Método Simplex: Variaciones (Caso Minimización) · con método simplex: 1. Modificar en dos...

Jaime Campo Rodríguez,PhD 1

Método Simplex: Variaciones (Caso Minimización)

Existen dos formas de resolver un problema de minim ización con método simplex:

1. Modificar en dos aspectos el algoritmo que se utilizó para el caso de maximización:

• Se obtiene la solución óptima cuando todos los valores de la fila (Cj – Zj) son cero y/o positivos.

• La variable que entra es la que tiene el valor (Cj – Zj) más negativo.

2. Convertir el problema de minimización en uno de maximización, multiplicando los coeficientes de la función objetivo del problema de minimización por (-1) y resolver utilizando el procedimiento de maximización.


Considere el siguiente problema: La Empresa XYZ fabrica dos tipos de producto. Los costos de fabricación son de 30 y 10 dólares para los productos A y B respectivamente.

El producto A requiere dos horas en la maquina 1, una hora en la máquina 2 y 8 horas en la máquina 3. El producto B requiere 4 horas en la máquina 1, una hora en máquina 2 y 6 horas en la máquina 3.

Por razones estratégicas de producción, la fabricación de ambos productos debe utilizar como máximo 80 horas de la máquina 1 y como mínimo 120 horas de la máquina 3. Se sabe con exactitud que el manufacturar los dos productos en la máquina 2 toma 25 horas. Formule un programa de producción que permita obtener el costo mínimo.



1. Plantear en términos matemáticos:

Minimizar Z = 30X1 + 10X2

s.a. 2X1 + 4X2 <= 80X1 + X2 = 25

8X1 + 6X2 >= 120X1 , X2 >= 0


Considere el siguiente problema:

2. Para utilizar el algoritmo de maximización, multipl icamos la F.O. por –1:

Maximizar Z = -30X1 - 10X2

s.a. 2X1 + 4X2 <= 80X1 + X2 = 25

8X1 + 6X2 >= 120X1 , X2 >= 0



Considere el siguiente problema:

3. Convertir en igualdades todas las restricciones (adicionando o restando variables de holgura o exce dente según el caso)

Maximizar Z = -30X1 - 10X2 + 0S1 + 0S2

s.a. 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 80X1 + X2 + 0S1 + 0S2 = 25

8X1 + 6X2 + 0S1 – 1S2 = 120X1 , X2 , S1 , S2 >= 0


Antes de transferir las igualdades de restricción a la tabla inicial, es necesario identificar una solución factible básica. Esto requiere que exista una matriz identidad en el cuerpo de restricciones.

Maximizar Z = -30X1 - 10X2 + 0S1 + 0S2

s.a. 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 80X1 + X2 + 0S1 + 0S2 = 25

8X1 + 6X2 + 0S1 – 1S2 = 120X1 , X2 , S1 , S2 >= 0

Como se observa, el considerar variables de holgura y excedente,no siempre produce una solución básica factible.



4. Variables artificiales: Se utilizan como auxiliares para completar la matriz identidad y poder determinar una solución factible básica inicial.

La regla para usar variables artificiales es añadir una a cada restricción de “mayor o igual que” (>=) o de “igualdad”.

Maximizar Z = -30X1 - 10X2 + 0S1 + 0S2 – A1 – A2

s.a. 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 + 0A1 + 0A2 = 80X1 + X2 + 0S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 25

8X1 + 6X2 + 0S1 – 1S2 + 0A1 + 1A2 = 120X1 , X2 , S1 , S2 , A1 , A2 >= 0

Método Simplex: Variables Artificiales

En el conjunto de restricciones se observa la matriz identidad, que nos permite plantear una solución factible básica inicial si se igualan X1, X2

y S2 a cero:

Restricciones 1S1 + 0A1 + 0A2 = 800S1 + 1A1 + 0A2 = 250S1 + 0A1 + 1A2 = 120

Solución Inicial : X1 = 0, X2 = 0, S1 = 80, S2 = 0, A1 = 25 y A2 = 120

Esta solución es equivalente al origen (0,0); pero el origen no es un punto factible; es una solución factible con respecto a las variables artificiales pero no factible con respecto a las originales.



5. Convertir la solución en una solución factible en t érminos de las variables originales.

Como las variables artificiales no tienen un significado en términos de la solución para el problema, se utilizan procedimientos que permitan asegurar que no aparezcan en la tabla final:

• Asignar para las variables artificiales en la F.O. un coeficiente diez (10) veces mayor que el valor absoluto del mayor coeficiente de la F.O.

• Método de la Gran M (Big M Method)• Método de las dos fases.


6. Tabla Simplex Inicial:

Para el caso de maximización, se asignan números negativos grandes como coeficientes de la función objetivo. Para el ejemplo se asigna un valor de –300 a los coeficientes de A1 y de A2.

