ALJABAR LINEARELIMINASI GAUSSIAN

A. BENTUK ESELON BARIS TEREDUKSI

• Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka angka tak nol pertama dalam baris tersebut adalah sebuah angka 1. (Kita sebut ini utama 1)

• Jika ada sembarang baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini dikelompokkan bersama di bagian bawah matriks.

• Jika sembarang dua baris yang berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, utama 1 dalam baris yang lebih bawah terletak di sebelah kanan utama 1 dalam baris yang lebih atas.

• Masing-masing kolom yang berisi sebuah utama 1 mempunyai nol di tempat lainnya.

Sebuah matriks harus mempunyai sifat-sifat berikut ini:

Suatu matriks yang mempunyai sifat 1, 2, dan 3 (tetapi tidak perlu 4) disebut matriks berbentuk eselon baris.

• Contoh 1. Matriks-matriks berikut ini berada dalam bentuk eselon baris tereduksi.

100

010

001

1100

7010

4001

00

00,

00000

00000

31000

10210

Matriks-matriks berikut ini berada dalam bentuk eselon baris, tetapi bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi

000

010

011

5100

2610

7341

10000

01100

06210

• Contoh 2. Anggap bahwa matriks yang diperbesar untuk suatu sistem persamaan linear telah direduksi oleh operasi baris menjadi bentuk eselon baris tereduksi yang diberikan. Selesaikan sistem tersebut.

4100

2010

5001

a

23100

62010

14001

b

000000

251000

130100

240061

c

1000

0210

0001

d

Penyelesaian (a). Sistem persamaan yang berpadanan adalah

4

2

5

3

2

1

x

x

x

Penyelesaian (a). Sistem persamaan yang berpadanan adalah

4,2,5 321 xxx

Penyelesaian (b). Sistem persamaan yang berpadanan adalahPenyelesaian (b). Sistem persamaan yang berpadanan adalah

Penyelesaian (b).Sistem persamaan yang berpadanan adalah

Penyelesaian (b). Sistem persamaan yang berpadanan adalah

23

62

14

43

42

41

xx

xx

xx

• Karena x1, x2, dan x3 berpadanan dengan utama 1 dalam matriks yang diperbesar, kita menyebutnya peubah utama. Peubah nonutama (dalam kasus ini x4) disebut peubah bebas. Penyelesaian untuk peubah-peubah utama dalam bentuk peubah bebas memberikan

43

42

41

32

26

41

xx

xx

xx

Dari bentuk persamaan ini kita lihat bahwa peubah bebas x4 dapat diberi sembarang niai, katakanlah t, yang kemudian menentukan nilai peubah utama x1, x2, dan x3. Jadi, terdapat tak hingga banyaknya penyelesaian, dan penyelesaian umumny diberikan oleh rumus

txtxtxtx 4321 ,32,26,41

Penyelesaian (c). Sistem persamaan yang berpadanan adalah

25

13

246

54

53

521

xx

xx

xxx

Di sini peubah-peubah utamanya adalah x1, x3, dan x4, dan peubah-peubah bebasnya adalah x2 dan x5. Penyelesaian untuk peubah-peubah utama dalam bentuk peubah bebas memberikan

54

53

521

52

31

462

xx

xx

xxx

Karena x2 dapat diberi sembarang nilai, t, dan x5 dapat diberi sembarang nilai s, maka ada tak hingga banyaknya penyelesaian. Penyelesaian umumnya diberikan oleh rumus

txtxtxsxtsx 54321 ,52,31,,462

Penyelesaian (d). Persamaan terakhir dalam sistem persamaan yang berpadanan adalah

1000 321 xxx

Karena persamaan ini tidak dapat dipenuhi, maka tidak ada penyelesaian untuk sistem tersebut.

B. Eliminasi Gaussian• Kami akan mengilustrasikan gagasan dengan mereduksi matriks

berikut ini menjadi bentuk eselon baris tereduksi

156542

281210642

1270200

Langkah 1. Tempatkan kolom paling kiri yang tidak seluruhnya terdiri dari nol.

156542

281261042

1270200

Kolom tak nol paling kiri

Langkah 2. Pertukarkan baris teratas dengan baris lainnya, jika perlu, untuk membawa salah satu entri tak nol ke posisi paling atas dari kolom yang didapatkan dalam Langkah 1

156542

1270200

281261042Baris pertama dan baris kedua pada matriks sebelumnya dipertukarkan

Langkah 3. Jika entri yang sekarang berada di posisi paling atas pada kolom yang ditemukan dalam Langkah 1 adalah a, kalikan baris pertama dengan 1/a untuk mendapatkan utama 1

156542

1270200

1463521

Baris pertama matriks sebelumnya dikalikan 1/2

Langkah 4. Tambahkan hasil kali yang sesuai dari baris teratas ke baris-baris di bawahnya sedemikian sehingga semua entri di bawah utama 1 menjadi nol.

