Matematicki list 1994 XXIX 2

7/30/2019 Matematicki list 1994 XXIX 2

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1994-xxix-2 1/18

Lr:.f -

t_r

t)t, \lll.lll'l l:.lh \ lll'}F- I ll.l !l'l Il IIi I l\l \

1\

'ri:rtItt:r ilr'tklt .tl!0f . l\iti -\litxlut.lot{r :-, l\ , It.tl

C \,11)/h \ii'-',,ill,rrr :r i, I r i I ,

I r I l)iirt-lr:tJ

t,.til

lil

t-

i,rl

ll;.r.irtr'riii.'ii';-l



JIPYI]ITBO MATEMAT'IT{APA CPBI4JE

MATEMATI4IIKI4 JII4CT

3a y"IeHI4Ke OCHOBHe UIKOJIe

foArlna XXIX, 6poj 2 (i!)9a)

['l:tla;rn mecr ily'ta fo,(Ilmrle

I,I3.trAJE JIPyIIITBO MATEMATI4qAPA CPE['IJE

BeorpaJ, Knea-MtrxattaoBa 35/lV, n.rl. 728

I-rasHlt ypeAHuK. dp lIaoae Maadeuoettli

Orroropul,t ypeAHuK: Bojucru.o Artdpuh

9rauolrr.r ype.uHr,rmrila:

fi>pdu uu Eu.it.,ouh, .1L16tl.ttup R1 r;ttouh, .tvtp l'htpiu ua'hopuh,XteLt*,t .Iandprtuh, Plnn:uqa llaetulicauh, Pudrlcircc lIewoeuh, NIupu ITttrLcteuh

c3a'tpaBa

yMHlrxaBaE,a, npeilTaNlrlaBaEa Il LlPeBr)beBa 3a.qpx(aBa

Apynrto NlareM.lru'iapa (lp6u,je

o6para uu pa,ryHapy: ilp [lae.te illtudeuoeuh

OcJlo6(lbcHo nlahatlh tlope:ra uc rlpo\,le'l Ha ocHLrBy pemQH'a

I)cil\'ii.,lil,rKi,r'cer:pcruptlja-rasaRyJllypy(lI'tlpdilje6p.41lJ-1rj6-03oALl l l/ri:J lr'Jlrlllc

Jby6nqa Kucenu'Ixn (CY6orfiqa)

IIITA JE TIPOUEHAT I{sAIIITO HAM JE TIOTPEBAH?

PalehncaMnabl{MyqeHl'llll'{Ma[po6neMeKojucecBoAeHarIIIraIr'e:

aKo je jeaHa crBap Beha (cxynrra) oA 'qpyre 3a oApebeHl4 npolleHar' (oJIrIKo

j. apyiu vana ftenrnHllia) oA npBe, Hanrla caM Ha 'IllraBy KoH{yal4iy

y g".rj"r rnaBaMa. loroso no [paBuJIy KaAa.,qeqa qyiy pe'I npor'eHar'

Heur6exng rpaxe ,,rraBHUqV", ,,l'I3FIoc" 14 noKyuaBaiy aa HanpaBe o'qro-

napajyhy rponopqniy.

KpeHttvo ouor nYTa ca ntlraf;uMa:

l. Kolnxo I4Ma coJlll y Mopcxoi BoArI?

2. Xo.nuxo je reuxa cBa co pacrBopeHa y MopIIMa I'I oKeaHl{Ma?

A tvtoXelr.lO [I,{TaTI4 I'I OBaKO:

3. Kiilraxo uMa coJII'{y KaHTu Mopcxe BoAe?

Oaronop Ha rlpBo riurarre je ,,np.lo npocr"' 'D,osonHoje lHarn

oAroBop ua ipehe 11!rra6e n jon caaHattl KoJII4xo ce Kallrrl BoAe HaJIa3I'I y

MOpnMa r.{ oKeaHr4Ma. craHounrrqu npI4MOpcKl.IX HaceJba lvlofy Aa ollfo-

"op",ru rpehe nlrrau,e. A raj oAloBop Mofy ca3HarI,I 14 TaKo uro he xaury

,op"*" noge aarpejaTrr aoK cBa BoAa He I4CIaplI, a 3aTlIM l/I3Mepl4Tl4 CO

ro.ja y rroj [peocraHe. Aa ]u he npmehll raKaB eKcIIepnMeHr cwr go1vru

rrcrl4 oJIroBop?

Kaurc vory 6nru pa:lrrqnTe l4JlII, I{anpocTo HeKO he 3axBaTI'ITtr{

Malle BoAe oA .qpyror. IIo cnevy, Haua Mepa ,,clanohe" MopcKe BoAe

- KOrl,I.lr.{Ha COrr,I Ha KaHTy MopcKe BoAe, noKa3aJla Ce HeIIpeqI',{3HOM I4

HeaAeKBarHoM.

Ytl,uruo ,qpyly Mepy: Kort{'Il'{Ha ooJl}1.Ha Kl4norpaM pactnopa' Axo

rroMeHyry N4epy oBaKo oApeAl'lMor oHga je ea 4o6t'ljane o'qloBopa Ha

frocTaB.BeHO [rdTzrFbe norpe6uo ll3]vlepHTl,t pilcTBop npe llcnapatsaFLa, a

-3aTluvr TexrIHy go6ujette cofll'I fioAeJll'lTr'r ca rexl'IHOM paoTBopa' Heria .ie'

per1lrMo; rexuHa pac'rBopa 8'4kg, a rexllHa colt'r 21 gr' Ta\a 'uo6njal'ao

oAroBop # = ],-po"'u coJtt4 Ha KI'IJIorpaM pacrBopa' Axo c'ql4vaH

eKcrrepHMeHT noHorJlnvro jou jelaunyT, oHAa he ce Ao6nu4 [Ipl46nilxHo

r.Icrl,t pffiynrar. Ann e6clrIeta roBopuMo o 6po.iy rpaMa coJlt{ y KI4'tIo-

fpaMy MopcKe RoAe, a He o r].eHTaMa y TOHII I.IJII,I O eFlrlecrult {yuravaLll r,,rrna: na' f PMEH " Al - 'nPI{BPEAHU nPEfnEA", Eeorpag Mapnall l)rrpJ) i()Ba 3-5



Jbfiuqa Kuceauuxu MJI XXIX 2

y ryAy? Xajne .ua payyHaMo 6poj rpaua coJrrd y rpaMy MopcKe BoAe.

Taaa he ce A06r{Tr'r r{crn oAfoBop axo 6yAevo paqyHarn 6poj r:oua col.ny 6pojy rona MopcKe BoAe HJrr,{ 6poj ny.uora y nyry. Taxo, nouro I #9

lt"ra 1000.qr, ro je o.uroBop xnJLzr.uy nyra Marlu,

"j

* = *. 2000 400

Ca.qa je ,qo6ujeHa nplrxBarJLnBuja uepa, aJru KaKaB je aanuc? Ilanu je w oH flpuxBarJ]unvtju?

^^i ^^h,,.ll

Peqnre rojra je 6poj nehn:Ift "nr ,OnO.

HaparHo, r{e Moxere o.qroBopr.trtr oAMax. Ilpno uopar:e pa{}Harrzr:

MHoro je raxue ynopefunaru pa3JroMKe y Aeqr4MannoM aanucy. Epoj

0.01097 je vamu oA 0.01101, jep je 6poj jeguHnqa, Aecer!{I{a t{ crort{Ilaje.[Hax Ko,q rnx 6pojena, a:rn je 6poj rurnagurr,rx AeJroBa nehn xoA Apyror6poja. Oro je HapanHo crnua jacHo.

.Il,arre, pe3ynrar he\ao .qasal't4 y AeutrMarHoM 3arrr4cy palaoMKa.

Hecrpnnnnn he .{r4rarau ca,ua pehn rreMy ronrzKa MyApoBarba oKo

He(aKBe Mopcxe BoAe. Calnlrurer je nuave JIaKo ocerltru I,t,KoHayrlo,

KaKBe ro Be3e r.{Ma ca cyutrr,rHoM npoqeHra? TaqHo je ro, alu uava je

norpe6uo ra 3HaMo ca,upxaj Mera.la y pyrtl, Macrn y MneKy, retuljcxnx

.I[axre, AoroBopllJrtr cMo ce Aa oAfoBope Ha oBa I4 cJu,IrIHa fir{Taria

,uajerrao y Aeqr{MairFroM 3anr4cy pa3.noMxa. A ca xojou ra.rHourhy? ITor.aohy

o.iroBKe r,r naul{pa Mrl MoxeN{o ,r{eJrr{Tt,r Spojere qo urunjap,ur4Tt4x Ao.rioBa,

a.r'irr Aa .[rr cy raqr{r4 noi{erHr4 no.qaqlr? Axo sara y paAFEr4 nora.lyje rexr{Hy520gr, crBaplra rexr.rLra jc vox,ua 515!r tvnt 524gr. A qnecra-r:puc.ra

ro.qlrHa yna3aA rarHocr tara je 6nla galexo turana. 3aro je craryprruje aaTaqHrlM y3r.{N,rar4o car4o trpBe AI]e-Tpr4 r1rltlpe, fla 3aro r.r Berr,r'rnHy caAp-xaBalba jegtre crxapn y .upyroj o6lr-rHo pa3tvrarpaMo ca'ravHomhy Ao ilpr;e

.que UH0pe: A.27;A"64;0.37 url, oaHocr{o 27 croelx, 64 crora, 37 crorlrx.Y nperogy 0a JrarL,IHcKof ,,procent" 3Harru ,,crorl,{ Aeo". .Ilaxle, crrrlrwcMo Ao rrpoqer{ra. Ilocrojr.r r{ Br4xoB cneqnjalun 3atrr4c - %. i(axy .ua

je mj ;uar, ycBojeH y rr,eJroM cBery, Hacrao t6or rperrrKe cJroBocJraratta

KoMe ce cJroMr{o oJIoBr{r{ cror. 3arnrc oAHoca .je caga [ocrao uHoro 6oru.r.

Iuluqeale cy HyJra t{ 3anera, a cl.rv6ol % o,(ruax xaay.ie ga je npeg uaua0AHOCHa Be"riUqI,IHa, a He tpaMu, Jil,ITpe, ,qr.{Hapl{ I4JII4 MeTpn.

MJI XXIX 2 IIIma je npoqeHam u 3a1umo uau je nompedau?

Ilpoqeure cy flo;HaBaJru Vh",xycw. jour y V Bexy Ha$e epe. To uuje

ra-ryfyjyhe jep cy l[ngyct oA ,qaBHr4Ha paqyHarr4 y aeKa.urroM cr,rcreMy.

Y Enponu cy ce nojanuru 1000 roIIr{Ha racHnje, a yBeo l.rx je xo.nalr.{cxu

MareMarr,rqap CnvoH CrenuH (1548-1620). On je npnn y cuor,{ qery De

Thiende 1585. rognne yBeo AeqrrManHr4 cr4creM r'aepa. Taxolp je npnu

o6janno ra6rlr4y npoqeHara.

Yrotprre npolleHara ce [oxa3aJ]o noro.qHuM He ctlMo 3a oqeHy caap-

xaBalra jegue crnapn y Apyroj, reh cy ce nporleHrnMa floqere rrcKa3l,rBarn

Lr ,,a36vrJwre" craapv, Kao Inro .je npoueua ilpol4lBo,qrtc, uoB.{arrr4 AoxoAaK,

rta qax t{ HeKe ,,Heo36I4$He" 9r.{}LeHl.Iqer Kao uro je 6poj ueJIoRo.rLHI,IX

yYeHnKa y_ uKo{r.r.

Bper'reuor.a, ca HanperKoM TexHoJlorrrje, rtr rpe.uMera cy ur,lnajaHe

xoMnoHeHTe roje npegcrannajy neron xr,rJT,zr,qr4Tr.r Aeo. Tara, Aa ce He

6u yno,qura HyJra r.r sarrera, Tj. Aa He 6u nncarlr 0.6%, yne,ueHa je Hosa

Be.lrlquHa ,,ilpoM]Ir" - xl,IJ]aAnrl.t ;1eo roj6 o3HaqaBa]vro eHaxora %s.

.Ilaxre, yMecro 0.6% nncaherrao 6%0. Ta ce neril*rrrHa xopr{cu4 y oHr{Mo6lactnua HayKe rAe r{MaMo norpeby .qa ,t3paxaBaMo .uecele 14 crore

AeJroBe npoqeHTa. I4epaxarane Berr{ql4Ha y npoUeHTr{Ma je nocralo yo-

6n'rajeuo. Pe[uuo, ranme je pefur: 6poj He.qoBoJl,Hr.{x ce y roKy rpoMe-

cevja y HarrreM pa3peAy noBehao n 3.3To, Hero Ilononrah .Ilapxo je qo6no

,qse c.[a6e oqeHe y roxy oBor rpovecelja. .[[axle, npoqer{ar ulrje Huurra

Jlpyro Hero ,qeur..tManaH 3anl4c pa3rolrxa roju npelcraB,'ba olHoo .unejy

BCII,IYI,IHA.

Ha xpa.iy peunheuo aajearllrvxrr oBah.aB 3a.u,alaK: flprunxora cyuerba

i00 A9 noha nraxuocr ona.que ca gg% ga gjTa. Kollrxo je reirxo cyno

nohe?

Pewene. Y 100#.q ooha jc 99% uo.qc,.qaKne cyBe rrarcprrje je l%,a ro 3Hayla I frg. IlpunuxoM cylJelI'a l{cnapaBa Bo.(0.,,;4;cyBa Marepl,Ija ce

aalpxana c rL{M mro ,ioj cc trporleHrya.lrrr{ oAHoc Mer+,a. .Ilaxre,,y cyBoM

nohy uua 90% soAe, a ro .lurr.{u i0% cyae varepuje, uro llruoor 1 #g.

.Il,axne, yxyrrHa rexuHa cyuor roha je gecel nyra no 1kg,t,j. l0kg.

Eno xaxo 6r.r uarleAaLra ruervra nponoprqlrje 3a r{crl,l 3a,rlaraK. HeKa

je r rexuHa cy[reHor noha u Hexa je C.M. roruquHa cyBe lra:repuje y

nohy. Cala r4MaMo:



ILydu4a R'ucenuur,u MJI XXIX 2

I{It

$g,

*

C.M. : 100 kg = l%o: l00To

Ilpeua roMe, Ao6I4jaMo: C.M. = I A.q.

Y cyueuou nohy: lks-

l0%r * 100Ta

lkg:n=I0To:100%Ilpcua roMo, ro6I{jaMo: r: I0kg.

A cara HaBo,qr,{Mo HeKoJrr.{Ko 3aAaraKa:

t. IIpQ[eHar rtraxHocrr4 ce fipr4.tlllKo]vt cyuleH,a l0 k.q noapha cMarr,Lr ca

90To na 80%. Ko.rrrara je rext{Ha cyueHor norpha?

