Integrasi Numerik
23
METODE NUMERIK INTEGRASI NUMERIK
description
metode numerik
Transcript of Integrasi Numerik
-
METODE NUMERIK
INTEGRASI NUMERIK
-
DEFINISI
mengintegrasikan = memadukan bersama = menjumlahkan totalMengapa ada integrasi numerik?Karena integrasi numerik digunakan untuk menyelesaikan integral yang sulit diselesaikan secara analitik
x
f(x)
f(x)
b
a
-
DEFINISI
Contoh :sulit diselesaikan secara analitis (dengan teori kalkulus yang ada)
-
CARA PENYELESAIAN
Melalui pendekatan kurvaSemakin kecil selang, hasil semakin teliti karena
semakin besar selang, kesalahan semakin besar
xf(x)0. . . . .0,25. . . . .0,5. . . . .0,75. . . . .. . . . .. . . . .2. . . . . -
CARA PENYELESAIAN
Alternatif pemecahan (jika tidak dengan penyelesaian analitis)Memplot grafik tersebut pada kertas berpetak segi empat (dijumlah luas setiap kotak)Membuat segmen-segmen vertikal (mirip diagram batang), menjumlah (luas setiap segmen vertikal).Integrasi numerik -
INTEGRASI NEWTON COTES
Perhitungan integrasi numerik yang paling umum adalah formula Newton Cotes. Strategi dari formula ini adalah mengganti yang rumit atau data yang hilang dengan beberapa fungsi aproksimasi yang mudah diintegrasikan. -
INTEGRASI NEWTON COTES
Jika diketahui suatu f(x) pada interval [a,b], nilai integralbisa didekati dengan Newton Cotes orde n.
Bentuk umum Newton Cotes orde n -
INTEGRASI NEWTON COTES
b
a
b
a
-
INTEGRASI NEWTON COTES
Semakin tinggi orde Newton yang digunakan sebagai pendekatan perhitungan, akan semakin kecil kesalahan yang dihasilkan.Pendekatan Newton Cotes orde ke-n
perlu (n+1) titik.Dalam formula Newton Cotes Metode tertutup batas awal dan batas akhir diketahuiMetode terbuka batas integrasi diperluas di luar rentangan (ekstapoksi) -
METODE TRAPESIUM
Metode ini adalah bagian dari metode integrasi Newton tertutup dengan menggunakan aproksimasi polinomial orde 1, sehingga dengan aturan trapesium.Newton Cotes orde 1
Rumus ini berpadanan dengan rumus geometri dari trapesium, dengan lebar sebesar (ba) dan tinggi rata-rata
-
METODE TRAPESIUM
Metode Trapesium dengan banyak piasDimana : -
METODE TRAPESIUM (EX.)
Diketahui suatu fungsi Hitung nilai analitis dari Hitung nilai integral di atas dengan aturan trapesium tunggal pada batas x = 0 sampai dengan x = 2Hitung nilai -
METODE TRAPESIUM (EX.)
u = x + 1dv = ex.dxdu = dxv == 14,778
Secara eksak
-
METODE TRAPESIUM (EX.)
Dengan aturan trapesium tunggal; b = 2; a = 0
-
METODE TRAPESIUM (EX.)
Kesalahan -
METODE TRAPESIUM (EX.)
Contoh Hitung I = dengan metode trapesium 4 pias.Penyelesaian :Apabila diselesaikan secara analitis :I = e4 - e0 = 53,59815Luas trapesium dengan 4 pias , x =(b-a)/n= 1I 1/2 [ e0 + e4 + 2 (e1 + e2 + e3)] = 57,991950 -
METODE TRAPESIUM (EX.)
Kesalahan -
ATURAN SIMPSON 1/3
-
ATURAN SIMPSON 1/3
-
ATURAN KOMPOSISI SIMPSON
x0
x2
x
f(x)
x4
h
h
xn-2
h
xn
...
h
x3
x1
xn-1
-
METODE INTEGRASI SIMPSON
Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:atau dapat dituliskan dengan:N = 0 n
L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln
-
ATURAN SIMPSON 3/8
Aproksimasi dengan fungsi kubik
x0
x1
x
f(x)
x2
h
h
L(x)
x3
h
- Error Pemenggalan
ATURAN SIMPSON 3/8
b
a
dx
x
f
)
(
(
)
-
-
2
0
1
2
2
1
dx
x
e
x
x
=
b
a
dx
x
f
s
)
(
n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
a
n
f
+
+
+
+
=
-
-
1
1
2
2
1
0
)
(
K
K
x
a
a
n
f
1
0
)
(
+
=
(
)
3
3
2
2
1
0
3
x
a
x
a
x
a
a
x
f
+
+
+
=
(
)
2
2
1
0
2
x
a
x
a
a
x
f
+
+
=
(
)
=
b
a
dx
x
f
I
1
(
)
(
)
(
)
2
b
f
a
f
a
b
I
+
-
=
(
)
(
)
2
b
f
a
f
+
1
1
()()2()
2
n
r
r
x
Ifafbfx
-
=
D
=++
ba
x
n
-
D=
(
)
(
)
x
e
x
x
f
1
+
=
(
)
2
0
dx
x
f
(
)
-
=
+
du
v
v
u
dx
e
x
x
.
