Matematik FEtt forsok till kursmaterial

Olle the Greatest

Donnergymnasiet, Sverige

Skrivet i LATEX2ε

11 juni 2005

Innehall

1 Inledning 4

2 Matematisk grammatik 52.1 Skriva matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Lasa matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Matematikens struktur 83.1 Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2.1 Implikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2.2 Ekvivalens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Bevis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3.1 Modus ponens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3.2 Modus tollens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3.3 Induktionsbevis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Abstrakt algebra 154.1 Grundlaggande begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Paradoxala mangder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Bevisforing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.4 Mangdlara i analys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.5 Avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.5.1 Surjektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.5.2 Injektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.5.3 Bijektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.5.4 Invers funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.6 Algebraiska strukturer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.6.1 Grupp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.6.2 Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.6.3 Kropp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Linjar algebra 275.1 Addition av matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Multiplikation av matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3 Speciella matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.3.1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3.2 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3.3 A-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3.4 AT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.4 Linjara ekvationssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.4.1 Ekvationssystem pa matrisform . . . . . . . . . . . . . . . 315.4.2 Gauss-Jordan-elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.5 Konstruktion av A-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.5.1 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2

5.5.2 Reducerad matris och cofaktorer . . . . . . . . . . . . . . 365.5.3 adj (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.6 Translation och rotation med matriser . . . . . . . . . . . . . . . 375.6.1 Forflyttning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.6.2 Forstoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.6.3 Rotation med matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.7 Linjarkombination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.8 Vektorprodukter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.8.1 Dotprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.8.2 Kryssprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.9 Egenvarden och egenvektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Analys 476.1 Gransvarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.1.1 Typer av gransvarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.1.2 l’Hopitals regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.2 Implicit derivering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.3 Integrationsmetoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.3.1 Variabelsubstitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.3.2 Partialintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.3.3 Partialbraksuppdelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.3.4 Byte av koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.4 Differentialekvationer (diffar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.4.1 Forsta ordningens diffar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.4.2 Andra ordningens diffar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.5 Seriers konvergens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.5.1 Rottestet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.5.2 Kvottestet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.5.3 Gransjamforelsetestet [Limit Comparison Test] . . . . . . 706.5.4 Integraltestet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.6 Taylors formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.7 Tillampningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7 Talteori 797.1 Kongruens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.1.1 Kongruens modulo p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8 Uppgifter 808.1 Losningsforslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9 Matematisk notation 83

10 Slutord av forfattaren 84

3

1 INLEDNING

1 Inledning

En san har bok borde inte ha en inledning, utan en slutledning, men eftersomdet ar just slutledningar som den ska handla om, ar det ju dumt att avslojaslutet i borjan.Darfor ar inledningen full av dumheter, som det ovan, sa att man ska tappasugen att lasa den och istallet ge sig pa det vasentliga, dvs det som kommerefter inledningen.Forhoppningsvis har man redan gjort det, men om man envisas och haller sigkvar har for att se om det kommer nat av varde langre ner, sa kan jag gladjaer med att det gor det. Kanske. Det beror ju lite pa vad man tycker ar vartnagonting.

Jag har samlat ett antal matematiska omraden i en liten skrift som forhopp-ningsvis kan fungera som studiematerial for en forberedande kurs for hogsko-la/universitet. Jag har, forutom en del kanske abstrakta utsvavningar, forsokthalla mig inom de omraden som man oftast stoter pa under forsta terminen panaturvetenskapliga utbildningar som kraver matematik.Egentligen borde jag ju skrivit pa engelska ocksa, eftersom majoriteten av lit-teraturen pa universitet och hogskolor ar skrivna pa detta sprak. Men a andrasidan kan det ha sina fordelar att ha sett det forst pa svenska, vem vet?

Tanken med detta lilla alster ar alltsa att man som glad elev i gymnasiet ska faen liten forhandsvisning av vad man kan vanta sig nar1 man borjar lasa mate-matik pa universitet och hogskola.

Jag har ocksa forsokt att knyta ihop de olika kapitlen, eftersom matematikinte ar en samling fristaende grenar utan ett gytter dar allt hamnar overallt.Mangdlaran kommer in bade i talteorin, matrisalgebran och funktionslaran, ma-trisalgebran kommer in i geometrin och funktionslaran osv.

Hoppas det ar lasbart.

Olle the Greatest (olle the greatest@donnergymnasiet.se)Donnergymnasiet 11 juni 2005

1Inte om.

4

2 MATEMATISK GRAMMATIK

2 Matematisk grammatik

2.1 Skriva matematik

Matematisk grammatik, minst lika kul som det later, och hur man skriver ma-tematik ar nastan lika viktigt som vad man skriver.

En grammatisk regel bor namnas.

Regel 1. Skriv matematik som om det vore vanlig text. Punkt skall folja efter ettmatematiskt uttryck om ny mening borjar direkt efter, komma om situationensa kraver. Viktiga uttryck och formler far en egen rad.

Exempel 1. Om 2 + 2 = 4 och 2 + 4 = 6 blir givetvis 6 − 2 = 2. Alla begriperju att det blir fel annars.

Nar man till exempel ska fortydliga nagot i vanlig text, lagger man in ettord/en mening som en bisats. Detsamma galler for matematiska uttryck. Jamforstrukturerna i exemplet nedan.

Exempel 2. Donners basta larare, Olle the Greatest, hatar kaffe.

Newton harledde Newtons gravitationslag,

F = GMm

r2r,

vilket ar den mest sannolika orsaken till att den bar hans namn.

Oandliga decimaltal kan man av utrymmesskal inte skriva ut. Att de fort-satter illustreras med tre punkter.En talfoljd som antingen ar oandlig eller har manga element vilka inte ar prak-tiska att skriva ut men som foljer ett tydligt monster, t.ex. geometriska elleraritmetiska talfoljder, illustreras pa samma satt.

Exempel 3. 17 = 0, 142857142857142 . . . Till skillnad fran

17 ≈ 0, 142857142857142

Exempel 4. Heltalen, N = {1, 2, 3, 4, . . .}, ar upprakneligt oandliga till an-talet.

Exempel 5. De hundra forsta talen, {1, 2, . . . , 99, 100}, ar 100 till antalet.

5

2.2 Lasa matematik 2 MATEMATISK GRAMMATIK

2.2 Lasa matematik

Att skriva ar en sak, men att kunna lasa matematik kan vara en konst i sig.Matematiska begrepp har ofta vardagliga motsvarigheter, sa att man kan ha enkansla for vad man menar, men det racker inte for att fa en strikt och korrektbild av vad det handlar om.

Om nagot ar kontinuerligt kan man tanka sig vad som menas, aven om manpratar om matematiska funktioner. Man kan tanka sig att grafen till funktioneninte har nagra hack, avbrott eller liknande. Men det ar ingen strikt definition.Istallet formulerar man sig t.ex. enligt foljande.

Definition 2.1 (Kontinuerlig funktion). f(x) ar kontinuerlig, om

limx→a

f(x) = f(a)

dvs∀ε > 0 ∃δ > 0 sadant att |f(x) − f(a)| < ε da |x− a| < δ.

Vi kan forsoka uttyda vad som star i den. Forsta formuleringen ar [for-hoppningsvis] bekant till viss del, da ju limesbegreppet introducerades redan paC-kursen.

Vi vill alltsa att funktionens varde nar x narmar sig a, skall narma sig f(a).Detta utesluter ”hack” i grafen, eftersom vi ju inte har specificerat talet a, utandet ska galla for alla reella tal a.

Den andra formuleringen kan vi uttyda bit for bit.

∀ε > 0for varje epsilon, storre an noll

Vi valjer ett tal, helt godtyckligt och sa litet vi vill, bara det inte ar noll. Vikallar detta talet ε.

∃δ > 0finns [minst ett] delta, storre an noll

Oavsett hur vi valjer vart epsilon, sa kommer det att finnas ett tal som vi kallardelta, som ocksa ar storre an noll (aven om det kan vara hysteriskt litet) somuppfyller vissa kriterier, vilka ar

sadant att |f(x) − f(a)| < ε da |x− a| < δ.sadant att avstandet mellan funktionsvardet for a och funktionsvardet for varje

tal x, som ligger narmre a [pa x-axeln] an δ, ar mindre an ε.

Om vi valjer ett epsilon som ar forbaskat litet, finns det trots allt ett delta, somar litet, storre eller mindre an epsilon ar det ingen som vet, men om x och aligger narmre varandra an detta delta, kommer f(x) och f(a) att ligga narmrevarandra an epsilon. Man kan illustrera detta med en liten figur.

6

2 MATEMATISK GRAMMATIK 2.2 Lasa matematik

f(x)

f(a)

xa

<δ

ε >

{

Figur 1: Funktionen f(x), med |f(x) − f(a)| < ε och |x− a| < δ

Vi har nu valt ett ε sa att f(x) och f(a) ligger narmre varandra pa y-axelnan ε, men fortfarande atskilda, dvs att |f(x) − f(a)| < ε. Da maste ju x ocha vara atskilda, for om de inte vore det, skulle vi ha tva y-varden till sammax-varde, och da ar inte f(x) en funktion2. Alltsa maste det finnas ett δ somuppfyller olikheten |x− a| < δ. Ett exempel pa detta i praktiken kommer har.

Exempel 6. Visa attlimx→0

√x = 0.

Tag ε > 0. For x > 0 har vi att |√x− 0| =√x = 1

x < ε, om vi ser till att valjaε2 > x. Om vi da later δ = ε2, sa medfor |x − 0| = |x| < δ att |√x − 0| < ε.Alltsa ar limx→0

√x = 0.

Det vi nu visade var i princip alltsa att funktionen f(x) =√x ar kontinuerlig

i punkten x = 0.

2En funktion ar ju definierad att ge ett enda y-varde for varje instoppat x-varde

7

3 MATEMATIKENS STRUKTUR

3 Axiom, logik och bevis

3.1 Axiom

Matematiken bestar av ett enormt antal satser eller teorem, vilka med logiskaslutledningar kunnat bevisas vara sanna, samt ett antal definitioner. Men for attdetta ska fungera tillfredsstallande3, maste man utga ifran nagot, nagot som kananses vara sant, men vars sanningsvarde inte gar att bevisa. Sadana pastaendenkallas axiom, och den moderna matematiken4 har 5 sadana vilka ar uppkalladeefter en 1800-talsmatematiker. Forenklat kan man formulera dem enligt nedan:

Peanos axiom

1. 1 ar ett heltal

2. Till varje heltal hor ett unikt heltal, som kallas efterfoljare

3. 1 ar inte efterfoljare till nagot heltal

4. Olika heltal har olika efterfoljare

5. Om A ar en mangd5 heltal, 1 tillhor A, och om det medfor att efterfoljarentill p tillhor A forutsatt att p gor det, sa innehaller A alla heltal.

Det ar lattare6 att uttrycka dessa axiom pa matematiska:

Peanos axiom7

1. 1 ∈ N

2. ∀p ∈ N, ∃p∗ ∈ N

3. ∀p ∈ N, 1 6= p∗

4. ∀n,m ∈ N, n 6= m,n∗ 6= m∗

5. Om A ⊂ N, 1 ∈ A, och om p ∈ A ⇒ p∗ ∈ A, da arA = N

Dessa axiom utgar man alltsa ifran, och konstruerar sedan alla tal, binara opera-tioner (de fyra raknesatten) och algebraiska rakneregler, t.ex. distributiva lagen[a(b+ c) = ab+ ac].

3For att undvika ”honan eller agget”4Geometrin har egna axiom som kan harledas till Euklides5Se avsnitt 4 [Abstrakt algebra]6Snyggare, alltsa7Axiom 5 kallas induktionsaxiomet, se kap. 3.3.3

8

3 MATEMATIKENS STRUKTUR 3.2 Logik

3.2 Logik

En matematisk sats [ett teorem] ar antingen pa formen

p⇒ q

ellerp⇔ q,

dar bade p och q har vardet ”sant”.

3.2.1 Implikation

Om vi laterp : det regnar

q : det finns moln pa himlen

sa motsvaras pastaendet ”om det regnar, sa finns det moln pa himlen” av denlogiska implikationen

p⇒ q.

Om p ar sann, dvs om det regnar, sa ar q sann. (om inte mina meteorologikun-skaper ar skeva) Dock kan q vara sann utan att p ar det, det kan finnas molnpa himlen utan att det regnar. Man sager att p implicerar q eller p medfor q.

3.2.2 Ekvivalens

Om vi laterp : det ar den forsta januari

q : det ar nyarsdagen

sa motsvaras pastaendet ”det ar den forsta januari om och endast om det arnyarsdagen” av den logiska ekvivalensen

p⇔ q.

Om p ar sann, dvs om det ar den forsta januari, sa ar q sann. Men ocksa omq ar sann, dvs om det ar nyarsdagen, ar p sann. Man sager att p ar ekvivalentmed q.Fundera over formuleringen, man kan dela upp pastaendet: om det ar nyarsda-gen, sa ar det den forsta januari och endast om det ar nyarsdagen, sa ar detden forsta januari. Det ror sig egentligen om tva implikationer,

p⇒ q

p⇐ q,

och nar man bevisar en ekvivalens maste man bevisa bada implikationerna, varoch en for sig.

9

3.2 Logik 3 MATEMATIKENS STRUKTUR

Det ar inte alltid tydligt att en matematisk sats ar pa den ena eller andraformen, sa for att hjalpa sig sjalv kan man formulera om den, aven om man inteska blanda ord och matematiska uttryck.

Exempel 7.

Sats 3.1. En konstant funktion har derivatan noll

Implikation eller ekvivalens? Ja vi sager ju ingenting om vad som kan tankashanda for andra funktioner an konstanta. Det kan alltsa existera icke-konstantafunktioner med derivatan noll. Men om en funktion ar konstant, vet vi attderivatan ar noll. Vi har en implikation,

konstant funktion ⇒ derivatan noll

OvningFormulera nedanstaende teorem som en implikation eller ekvivalens. Note-

ra att du inte behover veta vad teoremet innebar for att kunna gora detta.Formulera dem i termer om p och q, och definiera p respektive q vid sidan om.

1.d

dxf(g(x)) = f ′(g(x))g′(x)

2. Varje kompakt mangd har en andlig oppen overtackning.

3. For en ratvinklig triangel galler att, om a och b ar kateter och c ar hypo-tenusan, a2 + b2 = c2, och omvant.

4. Man kan inte, med penna, passare och ograderad linjal som enda hjalp-medel, till en cirkel med given area konstruera en kvadrat med sammaarea.

5. R ar tat.

10

3 MATEMATIKENS STRUKTUR 3.3 Bevis

3.3 Bevis

En sats kan ofta bevisas pa olika satt, och vissa satser kan vara omojliga attbevisa pa ena sattet, men busenkelt pa det andra. Jag ska ge exempel pa treolika varianter.

3.3.1 Slutledningsbevis (modus ponens)

Jag ska bevisa sats 3.1. Med slutledningsbevis menar jag att vi utgar ifran detsom vi kunde identifiera som vansterledet i implikationen, dvs vi borjar med enkonstant funktion och sedan kommer fram till slutsatsen att hogerledet ar sant.Observera att vi inte far ta nagon specifik funktion, utan en helt godtycklig,konstant funktion f(x) = k.

Bevis av sats 3.1Lat f(x) = k = k · 1. 1 = x0, sa f(x) = k · x0.Deriveringsregeln for polynom ( d

dxkxn = nkxn−1) ger oss att

f ′(x) = 0 · kx−1 = 0

OvningUtga fran derivatans definition

f ′(x) = limh→0

f(x+ h) − f(x)

h,

och

1. bevisa kedjeregelnd

dxf(g(x)) = f ′(g(x))g′(x).

2. bevisa produktregeln

d

dxf(x)g(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).

3.3.2 Motsagelsebevis (modus tollens)

Ibland kan det vara fordel att utga fran hogerledet i implikationen, i sats 3.1handlar det om att derivatan ar noll. Man antar helt sonika att hogerledet arfalskt, dvs att derivatan inte ar noll, och forsoker komma fram till att funktio-nen man har deriverat inte kan vara konstant. Forvissa dig om att detta faktisktinnebar att satsen ar sann.

Sats 3.1 var valdigt enkel att bevisa, som synes har ovan. Ett motsagelsebe-vis hade varit jobbigare, eftersom det finns oandligt manga derivator som intear noll, och vi maste visa att var och en av dem inte kommer fran en konstantfunktion. Jag ska bevisa en annan sats istallet, for att demonstrera tillvaga-gangssattet.

11

3.3 Bevis 3 MATEMATIKENS STRUKTUR

Sats 3.2.√

2 /∈ Q.

Detta ar en implikation, lost omformulerad kan man skriva

ett tal x ar lika med√

2 ⇒ x kan inte skrivas som ett brak av tva heltal,

aven

roten ur tva ar irrationell

och

x2 = 2 ⇒ x 6= ab , a, b ∈ Z

ar trevliga formuleringar.8

Vi ser hur kraftfullt det ar med matematiskt sprak. Lat oss nu bevisa satsen 3.2.

Bevis av sats 3.2Antag att

√2 ∈ Q, dvs att roten ur tva ar rationellt, dvs att det finns ett tal

x ∈ Q, sadant att x2 = 2. Da kan vi skriva x = ab , dar a och b inte har nagra

gemensamma faktorer (braket ar forkortat sa langt det gar).Da ar

x2 = 2 =a2

b2,

dvs 2b2 = a2.Eftersom vansterledet nu ar delbart med 2, ar aven hogerledet det. Men om a2

ar delbar med 2 maste aven a vara det9 vilket medfor att vi kan skriva a = 2coch a2 = (2c)2 = 4c2. Vi har alltsa att

2b2 = 4c2,

vilket kan forkortas tillb2 = 2c2.

Detta medfor att aven b ar delbart med 2 enligt nyss forda resonemang, ochkan saledes skrivas b = 2d. Men a och b hade inga gemensamma faktorer enligtantagandet. Vi har natt en motsagelse, vilket medfor att antagandet [roten urtva gar att skriva som ett brak, dvs ∃x ∈ Q : x2 = 2] maste vara falskt. Detfinns inget sadant tal x, och satsen ar bevisad.

