PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED PARETO …digilib.unila.ac.id/59325/3/TESIS TANPA BAB...

PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED PARETO – 3

PARAMETER DENGAN METODE GENERALIZED PROBABILITY

WEIGHTED MOMENT SERTA APLIKASINYA PADA DATA

INTENSITAS CURAH HUJAN HARIAN

(Tesis)

Oleh:

ACHMAD RAFLIE PAHLEVI

PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2019

ABSTRAK





Oleh

Achmad Raflie Pahlevi

Distribusi Generalized Pareto (GP) pertama kali diperkenalkan oleh Pickands dan

menunjukkan distribusi yang stabil pada nilai yang melebihi ambang batas.

Aplikasi penggunakan distribusi GP telah banyak digunakan dalam analisa nilai

ekstrim dari variabel meteorologi, seperti curah hujan, kecepatan angin, dan

kekeringan. Estimasi dari parameter (𝜉, 𝜎, 𝜇) telah berkembang selama 30 tahun

terakhir. Pegembangan dari pendugaan Probability Weighted Moment (PWM)

adalah Generalized Probability Weighted Moment (GPWM). Pada penelitian ini,

pendugaan dan pengujian parameter akan dilakukan secara analitik dan numerik.

Pendugaan parameter secara numerik akan dilakukan terhadap data intensitas curah

hujan harian di Bandar Lampung. Simulasi dilakukan dengan pembangkitan data

dengan parameter yang dihasilkan dari pendugaan. Pembangkitan data akan

dilakukan dengan pengulangan 𝑖 = 1000 dan jumlah sampel 10, 30, 50, 100, 1000,

dan 10000. Hasil simulasi menunjukkan pada nilai v berapapun penduga parameter

pada distribusi generalized Pareto – 3 parameter yang telah diperoleh dengan

menggunakan metode GPWM, merupakan penduga yang baik karena memenuhi

sifat tak bias, serta konsisten dan efisien asimtotik. Probabilitas intensitas curah

hujan ekstrim di Bandar Lampung pada musim hujan adalah 0.008, pancaroba I

adalah 0.003, kemarau adalah 0.001, dan pancaroba II adalah 0.001.

Kata Kunci: Distribusi Generalized Pareto, Generalized Probability Weighted

Moment, Probabilitas Intensitas Curah Hujan

ABSTRACT

ON THE METHOD OF GENERALIZED PROBABILITY WEIGHTED

MOMENT IN ESTIMATING OF 3-PARAMETERS GENERALIZED

PARETO DISTRIBUTION WITH APPLICATION ON DAILY RAINFALL

INTENSITY DATA

Oleh


Generalized Pareto (GP) distribution was first introduced by Pickands and it shows

a stable distribution at a value that exceeds the threshold. Applications of GP

distribution have been widely used in the analysis of extreme values of

meteorological variables, such as rainfall, wind speed, and drought. Estimation of

the parameters (ξ, σ, μ) have developed over the past 30 years. The extension of

Probability Weighted Moment (PWM) estimation is the Generalized Probability

Weighted Moment (GPWM). Estimation and testing of parameters will be carried

out analytically and numerically. Numerical parameter estimation would be

performed on the daily rainfall intensity data in Bandar Lampung. The simulation

was done by generating data with parameters that was obtained from the estimation.

Data generation had been done using 1000 replication and the sample sizes were

10, 30, 50, 100, 1000, and 10000. The simulation results showed that at any value

of v, parameters estimation of the 3-parameters generalized Pareto distribution

using GPWM method, gives good estimators because they are unbiased, and

asymptotically efficient and consistent. The probability of extreme rainfall intensity

in Bandar Lampung during the rainy season was 0.008, transition I was 0.003,

drought was 0.001, and transition II was 0.001.

Keyword: 3-Parameters Generalized Pareto Distribution, Generalized Probability

Weighted Moment, Probability of Daily Rainfall Intensity





Oleh


Tesis

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar

MAGISTER SAINS

Pada

Program Studi Magister Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

PROGRAM PASCASARJANA MAGISTER MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2019

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 4 September 1994, sebagai anak pertama

dari tiga bersaudara, dari Muhammad Jasin dan Ibu Susilowati. Pendidikan Taman

Kanak (TK) Aria Putra diselesaikan tahun 1999, Sekolah Dasar Negeri (SDN) 06

Rambutan diselesaikan pada tahun 2005, Sekolah Menengah Pertama Negeri

(SPMN) 9 Jakarta diselesaikan pada 2008, dan Sekolah Menengat Atas Negeri

(SMAN) 14 Jakarta diselesaikan pada tahun 2011.

Penulis melanjutkan pendidikan D IV di Perguruan Tinggi Kedinasan di bawah

Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika (BMKG) yaitu Sekolah Tinggi

Meteorologi Klimatologi dan Geofisika (STMKG) dalam jurusan Meteorologi pada

tahun 2011 dan lulus pada tahun 2016. Setelah lulus dari STMKG penulis

ditempatkan di Stasiun Meteorologi Maritim Lampung di Panjang, Bandar

Lampung. Penulis diterima sebagai mahasiswa Program Studi Magister

Matematika Fakultas MIPA Universitas Lampung melalui jalur tes atas biaya

sendiri (mandiri) paad bulan September tahun 2017.

Sejak kecil penulis memiliki cita-cita sebagai peneliti. Sejumlah publikasi telah

dilakukan oleh penulis saat penulis sedang studi magister di Universitas Lampung,

sebagai berikut:

1. Study of Generalized Pareto Distribution to Flood Disaster Mitigation in

Bandar Lampung.

Disubmit pada IOP Conference Series: Earth and Environmental Science

(Scopus Indexed)

Dipersentasikan pada International Conference on Marine and Coastal

Engineering and Sciences

2. Simulasi Interaksi Angin Laut dan Bukit Barisan dalam Pembentukan Pola

Cuaca di Wilayah Sumatera Barat Menggunakan Model WRF-ARW.

Dipersentasikan pada Seminar Nasional Metode Kuantitatif – 2017

3. Kajian Best-Fit Distribusi Probabilitas Untuk Curah Hujan Harian dan

Aplikasinya dalam Mitigasi Hujan Ekstrim di Pulau Sumatera.

Dipersentasikan pada Seminar Nasional Metode Kuantitatif II – 2018

4. Aplikasi Distribusi Statistik dalam Memonitor Kualitas Udara di Bukit

Kotatabang.

Dipersentasikan pada Seminar Nasional Metode Kuantitatif II – 2018

PERSEMBAHAN

Dengan mengucap Alhamudlillah, Puji Syukur Kehadirat Allah SWT

Kupersembahkan tesis ini kepada:

Anakku Tercinta

Aqila Naura Achmad

Yang telah menjadi penyamangatku semenjak kehadirannya di dunia ini. Semoga

ketika kelak dia bisa membaca tulisan ini, dapat menjadi motivasi untuknya agar

dapat menjadi seseorang yang lebih baik dari ayahnya. Terima kasih atas segala

canda, tawa, dan cinta yang telah diberikan kepada saya selama penyusunan tesis

ini. Terima kasih telah mebuat ayah menjadi pribadi yang kuat dan semangat dalam

menjalani hari-hari.

MOTTO

“Dan tidaklah sama orang yang buta dengan orang yang

melihat”

(Q.S. Fatir : 19)

“Dia yang pergi untuk mencari ilmu pengetahuan, dianggap

sedang berjuang di jalan Allah sampai dia kembali”

(HR. Tirmidzi)

“Karunia Allah yang paling lengkap adalah kehidupan yang

didasarkan pada ilmu pengetahuan”

(Ali bin Abi Thalib)

“Orang bijak belajar ketika mereka bisa, orang bodoh belajar

ketika mereka terpaksa”

(Arthur Wellesley)

“Kecerdasan adalah kemampuan adaptasi pada perubahan “

(Stephen Hawking)

SAWACANA

Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat

dan hidayah-Nya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan penulisan tesis

sebagai salah satu syarat memperoleh gelar magister sains di Universitas Lampung

ini. Shalawat serta salam semoga tetap tercurahkan kepada junjungan kita Nabi

Muhammad SAW, penuntun jalan bagi seluruh umat manusia.

Diselesaikannya penulisan tesis yang berjudul “Pendugaan Parameter Distribusi

Generalized Pareto – 3 Parameter Dengan Metode Generalized Probability

Weighted Moment Serta Aplikasinya Pada Data Intensitas Cura Hujan Harian” ini

tidak terlepas dari doa, bimbingan, dukungan serta saran dari berbagai pihak yang

telah membantu. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan

terima kasih kepada:

1. Bapak Ir. Warsono, M.S., Ph.D, selaku dosen pembimbing utama dan

pembimbing akademik yang telah meluangkan waktu untuk membimbing,

mengarahkan, dan memotivasi penulis sehingga tesis ini dapat diselesaikan.