2. Je.[aH '{t{HI4.rIaU cc noueha n l0To, a npyrt4 cMa$14 n l0\o. 3a

KOJII,{KO Ce npOMeHI4 rrpOr.{3BOA?

l{eny po6e cy cMarbr,rnn sa I\c/o, a 3aruM jom ra I0%. Aa wr 6tt

po6a 6ura jenrnHr.lja .qa je ueFla o[Max cHI4xeHa n 20To?

I{eua jequor npor43Bo^qa je 6ra,,ra 240 xauapa. l-[eHa je npro nonehatHa

aa 20c/o, a 3arI{M cMaFbeHa ta 20a/0. Korltxa .jc ca.ua IIeHa rornporaaoaa?

Axo je 8% npnor 6poja.qna uyra nehe oD,20Ta.qpyror 6poja, xo.nnxo

nyra .je npwr 6poj nehu oA apyror?

lllra je nehe 8% oA .{erBpruHe vma 20To o.q Aecerlzlue?

Y paepegy nr'aa 60% .uenojvuqa. Axo ce 6po,j .ueuojvraqa noBeha 3a

11, a 6poj,q,e.raKa ea 4, oHAa y pa3pery vwn65Ta genojvnqa. Ko.nnxo

y pa3peAy HMa ,qesaKa, a KoJrr{Ko genoj.rnrla?

MJI XXIX 2 [IIma je rc.n1uuamopua eeouempuja?

Jlp Jby6ot'tup 9yxuh (Beorpaa)

IIITA JE KOMEI,IHATOPHA TEOMETPI4JA?'

[Iyrev oBof rril,rararra noxyuaheNro .qa ynorHavo yr4Taoue ca npo6-

JreMlrMa KoM6r.{Haroprre feoMeTplrje, naxo Aauac joru nuje laro o,qroBo-

pr4Tr,r Ha ilr,rrar;e: nrra .ie rolr6ruaropua reoverplrja? To .qolaen, [ope.q

ocraJror, 14 oryA uro je xou6r.ruaropHa reoMerpr,rja jelHa ol:HajuratlnxrpaHa reoMerpnje, roja cc jour ynex paanuja. Morro 6v ce, rrerl,rHa,

pehn ra je xou6uuaropHa reoMcrpraja ouaj Aeo N,IareMarr.rKe y KoMe ce

npoy.raaajy oAHocr{ nar"refy raqaKa, npaBl4x, jleJloBa paBHrI r4 AenoBa

npocropa. Aru ro uaro xaeyje o xor",r6r.ruaropuoj reoverymjw, rta heMo

3aro oBAe nohn oA r{exo,rr{Ko 3aAaraKa, xojlr he [raM yKa3arlr r{a oHoyr{tvre ce xol'r6uuaropua reouerplrja 6anra.

3a.ua'rax 1. Y paaHIr c.v ralc 1003 ra,ire o.[ Kojrtx rrtaxoje rpr4 He

.[exe Ha jegnirj npanoj, 'r'arre Aa cy rpr4 o.[ Ir'r{x reMeHa rpoyr.la y KoMe

ce Halra;r.l ocraJurx 1000 ra'raxa. KoLrr.rxo rrMa rpoyr.frona xojn ce Hc

npexnanajy, a vnja cy TeMeFra gare ra.rxe?

3agarax 2. V panw je ilaro 25 ra.raxa, raKBr,rx .ua ce uei.,re.fy 6r.l:ro

xoje rplr r'.lory lraa6parr.{ ABe r,nvefy rojrax je pacrojame varre og jeqaH.

,[,oxararn.qa ce cBe rayKc Mory noKprrrr.{ ca.qBa xpyra 'rnjrr cy lronynpe-

'rt{r4rll,r no I rnr.

3ararar 3. Y panuu je .qaro I 975 ra'raKa xoje uuajy cneqehy oco-

6truy'. ua cuaxoj npanoj xoja npo,raru Kpo3 .[Be oA Aanrx I 975 laqaxalexlr 6ap jou je.qua oA .qarr4x raeaKa. .Iloxaaarn Aa cBr.{x 1975 ra.raxa

Jrcxe r-ra jelttoj npaooj.

3aaarar 4. BcLra pauaH je rroJrilBeHa upHoM 6ojou. .t[oxa:,ra'ur .qa

nocroje .qBe rayKe ucre 6oje ltr',lefy xojux je pacrojarrc 1975m.

' 3a,uaran 5. 1975 xpyrona paBru,r noxpnuajy Aeo paBFII{ noBplrrr{He

I m2. ,Il,oxaearu .qa ce Moxe nra6parl.r u3BecraH 6poj r-rux rojn ce ne

ceKy, a .qa jc r6np r6r,rxoBr,rx rroBpurr,rHa nehu oA lf 9nJ.

Cnaxr.r o.q nperxoAHr,rx 3aAaraKa je upegcranulrx no jeAue o6racrr4

KoM6r{HaropHe reoMerpuje, a.nu je ca oux rrer 3aAaraKa npeAcraBJ}eH

I T"*", .je npeuravnan us M.Il X-3

Y nraxuotur oohy: +l%+ I00Va

C.M.

100 [e

3.

4.

5.

6.

T.



,Ap Jb16r.t"vtup cl1xuh MJI XXIX 2

caMo rseH MaJIr4 ,qco. Ilpllrov, oHo 1ilT0 je xapaxrepncTr4rrHo 3a KoM6fi-

rraTopHy reoMeTpr{jy, jeoTe .ueno'ra n seo6l.r'rHocT pe3oHoBa}ba go xojnx,[oBo,qr{ meua npo6relvrarr{Ka. ,{a 6mct'ro ro yBHAe.rru, norle.uajvo peuelr,a

npeTxo.ql{tlx 3aAaTaKa.

Pewerse 1. Onaj 3a.qaraK helro pemurr{ raKo ulo heuo r,r3paqyHan{

r6np yrlona cBt{x rpoyr.rrora r.r go6njer{y Be.lr,rqnHy no,qeJH,trt{ ca 180o.

Hexa je ,4 je.qHa o.q I 000 raeaKa xoje ce Ha.rra3c yHyrap noMeHyrorrpoyrla, cl. l.

Orra je reMe lr3necHor 6poja rpoyrroBa. Kaxo ce rr4 rpoyrnoBrr He

nox,ranajy, a6np yr'.nora.lnje je reve,zl tr3Hoor iJ60o. Taeaxa Kao uroje ,4 nua I 000, na a6up yr,rona ll.rja cy reMerra re raqKe r.r;uocu iJ60o .

t 000. Oqou :r6lrpy rpe6a jou Ao,uarlr e6l,rp yrlona ,,nert{Koltpoyrna",Aa 6u ce ro6fio r6r.{p ytJroBa cBr.rx rpoyrJrona. Ilpena roMe, rpaxeHll 6pojrpoyr.roua je:

3600.1000+1800= 2 001.

l80o

C.ir. I C.;r. 2

Peweae 2. Ilocuar:pajuo cue ,uyxn .injr.r cy xpajenu napoBl4 ,qarr,rxrar{aKa. Metly nuna nocrojla 6ap je.uua o,q xoje ruje.qHa .qpyra Huje Beha.

Hera je ro rVx.AB,.[oxa;ahelro Aa KpyroB]r ca qeHrprlvra y ra-rKatvra

A n B u flonynpeqHmra 1 cnt noxpnnajy csvx 25 Ta.raKa.

3aucra, axo je ,4,B 1 I cm, oH.qa cy cBe ra.rKe noxpr.{BeHe rr.{M Kpy-

roBuMa, jep pacrojane npor.{JBoJ}}re raqKe o.q raqaKa Au B uuje uehe og

ryxtr AB. Hexa je AB > I cnl n HeKa je lVI Hexa o.q npeocra.re 23 ra-rre.IIoycrory3aAarxa je AM <lcntnnnRM < lcm. Ar,.o jeAM l-Icnt,,oHAa je ra.txa M noKpl4BeHa KpyroM c r{eHTpoM y rarrKr4 ,4, a axo je

BM e I crn, oH,qa je larxa M noxpureHa KpyroM ca qeHrpoM y rarxn

M.II XXIX 2 Mma je rouduuamopua c,eo.mempuja?

B. Uouro je M 6una [por4aBoJ[Ha raqKa, To cy cBe ratlKe noxprrneHe ca

ra ,qBa Kpyra.

Pewerue 3. flpernocraB]rMo .ua rnptpne Hr.rje ravuo, rj. ra ue rexe

cBe raqxe ua ,iq,uHoj nparoj. KoHcrpyulruMo HopMaJre !t3 cBaKc oA ,qarr,{xTayaxa rra cBaKy oil npaBr4x xojc npolaae Kpo3 napoBe .rlarr,rx rar{aKa.

Metyy rr.rv HopManaMa noctojrr 6ap je,uHa og roje uujegxa .upyra HlljeMar6a. HeKa je ro nopuara rtr Tatrre ,4 na npany p Koja npoJra3r{ Kpo3

raqne B vrC), cn.2. OrHa.rtt],ao ca Ar [oAHoxje HopMare r.{3 Ta.IKe I I{a

npaBy ir. IIo ycrony BaAarKa Ha npanoj p nocroju, ceM rai{axa R u C 6apjour jegna oA Aarl,rx ratlaKa. Hexa je ro ratlxa D. Je,qna op, ra'taxa B, C ,

D je urvrelly Apyrtrx gnejy; uexa je rn ravxa Ci. Orserwrno ca As vt Cy

no.[Hoxja HopMa.rra, KoHcrpyr4caHr,rx [,r3 TaqaKa A1 m Ci ua npany AD,

PeAoru. Kaxo je AAr> A1A2) CC1,ro cMo.[otllJll,l ,u,o KoHrpaAl{nquje,jep cnro Ao6urll .qa je HopMata CCl Malba oA uopuale ,4,.41.

Sauuunnno je la y rory 40 ro.qr.{Ha (o.u I 893. Ao I 933. rogune)

HI4KoM Huje noulo 3a pyKo\,r Aa peuil onaj raqarax.

Pewerse 4. Hera je .4 6e.na rarrKa. KoHcrpynuruMo KpyxHurlyIlonynpe'rHr.rrca I 97J-l nr rujn je rleHrap 'ra.rxa A. Moryha cy ,qBa cryvaja:Ha xpyxHl{rln je 6ap jegHa 6era raq(a r{ Ha KpyxHr4r.r.r He}{a Huje,uue

6e.ire ra.{Re. Y npnou c,ryvajy o3r{a{tr,rMo ca B 6ety ra.{Ky. Ou.qa je

AB = l975nt lr AoKa:l je ::anpueH. Ilpefr.rvo rra Apyrrl cny.ra.i. KoH-

crpyr.{nl4Mo rlpaBr,r.naH [rearoyrao C1C2(hC4C5C'6, rojra je ynucan y

KpyxHrlrly. Karo .ie Ct(i2 - C2C3 = ..' =. C6C1 = 1975rrl, 'ro je

AOKa:| :]ul]pillc! I.

Pewetrc 5. Ilexa je t 1 xp1'r ca rteilrpoM ) ra.rKfl 01 fi uo.I)'npe-

t{rrtr{KoN4 11 xoju ,jc nchlr oJI cBr'rx oeTa.rrr4.{ noryrrpe'lHrrKa. Y4arblrru,ro

cne.Kpyron€ rojn oeny onaj npyl'. ilpu,roue cMo o;i KpytoBa oc:ro6oAr,r-

rI,I noBprlll{Hy ue nehy oJI gPt, xoja "reNu y Kpyry {J rlcrrrpol{ f 01 vnoJlyllpeYHr.rKoM i}'1, r'Ie jc P1 iloBpillr.{rrzl Kpyl'a fr1, Oir. 3.

Hexa je trj2 xpyt' ca LtcHTpoM y ra.{Ku O2 "rttjl.t je nolynpevHuK r;nehn oA cBr4x rroJryupeqr.u{Ka ocra.rrr.rx KpyroBa. Y,[anulro rr cBe KpyroBe

xojt't cexy onaj xpyr. IIpn loue ce, cJrr,r.rHo Kao Maro.{ac, oc.uo6o.qi,rla oA

Kpy|oBa noBprilurra He neha on,qPz, rge je P2 noBprur.rHa xpyra &2.

Osaj nocrynaK r{acraBl4Mo cBe AoK ,,r4wa" KpyroBa" Kaxo cy cnu

npro6ltruu KpyroBrl o6yxnaheHl.r KpyroBr4Ma wtju cy fionyflpe.rHr4nrr jeA-



L.r..J

flpernocran;baMo Aa he .rlnaraq Ha ocr{oBy oBr.rx HeKoJrr,rKo peue-

Hux 3aAaraKa crehn 6ap u.:necHy rrpe,qcraBy o ouoM urro ce o6pafyje y

rov6r.,rHaropHoj reoverpraju.

3a,qauu:

1-. EpojHc roaarKe 1003,21-r vt lg75 y 3aaaqr.rMa l-5;arreuraln pcrovr

npoMeHJll4Brrva a, b, c Ir peflr,rrr4 r'axo Ao6njcne aaAalKe. .

2. (a) Y panuu je qar u;necrau 6poj npaBr.rx. .Il,orararlr .qa y roj paBHrr

nocrojtr npaua xoja Hlrje rrapa.ue.fina nil ca jelrrov or JIarrr\ nparJr{x.

(6) Y paouu je garo 4 000 ra.raxa oa xojr.lx unroje rpr4 Hc .rrexe HajelHoj npanoj. .f[oxa;arn Aa ce rvroxe KoHcrpyr.{caru 1 000 rrerBop-

oyrnoBa rojn uerrajy eaje4ur.rvxr.rx raraKa, a vuja cy relreHa Aare

TaqKe.

3. Y panulr je qaro ?l flpaBrax, raxBr,rx aa Kpo3 npeceK cBaKe ABe rrpo.Ira3l,I

6ap jout je.qHa o.u nltx. Aoxaearn ,(a cBI'IX 11 IIpaBI,IX ilpoJIa3LI Kpo3

jeauy ravry.

4. Bela paDaH je no.nr.rneua qpHoM 6ojola. .floxaraTn ga nocroje rpnrayK.e Llcre 6oje xoje Jlexe Ha ucroj npanoj, raxne ga je je.qua o,q

H,Irx cpe.illlilrre Iyrur 'rrrjn cy xpajeur .upyre ABe rayKe.

MJI XXIX 2 Pauynapu

RAEUNARILI ovoj rubrici objavljLrju se: (1) konkursni zada,:i iz raiunarstva u kojima se traZi od

ditalaca da napi3u programe za njihovo re3avanje, kao i re5c.nja tih zadataka; (2) najuspelijiprogrami ntiih aitalaca koji se oclnose na rreki slobodno izabrarri zadatak; (ll) zaclaci satdkrniiernja i druge zaninrljivosti iz ratunalstya.

