿ{

²

;·ãï

º ø¨·÷¾ ¿

²

®»°®»­»²¬¿ »´ ?®»¿ ¯«» ¾«­½¿³±­ò

´¿ ­·¹«·»²¬» ¬¿¾´¿ ­» ³«»­¬®¿² ´±­ ®»­«´¬¿¼±­ ±¾¬»²·¼±­ °¿®¿ ¼·º»®»²¬» ²&³»®± ¼» ®»½¬?²¹«´±­´¿ ­·¹«·»²¬» ¬¿¾´¿ ­» ³«»­¬®¿² ´±­ ®»­«´¬¿¼±­ ±¾¬»²·¼±­ °¿®¿ ¼·º»®»²¬» ²&³»®± ¼» ®»½¬?²¹«´±­´¿ ­·¹«·»²¬» ¬¿¾´¿ ­» ³«»­¬®¿² ´±­ ®»­«´¬¿¼±­ ±¾¬»²·¼±­ °¿®¿ ¼·º»®»²¬» ²&³»®± ¼» ®»½¬?²¹«´±­´¿ ­·¹«·»²¬» ¬¿¾´¿ ­» ³«»­¬®¿² ´±­ ®»­«´¬¿¼±­ ±¾¬»²·¼±­ °¿®¿ ¼·º»®»²¬» ²&³»®± ¼» ®»½¬?²¹«´±­´¿ ­·¹«·»²¬» ¬¿¾´¿ ­» ³«»­¬®¿² ´±­ ®»­«´¬¿¼±­ ±¾¬»²·¼±­ °¿®¿ ¼·º»®»²¬» ²&³»®± ¼» ®»½¬?²¹«´±­´¿ ­·¹«·»²¬» ¬¿¾´¿ ­» ³«»­¬®¿² ´±­ ®»­«´¬¿¼±­ ±¾¬»²·¼±­ °¿®¿ ¼·º»®»²¬» ²&³»®± ¼» ®»½¬?²¹«´±­´¿ ­·¹«·»²¬» ¬¿¾´¿ ­» ³«»­¬®¿² ´±­ ®»­«´¬¿¼±­ ±¾¬»²·¼±­ °¿®¿ ¼·º»®»²¬» ²&³»®± ¼» ®»½¬?²¹«´±­´¿ ­·¹«·»²¬» ¬¿¾´¿ ­» ³«»­¬®¿² ´±­ ®»­«´¬¿¼±­ ±¾¬»²·¼±­ °¿®¿ ¼·º»®»²¬» ²&³»®± ¼» ®»½¬?²¹«´±­´¿ ­·¹«·»²¬» ¬¿¾´¿ ­» ³«»­¬®¿² ´±­ ®»­«´¬¿¼±­ ±¾¬»²·¼±­ °¿®¿ ¼·º»®»²¬» ²&³»®± ¼» ®»½¬?²¹«´±­´¿ ­·¹«·»²¬» ¬¿¾´¿ ­» ³«»­¬®¿² ´±­ ®»­«´¬¿¼±­ ±¾¬»²·¼±­ °¿®¿ ¼·º»®»²¬» ²&³»®± ¼» ®»½¬?²¹«´±­´¿ ­·¹«·»²¬» ¬¿¾´¿ ­» ³«»­¬®¿² ´±­ ®»­«´¬¿¼±­ ±¾¬»²·¼±­ °¿®¿ ¼·º»®»²¬» ²&³»®± ¼» ®»½¬?²¹«´±­´¿ ­·¹«·»²¬» ¬¿¾´¿ ­» ³«»­¬®¿² ´±­ ®»­«´¬¿¼±­ ±¾¬»²·¼±­ °¿®¿ ¼·º»®»²¬» ²&³»®± ¼» ®»½¬?²¹«´±­´¿ ­·¹«·»²¬» ¬¿¾´¿ ­» ³«»­¬®¿² ´±­ ®»­«´¬¿¼±­ ±¾¬»²·¼±­ °¿®¿ ¼·º»®»²¬» ²&³»®± ¼» ®»½¬?²¹«´±­´¿ ­·¹«·»²¬» ¬¿¾´¿ ­» ³«»­¬®¿² ´±­ ®»­«´¬¿¼±­ ±¾¬»²·¼±­ °¿®¿ ¼·º»®»²¬» ²&³»®± ¼» ®»½¬?²¹«´±­

Page 43: Libro de-integrales

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ´¿ ¾¿­» ¼»´ ®»½¬?²¹«´± ³·¼» ܨ ã ø¾ ¿÷ñ² °±®¯«» ¸»³±­ ¼»½·¼·¼± ¸¿½»® ² °¿®¬·ó½·±²»­ ¼»´ ³·­³± ¬¿³¿/± ¬±¼¿­ § ¯«» ´¿ ¿´¬«®¿ ¼»´ ®»½¬?²¹«´± °«»¼» ­»® ½¿´½«´¿¼¿ «¬·´·¦¿²¼± ´¿º«²½·-²æ º ø¨·÷ò

¨ðòï ðòï ðòî ðòí ðòì ðòë ðòê ðòé ðòè ðòç ïòð

§

ðòï

ðòî

ðòí

ðòì

ðòë

ðòê

ðòé

ðòè

ðòç

ïòð

§ ã ¨î

º ø¨·÷

ܨ

Ý«¿²¼± »´ ²&³»®± ¼» °¿®¬·½·±²»­ ø²÷ ½®»½»ô »´ »®®±® ¯«» ­» ½±³»¬» ¿´ ¿°®±¨·³¿® »´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿½«®ª¿ ½±² »´ ?®»¿ ¼»´ ®»½¬?²¹«´±ô ½¿¼¿ ª»¦ »­ ³?­ °»¯«»/± § ½«¿²¼± ² ܨ ¬·»²¼»¿ ½»®±ò Ü»¾·¼± ¿ »­¬± ¼»½·³±­ ¯«» »´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿ »­æ

ß ã ´·³²ÿ{

²

;·ãï

º ø¨·÷¾ ¿

²

Û¶»³°´± ï

Ý¿´½«´¿ »´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ °¿®?¾±´¿ § ã ¨î »² »´ ·²¬»®ª¿´± øðô ï÷ «­¿²¼± »´ ´3³·¬»æ

ß ã ´·³²ÿ{

²

;·ãï

¨î·

ï

²

ß ã ´·³²ÿ{

²

;·ãï

¨î·

ï ð

²

÷ ½®»½»ô »´ »®®±® ¯«» ­» ½±³»¬» ¿´ ¿°®±¨·³¿® »´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿½«®ª¿ ½±² »´ ?®»¿ ¼»´ ®»½¬?²¹«´±ô ½¿¼¿ ª»¦ »­ ³?­ °»¯«»/± § ½«¿²¼±

ðòìðòì ðòë

÷ ½®»½»ô »´ »®®±® ¯«» ­» ½±³»¬» ¿´ ¿°®±¨·³¿® »´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿÷ ½®»½»ô »´ »®®±® ¯«» ­» ½±³»¬» ¿´ ¿°®±¨·³¿® »´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿½«®ª¿ ½±² »´ ?®»¿ ¼»´ ®»½¬?²¹«´±ô ½¿¼¿ ª»¦ »­ ³?­ °»¯«»/± § ½«¿²¼±

ðòìðòìðòìðòìðòìðòìðòì ðòëðòëðòëðòëðòì ðòë

÷ ½®»½»ô »´ »®®±® ¯«» ­» ½±³»¬» ¿´ ¿°®±¨·³¿® »´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿÷ ½®»½»ô »´ »®®±® ¯«» ­» ½±³»¬» ¿´ ¿°®±¨·³¿® »´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿÷ ½®»½»ô »´ »®®±® ¯«» ­» ½±³»¬» ¿´ ¿°®±¨·³¿® »´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿÷ ½®»½»ô »´ »®®±® ¯«» ­» ½±³»¬» ¿´ ¿°®±¨·³¿® »´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿÷ ½®»½»ô »´ »®®±® ¯«» ­» ½±³»¬» ¿´ ¿°®±¨·³¿® »´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿

Page 44: Libro de-integrales

Ю·³»®± ¸¿®»³±­ ´¿ ­«³¿ § ¼»­°«7­ ª¿³±­ ¿ ½¿´½«´¿® »´ ´3³·¬» ½«¿²¼± ²

²

;·ãï

¨î·

ï

²ã

ï

²

ï

²

î

õï

²

î

²

î

õï

²

í

²

î

õ õï

²

²

²

î

ãï

²íïî õ îî õ íî õ õ ²î

ãï

²í

²

;·ãï

·î

л®± §¿ ¸¿¾3¿³±­ ³»²½·±²¿¼± ¯«»æ

²

;·ãï

·î ã² ø² õ ï÷øî ² õ ï÷

ê

Û²¬±²½»­ô °±¼»³±­ ­«­¬·¬«·® »­¬± § ±¾¬»²»®æ

´·³²ÿ{

²

;·ãï

¨î·

ï

²ã ´·³

²ÿ{

ï

²í

²

;·ãï

·î ã ´·³²ÿ{

ø² õ ï÷øî ² õ ï÷

ê ²î

ã ´·³²ÿ{

î ²î õ í ² õ ï

ê ²îã ´·³

²ÿ{

ï

íõ

ï

î ²õ

ï

ê ²îã

ï

í

Û²¬±²½»­ô »´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ °¿®?¾±´¿ § ã ¨î ¼»­¼» ¨ ã 𠸿­¬¿ ¨ ã ï »­ ïñí »¨¿½¬¿³»²¬»ò

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ¼» ¿½«»®¼± ¿ ´¿ ¬¿¾´¿ ¼¿¼¿ »² ´¿ °?¹·²¿ íô ïñí ­·»³°®» ½«³°´»æ ß·² º ä ïñí ä ß­«°ô½±³± »®¿ ¼» »­°»®¿®ò

Ü·º»®»²½·¿´ ¼» ?®»¿

Í· ½±²­·¼»®¿³±­ «² °¿® ®»½¬?²¹«´±­ ½±² ¾¿­» ½±³&² ¯«» «­¿³±­ °¿®¿ ¿°®±¨·³¿® »´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿½«®ª¿ô ª»³±­ ¯«» ´¿ ¾¿­» »­ ܨô ´¿ ¿´¬«®¿ ¼»´ ®»½¬?²¹«´± ¼» ³¿§±® ?®»¿ »­ º ø¨· õ ܨ÷ § ´¿ ¿´¬«®¿¼»´ ±¬®± »­ º ø¨·÷ò

Û´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿ »­ ³¿§±® ¯«» »´ ?®»¿ ¼»´ ®»½¬?²¹«´± ¯«» ¯«»¼¿ °±® ¼»¾¿¶± ¼» ´¿ ½«®ª¿ § ¿ ­«ª»¦ ³»²±® ¯«» »´ ?®»¿ ¼»´ ®»½¬?²¹«´± ¯«» ¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ò ß´¹»¾®¿·½¿³»²¬»æ

øܨ÷ º ø¨÷ Üß øܨ÷ º ø¨ õ ܨ÷

ß´ ¼·ª·¼·® ´¿ ¼»­·¹«¿´¼¿¼ »²¬®» ܨô ±¾¬»²»³±­æ

º ø¨÷Üß

ܨº ø¨ õ ܨ÷

Í· ¸¿½»³±­ ¯«» ܨ ¬·»²¼¿ ¿ ½»®±ô ±¾¬»²»³±­ ¯«» ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-² ¯«» ½¿´½«´¿ »´ ?®»¿¼»¾¿¶± ¼» ´¿ º«²½·-² § ã º ø¨÷ »­ ·¹«¿´ ¿ º ø¨÷æ

º ø¨÷¼ß

¼¨º ø¨÷ ÷

¼ß

¼¨ã º ø¨÷

ã

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ¼» ¿½«»®¼± ¿ ´¿ ¬¿¾´¿ ¼¿¼¿ »² ´¿ °?¹·²¿ íô ïñí ­·»³°®» ½«³°´»æ

´·³ÿ{´·³

²

ã ¨

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ¼» ¿½«»®¼± ¿ ´¿ ¬¿¾´¿ ¼¿¼¿ »² ´¿ °?¹·²¿ íô ïñí ­·»³°®» ½«³°´»æ

ã

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ¼» ¿½«»®¼± ¿ ´¿ ¬¿¾´¿ ¼¿¼¿ »² ´¿ °?¹·²¿ íô ïñí ­·»³°®» ½«³°´»æ

´·³ÿ{ÿ{² {´·³´·³

ããããã ¨̈̈

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ¼» ¿½«»®¼± ¿ ´¿ ¬¿¾´¿ ¼¿¼¿ »² ´¿ °?¹·²¿ íô ïñí ­·»³°®» ½«³°´»æѾ­»®ª¿ ¯«» ¼» ¿½«»®¼± ¿ ´¿ ¬¿¾´¿ ¼¿¼¿ »² ´¿ °?¹·²¿ íô ïñí ­·»³°®» ½«³°´»æѾ­»®ª¿ ¯«» ¼» ¿½«»®¼± ¿ ´¿ ¬¿¾´¿ ¼¿¼¿ »² ´¿ °?¹·²¿ íô ïñí ­·»³°®» ½«³°´»æ

Page 45: Libro de-integrales

§ ã º ø¨÷ § °±®»²½·³¿ ¼»´ »¶» ¨ô »­ ·¹«¿´ ¿ ´¿ º«²½·-² § ã º ø¨÷ò Û­¬± »­ô ­· ¯«»®»³±­ ½¿´½«´¿® »´ ?®»¿ ¼»¾¿¶± ¼» ´¿½«®ª¿ ¼» «²¿ º«²½·-² ¼¿¼¿ô ¬»²»³±­ ¯«» ·²¬»¹®¿®´¿ô ¼¿¼± ¯«» ´¿ ±°»®¿½·-² ·²ª»®­¿ ¼» ¼»®·ª¿® »­·²¬»¹®¿®ò

´·³²ÿ{

²

;·ãï

º ø¨·÷¾ ¿

²ã

¾

¿

º ø¨÷¼¨

¯«» ·²½´«§» ·²º±®³¿½·-² ¿½»®½¿ ¼» ´±­ ´3³·¬»­ ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ô »­ ¼»½·®ô »² ¯«7 ·²¬»®ª¿´± ¯«»®»³±­

Ü» ¸»½¸±ô »´ ­3³¾±´± ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ®»°®»­»²¬¿ «²¿ �Í�»­¬·®¿¼¿ô °¿®¿ ®»°®»­»²¬¿® ´¿ ­«³¿ ¼» ´¿­?®»¿­ ¼» ´±­ ®»½¬?²¹«´±­ ¯«» ­» ¼·¾«¶¿² ø³»²¬¿´³»²¬»÷ ½«¿²¼± ¸¿½»³±­ ¯«» ²

ß­3 ¯«» °¿®¿ ½¿´½«´¿® ?®»¿­ ª¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿® ´¿­ ³·­³¿­ ®»¹´¿­ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ¯«» ¸»³±­ »­¬¿¼±«¬·´·¦¿²¼± ¸¿­¬¿ ¿¸±®¿ò

ï

ã º ø¨÷ ¼»­¼» ¿ ¸¿­¬¿ ¾ô

¾

¿

º ø¨÷¼¨ ã ´·³²ÿ{

²

;·ãï

º ø¨·÷¾ ¿

²

®»°®»­»²¬¿ »´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿ § ã º ø¨÷ô »´ »¶» ¨ § ´¿­ ®»½¬¿­ ¨ ã ¿ § ¨ ã ¾ô ­«°«»­¬± ¯«» º ø¨÷ â ð »²»´ ·²¬»®ª¿´± ø¿ô ¾÷ò

Û¶»³°´± î Ý¿´½«´¿ »´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿ § ã ¨î § ­±¾®» »´ »¶» ¨ »² »´ ·²¬»®ª¿´± øðô ï÷ò

Ý¿´½«´¿³±­ ´¿ ·²¬»¹®¿´æï

ð

¨î ¼¨ ã¨í

í

ï

ð

߸±®¿ ¸¿½»³±­ ´¿ »ª¿´«¿½·-²ò

Ю·³»®± »ª¿´«¿³±­ »´ ´3³·¬» ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ­«°»®·±® § ¼»­°«7­ »´ ´3³·¬» ·²º»®·±®æ

¨í

í

ï

ð

ãïí

í

ðí

íã

ï

í

Û²¬±²½»­ô »´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿ § ã ¨î ¼»­¼» ¨ ã 𠸿­¬¿ ¨ ã ï »­ ·¹«¿´ ¿ ïñíò

ݱ³°¿®¿ »­¬» ®»­«´¬¿¼± ½±² ´±­ ®»­«´¬¿¼±­ ¯«» ­» ³«»­¬®¿² »² ´¿­ ¬¿¾´¿­ ¿²¬»®·±®»­ò

¾

ºº ¼¨ø¨÷¼

ô »´ »¶» ¨ § ´¿­ ®»½¬¿­ ¨ô »´ »¶» ¨ § ´¿­ ®»½¬¿­ ¨ô »´ »¶» ¨ § ´¿­ ®»½¬¿­ ¨

§ ­±¾®» »´ »¶» ¨ »² »´ ·²¬»®ª¿´±»² »´ ·²¬»®ª¿´±»² »´ ·²¬»®ª¿´±

¾

ºº ÷¼º ø¨̈÷¼¨÷ ¨÷¼¨÷¼

ô »´ »¶» ¨ § ´¿­ ®»½¬¿­ ¨ô »´ »¶» ¨ § ´¿­ ®»½¬¿­ ¨ô »´ »¶» ¨ § ´¿­ ®»½¬¿­ ¨ô »´ »¶» ¨ § ´¿­ ®»½¬¿­ ¨ô »´ »¶» ¨ § ´¿­ ®»½¬¿­ ¨ô »´ »¶» ¨ § ´¿­ ®»½¬¿­ ¨ô »´ »¶» ¨ § ´¿­ ®»½¬¿­ ¨ô »´ »¶» ¨ § ´¿­ ®»½¬¿­ ¨ô »´ »¶» ¨ § ´¿­ ®»½¬¿­ ¨ô »´ »¶» ¨ § ´¿­ ®»½¬¿­ ¨ô »´ »¶» ¨ § ´¿­ ®»½¬¿­ ¨

§ ­±¾®» »´ »¶»§ ­±¾®» »´ »¶» ¨̈ »² »´ ·²¬»®ª¿´±»² »´ ·²¬»®ª¿´±»² »´ ·²¬»®ª¿´±»² »´ ·²¬»®ª¿´±»² »´ ·²¬»®ª¿´±»² »´ ·²¬»®ª¿´±»² »´ ·²¬»®ª¿´±»² »´ ·²¬»®ª¿´±»² »´ ·²¬»®ª¿´±»² »´ ·²¬»®ª¿´±

Page 46: Libro de-integrales

¼» ·²¬»¹®¿½·-² ·²³»¼·¿¬¿ò

Û¶»³°´± ï

î

ï

¨í ¼¨

§ ®»°®»­»²¬¿ ¹»±³7¬®·½¿³»²¬» »´ ®»­«´¬¿¼±ò

Ý¿´½«´¿³±­ ´¿ ·²¬»¹®¿´æ

î

ï

¨í ¼¨ ã¨ì

ì

î

ï

߸±®¿ »ª¿´«¿³±­æ

î

ï

¨í ¼¨ ãîì

ì

ïì

ìã

ïë

ì

Û­¬» ®»­«´¬¿¼± ®»°®»­»²¬¿ »´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿§ ã ¨íô ¼»­¼» ¨ ã ï ¸¿­¬¿ ¨ ã î § ­±¾®» »´ »¶»¨ò

¾

¿

º ø¨÷ ¼¨ ã ´·³²ÿ{

²

;·ãï

º ø¨·÷¾ ¿

²

¨ð ï î í ì

§

ï

î

í

ì

ë

ê

é

è

§ ã ¨í

Û¶»³°´± î

Ý¿´½«´¿ë

î

» ¨ ¼¨

Ô¿ ·²¬»¹®¿´ ¼¿æë

î

» ¨ ¼¨ ã » ¨ ë

îã » ë õ » î ðòïîèëçé

ײ¬»®°®»¬¿ ¹»±³7¬®·½¿³»²¬» »­¬» ®»­«´¬¿¼±ò

ãìì

í

ï

ãìì

í

ï

Û­¬» ®»­«´¬¿¼± ®»°®»­»²¬¿ »´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿

Page 47: Libro de-integrales

Û¶»³°´± í

Ý¿´½«´¿î

ï

¼¨

¨

Ô¿ ·²¬»¹®¿´ ¯«»¼¿æî

ï

¼¨

¨ã ´²ø¨÷¶îï ã ´² î ´² ï ã ´² î

ײ¬»®°®»¬¿ ¹»±³7¬®·½¿³»²¬» »­¬» ®»­«´¬¿¼±ò

Û¶»³°´± ì

Ý¿´½«´¿°

ð

­·²ø¨÷¼¨

Ô¿ ·²¬»¹®¿´ »­æ

°

ð

­·²ø¨÷ ¼¨ ã ½±­ø¨÷¶°ð ã ½±­ø°÷ õ ½±­øð÷ ã ï õ ï ã î

ײ¬»®°®»¬¿ ¹»±³7¬®·½¿³»²¬» »­¬» ®»­«´¬¿¼±ò

Ø¿­¬¿ª¿´± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ò Û­ ¼»½·®ô ¸»³±­ ½±²­·¼»®¿¼± ·²¬»¹®¿´»­ ¼» ´¿ º±®³¿æ

¾

¿

º ø¨÷¼¨ ãï

ïÚø¨÷

¾

¿

¼±²¼» ´¿ º«²½·-² º ø¨÷ »­ °±­·¬·ª¿ °¿®¿ ¬±¼¿ ¨ ¯«» ½«³°´» ¿ ¨ ¾ò

Ý«¿²¼± »­¬¿ ½±²¼·½·-² ²± ­» ½«³°´»ô ¬»²»³±­ »´ °®±¾´»³¿ ¼» ¯«» ´¿ ¿´¬«®¿ ¼» ¿´¹«²±­ ®»½¬?²¹«´±­¯«» ¼·¾«¶¿³±­ °¿®¿ ³»¼·® »´ ?®»¿ »­ ²»¹¿¬·ª¿ò Ç ½±³± »­ ¼» »­°»®¿®­»ô ½«¿²¼± ­» ­«³»² »­¬¿­?®»¿­ ø²»¹¿¬·ª¿­÷ ½±² »´ ?®»¿ ¼» ´±­ ®»½¬?²¹«´±­ ¯«» ¬·»²»² ¿´¬«®¿ °±­·¬·ª¿ ø½«¿²¼± º ø¨·÷ â ð÷ô¿´¹«²±­ ª¿´±®»­ ­» ª¿² ¿ ½¿²½»´¿®ò

Ý«¿²¼± ¼»­»¿­ ½¿´½«´¿® »´ ?®»¿ »²¬®» ´¿ ½«®ª¿ § ã º ø¨÷ô »´ »¶» ¨ ¼»­¼» ¨ ã ¿ ¸¿­¬¿ ¨ ã ¾ô ¬·»²»­ ¯«»½±²­·¼»®¿® ´±­ ½¿­±­ »² ´±­ ¯«» º ø¨÷ ­»¿ ½»®± ± ²»¹¿¬·ª¿ °¿®¿ ¬±¼± ¿ ¨ ¾ò Ü» »­¬¿ ³¿²»®¿ô ²±ª¿³±­ ¿ ®»­¬¿® «²¿ °¿®¬» ¼»´ ?®»¿ ¯«» ¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼»´ »¶» ¨ ½±² ±¬®¿ ¯«» ¯«»¼» °±® ¼»¾¿¶±ò

Û¶»³°´± ë

Ý¿´½«´¿

°

°

­·²ø¨÷¼¨

§ ¼¿ «²¿ ·²¬»®°®»¬¿½·-² ¼»´ ®»­«´¬¿¼±ò

ª¿´± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ò Û­ ¼»½·®ô ¸»³±­ ½±²­·¼»®¿¼± ·²¬»¹®¿´»­ ¼» ´¿ º±®³¿æª¿´± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ò Û­ ¼»½·®ô ¸»³±­ ½±²­·¼»®¿¼± ·²¬»¹®¿´»­ ¼» ´¿ º±®³¿æª¿´± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ò Û­ ¼»½·®ô ¸»³±­ ½±²­·¼»®¿¼± ·²¬»¹®¿´»­ ¼» ´¿ º±®³¿æª¿´± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ò Û­ ¼»½·®ô ¸»³±­ ½±²­·¼»®¿¼± ·²¬»¹®¿´»­ ¼» ´¿ º±®³¿æ

½±­ø¨÷¶ðð

ª¿´± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ò Û­ ¼»½·®ô ¸»³±­ ½±²­·¼»®¿¼± ·²¬»¹®¿´»­ ¼» ´¿ º±®³¿æª¿´± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ò Û­ ¼»½·®ô ¸»³±­ ½±²­·¼»®¿¼± ·²¬»¹®¿´»­ ¼» ´¿ º±®³¿æª¿´± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ò Û­ ¼»½·®ô ¸»³±­ ½±²­·¼»®¿¼± ·²¬»¹®¿´»­ ¼» ´¿ º±®³¿æª¿´± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ò Û­ ¼»½·®ô ¸»³±­ ½±²­·¼»®¿¼± ·²¬»¹®¿´»­ ¼» ´¿ º±®³¿æª¿´± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ò Û­ ¼»½·®ô ¸»³±­ ½±²­·¼»®¿¼± ·²¬»¹®¿´»­ ¼» ´¿ º±®³¿æ

½±­øø ¨̈̈øøøøø¨÷÷¶ðð÷¶÷ ð¶÷¶ðð

Page 48: Libro de-integrales

°

°

­·²ø¨÷¼¨ ã ½±­ø¨÷¶° ° ã ½±­ø°÷ õ ½±­ø °÷ ã ï ï ã ð

¨ § ´¿­ ®»½¬¿­ ¨ ã ° § ¨ ã °ò

Ù»±³7¬®·½¿³»²¬» ¬»²»³±­ ´¿ ­·¹«·»²¬» ­·¬«¿½·-²æ

¨í î ï ð ï î í

§

ï

ðòë

ðòë

ï

íí îî ïï

§ ã ­·² ¨

Û´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶» § »­æ

°

ð

­·²ø¨÷ ¼¨ ã ½±­ø¨÷¶°ð ã ½±­ø°÷ õ ½±­øð÷ ã ï õ ï ã î

¨ò

б® »­± »´ ?®»¿ »­ °±­·¬·ª¿ô °«»­ ­·²ø¨·÷ â ð °¿®¿ ¬±¼¿ ¨· ¬¿´ ¯«» ð ä ¨· ä °ò

л®± »´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶» § »­æ

ð

°

­·²ø¨÷¼¨ ã ½±­ø¨÷¶ð ° ã ½±­øð÷ õ ½±­ø °÷ ã ï ï ã î

Û­¬± ­» ¼»¾» ¿ ¯«» ­·²ø¨·÷ ä ð °¿®¿ ¬±¼¿ ¨· ¯«» ½«³°´» ° ä ¨· ä ðò

ݱ³± ´¿­ ¿´¬«®¿­ ¼» ´±­ ®»½¬?²¹«´±­ ­±² ²»¹¿¬·ª¿­ô »´ ?®»¿ ¼» ½¿¼¿ «²± ¼» ´±­ ®»½¬?²¹«´±­ »­²»¹¿¬·ª¿ô ¼¿¼± ¯«» ´¿­ ¾¿­»­ ¼» »­±­ ®»½¬?²¹«´±­ ­±² ¬±¼¿­ °±­·¬·ª¿­ò

Ý«¿²¼± ­«³¿³±­ ¬±¼±­ »­¬±­ ª¿´±®»­ ½«¿²¼± ²¬·ª¿ò

Ü»¾·¼± ¿ ´¿ ­·³»¬®3¿ ¼» ´¿ º«²½·-² ­»²± ®»­°»½¬± ¿´ ±®·¹»²ô ´¿­ ?®»¿­ ¼» ´¿­ ¼±­ ®»¹·±²»­ ­±²·¹«¿´»­ô °»®± ½±² ­·¹²± ½±²¬®¿®·±ò

б® »­±ô ½«¿²¼± ´¿­ ­«³¿³±­ô ±¾¬»²»³±­ ½»®±ò

¨ »² »´ ·²¬»®ª¿´± ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ø¿ô ¾÷ò Û­ ¼»½·®ô ­·

¾

¿

º ø¨÷¼¨ ä ð

Û´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»Û´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»Û´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»

½±­½±­ø

§ »­æ

Û´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»Û´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»

½±­ø¨÷

ð °¿®¿ ¬±¼¿ð °¿®¿ ¬±¼¿ð °¿®¿ ¬±¼¿ð °¿®¿ ¬±¼¿

л®± »´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»

Û´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»Û´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»Û´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»

½±­½±­ø

§ »­æ

Û´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»Û´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»Û´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»Û´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»

ø½±­ø½±­½±­ø½±­ø½±­øø¨÷÷÷÷÷÷¨̈÷

ð °¿®¿ ¬±¼¿ð °¿®¿ ¬±¼¿ð °¿®¿ ¬±¼¿ð °¿®¿ ¬±¼¿ð °¿®¿ ¬±¼¿ð °¿®¿ ¬±¼¿ð °¿®¿ ¬±¼¿ð °¿®¿ ¬±¼¿ð °¿®¿ ¬±¼¿

л®± »´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»Ð»®± »´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»

ð °¿®¿ ¬±¼¿

л®± »´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»Ð»®± »´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»Ð»®± »´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»Ð»®± »´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»Ð»®± »´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»Ð»®± »´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»Ð»®± »´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»Ð»®± »´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»Ð»®± »´ ?®»¿ ¼» ´¿ ®»¹·-² ¯«» »­¬? ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼»´ »¶»

Page 49: Libro de-integrales

»¨·­¬» ¿´ ³»²±­ «² ­«¾·²¬»®ª¿´± ø¿ô ¾÷ î Å¿ô ¾Ã ¬¿´ ¯«» º ø¨÷ ä ð »² »­» ­«¾·²¬»®ª¿´±ò

¨ § ´¿­ ®»½¬¿­ ¨ ã ¿ § ¨ ã ¾ô ¬»²»³±­¨ô °«»­ »² »­±­

½¿­±­ ´¿ ·²¬»¹®¿´ »² »­±­ ·²¬»®ª¿´±­ ­»®? ²»¹¿¬·ª¿ô ½¿²½»´?²¼±­» ½±² °¿®¬» ¼» ´±­ ·²¬»®ª¿´±­ ¼±²¼»¨ò

Û¶»³°´± êÝ¿´½«´¿ »´ ?®»¿ »²½»®®¿¼¿ °±® ´¿ º«²½·-² § ã ø¨ ï÷ø¨ õ ï÷ø¨ õ î÷ø¨ î÷ô »´ »¶» ¨ § ´¿­ ®»½¬¿­¨ ã î § ¨ ã îò

뽫»®¼¿ ¯«» ¼»¾»³±­ ¬»²»® ½«·¼¿¼± ½±² ´±­ ·²¬»®ª¿´±­ ¼±²¼» ´¿ º«²½·-² ¬±³¿ ª¿´±®»­²»¹¿¬·ª±­ò

п®¿ ½¿´½«´¿® »´ ?®»¿ô ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿® ´±­ ¼·­¬·²¬±­ ·²¬»®ª¿´±­ò

§ ã ø¨ ï÷ø¨ õ ï÷ø¨ õ î÷ø¨ î÷ ã ø¨î ï÷ø¨î ì÷ ã ¨ì ë ¨î õ ì

Û­¬± ²±­ ·²¼·½¿ ¯«» ´¿­ ®¿³¿­ ¼» ´¿ º«²½·-² ¬·»²¼»² ¿ { ½±²º±®³» ¨ ­» ¿´»¶» ¼»´ ±®·¹»²ò

Ô¿ º«²½·-² ­» ¸¿½» ½»®± °¿®¿ ¨ ã îô ¨ ã ïô ¨ ã ï § ¨ ã îò

ß­3 ¯«» ½¿´½«´¿®»³±­ ´¿­ ·²¬»¹®¿´»­æ

ßï ã

ï

î

ø¨ì ë ¨î õ ì÷¼¨ ã¨ë

ë

ë ¨í

íõ ì ¨

ï

î

ãîî

ïë

ßî ã

ï

ï

ø¨ì ë ¨î õ ì÷¼¨ ã¨ë

ë

ë ¨í

íõ ì ¨

ï

ï

ãéê

ïë

ßí ã

î

ï

ø¨ì ë ¨î õ ì÷¼¨ ã¨ë

ë

ë ¨í

íõ ì ¨

î

ï

ãîî

ïë

ß´ ½±²­·¼»®¿® ¬±¼¿­ ´¿­ ?®»¿­ °±­·¬·ª¿­ô ´¿ ­«³¿ ¼¿æ

ßï õ ßî õ ßí ãîî

ïëõ

éê

ïëõ

îî

ïëã

ïîð

ïëã è

Ù»±³7¬®·½¿³»²¬»ô ¬»²»³±­ ´¿ ­·¹«·»²¬» ­·¬«¿½·-²æ

Ô¿ º«²½·-² ­» ¸¿½» ½»®± °¿®¿Ô¿ º«²½·-² ­» ¸¿½» ½»®± °¿®¿Ô¿ º«²½·-² ­» ¸¿½» ½»®± °¿®¿

ëë ¨

í

í

ß­3 ¯«» ½¿´½«´¿®»³±­ ´¿­ ·²¬»¹®¿´»­æß­3 ¯«» ½¿´½«´¿®»³±­ ´¿­ ·²¬»¹®¿´»­æ

¼¨

¨

ë

Ô¿ º«²½·-² ­» ¸¿½» ½»®± °¿®¿Ô¿ º«²½·-² ­» ¸¿½» ½»®± °¿®¿Ô¿ º«²½·-² ­» ¸¿½» ½»®± °¿®¿

ëë ¨̈

í

í

ß­3 ¯«» ½¿´½«´¿®»³±­ ´¿­ ·²¬»¹®¿´»­æß­3 ¯«» ½¿´½«´¿®»³±­ ´¿­ ·²¬»¹®¿´»­æß­3 ¯«» ½¿´½«´¿®»³±­ ´¿­ ·²¬»¹®¿´»­æß­3 ¯«» ½¿´½«´¿®»³±­ ´¿­ ·²¬»¹®¿´»­æß­3 ¯«» ½¿´½«´¿®»³±­ ´¿­ ·²¬»¹®¿´»­æß­3 ¯«» ½¿´½«´¿®»³±­ ´¿­ ·²¬»¹®¿´»­æß­3 ¯«» ½¿´½«´¿®»³±­ ´¿­ ·²¬»¹®¿´»­æß­3 ¯«» ½¿´½«´¿®»³±­ ´¿­ ·²¬»¹®¿´»­æß­3 ¯«» ½¿´½«´¿®»³±­ ´¿­ ·²¬»¹®¿´»­æ

÷¼¼¨¼¼¨̈¼¨̈

¨̈

ëëëëë

Page 50: Libro de-integrales

¨í î ï ð ï î í

§

î

ï

ï

î

í

ì

î

ïï

îî

íí

ï îï î

ßï ßí

ßî

Û¶»³°´± é

Ý¿´½«´¿

ø» ï÷ñî

ð

¨ ¼¨

ï õ î ¨

Û² °®·³»® ´«¹¿® ¬»²»³±­ ¯«» ¿­»¹«®¿®²±­ ¯«» ´¿ º«²½·-² ­·»³°®» ­»¿ °±­·¬·ª¿ »² »´ ·²¬»®ª¿´±¼» ·²¬»¹®¿½·-²ò

Ý«¿²¼± ¨ ã ðô »´ ·²¬»¹®¿²¼± »­ ½»®±ô °±®¯«» »´ ²«³»®¿¼±® »­ ½»®±ò

Û´ ¼»²±³·²¿¼±® »­ °±­·¬·ª± °¿®¿ ¬±¼± ¨ â ðò

Û²¬±²½»­ô »´ ·²¬»¹®¿²¼± »­ ­·»³°®» °±­·¬·ª± °¿®¿ ¨ â ðò

Ò± ¸¿§ ¿´¹«²¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ·²³»¼·¿¬¿ ¯«» ²±­ °»®³·¬¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ò

ß­3 ¯«» ¬»²¼®»³±­ ¯«» ¬®¿²­º±®³¿®´¿ ¿´¹»¾®¿·½¿³»²¬»ò

Û³°»¦¿³±­ ­«³¿²¼± ¨ ¨ § ï ï »² »´ ²«³»®¿¼±®æ

ø» ï÷ñî

ð

¨ ¼¨

ï õ î ¨ã

ø» ï÷ñî

ð

¨ õ ¨ ¨ õ ï ï

ï õ î ¨¼¨ ã

ø» ï÷ñî

ð

øï õ î ¨÷ ø¨ õ ï÷

ï õ î ¨¼¨

߸±®¿ °±¼»³±­ ­»°¿®¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ »² ¼±­ °¿®¬»­æ

ø» ï÷ñî

ð

¨ ¼¨

ï õ î ¨ã

ø» ï÷ñî

ð

ï õ î ¨

ï õ î ¨¼¨

ø» ï÷ñî

ð

¨ õ ï

ï õ î ¨¼¨

ã

ø» ï÷ñî

ð

¼¨

ø» ï÷ñî

ð

¨ ¼¨

ï õ î ¨

ø» ï÷ñî

ð

¼¨

ï õ î ¨

ðô »´ ·²¬»¹®¿²¼± »­ ½»®±ô °±®¯«» »´ ²«³»®¿¼±® »­ ½»®±ò

ø

ð

°®·³»® ´«¹¿® ¬»²»³±­ ¯«» ¿­»¹«®¿®²±­ ¯«» ´¿ º«²½·-² ­·»³°®» ­»¿ °±­·¬·ª¿ »² »´ ·²¬»®ª¿´±°®·³»® ´«¹¿® ¬»²»³±­ ¯«» ¿­»¹«®¿®²±­ ¯«» ´¿ º«²½·-² ­·»³°®» ­»¿ °±­·¬·ª¿ »² »´ ·²¬»®ª¿´±°®·³»® ´«¹¿® ¬»²»³±­ ¯«» ¿­»¹«®¿®²±­ ¯«» ´¿ º«²½·-² ­·»³°®» ­»¿ °±­·¬·ª¿ »² »´ ·²¬»®ª¿´±°®·³»® ´«¹¿® ¬»²»³±­ ¯«» ¿­»¹«®¿®²±­ ¯«» ´¿ º«²½·-² ­·»³°®» ­»¿ °±­·¬·ª¿ »² »´ ·²¬»®ª¿´±

