PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier

5/13/2018 PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-12-13-bab7-transportasi-linier 1/56

T R A N S P O R T A S I L I N I E R



7.1. PENGERTIAN TRANSFORMASI

Pandang 2 buah himpunan A dan B. Kemudian dengan suatu aturan/cara

tertentu f, kita mengaitkan (menggandengkan, mengkawankan) setiap x E A

dengan satu dan hanya satu y E B. Dikatakan : terdapat suatu fungsi f : A ~

B.

Contoh (7.1) "

Misalkan A = [x., x2, X3},

B = fY I, Y 2 }

A B

Terlihat bahwa setiap x E A mempunyai satu pasangan y E B. Jadi f adalah

fungsi A ~ B.

Contoh (7.2) "

Terlihat bahwa tidak semua x E A, mempunyai pasangan, di sini X2 tidak

mempunyai pasangan. Jadi bukan fungsi.

A B

288



A B

Terlihat bahwa terdapat x E A, di sini XI mempunyai lebih dari satu pasangan,

yaitu Yl dan Y2 E B. Jadi juga bukan fungsi.

Catatan (l) :

Apabila himpunan A dan B di atas merupakan himpunan bilangan riiI RI

(atau kompleks el) atau himpunan bagiannya, caralaturan pengaitan

umurnnya dapat dirumuskan dalam suatu hubungan matematis. Hal ini sudah

cukup kita kenaI dalam pelajaran-pelajaran Matematik sebelum ini.

Catatan (2) :

Fungsi f : R I ~ R I dimana setiap X E R I dikaitkan dengan kuadratnya E

R 1 atau X E X2 atau f(x) = X2 untuk setiap X bilangan riiI. (Atau pula y =x 2).

Catatan (3) :

Himpunan A di atas disebut DOMAIN dan himpunan B disebutCODOMAIN dari fungsi f terse but.

Yang menjadi pokok pembicaraan kita di dalam bab ini adalah fungsi-

fungsi dimana domain dan codomainnya merupakan ruang vektor, pada

khususnya adalah R", ruang vektor yang anggota-anggotanya n-tupel berurutan

bilangan riil (tetapi sedikit-sedikit disinggung pula e n atau ruang vektor lain).

Untuk ini, kita memilih menggunakan perkataan "TRANSFORMASI"

("MAPPING", "PEMETAAN") sebagai pengganti perkataan fungsi :

289



Contoh (7.3) :

Diketahui suatu transformasi T : R3 ~ R3 dengan rumus transformasi T[x.,X2, X3] = [2XI-x2, X2+X3, xl], untuk setiap x = [x., X2, X3] E R3. Vektor [2, 1,

-1] akan ditransformasikan oleh T menjadi : T[2, 1, -1] = [2.2-1, 1-1, (-If]

= [3, 0, 1].

Kita katakan : vektor [3, 0, 1] adalah peta dari vektor [2, 1, -1], sebaliknya :

vektor [2, 1,-1] adalah prapeta dari vektor [3, 0, 1].

Contoh lain: T[ 1, 0, 0] = [2, 0, 0]

T[4, -1, 7]=[9, 6, 49) dan lain-lain.

ZZ PERGANTIAN BAS5

Salah satu transformasi vektor yang penting adalah transformasi sebagai

akibat pergantian basis dari ruang vektor tersebut. Sehingga dalam hal 101,

sebenarnya vektor adalah tetap tetapi cara menyatakannya yang berubah.

Catatan (3) :

Kita pandang misalnya R2.

Setiap 2 vektor yang bebas linier selalu dapat dijadikan basi's. Vektor-

vektor yang membentuk suatu basis disebut vektor-vektor basis dari basis

tersebut. Setiap vektor E R2 dapat dinyatakan secara tunggal sebagai

kombinasi linier dari vektor-vektor basis.

a2a2

- - - - - - - - - - ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ : : : : ~ ~ : ~ : : ~ ~ ~,,

p = ala, + a2a2

= I } , b , + 1 } 2 b 2

,,

:

"'==,.----~ ...../- ---------~I} I b I,,

--'ala

2 9 0



U2a2

,r ----- ___________ J~ :::~~

, p =ulal +~2

= ~lbl + ~2b2

Misalkan p E R2, terhadap basis {a., a2} adalah p = alai + ala2, sedang

terhadap basis lain {b., b2} adalah p :.: f3lbl + f32b

2.

Kita katakan : Koordinat b adalah [ ~] relatif terhadap basis (a., a2)

dan relatif terhadap basis {b 1 0 b2}.

",,,

""

(Boleh saja kalau kita menginginkan menulis koordinat tersebut secara baris :[a], a2J, [fit. 1 3 2 ] . Tetapi dalam pembicaraan mengenai transforrnasi linier dan

anal isis matriks lebih lanjut, penulisan vektor secara kolom lebih memudahkan

pembahasan).

Secara abstrak dapat dirasakan bahwa terdapat suatu transforrnasi R2 ~ R2

sebagai akibat perubahan basis {a., a2} menjadi {b., b2}, dimana salah satunya

adalah

Catalan (4) :

Selama ini kita selalu menggunakan basis dasar yang disebut basis natural,

disingkat basis {ej}, dengan vektor-vektor basis :

Untuk R", basis naturalnya terdiri atas n vektor-vektor :

29 1



1 ,e2= 0

o 1

o o

, ... ,

1

Vektor-vektor tersebut saling tegak lurus dan masing-rnasing panjangnya =1 satuan, disebut juga basis orthogonal. Di dalam Ilmu Ukur Analitik kita

kenaI sebagai basis dari susunan koordinat Cartesian.

Koordinat vektor v = [~] relatif terhadap basis {ed

Kalau dilakukan pergantian basis ke basis { f i }

1 1 = [ : ] ,/ Z = [ ~ ]

rnaka berlaku : 4 [~] + 5

[n=

diperoleh 4 - a } ~

5 : a + 2b

Contoh (7.4) :

artinya [ ~ 2 ] adalah koordinat vektor v relatif terhadap {fd.

Misalkan {ed adalah basis natural dan {fd basis yang lain dari R" dimana

berlaku hubungan :

f, = a"e, + a12e2+ + a'nen

f2 = a2,e, + a22e2+ + a2nen' .

i« = an,e, + an2e2+ + annen

(f! I f2 I ... I fn ) = (e, I e2 I ... I en) a" a2' an'

a'2 a22 ~2

DEFINISI:

292

a

b

+ b



Matriks P =

disebut matriks TRANSISI dari pergantian basis lama {ei} menjadi basis

bam {fd.

Ditulis pula P = pfe'

Jelas karena {fd basis, maka bebas linier sehingga matriks P mempunyaiinvers, p-I = Q, berarti :

(e , I e2 I ... I en) = (II I hi ... I In ) Q, sehingga Q merupakan matriks

transisi dari pergantian basis lama {fd menjadi basis bam {ed.

Contoh (7.5) :

Pandang dua buah basis R3 : {ed

dan {Ii} dengan vektor basis :

/1 ~ [ n ' h ~ U J ' J, = [ ~ ]

Hubungannya :

I = 1eI+ 1e2 + 2e3

h= 1eI + 1e2 + 0e3

h= le. + 0e2 + 0e3

Jadi P ~

li 1 ~Sedangkan : el = O il + Oh + lh

e2 = O il + h - h

e3 = 1/2f1 - 1/2f2 + Oh

Jadi Q =

l~I/~

1 _1~2

-1

Mudah diselidiki bahwa Q = p-I

293



Teorema (1) :

Jika M suatu titik di R'' berkoordinat (x ., X2, ... , Xn) relatif terhadap basislama {ei} dan berkoordinat (Yh Y2, ... , Yn) relatif terhadap basis baru {fi}

yang titik awal (nolj-nya adalah ti tik 02(C" C2, ... , Cn), maka berlaku :

=

Yn

dimana P adalah m atriks transisiP YI

Y2

(e I I e2 I ... I en) x I = (e 1 I e2 I ... I en) C1 + (f I I hi... I f n) YI

X2 C2 Y2

Bukti :

O IM = 0102 + 02M

Secara matriks :

= Xlel + X2e2 + + Xnen

= C Ie I + C2e2 + + Cnen + YIf 1 + Y2i2 + ... +Ynfn

Yn

Kalau P matriks tran sisi beraiti (e I I e2 I ... I en) P = ( f 1 I hi. . .f n).

2 9 4



Sehingga :

(e I I e Z I '" I en) X I = (e I I ez I .., I en) C I + (e I I e2 I ...' I en)p Y

Y n

= + P

Y n

Contoh (7.6) :

Diketahui suatu susunan koordinat Cartesian di RZ , Dibuat susunan koordinat

baru dengan vektor-vektor basis i,= [1, 2], fz = [2, -1] dengan titik awal yang

baru adalah titik C(2, 3), Tentukan matriks transisi P. Titik R berkoordinat (5,

4), berapa koordinat relatif terhadap { f i } ?