Maximizar Z = -30X1 - 10X2 + 0S1 + 0S2 – 300A1 –300 A2




-300-30000-10-30CJ →→→→V.B.↓↓↓↓

-43500

120

25

80

Segundo Término

(Solución)

0

-300

0

1

0

A1

0

-300

1

0

0

A2 Cociente

-300020902670↑↑↑↑Cj-Zj

3000-2100-2700Zj

-1068-300A2

0011-300A1

01420S1

S2S1X2X1



-300-30000-10-30CJ →→→→V.B.↓↓↓↓

-43500

120

25

80

Segundo Término

(Solución)

0

-300

0

1

0

A1

0

-300

1

0

0

A2

15→→→→25

40

Cociente

-300020902670↑↑↑↑Cj-Zj

3000-2100-2700Zj

-1068-300A2

0011-300A1

01420S1

S2S1X2X1



7. Tabla Simplex No.1:

-300-30000-10-30CJ →→→→V.B.↓↓↓↓

-3450

15

10

50

Segundo Término

(Solución)

0

-300

0

1

0

A1

-333.75

33.75

0.125

-0.125

-0.25

A2Cociente

33.75087.51 ↑↑↑↑0Cj-Zj

-33.750-97.5-30Zj

-0.12500.751-30X1

0.12500.250-300A1

0.2512.500S1

S2S1X2X1



-300-30000-10-30CJ →→→→V.B.↓↓↓↓

-3450

15

10

50

Segundo Término (Solució

n)

0

-300

0

1

0

A1

-333.75

33.75

0.125

-0.125

-0.25

A2

20

40

20 →→→→

Cociente

33.75087.51 ↑↑↑↑0Cj-Zj

-33.750-97.5-30Zj

-0.12500.751-30X1

0.12500.250-300A1

0.2512.500S1

S2S1X2X1




-300-30000-10-30CJ →→→→V.B.↓↓↓↓

-1700

0

5

20


n)

0

-300

0

1

0

A1

-325

25

0.20

-0.10

-0.10

A2Cociente

25 ↑↑↑↑-3500Cj-Zj

-2535-10-30Zj

-0.20-0.3001-30X1

0.10-0.1000-300A1

0.100.4010-10X2

S2S1X2X1



-300-30000-10-30CJ →→→→V.B.↓↓↓↓

-1700

0

5

20


n)

0

-300

0

1

0

A1

-325

25

0.20

-0.10

-0.10

A2

---

50

200

Cociente

25 ↑↑↑↑-3500Cj-Zj

-2535-10-30Zj

-0.20-0.3001-30X1

0.10-0.1000-300A1

0.100.4010-10X2

S2S1X2X1



9. Tabla Simplex No.3: SOLUCIÓN ÓPTIMA

-300-30000-10-30CJ →→→→V.B.↓↓↓↓

-450

10

50

15


n)

-250

-50

2

10

-1

A1

-300

0

0

-1

0

A2Cociente

0-1000Cj-Zj

010-10-30Zj

0-0.501-10X1

1-1000S2

00.510-10X2

S2S1X2X1


10. La etapa final del proceso de solución es multiplic ar el valor de Z por (-1)

Z = -450 (-1)Z = 450 X1 = 10X2 = 15S2 = 50


Método Simplex: Variables Artificiales (Gran M)

Como método alternativo para determinar la magnitud de los coeficientes de las variables artificiales, se puede usar un procedimiento simbólico que se denomina Método de la Gran M:

Tabla Simplex Inicial:

-M-M00-10-30CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

-145M

120

25

80

Segundo Término

(Solución)

0

-M

0

1

0

A1

0

-M

1

0

0

A2Cociente

-M0-10+7M-30+9M↑↑↑↑Cj-Zj

M0-7M-9MZj

-1068-MA2

0011-MA1

01420S1

S2S1X2X1


Tabla Simplex Inicial:

-M-M00-10-30CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

-145M

120

25

80

Segundo Término

(Solución)

0

-M

0

1

0

A1

0

-M

1

0

0

A2

15 →→→→25

40

Cociente

-M0-10+7M-30+9M↑↑↑↑Cj-Zj

M0-7M-9MZj

-1068-MA2

0011-MA1

01420S1

S2S1X2X1


Tabla Simplex No.1:


-M-M00-10-30CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

-450-10M

15

10

50

Segundo Término

(Solución)

0

-M

0

1

0

A1

-3.75-1.125M

-3.75+ 0.125M

0.125

-0.125

-0.25

A2Cociente

-3.75+ 0.125M

012.5 + 0.25M ↑↑↑↑

0Cj-Zj

3.75-0.125M

0-22.5-0.25M

-30Zj

-0.12500.751-30X1

0.12500.250-MA1

0.2512.500S1

S2S1X2X1

Tabla Simplex No.1:


-M-M00-10-30CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

-450-10M

15

10

50

Segundo Término

(Solución)

0

-M

0

1

0

A1

-3.75-1.125M

-3.75+ 0.125M

0.125

-0.125

-0.25

A2

20

40

20 →→→→

Cociente

-3.75+ 0.125M

012.5 + 0.25M ↑↑↑↑

0Cj-Zj

3.75-0.125M

0-22.5-0.25M

-30Zj

-0.12500.751-30X1

0.12500.250-MA1

0.2512.500S1

S2S1X2X1


Tabla Simplex No.2:


-M-M00-10-30CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

-200-5M

0

5

20

Segundo Término

(Solución)

0

-M

0

1

0

A1

5-1.1M

-5+ 0.10M

0.20

-0.10

-0.10

A2Cociente

-5+ 0.10M ↑↑↑↑

-5 -0.10M

00Cj-Zj

5 -0.10M

5+ 0.10M

-10-30Zj

-0.20-0.3001-30X1

0.10-0.1000-MA1

0.100.4010-10X2

S2S1X2X1

Tabla Simplex No.2:


-M-M00-10-30CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

-200-5M

0

5

20

Segundo Término

(Solución)

0

-M

0

1

0

A1

5-1.1M

-5+ 0.10M

0.20

-0.10

-0.10

A2

0

50 →→→→200

Cociente

-5+ 0.10M ↑↑↑↑

-5 -0.10M

00Cj-Zj

5 -0.10M

5+ 0.10M

-10-30Zj

-0.20-0.3001-30X1

0.10-0.1000-MA1

0.100.4010-10X2

S2S1X2X1


Tabla Simplex No.3: SOLUCIÓN ÓPTIMA


-M-M00-10-30CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

-450

10

50

15

Segundo Término

(Solución)

-M+50

-50

2

10

-1

A1

-M

0

0

-1

0

A2Cociente

0-1000Cj-Zj

010-10-30Zj

0-0.501-30X1

1-1000S2

00.510-10X2

S2S1X2X1

Método de las dos fases:Paso 1: Se descompone el último renglón en dos; el primero comprende los términos que no contienen M, mientras que el segundo comprende a los coeficientes de M en los términos restantes.