ðô »´ ·²¬»¹®¿²¼± »­ ½»®±ô °±®¯«» »´ ²«³»®¿¼±® »­ ½»®±òðô »´ ·²¬»¹®¿²¼± »­ ½»®±ô °±®¯«» »´ ²«³»®¿¼±® »­ ½»®±ò

ø

ðððððð

°®·³»® ´«¹¿® ¬»²»³±­ ¯«» ¿­»¹«®¿®²±­ ¯«» ´¿ º«²½·-² ­·»³°®» ­»¿ °±­·¬·ª¿ »² »´ ·²¬»®ª¿´±°®·³»® ´«¹¿® ¬»²»³±­ ¯«» ¿­»¹«®¿®²±­ ¯«» ´¿ º«²½·-² ­·»³°®» ­»¿ °±­·¬·ª¿ »² »´ ·²¬»®ª¿´±°®·³»® ´«¹¿® ¬»²»³±­ ¯«» ¿­»¹«®¿®²±­ ¯«» ´¿ º«²½·-² ­·»³°®» ­»¿ °±­·¬·ª¿ »² »´ ·²¬»®ª¿´±°®·³»® ´«¹¿® ¬»²»³±­ ¯«» ¿­»¹«®¿®²±­ ¯«» ´¿ º«²½·-² ­·»³°®» ­»¿ °±­·¬·ª¿ »² »´ ·²¬»®ª¿´±°®·³»® ´«¹¿® ¬»²»³±­ ¯«» ¿­»¹«®¿®²±­ ¯«» ´¿ º«²½·-² ­·»³°®» ­»¿ °±­·¬·ª¿ »² »´ ·²¬»®ª¿´±°®·³»® ´«¹¿® ¬»²»³±­ ¯«» ¿­»¹«®¿®²±­ ¯«» ´¿ º«²½·-² ­·»³°®» ­»¿ °±­·¬·ª¿ »² »´ ·²¬»®ª¿´±°®·³»® ´«¹¿® ¬»²»³±­ ¯«» ¿­»¹«®¿®²±­ ¯«» ´¿ º«²½·-² ­·»³°®» ­»¿ °±­·¬·ª¿ »² »´ ·²¬»®ª¿´±°®·³»® ´«¹¿® ¬»²»³±­ ¯«» ¿­»¹«®¿®²±­ ¯«» ´¿ º«²½·-² ­·»³°®» ­»¿ °±­·¬·ª¿ »² »´ ·²¬»®ª¿´±°®·³»® ´«¹¿® ¬»²»³±­ ¯«» ¿­»¹«®¿®²±­ ¯«» ´¿ º«²½·-² ­·»³°®» ­»¿ °±­·¬·ª¿ »² »´ ·²¬»®ª¿´±°®·³»® ´«¹¿® ¬»²»³±­ ¯«» ¿­»¹«®¿®²±­ ¯«» ´¿ º«²½·-² ­·»³°®» ­»¿ °±­·¬·ª¿ »² »´ ·²¬»®ª¿´±°®·³»® ´«¹¿® ¬»²»³±­ ¯«» ¿­»¹«®¿®²±­ ¯«» ´¿ º«²½·-² ­·»³°®» ­»¿ °±­·¬·ª¿ »² »´ ·²¬»®ª¿´±°®·³»® ´«¹¿® ¬»²»³±­ ¯«» ¿­»¹«®¿®²±­ ¯«» ´¿ º«²½·-² ­·»³°®» ­»¿ °±­·¬·ª¿ »² »´ ·²¬»®ª¿´±°®·³»® ´«¹¿® ¬»²»³±­ ¯«» ¿­»¹«®¿®²±­ ¯«» ´¿ º«²½·-² ­·»³°®» ­»¿ °±­·¬·ª¿ »² »´ ·²¬»®ª¿´±°®·³»® ´«¹¿® ¬»²»³±­ ¯«» ¿­»¹«®¿®²±­ ¯«» ´¿ º«²½·-² ­·»³°®» ­»¿ °±­·¬·ª¿ »² »´ ·²¬»®ª¿´±

ðô »´ ·²¬»¹®¿²¼± »­ ½»®±ô °±®¯«» »´ ²«³»®¿¼±® »­ ½»®±òðô »´ ·²¬»¹®¿²¼± »­ ½»®±ô °±®¯«» »´ ²«³»®¿¼±® »­ ½»®±òðô »´ ·²¬»¹®¿²¼± »­ ½»®±ô °±®¯«» »´ ²«³»®¿¼±® »­ ½»®±òðô »´ ·²¬»¹®¿²¼± »­ ½»®±ô °±®¯«» »´ ²«³»®¿¼±® »­ ½»®±òðô »´ ·²¬»¹®¿²¼± »­ ½»®±ô °±®¯«» »´ ²«³»®¿¼±® »­ ½»®±òðô »´ ·²¬»¹®¿²¼± »­ ½»®±ô °±®¯«» »´ ²«³»®¿¼±® »­ ½»®±òðô »´ ·²¬»¹®¿²¼± »­ ½»®±ô °±®¯«» »´ ²«³»®¿¼±® »­ ½»®±òðô »´ ·²¬»¹®¿²¼± »­ ½»®±ô °±®¯«» »´ ²«³»®¿¼±® »­ ½»®±òðô »´ ·²¬»¹®¿²¼± »­ ½»®±ô °±®¯«» »´ ²«³»®¿¼±® »­ ½»®±ò

Page 51: Libro de-integrales

Ç¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ °®·³»®¿ § ´¿ ¬»®½»®¿ ·²¬»¹®¿´»­ò

Ô¿ ­»¹«²¼¿ ·²¬»¹®¿´ »­ ´¿ ¯«» ²±­ °·¼·»®±² ·²¬»¹®¿®ô ¿­3 ¯«» °±¼»³±­ °¿­¿®´¿ ¼»´ ±¬®± ´¿¼±§ ±¾¬»²»³±­æ

î

ø» ï÷ñî

ð

¨ ¼¨

ï õ î ¨ã

ø» ï÷ñî

ð

¼¨

ø» ï÷ñî

ð

¼¨

ï õ î ¨ã ¨¶

ø» ï÷ñîð

ï

î´²øï õ î ¨÷

ø» ï÷ñî

ð

л®± »­¬» ª¿´±® »­ »´ ¼±¾´» ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¯«» ¾«­½¿³±­ô »²¬±²½»­ô

ø» ï÷ñî

ð

¨ ¼¨

ï õ î ¨ã

ï

î¨

ø» ï÷ñî

ð

ï

ì´²øï õ î ¨÷

ø» ï÷ñî

ð

ã» ï

ì

ï

ì´²ø»÷ ã

» î

ì

Page 52: Libro de-integrales

Ì7½²·½¿­ ¼» ·²¬»¹®¿½·-²

Û² ³¿¬»³?¬·½¿­ô ½¿¼¿ ¬·°± ¼» °®±¾´»³¿ ­«¹·»®» «² ¬·°± ¼» ­±´«½·-²ò

п®¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ ¼» «²¿ º«²½·-²ô »² ¹»²»®¿´ô »´ °®±¾´»³¿ »­ ³«§ ­»²½·´´±ô °«»­ ­±´¿³»²¬»

°¿®¿ ¼»®·ª¿®´¿ò

Í·² »³¾¿®¹±ô »² ½?´½«´± ·²¬»¹®¿´ ­» ¬®¿¬¿ ¼» ±¬®¿ ¸·­¬±®·¿ ½±³°´»¬¿³»²¬» ¼·º»®»²¬»ò

Ý«¿²¼± ¯«»®»³±­ ½¿´½«´¿® «²¿ ·²¬»¹®¿´ ²± ­·»³°®» »¨·­¬» «²¿ º-®³«´¿ ½±² ´¿ ¯«» °±¼¿³±­ ½¿´ó½«´¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ·²³»¼·¿¬¿³»²¬»ò

Ü»¾·¼± ¿ »­¬± ­» ¸¿² ½®»¿¼± ¿´¹«²±­ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ´¿­ ·²¬»¹®¿´»­ ¼» º«²½·±²»­ ¯«» ¿°¿®»ó½»² º®»½«»²¬»³»²¬»ò

Ü» »­¬±­ ³7¬±¼±­ô ´±­ ³?­ º®»½«»²¬»³»²¬» «­¿¼±­ ­±²æ

í Ý¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»

í ײ¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­

í ײ¬»¹®¿½·-² ¼» °±¬»²½·¿­ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿­

í Í«­¬·¬«½·-² ¬®·¹±²±³7¬®·½¿

í Ú®¿½½·±²»­ °¿®½·¿´»­

Ò±­±¬®±­ ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿® ­±´¿³»²¬» »­¬±­ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ·²·½·¿®¬» »² »´ ¿®¬» ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿½·-²¼» º«²½·±²»­ò

Ý¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»

ß´¹«²¿­ ª»½»­ °¿®¿ °±¼»® ·²¬»¹®¿® «²¿ º«²½·-² ½±²ª·»²» «¬·´·¦¿® «² ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»ò

Æ

º ø«ø¨÷÷ «ðø¨÷¼¨ ãÆ

º ø¬÷¼¬

¼·º»®»²½·¿´ ·²½´«§» ¿ ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ ¼» ´¿ º«²½·-² «ø¨÷ °¿®¿ ¯«» °±¼¿³±­ ·²¬»¹®¿®ò

Ѿ­»®ª¿ ¯«» »´ ¬7®³·²± «ðø¨÷ ­±´¿³»²¬» ­·®ª» °¿®¿ ½±³°´»¬¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ò Ò± »­ °¿®¬» ¼» ´¿º«²½·-² º

º¿½¬±®ô ¼» ±¬®¿ ³¿²»®¿ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ »­¬¿®? ·²½±®®»½¬¿ò

Û¶»³°´± ïÆ

øë ¨ é÷ïî ¼¨

«ø¨÷ ã ë ¨ éô ¼» ¼±²¼»æ «ðø¨÷ ã ëò

ײ¬»¹®¿½·-² ¼» °±¬»²½·¿­ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿­

ß´¹«²¿­ ª»½»­ °¿®¿ °±¼»® ·²¬»¹®¿® «²¿ º«²½·-² ½±²ª·»²» «¬·´·¦¿® «² ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»òß´¹«²¿­ ª»½»­ °¿®¿ °±¼»® ·²¬»¹®¿® «²¿ º«²½·-² ½±²ª·»²» «¬·´·¦¿® «² ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»òß´¹«²¿­ ª»½»­ °¿®¿ °±¼»® ·²¬»¹®¿® «²¿ º«²½·-² ½±²ª·»²» «¬·´·¦¿® «² ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»òß´¹«²¿­ ª»½»­ °¿®¿ °±¼»® ·²¬»¹®¿® «²¿ º«²½·-² ½±²ª·»²» «¬·´·¦¿® «² ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»ò

Ò±­±¬®±­ ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿® ­±´¿³»²¬» »­¬±­ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ·²·½·¿®¬» »² »´ ¿®¬» ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿½·-²Ò±­±¬®±­ ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿® ­±´¿³»²¬» »­¬±­ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ·²·½·¿®¬» »² »´ ¿®¬» ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿½·-²

Ý¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»Ý¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»Ý¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»

ײ¬»¹®¿½·-² ¼» °±¬»²½·¿­ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿­

ß´¹«²¿­ ª»½»­ °¿®¿ °±¼»® ·²¬»¹®¿® «²¿ º«²½·-² ½±²ª·»²» «¬·´·¦¿® «² ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»òß´¹«²¿­ ª»½»­ °¿®¿ °±¼»® ·²¬»¹®¿® «²¿ º«²½·-² ½±²ª·»²» «¬·´·¦¿® «² ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»òß´¹«²¿­ ª»½»­ °¿®¿ °±¼»® ·²¬»¹®¿® «²¿ º«²½·-² ½±²ª·»²» «¬·´·¦¿® «² ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»òß´¹«²¿­ ª»½»­ °¿®¿ °±¼»® ·²¬»¹®¿® «²¿ º«²½·-² ½±²ª·»²» «¬·´·¦¿® «² ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»òß´¹«²¿­ ª»½»­ °¿®¿ °±¼»® ·²¬»¹®¿® «²¿ º«²½·-² ½±²ª·»²» «¬·´·¦¿® «² ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»òß´¹«²¿­ ª»½»­ °¿®¿ °±¼»® ·²¬»¹®¿® «²¿ º«²½·-² ½±²ª·»²» «¬·´·¦¿® «² ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»ò

Ò±­±¬®±­ ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿® ­±´¿³»²¬» »­¬±­ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ·²·½·¿®¬» »² »´ ¿®¬» ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿½·-²Ò±­±¬®±­ ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿® ­±´¿³»²¬» »­¬±­ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ·²·½·¿®¬» »² »´ ¿®¬» ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿½·-²Ò±­±¬®±­ ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿® ­±´¿³»²¬» »­¬±­ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ·²·½·¿®¬» »² »´ ¿®¬» ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿½·-²Ò±­±¬®±­ ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿® ­±´¿³»²¬» »­¬±­ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ·²·½·¿®¬» »² »´ ¿®¬» ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿½·-²Ò±­±¬®±­ ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿® ­±´¿³»²¬» »­¬±­ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ·²·½·¿®¬» »² »´ ¿®¬» ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿½·-²Ò±­±¬®±­ ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿® ­±´¿³»²¬» »­¬±­ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ·²·½·¿®¬» »² »´ ¿®¬» ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿½·-²Ò±­±¬®±­ ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿® ­±´¿³»²¬» »­¬±­ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ·²·½·¿®¬» »² »´ ¿®¬» ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿½·-²Ò±­±¬®±­ ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿® ­±´¿³»²¬» »­¬±­ ³7¬±¼±­ °¿®¿ ·²·½·¿®¬» »² »´ ¿®¬» ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿½·-²

Ý¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»Ý¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»Ý¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»Ý¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»Ý¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»Ý¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»Ý¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»Ý¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»Ý¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»Ý¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»

Page 53: Libro de-integrales

Í«­¬·¬«§»²¼± »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´æ

Æ

º ø«ø¨÷÷ «ðø¨÷¼¨ ãÆ

º ø¬÷ ¼¬

±¾¬»²»³±­æ Æ

øë ¨ é÷ïî ë

뼨 ã

ï

ë

Æ

ø«ø¨÷÷ïî «ðø¨÷ ¼¬

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ¸»³±­ ½±³°´»¬¿¼± ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ³«´¬·°´·½¿²¼± °±® ëñë »² »´ ·²¬»¹®¿²¼±ò

߸±®¿ ­±´¿³»²¬» ¿°´·½¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ ø·ª÷ ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ô § ±¾¬»²»³±­æ

Æ

øë ¨ é÷ïî ¼¨ ãï

ë

Æ

ø«ø¨÷÷ïî «ðø¨÷¼¨

ãï

ë

Å«ø¨÷Ãïí

ïíõ Ý

ãï

ë

øë ¨ é÷ïí

ïíõ Ý

ãøë ¨ é÷ïí

êëõ Ý

ª»® ´¿ º±®³¿ ¼¿¼¿ »² ´¿ ®»¹´¿ °¿®¿ ·²¬»¹®¿® «­¿²¼± »´ ³7¬±¼± ¼» ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»ò

Û¶»³°´± î

Ý¿´½«´¿ ´¿ ·²¬»¹®¿´æ Æ

î ¨°

¨î õ ¨ ë õ°

¨î õ ¨ ë ¼¨

Ú¿½¬±®·¦¿²¼± »´ ¬7®³·²± ½±³&²ô °±¼»³±­ ®»°®»­»²¬¿® »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ½±³±æ

Æ °¨î õ ¨ ë øî ¨ õ ï÷ ¼¨

«ø¨÷ ã ¨î õ ¨ ë ÷ «ðø¨÷ ã î ¨ õ ï

Û²¬±²½»­ô ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ »­¬? ½±³°´»¬¿ô § °±¼»³±­ ·²¬»¹®¿® ¸¿½·»²¼± »´ ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»

Æ °¨î õ ¨ ë øî ¨ õ ï÷ ¼¨ ã

Æ ¯«ø¨÷ «ðø¨÷¼¨

ãÆ

ø«ø¨÷÷ïñî «ðø¨÷ ¼¨

ã«ø¨÷íñî

íñîõ Ý

ãî ¨î õ ¨ ë

íñî

íõ Ý

Ú¿½¬±®·¦¿²¼± »´ ¬7®³·²± ½±³&²ô °±¼»³±­ ®»°®»­»²¬¿® »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ½±³±æÚ¿½¬±®·¦¿²¼± »´ ¬7®³·²± ½±³&²ô °±¼»³±­ ®»°®»­»²¬¿® »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ½±³±æÚ¿½¬±®·¦¿²¼± »´ ¬7®³·²± ½±³&²ô °±¼»³±­ ®»°®»­»²¬¿® »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ½±³±æÚ¿½¬±®·¦¿²¼± »´ ¬7®³·²± ½±³&²ô °±¼»³±­ ®»°®»­»²¬¿® »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ½±³±æ

ª»® ´¿ º±®³¿ ¼¿¼¿ »² ´¿ ®»¹´¿ °¿®¿ ·²¬»¹®¿® «­¿²¼± »´ ³7¬±¼± ¼» ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»òª»® ´¿ º±®³¿ ¼¿¼¿ »² ´¿ ®»¹´¿ °¿®¿ ·²¬»¹®¿® «­¿²¼± »´ ³7¬±¼± ¼» ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»ò

ë õ°°

¨

Ú¿½¬±®·¦¿²¼± »´ ¬7®³·²± ½±³&²ô °±¼»³±­ ®»°®»­»²¬¿® »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ½±³±æÚ¿½¬±®·¦¿²¼± »´ ¬7®³·²± ½±³&²ô °±¼»³±­ ®»°®»­»²¬¿® »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ½±³±æÚ¿½¬±®·¦¿²¼± »´ ¬7®³·²± ½±³&²ô °±¼»³±­ ®»°®»­»²¬¿® »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ½±³±æÚ¿½¬±®·¦¿²¼± »´ ¬7®³·²± ½±³&²ô °±¼»³±­ ®»°®»­»²¬¿® »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ½±³±æÚ¿½¬±®·¦¿²¼± »´ ¬7®³·²± ½±³&²ô °±¼»³±­ ®»°®»­»²¬¿® »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ½±³±æ

ª»® ´¿ º±®³¿ ¼¿¼¿ »² ´¿ ®»¹´¿ °¿®¿ ·²¬»¹®¿® «­¿²¼± »´ ³7¬±¼± ¼» ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»òª»® ´¿ º±®³¿ ¼¿¼¿ »² ´¿ ®»¹´¿ °¿®¿ ·²¬»¹®¿® «­¿²¼± »´ ³7¬±¼± ¼» ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»òª»® ´¿ º±®³¿ ¼¿¼¿ »² ´¿ ®»¹´¿ °¿®¿ ·²¬»¹®¿® «­¿²¼± »´ ³7¬±¼± ¼» ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»òª»® ´¿ º±®³¿ ¼¿¼¿ »² ´¿ ®»¹´¿ °¿®¿ ·²¬»¹®¿® «­¿²¼± »´ ³7¬±¼± ¼» ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»òª»® ´¿ º±®³¿ ¼¿¼¿ »² ´¿ ®»¹´¿ °¿®¿ ·²¬»¹®¿® «­¿²¼± »´ ³7¬±¼± ¼» ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»òª»® ´¿ º±®³¿ ¼¿¼¿ »² ´¿ ®»¹´¿ °¿®¿ ·²¬»¹®¿® «­¿²¼± »´ ³7¬±¼± ¼» ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»òª»® ´¿ º±®³¿ ¼¿¼¿ »² ´¿ ®»¹´¿ °¿®¿ ·²¬»¹®¿® «­¿²¼± »´ ³7¬±¼± ¼» ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»òª»® ´¿ º±®³¿ ¼¿¼¿ »² ´¿ ®»¹´¿ °¿®¿ ·²¬»¹®¿® «­¿²¼± »´ ³7¬±¼± ¼» ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»ò

ë°

õ°

õ°

õ°°°°°

¨°

¨°

¨

Page 54: Libro de-integrales

Û¶»³°´± í

Ý¿´½«´¿Æ

¼¨°

î ¨ ï

б¼»³±­ ½¿´½«´¿® »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ «¬·´·¦¿²¼± ´¿ ®»¹´¿ ø·ª÷ ¼» ·²¬»¹®¿½·-²æ

Ƽ¨

°î ¨ ï

ãÆ

øî ¨ ï÷ ïñî ¼¨

«ø¨÷ ã î ¨ ï ÷ «ðø¨÷ ã î

Í«­¬·¬«§»²¼± »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ­«­¬·¬«½·-² ±¾¬»²»³±­æ

Ƽ¨

°î ¨ ï

ãÆ

ø«ø¨÷÷ ïñî î



ãï

î

Æ

ø«ø¨÷÷ ïñî «ðø¨÷¼¨

ãï

î

ø«ø¨÷÷ïñî

ïñîõ Ý

ãï

î

î øî ¨ ï÷ïñî

ïõ Ý

ã°

î ¨ ï õ Ý

Û¶»³°´± ì

Ý¿´½«´¿ ´¿ ­·¹«·»²¬» ·²¬»¹®¿´æ

Æ ë ¨ì î ¨

¨°

¨í H

Ѿ­»®ª¿ ¯«» »´ ·²¬»¹®¿²¼± ­» °«»¼» ®»»­½®·¾·® ½±³±æ

Æ ë ¨ì î ¨

¨°

¨í H ã

Æ ë ¨ì î ¨°

¨ë ¨î¼¨

Ç

«ø¨÷ ã ¨ë ¨î ¬»²»³±­ ¯«»æ «ðø¨÷ ã ë ¨ì î ¨

¯«» »­ °®»½·­¿³»²¬» »´ º¿½¬±® ¯«» ¬»²»³±­ »² »´ ²«³»®¿¼±® ¼»´ ·²¬»¹®¿²¼±ò

Û²¬±²½»­ô ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ »­¬? ½±³°´»¬¿ò

߸±®¿ °±¼»³±­ ®»»­½®·¾·® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ½±³±æ

Æ ë ¨ì î ¨°

¨ë ¨î¼¨ ã

Æ

¨ë ¨îïñî

ë ¨ì î ¨ ¼¨

ãîî°°

î ¨

îã

îãã

°°°î°îî ¨̈î ¨

Page 55: Libro de-integrales

Ç ´¿ °±¼»³±­ ·²¬»¹®¿® ·²³»¼·¿¬¿³»²¬»æ

Æ ë ¨ì î ¨°

¨ë ¨î¼¨ ã

Æ

¨ë ¨îïñî

ë ¨ì î ¨ ¼¨

ãÆ

ø«ø¨÷÷ ïñî «ðø¨÷ ¼¨

ãø«ø¨÷÷ïñî

ïñîõ Ý

ã î°

¨ë ¨î õ Ý

Û­¬» ³7¬±¼± ­»®? ³«§ &¬·´ ½«¿²¼± ¬»²¹¿³±­ «²¿ »¨°®»­·-² ·®®¿½·±²¿´ »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ¼»´

¦·²¬»¹®¿²¼±ô °»®± ­·»³°®» ¬»²·»²¼± »² ½«»²¬¿ ´¿ ®»¹´¿ °¿®¿ ·²¬»¹®¿® °±® »´ ³7¬±¼± ¼» ½¿³¾·± ¼»ª¿®·¿¾´»ò

¦ »´»ª¿¼± ¿ «²¿ °±¬»²½·¿ ¯«» ­»¿ ·¹«¿´ ¿´ 3²¼·½» ¼»´¿ ®¿3¦ » ·¹«¿´¿® »­¬¿ °±¬»²½·¿ ¿´ ®¿¼·½¿²¼± ø¯«» ¼»¾» »­¬¿® »² º«²½·-² ¼» ¨÷ò

Ô±­ ­·¹«·»²¬»­ »¶»³°´±­ ³«»­¬®¿² ¼±­ ½¿­±­ò

Û¶»³°´± ë

Ý¿´½«´¿Æ

¼¨

ï õ°

¨

´±­ »¨°±²»²¬»­ô ª¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿® »´ ­·¹«·»²¬» ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»æ

¨ ã ¦î ÷ ¼¨ ã î ¦ ¼¦

Ѿ­»®ª¿ ¯«» «¬·´·¦¿³±­ ¦î °±®¯«» »´ 3²¼·½» ¼» ´¿ ®¿3¦ »­ îò°

¨ »² ´«¹¿® ¼» ¦ò

Í«­¬·¬«§»²¼± »­¬» ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´» »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ ±¾¬»²»³±­æ

Ƽ¨

ï õ°

¨ã

Æî ¦ ¼¦

ï õ ¦ã î

Ʀ ¼¦

ï õ ¦

߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ­«³¿® § ¿ ®»­¬¿® ï »² »´ ²«³»®¿¼±®ò

Û­¬± ²±­ °»®³·¬·®? ¸¿½»®æ

îÆ

ï õ ¦ ï

ï õ ¦¼¦ ã î

Æï õ ¦

ï õ ¦

ï

ï õ ¦¼¦

ã îÆ

ïï

ï õ ¦¼¦

ã îÆ

¼¦ îÆ

¼¦

ï õ ¦

ã î ¦ î ´² ¶ï õ ¦¶õ Ý

´¿ ®¿3¦ » ·¹«¿´¿® »­¬¿ °±¬»²½·¿ ¿´ ®¿¼·½¿²¼± ø¯«» ¼»¾» »­¬¿® »² º«²½·-² ¼»

Ô±­ ­·¹«·»²¬»­ »¶»³°´±­ ³«»­¬®¿² ¼±­ ½¿­±­òÔ±­ ­·¹«·»²¬»­ »¶»³°´±­ ³«»­¬®¿² ¼±­ ½¿­±­ò

îî ¦

Ô±­ ­·¹«·»²¬»­ »¶»³°´±­ ³«»­¬®¿² ¼±­ ½¿­±­ò

´±­ »¨°±²»²¬»­ô ª¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿® »´ ­·¹«·»²¬» ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»æ

Ô±­ ­·¹«·»²¬»­ »¶»³°´±­ ³«»­¬®¿² ¼±­ ½¿­±­òÔ±­ ­·¹«·»²¬»­ »¶»³°´±­ ³«»­¬®¿² ¼±­ ½¿­±­ò

ÆÆ

ïï

´±­ »¨°±²»²¬»­ô ª¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿® »´ ­·¹«·»²¬» ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»æ

´¿ ®¿3¦ » ·¹«¿´¿® »­¬¿ °±¬»²½·¿ ¿´ ®¿¼·½¿²¼± ø¯«» ¼»¾» »­¬¿® »² º«²½·-² ¼»

Ô±­ ­·¹«·»²¬»­ »¶»³°´±­ ³«»­¬®¿² ¼±­ ½¿­±­òÔ±­ ­·¹«·»²¬»­ »¶»³°´±­ ³«»­¬®¿² ¼±­ ½¿­±­òÔ±­ ­·¹«·»²¬»­ »¶»³°´±­ ³«»­¬®¿² ¼±­ ½¿­±­ò

îî ¦î ¦

´±­ »¨°±²»²¬»­ô ª¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿® »´ ­·¹«·»²¬» ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»æ

Ô±­ ­·¹«·»²¬»­ »¶»³°´±­ ³«»­¬®¿² ¼±­ ½¿­±­òÔ±­ ­·¹«·»²¬»­ »¶»³°´±­ ³«»­¬®¿² ¼±­ ½¿­±­òÔ±­ ­·¹«·»²¬»­ »¶»³°´±­ ³«»­¬®¿² ¼±­ ½¿­±­òÔ±­ ­·¹«·»²¬»­ »¶»³°´±­ ³«»­¬®¿² ¼±­ ½¿­±­òÔ±­ ­·¹«·»²¬»­ »¶»³°´±­ ³«»­¬®¿² ¼±­ ½¿­±­òÔ±­ ­·¹«·»²¬»­ »¶»³°´±­ ³«»­¬®¿² ¼±­ ½¿­±­ò

ÆÆÆÆÆÆÆ

ï

Æ

ï

Æ

ï

Æ

ï õõõõõõïï

´±­ »¨°±²»²¬»­ô ª¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿® »´ ­·¹«·»²¬» ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»æ´±­ »¨°±²»²¬»­ô ª¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿® »´ ­·¹«·»²¬» ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»æ´±­ »¨°±²»²¬»­ô ª¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿® »´ ­·¹«·»²¬» ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»æ´±­ »¨°±²»²¬»­ô ª¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿® »´ ­·¹«·»²¬» ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»æ

Page 56: Libro de-integrales

Ý¿³¾·¿²¼± ´¿ ª¿®·¿¾´» ¦ »² ¬7®³·²±­ ¼» ¨ô ±¾¬»²»³±­æ

î ¦ ´² ¶ï õ ¦¶õ Ý ã î°

¨ î ´² ï õ°

¨ õ Ý

Û²¬±²½»­ô Ƽ¨

ï õ°

¨ã î

°¨ î ´² ï õ

°¨ õ Ý

ݱ³± °«»¼»­ ª»®ô »´ ?´¹»¾®¿ ²±­ ¿§«¼- ¿ ½±²ª»®¬·® »´ ·²¬»¹®¿²¼± ¯«» ±¾¬«ª·³±­ ¼»­°«7­ ¼»´½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´» ¿ «²¿ º±®³¿ ¯«» º«»®¿ ·²³»¼·¿¬¿³»²¬» ·²¬»¹®¿¾´»ò

Í·»³°®» ¯«» «¬·´·½»³±­ »­¬» ³7¬±¼±ô ª¿³±­ ¿ ®»¯«»®·® ¼» ½®»¿¬·ª·¼¿¼ °¿®¿ ­¿¾»® ¯«7 ¸¿½»® ¿´¹»ó¾®¿·½¿³»²¬» °¿®¿ ½±²ª»®¬·®´¿ ¿ «²¿ º±®³¿ ·²¬»¹®¿¾´»ò

Ò± ­·»³°®» ½±²ª·»²» ­«³¿® § ®»­¬¿® »² »´ ²«³»®¿¼±® ± °¿®¿ °±¼»® ½¿´½«´¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ò

Û¶»³°´± êÆ °¨ õ ï õ ï

°¨ õ ï ï

¼¨

¦î ã ¨ õ ïò

ß­3ô ¦ ã°

¨ õ ïô § ¼¨ ã î ¦ ¼¦ò

߸±®¿ ­«­¬·¬«·³±­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ § ±¾¬»²»³±­æ

Æ °¨ õ ï õ ï

°¨ õ ï ï

¼¨ ãÆ

î ¦ø¦ õ ï÷¼¦

¦ ïã î

Ʀî õ ¦

¦ F

߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ½±³°´»¬¿® »´ ½«¿¼®¿¼± »² »´ ²«³»®¿¼±®ò

п®¿ »­±ô ª¿³±­ ¿ ­«³¿® ð ã í ¦ õ ï õ í ¦ ïò ß­3 ±¾¬»²»³±­æ

îÆ

¦î õ ¦

¦ F ã î

Ʀî õ ¦ í ¦ õ ï õ í ¦ ï

¦ F

ã îÆø¦î î ¦ õ ï÷ õ í ¦ ï

¦ F

ã îÆø¦ ï÷î

¦ F õ î

Æí ¦ ï

¦ F

ã îÆ

ø¦ ï÷ ¼¦ õ îÆ

í ¦ ï

¦ F

Ç¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ °®·³»®¿ ·²¬»¹®¿´ò

î õ î

îÆ

ø¦ ï÷¼¦ õ îÆ

í ¦ ï

¦ F ã

î ¦î

îî ¦ õ î

Æøí ¦ í÷ õ î

¦ F

ã ¦î î ¦ õ îÆ

í ø¦ ï÷

¦ F õ î

Æî ¼¦

¦ ï

ã ¦î î ¦ õ êÆ

¼¦ õ ìÆ

¼¦

¦ ï

ã ¦î î ¦ õ ê ¦ õ ì ´²ø¦ ï÷ õ Ý

ã ¦î õ ì ¦ õ ì ´²ø¦ ï÷ õ Ý

õõõ

߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ½±³°´»¬¿® »´ ½«¿¼®¿¼± »² »´ ²«³»®¿¼±®ò

ïò ß­3 ±¾¬»²»³±­æ

߸±®¿ ­«­¬·¬«·³±­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ § ±¾¬»²»³±­æ߸±®¿ ­«­¬·¬«·³±­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ § ±¾¬»²»³±­æ߸±®¿ ­«­¬·¬«·³±­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ § ±¾¬»²»³±­æ

Æî

¦

߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ½±³°´»¬¿® »´ ½«¿¼®¿¼± »² »´ ²«³»®¿¼±®ò߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ½±³°´»¬¿® »´ ½«¿¼®¿¼± »² »´ ²«³»®¿¼±®ò߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ½±³°´»¬¿® »´ ½«¿¼®¿¼± »² »´ ²«³»®¿¼±®ò

ïò ß­3 ±¾¬»²»³±­æ

¦ õõõõ

߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ½±³°´»¬¿® »´ ½«¿¼®¿¼± »² »´ ²«³»®¿¼±®ò

ïò ß­3 ±¾¬»²»³±­æ

߸±®¿ ­«­¬·¬«·³±­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ § ±¾¬»²»³±­æ߸±®¿ ­«­¬·¬«·³±­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ § ±¾¬»²»³±­æ߸±®¿ ­«­¬·¬«·³±­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ § ±¾¬»²»³±­æ߸±®¿ ­«­¬·¬«·³±­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ § ±¾¬»²»³±­æ߸±®¿ ­«­¬·¬«·³±­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ § ±¾¬»²»³±­æ߸±®¿ ­«­¬·¬«·³±­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ § ±¾¬»²»³±­æ߸±®¿ ­«­¬·¬«·³±­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ § ±¾¬»²»³±­æ߸±®¿ ­«­¬·¬«·³±­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ § ±¾¬»²»³±­æ߸±®¿ ­«­¬·¬«·³±­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ § ±¾¬»²»³±­æ

Æî

ÆÆÆî

ÆÆîî

¦¦

߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ½±³°´»¬¿® »´ ½«¿¼®¿¼± »² »´ ²«³»®¿¼±®ò߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ½±³°´»¬¿® »´ ½«¿¼®¿¼± »² »´ ²«³»®¿¼±®ò߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ½±³°´»¬¿® »´ ½«¿¼®¿¼± »² »´ ²«³»®¿¼±®ò߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ½±³°´»¬¿® »´ ½«¿¼®¿¼± »² »´ ²«³»®¿¼±®ò߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ½±³°´»¬¿® »´ ½«¿¼®¿¼± »² »´ ²«³»®¿¼±®ò߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ½±³°´»¬¿® »´ ½«¿¼®¿¼± »² »´ ²«³»®¿¼±®ò

ïò ß­3 ±¾¬»²»³±­æïò ß­3 ±¾¬»²»³±­æ

߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ½±³°´»¬¿® »´ ½«¿¼®¿¼± »² »´ ²«³»®¿¼±®ò߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ½±³°´»¬¿® »´ ½«¿¼®¿¼± »² »´ ²«³»®¿¼±®ò߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ½±³°´»¬¿® »´ ½«¿¼®¿¼± »² »´ ²«³»®¿¼±®ò߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ½±³°´»¬¿® »´ ½«¿¼®¿¼± »² »´ ²«³»®¿¼±®ò

Page 57: Libro de-integrales

Í«­¬·¬«§»²¼± ¦ »² ¬7®³·²±­ ¼» ¨ô »²½±²¬®¿³±­ »´ ®»­«´¬¿¼±æ

Æ °¨ õ ï õ ï

°¨ õ ï ï

¼¨ ã ø¨ õ ï÷ õ ì°

¨ õ ï õ ì ´²°

¨ õ ï ï õ Ý

Page 58: Libro de-integrales

ײ¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­

Í· ½±²­·¼»®¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ °¿®¿ ¼»®·ª¿® »´ °®±¼«½¬± ¼» ¼±­ º«²½·±²»­æ

¼ø« ª÷

¼¨ã «

¼ª

¼¨õ ª

¼«

¼¨

°±¼»³±­ ¼»­°»¶¿® »´ °®·³»® ¬7®³·²± ¼» ´¿ ¼»®»½¸¿ ¼» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ § »­½®·¾·®æ

«¼ª

¼¨ã

¼ø« ª÷

¼¨ª

¼«

¼¨

Ë­¿²¼± »´ ¸»½¸± ¼» ¯«» ´¿ ·²¬»¹®¿½·-² »­ »´ °®±½»­± ·²ª»®­± ¼» ´¿ ¼»®·ª¿½·-²ô ¿´ ·²¬»¹®¿® ¿³¾±­´¿¼±­ ¼» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ ±¾¬»²»³±­æ

Æ

« ¼ª ã « ªÆ

ª ¼«

Û­¬¿ »­ ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ò

°±® °¿®¬»­ »­ ¯«» »´¿¾±®»­ «²¿ ¬¿¾´¿ ½±² ´±­ ª¿´±®»­ ¼» «ô ¼«ô ¼ª § ªò

Ý«¿²¼± ¬»²¹¿­ ´¿ ¬¿¾´¿ ½±³°´»¬¿ô ­·¹«» ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ô

Û¶»³°´± ï

Ý¿´½«´¿ Æ

¨ ­·² ¨ ¼¨

Ü¿¼± ¯«» ²± ¬»²»³±­ «²¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ·²³»¼·¿¬¿ °¿®¿ »­¬¿ º«²½·-²ô ª¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿®´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ò