Iawab :

Koordinat Cartesian mempunyai basis natural eI= [1, 0]

ez = [0, 1]

f I= [1, 2] = II+ 2ez

fz = [2, -1] = 2el - le2

P =4 ----------------------::"

"/:

,,,,---------

R(3,4)

"

295



Y I + 2 Y 2 = 3 } ~2 Y l - Y 2 = 1

Titik R(5, 4) :

[ n = [n + D - m ~ ; lY l = 1y2 = 1

Jadi koordinat R relatif terhadap basis {fl} adalah (1, I).

Teorema (2) :

Vektor v berkoordinat [x [0 X 2 , . . . , xn] relatif terhadap basis {e;\ [ Y l ' Y 2 ' . . . ,

Y ] relatif terhadap basis baru {fd, rnaka berlaku :

Y l

= P Y 2 atau

Y n Y n

dirnana P adalah rnatriks transisi pergantian basis dari {ed ke (fd atau secara

singkat kita tulis :

ve = PVf ~ Vf = p-1ve

Bukti :

Caranya sarna seperti bukti Teorerna (1), hanya perubahan titik awal susunan

baru tidak rnembawa pengaruh apa-apa, karena di sini kita berbicara rnengenai

vektor, tetapi sarna apabila kita pindahkan sejajar.

Contoh (7.7) :

Kalau pada contoh (7.6) di atas diketahui vektor v = [4, 3] relatif terhadap

basis

{e, }, rnaka terhadap basis { f i } :

atau : Vf = [2, 1]

296

Y l + 2 Y 2 = 4

2 Y I - Y 2 = 3} ~ Y l = 2

Y 2 = 1



Catatan (5) "

Uraian di atas berlaku pula untuk pergantian basis ruang vektor yang lain.

Juga tidak untuk basis natural saja.

Z~ T R A N S F O R M A S I V E K T O R L I N I E R

DEFINISI,'

T : V ~ W suatu transformasi dari ruang vektor V ke ruang vektor W.

Transformasi T disebut transformasi vektor linier bila terpenuhi :

(i) Untuk setiap v" V2E V T(v.) + T(v2) = 'I'(v, + V2), dan

(ii) Untuk setiap v E V dan A skalar berlaku AT(v) = T(AV).

Contoh (7.8) "

Diketahui T : R3 ~ R3 dimana :

T'{x, x2, x3] = [2X,+X2, x2, x3+1] untuk setiap [x, X2,X3]E R3.

T adalah transformasi vektor yang tidak linier karena syarat (i), misalnyatak terpenuhi. Ambil v, = [1, 0, 0], v2 = [1, 0, 1] maka T(v.) + T(V2) = [2, 0,

I] + [2, 0, 2] = [4, 0, 3], sedang T(v,+v2) = T[2, 0, 1] = [4,'0, 2].

Jadi T(v.) + T(v2) :;:.T(v,+V2)'

7.4. MATRIKS DAN TRANSFORMASI VEKTOR LINIER

Pandang T : R" ~ R'" suatu transformasi vektor linier.{ed, i = 1, 2, , n, basis natural dari R"

{EJ, i = I, 2, , m, basis natural dari R'"

Tte.), T(e2), ..., T(en) adalah vektor-vektor di Rm, sehingga merupakan kombinasi

linier dari {Ed

Misalnya : T(e,) = all E, + a2' E2 + + am' Em

T(e2) = a'2 E, + a22 E2 + + am2Em

(*)

297



all al2

[T]e a2l a22 berukuran (mxn);

DEFINISI:

Transpose dari matriks koefisien di atas :

disebut MATRIKS REPRESENTASI dari transformasi linier T, singkatnyamatriks transformasi dari T, relatif terhadap basis-basis natural {ei} dan

{ E d ·

Catatan (6) :

Kalau kita tulis secara kolom (*) di atas menjadi :

all al2 aln

a21 a22 a2n

= 1

o

o o 1

o1

o

o

= 1 [T], = [T],

Jadi kolom-kolorn dari matriks transformasi merupakan peta dari vektor-

vektor basis. Mencari matriks transformasi tak lain daripada mencari peta dari

298



vektor basis. Matriks transformasi ini secara lengkap menentukan transformasi

tersebut.

Teorema (3) "

Bila v = VI

V2

vektor (kolom) ERn, dan T : R" ---7 R'", suatu transformasi

linier dengan [T], matriks transformasi relatif terhadap basis natural (ditulis

secara kolom) maka berlaku :

Bukti :

T

w = T(v) = T VI

v2

=

= [T]ev

o

+

o

+ V2T

o

oo

o

T+ '"

V2

oo

o 1

299



= v,T(e,) + V2T(e2)+ ... + vnT(en)

= [T(e,) I T(e2) I '" I T(en)) v,

V2

= [T],v (terbukti).

Contoh (7.9) :

T : R3 --7 R3 suatu transformasi linier dimana Tjx], X2, X3] = [x., 2X2,

xj+xj], Mencari matriks transformasi tak lain daripada mencari peta dari vektor-

vektor basis. (Bila tak disebut apa-apa selalu dimaksudkan relatif terhadap basis

natural).

T(e,) = T[I, 0, 0] = [1, 0, 1] = Ie, + Oe2+ Ie3

T(e2) = T[O, I, 0] = [0, 2, 0] = Oe, + 2e2 + Oe3

T(e3) = T[O, 0; 1] = [0, 0, 1] = Oe, + Oe2+ Ie3

o2

o

Peta dari [2, 3, 1] :~ o2

o

atau : [2, 6, 3].

Catatan (7) :

Suatu sifat transformasi linier yang penting adalah bahwa suatu transformasi

linier ditentukan (tertentu) secara natural tunggal oleh peta dari vektor-vektor

basis. Jadi jika peta dari vektor-vektor basis diketahui maka peta dari sebarang

vektor yang lain dapat ditentukan.

300



Contoh (7.10) :

T : R 2 ~ R2 dimana diketahui :

[2.1] -4 [5, -2]

[-1, 1] L, [-1, 1]

maka untuk menentukan transformasi T tersebut kita mencari matriks

transformasi, kita tulis :

T[2, 1] = [5, -2] ~ 2T{l, 0] + IT[O, 1] = [5, -2] .... (**)

T[-I, 1] = [-1, 1] ~ -IT[1, 0] + IT[O, 1] = [-1, 1]

3T[1, 0] = [6, -3]

Jadi T[I, 0] = [2, -1], dan dari (**)

diperoleh T[O, 1] = [1, 0]

Jadi matriks rrr, = ~i ~ Jdan rumus transformasinya :

T [:;] = rrr, [ : : ]= =

7.5. RUANG PETA DAN RUANG NOL

T : R" ~ R'" suatu transformasi linier, belum tentu semua vektor di R'"

menjadi peta dari vektor di R",

Contoh (8.11) :

T : R2 ~ R3 dimana T[x., X2] = [X2, 0, x.],

Maka vektor [1, 1, 1] E R3 bukan peta dari vektor manapun di R2. Kalau

terjadi demikian, kita katakan transformasi tersebut tidak onto.

301



T : R" ~ Rill suatu transforrnasi linier, maka Irn(T) = {w I w = T(v), v E

Rn}, suatu hirnpunan bagian dari Rill, disebut RUANG PET A (IMAGE)

dari transforrnasi linier T.

DEFINISI:

Temyata bahwa Irn(T) adalah suatu ruang vektor bagian dari Rill.

Catatan (8) :

Dapat terjadi bahwa 2 vektor atau lebih rnernpunyai peta yang sarna. Bilaterjadi dernikian, kita katakan bahwa transforrnasi tersebut "tidak satu-satu

(one-one)".

Contoh (7.12) :

T : R2 ~ R2 dirnana 'I'[x., X2] = [X,+2X2, 2x,+4x2]'

terlihat bahwa T[O, 0]

T[2, -I]

T[-8, 4]

= [0, 0]

= [0, 0]

= [0, 0]

dan lain-lain vektor lagi yang rnernpunyai peta [0, 0].

Jadi T tidak one-one.

DEFINISI:

T : R" ~ Rill suatu transforrnasi linier, rnaka Ker(T) = {v I v e R", T(v)

= O}, suatu hirnpunan bagian dari R", disebut RUANG NOL (KERNEL)

dari transforrnasi linier T.

Temyata bahwa Ker(T) adalah suatu ruang vektor bagian dari R ".

Catatan (9) :

Dibedakan antara ruang nol dengan ruang berdirnensi nol (yaitu ruang vektor

yang anggotanya hanya vektor nolO).Anggota ruang nol, selain 0, rnungkin juga vektor *O.

302



Bukti :

bahkan Im(T) dan Ker(T) ruang vektor :

(*) - ° E Im(T) karena TO) = 0, jadi Im(T) - : t 0.

- Bila WI, W2 E Im(t) maka ada v,. v2 E R'' sehingga T(v.) = w, dan T(V2)

= W2, Jadi : w, + W2 = T(v,) + T(V2) = T(v, + v2)' Berarti (w. + W2) E

Im(T).

