Proprietățile Funcțiilor and, Or Și NOT

5/24/2018 Propriettile Functiilor and, Or Si NOT

1/12

18

Laborator 2

Proprietile funciilor AND, OR i NOT

2.1 Obiectivele lucrrii

Prezentarea unor funcii de comutaie depinznd efectiv dedouvariabile;

Stabilirea legturii ntre funciile de comutaie OR, AND,NOTi algebra boolean.

2.2 Funcii de comutaie dependente

de douvariabileSe spune c o funcie f(x1, x2, , xn) este o funcie de

comutaie (funcie logic) dac toate variabilele funciei suntvariabile de comutaie (i=1,n xi{0,1}) i f(x1, x2, , xn) {0,1}pentru toate combinaiile posibile ale variabilelor.

Exist 10 funcii de comutaie ce depind efectiv de dou

variabile. n continuare vor fi prezentate ase dintre acestea, utilizaten implementarea calculatoarelor numerice.

1) funcia I(AND, conjuncie, produs logic)

Simbolul matematic: Tabelul de adevr n Figura 2.1.Simbolul grafic al porii care materializeaz funcia este

prezentat n Figura 2.2.


2/12

19

x1x

2

x1 x2

Figura 2.2

2) funciaSAU (OR, disjuncie, sumlogic)

Simbolul matematic: +Tabelul de adevr n Figura 2.3.Simbolul grafic al porii care materializeaz funcia este


x1

x2

x1+x

2

Figura 2.4

3) funciaI-NU (NAND)

Simbolul matematic: | sau

Tabelul de adevr n Figura 2.5.Simbolul grafic al porii care materializeaz funcia esteprezentat n Figura 2.6.

x1 x2 x1x2

0 0 00 1 01 0 01 1 1

Figura 2.1

x1 x2 x1+x2

0 0 00 1 1

1 0 11 1 1

Figura 2.3


3/12

20

x1

x2

x1| x

2

Figura 2.6

4) funcia SAU-NU(NOR)

Simbolul matematic: Tabelul de adevr n Figura 2.7.Simbolul grafic al porii care materializeaz funcia este


x1

x2

x1x

2

Figura 2.8

5) funcia SAU-EXCLUSIV (XOR, inversor comandat, sumamodulo 2)

Simbolul matematic:

Tabelul de adevr n Figura 2.9.Simbolul grafic al porii care materializeaz funcia este


x1 x2 x1|x2

0 0 10 1 11 0 11 1 0

Figura 2.5

x1 x2 x1x2

0 0 10 1 0

1 0 01 1 0

Figura 2.7


4/12

21

x1

x2x

1

x2

+

Figura 2.10

6) funcia COINCIDEN(XNOR)

Simbolul matematic:Tabelul de adevr n Figura 2.11.Simbolul grafic al porii care materializeaz funcia este


x1

x2

x1

x2

Figura 2.12

2.3 Algebra Boolean

2.3.1 Definirea algebrei booleene tip Harrison

Se numete algebrbooleanun 5-tuplu B= unde:

a) E o mulime finit, nevid, care conine cel puin douelemente distincte;

x1 x2 x1x2

0 0 00 1 11 0 11 1 0

Figura 2.9

x1 x2 x1x2

0 0 10 1 01 0 01 1 1

Figura 2.11


5/12

22

b) - operaia binar CONJUNCIE (produs logic) carerespectproprietatea de nchidere pe Eadic EE yxyx, ;

c) + - operaia binar DISJUNCIE (suma logic) carerespect proprietatea de nchidere pe E adic

EE + yxyx, ;d)0,1 - constante ( E0,1 );e) a fost definit o relaie de echivalen notat = care

respectcele trei proprieti ale unei relaii de echivalen:

reflexivitate x=x; simetrie x=y y=x; tranzitivitate x=y, y=z x=z;f) este valabil principiul substituiei adic dacA=B nseamn

cputem utiliza oriunde pe An locul lui Bi invers;g) se acceptnotaia cu paranteze;h)este valabil urmtorul set de 9 axiome:A1)asociativitatea disjunciei zy)(xz)y(xzy,x, ++=++ E A2)asociativitatea conjunciei

zy)(xz)y(xzy,x, = E A3)comutativitatea disjunciei xyyxyx, +=+ E A4) comutativitatea conjunciei xyyxyx, = E A5)existena elementului neutru unic pentru disjuncie

