Présentation Projet Compressive Sensing 2014
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COMPRESSIVE SENSING
Clement Artaud, Romain Chion, Alexis Oizel et Baptiste Sinquin
Tuteurs : Julien HUILLERY et Laurent BAKO
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SOMMAIRE
INTRODUCTION AU COMPRESSIVE SENSING
ALGORITHMES DE RECONSTRUCTION
COMPARAISON ET PERFORMANCES
PRESENTATION DE L’INTERFACE
CONCLUSION
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INTERET
Condition de Shannon (1948)
fe>2.fmax
Compressed sensing :
« Est-il possible de reconstruire en échantillonnant
avec fe < fmax ? »
Applications innombrables :
imagerie ultrason, géologie, astronomie…
3
INTRODUCTION
RECONSTRUCTION
3
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Acquisition de m échantillons, de manière irrégulière:
𝑌 = Φ𝑣
Problème mal posé : n inconnues, m équations avec m<<n
FORMALISME : ECHANTILLONNAGE
INTRODUCTION
RECONSTRUCTION
4
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Rajout d’une contrainte : 𝑥 est parcimonieux
Projection de v dans une base de représentation, ex: Fourier
𝑣 = 𝜓𝑥 𝑌 = Φ𝜓𝑥 = 𝐴𝑥
Problème à résoudre : min ||𝑥||0
𝑌 = 𝐴𝑥
FORMALISME : PARCIMONIE
INTRODUCTION
RECONSTRUCTION
5
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FORMALISME : FOURIER
Représentation dans la base de Fourier 2D :
𝑋 𝑢, 𝑣 = 𝑥 𝑖, 𝑗 𝑒−2𝑖𝜋(𝑖𝑢𝑚+𝑗𝑣𝑛 )
𝑛−1
𝑗=0
𝑚−1
𝑖=0
𝜓 =
𝐹𝑚 𝐹𝑚 ⋯ 𝐹𝑚
𝐹𝑚 𝑒−2𝑖𝜋
1∗1
𝑛 𝐹𝑚 𝑒−2𝑖𝜋
1∗2
𝑛 𝐹𝑚 ⋯ 𝑒−2𝑖𝜋
1∗(𝑛−1)
𝑛 𝐹𝑚
𝑒−2𝑖𝜋
2∗1
𝑛 𝐹𝑚 ⋱
⋮ ⋮ 𝑒−2𝑖𝜋
𝑎𝑏
𝑛 𝐹𝑚 ⋮
⋱
𝐹𝑚 𝑒−2𝑖𝜋
𝑛−1 ∗1
𝑛 𝐹𝑚 ⋯ 𝑒−2𝑖𝜋
𝑛−1 ∗(𝑛−1)
𝑛 𝐹𝑚
INTRODUCTION
RECONSTRUCTION
6
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PROBLEME D’OPTIMISATION
min ||𝑥||0 𝑌 = 𝐴𝑥
5 algorithmes implémentés
Etude de l’influence des paramètres
Utilisation du RMSE comme critère de comparaison
Observation de la rapidité, du nombre de paramètres et de l’efficacité
Images traitées ici :
INTRODUCTION
RECONSTRUCTION
7
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OPTIMISATION L1 CONVEXE
RECONSTRUCTION
COMPARAISON
8
Norme L0
•Reconstruction de l’image et optimisation de sa parcimonie Compromis entre moindres carrés et parcimonie
RIP •La norme L0 n’est pas convexe
RIP permet d’optimiser sur la norme L1 par équivalence ∃ 𝛿 | 1 − 𝛿 𝑥 2
2≤ 𝐴𝑥 2
2 ≤ (1 + 𝛿) 𝑥 2
2
Norme L1
•On va donc chercher une solution de la forme 𝑚𝑖𝑛𝑥 1 − 𝜆 𝐴𝑥 − 𝑦 2 + 𝜆 𝑥 1
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CVX : SINUS 2D
RECONSTRUCTION
COMPARAISON
9
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CVX : TWITTER
RECONSTRUCTION
COMPARAISON
10
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OPTIMISATION DISJOINTE
Principe :
La matrice d’échantillonnage n’est pas carrée, elle a donc un noyau non trivial
Une fois une solution trouvée en moindre carrés, l’ajout d’un élément de ker(A) ne change pas la norme 2
On va donc chercher une solution de la forme
𝑥 = 𝑢 + 𝑣 𝑢 = 𝑝𝑖𝑛𝑣 𝐴 ∗ 𝑦 𝑣 ∈ ker (𝐴) | 𝑢 + 𝑣 1𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒
RECONSTRUCTION
COMPARAISON
11
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OD : LOGO TWITTER A 20%
RECONSTRUCTION
COMPARAISON
12
RMSE
lambda
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Pénalisation des valeurs importantes en valeur absolue
Valeurs faibles peu prises en compte dans la minimisation
Solution : L1 pondérée
Avec :
1 − 𝜆 ||𝑦 − 𝐴𝑥||2. +𝜆. | 𝑊𝑥 |1 (WP1)
𝑤𝑖+1 =1
𝑥𝑖 + 휀
RECONSTRUCTION
COMPARAISON
13 1 1.5 2 2.5 3 3.5 45
10
15
20
25
30
35
Itérations
RM
SE
L1 pondérée
L1
20% d’échantillons, 𝜆=0,8
DEMOCRATIE NON RESPECTEE
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CoSaMP
Objectif : Réduire le temps d’exécution de l’algorithme
Principe :
Approche par itérations successives
Parcimonie S fixée
Convergence vers un état stationnaire
RECONSTRUCTION
COMPARAISON
14
Sélection d’un support de
travail parcimonieux
Réduction moindre carré sur ce support
Mise à 0 des autres
coefficients
Calcul du reste entre le signal calculé et les échantillons
Intégration du reste pour affiner le
calcul
à chaque itération
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Reconstruction moins performante
Exécution très rapide ( < 20s)
CoSaMP : TWITTER ALPHA 60% S 15%
RECONSTRUCTION
COMPARAISON
15
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CoSaMP : CAS DEFAVORABLE
RECONSTRUCTION
COMPARAISON
16
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Information rajoutée a priori sur la transformée de Fourier 𝑥 :
1. Parcimonie
2. Statistiques gaussiennes des coefficients non nuls de 𝑥
Image reconstruite
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Image échantillonnée
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Image échantillonnée
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Image reconstruite
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
301
2
3
4
5
6
7
8
RECONSTRUCTION
COMPARAISON
17
RECONSTRUCTION BAYESIENNE
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COMPARAISON DES
ALGORITHMES
Paramètres utilisés « optimaux »
Qualité de la reconstruction:
COMPARAISON
INTERFACE
18
Methode Twitter Sinus
CVX 86s 157s
CoSaMP 0,8s 5s
Reweighted iterations*60 iterations*60
Bayes 74s 66s
Mauvais
Moyen
Excellent
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LIVE SHOW
TESTONS AVEC VOUS L’APPLICATION EN DIRECT!
INTERFACE
CONCLUSION
19
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PERSPECTIVES FUTURES
Introduction aux wavelet et d’autres bases de projection
Mise en place d’un CS pour des images en couleur
Etude de l’influence de la « taille » de l’image (fenêtrage)
Créer un catalogue de matrices de Fourier
Amélioration des algorithmes présentés
MERCI DE VOTRE ATTENTION. CONCLUSION 20