Método Simplex: Variables Artificiales (Dos Fases)

-M-M00-10-30CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

-145M

120

25

80

Segundo Término

(Solución)

0

-M

0

1

0

A1

0

-M

1

0

0

A2Cociente

-M0-10+7M-30+9MCj-Zj

M0-7M-9MZj

-1068-MA2

0011-MA1

01420S1

S2S1X2X1


Paso 1:

Tabla Simplex Inicial


00-1079

-M-M00-10-30CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

-145M

120

25

80

Segundo Término

(Solución)

0

-M

0

1

0

A1

0

-M

1

0

0

A2Cociente

00-10-30Cj-Zj

M0-7M-9MZj

-1068-MA2

0011-MA1

01420S1

S2S1X2X1

Paso 2: Identificar variable que entre a la base.

Tabla Simplex Inicial


00-1079 ↑

-M-M00-10-30CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

-145M

120

25

80

Segundo Término

(Solución)

0

-M

0

1

0

A1

0

-M

1

0

0

A2Cociente

00-10-30Cj-Zj

M0-7M-9MZj

-1068-MA2

0011-MA1

01420S1

S2S1X2X1



00-1079 ↑

-M-M00-10-30CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

-145M

120

25

80

Segundo Término

(Solución)

0

-M

0

1

0

A1

0

-M

1

0

0

A2

15 →→→→25

40

Cociente

00-10-30Cj-Zj

M0-7M-9MZj

-1068-MA2

0011-MA1

01420S1

S2S1X2X1

Paso 3: Se obtiene el cociente dividiendo los elementos del Segundo Término entre los coeficientes de la columna que entra para determinar la variable que sale y el elemento pivote . Siempre que una variable artificial deje de ser básica, se elimina la columna asociada a ella.


00.12500.250

-M00-10-30CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

-450-10M

15

10

50

Segundo Término

(Solución)

0

-M

0

1

0

A1Cociente

-3.75012.50Cj-Zj

3.75-0.125M

0-22.5-0.25M

-30Zj

-0.12500.751-30X1

0.12500.250-MA1

0.2512.500S1

S2S1X2X1

Paso 4: Construcción de la Tabla Simplex No.1 Recalculando la fila que sale dividiéndola entre el elemento pivote y actualizando las filas restantes con la fórmula (FN=FA-CCE(FR)). Es necesario calcular también los valores correspondientes a Zj y (Cj – Zj)



00.12500.25 ↑↑↑↑0

-M00-10-30CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

-450-10M

15

10

50

Segundo Término

(Solución)

0

-M

0

1

0

A1Cociente

-3.75012.50Cj-Zj

3.75-0.125M

0-22.5-0.25M

-30Zj

-0.12500.751-30X1

0.12500.250-MA1

0.2512.500S1

S2S1X2X1

Paso 5: Si no se ha llegado a la solución óptima, se continua con el procedimiento de identificar columna que entra y fila que sale (Pasos 2 y 3 )

Tabla Simplex No. 1


00.12500.25 ↑↑↑↑0

-M00-10-30CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

-450-10M

15

10

50

Segundo Término

(Solución)

0

-M

0

1

0

A1

20

40

20 →→→→

Cociente

-3.75012.50Cj-Zj

3.75-0.125M

0-22.5-0.25M

-30Zj

-0.12500.751-30X1

0.12500.250-MA1

0.2512.500S1

S2S1X2X1

Tabla Simplex No. 1



00.10-0.1000

-M00-10-30CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

-200-5M

0

5

20

Segundo Término

(Solución)

0

-M

0

1

0

A1Cociente

-5-500Cj-Zj

5 -0.10M

5+ 0.10M

-10-30Zj

-0.20-0.3001-30X1

0.10-0.1000-MA1

0.100.4010-10X2

S2S1X2X1

Tabla Simplex No.2

Paso 6: Se actualiza nuevamente la tabla de acuerdo con el Paso 4


00.10 ↑↑↑↑-0.1000

-M00-10-30CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

-200-5M

0

5

20

Segundo Término

(Solución)

0

-M

0

1

0

A1Cociente

-5-500Cj-Zj

5 -0.10M

5+ 0.10M

-10-30Zj

-0.20-0.3001-30X1

0.10-0.1000-MA1

0.100.4010-10X2

S2S1X2X1

Tabla Simplex No.2

Paso 7: Sin solución óptima se continua con los Pasos 2 y 3



00.10 ↑↑↑↑-0.1000

-M00-10-30CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

-200-5M

0

5

20

Segundo Término

(Solución)

0

-M

0

1

0

A1

0

50 →→→→200

Cociente

-5-500Cj-Zj

5 -0.10M

5+ 0.10M

-10-30Zj

-0.20-0.3001-30X1

0.10-0.1000-MA1

0.100.4010-10X2

S2S1X2X1

De nuevo, una variable artificial ha dejado de ser básica, por lo tanto se elimina la columna correspondiente.


