Struktur Aljabar I IBU

8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU

1/17


2/17


3/17

DEFINISI

(Terhadap perkalian)

Grup (G, .) disebut siklik, bila ada elemen a G

sedemikian hingga G ={an| n Z}. Elemen a

disebut generator dari grup siklik tersebut.

(Terhadap penjumlahan)

Grup (G,+) disebut siklik, bila ada elemen a G

sedemikian hingga G ={na | n

Z}.


4/17

DEFINISI

Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a G,

maka generator a yang membangun suatu

Subgrup [a] dinamakan Subgrup Siklik dari (G,*).

Jadi yang dimaksud dengan Subgrup Siklik yaitu

suatu Subgrup yang dibangkitkan oleh satuunsur.

Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a G, maka

generator a yang membangun suatu Subgrup [a]

dimana [a] = G, maka Subgrup tersebutdinamakan Grup Siklik.


5/17

Dengan kata lain, Grup Siklik adalah Subgrup yang

unsur-unsurnya merupakan unsur-unsur dariGrup itu sendiri. Suatu Grup Siklik bisa

beranggotakan terhingga banyaknya unsur, bisa

juga beranggotakan tak hingga unsur-unsur.

Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur

terhingga dinamakan Grup Siklik berhingga dan

Grup Siklik yang beranggotakan banyaknyaunsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik tak

hingga.


6/17


7/17

[1] = {(1)n| n Z}

= {(1)0, (1)1, (1)2, }

= {1}

generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik,

sehingga : [-1] = {-1, 1}

generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik,sehingga : [1] = {1}.


8/17

Contoh

Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Grup

terhadap penjumlahan (G,+). Tentukan GrupSiklik dari Grup tersebut.

Penyelesaian

Generator dari G = {0, 1, 2, 3} adalah 0, 1, 2 dan 3[0] = {n(0) | n Z}

= {0}

[1] = {n(1) | n Z}= {0.1, 1.1, 2.1, 3.1, }

= {0, 1, 2, 3}


9/17

Penyelesaian

[2] = {n(2) | n Z}

= {0.2, 1.2, 2.2, 3.2, }

= {0, 2}

[3] = {n(3) | n Z}

= {0.3, 1.3, 2.3, 3.3, }= {0, 3, 2, 1}

generator 1 dan 3 adalah membangun suatu Grup

Siklik, sehingga : [1] = [3] = {0, 1, 2, 3}

generator 0 dan 2 adalah membangun Subgrup Siklik,

sehingga : [0] = {0} dan [2] = {0, 2}


10/17

Contoh

Grup (Z,+) merupakan Grup Siklik tak hingga yang

dibangun oleh 1.

Penyelesaian :

[1] = {, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, }

= {, -2, -1, 0, 1, 2, }

Jadi, 1 merupakan genertor yang membentuk Grup

Siklik tak hingga.


11/17

Contoh

Misalkan I4 = {1, -1, i, -i} adalah Grup bilangan

kompleks terhadap perkalian (I4, .). TentukanGrup Siklik dari Grup tersebut.

Penyelesaian :

Generator dari I4 = {1, -1, i, -i} adalah 1, -1, i dan -i[1] = {(1)n| n Z}

= {(1)0, (1)1, (1)2, }

= {1}[-1] = {(-1)n| n Z}

= {(-1)0, (-1)1, (-1)2, }

= {-1, 1}


12/17

[i] = {(i)n| n Z}

= {(i)0, (i)1, (i)2, (i)3, (i)4, }

= {1, i, -1, -i}

[-i] = {(-i)n| n Z}

= {, (-i)-2, (-i)-1, (-i)0, (-i)1, (-i)2, }

= {1, -i, i, -1 }

generator i dan -i adalah membangun suatu Grup

Siklik, sehingga : [i] = [-i] = {1, -1, i,-i}generator 1 dan -1 adalah membangun Subgrup

Siklik, sehingga : [1] = {1} dan [-1] = {1, -1}


13/17

DEFINISI

Setiap Grup Siklik adalah Grup Abelian.Bukti :

Misalkan (G, .) merupakan Grup Siklik dan a

merupakan pembangun dariG, sehingga G = {an| n Z}.


14/17

Ambil x, y G, sehingga x = amdan y = an, untuk m, n

Z.

x . y = am. an= am+n= an+m= an. am= y . x

Jadi, (G, .) merupakan Grup Komutatif.

Misalkan (G, +) merupakan Grup Siklik dan a

merupakan pembangun dari G, sehingga G ={na | n

Z}.

Ambil x, y G, sehingga x = na dan y = ma, untuk m,n Z.

x + y = na + ma = (n + m)a = (m +n)a = ma + na = y +

x

Jadi, (G, +) merupakan Grup Komutatif.


15/17

LATIHAN

1. Diketahui matriksadalah suatu grup terhadap perkalian.

Tunjukkan apakah (M, .) merupakan suatu

grup siklik.

2. Diketahui matriks

adalah suatu grup terhadap perkalian. Tunjukkanapakah (N, .) merupakan suatu grup siklik.

01

10

,01

10

,10

01

,10

01

M

10

01,

10

01,

10

01,

10

01N


16/17

LATIHAN

3. Buktikan dengan contoh bahwa Subgrup dari

Grup Siklik merupakan juga Grup Siklik.


17/17

Selamat Belajar

Struktur Aljabar I IBU

Documents

Transcript of Struktur Aljabar I IBU