EE! =+=+ xxx00x0 A6)existena elementului neutru unic pentru conjuncie

E! == xxx11 xE1 A7)distributivitatea disjunciei n raport cu conjuncia

z)(xy)(xz)y(xzy,x, ++=+ E A8)distributivitatea conjunciei n raport cu disjuncia

z)(xy)(xz)y(xzy,x, +=+ E


6/12

23

A9)existena elementului simetric

=

=+0xx1xxExx E

2.3.2 Setul de teoreme aferent

algebrei booleene tip Harrisson

T1) idempotena disjunciei aaa =+ T2) idempotena conjunciei aaa = T3) agresivitatea lui 1 n raport cu disjuncia 11a =+

T4) agresivitatea lui 0 n raport cu conjuncia 00a = T5)prima teoremde absorbie abaa =+ T6)a II-a teoremde absorbie ab)(aa =+ T7) Elementul simetric este unic.

T8)Relaia ntre constantele 0 i 1

=

=

01

10

T9)Teorema de identitate

Dacsimultan

=

=+

bba

bbaatunci a=b.

T10)Teorema de complementareFie aE i bE.

Dacsimultan

=

=+

0ba

1ba atunci ba= i ab= .

T11)Teorema de involuie a(a)= T12)Prima teorema lui De Morgan baba =+

T13)a II-a teorema lui De Morgan baba += T14)Generalizarea primei teoreme a lui De Morgan

n1n1 a...aa...a =++ T15)Generalizarea celei de a II-a teoreme a lui De Morgan

n1n1 a...aa...a ++=


7/12

24

T16)A III-a teoremde absorbie babaa +=+ T17)A IV-a teoremde absorbie bab)a(a =+ T18)Generalizarea celei de a III-a teoreme de absorbie

n321

n1n321321211

a...aaa

aa...aaa...aaaaaa

++++=

=++++

T19)Generalizarea celei de a IV-a teoreme de absorbie:

n321

n1n321321211

a...aaa

)aa...aaa(...)aaa()aa(a

=

=++++++++

T20)A V-a teoremde absorbie (teorema de consens)cabacbcaba +=++

termen de consensT21)A VI-a teoremde absorbie

c)a(b)(ac)(bc)a(b)(a ++=+++

2.4 Prezentare pori logice OR, AND, NOT

Pentru realizarea acestei lucrri sunt necesare pori OR(SN74LS32), AND(SN74LS08) i NOT(SN7404).

Detaliile legate de fiecare modul i asignarea pinilor suntprezentate n Anexa 4i [???]

Modulul SN74LS32 (Figura 2.13) este un circuit integrat careconine 4 pori independente OR 2, care implementeaz fiecare o

funcie SAUcu douintrri.Modulul SN74LS08 (Figura 2.14) este un circuit integrat care

conine 4 pori independente AND 2, care implementeaz fiecare ofuncie Icu douintrri.

Modulul SN74LS04 (Figura 2.15) este un circuit integrat careconine 6 pori NOTcare implementeazfiecare funcia NU.


8/12

25

Figura 2.13 Figura 2.14 Figura 2.15

2.5 Desfurarea lucrrii

2.5.1 Determinarea tabelelor de adevr

Se va prezenta determinarea tabelului de adevr pentru poartaAND. Schema de principiu este prezentat n Figura 2.16. Segenereaz toate combinaiile posibile la intrare i rezultatele seconsemneaz n tabelul din Figura 2.17 dup regula 0 pentru LEDstins i 1 pentru LED aprins.