« ã ¨ ÷ ¼« ã ¼¨

¼ª ã ­·² ¨ ¼¨ ÷ ª ã ½±­ ¨

߸±®¿ °±¼»³±­ ­«­¬·¬«·® »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­æ

Æ

« ¼ª ã «ªÆ

ª¼«Æ

¨ ­·² ¨ ¼¨ ã ¨ ½±­ ¨ õÆ

½±­ ¨ ¼¨

ã ¨ ½±­ ¨ õ ­·² ¨ õ Ý

Ç ¸»³±­ ¬»®³·²¿¼±ò

Û¶»³°´± î

Æ

¨ »¨¼¨

°±® °¿®¬»­ »­ ¯«» »´¿¾±®»­ «²¿ ¬¿¾´¿ ½±² ´±­ ª¿´±®»­ ¼»

Ý«¿²¼± ¬»²¹¿­ ´¿ ¬¿¾´¿ ½±³°´»¬¿ô ­·¹«» ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ôÝ«¿²¼± ¬»²¹¿­ ´¿ ¬¿¾´¿ ½±³°´»¬¿ô ­·¹«» ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ô

¯«» ²± ¬»²»³±­ «²¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ·²³»¼·¿¬¿ °¿®¿ »­¬¿ º«²½·-²ô ª¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿®

Ý«¿²¼± ¬»²¹¿­ ´¿ ¬¿¾´¿ ½±³°´»¬¿ô ­·¹«» ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ôÝ«¿²¼± ¬»²¹¿­ ´¿ ¬¿¾´¿ ½±³°´»¬¿ô ­·¹«» ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ô

Æ

¨̈ ­·²

¯«» ²± ¬»²»³±­ «²¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ·²³»¼·¿¬¿ °¿®¿ »­¬¿ º«²½·-²ô ª¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿®

°±® °¿®¬»­ »­ ¯«» »´¿¾±®»­ «²¿ ¬¿¾´¿ ½±² ´±­ ª¿´±®»­ ¼»°±® °¿®¬»­ »­ ¯«» »´¿¾±®»­ «²¿ ¬¿¾´¿ ½±² ´±­ ª¿´±®»­ ¼»

Ý«¿²¼± ¬»²¹¿­ ´¿ ¬¿¾´¿ ½±³°´»¬¿ô ­·¹«» ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ôÝ«¿²¼± ¬»²¹¿­ ´¿ ¬¿¾´¿ ½±³°´»¬¿ô ­·¹«» ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ôÝ«¿²¼± ¬»²¹¿­ ´¿ ¬¿¾´¿ ½±³°´»¬¿ô ­·¹«» ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ô

¯«» ²± ¬»²»³±­ «²¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ·²³»¼·¿¬¿ °¿®¿ »­¬¿ º«²½·-²ô ª¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿®

Ý«¿²¼± ¬»²¹¿­ ´¿ ¬¿¾´¿ ½±³°´»¬¿ô ­·¹«» ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ôÝ«¿²¼± ¬»²¹¿­ ´¿ ¬¿¾´¿ ½±³°´»¬¿ô ­·¹«» ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ôÝ«¿²¼± ¬»²¹¿­ ´¿ ¬¿¾´¿ ½±³°´»¬¿ô ­·¹«» ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ôÝ«¿²¼± ¬»²¹¿­ ´¿ ¬¿¾´¿ ½±³°´»¬¿ô ­·¹«» ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ôÝ«¿²¼± ¬»²¹¿­ ´¿ ¬¿¾´¿ ½±³°´»¬¿ô ­·¹«» ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ôÝ«¿²¼± ¬»²¹¿­ ´¿ ¬¿¾´¿ ½±³°´»¬¿ô ­·¹«» ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ôÝ«¿²¼± ¬»²¹¿­ ´¿ ¬¿¾´¿ ½±³°´»¬¿ô ­·¹«» ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ô

ÆÆÆ

¨ÆÆÆ

¨ ­·²­·²­·²¨ ­·²­·²­·²­·²

¯«» ²± ¬»²»³±­ «²¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ·²³»¼·¿¬¿ °¿®¿ »­¬¿ º«²½·-²ô ª¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿®¯«» ²± ¬»²»³±­ «²¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ·²³»¼·¿¬¿ °¿®¿ »­¬¿ º«²½·-²ô ª¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿®¯«» ²± ¬»²»³±­ «²¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ·²³»¼·¿¬¿ °¿®¿ »­¬¿ º«²½·-²ô ª¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿®

Page 59: Libro de-integrales

« ã ¨ ÷ ¼« ã ¼¨

¼ª ã »¨ ¼¨ ÷ ª ã »¨

ß´ ­«­¬·¬«·® »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ô ±¾¬»²»³±­æ

Æ

¨ »¨¼¨ ã ¨ »¨Æ

»¨ ¼¨

ã ¨ »¨ »¨ õ Ý

ã »¨ ø¨ ï÷ õ Ý

Û¶»³°´± í

Ý¿´½«´¿ Æ

¨î »¨ ¼¨

߸±®¿

« ã ¨î÷ ¼« ã î ¨ ¼¨

¼ª ã »¨ ¼¨ ÷ ª ã »¨

ß´ ­«­¬·¬«·® ±¾¬»²»³±­æÆ

¨î »¨ ¼¨ ã ¨î »¨Æ

î ¨ »¨ ¼¨

ã ¨î »¨ îÆ

¨ »¨ ¼¨

л®± »² »´ »¶»³°´± ¿²¬»®·±® »²½±²¬®¿³±­ ¯«»æ

Æ

¨ »¨¼¨ ã »¨ ø¨ ï÷ õ Ý

Û²¬±²½»­ô Æ

¨î »¨ ¼¨ ã ¨î »¨ î »¨ ø¨ ï÷ õ Ý

Ѿ­»®ª¿ ¯«» »² »­¬» »¶»³°´± ¿°´·½¿³±­ ¼±­ ª»½»­ ´¿ ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ò

Ô¿ °®·³»®¿ ª»¦ ¯«» ´¿ ¿°´·½¿³±­ ²±­ ¹»²»®- ±¬®¿ ·²¬»¹®¿´ °±® °¿®¬»­ ¯«» §¿ ¸¿¾3¿³±­ ®»­«»´¬±¿²¬»­ò

Û­¬± º«» ¿­3 °±®¯«» ¬»²3¿³±­ ¨îò Í· ¸«¾·»®¿³±­ ¬»²·¼± ¨í ´¿ ·²¬»¹®¿´ °±® °¿®¬»­ ­» ¸¿¾®3¿ ¿°´·½¿¼±í ª»½»­ò

Û¶»³°´± ì

Ý¿´½«´¿ Æ

´²ø¨÷¼¨

¿°´·½¿²¼± ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ò

Æ

¨

Ȭ

« ã ¨î

¼¨

¨î¨î »

¨̈ îÆ

¨

¨

»»»¨̈

« ã ¨̈ã ¨« ¨îã

¼¼¼¨¼¨¼¨

¨̈̈îîî¨î »»¨̈

» ¨̈̈ îîîî

Page 60: Libro de-integrales

« ã ´²ø¨÷ ÷ ¼« 㼨

¨¼ª ã ¼¨ ÷ ª ã ¨

Û²¬±²½»­ô ¿´ ­«­¬·¬«·®ô ±¾¬»²»³±­æ

Æ

´²ø¨÷¼¨ ã ¨ ´²ø¨÷Æ

¨ ¼¨

¨ã ¨ ´²ø¨÷ ¨ õ Ý

Ç ¬»®³·²¿³±­ò

Û¶»³°´± ë

Ý¿´½«´¿ Æ

­·²î ¨ ¼¨

¿°´·½¿²¼± ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ò

« ã ­·² ¨ ÷ ¼« ã ½±­ ¨ ¼¨

¼ª ã ­·² ¨ ¼¨ ÷ ª ã ½±­ ¨

Í«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ ±¾¬»²»³±­æ

Æ

­·²î ¨ ¼¨ ã ­·² ¨ ½±­ ¨ õÆ

½±­î ¨ ¼¨

л®±ô ¿°´·½¿²¼± ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼ °·¬¿¹-®·½¿æ ­·²î¿ õ ½±­î

¿ ã ïô °±¼»³±­ ®»»­½®·¾·® ´¿ ·²¬»¹®¿´½±³±æ

Æ

­·²î ¨ ¼¨ ã ­·² ¨ ½±­ ¨ õÆ

ï ­·²î ¨ ¼¨

ã ­·² ¨ ½±­ ¨ õÆ

¼¨Æ

­·²î ¨ ¼¨

ã ­·² ¨ ½±­ ¨ õ ¨Æ

­·²î ¨ ¼¨

Ç ´¿ &²·½¿ ·²¬»¹®¿´ ¯«» ¯«»¼¿ ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ »­ °®»½·­¿³»²¬» ´¿ ¯«» ¼»­»¿³±­ ½¿´½«´¿®ò

Û²¬±²½»­ô °±¼»³±­ °¿­¿®´¿ ¿ ´¿ ·¦¯«·»®¼¿ ¼» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ °¿®¿ ±¾¬»²»®æ

îÆ

­·²î ¨ ¼¨ ã ­·² ¨ ½±­ ¨ õ ¨ õ Ý

Æ

­·²î ¨ ¼¨ ãï

î­·² ¨ ½±­ ¨ õ

¨

îõ Ý

Ì

­·²øî¿÷ ã î ­·² ¿ ½±­ ¿

¿ ã

Æ

½±­

­·² ¨̈

¼¨̈

Í«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ ±¾¬»²»³±­æÍ«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ ±¾¬»²»³±­æÍ«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ ±¾¬»²»³±­æÍ«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ ±¾¬»²»³±­æ

½±­½±­ ¨ õ

¿ ãã

Æ

½±­

¨­·² ¨­·² ¨­·² ¨̈­·² ¨

¼¨̈̈

¨

¨

Í«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ ±¾¬»²»³±­æÍ«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ ±¾¬»²»³±­æÍ«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ ±¾¬»²»³±­æÍ«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ ±¾¬»²»³±­æÍ«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ ±¾¬»²»³±­æÍ«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ ±¾¬»²»³±­æÍ«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ ±¾¬»²»³±­æÍ«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ ±¾¬»²»³±­æÍ«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ ±¾¬»²»³±­æÍ«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ ±¾¬»²»³±­æÍ«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ ±¾¬»²»³±­æÍ«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ ±¾¬»²»³±­æÍ«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ ±¾¬»²»³±­æÍ«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ ±¾¬»²»³±­æÍ«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ ±¾¬»²»³±­æ

½±­½±­½±­ õ¨̈ õ¨ õ¨ õ¨ õõ

Page 61: Libro de-integrales

ß´ ­«­¬·¬«·® »­¬¿ »¯«·ª¿´»²½·¿ »² »´ °®·³»® ¬7®³·²± ¼»´ ®»­«´¬¿¼± ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ ±¾¬»²»³±­æ

Æ

­·²î ¨ ¼¨ ãï

ì­·²øî¨÷ õ

¨

îõ Ý

Ç ¬»®³·²¿³±­ò

Û¶»³°´± ê

Ý¿´½«´¿ ´¿ ·²¬»¹®¿´æ Æ

­»½í ¨ ¼¨

¿°´·½¿²¼± ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ò

Û³°»¦¿³±­

« ã ­»½ ¨ ÷ ¼« ã ­»½ ¨ ¬¿² ¨ ¼¨

¼ª ã ­»½î ¨ ¼¨ ÷ ª ã ¬¿² ¨

߸±®¿ °±¼»³±­ ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­æ

Æ

­»½í ¨ ¼¨ ã ­»½ ¨ ¬¿² ¨Æ

­»½ ¨ ¬¿²î ¨ ¼¨

ã ­»½ ¨ ¬¿² ¨Æ

­»½ ¨ ­»½î ¨ ï ¼¨

ã ­»½ ¨ ¬¿² ¨Æ

­»½í ¨ ¼¨ õÆ

­»½ ¨ ¼¨

п­¿²¼± ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¾«­½¿¼¿ ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ô ±¾¬»²»³±­æ

îÆ

­»½í ¨ ¼¨ ã ­»½ ¨ ¬¿² ¨ õÆ

­»½ ¨ ¼¨ ÷

Æ

­»½í ¨ ¼¨ ãï

î­»½ ¨ ¬¿² ¨ õ

ï

î

Æ

­»½ ¨ ¼¨

ãï

î­»½ ¨ ¬¿² ¨ õ

ï

î´² ø­»½ ¨ õ ¬¿² ¨÷ õ Ý

Ç ¬»®³·²¿³±­ò

Ý«¿²¼± ­±­°»½¸»­ ¯«» «²¿ ·²¬»¹®¿´ ­» °«»¼» ®»­±´ª»® °±® »´ ³7¬±¼± ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ô« § ¼ªô ¼»­°«7­ ¿°´·½¿ ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-²ò

­«­¬·¬«½·±²»­ò

Í· ¼» ²«»ª± ²± ±¾¬·»²»­ «²¿ ·²¬»¹®¿´ ·²³»¼·¿¬¿ô »²¬±²½»­ ¼»¾»­ ·²¬»²¬¿® ±¬®± ³7¬±¼±ò

߸±®¿ °±¼»³±­ ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­æ

Æ

­»½

ã¨

­»½

­»½ ¨ ¬¿²

п­¿²¼± ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¾«­½¿¼¿ ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ô ±¾¬»²»³±­æп­¿²¼± ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¾«­½¿¼¿ ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ô ±¾¬»²»³±­æп­¿²¼± ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¾«­½¿¼¿ ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ô ±¾¬»²»³±­æ

Æ

߸±®¿ °±¼»³±­ ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­æ

Æ

­»½

ããã¨

­»½­»½­»½

¨ ¬¿²¬¿²­»½ ¨̈ ¬¿²­»½ ¬¿²¬¿²¬¿²¬¿²

п­¿²¼± ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¾«­½¿¼¿ ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ô ±¾¬»²»³±­æп­¿²¼± ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¾«­½¿¼¿ ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ô ±¾¬»²»³±­æп­¿²¼± ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¾«­½¿¼¿ ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ô ±¾¬»²»³±­æп­¿²¼± ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¾«­½¿¼¿ ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ô ±¾¬»²»³±­æп­¿²¼± ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¾«­½¿¼¿ ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ô ±¾¬»²»³±­æп­¿²¼± ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¾«­½¿¼¿ ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ô ±¾¬»²»³±­æ

ÆÆÆ

п­¿²¼± ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¾«­½¿¼¿ ¿ ´¿ ¼»®»½¸¿ô ±¾¬»²»³±­æ

Page 62: Libro de-integrales

ײ¬»¹®¿½·-² ¼» º«²½·±²»­ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿­

Ç¿ ª·³±­ ´¿­ ®»¹´¿­ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ·²¬»¹®¿´»­ ¼» º«²½·±²»­ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿­ò

߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿® °®±¼«½¬±­ ¼» º«²½·±²»­ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿­ § °±¬»²½·¿­ò

п®¿ »­¬» ¬»³¿ ª¿³±­ ¿ ®»¯«»®·® »´ º±®³«´¿®·± ¼» ·¼»²¬·¼¿¼»­ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿­ò

Û¶»³°´± ï

Æ

½±­î ¨ ¼¨

ˬ·´·¦¿³±­ ´¿ ­·¹«·»²¬» ·¼»²¬·¼¿¼æ

½±­ ¨ ã

®ï õ ½±­øî ¨÷

î

ß­3ô ²«»­¬®¿ ·²¬»¹®¿´ ­» ½±²ª·»®¬» »² ´¿ ­·¹«·»²¬»æ

Æ

½±­î ¨ ¼¨ ãï

î

Æ

øï õ ½±­øî ¨÷÷ ¼¨

ãï

î

Æ

¼¨ õï

î

Æ

½±­øî ¨÷¼¨

Ç¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ °®·³»®¿ ·²¬»¹®¿´ò

п®¿ ´¿ ­»¹«²¼¿ô ¸¿½» º¿´¬¿ ½±³°´»¬¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´æ

Æ

½±­î ¨ ¼¨ ãï

î

Æ

¼¨ õï

î

Æ

½±­øî ¨÷î



ã¨

îõ

ï

ì­·²øî ¨÷ õ Ý

Ç ¬»®³·²¿³±­ò

Û² ´¿ ­»½½·-² ¿²¬»®·±® ½¿´½«´¿³±­ ´¿ ·²¬»¹®¿´Î

­·²î ¨ ¼¨ «¬·´·¦¿²¼± ·²¬»¹®¿½·-² °±® °¿®¬»­ò

Í» ¬» ¯«»¼¿ ½±³± »¶»®½·½·± ½¿´½«´¿®´¿ «¬·´·¦¿²¼± ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿æ

½±­ ¨ ã

®ï ½±­øî ¨÷

î

­»²± »­ ´¿ º«²½·-² ½±­»²±ò

Û¶»³°´± î

Æ

½±­í ¨ ¼¨

ÆÆÆ

½±­

÷ õ ÝÝ

Æ

½±­øî

¼½±­ ¨

Ç¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ °®·³»®¿ ·²¬»¹®¿´ò

п®¿ ´¿ ­»¹«²¼¿ô ¸¿½» º¿´¬¿ ½±³°´»¬¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´æп®¿ ´¿ ­»¹«²¼¿ô ¸¿½» º¿´¬¿ ½±³°´»¬¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´æп®¿ ´¿ ­»¹«²¼¿ô ¸¿½» º¿´¬¿ ½±³°´»¬¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´æ

ïÆ

ÆÆÆ

½±­½±­

÷ õ ÝÝ

Æ

½±­øî

¼½±­ ¼¨¨̈̈ ¨

ããã

Ç¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ °®·³»®¿ ·²¬»¹®¿´òÇ¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ °®·³»®¿ ·²¬»¹®¿´òÇ¿ °±¼»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ °®·³»®¿ ·²¬»¹®¿´ò

п®¿ ´¿ ­»¹«²¼¿ô ¸¿½» º¿´¬¿ ½±³°´»¬¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´æп®¿ ´¿ ­»¹«²¼¿ô ¸¿½» º¿´¬¿ ½±³°´»¬¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´æп®¿ ´¿ ­»¹«²¼¿ô ¸¿½» º¿´¬¿ ½±³°´»¬¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´æп®¿ ´¿ ­»¹«²¼¿ô ¸¿½» º¿´¬¿ ½±³°´»¬¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´æп®¿ ´¿ ­»¹«²¼¿ô ¸¿½» º¿´¬¿ ½±³°´»¬¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´æп®¿ ´¿ ­»¹«²¼¿ô ¸¿½» º¿´¬¿ ½±³°´»¬¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´æп®¿ ´¿ ­»¹«²¼¿ô ¸¿½» º¿´¬¿ ½±³°´»¬¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´æп®¿ ´¿ ­»¹«²¼¿ô ¸¿½» º¿´¬¿ ½±³°´»¬¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´æп®¿ ´¿ ­»¹«²¼¿ô ¸¿½» º¿´¬¿ ½±³°´»¬¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´æп®¿ ´¿ ­»¹«²¼¿ô ¸¿½» º¿´¬¿ ½±³°´»¬¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´æп®¿ ´¿ ­»¹«²¼¿ô ¸¿½» º¿´¬¿ ½±³°´»¬¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´æп®¿ ´¿ ­»¹«²¼¿ô ¸¿½» º¿´¬¿ ½±³°´»¬¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿´æ

ïïÆÆÆÆÆÆÆÆ

Page 63: Libro de-integrales

ˬ·´·¦¿²¼± ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼æ­·²î ¨ õ ½±­î ¨ ã ï

°±¼»³±­ ®»»­½®·¾·® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æ

Æ

½±­í ¨ ¼¨ ãÆ

ï ­·²î ¨ ½±­ ¨ ¼¨

ãÆ

½±­ ¨ ¼¨Æ

­·²î ¨ ½±­ ¨ ¼¨

Ô¿ °®·³»®¿ ·²¬»¹®¿´ »­ ·²³»¼·¿¬¿ò

«ø¨÷ ã ­·² ¨ô ´«»¹±ô «ðø¨÷ ã ½±­ ¨ò

Û­¬± ²±­ ¼·½» ¯«» °±¼»³±­ ¸¿½»® »´ ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»æ

Æ

½±­í ¨ ¼¨ ãÆ

½±­ ¨ ¼¨Æ

­·²î ¨ ½±­ ¨ ¼¨

ã ­·² ¨Æ

Å«ø¨÷Ãî «ðø¨÷¼¨

ã ­·² ¨Å«ø¨÷Ãí

íõ Ý

ã ­·² ¨­·²í ¨

íõ Ý

î ¨ ã ï ­·²î ¨½±²­·­¬¿ ¼» ´¿ º«²½·-² ½±­ ¨ »´»ª¿¼¿ ¿ «²¿ °±¬»²½·¿´ ·³°¿®ò

б® »¶»³°´±ô °¿®¿ ·²¬»¹®¿® ½±­ë ¨ ®»»­½®·¾·³±­ »­¬» ·²¬»¹®¿²¼± ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» ³¿²»®¿æ

½±­ë ¨ ã ½±­ì ¨ ½±­ ¨ ã ï ­·²î ¨î

½±­ ¨

ã ï î ­·²î ¨ õ ­·²ì ¨ ½±­ ¨

« ã ­·² ¨ § °®±½»¼»® ½±³± »² »´ »¶»³°´± ¯«» ¿½¿¾¿³±­ ¼» ®»­±´ª»®ò

Û² ¿´¹«²±­ °®±¼«½¬±­ ¼» °±¬»²½·¿­ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­ ­·² ¨ § ½±­ ¨ ¬¿³¾·7² °±¼»³±­ ¿°´·½¿® »´

ͱ´¿³»²¬» ¼»¾»³±­ ®»½±®¼¿® ¯«» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»¾» »­¬¿® ½±³°´»¬¿ò

Û¶»³°´± í

Ý¿´½«´¿ ´¿ ·²¬»¹®¿´æ Æ

­·²í ¨ ½±­í ¨ ¼¨

б¼»³±­ ®»»­½®·¾·® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» ³¿²»®¿æ

Æ

­·²í ¨ ½±­í ¨ ¼¨ ãÆ

­·²í ¨ ½±­î ¨ ½±­ ¨ ¼¨

ãÆ

­·²í ¨ ï ­·²î ¨ ½±­ ¨ ¼¨

ãÆ

­·²í ¨ ­·²ë ¨ ½±­ ¨ ¼¨

½±­½±­

­·²î ¨

»´»ª¿¼¿ ¿ «²¿ °±¬»²½·¿´ ·³°¿®ò»´»ª¿¼¿ ¿ «²¿ °±¬»²½·¿´ ·³°¿®ò

®»»­½®·¾·³±­ »­¬» ·²¬»¹®¿²¼± ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» ³¿²»®¿æ®»»­½®·¾·³±­ »­¬» ·²¬»¹®¿²¼± ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» ³¿²»®¿æ®»»­½®·¾·³±­ »­¬» ·²¬»¹®¿²¼± ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» ³¿²»®¿æ

ï ­·²

½±­½±­

­·²î ¨

ã

»´»ª¿¼¿ ¿ «²¿ °±¬»²½·¿´ ·³°¿®ò»´»ª¿¼¿ ¿ «²¿ °±¬»²½·¿´ ·³°¿®ò»´»ª¿¼¿ ¿ «²¿ °±¬»²½·¿´ ·³°¿®ò»´»ª¿¼¿ ¿ «²¿ °±¬»²½·¿´ ·³°¿®ò»´»ª¿¼¿ ¿ «²¿ °±¬»²½·¿´ ·³°¿®ò»´»ª¿¼¿ ¿ «²¿ °±¬»²½·¿´ ·³°¿®ò

®»»­½®·¾·³±­ »­¬» ·²¬»¹®¿²¼± ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» ³¿²»®¿æ

»´»ª¿¼¿ ¿ «²¿ °±¬»²½·¿´ ·³°¿®ò

®»»­½®·¾·³±­ »­¬» ·²¬»¹®¿²¼± ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» ³¿²»®¿æ®»»­½®·¾·³±­ »­¬» ·²¬»¹®¿²¼± ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» ³¿²»®¿æ®»»­½®·¾·³±­ »­¬» ·²¬»¹®¿²¼± ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» ³¿²»®¿æ®»»­½®·¾·³±­ »­¬» ·²¬»¹®¿²¼± ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» ³¿²»®¿æ

»´»ª¿¼¿ ¿ «²¿ °±¬»²½·¿´ ·³°¿®ò»´»ª¿¼¿ ¿ «²¿ °±¬»²½·¿´ ·³°¿®ò

®»»­½®·¾·³±­ »­¬» ·²¬»¹®¿²¼± ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» ³¿²»®¿æ®»»­½®·¾·³±­ »­¬» ·²¬»¹®¿²¼± ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» ³¿²»®¿æ®»»­½®·¾·³±­ »­¬» ·²¬»¹®¿²¼± ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» ³¿²»®¿æ®»»­½®·¾·³±­ »­¬» ·²¬»¹®¿²¼± ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» ³¿²»®¿æ®»»­½®·¾·³±­ »­¬» ·²¬»¹®¿²¼± ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» ³¿²»®¿æ®»»­½®·¾·³±­ »­¬» ·²¬»¹®¿²¼± ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» ³¿²»®¿æ®»»­½®·¾·³±­ »­¬» ·²¬»¹®¿²¼± ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» ³¿²»®¿æ®»»­½®·¾·³±­ »­¬» ·²¬»¹®¿²¼± ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» ³¿²»®¿æ®»»­½®·¾·³±­ »­¬» ·²¬»¹®¿²¼± ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» ³¿²»®¿æ

ï ­·²­·²­·²­·²

Page 64: Libro de-integrales

«ø¨÷ ã ­·² ¨ô § ¸¿½·»²¼± »´ ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»ô ±¾¬»²»³±­æÆ

­·²í ¨ ½±­í ¨ ¼¨ ãÆ

­·²í ¨ ­·²ë ¨ ½±­ ¨ ¼¨

ãÆ

­·²í ¨ ½±­ ¨ ¼¨Æ

­·²ë ¨ ½±­ ¨ ¼¨

ãÆ

Å«ø¨÷Ãí«ðø¨÷ ¼¨Æ

Å«ø¨÷Ãë«ðø¨÷¼¨

ãÅ«ø¨÷Ãì

ì

Å«ø¨÷Ãê

êõ Ý

ã­·²ì ¨

ì

­·²ê ¨

êõ Ý

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ¼»½·¼·³±­ ­«­¬·¬«·®æ ½±­î ¨ ã ï ­·²î ¨ô °»®± ¬¿³¾·7² °«¼·³±­ ­«­¬·«·®æ ­·²î ¨ ãï ½±­î ¨ § °±¼»® ½¿´½«´¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ò Í» ¬» ¯«»¼¿ ½±³± »¶»®½·½·± ½¿´½«´¿® ´¿ ³·­³¿ ·²¬»¹®¿´¸¿½·»²¼± »­¬¿ ­«­¬·¬«½·-²ò

п®¿ ·²¬»¹®¿® °±¬»²½·¿­ ¼» ´¿ º«²½·-² ¬¿²¹»²¬» ± ­»½¿²¬» «­¿®»³±­ ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼æ

­»½î ¨ ã ï õ ¬¿²î ¨

Û¶»³°´± ì

Æ

¬¿²î ¨ ¼¨

Ë­¿²¼± ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼ ³»²½·±²¿¼¿ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æÆ

¬¿²î ¨ ¼¨ ãÆ

øï ­»½î ¨÷ ¼¨ ãÆ

¼¨Æ

­»½î ¨ ¼¨

ß³¾¿­ ·²¬»¹®¿´»­ ­±² ·²³»¼·¿¬¿­æÆ

¬¿²î ¨ ¼¨ ã ¨ ¬¿² ¨ õ Ý

Û¶»³°´± ëÆ

¬¿²í ¨ ¼¨

Û´ ·²¬»¹®¿²¼± °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æÆ

¬¿²í ¨ ¼¨ ãÆ

ø­»½î ¨ ï÷ ¬¿² ¨ ¼¨ ãÆ

­»½î ¨ ¬¿² ¨ ¼¨Æ

¬¿² ¨ ¼¨

«ø¨÷ ã ¬¿² ¨ô »²¬±²½»­ô «ðø¨÷ ã ­»½î ¨ò

Û²¬±²½»­ô ¿´ ¸¿½»® »´ ½¿³¾·± ¼» ª¿®·¿¾´»ô ±¾¬»²»³±­æÆ

¬¿²í ¨ ¼¨ ãÆ

«ø¨÷ «ðø¨÷ ¼¨Æ

¬¿² ¨ ¼¨

ãÅ«ø¨÷Ãî

î

Æ­·² ¨

½±­ ¨¼¨

㬿²î ¨

î

Æ­·² ¨

½±­ ¨¼¨

¨ õõ

Ë­¿²¼± ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼ ³»²½·±²¿¼¿ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æË­¿²¼± ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼ ³»²½·±²¿¼¿ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æ

î ¨÷÷ ¼¼

¨ õõõ

Ë­¿²¼± ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼ ³»²½·±²¿¼¿ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æË­¿²¼± ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼ ³»²½·±²¿¼¿ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æË­¿²¼± ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼ ³»²½·±²¿¼¿ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æË­¿²¼± ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼ ³»²½·±²¿¼¿ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æË­¿²¼± ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼ ³»²½·±²¿¼¿ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æË­¿²¼± ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼ ³»²½·±²¿¼¿ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æË­¿²¼± ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼ ³»²½·±²¿¼¿ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æË­¿²¼± ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼ ³»²½·±²¿¼¿ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æ

îî

Ë­¿²¼± ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼ ³»²½·±²¿¼¿ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æË­¿²¼± ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼ ³»²½·±²¿¼¿ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æË­¿²¼± ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼ ³»²½·±²¿¼¿ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æ

î ¨̈̈̈̈̈÷÷÷÷ ¼÷ ¼¼¼¨̈¼¼

Page 65: Libro de-integrales

ª ã ½±­ ¨ò

Û²¬±²½»­ô ¼ª ã ­·² ¨ ¼¨ò

ß­3ô °±¼»³±­ ¿°´·½¿® ´¿ ®»¹´¿ øª÷ ¼» ·²¬»¹®¿½·-²æ

Æ

¬¿²í ¨ ¼¨ 㬿²î ¨

î

Æ­·² ¨

½±­ ¨¼¨

㬿²î ¨

î

Ƽª

ª

㬿²î ¨

îõ ´² ª õ Ý

㬿²î ¨

îõ ´² ¶ ½±­ ¨¶õ Ý

Û² ¿´¹«²±­ ½¿­±­ ª¿³±­ ¿ ¬»²»® ¯«» ¿°´·½¿® ±¬®±­ ³7¬±¼±­ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² °¿®¿ °±¼»® ½¿´½«´¿® «²¿·²¬»¹®¿´ ¼» °±¬»²½·¿­ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿­ò

Û¶»³°´± ê

Ý¿´½«´¿æ Æ

­»½í ¨ ¼¨

б¼»³±­ ®»»­½®·¾·® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æÆ

­»½í ¨ ¼¨ ãÆ

­»½î ¨ ­»½ ¨ ¼¨ ãÆ

øï õ ¬¿²î ¨÷ ­»½ ¨ ¼¨

ß´ ­»°¿®¿® »² ¼±­ ·²¬»¹®¿´»­ ±¾¬»²»³±­æÆ

­»½í ¨ ¼¨ ãÆ

­»½ ¨ ¼¨ õÆ

¬¿²î ¨ ­»½ ¨ ¼¨

Ô¿ °®·³»®¿ ·²¬»¹®¿´ »­ ·²³»¼·¿¬¿æÆ

­»½í ¨ ¼¨ ã ´² ¶ ­»½ ¨ õ ¬¿² ¨¶õÆ

¬¿²î ¨ ­»½ ¨ ¼¨

п®¿ ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¯«» º¿´¬¿ «­¿®»³±­ ´¿ ®»¹´¿ ¼» ·²¬»¹®¿´ °±® °¿®¬»­ò

« ã ¬¿² ¨ ÷ ¼« ã ­»½î ¨ ¼¨

¼ª ã ­»½ ¨ ¬¿² ¨ ¼¨ ÷ ª ã ­»½ ¨

Í«­¬·¬«§»²¼± »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ º¿´¬¿²¬» ²±­ ¼¿æÆ

­»½í ¨ ¼¨ ã ´² ¶ ­»½ ¨ õ ¬¿² ¨¶õ ­»½ ¨ ¬¿² ¨Æ

­»½í ¨ ¼¨

߸±®¿ ±¾¬«ª·³±­ ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¯«» ¯«»®»³±­ ½¿´½«´¿®ò

ݱ³± »­ ²»¹¿¬·ª¿ô °±¼»³±­ °¿­¿®´¿ ¼»´ ±¬®± ´¿¼±æ

îÆ

­»½í ¨ ¼¨ ã ´² ¶ ­»½ ¨ õ ¬¿² ¨¶ õ ­»½ ¨ ¬¿² ¨ õ Ýï

Æ

¬¿²

б¼»³±­ ®»»­½®·¾·® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æб¼»³±­ ®»»­½®·¾·® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æб¼»³±­ ®»»­½®·¾·® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æ

­»½­»½ ¨

ÆÆ

¬¿²î

б¼»³±­ ®»»­½®·¾·® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æб¼»³±­ ®»»­½®·¾·® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æб¼»³±­ ®»»­½®·¾·® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æб¼»³±­ ®»»­½®·¾·® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æб¼»³±­ ®»»­½®·¾·® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æб¼»³±­ ®»»­½®·¾·® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æб¼»³±­ ®»»­½®·¾·® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æб¼»³±­ ®»»­½®·¾·® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æб¼»³±­ ®»»­½®·¾·® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æ

­»½­»½­»½­»½­»½­»½­»½­»½ ¨̈̈

ÆÆ

Page 66: Libro de-integrales

Ç »´ ®»­«´¬¿¼± »­æÆ

­»½í ¨ ¼¨ ãï

î´² ¶ ­»½ ¨ õ ¬¿² ¨¶õ

ï

î­»½ ¨ ¬¿² ¨ õ Ý

Û¶»³°´± é

Ý¿´½«´¿ ´¿ ·²¬»¹®¿´æ Æ

½±¬ê ¨ ¼¨

߸±®¿ «¬·´·¦¿®»³±­ ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼æ

½­½î ¨ ã ï õ ½±¬î ¨

°¿®¿ ¬®¿²­º±®³¿® »´ ·²¬»¹®¿²¼± ´¿­ ª»½»­ ¯«» ­»¿ ²»½»­¿®·¿ò

Û³°»¦¿³±­ ¸¿½·»²¼± ´¿ °®·³»®¿ ¬®¿²­º±®³¿½·-²æ

Æ

½±¬ê ¨ ¼¨ ãÆ

½±¬ì ¨ ½­½î ¨ ï ¼¨

ãÆ

½±¬ì ¨ ½­½î ¨ ¼¨Æ

½±¬ì ¨ ¼¨

«ø¨÷ ã ½±¬ ¨ô ½±² ´± ¯«» «ðø¨÷ ã ½­½î ¨ò

Û²¬±²½»­ôÆ

½±¬ê ¨ ¼¨ ãÆ

½±¬ì ¨ ½­½î ¨ ¼¨Æ

½±¬ì ¨ ¼¨

ãÆ

Å«ø¨÷Ãì«ðø¨÷¼¨Æ

½±¬î ¨ ½­½î ¨ ï ¼¨

ã½±¬ë ¨

ë

Æ

½±¬î ¨ ½­½î ¨ ¼¨ õÆ

½±¬î ¨ ¼¨

«ø¨÷ ã ½±¬ ¨ ¼» ²«»ª±ô ±¾¬»²»³±­æ

Æ

½±¬ê ¨ ¼¨ ã½±¬ë ¨

ë

Æ

½±¬î ¨ ½­½î ¨ ¼¨ õÆ

½±¬î ¨ ¼¨

ã½±¬ë ¨

ë

Æ

Å«ø¨÷Ãî«ðø¨÷¼¨ õÆ

½­½î ¨ ï ¼¨

ã½±¬ë ¨

ë

½±¬í ¨

íõ

Æ

½­½î ¨ ï ¼¨

ã½±¬ë ¨

ë

½±¬í ¨

íõ

Æ

½­½î ¨ ¼¨Æ

¼¨

ã½±¬ë ¨

ë

½±¬í ¨

íõ ½±¬ ¨ ¨ õ Ý

Ç ¬»®³·²¿³±­ò

Ý«¿²¼± ´¿­ °±¬»²½·¿­ ¼» ¬¿² ¨ § ¼» ­»½ ¨ ­±² ·³°¿®»­ô ½±²ª·»²¬» º¿½¬±®·¦¿® ¬¿² ¨ ­»½ ¨ § «¬·´·¦¿®´±½±³± ¼« « ã ­»½ ¨ò

¨ ¼¼¼¨

Æ

½±¬î

ô ½±² ´± ¯«»ô ½±² ´± ¯«»

î ¨ ¼¼¨̈Æ

¨ ¼¼¼¼¨

Æ

½±¬î

ô ½±² ´± ¯«»ô ½±² ´± ¯«»ô ½±² ´± ¯«»ô ½±² ´± ¯«»ô ½±² ´± ¯«»ô ½±² ´± ¯«»ô ½±² ´± ¯«»ô ½±² ´± ¯«»ô ½±² ´± ¯«»

½­½îîîî ¨̈̈ ¼¼¼¼¼¨¼¨¼¨

¨ÆÆÆÆÆÆÆ

Page 67: Libro de-integrales

̱¼±­ ´±­ ¬¿²î ¨ ­» ¬®¿²­º±®³¿² ¿ ­»½ ¨ «¬·´·¦¿²¼± ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼æ

