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Sumário

1. Introdução...............................................................................................................................6

2. Objetivos.................................................................................................................................7

3. Fundamentação Teórica..........................................................................................................7

3.1 Definição............................................................................................................................7

3.2 Princípios da Ótica Geométrica..........................................................................................7

3.3 Deflexão da Luz.................................................................................................................8

3.3.1 Leis da Reflexão.........................................................................................................8

3.4 Refração da Luz.................................................................................................................8

3.4.1 Leis da Fração............................................................................................................8

3.5 Decomposição da Luz........................................................................................................9

3.5 Refringência.......................................................................................................................9

3.6 Fundamentos de Fotoelasticidade....................................................................................10

3.6.1 Luz e Polarizadores..................................................................................................10

3.6.2 Polarização de ondas luminosas................................................................................10

3.7 Determinação de Isoclínicas.............................................................................................14

3.8 Determinação de Isocromáticas........................................................................................15

3.9 Método de Compensação de Tardy..................................................................................16

3.10 Índice de refração..........................................................................................................17

3.10.1 Lei da Dupla Refração Temporária.........................................................................17

3.11 Fotoelasticidade Bidimensional.....................................................................................18

3.12 Métodos de Calibração de Materiais Fotoelásticos........................................................19

4. Materiais e Equipamentos.....................................................................................................20

5. Procedimento Experimental..................................................................................................21

6. Análise dos Resultados.........................................................................................................24

7. Conclusões............................................................................................................................30

8. Referências Bibliográficas....................................................................................................31

ANEXO I – Materiais Fotoelásticos e Aplicações......................................................................32

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Lista de Figuras

Figura 1 - (a) Propagação retilínea; (b) Reversibilidade; (c) Independência..............................8Figura 2 - Reflexão regular da luz...............................................................................................8Figura 3 - Leis da refração da luz................................................................................................9Figura 4 - Ilustração do conceito de refringência......................................................................10Figura 5 - Polarização da luz.....................................................................................................10Figura 6 - Montagem típica de um polarizador em laboratório.................................................11Figura 7 - Modelo carregado em um polariscópio plano...........................................................13Figura 8 - Modelo carregado em um polariscópio circular........................................................14Figura 9 - Representação das isoclínicas...................................................................................14Figura 10 - Representação das isocromáticas............................................................................15Figura 11 - Método de Tardy....................................................................................................16Figura 12 - Modelo de disco carregado.....................................................................................19Figura 13 - Modelo de viga retangular carregada......................................................................19Figura 14 - Modelo de corpo-de-prova de tração carregado......................................................20Figura 15 - Polariscópio............................................................................................................20Figura 16 - Célula de carga e indicador.....................................................................................21Figura 17 - Dispositivo de carga...............................................................................................21Figura 18 – Paquímetro.............................................................................................................21Figura 19 - Medição do disco utilizando o paquímetro.............................................................22Figura 20 - Aplicação da carga no disco...................................................................................22Figura 21 - Pontos selecionados para avaliação no experimento...............................................23Figura 22 - Gráfico plotado entre a carga aplicada e o numero de franjas médias para posterior obtenção da constante óptica......................................................................................................25Figura 23 - Imagem representativa ilustrando os pontos do disco, desenhada no Software Catia....................................................................................................................................................26Figura 24 - Gráfico relacionando as tensões cisalhantes para cada ponto..................................27Figura 25 - Gráfico mostrando a diferença entre a tensão máxima experimental (azul) e a teórica (vermelha)......................................................................................................................29Figura 26 - Disco de resina (material fotoelástico), sob ação de uma carga qualquer...............32Figura 27 - Tensões causadas pelo implante dentário................................................................33Figura 28 - Tensões em placas metálicas..................................................................................33Figura 29 - Franja sobre os pontos de interesse na região dos rebites de uma placa de aplicação aeronáutica.................................................................................................................................33

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Lista de Tabelas

Tabela 1 - Cores em fotoelasticidade.........................................................................................12Tabela 2 - Anotações dos dados geométricos do disco fotoelástico...........................................23Tabela 3 - Ordem de franjas e ângulos de rotação anotados para cada carga P nos ensaios (1a etapa)..........................................................................................................................................23Tabela 4 - Ordem de franjas e ângulos de rotação anotados para a carga P=0,61kgf para os 5 pontos diferentes (2a etapa)........................................................................................................23Tabela 5 - Dados experimentais obtidos em laboratório para realizar a calibração...................24Tabela 6 - Valores experimentais par a carga P = 0,61kgf........................................................27Tabela 7 - Dados necessários para o cálculo das tensões máximas teóricas..............................28Tabela 8 - Tensões teóricas.......................................................................................................28Tabela 9 - Comparação entre tensões máximas teóricas e experimentais..................................29

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1. Introdução

A fotoelasticidade é uma técnica experimental para análise de tensões e/ou deformações particularmente útil para estudos em partes com formas complicadas, distribuições complexas de cargas ou ambas. Para estes casos, métodos analíticos tornam-se inviáveis ou impossíveis de serem aplicados, fazendo dos métodos experimentais uma solução realística.

Mesmo sendo uma técnica descoberta em 1912 pelo pesquisador David Brewster, tem sido utilizada até então na engenharia e biomecânica. David Brewster foi o primeiro pesquisador a observar os efeitos fotoelásticos quando realizou pesquisas de propriedades ativas de alguns materiais sólidos e transparentes. Observou que sólidos com características isotrópicas, quando submetidos a esforços, transformavam-se em anisotrópicos, e que o grau de anisotropia era proporcional à magnitude da deformação do material.

A passagem da luz polarizada através de um modelo confeccionado com material fotoelástico sob tensão irá gerar franjas luminosas escuras ou coloridas, formar desenhos que, uma vez analisados e medidos, irão determinar as deformações e tensões do material, com as quais apresenta relações matemáticas precisas.

A fotoelasticidade permite realizar análise qualitativa e quantitativa que podem ser classificadas como plana ou tridimensional de transmissão e de reflexão. A análise fotoelástica é também muito utilizada em problemas onde há necessidade de informações das tensões e/ou deformações em uma grande área da estrutura, uma vez que é uma técnica ótica de campo contínuo, fornecendo uma imagem geral da distribuição das tensões, ao invés de informações ponto a ponto. Assim a fotoelasticidade pode ser usada para localizar áreas com níveis altos de tensões, para determinar as máximas tensões em pontos na superfície e no interior da estrutura, bem como identificar áreas com baixas tensões onde o material é utilizado sem eficiência. Problemas envolvendo geometrias planas e tridimensionais, assim como estudos na superfície de uma estrutura, também podem ser resolvidos usando os métodos fotoelásticos.