Figura 2.16

14

2

1

8

9

10

11

12

13

7

6

5

4

3

1A

1B

1Y

2A

2B

2Y

4A

4B

4Y

3A

3B

3Y

Vcc

GND

14

2

1

8

9

10

11

12

13

7

6

5

4

3

1A

1B

1Y

2A

2B

2Y

4A

4B

4Y

3A

3B

3Y

Vcc

GND

14

2

1

8

9

10

11

12

13

7

6

5

4

3

1A

1Y

2A

2Y

3A

3Y

6A

6Y

5A

5Y

4A

4Y

Vcc

GND

K2

R2

1

2

S N 7 4 L S 0 8

R 3

L E D2

L E D3

A

Y

V c c

R 1

B

3K1

L E D1


9/12

26

A B Y

Figura 2.17

Pentru determinarea tabelului de adevr al porii OR, se

nlocuete circuitul SN74LS08 cu SN74LS32.

2.5.2 Determinarea proprietilor funciilorAND, OR i NOT

Montajele realizate au ca scop s verifice dac operatorii OR,AND i NOT formeaz o algebr boolean. Pentru aceasta trebuieverificate toate axiomele de la 2.3.1.

1)Asociativitatea disjunciei x,y,z {0,1}(x+y)+z = x+(y+z)

Se vor nota:

E1=(x+y)+zE2= x+(y+z)

n Figura 2.18 este prezentatschema pentru realizarea testului.Nu au fost figurate comutatoarele i LED-urile precum i pinii dealimentare pentru circuitul integrat, adicpinul 7 (GND) i pinul 14(Vcc). Verificarea valorilor logice la ieire se realizeaz cuvoltmetrul. Rezultatele testului vor fi consemnate n tabelul dinFigura 2.19 sub formsimbolic.


10/12

27

Figura 2.18

x y z E1 E2

Figura 2.19

2)Asociativitatea conjunciei x,y,z {0,1} (xy)z=x(yz)

E1=(xy)zE2=x(yz)

n Figura 2.20 este prezentatschema pentru realizarea testului,obinut din cea din Figura 2.18 prin nlocuirea circuitului integratSN74LS32 cu circuitul integrat SN74LS08. Rezultatele testului vor ficonsemnate n tabelul din Figura 2.19.

Pentru verificarea axiomei se va implementa fiecare expresie iapoi pentru fiecare combinaie a valorilor x,y,z se va msuratensiunea de ieire pentru circuitul fiecrei expresii.

U1B

74LS32

4

56

U1D

74LS32

12

1311

x

E2

z

y E1

U1A

74LS32

1

23

U1C

74LS32

9

108


11/12

28

Figura 2.20

Elaborarea schemelor pentru testarea celorlalte proprieti estelsatn seama cititorului ca temde laborator.

2.6 Teme de laborator propuse

1.S se realizeze un montaj cu pori logice care s verifice

axiomele A3i A4ce reprezintaxiomele de comutativitate.2.S se realizeze un montaj cu pori logice care s verifice

axiomele A5i A6ce reprezintaxiomele de existena elementuluineutru pentru disjuncie respectiv conjuncie.

3.S se realizeze un montaj cu pori logice care s verificeaxioma A7 ce reprezint axioma de distributivitate a disjunciei nraport cu conjuncia.

4.S se realizeze un montaj cu pori logice care s verificeaxioma A8 ce reprezint axioma de distributivitate a conjunciei nraport cu disjuncia.

5.S se realizeze un montaj cu pori logice care s verificeaxioma A9ce reprezintaxioma de existena elementului simetric.

6.S se realizeze un montaj cu pori logice care s verificeteoremele T1i T2ce reprezintteoremele de idempoten.

E2

U2A

74LS08

1

23

z

E1

U2D

74LS08

12

1311

x

y

U2B

74LS08

4

56

U2C

74LS08

9

108


12/12

29

7.S se realizeze un montaj cu pori logice care s verificeteoremele T3, T4ce reprezint teoremele de agresivitate precum iteorema T11de involuie.

8.S se realizeze un montaj cu pori logice care s verificeteoremele T5, T6ce reprezintprima i a doua teoremde absorbie.

9.S se realizeze un montaj cu pori logice care s verificeteoremele T16, T17 ce reprezint a treia i a patra teorem deabsorbie.

10. S se realizeze un montaj cu pori logice care s verifice

teoremele T12, T13ce reprezintprima i respectiv a doua teoremalui De Morgan.

Proprietățile Funcțiilor and, Or Și NOT

Documents

Transcript of Proprietățile Funcțiilor and, Or Și NOT