- A skalar, dan W E Im(T) maka ada vERn sehingga T(v) = w, Jadi AW

= AT(v) = T(AV). Berarti (AW) E Im(T).

Im(t) ruang vektor bagian dari R'".

(**)- T(O) = 0, berarti 0 E Ker(T). Jadi Ker(T) - : t 0.

Bila v" V2 E Ker(T). Maka T(vI) = T(V2) = o .

T(v,+vz) = T(v,) + T(v2) = 0 + 0. Jadi (v,+vz) E Ker(T).

- Bila A skalar, dan v E Ker(T) yang berarti T(v) = 0 maka T(AV) = AT(v)

= AO = O. Jadi (AV) E Ker(T).

Ker(T) ruang vektor bagian dari R".

Catatan (10) :

Kalau T : R" ~ R" mempunyai matriks transformasi A (matriks bujur

sangkar) yang singular, T dikatakan transformasi yang singular, Kalau A

singular, transformasi dikatakan nonsingular.

Catatan (11) :

Kalau A adalah matriks transformasi dari T, maka dimensi IM(T) = rankrA).Hal ini jelas karena kolom-kolom dari A adalah Tte.), T(e2, "" T(en) yang

membentuk ruang 'kolom dari A, Dengan perkataan lain :

Im(T) = L{T(e,), T(e2), ,." T(en)} , berarti dimensi Im(T) = dimensi L{T(e,),

T(e2), "" T(en)} = rankt A),

Catatan (12) :

Dimensi Ker(T) = n - rankt A).

Mudah dilihat bahwa bila v E KerrT) maka T( v) = A v = 0,

303



T[ I, 0, 0] = [I, 2, 3]

T[O, I, 0] = [2, 0, 2]

T[O,O, I] = [I, 3, 4]

Susunan persamaan linier homogen Av = 0 mempunyai ruang jawab yang

berdirnensi n - rank(A), (Iihat kembali Bab VI). Dengan perkataan lain:mencari Ker(T) tak lain daripada mencari jawab susunan persamaan linier

homogen A v = O.

Contoh (7.13) :

Diketahui T : R' ~ R3 dimana :

T[x, y, z] :;:: [x+2y+z, 2x+3z, 3x+2y+4z]

Tentukan basis dan dimensi ruang pet a dan ruang noll

Kita tentukan dulu matriks transformasi A

()

2

: 2

Rank matriks A (secara kolorn)

[ i2 Il K

211-2)

[ i()

' : ]K ,,'" [

()

0

~ J-4 - : 2 ()

2 K I-I)-3 3 ()

31

()

I :

adalah = 2. Jadi dimensi Im(T) = 2 dan basisnya dapat diambrl {[I. 2, 31.

[0, I, I]}.

T di at as adalah transforrnasi yang singular.

Untuk mencari Kert'T) :

Misalkan v = [v., V2. V3] E Kert'T), maka Av = ( ) atau

2

o2

= n - rankt A)

=3-2= I.

304



Kita menghitung jawab susunan persamaan linier homogen di atas :

cukup diambil 2 persamaan yang bebas :

v, + 2v2 + V, = 0 }

2v, + OV2 + 3v, = 0

Ambil 1 parameter, misalnya V2= /..,maka v, = -6/.., V3= 4/...

J adi v = /..[-6, I, 4]; Ker(T) mempunyai basis (-6, I, 4)

Atau Ker(T) = L{[-6, I, 4]}.

7.6. PRODUK TRANSFORMASI

Pandang 2 buah transformasi linier :

dengan matriks transformasi berturut-turut A dan B.

(dimensi V" = n, dimensi w r = = r, dimensi u r n = m)

Setiap vektor v E V" oleh transformasi T dipetakan menjadi w = Av, kemudian

hasilnya w E w r oleh transformasi S dipetakan menjadi u = Bw = B(Av) =

(BA)v.

V E V" . . I t w E w r _ r , U E u r n

'-------ST I

v ~ u dapat dipandang sebagai suatu transformasi baru ST, dengan matriks

transformasi BA.

ST disebut produk transformasi dari S dan T.

Contoh (7.14) :

T : R3 ~ R3 dengan T[x, X2, X3] = [2X2+X3, 3X,+X2+X3, X2] dan

R : R3 ~ R3 dengan Slx. X2, X3] = [2X,+X2+X3, x,+x3, 2X,+X2+2x3]

305



Maka produk transformasi ST mempunyai rumus :

(ST)[XI, X2, X3 ] = S(T[X l ' X2, X3 ] = S[2X l+X3 , 3X l+X2+X3 , x2 1 =[2(2x2+X3)+ 1 (3 x 1 +x 2+ x3 )+ 1 (X2), 1 (2X2+X3)+ I (X2) , 2 (2 x2+X3 )+ I (3 x 1+x2+X3)+2(X2)]

= [3X l+6x2+3 x3 , 3X2+X3 , 3x 1+ 7X2+3x3 ]

dan matriks transformasinya,

[S'T]", =

[ ~6

~

3

7 3

Jelas [S]", = B =

U i J[T]", = A =

[~2

i Jdan [S'T]", = rS]ee[T]ee = BA.

Peta dari vektor v = [I, 0, 2] adalah ST[l, 0, 2] = [9, 2, 9J.

7.7. TRANSFORMASI INVERS

Pandang T : vn ----)yn suatu transformasi linier pada v", ruang vektor

berdimensi n. A matriks transformasi dari T.

Maka v E vn dipetakan menjadi w = Av E yn. Kalau rank/A) = n maka

jawab persarnaan w = Av adalah tunggal (unik); berarti setiap w merupakan

peta dari hanya satu v, dengan perkataan lain: tidak ada vektor E v» mempunyai

peta yang sama, sehingga transformasi T adalah one-one dan onto.

Pandang sekarang S : V" ----)V" dengan matriks transformasi B sedemikian

sehingga untuk v dan w di at as berlaku v = Bw. Kalau kita lihat produk

transformasi ST (dengan matriks transformasi BA) maka (BA)v = B(Av) = Bw

= v = Iv, I matriks identitas.

V EVn ----)W E vn

306



Transformasi linier yn ~ yn dengan matriks transformasinya matriks

identitas I, disebut transformasi identitas, berlaku Iv = v, untuk setiap v E

v » .

Juga produk transformasi TS (dengan matriks transformasi AB) memenuhi

(AB)w = A(BW) = Av = w = Iw. Karena berlaku untuk setiap vektor E V"

maka BA = AB = I.

DEFINISI:

DEFINISI:

Bila A dan B matriks-matriks transformasi dari trasformasi-transformasi

linier T dan S, dimana berlaku BA = AB = I, maka dikatakan: S adalah

transformasi invers dari T dan sebaliknya; ditulis S =11atau T = S-I, dan

matriks B = A-I atau A = B-1 •

Catatan (13) :

Suatu transformasi yn ~ yn, hanya mernpunyai myers bila matriks

transformasinya mempunyai invers (bila matriks nonsingular, determinannya

:;t: 0).

Contolt (7.15) :

Vektor w = [3, 1,01 adalah pet a dari v oleh transformasi T dengan matriks

transformasi

A =

o

Untuk mencari v, dapat kita cari dahulu transformasi invers 11 dengan

matriks transformasi

A I = [ ~

o

-1

307



7.8. TRANSFORMASI SIMILARITAS

Misalkan selain melakukan transformasi vektor T v n ~ w n kita juga

melakukan pergantian basis.

Perhatikan gambar berikut :

e E yn W E w m

pi=pe

IE v »W E w m

Dimana:

we = [T)Eev,

Wa = [T]<\ Vf

Vf = [pfe)-lve

wa = [P<>"E]-IWE

ve = vektor v relatif terhadap basis {ej}

vf = koordinat vektor v relatif terhadap basis {fl}

WE = koordinat vektor w, peta dari v, relatif terhadap basis {EI}

WC5 = koordinat vektor w, peta dari v, relatif terhadap basis {ad

pfe = matriks transisi basis lama {ej} ke basis baru {fl}

pC5E = matriks transisi basis lama {Ed ke basis baru {ad

[T)Ee = matriks transformasi relatif terhadap basis {e.] dan {Ed (basis-basis

natural}

[T)C5f= matriks transformasi relatif terhadap basis {fl} dan {ad (basis-basis

baru}

308



p~= p P' = pe

Catatan (13) :

WeJ

=[T]eJ

fVf

=[T]eJt<pfetlv

eWeJ= (peJErlwE = (PeJErl[T]EeVekarena berlaku untuk setiap Ve

maka [T]eJ<pfe)-I[T]Ee(Pfe).

Kalau transformasi T : V" ~ yn, dengan melakukan pergantian basis {ej} ke

{fd, menjadi :

[Tl~

[Tl\

Contoh (7.16) :

T : R2 ~ R2 dimana T[x, y] = [x+y, x-y]. Bila dilakukan pergantian basis

R2 menjadi {[1, 2], [2, 3]}, tentukan matriks transformasi sesudah pergantian

basis dan peta vektor [13, 2] sebelum dan sesudah pergantian basis.

