Matematicki list 1980 XIV 4

7/28/2019 Matematicki list 1980 XIV 4

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1980-xiv-4 1/18

O']AVNSTiII{JF] PRF]TI'[.,A"i'NICIMA-d.

[Jretliri:,tl.c ;rt.,zivrt rastavr,rre t i,rr;fesor* maltmatikc lltlr i c:;talc iir-,.,,..,it:i itrl:lr s.r1li,: prilcge ,:: list.: rll:rnlti,,.r111ii1;1;11:;;tldllkc, Zit{i:}iii.) st;.;:';i.ielt-.niir, 1-,rl:;t rrl,r'..ii1lti;dkjl: i::iirr'iir::rja. tii7l'tt': 1.;t irtliivos!i i'l-r;::cijlo jc i,i :,.! il-rli<rlri:;i (ir:irrt:ri:c:irli,ltil i-i:,ii:ni;: :,ii.lilrka)

.ir:rlrtpi:,:l,ri Dislillr 1'rrit:::rt(i!1.j, :, ;,i,- i,',.jCnt. l.,lu!.0p:.,,

t:4,1r.1!rjil.il.i.

?:. iNJol('it:tr;iil\i l;.rr ;r.';tic, 1i]4.j1,- 1i'/11 ,tit'ii't:fiui 1".' fliI r':i:'. I

f-i.t j.':ll.i ! i.:,':r : rcku iliclk'::... iri,linc , :t, ,. \. .i:. Xl. i l. l:'. ri

t. Gor!ii.nj;-r ri,:'iuii!tur f,t.r,. .,t).'t,5 lrrcic'i;) i,r::.r'.i .,l.3.rliirar:r l'.11,

\Or]utrili ,oJr--i-:!lr!'iU: :r r.rl"'li :li)"-. j-il:, I ,.r",.t. zil\ i:,!i{t {)tl i

iiirr:ifLr:trill pr'it,l)i:rtat t,i >a."j:,l.1l!, l.lV). ,.:riir.icliiir": rt,ljir

irl:;,'-..-iui:rinc sr jjri,:ri, ,l-rii:i stlrr<l nist),1tniti 1'ricirt i (iiitll \L i,,'r,i) !1(.,i:,.,ii:ii-i i',.-lr.a\ii iisilt. iriOl;c 1.r t ,,i i:iiticl:irit-i* .r- ':al.jc nl i,;.o-nir'i:51, i)r t:ilru ili::i,, ,:

i:,-ir:t, ,r,rii:ara i aslroirr,rrt,, !it 5rbijc" h:, t1..04.{r"rl,-i{!7{rir, i.i-lrL: , ',. ,r,,i"r., r l..l.r liltz:1.:,r r]l-r t:,i ,&l:'/i,rtt , )..! !i.\t. 1);! 1qr;ry,. iiit|:) i,t,.iirl/!t() n:i\,( i; t:t:il! t,!

i];i l.i.u.::, r:,r lt'r:bl ti{)sl;r',; i,.i.,,.t titt1:tlc ti,i; i .,'".,il.,hil:r r,,i, . ...,

Ddnc'\ i .

,r-r, ,;;i1.,",1 ,', :j.rit.,,. tll l,i]f:;,,.trliiiii r:r1:: i,ii)Orlij:,r,..,r .;,,,,l-,rClnl:t1; .' i1:i: ltiit - i:-ttinr. ,,i::;;; ,-j:t ilri;!t iSprtl,,r;'r: rti;;i ..r ir' ,.rr ,.1, i,

:

,' ,'. : \, : ..'L1,. '::l

)":.,,ii.!,,jt rrr ');l.irj,',o!.,iii,t.rt-' :ei,:.{uto ..:.i,t'tit ., r ,. 'r... ,

,;r. 1:3i1'-4;:;:-,:, i:,,r, ,:,:l1inr, ; ,-r ,7 i',,.i.,: ,961i,,, : :ll,.:l ;,';rl' ;: '.3{ /i;, , :,1. iii ..)' ;,-,t, i lri. -1 ,) ,'l l"f.,. 'r;. i -...'r r)"i .... .. ,.: t. li)r.. ;!" i,r: ,:)'-i17:: [.,, ,',!l

'

MATEMATICKI LIST

'/\ I I(IIINIKE OSNOVNE STOIEXIV

4

,1Ji'i I r.rilXY

t-). ,i.. i91-t. '', .:, I t:).. I :. ;. i,i.

i,ii7;r g,;,.1 1,, .-i : .': il,.;r:.r/{r.-,.),i,.lil.jl. :lill il1.llll:, : iil. :r'. rl 'r:, "'; r , :;- irtr

:)ii6 ilii{iir;gr,ji!i: r': ...!

'':.'iir: r)/ ."'

r;,:li p,,r:: .r 1; I"i;' :.: i.':,', I ,:,.,{tt:i:r;l! :i\r'ii:;'r 1:l :'i

i:i l:: {.rU.?.1',/illl.tii

.

"..:t ti ii'c r lli ;.',ilr fi!ir .

p" ',':li. li. iLi{i.. i5i.;:1i:rti

...1s. i j;l; ;13. 12;r'1j11 ,..,:i ?.,: r.

-,!i i iic,-r i-rc i\': 1J 1.i-j . ,a: .1. ii , , :

' r,*l .ri1,-,.r_rr; , '' ,

J.

tt

5

'^' l.It'": oi

j-!i" ji,'. .''::trcr'ii: J"iniir,i.;ivi;::, i l,' , :r Pi:ri..(-.:;-il)j-r; r'i'v;le.

.j. ll:r,.j.rr',tirjc: Neii"a s',1;r 'r'r:i !aC:tfii1 1..t.., rv:i . -

Pie bll.., ;lllrlac 1';l;:i;

Z.adsci za t,rovtir-t"'rinje r,tcaenog .i,r:itri.l liarrir;i'.r . . . " .

ivl r i,r ilat ii:ira lai<

,-r'iielelj;

i;, iiegr'"rCni zildaii,.ii

7. illl:lbi-ani za(iiici.

B. Konkrusni za{J:ii:i .

l

BEOGRAD

1980.



SAVEZ DRUSTAVA MATEMATICARA, FIZICARA I ASTRONOMAJUGOSLAVIJE

MATEMATICKI LIST

za uEenike osnovne Skole

God. XW, broj 4 (1980)

Izlazi Sest puta godi5nje

IZDAJE DRUSTVO MATEMATICARA, FIZICARA I ASTRONOMASR SRBIJE

Beograd, Knez Mihailova 35/IV, p. p. 728.

Urednici:

Platon Dimit i Miroslav Zivkovii

Redakcioni odbor:

Bogumila Kolenko (Ljubljana), dr Zeljko Pauie (Zagreb),Kosta Mijatovri (Sarajevo), Danilo Stepanouii (Titograd),Duiko KovaEev (Skopjc), Velimir Sotirovri (Novi Sad),

Vladimir Stojanovit (Beograd)

Glavni i odgovorni urednik: Miroslav Zivkovii

Sva prava umnoiavanja, preitampavanja i prevodcnja zadriavaDru5tvo matematiEara, fizidara i astronoma SR Srbije

Oslobodcno pla6anja poreza na promet na osnovu reienja Republidkog sekretarijtaza kulturu SR Srbije br. 413-186-03 od ll. l.1973. godirre

Stampa: Beogradski izdavadko-grafidki zavod, Beograd, Bul.vojvodeMi5iiabr. l7

gernBaHr{x p$ynrara Kojn IrMajy cBojux 3aHI{MJbI';IBOCTI{.

Aeruasa ce Aa IreKrI 3a.qaraK I'I3rneAa HeMoryhaH' KarKaA n 6ec-

MucJreH, a flnraropmo trpaBLIJIo xoKa3yje Aa je oH cacB[IM MoryhaH

u Aa nwa cMIIcJIa. Kao npuvrep Mory ce HaBecTrI 3aAallr oBaI(Be BpcTe.

,{a ce je.qro uapcro reJlo' 6es upouene o6lura n BeJII{lnltHe, He

Moxe [poByhu Kpo3 ,qpyro HeKo, Taxo llcTo rlBpcro reJlo wrje cy cBe

AI{MeH3r,rje Marbe oA npBor reJla, rl3ilIeAa CaCBIIM pa3yMJbI'lBO U OtIeBr{A-

Ho. IIIra 6u ce ragalo, Ha npr{MeP,.K&A 6u Hero rBpAlIo Aa-r(po3 He-

pacreubrrB KpyxHr{ orBop BenI.rImHe je.uBor ArIHapa Moxe llpohu u Behr'r

MeraJrHH rroBax oA ApaAecer AnHapaD KOjU je u HeCaBI'ITJbI'IB n HecrI'I-

rnJbrrB? I4m rer KaA 6I{ Hexo rBp.q[o Aa ce y jeauoj 'IBpcroj, HeeJIac-

TI{qHoj KouKn yBeK Moxe npope3arl{ raHaJI Kpo3 KojI{ he ce r"rohu

.{p Mrxar;ro nerpoqph (1868 - f943)

SAHI,IMJbIIBOCTI{ Y IPIIMEHAMA IMTATOPUHOTIIPABIIJIA1)

flnraropuno npaDILIIo, no KoMe je, sa npa-

Boyrn[ Tpoyrao, rBaApar xl{norelry3e je;grax xna-

Apary o6ejy rarera, je.uro je QA ocIronHl{x upa-

Br{Jra 3a r{3paqyr{aBalbe AyxrHa y FeoMerpr'Iju. Beh

cMo yno3Harrr ca [pr{MeHoM Tor npaBl{na trpfi

TaKBnM rBparryHaBalbnMa, a oBAe heMo noKa3aTI{

KaKO TO IICTO npaBI,IJrO MOXe AOBCCTTI AO HeO-

npoByhn Apyra, oA Ibe Beha, TaKobeqBpcra

I'I HeeracrnltHa l(oqKa'r{

To 6e3 rlpoMexe o6luxa Lr BennqI.IHe?

llcrnna je aa y caMoj rpupoArlI4Ma TIOHeIITO IrITO nOACeha Ha roAA Behn npeAMeT MOxe cTarl{ y

vlAts:s. lrJtu flpohu Kpo3a Ib. Taxo je,

Ha nprrMep, y 3oonorlljl{ yrBpbeHo

Aa je,rya Bpcra Mopcne PI'I6e (Chias-

modus, cn. l) ryra Pll6Y usre Bpcre

rprr rryra Behy oA ce6e. Ana ro Huje

1) Mnorr yqesur& namr( ocgoBuux rtrKoJra suajy sa gp Mnxarna flerpo-

rnha-Anaca, RcraKHyror MareMarilqapa rl-3aqerHl{l(a HayqHor paAa-Ha-nojby Ma'

rcnairme y Cp6ujr.-C r''M y B€3n n nocroju y cpeArs[rM lrrxoJlaMa CP Cp6uje ao-

AernSal$e- rSB. ,,h.naCOue 4nnlqMe" OH11M yrleHxq1;Ua ,xOjn Ce HapOqItTO I{CTaIGy

rao Ao6pu uareuarnvapn. Ha xaaocr, qnTarle xajreher AeJa lLeroBl|x paAoBa

ocraje xeaocrynno HaItrxM yqeHuqxMa, [oruTo-Tr{ paAosu cnaaajy y oEnact Bl{rrre Ma-reuiruxe. Mebyruv, nporFcop llerponxh je uanncao u HexoJl''ro nonynapHrx

npg;rgra 3a HeKe ttacon11ge ulr yg6eunre xoju Cy I3aItrJlI{ rrpe [ocne.qn€r paTa. na

jeggu on rru o6jagnyjeMo oBAe.z) pesje o EoBrry rojtje 6lro y yBorpeorroA nacurueDy ABa cBerc$a para,

97

J

Cn. I



IrcTa cTBap ca [peTxoIHnM TBpberbeM: oTBop 3a ryTarbe rr npocTop3a Bapepene re pu6e cy pacrerJbrrBtr 3a roJrr{ro 4a neha pr.r6aMoxe crarr,r y raj npocrop. Mefyruu, y roprbuM rnpfennva jepeq o rerr,rMa qBpcrI{M, Hepacrerjbr,rBtlM, Irecrraruitnsuv il Heca_BHTJbnBI{M. Kaxo cy raxra rapferra Heo6nqna 3a Harua cxBararba Mo-xe ce 3aKibyqr.ilu ilo roMe ruro ce y o6n.ilroM xr{BoTy 3a He[rro ruro jeneuoryhno Kaxe Aa he ,,npe KaMr4Jra npohu Kpo3 HrureHe yruu,. rioruro he ce ro Aecrrru.

fla unar, TaKBe cy crBaplr MoryhHe, Ir caMo ca Heruro BerrITr{I{e

rI3BoAJbr{Be. floragaheuo oAMax Ha HeKr.rM [prrMepr.rMa xaKo ce ror{3BoAr{ H TarrHocr hevro nponepr.rrn cacBr{M npocrr.tM paqyHoM.

T

Vsvrnrvro najnpe 3a.qarar: ga ce Kpo3 gautu owaop rcpycrcnu (cn.2a) apoeyue Kpy)rcHu Koruyp eehei itpeuuura, a ga ce upuwou upeqHuKKpyotcHoi oilsopa ue uoeefta, Onnruuuo 3a ro Ha napqery 'npruheryqrujg rpyr C, na roByr{r,rMo ABe }beroBe naparenne vwpxe AM uBO u jepyry rbr,rMa napaJreJrHy npaBy no npeqnnKy Kpyra. I4ceqnvroBpxoM nepope3a KpyxHr,r Koryp NQLRN, raxo .(a Ha roM Mecry oc_TaHe KpyxHn npope3 unjn je npeqHuK jegHar rpeqHr.rKy d xpyra C,

flpenr.rjvro xaprujy Ay)K Ar{paxa AM, BO tr npaBe peRj raroAa ro napqe xapruje, oAo3ro ilreAaHo, go6rrje o6lux Kao Ha cn 2b,rAe cy o6e 4rapxe roKJronJbeHe ca npaBoM peRS, a nolyrpyr eZRnorJrorJbeH ca

ronyKpyrou QNR.Kaa c'e ro yrrrHr,t, rypHe ce r,rBlrua RS nannrue raxo, .qa ce ucrArrrHe, .qob_e y noaoxaj RS (cn. 2c). KpyxHlr nyr ZR sayrehe noloxaj l,RTJoj cJrr.rqr, u ayx QLR yrarahe ce je4aH y3aH npaBonmujcru npoperQR nehu oA npope3a QR ua npnoj clnqu.

3a rorsro he oraj noBtr npopes QR (c:n.2c) 6nrn nehn oA

rrpope3a QR ca npBe cJIHKe (u. 2a), rj. nehn oA rperlHuxa d xpyta C2

fipe*ra llirraroprrroM npaBnny n jeana u Apyra rerl{Ba t1 u t2 6uhe

(xao xnnoreHy3e paBHol(paro ilpaBoyrnfix rpoyruroBa' qnJe cy xarereje,qraxe nonyrpequl{Ky ,F lpyra C) jeasaxe ca

/*yrz:/zrz:rt'r,ua he uajsa4 6vrrn

QR:t1{t2:2r y'Z:a1/7.

