Modul Metode Numerik
description
Transcript of Modul Metode Numerik
-
METODE NUMERIK
Disusun oleh :
Nama : IBNU SODIK
NIM : 5021902006
Semester : IV
Program Studi : TEKNIK INFORMATIKA
Sekolah Tinggi Teknologi Pondok Modern Sumber Daya At-Taqwa
(STT POMOSDA)
Jl. KH. Wachid Hasyim 312 Tanjunganom Nganjuk Jawa Timur
Kode Pos : 64484, Website : www.stt-pomosda.ac.id
Tahun Ajaran 2020-2021
-
IBNU SODIK
i
Kata Pengantar
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa. Atas rahmat dan hidayah-Nya,
penulis masih dimaukan untuk melanjutkan proses pembelajaran pada jenjang
pendidikan tingkat tinggi di STT POMOSDA dan menyelesaikan pembuatan modul
“Metode Numerik” dengan tepat waktu.
Kedua kalinya sholawat serta salam senantiasa saya haturkan terhadap junjungan
nabi agung nabi Muhammad SAW beserta para penerusnya yang selalu ada
ditengah-tengah kita hingga saat ini.
Modul ini penulis susun dalam rangka pengambilan nilai UTS mata kuliah Metode
Numerik. Selain itu modul ini bertujuan untuk menambah wawasan tentang Metode
Numerik khususnya untuk penulis sendiri dan umumnya bagi para pembaca.
Penulis mengucapkan terimakasih kepada Bapak Sukarni, S.T., M.M selaku dosen
pengajar mata kuliah, yang telah mendampingi proses belajar kami sejak awal
hingga modul ini selesai dibuat. Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada
semua pihak yang telah mendukung dan membantu dalam peroses penuliasan
hingga modul ini selesai.
Penulis menyadari bahwa modul ini masih jauh dari kata sempurna, oleh sebab itu,
kritik dan saran yang bersifat membangun sangat penulis harapkan demi
kesempurnaan modul ini.
Nganjuk, 22 Juni 2021
Penulis
-
IBNU SODIK
ii
Daftar Isi
Kata Pengantar ......................................................................................................... i
Daftar Isi.................................................................................................................. ii
BAB I ...................................................................................................................... 1
PENGANTAR METODE NUMERIK ................................................................... 1
BAB II ..................................................................................................................... 2
ANALISIS GALAT ................................................................................................ 2
2.1 Pengertian Galat ....................................................................................... 2
2.2 Sumber Galat Numerik ............................................................................. 4
2.2.1. Galat Pemotongan ............................................................................. 4
2.2.2. Galat Pembulatan .............................................................................. 5
2.2.2.1. Bilangan Titik Tetap ...................................................................... 6
2.2.2.2. Bilangan Titik Kambang ............................................................... 6
2.2.2.3. Angka Bena ................................................................................... 7
2.2.3. Galat Eksperimental .......................................................................... 7
2.2.4. Galat Pemrograman ........................................................................... 7
2.2.5. Galat Total ......................................................................................... 7
BAB III ................................................................................................................... 8
PERSAMAAN NON LINIER ................................................................................ 8
3.1. Teorema (root) .......................................................................................... 9
3.2. Metode Biseksi ......................................................................................... 9
3.2.1. Sifat Metode Biseksi ....................................................................... 10
3.2.2. Algoritma Metode Biseksi .............................................................. 11
3.2.3. Contoh ............................................................................................. 11
3.3. Metode Regulafalsi ................................................................................. 12
3.3.1. Algoritma Metode Regulafalsi ........................................................ 13
3.3.2. Contoh ............................................................................................. 13
BAB IV ................................................................................................................. 15
PENUTUP ............................................................................................................. 15
-
IBNU SODIK
iii
1. Kesimpulan ................................................................................................ 15
2. Saran ........................................................................................................... 15
Daftar Pustaka ....................................................................................................... 16
-
IBNU SODIK
1
BAB I
PENGANTAR METODE NUMERIK
Metode numerik adalah teknik penyelesaian permasalahan yang diformulasikan
secara matematis dengan cara operasi hitungan. Proses operasi hitungan dilakukan
dalam jumlah banyak dan berulang, sehingga dalam praktiknya perlu bantuan
komputer untuk menyelesaikan penghitungan tersebut. Tanpa komputer metode
numerik tidak banyak memberikan mafaat.