­»½î ã ï õ ¬¿²î ¨

Û¶»³°´± è

Ý¿´½«´¿æ Æ

¬¿²ë ¨ ­»½í ¨ ¼¨

Û³°»¦¿³±­ º¿½¬±®·¦¿²¼± ¬¿² ¨ ­»½ ¨æÆ

¬¿²ë ¨ ­»½í ¨ ¼¨ ãÆ

¬¿²ì ¨ ­»½î ¨ Ŭ¿² ¨ ­»½ ¨ ¼¨Ã

߸±®¿ °±¼»³±­ «­¿® ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼æ ­»½î ã ï õ ¬¿²î ¨æÆ

¬¿²ë ¨ ­»½í ¨ ¼¨ ãÆ

Å­»½î ¨ ïÃî ­»½î ¨ Ŭ¿² ¨ ­»½ ¨ ¼¨Ã

« ã ­»½ ¨ § ­«­¬·¬«·³±­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ °¿®¿ ±¾¬»²»®æÆ

¬¿²ë ¨ ­»½í ¨ ¼¨ ãÆ

Å«î ïÃî «î ¼«

ãÆ

Å«ì î «î õ ïà «î ¼«

ãÆ

«ê ¼« îÆ

«ì ¼« õÆ

«î ¼«

ã«é

é

î «ë

ëõ

«í

íõ Ý

ã­»½é ¨

é

î ­»½ë ¨

ëõ

­»½í ¨

íõ Ý

Ѿ­»®ª¿ ¯«» »² ½¿¼¿ ·²¬»¹®¿´ «¬·´·¦¿³±­ ­·»³°®» «²¿ ·¼»²¬·¼¿¼ ¯«» ·²ª±´«½®» ¿ ´¿ º«²½·-² »²½«»­¬·-² § ¿ ­« ¼»®·ª¿¼¿ò

б® »¶»³°´±ô °¿®¿ ´¿ º«²½·-² ­·² ¨ «­¿³±­ ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼æ

­·²î ¨ õ ½±­î ¨ ã ï

°±®¯«» ¿¸3 ¿°¿®»½» ­« ¼»®·ª¿¼¿ô ¯«» »­æ ½±­ ¨ò

б® ±¬®¿ °¿®¬»ô °¿®¿ ´¿ º«²½·-² ¬¿² ¨ «­¿³±­æ

­»½î ¨ ã ï õ ¬¿²î ¨

°±®¯«» ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ ¼» ¬¿² ¨ »­ ­»½î ¨ò

Ç °¿®¿ ´¿ º«²½·-² ½±¬ ¨ «¬·´·¦¿³±­ ´¿ ·¼»²¬·¼¿¼æ

½­½î ¨ ã ï õ ½±¬î ¨

°±®¯«» ´¿ ¼»®·ª¿¼¿ ¼» ½±¬ ¨ »­ ´¿ º«²½·-² ½­½î ¨ò

Û² ´±­ °®±¼«½¬±­ ¼» °±¬»²½·¿­ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­ ¬®·¹±²±³7¬®·½¿­ ­·»³°®» ¼»¾»³±­ ·²¬»²¬¿® ­«­¬·¬«·®´¿­ ·¼»²¬·¼¿¼»­ ¼» ³¿²»®¿ ¯«» ±¾¬»²¹¿³±­ «²¿ º±®³¿ ·²¬»¹®¿¾´»ò

Ѿ­»®ª¿ ¯«» »² ½¿¼¿ ·²¬»¹®¿´ «¬·´·¦¿³±­ ­·»³°®» «²¿ ·¼»²¬·¼¿¼ ¯«» ·²ª±´«½®» ¿ ´¿ º«²½·-² »²

ãéé

­»½­»½é ¨

é

Ѿ­»®ª¿ ¯«» »² ½¿¼¿ ·²¬»¹®¿´ «¬·´·¦¿³±­ ­·»³°®» «²¿ ·¼»²¬·¼¿¼ ¯«» ·²ª±´«½®» ¿ ´¿ º«²½·-² »²

ééã

éã

­»½­»½

éé­»½ ¨̈­»½é ¨̈é

é

¨̈̈

Page 68: Libro de-integrales

ײ¬»¹®¿½·-² °±® º®¿½½·±²»­ °¿®½·¿´»­

Ý«¿²¼± ¼»¾»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¼» «²¿ º«²½·-² ®¿½·±²¿´ ¿´¹«²¿­ ª»½»­ ²»½»­·¬¿³±­ ¬®¿²­óº±®³¿® »´ ·²¬»¹®¿²¼± ¼» ´¿ º«²½·-² ¼» ¬¿´ ³¿²»®¿ ¯«» ±¾¬»²¹¿³±­ «²¿ ¯«» ­» °«»¼¿ ·²¬»¹®¿®·²³»¼·¿¬¿³»²¬»ò

п®¿ »­± «¬·´·¦¿³±­ »´ ³7¬±¼± ¼» º®¿½½·±²»­ °¿®½·¿´»­ò

Û² »­¬» ¬·°± ¼» ·²¬»¹®¿´»­ »­¬«¼·¿®»³±­ ´±­ ¼±­ ½¿­±­ ³?­ ­»²½·´´±­ò

í Ý«¿²¼± »´ ¼»²±³·²¿¼±® ¬·»²» º¿½¬±®»­ ´·²»¿´»­ò

í Ý«¿²¼± »´ ¼»²±³·²¿¼±® ¬·»²» º¿½¬±®»­ ½«¿¼®?¬·½±­ò

Page 69: Libro de-integrales

Ü»²±³·²¿¼±®»­ ½±² º¿½¬±®»­ ´·²»¿´»­

Ý«¿²¼± ¿´ ­«³¿® ¼±­ º®¿½½·±²»­ ¿´¹»¾®¿·½¿ ±¾¬»²»³±­ «²¿ ²«»ª¿ º®¿½½·-² ½±² ¼»²±³·²¿¼±® ¯«»

¾·»² »®¿² ´·²»¿´»­ ¬±¼±­ô ¾·»² «²± ¼» ´±­ º¿½¬±®»­ »®¿ ½«¿¼®?¬·½± º¿½¬±®·¦¿¾´»ò

Û­¬±­ ­±² ´±­ ½¿­±­ ¯«» »­¬«¼·¿¬»³±­ »² »­¬¿ ­»½½·-²ò

Ô¿ ·¼»¿ °¿®¿ ®»­±´ª»® »­¬» ¬·°± ¼» ·²¬»¹®¿´»­ ½±²­·­¬» »² ¯«» ¬»²»³±­ ¯«» »¨°®»­¿® «²¿ º®¿½½·-²¯«» ²± ­» ·²¬»¹®¿ ¼» ³¿²»®¿ ·²³»¼·¿¬¿ ½±³± ­«³¿ ¼» ±¬®¿­ º®¿½½·±²»­ ¯«» ­3 ­» °«»¼»² ·²¬»¹®¿®·²³»¼·¿¬¿³»²¬»ò

Û¶»³°´± ïÆ

í ¨ ï

¨î ¨¼¨

Û³°»¦¿³±­ ²±¬¿²¼± ¯«» ´¿ ·²¬»¹®¿´ ²± »­ ·²³»¼·¿¬¿ô ¿­3 ¯«» ¬»²»³±­ ¯«» ¬®¿²­º±®³¿®´¿ò

п®¿ »³°»¦¿®ô °±¼»³±­ º¿½¬±®·¦¿® »´ ¼»²±³·²¿¼±®æ

Æí ¨ ï

¨ ø¨ ï÷¼¨

߸±®¿ô ¼¿¼± ¯«» ½«¿²¼± ­«³¿³±­ ¼±­ º®¿½½·±²»­ »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ±¾¬»²»³±­ »´ °®±¼«½¬±¼» ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¼» ´¿­ º®¿½½·±²»­ ¯«» ­» ­«³¿®±²ô ¬¿´ ª»¦ ­»¿ °±­·¾´» »¨°®»­¿® »´®¿¼·½¿²¼± ½±³± ´¿ ­«³¿ ¼» ¼±­ º®¿½½·±²»­ò

Û­ ¼»½·®ô ¼»¾»³±­ »²½±²¬®¿® ß § Þ ¬¿´»­ ¯«»æ

ß

¨õ

Þ

¨ ïã

í ¨ ï

¨ ø¨ ï÷

п®¿ »­±ô °®·³»®± ª¿³±­ ¿ ®»¿´·¦¿® ´¿ ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æ

ß

¨õ

Þ

¨ ïã

ß ø¨ ï÷ õ Þ ¨

¨ ø¨ ï÷ã

øß õ Þ÷ ¨ ß

¨ ø¨ ï÷

Û² ´¿ º®¿½½·-² ·²·½·¿´ô ¬»²3¿³±­ °±® ²«³»®¿¼±®æ í ¨ ïò

¨ ¼»´ ²«³»®¿¼±® »­ í § ¼» ¿½«»®¼± ¿ ´¿ ­«³¿ ¼» ´¿­ º®¿½½·±²»­ô ¼»¾» ½«³°´·®æß õ Þ ã íò

б® ±¬®¿ °¿®¬»ô »´ ¬7®³·²± ·²¼»°»²¼·»²¬» ¼»¾» ­»® ïô § °±® ´¿ ­«³¿ ¼» ´¿­ º®¿½½·±²»­¬»²»³±­æ ß ã ïò

Û²¬±²½»­ô ß ã ï § Þ ã îò

Æí ¨ ï

¨ ø¨ ï÷¼¨ ã

Ƽ¨

¨õ

Æî ¼¨

¨ ï

п®¿ »³°»¦¿®ô °±¼»³±­ º¿½¬±®·¦¿® »´ ¼»²±³·²¿¼±®æ

ï÷

¨ ï

߸±®¿ô ¼¿¼± ¯«» ½«¿²¼± ­«³¿³±­ ¼±­ º®¿½½·±²»­ »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ±¾¬»²»³±­ »´ °®±¼«½¬±ß¸±®¿ô ¼¿¼± ¯«» ½«¿²¼± ­«³¿³±­ ¼±­ º®¿½½·±²»­ »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ±¾¬»²»³±­ »´ °®±¼«½¬±ß¸±®¿ô ¼¿¼± ¯«» ½«¿²¼± ­«³¿³±­ ¼±­ º®¿½½·±²»­ »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ±¾¬»²»³±­ »´ °®±¼«½¬±¼» ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¼» ´¿­ º®¿½½·±²»­ ¯«» ­» ­«³¿®±²ô ¬¿´ ª»¦ ­»¿ °±­·¾´» »¨°®»­¿® »´®¿¼·½¿²¼± ½±³± ´¿ ­«³¿ ¼» ¼±­ º®¿½½·±²»­ò¼» ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¼» ´¿­ º®¿½½·±²»­ ¯«» ­» ­«³¿®±²ô ¬¿´ ª»¦ ­»¿ °±­·¾´» »¨°®»­¿® »´®¿¼·½¿²¼± ½±³± ´¿ ­«³¿ ¼» ¼±­ º®¿½½·±²»­ò

п®¿ »³°»¦¿®ô °±¼»³±­ º¿½¬±®·¦¿® »´ ¼»²±³·²¿¼±®æп®¿ »³°»¦¿®ô °±¼»³±­ º¿½¬±®·¦¿® »´ ¼»²±³·²¿¼±®æ

ï÷÷÷

¨ ï

߸±®¿ô ¼¿¼± ¯«» ½«¿²¼± ­«³¿³±­ ¼±­ º®¿½½·±²»­ »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ±¾¬»²»³±­ »´ °®±¼«½¬±ß¸±®¿ô ¼¿¼± ¯«» ½«¿²¼± ­«³¿³±­ ¼±­ º®¿½½·±²»­ »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ±¾¬»²»³±­ »´ °®±¼«½¬±ß¸±®¿ô ¼¿¼± ¯«» ½«¿²¼± ­«³¿³±­ ¼±­ º®¿½½·±²»­ »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ±¾¬»²»³±­ »´ °®±¼«½¬±ß¸±®¿ô ¼¿¼± ¯«» ½«¿²¼± ­«³¿³±­ ¼±­ º®¿½½·±²»­ »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ±¾¬»²»³±­ »´ °®±¼«½¬±ß¸±®¿ô ¼¿¼± ¯«» ½«¿²¼± ­«³¿³±­ ¼±­ º®¿½½·±²»­ »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ±¾¬»²»³±­ »´ °®±¼«½¬±ß¸±®¿ô ¼¿¼± ¯«» ½«¿²¼± ­«³¿³±­ ¼±­ º®¿½½·±²»­ »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ±¾¬»²»³±­ »´ °®±¼«½¬±ß¸±®¿ô ¼¿¼± ¯«» ½«¿²¼± ­«³¿³±­ ¼±­ º®¿½½·±²»­ »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ±¾¬»²»³±­ »´ °®±¼«½¬±¼» ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¼» ´¿­ º®¿½½·±²»­ ¯«» ­» ­«³¿®±²ô ¬¿´ ª»¦ ­»¿ °±­·¾´» »¨°®»­¿® »´®¿¼·½¿²¼± ½±³± ´¿ ­«³¿ ¼» ¼±­ º®¿½½·±²»­ò®¿¼·½¿²¼± ½±³± ´¿ ­«³¿ ¼» ¼±­ º®¿½½·±²»­ò¼» ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¼» ´¿­ º®¿½½·±²»­ ¯«» ­» ­«³¿®±²ô ¬¿´ ª»¦ ­»¿ °±­·¾´» »¨°®»­¿® »´¼» ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¼» ´¿­ º®¿½½·±²»­ ¯«» ­» ­«³¿®±²ô ¬¿´ ª»¦ ­»¿ °±­·¾´» »¨°®»­¿® »´ß¸±®¿ô ¼¿¼± ¯«» ½«¿²¼± ­«³¿³±­ ¼±­ º®¿½½·±²»­ »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ±¾¬»²»³±­ »´ °®±¼«½¬±¼» ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¼» ´¿­ º®¿½½·±²»­ ¯«» ­» ­«³¿®±²ô ¬¿´ ª»¦ ­»¿ °±­·¾´» »¨°®»­¿® »´¼» ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¼» ´¿­ º®¿½½·±²»­ ¯«» ­» ­«³¿®±²ô ¬¿´ ª»¦ ­»¿ °±­·¾´» »¨°®»­¿® »´¼» ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¼» ´¿­ º®¿½½·±²»­ ¯«» ­» ­«³¿®±²ô ¬¿´ ª»¦ ­»¿ °±­·¾´» »¨°®»­¿® »´ß¸±®¿ô ¼¿¼± ¯«» ½«¿²¼± ­«³¿³±­ ¼±­ º®¿½½·±²»­ »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ±¾¬»²»³±­ »´ °®±¼«½¬±ß¸±®¿ô ¼¿¼± ¯«» ½«¿²¼± ­«³¿³±­ ¼±­ º®¿½½·±²»­ »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ±¾¬»²»³±­ »´ °®±¼«½¬±ß¸±®¿ô ¼¿¼± ¯«» ½«¿²¼± ­«³¿³±­ ¼±­ º®¿½½·±²»­ »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ±¾¬»²»³±­ »´ °®±¼«½¬±¼» ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¼» ´¿­ º®¿½½·±²»­ ¯«» ­» ­«³¿®±²ô ¬¿´ ª»¦ ­»¿ °±­·¾´» »¨°®»­¿® »´®¿¼·½¿²¼± ½±³± ´¿ ­«³¿ ¼» ¼±­ º®¿½½·±²»­ò¼» ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¼» ´¿­ º®¿½½·±²»­ ¯«» ­» ­«³¿®±²ô ¬¿´ ª»¦ ­»¿ °±­·¾´» »¨°®»­¿® »´

Page 70: Libro de-integrales

Û­¬¿­ ·²¬»¹®¿´»­ ­±² ·²³»¼·¿¬¿­æ

Æí ¨ ï

¨ ø¨ ï÷¼¨ ã ´² ¨ õ î ´²ø¨ ï÷ õ Ý

Ç ¬»®³·²¿³±­ò

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ­«°±²»³±­ ¯«» »¨·­¬»² ¼±­ ª¿´±®»­ ßô Þ ¯«» ­¿¬·­º¿½»² ´¿­ ½±²¼·½·±²»­ °¿®¿ ¯«»æ

ß

³¨ õ ¾õ

Þ

²¨ õ ½ã

µ¨ õ ´

ø³¨ õ ¾÷ø²¨ õ ½÷

ß ø²¨ õ ½÷ õ Þ ø³¨ õ ¾÷

ø³¨ õ ¾÷ø²¨ õ ½÷ã

øß² õ Þ³÷ ¨ õ øß½ õ Þ¼÷

ø³¨ õ ¾÷ø²¨ õ ½÷ã

µ¨ õ ´

ø³¨ õ ¾÷ø²¨ õ ½÷

л®± °¿®¿ ¯«» ßô Þ ­¿¬·­º¿¹¿² ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ »² ´¿­ º®¿½½·±²»­ô ­» ®»¯«·»®» ¯«» ´±­

´·²»¿´ ­»¿ ·¹«¿´ °¿®¿ ¿³¾¿­ º®¿½½·±²»­ øß² õ Þ³ ã µ÷ô ¿­3 ½±³± °¿®¿ »´ ¬7®³·²± ·²¼»°»²¼·»²¬»øß½ õ Þ¼ ã ´÷ò

ß­3 ¯«» ¬»²»³±­ »´ ­·¹«·»²¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­æ

² ß õ ³ Þ ã µ½ ß õ ¼ Þ ã ´

Û­¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­ ¬»²¼®? ­±´«½·-² ­·»³°®» ¯«» »´ ¼»¬»®³·²¿²¬»æ

² ³½ ¼

ã ¼² ½³ êã ð

¯«» »­¬» ³7¬±¼± ²± ­·»³°®» º«²½·±²¿®?ò

Û¶»³°´± î

Æë ¨ õ ïé

¨î õ ê ¨ õ 뼨

Ю·³»®± ¼»¾»³±­ ±¾­»®ª¿® ¯«» »´ ¼»²±³·²¿¼±® ¼»´ ·²¬»¹®¿²¼± ­» °«»¼» º¿½¬±®·¦¿®æ

ë ¨ õ ïé

¨î õ ê ¨ õ ëã

ë ¨ õ ïé

ø¨ õ ï÷ø¨ õ ë÷

߸±®¿ ¾«­½¿³±­ ¼±­ ²&³»®±­ ßô Þ ¯«» ½«³°´¿²æ

ë ¨ õ ïé

ø¨ õ ï÷ø¨ õ ë÷ã

ß

¨ õ ïõ

Þ

¨ õ ë

Û³°»¦¿³±­ ¸¿½·»²¼± ´¿ ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æ

ë ¨ õ ïé

ø¨ õ ï÷ø¨ õ ë÷ã

ß

¨ õ ïõ

Þ

¨ õ ëã

ß ø¨ õ ë÷ õ Þ ø¨ õ ï÷

ø¨ õ ï÷ø¨ õ ë÷ã

øß õ Þ÷ ¨ õ øë ß õ Þ÷

ø¨ õ ï÷ø¨ õ ë÷

ß­3 ¯«» ¬»²»³±­ »´ ­·¹«·»²¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­æß­3 ¯«» ¬»²»³±­ »´ ­·¹«·»²¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­æß­3 ¯«» ¬»²»³±­ »´ ­·¹«·»²¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­æß­3 ¯«» ¬»²»³±­ »´ ­·¹«·»²¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­æ

² ß² ß½ ß½ ß õ

Û­¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­ ¬»²¼®? ­±´«½·-² ­·»³°®» ¯«» »´ ¼»¬»®³·²¿²¬»æÛ­¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­ ¬»²¼®? ­±´«½·-² ­·»³°®» ¯«» »´ ¼»¬»®³·²¿²¬»æ

½³

ß­3 ¯«» ¬»²»³±­ »´ ­·¹«·»²¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­æß­3 ¯«» ¬»²»³±­ »´ ­·¹«·»²¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­æß­3 ¯«» ¬»²»³±­ »´ ­·¹«·»²¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­æß­3 ¯«» ¬»²»³±­ »´ ­·¹«·»²¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­æß­3 ¯«» ¬»²»³±­ »´ ­·¹«·»²¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­æß­3 ¯«» ¬»²»³±­ »´ ­·¹«·»²¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­æß­3 ¯«» ¬»²»³±­ »´ ­·¹«·»²¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­æß­3 ¯«» ¬»²»³±­ »´ ­·¹«·»²¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­æ

² ß² ß² ß² ß² ß² ß² ß² ß½ ß½ ß½ ß½ ß½ ß½ ß² ß² ß² ß² ß½ ß õõ½ ß

Û­¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­ ¬»²¼®? ­±´«½·-² ­·»³°®» ¯«» »´ ¼»¬»®³·²¿²¬»æÛ­¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­ ¬»²¼®? ­±´«½·-² ­·»³°®» ¯«» »´ ¼»¬»®³·²¿²¬»æÛ­¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­ ¬»²¼®? ­±´«½·-² ­·»³°®» ¯«» »´ ¼»¬»®³·²¿²¬»æÛ­¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­ ¬»²¼®? ­±´«½·-² ­·»³°®» ¯«» »´ ¼»¬»®³·²¿²¬»æÛ­¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­ ¬»²¼®? ­±´«½·-² ­·»³°®» ¯«» »´ ¼»¬»®³·²¿²¬»æÛ­¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­ ¬»²¼®? ­±´«½·-² ­·»³°®» ¯«» »´ ¼»¬»®³·²¿²¬»æÛ­¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­ ¬»²¼®? ­±´«½·-² ­·»³°®» ¯«» »´ ¼»¬»®³·²¿²¬»æÛ­¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­ ¬»²¼®? ­±´«½·-² ­·»³°®» ¯«» »´ ¼»¬»®³·²¿²¬»æÛ­¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­ ¬»²¼®? ­±´«½·-² ­·»³°®» ¯«» »´ ¼»¬»®³·²¿²¬»æÛ­¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­ ¬»²¼®? ­±´«½·-² ­·»³°®» ¯«» »´ ¼»¬»®³·²¿²¬»æÛ­¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­ ¬»²¼®? ­±´«½·-² ­·»³°®» ¯«» »´ ¼»¬»®³·²¿²¬»æÛ­¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­ ¬»²¼®? ­±´«½·-² ­·»³°®» ¯«» »´ ¼»¬»®³·²¿²¬»æ

½³½³½³½³½³½³½³ ê

Page 71: Libro de-integrales

Û­¬± ·³°´·½¿æß õ Þ ã ë

ë ß õ Þ ã ïé

Ô¿ ­±´«½·-² ¼» »­¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­ ­» ±¾¬·»²» ³«´¬·°´·½¿²¼± ´¿ °®·³»®¿ »½«¿½·-² °±®ï § ­«³¿²¼±ò

ß­3 ±¾¬»²»³±­ ´¿ »½«¿½·-²æ ì ß ã ïîô ¯«» ·³°´·½¿ ß ã íò

Ü» ´¿ °®·³»®¿ »½«¿½·-²æ ß õ Þ ã ë § ¼¿¼± ¯«» ß ã íô ­» ±¾¬·»²»æ Þ ã îò

Û²¬±²½»­ô °±¼»³±­ »¨°®»­¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ ½±³±æ

Æë ¨ õ ïé

¨î õ ê ¨ õ 뼨 ã

Æí

¨ õ ïõ

î

¨ õ 뼨

ãÆ

í ¼¨

¨ õ ïõ

Æî ¼¨

¨ õ ë

Û­¬¿­ ·²¬»¹®¿´»­ ­±² ·²³»¼·¿¬¿­æ

Æë ¨ õ ïé

¨î õ ê ¨ õ 뼨 ã í ´²ø¨ õ ï÷ õ ë ´²ø¨ õ ë÷ õ Ý

Ç ¬»®³·²¿³±­ò

Û¶»³°´± í

Ý¿´½«´¿ ´¿ ·²¬»¹®¿´æÆ

é ¨ ê

¨ ø¨ õ î÷ø¨ í÷¼¨

Û³°»¦¿³±­ ²±¬¿²¼± ¯«» »´ ¼»²±³·²¿¼±® »­¬? º¿½¬±®·¦¿¼± § ¯«» ¬±¼±­ ­«­ º¿½¬±®»­ ­±²´·²»¿´»­ò

Ü¿¼± ¯«» ­±² ¬®»­ º¿½¬±®»­ô ¼»¾»³±­ »²½±²¬®¿® ¬®»­ ²&³»®±­ ßô Þô Ýô ¬¿´»­ ¯«»æ

é ¨ ê

¨ ø¨ õ î÷ø¨ í÷ã

ß

¨õ

Þ

¨ õ îõ

Ý

¨ í

ß´ ¸¿½»® ´¿ ­«³¿ ¼» ´¿­ º®¿½½·±²»­ ±¾¬»²»³±­æ

ß

¨õ

Þ

¨ õ îõ

Ý

¨ íã ã

ß ø¨ õ î÷ø¨ í÷ õ Þ¨ø¨ í÷ õ ݨø¨ õ î÷

¨ ø¨ õ î÷ø¨ í÷

ãøß õ Þ õ Ý÷ ¨î õ øîÝ ß íÞ÷ ¨ êß

¨ ø¨ õ î÷ø¨ í÷

º®¿½½·-² ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ ·²·½·¿´ 7­¬» ²± ¿°¿®»½»ò

Û²¬±²½»­ô ¬»²»³±­ »´ ­·¹«·»²¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­æ

ß õ Þ õ Ý ã ðß í Þ õ î Ý ã é

ê ß ã ê

Û³°»¦¿³±­ ²±¬¿²¼± ¯«» »´ ¼»²±³·²¿¼±® »­¬? º¿½¬±®·¦¿¼± § ¯«» ¬±¼±­ ­«­ º¿½¬±®»­ ­±²Û³°»¦¿³±­ ²±¬¿²¼± ¯«» »´ ¼»²±³·²¿¼±® »­¬? º¿½¬±®·¦¿¼± § ¯«» ¬±¼±­ ­«­ º¿½¬±®»­ ­±²Û³°»¦¿³±­ ²±¬¿²¼± ¯«» »´ ¼»²±³·²¿¼±® »­¬? º¿½¬±®·¦¿¼± § ¯«» ¬±¼±­ ­«­ º¿½¬±®»­ ­±²Û³°»¦¿³±­ ²±¬¿²¼± ¯«» »´ ¼»²±³·²¿¼±® »­¬? º¿½¬±®·¦¿¼± § ¯«» ¬±¼±­ ­«­ º¿½¬±®»­ ­±²

é ¨

÷ø¨

Û³°»¦¿³±­ ²±¬¿²¼± ¯«» »´ ¼»²±³·²¿¼±® »­¬? º¿½¬±®·¦¿¼± § ¯«» ¬±¼±­ ­«­ º¿½¬±®»­ ­±²Û³°»¦¿³±­ ²±¬¿²¼± ¯«» »´ ¼»²±³·²¿¼±® »­¬? º¿½¬±®·¦¿¼± § ¯«» ¬±¼±­ ­«­ º¿½¬±®»­ ­±²Û³°»¦¿³±­ ²±¬¿²¼± ¯«» »´ ¼»²±³·²¿¼±® »­¬? º¿½¬±®·¦¿¼± § ¯«» ¬±¼±­ ­«­ º¿½¬±®»­ ­±²Û³°»¦¿³±­ ²±¬¿²¼± ¯«» »´ ¼»²±³·²¿¼±® »­¬? º¿½¬±®·¦¿¼± § ¯«» ¬±¼±­ ­«­ º¿½¬±®»­ ­±²Û³°»¦¿³±­ ²±¬¿²¼± ¯«» »´ ¼»²±³·²¿¼±® »­¬? º¿½¬±®·¦¿¼± § ¯«» ¬±¼±­ ­«­ º¿½¬±®»­ ­±²

îî

é ¨̈éé

÷ø¨̈̈î÷ø÷ø¨÷ø÷ø ÷÷

Page 72: Libro de-integrales

Ü» ´¿ ¬»®½»®¿ »½«¿½·-² »²½±²¬®¿³±­ ·²³»¼·¿¬¿³»²¬» ¯«» ß ã ïò

Í«­¬·¬«§»²¼± »­¬» ª¿´±® »² ´¿­ ±¬®¿­ ¼±­ »½«¿½·±²»­ ±¾¬»²»³±­ «² ÍòÛòÔò ¼» î îæ

Þ õ Ý ã ïí Þ õ î Ý ã è

Ô¿ ­±´«½·-² ¼» »­¬» ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­ »­æ Þ ã îô § Ý ã ïò

߸±®¿ °±¼»³±­ ­«­¬·¬«·® ´±­ ª¿´±®»­ ¼» ßô Þ § Ý »² ´¿ º®¿½½·-² °¿®½·¿´æ

Æé ¨ ê

¨ ø¨ õ î÷ø¨ í÷¼¨ ã

Ƽ¨

¨îÆ

¼¨

¨ õ îõ

Ƽ¨

¨ í

Ý¿¼¿ «²¿ ¼» ´¿­ ·²¬»¹®¿´»­ »­ ·²³»¼·¿¬¿æ

Æé ¨ ê

¨ ø¨ õ î÷ø¨ í÷¼¨ ã ´² ¨ î ´²ø¨ õ î÷ õ ´²ø¨ í÷ õ Ý

ßô Þ § Ý»²¬»®±­ò л®± »­± ²± ­·»³°®» ±½«®®·®?ò

Û¶»³°´± ìÆ

¨ õ î

ø¨ ï÷ø¨ õ ë÷øî ¨ ï÷¼¨

Û³°»¦¿³±­ »­½®·¾·»²¼± »´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æ

ï ¨ õ î

ø¨ ï÷ø¨ õ ë÷øî ¨ ï÷ã

ß

¨ õ ïõ

Þ

¨ õ ëõ

Ý

î ¨ ï

߸±®¿ ²»½»­·¬¿³±­ ½¿´½«´¿® ßô Þ § Ý ¯«» ¸¿¹¿² ¯«» »­¬¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ò

¨ õ î

ø¨ ï÷ø¨ õ ë÷øî ¨ ï÷ã

øîß õ îÞ õ Ý÷ ¨î õ øçß íÞ õ ìÝ÷ ¨ ëß õ Þ õ ìÝ

ø¨ ï÷ø¨ õ ë÷øî ¨ ï÷

Û­¬± ²±­ ­«¹·»®» ®»­±´ª»® »´ ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­æ

î ß õ î Þ õ Ý ã ðç ß í Þ õ ì Ý ã ïë ß õ Þ õ ì Ý ã î

Ô¿ ­±´«½·-² ¼» »­¬» ÍòÛòÔò »­æ ß ã ïñïðô Þ ã ïñïðô § Ý ã îñëò

ß´ ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ ±¾¬»²»³±­æ

ƨ õ î

ø¨ ï÷ø¨ õ ë÷øî ¨ ï÷¼¨ ã

Æï

ïð

ï

¨ ï

ï

ïð

ï

¨ õ ëõ

î

ë

ï

î ¨ H

ãï

ïð

Ƽ¨

¨ ï

ï

ïð

Ƽ¨

¨ õ ëõ

ï

ë

Æî ¼¨

î ¨ ï

ãï

ïð´²ø¨ ï÷

ï

ïð´²ø¨ õ ë÷ õ

ï

ë´²øî ¨ ï÷ õ Ý

¯«» ¸¿¹¿² ¯«» »­¬¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ò¯«» ¸¿¹¿² ¯«» »­¬¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ò¯«» ¸¿¹¿² ¯«» »­¬¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ò¯«» ¸¿¹¿² ¯«» »­¬¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ò

¨ õ

Æ

ï÷ø¨

Û³°»¦¿³±­ »­½®·¾·»²¼± »´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æÛ³°»¦¿³±­ »­½®·¾·»²¼± »´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æÛ³°»¦¿³±­ »­½®·¾·»²¼± »´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æ

ß

õ ï

¯«» ¸¿¹¿² ¯«» »­¬¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ò¯«» ¸¿¹¿² ¯«» »­¬¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ò¯«» ¸¿¹¿² ¯«» »­¬¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ò¯«» ¸¿¹¿² ¯«» »­¬¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ò¯«» ¸¿¹¿² ¯«» »­¬¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ò

¨ õ

ÆÆ

ïïïï÷ø÷øïïï÷ø÷ø÷ø÷ø÷ø÷ø÷ø¨̈÷ø¨÷ø÷ø

Û³°»¦¿³±­ »­½®·¾·»²¼± »´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æÛ³°»¦¿³±­ »­½®·¾·»²¼± »´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æÛ³°»¦¿³±­ »­½®·¾·»²¼± »´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æÛ³°»¦¿³±­ »­½®·¾·»²¼± »´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æÛ³°»¦¿³±­ »­½®·¾·»²¼± »´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æÛ³°»¦¿³±­ »­½®·¾·»²¼± »´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æÛ³°»¦¿³±­ »­½®·¾·»²¼± »´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æÛ³°»¦¿³±­ »­½®·¾·»²¼± »´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æÛ³°»¦¿³±­ »­½®·¾·»²¼± »´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æÛ³°»¦¿³±­ »­½®·¾·»²¼± »´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æÛ³°»¦¿³±­ »­½®·¾·»²¼± »´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æ

ßßßßßß

õ ïïï

Page 73: Libro de-integrales

Û¶»³°´± ë Æç ¨î õ ì ¨ ïï

ø¨ õ ï÷ø¨ õ î÷ø¨ í÷¼¨

ݱ³± ´±­ º¿½¬±®»­ »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ­±² ¬±¼±­ ´·²»¿´»­ô ­«°±²»³±­ ¯«» ¸¿§ ²&³»®±­ ®»¿´»­ßô Þô Ý ¯«» ­¿¬·­º¿½»²æ

ç ¨î õ ì ¨ ïï

ø¨ õ ï÷ø¨ õ î÷ø¨ í÷ã

ß

¨ õ ïõ

Þ

¨ õ îõ

Ý

¨ í

ß´ ®»¿´·¦¿® ´¿ ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­ ¯«» ¯«»¼- ·²¼·½¿¼¿ ±¾¬»²»³±­æ

ç ¨î õ ì ¨ ïï

ø¨ õ ï÷ø¨ õ î÷ø¨ í÷ã

øß õ Þ õ Ý÷ ¨î õ ø ß îÞ õ íÝ÷ ¨ õ ø êß íÞ õ îÝ÷

ø¨ õ ï÷ø¨ õ î÷ø¨ í÷

Û²¬±²½»­ô »´ ­·­¬»³¿ ¼» »½«¿½·±²»­ ´·²»¿´»­ ¯«» ¼»¾»³±­ ®»­±´ª»® »­æ

ß õ Þ õ Ý ã çß îÞ õ íÝ ã ì

êß íÞ õ îÝ ã ïï

Ô¿ ­±´«½·-² ¼» »­¬» ÍòÛòÔò »­æ ß ã îô Þ ã í § Ý ã ìò

Û²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æ

Æç ¨î õ ì ¨ ïï

ø¨ õ ï÷ø¨ õ î÷ø¨ í÷¼¨ ã

Æî

¨ õ ïõ

í

¨ õ îõ

ì

¨ í¼¨

ãÆ

î

¨ õ ïõ

Æí

¨ õ  õ

Æì

¨ í¼¨

ã î ´²ø¨ õ ï÷ õ í ´²ø¨ õ î÷ õ ì ´²ø¨ í÷ õ Ý

Ç ¬»®³·²¿³±­ò

뽫»®¼¿ ¯«» ²± ­·»³°®» »­ °±­·¾´» »¨°®»­¿® «²¿ º®¿½½·-² ½±³± ­«³¿ ¼» ª¿®·¿­ º®¿½½·±²»­ò

¨̈ õõí ´²

õÆ

í

îô ÞÞ ã í §

Û²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æÛ²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æ

î

õ ïõ

¨̈ õõõí ´²

õÆ

í

ßß

îô ÞÞÞ ãã

Û²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æÛ²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æÛ²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æÛ²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æ

í §

Û²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æÛ²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æÛ²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æÛ²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æÛ²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æÛ²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æÛ²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æ

îîîîî

õ ïïïïõõ

Page 74: Libro de-integrales

Ü»²±³·²¿¼±®»­ ½±² º¿½¬±®»­ ½«¿¼®?¬·½±­

Û´ ­·¹«·»²¬» ½¿­± ¼» ·²¬»¹®¿´»­ ¯«» ­» ®»­«»´ª»² °±® »´ ³7¬±¼± ¼» º®¿½½·±²»­ °¿®½·¿´»­ »­ »² »´ ¯«»»² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ¬»²»³±­ º¿½¬±®»­ ½«¿¼®?¬·½±­ò

Û² »­¬» ½¿­±ô ¬»²¼®»³±­ «² º¿½¬±® ¯«» ²± ­» °«»¼» º¿½¬±®·¦¿® ½±³± «² °±´·²±³·± ´·²»¿´ò б®»¶»³°´±æ ¨î õ ëò

Í«°±²¹¿³±­ ¯«» ¼»­»¿³±­ »¨°®»­¿® ´¿ ­·¹«·»²¬» º®¿½½·-² ½±³± ´¿ ­«³¿ ¼» ±¬®¿­ º®¿½½·±²»­æ

¿ ¨ õ ¾

¨ ¨î õ ïã

ß

¨õ

Þ ¨ õ Ý

¨î õ ï

Ò±­±¬®±­ ­«°±²»³±­ ¯«» ¸¿§ ²&³»®±­ ßô Þô Ý ¯«» ­¿¬·­º¿½»² ´¿ »½«¿½·-² ¿²¬»®·±®ò Í· »­± »­ ª»®¼¿¼ô¬»²»³±­æ

¿ ¨ õ ¾

¨ ¨î õ ïã

ß

¨õ

Þ ¨ õ Ý

¨î õ ï

ãß ø¨î õ ï÷ õ øÞ ¨ õ Ý÷ ¨

¨ ø¨î õ ï÷

ãß ¨î õ ß õ Þ ¨î õ Ý ¨

¨ ø¨î õ ï÷

ãøß õ Þ÷ ¨î õ Ý ¨ õ ß

¨ ¨î õ ï

ݱ³± ³»²½·±²¿³±­ »² ´¿ ­»½½·-² ¿²¬»®·±®ô °¿®¿ ¯«» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ ­» ®»¯«·»®» ¯«» ´±­

