Progetto lauree scientifiche A.S. 2006-2007 UN MODELLO PER UN IDEALE Legge di Boyle - Mariotte.

Progetto lauree scientifiche A.S. 2006-2007

““UN MODELLO PER UN MODELLO PER UN IDEALE”UN IDEALE”

Legge di Boyle - MariotteLegge di Boyle - Mariotte


ISTITUTO D’ ISTRUZIONE ISTITUTO D’ ISTRUZIONE SUPERIORE SUPERIORE

“ADRIANO “ADRIANO TILGHER”TILGHER”

via casacampora, 3 – 80056via casacampora, 3 – 80056ERCOLANO (NA)ERCOLANO (NA)

e-mail: e-mail: [email protected] web:istitutotilgher.it

mailto:[email protected]


MODELLO MATEMATICOMODELLO MATEMATICO• Un modello matematico è la Un modello matematico è la

rappresentazione di un “fenomeno”rappresentazione di un “fenomeno”• Tale rappresentazione non è discorsiva o Tale rappresentazione non è discorsiva o

a parole,ma a parole,ma formaleformale, espressa cioè in , espressa cioè in linguaggio matematicolinguaggio matematico

• Non esiste una via diretta dalla realtà alla Non esiste una via diretta dalla realtà alla matematica,ovvero,il fenomeno specifico matematica,ovvero,il fenomeno specifico non determina la non determina la suasua rappresentazione rappresentazione matematica; ciò che si fa è tradurre in matematica; ciò che si fa è tradurre in formule formule idee, conoscenze ed idee, conoscenze ed esperienzeesperienze relative ad un fenomeno relative ad un fenomeno


IPERBOLEIPERBOLE

• Definiamo l’iperbole come il luogo geometrico dei punti P Definiamo l’iperbole come il luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante il valore assoluto della del piano per i quali è costante il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti differenza delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochifuochi..

{│d(PF1)- d(PF2)│=k}


I semiassi a, b, individuano un I semiassi a, b, individuano un rettangolo che ha le seguenti rettangolo che ha le seguenti caratteristiche: mentre l'ellisse è caratteristiche: mentre l'ellisse è tutta contenuta dentro a questo tutta contenuta dentro a questo rettangolo, l'iperbole ne è tutta rettangolo, l'iperbole ne è tutta all'esterno. all'esterno. In particolare l'iperbole è limitata In particolare l'iperbole è limitata dalle rette che contengono le dalle rette che contengono le diagonali di questo rettangolo. diagonali di questo rettangolo. Tali rette sono anche dette Tali rette sono anche dette asintoti dell'iperbole.asintoti dell'iperbole.


Se a = b l’iperbole si dice IPERBOLE EQUILATERASe a = b l’iperbole si dice IPERBOLE EQUILATERA • Gli Gli asintotiasintoti sono le bisettrici dei quadranti e sono perciò perpendicolari tra loro. sono le bisettrici dei quadranti e sono perciò perpendicolari tra loro.• Assumendo come assi cartesiani gli asintoti dell’iperbole equilatera, il nuovo Assumendo come assi cartesiani gli asintoti dell’iperbole equilatera, il nuovo

sistema sistema XOYXOY si può pensare ottenuto dal sistema si può pensare ottenuto dal sistema xOyxOy mediante una rotazione di mediante una rotazione di un angolo di ampiezza un angolo di ampiezza ππ/4 attorno ad /4 attorno ad OO. Utilizzando le formule di rotazione che . Utilizzando le formule di rotazione che consentono di passare dal sistema consentono di passare dal sistema xOyxOy al sistema al sistema XOYXOY e viceversa, si ottiene e viceversa, si ottiene l’equazione di un’l’equazione di un’iperbole equilatera riferita agli asintoti.iperbole equilatera riferita agli asintoti.