2. Dr. Khoirin Nisa, S.Si., M.Si, selaku dosen pembimbing kedua yang telah

memberikan pengarahan dalam proses penyusunan tesis ini.

3. Prof. Drs. Mustofa Usman, MA., Ph.D, selaku dosen penguji atas kritik dan

saran yang membangun untuk tesis ini.

4. Dr. Ir. Tumiar. K. Manik., M.Sc., selaku dosen penguji atas kritik dan saran

yang membangun untuk tesis ini.

5. Prof. Dra. Wamiliana, MA, Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

6. Drs. Suratman, M.Sc., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

7. Prof. Drs. Mustofa Usman, M.A., Ph.D., selaku Direktur Program Pascasarjana

Universitas Lampung.

8. Dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah

memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

9. Ibu, bapak, istri, dan adik-adikku tercinta yang selalu mendoakan dan

menyemangatiku.

10. Sahabat seperjuangan di S-2 Matematika angkatan 2017 dan keluarga besar

Matematika FMIPA UNILA.

11. Kepala Stasiun Meteorologi Maritim Lampung, yang telah mengizinkan saya

untuk melanjutkan studi magister.

12. Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan tesis ini, semoga

mendapat imbalan yang sesui dari Allah SWT.

Penulis menyadari tesis ini jauh dari sempurna dan penulis juga berharap penelitian

ini dapat berguna dan bermanfaat bagi pembaca. Aamiin.

Bandar Lampung, 12 September 2019

Penulis


DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI ……………...………………………………………………. xv

DAFTAR TABEL ………...………………………………………………. xvii

DAFTAR GAMBAR ……...………………………………………………. xviii

I. PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang................................................................................... 1

1.2.Rumusan Masalah.............................................................................. 4

1.3.Batasan Masalah ................................................................................ 5

1.4.Maksud dan Tujuan............................................................................ 5

1.5.Manfaat .............................................................................................. 5

II. LANDASAN TEORI

2.1.Distribusi Pareto ................................................................................ 6

2.2.Distribusi Generalized Pareto ............................................................ 6

2.2.1. Definisi Distribusi Generalized Pareto ……………………. 7

2.2.2. Hubungan Distribusi Pareto dan Generalized Pareto ……… 8

2.2.3. Nilai Harapan Distribusi Generalized Pareto ........................ 9

2.2.4. Varians Distribusi Generalized Pareto ................................ 11

2.2.5. Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Generalized Pareto. 14

2.3.Metode Pendugaan ........................................................................... 18

2.3.1. Probability Weighted Moments (PWM).............................. 18

2.3.2. Generalized Probability Weighted Moment (GPWM) ....... 19

2.4.Karakteristik Penduga....................................................................... 20

2.4.1. Ketakbiasan......................................................................... 20

2.4.2. Varians Minimum................................................................ 21

2.4.3. Konsistensi .......................................................................... 22

2.5.Simulasi Monte Carlo....................................................................... 24

III. METODE PENELITIAN

3.1.Metode Penelitian ............................................................................ 26

3.2.Simulasi Data …............................................................................... 27

3.3.Penerapan Pada Data Curah Hujan.................................................... 28

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1.Grafik Distribusi Generalized Pareto ……………………………… 29

4.1.1. Grafik dengan nilai 𝜎 beda, serta 𝜇 dan 𝜉 tetap ………...... 29

4.1.2. Grafik dengan nilai 𝜇 beda, serta 𝜎 dan 𝜉 tetap ………..… 30

4.1.3. Grafik dengan nilai 𝜉 beda, serta 𝜇 dan 𝜎 tetap ………….. 31

4.1.4. Grafik dengan 𝜇 dan 𝜉 beda, serta 𝜎 tetap ……………….. 32

4.1.5. Grafik dengan 𝜇 dan 𝜎 beda, serta 𝜉 tetap ……………..… 33

4.1.6. Grafik dengan 𝜉 dan 𝜎 beda, serta 𝜇 tetap ……………..… 34

4.2.Invers Fungsi Distribusi Kumulatif Generalized Pareto………………. 34

4.3.Fungsi Generalized Probability Weighted Moment untuk Distribusi

Generalized Pareto ………………………………………………… 35

4.3.1. Nilai Harapan Distribusi GP dengan Fungsi GPWM …….. 36

4.3.2. Momen Ke-R Fungsi GPWM …………………………….. 37

4.4.Pendugaan Parameter Distribusi Generalized Pareto ……………… 39

4.5.Karakteristik Penduga Secara Analitik …………………………….. 42

4.5.1. Ketakbiasan ……………………………………………… 42

4.5.2. Memerika Sifat Varians Minimum ………………………. 45

4.5.3. Memeriksa Sifat Kekonsistenan …………………………. 55

4.6.Aplikasi Terhadap Data Curah Hujan Harian ……………………… 59

4.6.1. Musim Hujan ……………………………………………... 59

4.6.2. Musim Pancaroba I ……………………………………….. 65

4.6.3. Musim Kemarau ………………………………………….. 70

4.6.4. Musim Pancaroba II ……………………………………… 75

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1. Kesimpulan ……………………………………………………….. 81

5.2. Saran ……………………………………………………………… 82

DAFTAR PUSTAKA.................................................................................... 83

LAMPIRAN ……………………………………………………………….. 87

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1. Parameter Pendugaan Distributi GP Saat Musim Hujan ……………. 59

2. Nilai Bias dan Varians Pada n dan v yang Berbeda Pada

Saat Musim Hujan …………………………………………………… 60

3. Hasil Tes KS Saat Musim Hujan ……………………………………. 64

4. Probabilitas Intensitas Curah Hujan Harian Saat Musim Hujan …….. 64

5. Parameter Pendugaan Distributi GP Saat Musim Pancaroba I ………. 65


Saat Musim Pancaroba I ……………………………………………… 66

7. Hasil Tes KS Saat Musim Pancaroba I ………………………………. 69

8. Probabilitas Intensitas Curah Hujan Harian Saat Musim Pancaroba I... 70

9. Parameter Pendugaan Distributi GP Saat Musim Kemarau ………...... 70


Saat Musim Kemarau ………………………………………………… 71

11. Hasil Tes KS Saat Musim Kemarau …………………………………. 74

12. Probabilitas Intensitas Curah Hujan Harian Saat Musim Kemarau ...... 75

13. Parameter Pendugaan Distributi GP Saat Musim Pancaroba II …........ 75


Saat Musim Pancaroba II …………………………………………...... 76

15. Hasil Tes KS Saat Musim Pancaroba II …………………………….... 79

16. Probabilitas Intensitas Curah Hujan Harian Saat Musim Pancaroba II. 80

17. Probabilitas Intensitas Curah Hujan Harian ………………………...... 82

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Simulasi Monte Carlo ………………………………………………… 25

2. Grafik Dengan 𝜎 Beda, Serta 𝜇 dan 𝜉 Tetap …………………………. 30

3. Grafik Dengan 𝜇 Beda, Serta 𝜎 dan 𝜉 Tetap …………………………. 31

4. Grafik Dengan 𝜉 Beda, Serta 𝜎 dan 𝜇 Tetap …………………………. 31

5. Grafik Dengan 𝜇 dan 𝜉 Meningkat, Serta 𝜎 Tetap …………………… 32

6. Grafik Dengan 𝜇 dan 𝜎 Meningkat, Serta 𝜉 Tetap …………………… 33

7. Grafik Dengan 𝜉 dan 𝜎 Meningkat, Serta 𝜇 Tetap …………………… 34

8. MSE dari Parameter 𝜉, 𝜇, dan 𝜎 Saat Musim Hujan ..............................62

9. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi GP dengan

Pendugaan GPWM Saat Musim Hujan ………………………………. 63

10. MSE dari Parameter 𝜉, 𝜇, dan 𝜎 Saat Musim Pancaroba I …………… 67


Pendugaan GPWM Saat Musim Pancaroba I ………………………… 68

12. MSE dari Parameter 𝜉, 𝜇, dan 𝜎 Saat Musim Kemarau ….…………… 72


Pendugaan GPWM Saat Musim Kemarau …………………………… 73

14. MSE dari Parameter 𝜉, 𝜇, dan 𝜎 Saat Musim Pancaroba II …………... 77


Pendugaan GPWM Saat Musim Pancaroba II ….…………………… 78

I. PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang

Hujan total tahunan dan variabilitas hujan tahunan merupakan variabel iklim yang

penting untuk kajian neraca keseimbangan air, pengaruh klimatologi regional,

perencanaan dan managemen sumber air (Meier dkk, 2016). Variabilitas hujan

tahunan disebabkan oleh beberapa faktor, yaitu anomali atmosfer (Higgins dkk,

1999) (Bartlow dkk, 2001), perubahan musim (Fatichi dan Ivanov, 2013), dan

proses hujan. Variasi tahunan hujan merupakan sebuah gambaran penting dari iklim

lingkungan yang berdampak langsung pada kekeringan (Dai dkk, 2011),

produktivitas tanaman, serta distribusi hujan ekstrim.