Esses estudos criam aplicações utilizando este método na área envolvendo a biomecânica e mecânica dos implantes ortopédicos e partes de algumas estruturas do esqueleto humano, como: parafusos pediculares, vértebras e coluna. Algumas dessas linhas de pesquisas são desenvolvidas no Laboratório de Projetos Mecânicos (LPM) da Universidade Federal de Uberlândia (UFU).

Neste relatório foi feito o estudo das tensões em um disco comprimido diametralmente, utilizando a técnica de fotoelasticidade.

.

6

2. Objetivos

Esta aula prática tem como objetivos: determinar, experimentalmente, níveis de tensões cisalhantes que atuam na direção perpendicular à linha de aplicação da carga concentrada em um disco comprimido diametralmente; obter a constante fotoelástica do material do disco (por calibração da resina do disco); determinar, teoricamente, o campo de tensões para o modelo fotoelástico do disco e, também, comparar os resultados experimentais com os teóricos.

3. Fundamentação Teórica

3.1 Definição

A fotoelasticidade é definida com a técnica experimental para análise de tensões e de deformações através da utilização de modelos constituídos de polímeros transparentes os quais apresentam anisotropia ou birrefringência quando deformados, exibindo um fenômeno de dupla reafração. Esses fenômenos são observados através da luz polarizada plana ou circular.

O fenômeno da dupla refração acidental foi descoberto em 1813 por Seebeck e em 1816 foi relacionado com o estado de deformação do meio transparente por David Brester, o qual apresentou um relatório sugerindo a possibilidade da determinação experimental de tensões a partir de modelos estruturais transparente. O uso da fotoelasticidade teve um grande avanço no século XX, a partir dos trabalhos de Cooker e Filon, na Inglaterra, de Foppl na Alemanha e de Frocht nos Estados Unidos.

A foto elasticidade utiliza os conceitos da ótica como, por exemplo, propagação da luz, polarização, refringência, entre outros. Alguns dos conceitos são apresentados na sequencia.

3.2 Princípios da Ótica Geométrica

1) Princípio da Propagação Retilínea da Luz

Em meios homogêneos a luz se propaga em linha reta.

2) Princípio da Reversibilidade

A trajetória dos raios não depende do sentido de propagação.

3) Princípio da Independência dos Raios de Luz

Cada raio de luz se propaga independe dos demais.

A Figura 1 a seguir ilustra os três princípios apresentados.

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(a) (b) (c)

Figura 1 - (a) Propagação retilínea; (b) Reversibilidade; (c) Independência

3.3 Deflexão da Luz

O fenômeno da reflexão regular da luz ocorre sempre que um feixe luminoso incide sobre uma superfície espelhada. Ao retornar para o meio de origem, os raios luminosos são desviados numa única direção. A Figura 2 ilustra o fenômeno da reflexão regular da luz e suas característica que são: raio incidente, raio refletido, ponto de incidência, linha normal, ângulo de incidência e ângulo de reflexão.

Figura 2 - Reflexão regular da luz.

3.3.1 Leis da Reflexão

Primeira Lei: O raio incidente, o raio refletido e a normal à superfície de incidência estão contidos num mesmo plano.

Segunda Lei: O ângulo que o raio de reflexão forma com a normal é igual ao ângulo que o raio de incidência forma com a normal.

3.4 Refração da Luz

Quando um raio de luz atravessa a superfície de separação entre dois meios transparentes (como, por exemplo, o ar e a água), sua direção original de propagação é desviada. Esse fenômeno é definido como refração da luz. Como a velocidade de propagação de uma onde depende do meio em que ela se propaga, toda vez que a onda atravessa obliquamente a superfície de separação de dois meios, ela muda de direção, ou seja, sofre refração.

3.4.1 Leis da Fração

As leis de refração para a luz, ilustradas na Figura 3, são:

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Primeira Lei: O feixe incidente, o feixe refratado e a normal estão no mesmo plano.

Segunda Lei: É constante a relação entre o seno do ângulo de incidência e o seno do ângulo de refração. A segunda lei pode ser expressa pela Eq. (1) abaixo:

senθ1

senθ2

=n21

Terceira Lei: O raio incidente e os raios refratados estão sempre em semiplanos opostos, separados pela normal N.

A Eq. (1) pode ser rescrita da seguinte forma:senθ1

senθ2

=v1

v2

Sendo v1 e v2 as velocidade da luz, respectivamente, nos meios 1 e 2.

Figura 3 - Leis da refração da luz.

3.5 Decomposição da Luz

A luz pode ser fisicamente separada. A luz branca é composta por sete cores visíveis que são: vermelho, alaranjado, amarelo, verde, azul, anil e violeta. Cada uma dessas cores é denominada luz monocromática ou radiação monocromática, que significa uma cor só.

3.5 Refringência

Refringência se refere ao índice de refração de um meio. Todo meio homogêneo, transparente e isótropo é um meio refringente. Um meio é mais refringente que o outro quando seu índice de refração é maior. Em outras palavras, referindo-se à Figura 4, se o raio refratado aproxima-se da normal, o meio 2 é mais refringente que o meio 1; se o raio refratado afasta-se da normal, o meio 2 é menos refringente que o meio 1.

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(1)

(2)

(a) (b)Figura 4 - Ilustração do conceito de refringência

3.6 Fundamentos de Fotoelasticidade

3.6.1 Luz e Polarizadores

O efeito fotoelástico pode ser explicado pela teoria eletromagnética de propagação da luz, a partir da equação de onda. A cada cor corresponde um comprimento de onda. Toda a teoria pode ser explicada para apenas um comprimento de onda, λ. Se for utilizada a luz branca, como a mesma é composta de sete cores, deve-se considerar todos os comprimentos de onda, cada um correspondente a uma cor e a resposta fotoelástica é estudada a partir dos efeitos correspondentes a cada um dos comprimentos de onda. Deve-se utilizar um filtro polarizador o qual admite apenas um plano de propagação de vetores elétricos.