3.3.3 Induktionsbevis

I vissa lagen kan man fa anvandning av Peanos femte axiom (se kap. 3.1), detsa kallade induktionsaxiomet. Jag ska bevisa att

1 + 2 + 3 + 4 + · · · + n =n(n+ 1)

2. (3.1)

8Denna sats tillskrivs Pythagoras, aven om han sakert formulerade den annorlunda9Det finns en sats som sager detta

12

3 MATEMATIKENS STRUKTUR 3.3 Bevis

Vi har en formel som pastas galla for alla tal, har sags det att vi kan beraknasumman av alla naturliga tal fran 1 till vilket som helst tal n bara genom attanvanda formeln i hogerledet i (3.1). Induktionsaxiomet sager att om vi kan visaatt formeln galler for n = 1 [eller nagot annat tal n = b], samt om vi genom attanta att den galler for nagot tal n vilket som helst, kan visa att den da galleraven for n+ 1, den ocksa galler for alla n ∈ N [eller alla tal n ≥ b].Forvissa dig om att detta ar sant.

Bevis av (3.1)Lat n = 1. Summan av alla tal fran 1 till n nar n = 1 ar ju 1. Vi kollar attformeln ger detta:

1(1 + 1)

2=

2

2= 1.

Antag nu att formeln galler for ett tal n. Da har vi att

1 + 2 + 3 + 4 + · · · + n =n(n+ 1)

2.

Om vi nu lagger till n+ 1 till vansterledet, borde vi [om formeln stammer] fa

1 + 2 + 3 + 4 + · · · + n+ (n+ 1) =(n+ 1)((n+ 1) + 1)

2=

(n+ 1)(n+ 2)

2.

Vi adderar (n+ 1) till bada leden i (3.1) och forenklar hogerledet.

1 + 2 + 3 + 4 + · · · + n+ (n+ 1) =n(n+ 1)

2+ (n+ 1),

H.L =n(n+ 1)

2+ (n+ 1) =

n(n+ 1)

2+

2(n+ 1)

2=

=n2 + n

2+

2n+ 2

2=n2 + n+ 2n+ 2

2=n2 + 3n+ 2

2.

Men (n+ 1)(n+ 2) = n2 + 3n+ 2, sa da kan vi skriva

n2 + 3n+ 2

2=

(n+ 1)(n+ 2)

2=

(n+ 1)((n+ 1) + 1)

2

och vi har visat att formeln galler for n+ 1, givet att den galler for n.Eftersom den galler for n = 1, galler den for alla heltal.

Denna formel kom den tyske matematikern Karl Friedrich Gauss pa nar han10 ar gammal av en trott larare fick i uppgift att summera talen fran 1 till 100.Lararen trodde nog han skulle fa en bra stunds lugn och ro, men Gauss blevklar pa ett par minuter genom att se ett monster och konstruera denna formel.

13

3.3 Bevis 3 MATEMATIKENS STRUKTUR

Ovning

1. Bevisa med induktion att

d

dxxn = nxn−1 (du far anvanda andra kanda deriveringsregler).

2. Ett triangeltal ar ett tal som kan bilda en triangel, t.ex. talet 6, eftersomman kan placera 6 stycken stenkulor i triangelform, en i toppen, tva underoch tre langst ned. 6 ar det tredje triangeltalet.

b

b b

b b b

Konstruera en formel for det n : te triangeltalet, och bevisa den medinduktion.

3. Visa med induktion att

n∑

m=0

m2m = (n− 1)2n+1 + 2

∀n ∈ N.

4. Visa, med ett induktivt resonemang10, att om 0 < a0 < 1, och an+1 gesrekursivt av formeln

an+1 = 2an − a2n

sa ar 0 < an < 1 ∀n ∈ N. (Tips: kvadratkomplettera hogerledet i for-meln)

5. Bevisa med induktion att

n∑

m=1

m2 =2n3 + 3n2 + n

6

∀n ∈ N.

10Du kanske inte kan rakna som i de andra uppgifterna

14

4 ABSTRAKT ALGEBRA

4 Mangdlara

4.1 Grundlaggande begrepp

Mangdlara ar ett viktigt omrade, bland annat for att man definierar raknesatten,algebraiska rakneregler och liknande. Man anvander sig av begreppet mangd ,och en mangd ar egentligen bara “en samling objekt”.

Exempel 8. A = {3, 4, 5} ar en mangd, dar { och } kallas mangdklamrar,och dar 3, 4 och 5 ar element i mangden A.

Betrakta mangderna

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, (4.1)

A = {3, 4, 5}, (4.2)

B = {1, 3, 7}, (4.3)

C = {4, 5}, (4.4)

D = {1, 2, 3, 4, 6}, (4.5)

∅ = {}, (4.6)

dar X ar Universalmangden (i vilken alla andra element i sammanhanget liggeroch kanske annu fler) och ∅ kallas Tomma mangden och saknar element.

OvningVarfor ar det sa kallt i Tomma mangden?11

Mangder kan relateras till varandra, och man kan skapa nya mangder utifrande man har fran borjan. Det sker med hjalp av speciella symboler vilka vi skata en titt pa nu.

C ⊂ A (C ar en delmangd till A). (4.7)

Detta betyder bara att samtliga element som finns i C (4 och 5) ocksa finns iA. Detta kan lika garna skrivas A ⊃ C, men da uttalar man det “A omsluterC”, vilket i och for sig betyder samma sak. Jamfor x < y och y > x.

A ∪B = {1, 3, 4, 5, 7} (unionen av A och B). (4.8)

Unionen av tva mangder ar en mangd vars element ar elementen i A och B.Notera att aven om bade A och B har t.ex. 3 som element, kommer unionen avde tva mangderna bara att innehalla 3 en gang.

B ∩ D = {1, 3} (snittet av B och D). (4.9)

Snittet mellan B och D, ar mangden vars element ar de som ar gemensammafor B och D.

A \ C = {3} (A minus C). (4.10)

11Det finns inga element

15

4.1 Grundlaggande begrepp 4 ABSTRAKT ALGEBRA

Notera vikten av ordning:

C \ A = ∅, (4.11)

De element som finns i C men ej i A, ar noll till antalet.

∁D = {5, 7, 8, 9, 10} (komplementet till D). (4.12)

Komplementet till D ar de element som inte ligger i D, men i Universal-mangden. Kan saledes aven skrivas X \ D.Jamfor de ovanstaende (snitt, union etc) med de logiska operationer som mananvander nar man t.ex. soker pa internet, AND, OR, NOT etc.

Men om man skulle vilja konstruera en egen mangd helt efter behag? Lat osst.ex. skapa mangden av irrationella tal. Innan vi gor det ska vi infora ett parsymboler till som har speciell betydelse:12

N={1, 2, 3, 4,. . . }, de naturliga talen. Kallas ocksa heltalen.Z={. . . , -2, -1, 0, 1, 2,. . . }, de hela talen.Q, de rationella talen, dvs de tal som kan skrivas som en kvot av tva heltal.R, de reella talen. Utgors av de rationella och de irrationella talen.C, de komplexa talen. Utgors av de reella och de imaginara talen.

Vi ser att N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Vi kan nu skriva mangden av rationella tal pa ett satt som ger oss tillfalleatt stifta bekantskap med mangdbyggaren.

Exempel 9.

Q = {x : x =a

b, a, b ∈ Z, b 6= 0}. (4.13)

Detta utlases: ”Q ar mangden av de tal x, sadana att de kan skrivas som enkvot mellan tva hela tal”.

Mangdbyggaren ar symbolerna {:}, dvs mangdklamrar och tecknet : som ut-lases “sadana att” eller “vilka uppfyller” eller nat i den stilen, helt enligt tycke,smak, och mangdens utseende.∈ uttalas “tillhor”, och anger att de tal som star till vanster finns i den mangdsom star till hoger.

Exempel 10. a ∈ R

utlases ”a tillhor R” och betyder att a ar ett reellt tal.

Istallet for att skriva upp sjalva mangden kan man uttrycka den genom attnamna egenskaperna hos de element som ingar, som vi gor i exempel 11.

12N infordes redan i kapitel 3.1

16

4 ABSTRAKT ALGEBRA 4.1 Grundlaggande begrepp

Exempel 11.∃x : x /∈ Q, (4.14)

vilket betyder ”det finns [minst ett] tal x som inte finns i Q”, dvs det finnstal som inte ar rationella (de irrationella, och de imaginara).

Vi inser nu att de irrationella talen enkelt kan skrivas som

R \ Q, (4.15)

och att mangden beskriven i (4.14) kan skrivas

R \ Q ∪ C \ R. (4.16)

Ovning

1. Skriv mangden av jamna kvadrater {1, 4, 9, 16, 25,. . . } pa minst ett sattmed hjalp av mangdbyggaren.

2. Skriv mangden av komplexa tal C pa minst ett satt med hjalp av mangd-byggaren.

3. Vad ar D for mangd? N6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

D = {(x, y) : x, y ∈ N6}.

Ge exempel pa ett forsok som har denna mangd som utfallsrum.

Utfallsrum ar den totala mangden av alla tankbara utfall vid ett slump-forsok eller en statistisk undersokning, t.ex. om jag plockar en veckodagslumpmassigt ar mitt utfallsrum mangden

X = {mandag, tisdag, onsdag, torsdag, fredag, lordag, sondag}.

Mangden D kan ocksa skrivas som N6 × N6, den Cartesiska produktenav N6 och N6 (Jamfor planet, R × R, vilket ger koordinaterna (x, y) darx, y ∈ R).

4. Tva mangder kallas disjunkta (eng disjoint) om snittet ar tomt(A ∩ B = ∅). Forklara i ord vad detta innebar. Ge ett exempel pa tvadisjunkta mangder.Vad ar B for mangd om

(B ∩B) ∪ (B ∩B) = ∅?

5. Skriv mangden av primtal med hjalp av mangdbyggaren. a|b betyder attba = k, k, a, b ∈ N

6. Vilken mangd avses?(R \ N) ∩ (Z \ {0})

17

4.2 Paradoxala mangder 4 ABSTRAKT ALGEBRA

7. Betrakta mangden av alla intervall In = {x ∈ R : an ≤ x < bn}, dar an

och bn ar reella och −1 < an < 0, bn ≥ 1. Bestam snittet och unionen avalla mangderna, dvs finn

∞⋃

n=0

In = I0 ∪ I1 ∪ I2 ∪ . . .

och∞⋂

n=0

In = I0 ∩ I1 ∩ I2 ∩ . . .

8. Lat E och F vara delmangder av universalmangden M.∁F har 13 element, ∁E har 17 element, E ∪ F har 23 element,och (E ∪ F) \ (E ∩ F) har 16 element.Hur manga element har E?

4.2 Paradoxala mangder

Mangdbegreppet ar inte helt trivialt alla ganger. Betrakta mangden

M = {A : A 6⊂ A}, (4.17)

dvs mangden av mangder som inte har sig sjalv som element.

Fragan ar: ar det sant att M ⊂ M?

Om M ⊂ M, sa har ju M sig sjalv som element. Men da kan den ju inteinga i M. . .

Det ar en matematisk variant pa utsagan “jag ljuger”, den utesluter sig sjalvpa ett mycket trevligt men irriterande vis.

En annan variant i samma linje ar barberaren i en by, han rakar bara de sominte rakar sig sjalva. Men vem ser da till att barberaren far sin rakning? Det arkanske enklare att greppa problematiken om man formulerar det i ord, men detblir mer allmangiltigt om man uttrycker det enligt (4.17)

18

4 ABSTRAKT ALGEBRA 4.3 Bevisforing

4.3 Att bevisa satser i mangdlara

Satser i manglara ar ofta av typen ”mangden A ar lika med mangden B”, darA och B har olika trevliga egenskaper. Om man ska visa en sadan likhet brukarman forst visa att A ar en delmangd av B, och sedan att B ar en delmangd avA, ungefar som att x ≤ 4 och x ≥ 4 innebar att x = 4.13 Jag ska visa genomatt bevisa den forsta av de Morgans lagar,

Sats 4.1 (de Morgans lag). ∁(B ∪C) = ∁B ∩ ∁C

Bevis. Lat x ∈ ∁(B∪C). Da galler att x /∈ (B∪C), dvs x /∈ B och x /∈ C. Mendetta betyder att x ∈ ∁B och x ∈ ∁C, saledes aven att x ∈ (∁B ∩ ∁C).

Varje element som finns i V.L. finns alltsa i H.L., och vi har visat att

∁(B ∪C) ⊂ (∁B ∩ ∁C)

Ett liknande resonemang visar det omvanda, och vi har likhet.

Och pa engelska bara for sakens skull. . .

Theorem 4.1 (de Morgan’s law). ∁(B ∪C) = ∁B ∩ ∁C

Proof. Let x ∈ ∁(B ∪ C). Then x /∈ (B ∪ C), i.e. x /∈ B and x /∈ C. But thenx ∈ ∁B and x ∈ ∁C, thus x ∈ (∁B ∩ ∁C).

Since x was arbitrary,∁(B ∪ C) ⊂ (∁B ∩ ∁C).

The inverse inclusion is shown in a similar manner and is left as an exercise forthe reader.

Notera kraften i orden “then” och “thus”. De enda ord14 man behover kun-na.

Ett exempel kan klargora vad lagen innebar:

Exempel 12.

B = {2, 3, 5, 8, 9, 10}, (4.18)

C = {1, 3, 5, 7, 9}, (4.19)

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}(universalmangden). (4.20)

B ∪C = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10}, dvs ∁(B ∪C) = X \ B ∪ C = {4, 6}.

∁B = {1, 4, 6, 7} och ∁C = {2, 4, 6, 8, 10}, sa ∁B ∩ ∁C = {4, 6}.

Alltsa∁(B ∪C) = ∁B ∩ ∁C.

13Detta ar alltsa en ekvivalens (Se 3.2.2)14Engelska ord, alltsa

19

4.4 Mangdlara i analys 4 ABSTRAKT ALGEBRA

Ovning

1. Bevisa den andra inklusionen i de Morgans forsta lag.

2. de Morgans andra lag lyder

∁(B ∩ C) = ∁B ∪ ∁C.

Forsok bevisa den enligt samma resonemang som i mitt bevis av den forstalagen.

3. Bevisa de distributiva lagarna (jfr a(b+ c) = ab+ ac)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

4.4 Mangdlara i analys

Man brukar inleda bocker i analys med att definiera mangden N, sedan Z, Q ochR, for att avsluta med C. Sedan definierar man binara operationer (addition,subtraktion, multiplikation och division) i dessa mangder. Hade man inte dessamangder med sina operationer skulle man ju inte kunna gora mycket inom ma-tematiken.Dock har man inte anvant sjalva mangdbegreppet mer an ett par hundra ar,sa man kan tycka att det som gick bra forut borde ga bra aven i framtiden,men mangdlaran har, forutom strukturerat upp matematiken, aven oppnat nyadorrar och vidgat matematiken pa vitt skilda omraden.

Om du tanker efter har vi redan agnat oss at mangder, nar vi studerat just funk-tioner. Vardemangd och definitionsmangd ar begrepp som du forhoppningsviskanner igen.15 Definitionsmangden brukar vara ett eller flera intervall pa x-axeln,och skrivas t.ex.

−5 < x < 4,

men vanligast ar att skriva det (-5,4), da man kallar det det oppna intervallet-5 till 4, oppet eftersom det inte har nagon grans (man kan komma hur nara 4som helst). Det kan kannas forvirrande (det ser ju ut som en koordinat) sa detgaller att man ar tydlig nar man beskriver vad man gor16. Pa samma satt sagerman att

−5 ≤ x ≤ 4

ar det slutna intervallet -5 till 4 och skrivs [-5,4]. Hakparentes innebar alltsaatt granstalen ar med i mangden. Nu kan vi alltsa skriva [-5,4) och (-5,4] da vimenar −5 ≤ x < 4 och −5 < x ≤ 4. Dessa kallas halvoppna intervall17.

15Se aven kap 4.516En variant ar ]-5,4[, vilket minimerar risken for forvaxling17Andra varianter ar [-5,4[ och ]-5,4]

20

4 ABSTRAKT ALGEBRA 4.4 Mangdlara i analys

Om vi nu ska satta samman tva funktioner med olika definitionsmangder, kanden sammansatta funktionens definitionsmangd bli valdigt olik de bada andra.

Exempel 13. Betrakta funktionerna f(x) = 1x och g(x) = 1

x+3 . De har defini-tionsmangderna A = (−∞, 0) ∪ (0,∞) och B = (−∞,−3) ∪ (−3,∞) eftersomnamnaren inte kan vara noll.Om vi nu bildar f(x) + g(x), blir definitionsmangden istallet C = A ∩ B =(−∞,−3) ∪ (−3, 0) ∪ (0,∞).f(x)g(x) =

1x1

x+3

= x+3x har definitionsmangden A.

g(x)f(x) har definitionsmangd B.

f(g(x)) = 11

x+3

= x+ 3 har definitionsmangden R.

g(f(x)) = 11x +3

= x1+3x har definitionsmangden (−∞,− 1

3 ) ∪ (− 13 ,∞), osv.

OvningBeskriv definitionsmangden och vardemangden till nedanstaende funktioners

sammansattningar enligt

f(x)

g(x),g(x)

f(x), f(g(x)), g(f(x)).

1. f(x) = lnx, g(x) = x2 − 1

2. f(x) = sinx, g(x) = 1x

3. f(x) = e−x2

, g(x) =√x

21

4.5 Avbildningar 4 ABSTRAKT ALGEBRA

4.5 Avbildningar

Detta avsnitt behandlar avbildningar fran en mangd till en annan. Vissa avbild-ningar uppfyller kriterier vilket gor att de kan ga under benamningen funktioner,och det ar dessa vi ska titta pa har.

Definition 4.1. En funktion18 ar en avbildning fran A till B, sadan att bildenav ett element i A utgors av ett element i B.

Jag illustrerar med tva exempel:

Exempel 14. x y x2 ar en avbildning fran R till R+. Den ar aven en funktion.

Exempel 15. x y ±√x ar en avbildning fran R+ till R. Den ar inte en

funktion.

Vi har i exemplen grundmangden A och bildmangden B, dar definitions-mangden D = A och vardemangden V ⊆ B.

4.5.1 Surjektion

En funktion fran A till B sags vara surjektiv (en surjektion fran A till B) omalla element i B ar en avbildning av nagot element i A. Man brukar saga attavbildningen ar pa.For en surjektiv avbildning galler saledes att V = B.

4.5.2 Injektion

En funktion fran A till B sags vara injektiv (en injektion fran A till B) omfoljande galler:

A ∋ x1 y y ∈ B, A ∋ x2 y y ∈ B ⇒ x1 = x2.

Man brukar saga att avbildningen ar 1-1, ”ett-ett”, eller inverterbar.