Metode numerik merupakan alat yang ampuh untuk menyelesaikan permasalahan
dalam berbagai bidang. Metode ini mampu menyelasaikan suatu sistim persamaan
yang besar, persamaan yang tidak linier dan persamaan yang kompleks yang tidak
mungkin diselesaikan secara analitis. Metode numerik bisa digunakan dalam
beberapa bidang ilmu, diantaranya :
1. Ilmu teknik
2. Ilmu kedokteran
3. Ilmu sosial
4. Ilmu ekonomi
Berbagai masalah yang ada pada beberapa disiplin ilmu diatas dapat digambarkan
dalam bentuk matematik dari berabagai fenomena yang berpengaruh. Sebagai
contoh gerak air dan polutan di saluran air, sungai, laut, udara dan perambatan
panas, biasanya fenomena tersebut cukup banyak dan sangat kompleks, dan untuk
menyederhanakannya diperlukan sebuah asumsi, sehingga beberapa sebab bisa
diabaikan. Meskipun telah dilakukan penyederhanaan, namun sering persamaan
tersebut tidak bisa diselesaikan secara analitis. Oleh karena itu diperlukan metode
numerik untuk menyelesaikannya.
-
IBNU SODIK
2
BAB II
ANALISIS GALAT
2.1 Pengertian Galat
Galat merupakan perbedaan antara solusi hampiran dengan solusi eksak.
Galat dilambangkan dengan symbol (ε). Terdapat 3 jenis galat yaitu :
1. Galat mutlak : 𝜀 = 𝑎 − ^𝑎
2. Galat relative : ε𝑅 =ℇ
𝑎× 100%
3. Galat relative hampiran : ε𝑅Α =ℇ
^𝑎× 100%
Menganalisis galat sangat penting didalam perhitungan menggunakan
metode numerik. Galat bersosialisasi saat seberapa dekat solusi hampiran
terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi
numerik yang didapatkan. Dalam hal ini kita harus memahami :
1. Bagaimana menghitung galat dan
2. Bagaimana galat itu timbul
Misalkan ^a adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a, maka selisihnya
adalah disebut galat.
ε = a - ^a
-
IBNU SODIK
3
Sebagai contoh :
Diketahui : a = 10/3; ^a = 3,333
Hitunglah :
a. Galat
b. Galat mutlak
c. Galat relative
d. Galat relative hampiran
Peneyelesaian :
a. Galat
ε = a - ^a
ε = 10/3 – 3,333
ε = 10.000/3000 – 9999/3000
ε = 1/3000
ε = 0,000333
b. Galat mutlak
ε = | a - ^a | = 0,000333
c. Galat relative
εR = ℇ/a × 100%
εR = 0,000333 / (10/3) × 100%
εR = 0,01%
d. Galat relative hampiran
εRA = ℇ/^a × 100%
εRA = 0,000333 / 3,333 × 100%
εRA = 1/999
Galat relative hampiran masih mengandung kelemahan, sebab nilai e tetap
membutuhkan pengetahuan nilaia a (dalam praktek kita jarang sekali
mengetahui nilai sejati a).
-
IBNU SODIK
4
Oleh karena itu, perhiungan galat relative hampiran menggunakan
pendekatan lain. Pada perhitungan numerik yang menggunakan pendekatan
leleran (iteration), eRA dihitung dengan cara
ε𝑅𝐴 =𝑎𝑟+1−𝑎𝑟
𝑎𝑟+1
Dimana : ar+1 = nilai hampiran leleran sekarang
ar = nilai hampiran leleran sebelumnya
Proses lelaran dihentikan bila : |𝜀𝑅𝐴| < 𝜀𝑠. Dimana es adalah toleransi
galat yang dispesifikasikan. Nilai es juga menentukan ketelitian solusi
numerik, semakin kecil nilai es semakin teliti solusinya, namun semakin
banyak proses lelerannya.