Ilpevra roMe, o,4 Kpyxuor npope3a, vrajr je fPewurr d, rraumwenje, 6es LrKaKBor [polxupaBalsa Kpyra, rrpaBonuHuJcxa npope3 AyxrIHe

d/L Osaj rpope3 je.ryar je 4yxmru npno6uruor npope3a yBenl'IuaHor

sa jegHy AyxflHy roja je jegHara pa3nrrun

dt/r- a:(E-tl d:0,34142. . . d^oo,4

d-

flpopes ce, AaKJIe, uosehao 3a HeIIrro BlIIle oA 0,4 d,rj.3a HeIIITo

MaJro Brrrxe oA ABe DerHHe croje npno6l.rrHe AyxnHe. Hosau oa jearror

Ar{Hapa uMa npeqgl{r 23 mm, a HoBaIl oA ABaAecer A}IHapa oa 3l mm.

Je.qsi nernna [peqH]rra ArIIIapa I{3HocI{ npu6lnxuo 4,6 1nm, na aKo

xpyr C nua npeYnur ncrl,I Kao AI{Hap, orBop ua xapruju 6nhe na rop'rbn HaquH uosehaH npn6luxHo sa 9 mm. Iloruro ce rrpe.urxK HoBIda

oA 20 Annapa pasnuryje oA rIpeqHI{Ka Almapa ea 3l - -23:8mm,

Aa(Jre,3a Marbe Ho ruro je nonehan orBop, ro he rpos raj ornop cn-

rypuo rraohll ,qa npofe rI HoBaq o,{ 20 4fiHapa' o qeMy ce JIaKo MoxeyBepr{r}r n npal(r}rqrn (ct. 2d).

fopIle rrpferre Moxe ce lrcKa3arll n na onaj HarI]TH.

Karo norpruusa P rpyxHor [pope3a uperlHura d usnocu

a troBprlrnHa P1 Kplra ruju je nperIHIrK dl/2 uutocn

P:^(42\' :l-nd2-) P*\zl

4-L"

MOXe Ce TBpAI{TI{:

Kpot cearu Hepacmeilbus Kpy)tcwu ofrsop lvtostce ce, Ho Haupeg'ra'

segeHu rurvuH, upoeyhu ttectautumueu u Hecarutarbuou KpyJrHu Koutyp

uuja je uonpuuHa gsa uywa eeha og uorpwuHe canoi otaoopa.

M ,:"(+)':Ino")

9899



IIVsMnrvro caA 3aIaTaK: ga ce Kpos Hepqcfrei/busy uepcfry rco4xy

upopecrce KaHan Kpos rcoju he ce uohu upoeyhu gpyia jegna og n e eefta,Hecfruut/buza u uspcma Ko4Ka.

flocranuuo Korlicy K na xopl,rsoHranny paBaH R raro, ga je jegHarrena 4ujaroHalra, Ha np. 0'0 6y4e nepruralua. Taga, raAa ce ra KorIKaK rnega ca crpaHe, sr.rAehe ce y o6luxy (cn. 3), a KaA ce ureAa o.qo3ro,nuAehe ce npojerq{e rbeHr,rx trBrqa Ha paBaH R y o6lnry npaB[JrHorrrrecroyHra ,S (cl. 4a).

.{a 6ncuo tr3payynaJrr{ crpaHy4 TOr npaBrIJIHOr IIeCTOyrna nocMa-rpalMo npeceK xogxe AO'BO (ct.4b)xojn HMa o6lur upaBoyraour.rKa.JeAna. crpaHa ror npaBoyraounra jeg-HaKa Je r{Br.rrllr KouKe r,r ry hevro gy-xr.rHy y3err.r :a je4unnuy. lpyra crpa-na je ,qujarou€Lrra crpaHe KorIKe srpeMa.roMe lr3Hocu y'f. uaizz1, Anja-FoHaJra 0'0 ror rpaBoymoHr.rra je 4u-jarouala xoqxe uuja je ueuqa 1, H

crora je je4uara /i. Ca cJrl{Ke BxrqHMo 4a je Ay.xuta a BwcHHa o6a rpo-ynra Ha ro.ie 4njaronana 0'0 AeJrr.r Haru upaeoyraouuK H rrpeMa roMe

MoxeMo ry Ayxr,rHy oBaKo Aa r,r3paqynaMo.,3Hauo ga, c jegue crpaHe,IloBpIxLIHa npaBoyraoBHKa Je JeAHaKa [poH3BoAy 4nrrleHsuja:

t./, :/r.C apyre crpaHe ce noBprur.rHa rrpaBoyraoHlrxa Moxe npe,qcraBr.rrr.r

u rao r6np o6a uogy4apHa rpoyrra xojr.r ra qnne. O6a ia rpoyruranvrajy:aje4urqKy ocHoBr.ruy 0'0:y'3 rr r{cre Br.rctrHe a. flpeva roue jenoBprxr,rHa [paBoyraoHrrKa

,Vl.Kaa HsjeAHaqHMo ra ABa n3pa3a

O4peguvro caA [onynperruuK Kpyra yil]IcaHor y HaIx uecroyrao'

flosuaro je ,qa je

,: ]- ot/1 .2

urro je y HarueM cnyqajy .4aje

r: | .4.n -[t .

2v3 2

Haj:ag, oApeAI{Mo crpaHy KpBaApara ynucaHor y roM xpyry'

Osa, rao xunoreuyra parHoKpaKo-[paBoyrJlor rpoyrna ca crpaHoMr, r.r3Hocu , Vz. v HaIueM cly'lajy ro Aaje

VI .rtZ: r.2

Ha raj Ha.IlIH cMo noKa3aJlr4 Aa ie crpaua l(BaApara ynucauor y

onaj rpyr je4uara IIBIIIIH Halue KoIIKe-taro yn"caHl{ KBaApar Moxe I'IMarLI y Kpyry Ma KoJI'I nonoxa1'

e*o tt ttoto*"ju ("n. 3c),iae cy .qBa reMeHa xngapara JrexaJla na o6u-

ty-;;;;ft;;o6pnevo'"a- inaspar ua 10o, on he aolr' y HoB no-

t6*"i (ctl.4d)',y *o*" ce nra jeAso reMe He HaJIa3u na o6lrnry [Iecro-

y.rru.-,Iipy."M pequMa, Ta cJII'lKa noxaryje ga'urvrefy o6utua KBaApara

ii oorfiu'

"puutrr"o,

IIJecroyrJIa uMa cBy$a pacrojarra"fl'arne' naru

KBaApar MoxeMo joru aa roBehaMo' na Aa craHe y "!il-tT-1^ruecro-yruo. A*o ca.q y Hluoj KoIIKI{ HaqIlHHMo KarIaJr y npaBqy A}UaroHane

b,0""

rpecexoM uan"i*" oBa1o nosehaHor KBaqpara, orrga he xpos

;t ;*;-;ohu 4a npole Ir Ko4Ka neha oA Iraure npno6urue KoqKe'

A

o"

A

a)

B

III

'',.i

B

Cn. 4

Cr. 3

4o6r.rjer"ro

aB:/r

/tI::'

Vt

(/a

\so\

\.4\ /

N

o

/

100 101



Javorina Stoianovi6 (Beograd)

NEKA SVOJSTVA PROSTIH BROJEVA

1. Poznatoje da su neki od prirodnih brojeva, kao Sto su:2, 3 i 5,deljivi samo jedinicom (brojem l) i samim sobom, dok su ostali pri-rodni brojevi, kao Sto su:4,6 i8, deljivi inekim drugim brojevima.Prvi od ova dva skupa prirodnih brojeva..dini skup prostih brojeva, adrugi dini skup sloZenih brojeva. Broj I se ne nalazi ni ujednom od ovadva skupa.

Prosti brojevi su uvek bili predmet proudavanja slavnih matema-tidara. Tako su ve6 slavni matematidari Starog veka do5li do znadajnihrezultata u proudavanju prostih brojeva. Tako, na primer, poznatipostupak za odredivanje,pr,o-r_r]! 2 3,>l 5,6 7 *. 9 )gbrojeva koji nisu vedi od datogprirodnog broja z potide od grdkog ll Ig l3iMlS}( 17 l& 19 lO

ff::T'fii""J?1"?:"J1.n'ii:-# x)l2r x )s2cx x zg )e.

postupak naziva ie Eratosten6vo 3llx}1X|}$.)6.37)s.31 Iosito. i,. kada_.su y nitanju brojevi 4l}g 43 hdlf 1647 j[&]9 50koji nisu ve6i od 100, kao Sto iepiznato, sastoji r" u rr.A"r"rn. Nd.;- }lln 53 545q }6 5{.}& 59 !Opre. se ispi5u redo_m^svi prirodni dtbg.bgb4.bgb6 62 b&b9 )O

i:ffHt 3,"*"1*,"'iii'i'"""01 7r ?e 73 )4)s 7( 1? 7& ze Ie.ratne tablice, kao Sto je to udinjeno bfbg.gf b,(bS &b?b& g9

'Al,?:fi'.';.'i:'.T#;l?:Til,if ,',Tifi xx xx rls. x s z x x I'abroj, precrta redom svaki drugibroj, Tab- I

'po5to su svi ti brojevi deljivi sa 2. Potom se ostavi kao neprecrtan prvibroj posle broja2 kojinije precrtan, tj. broj 3, i precrtava se svaki tredibroj,jersusvitibrojevi deljivi sa 3; slidno ovome, ovaj postupak se

nastavlja. Tako ostaju neprecrtani samo prosti brojevi manji od 100.

Buduii da je medu prostim brojevima broj 2 jedini parni broj,Eratostenovo sito bi se moglo uprostiti tako Sto bi se pored broja 2ispisali samo neparni brojevi manji od datog broja n, u na5em sludajubroja 100.

2. Pored prethodne olak5ice, za odredivanje prostih brojeva kojinisu ve6i od datog broja n, tj. za brojev€ (n, dokazuje se sledeie tvr-denje:

to2

Za odredivanje svih prostih broieva n dovolino je preutati one bro-

jeve n itji je najmanii delilac jedan od prostih brojeva koii su <Vn'

Zaista, ako je n: Q ' b' onda je jedan od brojevl a. i.b

veti od n,

a drugi je manji bd ,, dok je u izuzetnom sludaju, kada je n potpun

kvadrat, a:b:y'i. Yrema ovome svaki od datih brojeva koji nije

prost, pa irna bar dva prosta dinioca od kojih je jedan p<y'i, adrugi

S>y' i,te bude precrtan zato Sto je deljiv sa p' nema potrebe-da. se pre-

irtava'i zato Sto je deljiv sa 4. Tako, na primer, iz tablice I izlazi za n:

:100, y'i:10. Prema ovome' posto su: 3, 5 i 7 neparni prosti brojevimanji'od 10, da bi se dobili svl prosti lrojevi manji od_100, dovoljnoj" pi."ttuti svaki tre6i broj posle 1' tYlLi get! lroj posle 5..i svaki sedmi

iroj posle 7. Tako je, na primer, broj 77,koji ima proste dinioce.T i 11,

dovoljno precrtati kao broj koji ima za prost dinilac Uro; Z<y'fOO.

iiiend ouo.", da bi se dobiii prbsti brojevi manji od I 000, dovoljno je

precrtati sve one brojeve od-2to

I 000, koji su deljivi sa jednim od

prostih brojeva koji su Ey'1000^r31,9; t._precrtati svaki tre6i broj

ioit. iti, svaki peti broj posle 5, i tako dalje, a naposletku precrtati

svaki trideset i prvi broj posle 31.

Gore navedeno tvidenje daje mogu6nost i da se utvrdi da li je

dati broj prost ili sloZen. za ovu svrhu broj se deli redom brojevima

2, 3, 5,... koji nisu ve6i od /n sue dok se ne dobije ostatak.O ili se ne

iscrpe svi navideni delioci. U sludaju da je deljiv nekim od tih brojeva,iriaL, Aaje broj n sloZen broj; u protivnom sludaju,Uroj 1.j! prost broj'

Tako se,'nu prir.r, nalazi di je bioj 173 prost broj, budu6i d? ntje deljiv

ni sa jednim od prostih brojeva: 2, 3, 5,7, ll i 13, jer ie y'116""13,2'

3. Iz tablice l iz|azi da se od l do l 000, tj. >u prvoj Stotini(, na.

lazi 25 prostih brojeva. Dalje se, navedenim postupkom, nalazi slede6e:

od l0l do 200 nalizi se 21 prost broj; od 201 do 300 - 16 prostih bro-

jwa; oa 301 do 400 - 16 prostih biojeva; od 401 do 500 - 17 prostih

irtoj"nu; od 501 do 600 - 14 prostih brojeva;.od 001 9L700.- 16

pt"'tiitr't*j.uu; od 701 do 800 - 14 prostih brojeva; od 801 do 900 -i5 prostih

-brojeva;od 901 do 1000 - 14 prostih brojeva'-

-^Prema ovome, u prvoj hiljadi (od I do I 000) nalazi se 168 prostih

brojeva.-slidno ovome, u drugoj hiljadi (od l00l do 2000) nalazi.se

135

prostih brojeva; u drugoj trit::aaiiod 2001-do 3 000) - 127_prostih bro-

j,*; u detvrtoj hiljadl(bO tOOt do 4000) - I20'prostih brojeva; u

p"toj nif.iuOt (oh + tjOr ai S OOO) - 119 prostih brojeva; u Sestoj hiljadi

103

.,t

It



(94_Sry1 do 6000) - ll4 prostih brojeva; u sedmoj hiljadi (od 6001do_7000)._- I17 prostih brojeva; u osmoj hiljadi 17OOi Oo i OOO) _l07.prostih brojeva; u devetoj hiljadi (od 8 @l-do 9 000) - ll0 prostihbrojeva;-u desetoj hiljadi (od 9001 do 10000) ll2 prostih biojeva.Svega I 229 prostih brojeva izmedu I i l0 000.

Iz. ovih podataka vidi se da je broj prostih brojeva rasporedenihpo-stotinama i,po hiljadama vrlo nepravilno rasporeden, ili da se,podev od prve do poslednje stotine ili hiljade, broj prostih brojeva po_ste.peno s-manjuje. Ipak, slavni matematidar Gaus (l 777-[ gSSi je

nasao da 26379. stotina ne sadrZi nijedan prost broj, dok 27050. stoii.tasadrLi 17 prostih brojeva, tj. vi5e nego trlia stotina.

4. Podaci navedeni pod 3. nameiu slede6e pitanje: da li postojinajve6i prost aroj, odnosno da li je skup prostih brojeva konadan ilibeskonadan? Na ovo pitanje pravi odgovoi je dao joi Euklid; a evokako.

_Neka,po__pretpostavci, postoji najve6i prost broj i neka je on

oznaden sap. Kada se obraz"je broj n:2.:.S...i+1, kojiired-stavljS proizvod svih prostih brqieva od 2 do p uveian ia l, iad,a-zi ovajbroi izlazi slede6e: broj I nrje deljiv ni sa jednim od prostih brojevi?, 1, 2,. . . p j9r se pri deljenju broja n ma kojim od prostih brojeva

?,3., 5,......1dobija ostatak l. Prema ovome, iii je UroJ n i sam prostbroj, odigJedno veii od p, ili je n sloZen broj deljiv nlkim prostim brojemve6im od p.