4.5.3 Bijektion

En funktion fran A till B sags vara bijektiv (en bijektion fran A till B) om denbade ar surjektiv och injektiv. Man brukar saga att funktionen ar 1-1 och pa.

Lat oss titta pa de tre typerna utgaende fran ett exempel.

Exempel 16. a ∈ R, −1 ≤ a ≤ 1. Visa att funktionen

f : x y x2

avbildar hela A = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ a} pa B = {y ∈ R : 0 ≤ y ≤ 1}.Avgor for olika val av a ifall f ar en surjektion, injektion eller bijektion.Om x ∈ A sa ar −1 ≤ x ≤ 1 vilket medfor att 0 ≤ x2 ≤ 1, alltsa y ∈ B oavsetthur a valjs. Lat oss titta pa olika val av a.

18Jamfor fotnoten pa sid 7

22

4 ABSTRAKT ALGEBRA 4.5 Avbildningar

a < 0 x ∈ A ⇒ x 6= 0, sa 0 /∈ V. V ⊂ B sa har ar funktionen inte surjektiv

a ≥ 0 x ∈ A innebar att atminstone −1 ≤ x ≤ 0, sa 0 ≤ y ≤ 1, dvs V = B ochfunktionen ar surjektiv.

a ≤ 0 x ∈ A medfor att −1 ≤ x ≤ 0, sa 0 ≤ y ≤ 1. Dessutom finns det bara ettx ∈ A till varje y ∈ B, sa funktionen ar bade surjektiv och injektiv, dvsbijektiv.

a > 0 Om x1 = a och x2 = −a galler ju att f(x1) = f(x2) = y ∈ B. Funktionenar saledes inte injektiv, aven om den ar surjektiv.

Om vi summerar ser vi alltsa att funktionen f : x y x2 arInjektiv, men ej surjektiv, da −1 ≤ a < 0.Bijektiv, da a = 0.Surjektiv, men ej injektiv, da 0 < a ≤ 1.

4.5.4 Invers funktion

Vi sag i kap 4.5.2 att en funktion ar inverterbar om den ar injektiv. Vart exempelovan visar da pa att en given funktion kan vara inverterbar i ett visst intervall,aven om den inte ar det overallt.Den ovan angivna funktionen ar inverterbar i intervallet −1 ≤ x ≤ 0, da dettager oss bilden 0 ≤ y ≤ 1. Var inversa funktion f−1(y) = −√

y ger oss tillbakaexakt det x som vi utgick ifran. Lat oss ge en mer generell bild av detta.Lat

f : E y F

vara en funktion som avbildar E pa F. Lat G ⊇ E vara den mangd vars elementkan avbildas pa F med f . Om E ⊂ G, ar f ej inverterbar.

Exempel 17. Lat f : x y x2 vara en avbildning fran E till F. E = [−1, 2] geross f(E) = F = [0, 4]. f−1(F) = G = [−2, 2] ⊃ E, sa f ar inte en inverterbarfunktion, aven om vi kan skapa den inversa bilden av F, som ju ar G.

OvningAvgor om funktionen f(x) = sinx ar surjektiv, injektiv eller bijektiv, lokalt

eller overallt. Om den ar injektiv, vad ar dess invers?

23

4.6 Algebraiska strukturer 4 ABSTRAKT ALGEBRA

4.6 Algebraiska strukturer

Man kan till en mangd koppla en binar operation, som verkar mellan elementeni mangden. Ett exempel ar t.ex. N tillsammans med ∗, vilket skrivs {N, ∗}, darvi kan definiera den binara operationen19 ∗ sa att den passar in i var gamlahederliga uppfattning om hur multiplikation gar till. Om operationen uppfyllervissa kriterier i mangden, kan man klassificera dessa strukturer.

4.6.1 Grupp

Definition 4.2. En grupp ar en mangd tillsammans med en operation, {G, ◦},vilka uppfyller foljande kriterier:

1. a, b ∈ G ⇒ a ◦ b ∈ G, G ar sluten under ◦.

2. (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c), ◦ ar associativ.

3. ∃I : ∀a ∈ G I ◦ a = a ◦ I = a, G har en identitet.

4. ∀a ∈ G ∃b ∈ G : a ◦ b = b ◦ a = I, varje element i G har en invers.

Om talet noll ingar i mangden, kan den utgora ett undantag fran kriterium 4.

Definition 4.3. Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, Z ≡ Z5 mod 5

Exempel 18. {Z5, ∗}, dar ∗ ar vanlig multiplikation, ar en grupp.Jag visar hur den uppfyller kriterierna for grupp.20

1. 0 och 1 gor ju inget overraskande, sa vi tittar pa de tre ovriga talen.2 ∗ 3 = 5 ≡ 0 mod 5,2 ∗ 4 = 8 ≡ 3 mod 5,3 ∗ 4 = 12 ≡ 2 mod 5,sa det ser ut som att produkterna av element i Z5 ocksa ar element i Z5,dvs Z5 ar sluten under multiplikation.

2. (2 ∗ 3) ∗ 4 = 6 ∗ 4 ≡ 1 ∗ 4 mod 5 = 4,2 ∗ (3 ∗ 4) = 2 ∗ 12 ≡ 2 ∗ 2 mod 5 = 4,och vi kan visa detsamma for ovriga element om vi vill.

3. 1 ar ju givetvis identiteten i detta exempel.

4. 0 har ingen invers, men vi kan hitta de ovriga talens inverser.1 har sig sjalv som invers.2 ∗ 3 = 6 ≡ 1 mod 5, sa 2−1 = 3, och 3−1 = 2.4 ∗ 4 = 16 ≡ 1 mod 5, sa 4 har sig sjalv som invers.

19Binar eftersom den verkar mellan tva element i taget20Vad galler modulorakning, se kap. 7.1

24

4 ABSTRAKT ALGEBRA 4.6 Algebraiska strukturer

Andra exempel pa grupper ar ortogonala gruppen [se kap 5.6.3], mangdenav linjara translationer [se kap 5.6] med addition, Q med multiplikation etc.Mark val skillnaden mellan additiv och multiplikativ identitet respektive invers:

Identitet:Genom att operera pa element med identiteten, ska vi erhalla samma elementsom vi borjade med.Multiplikation:

Talet 1, eftersom 1 · a = a · 1 = a.Addition:

Talet 0, eftersom 0 + a = a+ 0 = a.Invers:Genom att operera pa element med inversen, ska vi erhalla identiteten.Multiplikation:

Talet a−1 = 1a , eftersom a · 1

a = 1a · a = 1.

Addition:

Talet −a, eftersom a+ (−a) = (−a) + a = 0.

Jamfor med grupperna for matrismultiplikation respektive addition, vilken harlite speciella identiteter och inverser (Se kap 5.3.1 till 5.3.3).

Ovning

1. Visa att {Q, ∗} ar en grupp, om ∗ ar vanlig multiplikation.

2. Visa att en analog urtavla med addition, ar en grupp. Hur borde manbenamna den?

3. Gruppen Z5 benamns den cykliska gruppen Z5, vilken kan beskriva rota-tioner av en femhorning. Motivera detta med ett exempel.

25

4.6 Algebraiska strukturer 4 ABSTRAKT ALGEBRA

4.6.2 Ring

Definition 4.4. En ring ar en mangd G och tva binara operationer + och ∗,vanligen tolkade som addition och multiplikation, vilka uppfyller foljande krite-rier:

1. ∀a, b, c ∈ G, (a+ b) + c = a+ (b+ c), additiv associativitet.

2. ∀a, b ∈ G, a+ b = b+ a, additiv kommutativitet.

3. ∃0 ∈ G : ∀a ∈ G, 0 + a = a+ 0 = a, additiv identitet.

4. ∀a ∈ G, ∃(−a) ∈ G : a+ (−a) = (−a) + a = 0, additiv invers.

5. ∀a, b, c ∈ G, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), multiplikativ associativitet.

6. ∀a, b, c ∈ G, a ∗ (b+ c) = (a ∗ b) + (a ∗ c) och (b+ c) ∗ a = (b ∗ a) + (c ∗ a),additiv och multiplikativ distributivitet.

OvningEtt exempel pa en ring ar Z[ 3

√2] = {a+ b 3

√2 + c 3

√4, a, b, c ∈ Z}.

Visa att Z[ 3√

2] uppfyller kriterierna for en ring.

4.6.3 Kropp

Definition 4.5. En kropp ar en mangd och tva binara operationer som badauppfyller krav pa

• kommutativitet

• associativitet

• distributivitet

• identitet

• invers

OvningDiskutera skillnaden mellan en ring och en kropp.

26

5 LINJAR ALGEBRA

5 Linjar algebra

En kul gren av matematiken som inte fatt speciellt mycket utrymme i gymnasi-et men som har manga tillampningsomraden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi,samhallsplanering och datavetenskap, ar matrisalgebran.

Algebra ar ju bekant, den vi sysslat med i skolan ar ju t.ex. forenkling av ut-tryck, sa som att (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4, vilket som nu arenklare av de tva. . .Man det behover inte ga till pa det satt som vi ar vana vid. Hittills har vi lektmed kommutativ algebra, dvs ordningen har ingen betydelse, a+ b = b+ a.Matrisalgebra, som vi snart ska bekanta oss med, ar bara kommutativ i addi-tion21, medan vi har att det mycket val kan vara sa att A ·B 6= B · A, eller attmultiplikation inte ens ar definierad, om A och B ar tva matriser.

En matris ar inget annat an en uppstallning av tal i rader och kolumner. Enm × n-matris (matris av dimension m × n) har m rader och n kolumner, saen 4 × 3-matris kan se ut som

1 3 −30 a 0, 453 1

3 −i1 Bengt −3

.

Som du ser spelar det ingen roll vilka element det ar i matrisen, om det finnsflera rader som liknar varandra, eller om det ar komplexa tal eller bokstavereller vad som helst. Vi ar ju givetvis intresserade av matriser med reella tal somelement.22

Rakneregler for matriser ar lite mystiska, och jag visar har kort hur det gartill.

5.1 Addition av matriser

En matrisaddition kan bara ske om matriserna har samma dimension, och daadderar man helt enkelt de element som star pa samma plats. Subtraktion skerpa samma vis.

Exempel 19.

1 30 29 5

+

−4 12 4

−8 13

=

1 − 4 3 + 10 + 2 2 + 49 − 8 5 + 1

3

=

−3 42 61 5 1

3

.

21Dar den ar definierad22I alla fall i den har kursen

27

5.2 Multiplikation av matriser 5 LINJAR ALGEBRA

5.2 Multiplikation av matriser

En matris kan multipliceras med en skalar genom att man multiplicerar allaelement med samma skalar.Multiplikation mellan tva matriser ar lite mer invecklat. Om den ena (vanstrasom jag kommer att kalla den) matrisen ar av dimension m × n maste denandra (hogra) vara av dimension n × r for att man overhuvudtaget ska kunnamultiplicera dem, annars ar produkten ej definierad.

Man multiplicerar den ena (den vanstra, har kommer icke-kommutativitetenin) matrisens forsta element i forsta raden med den andra (den hogra) matri-sens forsta element i forsta kolumnen. Sedan multiplicerar man den vanstramatrisens andra element i forsta raden med den hogra matrisens andra elementi den forsta kolumnen, osv. Nar man gjort det med en hel rad, adderar manalla resultat och satter i ovre vanstra hornet pa resultatmatrisen. Jag illustrerardetta forsta element med ett litet exempel.

1 3 20 2 43 3 21 2 −1

.

2 2 3 11 3 1 3

−1 0 4 −2

→

1 · 2 + 3 · 1 + 2 · (−1) a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

.

Notera den smidiga notationen aij for det element som star i rad i och kolumnj. Nasta element i forsta raden blir nu (har raknat ut det forsta)

1 3 20 2 43 3 21 2 −1

.

2 2 3 11 3 1 3

−1 0 4 −2

→

3 1 · 2 + 3 · 3 + 2 · 0 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

.

Notera ocksa att slutmatrisen inte nodvandigtvis har samma dimension som deman borjade med heller.

Ovning

1. Berakna matrisprodukten ovan.

2. Berakna nedanstaende matrismultiplikation.

8 −3 2−1 −1 −1

4 12 2

·

−6 2 −22 1 34 −4 −3

28

5 LINJAR ALGEBRA 5.3 Speciella matriser

5.3 Speciella matriser

Vi har ett par matriser som ar varda lite extra uppmarksamhet. Det ar dels densom kallas enhetsmatrisen, dels nollmatrisen och slutligen den inversa matrisen.

Ingen av dessa ar egentligen en enda matris, utan ett oandligt antal, men de harspeciella egenskaper och dessa ska vi nu titta pa.

5.3.1 Enhetsmatrisen

Denna matris fungerar som talet 1 i ”vanlig” matematik (usch, linjar algebraar lika vanlig som all annan matematik, men ni fattar nog vad jag menar), dvsresultatet av en matris som multipliceras med enhetsmatrisen ar samma matrissom man borjade med, precis som att a ·1 = a. Den ar konstruerad sa att den arkvadratisk, dvs har lika manga rader som kolumner, med ettor langs diagonalenoch nollor overallt annars.Ex.

1 0 00 1 00 0 1

.

Den betecknas 1 [en etta med fet stil] eller I [identitetsmatrisen]

OvningVisa att enhetsmatrisen fungerar som en etta vid multiplikation med god-

tycklig matris. Valj dimension sjalv. Multiplicera bade fran hoger och vanster.

5.3.2 Nollmatrisen

Denna matris fungerar som talet 0 i (hu, nu kommer det igen) “vanlig” mate-matik, och ar en matris full med nollor. Den kan ha vilken dimension som helstoch vad det blir for resultat nar man multiplicerar en matris med den kan manju rakna ut med forbundna ogon. Ett exempel:

[

0 0 00 0 0

]

.

Den betecknas 0 (en nolla med fet stil)

5.3.3 Den inversa matrisen

Den inversa matrisen till en matris A ar den matris A-1 som gor att

A ·A-1 = A-1 · A = 1.

Det ar samma princip som att 13 ar inversen till 3 och ju ocksa kan skrivas som

3−1, ty 3 · 3−1 = 1.Notera att bara kvadratiska matriser har en invers.

29

5.3 Speciella matriser 5 LINJAR ALGEBRA

Nu kanske man kan onska att det bara ar att ta inversen av varje element imatrisen A och tadaa, A-1 ar skapad! Men riktigt sa enkelt ar det ju inte, ef-tersom multiplikationen av matriser inte ser ut som man ar van vid med vanligatal.

For en 2 × 2-matris ar dock inversen relativt enkel att berakna. Om a, b,c och d ar reella tal, ad 6= bc,

A =

[

a bc d

]

sa ar

A-1 =1

ad− bc

[

d −b−c a

]

.

Ovning

1. Visa att A ·A-1 = A-1 ·A = 1 med ovanstaende matriser.

2. Forklara varfor endast kvadratiska matriser kan ha en invers

Man far jobba mycket mer Med storre matriser an 2 × 2 far man jobba mycketmer om man vill hitta inversen. Men eftersom vi tycker det ar kul att jobba medmatematik ska vi gora det lite senare. (Se kap. 5.5)

5.3.4 Den transponerade matrisen

Den transponerade matrisen till en matris A skrivs AT och ar bara ett byterad-kolumn.

A =

[

a b cd e f

]

,

AT =

a db ec f

.

Denna kommer vi att anvanda nar vi ska ta fram invers matris till storre ma-triser. Notera att dimensionen andras sa aven om A ·B ar definierad, ar kanskeinte AT · B det.

30

5 LINJAR ALGEBRA 5.4 Linjara ekvationssystem

5.4 Att losa ekvationssystem med matriser

Man kan anvanda sig av den inversa matrisen for att losa ett ekvationssystem.Det blir ganska jobbigt om man har en stor matris och inte rakar sitta bredviden dator med ett matematikprogram.

Da finns det en trevlig metod som heter Gauss-Jordan-elimination, men forstmaste vi ju kunna skriva ekvationssystem pa matrisform.

5.4.1 Att beskriva ett ekvationssystem med en matris

Ekvationssystemet3x + 2y = 5

−2x + y = −7(5.1)

kan beskrivas dels som en enda matris,

B =

[

3 2 5−2 1 −7

]

,

dels som matrismultiplikationen

Ax =

[

3 2−2 1

]

·[

xy

]

=

[

5−7

]

. (5.2)

OvningVisa att (5.2) ger (5.1).

Iden med det senare ar att losningen (dvs vad x och y ar som loser bada ek-

vationerna) ges av vektorn (kolonnmatrisen)

[

xy

]

. Precis som vanligt nar vi

loser ekvationer vill vi da helt enkelt ha denna matris ensam pa ena sidan avlikhetstecknet, och ett svar pa andra sidan, dvs nat i stil med

[

xy

]

=

[

ab

]

,

dar a och b alltsa ar losningen (x = a, y = b).

Detta kan vi fa om vi lyckas bli av med matrisen till vanster, i exemplet densom ser ut som (jag kallar den A)

A =

[

3 2−2 1

]

.

A-1 ar det vi soker, eftersom vi kan multiplicera fran vanster enligt

A-1 ·[

3 2−2 1

]

·[

xy

]

= A-1A

[

xy

]

= 1 ·[

xy

]

=

[

xy

]

.

31

5.4 Linjara ekvationssystem 5 LINJAR ALGEBRA

Hogerledet i ekvationen maste ju ocksa multipliceras med A-1, i detta fall far vi

alltsa att A-1 ·[

5−7

]

=

[

ab

]

enligt tidigare definition pa a och b.

Saledes maste vi ha ett satt att hitta inversen till en godtycklig matris. Det-ta ska vi gora lite senare.

OvningDet ar bara kvadratiska matriser som har invers, hur kan vi veta att ett

ekvationssystem beskrivet pa det har viset ger en kvadratisk matris?

Om vi istallet tittar pa den forsta matrisen B, sa skulle ju en losning till ekva-tionssystemet ges av

[

1 0 a0 1 b

]

,

dvs{

1 · x + 0 · y = a0 · x + 1 · y = b

,

eftersom ju den vanstra kolumnen motsvarar x-koefficienterna, och den mittersta

y-koefficienterna. Fragan ar, hur kan vi fa

[

3 2 5−2 1 −7

]

att bli

[

1 0 a0 1 b

]

?

Svaret pa den senare fragan ar Gauss-Jordan-elimination.Vi far dessutom, som en bonus, reda pa den inversa matrisen till var ekvations-systemmatris. Vi har i och for sig ingen nytta av den for att losa ekvationssy-stemet, eftersom vi ju just har lost det...