½«¿²¼±æß õ Þ ã ð

Ý ã ¿ß ã ¾

б® ´¿ °®·³»®¿ »½«¿½·-² ¬»²»³±­ ¯«» Þ ã ßô °»®± °±® ´¿ ¬»®½»®¿ »½«¿½·-² ¬»²»³±­ ¯«» ß ã ¾ô´«»¹±ô Þ ã ¾ò Ì¿³¾·7²ô °±® ´¿ ­»¹«²¼¿ »½«¿½·-² ¬»²»³±­ ¯«» Ý ã ¿ò

Û²¬±²½»­ô °±¼»³±­ »­½®·¾·®´¿ º®¿½½·-² ·²·½·¿´ ¼»´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æ

¿ ¨ õ ¾

¨ ¨î õ ïã

¾

¨õ

¾ ¨ õ ¿

¨î õ ï

Û´ ­·¹«·»²¬» »¶»³°´± ³«»­¬®¿ «² ½¿­± ²«³7®·½± ¼» »­¬» ¿²?´·­·­ò

Û¶»³°´± ï

Ý¿´½«´¿ ´¿ ·²¬»¹®¿´æÆ

î ¨ õ ï

¨ ø¨î õ ï÷¼¨

Ü» ¿½«»®¼± ¿´ ¿²?´·­·­ ¿²¬»®·±®ô ¬»²»³±­æ

î ¨ õ ï

¨ ¨î õ ïã

ï

¨õ

¨ õ î

¨î õ ï

Û² »­¬» ½¿­± ¿ ã îô ¾ ã ïò

ô °»®± °±® ´¿ ¬»®½»®¿ »½«¿½·-² ¬»²»³±­ ¯«»ô °»®± °±® ´¿ ¬»®½»®¿ »½«¿½·-² ¬»²»³±­ ¯«»

ã

ݱ³± ³»²½·±²¿³±­ »² ´¿ ­»½½·-² ¿²¬»®·±®ô °¿®¿ ¯«» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ ­» ®»¯«·»®» ¯«» ´±­Ý±³± ³»²½·±²¿³±­ »² ´¿ ­»½½·-² ¿²¬»®·±®ô °¿®¿ ¯«» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ ­» ®»¯«·»®» ¯«» ´±­

ã ð

ô °»®± °±® ´¿ ¬»®½»®¿ »½«¿½·-² ¬»²»³±­ ¯«»ô °»®± °±® ´¿ ¬»®½»®¿ »½«¿½·-² ¬»²»³±­ ¯«»ô °»®± °±® ´¿ ¬»®½»®¿ »½«¿½·-² ¬»²»³±­ ¯«»

ããã

ݱ³± ³»²½·±²¿³±­ »² ´¿ ­»½½·-² ¿²¬»®·±®ô °¿®¿ ¯«» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ ­» ®»¯«·»®» ¯«» ´±­Ý±³± ³»²½·±²¿³±­ »² ´¿ ­»½½·-² ¿²¬»®·±®ô °¿®¿ ¯«» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ ­» ®»¯«·»®» ¯«» ´±­Ý±³± ³»²½·±²¿³±­ »² ´¿ ­»½½·-² ¿²¬»®·±®ô °¿®¿ ¯«» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ ­» ®»¯«·»®» ¯«» ´±­Ý±³± ³»²½·±²¿³±­ »² ´¿ ­»½½·-² ¿²¬»®·±®ô °¿®¿ ¯«» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ ­» ®»¯«·»®» ¯«» ´±­Ý±³± ³»²½·±²¿³±­ »² ´¿ ­»½½·-² ¿²¬»®·±®ô °¿®¿ ¯«» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ ­» ®»¯«·»®» ¯«» ´±­Ý±³± ³»²½·±²¿³±­ »² ´¿ ­»½½·-² ¿²¬»®·±®ô °¿®¿ ¯«» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ ­» ®»¯«·»®» ¯«» ´±­Ý±³± ³»²½·±²¿³±­ »² ´¿ ­»½½·-² ¿²¬»®·±®ô °¿®¿ ¯«» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ ­» ®»¯«·»®» ¯«» ´±­Ý±³± ³»²½·±²¿³±­ »² ´¿ ­»½½·-² ¿²¬»®·±®ô °¿®¿ ¯«» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ ­» ®»¯«·»®» ¯«» ´±­Ý±³± ³»²½·±²¿³±­ »² ´¿ ­»½½·-² ¿²¬»®·±®ô °¿®¿ ¯«» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ ­» ®»¯«·»®» ¯«» ´±­

ã ððððð¿

Page 75: Libro de-integrales

Û³°»¦¿³±­ ¸¿½·»²¼± ´¿ ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æ

î ¨ õ ï

¨ ¨î õ ïã

ß

¨õ

Þ ¨ õ Ý

¨î õ ï

ãß ø¨î õ ï÷ õ øÞ ¨ õ Ý÷ ¨

¨ ø¨î õ ï÷

ãøß õ Þ÷ ¨î õ Ý ¨ õ ß

¨ ¨î õ ï

Û²¬±²½»­ô °¿®¿ ¯«» ­» ½«³°´¿ ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ®»¯«·»®»æ

ß õ Þ ã ð

Ý ã î

ß ã ï

Ü» ¿¯«3 ¯«»æ ß ã ïô Þ ã ï § Ý ã îò

ß´ ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿­ º®¿½½·±²»­ ±¾¬»²»³±­æ

î ¨ õ ï

¨ ¨î õ ïã

ï

¨õ

¨ õ î

¨î õ ï

Û²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ ­» °«»¼» ®»»­½®·¾·® ½±³±æ

Æî ¨ õ ï

¨ ¨î õ H ã

Æï

¨õ

¨ õ î

¨î õ H

ãÆ

¼¨

¨õ

ƨ õ î

¨î õ H

ã ´² ¨ï

î

Æî ¨ ¼¨

¨î õ ïõ

Æî ¼¨

¨î õ ï

ã ´² ¨ï

î´²ø¨î õ ï÷ õ î

Ƽ¨

¨î õ ï

߸±®¿ ¼»¾»³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ·²¬»¹®¿´ °»²¼·»²¬»ò

л®± »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ¿°¿®»½» »² »´ º±®³«´¿®·± ¼» ®»¹´¿­ ¼» ·²¬»¹®¿½·-² ø®»¹´¿ ø¨ª·÷÷ò

Û²¬±²½»­ô Æî ¨ õ ï

¨ ¨î õ H ã ´² ¨

ï

î´²ø¨î õ ï÷ õ î ¿®½¬¿²ø¨î õ ï÷ õ Ý

×¹«¿´ °«»¼» ±½«®®·® ¯«» ¿°¿®»¦½¿ «² º¿½¬±® ´·²»¿´ »´»ª¿¼± ¿´ ½«¿¼®¿¼± »² »´ ¼»²±³·²¿¼±® ¼» ´¿º®¿½½·-² ¯«» ¯«»®»³±­ »¨°®»­¿® ½±³± ­«³¿ ¼» ±¬®¿­ º®¿½½·±²»­ò

Û¶»³°´± î

Ý¿´½«´¿ ´¿ ·²¬»¹®¿´æÆ

ë ¨ í

øî ¨ õ ï÷

ß´ ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿­ º®¿½½·±²»­ ±¾¬»²»³±­æß´ ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿­ º®¿½½·±²»­ ±¾¬»²»³±­æ

¨ ¼¼¨

ï

õ î

¨î õ

¨

î ¨

¨ ¨

Û²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ ­» °«»¼» ®»»­½®·¾·® ½±³±æÛ²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ ­» °«»¼» ®»»­½®·¾·® ½±³±æ

Æïïõ

¨õõ

¨Æ

ß´ ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿­ º®¿½½·±²»­ ±¾¬»²»³±­æß´ ­«­¬·¬«·® »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿­ º®¿½½·±²»­ ±¾¬»²»³±­æ

¨ ¼¼¨¼¨

ï

õ î

¨î õ

¨̈̈

î ¨î ¨̈

¨ ¨̈

Û²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ ­» °«»¼» ®»»­½®·¾·® ½±³±æÛ²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ ­» °«»¼» ®»»­½®·¾·® ½±³±æÛ²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ ­» °«»¼» ®»»­½®·¾·® ½±³±æÛ²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ ­» °«»¼» ®»»­½®·¾·® ½±³±æÛ²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ ­» °«»¼» ®»»­½®·¾·® ½±³±æÛ²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ ­» °«»¼» ®»»­½®·¾·® ½±³±æÛ²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ ­» °«»¼» ®»»­½®·¾·® ½±³±æÛ²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ ­» °«»¼» ®»»­½®·¾·® ½±³±æÛ²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ ­» °«»¼» ®»»­½®·¾·® ½±³±æÛ²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ ­» °«»¼» ®»»­½®·¾·® ½±³±æ

ïÆ

ïïïï

¨̈õõõ

ï

¨õõõõ

¨̈ÆÆÆ

Page 76: Libro de-integrales

Û³°»¦¿³±­ »¨°®»­¿²¼± ´¿ º®¿½½·-² ¼»´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æ

ë ¨ í

øî ¨ õ ï÷îã

ß

î ¨ õ ïõ

Þ

øî ¨ õ ï÷î

ãß øî ¨ õ ï÷ õ Þ

øî ¨ õ ï÷î

ãøî ß÷ ¨ õ Åß õ ÞÃ

øî ¨ õ ï÷î

Ü» ¿¯«3 ¯«»æ î ß ã ëô ¯«» ·³°´·½¿æ ß ã ëñîò

Ì¿³¾·7²ô ß õ Þ ã íô ¯«» ·³°´·½¿æ Þ ã ïïñîò

Ô¿ ·²¬»¹®¿´ °«»¼» ®»»­½®·¾·®­» ½±³±æ

Æë ¨ í

øî ¨ õ ï÷ ã

Æëñî

î ¨ õ ï

ïïñî

øî ¨ õ ï÷

ãë

î

Æî ¼¨

î øî ¨ õ ï÷

ïï

î

Æî ¼¨

î øî ¨ õ ï÷î

ãë

ì´²øî ¨ õ ï÷ õ

ïï

ì

ï

î ¨ õ ïõ Ý

Ѿ­»ª¿ ¯«» °¿®¿ ½¿´½«´¿® ´¿ &´¬·³¿ ·²¬»¹®¿´ «¬·´·¦¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ øª·÷ ¼±²¼» ª ã î ¨ õ ïô §² ã îò

Û¶»³°´± í

Ý¿´½«´¿Æ

ïë ¨ ë

ø¨î õ ï÷øî ¨î õ é÷¼¨

Û¨°®»­¿³±­ ´¿ º®¿½½·-² ¼»´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± ´¿ ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æ

ïë ¨ ë

ø¨î õ ï÷øî ¨î õ é÷ã

ß ¨ õ Þ

¨î õ ïõ

Ý ¨ õ Ü

î ¨î õ é

ãøß ¨ õ Þ÷øî ¨î õ é÷ õ øÝ ¨ õ Ü÷ø¨î õ ï÷

ø¨î õ ï÷øî ¨î õ é÷

ãøî ß õ Ý÷ ¨í õ øî Þ õ Ü÷ ¨î õ øé ß õ Ý÷ ¨ õ Åé Þ õ ÜÃ

ø¨î õ ï÷øî ¨î õ é÷

п®¿ ¯«» ´¿ ·¹«¿´¼¿¼ ­» ½«³°´¿ ­» ®»¯«·»®» ¯«»æ

î ß õ Ý ã ð ÷ Ý ã î ß

î Þ õ Ü ã ð ÷ Ü ã î Þ

é ß õ Ý ã ïë ÷ ë ß ã ïë ÷

é Þ õ Ü ã ë ÷ ë Þ ã ë ÷ Þ ã ï

Ü» ¿¯«3 ¯«»æ ß ã íô Þ ã ïô Ý ã êô Ü ã îò

Ѿ­»ª¿ ¯«» °¿®¿ ½¿´½«´¿® ´¿ &´¬·³¿ ·²¬»¹®¿´ «¬·´·¦¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ øª·÷ ¼±²¼»Ñ¾­»ª¿ ¯«» °¿®¿ ½¿´½«´¿® ´¿ &´¬·³¿ ·²¬»¹®¿´ «¬·´·¦¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ øª·÷ ¼±²¼»

ëë

õ é÷¼

Ѿ­»ª¿ ¯«» °¿®¿ ½¿´½«´¿® ´¿ &´¬·³¿ ·²¬»¹®¿´ «¬·´·¦¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ øª·÷ ¼±²¼»Ñ¾­»ª¿ ¯«» °¿®¿ ½¿´½«´¿® ´¿ &´¬·³¿ ·²¬»¹®¿´ «¬·´·¦¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ øª·÷ ¼±²¼»Ñ¾­»ª¿ ¯«» °¿®¿ ½¿´½«´¿® ´¿ &´¬·³¿ ·²¬»¹®¿´ «¬·´·¦¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ øª·÷ ¼±²¼»Ñ¾­»ª¿ ¯«» °¿®¿ ½¿´½«´¿® ´¿ &´¬·³¿ ·²¬»¹®¿´ «¬·´·¦¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ øª·÷ ¼±²¼»Ñ¾­»ª¿ ¯«» °¿®¿ ½¿´½«´¿® ´¿ &´¬·³¿ ·²¬»¹®¿´ «¬·´·¦¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ øª·÷ ¼±²¼»Ñ¾­»ª¿ ¯«» °¿®¿ ½¿´½«´¿® ´¿ &´¬·³¿ ·²¬»¹®¿´ «¬·´·¦¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ øª·÷ ¼±²¼»Ñ¾­»ª¿ ¯«» °¿®¿ ½¿´½«´¿® ´¿ &´¬·³¿ ·²¬»¹®¿´ «¬·´·¦¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ øª·÷ ¼±²¼»Ñ¾­»ª¿ ¯«» °¿®¿ ½¿´½«´¿® ´¿ &´¬·³¿ ·²¬»¹®¿´ «¬·´·¦¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ øª·÷ ¼±²¼»

ëëë

õ ééé÷éé÷÷¼¼

Page 77: Libro de-integrales

Û²¬±²½»­ô ´¿ ·²¬»¹®¿´ ­» °«»¼» ®»»­½®·¾·® ½±³±æÆ

ïë ¨ ë

ø¨î õ ï÷øî ¨î õ é÷¼¨ ã

Æí ¨ ï

¨î õ ïõ

ê ¨ õ î

î ¨î õ 鼨

ãÆ

í ¨ ï

¨î õ H õ

Æê ¨ õ î

î ¨î õ 鼨

߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ­»°¿®¿® ½¿¼¿ ·²¬»¹®¿´ »² ¼±­ °¿®¬»­æÆ

ïë ¨ ë

ø¨î õ ï÷øî ¨î õ é÷¼¨ ã

í

î

Æî ¨ ¼¨

¨î õ ï

Ƽ¨

¨î õ ï

ê

ì

Æì¨ ¼¨

î ¨î õ éõ î

Ƽ¨

î ¨î õ é

ãí

î´²ø¨î õ ï÷ ¿®½¬¿²ø¨î õ ï÷

í

î´²øî ¨î õ é÷ õ î

Ƽ¨

î ¨î õ é

ªî ã î ¨îô ¯«» ·³°´·½¿æ ª ã°

î ¨ô § ¬¿³¾·7²æ ¼ª ã°

î ¼¨ò

¿î ã ¿ ã°

éò

Í«­¬·¬«§»²¼± »­¬±­ ª¿´±®»­ ±¾¬»²»³±­æÆ

ïë ¨ ë

ø¨î õ ï÷øî ¨î õ é÷¼¨ ã

í

î´²ø¨î õ ï÷ ¿®½¬¿²ø¨î õ ï÷

í

î´²øî ¨î õ é÷õ

î°

é¿®½¬¿²

¨°

éõÝ

½±³± ­«³¿ ¼» ±¬®¿­ º®¿½½·±²»­ ¸¿² ­·¼± »²¬»®±­ò Û­ ±¾ª·± ­«°±²»® ¯«» »­± ²± ­·»³°®» ­» ½«³°´·®?ò

Û¶»³°´± ì

Ý¿´½«´¿

Æí ¨ õ î

ø¨ õ ï÷ø¨î õ ë÷¼¨

λ»­½®·¾·³±­ »´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± «²¿ ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æ

í ¨ õ î

ø¨ õ ï÷ø¨î õ ë÷ã

ß

¨ õ ïõ

Þ ¨ õ Ý

¨î õ ë

ãß ø¨î õ ë÷ õ øÞ ¨ õ Ý÷ø¨ õ ï÷

ø¨ õ ï÷ø¨î õ ë÷

ãøß õ Þ÷ ¨î õ øÞ õ Ý÷ ¨ õ Åë ß õ ÝÃ

ø¨ õ ï÷ø¨î õ ë÷

߸±®¿ ¬»²»³±­ ¯«» ®»­±´ª»® »´ ­·¹«·»²¬» ÍòÛòÔòæ

ß õ Þ ã ð Þ õ Ý ã í § ë ß õ Ý ã î

Ô¿ ­±´«½·-² ¼» »­¬» ÍòÛòÔò »­æ ß ã ïñêô Þ ã ïñê § Ý ã ïéñêò

Í«­¬·¬«§»²¼± »­¬±­ ª¿´±®»­ »² ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¬»²»³±­æÆ

í ¨ õ î

ø¨ õ ï÷ø¨î õ ë÷¼¨ ã

Æïñê

¨ õ ïõ

øïñê÷ ¨ õ ïéñê

¨î õ 뼨

ãï

ê

Ƽ¨

¨ õ ïõ

ï

øê÷øî÷

Æî¨ ¼¨

¨î õ ëõ

ïé

ê

Ƽ¨

¨î õ ë

ãï

ê´²ø¨ õ ï÷ õ

ï

ïî´²ø¨î õ ë÷ õ

ïé

ê°

ë¿®½¬¿²

¨°

ëõ Ý

»´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± «²¿ ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æ»´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± «²¿ ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æ»´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± «²¿ ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æ

½±³± ­«³¿ ¼» ±¬®¿­ º®¿½½·±²»­ ¸¿² ­·¼± »²¬»®±­ò Û­ ±¾ª·± ­«°±²»® ¯«» »­± ²± ­·»³°®» ­» ½«³°´·®?ò½±³± ­«³¿ ¼» ±¬®¿­ º®¿½½·±²»­ ¸¿² ­·¼± »²¬»®±­ò Û­ ±¾ª·± ­«°±²»® ¯«» »­± ²± ­·»³°®» ­» ½«³°´·®?ò½±³± ­«³¿ ¼» ±¬®¿­ º®¿½½·±²»­ ¸¿² ­·¼± »²¬»®±­ò Û­ ±¾ª·± ­«°±²»® ¯«» »­± ²± ­·»³°®» ­» ½«³°´·®?ò

õ îî õõ ë÷÷

»´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± «²¿ ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æ»´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± «²¿ ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æ»´ ·²¬»¹®¿²¼± ½±³± «²¿ ­«³¿ ¼» º®¿½½·±²»­æ

½±³± ­«³¿ ¼» ±¬®¿­ º®¿½½·±²»­ ¸¿² ­·¼± »²¬»®±­ò Û­ ±¾ª·± ­«°±²»® ¯«» »­± ²± ­·»³°®» ­» ½«³°´·®?ò½±³± ­«³¿ ¼» ±¬®¿­ º®¿½½·±²»­ ¸¿² ­·¼± »²¬»®±­ò Û­ ±¾ª·± ­«°±²»® ¯«» »­± ²± ­·»³°®» ­» ½«³°´·®?ò½±³± ­«³¿ ¼» ±¬®¿­ º®¿½½·±²»­ ¸¿² ­·¼± »²¬»®±­ò Û­ ±¾ª·± ­«°±²»® ¯«» »­± ²± ­·»³°®» ­» ½«³°´·®?ò½±³± ­«³¿ ¼» ±¬®¿­ º®¿½½·±²»­ ¸¿² ­·¼± »²¬»®±­ò Û­ ±¾ª·± ­«°±²»® ¯«» »­± ²± ­·»³°®» ­» ½«³°´·®?ò½±³± ­«³¿ ¼» ±¬®¿­ º®¿½½·±²»­ ¸¿² ­·¼± »²¬»®±­ò Û­ ±¾ª·± ­«°±²»® ¯«» »­± ²± ­·»³°®» ­» ½«³°´·®?ò½±³± ­«³¿ ¼» ±¬®¿­ º®¿½½·±²»­ ¸¿² ­·¼± »²¬»®±­ò Û­ ±¾ª·± ­«°±²»® ¯«» »­± ²± ­·»³°®» ­» ½«³°´·®?ò

¨ õõõõõõî

îõ îõ îõõõ îîîî õõõõ ëëõ ëë÷ëë÷

Page 78: Libro de-integrales

ݱ³± °±¼®?­ ª»®ô »² ¹»²»®¿´ô °¿®¿ ·²¬»¹®¿® «²¿ º«²½·-² ¼» ´¿ º±®³¿æ

Æвø¨÷

ϳø¨÷¼¨ ã

Æвø¨÷

ø¿ï ¨ õ ¾ï÷ø¿î¨ õ ¾î÷ ø¿³¨ õ ¾³÷¼¨

¼±²¼» ϳø¨÷ »­ «² °±´·²±³·± ¼» ¹®¿¼± ³ ¯«» »­ º¿½¬±®·¦¿¾´» »² ³ º¿½¬±®»­ ´·²»¿´»­ ¯«» ²± ­»®»°·¬»²ô ¾«­½¿³±­ ²&³»®±­ ßïô ßîô ô ß³ ¬¿´»­ ¯«»æ

вø¨÷

ø¿ï ¨ õ ¾ï÷ø¿î¨ õ ¾î÷ ø¿³¨ õ ¾³÷ã

ßï

¿ï¨ õ ¾ïõ

ßî

¿î¨ õ ¾îõ õ

ß³

¿³¨ õ ¾³

п®¿ »´ ½¿­± »² ¯«» «²± ± ª¿®·±­ ¼» ´±­ º¿½¬±®»­ ­» ®»°·¬¿² «­¿³±­ «² ¬7®³·²± °¿®¿ ½¿¼¿ «²± ¼»´±­ º¿½¬±®»­ ½±² »¨°±²»²¬»­ ïô îô ô µô ¼±²¼» µ »­ »´ ²&³»®± ¼» ª»½»­ ¯«» ­» ®»°·¬» »´ º¿½¬±® ¯«»»­¬¿³±­ ½±²­·¼»®¿²¼±ò

б® »¶»³°´±ô °¿®¿ »¨°®»­¿®æ

ï

ø¨ õ ï÷ø¨ õ î÷íã

ß

¨ õ ïõ

Þï

¨ õ îõ

Þî

ø¨ õ î÷îõ

Þí

ø¨ õ î÷í

Û² »­¬» ½¿­± µ ã íô °±® »­± «­¿³±­ í ¬7®³·²±­ °¿®¿ »¨°®»­¿® »² º®¿½½·±²»­ °¿®½·¿´»­ò

Û­¬» ³·­³± ¿®¹«³»²¬± ¿°´·½¿ ¿ ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¯«» ­» º¿½¬±®·¦¿² ½±² °±´·²±³·±­ ½«¿¼®?¬·½±­ò

Ý«¿²¼± «² ¼»²±³·²¿¼±® »­ ½«¿¼®?¬·½±ô »² »´ ²«³»®¿¼±® »­½®·¾·®»³±­æ Ð ¨ õ Ïò б® »¶»³°´±æ

î ¨ õ ï

ø¨ é÷ø¨î õ ïï÷ã

ß

¨ éõ

Þ ¨ õ Ý

¨î õ ïï

Ѿ­»®ª¿ ¯«» »´ ¹®¿¼± ¼»´ °±´·²±³·± ¯«» »­½®·¾·³±­ »² »´ ²«³»®¿¼±® ­·»³°®» »­ ³»²±® ¿´ ¹®¿¼±¼»´ ¼»²±³·²¿¼±® »² «²¿ º®¿½½·-²ò

п®¿ »´ ½¿­± ¼» º¿½¬±®»­ ½«¿¼®?¬·½±­ ®»°»¬·¼±­ô ¬»²»³±­æ

î ¨ õ ï

ø¨ é÷ø¨î õ ïï÷ã

ß

¨ éõ

Þï ¨ õ Ýï

¨î õ ïïõ

Þî ¨ õ Ýî

ø¨î õ ïï÷î

ݱ² »­¬±­ ¬®«½±­ô °«»¼»­ ½¿´½«´¿® ³«½¸¿­ ·²¬»¹®¿´»­ «­¿²¼± »­¬» ³7¬±¼±ò

íô °±® »­± «­¿³±­ í ¬7®³·²±­ °¿®¿ »¨°®»­¿® »² º®¿½½·±²»­ °¿®½·¿´»­òíô °±® »­± «­¿³±­ í ¬7®³·²±­ °¿®¿ »¨°®»­¿® »² º®¿½½·±²»­ °¿®½·¿´»­òíô °±® »­± «­¿³±­ í ¬7®³·²±­ °¿®¿ »¨°®»­¿® »² º®¿½½·±²»­ °¿®½·¿´»­ò

õ

Û­¬» ³·­³± ¿®¹«³»²¬± ¿°´·½¿ ¿ ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¯«» ­» º¿½¬±®·¦¿² ½±² °±´·²±³·±­ ½«¿¼®?¬·½±­ò

íô °±® »­± «­¿³±­ í ¬7®³·²±­ °¿®¿ »¨°®»­¿® »² º®¿½½·±²»­ °¿®½·¿´»­ò

Û­¬» ³·­³± ¿®¹«³»²¬± ¿°´·½¿ ¿ ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¯«» ­» º¿½¬±®·¦¿² ½±² °±´·²±³·±­ ½«¿¼®?¬·½±­ò

íô °±® »­± «­¿³±­ í ¬7®³·²±­ °¿®¿ »¨°®»­¿® »² º®¿½½·±²»­ °¿®½·¿´»­ò

Û­¬» ³·­³± ¿®¹«³»²¬± ¿°´·½¿ ¿ ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¯«» ­» º¿½¬±®·¦¿² ½±² °±´·²±³·±­ ½«¿¼®?¬·½±­ò

Ý«¿²¼± «² ¼»²±³·²¿¼±® »­ ½«¿¼®?¬·½±ô »² »´ ²«³»®¿¼±® »­½®·¾·®»³±­æÝ«¿²¼± «² ¼»²±³·²¿¼±® »­ ½«¿¼®?¬·½±ô »² »´ ²«³»®¿¼±® »­½®·¾·®»³±­æ

ïï÷ã

¨

Ѿ­»®ª¿ ¯«» »´ ¹®¿¼± ¼»´ °±´·²±³·± ¯«» »­½®·¾·³±­ »² »´ ²«³»®¿¼±® ­·»³°®» »­ ³»²±® ¿´ ¹®¿¼±Ñ¾­»®ª¿ ¯«» »´ ¹®¿¼± ¼»´ °±´·²±³·± ¯«» »­½®·¾·³±­ »² »´ ²«³»®¿¼±® ­·»³°®» »­ ³»²±® ¿´ ¹®¿¼±Ñ¾­»®ª¿ ¯«» »´ ¹®¿¼± ¼»´ °±´·²±³·± ¯«» »­½®·¾·³±­ »² »´ ²«³»®¿¼±® ­·»³°®» »­ ³»²±® ¿´ ¹®¿¼±

íô °±® »­± «­¿³±­ í ¬7®³·²±­ °¿®¿ »¨°®»­¿® »² º®¿½½·±²»­ °¿®½·¿´»­òíô °±® »­± «­¿³±­ í ¬7®³·²±­ °¿®¿ »¨°®»­¿® »² º®¿½½·±²»­ °¿®½·¿´»­òíô °±® »­± «­¿³±­ í ¬7®³·²±­ °¿®¿ »¨°®»­¿® »² º®¿½½·±²»­ °¿®½·¿´»­ò

õ

Û­¬» ³·­³± ¿®¹«³»²¬± ¿°´·½¿ ¿ ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¯«» ­» º¿½¬±®·¦¿² ½±² °±´·²±³·±­ ½«¿¼®?¬·½±­òÛ­¬» ³·­³± ¿®¹«³»²¬± ¿°´·½¿ ¿ ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¯«» ­» º¿½¬±®·¦¿² ½±² °±´·²±³·±­ ½«¿¼®?¬·½±­ò

íô °±® »­± «­¿³±­ í ¬7®³·²±­ °¿®¿ »¨°®»­¿® »² º®¿½½·±²»­ °¿®½·¿´»­ò

Û­¬» ³·­³± ¿®¹«³»²¬± ¿°´·½¿ ¿ ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¯«» ­» º¿½¬±®·¦¿² ½±² °±´·²±³·±­ ½«¿¼®?¬·½±­òÛ­¬» ³·­³± ¿®¹«³»²¬± ¿°´·½¿ ¿ ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¯«» ­» º¿½¬±®·¦¿² ½±² °±´·²±³·±­ ½«¿¼®?¬·½±­òÛ­¬» ³·­³± ¿®¹«³»²¬± ¿°´·½¿ ¿ ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¯«» ­» º¿½¬±®·¦¿² ½±² °±´·²±³·±­ ½«¿¼®?¬·½±­òÛ­¬» ³·­³± ¿®¹«³»²¬± ¿°´·½¿ ¿ ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¯«» ­» º¿½¬±®·¦¿² ½±² °±´·²±³·±­ ½«¿¼®?¬·½±­òÛ­¬» ³·­³± ¿®¹«³»²¬± ¿°´·½¿ ¿ ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¯«» ­» º¿½¬±®·¦¿² ½±² °±´·²±³·±­ ½«¿¼®?¬·½±­òÛ­¬» ³·­³± ¿®¹«³»²¬± ¿°´·½¿ ¿ ´±­ ¼»²±³·²¿¼±®»­ ¯«» ­» º¿½¬±®·¦¿² ½±² °±´·²±³·±­ ½«¿¼®?¬·½±­ò

íô °±® »­± «­¿³±­ í ¬7®³·²±­ °¿®¿ »¨°®»­¿® »² º®¿½½·±²»­ °¿®½·¿´»­òíô °±® »­± «­¿³±­ í ¬7®³·²±­ °¿®¿ »¨°®»­¿® »² º®¿½½·±²»­ °¿®½·¿´»­òíô °±® »­± «­¿³±­ í ¬7®³·²±­ °¿®¿ »¨°®»­¿® »² º®¿½½·±²»­ °¿®½·¿´»­ò

Ý«¿²¼± «² ¼»²±³·²¿¼±® »­ ½«¿¼®?¬·½±ô »² »´ ²«³»®¿¼±® »­½®·¾·®»³±­æÝ«¿²¼± «² ¼»²±³·²¿¼±® »­ ½«¿¼®?¬·½±ô »² »´ ²«³»®¿¼±® »­½®·¾·®»³±­æÝ«¿²¼± «² ¼»²±³·²¿¼±® »­ ½«¿¼®?¬·½±ô »² »´ ²«³»®¿¼±® »­½®·¾·®»³±­æÝ«¿²¼± «² ¼»²±³·²¿¼±® »­ ½«¿¼®?¬·½±ô »² »´ ²«³»®¿¼±® »­½®·¾·®»³±­æÝ«¿²¼± «² ¼»²±³·²¿¼±® »­ ½«¿¼®?¬·½±ô »² »´ ²«³»®¿¼±® »­½®·¾·®»³±­æÝ«¿²¼± «² ¼»²±³·²¿¼±® »­ ½«¿¼®?¬·½±ô »² »´ ²«³»®¿¼±® »­½®·¾·®»³±­æ

֋

ïï÷ããã

¨̈̈̈̈

Ѿ­»®ª¿ ¯«» »´ ¹®¿¼± ¼»´ °±´·²±³·± ¯«» »­½®·¾·³±­ »² »´ ²«³»®¿¼±® ­·»³°®» »­ ³»²±® ¿´ ¹®¿¼±Ñ¾­»®ª¿ ¯«» »´ ¹®¿¼± ¼»´ °±´·²±³·± ¯«» »­½®·¾·³±­ »² »´ ²«³»®¿¼±® ­·»³°®» »­ ³»²±® ¿´ ¹®¿¼±Ñ¾­»®ª¿ ¯«» »´ ¹®¿¼± ¼»´ °±´·²±³·± ¯«» »­½®·¾·³±­ »² »´ ²«³»®¿¼±® ­·»³°®» »­ ³»²±® ¿´ ¹®¿¼±Ñ¾­»®ª¿ ¯«» »´ ¹®¿¼± ¼»´ °±´·²±³·± ¯«» »­½®·¾·³±­ »² »´ ²«³»®¿¼±® ­·»³°®» »­ ³»²±® ¿´ ¹®¿¼±Ñ¾­»®ª¿ ¯«» »´ ¹®¿¼± ¼»´ °±´·²±³·± ¯«» »­½®·¾·³±­ »² »´ ²«³»®¿¼±® ­·»³°®» »­ ³»²±® ¿´ ¹®¿¼±Ñ¾­»®ª¿ ¯«» »´ ¹®¿¼± ¼»´ °±´·²±³·± ¯«» »­½®·¾·³±­ »² »´ ²«³»®¿¼±® ­·»³°®» »­ ³»²±® ¿´ ¹®¿¼±Ñ¾­»®ª¿ ¯«» »´ ¹®¿¼± ¼»´ °±´·²±³·± ¯«» »­½®·¾·³±­ »² »´ ²«³»®¿¼±® ­·»³°®» »­ ³»²±® ¿´ ¹®¿¼±Ñ¾­»®ª¿ ¯«» »´ ¹®¿¼± ¼»´ °±´·²±³·± ¯«» »­½®·¾·³±­ »² »´ ²«³»®¿¼±® ­·»³°®» »­ ³»²±® ¿´ ¹®¿¼±Ñ¾­»®ª¿ ¯«» »´ ¹®¿¼± ¼»´ °±´·²±³·± ¯«» »­½®·¾·³±­ »² »´ ²«³»®¿¼±® ­·»³°®» »­ ³»²±® ¿´ ¹®¿¼±

Page 79: Libro de-integrales

Û´ ¬»±®»³¿ º«²¼¿³»²¬¿´ § ­«­ ¿°´·½¿½·±²»­

Ì»±®»³¿ ï

Í· º »­ «²¿ º«²½·-² ½±²¬3²«¿ § ²±ó²»¹¿¬·ª¿ °¿®¿ ¬±¼¿ ¨ »² »´ ·²¬»®ª¿´± Å¿ô ¾Ãô »²¬±²½»­ »´ ?®»¿ ß¼»´·³·¬¿¼¿ °±® § ã º ø¨÷ô § »´ »¶» ¨ ¼»­¼» ¿ ¸¿­¬¿ ¾ »­¬? ¼¿¼¿ °±®æ

ß ã

¾Æ

¿

º ø¨÷¼¨ ãÚø¨÷¾

¿ã Úø¾÷ Úø¿÷

¼±²¼» Ú »­ «²¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» º ò

Û² °¿´¿¾®¿­ô »´ ¬»±®»³¿ º«²¼¿³»²¬¿´ ¼»´ ½?´½«´± ²±­ ¼·½» ¯«» °¿®¿ ½¿´½«´¿® »´ ½¿³¾·± ¬±¬¿´ ¼»­¼»¿ ¸¿­¬¿ ¾ ¼» «²¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¯«» ½¿³¾·¿ ½±²¬3²¿³»²¬» ½±² ®¿¦-² ¼» ½¿³¾·±æ º ã ¼Úñ¼¨ô «­¿³±­Úø¾÷ Úø¿÷ò

Page 80: Libro de-integrales

ײ¬»¹®¿½·-² ¿°®±¨·³¿¼¿æ λ¹´¿ ¼»´ ¬®¿°»½·±

ß´¹«²¿­ ª»½»­ ²± »­ ²¿¼¿ ­»²½·´´± ½¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» «²¿ º«²½·-² ¼¿¼¿ò Û² »­±­ ½¿­±­ »­³»¶±® ¸¿½»® «²¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¿´ ª¿´±® ¼»´ ?®»¿ ¼»¾¿¶± ¼» ´¿ ½«®ª¿ «¬·´·¦¿²¼± ³7¬±¼±­ ²«³7®·½±­¿³°´·¿³»²¬» ½±²±½·¼±­ò

Ô¿ ®»¹´¿ ¼»´ ¬®¿°»½·± ½±²­·­¬» «¬·´·¦¿® ¬®¿°»½·±­ »² ´«¹¿® ¼» ®»½¬?²¹«´±­ ¿´ ¸¿½»® ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-²¼»´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿ò

Û² ´¿ ­»½½·-² áá ¸·½·³±­ ´¿ °®·³»®¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¼»´ ª¿´±® ¼»´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ °¿®?¾±´¿ § ã ¨î ¼»­¼»¨ ã 𠸿­¬¿ ¨ ã ïò

߸±®¿ ª¿³±­ ¿ ¸¿½»® ´¿ ³·­³¿ ¿°®±¨·³¿½·-² «­¿²¼± ¬®¿°»½·±­ò

¨ðòï ðòî ðòì ðòê ðòè ïòð

§

ðòî

ðòì

ðòê

ðòè

ïòð

§ ã ¨î

߸±®¿ô ´¿ ½±³°¿®¿½·-² ¼» ´¿­ ¿°®±¨·³¿½·±²»­ ¿´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿ «­¿²¼± ®»½¬?²¹«´±­ °±® «²´¿¼± § ¬®¿°»½·±­ °±® ±¬®±ô ­» ³«»­¬®¿ »²­»¹«·¼¿æ