Ovo se moZe ilustrovati slede6im primerima. Za broj 2. 3 . 5 . 7 .

'll+l:2311nalazi se da je prost broj, a zabroj2.3.5-.7 .ll.13+* I :30 031 nalazi se da je sloZen, jer je 30 031:59 . 509, pri demu jesvaki od njegovih prostih dinilaca (59 i 509) ve6i od 13.

Dakle, ma koliko bio veliki prosr broj p, uvek postoji bar joi jedanprost broj ve6i od njega. Iz ovoga sledi da prostih brcjevi, lao iprirodnih brojeva, ima beskonadno mnogo, odnbsno da je skup prostihbrojeva beskonadan.

5. Poznati su mnogi pokuiaji da se nade pravilo po kome se prostibrojevi javljaju u skupu prirodnih brojeva, odnosno di se nade foimulapomoiu koje bi se mogli dobiti svi prosti brojevi. Ovim problemom

bavili su se i neki slavni matematidari. Tako, veliki francuski matema-ti9g.g Pj-er_Ferma (l 601-1665) napisao je da misli da su svi brojevioblika 22':.],. za.prirodni broj n, prosti brojevi. Medutim, ovo se po-kazalo netadnim; jer iako su za n:0, l, Z, 3 i 4 ovi brojevi stvarno

104

prosti, zl fl=S slavni matematiCar Ojler (l 707-1783) dokazao je

1 7lZ godine sledede: *3 +l:4294 967 297 :641' 6 700 4l?. U I 886.

godinimatemati6ar Zelhof je pokazao da ry !=?l pomenuti broj nije

prost jer je deljiv sa 5.2!e+l:2748779 069 441.

Pored ovog Fermaovog pokulaja postoje i druge formule, takode

neuspele, tako di ni do danas nije naden op5ti oblik prostog bt-q."' tjtformula-Cija je brojevna vrednost prost broj za svaki prirodni broj

promenljive.

6. Poznato je da se svaki sloZeni broj moZe iztaziti kao proizvod

prostih brojeva, ij. rastaviti na proste Cinioce. U vezi sa tim moZe se

postaviti pitanie:-na koliko se nadina sloZeni b_roj moZ-e rastaviti na

proste diniocef Na ovo pitanje daje odgovor sledede tvrdenje:

Svaki sloleni broi moZe se rastaviti na proste iinioce samo na iedannaiin.

Zaista, ako se pretpostavi suprotno, tj. da se dati sloZeni broj

moile izraziti na dva nadina kao proizvod prostih dinilaca, na primer da

ie a:pr. pz'pt... i da je a:qr'qt'it... , gde- er Pr; P2r pt.!.iazliditi od qr Qz, Qt... , onda iz ove pretpostavke izlazi:

Pt' Pz' Pt:4r' Qz' 4t . . .

Buduii da je u ovoj jednakosti njena leva strana deljiva sapl, mora

i njena desna strlna biti deljiva sz p 1, L ovoje

mogl6e samo akoje jedan

od prostih dinilaca 41, 42, q3 . . . jednak sa p1 ; neka je to, na primer 41,

tj. neka je pr:qr Tako se dobija jednakost

Pz'Pt...:q2'Qt...iz koje se na sliEan nadin zaklju[rrje daje prosti btoi p2jednakjednom

od piostih brojeva 42,4t.. . , rrf, primer: p2:q2.S- oh-zirom nalo da se

slidno rasutlivinje rnoZe nastaviti, izlazi daje svaki od prostih Cinilaca:

p!, p2, p3,. . . jednak sa po jednim od prostih Einilaca Qb Q2, 8t, ' ' '

itoZinog-Uroja 7, dime je dokazano gore navedeno tvrtlenje.

Zallsci

l.Odredite pomodu Eratostenovog sita sve proste brojeve manje od 150'

2. Koji su od sledeCih brojeva prosti:313,259 i 421?

3. Da li u nizu prostih brojeva imajos takvih parova prostih brojeva koji se

razlikuju zalkao2i3?

t

IjI

105



nPoEJTEM HIAATIE KO3E

Cnnua je nosnaro lura he ce AoroArtru arorna4rry xosy (cancry, roja nace) rexeuo xoHonIIeM

:a jegau Konaq Ha rr{BaAH: ona he nocreneno no-'( .L '- r-^-'-

,{,ff nacru cry rpaBy Ha noBp:xu xpyTl_qrIJeY]: T"lfl

I ga6oAey Korraq, a uuju je nolynpevuxrc je4tar 4y-xHHr{ Kononqa. Arn 4a lN je rvroryhe Ko3y npllBe3ar}t

. TaKO,qa oHa Moxe Aa nonace rpaBy caMo Ha rloBpllln

it, laror rpoyrJla, dpaBoyraoHnra, potrl6a I{Jrn Heregpyre $urype -

€, ro je neh rexe Aa ce oApeAlI,

Ennuca je, nocne rpyxutrqe' cBararo jema o,4 najremhe yno-

rpe6JbaBautrx-rpu"u* y reoverpujnr.Ea rroj 6r ce rpe6alo noce6ao

3aApxarr. Ann lo heuo yumrrrr ApyroM trpuJIIIKoM.

flpernocraulMo caA Aa pacnonaxeMo ca Apa KoJIqa E .Pa Ko-

uonqa, je.rgruMAyxafle m n Apytulla Ayxuue z. 3arnvr llperuocraBuMo

Aa cMo najupe Ha IpBII oA oBI{x rollHonaqa HaTaKnII Je,U{y IUIKy n Ea cMo

3aTHM rberoBe rpajene npuqBpcTrrJru 3a ABa y 3eMJby sa6oAeHa KoJIIIa,

a Aa cMo Apyru Kotrouau npI'IB$anE jelurna KpaJeM 3a oxoBparHl{K

No3e, a ApyrIrM 3a aJII(y, Hararl{yry Ha IIpBrl Kolronau. TaAa ce janrajy

oneT lpe r"roryhxocrr.

Ifpno, axo cMo npBll KoHonau 3areulu usrnle$y .@a xomla' onqahe roga uohr, oq[rre.uto, Aa nonace rpaBy caMo tro noBplxrl xoja ce

cacroju o,q je.qgor npaBoyraoHl{Ka AnMeH3uja mxn I{ ABa.tronyrpyranonydperrntrKa b *ao ruro je ro trpe,4craBJbeHo. Ha at 2- A axo trpBl{

Koso[aqHe3aTerHeMo'HeroKontleBeIIocTaBIlMoTaKoAaIbI|xoBopacrojane 6y4e uarre oA AyxuBe m rlpBor KoHorlqa' onga he roHTypa

iorpuu uo rojoj he ce uohr Kperarlr l(o3a 6I{TI{' osl{rllelgro, onerje.rgra sarnopena Kp[Ba, o rojoj oBge He MoxeMo paclpaBJBara: alfti-.rlrju

o6nm'wrraoqll rvrory npn6aruKno yTBp.quTI{ oBaKo:-rpe6a

ga

sa6o,qy ABa ercepqrha y ,qe6Jbu raprou' na oEAa' ynotpe6ranajyhn

Ae6ru KoHaII yMecro Koxotrqa, BpxoM rII{caJbKe Aa [3BeAy Ha Kap-

ToHy oso ruro je peqeuo o rp€rany ro3e.

,'

H o roMe he 6uru peqn y oBoM qnaHKy.

.{a noleuo oA onor ruro je je4Hocranuo, Ka oHoM ruro je cJloxe-xennje. Jacno je Aa, aKo pacnoJlaxeMo caMo je4nr.n"r rononqeu u jeg-

Hr{M KOJrqeM, ne MOXeMO rIOCrrhU HI{IIrra BI{Ixe OA OHOr IUTO je rehHaBeAeHo. Hcro raro It aKo pacnoJlaxeMo caMo jeanuu KoJIIIeM a

I{MaMo Br{ure (oHonaua, ocrajer'ro y cyrltr}rHrl Ha I{croM. Aln axo uo-xeMo Aa ynorpe6nr.ao ABa roJlqa, oHAa MoxeMo nocruhn seh HelxroHoBo, na Marap nManrvt u caMo je4an rouonaq.

To *roxe*ro nocrnhn axo (ortoHau npoByqeMo l{cnoA oxoBpar-HI{Ka No3e, na ra oHAa 3arerHeMo I{3IIaA 3eMJbe, llsuely rBa Konua;

roga he taAa uohu Aa no[ace caMo rpaBy l{cnoA 3arerHyror KoHonqa.Ann he Mnoro sannurunr.tju cnyuaj Hacry[LITIT aro Kouo[aq flpuBe-

xeuo xpajeBlrMa 3a ABa roJrua, aIIH ra He 3arerHeMo, Hero KorqeBe

rtocraBuMo rar(o Aa rbnxoBo pacrojane \ F2 (cn. l) 6yne Malbe o,q Ay-xuue rouomra m. Ca rarre he noBplutr ra,q,a rtrohu Ko3a Aa trotrace

rpaoy?

To lanucu, HapaBHo, oA Tora KaKBa

he 6r.nn Kpr{Ba roja he orpanr{qaBarlr no-Bpru no rojoj he ce Ko3a uohn rperaru.A rarsa he r-o 6unr rpuna? Ta he rpnna, /roqlrure,ryo, uMarrr cnojcmo 4a je s6upyAaJbelrocrrr cBaKe rseEe TarIKe oA ADe

craJtrre rarlKe, y oBoM cJry{ajy raqaKa

F1 ut F2, craJIaH uje,unar.ryxurul

KoHon-ua m, Ssasr{,aKo.qpou3BoJbny rarlry na rpaxeuoj xpunoj o6e.rexnaoca M, y ooou cly.rajy he 6nrn FlMt F2M:m. A xpusa roja urvra ono

cnojcrno Ba!trBa ce eJIImca.

106

Arn raro MoxeMo nocruhu ro Aa Ko3a Moxe Aa [oflace rpaBy

caMo Ha 3eMJbr{rlrTy o6luxa HeKor noJrHroHa, na npl{Mep [paBoyrao-

nnxa? Hapeurene o"or nutarca ynyhyje uac yHeronl{xo n cava cl'2,

rujn jeaau Aeo seh npeAcraBJba npaBoyraoHur xojn tpe6a jour caucorpaHuqnrr I{ ca oue ABe crpaue, 4yx rojr'rx ce .qoanpyje ca noJfyxpy-

roinua. A to r"roxelvro uocrnhu oBatro.

Blt

AL2 Ctt. 3

"42

Cn. I

107



Hexa xau je .qar npaBoyraonw ABCD ro KoMe rosa tpe6a ga

Moxe Aa ce rpehe n EeKa cy a u D rraepnu 6pojenu lberoBe AyxIrEe E

rrurpuue (cl. 4). O6e.nexnao @ P, Q, R r S cpeaulura lberoBlfi erpa-

IIpn oruu palMarpalbtrMa, MIr' RcrRIIa' HHcMo y3ctn y o6rnp

Aa 3aTerHyTH XOHOnau xehe rnrohn 3aApxaT[ noTnyHo o6lnr npane

lrxnje H KaA Ko3a 6yAe noryuag:Ula Aa ce yAaJbIr oA lbera uITo Bl{ule'

oAHocHo.qa ce ycra xo3e He HaJIa3e raqno roa rpajl Apyror roHorlua

rojuu je ona npl{De3aua 3a npBn rononaq; :uIH To heuo y oDoM cny-

.lajy cuarparrr 3a 3aHeMapJbI{Ey rpeulKy.

ABCrI. 5

SrArqr

1. Karo tpe6a uprrerarr xo3y axo cc xohc Aa OHa MOXe Aa IIOIIace TpaBy

""nto

o:

"i

,q""o't pou6oraa r 6) ,qaror npaBg.lttror mecroyma?

2. Karo rpe6a uprnerarn nql axo ce xohe Aa OII MOxe Aa 6pann npasryncBaroM: a) na,qiT[ nonyrpyr n 6)'xa Aars xpyrcu cerrop?

(flper"ra tlJlarrry ,,Ko3a xa npunely" og B. Kpyucror n A' Oploaa II3 qaco'

rsca ,,i(ftsr", 197415 - uprp€Juo n. Awrh)

3a uncoacrce 6l6alotexetcaeAehe Krlng f,auer rtAlro:

HAIIOMEHA

Kto f, 3a loA ct yrculqf,nat npenopyryieuo

l. J. Ileperrrrar ilarmrJbrre rtorerp{a (y QemAy Ap M. I4mh -

nu\a AD, BC, AB a CE tr Fp€rrocra-BUMO Aa Cy y Te rleT[ptr Tarme nocTaB-

JbeHrr roJrrll{ usrvrefy xojn cy 3arerEyrEroHonqtr PQ n R,S. 3artltvt trIlernocra-BUMO Aa Cy 3a OXOBpaTHTIK KO3e Be3aEa

ABa Konoqa: jegau AyxtrHe b 12, wrju ieApyru rpaj reran 3a aJrry roja je narar-

r{yra ua xonorraq PQ u :lr'oxe ro rbeMycno6o,qro Aa rnll3u; rr Apyrn, AyxIrHea 12, uujn je Apyrtr rpaj neean sa anxy rojaje rararnyra Ha Kononaq RS n Moxecro6o,Ero Aa rrnsn tro lbeMy. lI urra he

ce orrAa AoroAuru? C o6rxpou Ha [pBI{ Cn.4

Kononau sa rojn je rerana, roga 6u ce MoDIa xperarlr rlo [paBoyrao-nuxy ABCD r no noJryrpyroB[Ma ApD n BqC, uru He r{ no nony-

rpyiorrn'ra ArB u CsD; a c o6rnporr,r Ha .qpym rononiru ra roju je ne-

3ana,'oxa 6u ce r'roua Kperarl{ oner tro npaBoyraoHuxy ABCD n rl.o'

nyrpyroBrMa ArB n CsD, EUIa He H no troJlyKpyroBl{Ma ApD a BqC.

3aro he ce ona uohn rperau y crBap[ caMo rlo upaBoyraoHlrryABCD.

Hauocnerry, Aa BflAtrMo joru E KaKo ce Moxe o6eg6eAnruAa trpuBe3aua ro3a notrace rapBy caMo Ita AaroM rpoyrty ABC.

Iloxasahe ce Aa heuo ce n y onorvr crryuajy *rohu ropncrrru Qn-

rypaMa r(aKBa je npeAcraBJBeEa Ha cr. 2, nacrilBJbajyhH ux raKo Aa

4ain rpoyrao npeAcraoJba troBplu roia nputra4a craroj oA Iblrx.