IJ ovom broju objavljujenro konkursni zadatak trr. 44. Re5enje konkursnog zaclatkat.r'eha poslati najkasnije clo 25.1"&;1994. gotline. Na koverri obavezrro rrapisar-i ilne i prc-ziirre, razred, Skolu i rnesto sa naznakorn "IIA(IUNARSTVO,,. 'lako<le objavlju.lenroreSenja prva dva zanlatka sa Republidkog takrniQenja iz programiranja za rrienike ospovnihskola (fonnulacije tih zaclataka tlati su u ML XXIX-1).

KONKUN.SNI ZADATAK IZ RAEUNAn,ST\/A BR. 44

Napisati prograrn koji odreduje sve prirodne brojeve iiji su.kvadrati desctoci-freni brojevi u dijern zapisrr se svaka od l0 cifara 1>ojavljuje po jcdanput.

RESENJA ZADATAKA SA NEPUBLIEKOG TAKMICENJA1. Reierr.ie prvog zaclittka:proglaut Teml:Mesavine (input, out,put) ;

varal, u2, tt, t2, l: r:eal;

bcgirrwrite ('Lluesi zapremirur i tclrperatrurr pr.r,e teirrosti:');rcadln (ul. ll);writc ('Urresi zaprerninu i teurperattnu druge teirrosl,i:');rcatlln (u2, l2);t:= ulf(u1.{ u2) * tl } u2f(d } u2) * t2i

. wlite ('Ternperatura rue5avine je:', d : 6 : 2)errrl

2. ReSenje rlrugog zadatkit: Vreme prizernljenja aviona. d:enro odrediti rrsatirn"a' minutitua i sekundar\ra, a za njegovo oznatavar{e kor.istilto slededa ir1e1a:sat.priz, rnilpriz, secpriz.

program VrernePrizenrljenja (input, output) ;

vat'

J t A, :, q: integer';satpriz, urinpliZ, secpriz:

ilteger;beg.in

write ('Unesite sat, rninut i sekund uzletanja:'); rearlhr(u,y,:);write ('Drriiua leta u sekunclarla:'); readhr(q);secgrriz:= : { q1

rninpriz:= g { secpriz div6O;secpriz:= secpriz ruod6O;satpriz:= er * nrinpriz div (-j0i

nriupliz:= rrrinpriz lrorl 60;

satpriz:= satpl'iz rnod 24;writeln('Vrerne prizerrrljenja aviona:');lvriteln(satpriz,'sati', rninpriz,'ruinuta', secpriz,'sekundi')

errd

.t[p .r$6ouup lyruh M.TI XXIX 2

D

?

tr"

#

t{trI

Tfr'

$

#

I

$lr*

i

tl&KI,I 3r1, 3rz, ..., To je

th*9P21".> lrtf ,

a ro je r,r rpe6a.rro ,uoKa:larrr.

rj. 'P1 *Pz*"')1"-nl.'.9



h.€

.1'll

r!

v,.ry

10 MJI XXIX 2

t

Sada4u u3 ilameilamuKe MJI XXIX 2

TECTOBT4 T,I3 MATtsMATT4KE

3A NPOBEPABATf,E CTE'IEHO| 3HA}LA

il IPI4NPEMABE NPUJFMHOT I,{CIII4TA 3A YIII4C Y CPEJITbY IIIKOJIY

Ilu'rarp I,r 3aAaUu cy paclopeleru,r y ABe rpyne A u E. yqelll4ull xojtl ravrtoorroBope Ha cBa ni{rar6a ta peue cBe 3a.[arKe t't3 lpyne A aacnyxyjy go6py oqeuy urAare o6rac'u,l. flurana il 3aIlauv u3 t'pyne E cy Heuro rexlt.

Bepyjelro Aa he oru recroBlt noltohu yqeHI4iIr'IMa .ua ce c'I4cl'eMarcxlt npl{npeMega ycnetirHo noJtarame npujertrtor ltcnfiTa -ta ynilc y cpelllby IIlKoJIy.

IV PA3PE]I

CAEI,{PAILE 14 OIXY3'IMAISE Y CKYIIY N.

I'Eolvl ETP14.lL'KE q,14 IYPE.

A

t. Iul:pauyHaj ua uajeguocTarnttjt't ualun:

(a) s6 + 49 + 44 * 2ll * irl * 77:(6) 45+23+11 +2',2+34;(B) 28+ 56 - 26+ 2 - 16+ 4:1.

2. (a) Pa3ruuu 6pojena 8349 il zzts loraj 6poi 5438.

(6) O[ r6upa 6pojena 6258 il 1081] oay3Ml,r pa3ril4Ky t'tctlo< 6pojena.

3. Peur jeluaruHe:

Tecm<teu 1l

6

1. 36r,rp rpra 6poja je.s252. Otpean re 6pojere aro je c6lrp npBor l{ Apyror 6589,a trpyl'or l.{ rpeher 5927.

z. Axo je a * b = 1994, Koruxo je:(a) (u + es4) + (6 - se4);

3. Pemn jeguavnue:

(a) 557 + (r { 356) - 1 300;4. Peuil uejegna'rlrue:

"(a)s280-c>ll 260;

5. y'{eHMK je rmury npo'r1{Tao 3a rpr.r raga. llpror 4axa je npovrarao sz crpzine

Bl,{ile Hero ,qpyror IaHa, a rpeher IaHa npeocraJtr4x g6 crpaHa. Konuxo je npovuraonpmr lt ,qpyror .uafia, axo je xBura fiMara 200 crpaHa.

6. Pacloja*e uat"refy Ana rpa4a je Tbo knt . Ayrouo6nnucra je 1aj nyr npelrlao 3a

rpr'r 'Iraca. flpnor vaca je npeuao I u.no| nyrr, rpyro ,{aca 3a lb krt Bt4ute,a ocraraK

tpehe| vaca. Konuxo je npeurao rpehe| raca? Ka.qa je npeuao BUIIe: y roxy rpehereaca t,rlil y roKy npBot t4 Apyror vaca nje.uxo?

7. Kpor ra,{.Ky 11 y paBHil Ha{praj qerilpr4 npaue. Korr.rxo one o.qpefiyjy nony-fipaBux l yr:tom?

8. KorrcrpylrrLru r{ernpn'flo.uyaapna je4HarocrpaHlrrHa rpoyrJra, r{ceqil lrx n o.&

Iu4x cacraBu He(oJn{Ko $urypa. Caaxoj {nrypra r.cpavyuaj o6uu. Haupraj ro!

, V pA3pEJl

' .uE.rbt4BocT EPOJEBA. ytAO.

A

1. (a) .4ar je cryn A = {2,1,4,8,6}. CBaKoM erreNreHry cKyra A o,qpeArr rerl,rpr4npBa calpxaoua.

(6) 3a crcyn S = {2,3,4,8.20i 3alrnrxr.{ cKyn:

-i.

{,q

(6) (. - ee4) - (es4 - 6).

(6) 5520- (s - 2o0) - 1 4oo. -

(6) 860 > 15 300 - (18 500 - o)

(a)5328{r=14158i(D) 175 + 8252 - r'= 6056;

4. Pe$u NejegHavuue:

(a)a-259<11832-2049;(6) 869+ a ) 12898+ 1011;(u)628<r-1128.

5. OA xor 6pr:ja tpe6a oly3eru Arocrpyxla s6r.rp opojena 725 i'r 398 Ia ce .uo6uie

1 000?

6. .ILna 6poja ce paarnxyjy ea rajrehu [Bouu0peHu 6poj, a r*rxnn a6up je uajrehra

'rpor1r,r([peura 6poj. Oape,un ra .uBa 6poia.

7. y paBnr,r je cagaro 5 TaqaKa Kao Ha cnltut't 1. Llaqpraj:

(a) npaBy fpor,4 rI D;(6) otmpeuy Kpr4By Kpo3 A u B:(B) KpyxHruy xpoe C nonynpe'IHma CD;(r) nonynpaay ca flo\erHoM ra'rxoM E nopuanxy H AD.

E. Harlpraj npa9y p, talxy,4 BaH r[paBe p u raqKy E rta npanoj p. Hauptaj

noJrynpare Bc L p n Ay ! 8r. Y xaxrolt cy nonoxajy Rr t'r AE. Konuxo yrlonayorraBarx ua cnnun? Karnu cy ourt?

(6) 7 258 - :t = 7 O32 +'2:lO4;(r) 11032-8204=r{538.

R = {(a,l') : o I b u a e S u 6 €,S}.



:.h

l3t2 []adaqu u3 ilameilamure MJI XXIX 2

2. (a) Pacraru Ha t{r.rHr4oue 6pojene: 24o,330,:174, 3003.(6) 3anr.ruu 6poj xojr.r uMa cl,IHr4raq 2 EBa Ityra,'{riHl.ulaq 3 rpfi nyra, a

rl,rHl.{rau 7 je1aHnyr.I

3. flporepu raqHocr: 2 I 832j 4 | s32; s V522t 9 | 54+66; 3 | 36*28;6172. 17.

4. OApeAr,r uajvanu 6poj xojr.r je:(a) lennn ca 12 u 18;

(6) npu re$erby ca 4,6 u 15 yBeK 4aje ocrarar 3;

(r) nplr AeJr'eBy ca 3 4aje ocraraK l, IIpI4 ,[exse]by ca 4 raje ocraraK 2, npu

,ueJberby ca 5 Aaje ocraraK 3, a npil .ueJ|elby ca 6 .uaje ocraraK 4.

5. KojoM ce Hajnehov caje4Hwvxotl MepoM Nloxe laaMeplrTr{ 48kg tt72k!t?

6. nar je yrao .r = 32" 20t . O.qpelrr Mepy lreMy:

(a) KoMnfieMeHTHor yrJra;(n) ynope.qHor yrra;

(6) cynfleMenr}ror yl-rra;(r) yxarpcuor yrra.

7. (a) Or ABa cyrrleNleHrHa yr.na je4an je rpr4 nyra seht4 q.u Apyl'or. OapelllILt4XOBe Ntepe.

(6) Kovn.rrer.aeHrln4 yrJloBlr ce par,rnryjy 3a l5'. O,upcal4 t-bltxoBe Mepe.

8. Kopucrehra yrJlr)Mep uarlpraj yrJroBe o - 37" . n: 48", 'y = 79o. a 3aruNl

KoHcTpyl4rxil yrao:(a) o+F, (6)r-.', (e)z.F+t, (r) o* lltt.

E

1. yMecro cJroBa craBr4 o4rorapajyhy 4uQpy raro.4a:(a) 2 la7a, 3 | 3'4, e | 634;

(6) e I rty, 'r2 l2oa4, 15 I 253c0;

(u) alzd.25, 3|25uIb4.

2. O.upelr.r uajlranu nprlpo.uaH 6poj xoju noMHoxeH ca 24o [aie'.(a) rralpar npnpogrror 6poja; (6) Ky6 nprpo,quor 6poja.

3. KojfiM 6pojeu uoxeuo rtoAeJl},rri,r 49 14 61 ,qa 6lt ocra:rax npn .[enerry y o6a

cnyvaja 6r,ro je,uirax l.

4. OApe.un :r u3 jelHaKooTr{:

(a) D(45,r) = r5; (6) S(r,36) = 108.

5. flpanoyraoxltr ltruerrltja 42 cnr A 27 an rpe6a lrcehlt ua jeguare xra4parilheHa.irehe voryhe rroBplltln{e. Konuxo r,rN{a raKBr,fx xra.upara?

G. .[oe npare ce oeKy l{ ooparyjy se'rurpr.{ yrra. Ogpearr Mepe rlx yr,roua, aro je

3614p 1pl.r yrra 215"20'.

' 7..leAaH oA ABa KoMrrJreNret{THa yrJla je 3a 14' l'2'30" Ma:fi.l,t og gpyror. I,kpa-lyHaj unxorc uepe.

8. PasJrr4xa yraa cynfleN.reHTHor yrily rr 14 KoMnJIeMeHTHor yrJly a je 2o. O4peluMepy yrJla 0.

MJI XXIX 2 Tecmtscu

VI PA3PE]I

CAE 14 PAITE I,l oIly3l4 lvlAIiE lI EII 14 X B PoJ EBA

nonvnAPH ocT'l'PoymoBA.

A

1. OApe.Ulr pa3JlHXy om gna 6poja:

- -:t+5-81,r+ro-, r.r 5-6-3+8-16+A.2.36'14 6pojeBa -10 l.r -26 yBehaj 3a rbuxoBy pa3rlrKy. rra.raj nepae oly3Mx oA

6poja -1.s. lhpary -8-[-4+(2-u) -2] 4oaaj A3pa3-2t -(8-12).4. Peilu je4ualnue:

(a)r*8=-r;(n)-"-(-5+3) =1;

5. Ha KpaUnMa yrJra (Y = 75' ol{abpat{e cy ra.{Ke A w R,raxo M je OA d OB,aHa ci.{MerpaJrl{ yrra rar{Ka 1(. .Iloxaxr.r ga je .4K * R1i. 3a6e.nexu crats o noAyAapHocrr4Tpoyr,fiora .xojll cu npr.{MeHilo.

6. I,,h cpegxurra D c'rpauuqe ,4O jeguaxocrpaHr,rrrHor rpoyrra ABC nonyvenecy HopMaJre DE u DF Ha .qpyrc IBe crpaHr,rqe ror- rpoyrrra. .Iloxasaru Aa cy re ABe

HopMaJle noly,[apHe.7. JIar je xpyr A(O, r) n rerura AR. .tloxaxn Ia je nopuana noByyeHa il3 ueHrpa

Kpyra Ha TerttBy lr,e3uHa cr.rMerpaJra.

8. C-peAr.nxra KpaKoBa je.qHaxoxpaxor rpoyrJra AB(,- cilojeria cy ca reMeur4MaocHoBr,rUe AR. ,Iloxaxn .4a cy lo6ujeHe ,qyxu noly.[apHe.

t. yMecro *"roiru"penarllrjcx'r

ruu*tr, < r,uu4 =:(a) -3 - (-s; r -z + (-7):(B) -4-5x-e- (-3);

(6) -2= -3-r*8j(r)sr-6r*2Is-i2=-tz

(6) -8 - (-3) * -2 - (-s);(r) -3 + (-5) - (-10) *4 - (+6) - (-1).