Ë­¿²¼± ®»½¬?²¹«´±­æ

· ß·² º ß­«°

ï ðòð ðòððèðî ðòððèð ðòðíîí ðòðíî ðòðéîì ðòðéî ðòïîèë ðòïîè ðòî

̱¬¿´»­æ ðòîì ðòìì

Ë­¿²¼± ¬®¿°»½·±­æ

· ¼ß

ï ðòððìðî ðòðîí ðòðëîì ðòïë ðòïêì

̱¬¿´»­æ ðòíì

ͱ´± °¿®¿ ª»® ´¿ ¼·º»®»²½·¿ô ®»½«»®¼¿ ¯«» »´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿ »­ »¨¿½¬¿³»²¬» ¼» ïñíò

ááô ¼±²¼» «¬·´·¦¿³±­ ®»½¬?²¹«´±­ »² ´«¹¿® ¼» ¬®¿°»½·±­ôª»®?­ °±® ¯«7 »­¬¿ ²«»ª¿ ¿°®±¨·³¿½·-² »­ ³«½¸± ³»¶±®æ ´±­ ¬®¿°»½·±­ ­» ¿½»®½¿² ³«½¸± ³»¶±® ¿´¿ ½«®ª¿ ¯«» ´±­ ®»½¬?²¹«´±­ò

Û­¿ »­ ´¿ ·¼»¿ ¯«» »­¬? ¼»¬®?­ ¼» ´¿ ®»¹´¿ ¼»´ ¬®¿°»½·±ò

ðòê

߸±®¿ô ´¿ ½±³°¿®¿½·-² ¼» ´¿­ ¿°®±¨·³¿½·±²»­ ¿´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿ «­¿²¼± ®»½¬?²¹«´±­ °±® «²ß¸±®¿ô ´¿ ½±³°¿®¿½·-² ¼» ´¿­ ¿°®±¨·³¿½·±²»­ ¿´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿ «­¿²¼± ®»½¬?²¹«´±­ °±® «²ß¸±®¿ô ´¿ ½±³°¿®¿½·-² ¼» ´¿­ ¿°®±¨·³¿½·±²»­ ¿´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿ «­¿²¼± ®»½¬?²¹«´±­ °±® «²ß¸±®¿ô ´¿ ½±³°¿®¿½·-² ¼» ´¿­ ¿°®±¨·³¿½·±²»­ ¿´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿ «­¿²¼± ®»½¬?²¹«´±­ °±® «²

ðòêðòê ðòè

ðòê

߸±®¿ô ´¿ ½±³°¿®¿½·-² ¼» ´¿­ ¿°®±¨·³¿½·±²»­ ¿´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿ «­¿²¼± ®»½¬?²¹«´±­ °±® «²ß¸±®¿ô ´¿ ½±³°¿®¿½·-² ¼» ´¿­ ¿°®±¨·³¿½·±²»­ ¿´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿ «­¿²¼± ®»½¬?²¹«´±­ °±® «²ß¸±®¿ô ´¿ ½±³°¿®¿½·-² ¼» ´¿­ ¿°®±¨·³¿½·±²»­ ¿´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿ «­¿²¼± ®»½¬?²¹«´±­ °±® «²ß¸±®¿ô ´¿ ½±³°¿®¿½·-² ¼» ´¿­ ¿°®±¨·³¿½·±²»­ ¿´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿ «­¿²¼± ®»½¬?²¹«´±­ °±® «²ß¸±®¿ô ´¿ ½±³°¿®¿½·-² ¼» ´¿­ ¿°®±¨·³¿½·±²»­ ¿´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿ «­¿²¼± ®»½¬?²¹«´±­ °±® «²

ðòêðòêðòêðòê ðòèðòè

Page 81: Libro de-integrales

Û¶»³°´± ï

Ý¿´½«´¿ »´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿ ¼» ´¿ º«²½·-²æ

º ø¨÷ ãï

°î °

» ¨îñî

¼»­¼» ¨ ã 𠸿­¬¿ ¨ ã ïò

Ù»±³7¬®·½¿³»²¬»ô ¬»²»³±­ ¯«» ½¿´½«´¿® ´¿ ­·¹«·»²¬» ?®»¿æ

¨ð ðòë ï ïòë î

§

ðòîë

ðòë

§ ãï

°î °

» ¨îñî

Í· ·²¬»²¬¿³±­ ½¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ °¿®¿ ¿°´·½¿® »´ ¬»±®»³¿ º«²¼¿³»²¬¿´ ¼»´ ½?´½«´± ¬»²ó

ݱ³»²¬¿®·±

Ý¿´½«´¿®æ

ï°

î °

ïÆ

ð

» ¨îñî ¼¨

Ý¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» »­¬¿ º«²½·-² »­ °±­·¾´» ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ³7¬±¼±­ ¼» ½?´½«´± ¿ª¿²¦¿¼±ò

ß­3 ¯«» ´± ³?­ ®»½±³»²¼¿¾´» °±® ¿¸±®¿ »­ ¸¿½»® «²¿ ¿°®±¨·³¿½·-²ò

б¼»³±­ ¸¿½»® «²¿ °®·³»®¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ±½«°¿²¼± ®»½¬?²¹«´±­ ½±³± ¸·½·³±­ »² ´¿ ­»½½·-²áá ø°?¹·²¿ áá÷ò

л®± °±¼»³±­ ³»¶±®¿® ´¿ ­±´«½·-² ­· »² ´«¹¿® ¼» ¼·¾«¶¿® ®»½¬?²¹«´±­ »² ­« ´«¹¿® «¬·´·¦¿³±­¬®¿°»½·±­ ½±³± ­» ³«»­¬®¿ »²­»¹«·¼¿æ

¨ð ðòë ï

§

ðòîë

ðòë

§ ãï

°î °

» ¨îñî

Ë­¿²¼± ¼±­ ¬®¿°»½·±­ »² »´ ·²¬»®ª¿´± ±¾¬»²»³±­ ´±­ ­·¹«·»²¬»­ ®»­«´¬¿¼±­æ

ß­3 ¯«» ´± ³?­ ®»½±³»²¼¿¾´» °±® ¿¸±®¿ »­ ¸¿½»® «²¿ ¿°®±¨·³¿½·-²òß­3 ¯«» ´± ³?­ ®»½±³»²¼¿¾´» °±® ¿¸±®¿ »­ ¸¿½»® «²¿ ¿°®±¨·³¿½·-²ò

б¼»³±­ ¸¿½»® «²¿ °®·³»®¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ±½«°¿²¼± ®»½¬?²¹«´±­ ½±³± ¸·½·³±­ »² ´¿ ­»½½·-²

Ý¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» »­¬¿ º«²½·-² »­ °±­·¾´» ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ³7¬±¼±­ ¼» ½?´½«´± ¿ª¿²¦¿¼±ò

ß­3 ¯«» ´± ³?­ ®»½±³»²¼¿¾´» °±® ¿¸±®¿ »­ ¸¿½»® «²¿ ¿°®±¨·³¿½·-²ò

ï°

î °

Æ

ð

Ý¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» »­¬¿ º«²½·-² »­ °±­·¾´» ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ³7¬±¼±­ ¼» ½?´½«´± ¿ª¿²¦¿¼±òÝ¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» »­¬¿ º«²½·-² »­ °±­·¾´» ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ³7¬±¼±­ ¼» ½?´½«´± ¿ª¿²¦¿¼±ò

ß­3 ¯«» ´± ³?­ ®»½±³»²¼¿¾´» °±® ¿¸±®¿ »­ ¸¿½»® «²¿ ¿°®±¨·³¿½·-²òß­3 ¯«» ´± ³?­ ®»½±³»²¼¿¾´» °±® ¿¸±®¿ »­ ¸¿½»® «²¿ ¿°®±¨·³¿½·-²ò

б¼»³±­ ¸¿½»® «²¿ °®·³»®¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ±½«°¿²¼± ®»½¬?²¹«´±­ ½±³± ¸·½·³±­ »² ´¿ ­»½½·-²

Ý¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» »­¬¿ º«²½·-² »­ °±­·¾´» ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ³7¬±¼±­ ¼» ½?´½«´± ¿ª¿²¦¿¼±ò

ß­3 ¯«» ´± ³?­ ®»½±³»²¼¿¾´» °±® ¿¸±®¿ »­ ¸¿½»® «²¿ ¿°®±¨·³¿½·-²ò

ïïï

°

Æ

î °

Æ

°î

Æ

î

Æ

ððð

Ý¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» »­¬¿ º«²½·-² »­ °±­·¾´» ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ³7¬±¼±­ ¼» ½?´½«´± ¿ª¿²¦¿¼±òÝ¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» »­¬¿ º«²½·-² »­ °±­·¾´» ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ³7¬±¼±­ ¼» ½?´½«´± ¿ª¿²¦¿¼±òÝ¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» »­¬¿ º«²½·-² »­ °±­·¾´» ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ³7¬±¼±­ ¼» ½?´½«´± ¿ª¿²¦¿¼±òÝ¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» »­¬¿ º«²½·-² »­ °±­·¾´» ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ³7¬±¼±­ ¼» ½?´½«´± ¿ª¿²¦¿¼±òÝ¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» »­¬¿ º«²½·-² »­ °±­·¾´» ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ³7¬±¼±­ ¼» ½?´½«´± ¿ª¿²¦¿¼±òÝ¿´½«´¿® ´¿ ¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼» »­¬¿ º«²½·-² »­ °±­·¾´» ¿ ¬®¿ª7­ ¼» ³7¬±¼±­ ¼» ½?´½«´± ¿ª¿²¦¿¼±ò

Page 82: Libro de-integrales

· ¼ß

ï ðòïèééëî ðòïìèëï

̱¬¿´æ ðòííêîê

×¹«¿´ô °±¼»³±­ ¿«³»²¬¿® »´ ²&³»®± ¼» °¿®¬·½·±²»­ § ½±³°¿®¿® ´±­ ®»­«´¬¿¼±­ò

Ê¿³±­ ¿ «¬·´·¦¿® ² ã ë °¿®¿ ¸¿½»® ´¿ ½±³°¿®¿½·-² ½±² ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¿²¬»®·±® ø² ã î÷ò

¨ð ðòë ï

§

ðòï

ðòî

ðòí

ðòì

§ ãï

°î °

» ¨îñî

Ç ´¿­ ?®»¿­ ¼» ½¿¼¿ «²¿ ¼» ´¿­ °¿®¬·½·±²»­ »­æ

· ¼ß

ï ðòðéçî ðòðéëçíí ðòðéðïëì ðòðêîîçë ðòðëíïé

̱¬¿´æ ðòíìðëì

Í· ¿¸±®¿ ¸¿½»³±­ ² ã îë ±¾¬»²»³±­ «²¿ ³«§ ¾«»²¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¿´ ª¿´±® ®»¿´æ

¨ð ðòë ï

§

ðòï

ðòî

ðòí

ðòì

§ ãï

°î °

» ¨îñî

· ¼ß · ¼ß · ¼ß · ¼ß · ¼ß

ï ðòðïëçë ê ðòðïëëé ïï ðòðïìêï ïê ðòðïíïé îï ðòðïïìî ðòðïëçí é ðòðïëìî ïî ðòðïìíë ïé ðòðïîèí îî ðòðïïðîí ðòðïëèè è ðòðïëîë ïí ðòðïìðè ïè ðòðïîìç îí ðòðïðêìì ðòðïëè ç ðòðïëðê ïì ðòðïíéç ïç ðòðïîïí îì ðòðïðîêë ðòðïëé ïð ðòðïìèì ïë ðòðïíìç îð ðòðïïéé îë ðòððçèé

Ç ´¿­ ?®»¿­ ¼» ½¿¼¿ «²¿ ¼» ´¿­ °¿®¬·½·±²»­ »­æÇ ´¿­ ?®»¿­ ¼» ½¿¼¿ «²¿ ¼» ´¿­ °¿®¬·½·±²»­ »­æ

îë ±¾¬»²»³±­ «²¿ ³«§ ¾«»²¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¿´ ª¿´±® ®»¿´æîë ±¾¬»²»³±­ «²¿ ³«§ ¾«»²¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¿´ ª¿´±® ®»¿´æîë ±¾¬»²»³±­ «²¿ ³«§ ¾«»²¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¿´ ª¿´±® ®»¿´æîë ±¾¬»²»³±­ «²¿ ³«§ ¾«»²¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¿´ ª¿´±® ®»¿´æ

ðòíìðëì

Ç ´¿­ ?®»¿­ ¼» ½¿¼¿ «²¿ ¼» ´¿­ °¿®¬·½·±²»­ »­æÇ ´¿­ ?®»¿­ ¼» ½¿¼¿ «²¿ ¼» ´¿­ °¿®¬·½·±²»­ »­æ

ï ðòðéçï ðòðéçî ðòðéëçíî ðòðéëçíí ðòðéðïëí ðòðéðïëì ðòðêîîçì ðòðêîîçì ðòðêîîçë ðòðëíïéì ðòðêîîçë ðòðëíïé

ðòíìðëì

Ç ´¿­ ?®»¿­ ¼» ½¿¼¿ «²¿ ¼» ´¿­ °¿®¬·½·±²»­ »­æÇ ´¿­ ?®»¿­ ¼» ½¿¼¿ «²¿ ¼» ´¿­ °¿®¬·½·±²»­ »­æ

îë ±¾¬»²»³±­ «²¿ ³«§ ¾«»²¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¿´ ª¿´±® ®»¿´æîë ±¾¬»²»³±­ «²¿ ³«§ ¾«»²¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¿´ ª¿´±® ®»¿´æîë ±¾¬»²»³±­ «²¿ ³«§ ¾«»²¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¿´ ª¿´±® ®»¿´æîë ±¾¬»²»³±­ «²¿ ³«§ ¾«»²¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¿´ ª¿´±® ®»¿´æîë ±¾¬»²»³±­ «²¿ ³«§ ¾«»²¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¿´ ª¿´±® ®»¿´æ

ðòíìðëì

Ç ´¿­ ?®»¿­ ¼» ½¿¼¿ «²¿ ¼» ´¿­ °¿®¬·½·±²»­ »­æÇ ´¿­ ?®»¿­ ¼» ½¿¼¿ «²¿ ¼» ´¿­ °¿®¬·½·±²»­ »­æÇ ´¿­ ?®»¿­ ¼» ½¿¼¿ «²¿ ¼» ´¿­ °¿®¬·½·±²»­ »­æÇ ´¿­ ?®»¿­ ¼» ½¿¼¿ «²¿ ¼» ´¿­ °¿®¬·½·±²»­ »­æÇ ´¿­ ?®»¿­ ¼» ½¿¼¿ «²¿ ¼» ´¿­ °¿®¬·½·±²»­ »­æÇ ´¿­ ?®»¿­ ¼» ½¿¼¿ «²¿ ¼» ´¿­ °¿®¬·½·±²»­ »­æ

ï ðòðéçï ðòðéçï ðòðéçï ðòðéçï ðòðéçî ðòðéëçíî ðòðéëçíî ðòðéëçíî ðòðéëçíï ðòðéçï ðòðéç

í ðòðéðïëí ðòðéðïëî ðòðéëçíí ðòðéðïëí ðòðéðïëí ðòðéðïëî ðòðéëçíî ðòðéëçíî ðòðéëçíî ðòðéëçíî ðòðéëçíî ðòðéëçíî ðòðéëçíî ðòðéëçíî ðòðéëçí

ì ðòðêîîçì ðòðêîîçì ðòðêîîçí ðòðéðïëí ðòðéðïëí ðòðéðïëí ðòðéðïëí ðòðéðïëì ðòðêîîçì ðòðêîîçì ðòðêîîçì ðòðêîîçì ðòðêîîçì ðòðêîîçì ðòðêîîçì ðòðêîîçë ðòðëíïéë ðòðëíïéë ðòðëíïéì ðòðêîîçì ðòðêîîçì ðòðêîîçë ðòðëíïéë ðòðëíïéë ðòðëíïéë ðòðëíïé

ðòíìðëìðòíìðëìðòíìðëìðòíìðëì

Page 83: Libro de-integrales

Ç ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¼»´ ?®»¿ ¾¿¶± ´¿ ½«®ª¿ »² »­¬» ½¿­± »­æ ðòíìïíï «²·¼¿¼»­ ¼» ?®»¿ò

Û¶»³°´± î

ˬ·´·¦¿

ïÆ

ï

»¨î¼¨

Û´ ½?´½«´± ¼» »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ¼» ³¿²»®¿ ¿²¿´3·½¿ »­ ·³°±­·¾´» °±® ´±­ ³7¬±¼±­ ¯«» ¸»³±­»­¬«¼·¿¼±ò

² ã ïðæ

¨ï ðòë ð ðòë ï

§

ðòë

ï

ïòë

î

îòë

ðòëðòë

ïï

§ ã »¨î · ¼ß

ï ðòìêïìèî ðòííîçèí ðòîêðêèì ðòîîïìíë ðòîðìðèê ðòîðìðèé ðòîîïìíè ðòîêðêèç ðòííîçèïð ðòìêïìè

̱¬¿´æ îòçêïíï

Ç ¸¿½·»²¼± ² ã îðô ±¾¬»²»³±­æ

¨ï ðòë ð ðòë ï

§

ðòë

ï

ïòë

î

îòë

ðòëðòëðòëðòë

ï

ðòë

ï

ðòëðòëðòë

§ ã »¨î

Ç »´ ª¿´±® ¼» »­¬¿ ¿°®±¨·³¿½·-² »­æ îòçíìíë «²·¼¿¼»­ ¼» ?®»¿ò

Û´ ª¿´±® ¼»´ ?®»¿ ¾«­½¿¼¿ ø½±®®»½¬± ¿ è ¼»½·³¿´»­÷ »­ ¼» îòçîëíðíìçî «²·¼¿¼»­ ¼» ?®»¿ò

ïï

Page 84: Libro de-integrales

Ѿ­»®ª¿ ¯«» °¿®¿ ½¿´½«´¿® »´ ?®»¿ ¼ß ¼» «² ¬®¿°»½·± «¬·´·¦¿³±­ ´¿ º-®³«´¿æ

¼ß 㺠ø¨·÷ õ º ø¨· õ ܨ÷

îܨ

§ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¼»´ ?®»¿ ¼»¾¿¶± ¼» ´¿ ½«®ª¿ «­¿²¼± ¬®¿°»½·±­ »² ´«¹¿® ¼» ®»½¬?²ó¹«´±­ ±½«°¿³±­ ´¿ ­«³¿¬±®·¿ ¼» ¬±¼¿­ ´¿­ ?®»¿­ ¼» ´±­ ² ¬®¿°»½·±­ ¯«» ¸»³±­ ¼·¾«¶¿¼± ¼»¾¿¶± ¼»´¿ ½«®ª¿æ

¾Æ

¿

º ø¨÷¼¨²

;·ãï

º ø¨·÷ õ º ø¨· õ ܨ÷

îܨ

¼±²¼» ܨ ã ø¾ ¿÷ñ²ò

¨·õï ã ¨· õ ܨô °±¼»³±­ ®»»­½®·¾·® ´¿ »¨°®»­·-² ¿²¬»®·±® ¼» ´¿ ­·¹«·»²¬» º±®³¿æ

¾Æ

¿

º ø¨÷¼¨²

;·ãï

º ø¨·÷ õ º ø¨· õ ܨ÷

îܨ

ã²

;·ãï

º ø¨·÷ õ º ø¨·õï÷

îܨ

ãܨ

îøÅ º ø¨ï÷ õ º ø¨î÷à õ Å º ø¨î÷ õ º ø¨í÷à õ õ Å º ø¨² ï÷ õ º ø¨²÷Ã÷

ãܨ

îÅ º ø¨ï÷ õ î º ø¨î÷ õ î º ø¨í÷ õ õ î º ø¨² ï÷ õ º ø¨²÷Ã

ã øܨ÷ ø º ø¨î÷ õ º ø¨í÷ õ õ º ø¨² ï÷÷ õ øܨ÷º ø¨ï÷ õ º ø¨²÷

î

Ó«½¸± ­±º¬©¿®» ½±³°«¬¿½·±²¿´ ¯«» ­» «¬·´·¦¿ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ·²¬»¹®¿´»­ «¬·´·¦¿ ¿´¹&² ³7¬±¼± ½±³±»´ ¯«» ­» ¿½¿¾¿ ¼» »¨°´·½¿®ò

Ô¿ ½±³°«¬¿¼±®¿ »­ °®±¹®¿³¿¼¿ °¿®¿ ®»¿´·¦¿® ´±­ ½?´½«´±­ò Û´ «­«¿®·± ­±´¿³»²¬» ¼»¾» ·²¼·½¿® »´²&³»®± ¼» ·²¬»®ª¿´±­ ¯«» ¼»­»¿ «¬·´·¦¿®ò

Û¶»³°´± í

ˬ·´·¦¿ ´¿ ®»¹´¿ ¬®¿°»¦±·¼¿´ °¿®¿ ¿°®±¨·³¿®æ

îÆ

ï

¼¨

¨

¸¿½·»²¼± ² ã ïðò

Ò±­±¬®±­ ¸¿®»³±­ ² ã ïðô ´«»¹±æ

ܨ ãî ï

ïðã ðòï

Ü» ¿½«»®¼± ¿ ´¿ ®»¹´¿ ¬®¿°»¦±·¼¿´ô ¬»²»³±­æ

¾Æ

¿

º ø¨÷¼¨ øܨ÷ ø º ø¨î÷ õ º ø¨í÷ õ õ º ø¨² ï÷÷ õ øܨ÷º ø¨ï÷ õ º ø¨²÷

î

ã øðòï÷ Å º øïòï÷ õ º øïòî÷ õ õ º øïòç÷à õ øðòï÷º øï÷ õ º øî÷

î

ï

Ô¿ ½±³°«¬¿¼±®¿ »­ °®±¹®¿³¿¼¿ °¿®¿ ®»¿´·¦¿® ´±­ ½?´½«´±­ò Û´ «­«¿®·± ­±´¿³»²¬» ¼»¾» ·²¼·½¿® »´

÷ õ º ø¨î÷à õ Åï÷ õ º

º ø¨î÷ õ

÷ õ õ º

Ó«½¸± ­±º¬©¿®» ½±³°«¬¿½·±²¿´ ¯«» ­» «¬·´·¦¿ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ·²¬»¹®¿´»­ «¬·´·¦¿ ¿´¹&² ³7¬±¼± ½±³±Ó«½¸± ­±º¬©¿®» ½±³°«¬¿½·±²¿´ ¯«» ­» «¬·´·¦¿ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ·²¬»¹®¿´»­ «¬·´·¦¿ ¿´¹&² ³7¬±¼± ½±³±

ï

Ô¿ ½±³°«¬¿¼±®¿ »­ °®±¹®¿³¿¼¿ °¿®¿ ®»¿´·¦¿® ´±­ ½?´½«´±­ò Û´ «­«¿®·± ­±´¿³»²¬» ¼»¾» ·²¼·½¿® »´

ø÷ õ ººº ø¨î÷à õ ź ø¨ ÷à õ Åï÷ õ ¨î÷à õ ź÷ õ º ø÷ õ÷ õ ºº

º ø¨̈º øøø¨î÷ õ÷ õî÷ õ÷ õ÷ õ

õ÷ õ õ÷ õ õ÷ õ õõ ºº

Ó«½¸± ­±º¬©¿®» ½±³°«¬¿½·±²¿´ ¯«» ­» «¬·´·¦¿ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ·²¬»¹®¿´»­ «¬·´·¦¿ ¿´¹&² ³7¬±¼± ½±³±Ó«½¸± ­±º¬©¿®» ½±³°«¬¿½·±²¿´ ¯«» ­» «¬·´·¦¿ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ·²¬»¹®¿´»­ «¬·´·¦¿ ¿´¹&² ³7¬±¼± ½±³±Ó«½¸± ­±º¬©¿®» ½±³°«¬¿½·±²¿´ ¯«» ­» «¬·´·¦¿ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ·²¬»¹®¿´»­ «¬·´·¦¿ ¿´¹&² ³7¬±¼± ½±³±Ó«½¸± ­±º¬©¿®» ½±³°«¬¿½·±²¿´ ¯«» ­» «¬·´·¦¿ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ·²¬»¹®¿´»­ «¬·´·¦¿ ¿´¹&² ³7¬±¼± ½±³±Ó«½¸± ­±º¬©¿®» ½±³°«¬¿½·±²¿´ ¯«» ­» «¬·´·¦¿ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ·²¬»¹®¿´»­ «¬·´·¦¿ ¿´¹&² ³7¬±¼± ½±³±Ó«½¸± ­±º¬©¿®» ½±³°«¬¿½·±²¿´ ¯«» ­» «¬·´·¦¿ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ·²¬»¹®¿´»­ «¬·´·¦¿ ¿´¹&² ³7¬±¼± ½±³±Ó«½¸± ­±º¬©¿®» ½±³°«¬¿½·±²¿´ ¯«» ­» «¬·´·¦¿ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ·²¬»¹®¿´»­ «¬·´·¦¿ ¿´¹&² ³7¬±¼± ½±³±Ó«½¸± ­±º¬©¿®» ½±³°«¬¿½·±²¿´ ¯«» ­» «¬·´·¦¿ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ·²¬»¹®¿´»­ «¬·´·¦¿ ¿´¹&² ³7¬±¼± ½±³±Ó«½¸± ­±º¬©¿®» ½±³°«¬¿½·±²¿´ ¯«» ­» «¬·´·¦¿ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ·²¬»¹®¿´»­ «¬·´·¦¿ ¿´¹&² ³7¬±¼± ½±³±Ó«½¸± ­±º¬©¿®» ½±³°«¬¿½·±²¿´ ¯«» ­» «¬·´·¦¿ °¿®¿ ½¿´½«´¿® ·²¬»¹®¿´»­ «¬·´·¦¿ ¿´¹&² ³7¬±¼± ½±³±

Page 85: Libro de-integrales

Û² »­¬» ½¿­± °¿®¬·½«´¿®ô º ø¨÷ ã ïñ¨ô ¿­3 ¯«»æ

îÆ

ï

¼¨

¨øðòï÷ Å º øïòï÷ õ º øïòî÷ õ õ º øïòç÷à õ øðòï÷

º øï÷ õ º øî÷

î

ã øðòï÷ï

ïòïõ

ï

ïòîõ õ

ï

ïòçõ øðòï÷

ï õ ðòë

î

ã øðòï÷øêòïèééïìðíî÷ õ øðòï÷øðòéë÷

ã ðòêïèééïìðíî õ ðòðéë ã ðòêçíééïìðíî

Ò±­±¬®±­ §¿ ­¿¾»³±­ ¯«»æ

îÆ

ï

¼¨

¨ã ´² ¨

î

ïã ´²øî÷ ´²øï÷ ´² î ã ðòêçíïìéïèðê

ß­3 ¯«» ¸»³±­ «²¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ½±®®»½¬¿ ¸¿­¬¿ í ¼»½·³¿´»­ò

λ°®»­»²¬¿ ¹»±³7¬®·½¿³»²¬» ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¯«» ¸»³±­ ½¿´½«´¿¼± «­¿²¼± ´¿ ®»¹´¿ ¼»´¬®¿°»½·± »² °¿°»´ ³·´·³7¬®·½±ò

Û¶»³°´± ì

ß°´·½¿²¼± ´¿ ®»¹´¿ ¼»´ ¬®¿°»½·± ¿°®±¨·³¿æ

°î

Æ

ð

­·²°

¨ ¼¨

Ù»±³7¬®·½¿³»²¬»ô

¨ð ï î í ì ë ê é è ç ïð

§

ðòî

ðòì

ðòê

ðòè

ïòð

§ ã ­·²°

¨

Ѿ­»®ª¿ ¯«» »´ ·²¬»¹®¿²¼± ­» ¸¿½» ½»®± »¨¿½¬¿³»²¬» »² °îæ

­·²°

°î ã ­·² ° ã ð

Û³°»¦¿³±­ ´¿ °®·³»®¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¸¿½·»²¼± ² ã ïðò

¬®¿°»½·± »² °¿°»´ ³·´·³7¬®·½±ò

´¿ ®»¹´¿ ¼»´ ¬®¿°»½·± ¿°®±¨·³¿æ´¿ ®»¹´¿ ¼»´ ¬®¿°»½·± ¿°®±¨·³¿æ

îî

­·²°°

¬®¿°»½·± »² °¿°»´ ³·´·³7¬®·½±ò

´¿ ®»¹´¿ ¼»´ ¬®¿°»½·± ¿°®±¨·³¿æ´¿ ®»¹´¿ ¼»´ ¬®¿°»½·± ¿°®±¨·³¿æ´¿ ®»¹´¿ ¼»´ ¬®¿°»½·± ¿°®±¨·³¿æ´¿ ®»¹´¿ ¼»´ ¬®¿°»½·± ¿°®±¨·³¿æ´¿ ®»¹´¿ ¼»´ ¬®¿°»½·± ¿°®±¨·³¿æ´¿ ®»¹´¿ ¼»´ ¬®¿°»½·± ¿°®±¨·³¿æ´¿ ®»¹´¿ ¼»´ ¬®¿°»½·± ¿°®±¨·³¿æ´¿ ®»¹´¿ ¼»´ ¬®¿°»½·± ¿°®±¨·³¿æ

°îîî

Æ °°­·²

°­·²

°­·²

°°°°

Page 86: Libro de-integrales

Û²¬±²½»­ô ܨ ã ðòï °îô § ­«­¬·¬«§»²¼± »² ´¿ ®»¹´¿ ¼»´ ¬®¿°»½·± ±¾¬»²»³±­æ

°î

Æ

ð

­·²°

¨ ¼¨ ø º ø¨î÷ õ º ø¨í÷ õ õ º ø¨² ï÷÷ õº ø¨ï÷ õ º ø¨²÷

î

ã ­·²°

ðòî °î õ õ ­·²

°ðòç °

î õ­·²øðòï °

î÷ õ ­·²ø°î÷

îã êòðéðê «²·¼¿¼»­ ¼» ?®»¿ò

Í· «­¿³±­ ² ã îð ±¾¬»²»³±­ «²¿ ³»¶±® ¿°®±¨·³¿½·-²æ êòîðèêî «²·¼¿¼»­ ¼» ?®»¿ò

б® ±¬®¿ °¿®¬»ô °¿®¿ ² ã ëð ±¾¬»²»³±­æ êòîêìëï «²·¼¿¼»­ ¼» ?®»¿ò

Û´ ?®»¿ ¾«­½¿¼¿ »­ »¨¿½¬¿³»²¬»æ î ° êòîèíïèëíðé «²·¼¿¼»­ ½«¿¼®¿¼¿­ò

Û¶»³°´± ë

ˬ·´·¦¿ ´¿ ®»¹´¿ ¼»´ ¬®¿°»½·± °¿®¿ ¿°®±¨·³¿®æ

°Æ

ð

­·² ¨

¨¼¨

Ù»±³7¬®·½¿³»²¬»ô ¬»²»³±­æ

¨ð ï î í

§

ðòî

ðòì

ðòê

ðòè

ïòð

§ ã­·² ¨

¨

¨ ã ðò

л®± »­± ²± »­ °®±¾´»³¿ô °±®¯«» °±¼»³±­ ¿½»®½¿®²±­ ¬¿²¬± ½±³± ¯«»®¿³±­ ¿ ¨ ã ðô °»®±­·² ´´»¹¿® ¿ ½»®±ò

б¼»³±­ô °±® »¶»³°´±ô »³°»¦¿® ¼»­¼» ¨ ã ðòðððï § »´ »®®±® ½±³»¬·¼± ¿´ ¸¿½»® ´¿ ¿°®±¨·ó

Û³°»¦¿³±­ ¸¿½·»²¼± ² ã ïðô ½±² ´± ¯«» ±¾¬»²»³±­ ´¿ °®·³»®¿ ¿°®±¨·³¿½·-²æ ïòèìçî﫲·¼¿¼»­ ¼» ?®»®¿ò

п®¿ ² ã îð ±¾¬»²»³±­æ ïòèëïïè «²·¼¿¼»­ ¼» ?®»¿ò

­·²­·²­·²

¨

­·²­·²­·²­·²

¨

Page 87: Libro de-integrales

п®¿ ² ã ëð ±¾¬»²»³±­æ ïòèëïéí «²·¼¿¼»­ ¼» ?®»¿ò

Page 88: Libro de-integrales

ײ¬»¹®¿½·-² ¿°®±¨·³¿¼¿æ λ¹´¿ ¼» Í·³°­±²

Í·³°­±² º«» ¬±¼¿ª3¿ ³?­ ¿´´?ò Û² ´«¹¿® ¼» «¬·´·¦¿® ¬®¿°»½·±­ ¿ °¿®¬·® ¼» ¼±­ °«²¬±­ ³»¶±®- ´¿¿°®±¨·³¿½·-² «¬·´·¦¿²¼± °¿®?¾±´¿­ ¯«» °¿­»² °±® ¬®»­ °«²¬±­ °±® ´±­ ½«¿´»­ °¿­¿ ´¿ º«²½·-²ò

Û´»¹·³±­ í °«²¬±­æ ßø¨ïô º ø¨ï÷÷ô Þø¨îô º ø¨î÷÷ § Ýø¨íô º ø¨í÷÷ò

ݱ² »­¬±­ ¬®»­ °«²¬±­ ª¿³±­ ¿ ½¿´½«´¿® ´¿ °¿®?¾±´¿ ¯«» °¿­¿ °±® ¿¸3ò Û­ ¼»½·®ô ¬»²»³±­ ¯«»¼»¬»®³·²¿® ´±­ °¿®?³»¬®±­ ¿ô ¾ô ½ ¬¿´»­ ¯«» § ã ¿¨î õ ¾ ¨ õ ½ °¿­¿ °±® ´±­ °«²¬±­ ßô Þô Ýò

¨ð ðòë ï

§

ðòï

ðòî

ðòí

ðòì§ ã º ø¨÷

§ ã ¿¨î õ ¾¨ õ ½

ˬ·´·¦¿²¼± »­¬¿ ·¼»¿ô °±¼»³±­ ¿°´·½¿® »´ ³·­³± ³7¬±¼± ¯«» «­¿³±­ °¿®¿ »´ ³7¬±¼± ¼»´ ¬®¿°»½·±

¾Æ

¿

º ø¨÷¼¨Ü¨

íø º ø¨ï÷ õ ì º ø¨î÷ õ î º ø¨í÷ õ ì º ø¨ì÷ õ õ ì º ø¨² ï÷ õ º ø¨²÷÷

°¿®¿ ² °¿® § ܨ ã ø¾ ¿÷ñ²ò

Û¶»³°´± ï

îÆ

ï

¼¨

¨

¸¿½·»²¼± ² ã ïðò

ß°´·½¿³±­ ¼·®»½¬¿³»²¬» ´¿ ®»¹´¿ ¼» Í·³°­±²æ

îÆ

ï

¼¨

¨

ðòï

í

ï

ïõ

ì

ïòïõ

î

ïòîõ

ì

ïòíõõ

î

ïòìõ

ì

ïòëõ

î

ïòêõ

ì

ïòéõ

î

ïòéõ

ì

ïòçõ

ï

î

ðòêçíïëð

뽫»®¼¿ ¯«» ½±² »´ ³7¬±¼± ¼»´ ¬®¿°»½·±ô »² »´ ½«¿´ ±¾¬«ª·³±­ «²¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¼» ðòêçíééïìðí·¼¿¼»­ ¼» ?®»¿ò

Ç »´ ª¿´±® ¼»´ ?®»¿ ¾«­½¿¼¿ »­ ¼»æ ´² î ðòêçíïìéïèðëëççìëò

Û´ ³7¬±¼± ¼» Í·³°­±² ²±­ ¼¿ «²¿ ³»¶±® ¿°®±¨·³¿½·-²ô ½±³± »®¿ ¼» »­°»®¿®­»ò

ˬ·´·¦¿²¼± »­¬¿ ·¼»¿ô °±¼»³±­ ¿°´·½¿® »´ ³·­³± ³7¬±¼± ¯«» «­¿³±­ °¿®¿ »´ ³7¬±¼± ¼»´ ¬®¿°»½·±Ë¬·´·¦¿²¼± »­¬¿ ·¼»¿ô °±¼»³±­ ¿°´·½¿® »´ ³·­³± ³7¬±¼± ¯«» «­¿³±­ °¿®¿ »´ ³7¬±¼± ¼»´ ¬®¿°»½·±

÷ õ÷ õ ìì

ˬ·´·¦¿²¼± »­¬¿ ·¼»¿ô °±¼»³±­ ¿°´·½¿® »´ ³·­³± ³7¬±¼± ¯«» «­¿³±­ °¿®¿ »´ ³7¬±¼± ¼»´ ¬®¿°»½·±Ë¬·´·¦¿²¼± »­¬¿ ·¼»¿ô °±¼»³±­ ¿°´·½¿® »´ ³·­³± ³7¬±¼± ¯«» «­¿³±­ °¿®¿ »´ ³7¬±¼± ¼»´ ¬®¿°»½·±Ë¬·´·¦¿²¼± »­¬¿ ·¼»¿ô °±¼»³±­ ¿°´·½¿® »´ ³·­³± ³7¬±¼± ¯«» «­¿³±­ °¿®¿ »´ ³7¬±¼± ¼»´ ¬®¿°»½·±Ë¬·´·¦¿²¼± »­¬¿ ·¼»¿ô °±¼»³±­ ¿°´·½¿® »´ ³·­³± ³7¬±¼± ¯«» «­¿³±­ °¿®¿ »´ ³7¬±¼± ¼»´ ¬®¿°»½·±Ë¬·´·¦¿²¼± »­¬¿ ·¼»¿ô °±¼»³±­ ¿°´·½¿® »´ ³·­³± ³7¬±¼± ¯«» «­¿³±­ °¿®¿ »´ ³7¬±¼± ¼»´ ¬®¿°»½·±Ë¬·´·¦¿²¼± »­¬¿ ·¼»¿ô °±¼»³±­ ¿°´·½¿® »´ ³·­³± ³7¬±¼± ¯«» «­¿³±­ °¿®¿ »´ ³7¬±¼± ¼»´ ¬®¿°»½·±Ë¬·´·¦¿²¼± »­¬¿ ·¼»¿ô °±¼»³±­ ¿°´·½¿® »´ ³·­³± ³7¬±¼± ¯«» «­¿³±­ °¿®¿ »´ ³7¬±¼± ¼»´ ¬®¿°»½·±Ë¬·´·¦¿²¼± »­¬¿ ·¼»¿ô °±¼»³±­ ¿°´·½¿® »´ ³·­³± ³7¬±¼± ¯«» «­¿³±­ °¿®¿ »´ ³7¬±¼± ¼»´ ¬®¿°»½·±