Taro, npe cBera, aro rpo3 reue C Aaror rpoyrna ABC (clr..5)

nocraBnMo upaay PQIIAB vt y raru€Ma F1 t F2 (F.P:APIZ,APLAB) 3arerl{eMo Kouotrau Ayxme m:AB u Ha u,sru lraMaxneMo

norpeTJbtlBy aJIKy, a Ko3y lrp[BexeMo Apyr[M KonHoqeM, AyxnHe

n:AFb 3a ry aJlry, ro3a he uohn crnhn y cBaxy raqry rpo'yrna ABC, aml he 3a rby rrocrarlr Henp[cry[aqHe cBe rqaKe ca one

crpane npase AB na rojoj ce He'ItaJIa3n rpoyraolBC. 3aturvr, aKo Ha

cJrr{qaH rraqfiH nocrynuMo n c o6aupou Ha crpaul'Iue BC n AC lpoyrna

ABC (ctt.6), ra rosy he nocraru Henp[crynarrHe cBe rrlare caoHux

crpara npaBnx AB, BC, AC sa rojnvra ce He HaJIa3m rpoyno_ABC,

.qoK he ea try cBe raqre rpoyrna ABC osrarn npl{cryrlaque. II raroheuo uocfl,rhr caoj uur.

l0E

AahnrD, crp. 284) - 60 lw.2. M. Mnarnrrh - B. Crcienornh: 36rpcr Dqre!6 laArraxr - 6poieu'

tema$ue, neie4parme, norrfir rorlur (crp. 32) - 12 w'3. Marer,rarrncf, rFpyqru' I xono (f. M' Mpmrr:-IlD-r1-Aeicerrur;

2_3. J:-dilii..riinir"irirDd. t I porpeay icnoEf,e 'ltroonei 4. M. Hffierorxh:A"iitil-ti6.*-irv porpelv-ocrorne urore - crD' r2t) - 50 Arf,'

tla repyg6ne ol 10 .uo 20 Umrenoro-94960eP ce l[60r og l0/o' t nt

rrpwomi on'-oi.* 20 npmrcprs p6nr ou2o%'

fi

{j:i

)i1 Cr. 6

109



t

ZADACI*ZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

IV RAZR

ZADACIZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

V RAZREDVarijanta I

MNOZENJE U SKUPU NO

l. Napi5i skup svih rje5enja nejedna-dine 780.r<4680 kad ;€No.

2. PokaZi pomodu Dekartovog proiz-voda skupova da je z(AxB)::n(A).n(B) uzimajuii da je A::la,b,c|, B:{t,21.7-adatak rije5i i grafidki.

3. Jedna deta je poSla na vjeZbu u 7,a vratila se u 14 sati i l0 minuta,pje5adedi prosjedno 6 km u jednomsatu.

a) Koliko je trajao njihov mar5ako su imali odmor od 40 minuta?

b) Iskaii u metrima ukupnu duZinupretlenog puta.

4. Data su 2 skupa: n:{9,21,1256,0}i B:{1, 10, 1000}. Napi5i skup,4 xB i svakom njegovom elernentupridruZi proizvod.

5. 7a 2 sveske i 2 olovke pla6eno je

24 dinara. Koliko staje sveska akoliko olovka, ako je za 5 sveski i3 olovke pladeno 50 dinara?

6.. Sa jednog mjesta na cesti krenebiciklist i vozi prosjednom brzinomod 30Om u minuti. Pet minuta izanjega krene motociklist i vozi br-zinom od 800 m u minuti. Kolika& biti razdaljina izmedu njih na-kon 4 minute od polaska motoci-lista ako su: a) biciklist i motocik-list krenuli u istom smjeru; i b)biciklist i motocilkist krenuli usuprotnim smjerovima?

7. Razliku proizvoda i zbira brojevat3 i 12 povedaj 9 puta.

8. Uz pomoi svojstva komutacije iasocijacije izraCunaj zbir neparnihbrojevaizmedulil0O.

. Z,adaci su pripr€mljeni u dvc varijantc zbogmima nasih rcpublila i polrajina.

110

Varijanta IUCAO, KRUZNICA, KRUC

l. lzradunaj komPlement ugla dijije mjerni broj jednak razlici mjer-nih brojeva uglova {l:93"12'14"

ED

Varijanta lISABIRANJE I ODUZIMANJE USKUPU N

l. Koristedi najpogodniji nadin gru-pisanja izradunajte vrednost izraza:a) 15278*356*35322; b) l0l0l2* l0l0l z-l I I l I z; c) 25 540-f2870+22940.

2. Zvezdicama oznadite tadno redenice:

a) (va, beN) @*b>a Aa*b:b);b) (va) (vb)(a,6e N + a*beN);c) (Va) (vb) (a,6€NA a>b + a-b

€t/).Koja od redenica a) , b) ili c) izra-Zava izvodljivost operacije sabiranjau skupu N?

3. Odredite skup re5enja jednadina,odnosno nejednadina: x*17 815

-65t03:407ll;x-l0llr*

l2l2r:343r. 15 lll-k>14999.

4. Ne izradunavajuii zbir, odreditebroj za koji se menja taj zbir u za-visnosti od promene sabiraka ako

uzmemo da je alb:c. Podvucitetadan odgovor.

(25 3s0+92)+ (s 787 -30): A

Odgovor: A:c-1122; A:c*62;A-c*92; A:c-30.

5. Udenici SaSa i Slavica su zamislilipo dva broja. Zbir brojeva koje jezamislio SaSa je .r, a razlika brojevakoje je zamislila Slavica je y.Akojedan od sabiraka zbira kojejezamislio SaSa umanjimo, a drugipovedamo za 358, dobije se zbir32845.Ako umanjenik i umanjilac razlikebrojeva koje je zamislrla Slavicapovedamo za 777, dobije se razlika985.

a) Koliki je zbir brojeva koje jezamislio SaSa? b) Kolika je razlikabrojeva koje je zamislila Slavica?

radiCitos! u nastavnim planovima i progra-

i 4-2:56"27'.38".2. Tri prave sijeku

se u jednoj tadki(sl. l).Ako je {l:1050i d 3:300, izra-Cunaj ugove:

+2, 44, <5 i<6.

izradunaj ove uglove.

4. Koliki ugao zak-lapaju simetraledva naporedna ug-la? ObrazloLi.

5. Konstrui5i tadke

st. I

3. Ako ie od dva ugla s okomitim kra-cima-jedan ve6i od drugog za 35",

s/oc

.sr.2koje su od pravih

p iq (s1.2) udaljene

Po15mm.

6. Data je dui AB u ravni t. Nacrtaj

skup tadaka 5:{x I x€rc i d(A, x):dU,B)\. Da li je to konveksan

skup i za5to? NaPisati skuP I kojimoiamo dodati skupu S, da skuP

SUf bude konveksan? Napisati

skup SU1. Koja je to figura?

?. Date su Prave P i q i tadka 0'

Konstruisi kruZnicu sa centrom u

O i poluprednikom r:2cm, a

zatim tangente kruZnice koje su

paralelne s PravomP itangentekruZnice koje su okomite na pravu q'

E. Ako je ABllCD, izradunaj ugao

I (sl. a).

\.----P---.' ----\'q B

oOst. 3 sl. 4

Varijanta IlSKUP CELIH BROJEVA(SABIRANJE I ODUZIMANJE).CENTRALNA SIMETRIJA

l. Za a:-12, b:15, c:-8, /:10izradunajte brojnu vrednosl izraza: :

a) a-(b-c*dl, b) a-b4c1 d),

c) a-b-c*d.2. Za x:-9, y:7 izra(unajte brojnuvrednost izraza:

a) l5-lxl-/; b) lYl-r*28.3. Kako 6e se Promeniti razlika a-b

(a, b€Z) ako se umanjeniku doda

-75, a umanjiocu doda +49?

4. Ako se od razlike nepoznatog uma-

nienika i umanjioca-458

oduzme

z-bir brojeva -l 428 i 653, dobije

se broj I 000. Odredite nepoznati

sl. 5

umanjenik.

5. a) Re5ite jednadinu:

-5- t7-(- l4 re)l + {18-t-5--(12+x)l );:42'b) odrediie vrednost Promenl.iive

x za koju izraz -28-(4-x-25)-t'+(-9) ima vrednost -12.6. Za date skuPove:

A:lxlxe Z* Axf 27(43),B:txlxeZ-, x-152-22J,C:{xlxeZ i 2 x*75:59\odredite: +A, +8, #(lur)'+(,4uc), +(AC\Bac).

7. Zatvorena potigonalna linija obcda

preslikana je centralnom simetri-iom u odnosu na taCku s. Neke tadke

ie fieure date su na sl. 5, a za neke

tadk; su date njihove slike. Odre-

dite sve tadke Polazne figure i sve

taCke preslikane figure i nacrtajte

te figure;

do 3 "0,oC1

ill



Z AD ACIZA PROVERAVANJE STECENNG ZNANJA IZ MATEMATIKE

VI RAZRED

Z AD ACIZA PROVERAVANJE STECEI\OG ZNANJA IZ MATEMATITE

VII RAZRED

Varijanta IDECIMALNI BROJEVI

1. Napi5i nekoliko rje5enja nejed-nadine

a) I <x<1,099;b)

-3>x>-3,003.2. Jedan m3 vazduhaje teZak 1,293 kp.

Kolika je teZina vazduha u sobidugoj l5m, Sirokoj 7,5m i vi-sokoj 4,2 m?

3. Koliko puta se obrne todak obima2,25 m na putu dugom I 305 m?

4. Izradunaj:(1,5.20-3,2.0,5 +4,2. 80). I t0.

5. Brzina nekog broda je 2O morskihmilja na sat. Koliko kilometaraprelazi brod za 7,5 sati ako se znada I morska milja iznosi 1,852 km?

6. Neki automobil potroii 133 I ben-zina. Koliko je kilometara pre-Sao ako na l0O km tro5i 9,5 Ibenzina?

7. Uvjeri se da je o,i?j:;+.m

Napi5i razlomak - tako da jen

.. m ma)0,37:- i b)0,2857:-

nnako znal da je 0, ata2at

ara2...an:lo"J '

8. Cesta je duga I @2m. Sa objenjene strane nalazi se drvoreddija su stabla razmaknuta po22,75 m. Koliko stabala ima utom drvoredu?

9. Koliko je:

a) 1,2-(2,01:0,03 -4,3).0,1,: ;

"'t3'2-l'9 : .

"'rl:9'?: ,,

--- . !,o,lt o,i2

Varijanta IIOPERACIJE RACIONALNIMBROJEVIMA (MNOZENJE IDELJENJE). MNOGOUGAO1. IzraCunajte:

"r ((rs1,-',*)':)'*:'u, (+r fi-nofi)((.j(f--'

I \\' a\--

s I J'zsl-'2. Kako Ce se promeniti proizvod

dva racionalna broja ako se jedan3

dinilac poveca 3, nuta, a drugi

7smanji I

Eputa?

3. Autobus krene sa podetne stanicesa odredenim brojem putnika. Na

slededoj (prvoj) stanici izaAe L6

putnika, na drugoj se broj putnika3

poveA.a za-

broja preostalih put-

6nika, na trecoj izatle

7 nutnika koji

su stigli na tu staniCu, a na krajuu autobusu ostane 12 putnika. Ko-Iiko je u autobusu bilo putnikakadaje krenuo iz podetne stanice?

4. Odredite skup re5enja jednadine,odnosno nejednadine:

u (:+4'(-*):*'

" + (;'+)--'*5. Kod merenja uglova

petouglado-bijene su sledede mere uglova:

a.: 137", 9: 127", y: l3l o, 8: 167",

9: 110'. DokaZite da je pri merenjuuglova udinjena gre5ka.

Varijanta IKOORDINATNI SISTEM.STEPENI

l. Zadane su tri tadke: A(-1,-l),B(4,0) i c(2,2).

a) Nacrtaj u koordinatnom sistemutrougao ABC. b) Izradunaj obim

tog trougla. c) Provjeri da li jetrougao ABC pravougli,

2. Napravi kompoziciju funkciia gof,

a zatim nacrtaj graf te funkcijeako je

a) I@):x-t, g(1):x2' xQ.Rl

b) .f(x): /i, ee):44 r€R.3. U bazen utjede 5 hl vode na sat.

Izrazi jednaCinom koliCinu vode

u bazenu kao funkciju Proteklogvremena ako je: a) na podetku ba-zen bio prazan; b) na podetku bilou bazenu 2l hl vode.U oba sludaja nacrtaj grafove do-bijenih funkcija.

4.Rad koji

izwSi maSina zavisi odsavladane sile i pretlenog puta.a) lzrazi izvr$eni rad (y) u zavisnostiod preclenog puta (x) pri savladi-vanju sile od 25 kp.b\ Izrazi izvrleni rad (y) u zavis-nosti od sile (.x) na putu od 2 m.Odgovaraju6e grafove predstavi ukoordinatnom sistemu.

5. Izradunaj:

1111a\

---r---:.*'

o,l (-o,l)'z'(o,l)r (-o,l)'

L' 2.5r (-l)r-(-5)ru, ly :'

G.3T6. Na<li wijednosti izraza

a) 4x'-5x2y2+2f za x:-1,y :2ib) 5 as b! -2 a2 ti2 + abt za ab2 :-1 b- -3.

Varijanta IIRAZLOMLJENI RACIONALNIIZF.AZI. KVADRIRANJE IKORENOVANJE. LINEARNAFUNKCIJAl. Dati razlomljeni racionalni alge-

barski izraz dovedite na jednostav-

niji oblik, a zatim izradunajte broj-nu vrednost loga izraza za x: -5:

2+2 x xz-l6-3 a' 4-x2 '

2. Izw5ite naznadene operacije:

l2a+l 2a-l\ 6a-3I ___ t-_\za-t 2a+t) 4a

3. Uprostite racionalni algebarski izraz:

l(a+b)'-4ab /d\-'\' a1

1 "z-at-\b-'l )'ozy-6"

ab4. Rastavite izraz

---na dva dini-

baoca, takoda zbir tih dinilacabude

abjednak -. +-.

ba5. Oclredite skup l:{x,y} ako je:/ I \2

': (t-Z/ , y: 136.100.8I.

6. Pokazati da je: a) /ts+/50:33:s /T; 0 2 /s4:3 Vt6.

7. Date su funkcije:/(x):11 I, g(.r):3: -x-3, h(x):7 x, p(x):x*2.

Izralunati xp xz, x! i x. tako davaLi:, f (x,) : g (x,\, f (x): h (xzl,e k ) : h (x ), s (x,) : p (x,).Postoji li vrednost x za koju bivaLilo f(x):p(x)'l

8. Odredite nepoznati dlan proporcijea) 4:(x-2):2:1,5;3

b) 0,2:-:2,5:,(2a*3).4

\

J

\I

tt2 ll3



ZADACIZA PROVERAVAI\JE STECENOC ZNANJA IZ MATIiMATTKE

VIII RAZRED

Varijanta IHOMOTETIJA I SLIENOST

l. Tadke P i Q su polovi5ta stranaBC i CD konveksnog detvorouglaABCD. Prave p(A,P) i p(A,Q) dijeledul BD na 3 podudarne duZi. Do-kazati

daje

RP:PQ- OS,gde

su tadke R i Ssjeci5ta prave p(P, Q)s pravama p(A,B) i p(A,D).

2. Konstruisati sliku duii AB za ho-motetiju s centrom O(0€lB) i ko-

Ieficijentom k:-;.1C

S. U trouglu ,aAC \t(sl. 1) je p(A,D) \ \simetrala ugla kod ^\ \UA. IzraEunaj: J\ na) d(A,D); \/ \b)d(ri,c) i ffic) d(8, D), akoje d(B,c):4. sl' I

4. Koliko je visok tvornidki dimnjakako je njegova sjena dugadka 28 m,a u istom trenutku Stap duZinel,5m baca sjenu dugadku l,2m?

