Conduccion en R´ egimen Transitorio´T C ( t ) T 1 Conduccion en R´ egimen Transitorio´...

Conduccion en Regimen Transitorio

Departamento de Ingenierıa Mecanica Facultad de IngenierıaUniversidad de Buenos Aires

5 de mayo de 2020

J. D’Adamo (FI UBA) Conduccion en Regimen Transitorio 5 de mayo de 2020 1 / 44

Organizacion de la clase

1 Ecuacion de Fourier.

Problema general de difusion.2 Evolucion hacia el equilibrio

termicoSolidos de TemperaturaUniformeConduccion en un solidosemi-infinitoSoluciones completas

Respuesta termica de un solidoinfinito.Casos simples de regimentransitorio multidimensional

3 Variaciones periodicas deTemperatura

Solido semi-infinito sometido auna temperatura cıclica.

4 Problemas con contorno enmovimiento

1 Ecuacion de Fourier.Problema general de difusion.

2 Evolucion hacia el equilibriotermico

Solidos de TemperaturaUniformeConduccion en un solidosemi-infinitoSoluciones completas

Solidos de TemperaturaUniforme

Conduccion en un solidosemi-infinitoSoluciones completas

Solidos de TemperaturaUniformeConduccion en un solidosemi-infinito

Soluciones completas

Respuesta termica de un solidoinfinito.

Casos simples de regimentransitorio multidimensional

2 Evolucion hacia el equilibrio termicoSolidos de Temperatura UniformeConduccion en un solido semi-infinitoSoluciones completasRespuesta termica de un solido infinito.Casos simples de regimen transitorio multidimensional

3 Variaciones periodicas de TemperaturaSolido semi-infinito sometido a una temperatura cıclica.

4 Problemas con contorno en movimiento

Ecuacion de Fourier.Problema general de difusion.

En el planteo general de Conduccion, habıamos llegado a la siguienteecuacion:

∂T∂t

= a∇2T (1)donde T es Temperatura, t es tiempo ya es la difusividad del material.

Los problemas que se estudian en este caso son de dos tipos:

Cuerpos que evolucionan hacia un equilibrio termico(calentamientos o enfriamientos).

Cuerpos que estan sometidos a variaciones periodicas deTemperatura.

∂T∂t

Dos vıas de resolucion:

Metodos matematicos clasicos que nos dan una solucion analıtica.

Metodos numericos que se basan en una discretizacion del dominio deestudio.

Para que el problema sea resoluble:

Condiciones geometricas: Formas y dimensiones del cuerpo, materialcon propiedades uniformes.

Propiedades fısicas: Es necesario conocer las propiedades fısicas delmaterial y su variacion con la temperatura.

Condiciones Iniciales: El campo de temperaturas en el instante inicialdebe ser dato.

Condiciones de Contorno o Frontera: Definen la interaccion de las piezascon el entorno.

Ecuacion de Fourier.Condiciones de Contorno.

Condiciones de Contorno

A Distribucion de Temperaturas en el contorno

T(xs, ys,zs) = T1

B Densidad de Flujo de calor en la Superficie de control.

−λ∂T∂n

C Conveccion entre la superficie del cuerpo y un fluido.

T(xs, ys,zs) = T1

−λ∂T∂n

T(xs, ys,zs) = T1

−λ∂T∂n

D Temperatura del entorno y la ley de transmision de calor por radiacionentre la superficie y el entorno.

−λ∂T∂n

= σ(T4 − T4∞)

E Resistencia termica a la conduccion en la superficie de separacion entresolidos.

−λ1∂T1

∂n= −λ2

−λ∂T∂n

= α(T − T2)

conα =

cond. de la pelic.espesor de la pelic.

−λ∂T∂n

= σ(T4 − T4∞)

−λ1∂T1

∂n= −λ2

−λ∂T∂n

= α(T − T2)

conα =

−λ∂T∂n

= σ(T4 − T4∞)

−λ1∂T1

∂n= −λ2

−λ∂T∂n

= α(T − T2)

conα =

−λ∂T∂n

= σ(T4 − T4∞)

−λ1∂T1

∂n= −λ2

−λ∂T∂n

= α(T − T2)

conα =

Evolucion hacia el equilibrio termico.Coordenadas.