• xy = c , con c xy = c , con c ≠0≠0• c>0 l’iperbole è nel 1° e 3° quadrante c<0 l’iperbole è nel 2°e 4 quadrantec>0 l’iperbole è nel 1° e 3° quadrante c<0 l’iperbole è nel 2°e 4 quadrante

XY=2

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6

XY=-2

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6

L’iperbole è solo un luogo geometrico?.... Proviamo a scoprire quali fenomeni può rappresentare!...... e così, parlando di gas …….


La legge di Boyle-La legge di Boyle-MariotteMariotte

• La legge di Boyle e Mariotte afferma che in condizioni di La legge di Boyle e Mariotte afferma che in condizioni di temperatura costante la pressione di un gas è temperatura costante la pressione di un gas è inversamente proporzionale al suo volume, ovvero che il inversamente proporzionale al suo volume, ovvero che il prodotto della pressione del gas per il volume da esso prodotto della pressione del gas per il volume da esso occupato è costante. Tale costante è funzione della occupato è costante. Tale costante è funzione della temperatura assoluta, della natura e della mole del gas.temperatura assoluta, della natura e della mole del gas.

pV = costante• La legge può essere scritta anche con la seguente La legge può essere scritta anche con la seguente

notazione più completa:notazione più completa:

[pV]T = K(T)nella quale viene indicato che la costante varia con la temperatura nella quale viene indicato che la costante varia con la temperatura e che la legge vale a temperatura costante e non troppo prossima e che la legge vale a temperatura costante e non troppo prossima alla temperatura di liquefazione dei gas.alla temperatura di liquefazione dei gas.


La legge di Boyle-La legge di Boyle-MariotteMariotte

Il grafico qui sotto riporta i dati dell'esperimento originale di Boyle (1662); sull'asse delle x è riportato il volume espresso in pollici cubi, mentre l'asse delle y riporta l'altezza della colonna di mercurio in pollici, che, per la legge di Stevin è proporzionale alla pressione a cui è sottoposto il gas. In questi dati il prodotto della pressione per il volume è effettivamente costante con un errore relativo dell' 1,4%.


ESPERIENZAESPERIENZA• Abbiamo ripetuto un’esperienza riportata in rete:Abbiamo ripetuto un’esperienza riportata in rete: materiale occorrente:materiale occorrente:

• Una siringa di materiale plastico, graduata in ml munita di Una siringa di materiale plastico, graduata in ml munita di stantuffo e pistone a tenuta d’aria;stantuffo e pistone a tenuta d’aria;

• Basi di legno: una per poggiare i carichi sullo stantuffo della Basi di legno: una per poggiare i carichi sullo stantuffo della siringa, un’altra per poggiarvi la siringa;siringa, un’altra per poggiarvi la siringa;

• Pacchetti di piastrelle, ben legate; la massa di ogni Pacchetti di piastrelle, ben legate; la massa di ogni pacchetto era di circa 945 g;pacchetto era di circa 945 g;

• Un po’ di plastilina per la doppia funzione: fissare la siringa Un po’ di plastilina per la doppia funzione: fissare la siringa alla base di legno e tappare il suo ugello per impedire la alla base di legno e tappare il suo ugello per impedire la fuoriuscita dell’aria intrappolata;fuoriuscita dell’aria intrappolata;

• Colla Colla


Esecuzione dell’esperienza:Esecuzione dell’esperienza:

• Si legge il livello al quale si trova la base inferiore del pistone quando sulla Si legge il livello al quale si trova la base inferiore del pistone quando sulla siringa è poggiata la base di esso; in questo modo si ottiene il volume del siringa è poggiata la base di esso; in questo modo si ottiene il volume del gas in cmgas in cm33 V V11= 40cm= 40cm33

• Si misura il diametro del cilindro della siringa e si calcola la superficieSi misura il diametro del cilindro della siringa e si calcola la superficie(28,55:2)(28,55:2)2 2 x 3,14=639,85mmx 3,14=639,85mm33

• L’ aria in questo stato è compressa e la pressione è data dalla somma della L’ aria in questo stato è compressa e la pressione è data dalla somma della pressione atmosferica con quella esercitata dalla somma dei pesi della pressione atmosferica con quella esercitata dalla somma dei pesi della base di legno superiore e dal pistone e dallo stantuffo della stessa siringa.base di legno superiore e dal pistone e dallo stantuffo della stessa siringa.