.
1
2
0
x
x
e
dx
e
=
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
0
0
2
2
2
0
2
0
2
0
.
1
0
.
1
2
]
1
]
.
1
1
e
e
e
e
e
e
x
dx
e
e
x
dx
e
x
x
x
x
x
x
-
+
-
-
+
=
-
+
=
-
+
=
+
0
e
e
.
3
2
2
-
-
=
2
e
.
2
=
(
)
(
)
(
)
2
b
f
a
f
a
b
I
+
-
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
167
,
23
2
167
,
22
1
0
2
167
,
22
.
3
.
1
2
2
1
.
1
0
0
2
2
0
=
+
-
=
=
=
+
=
=
=
+
=
=
I
e
e
f
b
f
e
f
a
f
%
767
,
56
%
100
778
,
14
167
,
23
778
,
14
=
*
-
=
t
e
dx
e
x
4
0
53,5981557,991950
100%8.2%
53,59815
t
e
-
=*=
=
=
=
=
-
=
=
=
-
=
-
=
+
=
=
=
-
-
-
-
+
-
-
-
-
+
-
-
-
-
=
1
x
x
0
x
x
1
x
x
h
dx
d
h
x
x
2
a
b
h
2
b
a
x
b
x
a
x
let
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L
2
1
0
1
1
2
0
2
1
2
0
2
1
0
1
2
1
0
1
2
0
0
2
0
1
0
2
1
x
x
x
x
x
,
,
,
,
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
0
x
f
2
1
x
f
1
x
f
2
1
L
+
+
-
+
-
=
x
x
x
x
x
x
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
0
x
f
2
1
x
f
1
x
f
2
1
L
+
+
-
+
-
=
x
x
x
x
x
x
1
1
2
3
2
1
1
3
1
1
1
2
3
0
1
1
2
1
0
2
1
1
1
0
1
1
)
2
3
(
2
)
(
)
3
(
)
(
)
2
3
(
2
)
(
)
1
(
2
)
(
)
1
)
(
)
1
(
2
)
(
)
(
)
(
-
-
-
-
-
-
+
+
-
+
-
=
+
+
-
+
-
=
h
x
f
h
x
f
h
x
f
d
h
x
f
d
(
h
x
f
d
h
x
f
d
L
h
dx
x
f
b
a
x
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
0
b
a
x
f
x
f
4
x
f
3
h
dx
x
f
+
+
=
n
a
b
h
-
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
f
f
h
f
f
h
f
f
h
f
f
h
f
f
h
f
f
h
L
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
-
-
-
1
1
2
4
3
3
2
2
1
1
0
2
3
2
3
...
2
3
2
3
2
3
2
3
+
+
+
=
n
genap
i
i
ganjil
i
i
f
f
f
f
h
L
0
2
4
3
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
0
3
3
2
2
1
1
0
0
i
3
0
i
i
b
a
x
f
x
f
3
x
f
3
x
f
8
h
3
x
f
c
x
f
c
x
f
c
x
f
c
x
f
c
dx
x
f
+
+
+
=
+
+
+
=
=
)
(
)
)(
)(
(
)
)(
)(
(
)
(
)
)(
)(
(
)
)(
)(
(
)
(
)
)(
)(
(
)
)(
)(
(
)
(
)
)(
)(
(
)
)(
)(
(
)
(
3
2
3
1
3
0
3
2
1
0
2
3
2
1
2
0
2
3
1
0
1
3
1
2
1
0
1
3
2
0
0
3
0
2
0
1
0
3
2
1
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L
-
-
-
-
-
-
+
-
-
-
-
-
-
+
-
-
-
-
-
-
+
-
-
-
-
-
-
=
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
0
b
a
b
a
x
f
x
f
3
x
f
3
x
f
8
h
3
3
a
b
h
;
L(x)dx
f(x)dx
+
+
+
=
-
=
3
a
b
h
;
f
6480
a
b
f
h
80
3
E
4
5
4
5
t
-
=
-
-
=
-
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