Geometrıa plana (flujo segun la coordenada cartesiana x)

∂T∂t

= a∂2T∂x2

Geometrıa cilındrica (flujo segun la coordenada radial r)

∂T∂t

=1r∂

(r∂T∂r

)Geometrıa esferica (flujo segun la coordenada radial r)

∂T∂t

=1r2∂

(r2∂T∂r

)T(x, t) = X(x)T(t) o T(r, t) = R(r)T(t)

∂T∂t

= a∂2T∂x2

∂T∂t

=1r∂

(r∂T∂r

Geometrıa esferica (flujo segun la coordenada radial r)

∂T∂t

=1r2∂

(r2∂T∂r

∂T∂t

= a∂2T∂x2

∂T∂t

=1r∂

(r∂T∂r

∂T∂t

=1r2∂

(r2∂T∂r

T(x, t) = X(x)T(t) o T(r, t) = R(r)T(t)

∂T∂t

= a∂2T∂x2

∂T∂t

=1r∂

(r∂T∂r

∂T∂t

=1r2∂

(r2∂T∂r

Evolucion hacia el equilibrio termico.Solidos de Temperatura Uniforme.

T∞ Rconv Q Rcond Ti

Rconv =1αS

Rcond =1

R1− 1

Si, p.ej. λ = λmetal.Rcond � Rconv.

Rconv =1αS

Rcond =1

R1− 1

Rconv =1αS

Rcond =1

R1− 1

Ecuacion de conservacion:

∆E = Q

ρVcpdTdt

= −αS(T − T∞)

Condiciones iniciales, t = 0 T = T0.Hipotesis: α ∼ cte

= − αSρVcp

(T − T∞)

=αSρVcp

Separando variables∫ T

dTT − T∞

= −1τ

que conduce a

T − T∞T0 − T∞

= e−tτ

∆E = Q

ρVcpdTdt

= −αS(T − T∞)

Condiciones iniciales, t = 0 T = T0.

Hipotesis: α ∼ cte

= − αSρVcp

(T − T∞)

=αSρVcp

dTT − T∞

= −1τ

que conduce a

T − T∞T0 − T∞

= e−tτ

∆E = Q

ρVcpdTdt

= −αS(T − T∞)

= − αSρVcp

(T − T∞)

=αSρVcp

dTT − T∞

= −1τ

que conduce a

T − T∞T0 − T∞

= e−tτ

∆E = Q

ρVcpdTdt

= −αS(T − T∞)

= − αSρVcp

(T − T∞)

=αSρVcp

dTT − T∞

= −1τ

que conduce a

T − T∞T0 − T∞

= e−tτ

∆E = Q

ρVcpdTdt

= −αS(T − T∞)

= − αSρVcp

(T − T∞)

=αSρVcp

Separando variables

dTT − T∞

= −1τ

que conduce a

T − T∞T0 − T∞

= e−tτ

∆E = Q

ρVcpdTdt

= −αS(T − T∞)

= − αSρVcp

(T − T∞)

=αSρVcp

dTT − T∞

= −1τ

que conduce a

T − T∞T0 − T∞

= e−tτ

∆E = Q

ρVcpdTdt

= −αS(T − T∞)

= − αSρVcp

(T − T∞)

=αSρVcp

dTT − T∞

= −1τ

que conduce a

T − T∞T0 − T∞

= e−tτ

0 5 10 15 20

θ = e−t/τ

(T−T∞)/(T

0−T∞)

θ =T − T∞T0 − T∞

Para t = τ ,

T(τ)− T∞ = 0,368(T0 − T∞)

AplicabilidadResist.Int.Cond

Resist.ext≈ L/λS

1/αS=αLλ

Radiacion:

α∗ = σεT3∞

0 5 10 15 20

θ = e−t/τ

(T−T∞)/(T

0−T∞)

θ =T − T∞T0 − T∞

Para t = τ ,

T(τ)− T∞ = 0,368(T0 − T∞)

Resist.ext≈ L/λS

1/αS=αLλ

Radiacion:

α∗ = σεT3∞

0 5 10 15 20

θ = e−t/τ

(T−T∞)/(T

0−T∞)

θ =T − T∞T0 − T∞

Para t = τ ,

T(τ)− T∞ = 0,368(T0 − T∞)

Resist.ext≈ L/λS

1/αS=αLλ

Radiacion:

α∗ = σεT3∞

0 5 10 15 20

θ = e−t/τ

(T−T∞)/(T

0−T∞)

θ =T − T∞T0 − T∞

Para t = τ ,

T(τ)− T∞ = 0,368(T0 − T∞)

Resist.ext≈ L/λS

1/αS=αLλ

Radiacion:

α∗ = σεT3∞

Numero de Biot

Bi =αLλ

. . . Bi < 0,1??