5.4.2 Gauss-Jordan-elimination

Det finns vissa regler for hur man far behandla matriserna.

1. Man far byta plats pa rader hur som helst

2. Man far multiplicera en rad med vilket tal som helst

3. Man far addera eller subtrahera en rad med en annan rad

Varje rad motsvarar ju en ekvation i ett ekvationssystem, och dessa operationerbrukar vi ju gora nar vi forsoker losa systemet.Hitta den kolumn som star langst till vanster som inte innehaller enbart nollor.Se till att det inte ar en nolla langst upp (byt annars plats pa oversta raden mednagon annan)Om det inte ar en etta langst till vanster i forsta raden, utan ett annat tal a

(i vart exempel med

[

3 2 5−2 1 −7

]

ar det ju en trea), multiplicerar du raden

med 1a .

13 ·

[

3 2 5−2 1 −7

]

=

[

1 23

53

−2 1 −7

]

.

32

5 LINJAR ALGEBRA 5.4 Linjara ekvationssystem

Du har nu en etta langst till vanster i den oversta raden. Se nu till att allaandra rader har noll i denna kolumn. I vart exempel fixar vi ju det genom attmultiplicera forsta raden med 2, och addera till den andra. Med matriser ser detut som

[

0 0 02 4

3103

]

+

[

1 23

53

−2 1 −7

]

=

[

1 23

53

0 73 − 11

3

]

.

Nu vill vi ju ha en etta i nasta rads vanstraste kolumn som inte innehaller noll,och da far vi multiplicera den raden med 1

a , och i vart fall ar ju a = 73 sa 1

a = 37 .

37 ·

[

1 23

53

0 73 − 11

3

]

=

[

1 23

53

0 1 − 117

]

.

Sa haller man pa, tills man har ettor i fallande ordning fran vanster till hoger,och nollor under ettorna. Nu hade vi ju bara tva ekvationer, vilket ger oss tvarader, sa vi ar klara.Det som kvarstar ar nu att fa nollor aven ovanfor ettorna, och da jobbar vi ossuppat istallet for nerat, genom att addera olika multipler av en rad till radernaovanfor. I vart exempel vill vi alltsa fa bort 2

3 fran mitten av ovre raden. Damultiplicerar vi ju andra raden med − 2

3 , och adderar den sedan till den forsta:

− 23 ·

[

0 1 − 117

0 0 0

]

+

[

1 23

53

0 1 − 117

]

=

[

1 0 5721

0 1 − 117

]

.

Vi har nu fatt var losning, x = 5721 , y = − 11

7 , vilket ju enkelt verifieras genomatt stoppa in dem i de ursprungliga ekvationerna.

Nar man fatt upp flytet gar det ganska snabbt att losa ekvationssystem padet har viset, och mycket snabbare an om man ska joxa med det pa gammaltklassiskt vis aven om det vasentligen ar samma sak.

Vi har, som synes, transformerat var kvadratiska matris

[

3 2−2 1

]

till en enhetsmatris. Om man da utgar fran en 2×2 enhetsmatris och gor sammaoperationer, kommer inversen till den ursprungliga matrisen att erhallas. Vitestar. Vara operationer ar alltsa: Multiplicera forsta raden med 1

3 , multipliceraden med 2 och addera till den andra, Multiplicera den andra med 3

7 , multipliceraden andra med − 2

3 och addera till den forsta.

[

1 00 1

]

− >

[

13 00 1

]

− >

[

13 023 1

]

− >

[

13 027

37

]

− >

[

17 − 2

727

37

]

.

33

5.4 Linjara ekvationssystem 5 LINJAR ALGEBRA

Ovning

1. Verifiera att vi fann inversen alldeles har ovan

Los nedanstaende ekvationssystem med Gauss-Jordan-elimination:

2.

{

−2x + 6y = −25x − y = −1

3.

−3x + 2y − 5z = −34x − 3y − z = −5

−6x + y + 12z = 4

4.

x1 + x2 + x3 = 23x2 + x4 = 13x2 + x3 = 16

x3 + x4 = 17

5. Berakna inversen till

−3 2 −54 −3 −1

−6 1 12

Verifiera losningarna. 4) ger aven losningen till ovning 8, sid 18, om x1 ar antaletelement i E ∩ F, etc. Formulera garna losningen i denna form.

34

5 LINJAR ALGEBRA 5.5 Konstruktion av A-1

5.5 Att hitta inversa matrisen till en given matris

Om man inte vill agna sig at Gauss-Jordan-elimination, finns det andra teknikerfor att hitta inversen till en given matris. En hel del arbete kravs, men som turar finns det datorprogram som tar fram dem (och miniraknare). Vi ska nu tittapa hur vi gor med en 3 × 3-matris, vilket inte bara ar for skojs skull utanfor att den bl.a. kan beskriva ett tredimensionellt koordinatsystem och darforforekommer bade har och dar.

5.5.1 Determinanten

Ett mycket vanligt begrepp inom linjar algebra ar determinant. Matrisen

A =

[

a11 a12

a21 a22

]

har determinanten

det(A) =

∣

∣

∣

∣

a11 a12

a21 a22

∣

∣

∣

∣

= a11 · a22 − a12 · a21.

Man kan saga att man “gar langs diagonalerna”, och tar skillnaden mellan sum-man av produkterna av elementen fran ovre vanstra till nedre hogra, och franovre hogra till nedre vanstra. Nu har vi ju bara en diagonal at respektive hall,men en 3 × 3-matris ger en tydligare bild av vad som avses. [denna utbyggnads-process funkar bara pa 3 × 3−matriser]

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

,

om man “bygger ut” matrisen lite, sa att saga.1 2 3 4 5 6

det(A) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12

a21 a22

a31 a32

= a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31+

+a13 · a21 · a32 − a13 · a22 · a31 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33.

Determinanten till en matris ar alltsa bara ett tal. Har vi storre matriser gar vitillvaga pa nastan samma satt, men vi later det vara till nan annan gang.23

Om determinanten till en matris ar noll, ar matrisen inte inverterbar!En kanske inte forklaring men i alla fall en motivering till detta kommer nedan.

23Nanting ska ni val ha kvar att lara er pa hogskolan?

35

5.5 Konstruktion av A-1 5 LINJAR ALGEBRA

5.5.2 Reducerad matris och cofaktorer

Om man har en n × n-matris, lat oss for enkelhetens skull anvanda en 3 × 3-matris hadanefter, sa har varje element i den nagot som kallas den reduceradematrisen till det elementet. Matrisen

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

har till elementet a11 den reducerade matrisen R11, vilken fas genom att strykaalla element i A som star i samma kolumn eller samma rad som a11.

R11 =

[

a22 a23

a32 a33

]

.

det(R11) betecknas M11 och kallas pa engelska the minor of a11. Cofaktorn cijtill elementet aij ar

cij = (−1)i+jMij .

5.5.3 Den transponerade cofaktormatrisen adj (A) och A-1

Om man skapar en matris, vars element utgors av cofaktorerna till elementen iA, far man cofaktormatrisen till A;

C =

c11 c12 c13c21 c22 c23c31 c32 c33

.

Om man nu transponerar denna matris (se kap. 5.3.4), far man

CT = adj(A) =

c11 c21 c31c12 c22 c32c13 c23 c33

,

pa engelska “the adjoint of A”, darav forkortningen.Vad ska man med detta till? Jo. . .

A-1 =1

det(A)adj(A).

Detta galler for alla matriser, sa lange determinanten inte ar noll, for dabryter man ju mot det elfte budet24.

OvningLos ekvationssystemen i ovningarna 2 och 3 pa sidan 34 genom inversa

matris-metoden som beskrevs i kap. 5.4.1.

24Du skall icke dividera med noll

36

5 LINJAR ALGEBRA 5.6 Translation och rotation med matriser

5.6 Translation och rotation med matriser

Matriser kan anvandas till att flytta punkter, forstora, rotera och liknande. Jagtankte visa pa nagra sadana transformationer, men forst maste vi ju kunnabeskriva punkter med hjalp av matriser.Jag ger ett tvadimensionellt exempel, hur det blir i fler dimensioner kan du nogfilura ut.En punkt i planet R2 kan beskrivas med en vektor, som utgar fran origo. Dennavektor ar en 2 x 1-matris.

Exempel 20. Punkten (3, 1) representeras av vektorn [3, 1], vilken pa matris-

form skrivs25 V =

[

31

]

. Vi kan illustrera detta i ett koordinatsystem.

1 2 3-1-2

1

2

3

-1

-2

5.6.1 Forflyttning

Om vi nu vill flytta denna punkt nagon annanstans, adderar vi bara en vektortill den. Detta ar inget annat an vanlig vektoraddition, bara att den ser utannorlunda an vad man kanske ar van vid.

Exempel 21. Jag vill flytta min punkt (3,1) ett steg i x-led och tva steg i y-led.Jag utfor matrisadditionen

[

31

]

+

[

12

]

=

[

43

]

.

Vi ritar in det i koordinatsystemet och ser hur det blev.

1 2 3-1-2

1

2

3

-1

-2

25Jamfor losningsmatrisen till ett ekvationssystem, linjerna skar varandra i en punkt. Sekap. 5.4.1

37

5.6 Translation och rotation med matriser 5 LINJAR ALGEBRA

5.6.2 Forstoring

Om vi nu kan flytta punkter lite som vi vill, skulle man ju kunna flytta flerasamtidigt, men lite olika. Detta ar inga problem, och jag ska visa genom attbade flytta och forstora en triangel.26

Exempel 22. Punkterna (1,1), (2,3) och (3,1) bildar hornen i en likbent tri-angel. Jag multiplicerar motsvarande vektorer med en matris, t.ex.

A =

[

2 00 3

]

.

Vi plottar forst in punkterna i ett koordinatsystem.

1 2 3

0

1

2

3

-1

b

b

b

Nu multiplicerar vi vara vektorer med matrisen.

A ·[

11

]

=

[

23

]

,

A ·[

23

]

=

[

49

]

,

A ·[

31

]

=

[

63

]

,

och ritar sa in punkterna i koordinatsystemet igen.

1 2 3 4 5 6 7

0

1

2

3

45

6

78

9

10

11

12

13

-1

-2

b

b

b

Trots att jag (av utrymmesskal) andrat skalan, ser man att det hant nagotmed triangeln. Den har flyttat sig, blivit storre, men den ar fortfarande badelikbent och parallell med x-axeln.

26Man kanner sig lite som en trollkarl nar man haller pa sahar

38

5 LINJAR ALGEBRA 5.6 Translation och rotation med matriser

5.6.3 Rotation med matriser

Nu nar vi kan flytta punkter linjart borde vi ju kunna rotera dem ocksa.

Ortogonala gruppenMatriser kan klassificeras sa att de bildar algebraiska grupper27, och jag tankteatt vi skulle titta pa en av dem, den ortogonala gruppen.

Definition 5.1. En n × n-matris A ar ortogonal om

AAT = I.

En ortogonal matris ar saledes alltid inverterbar, och

A-1 = AT.

Exempel pa ortogonala matriser ar 1√2

[

1 11 −1

]

och 13

2 −2 11 2 22 1 2

.

Definition 5.2. Den ortogonala gruppen O(n) ar gruppen av n × n ortogonalamatriser.

Ovning

1. Visa att de tva exempelmatriserna ovan ar ortogonala matriser.

2. Visa att O(n) ar en grupp under multiplikation.

Tva ortogonala matriser, vilka kan anvandas till rotation, ar

R1 =

[

cos θ − sin θsin θ cos θ

]

(5.3)

och

R2 =

[

− cos θ sin θsin θ cos θ

]

, (5.4)

dar θ ar den vinkel man vill rotera.

Exempel 23. Vi utgar fran samma vektor som i Exempel 20, och multiplicerarmed en av rotationsmatriserna R1. θ = π

2 .

R1 ·V =

[

cos π2 − sin π

2sin π

2 cos π2

]

·[

31

]

=

[

0 −11 0

]

·[

31

]

=

[

−13

]

.

Hur blev det har nu da? Vi ritar in aven denna vektor i koordinatsystemet.

27Se kap 4.6.1

39

5.7 Linjarkombination 5 LINJAR ALGEBRA

1 2 3-1-2

1

2

3

-1

-2

Vi far en motsols rotation pa 90◦. Nu blir man ju nyfiken pa att testa medden andra matrisen R2 ocksa.

Ovning

1. Testa med R2 ocksa. Forklara vad du ser.

2. Studera triangelforandringen i Exempel 22. Forklara vad elementen i ma-trisen A betyder, och konstruera en matris som forminskar ursprungstri-angeln.

3. Multiplicera triangeln i Exempel 22 med matrisen

A =

[

2 12 3

]

,

och diskutera vad du observerar.

5.7 Linjarkombination

En ofta anvand term inom vektoralgebra [och aven andra delar av matematiken]ar linjarkombination. En linjarkombination av vektorerna v1, v2, ...,vn, ar envektor u = c1v1 + c2v2 + ...+ cnvn, dar ci ar godtyckliga konstanter. Vi stoterofta pa linjarkombinationer nar vi studerar krafter, dar resultantkraften ar sum-man av sina komposanter i x- och y-led. Vi nyttjar da enhetsvektorerna ellerbasvektorerna i = (1, 0) och j = (0, 1), dar vilken tvadimensionell vektor somhelst, (a, b), kan skrivas som linjarkombinationen ai+bj = (a, 0)+(0, b) = (a, b).

En mangd vektorer [eller matriser] sags vara linjart oberoende om ingen av demkan skrivas som en linjarkombination av de andra.

40

5 LINJAR ALGEBRA 5.8 Vektorprodukter

5.8 Vektorprodukter

Vi ska titta pa tva satt att bilda produkten av tva vektorer. Den ena gallerallmant, medan den andra endast i tre dimensioner. Den senare ar dock mycketofta anvand i fysikaliska tillampningar. Vi kommer att utnyttja de tre enhets-vektorerna i x−, y− och z−led som skrivs i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).

5.8.1 Dotprodukt

Skalar- eller ”dotprodukt” ar en binar operation som uppfyller foljande kriterier.

1. u • v = v • u

2. u • (v + w) = u • v + u • w

3. (tu) • v = u • (tv) = t(u • v) [t reellt tal]

4. u • u = |u|2

Nar man tar dotprodukten av tva vektorer [av samma dimension] multiplicerarman respektive element och adderar dem. Resultatet blir alltsa ett tal, en skalar.

u = (3, 2, 5), v = (−1, 3, 2)

u • v = 3 · (−1) + 2 · 3 + 5 · 2 = 13.

Dotprodukten ar tydligen den teknik vi anvander nar vi multiplicerar matrisermed varandra, om vi betraktar raderna i den vanstra matrisen, och kolumnernai den hogra, som vektorer.En ofta anvand egenskap hos dotprodukten ar foljande.

Sats 5.1. u • v = |u||v| cos θ, dar θ ar vinkeln mellan vektorerna u och v. Omdotprodukten mellan tva vektorer ar noll, ar alltsa vektorerna vinkelrata.

OvningVisa ovanstaende sats. Anvand dig av cosinussatsen, och att en triangels

sidor kan beskrivas som tva vektorer u och v, samt differensen u − v mellandem.

5.8.2 Kryssprodukt

Vektor- eller kryssprodukt ar definierad i tre dimensioner enligt foljande.

1. (u × v) • u = 0 och (u × v) • v = 0

2. |u × v| = |u||v| sin θ, dar θ ar vinkeln mellan vektorerna

3. u,v och u × v bildar en hogerhands-triad [tank hogerhandsregeln franelektromagnetismen]

Enligt 2) ovan ar alltsa kryssprodukten mellan tva parallella vektorer lika mednoll. Produkten sjalv beraknas enligt foljande princip.

41

5.8 Vektorprodukter 5 LINJAR ALGEBRA

Sats 5.2. Om u = (u1, u2, u3) = u1i + u2j + u3k och v = (v1, v2, v3) = v1i +v2j + v3k, sa aru× v = (u2v3 − u3v2)i + (u3v1 − u1v3)j + (u1v2 − u2v1)k.

Detta ar kanske jobbigt att memorera, men om vi utnyttjar samma principsom nar vi beraknar determinanter [se kap. 5.5.1] far vi en enkel teknik for attberakna kryssprodukten. Om vi later den forsta raden besta av enhetsvektoreristallet for komposanter, far vi en matris enligt nedan.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j ku1 u2 u3

v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= u2 · v3i + u3 · v1j + u1 · v2k − u2 · v1k − u3 · v2i − u1 · v3j.

Om vi samlar ihop koefficienterna for respektive enhetsvektor ser vi att vi farjust kryssprodukten mellan u och v.

Kryssprodukten forekommer inom manga omraden i fysiken, ett kart exem-pel ar kraften pa en elektrisk laddning i ett magnetfalt. Den beskrivs genomformeln

F = qvB,

men har far vi inte med riktningen pa kraften [ej heller magnetfaltet eller has-tigheten]. Om vi skriver formeln pa vektorform ser den ut som

F = qv × B,

och kan beraknas enligt ovanstaende determinantteknik. Definition 3) av kryss-produkt talar om att om v och B ar vinkelrata kommer F att vara vinkelratmot bade v och B, var gamla hogerhandsregel.

Exempel 24 (Uppgift fran prov i fysik B 050118). En proton ror sig med has-tigheten 105m/s vinkelratt mot ett magnetfalt med flodestatheten 10−3T .Visa med figur kraftens riktning och berakna dess storlek.

Vi bestammer att hastigheten ligger i x-led och B-faltet ligger i y-riktningen. Daar v = (100000, 0, 0) och B = (0, 0.001, 0). Kraften far vi genom F = qv × B,eller med determinantvarianten,

F = q

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j kv 0 00 B 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= qvBk = 1.6 · 10−17kN.

(Figuren ej skalenlig) Notera att qB × v = −F aven om qBv = F .

x

y

z

vB

F

42

5 LINJAR ALGEBRA 5.8 Vektorprodukter

Pa liknande satt definieras momentet kring en punkt som M = r×F. [trotsatt vi havdar ”kraft ganger arm”hela tiden ar det alltsa tvartom egentligen] Omen kraft inte ar vinkelrat mot radiella avstandet fran rotationspunkten kompo-santuppdelar vi och tittar bara pa den vinkelrata komposanten. [den radiellager ju inget bidrag till vridmomentet]

Exempel 25. En skiftnyckel anvands for att lossa en mutter. Skiftnyckelnslangd ar 25cm och kraften som anvands ar 200N . Berakna momentet kringmuttern.