Hujan ekstrim di Bandar Lampung sering terjadi baik itu karena faktor lokal

maupun regional. Hujan di wilayah Bandar Lampung dipengaruhi oleh faktor lokal

terkait dengan siklus harian (angin laut angin darat) (Pahlevi dan Zulfiani, 2018)

dan faktor global terkait dengan siklus bulanan hingga tahunan seperti El Nino dan

La Nina, Madden Julian Oscillation, dan Indian Ocean Dipole (Lee, 2015) (Marzuki

dkk, 2016) (Pahlevi dan Wulandari, 2017). Hujan ekstrim dapat menyebabkan

banjir dan tanah longsor di Bandar Lampung, hal inilah yang menjadikan

pentingnya distribusi probabilitas curah hujan harian dan per jam dalam

menggambarkan potensi hujan ekstrim.

Kejadian hujan ekstrim, sebagai salah satu kejadian cuaca ekstrim, paling sering

terjadi dalam hidrometeorologi, sehingga mendapatkan perhatian yang lebih karena

dampaknya yang besar pada perekonomian dan kehidupan manusia. Hal inilah

yang menjadikan pentingnya distribusi probabilitas dalam menggambarkan

karakteristik curah hujan. Membangun sebuah distribusi probabilitas yang

memenuhi kecocokan yang baik untuk intensitas curah hujan harian dan kecepatan

angin telah lama menjadi topik penelitian dalam bidang hidrologi dan meteorology,

dan model probabilitas telah diaplikasikan dengan sukses dalam banyak fenomena

alam seperti kecepatan angin, debit sungai, dan kualitas udara (Oguntunde dkk,

2014).

Pemilihan atau penentuan model distribusi yang tepat adalah suatu langkah yang

mendasar dan sangat penting dalam proses analisis dan interpretasi data. Pemilihan

model probabilitas penting untuk mencegah kesalahan yang dapat mengganggu

keabsahan dari metode statistik yang akhirnya akan memberikan hasil yang

menyesatkan. Penggunaan model distribusi telah menyebar luas dalam berbagai

bidang, salah satunya dalam hidrometeorologi, dan telah banyak mengalami

perkembangan dari waktu ke waktu. Model distribusi yang sering digunakan untuk

bidang hidrometeorologi adalah distribusi normal, lognormal, Pearson, log-

Pearson, eksponensial, Gumbel, generalized extreme value, Weibull, dan

generalized Pareto (Alam, 2018).

Penggunaan distribusi nilai ekstrim dalam hidrometerologi pertama kali dikenalkan

oleh Jenkinson (1955). Pada perkembangannya distribusi nilai ekstrim yang paling

3

sering digunakan dalam hidrometeorologi adalah distribusi generalized extreme

value (GEV) dan distribusi generalized Pareto (GP). GEV dianggap baik ketika

pada data teradapat set dari nilai maximum. Bagaimanapun, menggunakan hanya

nilai maksimum akan berdampak pada hilangnya infomasi yang terkandung pada

nilai sampel yang besar. GP yang berdasarkan pada prosedur peak of threshold

(POT) menjadi lebih banyak digunakan pada studi belakangan ini (Li, 2013).

Pahlevi dan Warsono (2018), mendapatkan bahwa distribusi GP adalah distribusi

terbaik dalam menggambarkan distribusi curah hujan di Pulau Sumatera

dibandingkan dengna distribusi ekstrim lainnya.

Distribusi GP pertama kali diperkenalkan oleh Pickands (1975) dan menunjukkan

distribusi yang stabil pada nilai yang melebihi ambang batas. Aplikasi penggunakan

distribusi GP telah banyak digunakan dalam analisa nilai ekstrim dari variabel

meteorologi, seperti curah hujan (Acero, 2011), kecepatan angin (Simiu, 2006), dan

kekeringan (Nadarajah, 2008). Untuk mengetahui kinerja dan kemampuan dari

distribusi GP dalam pemodelan data, perlu dilakukan pendugaan parameter-

paramter tersebut, serta mengetahui karakteristik dari distribusi GP.

Estimasi dari parameter (𝜉, 𝜎, 𝜇) telah berkembang selama 30 tahun terakhir

(Husler, 2011). Pendugaan parameter GP dengan motode pendugaan probability

weighted moment (PWM) telah dilakukan oleh Hosking dan Wallis (1987). Ketika

berhadapan pada data independent, maximum likelihood, mendekati hasil yang

akurat pada sampel yang besar, tetapi pada hampir seluruh situasi praktikal, metode

PWM lebih sering diandalkan, dimana Hosking dan Wallis (1987) menunjukkan

4

bahwa pendekatan PWM memiliki bias dan mean square error (MSE) lebih kecil

pada ukuran sampel kurang dari 500 (Chaouche, 2004). Pendugaan parameter

menggunakan metode PWM menemukan kebuntuan ketika memiliki nilai 𝜉 ≤ −1,

nilai harapan dari X menuju ∞, sehingga tidak adanya hasil pendugaan (Zhang,

2010).

Rasmussen (2001) melakukan pengembangan dari metode PWM yang disebut

Generalized Probability Weighted Moment (GPWM). Perbandingan pendugaan

dengan GPWM dan PWM, bahwa GPWM tidak membatasi nilai invers yang kecil,

sehingga dapat digunakan pada berapapun nilai 𝜉. Pendugaan parameter distribusi

GP-2 parameter dengan menggunakan metode GPWM telah dilakukan oleh Chen

dkk (2016). Pada penelitian ini akan menggunakan metode GPWM untuk menduga

parameter distribusi GP-3 parameter.

1.2. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah tersebut di atas, maka yang menjadi permasalah

dalam penelitian ini adalah:

1. Bagaimana pendugaan parameter dari distribusi GP dengan metode GPWM?

2. Bagaimana karakteristik pendugaan parameter distribusi GP dengan metode

GPWM dibandingkan dengan menggunakan metode PWM?

3. Bagaimana pendugaan GPWM untuk distribusi GP pada data curah hujan

harian dalam musim yang berbeda-beda?

4. Bagaimana probabilitas intensitas hujan harian di Lampung dengan

menggunakan model distribusi GP dan pendugaan GPWM?

5

1.3. Batasan Masalah

Pada penelitian ini, yang menjadi batasan masalah adalah pada nilai 𝜉 ≠ 0. Selain itu,

karakteristik penduga GP yang diperoleh melalui metode GPWM, meliputi sifat

ketakbiasan, varians minimum, dan kekonsistenan.

1.4. Maksud dan Tujuan

Penelitian ini bermaksud dapat digunakan dalam mitigasi bencana banjir di wilayah

Provinsi Lampung.

Adapun tujuan penelitian ini adalah:

1. Menentukan penduga parameter dari distribusi GP dengan metode GPWM,

2. Mengkaji karakteristik pendugaan distribusi GP, serta membandingkan

antara metode pendugaan GPWM dengan PWM.

3. Mengkaji distribusi GP dengan penduga GPWM pada data hujan harian

dalam musim yang berbeda-beda

4. Menentukan probabilitas intensitas hujan harian di Lampung dengan

menggunakan model distribusi GP

1.5.Manfaat

Penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi dalam kaidah ilmu

pengetahuan statistik mengenai karakteristik pendugaan distribusi GP dengan

menggunakan metode GPWM. Penggunaan model distribusi ini dapat

menggambarkan probabilitas intensitas hujan harian di Bandar Lampung.

II. LANDASAN TEORI

2.1.Distribusi Pareto

Distribusi Pareto diusulkan oleh ekonom Swiss kelahiran Italia bernama Vilfredo

Pareto (1897) sebagai sebuah model untuk mendistributikan pendapatan. Pada

perkembangannya, distribusi Pareto digunakan secara luas untuk menjelaskan

populasi, resiko asuransi, kegagalan bisnis, dan belakangan ini telah digunakan

pada kajian level ozon di atmosfer atas (Raja, 2013). Distribusi Pareto memiliki dua

parameter, yaitu 𝛼 yang merupakan parameter bentuk dan 𝛽 yang merupakan

parameter skala.

Definisi 2.1

Misalkan X adalah variabel acak dari distribusi Pareto dengan parameter 𝛼 dan 𝛽

dinotasikan 𝑋~𝑃(𝛼, 𝛽). Maka fungsi kepekatan peluangnya adalah

𝑓(𝑥) =𝛼𝛽𝛼

𝑥𝛼+1, 𝑥 ≥ 𝛽 (2.1)

serta memiliki fungsi distribusi kumulatif,

𝐹(𝑥) = 1 − (𝛽

𝛼)𝛼

(2.2)

2.2.Distribusi Generalized Pareto (GP)

Distribusi Pareto sama seperti distribusi lainnya yaitu diperumum (generalized).