Analogıa fısica:

Circuito electrico RC,

= − VRC

τ = RC

Problema termico:

= − αSρVcp

(T − T∞)

)(ρVcp)

Numero de Biot

Bi =αLλ

. . . Bi < 0,1??

Analogıa fısica:

= − VRC

τ = RC

Problema termico:

= − αSρVcp

(T − T∞)

)(ρVcp)

Numero de Biot

Bi =αLλ

. . . Bi < 0,1??

Analogıa fısica:

= − VRC

τ = RC

Problema termico:

= − αSρVcp

(T − T∞)

)(ρVcp)

Numero de Biot

Bi =αLλ

. . . Bi < 0,1??

Analogıa fısica:

= − VRC

τ = RC

Problema termico:

= − αSρVcp

(T − T∞)

)(ρVcp)

Numero de Biot

Bi =αLλ

. . . Bi < 0,1??

Analogıa fısica:

= − VRC

τ = RC

Problema termico:

= − αSρVcp

(T − T∞)

)(ρVcp)

Conduccion en un solido semi-infinito

TC(t)T∞

Geometrıa plana. Imposicion repentinade la temperatura en la superficie

T (x, 0) = T0

T (0, t) = Ts

TC(t)T∞

T (x, 0) = T0

T (0, t) = Ts

TC(t)T∞

T (x, 0) = T0

T (0, t) = Ts

Conduccion en un solido semi-infinitoEcuaciones

Condiciones iniciales del solido,

T = T0 ∀x

Condicion de borde,

T(x = 0) = Ts

para t > 0 en x→∞ T = T0

para t > 0 en x = 0 T = Ts

Normalizacion de las variables,

θ =T − T0

Ts − T0

entonces la ecuacion a resolver es

∂t= a

∂2θ

∂x2 (2)

Las condiciones resultantes:

para t > 0 en x = 0 θ = θ0 = 1para t > 0 en x→∞ θ = 0

3 variables (θ, x, t)2 dimensiones [m,s].=⇒ Ley de Escala.

T = T0 ∀x

Condicion de borde,

T(x = 0) = Ts

θ =T − T0

Ts − T0

∂t= a

∂2θ

∂x2 (2)

T = T0 ∀x

Condicion de borde,

T(x = 0) = Ts

θ =T − T0

Ts − T0

∂t= a

∂2θ

∂x2 (2)

T = T0 ∀x

Condicion de borde,

T(x = 0) = Ts

θ =T − T0

Ts − T0

∂t= a

∂2θ

∂x2 (2)

T = T0 ∀x

Condicion de borde,

T(x = 0) = Ts

θ =T − T0

Ts − T0

∂t= a

∂2θ

∂x2 (2)

T = T0 ∀x

Condicion de borde,

T(x = 0) = Ts

θ =T − T0

Ts − T0

∂t= a

∂2θ

∂x2 (2)

3 variables (θ, x, t)

2 dimensiones [m,s].=⇒ Ley de Escala.

T = T0 ∀x

Condicion de borde,

T(x = 0) = Ts

θ =T − T0

Ts − T0

∂t= a

∂2θ

∂x2 (2)

Conduccion en un solido semi-infinitoLey de Escala

0 0.5 1 1.5 2

θ = ferrc(η)

η = x/(4at)1/2

(T−T0)/(T

s−T0)

Modelo de solido semi-infinito, las distintas curvas para t = cte colapsan a una sola.

∂t= a

∂2()

Analisis dimensional()

τ∼ a

τ ∼ L2/a

Tiempo difusivo, o de relajacion.O, respectivamente

` =√τa

Longitud de penetracion.

Aparecen entonces variables adi-mensionales:

x∗ = x/` = x/√τa

t∗ = tL2/a

Se define

θ(η) = θ0f (η)

∂t= a

∂2()

τ∼ a

τ ∼ L2/a

` =√τa

x∗ = x/` = x/√τa

t∗ = tL2/a

Se define

θ(η) = θ0f (η)

∂t= a

∂2()

τ∼ a

τ ∼ L2/a

` =√τa

x∗ = x/` = x/√τa

t∗ = tL2/a

Se define

θ(η) = θ0f (η)

∂t= a

∂2()

τ∼ a

τ ∼ L2/a

Tiempo difusivo, o de relajacion.