0000

00-10-30CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

-450

10

50

15

Segundo Término

(Solución)Cociente

0-1000Cj-Zj

010-10-30Zj

0-0.501-30X1

1-1000S2

00.510-10X2

S2S1X2X1

Paso 8: Una vez actualizada la tabla siguiendo el Paso 4, se observa que al eliminar completamente las variables artificiales, la ultima fila puede igualmente eliminarse, puesto que todos sus elementos son ceros.



00-10-30CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

-450

10

50

15

Segundo Término

(Solución)Cociente

0-1000Cj-Zj

010-10-30Zj

0-0.501-30X1

1-1000S2

00.510-10X2

S2S1X2X1

Tabla Simplex No.3

Se puede apreciar que se ha alcanzado la SOLUCIÓN ÓPTI MA, toda vez que los valores de la fila (C j – Zj) son negativos y/o ceros.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD:

Introducción

Es un método para investigar el efecto que tienen c ambios en los diferentes

parámetros sobre la solución óptima de un problema de P.L. Se pueden cambiar

los coeficientes de la función objetivo, los valore s del segundo término de las

ecuaciones de restricción o los coeficientes asocia dos directamente con las

restricciones, pues es frecuente que estos valores sean definidos con base a

estimaciones.



Ejemplo: Caso Agro-Tech Inc. (Modificado)

Formulación del Problema:

X1 = Toneladas de 5-5-10 a fabricarseX2 = Toneladas de 5-10-5 a fabricarseX3 = Toneladas de 5-5-5 a fabricarse

Utilizando precio de venta de $60 por tonelada y la mezcla de ingredientes (5-5-5) para el tercer producto, su contribución a las utilidades es de $14.50 por tonelada. Dado que no se han añadido restricciones adicionales, la formulación es la siguiente:



Formulación del Problema :

Maximizar Z = 18.5X1 + 20X2 + 14.5X3

Sujeto a: 0.05X1 + 0.05X2 + 0.05X3 ≤ 11000.05X1 + 0.10X2 + 0.05X3 ≤ 18000.10X1 + 0.05X2 + 0.05X3 ≤ 2000

X1 , X2 , X3 ≥ 0




Solución óptima del Problema utilizando el método S implex :

00014.520.018.5CJ →→→→V.B.↓↓↓↓

0

0

1

0

0

S3

-4.0

18.5

-0.05

0

1

X3

-340

340

-3

-20

40

S1

-3000Cj-Zj

428.000302018.5Zj

5001000S3

14.000201020.0X2

8.000-200118.5X1

Segundo Término

(Solución bj)

S2X2X1



Inquietudes a resolver :

• Mercadotecnia: Posibilidad de aumentar el precio del 5-5-5 para que sea redituable.

• Compras: Considerar una posible reducción en el nitrato.

• Ventas: Considerar una posible reducción en el precio del 5-5-10



Alternativas:

• Resolver de nuevo el problema con los valores modificados, de acuerdo con las inquietudes planteadas.

• Iniciar el Análisis a partir de la Tabla Óptima, cuando el problema modificado tiene el mismo conjunto óptimo de varibles básicas.


Procedimiento:

1. Análisis básico: • Cambio del coeficiente de una variable no básica en la Función

Objetivo.• Cambio del coeficiente de una variable básica en la Función Objetivo.• Cambio en el valor de uno de los recursos (Segundo Término).

Nota: El análisis básico debe hacerse por separado para facilitar su comprensión.

2. Calcular los límites del cambio (en un coeficiente o en el segundo término) sin que se afecte la mezcla ó combinación que conduce a la solución óptima.

3. Si el cambio que se propone está por fuera de los límites (Allowable min-max), la solución óptima actual ya no lo será y deberá calcularse una nueva solución de P.L.

RANGOS DE OPTIMALIDAD (Cj)

RANGOS DE FACTIBILIDAD (bj)



1. Análisis básico: Cambio del coeficiente de una variable no básica en la Función Objetivo.

• Determinar la sensibilidad de los valores solución a cambios en los coeficientes de la función objetivo:

• Adicionar una cantidad ∆∆∆∆j al coeficiente que se tiene de la función objetivo, Cj. El nuevo coeficiente de la función objetivo es:

• Considerando X3 para resolver la primera inquietud, se determina ∆∆∆∆3 y C3para dicha variable.

La Tabla óptima modificada es la siguiente:

j j jC C−

= + ∆


1. Análisis básico: Cambio del coeficiente de una variable no básica en la Función Objetivo.

La Tabla óptima modificada es la siguiente:

00014.5 + ∆∆∆∆320.018.5CJ →→→→V.B.↓↓↓↓

0

0

1

0

0

S3

∆∆∆∆3 -4.0

18.5

-0.05

0

1

X3

-340

340

-3

-20

40

S1

-3000Cj-Zj

428.000302018.5Zj

5001000S3

14.000201020.0X2

8.000-200118.5X1

Segundo Término

(Solución)

S2X2X1



2. Calcular los límites del cambio: Cambio del coeficiente de una variable no básica en la Función Objetivo.

Antes de que X3 se pueda volver básica, el valor (Cj – Zj) asociado, debe volverse no negativo, esto significa que:

Despejando ∆∆∆∆3, se tiene que ∆∆∆∆3 ≥ 4.0. Como

34.0 0∆ − ≥

3 3 3C C

−= + ∆

3

3

14.5 4.0

18.5

C

C

−

−

= +

≥


2. Calcular los límites del cambio: Cambio del coeficiente de una variable no básica en la Función Objetivo.

Otra forma para determinar el valor de ∆∆∆∆ ó límite superior (Máximo) del coeficiente, para las variables no básicas, es tomar el valor absoluto de (Cj – Zj) de la Tabla óptima. Para nuestro ejemplo: (C3 – Z3) = ∆∆∆∆3 ≥≥≥≥ |C3 – Z3|