Om vi lagger skiftnyckeln i x-led och kraften i y-led har vi vektorerna r =(0.25, 0, 0) och F = (0,−200, 0). Figuren ar inte skalenlig.

r

Fxy

Momentet far vi genom M = r× F, eller med determinantvarianten,

M =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k0.25 0 0

0 −200 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −50kNm.

Momentet ar alltsa en vektor, som pekar i negativa z-axelns riktning. I figurenovan ar z-axeln riktad ut ur papperet, vilket betyder att momentet gar in i pap-peret och pekar alltsa i tummens riktning vid ”skruvregeln”, den vi anvander narvi vill veta riktningen pa magnetfaltets riktning i en stromspole.

Som synes kommer dessa ”hogerhandsregler” fran vektorprodukter, och haralltsa en ”naturlig” forklaring, eller i alla fall en matematisk.Ovning

1. Motivera eller bevisa att |u×v| ar arean av det parallellogram som bildasav u och v.

u

v

2. Motivera eller bevisa att u • (v × w) ar volymen av den parallellepipedsom bildas av u, v och w.

43

5.9 Egenvarden och egenvektorer 5 LINJAR ALGEBRA

5.9 Egenvarden och egenvektorer

En speciell typ av matrisekvationer kallas egenvardesekvationer 28 och forekom-mer frekvent inom flera fysikaliska omraden.

Betrakta ekvationenAx = λx,

dar A ar en matris, x en vektor och λ en skalar. Effekten av att multipliceravektorn x med en matris blir bara vektorn x igen, ganger en konstant. Vi kan-ner igen liknande ekvationer, dar vi anvant [differential-]operatorer istallet formatriser. Betrakta t.ex. differentialekvationerna

d

dxy = ky,

d2

dx2y = ky,

vilka vi ofta skriver y′ = ky och y′′ = ky. Den forsta loses med exponentialfunk-tionen, och den andra med de trigonometriska funktionerna 29 sinus och cosinus.Matriser kan ju ha vilka element som helst, aven differentialoperatorer, sa mankan enkelt beskriva system som uppvisar periodicitet [som sinuskurvan] eller ex-ponentiell tillvaxt med sadana matriser. Vi ska inte grava ner oss i tillampningar[de ligger utanfor denna kurs, men jag ger exempel pa nasta sida] men hur manloser dem kan vara bra att kunna.Om vi skriver om ekvationen pa homogen form ser den ut som

(A − λI)x = 0, (5.5)

eftersom ju λx = λIx. Vi har nu tva fall.

1. det(A − λI) 6= 0, da ar x = 0.

2. det(A − λI) = 0.

OvningVisa att x = 0 om det(A − λI) 6= 0.

Som ett exempel [det funkar givetvis i godtycklig dimension] tar jag en 2 × 2-matris.

A − λI =

[

2 32 1

]

−[

λ 00 λ

]

=

[

2 − λ 32 1 − λ

]

.

Ekvationen det(A− λI) = (2− λ)(1− λ)− 6 = λ2 − 3λ− 4 = 0 har losningen30

λ1 = −1, λ2 = 4, vilket enkelt verifieras.Vi far alltsa en n-tegradsekvation fran en n× n-matrisekvation, och vi ser ocksaatt varje matris har sina egna specifika egenvarden.

28eng. eigenvalue29vilka ocksa kan skrivas med hjalp av exponentialfunktionen, men med komplexa exponen-

ter30Matrisen A har egenvardena [...]

44

5 LINJAR ALGEBRA 5.9 Egenvarden och egenvektorer

Det ar inte vilken vektor som helst som uppfyller egenvardesekvationen, ut-an varje matris har bade egenvarden och dartill horande egenvektorer, vilka vifar fram genom att satta in egenvardena i matrisen A− λI och losa egenvarde-sekvationen (5.5).λ1 = −1 ger

[

3 32 2

] [

x1

x2

]

= 0,

och vi far ekvationsystemet{

3x1 + 3x2 = 02x1 + 2x2 = 0

,

vilket har losningen x1 = −x2, dvs x = s

[

1−1

]

for nagon konstant s. Det

andra egenvardet ger oss x = t

[

123

]

for nagon konstant t.

Egenvektorerna ar sk baser for egenrummet till A, och alla andra vektorer v iegenrummet kan skrivas som en linjarkombination31 (se kap. 5.7) av egenvekto-rerna,

v = s

[

1−1

]

+ t

[

123

]

.

Jamfor basvektorerna i och j for det tvadimensionella planet, dar alla vektoreri x− y−planet kan skrivas som en linjarkombination av dessa tva vektorer, detvi kallar komposantuppdelning.

Exempel pa egenvardesproblem:Schrodingerekvationen ser ut som

Hψ(r) = Eψ(r),

dar H ar Hamiltonoperatorn eller Hamiltonianen, vilken har olika utseenden forolika fall. Detta ar en egenekvation vars egenvarden motsvarar t.ex. energinivaeri en vateatom, och ar en fundamental ekvation inom kvantmekaniken.

Troghetsmomentsmatrisen I32 ar relaterad till rorelsemangdsmomentvektorn Lgenom ekvationen [ω ar vinkelhastighetsvektorn]

L = Iω.

Dessa tva har att gora med rorelser [rotationer] hos en stel33 kropp. Att hittasymmetriaxlar for en given kropp motsvaras av att losa egenvardesekvationen

L = Iω.

Notera skillnaden i de tva ekvationerna.31Jamfor losningarna till andra ordningens diffar, kap. 6.4.232Icke att forvaxlas med identitetsmatrisen33Dar alla inbordes avstand ar konstanta under rorelsen

45

5.9 Egenvarden och egenvektorer 5 LINJAR ALGEBRA

DiagonaliseringGenom att skapa en matris P av de linjart oberoende34 basvektorerna i egen-rummet kan man diagonalisera matrisen A, dvs skapa en matris med nolloroverallt utom pa diagonalen. Genom operationen

P−1AP = D

bildas den diagonaliserade matrisen D, vilken har egenvardena till A som en-da nollskilda element. Detta gar endast om basvektorerna ar linjart oberoende,annars ar det(P) = 0 och vi kan inte berakna P−1. Notera att ordningen paegenvektorerna inte har nagon betydelse nar man skapar P, skillnaden blir baraen annan ordning pa diagonalelementen i D.

Ovning

1. Los egenvardesekvationenAx = λx,

dar

A =

1 3 22 −3 −2

−1 2 2

,

dvs hitta egenvardena och egenvektorerna till matrisen A. Du far gissaeller ”se”en rot till den karaktaristiska ekvationen i λ och sedan faktorisera.

2. Diagonalisera matrisen A i ovningen ovan

34se kap. 5.7

46

6 ANALYS

6 Analys

6.1 Gransvarden

I gymnasiekurserna studerar man vissa gransvarden, det kanske vanligast fore-kommande ar derivatan till en funktion f(x), vilken ju ar definierad som

f ′(x) = limh→0

f(x+ h) − f(x)

h.

Ett annat exempel ar studier av talfoljder och serier, t.ex. talfoljden

1,1

2,1

3,1

4, . . . ,

1

n, (6.1)

vilken har gransvardet

limn→∞

an = limn→∞

1

n= 0.

Dock galler for serien

1 +1

2+

1

3+

1

4+ . . . , (6.2)

att

limn→∞

n∑

k=1

1

k= ∞.

Just att studera seriers divergens eller konvergens, dvs om de har en oandligsumma eller inte, ar intressant att agna sig at, och detta ska vi gora i kap 6.5.Till exempel ar talfoljden (6.1) konvergent, eftersom lim

n→∞an = L < ∞, man

sager att foljden konvergerar mot L, medan gransvardet for serien, limn→∞

n∑

m=1

an,

blir oandligt stort och serien darfor divergerar.35 Gransvarden ar inte sa ab-strakta som man kan tanka sig, vi kan ta ett exempel fran fysiken.

Exempel 26. Jordens flykthastighet ar den hastighet som kravs for att fullstan-digt undga jordens gravitationsfalt. Denna hastighet maste vara sa stor, att manerhaller en tillracklig kinetisk energi for att precis ta sig ut ur jordens gravita-tionsfalt. Men gravitation har en oandlig rackvidd (aven om den blir forsumbarpa relativt korta avstand), vilket gor att vi kan stalla upp lagen for energinsbevarande och losa ut v enligt36

Ek0− Ek = Ep0

− Ep

1

2mv2 − 0 = G

Mm

r2r − lim

r→∞GMm

r2r

1

2mv2 = mgr − 0

v =√

2gr ≈ 11, 3km/s.

35Som divergens raknas ocksa ifall det finns tva eller flera andliga gransvarden36Forandringen i kinetisk energi maste motsvara forandringen i potentiell energi

47

6.1 Gransvarden 6 ANALYS

Lat oss droja kvar en stund vid funktioners gransvarden, och titta pa olikatyper, och satt att berakna dem.

6.1.1 Typer av gransvarden

Den beteckning vi ar vana att se ar t.ex.

limx→a

f(x) = L.

Dessa gransvarden ar tillampbara pa alla kontinuerliga funktioner37, men detkan ju vara intressant att studera aven icke-kontinuerliga funktioner, s.k. dis-kontinuerliga funktioner.limx→a−

Denna beteckning betyder att vi studerar hur funktionen uppfor sig nar vi nar-mar oss talet x = a fran vanster (det negativa hallet pa x-axeln).limx→a+

Denna beteckning betyder att vi studerar hur funktionen uppfor sig nar vi nar-mar oss talet x = a fran hoger (det positiva hallet pa x-axeln).

Exempel 27. Funktionen

f(x) =

1, x < 22, x = 23, x > 2

ar diskontinuerlig, med diskontinuitetspunkt i x = 2.

Den har grafen

0 1 2 3-1-2

1

2

3

◦b

◦

En fylld ring symboliserar en singular punkt, i detta fall (2, 2), medan de oi-fyllda ringarna i punkterna (2, 1) och (2, 4) symboliserar att funktionen kommeroandligt nara denna koordinat, men inte anda fram.38

Om a 6= 2 kan vi berakna gransvardet limx→a f(x) och far da

lim f(x) =

{

limx→a f(x) = 1, a < 2limx→a f(x) = 3, a > 2.

Vill vi berakna gransvardet for a = 2 maste vi alltsa dela upp det i tva fall.

lim f(x) =

{

limx→a− f(x) = 1, a = 2limx→a+ f(x) = 3, a = 2.

37Se Definition 2.1 sid 638Jamfor intervallet (−∞, 2) pa reella talaxeln

48

6 ANALYS 6.1 Gransvarden

Ibland kan det vara sa att en funktion ar diskontinuerlig i exempelvis en punktx = a, men den har ett gransvarde sadant att limx→a− f(x) = limx→a+ f(x) =limx→a f(x). Detta gransvarde kan vara latt att hitta, sasom i exemplet nedan.

Exempel 28. Funktionen

f(x) =x2 − 1

x+ 1

ar inte definierad for x = −1, eftersom namnaren da ar noll. Men

limx→−1

f(x) = limx→−1

x2 − 1

x+ 1= lim

x→−1

(x+ 1)(x− 1)

x+ 1= lim

x→−1x− 1 = −1− 1 = −2.

Sa lange vi bara tittar pa gransvardet nar x narmar sig −1, kan vi lugntforkorta braket (vi dividerar ju inte med noll eftersom x 6= −1). Nar vi val gjortdet, kan vi se vad som hander ifall x = −1.

Faktorisering som ovan ar ett effektivt satt, och man kan ofta utnyttja kan-da gransvarden, t.ex. limx→∞

1xn = 0 om x > 1 och n > 1.

Exempel 29. Berakna gransvardet

limx→∞

x5 + 3x+ 8

2x5 − x4. (6.3)

Vi kan inte satta in ett oandligt stort tal i braket, eftersom bade taljare ochnamnare da skulle bli oandliga och ∞

∞ inte ar definierat. Men vi kan faktoriserataljare och namnare, och far da

limx→∞

x5 + 3x+ 8

2x5 − x4= lim

x→∞

x5(1 + 3x4 + 8

x5 )

x5(2 − 1x )

= limx→∞

1 + 3x4 + 8

x5

2 − 1x

=1

2.

Man ser ur detta exempel att vad galler polynom, ar det bara hogstagradster-mernas koefficienter som har nagon betydelse i slutanden.

Exempel 30. Berakna gransvardet

limx→∞

√

x2 + x− x.

Bada termerna blir oandligt stora, sa vi maste trixa lite. Forlanger vi med kon-jugatet far vi istallet

limx→∞

(√x2 + x− x)(

√x2 + x+ x)√

x2 + x+ x= lim

x→∞

x2 + x− x2

√

x2(1 + 1x ) + x

=

= limx→∞

x

x√

1 + 1x + x

= limx→∞

x

x(√

1 + 1x + 1)

= limx→∞

1√

1 + 1x + 1

=1

2

Ibland ar det inte lika uppenbart hur man ska ga tillvaga, och da maste manta till andra knep, sasom l’Hopitals regel.

49

6.1 Gransvarden 6 ANALYS

6.1.2 l’Hopitals regel

Betrakta gransvardet

limx→1

3 lnx

2(x− 1).

Bade taljare och namnare har vardet noll om x = 1, och vi har ingen mojlighetatt faktorisera. Eftersom 0

0 inte heller ar definierat, har vi inte mycket hopp omlivet.Fransmannen l’Hopital39 kom pa ett satt att lura sadana har gransvarden, ochformulerade en regel som vi ger utan bevis.

Sats 6.1 (l’Hopitals regel). Om f(x) och g(x) ar deriverbara funktioner, ochom gransvardet

limx→a

f(x)

g(x)

ger antingen 00 eller ∞

∞ , sa ar

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x).

Om vi efter att ha tillampat l’Hopitals regel, men far 00 eller ∞

∞ igen, kanman ju tillampa regeln igen. Om man inser att man aldrig kommer att fa annatan 0

0 eller ∞∞ , kan man ju borja leta andra metoder.40

Exempel 31.

limx→1

f(x)

g(x)= lim

x→1

3 lnx

2(x− 1)

ger oss 00 om vi forsoker satta in x = 1 direkt. Vi beraknar gransvardet av kvoten

mellan derivatorna av vara funktioner:

f ′(x) =3

x, g′(x) = 2,

sa

limx→1

f ′(x)

g′(x)= lim

x→1

3

2x=

3

2,

l’Hopitals regel ger oss saledes vart sokta gransvarde som

limx→1

3 lnx

2(x− 1)=

3

2.

Gransvarden kan man studera och hitta approximationer till funktioner, sasom i nedanstaende exempel.

39Hans namn ses ibland som l’Hospital, vilket var den korrekta stavningen under hans livstid40Eller ge upp och ga och fika istallet.

50

6 ANALYS 6.1 Gransvarden

Exempel 32.

limx→0

sinx

x

ger oss 00 . Med l’Hopitals regel far vi dock att gransvardet ar lika med 1, dvs for

x-varden nara noll ar sinx ≈ x, en ofta anvand approximation.

Ovanstaende approximation kan man ocksa finna med hjalp av Taylors for-mel (se kap. 6.6)Ovning

1. Berakna gransvardet i (6.3) med hjalp av l’Hopitals regel

2. Berakna limx→−∞(√x2 + 2x−

√x2 − 2x)

3. Berakna limx→∞x3+3x2+2

51

6.2 Implicit derivering 6 ANALYS

6.2 Implicit derivering

Gransvarden, som vi just tittat pa, ar ju en fundamental del av begreppet de-rivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta derivatortill enklare funktioner, men ocksa lite mer komplicerade genom anvandning avkedjeregeln, eller produkt/kvotregeln.Vissa funktioner ar dock inte sa enkla att derivera med hjalp av derivatans de-finition, hur ska vi t.ex. gora med derivatan till den inversa sinusfunktionen? Vivet ju att om f(x) = sinx sa ar f ′(x) = cosx, men det innebar ju inte att omf(x) = arcsinx sa ar f ′(x) = arccosx. Vi har da en metod att tillga som kallasimplicit derivering.

Vi kan borja med att derivera en relativt enkel funktion med denna ”nya”metod,for att se hur det fungerar. Vi anvander oss av kedjeregeln, att df

dx = dfdy

dydx .

Laty =

√x,

dvs [genom att anvanda den inversa funktionen till√x]

y2 = x.

Vansterledet y2 ar ju en sammansatt funktion, som egentligen borde skrivas(y(x))2. Om vi skulle derivera denna likhet med avseende pa x, skulle kedjeregelnge oss

2yy′ = 1,

dvs

y′ =1

2y=

1

2√x

vilket inte ger oss nagon storre overraskning. Men denna teknik kan hjalpa ossatt hitta mer bangstyriga derivator.

Exempel 33. Hitta derivatan till arcsinx.

Lat y = sinx, [dvs vi anvander den inversa funktionen41 till den vi soker deriva-tan till] sa att x = arcsin(sinx) = arcsin y. Derivera med avseende pa x, varvidvi enligt kedjeregeln erhaller

1 =d

dyarcsin(y) · dy

dx=

d

dyarcsin(y) · cosx.

Vi har nu att

d

dyarcsiny =

1

cosx=

1√

1 − sin2 x=

1√

1 − y2,

och givetvis ar aven ddx arcsinx = 1√

1−x2, da ju variabelns namn ar irrelevant.

41i ett givet intervall, se ovningen pa sid 23

52

6 ANALYS 6.2 Implicit derivering

Vi kan med hjalp av implicit derivering enkelt losa problem som vi intetidigare ens haft en aning om att de existerade.

Exempel 34. Visa att familjerna av kurvor x2 − y2 = a och xy = b, dar a ochb ar reella konstanter, alltid skar varandra i rat vinkel.

Figur 2: Nagra exempel ur familjen av kurvor x2−y2 = a [heldragna] och xy = b[streckade].

Tangenterna ska alltsa vara vinkelrata i varje skarningspunkt. Fran B-kursenminns vi att tva rata linjer ar vinkelrata om produkten av deras k-varden ar -1.Vi deriverar funktionerna implicit for att hitta lutningen:2x− 2yy′ = 0, dvs y′ = x

y .

y + xy′ = 0, dvs y′ = − yx . Produkten av dessa tva lutningskoefficienter ar

bevisligen -1, och kurvorna skar alltsa varandra vinkelratt oavsett vardet pa aoch b.