3.6.2 Polarização de ondas luminosas

Diz-se que uma onda é polarizada quando suas vibrações são todas paralelas, ou seja, quando os pontos vibram num único plano. Obtém-se assim, luz polarizada fazendo a luz natural atravessar uma placa denominada polaróide, que absorve todas as vibrações luminosas, exceto aquelas que se realizam numa determinada direção. A polarização só ocorre em ondas transversais (Figura 5).

Figura 5 - Polarização da luz.

O fenômeno da polarização pode ocorrer por reflexão, por transmissão ou através de polarizadores. A polarização por reflexão ocorre sempre que a luz se reflete numa superfície polida, não metálica, sendo que as oscilações paralelas à superfície se refletem com mais intensidade do que as oscilações perpendiculares. No caso da polarização por transmissão, o raio de luz ao atravessar o meio é dividido em dois raios

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polarizados em direções opostas. No caso de polarização por meio de polarizadores, o polarizador atua como uma grade que só permite a passagem das oscilações paralelas em vãos. A luz polarizada tem características diferentes da não polarizada. Para saber se a luz é polarizada ou não, deve-se dispor de um polarizador que atua como um analisador da direção de polarização. Se o polarizador for girado e a intensidade da luz que o atravessa não se alterar, pode-se concluir que ela não é polarizada. Se ela se reduzir, conclui-se que está polarizada e que, quanto maior a redução da intensidade, maior a polarização da luz incidente.

A fotoelasticidade é uma técnica de campo global que fornece indicações dos pontos mais sobrecarregados, os valores de tensões cisalhantes máximas e as direções principais. É aplicável em problemas bi e tridimensionais. Pode ser utilizada em laboratório utilizando o método de transmissão ou no campo, utilizando o método de reflexão. Pode-se determinar quantitativamente a distribuição de tensões em componentes, localizando os pontos mais solicitados bem como suas direções principais, o que permite uma determinação mais detalhada das tensões em tais pontos críticos através de análise por extensômetros elétricos. No caso de problemas de análise de tensões bidimensionais pode-se usar um polariscópio de transmissão em escala de laboratório ou de reflexão em laboratório ou no campo. No caso de problemas de análise de tensões tridimensionais, utiliza-se o método de transmissão, utilizando-se o procedimento de congelamento de tensões e posterior corte em fatias.

Na Figura 6 é apresentado um esquema típico de uma montagem para análise de tensão, constituído de uma fonte de luz branca ou monocromática, um filtro de ¼, o modelo a ser analisado, outro filtro de ¼, e o observador.

Figura 6 - Montagem típica de um polarizador em laboratório.

A teoria da fotoelasticidade é regida pela lei de Brewster a qual estabelece que velocidade de difração diferentes ou índices de difração diferentes são provocados pelo estado de tensões no ponto. Matematicamente a lei de Brewster pode ser expressa como:

σ 1−σ2=α(C1−C2)

Na Figura 6, o polaróide que está do lado da fonte de luz é o polarizador; o que está do lado do observador é o analisador. Esses dois polaroides podem ser girados por meio de um dispositivo mecânico podendo, pois, ser colocados em posições angulares relativas. Se, por exemplo, estiverem cruzados em relação à origem, na ausência de tensão mecânica, a luz não atravessa o modelo. Se estão submetidos a tensão mecânica, aparecerão franjas. A resposta fotoelástica consiste de duas famílias de franjas que são

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(3)

observada no modelo ou no protótipo. As duas famílias de franjas denominam-se respectivamente isocromáticas e isoclínicas.

Isocromáticas constituem o lugar geométrico dos pontos que possuem as mesmas diferenças de tensões principais, ou seja

σ 1−σ2=Nt

f σ=δλ

1t

f σ

sendo que:N é a ordem da franja isocromática que é lido no polariscópio;t é a espessura do modelo;f σ é um fator de calibração ótico do material utilizador; eσ 1 e σ 2 são as tensões principais paralelas ao plano do modelo ou fatia. Isoclínicas: é o lugar geométrico dos pontos cujas direções principais fazem ângulo

zero ou 90º com os eixos do polariscópio. A Eq. (4) pode ser escrita também em termos de deformação, ou seja:

ε 1−ε2=Nt

f ε

sendo f ε o valor de franja expresso em termos de deformações e:

f ε=1+μ

Ef σ

Quando uma luz monocromática é utilizada, tem-se pontos claros, cinzas e negros. Quando se utiliza luz branca, as cores aparecem devido à anulação de comprimentos de onda específicos. N=0 corresponde à franja preta; N=1, tem-se passagem da franja vermelha para azul, correspondente a δ ≈575 nm; N=2, tem-se a passagem da franja rosada para verde, correspondente a δ ≈1150 nm; N=3, tem-se a passagem da franja rosada para esverdeada, correspondente a δ ≈1725 nm. Na Tabela 1 são apresentadas os valores de ordem de franja N e a retardação correspondente para as diversas cores (correspondente ao comprimento de onda 575 nm, luz amarela).

Tabela 1 - Cores em fotoelasticidade

Cor Retardação (mm) NPreto 0 0Cinza 160 0,28

Branco 260 0,45Amarelo 350 0,60Laranja 460 0,79

Vermelho 520 0,90Roxo 577 1,00Azul 620 1,06

Laranja 940 1,62Rosa 1050 1,82

Violeta 1150 2,00Verde 1350 2,35

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(4)

(4)

(5)

O polariscópio pode ser plano ou circular. Um polariscópio plano consiste de uma fonte de luz e de dois filtros polarizadores os quais são posicionados ortogonalmente. A intensidade da luz, I, após o analisador é zero na ausência de um modelo fotoelástico e o eixo de polarização, P, é também o eixo de referência zero do polariscópio. No polariscópio plano, com um modelo carregado, a intensidade da luz, I, observada para cada ponto de um modelo de material refringente é proporcional ao quadrado da amplitude do vetor elétrico que atravessa o analisador. Pode-se escrever:

I∝ EAo

2 ∝ sen22 θ sen2 Δ /2

haverá, então, anulação da intensidade I no ponto observado quando se tiver; sen2 2θ=0

ou sen2 Δ2=0.