2. KaKo he ce lpbr"lenn't'tr z6up ABa qeJla 6poja axo ce:

(a) jelnov cabupxy aoAa -7, a lpyroM Ao.qa -5;(6) jetuor',r ca6npxy AoAa -10, a ApyroNt olty3Me -t0;(n) je.urrov ca6rrpxy,

.uoAa 4, a .{pyroM Ao&a -z;.(r) jeanor,r ca6ilpxy q,ay3rue 4, a lpyroM oly3Me -2.3. Olpe1l :6up crtar eJreMeHara cxyna A, axo je

A = {* : r e Z n .-T < r 1T ul"l > Z}.

4. Peurr je4Ha'rrrue:

(a) -3 - (-s) - (-,) - -5 +4 - (*1);(6) -2 - [-s - (' + 3)] = -4;(B) 4 + (-6) - -1 + {-1 - [-5 - (a- z)] - s].

5. FIa.u cBaKoM clpaHlrqoM KBaApara ABCD Ko]{crpyl,rcaH je cnona jeguaroc-rpaxr4\al{ Tpoyrao. Taro cy go6ujeHa jom lerr.rpu reNreHa E, F, G, H . Aoxaza.rv rajc r[nrypu EFGH KBaApar.



14. 3ada4u u3 tnmei4umuKe MJI XXIX 2

6. Hexa je ra.rra O npecex.uujaronala npaBoyraoH[Ka. Kpo: ralxy O na4ptanaje npana p TaKo ra npeceua .uBe crpaHxr{e npaBoyfaonl4Ka y rar{KaMa P u Pr. ,(oxaaatltrc je PO =

PlO.

?. Ha.u crpaHilqaMa je.[Haroxparo npaBoyrJror rpoyrJra -4BC xoucrpyt4caHl't cy

cnoJra Kra.&paru. .[oxacarr4 na cpeJir4rxra Or, Or, Os rt4x KBaApara npegcrarruajyTeMeHa jeguarorparor rpoyrJra.

VII PA3PE]II

I1 PI,I M EI]A TlI4TAIOPI4 H E TEOPEM E.

' CTEnEH. MHOtOvtAO.

A

1. EreMeHTI4 porr,r6a cy crpaHl.tua a,tsvcilHa A, gujarortaae ,1, u rlz.o6uv- O unoBplr[Ha P. I4apavyuaj ocrare eJreMeHTe, aKo cy no3Hara ABa:

{a) rl1 = 6un,tl2 =Scnt) (6) O = 4ocn, clt =l2cm'2. I4opa,ryraj P u O jc4rrar<ocrpar.nflrHor rpoyrJla aro je ueroaa Buchna h =

31/5 on-

N{JI XXIX 2 Tecmoeu

7. Cno$aurbu yrao npaBnJrHor MHoroyrJra je 24". O.4pe.[u So t4D ror ruuo-royrJra.

E. Kojr,t uHoroyrao l{Ma clroJ}aurln yrao rp}t nyra Marbu oA oarorapajyheryr{yrpa[6er yrna. .[a lu je 6grj.glrjaroHaJla iar jeglor tlerotsor reMeHa jegHax 5?

6

1.. flo,rynpevuilx ynilcaHor xpyra jeaHarocrparu,rt{Hot- Tpoylna je zy/lcnr. l4tpauyrrajuyOuP.

2, (a) Y Kpyry noJrynpeqHuxa l3cm ynr4cat{a je :reruaa .t = 24on. I4epavyr+ajqeirrpaJruo pacrojane re rerr.rBe.

. (6) I4oparyuaj O r,r P rpoyrna orpanr4qeHor reruBoM il ca ABa noJryflpeqrtmariuJr4 cy (paJeBr4 t4cToBpeNreHo r,1 (paJeBrr TeTr4Be.

3. Y.jeguaroxpaxoM rpoyrJry je4aH yrao je rptr nyra.rehn oA Apyror, a Kpahaocuolr{Ua je,ura nyra gyxa oA Bucl,rte. I4tpavyuaj O u P rpaneaa, aro je KpaK AyxuHe3/2 crn.

4. ylerrol4Ay ABCD jeAB = BC,<ADC =90o u <ABA = 60o. tr4rpa.ryua.iP Aenlou,Ua aKo cy n€roBe crpaHt{Ue Ayxl4l{e 3cnr vt6ott.

5. CKpar{ pa3.[oMxe:

an ..rn+r -.ln+2

(a)- - - :33n+a

Illra yovarau?

6. t{3paYyHaj BpeAHocr l4tpa3a:

(a) 5r3 - 4r2y I ry2 - 2;

axo je c= l-8+(6- 14- rl)l,v = l2u- l- 2.(4-6)ll.7. Konuxr,t je rlerrrpallria yrao npant{JiHor MHol-oyrna aro je yxynaH 6poj meronnx

gNjaronana 104. Koucrpyuuu laj Muoroyrao aKo je nonynpe.ruuK on!,rcauor Kpyra5 cnz.

8. Konc'rpyrauru fipaBilJaH MHoroyrxo roju nva yrynHo 20 .q',tjaroHa,ta, a rroly-npe\tur4K onr{cauor Kpyra je 4cnz.

VIIIPA3PE.[

NPI4MEHA N I,I H EAPH I4X J E.IHATI I,{ HA

H EJEIIFIA'I 14 H E. NPI,{3M E.

A

1. Po6a je npro nojenruunra 5%o,asarwu joilr lO% oA HoBe qeue u oula jerpo.(ara 3a 17.10 Ar.{Hapa. KonNxa je npuo6ur:ua UeHa Te pode?

2. floBptxr4Ha npaBoyraoHr4Ka je:ta 12Sctn2 Beha ojl noBpruilHe xBaApara HaIMarboM crpaHuUoM npaBoyraoHlrKa. OApe.[n crpaHr44e npaBoyraouuxa aKo ce oHepa3rnrKyjy 3 5crn.

15

ka,

,l

t:

f

1)

:i

,n-r ..)n+l

tot

-.

\ ' 2n-2 .2n+2

,-. x+A 4xA((-)1

-

- --i----Trx-a x:'-a.

cyA

3, I4;pavyuaj nonpurnHy r[r.rrype Ha clu{il 2, aKo je DR

=CD:13cr]t.

4. Yrao Ha ocrJoBr{ql{ je.uraxorpaxor rpafie3a je 6ff, a BrncfiHa u MaIsa ocHoBl{qa

=3y/3cztvb=2cnt. O4pegn O uPror rpane3a.

5. I4apa.ryHaj:

(a) r'o : (r' .rn); (rn)"(6) z. .(26:23); 42 .(43

(B) 3" - (-3)'? - (-3)'?:

(rs : r2)'; -rtl : (r8 : r2)2;

, 4)t; (23\2 .42 :76:

l 1 / r\'a*n- (-;,) '

(-2)"+(-2,/t)'-2'

6. Ynopeau: (a) 28 tr 8'?; (6) 26 -32 v22 .014

ii.



r8,

176 3ada4u u3 i4ameiramuKe MJI XXIX 2

3. Peuu HejeAHa.lfiHe:

:JJ.r-;t (6) e(ar$l)'?-4(6ll -2)(6r+2) <35.

4. CBaKa crpaxr,rUa rpoyrJra je r,aaua oA rberolor nolyo6r,rrua. .Iloxaxn.

,5. Koqxa ranpeltuse 21,6crrt3 lla,&e$eua je

ua ua*e KouKr{Ue noBpllttHe 24ctn2.Kolnxo r.iMa raKBnx xouxnua?

6. flr.tjaroHaaHil npeceK KouKe taMa noBplrrrirHy 1211/icn.2. Konuxa je uaca re(oUKe. aKo je oHa ranpauJr,eHa o.U nnyTe (.y = O.2Lg/cnf)?

?.. [urna ltva gltlterr:nje 2ltctrt, l}crn w 6.5czr. Kolttxo ce TaKBIIX l{rrraJlaMoxe cJroxl4Tl,r y cKJraAtrrlrTe JluMerBr,rja 5.4rn,3.9rn n3.Sm?

E. flonpevlr.l npeceK qcrl.tt*re rpeA]rUe je KBaApar crpaHnue gcrri. Ko.nrrxa jeMaca Te rpe.uuu,e, aKo oHa nMa.uyxt{Hy 5ni (1 = 7.ggf em3)?

E

1. ll6r,rp ro.Ur{Ha rr,rajre rl rhepxe je46. [IocJre l0 ro4u]ra MajKa he6uru4na nyrac'rapuja o1 xhepxe. Ko.nnxo rn.ur,rra cal uMa Majka, a KoJrt{Ko xhepKa?

2. Kolr,rxo Bo.[e rerlrneparype 40. C r.r so.ie reMneparype zso C TW6a npoMeuar].rAa 6l,I ce .[odilro 90 r]napa Bo.{e reMrreparype :}Oo C?

3. .Iloraxme Aa y rrpaloyrJroM rpoyriry oaxe Heje.qraxocru:

(a) 2r { "> t/"t,; (6) R+ , > '/trb; (n) c.-h" ) oa 0.

4. CBaKa rexl.rrlHa [yx rpoyt-Jra ABC je MaEa o.q norryr6upa ABe crpaHuqe ca

xojnrura uua :a.jegxnvxo revc. LIa rrpl{Mep, ,. a61".

lloxararn.2

5. lvleTarlra Korll(a uBl.fue a = 4ctn [peTonJ]eHa je y xna4ap vu.je ce lrnu4eo;lHoce (ao I i 2 : l. 3a ronuxo ce paarurxyjy floBpilllue re xou,xe lt imapil

6. Ocuora fipaol.flHe rrpu3Me je xna.upar, a Bt,,lcltHa je l0crn. Ka.qa ce ocloBHa

unlrqa noreha 3a 2o71, olrJla ce 3anpeMr4Ha noreha ra 2oocttt3. I4:pavyuaj 3arrpeMr,rHeTUX nprI3MI,r.

7. OcHoBa r{erBopocrpaHe nplfiMe je por,r6 r,rB}r{e o:8orz tr }rJra a = 600.Axo je rucuna re rrptrMe jeauaxa rehr.rj AtrjarorraJrr,t ooHoBe tfipaqynarl{ JroBprrrr4Hy l,r

3anpeM[Hy Te llptt3lvte.

' 8. OcHoBa npl{3Mc je npanoyrnrr rpoyrao,iltja je je4u:r xarera scnz, a ApytaKarera je 3a 2 cln xpaha. og xunoreHyoe. l4spavyuarr,r notspuuHy Lr 3alpeM[Hy rertptt3Me, axo je mcltra jegrraxa nonoRtIHl,{ xl,tnoreHy3e ocHoBe.

N,IJI XXIX 2 Tecmrxsu

SAIIAIII4 CA nPI4JEMHOT I,{CIII4TA 3A vtIUCY MATEMATI4IIKY TI4MHA3I{JY, BEOIPAN, I 8.06. 1994.

Tecr ce cacrojH il3 t2 3a.[araKa. Bperae:ra pa.q je 90 Nrun]'Ta. Y cmxoM 3aAarKy

nonyflexo je 5 olronopa (A, R,C, D, D),og xojr.rx je caMo jeA,[aH raqau. y uryvajy,qa Kar{r!{rar He yNre ra peuu 3aaaraK, Tpeoa aa 3aoxpyx}.r cJroBo N. lla.{arlfi 1-J BpeAe

no 5 noeHa,:JaJIaqu 4{i BpeJIe JIo 8 noeHa,3aAaUn 7-9 Bpele no 12 noe]ra, a 3aAar{}r

10-12 BfJeAe Ito 15 noeHa. IlorpeuaN o,rlroBop lorrocrr -lo% oA 6poja floeHa :ja rar{ar{oaroBop. Y c.nyvajy moKpyxl.rBa$a ul,rue on.ie.qxor n.nn re3aoKpyxngan,a Hlr je.q,Hor

o,uroBopa, .406xja ce -2 floeHa. 3aoxpyxunane o.{r-o8opa N Aorrocu O noeHa.

1. [errap Kpyra onucaHor oKo npaBoyulor rpoyrJla je:

.4) rexrlure rpoyrJra:B) npeceK cfiMerpaJra yHyrpaunl{x yr'.iroBa rpoyrra;C) cpeluure xr{noreuy3e'rpoyrJra;D) npeccK Bl.rcuHa l'poyrJla:E) r'avra roja ,qeau xrtnoreHy3y y ognocy 2 : 1.

2. llare cy je4ua,urxe:

rr(c-l) (e'-ll?(lt''- -'=(r:

(lt)lrl =0: (lll)r-l=O: (lvr'- -'=0.' (r- l)'? r'- I

Ta,t uo .je rapl'1ene:z{) eruna.nerr}re cy caN{o jeAHaqr.fl{e (lII) r{ (IV);B) ennrrnarernte cy caN{o je.u.uaqrrxc (t ) n (tt);(;) eKBrBaIeHrue cy je.qrnilrue (I) n (II), a laKobe (III) l,r (IV);D) exrlrna.neu'rHe cy caN.ro jeJluayl,{xe (I) il (IIt);E) rella exluBareHTlu.{x jelHarrrxa Lleby $r{Nra.

.3r-l(u)u .,\

I

3. Bpeguocr rmpan

63A) :) B) 63;.,2 D) +; E) 315.

,*)r /t :l2---.l'2--3-2 3 \5 4

1* ,

:0.125

\

I 4. - 5 ^ (,r * l,)2 l4h2 - 5u2 4{jBpe.qHocr fl3pa3a -a2 -3(n- b)(a-F b) +

f - 43a n = -

il. 15tr=-JcnHaKaJe:

. 1058 4232A) 23; Rl e'2; c)

i;D) o; E) 276+

;.IJ.eua jearre xrsure je rrajnpe noochara iz sOYo,a 3aTrrM clruxeHa 3a .50%. Uelragpyre po6e je uajnpe cHr4xeHa za SOYo, a 3arr4M noBehaHa aa 50%. Ha rpajy jepa3Jrl{Ka rhrrxoBnx r-(cl{a 61l,[a 6 .(l,rHapa. flpro6r,rrHa pa3rr].{Ka uexa je:

,4) 8 [r.{Hapa;'B) 7 pturapa; C') 6 [r4lapa; D) 5 ,r1ilHapa; E) 4.5 1utm:pl.4npa llononth t,r Pyxru,a [Iasnr,rhei]rh

5.



u u3 nrameilumute MJI XXIX 2

,^,r.i:r^"^"y.Iut" *r. pa:rril.r'rilre laqxe A r B. Ko,rnxo y paBHr.r (r nocrojuraqaKa c raKlr{x .qa je rpoyrao zlgCj jeluaxoxpart r,r npamyinra?

A) o, B) z; C) ,t; ,) 6; E) 8.

z" Flera cy x:,y, z u,uSpe (r,u,"€ {0, 1,2,...,9})raKBe.[a ie6poiVWl rcl.;us. ca. 72. Onarnux 6pojcoa rar"ra:

,,1

)34; ts)41; u)33. t))j.zt E)26.8. Ilpanoyrnra'rpaner rrje cy oflk)gil{e q. = 2)ctn V h = lttflD, a xpahl,t xpars=72cnr, porl,{pa ol<o xpahe ocuoruqe. flonpmuHa.qo6lrjeHor re.na je:

A) 65Or cnf , B) 924r atf , C) 468tr ctn2 , [)) Tt]En cttr2 , E) TBOtr utt2.