T[1, 0] = [1, 1]

T[O, 1] = [1, -1]

f I = (1, 2] = 1e I + 2e2

fz = [2, 3] = 2el + 3e2

matriks transisi P = [ ~ ~ JI T - I = f - 3 2 1

L 2 - ~309



[- 3 2 l r t ~ [ 1 · 2 12 -~ L l - ~ 2 ~

[-11 -17J7 11

Peta dad v = [13, 2] sebelum pergantian basis adalah

Sesudah pergantian basis :

[-3 2 1 [ 1 5 ] = L 2 3 12 -~ 11 1~

atau boleh juga

Wf

=[TIff Vf

=[l1f~~lv,

= [ ~ - : T I [ ; - T I [ ' ; ] = [ ]

DEFINISI:

A dan B, matriks-matriks bujur sangkar berordo n. Apabila terhadap matriks

bujur sangkar P yang nonsingular berordo n sedemikian sehingga B = p-

lAP, maka dikatakan bahwa matriks B similar terhadap matriks A, atau

matriks B didapatkan dari A dengan suatu transformasi similaritas.

Catatan (15) :

Similaritas merupakan relasi yang ekivalen, dimana terpenuhi :

(i) A similar A, karena A = 1-' AI.

(ii) Bila B similar A maka A similar B, karena :

B = P-'AP ~PBp-l = PP-'APP-' ~ PBp-1 = Q-'BQ

dimana Q = p-I

310



(iii) Bila B similar A, C similar B maka C similar A, karena

B = p-1AP

C = Q-1BQ ~ C = Q-l(P-1AP)Q

= (PQt1 A(PQ)

R-1 AR, dimana R = PQ.

Catalan (16) :

Kalau A dan B similar dan merupakan matriks transformasi, maka A dan

B mewakili suatu transformasi yang sarna, hal mana mudah dijelaskan dari

Catatan (14), mereka masing-masing relatif terhadap basis yang berbeda,

dan matriks P merupakan mariks transisi kedua basis terse but.

7.9. AKAR DAN VEKTOR KARAKTERISTIK (EIGENVALUE DAN

EIGENVEKTOR)

DEFINISI:

A suatu matriks bujur sangkar. A skalar yang memenuhi persamaan (*) : Av =A V , untuk suatu vektor kolom v 1 = 0, maka dikatakan : A adalah suatu akar

karaktenstik dari A, dan v yang memenuhi persamaan (*) itu disebut vektor

karakteristik yang bersangkutan dengan A .

Contoh (7.17) :

Hitunglah akar karakteristik dari A =

Misalkan A skalar dan Y 0 [:;] vektor yang mernenuhi :

u ~ [ : ; ] O A [ : ; ] ~ [ ~ ; ] [ : ; ] - [ ~ ~ ] [ : : J 0 [~

[:;] 0 [~

(*) [ I - A 2 l

3 2 - J j

311



suatu susunan persamaan linier homogen, kita inginkan jawab nontrivial v * o .

jadi rank

[ ~ ~ A 2 ~ A J< 2

atau det [ 1 ~ A 2 J ~ 0

2-A

(persamaan ini disebut persamaan karakteristik).

atau (l-A)(2 - A) - 6 = 0

~ A2 - 3A - 4 = 0 ~ AI = 4, A2 = -1

Untuk mencari vektor karakteristik yang bersangkutan, kita masukkan harga A

ke (*) :

Untuk AI = 4 :

2~ [::]

=

atau : -3vl + 2v2 = 0 I3v I - 2V2 = 0 Cukup diambil 1 persamaan :

-3vl + 2V2 = 0, pilih (2 - 1) = 1 parameter

Misalnya VI = 21l ~ V2= 31l = -1, jadi v = Il

adalah vektor-vektor karakteristik yang bersangkutan dengan A = 4. Dengan

cara yang sarna untuk 112= -1, diperoleh persamaan :

312



Catatan (17) :

Vektor-vektor karakteristik yang bersangkutan dengan suatu akarkarakteristik tertentu, membentuk suatu ruang vektor yang kita sebut

EIGENSPACE. Silahkan untuk dibuktikan.

Catatan (18) :

Kalau matriks bujur sangkar A di atas merupakan matriks transformasi dari

transformasi linier T, maka kita dapat mengatakan akar dan vektor

karakteristik dari A tersebut sebagai akar dan vektor karakteristik dari

transformasi linier T.

7.10DIAGONALISASI

DEFINISI:

Suatu matriks bujur sangkar A dikatakan dapat dibawa (direduksikan) ke

bentuk diagonal oleh suatu transformasi similaritas bila terdapat matriks

nonsingular P sehingga p-l AP = D, dimana D suatu matriks diagonal.

Syarat perlu dan cukup bahwa matriks ordo n A dapat dibawa ke bentuk diagonal

(similar dengan suatu matriks diagonal) adalah : A mempunyai n buah vektor

karakteristik yang bebas linier. Dalam hal ini bila VI adalah vektor karakteristik

yang bersangkutan dengan akar karakteristik ai' maka matriks P = lv, v2 .....

Vn] dan matriks

D = oo

o o

Contoh (7.18) :

Pandang matriks A pada Contoh (7.17).

Untuk l. = 4 didapatkan vektor karakteristik ~ [ ; ]

313



Maka P = 1 2 / ' " 13(}/"'13danD= [~

kita ambil salah satu, misalnya yang panjangnya = 1 yaitu :

[2/" '13J31"'13

dan untuk A . = -1, kita pilih

ke-2 vektor tersebut bebas tinier.

Silahkan diselidiki bahwa p-IAP = D.

7.11. TRANSFORMASI ORTHOGONAL

DEFINISI:

Transformasi tinier T : R" -7R" dengan matriks transformasinya A disebut

orthogonal bila T memetakan setiap v e R" menjadi T(v); tanpa mengubah

panjang (norm)-nya, dengan perkataan lain IT(v)1= Av = v ata (Av), (Av)

= v.v.

A disebut matriks orthogonal.

Jadi panjang suatu vektor tidak berubah bila dilakukan transformasi orthogonal.

Teorema (4) :

T : R" -7 R", dengan matriks transformasi A, yang orthogonal. Bila v" V2

vektor sebarang ERn, maka (AvI).(AvI) = VI.v2.

Bukti :

(vI + V2)·(VI+ v2) = VI.VI+ 2VI·v2 + v2·v2

-72VI.V2 = (VI + V2).(VI+ V2) - VI·vI - v2.v2

= A(vI + v2)·A(VI + V2)- (AVI)·(AvI) - (AV2)·(Av2)

= 2(AvI)·(Av2)·atau VI.V2 = (AVI)·(Av2)·

314

L



Teorema (5) :

Bila A matriks orthogonal relatif terhadap basis orthonormal maka det(A)

:::+1, atau -1.

Catatan (.1 9 ) :

Untuk basis yang orthonormal, yaitu basis yang vektor-vektor basisnyasaling tegak lurus dan panjangnya ::: 1; dengan perkataan lain basis {bj}

dimana berlaku :

b, .b I ::: 0 bila i "# j

::: 1 bila i::: j; dengan melakukan transformasi orthogonal, diperoleh

basis yang orthogonal pula.

Bukti :

Misalkan A ::: all al2 aln

a21 a22 a2n

Kita tahu bahwa kolom-kolom dari A adalah vektor kolom Ae], Ae2, ...,

Ae.; jadi :

ATA = all a2l anI all al2 aln

al2 a22 an2 a2l a22 a2n

= Ael·Ael

Ae2·Ael

315



= 1 0 0 karena Aej.Aej = ej.ej

0 0 = 1 bila i = j= 0 bila i '# j

0 0

Jadi ATA = I.

Maka det(A TA) = det I = 1 ~ det(A T).det(A) = 1 dan karena det(A T) = det(A)

maka (det(A)}2 = 1 atau det(A) = ±l.

Catatan (20) :

Pada matriks orthogonal dapat dicatat :

(i) Dot product suatu baris/kolom dengan baris/kolom itu sendiri = I.

(ii) Dot product suatu baris/kolom dengan baris/kolom yang lain = o .

(iii) Berlaku A-, = AT.

7.12. ROTASI

Pan dang matriks orthogonal A =

menurut Catatan (20) di atas, maka,

(I) a,? + a2? = 1 (kolom 1 . kolom 1).

(2) a,l + a222 = 1 (kolom 2 . kolom 2).

(3) a"a'2 + a21a22= 0 (kolom 1 . kolom 2)

Misalkan A = [COSO sin 8l

sin 0cos8J

maka (1) dan (2) ialah terpenuhi dan (3) : cosOsin8 + sinOcos8 = sin(O+8) =o

~ 0 + 8 = kn; (k = 0, ±1, ±2, ...). Cukup kita ambil untuk = 0 dan k = 1, berarti8 = -8, 8 = 1t - O.