O, respectivamente

` =√τa

x∗ = x/` = x/√τa

t∗ = tL2/a

Se define

θ(η) = θ0f (η)

∂t= a

∂2()

τ∼ a

τ ∼ L2/a

` =√τa

x∗ = x/` = x/√τa

t∗ = tL2/a

Se define

θ(η) = θ0f (η)

∂t= a

∂2()

τ∼ a

τ ∼ L2/a

` =√τa

x∗ = x/` = x/√τa

t∗ = tL2/a

Se define

θ(η) = θ0f (η)

∂t= a

∂2()

τ∼ a

τ ∼ L2/a

` =√τa

x∗ = x/` = x/√τa

t∗ = tL2/a

Se define

θ(η) = θ0f (η)

∂t= a

∂2()

τ∼ a

τ ∼ L2/a

` =√τa

x∗ = x/` = x/√τa

t∗ = tL2/a

Se define

θ(η) = θ0f (η)

0 0.5 1 1.5 2

θ = ferrc(η)

η = x/(4at)1/2

(T−T0)/(T

s−T0)

Modelo de solido semi-infinito, solucion como funcion complemento error. Paraη ≈ 0,5 consideramos la longitud de penetracion `, o en forma equivalente, el tiempode relajacion τ .

Numeros Adimensionales

Numero de Biot

Bi =αLλ

Numero de Fourier

Fo =atL2 =

L2 =tτ

Conduccion en un solido semi-infinitoOtras CB.

T (x, 0) = T0−λ ∂T/∂x|x=0 = qs

Modelo de solido semi-infinito, imposicion deflujo de calor en la frontera.

La derivada en x = 0 es comuna las curvas, que resultan para-lelas.

−λ dTdx

∣∣∣∣x=0

para t = 0 T = T0∀x > 0

qs = cte. =⇒

T = T0 +qs

((4atπ

e−x2/(4at) − x(

1− fer( x

)))(3)

T (x, 0) = T0−λ ∂T/∂x|x=0 = qs

−λ dTdx

∣∣∣∣x=0

para t = 0 T = T0∀x > 0

qs = cte. =⇒

T = T0 +qs

((4atπ

e−x2/(4at) − x(

1− fer( x

)))(3)

T (x, 0) = T0−λ ∂T/∂x|x=0 = qs

−λ dTdx

∣∣∣∣x=0

para t = 0 T = T0∀x > 0

qs = cte. =⇒

T = T0 +qs

((4atπ

e−x2/(4at) − x(

1− fer( x

)))(3)

Geometrıa plana. Condicion convectiva en lasuperficie de separacion.

λdTdx

∣∣∣∣x=0

= α(T(x=0)− T∞)

para t = 0 T = T0∀x > 0

T − T0

T∞ − T0= ferc

(x√4at

)− eαx/λ+(α/λ)2atferc

(x√4at

√at)

λdTdx

∣∣∣∣x=0

= α(T(x=0)− T∞)

para t = 0 T = T0∀x > 0

T − T0

T∞ − T0= ferc

(x√4at

√at)

λdTdx

∣∣∣∣x=0

= α(T(x=0)− T∞)

para t = 0 T = T0∀x > 0

T − T0

T∞ − T0= ferc

(x√4at

√at)

Soluciones completas.Coordenadas cartesianas

∞∑n=1

Ane−λ2nFo cos(λnx) (5)

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

x = x/e

Fo =atL2

• tan(λn) =Biλn

• An =2 sin(λn)

λn + cos(λn) sin(λn)

Q = E − Et=0

Q = Q/Qmax

Qmax = ρCpLAc(T∞ − T0)

∞∑n=1

Ane−λ2nFo sin(λn)

∞∑n=1

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

x = x/e

Fo =atL2

• tan(λn) =Biλn

• An =2 sin(λn)

Q = E − Et=0

Q = Q/Qmax

∞∑n=1

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

x = x/e

Fo =atL2

• tan(λn) =Biλn

• An =2 sin(λn)

Q = E − Et=0

Q = Q/Qmax

∞∑n=1

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

x = x/e

Fo =atL2

• tan(λn) =Biλn

• An =2 sin(λn)

Q = E − Et=0

Q = Q/Qmax

∞∑n=1

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

x = x/e

Fo =atL2

• tan(λn) =Biλn

• An =2 sin(λn)

Q = E − Et=0

Q = Q/Qmax

∞∑n=1

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

x = x/e

Fo =atL2

• tan(λn) =Biλn

• An =2 sin(λn)

Q = E − Et=0

Q = Q/Qmax

∞∑n=1

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

x = x/e

Fo =atL2

• tan(λn) =Biλn

• An =2 sin(λn)

Q = E − Et=0

Q = Q/Qmax

∞∑n=1

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

x = x/e

Fo =atL2

• tan(λn) =Biλn

• An =2 sin(λn)