9. na 6r,r ocroboJttlo aprf.neuy flpuHrleay, I{apeorah Tpe6a Aa npole rpoc 4ecerrannja .iersor lrura. Ha cuaroj xantrju oJlwr,rMajy ,y norronrry i'n"r[r.rxo *o;"rror:egy.ie y rrrvr 1*rr'r'*y 14 jeAaH r.narr*rn.-floc;le nporacKa xpol 4eccrv xannjyocrao My.ie jon .ieAau orrarrl.rx. Kolnxo je u.ape*,th r,,'r.ouo ar,rrur*u n_-j. ,iprnur*uKpo3 nptsy xanrrjy?

.4) r.rarue o.[ I 000jB) rmuely t 00o ,r 2000;(_,') u3Mehy 2OOO u 3000;D) lr;uefiy

3000 H 4ooo;E) ilille oA 4 000.

ro' Ay'ro6yc je nocu. ua Feo'pa,4a ru frarrqeno npoce\HoM 6prrrrrov Jo,,nf h,a 3arrMce Bparr4. ria::ar. Kr.rjou flpoce\Irorr opauxov ce npahao Ha3a,4 aK. j. i,p"r."riu6pauua ua qr{raBOM rlyry tcHocflJla :\ikm/lt?A)38krn/h: B),toknt/h; C)42kn/tt; D)4sknt/tt., E)4uktn/tt.

11. CKyn pelleiba lreje4uaur.rxe ,*',1t

a , .

'o""'o5:-116:5(zJe:1) (*-,2)u(,5,+m);B) (-*,1) u (1,2) u (s,*oo);C) (.s,+,)o);D) (-oo.2);

B) (-*,t)u (1,2).

12. y lar{npa;y Kyny noJry[peqnr4Ka ocHoBe r l{ Bl,rcr.{He H = r/i ynucana je xoqxaIIBCDAlI)tCtDl TaKo Ia ocuoya A,RCD npfinaAa oc]roBr4, a reMet{a At., Rr,C, u f), nprrnapajy (),\rol'aqy xyrrc. Ogxoc 3anpeMilrra -t"; ,, _;il;'j;,"A) 4n::)) B)2n:t; C) 4r:t; D)2r:3; E)3r:4.Ta,{Hrr orrosopu: r. (,),; z. B)t J. A): a. g: r. A); 6. D).. 7. A): 8.E); e. lt): r0. C) : 11. A): n. A).

(--ptprr Orrmuolr,rh

l9

*

MJ] XXIX 2 M ameuamuu xa ma rn4uu e H,o

MATEMATT,ITIKA TAKMZIIETbA

25. CABE3HO TAKMI,IYEIbEI,{3 MATEMATI4KEYIiEHI4KA OCHOBHI4X IIIKOJIA

2 5. CaBe3Ho l'aKM1{qeBe M.TraAr,rx Ma're\rarnq apa yqeHr,{-

Ka ocHoBHr{x ruxo;ra Jyroclannje ogpxauo je 14.o5.1994.rogr{He y Bapy. Ha raKMr.{qe$y je yvecrrorano 30 yye-Hil(a VII pa3pela r'{ 38. y.{eHLrKa VIII paapeJia. y-{e-

i{i{ufi cy peilaraJnr flo 5 3a,uaraKa xoje je npeg,'ioxunaCase3na xouncnja. Bpeue ra rmpagy 3anaraxa 6mo je150 Ml4Hyra, a cBaxr{ raviro ypafen 3aAaraK lpegeo je20 noefia.

3BAHI,{ IIHI4 PE3YNTATI4 2 5. CABE3HOT TAKMI,I qETLA

y 11 p,\:tpEll

. I uaepada: tyruh Jlyuax, Olll ,,Jouan ,[vruh", I-lonu Eeorpa4, 1oo roena;Anrlrh Eopr,rcnan, OU ,,Ilerap Korl.rh", TeruepuH, 100 noeHa;

Il uaepada: CrarroHosuh,napxo. OUJ ,,IX Clpncxa yJrapna 6pr.{ra.qa".6op,80noelra; Mr,rrrr,rn llculopa, OUI ,,.losarr Becelnsos Xapxo", [ill,t4- 75 noeua;' lII Haepada: I[ynuh 3opan, OIIJ ,Boxa Kapa]yople", Fllru, 65 roeHa, ByK-

vr,rposuh Henar, OIli ,,Blaguc;r:rn Plr6unrap", Eeorpag, 62 iloei.ra; Megom llr,aua,OU .,,Joras Jorauollrfi 3uaj", Pyua, 60 noena; Maruh llsaH, OIU ,,Bojuclau Canuh",Jlaaapenaq, 60 noeHa; CraHojear.rh Paqe, OU ,,Cserl,t C.ava", Hftil, 60 noeua;

Iloxeata'. Ilerpouuh Hr,rxora, OU ,,nyuro Pa1onnfi", Honu Eieolpa.4, 55 noelta;Mraayrunonuh Aaexcauuap, OU ,,Ilera ocHotsHa uxo,Ta", .laroruwa,45 noeHa; AnrrhMapnja, Oill ,,Parro Murponuh", Beor-pa4, 45 noeHa; Ilajxlrh Xenro, OIll ,,ByxKapar,ruth", Iloxapenaq. 40 noeHa; Cranojeruh Muxan, OIll ,,.[ur',rurpraje .{parr.rwrh",Coxo6arra, 40 noeHa; Yonosrh Llrop, OIll ,,tipar-mo Pa1r.r-ierirh"r, Flerornu, 40 noeHa;

VIlJ PA3I'E.]]

I uaepada'. lajuh Cnanrama. Oil ,.Jorau Lirujuh", Ilorur,rqa, 85 rloeHa;11 naepada: Hraxuh Muran, Otll ,,.(vne Kapaxnajrih", Jla:rapenaq, 78 noeHa;

Bojonuh I4saH, Oil ,.liene Kyrra", Hr,rnr,75 noeua; Casuh l,IsaHa, Otll ..Mr.rro l4ry-uauornh", Kocjepuh, 70 ilae+a:

lll nrtepada'. Burunuh Jlanxa, OU ,,Onra fler:pon Pagr,tutr.rh". Bpnaq, 68 rroella;Ilserrosuh Epanucran. OII ,,Mr,r.rnu1a flauorrrh", Beorpa.u,65 noena; Pracrr,rh Mu-xar,rrro, OII ,,Yxu.{xa pefiyoruxa", Honu Eeorpag, 65 floeHa; lajuh Bojan, OUI ,,HaaaIlypirh", Banero,64 noeHa; Mr,rnenxoirllh IIparaH, OIII ,,Mor'r.{uro flonour.rh Orpeu",flapahuri, 63 noer{a; 9onaxosffh Jyrocnar. OU ,,.[ocrarej O6pa4onr.rh". 3peu,aulrn,6t.,'noeua; Cnacojeanh JexeHa, Olll ,,EpaHro Paru.rerl.rh", Ijosu EeorpaL 62 noeHa;

Tenasqenrh Bojau. Otll ,,JosaH flononilh", $Iolu C)aA, 61 uoeu; Eauuh Mr:r:in, OU,,liene Kyna", HI4tt, 61 noeH;



20 3ubuuru u'l .lnme.Ltam u\e M.TI XXIX 2

Iloxeata'. Marr.rh pana, Otil",(o9y1ej_

O6pa,4onr,rh.., K.nyru1ra, 55 noeHaj Mnpo_canrah Mr.r.rroul, oil ,,.lauro Bece.ililxosr,rh", Beorpa4, s4 iloena; Korapcxu Munas, o[l,,l4no Jlola Pu6ap", HoBl,r Ca.q, 50 iloelra: loly6onnh Maja, Offf ,,Xr,rKrua jolanoBr.rnIllnauaq", Ba.rrero, 50 noena;-Crr.rnuh Cp}yan, OUJ ,,Josiri fouoiiosrhiruj;, cyoo_Tr{Ua, 46 noeHa; Mraaouenuh Mralou, OllJ .,hele Kyna.., Hraur, 42 ilogHz-} }anxosuhfonay, gttt ,,.Ilp Jorarr l{nr,rjr,rh", tjpersarnni, 4t noeir; Mpu'ah Cr.'runra, OII ,,.lonarrlpvr'rh Mrnerro", EeoquH,40 noeua; yrsrh cno6oqas, ollr .,.lc,rau "loririolin bna.;.',Cpeucxa

lvlr.rrporrrqa, 40 noeHa.

3AJIAIII,{

VII I)A3PEJ.I

1. I'llpa'ryrraril Bpe,[Hocr n3pa3a

r'n - 23rra I 2!)xr7 - 23116 * . . . * 23r.3 - 23t.2 + .213:r ! s,

aKo je r':22.2-..ABHO'Jrerl{ }'r3 Eeor-pa4a.y llogropur1y, npaha ce Haraa. Ilprr xaxwrv rpe

rvrelrcKr{M ycJroBl.rNla he,raj aunoH rteo nyr npehr.r 6pxe: npr.r reipy xojl.r c'a.nuo ,'rcrorv{ c}raroNr ,4yBa o,q Beorpala rpeua llo4ropr4uu u,n].r rpl.{ .N.1r4Fi{o}vr BpelvleHy,6el lerpa?

3.Uecr

6pojenaje

pacnopefeuo y reM6lruMa npaBurlHol mec,royrrra, y cMepy.Kperar+o.xa:rafi,Ke lta cary. lj6ilp cstax 6pojesa je I lt cuaKt.t <_r.4 mnx.je jeauax anioryruojBpellHocrr,{ pa3.iltrKe npcrxorHa ARa. Kojt,t cy ro Opojenlr?

4. AB:,t kpyra Ar rr 1", ca uexrprrMa (rr ll 02. cery ce y ra,tKaMa ..1 rr B. Ilpou:oolr,rranpaBa Kpo3 .4 cere A, y C i u kz y r. 12. lloxa3arlr .[a cy ylroBtr <,BC]r O i u R C.O,JeA Hali [,r.

5. Y yuyrpanrrlocrx KBaApa.ta jlRCD.je 4ara ravxa p, raKBa ,qa ie <ABp _<I}.AP = 15.. .Iloxa::arlr 1a je Tpoyrao CDp ienti*ocrparilrHirH.

VI]I PA3PE.q

1. yHyrap xBaApara crpaHlrqe 1 Ha ilpormtsofi,alr Ha,iltH je cuernrena r-)1 TaqKa..Ifoxararu .qa nocrojl,r Kpyr nofiynpetrHt{Ka N.ra}r,er oI l/7, rojlr o6yxnara oapTpr4 uI aaTllx l'a'raKa.

2. oolroBr4ua ;{B jeguaxoxpa*or''poyri.a

ARCje

24cnl u xpax je

,zocnz.

rrrapaty-naru pac:rojarle r.rsuefy oproj{eHrpa IJ n rexNrura ? ror rpoyrra3. Koqra i,rBnUe lilc?n l,lceyelra je ila 1994 l(oUKe ca rleno6pojnor,l Iyxl.lHoNI r,rBrrr{a.

Ko;rlrxe cy ,UnueH:;r,rje 4c6r.tjerutx Koqxtr u no KoJltrKo lx irua?4. ilar je npr,rpolau 6po.i

"=\;-!'YP.I 9a4 I 994

.noxararr,r 4a je ra,r1a rtftW3 113 - t3rt2 - lg?r Jle$r,tB ca 13200.5. Y.ce"nurua A, B vt C- xwnv 300,200 l{ 1OO yyeHl.{Ka, }ganenocr cena je: AB _

3krtz. RU : 2 krn n AC = 4l.ni. I'ac Tpe6a il3rpa.ql.tru ra.je4rrr,rxy u,*ury 4u6]r yKyrall 6poj knr. nojr.r 6r.r rrpeJra3J4Ju.l ilr.r yverrrnlu, Orro uajr"ranu?

MJI XXIX 2 lvlame.uamuu ra maqiluue$a

t. llera je P(ir)Ovulnegno je

PEITETbA

VII PA3PEN

- 23rt8 * 23rr7 - 23116+ ... + Z3r:3 -'23x2* 23r * 5.

P(:r) = x"t - 22rt" - tt" + 22t17 1 "17 - 22rtu - r"t

. + ...*2213 + 13 -2212 -12 +22r *r* 5

' = rt"(" - 22) - rt, (r - 22) + rt"(r - 22)

.. . * r?(z - 22) = r(r - 22)+ r + 5.

flpeva rovte. P(22) = '22 L, $ =')7.z. Flexa je s pacrojame rasr"rely Eeorpa.ua tr llogropuue, tu 6p:nua aBiloila v D,

6p:lrna uerpa. Taaa je BpeMe yrpoueHo 3a JIer aIJuoHa rlo MupltoM BpelvleHy

t, =2"

. BpcMe yrpoueHo xa JIer aBuoHa no netpy je L2 = -: + ---i-u4 ?ta-uu u"tuu

Ca4a lo6njauo

L2--T-

1Jo-r, u"*u,')c.! )c',\_-

llpeua roue, aBl{oH npeJla3u nyr 6pxe no N.{Hpt{oM BpeMeHy.

l,h ycnora 3a.uarKa je cr *o: *a: * a4 + a.s + a6 = 1 I'I os - lu, - orl, aa = la2 - a 3l'c5 = lrr3 - atl, aa= 1., - a5l, o1 = lou - *"1, n2 = la1- a6l. iJrtaru 1a je

lo' * o"l *lar- arl* Ia"- anl* lo, -o.l* lou -oul* lou- o'l = 1.

Kaxo cy crtt laru dpojeBll tteHeraruBl{r.r (jep cy jelnaxtl ancolyrHl'tM Bpetr}locrllMa

uerux 6pojera), ro Meby turua noctojtl 6ap je4aH oA Kora Heva lchltx uelyAarr,rM 6pojeBfilta. Hexa je ro. perlr,n'lo,6poj c1. C-aIa ltl jegttaKoctr't a' =lou - oul ao6l'rjar'ro 1a je {a..,46} = {41,o}. At<o je a6 = at t4 05 = 0, oH.qa

Ao6u.iaMo az: O, a3 = 01 , u4 = er. Axo je a6 : O 1'I n5 = ar, oll.4& ao6ujal'to

a2: e.r, 03 = O, 04 = or. Y cnaxou cnyvajy, laxx 441 = 1. IIp"*u'I

ToMe, rpaxeHil 6pojerra (y cvep;, KperalLa Ka3aJlKe Ha cary) cy -l.{JTu 6lrr{r ro.ia utlxlttrtta ,,"p"yr",1ri".