í÷ õ÷ õ÷ õ÷ õ÷ õ÷ õ÷ õ÷ õ÷ õ ì÷ õ ìì ºì ººº

Page 89: Libro de-integrales

Û¶»³°´± î

ïÆ

ð

» ¨î¼¨

¸¿½·»²¼± ² ã ïðò

п®¿ »­¬» ½¿­± ¬»²»³±­æ ܨ ã ðòïò

ß°´·½¿²¼± ´¿ ®»¹´¿ ¼» Í·³°­±²ô ±¾¬»²»³±­æ

ïÆ

ð

» ¨î¼¨

ðòï

í

¸»ðî

õ ì »ðòïîõ î »ðòîî

õ õ ì »ðòçîõ »ïî

·

ïòìêîêëíêîë

Û¶»³°´± í

ˬ·´·¦¿²¼±

°Æ

ð

­·²ø¨÷¼¨

¸¿½·»²¼± ² ã ïëò

߸±®¿ ܨñí ïòðìéïçéëëïò

ß°´·½¿²¼± ´¿ ®»¹´¿ ±¾¬»²»³±­æ

°Æ

ð

­·²ø¨÷ ¼¨°

í­·²øð÷ õ ì ­·²

°

ïëõ õ ì ­·²

ïì°

ïëõ ­·²ø°÷

îòðððððïííç

б¼»³±­

°Æ

ð

­·²ø¨÷¼¨ ã ½±­ ¨°

ðã ½±­ ° õ ½±­ ð ã î

Û¶»³°´± ì

ˬ·´·¦¿²¼±

°Æ

ð

­·²ø¨÷¼¨

½±²­·¼»®¿²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ² ã ëô ïðô ïëô îðô îëò

ß°´·½¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ ¼» Í·³°­±² § ½¿´½«´¿³±­ ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² °¿®¿ ¼·º»®»²¬»­ ª¿´±®»­ ¼» ²ò

Æ

ððð

ÆÆÆÆÆÆÆ

ð

Page 90: Libro de-integrales

Ѿ¬»²»³±­ ´±­ ­·¹«·»²¬»­ ®»­«´¬¿¼±­æ

² ß°®±¨·³¿½·-²æ

ðë îòðððïðçëïéïð îòðððððêéèëïë îòðððððïííçîð îòððððððìîíîë îòððððððïéí

Ü» ´¿ ¬¿¾´¿ ­» ¸¿½» »ª·¼»²¬» ¯«» ½±²º±®³» ² ½®»½» ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¬·»²¼» ¿ îò

Û¶»³°´± ë

îÆ

ï

¼¨

¨

½±²­·¼»®¿²¼± ´±­ ª¿´±®»­ ² ã ëô ïðô ïëô îðô îëò

Ü» ²«»ª±ô ¿°´·½¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ ¼» Í·³°­±² °¿®¿ ¼·º»®»²¬»­ ª¿´±®»­ ¼» ²æ

² ß°®±¨·³¿½·-²æ

ðë ðòêçíïëðîíðéïð ðòêçíïìéíéìéïë ðòêçíïìéîïçðîð ðòêçíïìéïçîéîë ðòêçíïìéïèëê

뽫»®¼¿ ¯«» »´ ª¿´±® »¨¿½¬± ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ »­æ ´²øî÷ ðòêçíïìéïèðëëççìëò

¿²¬·¼»®·ª¿¼¿ ¼»´ ·²¬»¹®¿²¼± »­ ­«³¿³»²¬» ¼·º3½·´ ¼» ½¿´½«´¿®ò

п®¿ »­±­ ½¿­±­ ­» «¬·´·¦¿² ³7¬±¼±­ ²«³7®·½±­ô ½±³± ´¿ ®»¹´¿ ¼» Í·³°­±²ò

¿°®±¨·³¿® ´¿­ ­±´«½·±²»­ ¼» »½«¿½·±²»­ ³«§ ¼·º3½·´»­ ¼» ®»­±´ª»® ¼» ³¿²»®¿ ¿²¿´3¬·½¿ô ¿­3 ½±³± ¿´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¼» ½?´½«´±­ ¯«» ¼» ±¬®¿ ³¿²»®¿ ­»®3¿ °®?½¬·½¿³»²¬» ·³°±­·¾´» ¼» ±¾¬»²»®ò

ðòêçíïìéïèðëëççìëòðòêçíïìéïèðëëççìëò

îë ðòêçíïìéïèëê

Ü» ²«»ª±ô ¿°´·½¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ ¼» Í·³°­±² °¿®¿ ¼·º»®»²¬»­ ª¿´±®»­ ¼»Ü» ²«»ª±ô ¿°´·½¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ ¼» Í·³°­±² °¿®¿ ¼·º»®»²¬»­ ª¿´±®»­ ¼»Ü» ²«»ª±ô ¿°´·½¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ ¼» Í·³°­±² °¿®¿ ¼·º»®»²¬»­ ª¿´±®»­ ¼»

² ß°®±¨·³¿½·-²æ

ðë ðòêçíïëðîíðéïð ðòêçíïìéíéìéïð ðòêçíïìéíéìéïë ðòêçíïìéîïçðïë ðòêçíïìéîïçðïë ðòêçíïìéîïçðîð ðòêçíïìéïçîéîð ðòêçíïìéïçîéîë ðòêçíïìéïèëê

ðòêçíïìéïèðëëççìëòðòêçíïìéïèðëëççìëòðòêçíïìéïèðëëççìëò

îë ðòêçíïìéïèëê

Ü» ²«»ª±ô ¿°´·½¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ ¼» Í·³°­±² °¿®¿ ¼·º»®»²¬»­ ª¿´±®»­ ¼»Ü» ²«»ª±ô ¿°´·½¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ ¼» Í·³°­±² °¿®¿ ¼·º»®»²¬»­ ª¿´±®»­ ¼»Ü» ²«»ª±ô ¿°´·½¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ ¼» Í·³°­±² °¿®¿ ¼·º»®»²¬»­ ª¿´±®»­ ¼»Ü» ²«»ª±ô ¿°´·½¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ ¼» Í·³°­±² °¿®¿ ¼·º»®»²¬»­ ª¿´±®»­ ¼»Ü» ²«»ª±ô ¿°´·½¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ ¼» Í·³°­±² °¿®¿ ¼·º»®»²¬»­ ª¿´±®»­ ¼»Ü» ²«»ª±ô ¿°´·½¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ ¼» Í·³°­±² °¿®¿ ¼·º»®»²¬»­ ª¿´±®»­ ¼»Ü» ²«»ª±ô ¿°´·½¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ ¼» Í·³°­±² °¿®¿ ¼·º»®»²¬»­ ª¿´±®»­ ¼»Ü» ²«»ª±ô ¿°´·½¿³±­ ´¿ ®»¹´¿ ¼» Í·³°­±² °¿®¿ ¼·º»®»²¬»­ ª¿´±®»­ ¼»

²²²²²²² ß°®±¨·³¿½·-²æß°®±¨·³¿½·-²æ

ðë ðòêçíïëðîíðéðë ðòêçíïëðîíðéðë ðòêçíïëðîíðéðë ðòêçíïëðîíðéðë ðòêçíïëðîíðéðë ðòêçíïëðîíðéðë ðòêçíïëðîíðéðë ðòêçíïëðîíðé

ß°®±¨·³¿½·-²æß°®±¨·³¿½·-²æß°®±¨·³¿½·-²æß°®±¨·³¿½·-²æ

ïð ðòêçíïìéíéìéïð ðòêçíïìéíéìéïð ðòêçíïìéíéìéïð ðòêçíïìéíéìéïð ðòêçíïìéíéìéðë ðòêçíïëðîíðéïð ðòêçíïìéíéìéïð ðòêçíïìéíéìéïð ðòêçíïìéíéìéïð ðòêçíïìéíéìéïð ðòêçíïìéíéìéïð ðòêçíïìéíéìéðë ðòêçíïëðîíðé

ïë ðòêçíïìéîïçðïð ðòêçíïìéíéìéïë ðòêçíïìéîïçðïë ðòêçíïìéîïçðïë ðòêçíïìéîïçðïð ðòêçíïìéíéìéïë ðòêçíïìéîïçðïë ðòêçíïìéîïçðïë ðòêçíïìéîïçðïë ðòêçíïìéîïçðïë ðòêçíïìéîïçðïð ðòêçíïìéíéìéïð ðòêçíïìéíéìé

îð ðòêçíïìéïçîéïë ðòêçíïìéîïçðîð ðòêçíïìéïçîéîð ðòêçíïìéïçîéîð ðòêçíïìéïçîéîð ðòêçíïìéïçîéïë ðòêçíïìéîïçð

îë ðòêçíïìéïèëêîð ðòêçíïìéïçîéîë ðòêçíïìéïèëêîë ðòêçíïìéïèëêîð ðòêçíïìéïçîéîð ðòêçíïìéïçîéîð ðòêçíïìéïçîé

Page 91: Libro de-integrales

_®»¿ »²¬®» ¼±­ º«²½·±²»­

Û² ¿´¹«²¿­ ¿°´·½¿½·±²»­ ¼» ·²¹»²·»®3¿ § ¼» ¿¼³·²·­¬®¿½·-² ­» ®»¯«·»®» ½±²±½»® »´ ?®»¿ »²¬®» ¼±­½«®ª¿­ò

Û² »­¬±­ ½¿­±­ «­¿³±­ ´¿ ³·­³¿ ·¼»¿ ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ ¼» η»³¿²² °»®± ¿¸±®¿ ª¿³±­ ¿ ½¿´½«´¿®´¿ ¼·º»®»²½·¿ ¼» ´¿­ ¿´¬«®¿­ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­ § ¿ ½±²­·¼»®¿® «²¿ °»¯«»/¿ ¾¿²¼¿ ª»®¬·½¿´ ½±³± «²°»¯«»/± ·²½®»³»²¬± »² ¨ ø»­ ¼»½·®ô ½±³± ܨ÷ § ½¿´½«´¿® »´ ?®»¿ »² »´ ·²¬»®ª¿´± ¼» ·²¬»®7­ò

Û¶»³°´± ïÝ¿´½«´¿ »´ ?®»¿ »²¬®» ´¿­ º«²½·±²»­æ § ã ¨ô § § ã ¨îô ¼»­¼» ¨ ã 𠸿­¬¿ ¨ ã ïò

Ì»²»³±­ ¼±­ º±®³¿­ ¼·­¬·²¬¿­ ¼» ½¿´½«´¿® »´ ?®»¿ ¾«­½¿¼¿ò

Û² »´ °®·³»® ³7¬±¼± ½¿´½«´¿³±­ ´¿­ ?®»¿­ °±® ­»°¿®¿¼± § ½¿´½«´¿³±­ ´¿ ¼·º»®»²½·¿ »²¬®»¿³¾¿­æ

Û³°»¦¿³±­ ½¿´½«´¿²¼± »´ ?®»¿ ¼»¾¿¶± ¼» ´¿ ®»½¬¿æ

ï

ð

¨ ¼¨ ã¨î

î

ï

ð

ãï

î

б® ±¬®¿ °¿®¬»ô »´ ?®»¿ ¼»¾¿¶± ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ »­æ

ï

ð

¨î ¼¨ ã¨í

í

ï

ð

ãï

í

Ù»±³7¬®·½¿³»²¬» ¬»²»³±­ ´¿ ­·¹«·»²¬» ­·¬«¿½·-²æ

¨ðòï ðòî ðòì ðòê ðòè ïòð

§

ðòî

ðòì

ðòê

ðòè

ïòð

§ ã ¨î

Ûª·¼»²¬»³»²¬»ô ­· ¿´ ?®»¿ ¯«» »­¬? ¼»¾¿¶± ¼» ´¿ ®»½¬¿ ´» ®»­¬¿³±­ »´ ?®»¿ ¯«» »­¬? °±® ¼»¾¿¶±¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ô ±¾¬»²»³±­ »´ ?®»¿ »²¬®» ´¿­ ¼±­ ½«®ª¿­æ

ß ãï

î

ï

íã

ï

ê

б® ±¬®¿ °¿®¬»ô »´ ?®»¿ ¼»¾¿¶± ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ »­æб® ±¬®¿ °¿®¬»ô »´ ?®»¿ ¼»¾¿¶± ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ »­æ

ï

¨î ¼¼

Ù»±³7¬®·½¿³»²¬» ¬»²»³±­ ´¿ ­·¹«·»²¬» ­·¬«¿½·-²æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬» ¬»²»³±­ ´¿ ­·¹«·»²¬» ­·¬«¿½·-²æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬» ¬»²»³±­ ´¿ ­·¹«·»²¬» ­·¬«¿½·-²æ

б® ±¬®¿ °¿®¬»ô »´ ?®»¿ ¼»¾¿¶± ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ »­æб® ±¬®¿ °¿®¬»ô »´ ?®»¿ ¼»¾¿¶± ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ »­æб® ±¬®¿ °¿®¬»ô »´ ?®»¿ ¼»¾¿¶± ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ »­æб® ±¬®¿ °¿®¬»ô »´ ?®»¿ ¼»¾¿¶± ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ »­æб® ±¬®¿ °¿®¬»ô »´ ?®»¿ ¼»¾¿¶± ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ »­æб® ±¬®¿ °¿®¬»ô »´ ?®»¿ ¼»¾¿¶± ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ »­æб® ±¬®¿ °¿®¬»ô »´ ?®»¿ ¼»¾¿¶± ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ »­æ

ï

¨̈̈̈ ¼î ¼¼¨̈¼¨̈̈̈¼¨¼¼

Ù»±³7¬®·½¿³»²¬» ¬»²»³±­ ´¿ ­·¹«·»²¬» ­·¬«¿½·-²æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬» ¬»²»³±­ ´¿ ­·¹«·»²¬» ­·¬«¿½·-²æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬» ¬»²»³±­ ´¿ ­·¹«·»²¬» ­·¬«¿½·-²æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬» ¬»²»³±­ ´¿ ­·¹«·»²¬» ­·¬«¿½·-²æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬» ¬»²»³±­ ´¿ ­·¹«·»²¬» ­·¬«¿½·-²æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬» ¬»²»³±­ ´¿ ­·¹«·»²¬» ­·¬«¿½·-²æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬» ¬»²»³±­ ´¿ ­·¹«·»²¬» ­·¬«¿½·-²æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬» ¬»²»³±­ ´¿ ­·¹«·»²¬» ­·¬«¿½·-²æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬» ¬»²»³±­ ´¿ ­·¹«·»²¬» ­·¬«¿½·-²æ

Page 92: Libro de-integrales

Û² »´ ­»¹«²¼± ³7¬±¼± ª¿³±­ ¿ ½¿´½«´¿® ´¿ ¼·º»®»²½·¿ ¼» ´¿­ ¿´¬«®¿­ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­ °¿®¿½¿¼¿ °«²¬±ò

Û­¿ ¼·­¬¿²½·¿ »­ ´¿ ¿´¬«®¿ ¼» ½¿¼¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼» ?®»¿æ

ï

ð

ø¨ ¨î÷¼¨ ã¨î

î

¨í

í

ï

ð

ãï

î

ï

íã

ï

ê

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ´¿ ®»½¬¿ »­¬? °±® »²½·³¿ ¼» ´¿ °¿®?¾±´¿ò

Û­¿ »­ ´¿ ®¿¦-² °±® ´¿ ½«¿´ ®»­¬¿³±­ ´¿ ¯«» »­¬? °±® ¼»¾¿¶± ¿ ´¿ ¯«» »­¬? °±® ¿®®·¾¿ò

ß­3 ´¿ ¿´¬«®¿ ¼» ½¿¼¿ ¼·º»®»²½·¿´ »­ °±­·¬·ª¿ § ±¾¬»²»³±­ «² ®»­«´¬¿¼± °±­·¬·ª±ò

Û¶»³°´± î Ý¿´½«´¿ »´ ?®»¿ »²¬®» ´¿­ º«²½·±²»­æ § ã ½±­ ¨ô § § ã ­·² ¨ ¼»­¼» ¨ ã °ñì ¸¿­¬¿ ë °ñìò

Ü»½±®¬¿²ò

ß¼»³?­ô »² »­» ·²¬»®ª¿´± ­·² ¨ ¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼»´ ½±­ ¨ò

¨ï î í ì ë ê é

§

ðòî

ðòì

ðòê

ðòè

ïòð

ðòî

ðòì

ðòê

ðòè

ïòð

§ ã ­·² ¨

§ ã ½±­ ¨

î í

Û²¬±²½»­ô »´ ?®»¿ ­» ½¿´½«´¿ ½±²æ

ë°ñì

°ñì

ø­·² ¨ ½±­ ¨÷¼¨ ãø ½±­ ¨ ­·² ¨÷ë°ñì

°ñìã î

°î

Û¶»³°´± í Ý¿´½«´¿ »´ ?®»¿ »²¬®» ´¿­ º«²½·±²»­æ § ã°

¨ô § § ã ¨î ¼»­¼» ¨ ã 𠸿­¬¿ ïò

Ô¿ ®»°®»­»²¬¿½·-² ¹»±³7¬®·½¿ ¼»´ °®±¾´»³¿ »­ ´¿ ­·¹«·»²¬»æ

ß¼»³?­ô »² »­» ·²¬»®ª¿´± ­·²ß¼»³?­ô »² »­» ·²¬»®ª¿´± ­·²ß¼»³?­ô »² »­» ·²¬»®ª¿´± ­·²

ëë

¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼»´ ½±­¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼»´ ½±­ß¼»³?­ô »² »­» ·²¬»®ª¿´± ­·²ß¼»³?­ô »² »­» ·²¬»®ª¿´± ­·²ß¼»³?­ô »² »­» ·²¬»®ª¿´± ­·²

ëë

¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼»´ ½±­¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼»´ ½±­¨ ¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼»´ ½±­¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼»´ ½±­¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼»´ ½±­¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼»´ ½±­¯«»¼¿ °±® »²½·³¿ ¼»´ ½±­

Page 93: Libro de-integrales

¨ðòï ðòî ðòì ðòê ðòè ïòð

§

ðòî

ðòì

ðòê

ðòè

ïòð

ðòïðòï

Û² »´ ·²¬»®ª¿´± øðô ï÷ô ´¿ ¼» ´¿ º«²½·-² § ã°

¨ »­¬? °±® »²½·³¿ ¼» ´¿ ¼» ´¿º«²½·-² § ã ¨îò

Û²¬±²½»­ô »´ ?®»¿ ­» ½¿´½«´¿ ½±²æ

ï

ð

ø°

¨ ¨î÷¼¨ ãî ¨íñî

í

¨í

í

ï

ð

ãî

í

ï

íã

ï

í

б® ­·³»¬®3¿ ¼» ¿³¾¿­ º«²½·±²»­ ®»­°»½¬± ¼» § ã ¨ ø¼¿¼± ¯«» ­±² º«²½·-² ·²ª»®­¿ «²¿ ¼»´¿ ±¬®¿ »² »´ ·²¬»ª¿´± ½±²­·¼»®¿¼±÷ô »­ »ª·¼»²¬» ¯«» »´ ?®»¿ ¯«» ¿¸±®¿ ¾«­½¿³±­ »­ ·¹«¿´ ¿´¼±¾´» ¼» ´¿ ¯«» »­¬? »²¬®» ´¿ ®»½¬¿ § ã ¨ § § ã ¨îò

Ѿ­»®ª¿ ¯«» »´ ®»­«´¬¿¼± »­¬? ¼» ¿½«»®¼± ½±² »´ °®·³»® »¶»³°´±ò

Û¶»³°´± ìÝ¿´½«´¿ »´ ?®»¿ »²¬®» ´¿­ º«²½·±²»­æ § ã ¨ñîô § § ã°

¨ ¼»­¼» ¨ ã 𠸿­¬¿ ¨ ã ìò

Ô±­ °«²¬±­ ¼» ·²¬»®­»½½·-² ¼» ´¿­ ¼±­ ½«®ª¿­ ­±²æ øðô ð÷ § øìô î÷ò

Û² »´ ·²¬»®ª¿´± øðô ì÷ô ´¿ º«²½·-² § ã°

¨ »­¬? °±® »²½·³¿ ¼» ´¿ ¼» ´¿ º«²½·-² § ã ¨ñîò

Û´ ?®»¿ »²½»®®¿¼¿ °±® »­¬¿­ ¼±­ º«²½·±²»­ »­æ

ì

ð

°¨

¨

 ã

î ¨íñî

í

¨î

ì

ì

ð

ãïê

íì ã

ì

í

Ù»±³7¬®·½¿³»²¬»ô ¬»²»³±­ ´¿ ­·¹«·»²¬» ­·¬«¿½·-²æ

¼»­¼» ¨

»¶»³°´±ò

¼¨¨ ÷¼¨ ã¨î

»­°»½¬±»­°»½¬±ª·¼»²¬»ª·¼»²¬»

§ ã ¨îò

»´ °®·³»®°®·³»®

¼»­¼»¼»­¼» ¨

»¶»³°´±ò

¼¨¨ ÷÷÷¼¨̈ ãã÷¼ ã¨î ¼î ¼îî

»­°»½¬±»­°»½¬±ª·¼»²¬»ª·¼»²¬»

»­°»½¬±ª·¼»²¬»

»­°»½¬±ª·¼»²¬»ª·¼»²¬»

»­°»½¬±»­°»½¬±»­°»½¬±»­°»½¬±»­°»½¬±»­°»½¬±

§ ãã㪷¼»²¬»

§ª·¼»²¬»

ã ¨̈̈̈̈̈̈̈̈îîî

»´»´»´ °®·³»®°®·³»®°®·³»®°®·³»®°®·³»®°®·³»®°®·³»®°®·³»®°®·³»®

Page 94: Libro de-integrales

¨ð ï î í ì

§

ðòë

ïòð

ïòë

îòð

Û¶»³°´± ë Ý¿´½«´¿ »´ ?®»¿ »²½»®®¿¼¿ »²¬®» ´¿­ º«²½·±²»­æ § ã ¨î ïô § § ã ï ¨îò

Ю·³»®± ¼»¾»³±­ ½¿´½«´¿® ´±­ °«²¬±­ ¼» ·²¬»®­»½½·-² ¼» ´¿­ ¼±­ ½«®ª¿­ò

п®¿ »­± ·¹«¿´¿³±­ ´±­ ª¿´±®»­ ¼» § § ®»­±´ª»³±­ °¿®¿ ¨æ

¨î ï ã ï ¨î

î ¨î ã î

¨î ã ï ÷ ¨ ã ï

п®¿ ½¿´½«´¿® »´ ª¿´±® ¼» §ô ­«­¬·¬«·³±­ »² ½«¿´¯«·»®¿ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­æ

§ø ï÷ ã ø ï÷î ï ã ð §øï÷ ã øï÷î ï ã ð

Û²¬±²½»­ô ´±­ °«²¬±­ ¼» ·²¬»®­»½½·-² ¼» ´¿­ ¼±­ º«²½·±²»­ ­±²æ ßø ïô ð÷ § Þøïô ð÷ò

Û´ ?®»¿ »²½»®®¿¼¿ °±® ´¿­ ¼±­ °¿®?¾±´¿­ »­æ

ß ã

ï

ï

øï ¨î÷ ø¨î ï÷ ¼¨

ã

ï

ï

î î ¨î

ã î ¨î ¨í

í

ï

ï

ãè

í

¨ï ðòë Ñ ðòë ï

§

ï

ðòë

ðòë

ï

ï ðòëðòë ÑÑÑ ðòëðòë

ï

ðòëðòë

ðòëðòë

ï

п®¿ »­± ·¹«¿´¿³±­ ´±­ ª¿´±®»­ ¼»Ð¿®¿ »­± ·¹«¿´¿³±­ ´±­ ª¿´±®»­ ¼»

Û²¬±²½»­ô ´±­ °«²¬±­ ¼» ·²¬»®­»½½·-² ¼» ´¿­ ¼±­ º«²½·±²»­ ­±²æ

ï

î

ï¨î

¨î

î ã

ô ­«­¬·¬«·³±­ »² ½«¿´¯«·»®¿ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­æô ­«­¬·¬«·³±­ »² ½«¿´¯«·»®¿ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­æô ­«­¬·¬«·³±­ »² ½«¿´¯«·»®¿ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­æô ­«­¬·¬«·³±­ »² ½«¿´¯«·»®¿ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­æ

§

п®¿ »­± ·¹«¿´¿³±­ ´±­ ª¿´±®»­ ¼»Ð¿®¿ »­± ·¹«¿´¿³±­ ´±­ ª¿´±®»­ ¼»

Û²¬±²½»­ô ´±­ °«²¬±­ ¼» ·²¬»®­»½½·-² ¼» ´¿­ ¼±­ º«²½·±²»­ ­±²æ

ï

î

ï ãï ã¨î¨îî

î

¨î

ããã

ô ­«­¬·¬«·³±­ »² ½«¿´¯«·»®¿ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­æô ­«­¬·¬«·³±­ »² ½«¿´¯«·»®¿ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­æô ­«­¬·¬«·³±­ »² ½«¿´¯«·»®¿ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­æô ­«­¬·¬«·³±­ »² ½«¿´¯«·»®¿ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­æô ­«­¬·¬«·³±­ »² ½«¿´¯«·»®¿ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­æô ­«­¬·¬«·³±­ »² ½«¿´¯«·»®¿ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­æô ­«­¬·¬«·³±­ »² ½«¿´¯«·»®¿ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­æô ­«­¬·¬«·³±­ »² ½«¿´¯«·»®¿ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­æô ­«­¬·¬«·³±­ »² ½«¿´¯«·»®¿ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­æô ­«­¬·¬«·³±­ »² ½«¿´¯«·»®¿ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­æô ­«­¬·¬«·³±­ »² ½«¿´¯«·»®¿ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­æô ­«­¬·¬«·³±­ »² ½«¿´¯«·»®¿ ¼» ´¿­ º«²½·±²»­æ

§§§§§

Page 95: Libro de-integrales

Û¶»³°´± ïÝ¿´½«´¿ »´ ª±´«³»² ¹»²»®¿¼± ½«¿²¼± ´¿ º«²½·-²æ § ã

°¨ ¹·®¿ ¿´®»¼»¼±® ¼»´ »¶» ¨ ¼»­¼» ¨ ã ð

¸¿­¬¿ ¨ ã ìò

ðòë ï î í ìÑ

§

î

ïòë

ïòð

ðòë

ðòë

ïòð

ïòë

îòð

ì켨¨

Ì»²»³±­ ¯«» ¹»²»®¿® ¼·­½±­ ¿ °¿®¬·® ¼» ½¿¼¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼¨ò

Í· ½¿´½«´¿³±­ »´ ?®»¿ ¼» «²¿ ½¿®¿ ¼»´ ¼·­½± § ´¿ ³«´¬·°´·½¿³±­ °±® ­« ¿´¬«®¿ ø¼¨÷ô ±¾¬»²»³±­»´ ª±´«³»² ¼»´ ¼·­½±ò

ß´ ­«³¿® »´ ª±´«³»² ¼» ¬±¼±­ ´±­ ¼·­½±­ ±¾¬»²¼®»³±­ «²¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¿´ ª±´«³»² ¯«» ­»¹»²»®¿ ¿´ ¹·®¿® ´¿ º«²½·-² ¿´®»¼»¼±® ¼»´ »¶» ¨ò

¾«­½¿¼±ò

§ ã°

¨ò

Û²¬±²½»­ô »´ ?®»¿ ¼» «² ¼·­½± »­æ

¼ß ã ° ®î ã °°

¨îã ° ¨

Ç ´¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¿´ ª±´«³»² ¼»´ ¼·º»®»²½·¿´ »­æ

¼Ê ã ¼ß ¼¨ ã ° ¨ ¼¨

¼±²¼» ¼¨ ã ìñ²ô ­«°±²·»²¼± ² °¿®¬·½·±²»­ ¼»´ ·²¬»®ª¿´± øðô ì÷ò

ï

Page 96: Libro de-integrales

Ô¿ ¿°®±¨·³¿½·-² ¿´ ª±´«³»² »²¬±²½»­ »­æ

²

;·ãð

° ¨ ¼¨

Ý«¿²¼± ¸¿½»³±­ ¯«» ²

ìÆ

ð

° ¨ ¼¨ ã °¨î

î

ì

ð

ã è °

Û²¬±²½»­ô »´ ª±´«³»² ¯«» ­» ¹»²»®¿ ¸¿½·»²¼± ¹·®¿® ´¿ º«²½·-² § ã°

¨ ¿´®»¼»¼±® ¼»´ »¶» ¨¼»­¼» »´ ±®·¹»² ¸¿­¬¿ ¨ ã ì »­ è ° «²·¼¿¼»­ ¼» ª±´«³»²ò

Û¶»³°´± îÝ¿´½«´¿ »´ ª±´«³»² ¼»´ ­-´·¼± ¬»¬®¿7¼®·½± ½«§±­ ª7®¬·½»­ »­¬?² »² ´±­ °«²¬±­æ ßøðô ðô ð÷ô Þø¿ô ðô ð÷ôÝø¿ô ¾ô ð÷ô § Üø¿ô ðô ½÷ò

Û´ ­-´·¼± »­ «²¿ °·®?³·¼» ½«§±­ ª7®¬·½»­ ­» »²´·­¬¿² ¿²¬»­ò

Ù»±³7¬®·½¿³»²¬»ô ¼»­»¿³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª±´«³»² ¼»´ ­·¹«·»²¬» ­-´·¼±æ

¨

§

¦

¿

¾

½

¼Ê

Ê¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿® ¼·º»®»²½·¿´»­ ¼» ª±´«³»² °»®°»²¼·½«´¿®»­ ¿´ »¶» ¨ò

Ô¿ ®»½¬¿ ¯«» º±®³¿ «²¿ ¼» ´¿­ ¿®·­¬¿­ ¼»´ ­-´·¼± »­æ § ã ¾ ¨ñ¿ò

Ô¿ ±¬®¿ ¿®·­¬¿ »­¬? ­±¾®» ´¿ ®»½¬¿æ ¦ ã ½ ¨ñ¿ò

Ô±­ ¬®·?²¹«´±­ ¯«» ­» º±®³¿² ­±² ®»½¬?²¹«´±­ô °±®¯«» ´¿ ¾¿­» ¼»´ ­-´·¼± »­ °¿®¿´»´¿ ¿´ °´¿²±§¦ò

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ´¿ ¾¿­» ¼» ½¿¼¿ ¬®·?²¹«´± ¯«» ­» º±®³¿ ½±² ´¿­ ¼·º»®»²½·¿´»­ »­æ §· ã ¾ ¨·ñ¿ò

Ü» ³¿²»®¿ ­»³»¶¿²¬»ô ¦· ã ½ ¨·ñ¿ò

­-´·¼± »­ «²¿ °·®?³·¼» ½«§±­ ª7®¬·½»­ ­» »²´·­¬¿² ¿²¬»­ò­-´·¼± »­ «²¿ °·®?³·¼» ½«§±­ ª7®¬·½»­ ­» »²´·­¬¿² ¿²¬»­ò

Ù»±³7¬®·½¿³»²¬»ô ¼»­»¿³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª±´«³»² ¼»´ ­·¹«·»²¬» ­-´·¼±æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬»ô ¼»­»¿³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª±´«³»² ¼»´ ­·¹«·»²¬» ­-´·¼±æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬»ô ¼»­»¿³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª±´«³»² ¼»´ ­·¹«·»²¬» ­-´·¼±æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬»ô ¼»­»¿³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª±´«³»² ¼»´ ­·¹«·»²¬» ­-´·¼±æ

­-´·¼± »­ «²¿ °·®?³·¼» ½«§±­ ª7®¬·½»­ ­» »²´·­¬¿² ¿²¬»­ò­-´·¼± »­ «²¿ °·®?³·¼» ½«§±­ ª7®¬·½»­ ­» »²´·­¬¿² ¿²¬»­ò

Ù»±³7¬®·½¿³»²¬»ô ¼»­»¿³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª±´«³»² ¼»´ ­·¹«·»²¬» ­-´·¼±æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬»ô ¼»­»¿³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª±´«³»² ¼»´ ­·¹«·»²¬» ­-´·¼±æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬»ô ¼»­»¿³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª±´«³»² ¼»´ ­·¹«·»²¬» ­-´·¼±æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬»ô ¼»­»¿³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª±´«³»² ¼»´ ­·¹«·»²¬» ­-´·¼±æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬»ô ¼»­»¿³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª±´«³»² ¼»´ ­·¹«·»²¬» ­-´·¼±æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬»ô ¼»­»¿³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª±´«³»² ¼»´ ­·¹«·»²¬» ­-´·¼±æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬»ô ¼»­»¿³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª±´«³»² ¼»´ ­·¹«·»²¬» ­-´·¼±æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬»ô ¼»­»¿³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª±´«³»² ¼»´ ­·¹«·»²¬» ­-´·¼±æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬»ô ¼»­»¿³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª±´«³»² ¼»´ ­·¹«·»²¬» ­-´·¼±æÙ»±³7¬®·½¿³»²¬»ô ¼»­»¿³±­ ½¿´½«´¿® »´ ª±´«³»² ¼»´ ­·¹«·»²¬» ­-´·¼±æ

Page 97: Libro de-integrales

Û²¬±²½»­ô »´ ?®»¿ ¼» «²¿ ½¿®¿ ¼» ´¿ ¼·º»®»²½·¿´ ¼» ª±´«³»² »­æ

ßø¨÷ ãï

 ã

¾½¨î

î ¿î

Ô±­ ´3³·¬»­ ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ »² »­¬» ½¿­± ª¿² ¼»­¼» ¨ ã 𠸿­¬¿ ¨ ã ¿ò

Û²¬±²½»­ô »´ ª±´«³»² ¼»´ ­-´·¼± »­æ

¿Æ

ð

¾½¨î

î ¿î¼¨ ã

¿¾½

ê

°·®?³·¼» ½±²±½·¼¿ »´ ?®»¿ ¼» ­« ¾¿­»ò

Û² º3­·½¿ô »´ ½»²¬®± ¼» ¹®¿ª»¼¿¼ ¼» «² ½«»®°± »­ «² °«²¬± »² »´ ½«¿´ ­» °«»¼» ½±²­·¼»®¿® ¯«» »­¬?½±²½»²¬®¿¼¿ ¬±¼¿ ´¿ ³¿­¿ ¼»´ ³·­³±ò

ï

Ý»²¬®± ¼» ¹®¿ª»¼¿¼Û´ ½»²¬®± ¼» ¹®¿ª»¼¿¼ ¼» «² ½«»®°± »­ »´ °«²¬± »² »´ ½«¿´ ­» °«»¼» ½±²­·¼»®¿® ¯«» ­» »¶»®½» ´¿ º«»®¦¿ ¼»¿¬®¿½½·-² ¼»¾·¼± ¿ ´¿ ¹®¿ª»¼¿¼ ­±¾®» »­» ½«»®°±òÍ· »´ ½«»®°± ¬·»²» ² °¿®¬3½«´¿­ »² ´¿­ °±­·½·±²»­ ºø¨ïô §ï÷ô ø¨îô §î÷ô ô ø¨²ô §²÷¹ô § ´±­ °»­±­ ¼» ½¿¼¿«²¿ ¼» ´¿­ °¿®¬3½«´¿­ »­æ º©ïô ©îô ô ©²¹ ´¿­ ½±±®¼»²¿¼¿­ ¼»´ ½»²¬®± ¼» ¹®¿ª»¼¿¼ Ýø q̈ô q§÷ ­» °«»¼»²½¿´½«´¿® ½±²æ

q̈ ã©ï¨ï õ ©î¨î õ õ ©²¨²

©ï õ ©î õ õ ©²ã

²

;·ãï

©·¨·

²

;·ãï

©·

q§ ã©ï§ï õ ©î§î õ õ ©²§²

©ï õ ©î õ õ ©²ã

²

;·ãï

©·§·

²

;·ãï

©·

Û¶»³°´± íλ¿´·¦¿ »´ ½?´½«´± ¼»´ ½»²¬®± ¼» ¹®¿ª»¼¿¼ ¼» «² ½«»®°± °¿®¿ »´ ½¿­± ½±²¬3²«±ò

Ò±­±¬®±­ ª¿³±­ ¿ ½±²­·¼»®¿® ¯«» »´ ²&³»®± ¼» °¿®¬3½«´¿­ ²

Û²¬±²½»­ô ´¿ ­«³¿¬±®·¿ ­» ½±²ª»®¬·®? »² «²¿ ·²¬»¹®¿´ò

Ѿ­»®ª¿ ¯«» ­· ³«´¬·°´·½¿³±­ ´¿ ¼»²­·¼¿¼ ´·²»¿´ ø³¿­¿ °±® «²·¼¿¼ ¼» ¼·­¬¿²½·¿÷ ¼»´ ½«»®°±°±® «²¿ ¼·­¬¿²½·¿ô ±¾¬»²»³±­ ´¿ ³¿­¿ ¼»´ ³¿¬»®·¿´ ½±²¬»²·¼¿ »² »­¿ ¼·­¬¿²½·¿ò

