Analisis Numerik Metode euler

8/18/2019 Analisis Numerik Metode euler

1/18

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Penggunaan matematika dalam kehidupan sangat berguna untuk

meningkatkan pemahaman dan penalaran, serta untuk memecahkan suatu

masalah dan menafsirkan solusi dari permasalahan yang ada. Tanpa

disadari ketika kita mempelajari matematika, kita memiliki ketelitian dan

kecermatan yang sangat baik karena nilai-nilai pada matematika yang

menggunakan nilai yang kompleks sehingga faktor ketelitian sangat

diperlukan untuk menghitung suatu rumusan masalah.

Persamaan diferensial berperan penting dalam kehidupan, sebab

banyak permasalahan pada dunia nyata dapat dimodelkan dengan bentuk

persamaan diferensial. Ada dua jenis persamaan diferensial yang kita

kenal, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.

Yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah persamaan diferensial biasa.

Pesamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan yang melibatkan satu

atau lebih turunan dari sebuah unknown function dan hanya memiliki satu

variabel bebas. olusi dari persamaan diferensial adalah fungsi spesifik

yang memenuhi persamaan. Persamaan dibawah ini merupakan contoh

dari persamaan diferensial biasa yang memiliki solusi. Pada persamaan

dibawah ini, ! merupkan variabel bebas dan y merupakan variabel tetap. y

merupakan nama unknown function dari variabel !.

1.2 Tujuan

Tujuan yang hendak dicapai dalam penulisan ini yaitu sebagai

salah satu syarat untuk memenuhi seluruh praktikum jurusan

Teknik Elektro ITENAS Bandung, antara lainnya:

• Mahasisa dapat menghitung persamaan di!erensial biasa

dengan menggunakan metode euler, baik secara manual

maupun dengan komputer"


2/18

1.3 Sistematis Penulisan

BAB I " Pendahuluan

Pada bab ini memuat latar belakang, tujuan yang ingin

dicapai, serta sistematis penulisan

BAB II " Teori #asar

#asar teori yang berisi kajian literatur mengenai materi

dasar dan terkait dengan teori-teori metode euler

BAB III " $andasan Praktikum

Pembahasan tentang langkah-langkah untuk mendapatkan

rumus metode euler

BAB IV " Penutup

%erisi tentang analisa dan kesimpulan dari praktikum

BAB II

TE#$I %ASA$


3/18

2.1 Metode Euler

&etode 'uler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling

sederhana. #i banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling

kurang teliti. (amun demikian metode ini perlu dipelajari mengingat

kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga memudahkan dalam

mempelajari metode lain yang lebih teliti.

&etode 'uler dapat diturunkan dari #eret Taylor"

Apabila nilai ∆ x

kecil, maka suku yang mengandung pangkat lebih tinggi dari ) adalah sangat

kecil dan dapat diabaikan, sehingga persamaan diatas dapat ditulis menjadi"

#engan membandingkan persamaan *+. dan persamaan *+.

dapat disimpulkan bahwa pada metode 'uler, kemiringan Φ / / f * xi , yi,

sehingga persamaan *+. dapat ditulis menjadi"

dengan i / 0, ), 1, 2 Persamaan *+.3 adalah metode 'uler, nilai yi 4 0

diprediksi dengan menggunakan kemiringan fungsi *sama dengan turunan

am!ar "et#$e Euler

pertama di titik xi untuk diekstrapolasikan secara linier pada jarak sepanjang

pias ∆ x. 5ambar +.1, adalah penjelasan secara grafis dari metode 'uler.

%esala&an "et#$e Euler

Penyelesaian numerik dari persamaan diferensial biasa menyebabkan

terjadinya dua tipe kesalahan, yaitu"

...6)

7

60

7 )88i

8

ii0i +++=+

x y

x y y y

x y y y 78ii0i +=+

8

i y

x y x f y y 7-,* iii0i +=+


4/18

0 9esalahan pemotongan, yang disebabkan oleh cara penyelesaian yang

digunakan untuk perkiraan nilai y,

) 9esalahan pembulatan, yang disebabkan oleh keterbatasan jumlah angka

*digit yang digunakan dalam hitungan.