"' " 4

4. Kopncrehu o.ql{oc nepnQepujcxor tl ollroBapaiyher Ueurparl{or yrla, go6u.iar'ao

1a je (uruu cr. 1)

s0" * suo+suo-suu

t2 - tt2

2s

3.

111-.u. -. -.04 4'4

<CtOtB = 2'4C:AR,

<croB ='2. 4czctB - 2(180" - <IIAC\) = 2. 4CtAR.



22 3ada4u u3 .MtjmeilamuLe M.II XXIX 2

flpeva rove, <CtOtB = 4CzOzB. na cre.qu na je

<BCro, -18oi - <0rorB '*

78oo : 4czo:B2c

[lTo je t{] Tne6;r'l() jlot::l3a,fti

. (,ir. I

Hexa je Q ravxa y yuyrparxlbocrt4 KBaIpara ARC D'fpaHur{aH Tpoyf3il. c r. l.

= 4BCzOz,

5.

D

.. raKBa lla je CDQ.jennaroc-':t

c

\AryBt,t. l

TaAl i9 <QDA =:l(,)o. kaKo.je OD = 6:q = De = DA,,to crie.uu na ie,a!fleaua-1oKpaKr,r

rpoyrao. 3iro je <DAe = iiq,a =';r;. ili; il j;<QAB - 90" - 75" = l5o 14 cuutuo <eBA _ tS.. I{aio j.,,o V.n*V;;;,1;y^i!!^B-

=^:l_lA= ts", to cne.qn i"t"'i: b. np*"u ro*,'tpov;u" Dbp

Je JeAHaKocrpaHuqaH.

VIII PA3PE,4

Ilo.qe"nr{uo aarr.i xBaApar Ha 2s KBarpara rr.rja je crpaHrrua ! = o.2.'Kuno.1.51 ra.rKa pa3Me[rreua y 25 (Ba.uparat, ro Ha ocHoBy ,[l,pr.txneorlr ,,prr'rrnu 6*p

1.

3.

MJI XXIX 2 M a me ua m uu ra ma Kn'r.uu e I$a

jelan oa rr.{-x 25 KBarpa'ra caipxu 6ap :l oA Ad'riax taqaxa. flonynpernux rpyraonilcaHof oKo Tor KBaApaTa Je

d 1tr rt 1

- -\/')--a-2 2 5 10 -7

Tnne je IoKa3 Barpuer{.

2. Flexa cy At'\'t

B' pegolt no4rioxjacrpaHl{Ue AA v () tteltrap olTllcilltr)l BI'ICI,IHa I{3 tet'teUa A|:pyra, cJr. :1. n B, Br cpe,qnrrre

B

. t .:t- lJ

Karo.ie A'B = A'C = 12 ro ie,lA' - /TtrT-EP - \nu'?-ni - u.rlonpmuua rpoyfira ABC je BC '.-A'4'

-AC'=BB'

, na Baro cnexu Bn' =,)r

BC'. AA', 24.16 96

--nf = -f = ;. .[a*e AoSrajavo

ap' -_ y/jfii-a B-g),t = 202 -

,H*20' 28

16

A',

,[arle

x*g*r+u+u=1994rc'* 8g * 272 * 64u* 125tr = 133 = 2197.

(nu

\;:4,

Aaj

11: I

AO}IT

je AH

cJIeAr,l

'jeAB

OH=, Aa .ies

TO,

na

rAa

MO

A'B ,.7

lrjarto

o6ujarto6nja

5'=

e. A'.

lO=

-A):T(

i)'

,8,

ie.

AO

Je

52;c

28

Kaxo je AA.EAB.ABI

AA'

aAORl - a10.20 i

t6crv ABIIT ,

roue. H? = :

Kaxo'AB,--7,

AAO.

1Q

Icrv /.

TOMC.

AAA'l:5i

,.ro6nj;

rle ,{o601" uc

, rj.

AR'H20

AAC

25

2T*L-2.1

2'aL)

VA,

40Rl

l-Q . 20

t6,t ABIue, H1

Aa'je

to OlMOn

leAH=penaulrje

ABL.ACAA'

.a cnlialHo-t. IIpeMa

AH

[aq

BAE .

r43

A

. l{:t2:1

OIaBI

r,FlHo r

AO=. 11

2lr=2

: t AA'-

13, C'I

t:AC u

25

- -7:)

FJI' : Tl

=ABAtH =

t=AA

AII =TO=

Wl

=R1Br

TO

'oHrl 111HT:2

==2.;.;=;.Flexa je c 6poj xou,xnr-1a lrBl4rr.e 1 , g 6froj Kou,Kl4rla uBl4l{e 2, z 6poj xouxu4arln],rqe 3, z 6poj xourlrUa rrBl.{Ue 4 r'I ? 6poj Kor(KnUa [BI4qe 5. Ta4a je

tl)(2)



O4yrnr,raneu jelHaqnue (1) o,[ jeAtoqnHe (2) Ao6ujaMo

7y+262 *63u1 724u-2O3.

Paenrxosahevo c.ncgehe cly..rajene:

(1 )C"rry'raj u: o. I'aIa je 7y+2rjz+63u = 203. ti.= = Lps- y-9tL). Karo je

l€,Vr,ro je29-y-9u € {0,26}-oAHocHo 2|g-y-9u='6 rnrn 29-y-9tt- 2G.

flpeua roue, U * 9u - 29 tmrr 9 * 9u = 3, oAaKJre .{o6njaMo(s,n) € {(2,:l); (rr.2); (20,r); (zs,o); (:r,o)}.

Olrompajyha peuerba ,{creMa jeruaqr.rna (l)*(2) Aara cy y c'e4ehoj .ra6nl.rqrr:

C 1l z u 1l

1965 29 o o (_t

1984 3 o {}t 97:J 20 o 019r31 ll o 2 o1989 t) (t

4.

(2) Ilexa j"1.= l. 'fa,Ua je 7y{2ti=lr33u - 29. O,tnr1e.qxo je u = O r,rru u = l.

AKO Je z: 0. oHIa je iv + 2$z = 79, a ona je.qrralr.rHa HeMa peueEa y cKyfiyNo. Axo_ je t = r,.sr'r41 jeTy!262 = 16, 11a rir,r ona jeAua.ruuo'rt"ru pJr.u, ycKyny

No.Axo 6u tu 6uo 6poj KoqKnUa r{Bl..r4e (j, oxga 6r.r .qodnnlr jegxalune

(3)

(4)

7tt * 262* 6:3u 1 t24u * 21Su = 2O3.

I'll nocle[*e jegravnlre cJre4rr Aa je u -.o, na ce ona.i cryvaj cnogrn Ha peuaBarlecr'rcrervn (r )-(2). Auafiorso ce pafturarpajy cnyrajelu ca KouKr.{qaMa lrnr,rqe reheor 6. flpeMa tovc, jegnHa peuerra npo6rier"ra-.qaia cy y ra6.iir.rqr.r.

flpno rrprrr"rc'nal.ro Ia.ic rt" -:rnz - l8rz = n(n*3)01_ ti). npeua roMe, Tpe6a.q,oKa3aTil .4a je npoHlruol n(r { 3)(ru _ rj) aeLrur ca 1J200. Kaxo je

x+U+z+u+u*tu=1994,r,'+ 89 + '272 + 64u * l2;u l.Zltj,ut = 2197.

O.qylnlraBeu je.[Ha'{l{He (iJ) oI (4) Io6t{.ia ce:

?z

=111 ...771 222...222.

-\,-!+!.-199 {

ro. c.ne.Uu Aa je: 6poj ,, .u,eJr,l,rB ca 2, IeJbtrB ca 3 (jep je t6r,rp 4r,rSapa 1994(l + 2).[er]llts oa 3) u AcftrB ca H (jep c)' jc/lHaKlr 36upoBrr uiroapx'K,rjeiroje ,,o t'iprr"ll l.Tlu"y M.ecrrrNra). Ocur,r rora, 6poj " + 3 - lt1 . ..ttiZZz.. " zzr i"*,ru.leca zh.a opo.l ?I_G= n1...1112.22...21{i jtcJhl4B jeca U. npeva rove.6pojtt(n ! 3)Qr - 6) Ae.nr,rn je ca 2 . 3 .6 .25 .8 = 132O0.Flera.je M raqKa .y xojoj Tpc6a carpaAltril lxKoJry h HeKa cy c, i/, :, peAoM,pactojaua raq re l,l ol rayaxa A, R , C , c.n. .,t. Ta4a le yxyna ri Opol ;r;,;i;;;;;;roje o.q ryhe ,qo ilKoJte rrpe.[a3e yveunql.r je4uar

5.

,9 = il00r * 200q * 1002 = 200(r+ s) + 100(i:+ s).

M.II XXIX 2 Ilpunpettuu 3adaqu 3a "uamervamuu Ko mat.Ltulel!,e

Ha ocHony Hejegnaxocm rpoyrrra ao6ujavo aa je x I y )AC = 4, na raJle cJrerl,{

3n:x+z>

S > 200. :l + 100. 4 = 600 + 400 - 1 000,(;zn.

4tcn

(tl

Hajrtana BpeAHocr 5' je I t)u0Anz tr Aocrr4xe ce aro je t:111 :3 14 r+ z = 4,a

To Baxr,r jeguuo y cnyra.jy KaAa je r = 0. IIpeMa roMe, [xoity rpe6a carpaAl.rrr4y \iecTy ,4.

Bojuano ArtdpuF,

fl PHNPEMHI,I 3A]IAI{I,{ 3A MATEMATI4 I{KA TAKMI4qE}5A

MareMarLryKa raKNri,r!teRa y.teFlrt<a ocHolluux ltKolla tj? roA[.t]Ie y roII4Hy cy ere Ilacolulrja.Oua cy, nopeg ocraJrrlr, fipaBa np:.rm.rxa aa a{Lrprvra[u.iy Hajv.lralrrx raKM14qapa. 3aaaqr'r u:;

IvlareNla'rl4.lrior nr.lcra (o.{a6paHr4, Ko}rKypoHlr, ... ) aonpuuoce 60r,0l tlpuflpeM14 yreHrirKa 3a

TaKN!llite$a. Paryue ce, caMo outi 3arau,i,r Hr.rcy IoloJLHrJ.

I'trAr,r rora pydplrxy MA'I'EMAIII.IKA ltqKMtir-lElt,A cMo npomupilrn n I,IIIPEN{l{I4lvl3AAAIII4N.lA. c, lrr4jeM r435opy 6pilHy'r"iraHoBt4 peflyonr,r.tKux xoMrrcuja 3a IaKMu'terba )qeHr.rKa

ocfiolftlax nrora. ttepyjervro 3a cy oBrr 3aAarllr oA Kcrprdcru BepHuM rlrdraoqllr,la l\4JI.

14,xe mxoJlcre foal,lne rracraBJbano ca o6jarnl,lBageM upltnpeMHux 3aAaraKa, Kao r.t

lruxoBt4x peuel+a, aJIId, pa3yMe ce, pene$a oojaB.rlyjeMo HaN{epEo ca 3aKarrIEeEeM.

n Ko hMarc Hexy cyrecrujy r.lrr: u.aejy ra rojy cvarpa're.aa 6rr 6ll,ra o.4 Kopr4crt4 la Mra,qe

MareN{arr4trape, Moxere HaM nr4carr4 ita agpecy Pegirqnje. BHheN.ro BaN{ laxBalrHil.

IV-73. I,lt"tavo ABe ilocyge: jctHy o,u 3l r,r jegrry oA 5/. Ha xoju ra.run uoxe"...Ia ce caMo nouohy oBux cylloBa o.qN{epl4 1 I Mrera?

. Tl/^74. flpexo pexe npcBorJe ce 60 nyrll,rKa y 9.{aMaUa, og xojlrx cy J{eKll c:r 6,a HeKu ca I ceAt4tlra. IIcr ro;urxo jc ualtaqa 6ltto oI claxe Bpcre. axo r-:y cnl.t 6rrrtulyHll?

A



26 ilaDa 4 u u3 .Ma me Jua m u Ke MJI XXIX 2

IV-75. Ko.(r,rxo Ha c_rll{ttl{ I trNra yKyn]ro: (a).tJ'xrr:(6) r:rra:rraral

( .ir. I CJt. )

_V-73. Ileura{poraru olo cadupane (cnaxo cnom osHayaBa je.uuy Un{py):

AB+ARC+ABCD=ICC4.

V-74, Ka.q je neuax npe$ao noroBl,Iuy ctsor nyra r{ jow 2 knt , ocr:a.rra I,ry jeye'rBprl.{Ha nyra u jour 4 An}. Konfixa je gyxmua rserolor nyra?

. V-75. Konlrxcr Ha crt{qt{ 2 I4Ma yKynuo npanoyraoultra?

VI*73. Koja qu{pa ce Hara3l..r Ha 1994. Mecry y 3anucy pa3JroNr*o iL?

. 1II*74, Po6a je nojeoruuuaa l,a" 40%, a 3arr,rM za 1SYa.3a xorlrro.jc npo4eHa,raflo.]enTl.rHllJra yKynrro y oAlfocy nzr novetny qexy.?

VI-75. !a'r je npanoyr'aolriK AEC D u raqKa fi) cr.rverptn Ha rtrMeHy ,4 y, o4nooyxa gl.rjarrouany B1). Flexa npana BE ceqe crpaur4uy f-lt y rayKt{ F. .loxaaarn 4a je,:t ,t

-tl r,'

\rII*?3. Illra je tehe 2030'r,rxl.r iJLlr0?

vlr-74. .{rrxa:alu la jc r/i - ,a\D + vtr+^:tt1 prqr,rora,rrrr 6poj.

VII*?S. Peurlit,t jeguavriny t:2 14E2 - 19.cr5 y ci(yrTy ile.nlx 6pojena.

VIII-73..Je,uaH sor xpehe ce r.,r3 llecra .4 y uec,ro B dp::rHou S0,{?}r Ha yac.i3Cor uenpegrr,rferol yxpularlir Bo:rola y r4ecry () ragp;uar; c.: 2 lul.rllyra. (),q C ,qo "{J

Kper;ro ce dp:trHurr 604:rn ria qac u y,6 c'nrtao'i,a!,rHo lrpeMa b)3tii)M peu),. Ogpe4r,tpacrojali,e r'r:rr,ael1y Mecra Ci 1.1 R.

VIII-?4. IIp,,11133I1 je nu.rritjtll\i F,!'ie ltpc:tr'r ,t,t lt,o/,, Hr.rxoj U9r;i. a rpclrr.rilyEfie rrc 10% nnirroj uenlr- ila Koiii{r.o c.t:yuJle'rpe6e IuL npora.rcrat,aK ;.,o6e, iaxo gago6r,ije ucry cyMy ucuJ1a xar: 4a Hlr.ic, tre:uao qerw?