316



Kita peroleh matriks orthogonal berordo. 2 :

Al = [ c o s o s i n O J ~ [ C O S O - S i n o J dan

sinn .cosn sinn cosn

A2 = [ C O S O S i n c n - O l J = [ C O S O S i n o ]sinn cos(1t-n) sinn -cosfz

Transformasi orthogonal dengan matriks transformasi AI

e,

~ ~ ~ : g J~ [:~~~

Terlihat bahwa transformasi berupa rotasi langsung sebesar n (arah

berlawanan jarum jam). Rotasi ini disebut rotasi langsung.

Det(AI) = l.

Matriks transformasi Az

317



koordinat titik relatif terhadap sistem koordinat lama

= [ Sinn]-cosfz

Terlihat bahwa transformasi berupa rotasi sebesar Q, setelah mernantulkan

e2. Maka rotasi ini disebut rotasi cermin.

Det(A2) = -I.

Catatan :

Kita dapat melakukan rotasi sistem koordinat; matriks transformasi

merupakan matriks orthogonal.

Kalau

relatif terhadap sistern koordinat baru (basil rotasi).an

Contoh (7.19) :

Suatu parabola y = x2

dirotasikan sebesar 3()O, bagaimana persamaannyasekarang ?

318



x x

o

Kalau kita pandang menurut sistem koordinat baru x'oy' maka parabola(setelah rotasi) mempunyai persamaan y' = (X')2.

Rumus rotasi [ ~ J =[COS30

0

-sin30~

[ > Jin30° cos30°

= [ ' / 2 ' - ' 3 - 1 / 2 J [~:]/ 2 1 / 2 ' - ' 3

atau

[ > J =[ ' / 2 ' - ' 3 I I J T [ X ] = [ 1 /2 '- ' 3 I I J [ ~ J/ 2 ~)3 y' - 1 / 2 1 / ~ ' - ' 3

y' = 1/2'-'3 x + I / ? y

y' = _I/?X + 1 / 2 ' - ' 3 y

Berarti : y' = (X')2 ~ - 1 / 2 X + 1 / 2 ' - ' 3 y = e / 2 ' - ' 3 x + 1 / 2 y ) 2~ 3x2 + y2 + '-'3 xy + 2x - 2'-'3y = 0, adalah persamaan parabola yang diminta.

Z1~ TRANSFORMASISIMETRIS

Suatu transformasi hnier T pada R" dikatakan suatu transformasi simetris

bila untuk setiap u, vERn berlaku dot product: u.T(v) = T(u).v. Matriks

transformasi dari suatu transformasi simetris, relatif terhadap suatu basis

orthonormal, merupakan matriks simetris.

319



Teorema (6) :

Akar-akar karakteristik dari matriks A yang simetris adalah riil dan vektor-vektor karakteristik yang bersangkutan dengan akar karakteristik yang

berbeda adalah saling tegak lurus (orthogonal).

Hal khusus :

Bila A simetris berordo 2 maka didapatkan 2 vektor karakteristik yang

saling tegak lurus dan panjangnya = 1 (vektor karakteristik yang

orthonormal).

Bukti :

Misalkan A; dan Aj akar-akar karakteristik dari A maka

AVi = Aivi (*)

AVj = AjVj.

Kalau A simetris maka ATVj = AjVj'lakukan conjugate transpose

~ (ATvj)H = (Ajv)H ~ vHJ A = AjVjH (**)

(AJ

: conjugate dari Ai)'

Kalikan (**) di kanan dengan Vidan (*) di kiri dengan VjH

vt AVi = AjVjHVidan vjHAvi = A;VjHVi

Berarti (Aj - Ai)VjHVi 0, kalau diambil i = j maka ..JVjHViadalah panjang Vj'

dimana IVjl * O.Jadf\ - Aj= 0 ~ 1j_:=Aj~ riil. Berarti setiap akar karakteristik

adalah riil. Bila diambil i " * j maka Aj - Aj " * 0, karena akar karakteristik yang

berbeda.

Maka vtvi = Vj,vi = 0, artinya saling tegak lurus.Kita khususkan sekarang untuk A berordo 2 :

A) dan 1.,2akar-akar karakteristik yang riil

Bila 1.,\ " * ~ jelas dari bukti di atas, terdapat VI dan V2yang saling tegak lurus

dan ambil yang panjangnya = 1.

Bila Al = ~ : Pandang persamaan karakteristik :

3 2 0



~ Diskriminan (all + a22)2- 4(al2a22 - all) = 0

~ (all - ad2 + 4all = 0; jumlah 2 bilangan non-negatif = 0, berakibat

masing-masingnya = 0, jadi all = a22dan al2 = O.Maka persamaan karakteristik

menjadi ,,} - 2aliA + al12 = 0 ~ Al = A2 = all

Semua koefisien dari persamaan (all - A)X+ Oy = = 0 )

Ox + (all - A)y = = 0 adalah no1.

Jadi semua vektor di R2 merupakan vektor karakteristik. Dapat dipilih 2 vektor

yang saling tegak lurus dan ambil panjangnya = I.

Catatan (22) "

Persamaan karakteristik dari matriks A berordo 2, bila A matriks simetris adalah

al2 I = 0 ~ A2 - (all + a22)A+ alla22 - a122

= = 0,

a22-A

, maka persamaan menjadi A2 - SA + D = = O.

Catatan (23) "

Sebagai kelanjutan Teorema (6) yang lalu, (di sini tidak dibuktikan) terdapat

teorema: A adalah suatu matriks yang simetris berordo n, maka meskipun

tidak semua akar karakteristik berbeda, selalu didapatkan suatu himpunann buah vektor karakteristik yang orthonormal (dan bebas linier).

Akibatnya:

Bila A matriks simetris berordo n, maka terdapat suatu matriks orthogonal

U, dimana UT = u',yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor karakteristik

(yang orthonormal), sedemikian sehingga UTAU = = D, D = = matriks diagonal

yang elemen-elemen diagonalnya adalah akar-akar karakteristik.

321



----------------- - - -

A=

[ ~tentukan matriks U sehingga UTAU = D.

Contoh (7.21) :

Bila kita hitung maka akar-akar karakteristik dari A adalah A . , = 8, ~ = 3

dan vektor karakteristik (yang panjangnya = 1) adalah :

[ 1 / ~ 5 J dan [ V ~ 5 ]2 / - . . . / 5 -1 / - . . . / 5

Maka U = [ 1 / ~ 5 2 / ~ 5 J ' suatu matriks orthogonal

2 / - . . . / 5 -11 - . . . / 5

UT = [ 1 I ~ 5 2 /~5 J ' dan D ~ [~ ~]/ - . . . / 5 - 1 1 - . . . / 5

Mudah diselidiki bahwa UT AU ::: 0

7.14. SOAL-SOAL DAN PEMECAHANNYA

7.22. Vektr - a mempunyai koordinat [2, 3] relatif terhadap basis {f, = [3, 1],

fz = [1, -3]}. Carilah koordinatnya relatif terhadap basis natural {e, = [1,

0], e2 = [0, 11 } dan juga relatif terhadap basis {g, ::: [1, 1], g2 ::: [0, 2]}.

Penyelesaian :

a = [2, 3] relatif terhadap {II} berarti :

a = "fl + 312::: 2[3,1] + 3[1, -3] = [9, -7] relatifterhadap basis natural.

Terhadap basis [g.] : rnisalkan koordinatnya [a, b] berarti : [a, blg = a[l,

1] + b[O, 2] = 9[1, 0] - 7[0, I] atau : [a, a+2b]::: 9, -7],jadi a = 9; a-i-Zb

::: -7 atau b = -8.

Koordinat a relatif terhadap {gil: [9, -8Jg.

7.23. Carilah matriks transisi dari perubahan basis tel ::: [1,0], e2::: [0, I]} ke

basis baru {ft ::: [1, IJ, ii= [I, 2]} dan sebaliknya dari { I d ke {el}'

322



J adi matriks transisi dari {el) ke (fd , Pet = [ :

e, = [1,01 = a[l, 11 + b['!, 2] = [a+b, a+Zb]

e2 = [0, I] = e[l, I] + d[l, 2] = [e+d, e+2d].

=P

Penyelesaian :

i, = [I, I] = 1[1,0] + 1[0, I] = Ie, + le21 2 = [1, 2] = 1[ 1,0] + 2[0,1] = Ie, + 2e2'

Kita eari a, b, e, dan d' a + b = 1 dan a + 2b = 0, jadi a = 2 , b = -I.

e + d = ° dan c + 2d = 1, jadi e = -I,d = Ie2 = -II, 2] + [I, 21 = -f, + f2

e, = 2[1, I) - [I, 2J = 2 f, - f2 .

Matriks transisi dari {ill ke fed adalah r = , = [=1 -I~ = Q

Jelas bahwa PQ = QP = I.

7.24. Tunjukkan bahwa transformasi berikut linier :

(i) T[x" X2] = [X2, x .]