OvningGenom implicit derivering;

1. hitta derivatan till f(x) = 3√x.

2. hitta derivatan till f(x) = arccosx.

3. hitta derivatan till f(x) = arctanx.

4. hitta derivatan till lnx.

5. Utga fran deriveringsregeln ddxx

n = nxn−1, n heltal,

och visa att ddxx

nm = n

mxnm−1 genom implicit derivering.

6. Hitta derivatan till y = (sin t)ln t (Tips: Logaritmera forst, implicitderiverasedan)

53

6.3 Integrationsmetoder 6 ANALYS

6.3 Integrationsmetoder

Till vissa funktioner kan det vara svart att finna en primitiv funktion, vad art.ex.

∫

lnxdx, (6.4)

∫

arcsinxdx, (6.5)

eller∫

xex dx ? (6.6)

Det ar oftast lattare att hitta en funktions derivata an dess primitiva funktion,men det finns en hel del knep att ta till.

6.3.1 Variabelsubstitution

En integral av typen∫ 3

0

x2

1 + 4x3dx

kan losas pa flera satt. De tva enklaste ar

1. Genom att ”se” att den primitiva funktionen ar 112 ln(1 + 4x3).

2. Genom variabelsubstitution.

Det forsta sattet kraver en del traning, och den traningen far man genom detandra sattet. Slutsats: vi lar oss det andra sattet.

Variabelsubstitution bygger till stor del [som sa manga andra knep] pa ked-jeregeln. I exemplet ovan ser vi att taljaren ar nastan derivatan av namnaren,sanar som pa en konstant. Gor da foljande substitution:

u = 1 + 4x3

du

dx= 12x2

1

12du = x2dx

Vi ser nu att var integral kan skrivas med u som variabel istallet, dar x2dx bytsmot 1

12du och ser da ut som

1

12

∫ 109

1

1

udu,

vilken har losningen 112 ln(u)

∣

∣

109

1= 1

12 ln(109).

Notera att integrationsgranserna andras nar vi byter variabel!42

Substitutionen u = g(x) ar ypperlig om g′(x) ar en faktor i integranden, ty daar du = g′(x)dx latt att substituera, sasom i exemplet ovan.

42Nar x = 0 ar u = 1, nar x = 3 ar u = 109

54

6 ANALYS 6.3 Integrationsmetoder

Exempel 35. Berakna∫ 8

0

cos(√

1 + x)√1 + x

dx.

Lat u =√

1 + x, sa att dudx = 1

2√

1+x, dvs 2du = dx√

1+x. Var integral blir da

2

∫ 3

1

cos(u)du = 2 sin(u)∣

∣

3

1= 2(sin 3 − sin 1)

Lite knepigare integraler kan krava omskrivningar innan man ”ser” vad manbor substituera.

Exempel 36. Berakna∫

dx√e2x − 1

.

Bryt ut ex ur rotuttrycket, varvid vi erhaller

∫

dx

ex√

1 − e−2x=

∫

e−x

√

1 − (e−x)2dx.

Substituera u = e−x, −du = e−xdx, sa att integralen blir (se 6.2)

−∫

du√1 − u2

= − arcsin(u) + C = − arcsin(e−x) + C.

Ovning

1. Berakna arean som innesluts av grafen till funktionen f(x) = (2+sin(x2 ))2 cos(x

2 ),x-axeln, x = 0 och x = π

2. Berakna∫

dxx2+4x+5 (Tips: kvadratkomplettera)

3. Berakna∫

tanxdx (Tips: skriv om med andra trigonometriska funktioner)

4. Berakna∫ sin(3 ln x)

x dx

Den trigonometriska ettan kan vara mycket anvandbar i substitutionssitu-ationer, och fungerar ypperligt om integranden innehaller en term pa formen(a2 − x2)±n/2, dar a ar ett reellt tal och n ett positivt heltal. En triangel ar tillstor hjalp.

Exempel 37. Berakna∫

dx

(5 − x2)3/2.

Vi jamfor med vart uttryck ovan och ser att a =√

5. Rita upp en triangel, varshypotenusa ar a, och ena katet ar x. Vi har nu att x =

√5 sin θ, dvs 1√

5x = sin θ,

55

6.3 Integrationsmetoder 6 ANALYS

√ 5 x

√5 − x2

θ

ϕ

Figur 3: Hjalptriangel vid substitution med sinus och cosinus.

och att dx =√

5 cos θdθ.Eftersom (a2 − x2)±n/2 = (

√a2 − x2)±n och

√

5 − x2 =√

5

√

1 − 1

5x2 =

√5√

1 − sin2 θ =√

5 cos θ,

sa att (5 − x2)3/2 = (√

5 cos θ)3, har vi att var integral nu ser ut som

∫

dx

(5 − x2)3/2=

∫

√5 cos θ

(√

5)3 cos3 θdθ =

1

5

∫

1

cos2 θdθ =

1

5tan θ + C.

Ur figuren ser vi att

tan θ =x√

5 − x2,

sa var losning ser ut som

∫

dx

(5 − x2)3/2=

x

5√

5 − x2+ C,

vilket enkelt verifieras genom derivering.

Ovning

1. Gor substitutionen x =√

5 cosϕ och berakna integralen ovan. (Tips: Pri-mitiv funktion till 1

sin2 ϕar − 1

tan ϕ)

2. Berakna arean av det skuggade omradet i figuren. y =√a2 − x2 for den

ovre halvan av cirkeln. Utnyttja symmetrin. (Tips: cos2 θ = 12 (1 + cos 2θ),

sin 2θ = 2 sin θ cos θ. Nyttja en triangel for att hitta θ uttryckt i arcsin ocharccos)

ab

y

x

56

6 ANALYS 6.3 Integrationsmetoder

Om integranden istallet innehaller en term av typen (a2 + x2)±n/2 kan mansubstituera x = a tan θ istallet, och vi utnyttjar forhallandet

√

1 + tan2 θ =

√

cos2 θ

cos2 θ+

sin2 θ

cos2 θ=

√

1

cos2 θ=

1

cos θ.

En triangel liknande den ovan kan vara till hjalp.

√ a2 + x2

x

aθ

ϕ

Figur 4: Hjalptriangel vid substitution med tangens.

Exempel 38. Berakna∫

dx√4 + x2

.

I detta fall ar a = 2, och vi kan substituera x = 2 tan θ och dxdθ = 2

cos2 θ , varvidvi far att [se ovan]

∫

dx√4 + x2

=

∫ 2cos2 θ

2cos θ

dθ =

∫

1

cos θdθ.

Denna integral har losningen

∫

1

cos θdθ = ln | 1

cos θ+ tan θ| + C = ln |

√4 + x2

2+x

2| + C.

Ovning

1. Visa, genom att forlanga med och substituera u = ( 1cos θ + tan θ), att

∫

1cos θdθ = ln | 1

cos θ + tan θ| + C

2. Berakna∫

1(1+9x2)2 dx (Tips: cos2 θ = 1

2 (1 + cos 2x))

Ett exempel till, som involverar tva substitutioner, och lite andra trix.

Exempel 39. Berakna∫

1

1 +√

2xdx.

57

6.3 Integrationsmetoder 6 ANALYS

Uttryck av den har typen [dvs med termer innehallande (ax + b)nm ] kan med

fordel substitueras genom um = (ax+ b)n.Lat u2 = 2x, udu = dx, varvid vi erhaller

∫

1

1 +√

2xdx =

∫

u

1 + udu =

∫

1 + u− 1

1 + udu =

∫

1du−∫

1

1 + udu.

Vi kan43 substituera v = 1 + u, dv = du sa att den slutliga losningen blir

u−∫

1

vdv = u− ln v =

√2x− ln(1 +

√2x) + C.

Manga andra tekniker finns, och det ar bara att experimentera.44

6.3.2 Partialintegration

Om variabelsubstitution skulle visa sig otillrackligt, t.ex. om vi vill berakna∫

lnxdx,

∫

xexdx

eller∫

arcsinxdx,

kan man nyttja partialintegrering, omvandningen till produktregeln, kan mansaga.

Betrakta produkten av funktionerna F (x) och g(x), och lat F ′(x) = f(x). Daar, enligt produktregeln

d

dxF (x) · g(x) = f(x) · g(x) + F (x) · g′(x).

Om vi loser ut f(x) · g(x),

f(x) · g(x) =d

dxF (x) · g(x) − F (x) · g′(x)

och integrerar bada sidor, far vi [integralen av en derivata tar ju ut sig]∫

f(x) · g(x)dx = F (x) · g(x) −∫

F (x) · g′(x)dx. (6.7)

Detta ar formeln for partialintegration45. I de fall vi enkelt kan hitta primitivafunktionen till en av faktorerna, medan den andra enklast deriveras, kan vi alltsaanvanda den har metoden.

43Egentligen onodigt, det ar en ren formalitet44Med viss aterhallsamhet, forstas. Logiken maste ju bevaras...45Pa engelska integration by parts, vilket ar en battre benamning

58

6 ANALYS 6.3 Integrationsmetoder

Exempel 40. Berakna∫

xexdx. Lat f(x) = ex och g(x) = x. Da ar F (x) = ex

och g′(x) = 1. Vi far, enligt formeln, att

∫

xexdx = xex −∫

exdx = (x − 1)ex + C,

vilket enkelt verifieras genom derivering.

Har vi integrationsgranser, ska dessa givetvis sattas in.

Exempel 41. Berakna∫ 3

0 xexdx. Lat f(x) = ex och g(x) = x. Vi far, enligt

formeln, att

∫ 3

0

xexdx = xex∣

∣

3

0−

∫ 3

0

exdx = (x− 1)ex∣

∣

3

0= 2e3 + 1.

Ibland har man olika granser i forsta och andra termen, om t.ex. den hogra inte-gralen maste beraknas med substitution. Da maste man givetvis satta in vardenai respektive term och inte som har, vanta till slutet.

Ett vanligt trick ar om man kanner derivatan till den funktion man villintegrera, och darfor later den utgora g(x), medan man satter f(x) = 1.

Exempel 42. Berakna∫

arcsinxdx.

Lat g(x) = arcsinx och f(x) = 1. Da ar F (x) = x och g′(x) = 1√1−x2

. Vi far

da att∫

arcsinxdx = x arcsinx−∫

x√1 − x2

dx = x arcsinx+√

1 − x2 + C.

Man ser oftast formeln (6.7) skriven pa formen

∫

UdV = UV −∫

V dU,

dar givetvis U = g(x), V = F (x), dV = f(x)dx och dU = g′(x)dx.Ovning

1. Berakna∫

lnxdx.

2. Berakna∫

x2exdx.

3. Berakna∫

arctanxdx.

Ibland kan man fa en lika klurig integral efter att ha partialintegrerat. Man harda tva valmojligheter:

i Ge upp

59

6.3 Integrationsmetoder 6 ANALYS

ii Partialintegrera den nya integralen

Matematiker ger inte upp. Alltsa kor vi igen. Har man tur far man ut nagotenklare, eller sa kanske man far ut samma integral som den man borjade medvilket man kan nyttja.

Exempel 43. Berakna∫

eax cos bxdx.

Satt U = eax, dV = cos bxdx, V = 1b sin bx och dU = aeaxdx. Vi far da, enligt

partialintegrationsformeln,

∫

eax cos bxdx =1

beax sin bx− a

b

∫

eax sin bxdx. (6.8)

Inte speciellt upplyftande, sa vi kor igen. Notera att jag bara tittar pa den hograintegralen for narvarande. Satt U = eax, dV = sin bxdx, V = − 1

b cos bx ochdU = aeaxdx. Notera ocksa att jag valjer ”samma” funktioner for U och V . Gorjag inte det, ar risken stor att mitt resultat blir 0 = 0.Vi har nu

∫

eax sin bxdx = −1

beax cos bx+

a

b

∫

eax cos bxdx.

Satter vi in detta i (6.8) far vi

∫

eax cos bxdx =1

beax sin bx− a

b(−1

beax cos bx+

a

b

∫

eax cos bxdx),

vilket efter forenkling blir

∫

eax cos bxdx =eax

b(sin bx+

a

bcos bx) − a2

b2

∫

eax cos bxdx,

eller, om vi skriver var ursprungsintegral som I,

I =eax

b(sin bx+

a

bcos bx) − a2

b2I.

Loser vi nu ut I far vi ju losningen pa problemet:

I(1 +a2

b2) =

eax

b(sin bx+

a

bcos bx),

sa att∫

eax cos bxdx = I =eax

b(1 + a2

b2 )(sin bx+

a

bcos bx) + C.

60

6 ANALYS 6.3 Integrationsmetoder

6.3.3 Partialbraksuppdelning

Ibland racker det inte med de tva tekniker vi har tittat pa hittills, trots attintegranden bestar av polynomtermer och tycks vara en enkel match innan manborjar berakna den.Da kan man partialbraksuppdela integranden, och integrera termerna var och enfor sig. Ett exempel illustrerar.

Exempel 44. Berakna∫

1

(x− 2)(x+ 1)dx.

Vi kan skriva om integranden pa formen

1

(x− 2)(x+ 1)=

A

x− 2+

B

x+ 1,

dar A och B ar reella konstanter. Forlanger vi hogerledets brak for att fa sammanamnare far vi

A(x+ 1)

(x − 2)(x+ 1)+

B(x− 2)

(x+ 1)(x− 2)=Ax +A+Bx− 2B

(x+ 1)(x− 2).

Jamfor vi taljaren med vart ursprungsuttryck ser vi att koefficienten framfor xmaste vara noll, och konstanterna maste bli ett. Vi far alltsa ekvationssystemet

A+B = 0,

A− 2B = 1,

ur vilket vi far fram att A = 13 och B = − 1

3 och vart integrationsproblem harblivit

∫

1

3(x− 2)dx−

∫

1

3(x+ 1)dx =

1

3ln |x−2|− 1

3ln |x+1|+C =

1

3ln

|x− 2||x+ 1| +C

Detta fungerar om taljaren ar [minst] en grad lagre an namnaren. Skulle sainte vara fallet far man trixa lite for att justera det. En variant, om taljaren arav samma grad, ar att addera och subtrahera lampliga termer.

Exempel 45.x2

1 + x2=x2 + 1 − 1

x2 + 1= 1 − 1

x2 + 1.

Ar graden hogre i taljaren an i namnaren, kan det fungera med variabelsub-stitution och/eller polynomdivision.

Det forsta man maste gora ar att faktorisera namnaren, i sa sma faktorer sommojligt. Detta gors genom gissning, polynomdivision, etc.

61

6.3 Integrationsmetoder 6 ANALYS

Exempel 46. Berakna

∫

3x+ 1

x3 − 2x2 + x− 2dx.

Namnaren har faktorerna (x2 +1) och (x−2), sa var partialbraksuppdelning serut som

3x+ 1

x3 − 2x2 + x− 2=Ax+B

x2 + 1+

C

x− 2.

Notera att vi ansatter taljaren som ett polynom av grad ett nar namnaren ar etthogregradspolynom.Forlanger vi braken far vi att taljarna maste uppfylla

(Ax+B)(x − 2) + C(x2 + 1) = (A+ C)x2 + (B − 2A)x+ (C − 2B) = 3x+ 1,

vilket motsvarar ekvationssystemet

A+ C = 0,

B − 2A = 3,

C − 2B = 1,

ur vilket vi loser ut att A = − 75 , B = 1

5 och C = 75 . Alltsa ar

∫

3x+ 1

x3 − 2x2 + x− 2dx =

1

5(

∫ −7x+ 1

x2 + 1dx+

∫

7

x− 2dx),

vilket kan skrivas isar ytterligare till

1

5(

∫ −7x

x2 + 1dx+

∫

1

x2 + 1dx

∫

7

x− 2dx) =

= −7

5

∫

x

x2 + 1dx+

1

5(

∫

1

x2 + 1dx +

∫

7

x− 2dx),

som ar relativt enkelt att integrera term for term. Vi har alltsa att

∫

3x+ 1

x3 − 2x2 + x− 2dx = − 7

10ln(x2 + 1) +

1

5arctanx+

7

5ln |x− 2| + C.

Om namnaren har flera likadana faktorer, skall partialbraksuppdelningen skefor alla potenser av dessa.

Exempel 47. Det rationella uttrycket 1x(x+1)3 har partialbraksuppdelningen

Ax + B

x+1 + Cx+D(x+1)2 + Ex+F

(x+1)3 . Notera taljarens utseende i de tva sista termerna

[namnaren ar av grad tva eller hogre]46

46Skalet till detta tar vi inte upp har

62

6 ANALYS 6.3 Integrationsmetoder

Ovning

1. Berakna∫

1x(x+1)2dx

2. Berakna∫

11+x3 dx (Tips: en rot till namnaren ar x = −1)

3. Berakna∫

1a2−x2 dx (Tips: hort talas om konjugatregeln?)

4. Berakna∫

2+3x+x2

x(x2+1) dx

63

6.3 Integrationsmetoder 6 ANALYS

6.3.4 Byte av koordinatsystem

Ibland biter varken det ena eller det andra, och da kan det vara nodvandigt attta till med hardhandskarna.

Exempel 48. Berakna integralen

∫ ∞

−∞e−x2

dx.

Om vi skulle forsoka oss pa denna integral med t.ex. partialintegrering skullevi snart tappa haret i fortvivlan.47 Vi kan da byta koordinatsystem, och anvan-da polara koordinater istallet for rektangulara som vi brukar. Vi kommer dockinte att fa veta den primitiva funktionen till e−x2

, men det hindrar oss inte franatt berakna integralens varde.48

En punkt i x − y-planet kan beskrivas med koordinaten (x, y) men ocksa medkoordinaten (r, θ) dar r ar avstandet fran origo.

1−1

1

−1

b (1,1), (√

2, 45◦)

θ

Vi gor nu ett litet trick. Istallet for att berakna integralen ovan, beraknar videss kvadrat. Notera att ett variabelnamn inte har nan betydelse for integralensvarde.

(

∫ ∞

−∞e−x2

dx)2 =

∫ ∞

−∞e−x2

dx ·∫ ∞

−∞e−y2

dy =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞e−(x2+y2)dxdy.

Det ar nu vi byter koordinatsystem. Vi har har en dubbelintegral, och dxdybeskriver ett infinitesimalt rektangulart areaelement. [Jamfor dx som ju ar ettlangdelement] Hur beskriver vi ett infinitesimalt areaelement med polara koor-dinater? Minns att en sektorbages langd ges av rθ.