3. Lo anterior indica que si el precio de X3 se elevara un poco más de $4.00, es decir, si su contribución a las utilidades fuera mayor que $18.5, entonces la producción de X3 se volvería más redituable que la mezcla actual de producción (X1= 8.000 y X2= 14.000). Si el precio se aumenta exactamente en $4.00, se llegaría a un punto de decisión en el que podría fabricarse X3, pero no se obtendrían utilidades adicionales. Se obtendrían los mismos $428.000 de utilidades para esta solución óptima alternativa.



Para concluir:

• Si la contribución a la utilidad de la variable no básica disminuye o aumenta en una cantidad inferior al valor de |Cj – Zj| para la variable objeto de análisis, no hay cambio en la solución óptima.

• Sólo habrá cambio en la Solución Óptima, si la contribución a las utilidades aumenta en una cantidad mayor al valor actual de |Cj – Zj|.

Una variable no básica no se encuentra en la solución óptima porque las utilidades que se obtienen al fabricar ese producto son inferiores a lo que se perdería por hacerlo. Para cambiar esta relación, es necesario aumentar la contribución del producto a las utilidades hasta que sean iguales o mayores que lo que se perdería por fabricarlo.


1. Análisis básico: Cambio del coeficiente de una variable básica en la Función Objetivo.

• Determinar la sensibilidad de los valores solución a cambios en los coeficientes de la función objetivo:

• Adicionar una cantidad ∆∆∆∆j al coeficiente que se tiene de la función objetivo, Cj. El nuevo coeficiente de la función objetivo es:

2. Calcular los límites del cambio:

Para determinar los límites, es necesario examinar todos lo valores (Cj – Zj) que se ven afectados por ∆∆∆∆j, esto se observa en la siguiente tabla:

j j jC C−

= ∆ +



2. Calcular los límites del cambio: Cambio del coeficiente de una variable básica en la Función Objetivo.

La Tabla óptima modificada para cambio en coeficiente de X1 (5-5-10):

00014.520.018.5 + ∆∆∆∆1CJ →→→→V.B.↓↓↓↓

0

0

1

0

0

S3

- 4.0 - ∆∆∆∆1

18.5 + ∆∆∆∆1

-0.05

0

1

X3

-340 - 40∆∆∆∆1

340 + 40∆∆∆∆1

-3

-20

40

S1

-30 + 20∆∆∆∆100Cj-Zj

428.000 + 8.000 ∆∆∆∆1

30 - 20∆∆∆∆12018.5 + ∆∆∆∆1Zj

5001000S3

14.000201020.0X2

8.000-200118.5 + ∆∆∆∆1X1

Segundo Término

(Solución)

S2X2X1



Como se observa en la tabla anterior, se ha adicionado un coeficiente ∆∆∆∆1 en las partes en que interviene X1; se calcularon nuevamente los renglones Zj y (Cj – Zj) con los valores modificados.

Para que la combinación actual (X1 = 8.000, X2 = 14.000), siga siendo óptima, debe asegurarse que ningún valor (Cj – Zj) de la tabla anterior, se vuelva positivo; por lo tanto, se debe determinar el valor ∆∆∆∆1; para lo cual se despeja una desigualdad para cada uno de los valores no básicos (Cj – Zj) , así:

3 1

1

1

4 0

0 4

4

Para X ⇒ − − ∆ ≤− ∆ ≤ +

∆ ≥ −




1

1

1

Re : 4

8.5

1.5

sumiendo ∆ ≥ −∆ ≥ −∆ ≤

2 1

1

1

1

30 20 0

20 0 30

30

20

1.5

Para S ⇒ − + ∆ ≤∆ ≤ +

∆ ≤

∆ ≤

1 1

1

1

1

340 40 0

40 0 340

40 340

40 40

8.5

Para S ⇒ − − ∆ ≤− ∆ ≤ +− ∆ ≥− −

∆ ≥ −



Se selecciona el conjunto de condiciones más restrictivo:

• ∆∆∆∆1 ≤≤≤≤ 1.5 Única condición de menor o igual que.

• ∆∆∆∆1 ≥≥≥≥ - 4 Se utiliza la más cercana a cero porque satisface las otras condiciones, en este caso : ( ∆∆∆∆1 ≥≥≥≥ - 8.5)

NOTA: En caso de varias restricciones de mayor o igual que, se selecciona la que tenga el valor más cercano a cero, lo cual permitirádeterminar el intervalo apropiado de utilidades.



3. Los cambios permisibles para C1 pueden expresarse como:

- 4 ≤≤≤≤ ∆∆∆∆1 ≤≤≤≤ 1.5 Por ello, la contribución X 1 a las utilidades no puede aumentar en más de $1.50 o disminuir en más de $4.00; es decir, $14.50 ≤≤≤≤ C1 ≤≤≤≤ $20.

C1 debe ser superior a $14.50 e inferior a $20 con el objeto que la mezcla óptima de producción permanezca igual. Suponiendo que las condiciones del mercado permiten un incremento de las utilidades del producto X1 de hasta $25 (fuera de los límites anteriores), la mezcla actual no sería óptima y se deben calcular los nuevos reglones Zj y (Cj – Zj) haciendo ∆∆∆∆1 = +6.5 ($25 – 18.5). Esta modificación se presenta en la siguiente tabla:


Tabla modificada para ∆∆∆∆1 = +6.5:

Como se observa el valor de la F.O aumentó en 102.000. Los valores de (Cj-Zj) han cambiado también; esto implica que la mezcla actual no es óptima y que debe recalcularse con el objeto de lograr una nueva solución óptima.