Í«°«»­¬± ¯«» ²±­±¬®±­ ½±²±¦½¿³±­ ´¿ º«²½·-² ¼ø¨÷ ¯«» ²±­ ¼7 ´¿ ¼»²­·¼¿¼ ´·²»¿´ ¼»´ ½«»®°±»² ¨· ô °±¼®»³±­ »­½®·¾·®æ

q̈ ã ´·³²ÿ{

²

;·ãï

©·¨·

²

;·ãï

©·

ã

¾Æ

¿

¨ ¼ø¨÷¼¨

¾Æ

¿

¼ø¨÷¼¨

Û´ ½»²¬®± ¼» ¹®¿ª»¼¿¼ ¼» «² ½«»®°± »­ »´ °«²¬± »² »´ ½«¿´ ­» °«»¼» ½±²­·¼»®¿® ¯«» ­» »¶»®½» ´¿ º«»®¦¿ ¼»Û´ ½»²¬®± ¼» ¹®¿ª»¼¿¼ ¼» «² ½«»®°± »­ »´ °«²¬± »² »´ ½«¿´ ­» °«»¼» ½±²­·¼»®¿® ¯«» ­» »¶»®½» ´¿ º«»®¦¿ ¼»¿¬®¿½½·-² ¼»¾·¼± ¿ ´¿ ¹®¿ª»¼¿¼ ­±¾®» »­» ½«»®°±ò¿¬®¿½½·-² ¼»¾·¼± ¿ ´¿ ¹®¿ª»¼¿¼ ­±¾®» »­» ½«»®°±ò

ãã

¿¬®¿½½·-² ¼»¾·¼± ¿ ´¿ ¹®¿ª»¼¿¼ ­±¾®» »­» ½«»®°±òÍ· »´ ½«»®°± ¬·»²» ² °¿®¬3½«´¿­ »² ´¿­ °±­·½·±²»­¿¬®¿½½·-² ¼»¾·¼± ¿ ´¿ ¹®¿ª»¼¿¼ ­±¾®» »­» ½«»®°±òÍ· »´ ½«»®°± ¬·»²» ² °¿®¬3½«´¿­ »² ´¿­ °±­·½·±²»­¿¬®¿½½·-² ¼»¾·¼± ¿ ´¿ ¹®¿ª»¼¿¼ ­±¾®» »­» ½«»®°±òÍ· »´ ½«»®°± ¬·»²» ² °¿®¬3½«´¿­ »² ´¿­ °±­·½·±²»­

©²¹ ´¿­ ½±±®¼»²¿¼¿­ ¼»´ ½»²¬®± ¼» ¹®¿ª»¼¿¼ Ý´¿­ ½±±®¼»²¿¼¿­ ¼»´ ½»²¬®± ¼» ¹®¿ª»¼¿¼ Ý

õ õ

õõ ©©²

Û´ ½»²¬®± ¼» ¹®¿ª»¼¿¼ ¼» «² ½«»®°± »­ »´ °«²¬± »² »´ ½«¿´ ­» °«»¼» ½±²­·¼»®¿® ¯«» ­» »¶»®½» ´¿ º«»®¦¿ ¼»Û´ ½»²¬®± ¼» ¹®¿ª»¼¿¼ ¼» «² ½«»®°± »­ »´ °«²¬± »² »´ ½«¿´ ­» °«»¼» ½±²­·¼»®¿® ¯«» ­» »¶»®½» ´¿ º«»®¦¿ ¼»¿¬®¿½½·-² ¼»¾·¼± ¿ ´¿ ¹®¿ª»¼¿¼ ­±¾®» »­» ½«»®°±ò¿¬®¿½½·-² ¼»¾·¼± ¿ ´¿ ¹®¿ª»¼¿¼ ­±¾®» »­» ½«»®°±ò¿¬®¿½½·-² ¼»¾·¼± ¿ ´¿ ¹®¿ª»¼¿¼ ­±¾®» »­» ½«»®°±ò

ãã

Í· »´ ½«»®°± ¬·»²» ² °¿®¬3½«´¿­ »² ´¿­ °±­·½·±²»­©©

Í· »´ ½«»®°± ¬·»²» ² °¿®¬3½«´¿­ »² ´¿­ °±­·½·±²»­

Û´ ½»²¬®± ¼» ¹®¿ª»¼¿¼ ¼» «² ½«»®°± »­ »´ °«²¬± »² »´ ½«¿´ ­» °«»¼» ½±²­·¼»®¿® ¯«» ­» »¶»®½» ´¿ º«»®¦¿ ¼»¿¬®¿½½·-² ¼»¾·¼± ¿ ´¿ ¹®¿ª»¼¿¼ ­±¾®» »­» ½«»®°±òÍ· »´ ½«»®°± ¬·»²» ² °¿®¬3½«´¿­ »² ´¿­ °±­·½·±²»­¿¬®¿½½·-² ¼»¾·¼± ¿ ´¿ ¹®¿ª»¼¿¼ ­±¾®» »­» ½«»®°±òÍ· »´ ½«»®°± ¬·»²» ² °¿®¬3½«´¿­ »² ´¿­ °±­·½·±²»­Í· »´ ½«»®°± ¬·»²» ² °¿®¬3½«´¿­ »² ´¿­ °±­·½·±²»­¿¬®¿½½·-² ¼»¾·¼± ¿ ´¿ ¹®¿ª»¼¿¼ ­±¾®» »­» ½«»®°±òÍ· »´ ½«»®°± ¬·»²» ² °¿®¬3½«´¿­ »² ´¿­ °±­·½·±²»­¿¬®¿½½·-² ¼»¾·¼± ¿ ´¿ ¹®¿ª»¼¿¼ ­±¾®» »­» ½«»®°±òÍ· »´ ½«»®°± ¬·»²» ² °¿®¬3½«´¿­ »² ´¿­ °±­·½·±²»­¿¬®¿½½·-² ¼»¾·¼± ¿ ´¿ ¹®¿ª»¼¿¼ ­±¾®» »­» ½«»®°±òÍ· »´ ½«»®°± ¬·»²» ² °¿®¬3½«´¿­ »² ´¿­ °±­·½·±²»­¿¬®¿½½·-² ¼»¾·¼± ¿ ´¿ ¹®¿ª»¼¿¼ ­±¾®» »­» ½«»®°±ò¿¬®¿½½·-² ¼»¾·¼± ¿ ´¿ ¹®¿ª»¼¿¼ ­±¾®» »­» ½«»®°±òÛ´ ½»²¬®± ¼» ¹®¿ª»¼¿¼ ¼» «² ½«»®°± »­ »´ °«²¬± »² »´ ½«¿´ ­» °«»¼» ½±²­·¼»®¿® ¯«» ­» »¶»®½» ´¿ º«»®¦¿ ¼»Û´ ½»²¬®± ¼» ¹®¿ª»¼¿¼ ¼» «² ½«»®°± »­ »´ °«²¬± »² »´ ½«¿´ ­» °«»¼» ½±²­·¼»®¿® ¯«» ­» »¶»®½» ´¿ º«»®¦¿ ¼»

© ¹ ´¿­ ½±±®¼»²¿¼¿­ ¼»´ ½»²¬®± ¼» ¹®¿ª»¼¿¼ ݹ²² ´¿­ ½±±®¼»²¿¼¿­ ¼»´ ½»²¬®± ¼» ¹®¿ª»¼¿¼ ݹ ´¿­ ½±±®¼»²¿¼¿­ ¼»´ ½»²¬®± ¼» ¹®¿ª»¼¿¼ Ý´¿­ ½±±®¼»²¿¼¿­ ¼»´ ½»²¬®± ¼» ¹®¿ª»¼¿¼ ݹ¹ ´¿­ ½±±®¼»²¿¼¿­ ¼»´ ½»²¬®± ¼» ¹®¿ª»¼¿¼ Ý´¿­ ½±±®¼»²¿¼¿­ ¼»´ ½»²¬®± ¼» ¹®¿ª»¼¿¼ Ý

õ

õõ

õõõõõõõõ

õõõõ ©©õ

õ

©²²²²

Page 98: Libro de-integrales

Ü» ³¿²»®¿ ­»³»¶¿²¬» °¿®¿ ´¿ ½±±®¼»²¿¼¿ q§ô ±¾¬»²»³±­æ

q§ ã ´·³²ÿ{

²

;·ãï

©·§·

²

;·ãï

©·

ã

¾Æ

¿

§ ¼ø§÷¼§

¾Æ

¿

¼ø§÷¼§

¼±²¼» ¼ø¨÷ »­ ´¿ º«²½·-² ¯«» ²±­ ¼¿ ´¿ ¼»²­·¼¿¼ ´·²»¿´ ¼»´ ³¿¬»®·¿´ »² ´¿ ¼·®»½½·-² ¼»´ »¶» ¨ô§ ¼ø§÷ »­ ´¿ º«²½·-² ¼» ¼»²­·¼¿¼ ´·²»¿´ »² ´¿ ¼·®»½½·-² ¼»´ »¶» §ò

î

Ì®¿¾¿¶±Û² º3­·½¿ô »´ ¬®¿¾¿¶± É ®»¿´·¦¿¼± °±® «²¿ º«»®¦¿ Ú ­±¾®» «² ½«»®°± »­ ·¹«¿´ ¿´ °®±¼«½¬± ¼»´ ¼»­°´¿¦¿³·»²¬±°±® ´¿ ½±³°±²»²¬» ¼» ´¿ º«»®¦¿ »² ´¿ ¼·®»½½·-² ¼»´ ¼»­°´¿¦¿³·»²¬±ò

Û­ ¼»½·®ô ­· »´ ¼»­°´¿¦¿³·»²¬± »­ ½»®±ô »´ ¬®¿¾¿¶± »­ ²«´±ò

í

Ô»§ ¼» ر±µ»Ý«¿²¼± «² ®»­±®¬» »­ ¼»º±®³¿¼± ø¼»²¬®± ¼» ½·»®¬±­ ´3³·¬»­÷ô 7­¬» »¶»®½» «²¿ º«»®¦¿ ±°«»­¬¿ ¿ ´¿ ¼»º±®³¿½·-²¯«» »­ °®±°±®½·±²¿´ ¿ ´¿ ³¿¹²·¬«¼ ¼» ´¿ ¼»º±®³¿½·-² ­±¾®» »´ ®»­±®¬»ò

Í· »´ ®»­±®¬» ¬·»²» ·²·½·¿´³»²¬» «²¿ ´±²¹·¬«¼ Ôðæ

Ôð

§ ­» »­¬·®¿ ¸¿­¬¿ ¿´½¿²¦¿® «²¿ ¼·­¬¿²½·¿ Ôð õ ¨ô ´¿ ¼»º±®³¿½·-² ½¿«­¿ ¯«» »´ ®»­±®¬» ­» ±°±²¹¿ ¿ ´¿º«»®¦¿ ¯«» ´¿ »­¬? ¼»º±®³¿²¼±ô

Ú

Ôð õ ¨

Ôð¨

Ô¿ ´»§ ¼» ر±µ»ô ³¿¬»³?¬·½¿³»²¬» »¨°®»­¿æ

Ú ã µ¨

¼±²¼» µ§ ­«­ «²·¼¿¼»­ ­±² ÅÒñ³Ãïò

Û¶»³°´± ìÝ¿´½«´¿ »´ ¬®¿¾¿¶± ®»¿´·¦¿¼± °±® «²¿ º«»®¦¿ ¿´ ¼»º±®³¿® «² ®»­±®¬»ô ½«§¿ ½±²­¬¿²¬» ¼» ®·¹·¼»¦ »­µô «²¿ ¼·­¬¿²½·¿ ¼» ¨ «²·¼¿¼»­ ¼» ¼·­¬¿²½·¿ò

Û³°»¦¿³±­ ½±²­·¼»®¿²¼± «²¿ °»¯«»/¿ ¼»º±®³¿½·-² ­±¾®» »´ ®»­±®¬»ò

ïÒ»©¬±²ñ³»¬®±ò

ô ´¿ ¼»º±®³¿½·-² ½¿«­¿ ¯«» »´ ®»­±®¬» ­» ±°±²¹¿ ¿ ´¿ô ´¿ ¼»º±®³¿½·-² ½¿«­¿ ¯«» »´ ®»­±®¬» ­» ±°±²¹¿ ¿ ´¿

Ý«¿²¼± «² ®»­±®¬» »­ ¼»º±®³¿¼± ø¼»²¬®± ¼» ½·»®¬±­ ´3³·¬»­÷ô 7­¬» »¶»®½» «²¿ º«»®¦¿ ±°«»­¬¿ ¿ ´¿ ¼»º±®³¿½·-²¯«» »­ °®±°±®½·±²¿´ ¿ ´¿ ³¿¹²·¬«¼ ¼» ´¿ ¼»º±®³¿½·-² ­±¾®» »´ ®»­±®¬»òÝ«¿²¼± «² ®»­±®¬» »­ ¼»º±®³¿¼± ø¼»²¬®± ¼» ½·»®¬±­ ´3³·¬»­÷ô 7­¬» »¶»®½» «²¿ º«»®¦¿ ±°«»­¬¿ ¿ ´¿ ¼»º±®³¿½·-²Ý«¿²¼± «² ®»­±®¬» »­ ¼»º±®³¿¼± ø¼»²¬®± ¼» ½·»®¬±­ ´3³·¬»­÷ô 7­¬» »¶»®½» «²¿ º«»®¦¿ ±°«»­¬¿ ¿ ´¿ ¼»º±®³¿½·-²¯«» »­ °®±°±®½·±²¿´ ¿ ´¿ ³¿¹²·¬«¼ ¼» ´¿ ¼»º±®³¿½·-² ­±¾®» »´ ®»­±®¬»ò¯«» »­ °®±°±®½·±²¿´ ¿ ´¿ ³¿¹²·¬«¼ ¼» ´¿ ¼»º±®³¿½·-² ­±¾®» »´ ®»­±®¬»ò

Í· »´ ®»­±®¬» ¬·»²» ·²·½·¿´³»²¬» «²¿ ´±²¹·¬«¼ ÔÔðæ

ô ´¿ ¼»º±®³¿½·-² ½¿«­¿ ¯«» »´ ®»­±®¬» ­» ±°±²¹¿ ¿ ´¿ô ´¿ ¼»º±®³¿½·-² ½¿«­¿ ¯«» »´ ®»­±®¬» ­» ±°±²¹¿ ¿ ´¿ô ´¿ ¼»º±®³¿½·-² ½¿«­¿ ¯«» »´ ®»­±®¬» ­» ±°±²¹¿ ¿ ´¿

Ý«¿²¼± «² ®»­±®¬» »­ ¼»º±®³¿¼± ø¼»²¬®± ¼» ½·»®¬±­ ´3³·¬»­÷ô 7­¬» »¶»®½» «²¿ º«»®¦¿ ±°«»­¬¿ ¿ ´¿ ¼»º±®³¿½·-²¯«» »­ °®±°±®½·±²¿´ ¿ ´¿ ³¿¹²·¬«¼ ¼» ´¿ ¼»º±®³¿½·-² ­±¾®» »´ ®»­±®¬»ò¯«» »­ °®±°±®½·±²¿´ ¿ ´¿ ³¿¹²·¬«¼ ¼» ´¿ ¼»º±®³¿½·-² ­±¾®» »´ ®»­±®¬»òÝ«¿²¼± «² ®»­±®¬» »­ ¼»º±®³¿¼± ø¼»²¬®± ¼» ½·»®¬±­ ´3³·¬»­÷ô 7­¬» »¶»®½» «²¿ º«»®¦¿ ±°«»­¬¿ ¿ ´¿ ¼»º±®³¿½·-²Ý«¿²¼± «² ®»­±®¬» »­ ¼»º±®³¿¼± ø¼»²¬®± ¼» ½·»®¬±­ ´3³·¬»­÷ô 7­¬» »¶»®½» «²¿ º«»®¦¿ ±°«»­¬¿ ¿ ´¿ ¼»º±®³¿½·-²Ý«¿²¼± «² ®»­±®¬» »­ ¼»º±®³¿¼± ø¼»²¬®± ¼» ½·»®¬±­ ´3³·¬»­÷ô 7­¬» »¶»®½» «²¿ º«»®¦¿ ±°«»­¬¿ ¿ ´¿ ¼»º±®³¿½·-²Ý«¿²¼± «² ®»­±®¬» »­ ¼»º±®³¿¼± ø¼»²¬®± ¼» ½·»®¬±­ ´3³·¬»­÷ô 7­¬» »¶»®½» «²¿ º«»®¦¿ ±°«»­¬¿ ¿ ´¿ ¼»º±®³¿½·-²Ý«¿²¼± «² ®»­±®¬» »­ ¼»º±®³¿¼± ø¼»²¬®± ¼» ½·»®¬±­ ´3³·¬»­÷ô 7­¬» »¶»®½» «²¿ º«»®¦¿ ±°«»­¬¿ ¿ ´¿ ¼»º±®³¿½·-²Ý«¿²¼± «² ®»­±®¬» »­ ¼»º±®³¿¼± ø¼»²¬®± ¼» ½·»®¬±­ ´3³·¬»­÷ô 7­¬» »¶»®½» «²¿ º«»®¦¿ ±°«»­¬¿ ¿ ´¿ ¼»º±®³¿½·-²Ý«¿²¼± «² ®»­±®¬» »­ ¼»º±®³¿¼± ø¼»²¬®± ¼» ½·»®¬±­ ´3³·¬»­÷ô 7­¬» »¶»®½» «²¿ º«»®¦¿ ±°«»­¬¿ ¿ ´¿ ¼»º±®³¿½·-²Ý«¿²¼± «² ®»­±®¬» »­ ¼»º±®³¿¼± ø¼»²¬®± ¼» ½·»®¬±­ ´3³·¬»­÷ô 7­¬» »¶»®½» «²¿ º«»®¦¿ ±°«»­¬¿ ¿ ´¿ ¼»º±®³¿½·-²¯«» »­ °®±°±®½·±²¿´ ¿ ´¿ ³¿¹²·¬«¼ ¼» ´¿ ¼»º±®³¿½·-² ­±¾®» »´ ®»­±®¬»ò¯«» »­ °®±°±®½·±²¿´ ¿ ´¿ ³¿¹²·¬«¼ ¼» ´¿ ¼»º±®³¿½·-² ­±¾®» »´ ®»­±®¬»ò¯«» »­ °®±°±®½·±²¿´ ¿ ´¿ ³¿¹²·¬«¼ ¼» ´¿ ¼»º±®³¿½·-² ­±¾®» »´ ®»­±®¬»ò¯«» »­ °®±°±®½·±²¿´ ¿ ´¿ ³¿¹²·¬«¼ ¼» ´¿ ¼»º±®³¿½·-² ­±¾®» »´ ®»­±®¬»ò

Í· »´ ®»­±®¬» ¬·»²» ·²·½·¿´³»²¬» «²¿ ´±²¹·¬«¼ ÔÔÔÔ æÔðæð

Page 99: Libro de-integrales

Û­¬¿ ¼»º±®³¿½·-² ³·¼» ¼¨ «²·¼¿¼»­ ¼» ¼·­¬¿²½·¿ò

ݱ²º±®³» ­» ¿°´·½¿ ´¿ º«»®¦¿ô ´¿ ¼»º±®³¿½·-² ª¿ ½®»½·»²¼± § °±¼»³±­ ½±²­·¼»®¿® ¯«» ª¿³±­

Û² »­¬» ½¿­±ô »´ ¼·º»®»²½·¿´ ¼»´ ¼»­°´¿¦¿³·»²¬± ª·»²» ­·»²¼± ¼¨ô § »´ ¬®¿¾¿¶± »­æ

É ã ´·³²ÿ{

²

;·ãï

Ú ¼¨ ã ´·³²ÿ{

²

;·ãï

µ¨ ¼¨ ã

¨Æ

ð

µ¨ ¼¨ 㵨î

î

Ѿ­»®ª¿ ¯«» »² ®»¿´·¼¿¼ »­¬¿³±­ ½¿´½«´¿²¼± »´ ?®»¿ ¼» «² ¬®·?²¹«´± ¼» ¾¿­» ¨ § ¼» ¿´¬«®¿µ¨ò

Û­¬± »­ »ª·¼»²¬» ¿´ ½±²­·¼»®¿® ´¿ ·²¬»®°®»¬¿½·-² ¹»±³7¬®·½¿ ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´æ

¨

Ú

¨

µ¨

Û´ ?®»¿ ¼» »­¬» ¬®·?²¹«´± »­ ·¹«¿´ ¿´ ­»³·ó°®±¼«½¬± ¼» ­« ¾¿­» °±® ­« ¿´¬«®¿æ

É ãï

îø¨÷øµ¨÷ ã

µ¨î

î

Û¶»³°´± ëѬ®¿­ ¿°´·½¿½·±²»­ ¼» ´¿ ·²¬»¹®¿´ »² ½·»²½·¿­ ²¿¬«®¿´»­ ­±² ´¿­ ­·¹«·»²¬»­ò

׳°«´­±ò Ý«¿²¼± «²¿ °¿®¬3½«´¿ ¼» ³¿­¿ ³ »­ ·³°«´­¿¼¿ °±® «²¿ º«»®¦¿ Ú ª¿®·¿¾´»ô ¯«»¼»°»²¼» ¼»´ ¬·»³°±ô »´ ·³°«´­± ° ø¬¿³¾·7² ´´¿³¿¼± ³±³»²¬± ¼» ´¿ °¿®¬3½«´¿÷ ­» °«»¼»½¿´½«´¿® «­¿²¼±æ

¾Æ

¿

Úø¬÷¼¬

Û´ °®±½»­± ¼» ¼»¼«½½·-² ¼» »­¬¿ ·²¬»¹®¿´ ®»¯«·»®» ¼» ½·»®¬±­ ½±²½»°¬±­ ¼» º3­·½¿ò

ݱ²¼«½½·-² ¼»´ ½¿´±®ò Ý«¿²¼± ­» » »²»®¹3¿ ¬7®³·½¿ ¿ ¬®¿ª7­ ¼» «² ³»¼·± ½±²¬3²«±½±³± «²¿ ª¿®·´´¿ ³»¬?´·½¿ô ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ¼» ´¿ ª¿®·´´¿ °«»¼» ­»® «²¿ º«²½·-² ¼» ´¿ ¼·­¬¿²½·¿¼»­¼» ¼±²¼» ­» ¿°´·½¿ ´¿ »²»®¹3¿ ¬7®³·½¿ô ¼·¹¿³±­ô Ìø¨÷ò Í· ­«°±²»³±­ ¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿¼»´ ³»¼·± ¿³¾·»²¬» »­ ½±²­¬¿²¬» » ·¹«¿´ ¿ Ìð ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» °·»®¼» ´¿ ª¿®·´´¿

¾¿­»¾¿­»

Page 100: Libro de-integrales

»² «² ·²¬»®ª¿´± ø¿ô ¾÷ »­ ¼·®»½¬¿³»²¬» °®±°±®½·±²¿´ ¿ ´¿ ¼·º»®»²½·¿ ¼» ¬»³°»®¿¬«®¿­ »² »­±­°«²¬±­æ Û k Ìø¾÷ Ìø¿÷ò Ô¿ °7®¼·¼¿ ¼» ½¿´±® »­ »²¬±²½»­ô °¿®¿ «² ¼·º»®»²½·¿´ ¼» ¼·­¬¿²½·¿æµ øÌø¾÷ Ìø¿÷÷ܨ

Ю±º»­±®æÍ«¹·»®¿ ·²ª»­¬·ó

¹¿®æ Ô»§ ¼» »²º®·ó

¿³·»²¬± ¼» Ò»©¬±²ò

µ

¾Æ

¿

øÌø¨÷ Ìð÷¼¨

Û´ ®»­«´¬¿¼± ­»®? ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ´¿ ª¿®·´´¿ °·»®¼» °±® «²·¼¿¼ ¼» ¬·»³°± »² »´·²¬»®ª¿´± ¿ ¨ ¾ò

¬·»²» «²¿ °®±º«²¼·¼¿¼ ¸¼» »­¿­ ½±´«³²¿­ ¸¿®? ´¿ °®»­·-² ¬±¬¿´ò Ô¿ °®»­·-² Ð ¯«» «² ´3¯«·¼± »¶»®½» ­±¾®» «²¿ °¿®»¼ô»­ »²¬±²½»­ô

Ð ã

¾Æ

¿

É ¨§ ¼¨

¼±²¼» É »­ »´ °»­± ¼» «² ´·¬®± ¼»´ ´3¯«·¼± ½±²­·¼»®¿¼±ô ¿ § ¾ ­±² ´¿­ ½±±®¼»²¿¼¿­ ¼» ´¿§ »­ «²¿ º«²½·-² ¼» ¨ ¯«»

¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ·²¬»®²¿ ­»¿ ½±²º±®¬¿¾´» ¼»°»²¼» °®·²½·°¿´³»²¬» ¼» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ »¨¬»ó®·±® § ¼» ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ´«¦ ­±´¿® ¯«» ´´»¹¿² ¿ ­«­ °¿®»¼»­ò Ø¿§ ±¬®±­ º¿½¬±®»­ ¯«» ¬·»²»²³»²±® ·³°±®¬¿²½·¿ ø½±³± »´ ª·»²¬±÷ ¯«» ¿¯«3 ²± ­» ½±²­·¼»®¿²ò Í· Ý »­ »´ ½±­¬± ¼» ¿½±²¼·ó

¬¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´­±´ »­ ¼·º»®»²¬»ô ¿´ ·¹«¿´ ¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ¿¬³±­º7®·½¿ ½¿³¾·¿÷ô ¿­3 ¯«» °±¼»³±­ »­½®·¾·®æÝ ã Ýø¬÷ò Í· ½±²­·¼»®¿³±­ ³«½¸±­ ·²¬»®ª¿´±­ ¼» ¬·»³°± ³«§ °»¯«»/±­ ¼¬ô § ­«³¿³±­ ´±­

îìÆ

ð

Ýø¬÷¼¬

½±³°«¬¿½·-²ô ¿®¯«·¬»½¬«®¿ô »² ´¿­ ·²¹»²·»®3¿­ ø½·ª·´ô »´7½¬®·½¿ô ³»½?²·½¿ô »¬½ò÷ § »² ³«½¸¿­ ±¬®¿­®¿³¿­ ¼» ´¿­ ½·»²½·¿­ò

б® »¶»³°´±ô »´ ¸»½¸± ¼» ¯«» «² ½«»®°± ­»¿ «²¿ ´?³·²¿ °´¿²¿ ²±­ ¿­»¹«®¿ ¯«» ­« ½»²¬®± ¼» ³¿­¿­Ý »­¬7 ¼»²¬®± ¼» »­» ½«»®°±ò Ô± ³·­³± ±½«®®» ­· »´ ½«»®°± »­ «²¿ ª¿®·´´¿ »² º±®³¿ ¼» ´3²»¿ ®»½¬¿ò

ò Í· ½±²­·¼»®¿³±­ ³«½¸±­ ·²¬»®ª¿´±­ ¼» ¬·»³°± ³«§ °»¯«»/±­ ¼

¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ·²¬»®²¿ ­»¿ ½±²º±®¬¿¾´» ¼»°»²¼» °®·²½·°¿´³»²¬» ¼» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ »¨¬»ó¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ·²¬»®²¿ ­»¿ ½±²º±®¬¿¾´» ¼»°»²¼» °®·²½·°¿´³»²¬» ¼» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ »¨¬»ó®·±® § ¼» ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ´«¦ ­±´¿® ¯«» ´´»¹¿² ¿ ­«­ °¿®»¼»­ò Ø¿§ ±¬®±­ º¿½¬±®»­ ¯«» ¬·»²»²¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ·²¬»®²¿ ­»¿ ½±²º±®¬¿¾´» ¼»°»²¼» °®·²½·°¿´³»²¬» ¼» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ »¨¬»ó®·±® § ¼» ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ´«¦ ­±´¿® ¯«» ´´»¹¿² ¿ ­«­ °¿®»¼»­ò Ø¿§ ±¬®±­ º¿½¬±®»­ ¯«» ¬·»²»²®·±® § ¼» ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ´«¦ ­±´¿® ¯«» ´´»¹¿² ¿ ­«­ °¿®»¼»­ò Ø¿§ ±¬®±­ º¿½¬±®»­ ¯«» ¬·»²»²³»²±® ·³°±®¬¿²½·¿ ø½±³± »´ ª·»²¬±÷ ¯«» ¿¯«3 ²± ­» ½±²­·¼»®¿²ò Í·³»²±® ·³°±®¬¿²½·¿ ø½±³± »´ ª·»²¬±÷ ¯«» ¿¯«3 ²± ­» ½±²­·¼»®¿²ò Í·

¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´­±´ »­ ¼·º»®»²¬»ô ¿´ ·¹«¿´ ¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ¿¬³±­º7®·½¿ ½¿³¾·¿÷ô ¿­3 ¯«» °±¼»³±­ »­½®·¾·®æ¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´­±´ »­ ¼·º»®»²¬»ô ¿´ ·¹«¿´ ¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ¿¬³±­º7®·½¿ ½¿³¾·¿÷ô ¿­3 ¯«» °±¼»³±­ »­½®·¾·®æ¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´­±´ »­ ¼·º»®»²¬»ô ¿´ ·¹«¿´ ¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ¿¬³±­º7®·½¿ ½¿³¾·¿÷ô ¿­3 ¯«» °±¼»³±­ »­½®·¾·®æ

ò Í· ½±²­·¼»®¿³±­ ³«½¸±­ ·²¬»®ª¿´±­ ¼» ¬·»³°± ³«§ °»¯«»/±­ ¼ò Í· ½±²­·¼»®¿³±­ ³«½¸±­ ·²¬»®ª¿´±­ ¼» ¬·»³°± ³«§ °»¯«»/±­ ¼ò Í· ½±²­·¼»®¿³±­ ³«½¸±­ ·²¬»®ª¿´±­ ¼» ¬·»³°± ³«§ °»¯«»/±­ ¼

¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ·²¬»®²¿ ­»¿ ½±²º±®¬¿¾´» ¼»°»²¼» °®·²½·°¿´³»²¬» ¼» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ »¨¬»ó¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ·²¬»®²¿ ­»¿ ½±²º±®¬¿¾´» ¼»°»²¼» °®·²½·°¿´³»²¬» ¼» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ »¨¬»ó®·±® § ¼» ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ´«¦ ­±´¿® ¯«» ´´»¹¿² ¿ ­«­ °¿®»¼»­ò Ø¿§ ±¬®±­ º¿½¬±®»­ ¯«» ¬·»²»²®·±® § ¼» ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ´«¦ ­±´¿® ¯«» ´´»¹¿² ¿ ­«­ °¿®»¼»­ò Ø¿§ ±¬®±­ º¿½¬±®»­ ¯«» ¬·»²»²¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ·²¬»®²¿ ­»¿ ½±²º±®¬¿¾´» ¼»°»²¼» °®·²½·°¿´³»²¬» ¼» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ »¨¬»ó¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ·²¬»®²¿ ­»¿ ½±²º±®¬¿¾´» ¼»°»²¼» °®·²½·°¿´³»²¬» ¼» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ »¨¬»ó®·±® § ¼» ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ´«¦ ­±´¿® ¯«» ´´»¹¿² ¿ ­«­ °¿®»¼»­ò Ø¿§ ±¬®±­ º¿½¬±®»­ ¯«» ¬·»²»²®·±® § ¼» ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ´«¦ ­±´¿® ¯«» ´´»¹¿² ¿ ­«­ °¿®»¼»­ò Ø¿§ ±¬®±­ º¿½¬±®»­ ¯«» ¬·»²»²¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ·²¬»®²¿ ­»¿ ½±²º±®¬¿¾´» ¼»°»²¼» °®·²½·°¿´³»²¬» ¼» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ »¨¬»ó®·±® § ¼» ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ´«¦ ­±´¿® ¯«» ´´»¹¿² ¿ ­«­ °¿®»¼»­ò Ø¿§ ±¬®±­ º¿½¬±®»­ ¯«» ¬·»²»²®·±® § ¼» ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ´«¦ ­±´¿® ¯«» ´´»¹¿² ¿ ­«­ °¿®»¼»­ò Ø¿§ ±¬®±­ º¿½¬±®»­ ¯«» ¬·»²»²¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ·²¬»®²¿ ­»¿ ½±²º±®¬¿¾´» ¼»°»²¼» °®·²½·°¿´³»²¬» ¼» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ »¨¬»ó®·±® § ¼» ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ´«¦ ­±´¿® ¯«» ´´»¹¿² ¿ ­«­ °¿®»¼»­ò Ø¿§ ±¬®±­ º¿½¬±®»­ ¯«» ¬·»²»²³»²±® ·³°±®¬¿²½·¿ ø½±³± »´ ª·»²¬±÷ ¯«» ¿¯«3 ²± ­» ½±²­·¼»®¿²ò Í·³»²±® ·³°±®¬¿²½·¿ ø½±³± »´ ª·»²¬±÷ ¯«» ¿¯«3 ²± ­» ½±²­·¼»®¿²ò Í·®·±® § ¼» ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ´«¦ ­±´¿® ¯«» ´´»¹¿² ¿ ­«­ °¿®»¼»­ò Ø¿§ ±¬®±­ º¿½¬±®»­ ¯«» ¬·»²»²®·±® § ¼» ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ´«¦ ­±´¿® ¯«» ´´»¹¿² ¿ ­«­ °¿®»¼»­ò Ø¿§ ±¬®±­ º¿½¬±®»­ ¯«» ¬·»²»²³»²±® ·³°±®¬¿²½·¿ ø½±³± »´ ª·»²¬±÷ ¯«» ¿¯«3 ²± ­» ½±²­·¼»®¿²ò Í·³»²±® ·³°±®¬¿²½·¿ ø½±³± »´ ª·»²¬±÷ ¯«» ¿¯«3 ²± ­» ½±²­·¼»®¿²ò Í·³»²±® ·³°±®¬¿²½·¿ ø½±³± »´ ª·»²¬±÷ ¯«» ¿¯«3 ²± ­» ½±²­·¼»®¿²ò Í·³»²±® ·³°±®¬¿²½·¿ ø½±³± »´ ª·»²¬±÷ ¯«» ¿¯«3 ²± ­» ½±²­·¼»®¿²ò Í·³»²±® ·³°±®¬¿²½·¿ ø½±³± »´ ª·»²¬±÷ ¯«» ¿¯«3 ²± ­» ½±²­·¼»®¿²ò Í·³»²±® ·³°±®¬¿²½·¿ ø½±³± »´ ª·»²¬±÷ ¯«» ¿¯«3 ²± ­» ½±²­·¼»®¿²ò Í·³»²±® ·³°±®¬¿²½·¿ ø½±³± »´ ª·»²¬±÷ ¯«» ¿¯«3 ²± ­» ½±²­·¼»®¿²ò Í·

¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´­±´ »­ ¼·º»®»²¬»ô ¿´ ·¹«¿´ ¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ¿¬³±­º7®·½¿ ½¿³¾·¿÷ô ¿­3 ¯«» °±¼»³±­ »­½®·¾·®æ­±´ »­ ¼·º»®»²¬»ô ¿´ ·¹«¿´ ¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ¿¬³±­º7®·½¿ ½¿³¾·¿÷ô ¿­3 ¯«» °±¼»³±­ »­½®·¾·®æ¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´­±´ »­ ¼·º»®»²¬»ô ¿´ ·¹«¿´ ¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ¿¬³±­º7®·½¿ ½¿³¾·¿÷ô ¿­3 ¯«» °±¼»³±­ »­½®·¾·®æ¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´­±´ »­ ¼·º»®»²¬»ô ¿´ ·¹«¿´ ¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ¿¬³±­º7®·½¿ ½¿³¾·¿÷ô ¿­3 ¯«» °±¼»³±­ »­½®·¾·®æ­±´ »­ ¼·º»®»²¬»ô ¿´ ·¹«¿´ ¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ¿¬³±­º7®·½¿ ½¿³¾·¿÷ô ¿­3 ¯«» °±¼»³±­ »­½®·¾·®æ¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´¼»´ ¼3¿ ø°±®¯«» ¿ ¼·º»®»²¬» ¸±®¿ ´¿ ½¿²¬·¼¿¼ ¼» ½¿´±® ¯«» ¹¿²¿² ´¿­ °¿®»¼»­ °±® ´¿ ´«¦ ¼»´­±´ »­ ¼·º»®»²¬»ô ¿´ ·¹«¿´ ¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ¿¬³±­º7®·½¿ ½¿³¾·¿÷ô ¿­3 ¯«» °±¼»³±­ »­½®·¾·®æ

ò Í· ½±²­·¼»®¿³±­ ³«½¸±­ ·²¬»®ª¿´±­ ¼» ¬·»³°± ³«§ °»¯«»/±­ ¼ò Í· ½±²­·¼»®¿³±­ ³«½¸±­ ·²¬»®ª¿´±­ ¼» ¬·»³°± ³«§ °»¯«»/±­ ¼ò Í· ½±²­·¼»®¿³±­ ³«½¸±­ ·²¬»®ª¿´±­ ¼» ¬·»³°± ³«§ °»¯«»/±­ ¼ò Í· ½±²­·¼»®¿³±­ ³«½¸±­ ·²¬»®ª¿´±­ ¼» ¬·»³°± ³«§ °»¯«»/±­ ¼­±´ »­ ¼·º»®»²¬»ô ¿´ ·¹«¿´ ¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ¿¬³±­º7®·½¿ ½¿³¾·¿÷ô ¿­3 ¯«» °±¼»³±­ »­½®·¾·®æ­±´ »­ ¼·º»®»²¬»ô ¿´ ·¹«¿´ ¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ¿¬³±­º7®·½¿ ½¿³¾·¿÷ô ¿­3 ¯«» °±¼»³±­ »­½®·¾·®æ­±´ »­ ¼·º»®»²¬»ô ¿´ ·¹«¿´ ¯«» ´¿ ¬»³°»®¿¬«®¿ ¿¬³±­º7®·½¿ ½¿³¾·¿÷ô ¿­3 ¯«» °±¼»³±­ »­½®·¾·®æ

ò Í· ½±²­·¼»®¿³±­ ³«½¸±­ ·²¬»®ª¿´±­ ¼» ¬·»³°± ³«§ °»¯«»/±­ ¼ò Í· ½±²­·¼»®¿³±­ ³«½¸±­ ·²¬»®ª¿´±­ ¼» ¬·»³°± ³«§ °»¯«»/±­ ¼ò Í· ½±²­·¼»®¿³±­ ³«½¸±­ ·²¬»®ª¿´±­ ¼» ¬·»³°± ³«§ °»¯«»/±­ ¼