2.2 Sumber Galat Numerik
Terdapat dua sumber utama penyebab galat dalam perhitungan numerik :
1. Galat pemotongan (truncation error)
2. Galat pembulatan (round-off error)
Selain ke-dua jenis galat diatas, masih ada sumber galat lain, yaitu :
1. Galat eksperimental
2. Galat pemrograman
Perlu diketahui bahwa galat eksperimental dan pemrograman memiliki
kontribusi yang kecil terhadap galat keseluruhan, berbeda dengan galat
pemotongan dan pembulatan yang selalu muncul pada solusi numerik.
Berikut ini merupakan penjelasan dari ke-empat jenis galat :
2.2.1. Galat Pemotongan
Galat pemotongan mengacu pada galat yang ditimbulkan
akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula
eksak. Tipe galat pemotongan bergantung pada metode
-
IBNU SODIK
5
komputasi yang digunakan untuk penghampiran sehingga
kadang-kadaang ia disebut juga galat metode.
Galat yang ditimbulkan dari penghampiran turunan tersebut
merupakan galat pemotongan. Penghentian suatu deret atau
runtunan langkah-langkah komputasi yang tidak berhingga
menjadi runtunan langkah yang berhingga itulah yang
menimbulkan galat pemotongan. Istilah pemotongan muncul
karena banyak metode numeric yang diperoleh dengan
penghampiran fungsi menggunakan deret taylor, karena
deret taylor merupakan deret yang tak terhingga. Oleh karena
itu harus dihentikan pada suku orde tertentu.
Turunan pertama fungsi f di xi dihampiri dengan formula
𝑓′(𝑥𝑖) = 𝑓(𝑥𝑖+ℎ)−𝑓(𝑥𝑖)
ℎ
dimana h merupakan lebar absis xi+1 dengan xi.
2.2.2. Galat Pembulatan
Galat pembulatan muncul karena beberapa hal, diantaranya :
a. Perhitungan dengan metode numerik hamper selalu
menggunakan bilangan nyata
b. Semua bilangan riil tidak dapat disajikan secara tepat
menggunakan aplikasi komputer
c. Keterbatasan komputer dalam mnyajikan bilangan
riil menghasilkan galat yang disebut dengan galat
pembulatan.
Contoh :
1/6 = 0,16666666, dalam hal ini komputer hanya
mampu menuliskan 6 digit angka terakhir sehingga
hasilnya menjadi 0,166667.
Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 = -
0,00000033.
-
IBNU SODIK
6
Secara umum komputer memiliki dua cara penyajian bilangan riil,
yaitu :
2.2.2.1. Bilangan Titik Tetap
Bilangan titik tetap (fixed point) merupakan suatu
bilangan yang dinyatakan dengan sejumlah tetap posisi
desimal di ujung kanan. Sistem bilangan titik tetap tidak
praktis dalam pekerjaan ilmiah karena keterbatasan
rentangnya.
Contoh : 2,000, 25,252, 0,0130.
2.2.2.2. Bilangan Titik Kambang
Bialangan titik kambang (floating point) merupakan suatu
bilangan yang dinyatakan dengan sejumlah tetap angka
bena.
Bilangan titik kambang a ditulis sebagai
𝑎 = ± 𝑚 𝑥 𝑏± 𝑝
Dimana : m = mantis (riil)
b = basis bilangan yang dipakai (2, 8, 10, 16
dsb)
p = pangkat (berupa bilangan bulat positif)
contoh : 0,2521 x 102 atau 2,521E+01
0,10221 x 1010 atau 1,022E+09
Digit – digit dibelakang koma disebut juga dengan angka
bena.