Δ é a retardação angular igual a 2 πδ / λ provocada pela diferença de tensões σ 1−σ2; θ é

o ângulo que σ 1 ou σ 2 faz com o eixo de polarização.Assim haverá anulação da luz para todos os pontos para os quais se tem:

θ=0 , π /2, etc. O lugar geométrico desses pontos sãos as franjas isoclínicas;E Δ=0,2 π ,4 π , etc. O lugar geométrico destes pontos são as franjas

isocromáticas.Na Figura 7 estão ilustrados esses conceitos.

Figura 7 - Modelo carregado em um polariscópio plano

Um polariscópio consiste de um arranjo de elementos cruzados e o nome circular é devido à luz polarizada circular que se propaga entre os retardadores de ¼ de onda. Num polariscópio circular com um modelo carregado, a intensidade da luz independe das direções principais. Na posição cruzada a intensidade da luz é proporcional ao quadrado do sendo de Δ /2, ou oseja:

I∝ sen2 Δ2

Assim, I= 0 para Δ=0 ,2 π , 4 π , ... ou N=0,1,2, ..., pois N=δ / λ=Δ /2 π.Na Figura 8 está representado, de forma esquemática um polariscópio circular

com modelo carregado.

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(6)

Figura 8 - Modelo carregado em um polariscópio circular

3.7 Determinação de Isoclínicas

As isoclínicas podem ser definidas como sendo o local geométrico dos pontos do modelo que possuem a mesma direção das tensões principais, e estas coincidem com as direções de polarização do polariscópio. São curvas pretas que aparecem no analisador de um polariscópio plano e seu valor pode ser determinado, girando-se o conjunto polarizador/analisador em relação ao modelo. A Figura 9 abaixo representa as isoclínicas de um disco sob compressão do diâmetro vertical.

Figura 9 - Representação das isoclínicas

Para determinar as isoclínicas existem duas maneiras, a primeira diz respeito da obtenção das isoclínicas no campo do modelo, e a segunda determina as mesmas de forma individual para cada ponto de interesse.

Segue abaixo algumas regras que devem ser seguidas para facilitar o uso e a determinação das isoclínicas.

A isoclínica deve coincidir com um eixo de simetria do modelo. Todas as isoclínicas devem passar através de pontos de carga concentrada. A tensão principal no contorno é uma tensão tangencial e o parâmetro da

isoclínica coincide com a inclinação do contorno no ponto de intersecção. Em eixos de simetria não existem tensões de cisalhamento. Os parâmetros das isoclínicas podem ser utilizados para determinar as tensões de

cisalhamento em um plano arbitrário definido por um sistema de coordenadas XY.

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3.8 Determinação de Isocromáticas

As isocromáticas são definidas como sendo o lugar geométrico dos pontos que apresentam o mesmo valor para a diferença entre as tensões principais. Este parâmetro é mais facilmente identificado no polariscópio circular, que tem a propriedade de eliminar o parâmetro da isoclínicas. Se a fonte de luz utilizada for monocromática, as isocromáticas se apresentam como faixas escuras. Quando a fonte de luz é branca, as isocromáticas são formadas por faixas luminosas de diferentes colorações dependendo da ordem de franja, N.

A imagem a diante mostra um disco sob compressão analisado em um polariscópio circular sob luz branca. Observa-se que não existem as isoclínicas sobre o modelo.

Figura 10 - Representação das isocromáticas

A técnica é valida para vários tipos de modelos, sendo que as ordens de franja em um ponto do modelo podem ser obtidas de duas formas:

Fotografa-se ou analisam-se as ordens de franjas inteiras que correspondem as fases múltiplas do comprimento de onda de luz utilizada. No caso estudado no laboratório o espectro observado no analisador, apresenta colorações diferencias para as ordens de franja. Geralmente, para se determinar a ordem de franja de pontos fora das franjas de ordem inteira faz-se uma interpolação ou extrapolação das isocromáticas.

Ao se utilizar os métodos de compensação podem-se conseguir medidas mais próximas do valor verdadeiro, ou seja, ordens de franja fracionárias, o método mais utilizado é o método de compensação de Tardy. Novamente para este caso, existem algumas regras que devem ser seguidas para

facilitar o uso e a determinação das isocromáticas.

Se não houver carregamento no contorno é possível obter σ 1 ou σ 2. Lei óptica das tensões em qualquer modelo fotoelástico determina a diferença

das tensões principais (σ 1−σ2). Se σ 1>0 e σ 1<0 então τ max=(σ1−σ2)/2, ou seja, é possível obter a tensão

cisalhante máxima. Entre outras.

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3.9 Método de Compensação de Tardy

Após compreender a determinação do numero de franjas inteiras que é mostrado na Tabela 1 e analisando a Figura 11 a seguir, pode-se entender a determinação de ordens de franja fracionárias em um ponto qualquer do modelo usando compensação de Tardy.

Figura 11 - Método de Tardy

A seguir serão listados alguns passos para se utilizar o método com ênfase.

Passo 1:Primeiro efetua-se o ajuste do polariscópio na polarização plana, a seguir, gira-se

o conjunto polarizador/analisador até que uma isoclínica passe pelo ponto em questão. Fixa-se o conjunto nesta posição, fazendo com que os eixos de polarização fiquem alinhados com a direção das tensões principais.

Passo 02:Adiciona-se as duas placas retardadoras de ¼ de onda fazendo um ângulo de 45º,

com os eixos de polarização, com isso passa-se o ajuste do polariscópio de plano para circular, fazendo com isto, desaparecer isoclínicas, ficando somente as isocromáticas.

Passo 03:Analisa-se o espectro, assinalando as ordens de franja de valores inteiros ao lado

do ponto que se quer analisar. Identificam-se assim as ordens de franjas próximas ao ponto de interesse.

Passo 04:Gira-se o analisador, observando cuidadosamente o movimento das franjas, até

que uma das franjas de ordem inteira passe pelo ponto. No transferidor do polariscópio lê-se o ângulo de rotação (α).