(ii) Tl x.; X2) = [X,-X2, xrxd

Penyelesaian :

Untuk setiap = [v. V2] dan w = [WI, W2] E R2 dan A suatu skalar, selalu

berlaku :

(i) T(v+w) = T[v,+w" v2+w2]

= [v2+w2, v,+w,]

= [V2' v.l + [w2' w.l

= T(v) + T(w) dan

T(AV) = T[AV" AV2] = [AV2, Avd

= A[v.. v2]

= AT(v).

Jadi T linier.

(ii) 'I'(v-sw) = T[v,+w" v2+w2]

= [v,+W,-VrW2, v2+wrv,-wd

= [V,-v2, vrv,] + [W,-w2' w2-wd= T(v) + T(w).

3 2 3



_ - -

T(AV) = T[AV» AV2]

= [AVI-AV2,AVrAVd

= A[VI-V2, VrVI]

= AT(v).

Jadi T linier.

7.25. Diketahui di R3 transformasi linier T yang menstransformasikan :

T[I, 0, 0] = [I, 1,0], T[O, 1,0] = [2, I, -I], T[O, 0, I] = [I, 2, 3].

Carilah :

(i) Matriks transformasi linier T relatif terhadap basis:{el = (I ,0,0], e2 + [0, I,0], e) = [0,0, I J }

(ii) Peta dari vektor [3,2, I]

(iii) Peta dari garis g : x = [3,2, I]T + A [ I,2,3JT.

Penyelesaian:

T[I, 0, 0] = [I, I,0]

T[O, I, 0] = [2, I, -I] =T[O ,O , I] = [I, 2, 3 ]

= lei + le2 + O e2

2el + lei - Ie)

= lei + 2e2 + 3e3

Matriks transformasi

-I

2

Jadi peta dari [3, 2, I] :

2 atau [8, 7, I].

-I

Peta dari garis g: x = [3, 2, l]T + [1, 2, 3]T adalah y =A[3, 2, I]T + AA[1,

2, 3]T = [8, 7, I]T + A[8, 9, 7]T.

7.26. Carilah matriks transforrnasi linier T di R2 yang didefinisikan sebagai

berikut :

(i) T(v) = T[x, y] = [2y, 3x-y],(ii) T[x, y] = [3x-4y, x+Sy], relatif terhadap basis natural {el}.

324



Penyelesaian :

(i) Karena relatif terhadap basis {e.] kita transformasikan vektor-vektorbasis terse but :

Tre.) = T[ l . 0] = [0, 3] = Oe. + 3e2

T(e2) = T[O, I] = [2, -I] = 2e, - e2

[ T ] \ =

(ii) T(e,) = T[I, 0] = [3, I] = 3e, + e2

T(e2) = T[O, I] = [-4,5] = -4e, + 5e2

[TJ\ ~ Q ~

7.27. Diketahui sebuah transformasi Iinier T : R3 ~ R\ dimana T'[x, y, z] =[x+2y-z, y+z, x--y-Zz]

Carilah basis dan dimensi dari ruang peta dan ruang nolnya !

Penyelesaian :

Ruang peta adalah ruang yang dibentuk oleh 'I'(e.), T(e2), T(e3) yaitu :

T(e.) = T[I, 0, 0] = [1,0, I], T[e2) = T[O, 1,0] = [2,1, 1], dan T(e3) =T[O,O, 1] = [-1, 1, -2].

Ruang peta adalah L{[I, 0, I], [2, 1, 1], [-1, 1, -2])

Untuk mencari basis dan dimensi L kita cari rank matriks transformasi :

A =

2

2

- I JK (-')

U2

- ~ ]K (3)

32 3'

-2 -3

~ ]Jadi dimensi ruang kolom dari A = 2, berarti juga dimensi dari Im(T) =

2 dan basisnya boleh kita pilih {[ 1, 0, 1], [2, 1, I)}.

325



=

[ ~2

-~

-2

yaitu = 2. Jadi dimensi ruang jawab

= n-r=3-2=1.

Ruang nol kita cari sebagai berikut :

Misalnya v = [v). V2, v3] E Ker(T) berarti T[v). V2, v3J = [0, 0, OJ ~

[vl+2vrv), v2+v), vl+Vr2v3J = [0, 0, 0].

Diperoleh susunan persamaan linier homogen :

VI + V2 - v) = 0 I2 + v) = 0

VI + V2 - 2v3 = 0

Kita harus mencari dimensi dan basis dari ruang jawab susunan persamaan

di atas. Kita cari rank matriks koefisien A

berarti juga dimensi ruang nol (kernel) dari T tersebut = I.

Cukup kita pilih 2 persamaan saja :

v I + 2V2 - V3 = 0

V2 + V3 = 0

dan kita tentukan sebuah parameter, misalnya V2= A, jadi V3= -A dan VI

= -3A atau ruangjawab: v = A[-3, 1, -1]. Sehingga Ker(T) = L{[-3, 1,

-I]} dan basisnya boleh dipilih [-3, 1, -IJ.

7.28. Diketahui transformasi-transformasi linier T dan S di R2 sebagai berikut

: T[x, yJ = [0, x] dan S]x, y] = [y, x].

Carilah peta dari a = [2, 1] terhadap produk transformasi sebagai berikut

: (i) ST; (ii) TS; (iii) S2.

Penyelesaian :

Kita boleh mewakilkan transformasinya (kita sebut A dan B).

326



Maka:

T[1, 0] = [0, 1] Jadi A =

[~~[O, 1] = [0, 0]

S[I,O] = [0, 1] Jadi B = [~~[O, 1] = [1, 0]

(i) ST: BA =

~ ~ [~~

= [~~

BAa =

~ ~W= [ ~ J

atau [2, 0]

(ii) TS : AB =

~ ~ [~~

= [~~

ABa =

~ ~ [i] = [ ~ J atau [0, 1]

(iii) S2 : B2 = [ ~~ ~ ~ J = [~ T I

=

S2 adalah transformasi identitas.

Jadi S2(a) = Ia = a = [2, 1].

7.29. T adalah suatu transformasi linier di R3 yang didefinisikan sebagai : T[x,

y, z] = [2x, 4x-y, 2x+3y-z].

(i) Tunjukkkan bahwa T mempunyai invers

(ii) Carilah rumus untuk transformasi invers tersebut

Penyelesaian :

(i) Untuk membuktikan bahwa T mempunyai invers, cukup kita buktikan

bahwa matriks transformasinya A mempunyai invers (detertninannya

;t: 0).

T[I, 0, 0] = [2, 4, 2], T[O, 1, 0] [0, -1, 3], dan T[O, 0, 1] =[0, 0, -1]

Jadi A = [~ _~

dan det(A) = 2 ;t: °

3 2 7



O J [ ' / 2= 2

-2 7

Jadi A mempunyai invers.

(ii) Kita cari A-' =

adj.A ~ 0- - - = '/2 4 -2

det(A) 14-6

o-1

-3 -~

jadi peta dari sebarang vektor [r, s, t] E R3 :

D ' = 1D ~

.30. A =

O ~ l r J [ 1 / 2 r ls = 2r-s

-1 t 7r-3s-t

adalah matriks suatu transformasi linier T.

Carilah matriks transformasi relatif terhadap basis {f, = [1, 3], fz =[2, 5]}.

Penyelesaian :

= atau [7, 15]

= [ i~] atau [12, 26]

Koordinator-koordinator di atas adalah relatif terhadap basis {(e,)};

(*) [7, 15] = a[l, 3] + b[2, 5] = [a+Zb, 3a+5b] atau : a + b = 7 dan 3a+ 5b = 15, a = -5, b = 6.

(**)[12,26] ,; c[l, 3] + d[2, 5] = [c+2d. 3c+5d] atau : c + 2d = 12 dan

3c + 5d = 26, c = -8, d = 10.

328

- 8 ll~



7.31. Diketahui T : R3 ~ R3 dimana [1,0,0]

[0, 1, 0][0, 0, 1]

~ [2, 1]

~ [5,-4]~ [-3,7].

Ditanya :

(i) Matriks transformasi relatif terhadap basis-basis natural dari R3 dan

R2.

(ii) Matriks transformasi relatif terhadap basis

{fl = [1, 1, 1], f2 = [1, 1, 0], = [1, 0, O]} dari R3 dan basis {gl =

[1, 3], g2 = [2, 5]} dari R2

(iii) Tentukan peta vektor v = [2, 1, 1] sebelum dan sesudah pergantian

basis.

Penyelesaian :

(i) Secara mudah [T]Ee = 5

-4 -~

(bila [e.] basis natural dari R3 dan {Ed basis natural dari R2).