5. Od pravouglogtro-uela ABC (sl. 2),drje su stranice15,20 i 25m, odre-zan je kvadratADEF, Izradunajobim preostalihtrouglova.

6. Powline dva slidna trougla su 36cm2 i 25 cm2. Izradunaj obim sva-kog od njih ako je razlika njiho-vih obima 24 cm.

7. Povr$ina jednog od dva slidna tro-ugla je 25cm2. Izradunaj povrlinudrugog ako se zbir obima ovihtrouglova prema njihovoj razliciodnosi kao ll:1.

c

A DBsr. 2

Varijanta IISISTEM DVE LINEARNE JEDNA-EINA SA DVE PROMENLJIVE.OSNOVNI GEOMETRIJSKI OBLICI

1. Pogodnom metodom resite sistemjednadina:

x+y y-x n ^xly x-y2 _ 4 :_a/\ 4__ 2 _

-1,5:0.2. Odredite skup re3enja sistema jed-

nadina: 3x-y:61t12y n3(y--2):3(xf 1)-10.

3. Odredite

l(a, b)l - a - b :3) n {(4, b | 2a + 2b :: -6).

4. Odredite realne brojeve a i D takoda grafiku funkcije y:ax*b, x€Rpripadaju tadke: m (-l-2) ; n(-2, l).

5. Kod ureclenog para brojeva prvakomponenta je za3manja od druge.Tri puta uveiana druga komponenta

je za 9 manja od detiri puta uv€daneprve. Odredite komponente urede-<lenog para.

6. Srednja linija trapeza je 7,5 cm, ajedna njegova osnovica je dva putamanja od druge. Kolike su osnovice?

7. Siraku5ki kralj Heron je od mate-matidara Arhimeda zalraZio da

odredi koliko ima zlata, a kolikosrebra u njegovoj kruni, te5koj 20

funti. Arhimed, po5to je potopiokrunu u vodu, utvrdioje daje krunau vodi izgubila Sesnaesti deo svojeteiine; a kada je, posle toga, po-

topio u vodu komad distog zlata,utvrdio je da je ovaj izgubio detiri

sedamnaestine svoje teZine, dok jekomad srebra, potopljen u vodu,izgubilo dve dvadesctjcdnine svoje

teZinc. Koliko jc bilo zlata, a kolikosrebra u kruni?

ll4ll5

MATEI\{ATI,ITIKA TN(MIIqEBA

3AAAIU CA nOKPAJIIHCKOTTAKM}TTIEBA YTIEH}IKA OCHOBIIE

IIIKOJIE CAII BOJBOAI4ITE

oApriaf,or 19. uaia 1979. ro4ne

VII PA3PEA

l. llrpawr X n Y rrpajy cae,qehy urpy. llrpaq X nlronopr uern 6poj rs

cxyna A:ll,2,3,4, 5,6, 7)- 3arurvr rrpa'r f noroaopaararofe_xern-6poj xr cryna

,l lr ca6epi ra ca 6pojev x6jnje uperxoaxo fi3roBopno urpar X..{o6ujexou e64pJ

rrpar X,uoaaje uern 6poj ri cxyaa A, nrl. Ilobe.qrdr je onaj mpaq xojn uprr go6nje

s6rp 80. Kaxo rpe6a aa f,rpa urpar I na 6u o6es6e,ryo uo6e.uy?

2. OApeAsrtr xajuarrn trprpo,untr 6poj rojr trpr reJbeby ca' 2 rcie ocrararl, npu generry ca 3 gaje ocrarar 2, rpu gererry ca 4 xaie ocrara( 3 rr upr aerbenyca 5 ,qaje ocrarax 4.

3. Aar je uonrxona P('):4xarx3:!8xz*r*4. tf (X t t tfil )a) Pacraaurx norrxoM P(x) sa fr-onleoa ABa [oJxnlroMa Apyror creuera. I U( t6) florararn Aa je BpeAuocr trorrrnoMa P_(x) rrewnra ca2ga 6rno xoje f rftTfl

BpeAHOCrr{ rrpoMeHJbrBe x n3 cryqa nplrpoAHnx 6pojera. ':J

4. Aro @ rr3 Ma roje rarre m Aare Kpyxte lnrmje cnycrr xopM,ula Ha upeq-

nur [a6] y raqxy n, oHEa je [mnlz:fanl '[rD]. Aoxagarx.

5. KBaapar crpaHlue 3 cm pa:perau Ha aeroBe oa rojlx ce Mory cacra-

Bnrr{ ABa Kga.qpara c noBplurruaMa 5cm2 n4cmz. flpnra:arn qprexoM r o6par-JIO)ICIITIT.

VIII PA3PEA

l. Aara je cne4eha ra6e.na:

''

V ra6eny nocraBr{T!{ xoopauuarur cncreM, TaKo Aa My noqeraK 6y.qe 6poj I n aajeaHojocxnpunaaajybpojenn...,,l(),19,6,l,2,ll,28,..',aApyroj6pojeax...,46,23,8, 1,4, 15,34, ... Kojn bpojestr ce H:ula3e Ha cnMerpann npBor xBaA-

4paxra? Hauncarn re bpojese y onttrTeM o6anxy. Koje cy roopAxnare 6poja 290?

I

.4344454,647484950

.422t222324252651

.4120 7 8 9tO27

.,lO19 6 I 2ll 28

.3918 5 4 31229'3817 161514t330 : '-37363s3+333231



2. CBaKE upocr 6poj nehs o,u 2 uoxe ce trpe,Ecragrrs na jeAan r cavo je-

AnH Hatrxrr xao pa3Jmra roa.upara lra upEpogga 6poja. Aoxasarlr.

3. 3a xorrro rpe6a ylrarrnra 6poj 100 Ea 6u c.e trprr AerE€riy roror 6poja6rno ca 5, 6rno ca 7 Ao6uo ocrarar I n aa je rrelrorrryHu ueno6pojxr roJrrrlrlrtrpr AeJDersy ca 5 sa.qBa sehx Hero npr '[eJbelby ca 7.

4. Curuerpara [paBor yrna y rpoyrny AeJru xrrnorexy3y y o4nocy m i n.

,{oxasarn Aa noAnoxje BtrcrHe AeJrI{ xntoreny3y y o,axocy m2 : n2.

5. Hera cy c x p ABe uap:rneJrue paarn, uelyco6xo yaanene 12 cm. V paarrn

d. Aare cy rarrKe a fl c, a y parnr p raqxe b n d. Onqarla yrao xojn lpaBa rpo3 Ta-qxe c rr dgaraana ca paBHIr c, aKo rrpaBa rpo3 T!u(e ay b saxnana ca paBux cr yraooA 30o, a labl*Icdl:48 cm.

Peuerre 3eAarsKa

VII PA3PEA

l. llrpav lrvroxe Aa rrpa ral(o Aa yB€r< no6efyje. Axo nrpar Xn:roropn 6poj4, r{rpaq Y he pehn 6poj 8-c, na he yaex, nomro o6a nrpava xaa6epy no je4an 6poj,g6np 6nru,AerbnB ca 8. IIpe nocnearber ropara urpatd' X rbxp he 6nrn 72. Kojxroa 6poj ca4a u:a6epe onaj nrpav, gpyrr he Ao6njenn t6trp gonynnru raqno Aa 80.

2. Hera je r TpaxeHI{ 6poj. Ilpeva ycroBy 3a.uarKa BrAxMo aa he 6poj .r*l6nrnxajuarn 6poj xoju jeAerns ca2,ca3,ca4 n ca 5, rj.r*lje najuarrxoajegxnvrr caApxarrau za 2,3, 4 n 5, a ro je 6poj 60. Aarne, rpaxeHr 6poj je 59.

3. a) P (x) : 4(xt * 2x2 * l) t x2 -f x : {{az } l)z { x(xz t 1) : (xz * I )[ (xz * I ) *{xl:(xz}l) (4xztx*4).

b) ut'r(r):+ (a+ a? xzll)lx3*x slrAur{o ,fa he spealrocr P(.r) 6urn ae-JbHBa ca 2 axoje s6np x3*x napar,jepje 4(x+l2xztl) AerbHBo ca 2 ra crarn npx-

poaan 6poj x. Axoje.r rapag 6poj, raaaje ctenex x3 raxoSe napag, naje speAHocrP(x), gbnp rprr napHa 6poja, raxo[e napna. Aro je x uenapau 6poj, raaa je x xrHenapaH, naje x3ax napan 6poj (r6np 4aa HenapHa 6pojaje napas 6poj), a caMrMnru je r BpeAHocr noJrrHoMa P(.r) napna, 3a cBaxlr np[rpoAaH 6poj x,

4. Hexa je m npouraonHa raqKa xpyra tr z no.quoxje HopMzlrle Koxcrpyncaue

rr3 raqKe n Ha upeqnrK labl (ctr. l). Vrao Haa np€qilI{Kor'r je npaa, na je iamb:9O"n pyx faml je noprvraana ua labl. Cauulr rrlM, orrrrpl{ yrJroBlt 4man u 4bmnjeAsarn cy Kao yrnoBx c:I HopManHI{M KpawMa. ,{,axle, nparoyrnn rpoyrnoBHamn n bmn crrnqHrr cy. 36or' rora je !anl:Imnl:Imnl:1nb1, oAHocHo lmnlz::lanl .lnbl, rnro ce rr rBpqulto.

/

/C;it.2

ll6tl?

5. Ksa,upat rpe6a parperarr rao rr9 j-e nptKa3ago sa cn' 2' JeAax Aeo

ie *"anp.i c"pirrUe 2 cm-n no"pur"*e 4 cmz. b,q npeocrannx ner Aenosa, quja je

i;fi*'""-dtittoJ..t, Ha{rHI{heMo rABapar' xao ulro je npnxalaxo sa cl' 3'

VTII PA3PEA

l. Ha cuuetpaan npDor KBaApaHra HaJra3e ce 6pojean: ?t 25,,49,^" " t1t

*"am"* ri*p""i Opo.i.io. Onu:rn o6nnr onnx 6pojesa je Qn|l)z' sp."J^17

Mox;Mo Harrrrcarn xao l72tl. flpertra pe,qocneay ymlcxBarba BrrAtlMo Aa Je oBaJ

il;tt;;" ti jesuo Mecro Aecuo oa 6pop 112:oiH@Ho sa je'quo wecro Aeqro Ao

cr{Merpdro npBor roaApa;a. Karo je-l?:2.8*1, xoop.qrHare 6poja 290 6nhe

(e,8).

2. tlornaro je Aa ce cBarB npocr 6poj rehqoa 3 uoxe rpeacraBlIrl{ y_ o6nnxy

6k+l iI*-6k-f , iep nptr .uer.e*i ca 6,'npocr-6!-oj

uoxe AqTt{ ofTlraT. I run 5'

llera ie o:6krt. Tana r*roieruo iraruciTlrl p:9iz+sk+t-9k2-(3k+l)?- .(3+)1'exa je p:6ls*1. Tana

trpna3rBarba je.qllrqrB€Ir.

Hexalep:66+1. raAa MoxeMo Halrl(:.rr: P:'e-TvLT'-'D--\Jft t"t;fi..iv iii^ t" i:o*:i, "t"^no,

p:<ipz-91s2 | 6k-r:(3k)2+-9-!:-!)l-:id;t'; i)iz'-fz,tsnu3i Aa ce csain npocl 6.poj-nehr 9a

2 y-o1e 11y-xcaurao naajrrxa rBa.rrDara rBa y3acromla trpl{poArla 6poja. ,{oraraheuo Aa Je oBaJ rraqxH

' i."cto*" rylrpoa;a 6poja' ,{orasaheuo Aa je osaj xaqrnrao pasJlrKa rBalpaTa ABa

trDf,xa3rBarba Je.qgrrcrB€rr. flpernocraanr.ao Aa ce Herul-lpocr 6noj. t1lo5e nn^rrarf13e Herur npocr 6poj Moxe npr{Ka3arf,

oo.uxa 6ooia: o:&*n)2-kz, rAe ie#.T"'ffi i#;;;; ;;- ;;t;;;;" -

up"pon"a 6piia: p : (k^r1)l -k2,

t rc ieI-*t "-1 i^-s--fii -;;;; ;;';h"- o"oa

-6nilro.uo6r.nn p : k2 r2k n * n2 - k2 :a>1. Axo 6n oro 6rrro ruoryhe, ox,qa M p:k2+2kn+n2-k2:

6poj. Taxo aona3rMo Ao&,n*nz:nQJc*n). ulo 6n gnarmno Aa ie p clroxex 6poj' Ta(o aona3lMo ao

dfo.i"peq"oirr, r6ja nomp[yje Aa je rope npma3a'o trpeAcraBr'alse rpocrrlx

6pojeaa je.uEcrBeno.

3. Ilpervra ycJroBy je 100-x:5/c*l:72*1,-oaarure je 5&:7n' Kaxo je k::r+2,';;;;-ii:ii:t t n:5, ua je 100-x:36, oAaxne ie x:&'

4. Heraje s raxxa y rojoj crMerpaJla

ry3B9r

yrna oene xrnorexy-3y-' a ra'

xa d je "om,ilj" ,*oojrrr.ri"i """ane(cn.4). flo-nperrocraBul{ je [bs] : [csl::;;;: rr"ii.iip raqKa y xojoj cnr"rerpaaa ar oeqe np-qBy rpo.3 D, Hopuanrv ra

-;;"l"rf'T;;yr";"bi jl npaiovr-'m ieaxaxo*gaxn n lbpl:lab1 Karo. cv npaae

ac u bp napaflemre, tp"onio""' bpi-i- acs-6nhe

crtrtxl' na ie lbpl:Iacl:- [6sl : [cs]. il6or [6pl:[obl s3ra3r Aa Je labl i lacl:6 2 n'



Ilpauoyrnr rpoyrnoBn abd n acd cnr.rnf, cy cir rpoyrnou abc, jep ca r$rMxrr.rajy :ajegunrrr no je4aH orlrap yrao. lls cnnqxocrn rpoyrnoBa abd u abc rr3ra3rr

rc ie labl:Ibdl:Ibcl:labl, na ie lbft:#. CanqHo ,rr3 rpoyrnoBa acd u abc

ro6rjaMo lacl:lcdl=lbcl:[ac], na je: n^:W. flpeva rorvre: [6d]:[cdl:

[ablz [aclz:- __-:-. oAHocHo, nocle cxpahrBarba ca [6cl lobnjarao: lbdl:lcdl:lbcl lbcl '

-Iab1z : [ac]2. 11oru""o, na oqrooy jeanaKocrr labl:[acl:,ll-211 jelbdl:lcd):a2inz,rlTo ce

'lTBpA[no.

5. Yrao rrruely npase ab rr paBHH a je yrao bam, rae je m noanoxje HopM:urerr3 rayxe D na panaH a (cr 5). flo npernocrasun je 4bam:30', na je 4amb:60o.Kaxo je, raro[e no npernocraBllr,lbml:12 cm, ro je !abl:24 cm. Aar6e, r13 Aa-ror ycnoBa labl+Icdl:48cm, so6njavo Aa je n !cdl:2qcm. Hopruara [dnlHa paBau c, s6or rraprureJrlocrl paBHx c u p, nua ryxnrry 12 cm, na je rpoyraocdn nopyaapau rpoyrny abm. 36or rora je rpaxenn yrao nsue[y npaw cd rr paBrrnd. rj. 4dcn,je4nax yrny bam, oanoctro 4dcn:30'.