Passo 05: Se a franja que se moveu em direção ao ponto for à de ordem menor (n1) tem-se

que a ordem de franja fracionária no ponto é dada pela seguinte relação:

N p=n1+α

180Mas se a franja que se moveu for à de ordem mais alta (n2), pode-se da mesma

forma obter a equação representativa:

16

(7)

N p=n2−α

180As ordens de franjas de tração e compressão são exatamente iguais, por causa

disso deve-se ficar atento quando for executar as contas. Além disso, nas superfícies livres, as direções das tensões principais são tangentes e perpendiculares à superfície, respectivamente. A tensão principal perpendicular à superfície é nula, se não existir carregamento. Assim, em uma superfície livre, se a franja de ordem superior se mover em direção ao ponto, tem-se uma tensão de compressão neste ponto, e se a franja de ordem menor se mover em direção ao ponto, tem-se uma tensão de tração.

3.10 Índice de refração

A relação existente entre a velocidade de propagação da luz no vácuo e a velocidade de propagação da luz em um material é conhecida como índice de refração absoluto. Quando se relaciona as velocidades de propagação da luz entre dois diferentes materiais, tem-se o índice de refração relativo de um meio em relação a outro meio.

Em corpos homogêneos e isotrópicos estes índices são constantes e independem da direção de propagação. Alguns materiais como os plásticos, podem ser considerados homogêneos quando estão sem nenhuma tensão aplicada, mas tornam-se heterogêneos quando submetidos a uma tensão qualquer, assim verifica-se que a mudança no índice de refração é função da tensão aplicada. Ao analisar um caso especifico, pode-se se obter uma relação para o atraso relativo entre dois feixes de luz.

O modelo será plástico e transparente com espessura b, e com um determinado nível de tensão, onde x e y são as direções das tensões principais em um ponto genérico. Um feixe de luz polarizada se propaga através do objeto, e se divide em dois feixes, estes se propagam nos planos x e y com velocidades dependentes das tensões aplicadas. Se as deformações especificas ao longo dos eixos forem ε x e ε y, e as velocidades forem V x e V y, pode-se obter a formulação a seguir:

δ=C luz( bV x

−b

V y)=b(nx−ny)

Onde:nx: índice de refração absoluto em relação ao eixo x.n y: índice de refração absoluta em relação ao eixo y.δ : fase entre dois feixes de luz.

3.10.1 Lei da Dupla Refração Temporária

Materiais transparentes não cristalinos são oticamente isotrópicos quando estão livres de tensões, mas tornam-se oticamente anisotrópicos quando solicitados. Este fato é denominado dupla refração temporária.

Dos conceitos relativos à variação dos níveis das tensões principais em função dos índices de refração em materiais elásticos, desenvolvidos por Maxwell pode-se escrever as relações,

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(8)

(9)

(10)

n1−n2=( c1−c2) ( σ1−σ 2)

δh=c (σ 1−σ2 )

Utilizando do conceito de retardadores de ondas, pode-se inferir a equação a seguir, que diz respeito à diferença de fase angular Δ a partir de uma relação com a diferença de fase linear δ , obtida anteriormente.

Δ=2 πλ

δ=2 πλ

h (n2−n1 )

Da equação anterior e utilizando dos conceitos desenvolvidos por Maxwell, tem-se:

Δ2 π

∗λ

c∗1

h=σ 1−σ2

Onde:Δ

2 π=N : Ordem de franja

λc=f σ: constante óptica em termos da tensão

Ao unirem-se as equações anteriores, tem-se finalmente que,

σ 1−σ2=Nf σ

hAssim, a tensão cisalhante máxima fica determina por,

τ máx=σ1−σ2

2=

N2∗f σ

hPortanto, a tensão cisalhante máxima pode ser determinada em toda a extensão

do modelo conhecendo-se as ordens de franja no ponto analisado.

3.11 Fotoelasticidade Bidimensional

Na fotoelasticidade bidimensional é feita a análise do estado plano de tensões. As tensões principais σ 1e σ 2 são dadas por:

σ 1,2=σ x+σ y

2±

12

√(σ x−σ y)2+4 τ xy

2

Incidindo a luz na direção z vê-se a diferença das tensões:

σ 1−σ2=√( σx−σ y )2+4 τ xy2 = N

tf σ

Regioes de tensões uniformes apresentam mesma ordem de franja, ou seja, σ 1=σ2=¿ constante, implica em N = constante.

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(16)

(17)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

Em um contorno livre não há esforços externo aplicado e, portanto, a tensão é nula. Este conceito é utilizado para separar as tensões σ 1e σ2, pois neste caso, uma das tensões é zero.

O registro de isocromáticas ou isoclínicas pode ser feito por meio da fotografia, por análise de imagens, através de digitação de imagem ou por cópia da tela, em papel transparente.

Observações: um ponto de franja zero, onde se tem: σ 1=σ2=0 é denominado um ponto

singular; um ponto de fanja zero quando se tem σ 1=σ2 é denominado um ponto

isotrópico; isoclínicas de todos os valores passam pelos pontos isotrópicos e singulares,

porque qualquer direção é principal nesses pontos; isoclínica de um determinado valor, constante, deve passar por um eixo de

simetria. Um eixo de simetria é uma direção principal; os pontos de aplicação de carga admitem todos os valores de isoclínicas.

3.12 Métodos de Calibração de Materiais Fotoelásticos

A calibração de materiais fotoelásticos é realizada com a finalidade de se obter o f σ ou o f ε. É bem simples quando se conhece o estado de tensões em algum ponto do modelo e se lê a ordem da franja naquele ponto. Os principais modelos que são normalmente utilizados para a calibração são: um disco carregado; uma viga de seção retangular em momento e um corpo-de-prova de tração. No modelo de disco carregado determina-se f σ no ponto central, o qual é dado por (Figura 12):

f σ=8 P

πDN

Figura 12 - Modelo de disco carregado

No modelo de viga retangular (Figura 13), o f σ é dado por:

f σ=6 M

h2 N

19

(18)

(19)

Figura 13 - Modelo de viga retangular carregada

No modelo de corpo-de-prova de tração (Figura 14), f σ é dado por:

f σ=P

bN

Figura 14 - Modelo de corpo-de-prova de tração carregado

4. Materiais e Equipamentos

Os materiais necessários para a realização do procedimento experimental são:

1) Polariscópio de transmissão: O polariscópio é um instrumento que mede a diferença de fase que ocorre quando a luz polarizada passa através de um modelo fotoelástico tensionado, servindo para levar as ondas para um plano comum causando uma interferência óptica entre elas.