, VIII*75. Y rpoyrly AIJC crpiilri4qe il b, c irore;"rije nerrarluja

.[oxa:aru Ia je Mebvco6lra yga$eHocr lipajem l) n E 'reNuruire 1yxl.lI

TeMeHx (,' jcgrrara;:(,r

* 6).

.lb--u= --c.A

l.{ 8iIcl{}le I43

BojuuLae Andpuh

o

M.TI XXIX 2 Odadpauu sadaqu

O]IAEPAH'I 3A]IAIU4

OBI4 3aAauu rpe6a ga BaM cJryxo :ra lex6y tt nptrnpeMaBe 3a MareNrarnqKa raKMI{yeBa,Kao t4 3a pa4 y MareMarr,rlxoj cer4ujlr. C)aa6paul.t ilaAa[.u Hltcy rerlKn 14 Moxe Aa r4x peilucBaKI4 yqeHI4K KojI4 peaoBHo nparr4 Hacratsy MareMarnKe y mKoJII4. 3a.qarKe rpe6a cauocra,nuo

Aa penure, a HaBeAeHr4 po:yJrrarfi u ynyrcrla HsRa BaM cJryxe 3a Koa'rpoJry. Yveal,Iqllua xojrrmafty pcmcrba Xorrxypcunx 3x,[amKa npenopyvy.julro.qa nperxo.u,rro perne Oaa6paLre ragarxe. jep

cy oHr4 raKmu, na oraj pag npeAcraBJra Kopt cHo ylex6aBarie.

A) 3a yueuure IY pazpeda

2575, Tpr.{ IeqaKa ilMajy eaje.qHo 240 Iil}.rapa. Axo 6u fipBr4 .qao .qpyroM 9

Ilunapa, a tpeheu 14.U4]rapa, tal,a6tt uualu jegnaxe cyMe r{oBrla. Konuro je cnaxl,ro,il. tLnx l.tvao ttouua?

2576, Hajeluou racy reparrrja HaJra3e ce 4 Behe xoUKe, a Ha Apyl'oM 5 Marilrxrorixn. Yxynua rexlrlra cBr{x Kol{Kr.l je 720 r'palvta. Konuxa je rexraHa jegue lehe ujegtte Iutame KouKe aKo cy rcpaar,rje y panuolexn?

B\ JaStueuurc

V pa3pL'dd

2577. Vkpa3yr 6poj 60 y o6rTrrKy 36l,rpa IBa 6poja, raxna,qa (ala ce nehn 6pojrlo,&eJru Mar{,rrM 6yae ronuvnnx 2 1,r ocraraK ;1.

2578. OApeIil cBe eJreMcHre cryna C. axo jc

C - lc: c € N,e =,r.- b,u e A,b e Rj,

rpr{ yeMy je rt = {a : a €N,c ( 7} lr B = {b : b € N,4 < b< 9}.

B) 3a yeuure Yl paspeda

2579. Epojy 1994 lonurxt4 c.qecHa rpt{ Ul4{pe, raKo Ia ,qo6ujeflr4 ceguorquQpeulr6poj 6y,ue HajMarLil raxan 6poj AerLi.rB ca 5.7 u 13.

2580. HeKa je o6uu je.quaroxpaxor rpoyrra ABC ietuaxsScnl vr,4D rexumua

,Uyx Koja olroBapa xpaxy l3C. Olpellrru crpaHr4Ue rpoyrrra AB(],axoTqyruo ACDr.rua o6Ltt,t 3a. 5 cin aehlr o,u o6nua rpoyrla :lIJl).

l) Ju yueuureVll paqeda

2581. Ha.U crpaHul-laMa jegHaxoc:rpauu\Hor rpoyrJra crpaH],rUe 4 = l0cnr KoH-crpyucaxil cy ca cnoJBHe crpaHe Kragpar:n. C.nodogua reMeHa rr{x KBaApara cy cnojeuaTaKo ,[a je lo6njeH [recroylao. l4apa\yuarlr o6nr.r u nolpllr4Hy ror necroyrura.

2582. y je,uxor,,r parpe.uy vrua 25(k [eBoju]rua. KaAa cy yqer{t{i{r{ ror pa3peAaKpeHy.nu y fio3opilure, oHAa je yvecrcl jegue yqeH]rue nouao treH 6par. Taxo je yrro3oprlure KpeHyJra rpyna baKa y xojoj je 614r'0 2ot/o leBojUuua. Ko.rl.txo y pa3pelyuMa ,qeqaKa, a KoJu{Ko 4eno.j.rr.rqa?'

-



28 3aoa4u u3 JvtamentamuKe MJI XXIX 2

lJ) 3a yueuurceYlll patpeda

2583. OApe.uu .qnorltrrfpenu 6poj raxan ga je palnl.xa ror 6poja r.r 6poja xojl,rce ranracyje lrcrur,l r1u{par'la, a;ru y cylporHoM pegocJrely, nornyu rsaapar. Konr,rxoraxrnx 6pojena lrva?

2584. O,loBKa xoura.ie.qaH AilHap. a ao."*, I .[r4Hapa. y.reHnr je xynuo uero-

.[I,IKo onoBaKa 14 HeKoJII4Ko c8e3aKa r{ rrJiarr,ro to lraiarapa. Kolnxo je xyru,to oJro}aKa, arofifiro cge:axa?

PEruEt$A OJIAEPAHI4X 3AJIATAKA 2575*2584 ''

_ 2573. flpnn r,|va I03 .UrlHapa, Apyt 14 Tt nuHap u rpehu 66 AfiHafa. 257C.Beha xouxa reuKa je 90 rpaNn, a Nralla 72 tp.dwa. 2577. 60 = 4r *i9. 2578,C = {1,2,3}. 2s79. 1994265. 2580. OcHoBfiUa rpoyrJra je (l = 16crn, a xparb=27ctn. 258L. O -30(1 +r/5).nr, P=100(34t/3)on,2. 2b82. y pa3pegyuraa5genojvrrUa14 15 let{aKa. 2b83. TaKBr.{cy6pojesrr: 10,21 ,32,43,54,65,76,87,98,40, 51,62,7:J,84,95.90. 2584. y,{e}u4K je rynl,ro 5 oronirKa il 2 cBeoKe.

KOHKYPCHI4 3AJIAIU4OBU 3aAaqt! cy HaMeBeHr4 lprieHcrBeHo 3a caMocraJraE paq oHrrx y)e!il,rxa roju ce y nehoj

Mepr.r usrepecyjy 3a MareMaruKy. Pewene cearcte sadamxa 6uhe o5jaeneHo ca nomnLtco-t4oHoe peuusaoura to.ju nowane cacluJu matHo u najdotoe o1pautatceuo pewene ! mo;!npdux '2o duua no u3t&ctt]d Jrucmu u3 amallne

I'Iuega onzx peBararaqa Kolu noma.ny 6ap mecr npaBI4JrHr4x pemerba KoqKypcttnx 3aAaraKac'nhe o6jauneua y nocreaBeM 6pojy nrrcra Ja oBy mKoJrcKy ro.alrHy, Ka,[a he 6rrru o6janneua aauena Haj6o:urx pemaBaJraqa ra xoje cy npeltsubeHe Hafpa,qe.

Pemalajre nocraBJleHe 3a.qarKe. a Peqaxr4rja wurbume pewelLa can4o oHux sadamarcaroju c1 npedeufierLu n eaw pasped.3ararre peuanajre caMocraJrHo, ne rpaxehu noMoh Hr4

o'q Kora. Cllrzxe qprajre npellr43go, a peuetla nnnrare o6par:roxeHo 14 yr4TKo. Ha jealror,l lucrynanupa rpe6a Hanucarl4 ca lrcre crpane pe4nn 6poj, TeKcr !r KoMrrJrerHo pefleBe cauo jeAtron3aaarKa il cBaNo pel|etbe tpe6a nc,rnncatlr nyHlrM ItMeHoM 14 npe]r'tMcHoM h HaEecru pa3per uoaeJLe[Le, lrKory, MecTcJ a ryhuy aapecy. Henornyua pe[[e[ra, Kao 14 oar.olopr4 6ea o6pa:aoxena,o.qsocHo 6e: nyne aApece ttotllrlbaoqa, Hehe ce y3fiMaru y o63vp.

Csd pemeH,a roja manere ncroBpeNreHo craBtrre y jeAHy KoBepry u no[raBI,ITe t{x Ha alpecyPenaxquje ca Ha3HaKoM ,,KonxypcHn 3a,uaq[". Ha noaetynnu KoBepre HaBear{re: cnojer.rMe r.{ upe3raMe, pa3peI oAeJ}e6e, uKony u MecTo. pemet}a 3ar\ara(a r,tr onor6poja rpe6anocrarr4 uajracur.je ro 25.11.1994. nolraue.

A) 3u yueuure lY paspeda

1433. 36rp gna 6poja je 147" Axo jegrou o,q rrru r.rbptaueruro r{u6py je4l.rnr,rqa

4o6njavo Apyrl4 6poj. Koju cy ro 6po.ieBul

- 1434. Dyx AB ro,UeJleHa je ravxor,l jl./ ua 4enone xoju ce parnuxyjy ea 8&n.O.qpegu Jlyxr.{Hy re.qyxtr, aKo ce 3Ha ge je raar+,u,uco rpr.r nyra xpahu o.q Beher gera.

Nt.[ xxtx 2 Kctttrcypcrtu sudaryu

A) 3a yueuurce Y patpeoa

1435."Pa3.[trxa

'4rra 6poja je 50. AKo nehra 6poj no.r.err'lr{o I'ta}l,nrt 6pojev,

ao6uheuo Kojfir.{Hur 2 r.r oc'raraK 3. Kojrl cy lo 6pojenlt?

1436. AarI4 cy cKyrIoBI,I: A - {a,b,c,rL,e}, B = {o,,l,J},C = {c} tt D :{",f,s,ir}. O4pegnlncxyn-X aro je,Y CA,X n(Bnr) =Q,(AnR)\X =Au

C\X:CA) :Ja )ucnu*'e Yl patPedtt

1437. Bpoj &I xojil ilNra 1911.1 rlr.tQpe gemr.tn je 6pojeu f . il6ltp qr,rQapa 6poja &Il.rsHocfi .Ai/, r6r.tp r1u{apa 6poja ,A/ je P, a r6np ul.rflapa 6poja P uaHocil Q. Hahn 6poj

a.

1438. noKaxil.ua cy no4Hoxja ilopMara cilyurettl4x lt3Ta'lKe npeceKa rtljafolla,lapol6a ua r+'eroBe crpaHlrue -- TeMeHa fipaBoyraoHr{Ka.

A) 3a 1ueuurc YII PasPeda

T-R1439. ,IloKa3arr{ .qa je t/' - ,l " | =

paurrorraraH 6poj.u 4 +3V2

1440, y npaBoyraoHl{Ky ABCD gara je ra:cxa NI , raKo Aa je AII'1 : 1-oon,R M = 17 ctn u C NI = 2O crn. LlzpatyHarr{ ,qyxr{Hy [yxt4 DlvI .

A) 3a -vuenurce YLII paspeda

1441. ,qoKa3aru ila pa3JIl.{Ka npol43BoJ}}tor rpoqu{penor 6poja lt 6poja rojn ce

ranr.rcyje lrcruv 4n@pai'ra, afifi y o6pny'r'ou peaoc.Ileay, He Moxp 6utu ru:rrryH KBa.qpar.

1442, oJroBKa *ot"ot 3

. I anuapa, csecxa I ar{Hapa, a KBL{ra 3 rl.Iuapa. Y.{exux

je rynrao u3BecraH 6poj olomxa, cB$aKa 14 Kt{,I.{ra, yKyn}{o 20 ilpeAMera, u n.flaruo 20guHapa. Konlxo je xynuo oJtoBaKa, KoJiltKo cBelaKa 1{ KoJrttKo xri'lrra?

PEIIIETLA KOHKYPCHI4X sAJIATAKA T423_1432

1423, 36upynaneuu|a, j"ilurLuoqa u pa3Jxu\e je

76.Odpedu jMaILeHuK u

lrtarLuial! aro ce 3Ha oa je paztura 3a 6 Beha ctd 2"vau,uoqu.

. Hera je r yuau,lrnau. Ta,qa je .r 1 n pa3nr.{Ka. a 2:r + 6 yrvtarbeH]4K. tr4r yclonar{(zf 6) +(zrf 6) =76.uo6trjaruo ga je4r!12=76.rj.4r=64ttr=16. IIpeMaToMe, yMarbeHl,rK je 2c * 6 = 2 . l 6 + 6 = 38, a yMan'ilJlau 16.

T tfiopoeuh Cmeeau, IV3 OIII,,Olrnrn Ou.nlrnoruh", Hr.rur

!424. noepluuHa npasoleaottura jc33tlent2 , a wupuHa uy ju l'2crn. lltpauyttajnoepwuH) onoe rcadpama uuju je odu.u jednar oduuy npaeoyaoHuta.

.[lyxnua npaBoyraoHr{Ka je 336 : l2 = 28 cnr, a Iseroii o6uM je ')(12+28) = 8o on.Crpauuqa KBaApara je 80 : 4 = ')o urz, a rrotspilL{Ha KBaApara je 20 . 20 = 4OO cnt2 .

Odpadoeuh Aaerccaudap, IV2 OlIl ,,Casa Konaqesllh", Beorpag

29



30 3aoau"u tig ilamej4amuKe MJI XXIX 2

\425. Muaow u Mtuuqa do6uau c1 jednare cJi,E Ht)BLtL! n xynoeuiy caesaro.

lt4rutou je x1nuo7 clnala u ocmdno u1 je3 ouuapu, a lvlruuga je n1nuaa 5 csaaKau ocmato .ioj je 7 duHapa. Koturo ,je duuapc nompol.uuo Mrnotu, a ro!r1&o lultuuqa?

Mr,rlonr je xynuo ,{Be cBecxe Buue, a Munuqlr je ocrano qerr.{pu Al4Hapa Bulre,IIIT0 3Haqr,r .Ua je,UHa.cnecra craje lIBa .Uil}npa. llpeua roue, Munour je norpolll,ro 14.n!{Hapa. a Mulrua ,0 AnHapa.

Ir4amoeuh Mr-urocac V: OIll ,,9r,r6yxoBayxu naprrnaHr,r". Kpaneno

L426. y jeAaH p*epdoap cmaje 768o1il me4uocmu, a tnstce Aa ce n2nu rpotdee 4eeu. Aro ce om*ope o6e qeeu, pqeploup he ce nanynumu sa 24 lnuHlma, q aKo

ce omsopu ca"Mo npla 4ee, uanynuhe ce 3a 56 "htuHlma. 3a rotutco he ce "uuu1maHan)lHumu ma.l petepeoap aro ce omeopu cano dplea 4ee?