9esalahan pemotongan terdiri dari dua bagian. Pertama adalah kesalahan

pemotongan lokal yang terjadi dari pemakaian suatu metode pada satu

langkah. 9edua adalah kesalahan pemotongan menyebar yang ditimbulkan

dari perkiraan yang dihasilkan pada langkah-langkah berikutnya. 5abungan

dari kedua kesalahan tersebut dikenal dengan kesalahan pemotongan global.

%esar dan sifat kesalahan pemotongan pada metode 'uler dapat dijelaskan

dari deret Taylor.

:ntuk itu dipandang persamaan diferensial berbentuk"

dengan , sedang x dan y adalah

variabel bebas dan tak bebas.

Penyelesaian dari persamaan tersebut dapat diperkiraan dengan deret Taylor"

Apabila

persamaan *+.; disubstitusikan ke persamaan *+.+, akan menghasilkan"

Ta!el Hasil &itungan $engan met#$e Euler

x y eksak x ' ()*

x ' ()2* y +erk t ,- y +erk t ,-


5/18

0,;

),


6/18

geometris. %ila fungsi yang terlibat tergantung pada dua atau lebih peubah

bebas. Tidak berlebihan jika dikatakan bahwa hanya sistem fisik yang paling

sederhana yang dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa

mekanika fluida dan mekanika padat, transfer panas, teori elektromagnetik dan

berbagai bidang fisika lainnya penuh dengan masalah-masalah yang harus

dimodelkan dengan persamaan differensial parsial.

:mumnya, jika adalah fungsi dua variable dan, andaikan kita misalkan

hanya saja yang berubah-ubah sedangkan dibuat tetap, katakan dengan

konstanta. %aru sesudah itulah kita sebenarnya meninjau fungsi variable

tunggal, yaitu jika mempunyai turunan di, maka kita menamakannya turunan

parsial dari terhadap di dan menyatakannya dengan. >adi

'rror" ?eference source not found dengan'rror" ?eference source not

found

&enurut definisi turunan, kita mempunyai

ehingga persamaan

nomor 0 menjadi

#engan cara serupa, turunan parsial dari terhadap di dinyatakan dengany /*a,y

diperoleh dengan membuat tetap * / a 'rror" ?eference source not founddan

mencari turunan biasa dari fungsi

>ika 'rror"

?eference source not found adalah fungsi dua variable, turunan parsialnya

adalah fungsi 'rror" ?eference source not found dan 'rror" ?eference source

not found yang didefinisikan oleh


7/18

BAB III

LANDASAN P/A%TI%U"

)"* Algoritma

)"*"* Algoritma Metode Euler0. &ulai

). #efinisikan fungsi persamaan data

1. &asukan data input

. @itung panjang vector !

. &emproses nilai dari data masukan sesuai rumusan

3. elesai

)"& +lochart

)"&"* +lochart Metode Euler


8/18

)") isting

(rogram

)")"*

isting

Metode

Euler

-include.stdio"h/

-include.math"h/

0oat a,b,c,d,e1

0oat ',g,h,i,j1

0oat k,l,m,n,o1

0oat p,2,r,s,t1

0oat u,3,1


9/18

int pilihan1

main 43oid5

6

ulang:

print'47Muhammad I2bal +athurahmaan8n751

print'47**9&*)9;)8n751

print'479999999999999999999999999998n751

print'47Masukkan Nilai < : 751

scan'47='7,>a51

print'47Masukkan Nilai ?@ : 751

scan'47='7,>b51

print'47Masukkan Nilai h* : 751

scan'47='7,>c51

print'47Masukkan Nilai h& : 751

scan'47='7,>d51

print'47Masukkan Nilai h) : 751

scan'47='7,>e51

'444*)5Cb5CaCaCa594bCa51

gbCa1

hbD'1

ib9h1

jbD4'Cc51

kb9j1

lbD4'Cd51

mb9l1

nbD4'Ce51

ob9n1

print'47Nilai y*: =g8n7,j51

print'47Nilai error y*: =g8n7,k51


10/18

print'47Nilai y&: =g8n7,l51

print'47Nilai error y&: =g8n7,m51

print'47Nilai y): =g8n7,n51

print'47Nilai error y): =g8n7,o51

print'47Ingin Masukkan data yang ain8n751

print'47F*Gya8n751

print'47F&Gtidak8n751

scan'47=d7,>pilihan51

i'4pilihan*5

6

goto ulang1

H

H

3.0 Sreenst

DATA PENA"ATAN

Ta!el 3.0.1 #ata Pengamatan &etode 'uler

< ? J ? aproksimasi Errorh * h & h )