(ii) [T]gf = (pgE)-I[T]Ee(pfe)

gl = EI + 3E2

g2 = 2EI + 5E2

Pg -E -

f I = e I + e2 + e3

h= e I + e2 + Oe3

i3 = e I + Oe2+ 0e3

I

°

329



Maka [T]g, =

[ - i .~5

- ~ I : ~

-40

= h 2 -41 - : ]4

(iii) Sebelum pergantian basis peta dari [2, I, II adalah

D5

- ~ Jl : J=

[ ~4 =

Sesudah pergantian basis :

5

-4 - ; I ' : J c L ~ ~ J

~I

7.32. Cari lah sernua akar karakteristik dan

-6

dan basis dari masing-masing ruang vektor karaktensuknya (eigenspace).

Penyelesaian :

Persamaan karakteristiknya :

[

1-t3

6

-3

-5-t

-6

3 J4-t

= 0 atau (t+2)2(t-4) = ( )

Jadi akar-akar karakteristiknya t} = t~ = -2, t, = 4

Untuk t = -2 kita mencari vektor-vektor dan ruang karaktcnstiknya sebagai

berikut : A v = tv atau :

-3

-5

-6

3 3 0



atau : 3v I - 3V2 + 3 v3 = 0 }

3v I - 3 v2 + 3 v3 = 06v I - 6v2 + 6v3 = 0

rank = I, cukup kita ambil atau persamaan 3vI - 3V2 + 3v3 = 0 atau V I

- V2 + V3 = o .

Kita pil ih n - r = 3 - 1 = 2 parameter, kita peroleh ruang jawab v = )"[1,

1,0] + 11[1, 0, -I]; ).., 11sebarang bilangan.

Ruang jawab tersebut adalah ruang karakteristik (eigenspace) yang dibentuk

oleh dua vektor karakteristik yang bebas l inier [I, I, 0] dan [I, 0, -I]yang boleh dipi l ih sebagai basisnya. Untuk akar karakteristik t = 4 .

Aw = tw =

U-3

n l : : J = 4 l : i l5

-6

atau : -3w l - 3W2 + 3w3 = 0

IwI - 9W 2 + 3w3 = 0

6w I - 6W 2 =0

Kita cari rank , t ~ -3

~

H (-I)

L ~-321

-9 -6

-6 -6

L i-3

~

-6

0

Ielas rank = 2, cukup kita ambil 2 persam aan :

-3w l - 3W2 + 3w2 = 0 ~ W I + W2 - W 3 = 0

6w I - 6W 2 = 0 ~ W I - W2 = 0

K ita arnbil parameter W I = 11,W2 = WI = 11dan W 3 = 2 1 1 ·

Ruangjawab: w = 11[1, 1,2]. Jadi, ruang karakteristik (eigenspace) untuk

akar karakteristik t = 4 berdimensi satu dan dibentuk oleh vektor

karakteristik [I, I, 2].

331

- - ----------



7.33. Matriks = -3

-5

-6

pada soal 7.32. yang lalu adalah diagonalisabel (dapat dibawa ke bentuk

diagonal) oleh transformasi similaritas, karena didapatkan 3 vektor

karakteristik yang bebas Iinier yaitu :

Maka kalau P =

dan D =

° ~I

m ~ ~ [ i ]°

~

L ~

°~

t2 = -2

° °berlaku D = P-'AP (silakan diselidiki).

7.15. SOAL-SOAL LATIHAN

7.34. Carilah matriks transisi dari perubahan basis:

(i) Basis {e, = [I, 0], e2 = [0, I]} ke basis {f, = [2, I], h= [3, O]} dan

sebaliknya dari {f\} ke {e;}(ii) Basis {e, = [I, 0, 0], e2 = [0, 1,0], e3 = [0, 0, I]} ke basis {f, =

[1,0,0], f 2 = [I, 1,0], f3 = [I, I, I]}.

(iii) Basis {f, = [I, 2], h= [2, 3]} ke basis [g. = [2, I], g2 = [4, 3]}.

Iawab :

(i) [ ~ ~ J [ ~ , - , : J

332



(ii)

(iii)

7.35. Kalau vektor-vektor berikut mempunyai koordinat yang relatif terhadap

basis {eI= [I, 0], e2 = [0, I]}, carilah koordinatnya relatif terhadap basis

{fl = [2, 1], f2 = [3, OJ} (pakailah matriks transisi dari soal 7.34. (i) di

atas) :(i) a = [2, 1],

(ii) a :: [5, 4J.

Iawab :

(i) [1, 0], (ii) [4, -I].

7.36. Vektor-vektor berikut mempunyai koordinat yang relatif terhadap basis

i,::I, 2J, h::[2, 3], carilah koordinatnya relatif terhadap basis gl =[2, 1], g2 :: [4, 3]. [pakai matriks transisi pada soal 8.34. (iii):

(i) [2, 2],

(ii) [0, IJ.

Iawab :

[-11, 7], [-3, 2].

7.37. Diketahui suatu susunan koordinat Cartesian di R2. Dua vektor f l = [2,

IJ dan h = [-1, 2J titik awalnya berimpit dengan titik (2, 2) dan kita

bentuk susunan koordinat baru dengan vektor-vektor basis i,dan h·(i) Periksa apakah susunan koordinat baru tersebut tegak lurus.

(ii) Carilah koordinat titik R(12, 7) relatif terhadap susunan koordinat

baru tersebut.

(iii) Carilah koordinat vektor a = [3, 1], relatif terhadap basis baru.

(tv) Bagaimana bentuk persamaan garis y = x relatif terhadap basis baru?

Iawab :

(5, 0), Cis , I/s),x' = 3y'.

333



7.38. Apakah transformasi ini linier :

(i) [x.,X2] ---- t [x I+I, X2]

(ii) [x., X2, x3 ) ---- t [x-, XI -Xz, -X2];

(iii) [x., X2, X3] ---- t [0, 0, 0];

(v) [x., X2] ---- t [x ., X2, X2]

(v) [XI, X2] ---- t [XI2, x/l

(vi) [x ., X2] ---- t 12xI - X :? ' x .]

Jawab : tidak ; linier, linier, tidak, tidak, linier

7.39. Carilah matriks transformasi dari transformasi-transformasi berikut reJatif

terhadap basis natural, dan relatif terhadap basis {f I = [J, 2], i: = [2, 3 J }

bila : (i) T(x) = 2x, pada R2; (ii) T[x, y] = 12x-3y, x+yJ; (iii) T[x, y] =

[5x+y, 3x-2y]

Iawab :

[~ ~] r U~L - J 1

2 5 J-15

- 3 9 ]2~

7.40. Diketahui T suatu transforrnasi linier pada R' dirnana :

[3, 7, 2] ---- t [10, 9, 12];

[1,2, \] ---- t [3, 3, 4];

[4, 5, 3] ---- t [9, 8, 12l;

CariJah matriks transformasi, peta dari bidang V : r = 10, O. -I] + A I \ ,

1, I] + ).1[2,3, I].

Bila dilakukan pergantian basis ke {f I = [I, 0, 0], h= [I, 1, 0], f3 = [I,

1, 11}, bagaimana matriks transformasi dan peta dari bidang V di atas

relatif terhadap { f , } ?

Iawab :

l i : J

U~12 ~~

r' = [0, -I, -I] + A12, 2, 3] + [5,4; 6];

ff' = [1, 0, -1] + A[O, -\,3] + ).1[1,-2, 6]

334



(ii) 6x' - y"'./7 = °

7AI. Diketahui sebuah transformasi linier pada R2 yang mentransformasikan

suatu ellips dengan persamaan x2/9 + y2/7 = 1 menjadi lingkaran X'2+

s"= 1. Carilah : (i) matriks transformasinya: (ii) peta dari garis y = 2x.

Iawab :

(i) [ 6 ' 1 / ~ 7 J

7A2. T adalah transformasi linier di R3 :

T(el) = el + e2 + e3; T(e2) = el - e2 + e3; T(e3) = el - 3e2 + 3e2, dimana

el = [1,0,0], e2 = [0, 1,0], dan e3 = [0,0, 1].

(i) Carilah matriks transformasi relatif terhadap basis {el}

(ii) Carilah ruang peta dan ruang nolnya

Iawab ;

-I-~

, R3 , L{O }

7.34. A adalah matnks transformasi dari T di R2.

(i) Apakah transformasi T singular?

(ii) Carilah basis ruang peta dan ruang nol dari transformasi tersebut.

(Jawab : Ya; [2, 4], [3, -2]).

7A4. Canlah transformasi linier a yang ruang petanya dibentuk oleh vektor-

vektor : u . 2, 3] dan [4, 5, 6].

Iawab :

4

5

6

A dan 11sebarang.

335



7.45. Diketahui transformasi-transformasi linier T] :" [y], Y2 ,Y 3 ] = [2x]+3x2+X3,

5XI+X3 , X2+X3 ], T2 : [z., Z 2, Z 3] = [Yb Y 2+Y 3, yd·

Carilah (i) matriks transformasinya, (ii) matriks dari produk transformasi

TzT], (iii) peta dari [1, 1,0] terhadap T2T], (iv) apakah T2T] mempunyai

invers?