NAGRADNI ZADATAK BR 66

Tri kocke mogu se samo na dva naiina postaviti jedna do druge tako da svakaod njih ima bar po jednu zajednitku stranu sa nekom drugom od njih (sl, I i sl.2).

Na koliko se na|ina mogu postaviti 4 kocke jedna do druge tako da svakaod njih imq bar po jednu zajedniiku stranu so nekom drugom od ijih? (Sva reienjaprikazati slikama.)

sr. I st. I

.Za tlino-rescnic

ovog zadatka bidc nag'atlcno matcmatiekim knjigama ili priborom za pisanj€20/n onih koji po5alju takva relenja. Izbor nagra<lenih bide izvrscn tre5oln,

- ReSenja poslati na adr€su: MatcmatiCki list, p, p. ll00l Bcoerad. Na samom radu obavcznotrcba napsati ime i prezime, rared, odeljenje, ime Skcle i postu (sa postmkim brcjem). Na kovsrtu(omotu) naaaciti: Naeradni zadatak b;. 59. R€Senje posliti naliasiilc do 20. 3. 1i80.'g.

Mole sc Citaoci da iz svakc Skolc Salju rcsenja samo oni uleaici kodi su zadatk€ rciili samostalno.

NAPOMENA

- U prgSlom brdu na5eg lista, u rubrici ,,Konkrusni zadaci.., na str. 90, g u

redy f2 (od dole), umesto brota 604, pogre3no le odltamyan broi 5604. io lepraktilno onemogrdilo litaoce do rc3avalu ova, zsdatsk, pa 6e se zato rcsenia ovograda;tk^ primati sve do 30. 3. E0.

Izvinlovamo se Eitaocima zbog ulinienog lropustt.

ll8

3AAAIIIIOAAEPAHI4 3AAAIII4

Osr raaaun rpc6a g.a BaM cnyxc aa Bcx6y s trpnnpcMa*c3a MaTCMaTXVKa rarMf,qeba, xao n 3a prq y NauevMwxol cex4lJu'

Olaopaas 3a,qaur Hf,cy rcuKn x Moxc aa Hx peun caaxr yvcxnr xojnpcaoiro nparx HacraBy MaTcMATHKc y uKonf,. 3aaarrc tpc6a cauo'cTanHo aa peuHTe, a HaaclcHrt pe3ynrarf, u ynyTcTDa ncra BaM cnyxc:a xorrpony. 3a yrerurc xoju umy peuewa Konrypctux - 3agoaako

npcnopyrnxto jc-la nperxolso peue Ogaapane sagamK.' jcp cy oBs

airui'or roHrypcH[x, na otaj pa.q npeacraEta ropf,cao yrcx6aaa*c'

A) 3a yuenuxe IV u V PasPega

' 145. Moxe nn 6poj 7 488 6urn npoussoA (npoayxr) ABa y3acrorlua npu-

poAHa 6poja?

1446. Konuro nocrojn nerouuopenux (nerornavenracrxx) npIIpoAHIIx

6pojesa vnjr je gbnp (cyrraa) qnOapa (lnarvrenru) 3?

1447, oapeta qr$py (rnarr'reHKy) jeArrHnua y npon3Bo'qy (npoayxry) ue-

napxru( npupoAlrrx 6pojera Malbnx oA 20.

144E. Aare cy rprr HexonsHeapne raqKe (rovxe). Komro ce nap:uenorpaMa

MOry HaUpTarrr TaKo ,4a cy IIM TeMeHa AaTe Ta{Ke?

1449. Konnra je ayxirna (ayDnxa) .uyxu (ayxuxe), aKo je I6eHa qerBprrHa

3a 8 dm Kpaha oa IseHe nonoBuHe?

Bl 3a yueauxe V u VI pasPego

1450. Konsxo EMa HetrapHr{x tipojena Marbf,x oA 1000 KOjf, ce MOry IIoAeJItrTI{ca 9 6e3 ocrar(a?

1451. Konnxo je n(A) axo je :{:{(x,/)lxEry' r<7}, rae je r ayroxa(,uyrnna) crpaur{qe rsagpara n y noapiuffia (momurna) Ircror KBa,qpara?

Hanrrrrn cge elet{exTe cKyIIa A.

1452. Ka,qa je ayrouo6rurucra npenao qerBprf,Fy tryra f, jom 30 km' oc-

TaJro My je .qa npef)e jom no;1oaugy IIerIor IIyTa u jom 4 km. Korn6a je .ryxmxa

[qarusa) tryra Koju rpe6a Aa uPele?

C) 3a yuenuxe VI u VII Pc,tPega

1453. VpesErE, dAyhu oA xajvaner xa najneheu, QOoi€ne-[l lAl r lCl aroje A:l-31-4+t, a:(-5)-(+3)+(2) -23 v c:-(42-8)+(32+6).

1454. Aoramr! .ua nocrojt trprpoAan 6poj rojr je Aerun ca 1980' a rlpBf,x

Aecer [nibapa(rrarvreKu) ey

uy123456789O.

1455. Crrvrerp:ure yrnoBa (ryresa) Ko,q reMexa (ppxora) I n I pou6orna

ABCD ne;rre crpasrtry CD na rpu Aera. OApeAf,TE rryxrury (ryrruxy) cBaKor Aerra'

aro sy crpa.EurrB poMfutrAa: CB:63,5 cm n lD:39'5 cm.

u9



D) 3a yqenuxe VII u VIII pazpega

1456. I,Irpauynarrr BpeAHocr x3pa3a:

(l)I i--rllr 5 I / 3\21 / 5\ 3 |A:11-2+T-;.(-

. I l,(-*/-, I -].(-3r+ts.

1 7-'J1457. Ha npaaoj (npanrry) p cy ravre A, B n C, rarBe Aa je AB:2,5 cm u

BC:6 cm. V raqxn I xoxcrpyncana je uopuara (ororr.rsqa) AM ryxy.ue (.qynune)

2 cm, a y raqrrr C, ca ucre crpaHe,r(oHcrpyr{caHa je

xopua:Ia C,lV .uyxnxe 7,5 cm.,{oxasarx aa je rpoyrao MBN npasoyran (npanoxyrnn).

1458. Aara je rpyxnuua ca rreHrpoM O r norynpeurnrou (nonyvjepov) y.

3arruje xoncrpyrcanojoru 5 rpyxnnqa ca rIeHTpoM O, a norynpevHrx csaxe creaeher(pyxHr{qe aa I cm je gyxn(Iynu) o.q nonynpeqHnxa nperxoAHe. 36np ayxnsa (rbpojgyurua) cBxx Marrlrx nyroBa, xoje xa rr{M xpyxHHuava ciaceuajy xpaun saje4unu-ror rleHrpanHor yrna (ryra) oa 60', jeAgax je o6uvy (oncery) xpyra ruja je noBpliln-na (nnounrxa) 25rcm2. Koruxu je norynpernnx ; Hajnrarre oA rlrecr Aarfix Ko-qeHTpxlrHsx xpyxltuqa ?

E) 3a yuenuxe.YIII pagpega

1459. O.{pe.ulrnr y xojnrvr ce raqxaMa cery rpar[rur 0ygxqnja:7:lx*l I ny:l -r l+t.

14d0. Peunrrr jeAna,rrxe: a) (/ x-t1z:l; Q /1va1z:3; s)|x- I l:3'

1,161. Ase Kpyrcilrqe .q/xf,na troryrrpeqrutr(a (.qyJb[Ha norryr'rjepa) I r 4 ,uo-mpyjy ce cnona (nerana) y ratrKn A. Hexa gajeanrqxa raHrerrra t oBIo( xpyruil{qaAoAf,pyje npBy xpyxomrqr y raqK[ B, a Apyry rcpyxrillry y rarrx[ C. Oape.qurn ue-Dyco6ry yAaJL€Eocr raqaxa I n C r y6t*lr,ocr i,4 rarxe I oA raurexTe t

F) 3a Y"enwe csux PasPega

. 1462. Kormro he roAtsa sajeauo nuarr Eua u Era nocne 10 rogga, aro cynpe 7 roAgsa wane 3 roAgne?

1{63. Aejax xeJrf, Aa rynr 7 caeraxa (rexa), iurl My negocraje ra{ro roJlnroEOBaqa xoJruf,o 6r ruy upeocrano xaAa 6r xymro 5 csegara. Moxe nr ox xyllrn 6cDe3ara?

1481. V je,qrorvt pa3peAy 40 yqenuxa cy paAErrE no rpf, nf,cMega 3aAarKa.

Hrxo rnje go6no oqery Marry oA 3 n cnaro je ao6no no rpf, pa3Jrnynre oqexe.JeAar yrenrr je upnueruo Aa y pa3peAy nlua najuane 7 yrermxa xojr nuajy cre

f,cre orrege, a Alryrf, je perao,qa je rarBgx yqesma ratrxo 8. Kojr o.q oga ABa yrreslfiastrra upaso?

' 3a,qerre 1462 s, 146.3 aoc[ao je E. Cn'sh, EacraBmr us B. flouosx[a

t20

Pery:rrarn oAa6pamx rsAartKt t44S - 1464

1445. He voxe. Lffi. 14. lWl. 5. l4!lt,. 3 naprurenorpaMa. 1#l9. 24 dm.

1450.55. t451. n(A):$, A:{(l,l), (2,4),'(3,9), (4,16), (5,25) (6,36)}. 1452. l28km.1453. lA l< lCl < lBl. 1454. yoyfrcfrao.' Ilocuarparu Hu3 oa 1980 6pojera,

o,q rojn je npsr 1234567890, spyrt 12345678901234567890, xrq. 1455.24cm,

l5,5cm s,24cnt. 14fi. A:-1 . M57. Vfryncilao: Vrnp.unrn Aa y rpoyrrry3

MBN gg:m, fluraropnra reopeMa. 1458. r:2,5 cm. 1459. (0, l).\

1450. a) :::4; 6) r n) r:4 srr, x:-2. t461. BC:4, hA:+. 142.3? roama.

l{63. Moxe. l&. flprln y{ensx je y npary.

REZI'LTATI KONXRUSA ZA NAGRADNI ZADATAK BR.6d'

[R e 5 e n j e z a d,a t k a.] - Na sl. l, 2, 3, 4 i 5 prikazano je nekoliko resenjapostavljenog zadatkp,.

rl lllllltat ltt

st. 4. st. 5

U prcdvidenom roku stigloje ukupno 1228 re$enja' cd kojih.su 620 bila taloa

i potpuna. U vezi s tim nagradeno ukupno ll4 reSavalaca.

Splsdr nrgrallenih rclrvslaca videti ne str. ltl.

st. r sl. 2 st. 3

.7.Ndaitay jc dostavio Miodnt VasiljkoviC, I*baoc

t2t



KONKI,JRSM ZADACI

Ovi zadaci su mamcnjcni prvcnstv€no za samostalnirad onih udenika koji rc u vcdoj mcri intgrcsuju za matcma-tiku. Relcnje svakog adatka bidc objavlieno sa potpisomonog rc$avaoca koji budc prvi poslao sasvim tadno i najboljcobraztor€no rcIcnje u toku proih 20 dana po izlasku lista.

'Imcna onih reSavalaca koji poSalju bar 5 pravilnihrclcnja konkursnih adatak. biCc objavljcna uvck polto sod njih primc po ukupno 5 takvih rclcnja. Sem toga de u posl€d-njem broju lista za ovu Skolsku godinu biti posbno objavljenaimcna najboljih reSavalaca, ze kojc su ptcdvidene novdancnairradc.

Rclavajtc postavljcnc zadatkc i Saljitc ih u sto vedcmbroj! Materctitkom listu, Rcs.vaoci mogu poslati redakciji

rc3cnja mo onih zadataka koji su predvidcni za njihov tqzredi za utenike svlh rmeda. Zadatkc rcsavajte smostalno, ne tra&dipomod ni od koga. Slikc crtajtc prcciao, a rcl€nja pilitc obrazlo-,cno i aitko. Nl jcdnom listu papira treba napisti sa iste stmnc:

:;:ili'.9"i:i?:i"Ts3*:ti,fr :;t\;:#x1,tr:?;:,n'."::?,i

rclcnja, kao i rclcnja bcz ot'.ror"nilj{al?fli:#{#";i#!'oao:rii:":^o{&i3i'fi?}i""":#1,1Sva rclenja koja laljctc istovrcmcno stavitc u jcdan kovcrat i posalitc ih na adresu redakcijc

sr naznakom,,Konkursni adaci", lVo poledini kov*ta navcditc svojc imc, Skolu i razed. Re5enja zada-a.la iz ovog broja lista t.cba poslati najkasnijc do 30.3. 1980. g.

A) Za uEenikc IV i Y rareda

592. Brat i sestra idu u istu Skolu. Brat u peti razred, a sestra u treCi. Bratod kude do Skole stigne za 20 minuta, a seitra za 30 minuta. Zr koliko vremena iebrat stiii sestru ako ona pode od.&ude u Skolu 5 minuta prije njega?

593. Koje znnmenke (cifre) treba staviti umjesto navedenih slova da bi bilaispravna jednakost

a 595-4b 2*.l cO6:416d2

594. Duljina (duZina) pravokutnika (pravougaonika) je 8 cm, a Sirina mu je2 cm. Koliki je opseg (obim) kvadrata dija je povr5ina jednaka pow5ini ovog pravo-

kutnika?

B) Za utenike V i VI razreda

595. Udenikjekupioknjigu,dveteke(sveske)i olovku i za sve platio I'10dir:o;ru. 7a, knjigu je platio 60 dinara viSe nego za ob€ teke, a za olovku 120 dinaramanje nego za knjigu i obe teke zajedno. Kolikoje platio za knjigu, kolikoza teku itoliko za olovku?

596. Jedna duZina (duZ) podijeljena je trima todkama na 4 nejednaka dijela.Rastojanje srediSta unutraSnjih dijelova je 6 cm, a rastojanje sredista krajnjih dije-lova je l6cm. Kolika je duljina (duiina) duZine (duZi)?

Cl Zauienike

VI i WIrazreda

597. Ako je rr prirodan broj ve.ti od l, dokazati daizraz

brojnu vrijednost.

t22

l0z+8

-

ima cjelo-

598. U pravokutnom trokutu (pravouglom trouglu) .,{.BC konstruirana je kru-Znica diji je dijametar (prednik) kateta AC. Ova kruZnica sijeEe hipotenuzu BC utodki E Tangenta kruZnice koja prolazi todkom E sijeCe stranicu z{8 u toCki D. Do-kazati da je trokut EBN istokraCan (iednakokrak).

D) Za utenike VII i Wn tazrcdd

599. U kvadrati6ima tablice 3 x 3 napisano je 9 prirodnih brojeva, tako da se

dobio magidni kvadrat, tj. tako da su zbrojovi (zbirovi) brojeva u svakom stupcu,svakom retku (vrsti) i na svakoj dijagonali jednaki sa z. Dokazati da je z djeljivo sa 3.