• Si carica lentamente la struttura con il primo blocco di piastrelle e si Si carica lentamente la struttura con il primo blocco di piastrelle e si attende che la posizione si stabilizzi; il volume Vattende che la posizione si stabilizzi; il volume V11=40cm3;=40cm3;

• si aggiunge il secondo blocco di piastrelle e si effettua la nuova lettura;si aggiunge il secondo blocco di piastrelle e si effettua la nuova lettura;

• si ripetono le operazioni aggiungendo successivamente, uno alla volta, gli si ripetono le operazioni aggiungendo successivamente, uno alla volta, gli altri tre blocchi.altri tre blocchi.


TABELLA DEI RISULTATITABELLA DEI RISULTATI

situazione

peso carichi in grammi

peso in grammi

peso in N:Bx

0,00981

Pressione dei

carichi :peso x(1/superfic

e)pressione totale= pres.

carichi + pres. atmosfericavolume in

m.cubi PV= k

base di appoggio +pistone 65,52 0,6427512 1004,52564 102004,5256 0,000043 4,3861946

blocco 1 945 1010,52 9,9132012 15492,8762 116492,8762 0,000037 4,31023642

blocco 2 934 1944,52 19,0757412 29812,5794 130812,5794 0,000032 4,18600254

blocco 3 939 2883,52 28,2873312 44208,9404 145208,9404 0,000028 4,06585033

blocco 4 940 3823,52 37,5087312 58620,6331 159620,6331 0,000025 3,99051583

MEDIA DEI VALORI DI k 4,18775994

Pressione atmosferica (Pa) 101000

Diametro cilindro (mm) 28,55

Sezione pistone(cilindro) in cm2

6,398555

ValoriValori di riferimento adottati di riferimento adottati

0,000639855


ConsiderazioniConsiderazioni

• Una volta rilevate le letture dei volumi e delle masse utilizzate sono stati elaborati i dati nel laboratorio di informatica. Il valore della costante prevista dalla legge di Boyle, con i dati riportati in tabella, è molto vicino a pV=4,16 J

PV= k (Costante di Joule)

3,7

3,8

3,9

4

4,1

4,2

4,3

4,4

4,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9

PV= k


Legge di BoyleLegge di Boyle

risultato finale

159620,6331

130812,5794116492,8762

102004,5256

145208,9404

020000400006000080000

100000120000140000160000180000

0,000025 0,000028 0,000032 0,000037 0,000043

volume in m.cubi

pre

ss

ion

e t

ot

Se si riportano nel piano (p,V) i valori trovati nelle misure di una massa di gas a temperatura costante in cui varia il volume e si raccordano, si ottiene un ramo di iperbole equilatera chiamata ISOTERMA.


Un po’ di storia Un po’ di storia …………….…………….

Ai risultati sperimentali di Boyle –Mariotte sono poi succeduti i risultati di Gay-Lussac riguardanti le trasformazioni isobariche:

VVtt=V=V00 (1+ (1+ααt)t)α:=1/273 (coeff. di dilatazione per temperature lontane dal punto di liquefazione del gas), V0 volume gas a 0°C

ed anche le trasformazioni isometriche:

pptt=p=p00 (1+ (1+ββt)t)β=(1/273) (coeff. di dilatazione per temperature lontane dal p.to di liquefazione del gas), p0: pressione del gas a 0°C.

Queste leggi “empiriche” hanno contribuito alla formulazione la la legge di stato dei gas perfettilegge di stato dei gas perfetti. Tale legge le contiene tutte come casi particolari


I GAS IDEALII GAS IDEALI• Iniziamo col dire che “ideale" non significa che non ha difetti ma Iniziamo col dire che “ideale" non significa che non ha difetti ma

semplicemente che si comporta in un certo modo nelle condizioni normali di semplicemente che si comporta in un certo modo nelle condizioni normali di temperatura e pressione.temperatura e pressione.