00014.52025CJ →→→→V.B.↓↓↓↓

-100000

100000

20000

1

-20000

S3

-5.5

20

1

-0.05

1

X3

-300000

300000

-20000

-3

40000

S1

000Cj-Zj

530.00002025Zj

18.00001125X1

5001000S2

4.00001020X2

Segundo Término

(Solución)

S2X2X1



Calcular los límites del cambio: Cambio del coeficiente de una variable básica en la Función Objetivo.

La Tabla óptima modificada para cambio en coeficiente de X2 (5-10-5):

00014.520 + ∆∆∆∆218.5CJ →→→→V.B.↓↓↓↓

0

0

1

0

0

S3

- 4.0

18.5

-0.05

0

1

X3

-340 + 20∆∆∆∆2

340 - 20∆∆∆∆2

-3

-20

40

S1

-30 - 20∆∆∆∆200Cj-Zj

428.000 + 14.000 ∆∆∆∆2

30 + 20∆∆∆∆220 + ∆∆∆∆218.5Zj

5001000S3

14.000201020+ ∆∆∆∆2X2

8.000-200118.5X1

Segundo Término

(Solución)

S2X2X1


Calcular los límites del cambio: Cambio del coeficiente de una variable básica en la Función Objetivo.

2

2

2

Re : 17

1.5

1.5 17

sumiendo ∆ ≤∆ ≥ −

− ≤ ∆ ≤

2 2

2

2

2

30 20 0

20 30

20 30

20 20

1.5

Para S ⇒ − − ∆ ≤− ∆ ≤− ∆ ≥− −

∆ ≥ −

1 2

2

2

340 20 0

20 340

17

Para S ⇒ − + ∆ ≤∆ ≤∆ ≤



1. Análisis básico: Cambio en el valor de uno de los recursos (Segundo Término).• Determinar la sensibilidad de los valores solución a cambios en el valor de

un recurso:• Adicionar una cantidad ∆∆∆∆j al recurso que se quiere cambiar y se vuelve

aplicar el proceso de solución:

2. Calcular los límites del cambio en el valor de uno de los recursos :

En la tabla inicial del Simplex, obtenida para el caso de Agro Tech, se incluye el cambio en el nivel de nitrato disponible (1100 + ∆∆∆∆N ), donde ∆∆∆∆N es positivo o negativo para reflejar posibles aumentos o disminuciones en la disponibilidad del recurso. :



Tabla inicial para el nuevo nivel de recursos:

00014.520.018.5CJ →→→→V.B.↓↓↓↓

0

0

1

0

0

S3

14.5

0

0.05

0.05

0.05

X3

0

0

0

0

1

S1

02018.5Cj-Zj

0000Zj

2.00000.050.100S3

1.80010.100.050S2

1.100 + ∆∆∆∆N00.050.050S1

Segundo Término

(Solución bj)

S2X2X1




Se procede con las iteraciones normales del Simplex incluyendo ∆∆∆∆N, hasta llegar a la Tabla Óptima:

61

00014.520.018.5CJ →→→→V.B.↓↓↓↓

0

0

1

0

0

S3

-4.0

18.5

-0.05

0

1

X3

-340

340

-3

-20

40

S1

-3000Cj-Zj

428.000 + 340 ∆∆∆∆N302018.5Zj

500 - 3 ∆∆∆∆N1000S3

14.000 - 20 ∆∆∆∆N201020.0X2

8.000+40 ∆∆∆∆N-200118.5X1

Segundo Término (Solución bj)

S2X2X1



En la Tabla Óptima se puede apreciar que el valor de la F.O aumenta en $340 por cada tonelada adicional de nitrato o disminuye en la misma cantidad por tonelada que deje de usarse.

Como los valores de la solución siempre deben ser no negativos, pueden utilizarse estas funciones para determinar la cantidad de nitrato que puede aumentarse o disminuirse, antes de que la mezcla actual deje de ser óptima, así:




18.000 40 0

40 8.000

40 8.000

8.000

40

200

N

N

N

N

N

Para X ⇒ + ∆ ≥∆ ≥ −∆ ≥ −

−∆ ≥

∆ ≥ −

214.000 20 0

20 14.000

20 14.000

20 20

700

N

N

N

N

Para X ⇒ − ∆ ≥− ∆ ≥ −− ∆ −≤

− −∆ ≤

3500 3 0

3 500

3 500

3 3

166.67

N

N

N

N

Para S ⇒ − ∆ ≥− ∆ ≥ −− ∆ −≤

− −∆ ≤

Re : 200

700

166.67

N

N

N

sumiendo ∆ ≥ −∆ ≤∆ ≤



Si ∆∆∆∆N es menor que 166.67, también será menor que $700, pero no viceversa. Entonces, los límites son los siguientes:

- 200 ≤≤≤≤ ∆∆∆∆N ≤≤≤≤ 166.67

3. Lo anterior significa que la disponibilidad de nitrato puede cambiar en cualquier forma, desde un aumento de 166.67 toneladas hasta una disminución de 200 toneladas, sin ocasionar cambios en el conjunto de variables de la solución. Los valores de la F.O, los valores de las varables de la solución y el valor del Segundo Término cambiarán, pero la mezcla actual de variables se mantendrá. Así, las variables para la solución óptima actual seguirán siendo las mismas, si existen cuando menos 900 toneladas de nitrato disponible o si hay no más de 1266.67.