Q = E − Et=0

Q = Q/Qmax

∞∑n=1

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

x = x/e

Fo =atL2

• tan(λn) =Biλn

• An =2 sin(λn)

Q = E − Et=0

Q = Q/Qmax

∞∑n=1

Soluciones completas.Coordenadas cilındricas

∞∑n=1

Ane−λ2nFoJ0(λnr) (6)

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

r = r/Re

Fo =atR2

• λnJ1(λn) = BiJ0(λn)

• An =2J1(λn)

λn[J2

0(λn) + J21(λn)

∞∑n=1

Ane−λ2nFo 2J1(λn)

∞∑n=1

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

r = r/Re

Fo =atR2

• An =2J1(λn)

λn[J2

0(λn) + J21(λn)

∞∑n=1

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

r = r/Re

Fo =atR2

• An =2J1(λn)

λn[J2

0(λn) + J21(λn)

∞∑n=1

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

r = r/Re

Fo =atR2

• An =2J1(λn)

λn[J2

0(λn) + J21(λn)

∞∑n=1

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

r = r/Re

Fo =atR2

• An =2J1(λn)

λn[J2

0(λn) + J21(λn)

∞∑n=1

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

r = r/Re

Fo =atR2

• An =2J1(λn)

λn[J2

0(λn) + J21(λn)

∞∑n=1

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

r = r/Re

Fo =atR2

• An =2J1(λn)

λn[J2

0(λn) + J21(λn)

∞∑n=1

Soluciones completas.Coordenadas esfericas

∞∑n=1

Ane−λ2nFo sin(λnr)

λnr(7)

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

r = r/Re

Fo =atR2

• λn cos(λn) = (1− Bi) sin(λn)

• An =2 [sin(λn)− λn cos(λn)]

λn − sin(λn) cos(λn)

∞∑n=1

Ane−λ2nFo 3 [sin(λn)− λn cos(λn)]

∞∑n=1

λnr(7)

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

r = r/Re

Fo =atR2

∞∑n=1

λnr(7)

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

r = r/Re

Fo =atR2

∞∑n=1

λnr(7)

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

r = r/Re

Fo =atR2

∞∑n=1

λnr(7)

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

r = r/Re

Fo =atR2

∞∑n=1

λnr(7)

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

r = r/Re

Fo =atR2

∞∑n=1

λnr(7)

θ = (T − T∞)/(T0 − T∞)

r = r/Re

Fo =atR2

∞∑n=1

Soluciones completas.Convergencia

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Solucion 100 terminos

Solucion 1 termino. Tiempos Largos.

Solucion solido semi-infinito

Ejemplo de convergencia de soluciones para el problema de conducciontransitoria sobre una placa plana.

Soluciones completas.Convergencia

0 5 · 10−2 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

Solucion 100 terminos

Solucion 1 termino. Tiempos Largos.

Solucion solido semi-infinito

Ejemplo de convergencia de soluciones para el problema de conducciontransitoria sobre una placa plana.

Respuesta termica de un solido infinito.

T = T0(x, y, z) para t = 0

siendo T0 una funcion dada de las coordenadas cartesianas x, y, z.La distribucion de temperaturas en todo instante posterior a t = 0 se puededescomponer en una integral unidimensional de Fourier de forma tal que

T(x, y, z, t) =

∫Tk(t)eikrd3k

con r el vector posicion, y

d3k = dkxdkydkz

y coeficientes

Tk(t) =1

(2π)3

∫T(x′, y′, z′, t)e−ikrdx′dy′dz′

El planteo supone introducir la ecuacion de Fourier dentro de la integral∫ (dTk

dt+ k2aTk

)eikrdk = 0

y conseguimos

T(x, y, z, t) =1

(2π)3

∫ ∫T0(x′, y′, z′)e−ak2teik(r−r′)dx′dy′dz′dk

8(atπ)3/2

∫T0(x′, y′, z′) e−((x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2)/4atdx′dy′dz′

El planteo supone introducir la ecuacion de Fourier dentro de la integral∫ (dTk

dt+ k2aTk

)eikrdk = 0

y conseguimos

T(x, y, z, t) =1

(2π)3

∫ ∫T0(x′, y′, z′)e−ak2teik(r−r′)dx′dy′dz′dk

8(atπ)3/2

∫T0(x′, y′, z′) e−((x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2)/4atdx′dy′dz′

Respuesta termica de un solido infinito.Ejemplo practico.

Pulso termico en el instante iniciala un solido cuya temperatura iniciales nula.

T0(r) = Cδ(r)

Aplicando la expresion integral delcampo de temperaturas surge que