Iawab :

(i)

[ ~

3

U

,

[ ~0

! ]1

1 0

(ii) [~3

~

2

3

(iii) [5 , 6, 5]

(iv) tidak

7.46. Diketahui matriks transformasi :

A= [~~

B= [~ ~ Jdari dua transforrnasi Iinier di R Z . Carilah peta dari a = [I, 1] terhadap

produk transformasi : (i) AB, (ii) BA, (iii) A2, (iv) B2.

Iawab :

[7, 11]; [10,8]; [11, 13]; [8,4]).

7.47. Apakah transformasi-transformasi berikut mempunyai mvers, bila ada

carilah matriks transformasi inversnya. (i) T(x) = 3x di R2, (ii) T(x, y] =

[1, x+y], (iii) T[x, y, z} = [x+y, x-z, y].

Iawab :

O J '{3

336



A= oo1

7.48. y = [2, 0, 1) adalah peta dari x dengan suatu transformasi Ax = y dimana

Carilah x terse but.

Iawab :

[1, 1, 1).

7.49. Diketahui {g I> g2} adalah suatu basis dari R2 dan T adalah transformasi

linier di R2 : T(gj) = 3g1 - 2g2 dan T(g2) = gl + 4g2.

Kalau {h I> h2} basis lain dari R2 sehingga hi = gI+ g2 dan h2 = 2gI+

3g2, carilah matriks transformasi dari T relatif terhadap basis {hi}'

Iawab :

1~

-~

7.50. Bila A similar B, buktikan :

(i) A2 similar B2

(ii) det(A) = det(B).

(iii) akan karakteristik mereka sarna.

7.51. Carilah akar-akar karakteristik dan vektor-vektor karakteristik yang

bersangkutan dari matriks berikut, apakah matriks diagonalisabel?

(i) Q ~ (ii) D ; ] (iii) D - ~Iawab :

( i ) 1 = 5, 11[1, 1), ~ = -1, 11[2, -1], ya; (ii) 1 . . 1 = 4, 11[1, 1], ~ = 1, 11[2,

-1], ya; (iii) A . = 4, 11[1, 1], tidak.

7.52. Carilah 2 vektor karakteristik yang panjangnya 1 dan saling tegak lurus

dari transformasi simetris berikut :

337



--------------------------- -- --

(i) [~

Iawab :

(ii) [ 7 --JI0J

--JI0 4

[2 , 1+ --J5 ]

(i) 2 + ..)5, ----r======;=--

-/IO + 2..)5

[2, 1-..)5]

2-..)5, --;:===:::::;=---/IO - 2..)5

(iii) A I = 9, [5 17 , 2 1..)1 4], A 2 = 2, [ . . )217,-51. . )35]

7.53. Carilah akar karakteristik dan basis ruang karakteristiknya, dari

transformasi linier dengan matriks transformasi :

Iawab:

1

1

°~ (H) r ~ 4

-23

3

(i) A = 1, {[1, 0, 0], [0, 0, I]}, tidak diagonalisabel

(ii) x , = 1, {[3, 0, -4]}; A 2 = 3, {[4, 1, 3]}; A 3 = -24, {[4, -25, 3]},

diagonalisabel.

7.54. Sebuah bujur sangkar dibatasi oleh vektor-vektor [1, 0] dan [0, 1]

ditransformasikan menjadi sebuah jajaran genjang yang dibatasi oleh

vektor-vektor [3, 0] dan [1, 2]. Carilah matriks transformasi dan determinan

matriks transformasi tersebut. Tunjukkan bahwa determinan tersebutmenyatakan perbandingan luas antara peta dengan prapetanya (jadi

perbandingan luas antara jajaran genjang bujur sangkar).

Iawab :

[~ ~]

338

, 6, luas bujur sangkar = 1, luas jajaran genjang = 6.



Iawab : 8

7.55. Dengan cara sarna seperti 7.54. hitung isi bidang ernpat yang bertitik

sudut di (0, 0, 0), (1, 0, 0), (5, -3, 1), (-7, 1, 5).

7.56. Titik K berkoordinat (1, 1) pada sistern koordinat Cartesian di R2. Apabi1a

dilakukan rotasi sistern koordinat sebesar 30°, berapa koordinat K

sekarang? Bagairnana persarnaan ellips x2 + y2/4 = 1 re1atif terhadap

sistern baru?

Iawab :

('/2+ 1/2--J3_1/2+1/2--J3),13x'2 - 6x'y'--J3 + 7y'2 = 16.

7.57. T: R3 ~ R3 rnernproyeksikan sernua vektor-vektor di R3 ke bidang y -

z = O. Tentukan rnatriks transformasinya dan proyeksi vektor [2, 6, 4].

[2, 5, 5]

7.58. Diketahui suatu transforrnasi dari bidang XY ke bidang UV dengan rurnus

transforrnasi :

u = x2 _ y2 }

V = 2xy.

Apakah transforrnasi ini linier ? Tentukan dan garnbar peta dari daerah

yang dibatasi oleh garis x = 1, Y = 1, x + Y = 1.

Iawab ,

tidak; daerah yang dibatasi parabola-parabola u = I - v2/4, u = -1 +

y2/4' V = (l-u2)12.

3 39



--------------- --

Hitung akar dari :

Q , = [ 5 ;~ , Q 2 =

l !

1

n5

5

Iawab :

R, = [~

~

R2 = r ~ 0 J

7.59. Suatu matriks simetris Q disebut definit positif apabila semua akar

karakteristiknya positif. Bila Q definit positif maka terdapat matriks definit

positif R = UD 1I 2UT dimana D = UTQU matriks diagonal dan D"2 matriks

diagonal yang elemen diagonalnya Ai"2; sedemikian sehingga R2 = Q .

Buktikan ! (R disebut akar dari Q).

340



CONTOH PROGRAM Bab 7

MENCARIPETA , "

10 'pro gram m en cari peta

20 CLS :INPUT"b an ya k b aris matriks t ransformasr~p30 , INPUT"b an ya k -k o lom matrik s tra ns fo rmas i";Q

40 D IM A (P ,Q ) ,B (Q ) ,C (P )

50 PRIN T:PR fN T"E LEMEN MATRIK S TRANSFORMASI :.:PRlN'r;~'

60 FOR I ::: 1 TO P : FOR J=1 TO Q: . > ' "

PRIN T"BAR IS ";l;KO LOM ";J ;;J ;:J NPUT A (I.J ):N EXT J ,J70 PRINT :PR INT"ELEMEN VEK TOR Y ANG DIPETAK AN:":PR1 NT '

80 FOR J ::: 1 TO Q : PRINT"BAR1S" ;J ; : lNPUT 8(J) :NEXT J90 FOR I ::: 1 TO P

100 C(I):::O

110 FOR K=1 TO Q120 C(I) = C(J) + A{I,K ) ,. B(K )

130 NEXT K

140 NEXT I

150 'm en cetak PEJ A

160 CLS :PRINT"VEKTOR PETA:" :PRINT170 FOR I ::: 1 TO P

180 PRINT USING "# # # # , # ";C (I)

190 NEXT 1

200 END

CONTOH SOAL

ROTASIVEKTOR

10 'pro gram m en cari peta akibat rotasi

20 CLS:INPUrSUDUT ROTASr;p

30 INPUT"VEK TOR Y ANG DlROTAS. ";E ,F

40 G = E*CO S(P) • PSIN(P )

50 H::: E*SIN(P) + PCOS(P)

60 C LS:P RIN r'VE KTOR HASIL ROT AS I:":P RIN T

70 PRINT USING "# # # # . tH t# # " ;G

80 PRINT USING "# # # # . # # # # ";H

90 END

341



, _ __ ._

EIGENVALUE MATRIKS ORDO 2

CONTOH PROGRAM

10 'menghitung eigenvalue matriks ordo 220 CLS:PRrNT"MATRIKS: ":PRINT

30 PRINT" A B "

40 PRINT" C 0 ":PRINT

50 PRINT" Harga A:";: tNPUT A

60 PRINT" Harga B :";: INPUT B

70 PRINT" Harga C :";: .INPUT C80 PRINT" Harga 0;";:NPUT 0

90 DET=A*O-B"C

100 EG1={(A+O)+SOR«A+OY'2-4"OET)}/2

110 EG2=(A+D)-SQR«A+D)1\2-4*DET»)/2120 PRINT:PRINT:PRtNr'EIGENVALUE : ":PRINT

130 PRINT USING"###.##";EG1;:PRINT" dan ";:PRINT USING"###.###";EG2

140 PRINT;PRINr'EIGEN VAKTOA berturut-turut:":PRINT

150 PRINT"r';:PRINT USING"###.##";B;:

PRINT USfNG"###.##';A-EG1;:PRINTj"160 PRINT" 0AN"170 PRINT"[";:PRINT USING"###.##";B;:

PRINT USING"###.##";A-EG2;:PRINTj"

180 END

3 4 2

PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier

Documents

Transcript of PERTEMUAN 12 13 Bab7 Transportasi Linier