6tffi. Pravokutni trokut (pravougli trougao) ABC hrn hipotenuzu AB:1 m.Nad katetom AC, kao dijametrom (pretnikom), konstruiran je polukrug, koji sijeCe

hipotenuzu u todki D. Ako je AD:36 qn, kolika je plo5tina (povr5ina) trokuta ABC?

E) Za uEenike VIII razreda

601. Odrediti sva cjelobrojna rjeSenja jednadZbe: xtl3y-5x-12:0.602. V pravokutnom trokutu (pravouglom trougtu) todke E i Fsu polovista

(sredi5ta) kateta. Dokazati da kruZnica dijametra (prednika) EF prolazi noZi5tem(podnoZjem) hipotenuzine visine.

F) Za utenike svih razrcda

603. Delifrirati mnoienje: GNA.GA

livs'

.GNU .GAUS

Jednakim slovima odgovaraju jednake mamenke (cifre), a razlilitim slovima odgo-varaju razlidite znamenke. Nadi sva rjelenja.

6{14. Izvjestan broj od l0 listova hartije isjeCen je na l0 dijelova, zatim ie oddobijenih listova isjeku joI neki na l0 dijelova, itd. Na koncu je Zoran prebrojao lis-tove hartije i na5ao da ih ima 1980. Dokazati da je Zoran pogrijeSio u brojanju.

PEIUEBA KOHKTyFCIil{X 3AAATAKA STlt -59tt3 MATEMATIqKOr JrnCTA rfl% 3

A) Za utmike M Y razretu

SiD. C,VAoce A i B frpegctuaeufru Bewcuu guja-ilnuo*r axo je l:{rlr€(C\D) utu r€(D\C)}, A::{tlxgC u xQD}. C u D cy ua xoju cxynocu. Koia

og Sopuyta ACB, BCA, A:B je fravru?Hs aarrx noaaraKa nporrsrna3x aa je l:(CUD'\\(CnD) n B:C\D, iao ruro je xa qprexy nprKa3auo,ta je r.avao BCA. Cr. I

MquJa CfroJawetrt, yq. Vz p. OII! ,,8. Kapar,mh.., Hur23



3810. Bucwa 6pga je 126 m, a eucuua gpeefra y ,$eio6oM togtoxJy Je ll m.

fiyatcuna ceune gpsefra je 3 m. Kotuxa je gyxuaa cenre 6pga?

Pasr'repa ,Eyxf,Ha cenre 6p.ua tr cerrKe ,uppera je.qaara je parrvrepu Brcrrne6paa n Btrcf,He ApBera, flomro je rncnra 6paa 9 nyra reha oA Bucrure rpB€ra,ro je .n .uyxf,Ha cenre 6pga 9 uyra seha o.q AyrKuHe cerrKe.qpBera. ,{yxnna cen-re 6pga je 27 m' h6an Mapunxocuh, yz. IV, p. oItr ,,8. JeBTtrh.., KycaAar

581. Moxe ru ce Aonpenafru iexaausauog 9 tyilwnwa axo je ilpau cilpeitym coMo cdgeqenuM u gpytuLr, gpyiu cano upaua q frpekuu,itag., u gesewu caMo ca ocwuM u upauu? IIpu-noilcumu 4pnenc u ga&u oFjauneae.

Hexa. xa uprrJroxeHoM uprexy KpyroBrrnpeacraarajy 3ynqaHrrxe, 6pojem o.q I .qo 9peAocneA 3ynqaHtrKa, a cTpen[qe cMep KpeTar6acBaKor 3ynqaflu(a. noruro je renapax 6poj gy-

nqarrura xojr cy cnpenryrx oxaKo xaro je roy 3aAaTKy peqeHo, oBaJ MexaHriltaM ce He Moxeror(perarrr. To ce n ca uprexa rugu, jep crpe-nxlle r(peTarfa flpBor lt AeDeTor 3ylqaEnra aMa-

Jy cyupoTHe cMepoDe,

Cotu Epua, ys. V p. Om ,,4. flpaBn1a", 3penarmB) Za utenike V i VI razreda

552. y jegtoj ilocaacfruttaprur4t uaa ogpefien 6poj cfroaoaa. Hexu cfrioaoeuuaajy fro 3 nole, a nexu fro 4 wie. 3a cnaKuv cfrorroM cy fra+Ho uo 4 cnom4eu cae oae uMaiy ilo 4 uoie, Cee ctuonu4e uuajy njegao 112 rciy, a cou cfriotoeuuaajy 25 ttoiy. Koauxo uMa cfrortoaa ca fro 3 ,oie, a KoltuKo ca lo 4 noie?

Axo 6r cBs crorroBr EM:urrr tro 4 rore, ra4a 6n oHR f,Mrurf, yKynHoll2:.4-28 nory. Karo je 6poj Eory 3a 3 vanr, To t crora nrrrajy no 3 nore,a cronoBa ca ucr 4 Hore rrMa (35-9):4:4.

Hueec'IIeanQuh, ys. V". p. OItr ,,8. Ha3op", Ifornuhas5E3. Iloapwurm (fraowtuuna) jegnoi xcagpana u3Hocu 9 cm2 u 9 AyAa je

Matut og iiospmune gpyioi Kaagpana. V xojoj pasMepu (pawepy) je o6ua b (ofrcei)aehel xoagpawa WeMa o6uay uatel Keagpatua?

Crpaxrua neher xaa4para 6nhe 3 uyra seha oA crpaHrrqe Marser KBaAparana je rnxora paitMepa 3:1, a o6rur ce oAlroce xao crpaurqe, na je rpaxenapa3Mepa o6unra 3:1.

Epegpai Mapxoauh, ys. % p. OUI ,,J flouoanh"; H. CaA

C) 3a yuenuxe YI a VII paspega

584. ,$ywxo ie oaauoI

ayrce worbule qne xafie u goilyuuo je ntexon, ao-

frpauueuu 6etty xafiy. llailau je onAao

IAe wolbuge u fronoao je goilyHuo ilreKort,.

-3Ia Aocrre frota uouuo je ; ,aorbule u jow jegnon je gofrynuo ilreKort. Hajzag je

2,ofiuo coe u3 ruorbutlp. Veia je ,\yuxo suue froiuo: xaSe wtu atexa?

r24

Cl.2

.flyuro je uomo ry'y norbuqy qp'e xaaDe, a Mnera je nonro (+.+.+)

nrorb'rre,ronnojeAocrnao yrprM,u@. Kaxo je +.+.+:1, uuasr sa je

,{ymo norrro EJmy [Iorbrrlry Mnexa, yupaBo xoJnrxo x upxe xa$e.

lopgata Eeaacuh, ys. VIr p. OE ,,B. IIaP. EMuIt", Jlorpar

StS. frafr ie upoyiao (apoxyw) ABC u pegor't cpeguutua. (iloaoeuwilia) E'F u G neiobux iapaauqa AB, AC u U;f;" ,*tn1f (eancxe) cwpaHe Epovin

aosyqeile cy gynca (wacune) U*:;ufX:-;, Eoxo ga ie EMIAB u

FNLAC. floxazafraga

le GM:GN.Cpepa runnja FG rpoyrna (cn. 3) napaaerura je

s jeAgaia nonosf,fii crpanntle AB, a cppw twry,ia EG

uabanenna je u je.urraxa-norlortrEn crpasxrle ,!C.,-{aro je

,ryx EM je,ugara trorroBf,xr crpaf,Eqe AB, ro ie EM:FG.Crrnqro ji .ryx FIV je.urrara norroBf,Hl crpanrqe AC, na ieGE:FIi. Vinonr Bffi n CFG jensars cy, iep nrrajy ua'paJrelse Kpaxe, a s6or rora cy je,uaxr f, yDIoBE GEM nbfL, xojn cy sa 90o sehf,. Ilpeua roue, rpoyrnoar GEMs. GFN cy troryAapm jep ntrajy je,ryaxe tro Ape crpanxqer :annahem yrao. 36or IbExoB€ troAyAapllocrg jeluaxe cy u

W'g, GM n Gff, mro ce f, TBPAEJTo.

Bepury Mruoieeuh, yq VIr P. OIU ,,8.

D) 3a Yvenure YII u VIII PasPega

586. Ha ca. 4 uaryEaw ie I iegwxux ,tpyrosa, aaKo ga 6 aeocenvenux

xpyioaa gogupyjy ceg$u, yrr'ympaurbu Kpyi, u ga cur<u gogupyie i gea cycegaa xpyn'Oceaqeau xpyi 6ez Krtusot& ce Koifrprw y iegnox c$epy oKo fleocetreuux Kpyiosa.

Konuxo odptuaia tavutu oeaj xpyi goK ileocenuene ,tpyiooeo6uje jegaailyE?

Ilpenarehrrr uoroxaja I y uoloxaj 2, ocertennKpyr ce rorpJDa Eo aefly rpyra 4, roJEJe Ha cJmIIn 03-

naseg Ae6Jboru nnrujorvr. Osaj rco upeAcraBJEa rpehngyo6nua rpyra a (o.ryosapa My qenrp.utrilI yrao og 120').

Aa 6r ns uoroxaja 2 srwao y uonoxaj 3, ocextexrrpyr he oe xorpJbarf, tro Kpyry 6, o6pryrmx ce no'EoBo 3a 120". ,{or uonoBo crmrte y nortetnn nolIo.xaj, oceRreru npyr he c€ Eecr uyra o6pnyrs 3ajerury rpehnry caor o6nua, Aarne, o6psyhe ce Tatl-

UO ABA IIYTA.

Eumana Mapxoeuh, yq. VIII' p. OIU ,,C. fleneruh-Kpqyg", Ilovexoauna

#1. V jegnaxoxpaxon (uctuoxpaqilon) apaaety guiaiotwra d:l6cm u xpax

c:l2cm saxnattojy ilpae yiao (xya). Ogpeguau gyx'ue (gynune) ocnoeuup u trosptuuuy (ttowfuuny) tupa'

Aqa. Xrnorerysa l.B nparoyraor rpoyrta ABC6nja ce [pI{MeHoM flnraropxxe reopeve (cl.

la- 1/tazanz:20cu.

Cr.3,{yrouearb", floraxa

Ao-5):

t25



flpaaoyrrm rpoyrao BCFclwro'nie rpoynry ABC,iep onu rpoyrnoan ruajyrajegxrvxn ourrap yrao roa reMeHa.B. Kopucrehra oBy cJlrrqHocr nrpa'ryraheuoCF n BF. Hajupe, ns BC : CF:AB: lC, oaxocHo us 12 : CF:2O: 16, aobujat"ro

48 __ 36CF:'-cm. 3arru, xa trcrrEarInH, n3 BC:BF:AB:BC, lo6ujatvroBF:-cm.-55

Crparmv CD ,uo6rjarrao nz; CD:AB-2BF:2O-?:f . to"o*oHa rpane-

I I / 28\ ,18 3072n je P:-(AB+CD)-CF:U (zo+ ,-j. ,

:2s "

,.

fuiuctac Heuuh, Yq' VIL p' OH ,,4. Jepronnh", T. Yxrqe

E) 3a YT enuxe VIII PatPega5t8. 3a xoje epegnocmu x, y u z u3pa3 2x2+4y2+322-20x-36y-l8z-1157

utm najnany apegnocfu?

Aarn x3pa3 MoxeMo Halrlrc:trr y cneaeheu o6nuxy:

2 x2 14y2 *3zz -2O x - 36y - l8 z t 157 :2 xz - 2O x * 50 * 4yz - 36y *81 *322 - l8z *+27 -l : 2(xz -t0x *25) +(4 y2 - 36 y * 8l) *3(zz - 6 z *9) - I :2 (x - 5)z ! (2 y

-9)z*3(z-3)z-1. flpra rpn ca6xpxa He Mory nuraA 6nrrr EeraruBlu4 a najuarse rrr-xoBe Blrerorocrtr cy Hyne. ,{arx rspas lva najuarry BpeAHocr

-l,.axoje x-5:

9

--O,2y-9:O n z-3:O, rj. sa x:5, Y:- x z:3.

Ifafuawa Cuauh, ys. V[I, p. OE ,,C. Crulpnuh", B. flouorsh58!1. Ilpaautaa qedinopoctapaHa frupaMuga SABCD, uuia je 6asa ABCD,

aonofrJwrm je y sory, fraxo ga joj je epx S uog eogou, 6ouna ueuup (6pug) SA ieje eepfriuxanra (oxonuwa), a merve (epx) C 6aseie frauno rm uospwuHu (pazuau)

soge. Pocfuojarbe AC ugnocu 6O cm, a geo usurye SA, rcoju ce ,m/ta?u u3saH 6oge,

auoca 36cm. Ilzpauynafuu, rcpacrceily y tuupurrta. saupcMu+y (eotynen) uupaJiluge.

V nparoymonr rpoyrny ACM lara ie xfirroreuy3a

AC t xarera AM (cn.6), na je CM:/QICF1M),::zlE cm. OsHaslMo ca s 6ovry RBruy rr npuMeHrMo

flrraropsry reopelrry Ha rpoyrao Q ul$ 1 sz - (s - 36)z ::482. Orasae je s:50cm. Cata ns rpaBoyrnorrpoyna ,SOC nsparyxaMo BrcnHy tmpav.uAe: H:: /V@@z :y' nz -nz:n cm. flonpmury P xna-gnra ABCD MoxeMo r3paqynarr nouohy gnjaronane

llAC: P:

r(AC>2:-.002:l80Ocm2.Crora je san-

llIteMf,Ha lrnpaMs.qe: Y:- P. H :-. 1800'4:24 000 663, smr 24 nnrpa.-23

?qau Cfianxosuh, yc. Utrr P. OE ,'B. Kapaulh", tpprja

F) 3a yuenuxe caux paspega

59O. Epatnu ilapoau flecuuh, Jepoouh u Hewult na<rtu,turtu cy ce y cnPe-retau.oy. Vxyuno cy uttarru I AaO uoiogaxa. Myeceeu cy 6uau 6onu u unatu cy 604

uoiowxa- Jepouuh (Myja) unao je ucuu 6poj uoiogaKa Kao u ,.'ciosa trcaua. ,Qecuuh( faocgpu) unao je jegan u uo uyua suue uoiogana og ceoje tceae, a Heuuh ( Mutran)

t26

uuao le gca ilyfra euwe Aobgato og ceole xerc. Og *era Aru<a lc 6urc ulfutuu ca lO froiogaKa aofieguaa Bugy, xoja je Eiaxofie m lO fioiogaxa Eodeguaa CIotty.Ogpegufru KorruKo cy uilaru froiogaKa Eouneauuno u xo je xone uyttc, ogwrcr.o xewr.

Xene cy nMarre yryrrso l00O -604, rj. 396 noroAaxa. Tpehmv o,[ Tora oc-

raapura je Bnaa, ro je 132 nororra. Anxa nua l0 noro.qaxa Bxrrre, Tj. 142, a Cnoual0 noro.qara uarre, rj. 122. Caxa rnje rernKo yrBp,urm m je Am uyx MuanHemnh, xoju je ocruapf,o ABa rlyra Bnme noroAaxa, a ro je 2E4, a Bxmr uyx jeIsorAex Aecmh n on je ocrBapgo jeaax n tro tryra Bame nonoagro oA BnAe, rnrorr3Hocn 198. Konarxo, Cnovnx uyxje Myja Jeporuh n ouje ocruapro 122 nororra,roJrf,Ko n Cnoua.