47Nej, det ar inte darfor jag ser ut som jag gor48Hur coolt som helst

64

6 ANALYS 6.3 Integrationsmetoder

dθ

dr

r

Om vinkeln dθ ar infinitesimal, och andringen i r ocksa ar det, kommer denskuggade figuren att vara rektangular. Dess area ges av baglangden rdθ ochforandringen i radie dr, dvs rdrdθ. Vi kan alltsa byta ut dxdy mot rdrdθ i varintegral. Vi kan samtidigt byta ut x2 + y2 mot r2 (pythagoras sats) och far daintegralen

∫ 2π

0

∫ ∞

0

re−r2

drdθ =

∫ 2π

0

dθ

∫ ∞

0

re−r2

dr.

Notera hur integrationsgranserna andras. Vi hade forst en integral over helax-y-planet, men det kan ju beskrivas som att r antar alla varden mellan 0 och∞ medan vinkeln sveper ett helt varv (0 ≤ θ < 2π). Den ena integranden har

primitiv funktion − 12e

−r2

och den andra θ sa var integral blir alltsa

−1

2e−r2∣

∣

∞0

· θ∣

∣

2π

0=

1

2· 2π = π.

Alltsa ar∫ ∞

−∞e−x2

dx =√π.

65

6.4 Differentialekvationer (diffar) 6 ANALYS

6.4 Differentialekvationer (diffar)

Varlden forandras, och forandring beskrivs med derivator. dx kallas differential,och en ekvation innehallande derivator kallas saledes for differentialekvation. Detfinns manga typer, och vi ska titta pa ett par, och losningsmetoder till dessa.

6.4.1 Forsta ordningens diffar

Ordningen pa en differentialekvation ges, i analogi med graden hos ett polynom,av den hogsta derivatan. Forsta ordningens diffar innehaller alltsa bara y ochy′, men inga hogre derivator. De kan se ut pa manga satt, och har da [givetvis]olikartade losningar.

Separabla diffar

Exempel 49. Los differentialekvationen

y′ =x

y.

Om vi skriver ekvationen pa formen dydx = x

y ser vi att vi kan, med lite algebra,fa alla termer innehallande y pa ena sidan likhetstecknet, och alla x-termer paden andra:

ydy = xdx.

Vi har nu separerat ekvationen, och kan integrera bada sidor.

y2

2=x2

2+ C,

dvs

y2 − x2 = a,

dar a ar nagon [godtycklig] konstant. Vi har alltsa gjort exempel 34 pa sid 53baklanges... wohoo!Da kan vi ta den andra familjen funktioner fran samma exempel ocksa:

dy

dx= − y

x

ger ossdy

y= −dx

x,

vilket vi integrerar till

ln y = ln1

x+ C,

eller y = eln1x +C = eC · eln 1

x = b 1x (dar b = eC) sa att xy = b.

66

6 ANALYS 6.4 Differentialekvationer (diffar)

Ekvationen ovan hor till de separabla differentialekvationerna, vilka har denallmanna formen

y′ =dy

dx= f(x)g(y),

sa att vi alltid kan skriva om den som

dy

g(y)= f(x)dx

och sedan integrera.

Forsta ordningens linjara diffarEn differentialekvation som kan skrivas pa formen

y′ + p(x)y = q(x)

ar vanligt forekommande i naturvetenskapen, da den beskriver ett [relativt] en-kelt forhallande mellan forandringshastighet och funktionsvarde. (Avsvalning aven vatska, till exempel. Ju varmare vatska, desto snabbare avsvalning. Se kap.6.7). Dessa loses med hjalp av en integrerande faktor , en metod som bygger paproduktregeln och tar hjalp av exponentialfunktionen.

Lat P (x) vara en primitiv funktion till p(x). Betrakta uttrycket eP (x)y(x). Dessderivata ar, enligt produktregeln,

d

dx(eP (x)y(x)) = eP (x)y′(x) + p(x)eP (x)y(x) = (y′ + p(x)y)eP (x) = q(x)eP (x).

Alltsa ar eP (x)y(x) =∫

q(x)eP (x)dx, dvs

y(x) = e−P (x)

∫

q(x)eP (x)dx.

Denna metod anvands vid losning av dessa differentialekvationer, hellre an attanvanda det nyss harledda uttrycket. Vi multiplicerar helt enkelt differentia-lekvationen med e

R

p(x)dx, och trixar oss fram till en losning.

Exempel 50. Los differentialekvationen

y′ +y

x= 1.

p(x) = 1x , sa e

R

1x dx = eln x = x. Vi multiplicerar ekvationen med denna faktor

och erhaller

xy′ + y = x,

ellerd

dx(xy) = x.

67

6.4 Differentialekvationer (diffar) 6 ANALYS

Integration av bada sidor ger oss losningen som

xy =x2

2+ C,

sa att

y(x) =x

2+C

x.

Anledningen till att vi inte anvander ”formeln” for losningen ar for att inti-tialvardesproblemen (se 6.7) kraver att man vet vad man haller pa med.

6.4.2 Andra ordningens diffar

En andra ordningens linjar49 homogen50 differentialekvation (med konstantakoefficienter)51 skrivs pa allman form

ay′′ + by′ + cy = 0.

For att hitta en allman losning till denna, gor man en ansats och satter iny = erx i ekvationen.52

Vi far da attar2erx + brerx + cerx = 0,

vilket innebar att om y = erx verkligen loser ekvationen, maste villkoret ar2 +br+ c = 0 vara uppfyllt. Detta ar ju en andragradsekvation, den karaktaristiskaekvationen till diffen, vilken enkelt kan losas med avseende pa r. Vi far tre fall.

1. Ekvationen har tva olika rotter r1 och r2. Vi har da tva losningar, y1 = er1x

och y2 = er2x. Linjarkombinationen53 utgor da den allmanna losningen,sa att y(x) = Aer1x +Ber2x.

2. Ekvationen har en dubbelrot r1 = r2 = r = − b2a . y = erx ar en losning till

ekvationen [eftersom vi utgick ifran det]. Vi kan hitta en allman losninggenom att istallet ansatta y = u(x)erx och satta in i ekvationen. Lite lekmed kedjeregeln ger oss att u′′(x) = 0, dvs u(x) = Ax + B vilket ger varallmanna losning som y = Axerx +Berx.

3. Ekvationen har inga reella rotter, men tva komplexa rotter r1 och r2.Losningen, som har levereras utan vidare diskussion,54 ser ut som

y(x) = Aekx cos(ωx) +Bekx sin(ωx),

dar k = − b2a och ω =

√4ac−b2

2a .

49Om y1(x) och y2(x) ar tva olika losningar till ekvationen, sa ar aven linjarkombinationen

Ay1(x) + By2(x) en losning for godtyckliga konstanter A och B50Hogerledet ar noll51Nan matta pa nivan far det anda vara, detta ar ju en gymnasiekurs...52Vi kanske borde ansatta y = Cerx, men vi kan anda dividera bort konstanten C i slutet53se kap. 5.754Det tar emot, men a andra sidan kan vi ju inte fastna har hur lange som helst. Harledningen

finns i MaE-boken

68

6 ANALYS 6.4 Differentialekvationer (diffar)

Exempel for de tre losningsalternativen kommer har.

Exempel 51. Los ekvationen y′′ + y′ − 2y = 0.Den karaktaristiska ekvationen r2 + r− 2 = 0 har losningarna r1 = 1, r2 = −2.Den allmanna losningen till differentialekvationen ar alltsa y(x) = Aex +Be−2x

Exempel 52. Los ekvationen y′′ + 6y′ + 9y = 0.Den karaktaristiska ekvationen r2 + 6r + 9 = 0 har losningen r1 = r2 = −3.Diffen har den allmanna losningen y(x) = Ae−3x +Bxe−3x.

Exempel 53. Los ekvationen y′′ + 4y′ + 13y = 0.Den karaktaristiska ekvationen r2 + 4r + 13 = 0 har losningarna r1 = −2 − 3ioch r2 = −2 + 3i. Dvs k = −2, ω = 3 enligt foregaende sida. Den allmannalosningen till diffen ar alltsa y(x) = Ae−2x cos(3x) +Be−2x sin(3x).

OvningLos nedanstaende diffar.

1. dydx = 1 − y2

2. dydx = y2x2

3. y′′ + 7y′ + 10y = 0

4. y′′ − 4y′ + 5y = 0

5. y′′ − 2y′ + y = 0

6. dydx = ex − 2yex

69

6.5 Seriers konvergens 6 ANALYS

6.5 Seriers konvergens

Det finns manga satt att kolla om en serie konvergerar eller inte, sa kalladekonvergenstest, vilka inte ar idiotsakra men kan visa om en serie konvergerar.Jag ger exempel pa fyra sadana. I samtliga fall ar uk det k : te elementet i enserie. Givetvis ar lim

k→∞uk = 0. (varfor da?)

6.5.1 Rottestet

Lat ρ = limk→∞

u1/kk .

Vi har da tre fall:

ρ < 1 konvergensρ > 1 divergensρ = 1 inget kan sagas.

Vi testar pa serien uk = e−k. u1/kk = e−1 < 1, sa vi har ρ = lim

k→∞e−1 < 1, dvs

konvergens.

6.5.2 Kvottestet

Lat ρ = limk→∞

uk+1

uk.

Vi har da fyra fall:

ρ < 1 konvergensρ > 1 divergensρ = ∞ divergensρ = 1 inget kan sagas.

Vi testar med var serie i (6.2).

ρ = limk→∞

k

k + 1= 1, sa inget kan sagas.

6.5.3 Gransjamforelsetestet [Limit Comparison Test]

Om vi har tva serier, kan man utnyttja sin kunskap om den enas konvergenseller divergens for att ta reda pa den andras.

∑

ak och∑

bk ar tva serier. Lat ρ = limk→∞

ak

bk. Om 0 < ρ < ∞, dvs om grans-

vardet for kvoten ar ett andligt positivt tal, har serierna∑

ak och∑

bk sammabeteende. Dvs om

∑

ak konvergerar, gor∑

bk det ocksa och vice versa. Det-samma galler divergens. Om gransvardet inte faller inom detta intervall, kaninget sagas.

Vi testar pa var serie (6.2). Det ar kant att serien

∞∑

k=1

1

k2konvergerar55, sa

55Vi visar detta i kap. 6.5.4

70

6 ANALYS 6.5 Seriers konvergens

vi jamfor med den.

ρ = limk→∞

1k1k2

= limk→∞

k = ∞.

Ingen information dar heller. Det fjarde testet kan aven anvandas for att av-gora om en integral konvergerar eller inte, eftersom man ju kan hitta serierskonvergens pa andra satt.

6.5.4 Integraltestet

Lat f(x) beteckna den funktion som bildas genom att byta ut k mot x i formelnuk for termerna i var serie. Om

limx→∞

f(x) = 0,

sa antingen konvergerar eller divergerar samtidigt bade

∞∑

k=1

uk

och∫ ∞

t

f(x)dx, 1 ≤ t <∞. (6.9)

Integralen i (6.9) ar i sig egentligen ett gransvarde, namligen

∫ ∞

t

f(x)dx = limN→∞

∫ N

t

f(x)dx. (6.10)

Vi testar pa serien

∞∑

k=1

1

k2, eftersom jag tankte lata (6.2) vara en ovning.

f(x) = 1x2 , och lim

x→∞

1

x2= 0 sa allt ar ok sa langt. Da testar vi om integralen

konvergerar eller inte:∫ ∞

t

1

x2dx = lim

N→∞

∫ N

t

1

x2dx = lim

N→∞(− 1

N+

1

t) =

1

t,

eftersom 1 ≤ t <∞ konvergerar integralen [och serien].

OvningProva de fyra testmetoderna och visa att

1. ∞∑

k=1

1

kdivergerar.

2. ∞∑

k=1

1

2kkonvergerar.

71

6.6 Taylors formel 6 ANALYS

6.6 Taylors formel

En funktion f(x), vilken som helst, kan approximeras med ett polynom, en skTaylorapproximation. Till forsta ordningen, dvs om vi approximerar var funktionmed en rat linje, ar Taylorapproximationen

T1(x) = f(a) + f ′(a)(x − a).

T1(x) ar en god approximation nara punkten a, eftersom den uppfyller badeatt T1(a) = f(a) och T ′(a) = f ′(a). Vi kan bygga vidare, och krava att avenandraderivatan ska vara samma for bada funktionerna, och erhaller da andraordningens Taylorpolynom:

T2(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2(x − a)2.

Vi kan fortsatta med successivt hogre derivator, och vart taylorpolynom, somfor vara andamal ar en konvergent serie, uppfyller

limn→∞

Tn(x) = f(x). (6.11)

Taylorpolynomet av grad n till funktionen f(x) ges av Taylors formel

Tn(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) +f ′′(a)

2!(x− a)2 + ...+

f (n)(a)

n!(x − a)n, (6.12)

eller56

Tn(x) =

n∑

k=0

f (k)(a)

k!(x− a)k. (6.13)

Vi har alltsa, enligt (6.11), att

f(x) =

∞∑

k=0

f (k)(a)

k!(x− a)k.

Exempel 54. Hitta forsta ordningens taylorapproximation till f(x) =√

1 + xnara punkten x = 0.Taylors formel ger oss

T1(x) =√

1 +1

2√

1(x− 0) = 1 +

1

2x.

Denna approximation, att√

1 + x ≈ 1 + 12x for sma varden pa x (x nara 0),

anvands flitigt. (Prova med nagra sma x)

56(n-fakultet) n! = 1 · 2 · 3 · ... · (n − 1) · n

72

6 ANALYS 6.6 Taylors formel

1 2 3−1−2−3−4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

−1

−2

−3

−4

T2

T4

T6

Figur 5: Taylorapproximationer till exponentialfunktionen nara x = 0

Figuren visar graferna av Taylorapproximationer till funktionen f(x) = ex narax = 0. T6 (streckad) avviker knappt markbart i intervallet (−2, 2.5).

OvningHitta Taylorapproximationer av grad 3-6 [beror pa hur lange du orkar halla

pa alternativt hur manga termer som behovs for att fa nat anvandbart] tillnedanstaende funktioner kring angivet x-varde. Detta kallas att serieutvecklaeller Taylorutveckla funktioner.

1. f(x) = ex, x = 0

2. f(x) = sinx, x = 0

3. f(x) = lnx, x = 1

4. f(x) = cosx, x = 0

73

6.6 Taylors formel 6 ANALYS

Taylorapproximationer kan anvandas till att berakna gransvarden, vilketfoljande exempel illustrerar. Funktioner approximeras ju med polynom, vilka arenkla att hantera (t.ex. med partialbraksuppdelning, se kap. 6.3.3)

Exempel 55. Berakna

limx→0

2 sinx− sin(2x)

2ex − 2 − 2x− x2.

Som synes far vi 00 om vi satter in noll direkt, sa vi maste hitta ett annat satt

for att berakna detta gransvarde.Om vi Taylorapproximerar sinus- och exponentialfunktionen kring x = 0 far vi

limx→0

2(x− x3

3! ) − (2x− 8x3

3! )

2(1 + x+ x2

2! + x3

3! ) − 2 − 2x− x2= lim

x→0

−x3

3 + 4x3

3x3

3

= limx→0

113

= 3.

De hogre termerna av x kommer anda att ge mindre och mindre bidrag tilltaljaren respektive namnaren, sa denna approximation ar helt acceptabel.

Vi kan ju for skojs skull testa berakna ovanstaende med l’Hopitals regelocksa. (Se kap. 6.1.2)

Exempel 56.

limx→0

2 sinx− sin(2x)

2ex − 2 − 2x− x2= lim

x→0

2 cosx− 2 cos(2x)

2ex − 2 − 2x= lim

x→0

cosx− cos(2x)

ex − 1 − x,

vilket ocksa blir 00 . Vi kor l’Hopital igen.

limx→0

cosx− cos(2x)

ex − 1 − x= lim

x→0

− sinx+ 2 sin(2x)

ex − 1,

vilket ocksa blir 00 . Vi kor l’Hopital igen.

limx→0

− sinx+ 2 sin(2x)

ex − 1= lim

x→0

− cosx+ 4 cos(2x)

ex=

−1 + 4

1= 3,

i enlighet med foregaende exempel.

74

6 ANALYS 6.7 Tillampningar

6.7 Tillampningar

Nagra exempel i vilka vi tillampar en del av var kunskap i analys.

Exempel 57. Densiteten hos en [sfarisk] planet med radien R varierar medavstandet r fran centrum enligt formeln

δ =ρ0

1 + r2kg/m3.

Berakna planetens massa.

Vi tanker oss planeten som ett antal koncentriska57 sfariska skal. Volymenav ett sadant skal med inre radie r och tjocklek dr ar dV = 4πr2dr [area gangertjocklek]. Notera att detta motsvarar just volymokningen fran r till r+dr, givetav dV

dr .Massan hos ett sadant skal ar densiteten ganger volymen, dvs

dm = ρdV = 4πρ0r2

1 + r2dr.

Totala massan ar da summan av massorna hos alla skal, eller

m =

∫ R

0

dm = 4πρ0

∫ R

0

r2

1 + r2dr = 4πρ0(r−tan−1 r)

∣

∣

R

0= 4πρ0(R−tan−1R) kg.

OvningVerifiera integralen ovan.

Nasta exempel anvander samma princip, plus moms.

Exempel 58. En stang med langden L har densiteten ρ(x) = kx g/cm, dark ar en positiv konstant. Berakna stangens massa, och berakna var pa stangenjamviktspunkten [masscentrum] befinner sig.

Som i foregaende exempel ar

m =

∫ L

0

dm =

∫ L

0

kxdx =kL2

2g.

Vi ska hitta en punkt dar totala vridmomentet pa stangen ar noll. Vridmoment,som vi minns fran fysik A, ges av tyngdkraften ganger avstandet fran [den soktamen annu okanda] rotationspunkten.58 Totala vridmomentet, ar summan av allamomenten. [inklusive tecken, eftersom det ju ar vektorer]

57Med samma centrum men olika radier58Aven om vi vill ha den punkt dar rotation inte sker, men den sammanfaller med mass-

centrum

75

6.7 Tillampningar 6 ANALYS

x0

b b b b b

x1 x2 x3 x4 x5

m1 m2 m3 m4 m5

Figur 6: Stang med punktmassor

Momentet kring punkten x0 i figuren ovan ar

Mx=x0= (x1 − x0)m1 + (x2 − x0)m2 + ...+ (x5 − x0)m5 =

5∑

i=1

(xi − x0)mi.