Distribusi GP dikenalkan oleh Picklands (1975) dan digunakan dalam banyak hal,

salah satunya dalam pemodelan distribusi hujan ektrim. Distribusi GP merupakan

salah satu distribusi kontinyu yang memiliki tiga parameter, yaitu 𝜉 adalah

parameter bentuk, 𝜎 adalah parameter skala, sementara 𝜇 adalah nilai ambang batas.

𝜉 mengendalikan sifat dari ujung dari distribusi dan sikap dari ekstrim yang kuat.

2.2.1. Definisi Distribusi GP

Definisi 2.2.

Misalkan X adalah variabel acak dari distribusi GP (𝜉, 𝜎, 𝜇) maka fungsi kepekatan

peluangnya adalah,

𝑓(𝑥) =

{

1

𝜎(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉−1

, 𝜉 ≠ 0

1

σexp (−

𝑥 − 𝜇

𝜎) , 𝜉 = 0

(2.3)

serta fungsi distribusi kumulatifnya adalah,

F(X)

{

1 − (1 + 𝜉𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉, 𝜉 ≠ 0

1 − exp (−𝑥 − 𝜇

𝜎) , 𝜉 = 0

(2.4)

Pembuktian bahwa distribusi GP adalah fungsi peluang dinyatakan bila nilai

integral 𝑓(𝑥) = 1.

𝑓(𝑥) = ∫1

𝜎(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉−1𝜇−

𝜎𝜉

𝜇

𝑑𝑥

𝑓(𝑥) = [− (1 + 𝜉𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉]𝜇 −

𝜎𝜉

𝜇

𝑓(𝑥) =

(

−(1 + 𝜉

𝜇 −𝜎𝜉− 𝜇

𝜎)

−1𝜉

− (−(1 + 𝜉𝜇 − 𝜇

𝜎)−1𝜉)

)

8

𝑓(𝑥) = (−(1 + (−1))−1𝜉 − (−(1 + (0))

−1𝜉))

𝑓(𝑥) = −0 + 1 = 1

𝑓(𝑥) = 1

2.2.2. Hubungan Distribusi Pareto dan GP

Distribusi Pareto memiliki hubungan dengan distribusi GP, ketika distribusi Pareto

memiliki bentuk parameter dengan 𝛽 = 𝜇 = 𝜎/𝜉 dan 𝛼 = 1/𝜉. Dengan

menggunakan persamaan (2.1), hubungan antara distribusi Pareto dan distribusi GP

ditunjukkan dengan persamaan sebagai berikut,

𝑓(𝑥) =𝛼 (𝜎𝜉)𝛼

𝑥𝛼+1

= 𝛼 (𝜎

𝜉)𝛼

(1

𝑥)𝛼+1

= (1

𝜉) (𝜎

𝜉)

1𝜉(1

𝑥)

1𝜉+1

Dikalikan dengan 𝜎

𝜎,

= (1

𝜉) (𝜎

𝜉)

1𝜉(1

𝑥)

1𝜉+1

(𝜎

𝜎)

=1

𝜎(𝜎

𝜉) (𝜎

𝜉)

1𝜉(1

𝑥)

1𝜉+1

=1

𝜎(𝜎

𝜉𝑥)

1𝜉+1

=1

𝜎(𝜉𝑥

𝜎)−1𝜉−1

9

=1

𝜎(1 +

𝜉𝑥

𝜎− 1)

−1𝜉−1

=1

𝜎(1 +

𝜉𝑥

𝜎−𝜉𝜎

𝜎𝜉)−1𝜉−1

Dengan 𝜇 =𝜎

𝜉,

=1

𝜎(1 +

𝜉𝑥

𝜎−𝜉𝜇

𝜎)−1𝜉−1

=1

𝜎(1 +

𝜉(𝑥 − 𝜇)

𝜎)−1𝜉−1

2.2.3. Nilai Harapan Distribusi GP

Teorema 2.1.

Misalkan X adalah variabel acak, maka nila harapan dari distribusi x dinyatakan

dengan,

𝐸(𝑥) = ∫𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Nilai harapan dari distribusi GP dengan parameter (𝜉, 𝜇, 𝜎),dimana 𝜇 < 𝑥 < 𝜇 −

𝜎/𝜉, dinyatakan sebagai berikut

𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥 1

𝜎(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)−1−

1𝜉

𝜇−𝜎𝜉

𝜇

𝑑𝑥

dengan menggunakan integral parsial,

∫𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −∫𝑣𝑑𝑢

Misalkan:

𝑢 = 𝑥 𝑑𝑣 =1

𝜎(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)−1−

1𝜉

10

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 = −(1 + 𝜉𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉

Sehingga,

𝐸(𝑥) = [𝑥 (−(1 + 𝜉𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉)]𝜇 −

𝜎𝜉

𝜇− ∫ −(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉𝑑𝑥

𝜇−𝜎𝜉

𝜇

𝐸(𝑥) = [−𝑥 (1 + 𝜉𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉]𝜇 −

𝜎𝜉

𝜇+ [

𝜎

𝜉 − 1(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)1−1𝜉]𝜇 −

𝜎𝜉

𝜇

𝐸(𝑥) =

[

(

−(𝜇 −

𝜎

𝜉)(1 + 𝜉

(𝜇 −𝜎𝜉) − 𝜇

𝜎)

−1𝜉

)

− (−𝜇(1 + 𝜉

𝜇 − 𝜇

𝜎)−1𝜉)

]

+𝜎

𝜉 − 1

[

(

(1+ 𝜉

(𝜇 −𝜎𝜉) − 𝜇

𝜎)

1−1𝜉

)

− ((1 + 𝜉

𝜇 − 𝜇

𝜎)1−1𝜉)

]

𝐸(𝑥) = [(−(𝜇 −𝜎

𝜉) (1 + (−1))

−1𝜉) + (𝜇(1 + 0)

−1𝜉)]

+𝜎

𝜉 − 1[((1 + (−1))

1−1𝜉) − ((1 + 0)

1−1𝜉)]

𝐸(𝑥) = 𝜇 −𝜎

𝜉 − 1

𝐸(𝑥) = 𝜇 +𝜎

1 − 𝜉

Jadi nilai harapan dari distribusi GP adalah

𝐸(𝑥) = 𝜇 +𝜎

1 − 𝜉 (2.5)

11

2.2.4. Varians Distribusi GP

Teorema 2.2.

Misalkan X adalah variabel acak, maka nilai harapan dari distribusi 𝑥2 dinyatakan

dengan,

𝐸(𝑥) = ∫𝑥2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Varians dari distribusi GP dengan parameter (𝜉, 𝜇, 𝜎),dimana 𝜇 < 𝑥 < 𝜇 − 𝜎/𝜉,

dinyatakan sebagai berikut,

𝐸(𝑥2) = ∫𝑥2 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝐸(𝑥2) = ∫ 𝑥2 1

𝜎(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)−1−

1𝜉

𝜇−𝜎𝜉

𝜇

𝑑𝑥

dengan menggunakan integral parsial


Misalkan:

𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑣 =1

𝜎(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)−1−

1𝜉

𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = −(1 + 𝜉𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉

𝐸(𝑥2) = [𝑥2 (−(1 + 𝜉𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉)]𝜇 −

𝜎𝜉

𝜇− ∫ −(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉2 𝑥 𝑑𝑥

𝜇−𝜎𝜉

𝜇

𝐸(𝑥2) = [−𝑥2 (1 + 𝜉𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉]𝜇 −

𝜎𝜉

𝜇+ ∫ 2𝑥 (1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇


𝜇−𝜎𝜉

𝜇

dengan menggunakan integral parsial,


12

Misalkan:

𝑢 = 2 𝑥 𝑑𝑣 = (1 + 𝜉𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉

𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 𝑣 =𝜎

𝜉 − 1(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)1−1𝜉

𝐸(𝑥2) = [−𝑥2 (1 + 𝜉𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉]𝜇 −

𝜎𝜉

𝜇+ [2𝑥

𝜎

𝜉 − 1(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)1−1𝜉]𝜇 −

𝜎𝜉

𝜇

− ∫𝜎

𝜉 − 1(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)1−1𝜉

𝜇−𝜎𝜉

𝜇

2 𝑑𝑥

𝐸(𝑥2) = [−𝑥2 (1 + 𝜉𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉]𝜇 −

𝜎𝜉

𝜇+ [2𝑥

𝜎

𝜉 − 1(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)1−1𝜉]𝜇 −

𝜎𝜉

𝜇

− [2𝜎2

(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)

2−1𝜉

]𝜇 −

𝜎𝜉

𝜇

𝐸(𝑥2) =

[

(

−(𝜇 −

𝜎

𝜉)2

(1 + 𝜉(𝜇 −

𝜎𝜉) − 𝜇

𝜎)

−1𝜉

)

− (−(𝜇)2 (1 + 𝜉(𝜇) − 𝜇

𝜎)

−1𝜉

)

]

+

[

(

2(𝜇 −

𝜎

𝜉)

𝜎

𝜉 − 1(1 + 𝜉

(𝜇 −𝜎𝜉) − 𝜇

𝜎)

1−1𝜉

)

