Aljabar abstract B
-
Upload
kama-nur-anisa -
Category
Documents
-
view
108 -
download
0
Transcript of Aljabar abstract B
ISOMORPHISMA
Assalamualakum Wr Wb
ي�م ح� ر�� ال ح� م� ي� ر�� اهللاحال حم ي� ح�
Kelompok 101. Kama Nur Annisa
113100222. Devriana Dwi Lestari 1131003. Devy Indayani 1131004. Rini Fitriani 1131005. Siska Hidayati 113100
Isomorpisma
Homomorpisma Ø : G→ G’ disebut epimorpisma apabila setiap g’ Є G’ ada g Є G sehingga Ø (g) = g’. Dengan kata lain setiap elemen G’ mempunyai kawan elemen G. Dapat pula dikatakan bahwa homomorpisma Ø dari G onto G atau disingkat homomorpisma Ø onto.
Homomorpisma Ø : G→ G’ disebut monomorpisma jika Ø suatu pemetaan satu-satu dari G ke G’. Dengan kata lain, jika Ø (x) = Ø (y) maka x = y untuk x, y Є G.
Definisi 3.6 • Homomorpisma Ø : G→ G’ disebut isomorpisma jika
Ø sekaligus epimorpisma dan monomorpisma, yaitu Ø suatu homomorpisma satu-satu dari G onto G’
• Grup G dan grup G’ dikatakan isomorpik jika ada isomorpisma dari G ke G’. Selanjutnya notasi G ≈ G’ dibaca G isomorpik dengan G’.
• Pada contoh 3.8, G = { 0, 1, 2, 3 } suatu grup dengan operasi penjumlahan modulo 4 dan G’ = { 1, 2, 3, 4 } suatu grup dengan operasi perkalian modulo 5, maka G ≈ G’.
Contoh 3.12
B = {0, 1, 2} yaitu himpunan bilangan bulat modulo 3. B = terhadap operasi penjumlahan modulo 3 merupakan suatu grup. G = {I = S³, S, S² } yaitu suatu grup operasi simetri dari segitiga samasisi dengan S adalah rotasi terhadap pusat segitiga dengan suatu sudut putar 120°. Tabel operasi pada B dengan G adalah sebagai berikut :
Tabel 3.3 (B: +) Tabel 3.4 (G: -)
+ 0 1 2
012
0 1 2 1 2 0 2 2 1
+ I S S²
ISS²
I S S² S S² 0 S² I S
Pemetaan Ø : B G didefinisikan oleh Ø (0) = I,
Ø (1) =S dan Ø (2) = S².
Ø(1+2) = Ø (0) = i = S.S² = Ø(1). Ø(2)
Selidikilah bahwa Ø(0+1) = Ø (0). Ø(1)
Ø(0+2) = Ø(0). Ø(2)
Jadi Ø suatu homomorpisma. Nampak bahwa Ø suatu pemetaan satu-satu dan onto maka Ø suatu isomorpisma. Jadi B ~ G.
Contoh 3.13
C = { 0,1,2,3} terhadap operasi penjumlahan modulo 4 adalah suatu grup. Pemetaan ⱷ memetakan setiap elemen B ke elemen C yang mempunyai periode sama. Tunjukkan bahwa ⱷ suatu isomorpisma. Disusun tabel operasi bagi tiap-tiap grup.
Tabel 3.5 (B; - ) mod 5 Tabel 3.6 ( C; + ) mod 4
4,3,2,1B terhadap operasi perkalian modulo 5 merupakan suatu grup.
∙ 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
• Periode elemen-elemen dalam 8 adalah p (1) = 1, p (2) = 4, p (3) = 4 dan p (4) = 2. Periode elemen-elemen dalam 0 adalah p (0) = 1, p (1) = 1, p (2) = 2, dan p (3) = 4,.
• Mengingat definisi pemetaan di atas, yaitu pengawasan elemen-elemen yang berperiode sama, maka peta (bayangan) setiap elemen B ke C dapat diambil sebagai berikut: didefinisikan oleh
Ambil elemen-elemen dalam B untuk menunjukan bahwa suatu Homomorpisma.
• Dan sebagainya.Jadi suatu homomorpisma.
Kiranya jelas bahwa suatu pemetaan satu-satu dan onto, maka suatu isomorpisma.
The And……….
Wassalamualaikum Wr Wb