-
IBNU SODIK
7
2.2.2.3. Angka Bena
Angka bena adalah angka bermakna, disebut juga dengan
angka penting atau angka yang dapat digunakan dengan
pasti.
Contoh :
25.201 memiliki 5 angka bena {2, 5, 2, 0, 1}
0,2101 memiliki 4 angka bena {2, 1, 0, 1}
05.052.020 memiliki 7 angka bena {5, 0, 5, 2, 0, 2, 0}
2.2.3. Galat Eksperimental
Galat eksperimental merupakan galat yang timbul dari data
yang diberikan, misalnya karena kesalahan pengukuran,
ketidaktelitian dan sebagainya.
2.2.4. Galat Pemrograman
Galat pemrograman sering terdapat dalam program yang
sering disebut dengan kutu (bug), dan proses
penghilangannya dinamakan penirkutuan (debugging).
2.2.5. Galat Total
Galat total merupakan jumlah galat pemotongan dan galat
pembulatan.
Contoh :
cos(0,2) ≈. 1 − (0,2)2
2 +
(0,2)2
24 ≈ 0,9800667
Galat pemotongan terjadi karena kita menghampiri cos(0,2) s/d suku
orde 4 sedangkan galat pembulatan terjadi karena kita membulatkan
nilai hampiran kedalam 7 digit bena.
-
IBNU SODIK
8
BAB III
PERSAMAAN NON LINIER
Persamaan non linier dapat diartikan sebagai persamaan yang tidak mengandung
syarat seperti persamaan linier, sehingga persamaan non-linier dapat merupakan :
a. Persamaan yang memiliki pangkat selain satu (misal : x2)
b. Persamaan yang mempunyai prosuk dua variable (missal : xy)
Dalam penyelesaian persamaan non-linier diperlukan akar-akar persamaan nob-
linier, dimana akar sebuah persamaan non-linier f (x) = 0 merupakan nilai x yang
menyebabkan nilai f (x) sama dengan nol. Hal ini dapat disimpulkan bahwa akar-
akar penyelesaian persamaan non-linier merupakan titik potong antara kurva f (x)
dengan sumbu x. Untuk lebih jelasnya lihat ilustrasi berikut :
Contoh sederhana dari penentuan akar persamaan non-linier adalah penentuan akar
persamaan kuadratik. Secara analitik penentuan akar kuadratik dapat dilakukan
menggunakan persamaan 𝑥1,2 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎
2𝑎
-
IBNU SODIK
9
Untuk masalah yang lebih rumit, penyelesaian analitik sudah tidak mungkin
dilakukan. Metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah yang
lebih kompleks.
Untuk mengetahui apakah suatu persamaan non-linier memiliki akar-akar
penyelesaian atau tidak, diperlukan analisa menggunakan teorema berikut:
3.1. Teorema (root)
“suatu range x = [a,b] mempunyai akar bila f (a) dan f (b) berlawanan
tanda atau memenuhi f (a). f (b) < 0”
Perhatikan pada ilustrasi dibawah ini :
Pada bab ini kita akan membahas dua metode yakni biseksi dan regulafalsi.
3.2. Metode Biseksi
Prinsip metode biseksi (bagi dua) adalah mengurung akar fungsi pada
interval x = [a,b] atau pada nilai x batas bawah a dan batas atas b.
Selanjutnya interval tersebut terus menerus dibagi 2 hingga sekecil
-
IBNU SODIK
10
mungkin, sehingga nilai hampiran yang dicari dapat ditentukan dengan
tingkat toleransi tertentu.
Untuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi pada gambar dibawah ini.
Metode biseksi merupakan metode yang paling mudah dan paling sederhana
dibanding dengan metode lainnya.
3.2.1. Sifat Metode Biseksi
Sifat metode biseksi antara lain yaitu :
a. Konvergensi lambat
b. Cara penggunaan mudah untuk dipahami
c. Tidak dapat digunakan untuk mencari akar imaginer
d. Hanya dapat mencari satu akar pada satu siklus.