− (2(𝜇)𝜎

𝜉 − 1(1 + 𝜉

(𝜇) − 𝜇

𝜎)

1−1𝜉

)

]

13

−

[

2𝜎2

(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)

(

(1 + 𝜉

(𝜇 −𝜎𝜉) − 𝜇

𝜎)

2−1𝜉

− (1 + 𝜉(𝜇) − 𝜇

𝜎)

2−1𝜉

)

]

𝐸(𝑥2) = [(− (𝜇 −𝜎

𝜉)2

(1 + (−1))−1𝜉) − (−(𝜇)2(1 + (0))

−1𝜉)]

+ [(2 (𝜇 −𝜎

𝜉)

𝜎

𝜉 − 1(1 + (−1))

1−1𝜉)

− (2(𝜇)𝜎

𝜉 − 1(1 + (0))

1−1𝜉)]

− [2𝜎2

(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)((1 + (−1))

2−1𝜉 − (1 + (0))

2−1𝜉)]

𝐸(𝑥2) = [(− (𝜇 −𝜎

𝜉)2

(0)−1𝜉) − (−(𝜇)2(1)

−1𝜉)]

+ [(2 (𝜇 −𝜎

𝜉)

𝜎

𝜉 − 1(0)

1−1𝜉) − (2(𝜇)

𝜎

𝜉 − 1(1)

1−1𝜉)]

− [2𝜎2

(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)((0)

2−1𝜉 − (1)

2−1𝜉)]

𝐸(𝑥2) = 𝜇2 +2𝜇𝜎

1 − 𝜉+

2𝜎2

(1 − 𝜉)(1 − 2𝜉)

𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − (𝐸(𝑥)2)

𝑉𝑎𝑟(𝑥) = (𝜇2 +2𝜇𝜎

1 − 𝜉+

2𝜎2

(1 − 𝜉)(1 − 2𝜉)) − ( 𝜇 +

𝜎

1 − 𝜉)2

𝑉𝑎𝑟(𝑥) = (𝜇2 +2𝜇𝜎

1 − 𝜉+

2𝜎2

(1 − 𝜉)(1 − 2𝜉)) − (𝜇2 +

2𝜇𝜎

1 − 𝜉+

𝜎2

(1 − 𝜉)2)

𝑉𝑎𝑟(𝑥) =2𝜎2

(1 − 𝜉)(1 − 2𝜉)−

𝜎2

(1 − 𝜉)2

𝑉𝑎𝑟(𝑥) =2𝜎2(1 − 𝜉)

(1 − 𝜉)2(1 − 2𝜉)−

𝜎2(1 − 2𝜉)

(1 − 𝜉)2(1 − 2𝜉)

14

𝑉𝑎𝑟(𝑥) =2𝜎2 − 2𝜎2𝜉 − 𝜎2 + 2𝜎2𝜉

(1 − 𝜉)2(1 − 2𝜉)

𝑉𝑎𝑟(𝑥) =𝜎2

(1 − 𝜉)2(1 − 2𝜉)

Jadi varians dari distribusi GP adalah

𝑉𝑎𝑟(𝑥) =𝜎2

(1 − 𝜉)2(1 − 2𝜉) (2.6)

2.2.5. Fungsi Pembangkit Momen Distribusi GP

Teorema 2.3.

Misalkan X adalah variabel acak, maka fungsi pembangkit momen dari distribusi x

dinyatakan dengan,

𝑀𝑥(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑥) = ∫𝑒𝑡𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Varians dari distribusi GP dengan parameter (𝜉, 𝜇, 𝜎),dimana 𝜇 < 𝑥 < 𝜇 − 𝜎/𝜉,

dinyatakan sebagai berikut,

𝑀𝑥(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑥) = ∫𝑒𝑡𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑀𝑥(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑥) = ∫ 𝑒𝑡𝑥

1

𝜎(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)−1−

1𝜉

𝜇−𝜎𝜉

𝜇

𝑑𝑥



Misalkan:

𝑢 = 𝑒𝑡𝑥 𝑑𝑣 =1

𝜎(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)−1−

1𝜉𝑑𝑥

𝑑𝑢 = 𝑡𝑒𝑡𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = −(1 + 𝜉𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉

15

𝑀𝑥(𝑡) = [𝑒𝑡𝑥 (−(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉)]𝜇 −

𝜎𝜉

𝜇− ∫ −(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉

𝜇−𝜎𝜉

𝜇

𝑡𝑒𝑡𝑥 𝑑𝑥

𝑀𝑥(𝑡) =

[

(

−𝑒

𝑡(𝜇−𝜎𝜉)(1 + 𝜉

(𝜇 −𝜎𝜉) − 𝜇

𝜎)

−1𝜉

)

+ (𝑒𝑡(𝜇) (1 + 𝜉

(𝜇) − 𝜇

𝜎)

−1𝜉

)

]

+ ∫ 𝑡𝑒𝑡𝑥 (1 + 𝜉𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉

𝜇−𝜎𝜉

𝜇

𝑑𝑥

𝑀𝑥(𝑡) = [(−𝑒𝑡(𝜇−

𝜎𝜉)(1 + (−1))

−1𝜉) + (𝑒𝑡(𝜇)(1 + (0))

−1𝜉)]

+ ∫ 𝑡𝑒𝑡𝑥 (1 + 𝜉𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉

𝜇−𝜎𝜉

𝜇

𝑑𝑥

𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 + ∫ 𝑡𝑒𝑡𝑥 (1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)−1𝜉

𝜇−𝜎𝜉

𝜇

𝑑𝑥



Misalkan:

𝑢 = 𝑡𝑒𝑡𝑥 𝑑𝑣 = (1 + 𝜉𝑥 − 𝜇


𝑑𝑢 = 𝑡2𝑒𝑡𝑥 𝑑𝑥 𝑣 =𝜎

𝜉 − 1(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)1−1𝜉

𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 + [𝑡𝑒𝑡𝑥

𝜎

𝜉 − 1(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)1−1𝜉]𝜇 −

𝜎𝜉

𝜇

− ∫𝜎

𝜉 − 1(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)1−1𝜉 𝑡2𝑒𝑡𝑥

𝜇−𝜎𝜉

𝜇

𝑑𝑥

16

𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 +𝜎

𝜉 − 1

[

(

𝑡𝑒𝑡(𝜇−

𝜎𝜉)(1 + 𝜉

(𝜇 −𝜎𝜉) − 𝜇

𝜎)

1−1𝜉

)

− (𝑡𝑒𝑡(𝜇) (1 + 𝜉(𝜇) − 𝜇

𝜎)

1−1𝜉

)

]

− ∫𝜎

𝜉 − 1(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇


𝜇−𝜎𝜉

𝜇

𝑑𝑥

𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 +

𝜎

𝜉 − 1[(𝑡𝑒

𝑡(𝜇−𝜎𝜉)(1 + (−1))

1−1𝜉) − (𝑒𝑡(𝜇)(1 + (0))

1−1𝜉)]

− ∫𝜎

𝜉 − 1(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇


𝜇−𝜎𝜉

𝜇

𝑑𝑥

𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 − 𝑒𝑡𝜇

𝑡𝜎

𝜉 − 1− ∫ 𝑡2𝑒𝑡𝑥

𝜎

𝜉 − 1(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)1−1𝜉

𝜇−𝜎𝜉

𝜇

𝑑𝑥

𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 + 𝑒𝑡𝜇

𝑡𝜎

1 − 𝜉− ∫ 𝑡2𝑒𝑡𝑥

𝜎

𝜉 − 1(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)1−1𝜉

𝜇−𝜎𝜉

𝜇

𝑑𝑥

dengan integral parsial


Misalkan:

𝑢 = 𝑡2𝑒𝑡𝑥 𝑑𝑣 =𝜎

𝜉 − 1(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)1−1𝜉𝑑𝑥

𝑑𝑢 = 𝑡3𝑒𝑡𝑥 𝑑𝑥 𝑣 =𝜎2

(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)

2−1𝜉

17


𝑡𝜎

1 − 𝜉− [𝑡2𝑒𝑡𝑥

𝜎2

(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)

2−1𝜉

]𝜇 −

𝜎𝜉

𝜇

+ ∫𝜎2

(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)

2−1𝜉

𝑡3𝑒𝑡𝑥𝜇−

𝜎𝜉

𝜇

𝑑𝑥


𝑡𝜎

1 − 𝜉

−𝜎2

(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)

[

𝑡2𝑒𝑡(𝜇−

𝜎𝜉)(1 + 𝜉

(𝜇 −𝜎𝜉) − 𝜇

𝜎)

2−1𝜉

− (𝑡2𝑒𝑡(𝜇) (1 + 𝜉(𝜇) − 𝜇

𝜎)

2−1𝜉

)

]

+ ∫𝜎2

(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)

2−1𝜉


𝜎𝜉

𝜇

𝑑𝑥

𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 + 𝑒𝑡𝜇𝑡𝜎

1 − 𝜉

−𝜎2

(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)[𝑡2𝑒

𝑡(𝜇−𝜎𝜉)(1 + (−1))