20

(11)

Figura 15 - Polariscópio

2) Célula de carga com indicador: Utilizada para a medição da carga aplicada ao disco.

3) Dispositivo de carga: Aplica a carga no disco.

Figura 17 - Dispositivo de carga

4) Paquímetro: Permite a medição dos dados geométricos do disco fotoelástico.

Figura 18 – Paquímetro

21

Figura 16 - Célula de carga e indicador

5. Procedimento Experimental

No experimento será utilizado um disco fotoelástico, o qual será sujeito a uma carga vertical de compressão P. Trata-se de um disco flexível, de resina.

Antes de iniciar o experimento, utilizando um paquímetro, foram anotados os dados geométricos do disco, como o diâmetro e a espessura do mesmo, como mostrado na figura a seguir.

Figura 19 - Medição do disco utilizando o paquímetro

O experimento pode ser divido em duas etapas:

1ª Etapa: O disco será carregado por sete valores diferentes de força P, que o solicitarão diametralmente, como mostra a figura abaixo. Para cada valor de carga, será determinada a ordem de franja(N). Tendo-se esse conjunto de dados, será obtida a curva de calibração para a determinação da constante óptica do material do disco.

22

Figura 20 - Aplicação da carga no disco

2ª Etapa: O mesmo disco será carregado, novamente, para a obtenção experimental das tensões de cisalhamento que ocorrem em cinco posições alinhadas paralelamente ao diâmetro horizontal do mesmo, como mostrado na Figura 21. Tais tensões serão calculadas, utilizando-se a Lei Óptica de Tensões, a partir do valor da constante fotoelástica, obtido na 1ª Etapa.

A partir das descrições acima, foram obtidas as seguintes anotações dos ensaios:

Tabela 2 - Anotações dos dados geométricos do disco fotoelástico

Diâmetro (d) 39,70mmEspessura (h) 9,95mm

Dados geométricos do disco fotoelástico

23

Figura 21 - Pontos selecionados para avaliação no experimento

Tabela 3 - Ordem de franjas e ângulos de rotação anotados para cada carga P nos ensaios (1a etapa)

Carga Aplicada

N1 N2 α(menor) α(maior)

0,27 0 1 174 6

0,35 1 2 141 41

0,43 1 2 93 88

0,55 1 2 166 13

0,61 2 3 37 147

0,73 2 3 117 61

1,03 4 5 119 52

Parâmetros Ópticos

P (Kgf)Ordem das Franjas Adjacentes Ângulo de Rotação (◦)

Tabela 4 - Ordem de franjas e ângulos de rotação anotados para a carga P=0,61kgf para os 5 pontos diferentes (2a etapa)

N1 N2 α(menor) α(maior)1 0 1 29 1532 1 2 77 973 2 3 136 434 2 3 59 1165 0 1 12 165

Valor de carga aplicada = 0,61 KgfParâmetros Ópticos

Ordem das Franjas Adjacentes Ângulos de rotação (◦)Pontos

6. Análise dos Resultados

Para efetuar os cálculos, foram utilizados os dados coletados em laboratório. Primeiramente foi realizada a calibração. Para a realização da mesma, um disco foi posicionado no polariscópio e o mesmo foi carregado por sete valores diferentes de força P relativos ao ponto central do disco, que o solicitarão diametralmente. Para cada valor de carga, será determinada a ordem de franja N. Tendo este conjunto de dados, será obtida a curva de calibração para a determinação da constante óptica do material do disco.

A tabela abaixo mostra os dados coletados em laboratório necessários para a calibração.

Tabela 5 - Dados experimentais obtidos em laboratório para realizar a calibração

Carga Aplicada

N1 N2 α(menor) α(maior) N(menor) N(maior) N(médio)

0,27 0 1 174 6 0,97 0,97 0,967

0,35 1 2 141 41 1,78 1,77 1,778

0,43 1 2 93 88 1,52 1,51 1,514

0,55 1 2 166 13 1,92 1,93 1,925

0,61 2 3 37 147 2,21 2,18 2,194

0,73 2 3 117 61 2,65 2,66 2,656

1,03 4 5 119 52 4,66 4,71 4,686

Parâmetros Ópticos

P (Kgf)Ordem das Franjas Adjacentes Ângulo de Rotação (◦) Método de Compensação de Tardy

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A carga aplicada, as ordens das franjas adjacentes e os ângulos de rotações foram obtidos diretamente pela balança (no caso da carga) e pelo polariscópio (para o restante dos dados).

Utilizando o Método de Compensação de Tardy, foi possível o cálculo de Nmenor

e Nmaior utilizando-se das seguintes equações:

Nmenor=N 1+α menor

180

Nmaior=N2−α maior

180

Com posse dos valores de Nmenor e Nmaior pode-se obter o valor de Nmédio utilizando média aritmética, portanto:

Nmédio=Nmenor+Nmaior

2Com os valores das cargas aplicadas (P) e os valores das franjas (Nmédio), pode-se

traçar o gráfico PxN, ilustrado na figura abaixo:

0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000 4.500 5.0000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

f(x) = 0.206623722919296 x + 0.103223403064533

Calibração

Calibração Linear (Calibração)

Número médio de Franjas (Nmédio)

Carg

a Ap

licad

a (P

) [Kg

f]

Figura 22 - Gráfico plotado entre a carga aplicada e o numero de franjas médias para posterior obtenção da constante óptica

No gráfico acima se pode notar que também foi obtido a linearização dos pontos, representada pela equação:

y=0,2066 x+0,1032No caso apresentado, a linearização foi obtida automaticamente pelo programa

Microsoft Excel®. Porém, o mesmo resultado pode ser obtido utilizando as fórmulas do método dos mínimos quadrados, que são as representadas abaixo:

∑i=1

n

εi=nA+(∑i=1

n

pi)B

25

∑i=1

n

pi ε i=(∑i=1

n

p i)A+(∑i=1

n

p i2)B

onde A é o coeficiente angular da reta de regressão e B é o coeficiente linear da reta de regressão. Ou seja, A=0,2066 e B=0,1032.