• Un gas è un insieme di molecole che a differenza degli altri stati della materia Un gas è un insieme di molecole che a differenza degli altri stati della materia (solido e liquido) si trovano distribuite in modo più "ampio". Proprio per (solido e liquido) si trovano distribuite in modo più "ampio". Proprio per questo motivo essi non hanno volume proprio e, liberi, tendono ad espandersi questo motivo essi non hanno volume proprio e, liberi, tendono ad espandersi occupando tutto lo spazio disponibile, essendo esigue le forze coesive tra occupando tutto lo spazio disponibile, essendo esigue le forze coesive tra molecole ed atomi.molecole ed atomi.

• Il gas ideale è un gas composto da atomi elementari che non interagiscono Il gas ideale è un gas composto da atomi elementari che non interagiscono uno con l’altro ed è quindi molto rarefatto, inoltre un gas si avvicina ad un uno con l’altro ed è quindi molto rarefatto, inoltre un gas si avvicina ad un gas ideale o perfetto quando la sua temperatura è lontana dalla temperatura gas ideale o perfetto quando la sua temperatura è lontana dalla temperatura di liquefazione (passaggio dallo stato aeriforme a quello liquido.di liquefazione (passaggio dallo stato aeriforme a quello liquido.

• Il gas ideale, in natura non esiste, però alcuni gas come l’idrogeno o l’elio, si Il gas ideale, in natura non esiste, però alcuni gas come l’idrogeno o l’elio, si approssimano bene al comportamento del gas perfetto; questi gas ideali approssimano bene al comportamento del gas perfetto; questi gas ideali ubbidiscono a leggi molto semplici, per cui è possibile studiarne facilmente il ubbidiscono a leggi molto semplici, per cui è possibile studiarne facilmente il comportamento, dopo di chè, facendo riferimento ai gas reali, sarà opportuno comportamento, dopo di chè, facendo riferimento ai gas reali, sarà opportuno adattare i risultati che si otterrebbero con un gas perfetto, introducendo le adattare i risultati che si otterrebbero con un gas perfetto, introducendo le opportune varianti.opportune varianti.


L’equazione di stato dei L’equazione di stato dei gas gas

è caratterizzata da alcune variabili è caratterizzata da alcune variabili • temperaturatemperatura• pressionepressione• volumevolume• Queste tre grandezze fisiche sono in relazione tra Queste tre grandezze fisiche sono in relazione tra

loro tramite una formula detta dei "gas ideali o loro tramite una formula detta dei "gas ideali o perfetti“perfetti“

p V = n R Tp V = n R T

• dove p è la pressione, V è il volume del gas, n il dove p è la pressione, V è il volume del gas, n il numero di moli (ovvero la concentrazione del gas), numero di moli (ovvero la concentrazione del gas), R è una costante e T è la temperatura assolutaR è una costante e T è la temperatura assoluta


“Gli scienziati di domani?”


Realizzato da:

• Cataletto Giovanni• Cozzolino Fabio• D’Antonio Gennaro• Garzia Margherita• Leone Vincenzo• Pompameo Cristina• Scognamiglio Giuseppe• Scognamiglio Raffaella• Suarino Giuseppina

Con la collaborazione della Prof.ssa Rita Punzo


Bibliografia

www.matematicamente.it/lecciwww.matematicamente.it/lecci

www.wikipedia.orgwww.wikipedia.org

Alberico;Di fiore Fisica 1 per licei scientifici La Nuova ScuolaAlberico;Di fiore Fisica 1 per licei scientifici La Nuova Scuola

Alberico;Di fiore Fisica 2 per licei scientifici La Nuova ScuolaAlberico;Di fiore Fisica 2 per licei scientifici La Nuova Scuola

Mario Rippa La Chimica Italo Bovolenta EditoreMario Rippa La Chimica Italo Bovolenta Editore

Caforio; Ferilli Fisica 2 Le Monnier Caforio; Ferilli Fisica 2 Le Monnier

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