2−1𝜉

− (𝑡2𝑒𝑡(𝜇)(1 + (0))2−1𝜉)]

+ ∫𝜎2

(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)

2−1𝜉


𝜎𝜉

𝜇

𝑑𝑥

𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 + 𝑒𝑡𝜇𝑡𝜎

1 − 𝜉−

𝜎2

(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)(−𝑡2𝑒𝑡𝜇 )

+ ∫𝜎2

(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)(1 + 𝜉

𝑥 − 𝜇

𝜎)

2−1𝜉


𝜎𝜉

𝜇

𝑑𝑥

18


𝑡𝜎

1 − 𝜉+ 𝑒𝑡𝜇

𝑡2𝜎2

(1 − 𝜉)(1 − 2𝜉)+ ⋯

𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 (1 +

𝑡𝜎

1 − 𝜉+

𝑡2𝜎2

(1 − 𝜉)(1 − 2𝜉)+ ⋯)

𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇∑[

(𝑡𝜎)𝑗

∏ (1 − 𝑘𝜉)𝑗𝑘=0

]

∞

𝑗=0

(2.7)

2.3.Metode Pendugaan

Metode pendugaan parameter yang digunakan pada penelitian ini adalah

probability weighted moments (PWM) dan generalized probability weighted

moments (GPWM).

2.3.1. Probability Weighted Moment

Metode PWM pertama kali diperkenalkan oleh Greenwood (1979) yang

menawarkan solusi alternatif dari pendugaan MLE. Penggunaan metode PWM

untuk mengatasi masalah yang muncul ketika menurunnya keakuratan dari metode

MLE pada pendugaan parameter dengan sampel yang sedikit. Berdasarkan

beberapa kelemahan tersebut, maka metode PWM dapat digunakan dalam menduga

parameter dari distribusi GP. PWM telah digunakan secara luas dalam hidrologi

khususnya untuk pendugaan parameter dari distribusi kejadian banjir (Rasmussen,

2001). Fungsi PWM dari variabel acak X didefinisikan sebagai berikut,

𝑀𝑞,𝑟,𝑠 = 𝐸[𝑋𝑞𝐹𝑟(1 − 𝐹)𝑠] = ∫ [𝑥(𝐹)]𝑞𝐹𝑟(1 − 𝐹)𝑠𝑑𝐹1

0

(2.8)

dalam hal ini q, r, dan s merupakan bilangan real.

19

Pada prakteknya Hosking (1986) telah menentukan bawha q=1, dan r dan s adalah

non-negative integers yang dipilih sekecil mungkin. Hosking (1986)

mendifinisikan 𝛼𝑠 dan 𝛽𝑠 sebagai,

𝛼𝑠 = 𝑀1,0,𝑠 = 𝐸{𝑋[1 − 𝐹(𝑋)]𝑠}, 𝑠 = 0,1,…, (2.9)

𝛽𝑠 = 𝑀1,𝑠,0 = 𝐸{𝑋[𝐹(𝑋)]𝑠}, 𝑠 = 0,1, …, (2.10)

Pada distribusi GP, Hosking dan Wallis (1987) pendugaan parameter dengan

metode PWM dinyatakan dengan,

𝛼𝑠 = 𝑀1,0,𝑠 = 𝐸[𝑋{1 − 𝐹(𝑋)}𝑠] =�̃�

[(𝑠 + 1)(𝑠 + 1 − 𝜉)] (2.11)

dengan 𝜉 < 1. Parameter GP yang dinyatakan dengan PWM adalah,

�̃� =2𝛼0𝛼1𝛼0 − 2𝛼1

(2.12)

dan

𝜉 = 2 −𝛼0

𝛼0 − 2𝛼1 (2.13)

Metode PWM menyatukan estimasi dari 𝛼0 dan 𝛼1 dalam persamaan (2.12) dan

(2.13) untuk menduga parameter GP.

2.3.2. Generalized Probability Weighted Moment

Metode pendugaan dengan GPWM pertama kali digunakan oleh Rasmussen

(2001). Pendugaan ini merupakan pengembangan dari pendugaan PWM yang ada

untuk mengatasi masalah pada pendugaan parameter dengan metode PWM. Pada

metode PWM nilai parameter bentuk atau 𝜉 ≤ −1 (Zhang, 2010). Rasumessen

(2001) merumuskan GPWM,

20

𝑀1,𝑢,𝑣 = 𝐸[𝑔(𝑋)𝐹𝑢(1 − 𝐹)𝑣] (2.14)

= ∫ 𝑔(𝑥(𝐹))𝐹𝑢(1 − 𝐹)𝑣𝑑𝐹1

0

(2.15)

dimana 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑝, dimana 𝑝 adalah bilangan kecil nonnegative, serta 𝑢 dan 𝑣

adalah bilangan real. Pendugaan parameter distribusi GP-2 parameter dengan

metode PWM mendapatkan (Rasmussen, 2001),

𝑀1,𝑢,𝑣 =𝜎

𝜉[𝐵(𝑢 + 1, 𝑣 + 1) − 𝐵(𝑢 + 1, 𝑠 + 1 + 𝜉)] (2.16)

2.4.Karakteristik Penduga

Untuk mengetahui karakeritsik penduga dengan menggunakan metode MLE dan

PWM dari distribusi GP, maka harus memenuhi sifat-sifat penduga yang baik yaitu:

2.4.1. Ketakbiasan

Salah satu sifat yang harus dimiliki oleh suatu penduga parameter dari suatu

distribusi adalah sifat ketakbiasan dari penduga tersebut.

Definisi 2.3

Misalkan penduga 𝜃 dikatakan penduga tak bias bagi 𝜃 bila,

𝐸(𝜃) = 𝜃 (2.17)

dan bias dari suatu penduga didefinisikan dengan,

𝑏 = 𝐸(𝜃) − 𝜃 (2.18)

Suatu parameter dikatakan tak bias jika bias bernilai nol. Jika bias bernilai nol pada

𝑛 → ∞, maka disebut sebagai tak bias asimptotik. (Hogg and Craig, 1995)

21

2.4.2. Varians Minumum

Selain memiliki sifat tak bias, karakter penduga yang baik juga dilihat dari sifat

varians minimum.

Definisi 2.4

Misalkan 𝑈1(X) adalah penduga tak bias dari 𝑔(𝜃), maka untuk sembarang

penduga tak bias 𝑈1(X) bagi 𝑔(𝜃) disebut penduga varians minimum jika

𝑉𝑎𝑟(𝑈(𝑋)) ≤ 𝑉𝑎𝑟(𝑈1(X)) untuk setiap 𝜃 ∈ Ω, dimana

𝑉𝑎𝑟(𝑈1(X)) ≥

(𝜕𝜕𝜃𝑔(𝜃))

2

𝑛. 𝐸 [𝜕𝜕𝜃 ln 𝑓

(𝑋; 𝜃)]2 (2.19)

(Hogg and Craig, 1995)

Dalam menentukan penduga varians minimum, berikut adalah beberapa definisi

yang berkaitan dengan varians minimum yakni:

2.4.2.1.Informasi Fisher

Definisi 2.5

Misalkan X adalah variabel acak dengan fungsi kepekatan peluang 𝑓~(𝑥, 𝜃), 𝜃 ∈

Ω, information fisher dinotasikan dengan 𝐼(𝜃), dimana:

𝐼(𝜃) = 𝐸 [(𝜕 ln 𝑓(𝑥; 𝜃)

𝜕𝜃)

2

] (2.20)

atau

𝐼(𝜃) = −𝐸 [𝜕2 ln 𝑓(𝑥; 𝜃)

𝜕𝜃2] (2.21)

22

2.4.2.2.Matriks Informasi Fisher

Defisini 2.6

Misalkan sampel acak 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 dari suatu distribusi dengan fungsi kepekatan

𝑓(𝑥; 𝜃1; 𝜃2), 𝜃1; 𝜃2 ∈ Ω dalam suatu kondisi. Tanpa memperkahitan kondisi secara

rinci, misalkan suatu ruang dari X dimana 𝑓(𝑥; 𝜃1; 𝜃2) > 0 yang tidak meliputi 𝜃1

dan 𝜃2 dapat diturunkan dibawah integralnya. Sehingga matriks informasi fisher

sebagai berikut:

𝐼𝑛 =

[ 𝐸 [

𝜕2 ln 𝑓(𝑥; 𝜃1; 𝜃2)

𝜕𝜃12 ] 𝐸 [

𝜕2 ln 𝑓(𝑥; 𝜃1; 𝜃2)

𝜕𝜃1𝜕𝜃2]

𝐸 [𝜕2 ln 𝑓(𝑥; 𝜃1; 𝜃2)

𝜕𝜃1𝜕𝜃2] 𝐸 [

𝜕2 ln 𝑓(𝑥; 𝜃1; 𝜃2)

𝜕𝜃22 ]

]

(2.22)

2.4.2.3.Cramer-Rao Lower Bound (CRLB)

Definisi 2.7.