29170500

1270200

1463521-2 kali pertama matriks sebelumnya ditambahkan pada baris ketiga

Langkah 5. Sekarang tutup baris teratas matriks tersebut dan mulai lagi dengan Langkah 1 yang diterapkan pada submatriks yang tersisa. Lanjutkan cara ini sampai semua matriks berada dalam bentuk eselon baris

29170500

1270200

1463521

Kolom tak nol paling kiri dalam submatriks

29170500

1770200

1463521Baris pertama pada submatriks dikalikan -1/2 untuk dibuat menjadi suatu utama 1

12

10000

62

70100

1463521

Kolom tak nol paling kiri dalam sub matriks yangg baru

Baris teratas dalam submatriks ditutup dan kita kembali lagi ke langkah 1

210000

62

70100

1463521

Baris pertama dan satu-satunya baris dalam submatriks yang baru dikalikan dengan 2 untuk mendapatkan suatu utama 1

Langkah 6. Mulai dengan baris tak nol terakhir dan kerjakan ke atas, tambahkan perkalian yang sesuai dari masing-masing baris ke baris di atasnya untuk mendapatkan nol di atas utama 1

210000

100100

14635217/2 kali baris ketiga matriks yang sebelumnya ditambahkan kebaris ke2

210000

100100

203521-6 kali ditambahkan pada baris ketiga ditambahkan pada baris pertama

210000

100100

7030215 kali baris kedua ditambahkan ke baris pertama

Matriks terakhir berbentuk eselon baris tereduksi.Prosedur di atas untuk mereduksi suatu matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi disebut eliminasi Gauss-Jordan*. Jika kita hanya menggunakan lima langkah pertama, prosedur tersebut menghasilkan bentuk eselon baris yang disebut eliminasi Gauss.

515105 643 xxx

Contoh 3. Selesaikan dengan eliminasi Gauss-Jordan

0223 5321 xxxx1342562 654321 xxxxxx

6184862 65421 xxxxx

Matriks yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah

61848062

1342562

0020231

Menambahkan -2 kali baris pertama ke baris kedua dan keempat menghasilkan

61808400

1302100

0020231

Mengalikan baris kedua dengan -1 dan kemudian menambahkan -5 kali baris kedua yang baru ke baris ke tiga dan -4 kali baris kedua yang baru ke baris keempat menghasilkan

2600000

1302100

0020231

• Mempertukarkan baris ketiga dan keempat dan kemudian mengalikan baris ketiga dari matriks yang dihasilkan dengan menghasilkan bentuk eselon baris.

00000003

1100000

1302100

0020231

Menambahkan -3 kali baris ketiga ke baris kedua dan kemudian menambahkan 2 kali baris kedua dari matriks yang dihasilkan ke baris pertama menghasilkan bentuk eselon baris tereduksi

00000003

1100000

0002100

0024031

Sistem persamaan yang berpadanan adalah

3

1

02

0243

6

43

5421

x

xx

xxxx

(Kami telah menghilangkan persamaan terakhir, karena persamaan ini secara otomatis akan terpenuhi oleh penyelesaian dari persamaan yang masih tersisa). Dengan menyelesaikan untuk peubah utama, kita peroleh

3

1

2

243

6

43

5421

x

xx

xxxx

• Jika kita memberi sembarang nilai r, s, dan t masing-masing kepada peubah bebas x2, x4, dan x5, penyelesaian umumnya diberikan oleh rumus

3

1

,,2,,243

6

54321

x

txsxsxrxtsrx

C. SUBTITUSI BALIK• Contoh 4. Kadang-kadang kita lebih suka menyelesaikan suatu sistem

persamaan linear mengguankan eliminasi Gauss untuk membawa matriks yang diperbesar menjadi berbentuk eselon baris tanpa melanjutkan semua cara menuju bentuk eselon baris tereduksi. Jika ini dilakukan, sistem persamaan yang berpadanan dapat diselesaikan dengan suatu teknik yang disebut substitusi balik. Kami akan mengilustrasikan metode ini menggunakan sistem persamaan dalam Contoh 3

• Dari perhitungan pada Contoh 3, bentuk eselon baris dari matriks yang diperbesar adalah