DUALIDAD :

Para todo problema de maximización de programación lineal existe un problema equivalente de minimización; y a la inversa, para todo problema de minimización de programación lineal existe un problema equivalente de maximización.

La dualidad es importante porque:

• En algunos casos, el planteamiento de problema de PL puede dar como resultado una reducción considerable en los cálculos para resolver el problema.

• La relación dual tiene un nexo importante con el análisis de sensibilidad.• Es posible obtener importante información económica acerca del valor de los

recursos escasos que se utilizan examinando el problema dual.


PLANTEAMIENTO DUAL :

1. Reemplazar las variables Xj del problema primario por variables yi en el dual.

2. Colocar los coeficientes de la F.O del primario como los valores del Segundo

Término en el dual.

3. Colocar los valores del Segundo Término del primario como los coeficientes de la

F.O en el dual.

4. Transponer los renglones de los coeficientes de restricción del primario para

convertirlos en columnas de coeficientes en el dual.

5. Invertir la dirección de las desigualdades, es decir, si las desigualdades del primario

son de mayor o igual, las desigualdades en el dual serán de menor o igual.



EJEMPLO : (Problema original de los dos fertilizantes – Tom Anderson)

Planteamiento del problema primario:

Maximizar: Z =18.5X1 + 20X2

Sujeto a: 0.05X1 + 0.05X2 ≤ 1100

0.05X1 + 0.10X2 ≤ 1800

0.10X1 + 0.05X2 ≤ 2000

X1 , X2 ≥ 0

X1 , X2 son toneladas a fabricar de fertilizante 5-5-10 y 5-10-5 respectivamente y

1100, 1800 y 2000 son las toneladas disponibles de recursos (nitrato, fosfato y

potasio).



Planteamiento del problema DUAL :

Yi = valor marginal del recurso i (1=Nitrato, 2=Fosfato, 3=Potasio) en dólares por

tonelada.

Minimizar Z =1100Y1 + 1800Y2 + 2000Y3

Sujeto a: 0.05Y1 + 0.05Y2 + 0.10Y3 ≥ 18.5

0.05Y1 + 0.10Y2 + 0.10Y3 ≥ 20.0

Y1 , Y2 , Y3 ≥ 0

Cada restricción del dual se relaciona con un producto final (un tipo de fertilizante)

en vez de hacerlo con un recurso.




Utilizando la primera restricción, se tiene:

Puesto que las unidades de medición son iguales en ambos lados de la desigualdad, la restricción es correcta.

1

2

0.055 5 10

0.055 5 10

0.055 5 10

toneladas denitrato dólaresY

toneladas de toneladas denitrato

toneladas de fosfato dólaresY

toneladas de toneladas de fosfato

toneladas de potasio

toneladas de

× + − −

× + − −

− − 318.5

5 5 10

dólares dólaresYtoneladas de potasio toneladas de

× ≥ − −



Consideraciones al plantear el Dual:

• El número de variables del dual será igual al número de restricciones en el primario.

• El número de restricciones en el dual será igual al número de variables en el primario.

• La F.O del dual estará formada por los valores del segundo término del primario.• Los valores del segundo término del dual serán los coeficientes de las utilidades

del primario.• Los coeficientes de las restricciones del dual serán las columnas del primario.




Diferencias entre planteamientos Primario y Dual:

Requerimientos de utilidad por unidad para cada producto

Limitación sobre el uso de recursos escasos

Restricción:

Minimizar valor marginal = (valor marginal por tonelada del recurso) x (toneladas del recurso que se utilizan)

Maximizar utilidades = (unidades del producto) x (utilidad por unidad)

Función objetivo:

Valor marginal por tonelada del recurso

Unidades de producto final que se fabrican

Variables:

DualPrimario



Tabla óptima para el planteamiento dual del problema:

Nota: El valor negativo de Z de $428.000 resulta porque el problema dual fue un

problema de minimización. No se debe considerar el signo negativo.

-20.000-20.00000-2.000-1.800-1.100CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

-6.000

-14.000

20

-20

A2

0

-1.800

1

0

Y2

-8.000

+8.000

20

-40

S1

-14.000

+14.000

-20

20

S2

-12.000-5000Cj-Zj

-428.000-8.000-1.500-1.100Zj

30-20-10-1.800Y2

3404031-1.100Y1

Segundo Término

(Solución)

A1Y3Y1




Tabla óptima problema primario:

00020.018.5CJ →→→→V.B.↓↓↓↓

0

0

1

0

0

S3

-340

340

-3

-20

40

S1

-3000Cj-Zj

428.000302018.5Zj

5001000S3

14.000201020.0X2

8.000-200118.5X1

Segundo Término

(Solución bj)

S2X2X1



Relación entre el primario y el dual óptimo: En la solución óptima, los valores de la

F.O de ambos problemas son iguales. Para cualquier otra solución dual (que no

sea óptima) el valor de la F.O será siempre mayor que el de cualquier valor

primario factible.

Relación entre los valores de la F.O en el problema primario y en el dual: Si el cambio

es un aumento unitario, la utilidad Z del primario aumentará en una cantidad

equivalente al valor óptimo de la variable dual cor respondiente. Una disminución

unitaria en el nivel de un recurso dará como resulta do una disminución

correspondiente en el valor de la F.O en la solución óptima del primario.