AKo ce orBope o6e qeuu, orlqa he Ba 1 Mr.{Hyr y pe3epBoap crr4hr4 1 68O lzl :24 =Tolij re.rHocrr4, a aKo ce orBopr4 caMo npBa qeB, oHIa y pe3epBoap 3a 1 Mr.rHyr crr4xe168oh/ : 5ti - 30/z/ Tei{Hocrr,r. To rHa.{}r .qa 3a 1 Mr4Hyr csMo r(po3 lpyry qeB yp$epBoapcri{rHe70-30=40h/rei{uocrt{. flpeua:rove,Ka,uaceorBopr4caMolpyraqeB, oHAa he ce pelepnoap HanyHr,rrl.{ 3a I 680 :4o = 42 MuHy'fa.

I,loroeuh l,Iaop, Yt OIU ,,I{nau lyH.qyrl{h", Howr CaA

1427. y mpu ea"i6e uattasu ce 2ga ja6lKa. Arco.ce w jeduey^, ! *rro, "adprcaja,11us dovee 1 . a us mDehe - , ocftTaje jednar 6poj jadyra 1 cearoj eal6u. Roriutto je 6wto3'2ja61ra uu noqemr! 1 cearoj eaj6u?

O:Ha.{fiMo ca E, u,: npro6r.r'ran 6poj jabyKa y nproj, 4pyroj u rpehoj raj6u,pe.uoM, a ca ,4 6poj jabyxa y cBaKoj raj6u nocJre ollncaHux y3i{Marba. Taga je

r+Y+z=29O, ?*=A, ?''- o

,'-.- o"n"'

a;-^' io -. n.

,r=4, iA+tAj2A=2eo.trzls noc.neAne jegua.ruue ,uo6ujaMo A = 60. Ilper'aa rove, Ha [o.{erKy je 6ir.uo y npnoj

rajdn r = 7,q =80 ja6yKa, y [pyroj a =1A = 90 ja6yxa, y tpehoj z=24 = l2o"3')ja6yxa.

Kaayfiepoeuh Mapuna, vlb OIII ,,9arl.t,)lajour", Ea.{xa Tonola

142.8. Ilerc c! a, lJ,1 leiosu mpo)aM ABC u nera je a ! p = 150". Arfo

)eaj c\ c.MaIbu"uo ea 1O%, 36up !2,rnqa n u B ce cftarLu 3a 2i/0" Odpedu lun]e mpo)tp,rta

ABC.

I4r ycnona 3agarKa cre.Ul{ Ia je .y = 180" - (" + B) = 3Oo. ,(arle, xaxo je

'2%(at q = *. 1500 = lJo, ro 143 ycrosa 3a.[arKa cJre.qil Aa.i. *o - 3'. llpcva100 100ToMe. o - 3r)', B = 120".

Koaeueeuh lr4wtau V12 OlIl ,,CraHxo Mapuh", Yrpunooqu

MJI XXIX 2 Kourqpcuu 3qddt;u

. 1429. Cmpo.nu5a damoa readpama ie loun. Odpdumu nosPwurl, oce+ueHe

fuetry uu c'tuuu L

(;.r. I

,Ilarr.t rmgpar je nogeneu Ha ocetqeuy $urypy noBpml{He r;, 'Ier}lpu qerropoyilIa

ucTe [oBprirl4He y I4 qeTup[ TpoylJla ucre noBpllll.IHe z. flpt't ToNIe, Baxe jegtnxocrn

(rltar cnuxy z)

c + 49 + \x =.7OOcm'2, g = 3z' A *22 = 25cntz.

tr4s apyre n tpehe jeguavxue godltjar.ao 5z = 25crn2, Tj. z = 5 crrt2. ft). aaJre cJIeAI4

?t =75crn2 u '= 100- 4'15-^ iiri'ir'I"w,vr2otl] ,,p. paHxosuh", Jloaosur

L43O. y npasqleaolruK! ARCD uuie q cmpatuLte AR =4on u BC =3cntna cayuajau HaEuH pucn{,pefieuo je 6 mauana. ,\ottasarnu da nctcmoie dce od mux 6

malaaa, maree da Buxoeo pacmojane uuje eehe od t/Eun.

.(aru nparoyraoHl,tK ce r,toxe noAeJli4Tx l{a 6 npaBoyraoHl{Ka Al'tMeHjuje 2 x 1

Eap jegau oa rr4x npaBoyraot"IttKa caApx14 6ap"une

oA [arilx ra\aKa. Pac'rojarre raer'refy

ABe raKre ravxe nuje rehe oA 4I,tjarouane fipauoyraoHl.tKa 2 x 1 '{I,ria je nyxuna jeguara

J'PeduuuLmeo

1431.. Peilrumu ) c{)tn) npupoctiLux 1poieea ieduauuty:

,(ara .je,&Ha-rr.rrra je y cryny t(etltx 6pojem elitsi4BaJleHrHa oa

("-r)(y-3)=s, rla, Ef 0.

Je,uHaquna (r - 3)(y.' 3) = 9 je y cryny qe"nlu dpojena eKBlmarelffHa ca

.(r - :t,E -- 3) € {(e,1),(1,s),(3,3),(-e, -1),(*1, -e),(-3, -3)},

rj. ca (r,g) €.((12,4),(4,12),(6,6),(*6,2),(2,-ti),(0,0)). llap (0,0) III4ie perrel$e

aare jelua.ruue, i naponu (-6,2) il (2,-(i) Iri4cy peurerta y cKy_ny flplrpor\llltx 6pojena.

rI peua ro'tue' pe*e*a v cKvnv "';r,Ix:r]'}l,rT fi l] :il'.:i :illl,l'iu'oo,,,u

-111 _r_--TUJ



32 3adaryu u3 ilame.MamuKe MJI XXIX 2

7432. .Aa nu ce xeadpam fi(nce p{npsamu ua 1000 denctea, mavo da je cearu od

mux deaotta ma.roIle roadpam?

llpro,{aru (BaApar pa3pexeMo Ha32.32= 1o24 je.qHaxlax xnaqparrha. 3aruv25 rl4x KBaaparuha cnojuvo y jeqaH KBaapar rnja je crpauuqa jc.uHaKa ne'rocrpyxojcrpaHfir{I4 xnagparrha. Ha ra.j uarlru.qo6ujar4o 7024-25 + 1- 1o0o KBa.qpara.

. A4wLemuh |vlwuavlllt OtI ,,17. oxro6ap", Jaro,uusa

PE3YJITATI4 KOHKYPCA 3A HATPAIIHI4 3AJIAIAK BP. 134

Peue*e 3ararxa. Hera cy ua naxorcxoj ra6ru (ca yoduvajeuoullaxoBcKoM

uorarlrajov) {urype fiocraBJreHe Ha noJrlilN{a rlpaBoyraoHl4(a 5 x 4 Kojtt je olpetlexnpeceKoM BeprrxaJra c. d, e, t ,.g ca peAoBrrvta 2,3, 4,5. CleAehn ltlr3 nor$a .uoBolt4

Ao noruUr.rje ca caMo jeAHou Qurypov xa ra6nr't: J5-115, s3-s5,lt'-J5, e5-g5, f3-JS, s5-e5, c4-c6, e5-c5, c6-c4, d2-b2, c4-c2, b2-d2, e2-c2, d4-d2. c2-e2, f 2-d"2,e4 e2. rl2-J2, .f2.-1t2.

Crrrrao je aenuxu 6poj ra'lHr,tx peue$a. lvlely yrexuuuMa Kojn cy y npeABilbeHoM

poKy nocJiaJrlr Tar{Ha peue}La xpe6orl cMo oIpe.uuJII4 cJlelehe .qo6[rH],IKe uarpaaa (xoje

he 6ur:il AocraJleHe nourola): :

1. Byxrvrraponr.rh HeHas, VIII4 OIII ,,Bna,qucran Pu6ur,rxap". 11000 6eorpa,u,j

2. Byvuh Axa, v, OU ,,Kocra Cmneuxouth", 16000 .llgcxosau; 3, IlecnorosuhpIBa, vIIIr OtI ,,21. Nraj". 18000 Hn[r;4. I4luh Ilanne- vIIr OllJ,,Mltlau Mnnou-eBl.rh", 32210 Mp.rajelLllr; 5. Jonaaosnh HeHas, v1 OllI ,,Epanxo l)aAl4-{elnh", 11070

Flonr'r Beorpa.q: 6, Jonau Mrapocrar, vI., OU,,Mraaa floxoaena",26210 KoBa'{}rua;

7. JLy6uvrah Huxora, vll2 OU .,N4ov.{r4.Ito Xurojnltos}th", ll40o MlaAeuonau; 8.

Macrah Jlejan, Iv2 O[l] .,,Up. Ilpail.tua MlfiuoBuh", l]2o00 gaqax; 9. Mesour l4BaH,a,VIII2 OIll ,,JonaH .losaHolr.th i}'aaj", 224oo PyMa: 10. Ml,|rnn llcug'opa, VIII5 OllI,,JonaH BecerlI}rol Xapxo"., 22240 lllvr,i 11. Muprerr,rh Cnexana, vtr OIU ,,rlegaMunocannennn",74207 lleqxa: 12. Hrionlrh Mruexa, yr. .il. TpuByHUa 5-11/21 ,

18220 Kpyna*; 13. llerpoauh ]IsaH, vl6 OlIl ,,Eopranoje X. Mmojenrh", 15314

Kpynarr; 14. Ilerpoanh Jerena, vI1 OlIl ,,EpaHxo Pa.uil,{enuh", 37000 KpytxeBau; 15.

Poxcansuh Carf,a, vII2 Olll ,,Moua flvtjaae", 12320 Xary6ilua; 16. Paaocasrf,epr.rh

CrofosaH, vIII5 OIll ,,C. Byrcationr.th Pajxo", 18420 EflaUe; 17. Cranxdsuh Jacurarm,vs OIII ,,Kocra ClraueHxonnh". l6ooo JlecKoBau; 18. Crojanor KaTuua, vII Olll ,,typa.laKrxuh",2:1234 lvleba;19. Uauuh Munuqa, vI3 OIII ,,Aocfirej O6paAoBtfi", 12ooo

lloxaperaq; 20. lllyvap Tavapa, v]lt4 OIII ,,bypa .laxuuh". 11ooo lieorpag.

HA|PAJIHI,I 3A]IATAK BP. 135

Po6a je nojeurltnrtta llpBo 3a 2OYo,a a:,nvv,;a jom 207r HoBe UeHe. Konraro je y

flpoueHTrilda noje,nrnHlrra po6a y o.quocy Ha ttoverHy 4euy?

Pemerla clarrrr.ua a.o,pecy: Matetrarltcxrr nltcr, 6eol'par, Kttel-Mltxatr:rona 35/IV, l.n.728, ca o6alersoM Ha3HaKoNr Harpaaurr 3araraK 6p. 13S. Ha nonefuuu KoBepre oOaBe3Ho

EanMarlt: ilMe ,{ npciur,re, peape.ar o,reJr,e}be, [rKoJry n l,tecro (ca flomraHc(tlt, 6pojevl).

Penege raaarxa nocJlaru aa.j;iacnu.ie ao 25.11.1994. roarse. Meby ycnerlgltM pema-

moquMa oBor 3aaarKa xperoru he 6urn oapebeHo ao 20 yqennxa Kojn he 6firt't uarpatleuu.

c')I

Frrnqtrtr 3t, P. l.h 731t. lt0t B.oe?.d. T.[ plfl frDt0O.

S,q.Hclvs rr TNFon MAToR G() sr MATEMATTCKO G LrsrA

Salrovski irtfolrtrator iz Beograda. prat,i sva iahovska zbivanja Sirom sveta oclll)ti(i. godile. Sve 5to preclst.avlja vrechrost,

itoje

novo, 5topokre6r:

iah naplerl,r;rrirrv;uro jc' ocl zabolava. Stvar.llaitvo proJlosti oboga6erro .je obiljr:ur lrod:rtaka.I'r',riircrr;r je c,snova irfbrnraciotrog sistem:r u iahu koji iine:

SA H()VSKI INFoRN{AToIt,I.]NC]I I(LOPEDIJF] SAI I O VSITI I{ O'I'VARAN JA,I,] N C] I I( LO PED I J E S A F] O V SIi III Z AV RS N" I C'A,I\4ONO(i I-IAFIJE SAHOVSIiIII OTVAITANJA.

II,EZULTATI KONKUN,SA ZA SAHOVSKI ZADATAK BR,. 29

ll,:!enje: l. La7 l(a7, 2. c8-'I' I(a6, 3. 'l'aS mat.

St.igao je vcliki l;roj tacnilr reicrrja. Zlr-lrorn srr odrec'leni clobimici u:rgracla:

l. Boro.ie-vii Sruil.ja, V., OS "Jovarr Pupovi6",210{J0 Novi Sad;2. Gru.!ir':Nrrl:r, Vlll.1 OS "Vuk liaradZid". 2ili300 i(ikinr,la; 3, Dordevii MiloB, VIr OS"l,,lrrprir: Nik,>tii", 18220 Aleksinac:4. Kocii Du5an, V, t)i "l(alaClorrle",18204r l,,rrrii lVl:rtcicvac; 5. Leontii Vojislav, \,'t2 OS "Zika I'op<,vii", 15225 Vladinrilci;(i. Milir': Nr:narl. V? ()S "Vrrk Nara,l2i,l". ld2 l0 Zitkovac:7. Nikolirl Dirnir:a,Vlll,, ()S "Flrai:r Ne<1i6", Ose-ina; 8. Nikolir': Zoriczt., VIIt2 ()S "Slc,hoclan BajiiI'rr.i;r", 22.l 16'lovarnik; 9, Obraclovi<': Mirko, Vlr OS "Dura .takiid",'2I24'l Kat.:I{1. Sto.j:rrrov Srnilj:uttt, VJ (lS "Oula Jrkiii",23234 Meda.

NAGR,ADNI SAHOVSKIZADATAK BR,30

Prlzicija na clijagranru: beli i{b6, 'lb7;cmi I(aS, Sa6, Lleli vuie i daje mat, u clvapoteza.

Rr:5enjaslati

rra acL'ersu:

M:rteruatidki listKuez-Mihailova 35/IVp.p, 728

11001 Beograd

sa r,l,avczrroln rrazrrakorrr -SAH" i to lrajkrr*rri.i,.do 15.10.1994. gocline. Na poleclini kovellr:obavezrro napisati irnc i 1>rezime, r:rzrcrl,orlel.ir:rrje, 5kr:llu i uresto (sa laznakr,ur 1ro-

Stanskog lrloja).

Matematicki list 1994 XXIX 2

Documents

Transcript of Matematicki list 1994 XXIX 2