-
IBNU SODIK
11
3.2.2. Algoritma Metode Biseksi
a. Definisikan fungsi f (x)
b. Tentukan rentang untuk x yang berupa batas bawah a dan
batas atas b
c. Tentukan nilai toleransi e dan iterasi maksimum N
d. Hitung f (a) dan f (b)
e. Hitung 𝑥 =𝑎 + 𝑏
2
f. Hitung f (x)
g. Bila f (x). f (a) < 0, maka b = x dan f (b) = f (x). bila tidak,
a = x dan f (a) = f (x)
h. Bila |b – a| < e atau iterasi maksimum maka proses
dihentikan dan didapatkan akar = x, dan bila tidak diulangi
langkah f
i. Jika sudah diperoleh nilai dibawah nilai toleransi, nilai akar
selanjutnya dihitung berdasarkan persamaan sesuai pada
gambar diatas dengan nilai a dan b merupakan nilai baru
yang diperoleh dari proses iterasi.
3.2.3. Contoh
Carilah akar persamaan f (x) = xe-x + 1 pada rentang x = [-1, 0]
dengan nilai toleransi sebesar 10-7!
Jawab :
1) Hitung nilai x menggunakan persamaan sesuai pada
ilustrasi metode biseksi 𝑥 =−1+0
2= −0,5
2) Hitung nilai f (x) dan f (a)
𝑓 (𝑥) = −0,5. 𝑒0,5 + 1 = 0,175639
𝑓 (𝑎) = −1. 𝑒1 + 1 = −1,71828
Berdasarkan perhitungan diperoleh 𝑓 (𝑥). 𝑓 (𝑎) < 0
-
IBNU SODIK
12
Sehingga b = x dan f (b) = f (x). Iterasi dilakukan kembali dengan
menggunakan nilai b tersebut.
Berdasarkan hasil iterasi diperoleh akar persamaan x - -2.980242e
- -8 dan iterasi yang diperlukan untuk memperolehnya sebanyak
24 iterasi.
3.3. Metode Regulafalsi
Metode regulafalsi merupakan metode yang menyerupai metode biseksi,
dimana iterasi dilakukan dengan terus melakukan pembaruan rentang untuk
memperoleh akar persamaan. Hal yang membedakan dengan metode biseksi
adalah pencarian akar didasarkan pada slope (kemiringan) dan selisih tinggi
dari kedua titik rentang. Titik pendekatan disajikan pada persamaan
𝑥 = 𝑓 (𝑏). 𝑎 − 𝑓 (𝑎). 𝑏
𝑓 (𝑏) − 𝑓 (𝑎)
Berikut adalah ilustrasi dari metode regula falsi
-
IBNU SODIK
13
3.3.1. Algoritma Metode Regulafalsi
a) Definisikan fungsi f (x)
b) Tentukan rentang untuk x yang berupa batas bawah a dan
batas atas b
c) Tentukan nilai toleransi e dan iterasi maksimum N
d) Hitung f (a) dan f (b)
e) Untuk iterasi I = 1 s/d N
Hitung nilai x berdasarkan persamaan
𝑥 = 𝑓 (𝑏). 𝑎 − 𝑓 (𝑎). 𝑏
𝑓 (𝑏) − 𝑓 (𝑎)
Hitung f (x)
Hitung error = |f (x)|
Jika f (x). f (a) < 0, maka b = x dan f (b) = f (x). jika tidak,
a = x dan f (a) = f (x)
f) Akar persamaan adalah x.
3.3.2. Contoh
Selesesaikan persamaan non-linier f (x) = xe-x + 1 menggunakan
metode regula falsi pada rentang x = [-1, 0] dengan nilai toleransi
sebesar 10-7!