00000003

1100000

1302100

0020231

Untuk menyelesaikan sistem persamaan yang berpadanan

3

1

032

0223

6

643

5321

x

xxx

xxxx

kita lakukan yang berikut iniLangkah 1. Selesaikan persamaan untuk peubah-peubah utama

3

1

321

223

6

643

5321

x

xxx

xxxx

Langkah 2. Mulai dengan persamaan yang paling bawah dan lanjutkan ke atas, secara berturut-turut substitusikan setiap persamaan ke semua persamaan di atasnya

Mensubstitusikan ke persamaan kedua menghasilkan3

16 x

3

1

2

223

6

43

5321

x

xx

xxxx

Mensubstitusikan ke persamaan pertama menghasilkan

3

1

2

243

6

43

5421

x

xx

xxxx

Langkah 3. Tetapkan sembarang nilai untuk peubah-peubah bebas, jika ada.Jika kita memberikan sembarang nilai r, s, dan t masing-masing ke x2, x4, dan x5, penyelesaian umumnya diberikan oleh rumus:

3

1

,,,2,,243

6

54321

x

txsxsxrxtsxrx

Ini sesuai dengan penyelesaian yang diperoleh dalam Contoh 3. Contoh 5. Selesaikan

0563

1342

92

zyx

zyx

zyx

Dengan eliminasi Gauss dan Subtitusi Balik

Penyelesaian. Ini adalah sistem dalam Contoh 3 Subbab 1.1. Dalam contoh itu kita mengubah matriks yang diperbesar

0563

1342

9211

menjadi bentuk eselon baris

0563

1342

9211

Sistem yang berpadanan dengan matriks ini adalah

32

17

2

7

92

z

zy

zyx

Menyelesaikan untuk peubah-peubah utama menghasilkan

32

7

2

17

29

z

zy

zyx

Mensubstitusikan persamaan yang di bawah ke persamaan di atasnya menghasilkan

3

2

3

z

y

yx

Dan mensubstitusikan persamaan kedua ke persamaan teratas menghasilkan

3

2

1

z

y

x

Penyelesaian ini sesuai dengan hasil yang ditemukan dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan pada Contoh 3 Subbab 1.1. 

D. SISTEM LINEAR HOMOGEN• Suatu sistem persamaan linear dikatakan homogen jika

semua konstantanya adalah nol; yaitu jika sistem tersebut mempunyai bentuk

0

0

0

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

Setiap sistem persamaan linear homogen mempunyai sifat konsisten, karena semua sistem seperti itu mempunyai sebagai penyelesaiannya. Penyelesaian ini disebut penyelesaian trivial; jika ada penyelesaian yang lain, maka penyelesaiannya disebut penyelesaian tak trivial.

0,,0,0 21 nxxx

Karena sistem linear homogen selalu mempunyai penyelesaian trivial, hanya ada dua kemungkinan untuk penyelesaiannya.

1. Sistem tersebut hanya mempunyai satu penyelesaian trivial.2. Sistem tersebut mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian di samping penyelesaian trivial.

Dalam kasus khusus pada sistem linear homogen dari dua persamaan dengan dua peubah, katakanlah

0

0

22

11

ybxa

ybxa (a1, b1 keduanya tidak nol)

(a2, b2 keduanya tidak nol)

grafik persamaannya berupa garis-garis yang melalui titik asal, dan penyelesaian trivialnya berpadanan dengan

perpotongan di titik asal (Gambar 1).

y

x

y

x

a1x + b1ydana2x + b2y

011 ybxa

022 bxa

Gambar 1 Tak hingga banyaknya penyelesaianHanya satu penyelesaian trivial

Tak hingga banyaknya penyelesaian

Ada suatu kasus dimana suatu sistem homogeny dijamin mempunyai penyelesaian tak trivial, yaitu jika sistem tersebut mencakup jumlah peubah yang lebih banyak daripada jumlah persamaannya

Contoh 6. Selesaikan sistem persamaan linear homogeny berikut ini dengan eliminasi Gauss-Jordan.

0222 5321 xxxx

(1)

0

0

032

543

5321

54321

xxx

xxxx

xxxxx

Penyelesaian. Matriks yang diperbesar untuk sistem ini adalah

011100

010211

013211

010122

Dengan mereduksi matriks ini menjadi bentuk eselon baris tereduksi, kita peroleh

000000

001000

010100

010011

Sistem persamaan yang berpadanan adalah

0521 xxx(2)

053 xx

04 x

Menyelesaikan untuk peubah utama menghasilkan

04

53

521

x

xx

xxx

Jadi, penyelesaian umumnya adalah

txxtxsxtsx 54321 ,0,,,

Perhatikan bahwa penyelesaian trivial diperoleh jika 0ts