Sabe-se que a tensão no centro do disco é dada por:

σ 1=2 PπhD

eσ2=−6 PπhD

Utilizando a lei óptica das tensões e as equações acima, é possível obter a equação da reta de calibração utilizando o modelo do disco sob compressão, ou seja:

P=πD f σ

8N

Sabendo o valor do coeficiente angular da reta de regressão obtida e com posse da equação da reta de calibração acima, pode-se estimar o valor da constante óptica do material utilizado no experimento.

Da equação acima, sabe-se que: P – carga aplicada. No caso, P = 0,61 kgf; D – diâmetro do disco. No caso, D = 3,970cm; f σ – constante óptica, que se quer determinar;

N− número médio de franjas.Tem-se que N é a variável independente, portanto o fator multiplicador de N se

comportará como o coeficiente angular (A) da equação de regressão linear. Portanto:

A=πD f σ

8Da equação de regressão linear, sabe-se que A = 0,2066. Portanto isolando f σ,

tem-se que:

f σ=8 AπD

f σ=8. 0,2066π .3,970

f σ=0,1325 kgf /cm

Portanto, a constante óptica do material utilizado corresponde a f σ=¿ 0,1325kgf/cm.

Com o valor da constante óptica é possível determinar as tensões cisalhantes máximas em qualquer ponto do disco.

No experimento realizado, os pontos que foram feitas as medições estão representados na figura abaixo, com as respectivas cotas (em cm) dos eixos de referência:

26

Figura 23 - Imagem representativa ilustrando os pontos do disco, desenhada no Software Catia.

Sabe-se que para determinar as tensões cisalhantes máximas nos pontos, é necessário utilizar da seguinte equação, que é obtida através da Lei de Brewster-Maxwell (Lei óptica das tensões).

τ máx=N f σ

2 honde:

N – número de franjas. No caso, as mesmas podem ser determinadas do mesmo modo anteriormente citado (Método de Compensação de Tardy);

f σ – constante óptica do material;

h - espessura do disco. No caso, h = 0,995cm.Fazendo os devidos cálculos, é possível montar a tabela abaixo:

Tabela 6 - Valores experimentais par a carga P = 0,61kgf

N1 N2 α(menor) α(maior)1 0 1 29 153 0,16 0,15 0,156 0,01036 1,013562 1 2 77 97 1,43 1,46 1,444 0,09618 9,411603 2 3 136 43 2,76 2,76 2,758 0,18366 17,972544 2 3 59 116 2,33 2,36 2,342 0,15591 15,257655 0 1 12 165 0,07 0,08 0,075 0,00499 0,48868

Ordem das Franjas Adjacentes Ângulos de rotação (◦)N(menor)

τ máx(kPa)

Tensão Cisalhante MáximaValor de carga aplicada = 0,61 Kgf

τ máx(Kgf/cm²)N(médio)

Parâmetros Ópticos

N(maior)Pontos

Da tabela acima, nota-se dois valores da tensão cisalhante máxima. Isto porque os valores obtidos usando a força em kgf e as medidas em centímetros retorna uma tensão em Kgf/cm². Portanto, utilizando das conversões necessárias, é possível transformar a tensão para o sistema internacional, ou seja, em Pascais (Pa) (ou kPa, como na tabela). Esta conversão é feita pela multiplicação do valor obtido em Kgf/cm² por 98.

27

P1 P2 P3 P4 P502468

101214161820

Tensões cisalhantes para cada ponto

τ Experimental

Pontos

τ m

áx (

kP

a)

Figura 24 - Gráfico relacionando as tensões cisalhantes para cada ponto.

Como método de comparação, é necessário obter as mesmas tensões cisalhantes, porém de maneira teórica, utilizando a teoria da elasticidade, para que se possa determinar se o método da fotoelasticidade é um parâmetro para se medir tensões ou não. Para obter as tensões cisalhantes máximas de modo teórico, será preciso primeiramente obter as tensões normais e a tensão cisalhante no plano. É possível obter as mesmas utilizando das seguintes equações:

σ x=−2 P

hπ [ (R− y) x2

r14 +

(R+ y) x2

r24 − 1

D ]σ y=

−2 Phπ [ (R− y)3

r14 +

(R+ y )3

r24 − 1

D ]τ xy=

−2 Phπ [(R− y )2 x

r14 −

(R+ y )2

r24 ]

onde: X e Y – coordenadas cartesianas do ponto, com a referência no centro do disco; P – força aplicada no disco. No caso, P = 0,61kgf; h – espessura do disco. No caso, h = 0,995cm; R – raio do disco. No caso, R = 1,985cm; D – diâmetro do disco. No caso, D = 3,97cm;

r14=[ x2+(R− y )2 ]2;

r24=[ x2+(R+ y)2 ]2.

Com isso, é possível montar a seguinte tabela:

28

Tabela 7 - Dados necessários para o cálculo das tensões máximas teóricas.

Pontos X Y R-Y R+Y r1² r2²1 -1,34 0,915 1,07 2,9 2,9405 10,20562 -0,71 0,915 1,07 2,9 1,649 8,91413 0 0,915 1,07 2,9 1,1449 8,414 0,83 0,915 1,07 2,9 1,8338 9,09895 1,48 0,915 1,07 2,9 3,3353 10,6004

Dados teóricos utilizados nos cálculos

Com os dados da tabela acima, calculam-se as tensões. E com os valores de σ x, σ y e τ xy, é possível calcular τ máx utilizando a seguinte equação:

τ máx=√( σx−σ y

2 )2

+(τ xy)2

Os valores das tensões utilizando as equações acima descritas retornariam um valor na unidade kgf/cm2. Porém, utilizando das devidas conversões, obtém-se as seguintes tensões, já no sistema internacional (SI):

Tabela 8 - Tensões teóricas

Pontos σx (kPa) σy (kPa) τ xy (kPa) τ máx (kPa)1 -0,776 -4,734 9,86061 10,057292 1,342 -19,309 15,45980 18,590773 9,620 -39,244 4,54141 24,850854 0,327 -15,544 -6,91290 10,524355 -0,585 -2,875 -2,95913 3,17289

Com os valores das tensões cisalhantes máximas experimentais e teóricas, pode-se comparar os dois resultados, de maneira a comprovar se a fotoelasticidade é um método confiável ou não. Assim, sendo, utiliza-se a equação abaixo para determinar o erro percentual entre as duas tensões:

Erro (% )=¿ τmax teórico−τmaxexperimental∨¿

τmaxteórico

∗100¿

Com isso, é possível construir a tabela abaixo:

Tabela 9 - Comparação entre tensões máximas teóricas e experimentais

Pontos τ máx exp (kPa) τ máx teor (kPa) Erro (%)P1 1,01356 10,05729 89,92217P2 9,41160 18,59077 49,37487P3 17,97254 24,85085 27,67838P4 15,25765 10,52435 44,97473P5 0,48868 3,17289 84,59828

Para tornar os dados da tabela mais visual, o gráfico abaixo mostra a diferença entre os valores das tensões teóricas e experimentais máximas:

29

P1 P2 P3 P4 P50

5

10

15

20

25

30

Comparação das Tensões Cisalhantes

τ Experimental τ Teórica

Pontos

τ m

áx (

kP

a)

Figura 25 - Gráfico mostrando a diferença entre a tensão máxima experimental (azul) e a teórica (vermelha).