Jawab
1) Cari nilai f (a) dan f (b)
𝑓 (𝑎) = −1. 𝑒1 + 1 = −1,71828
𝑓 (𝑏) = 0. 𝑒0 + 1 = 1
2) Hitung nilai x dan f (x)
𝑥 = (1. −1) − (−1,71828.0)
1 + 1,71828= − 0.36788
𝑓 (𝑥) = −0.36788. 𝑒0.36788 + 1 = 0.468536
Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh :
𝑓 (𝑥). 𝑓 (𝑎) < 0
-
IBNU SODIK
14
Sehingga b = x dan f (b) = f (x). Iterasi dilakukan kembali dengan
menggunakan nilai b tersebut.
Berdasarkan hasil perhitungan diatas diperoleh nilai
𝑥 = −0,5671433
dan jumlah iterasi yang diperlukan adalah 15. Jumlah ini lebih
sedikit dari jumlah iterasi yang diperlukan pada metode iterasi
bisksi yang juga menunjukkan metode ini lebih cepat
memperoleh persamaan didandingkan metode biseksi.
-
IBNU SODIK
15
BAB IV
PENUTUP
1. Kesimpulan
Berdasarkan penjelasan materi diatas dapat kita tarik kesimpulan bahwa
metode numerik adalah teknik penyelesaian permasalahan yang
diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan.
Dalam operasi hitungan pasti ditemukan sebuah galat karena sifat dari
numerik adalah hampiran, tidak selalu tepat 100%.
Dalam menyelesaikan sebuah persamaan diperlukan metode penyelesaian
untuk mempermudah pekerjaan. Metode biseksi merupakan metode yang
paling mudah digunakan, namun jika ingin lebih cepat memperoleh sebuah
persamaan, metode regulafalsi lebih baik daripada metode biseksi, karena
metode regulafalsi dalam pencarian akar didasarkan pada slope
(kemiringan) dan selisih tinggi dari kedua titik rentang.
2. Saran
Penulis menyadari modul ini masih jauh dari kata sempurna, penulis
berharap agar dilakukan penelitian serta pembuatan ulang mengenai modul
metode numerik, khususnya untuk kasus-kasus baru dan penerapan
pengembangan pada kasus lain, karena pada modul ini masih menggunakan
kasus-kasus yang lama.
Akhir kata penulis ucapkan terimakasih kepada STT POMOSDA dan dosen
pembimbing serta pihak-pihak yang telah memberi dukungan dari awal
pembuatan hingga modul ini selesai dibuat dan diterbitkan.
-
IBNU SODIK
16
Daftar Pustaka
1. Atmika, I. K. (2016). METODE NUMERIK. METODE NUMERIK -
Universitas Udayana, 98. Retrieved from
https://simdos.unud.ac.id/uploads/file_pendidikan_1_dir/11ed6009feeb148
225064cd0c4989964.pdf
2. Azizah, H., Sacova, A. H., Bidayani, Izzati, H., Husna, L. N., Suliastini, N.
L., . . . Azizah, Y. (2015). DERET TAYLOR DAN TEORI GALAT.
MAKALAH ANALISIS NUMERIK, 21. Retrieved from
https://nanopdf.com/download/bab-ii-pembahasan-metode-numerik-
secara-umum_pdf
3. Hutagalung, S. N. (2017). PEMAHAMAN METODE NUMERIK.
JURNAL TEKNOLOGI INFORMASI (JurTI)Volume 1, 6. Retrieved from
https://media.neliti.com/media/publications/281897-emahaman-metode-
numerik-studi-kasus-meto-3465fedf.pdf
4. Rosidi, M. (2019). Akar Persamaan Non-Linier. Metode Numerik
Menggunakan R. Retrieved from
https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/rootfinding.html
5. SUTARNO, H. (n.d.). BAB I PENDAHULUAN. METODE NUMERIK, 4.
Retrieved from
http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/PRODI._ILMU_KOMPUTER/HERI
_SUTARNO/metnum/BAB__1__PENDAHULUAN.pdf