11/18

* "K "* "K

"K "L "K "* "K


12/18

* "L "K "* "K

*"K ") "K "* "K


13/18

& ) "K "* "K

3.* Tugas Ak&ir

0. %uat grafik *!,y terhadap *'rror" ?eference source not found dan error

0,),1 jelaskan grafiknya


14/18

). ebutkan apa

kegunaan metode

euler dalam kehidupan sehari-hari 6

a. menyelesaikan persamaan differensial.

b. memprediksi nilai tegangan dari nilai arus yang diinginkan.

c. memprediksi daya dengan parameter tegangan dan arusnya.

d" mengukur kedalaman benda anomaly tanpa harga kerapatan

massa

e" untuk mengestimasi suatu posisi"

'" pena'siran perubahaan 3ariable stock dalam inter3al aktu"

)" Apa yang dimaksud dengan persamaan di'erensial parsial


15/18

(ersamaan di'erensial parsial 4(%(5 adalah persamaan yang di

dalamnya terdapat suku9suku di'erensial parsial, yang dalam

matematika diartikan sebagai suatu hubungan yang mengaitkan

suatu 'ungsiﾧ yang tidak diketahui, dimana merupakan 'ungsi

dari beberapa 3ariabel bebas ﾧ dengan turunan9turunannya

melalui 3ariabel93ariabel yang dimaksud" (%("

+ungsinya digunakan untuk melakukan 'ormulasi dan

menyelesaikan permasalahan yang melibatkan 'ungsi9'ungsi yang

tidak diketahui"

O" Pelaskan perbedaan metode euler dengan di'erensial parsial

Metode euler: yang terdiri dari satu variabel bebas saja

#iferensial parsial" yang terdiri dari dua atau lebih variabel bebas

BAB IQ

ANAISA %AN RESIM(AN

O"* Analisa

&etode 'uler adalah salah satu dari metode satu langkah yang

paling sederhana. &etode euler atau disebut juga metode orde pertama,

&isalnya diberikan P#% orde satu,

'rror" ?eference source not found / dyd! / f*!,y dan nilai

awal y*!


16/18

&eskipun metode 'uler sederhana, tetapi ia mengandung dua

macam galat, yaitu galat pemotong *truncation error dan galat longgokan

*cumulative error. 5alat pemotong dapat langsung ditentukan dari

persamaan berikut"

5alat

pemotongan ini sebanding dengan kuadrat ukuran langkah h sehingga

di sebut juga galat +er langka& *error per step atau galat local.

emakin kecil nilai h *yang berarti semakin banyak langkah

perhitungan. (ilai pada setiap langkah *yr dipakai lagi pada langkah

berikutnya. 5alat solusi pada langkah ke-r adalah tumpukan galat dari

langkah-langkah sebelumnya. 5alat yang terkumpul pada akhir

langkah ke-r ini di sebit galat l#ngg#kan *cumulative error . >ika

langkah dimulai dari !< / a dan berakhir di !n / b maka total galat yang

terkumpul pada solusi akhir *yn adalah

5alat

longgokan total ini sebenarnya adalah

(erbedaan metode euler dengan di'erensial parsial adalah:

Metode euler: yang terdiri dari satu variabel bebas saja

#iferensial parsial" yang terdiri dari dua atau lebih variabel bebas

0.2 %esim+ulan

%apat menghitung persamaan di!erensial biasa dengan

menggunakan metode euler, baik secara manual maupun

dengan komputer"

) C )0 *


17/18

Datar Pustaka

Agus etiawan, T, &T, )


18/18

'rwin 9reysFig, Advance 'ngineering &athematics, 3th 'dition, >ohn

Giley H ons, Enc, 0=++.

Analisis Numerik Metode euler

Documents

Transcript of Analisis Numerik Metode euler