O gráfico anterior compara os valores encontrados para as tensões máximas experimentais e teórica, essa diferença encontrada entre os dois valores, deve-se principalmente ao fato de que o procedimento experimental para a obtenção das tensões ser muito influenciado pelo operador. A influência deste é encontrada na determinação de vários valores experimentais, desde a obtenção dos dados geométricos do disco fotoelástico até na observação dos números de franja, a qual requer experiência do observador e pode ser uns dos principais fatores para a discrepância. Outro fator importante é a determinação das tensões teóricas, ela leva em conta a tensão para peças homogêneas e sem defeitos, o que é impossível de se obter na prática. E por fim, erros de arredondamento, conversão de unidades e na adoção de constantes, como a gravidade, podem influenciar também na obtenção das tensões.

7. Conclusões

Este relatório apresenta uma metodologia para obtenção dos parâmetros fotoelásticos utilizando luz polarizada. A validação da técnica proposta foi feita através de um disco sob força de compressão. Todos os modelos fotoelásticos, o aparato experimental utilizado e a avaliação da metodologia foram apresentados. O método proposto pode ser empregado de forma vantajosa e eficiente na técnica de fotoelasticidade, devido a sua facilidade de implementação.

Dos resultados obtidos, percebe-se que o erro obtido foi pequeno, quando leva-se em consideração os diversos fatores que podem ter afetado os cálculos, como por exemplo, a qualidade da peça ensaiada, a calibração dos materiais utilizados e a necessidade de um operador experiente para a análise e levantamento dos dados

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experimentais. defeitos e falta de homogeneidade da peça ensaiada, erro de calibração na célula de carga e por fim, o principal deles que é a experiência exigida ao operador no levantamento dos dados experimentais.

Quando este método é operado por pessoas experientes e capacitadas, pode-se comprovar a boa precisão dos cálculos de tensões utilizando a fotoelasticidade e portanto conclui-se que o uso dela é fundamental em alguns casos onde a geometria da peça é complexa e é difícil determinar teoricamente o valor das tensões. Além de ser uma técnica que não depende do material ensaiado e que por isso pode ser aplicada a diversos tipos de materiais e que possibilita a compreensão e análise das concentrações de tensão em uma peça.

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8. Referências Bibliográficas

LIMA, A.M.G; RADE, D.A; SAAD, N.S. . Guia do laboratório, “Terceira Aula Prática - Obtenção de tensões em um disco comprimido diametralmente, utilizando a técnica de fotoelasticidade”, Laboratório de Mecânica das Estruturas (LMEst).

DALLY, J.W.; RILLEY, W.F. Experimental Stress Analysis. McGraw-Hill, 1978.

ARAÚJO, C.A. Fotoelasticidade de Transmissão Plana – UFU, Uberlândia, 2013.

Materiais encontrados na internet:

http://www.abfm.org.br/c2006/palestras/IBB1-Shimano.pdf

http://www.eesc.usp.br/geopos/disserteses/joseschiavon.pdf

http://www.posgrad.mecanica.ufu.br/posmec/15/pdf/POSMEC032.pdf

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ANEXO I – Materiais Fotoelásticos e Aplicações

Os materiais fotoelásticos são denominados materiais birrefringentes. Eles apresentam diferentes índices de refração segundo os planos das tensões principais. Eles tem a função de retardadores de onda, essa retardação dependendo do material, do tipo de luz utilizada e da diferença entre as tensões principais. A escolha do material adequado para uma análise fotoelástica é de suma importância. Não existe um material ideal, sendo que os materiais existentes, ditos materiais fotoelásticos apresentam vantagens e desvantagens.

As principais propriedades que devem apresentar um material fotoelástico são: transparência; alta sensibilidade (baixo f σ ou f ε); propriedade elásticas e lineares; isotropia, homogeneidade; baixa fluência; alto módulo de elasticidade, E; alta figura de mérito, q = E/f σ; ausência de efeitos de bordo (tempo, umidade e usinagem); baixa influencia da temperatura sobre as propriedade; boa usinabilidade; baixo custo; facilidade na aplicação de desmoldantes; fundição de grandes volumes.

Os principais materiais birrefringentes são: Columbia Resin CR-39, Homalite 100, PSM-1; policarbonato, poliuretano e poliéster, indicados para uso em fotoelasticidade bidimensional. Resinas epóxi, indicadas para fotoelasticidade bi e tridimensional.

Figura 26 - Disco de resina (material fotoelástico), sob ação de uma carga qualquer.

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Quanto às aplicações, a fotoelasticidade possui está presente em vários campos da engenharia, medicina, odontologia, podendo citar entre elas:

A determinação precisa de fatores de concentração de tensões; A determinação qualitativa da distribuição de tensões em componentes,

localizando pontos mais solicitados e suas direções principais para que se possa fazer uma análise posterior por outro método de análise de tensões tais como a utilização de extensômetros elétricos, com consequente economia;

A determinação das direções principais nos dentes, durante a mastigação no campo da odontologia;

A determinação da distribuição de tensões na estrutura óssea em corpos humanos tais como na coluna, nos membros superiores e inferiores do corpo humano, em medicina.

Figura 27 - Tensões causadas pelo implante dentário.

Figura 28 - Tensões em placas metálicas.

Figura 29 - Franja sobre os pontos de interesse na região dos rebites de uma placa de aplicação aeronáutica.

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