Pertidaksamaan Cramer-Rao Lower Bound didefinisikan sebagai berikut

𝜎𝑌2 ≥

[𝑘′(𝜃)]2

𝑛𝐸 [(𝜕 ln 𝑓(𝑥; 𝜃)

𝜕𝜃)2

]

=[𝑘′(𝜃)]2

𝑛𝐼(𝜃) (2.23)

Jika 𝑌 = 𝑈(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) adalah penduga tak bias dari 𝜃, maka 𝑘(𝜃) = 𝜃,

mengakibatkan pertidaksamaan Cramer-Rao Lower Bound adalah sebagai berikut:

𝜎𝑌2 ≥

1

𝑛𝐼(𝜃) (2.24)

2.4.3. Konsistensi

Sifat lain yang harus dimiliki oleh suatu penduga selain tak bias dan varians

minumin adalah sifat kekonsistenan dari penduga tersebut, dimana saat ukuran

23

sampel semakin besar maka penduga tersebut akan semakin mendekati parameter

populasi sesungguhnya.

Definisi 2.8

𝑈(𝑋) dikatakan sebagai penduga yang konsisten bagi 𝑔(𝜃) jika 𝑈(𝑋) → 𝑔(𝜃)

untuk 𝑛 → ∞, ∀𝜃 ∈ Ω, yaitu bila:

lim𝑛→∞

𝑃{|𝑈(𝑋) − 𝑔(𝜃)| ≥ 𝜀} = 0 (2.25)

atau

lim𝑛→∞

𝑃{|𝑈(𝑋) − 𝑔(𝜃)| < 𝜀} = 1 (2.26)

Teorema 2.1 (Chebyshev’s Inequality)

Misalkan X variable acak dengan rata-rata 𝜇 dan varians 𝜎2. Untuk ∀𝜀 > 0,

𝑃{|𝑋 − 𝜇| < 𝜀} ≥ 1 −𝜎2

𝜀2 (2.27)

atau

𝑃{|𝑋 − 𝜇| < 𝜀} <𝜎2

𝜀2 (2.28)

(Larsen dan Marx, 2012)

Teorema 2.2

Jika 𝑈(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) merupakan rangkaian dari penduga suatu parameter 𝜃,

berlaku:

• lim𝑛→∞

𝑉𝑎𝑟𝑈(𝑋) = 0

• lim𝑛→∞

𝐵𝑖𝑎𝑠 𝑈(𝑋) = 0

24

Untuk ∀𝜃 ∈ Θ, 𝑈(𝑋) merupakan rangkaian penduga konsisten dari suatu parameter

𝜃.

(Casella dan Berger, 2002)

2.5. Simulasi Monte Carlo

Simulasi Monte Carlo adalah simulasi yang sering digunakan dalam statistik.

Simulasi ini digunakan baik dalam teknik, sains lingkungan, bahkan dalam

mensimulasikan pergerakan saham. Simulasi menggunakan bilangan seragam dari

distribusi uniform dengan rentang kontinyu antara 0 hingga 1. Variabel seragam

lalu akan ditransformasikan menjadi variabel acak yang berdasarkan pada distribusi

tertentu. Terdapat beberapa metode untuk melakukan transformasi, salah satunya

dengan metode transformasi invers,

𝑥𝑖 = 𝐹𝑋𝑖−1(𝑧𝑖), 𝑖 = 1,2, . . , 𝑁 (2. .29)

dimana 𝐹𝑋𝑖−1 adalah invers dari fungsi kepekatan peluang variabel acak 𝑋𝑖 (Gentle,

2004).

Sebuah simulasi didesain untuk mendapatkan pendugaan parameter yang presisi

terhadap pendugaan dengan GPWM. Pendugaan GPWM menggunakan pendugaan

posisi ploting dari 𝐹(𝑥). Secara spesifik pendugaan dirumuskan,

�̂�(𝑥(𝑖)) = 𝑝𝑖 =𝑖 − 0.35

𝑛 (2.30)

digunakan oleh Hosking dan Wallis (1986). Pemilihan yang spesifik dari

pendugaan GPWM harus memiliki pengaruh yang relatif kecil dengan hasilnya.

Pada rumus (2.27), 𝑥(𝑖) dinyatakan dengan orde ke-i dari sampel, 𝑥(1) ≤ 𝑥(2) ≤

⋯ ≤ 𝑥(𝑛). GPWM 𝑀1,𝑢,𝑣 dapat diduga dengan persamaan berikut,

25

�̂�1,𝑢,𝑣 =∑𝑥(𝑖)𝑝𝑖𝑢(1 − 𝑝𝑖)

𝑣

𝑛

𝑖=1

(2.31)

(Rasmussen, 2001)

Alur dalam simulasi monte carlo dapat dilihat pada Gambar 1.

Langkah 1: Pengsampelan dari variabel acak

Pembangkitan sampel dari variabel acak

Langkah 2: Pencobaan numerik

Mengevaluasi performa fungsi

Langkah 3: Analisis Statistik pada keluaran model

Mengekstrak informasi probabilistik

Analisis Model

𝑌 = 𝑔(𝑋)

Sampel dari

variabel input

Sampel dari

variabel output

Karakteristik probabilitas

dari variabel output

Distribusi

dari variabel

input

Gambar 1. Simulasi Monte Carlo

III. METODE PENELITIAN

3.1.Metode Penelitian

Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah studi pustaka dengan mengkaji

berbagai literatur, buku-buku penunjang, thesis dan jurnal yang berkaitan dengan

thesis ini yang kemudian akan diaplikasikan terhadap data curah hujan harian di

Bandar Lampung. Adapun langkah-langkah yang akan dilakukan dalam penelitian

ini adalah sebagai berikut:

1. Membuat grafik distribusi GP dengan nilai parameter yang berubah

menggunakan software R versi 3.5.1

2. Mencari fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari distribusi GP

3. Mencari invers dari distribusi GP

4. Mencari bentuk momen ke-r atau fungsi GPWM

5. Mencari penduga parameter (𝜎, 𝜇, 𝜉 ≠ 0) dari distribusi GP dengan

menggunakan metode GPWM

a. Secara Analitik

b. Secara numerik menggunakan software R versi 3.5.1

6. Memeriksa sifat ketakbiasan penduga parameter (𝜎, 𝜇, 𝜉 ≠ 0) dari distribusi

GP

7. Memeriksa sifat varians minimum penduga paramter (𝜎, 𝜇, 𝜉 ≠ 0) dari

distribusi GP

27

a. Mencari matriks Informasi Fisher dari penduga pada distribusi GP

b. Mencari invers matriks Informasi Fisher dari penduga pada distribusi

GP

c. Menentukan pertidaksamaan Cramer-Rao untuk ragam dari penduga

pada distribusi GP

8. Memeriksa sifat kekonsistenan penduga pada distribusi GP

9. Melakukan simulasi Monte Carlo untuk mendapatkan pendugaan parameter

secara numerik

10. Membandingkan karakteristik pendugaan GPWM dengan PWM

11. Melakukan pengaplikasian terhadap curah hujan harian di Provinsi

Lampung

3.2. Simulasi Data

Simulasi data dilakukan untuk mengkaji karakteristik parameter penduga dari

pendugaan GPWM. Simulasi akan dilakukan untuk nilai 𝑣1, 𝑣2, dan 𝑣3 yang

berbeda-beda. Simulasi yang akan dilakukan dalam penelitian ini dengan metode

Monte Carlo adalah sebagai berikut:

1. Membangkitkan sampel acak berukuran n=100




Pembangkitan sampel untuk semua ukuran sampel di atas dilakukan simulasi

masing-masing sebanyak N=100 kali.

28

3.3.Penerapan Pada Data Curah Hujan

Skenario pengaplikasian yang akan dilakukan dengan menggunakan data hujan

harian yang didapatkan dari BMKG Lampung. Skenario akan dilakukan dengan

menggunakan data intensitas hujan harian selama 21 tahun (1998 – 2018) yang akan

dikatagorikan berdasarkan musim,

1. Musim hujan (Desember, Januari, dan Pebruari) dengan n = 1895

2. Musim pancaroba I (Maret, April, dan Mei) dengan n = 1932

3. Musim kemarau (Juni, Juli, dan Agustus) dengan n = 1932

4. Musim pancaroba II (September, Oktober, dan Nopember) dengan n = 1911

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1. Kesimpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

1. Perubahan nilai parameter, mempengaruhi bentuk dari grafik fungsi

kepekatan peluang dari distribusi Generalized Pareto yang meliputi

perubahan kelandaian, kecuraman grafik, dan perubahan titik ekstrim dari

grafik.