Para el ejemplo esto significa: Que un aumento de una tonelada en la disponibilidad

del nitrato da como resultado $340 de aumento en la s utilidades, en tanto que un

aumento de una tonelada en el uso del fosfato da co mo resultado un aumento de

$30 en las utilidades. Un aumento en la disponibil idad de potasio no tendría

impacto sobre las utilidades (en la solución prima ria existen 500 toneladas de

potasio que no se utilizaron.

Los valores de las variables duales pueden encontrarse en la tabla óptima del primario,

formándose una correspondencia de uno a uno entre las variables duales y las variables

primarias de holgura.


INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DEL DUAL :

Cada una de las variables duales equivale a la utilidad adicional que puede obtenerse de una unidad adicional del recurso correspondiente, es decir Y1=340 implica que cada tonelada adicional de nitrato produce $340 adicionales de utilidad; Y2=30 implica que cada tonelada adicional de fosfato produce $30 adicionales de utilidad; y Y3=0 implica que no se obtienen utilidades adicionales al añadir toneladas extra de potasio.

Las variables duales indican la cantidad extra que se estaría en disponibilidad de pagar por una unidad adicional de un recurso específico. Se estaría dispuesto a pagar un precio más elevado por un recurso escaso, hasta por el valor de la variable dual. Por ejemplo: Cada tonelada de fosfato vale $30, y estariamos dispuestos a pagar al proveedor hasta $110 por tonelada ($80 del precio actual más $30 adicionales) adicional de fosfato. El aumento neto en la utilidad por tonelada adicional de recurso será la diferencia entre $30 y el precio más elevado que se pague.


Modelos matemáticos aplicados a las organizaciones:

1. Planeación de la producción: EJERCICIO

Una compañía manufacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos no

redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia

quiere dedicar ésta capacidad a uno o más de tres productos; llámense productos 1, 2 y 3. En

la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la

producción:

150Rectificadora

350Torno

500Fresadora

Tiempo disponible (Horas)Tipo de máquina



El número de horas-máquina que se requiere para cada producto es:

El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20

unidades por semana. La ganancia unitaria sería $50, $20 y $25, respectivamente, para los

productos 1, 2 y 3.

0

4

3

Producto 2

Rectificadora

Torno

Fresadora

Tipo de Máquina

23

05

59

Producto 3Producto 1




El objetivo es determinar:

• Cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la utilidad?

• Cuál es la utilidad máxima?

• Cuál es la contribución de cada producto a la utilidad?

• Cuál es el tiempo de utilización de cada máquina?¿Queda tiempo ocioso?

• Por cada hora adicional asignada, en cuánto aumentará la utilidad por cada máquina?

• Para mantener la solución óptima actual cuál sería el beneficio (mínimo y máximo) por

unidad de cada producto?

• Cuántas horas adicionales se podría trabajar en la Fresadora, sin un cambio en el precio

sombra?


1. Planeación de la producción:

SOLUCIÓN

Definición de Variables:

Xi = Cantidad a producir del P iDonde i = 1, 2 y 3 (P1, P2 y P3)

Función objetivo:

F.O.: Max Z = 50X 1 + 20X2 + 25X3

Restricciones:

S.A. 9X1 + 3X2 + 5X3 <= 5005X1 + 4X2 <=3503X1 + 2X3 <=150

X3 = 20




SOLUCIÓN

Forma Estándar:

Max. Z = 50X1 + 20X2 + 25X3 + 0S1 + 0S2 + 0S3 – A1

S.A. 9X1 + 3X2 + 5X3 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0A1 = 5005X1 + 4X2 + 0X3 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0A1 = 3503X1 + 0X2 + 2X3 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0A1 = 1500X1 + 0X2 + 1X3+ 0S1 + 0S2 + 0S3 + 1A1 = 20



SOLUCIÓN




SOLUCIÓN



SOLUCIÓN




SOLUCIÓN



SOLUCIÓN

• Unidades a producir de cada producto:X1 → Producto 1 = 26,1905 unidadesX2 → Producto 2 = 54,7619 unidadesX3 → Producto 3 = 20 unidades

• Utilidad Máxima: Z = $2.904,7620

• Contribución por producto:X1 → Producto 1 = $1.309,5240X2 → Producto 2 = $1.095,2380X3 → Producto 3 = $500




SOLUCIÓN

• Tiempo de utilización de la maquinaria:

31,4286118,5714150Rectificadora

0350350Torno

0500500Fresadora

Tiempo Ocioso (Horas)

Tiempo Utilizado (Horas)

Tiempo Disponible (Horas)

Tipo de Máquina



SOLUCIÓN

• Aumento en la utilidad por hora adicional asignada a cada máquina:

• Por cada hora adicional en la fresadora, la utilidad aumentará en $4,7619• Por cada hora adicional en el torno, la utilidad aumentará en $1,4286

• El aumento de 1 hora adicional en la rectificadora no aumentará la utilidad.

• Para mantener la solución óptima actual, el benefic io por unidad de cada producto, debe estar entre:

• 25 <= Utilidad por unidad del producto 1 <= 60• 16,666 <= Utilidad por unidad del producto 2 <= 40 • - infinito <= Utilidad por unidad del producto 3 <= infinito




SOLUCIÓN

• Horas adicionales que se pueden trabajar en la Fres adora sin un cambio en precio sombra:

• Limite superior – Tiempo Actual = Horas adicionales

555 - 500 = 55 Horas adicionales se pueden trabajar en la fresadora

manteniendo un precio sombra de $4,76.

Método Simplex: Variaciones (Caso Minimización) · con método simplex: 1. Modificar en dos...

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