Masscentrum x har egenskapen att momentet kring x0 = x ar noll, dvs

0 =

n∑

i=1

(xi − x)mi =

n∑

i=1

ximi − x

n∑

i=1

mi.

Masscentrums lage [i forhallande till origo] ges saledes av

x =

∑ni=1 ximi

∑ni=1mi

=Mx=0

m,

dar m ar totala massan hos systemet, och Mx=0 ar totala momentet kring punk-ten x = 0.Ett litet avsnitt dx av stangen har massan dm = ρ(x)dx, och utovar momentetM = (x−0)dm = xρ(x)dx. Totala momentet for var stang kring x = 0 ar alltsa

Mx=0 =

∫ L

0

xρ(x)dx =

∫ L

0

kx2dx =kL3

3.

Vart masscentrum kan alltsa hittas pa avstandet

x =Mx=0

m=

kL3

3kL2

2

=2L

3

fran ena anden.

Exempel 59. Vatten fyller en konisk tank med radien 3m och djupet 4m. Hurstort arbete utrattas om allt vatten pumpas ut ur tanken [over kanten]?

Vi kan betrakta vattnet som bestaende av tunna cylindriska skivor medtjocklek dh och radien r. Skivan pa hojden h fran botten av tanken har forhal-landet r = 3

4h genom likformighet.

76

6 ANALYS 6.7 Tillampningar

4mdh

h

r

3m

Figur 7: Konisk tank med cylindrisk skiva vatten av tjocklek dh

Volymen hos en sadan cylinderskiva ar

dV = πr2dh =9

16πh2dh,

och dess tyngd ar given av [F = mg, m = ρV ]

dF = ρgdV =9

16ρgπh2dh.

Arbetet att lyfta en sadan cylinder [att pumpa den upp till kanten, arbete berak-nas ju pa rorelse parallellt med kraften, och kraften i detta fall ar tyngdkraften]blir da [hojden ar 4 − h]

dW = (4 − h)dF =9

16ρgπ(4 − h)h2dh.

Totala arbetet att tomma tanken ar da summan av alla dessa arbeten, ocheftersom vi later dh → 0 far vi att

W =

∫ 4

0

dW =

∫ 4

0

9

16ρgπ(4 − h)h2dh ≈ 3.7 · 105 J.

Exempel 60. Kaffe med temperaturen 80◦ svalnar till 50◦ pa 5 minuter i ettrum som haller 20◦. Efter hur lang tid ar kaffets temperatur 40◦?

Vi kan anvanda oss av Newtons avsvalningslag, som ar en differentialekvationoch sager oss att om y(t) beskriver vatskans [kaffets] temperatur vid tiden t, narden befinner sig i en omgivning med temperaturen To, sa ar

y′(t) = k(y − To),

dar k ar en konstant. Var uppgift ar alltsa att losa en differentialekvation, menvi ar inte intresserade av en allman losning som de vi hittade i kap. 6.4, utan enspecifik losning, en sk. partikularlosning. Vi staller upp vart ursprungliga pro-blem som en ren matematisk fraga.

77

6.7 Tillampningar 6 ANALYS

Los begynnelsevardesproblemet

y′ = k(y − 20)

y(0) = 80

y(5) = 50.

y(0) = 80 och y(5) = 50 benamns initialvillkor , och ar ett maste for att vi skahitta en partikularlosning [annars kommer vissa konstanter att forbli okanda].Ett variabelbyte u = y − 20, du = dy ger oss

u′ = ku

vilken har losningen u = Cekt. Alltsa ar y = Cekt + 20, men det kan varaenklare att utga fran var nya funktion u. Tank bara pa att initialvillkoren nuar u(0) = 60 och u(5) = 30 eftersom vi bytt funktion.

u(0) = 60 = Cek·0 = C

och

u(5) = 30 = 60e5k ⇒ k = − ln 2

5.

Vi har nu atty(t) = 60e−

t ln 25 + 20,

och var fragay(t) = 40

loses tamligen enkelt sa att t = 5 ln 3ln 2 ≈ 7.92, dvs efter ytterligare 2.92 minuter

ar kaffet 40◦.Ovning

Kontrollera losningen ovan genom att utfora den pa egen hand

Exempel 61. Visa att energin bevaras nar ett foremal forflyttas fran x=a tillx=b under inflytande av en kraft F(x).

Nar vi forflyttar ett foremal mot en kraft utrattas ett arbete. Detta arbetemotsvarar forandringen i potentiell energi hos foremalet.

−W = −∫ b

a

F (x)dx = ∆Ep.

[Om vi t.ex. lyfter ett foremal h meter, ar ju W = −mgh eftersom h ar riktadmot kraften, men okningen i potentiell energi ar mgh = −W .] Enligt Newtonsandra lag ar F (x) = ma = mdv

dt , vilket med kedjeregeln kan utvecklas till

F (x) = m dvdx

dxdt = m dv

dxv, vilket, om vi satter in det i arbete-integralen, blir

−∆Ep = m

∫ b

a

vdv

dxdx = m

∫ x=b

x=a

vdv =1

2mv2

∣

∣

x=b

x=a= Ek(b) − Ek(a) = ∆Ek.

Andringen i potentiell energi motsvarar alltsa exakt andringen i kinetisk energi,sa att totala energin hos foremalet bevaras [Ep(b) + Ek(b) = Ep(a) + Ek(a)].

78

7 TALTEORI

7 Talteori

En liten inblick i talteorins varld, framst for att formuleringen av Exempel 18ska bli mer lattbegriplig.

7.1 Kongruens

Definition 7.1. Lat a, b,m, n ∈ Z. Da ar m kongruent med b modulo n, omn = m · a+ b, for nagot a. Man skriver

m ≡ b mod n.

Vi identifierar alltsa ett tal m med den rest b som blir vid division med n.

Exempel 62. 52 = 17 · 3 + 1, sa 52 ≡ 1 mod 17. Aven 52 ≡ 1 mod 3.Eftersom 52 = 17 ·2+18, och 52 = 17 ·4−16, ar 52 ≡ 18 mod 17 och 52 ≡ −16mod 17, men man har som regel att 1 − n < b < n− 1.

Hur roligt kan man ha med detta da? Ett litet kuriosaexempel forst.

Exempel 63. Vilken ar resten nar man dividerar 255 · 324 med 13?

Vi forsoker fa sa enkla tal som mojligt, helst en etta. 255 · 324 = 255 · (33)8.33 = 27 ≡ 1 mod 13, sa 255 · (33)8 ≡ 255 · 18 mod 13. 27 = 128 ≡ −2 mod 13,sa da skriver vi om 255 som (27)7 · 26 ≡ (−2)7 · 26 ≡ 2 · 26 ≡ 27 ≡ 11 mod 13.Vi har alltsa att 255 ·324 ≡ 11 ·1 ≡ 11 mod 13, och vart fraga har fatt sitt svar.Hangde du med i vad som hande? Bast att du far gora en egen.

OvningVad ar resten nar 537 · 894 divideras med 53?

7.1.1 Kongruens modulo p

Mycket i talteorin handlar om primtal, och eftersom kongruens har med delbar-het att gora, passar det ju bra att studera kongruenser modulo ett primtal p.Jag namner har bara en sats som forarats med Fermats namn.

Sats 7.1 (Fermats primtalstest).

bp−1 ≡ 1 mod p om p ∤ b

Man maste ju da utfora detta pa alla primtal p <√b, vilket kan bli jobbigt

i langden.

79

8 UPPGIFTER

8 Uppgifter

Har har jag lagt till ett antal uppgifter for ovning. De kanske spanner over fleradelar av materialet, och kanske kraver lite mer arbete an de i texten inlagdaovningsuppgifterna.

1. Berakna arean av en cirkel genom att integrera i polara koordinater.

2. Lat In =∫

xne−xdx. Visa med hjalp av partiell integration att In =−xne−x + nIn−1. Berakna med denna rekursionsformel

∫

x4e−xdx.

3. Hitta lutningen till cirkeln x2 + y2 = 25 i punkten (3,−4) genom attderivera implicit.

4. Berakna dydx om y sinx = x3 + cos y.

5. Berakna

(a)∫

x5e−x2

dx

(b)∫

xe√

xdx

(c)∫ e

1sin(lnx)dx

(d)∫ 4

0

√xe

√xdx

6. Berakna

(a)∫

1√2x−x2

dx (Hint: kvadratkomplettera och substituera)

(b)∫

x4x2+12x+13dx (Hint: kvadratkomplettera och substituera)

(c)∫ 2

−1/3x

3√

3x+2dx

(d)∫

1x1/2(1+x1/3)

dx (Hint: substituera x = u6)

7. (a)∫

dx(1+2x2)5/2

(b)∫

dxx2+x+1

(c)∫

dx(4x2+4x+5)2

(d)∫

xx2−2x+3dx

8. Berakna∫

x3+3x2

x2+1 dx (Hint: polynomdivision)

9. Berakna∫

2+3x+x2

x(x2+1) dx

10. Visa att∫

1x(3+x2)

√1−x2

dx = 13 ln |1−

√1−x2

x | + 112 ln | (2+

√1−x2)2

3+x2 | + C

(Tips: variabelsubstituera u2 = 1 − x2)

80

8 UPPGIFTER 8.1 Losningsforslag

8.1 Losningsforslag

Eller, om man sa vill, lite mer utforliga hintar, dar det ar motiverat.

1. Vi vill berakna∫

cirkeldxdy vilket i polara koordinater blir

∫ 2π

0

∫ r

0r sin θdrdθ.

2. Detta ar ganska ”straightforward”, men den integral som ska beraknas blir∫

x4e−xdx = −e−x(x4 + 4x3 + 12x2 + 24x+ 24) + C.

3. Implicit derivering ger 2x + 2yy′ = 0, ur vilket man kan losa y′. Noteraatt radien i cirkeln inte har nagon betydelse for hur derivatan ser ut.

4. Implicitderivering ger y′ sinx + y cosx = 3x2 − y′ sin y. Loser man ut y′

far man y′ = 3x2−y cos xsin x+sin y .

5. (a) Substituera u = x2, du = 2xdx sa att integralen blir 12

∫

u2e−udu,och anvand rekursionsformeln.Svar: − 1

2e−x2

(x4 − 2x2 − 2) + C

(b) Substituera u = −√x, du = − 1

2√

xdx sa att integralen blir − 1

2

∫

u3e−udu,

och anvand rekursionsformeln.Svar: 1

2e√

x(−x√x− 3x+ 6√x− 6) + C

(c) Skriv integralen som∫ e

11 · sin(lnx)dx och partialintegrera.

Svar: 12 (e(sin 1 − cos 1) + 1)

(d) Substituera u = −√x, du = − 1

2√

xdx och anvand rekursionsformeln.

Svar: 2e−√

x(x2 − 2x− 2) + C

6. (a) Kvadratkomplettera namnaren som 2x− x2 = 1 − (x − 1)2 och sub-stituera u = x− 1.Svar: arcsin(x− 1) + C

(b) Kvadratkomplettera namnaren som 4((x + 32 )2 + 1) och substituera

u = x+ 32 .

Svar: 18 ln(4x2 + 12x+ 13)− 3

8 arctan(x+ 32 ) + C

(c) Substituera u3 = 3x2 + 2, sa att x = 13u− 2

3 och u2du = dx.Svar: 16

15

(d) Substitution av x = u6 ger oss x1/2 = u3 och x1/3 = u2 samt dx =6u5du.Svar:6(x1/6 − arctanx1/6) + C

7. (a) Substitution av x = 1√2

arctan θ ger oss dx = dθ√2 cos2 θ

. Tva ggr par-

tialintegration av den da erhallna integralen I = 1√2

∫

cos3 θdθ [valj

U = cos2 θ, dV = cos θ] gor att vi kan losa ut I [jfr ex. 43 s 60].Substituera sedan tillbaka med hjalp av triangeln.

Svar:13 (√

2x(1+2x2)3/2 + 2

√2√

1+2x2) + C

81

8.1 Losningsforslag 8 UPPGIFTER

(b) Kvadratkomplettera och substituera u = x + 12 sa integralen blir

43

∫

11+ 4

3u2 du. Substituera igen v = 2√

3u.

Svar: 2√3

arctan( 2√3x+ 1√

3) + C

(c) Efter lite faktorisering och kvadratkomplettering far man 12

∫

dx((x+ 1

2)2+1)2

varvid man kan substituera u = x+ 12 , du = dx. Da kan man substi-

tuera u = tan θ, du = 1cos2 θdθ. Integralen blir da 1

2

∫

cos2 θdθ vilket[om man skriver om cos2 θ som 1

2 (1 − cos 2θ)] blir 14 (θ − sin θ cos θ)

[sin 2θ = 2 sin θ cos θ]. Detta kan man skriva om [anvand triangeln].

Svar: 14 (arctan(x+ 1

2 ) − x+ 12

(x+ 12)2+1

) + C

(d) Kvadratkompletterar man namnaren far man∫

x(x−1)2+2dx. Substitu-

era u = x−1, du = dx sa att integralen blir∫

u+1u2+2du = 1

2

∫

u+112

u2+1du =

12

∫

u12u2+1

du+ 12

∫

112u2+1

du. Den andra integralen ar 12 arctan( 1√

2u).

Substituera tan θ = 1√2u, du =

√2

cos2 θdθ varvid den forsta integralen

blir 12

∫

tan θdθ = ln | 1cos θ |. Byt tillbax till ursprungsvariabeln.

Svar: 12 (arctan( 1√

2(x− 1)) + ln |

√

12 (x− 1)2 + 1| + C

8. Polynomdivision ger att x3 +3x2 = (x2 +1)(x+3)− (x+3), sa att vi kan

skriva integralen som∫ (x2+1)(x+3)

x2+1 dx−∫

x+3x2+1dx =

∫

x+3dx−∫

x+3x2+1dx =

∫

x+ 3dx−∫

xx2+1dx −

∫

3x2+1dx. Resten ar ”straightforward”.

Svar: x2

2 + 3x− 12 ln(x2 + 1) − 3 arctanx+ C

9. Partialbraksuppdelning ger Ax + Bx+C

x2+1 , vilket vid forlangning till samma

namnare ger ekvationen Ax2 + A + Bx2 + Cx = 2 + 3x + x2. Detta gerA = 2, B = −1, C = 3 sa att vi far integralen

∫

2xdx+

∫ −xx2+1dx+

∫

3x2+1dx

Svar: 2 lnx− 12 ln(x2 + 1) + 3 arctanx+ C

10. Substitutionstipset ger att u2 = 1−x2 och 3+x2 = 4−u2 samt√

1 − x2 =u och −udu = xdx. Vi forlanger med x [sa att vi far xdx i taljaren]varvid vi far substitutionen

∫

xdxx2(3+x2)

√1−x2

= −∫

udu(1−u2)(4−u2)u dar vi

kan forkorta u och faktorisera namnarna till −∫

1(1−u)(1+u)(2−u)(2+u)du.

Partialbraksuppdelning ger oss integralerna − 16

∫

11+udu − 1

6

∫

11−udu +

112

∫

12+udu + 1

12

∫

12−udu. Efter integrering och anvandande av logaritm-

lagarna far vi 16 ln |1−u

1+u | + 112 ln |2+u

2−u |. Forlang det forsta argumentet med1 − u, och det andra med 2 − u, och anvand logaritmlagar igen for atterhalla det onskade resultatet.

82

9 MATEMATISK NOTATION

9 Nagra tecken och symboler

N de naturliga talen, {1, 2, 3, . . .}Z de hela talen, {. . . ,−1, 0, 1, . . .}Q de rationella talenR de reella talenC de komplexa talen∈ tillhor� Q.E.D., vilket skulle bevisas, avslutar bevis∪ union∩ snitt⊂, ⊆ (akta) delmangd, delmangd, jfr < och ≤\ mangdsubtraktion∁ komplement∴ alltsa∃ det existerar [minst] ett. . .∀ for alla [x. . . ] galler att. . .(a, b), ]a, b[ det oppna intervallet fran a till b[a, b] det slutna intervallet fran a till b(a, b], [a, b), ]a, b], [a, b[ halvoppna intervall fran a till b

83

10 SLUTORD AV FORFATTAREN

10 Slutord av forfattaren

Eftersom jag har skrivit en massa i inledningen, plus en massa efter inledningenfram till hit, har jag inga ord kvar. Mitt slutord blir helt enkelt

slut ord.

Olle the GreatestDonnergymnasiet 11 juni 2005

84

Sakregister

basvektor, 40, 45bijektion, 22

cofaktor, 36

de Morgan, 19definitionsmangd, 20determinant, 35, 42diagonalisering, 46differentialekvation, 66

andra ordningen, 68forsta ordningen, 66separabel, 67

diskontinuerlig funktion [gransvarde for],48

divergens, 47dotprodukt, 41

egenrum, 45egenvarde, 44egenvektor, 44ekvivalens, 9element, 15, 27elfte budet, 36enhetsmatris, 29, 33enhetsvektor, 40, 41ett-ett, 22ett-ett och pa, 22

Fermats primtalstest, 79

Gauss-Jordan-elimination, 32gransvarde, 47grupp, 24

halvoppet intervall, 20

identitetsmatris, 29implicit derivata, 52implikation, 9induktionsbevis, 12initialproblem, 68initialvillkor, 78injektion, 22

integraltestet, 71integrerande faktor, 67invers funktion, 23invers matris, 29, 33inverterbar funktion, 22

karaktaristisk ekvation, 68komplement, 16kongruens modulo n, 79kontinuerlig funktion, 6konvergens, 47, 70kropp, 26kryssprodukt, 41kvottestet, 70

l’Hopitals regel, 50, 74linjarkombination, 40, 68linjart oberoende, 40, 46

mangd, 15mangdbyggaren, 16matris, 27modus ponens, 11modus tollens, 11motsagelsebevis, 11

Newtons avsvalningslag, 77nollmatris, 29

ortogonala gruppen, 39

pa, 22partialbrak, 61partialintegration, 58partikularlosning, 78Peanos axiom, 8polara koordinater, 64

ring, 26rottestet, 70

Schrodingerekvationen, 45skalarprodukt, 41slutet intervall, 20

85

SAKREGISTER SAKREGISTER

slutledningsbevis, 11snitt, 15surjektion, 22

Taylorapproximation, 72√1 + x, 72

ex, 73Taylors formel, 72tomma mangden, 15transponat, 30transponerad matris, 30

union, 15

variabelsubstitution, 54cosinus, 55sinus, 55tangens, 57u, 54, 57

vektorprodukt, 41

86