2. Pamater penduga dari distbusi Generalized Pareto dengan metode

Generalized Probability Weighted Moment yaitu,

𝜇 =𝛼𝑣2

(𝑣2 + 1)2 − 𝜉𝛼𝑣2(𝑣2 + 1) − 𝛼𝑣3

(𝑣3 + 1)2 + 𝜉𝛼𝑣3(𝑣3 + 1)

𝑣2 − 𝑣3

𝜎 =(𝛼𝑣1

(𝑣1 + 1) − 𝛼𝑣2(𝑣2 + 1)) (𝑣1 − 𝜉 + 1)(𝑣2 − 𝜉 + 1)

𝑣2 − 𝑣1

𝜉 =𝛼𝑣1

(𝑣1 + 1)2(𝑣3 − 𝑣2) + 𝛼𝑣2(𝑣2 + 1)2(𝑣1 − 𝑣2)(𝑣1 − 𝑣3) + 𝛼𝑣3

(𝑣3 + 1)2(𝑣2 − 𝑣1)

𝛼𝑣1(𝑣1 + 1)(𝑣3 − 𝑣2) + 𝛼𝑣2

(𝑣2 + 1)(𝑣1 − 𝑣3) + 𝛼𝑣3(𝑣3 + 1)(𝑣2 − 𝑣1)

3. Hasil simulasi menunjukkan pada nilai v berapapun penduga parameter

pada distribusi generalized Pareto – 3 parameter yang telah diperoleh

dengan menggunakan metode GPWM, merupakan penduga yang baik

karena memenuhi sifat tak bias, varians minimum dan konsisten.

82

4. Hasil tes KS menunjukkan bahwa 𝑣1 = 0, 𝑣2 = 3, dan 𝑣3 = 4 memiliki

kecocokan yang tinggi pada musim apapun.

5. Probabilitas intensitas curah hujan sebagai berikut,

5.2. Saran

Penelitian ini hanya dibatasi pada pendugaan parameter distribusi GP dengan

metode GPWM, serta dipalikasikan terhadap data intensitas curah hujan untuk

menghitung probabilitasnya. Pada penelitian selanjutnya aplikasi distribusi GP

dapat digunakan untuk mengetahui penentuan batas hujan ekstrim, bahkan

mengidentifikasi terjadinya perubahan iklim.

Tabel 17. Probabilitas intensitas curah hujan harian

Musim P (hujan) 0-5 5-20 20-50 50-100 > 100

Hujan 0.842 0.621 0.166 0.036 0.011 0.008

Pancaroba I 0.817 0.73 0.067 0.013 0.004 0.003

Kemarau 0.765 0.744 0.016 0.003 0.001 0.001

Pancaroba II 0.787 0.754 0.025 0.005 0.002 0.001

DAFTAR PUSTAKA

Acero, F.J., Garcia, J.A., dan Gallego, M.C. 2011. Peaks over Threshold Study of

Trends In Extreme Rainfall over the Iberian Peninsula. Journal of Climate.

DOI: 10.1175

Alam, M.A., Emura, K., Farnham, C., dan Yuan, J. 2018. Best-Fit Probability

Distributions and Return Periods for Maximum Monthly Rainfall in

Bangladesh. Climate 6 (9); doi:10.3390

Bartlow, M., Nigam, S., dan Berbery E. H. ENSO. 2001. Pasific decadal variability,

and US summertime precipiation, drough, and streamflow. J.Climate, 14,

2105-2128

Cassella, G., dan Berger, R.L. 2002. Statistical Inference. Thomson Learning Inc,

USA

Chaouche, A., dan Bacro, J.N. 2004. A statistical test procedure for the shape

parameter of generalized Pareto distribution. Computational Statistics and

Data Analysis Vol.45:787-803

Chen, Haiqing., Cheng, Weihu., Zhao, Jing., dan Zhao, Xu. 2016. Parameter

Estimation for Generalized Pareto Distribution by Generalized Probability

Weighted Moment-Equations. Communications in Statistics - Simulation

and Computation. 46. 10.1080/03610918.2016.1249884.

Dai, A.G., Trenberth, K.E., dan Qian T.T. 2011. Drought under global warning: a

review. Wiley Inter dic Rev. Climate Change, 2, 45-65

Fatichi, S., dan Ivanov, V. 2013. Interannual variability of evapotranspiration and

vegetation productivity. Water Resour Res, 50, 3275-3294, doi:10.1002.

84

Gentle, J. E. (2004). Random Number Generation and Monte Carlo Methods.

Springer. ISBN: 0387001786

Greenwood, J.A., Landwehr, J.M., Matalas, N.C., dan Wallis, J.R.M.. (1979).

Probability Weighted Moments: Definition and Relation to Parameters of

Several Distributions Expressable in Inverse Form. Water Resources

Research. 1049-1054. 10.1029/WR015i005p01049.

Higgins, R.W., Chen, Y., dan Douglas A.V. Interannual variability of the North

American warm season precipitation regime. Journal of Climate, 12, 653-

680. 1999.

Hogg, R.V., dan Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics.

Prentice-Hall Inc, New Jersey

Hosking, J. R. M., dan J. R. Wallis. 1986. The Value of Historical Data in Flood

Frequency Analysis, Water Resour. Res., 22(11), 1606–1612, doi:

10.1029/WR022i011p01606.

Hosking, J.R.M., dan Wallis, J.R. 1987. Parameter and Quantile Estimation for the

Generalized Pareto Distribution. Technometrics Vol.29, No.3

Husler, J., Li, D., dan Raschke, M. 2011. Estimation for the Generalized Pareto

Distribution Using Maximum Likelihood and Goodness of Fit.

Comunications in Statistics-Theory and Methods, Vol 40:2500:2510

Jenkinson, A.F. 1955. The frequency distribution of the annual maximum (or

minimum) values of meteorological elements. Quarterly Journal of the

Royal Meteorological Society 81: 158-171

Larsen, R.J., dan Marx, M.L. 2012. An Introduction to Mathematical Statistics and

Its Applications. Pearson Education Inc, USA

85

Lee, H.S. 2015. General Rainall Patterns in Indonesia and the Potential Impact of

Local Seas on Rainfall Intensity. Water, 7, 1751-1768.

Li, Z., Li, C., Xu Z., dan Zhou, X. 2013. Frequency analysis of precipitation

extremes in Heihe River basin based on generalized Pareto distribution.

Springer-Verlag Berlin Heidelberg. DOI: 10.1007

Marzuki, Hashiguch, H., Shimomai, T., dan Randeu, W.L. 2016. Cumulative

Distributons of Rainfall Rate over Sumatra. Progress in Electromagnetics

Research M, Vol.49. 1-8

Meier, CL., Moraga, JS., Pranzini, G., dan Molnar P. 2016. Describing the

interanual variability of precipitation with the derived distribution approach:

effects of record length and resolution. Hydrology and Earth System

Science, 20, 4177-4190, 2016.

Nadarajah, S. 2008. Generalized Pareto models with application to drought data.

Environmetrics Vol. 19:395-408

Oguntunde, P.E., Odetunmibi, O.A., dan Adejumo, A.O. 2014. A study of

probability models in monitoring enviromental pollution in Nigeria. Journal

of Probability and Statistics.Doi: 10.1155. 2014

Pahlevi, A.R., dan Warsono. 2018. Kajian Best-Fit Distribusi Probabilitas Untuk

Hujan Harian dan Aplikasinya Dalam Mitigasi Hujan Ekstrim di Pulau

Sumatera. Prosiding Seminar Narional Metode Kuantitatif. Universitas

Lampung

Pahlevi, A.R., dan Wulandari, H.S. 2017. Variabilitas Cuaca di Provinsi Lampung

Saat Terjadinya Seruakan Dingin (Cold Surge). Buletin Meteo Ngurah Rai

Vol 3 No 1

86

Pahlevi, A.R., dan Zulfiani, A. 2018. Study of interaction between sea breeze and

monsoon in Teluk Lampung. Prosiding IABI: 2018

Pickands, J. 1975. Statistical Inferences Using Extreme Order Statistics. The Annlas

of Statistics, Vol.3, No.1

Raja, T.A., dan Mir, A.H. 2013. On Fitting of Generalized Pareto Distribution.

Global Journal of Human Social Science Economics, Vol 13 Issue 2

Rasmussen, P. 2001. Generalized probability weighted moments: Application to

the generalized Pareto Distribution. Water Resources Research - WATER

RESOUR RES. 37. 1745-1752. 10.1029/2001WR900014.

Simiu, E. 2006. Generalized Pareto methods for wind extremes. Useful tool or

mathematical mirage? Journal of Wind Engineering and Industrial

Aerodynamics Vol. 95 pp 133-136

Zhang, J. 2010. Improving on Estimation for the Generalized Pareto Distribution.

Technometrics, 52(3), 335-339. Retrieved from

http://www.jstor.org/stable/27867255

PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED PARETO …digilib.unila.ac.id/59325/3/TESIS TANPA BAB...

Documents

Transcript of PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED PARETO …digilib.unila.ac.id/59325/3/TESIS TANPA BAB...