Sopup Poguh, W. V, p. OItr ,,A. PaAocasrl€Erh" Hapo{', Majyp

391. Ha crcBy yqecfreyjy 1979 yuenuxa , xoju roce pegou 6poieae: 1,2' . . .,1979. IIo utgafroj tapegfia caaKu og ,bux rtoxe c 6uao xojuu gpyiutt ga zaruewu rtectuo,unu ga ce ne fronepa. Moace au ce uocre gee Koilange gofiufru pasnelufrai: 1979, l,2, . . . ,19782 Axo je 6uao l98O yqecHuna, ga rru ce ilottce go6u&u palileufrai: 1980,

l, 2, ..., 197923a,uarax je uoryhe n3Bpllrrr[, Taro Irrro Ea npBy xoMaEIry 3aMese Megra

I u 1979,2 u 1978,3 n 1977,... r nrr. .{o6nja oe pacropeA o6pnyr troqerlroM:t979,1978,1977, . . . ,3,2, l. Ha gpyry xovar.ry 1979 ocraje na crolr Mecry, a ocrarlltce Mersajy cJrf,qno trpBrM 3aM€HaMa: 1978 n 1,1977 u 2, nr,q. Taxo ce,qo6rje rpa-xeur pa3Mernrajz 1979, l, t2, ..., 1978. floqynajyhn roroBo Ira f,crn Eatrrut, Mo-ryhe je r 1980 yrecnuxa pac[opeAnrr oxaro xaro oe rlta:rf, y 3a,qarry.

Epafrucme Beauuupoeuh, yc. VIII. p. OItr ,,9. otrroEap", Ilporryurc

NA,GRADENI SU SLEDECI RESAVAOCI NAGRADNOG ZA,DATKA BR.6'

fY rsed. Kne'evi6 Mitm. OS Df. Gtkovid(. Bcograd.l Prnriotovid Dcim, OS >D. Jak5id<,

Cuprija; Ruitelovid Deirn, OS DD. Jalc{id(, Cupija; Rrtkovi6 Neboi&, OS >S. C.olovid<. Ariljc.

V rezred. Biietid Llilirne. OS DJ. Voekid(. Brcko: Bo€rlMiriur,-OS rI. !,Zmai<, SOT; Boiwi4Snehnr, OS DD. Misovid<, Cadak; Bolievid SeSe, oS >V, Karadlid<<, Cuprija; Dspotovi6 lhlgu, oSDM.hanovid(, USde; Glogonirc Vqni. OS t'Bratstvo-Jedinstvo(, Alibunar: Ivofofi6liuiicr, OS

lr.Jovanorid-Zmij, nuira: Jeli6-trlilens, oS Dl. Gundulii<<, N. Sad; Jullov.Iru, OS >D. Jak!i4<, Cu-rug: Jovi6eviG Rrdovm, OS >M. Koljensic(, slap; KoIuin Srecko, OS >M. IwnoviC(, UIdc; Nulievliiimir, oS DI. L. Ribar(, sombor; Luti6 Jelici oS >1. Gundulid, N. Sad: Lr&id $vcrhar, o$ rscr-vo Mihaij<, Muzlja; Misenovi6 Slobodu, oS->S. Golubovid(, Batajnig; Mr5id Nltdiia OS DBEt3tvo--Jedinstvo(, Alibunar: Mitrovid Vladimir, OS >V. Karadtid(, Priboj; Omerikr Elrren'-OS ER. ProrGkovid(, Pridvorci; Pearovid Mirorhv, OS >17. oktobar(, Svctozarcvo; Popovid Zonn OS DR. Mitrovid(,Cadak; Steluovid Suzrne. OS >D. Jakiid<, Zajedar; Trdid !piq, OS DPrvi partizani<, Rabrovo;Toli6 Dmkr. OS >8, Kapelan<. Gudat Velikorid Aleksrndr, OS >2. Apostolovid(, T6tcnik;-Vidi6 Rrd-mih, OS >V. Karadlid<, Cupriia; Vleh Stllmr, OS DO. Pctroy(, Buanda; Zori6 Suzur, OS pM. Ko-sovac<, Sabac; Zorid Nikoh. OS uJ. B. Tito(, Eeograd.

VI rrztod. Andrid Milrdin, OS El. L. Ribar(, Kakanj; AniJ Duko, OS rB. Radicevidq. M.Zvornik; Bdi6 lvicr, OS >M. Ili;a(, Umag; Detewki Vhdimir, OS DlV. Knlj. bataljon(, Kralicvo;Dimitriievid Miliiur" OS nv. Stcpa<(, Kumodmz: Hrdlid Srmir, OS DI. L. Ribar<,Kakuj;JrokovidJuliirnr, OS >V. Dugosevic<. Poliana: Jovi6 Milenr, OS DK. Stamcnkovid(, Lcskovac; Jovid Milorrp.OS >S. Kamenica (. Draginje; Knerevi6 Drrgrn, OS DV. Dugoscvid(, B@g€d: Kod€-Mihn OS rZ.Zrcnjanin(. Kikinda; Lrzi6 Vhdo, OS DV. Pelagid(, Pclagidcvb; Igerdrid Svcilul' pS >V. Katadtid<.Stcpojevac; M.lbrli6 Sloboden. OS >P, Drap5in<, B. Pilanka; Mrdid Or{o, OS >M. Pijadc<, NTravnik; Milrnkovid Oliverr. OS >H. Pinki<, Futlog; Milivoievid Dng.!, OS >Korcnila<. Korcnita;Miloikovid Vanr. OS >8. Krsmanovid<<, Sikiri€: Milcrvlievi6 Zom' O-S rR. Trifuncvid<, Alcksan-drovic; Mikulm 2clikr. OS >G: Krkle<, Zagrcb; Mhd€Dori6 Biliur' OS >V. Karad2iC<, NiS: NilolidGoru, OS DR. Domanorid(, Vranjc; Ninkotie Nikite, OS Dv. Dugol€vid(, Ruma; Nitltovi6 Svcrlen+OS >S. Rankorid(, Arandelovac; Frirtie mile, OS "V. Pelagid", Pitagievo; P-emvi6 Shvicr, OS >S.

Milelid(, vrbas; Pearovid Alek$ndrr, OS DN. Matid(, T. Uzicc; Rrdovid lgor, OS >G. Dclccv<, Zcmun;Redulori6 Syeahnr. OS "M. Smilikovid<. Vinarce: Rereai6 Rcnrao, OS T. Pcrusko(, Pula; Sliepmvi{Snelenc, oS >J. vodkid<, Brtkoi Srnid Juminr, OS Dv. Karadzid", Cuprija: Yoilov Bolko, oS rB.Vrebalov(, Melenci3 Vuki€ Deien, OS >rB. Jankovid<<, Krcmna; Vul(mv Derto, OS >R. Domanovi6<t,

Bcograd; Zctrvi6 lVlerinko, OS DJ. J. Zmaj(, Panccyo; Ziird Aliiq OS EJ. VodkiC(. Brdko; ZhdpvitSeIe, OS )rK. Stamcnlovid<<, Leslorrc.

t27



VII rezcd. Alekei6 Rrdlcir, OS >2. oktobar<, Lukidcvo; Bibcrovid Indir* OS DS. MrrkoviC('Sjenica; Bhlevi6 Nrtata, OS DB. Radiaevid(, Bujanovac; Cvetid Dregen. OS DLj. Maksid(, Bioska;Cvietitenin-Vselkr, OS DJ. Popovid(, lnttija; Cvorcvid Vwlinke, OS )25 maj(, Savnikt Dreeutinovi6Snelma, OS >>J. Cvijid<, Debrc; Drmidrnin Svetluel OS >S. Markovid<<, Koviljc; Durid l)r4rn, OS>I,Sumadijski odred<, D. Satorna; GliEwid Liubilr, OS >7 sekrctara skoja(, Boglad; Jovuovid,Salr,OS >S, Markovid(, Kragujevac; Jovrnovi6 Vmr, OS >V. Karadiii<, Bor; Xneleyi6 Redoven, OS >Lj.$aksii<, Bicka; (oiovid Goran' OS nV. V. Savid<, Lazarevac; Kovi6 Jelene, OS DM. Kosovac<<,Sabac; Lozrnid Dragrn, OS >8. Vlebalov(, Melenci; Meirtovid Mi5r, OS >S. Kerkovid(, Ljig; Mu-ratspehid Melibe, OS >rS. Valner-Cica<, Vitkovci; Ncii6 Milem, OS DB. Miljkovid<, NiS; ObirdovidBr_ati8lrv, OS D DB. Radidevidk, Smederevo; Popov Jmpinr, OS oB. Radido, Bavanistc; Popovid Merine,OS >S. RodiC(, Ban. Vel. Selo; Rrdiscvlievi6 Jrme. OS >8. RadiCevid<, Sedlare; Rigtid Nenrd, OS >Ka.radorde(, Topola; Seri6 Stevicr, OS DJ. Crijid(, Debrc; Strnkovid Grozdmr, OS >I. L. Ribar<, Grdelica;Stuoikovid-Drrgu, OS >v. Mitrgvid(, Mirijero; Stevenovid Zor+ OS >V. Pelagid(, Zenica; StevicTltima, OS Dv. Karadtid(, Bor; Soblober Li-erk* OS >17 travanj<<, NaSie; Vledlnvlieyid Mrrko,OS DM. Mitroyid(, Bosatid; Vuioaevid Boro, OS DB. RadiCevi6(, Bujanovac; Zlotrg Emiss, OS >Bratstvo-

_Jcdinstvo(, Vitez,

VIIf med. Briid Delijc, OS >Bosutski odrcd(, Jamena; Boiovid Mirim., oS >M. Kosovac<<,Sabac; Bebid Zeliko, OS DN. Maakid(, Kljuc; JewiG Drrgrn, OS z. Pakljer<, Sakule; Xrtonr Martr,OS >KanjiZa<, Kanjita: Koatid Miriue, oS >S. Lazarevid<, Pril. Kisljak; Xoroovld Liiljur, OS DS.Sindelid<, V, Popovid; Ilntin Brrnkicr, OS >Karyila<, KanjiZa; Xnaid Yioleta, OS )V. Zivkovid(, Mi-nidevo; Leli6 Zorkr, OS >1. G, KovaCiC<, Borovo; Mrrkovi6 Rrde, OS )D. Tuccvii(, U2. lel;evica;Midi6 Stoik-r, OS >P. Lckovid<, U2. PoLegNl Milinovid $edclev, OS >D. Tucovid(, Jabudjc; Milivoievi6Dregicr, OS DKorcnita<, Korenita; P.yidevid Goricr, OS DEm. Ost)jid(, U. Potega; Petruc Gordur,oS >D. Pravica(, Zrenjanin| Rgii6 Duiicr, OS >M. Jovanovid<, Vrdin; Sinid Nrtch, OS >S. Sinttclid<.V. Popovid; Stwovid Liiliur, OS >Sutjeskaci Zemun.

Odgovori nr pitmp postavljena u ML IV, 2

Gde je udinjena gre5ka pri >xdokazivanju< da je kateta jednaka hipotcnuziuodava se kad se taCno izvr5i konstruktija simetrale ugla B i"simetrale AC u trougluABC.,

l. Podela moZe biti izvr5ena na dva nadina: prvo, da dvojica dobiju po 3

puna bureta, po I do pola puno bure i po 3 prazna bureta, a dajedan dobije I punobure,5 do pola punih buradi I prazno bure; i drugo, da dvojica dobiju po 2 puna

bureta, po 3 do pola puna bureta i po 2 prazna bureta, a da jedan dobije 3 puna bu-reta, I do pola puno bure i 3 prazna bureta.

2. Umesto netadne je_{nakosti t/llJ:.;l preme5tanj€m samo jedne Sibicedobija se taCna jednakost&r*ll'

=ll. Ako na stazi kojom ie kretao drugi Covek nije dolazilo do preticanjaizmedu njega i drugih koji su je prelazili, on je izbrojao isto onoliko prolaznika

koliko i prvi dovek.

4. Najpre je bilo dopu3teno tredoj ieni da izabere sebi komad po svojoj ielji;zatim je birala druga iena, za koju je posle izbora prve iene morao preostati bar je-dan od komada za kojeje tvrdila da vrede 60, odnosno62 dinara; a preostali komad je uzela treda Zena, kojaje tvrdila da su sva tri komadajednaki.

5. Pretpostavimo da je prilikom prvog prelivanjabilo preliveno n cml vina u sud sa vodom i da je pri-likom drugog prelivanja vraieno u prvi sud k cm!vina (k<n) i (n-k) cm3 vode. Onda je u drugom sudu

ostalo (rr-k) cm3 vina, Sto znadi da je posle toga biloisto onoliko vina u drugom sudu koliko vode u prvomsudu.

6. ReSenje zad^tk^ je predstavljeno na sl. l.

t28

st. I

SPISAK RESAVALACA KONKURSMH ZADATAKA IZ ML XIV, 1 I XIV,2

lV razred. Ivo6evi6 Devor. OS >J. f ovanovit-Zmaj<, Ruma 566-570; Milosavlievid Boian,()q 'll. R rclicivid<<, Sedlare 566-568i577,578 Prvlovid-Jrsmins, OS >7 sekr. SKOJA(, Beograd, 566-

5b8, 577,578: Patrovid Deisn, OS Dl3. oktobar<, Cuprija, 566-568, 577,578.

V razred. Andid Zoran, OS DD. Jerkovid(, T. UZice 566-570,577,578; Atrtonid Neven, OS r>J.

I'rnlit<' Bribir 553,556.566-570,577,578; Avgustinovid Zorica. OS >J. Jovanovid-Z-maj<' Sot 566'\ t ,,578 : Bsbid Nenad, O$ <V. VlahoviC>, Gradalag 566-570,577,578; BeBid Nihrd, OS >V. Vlahovii<(;,ir(|il('rc, sr'o,soz.Szo-SiZ,S78; Begovic SaSa. OS >V. Dugosevii<, Pozarevac.566,5-67,5-69,570,577:llkicki Draean. OS DJ-'poDovid(, Novi Sad 566,576,569,570,577,578; Boi[id-Rriko OS DC. Milosav-Ircvrd-, I'ccka 566-570,5i7,528: Boiov,i6 Sneiana, OS >Dr. D. Misovid<, Caaak 553-556'564'565'16r, 570, 577,578 : Brkovid NeboiSr, OS tR. Mitrovid(, Beograd 566,567,57O,577,578: Cankar Tatiana'()S DSpomenik NOB<, Cerkno 566,569,570,577,578; Crnomgrkovid Ahksrndar, t)B' Palkovljevii-Pinki<'Srcnrska Mitrovica 566,567,569,570 ,577 ,578i Cvetkovi6 Predrag, OS, t>D. JerkoviC<, T. -UZice 566-570'rll,5r8: Cvetkovte

-nii-"tltii'li,bS >B. Stankovid<, vuaje .553-555,566,569,5?01 Cviietid Sini5a,-OS

"v.x'iaoric,i.-prtu"i-iCd-iz-o-szr.iui Cetovie Dino. oS >V. Karadzic<. Priboj 566-570; Cirid

lirmka. oS >P. Tasic<- Lelnici 553-556,564: Ciri6 Mrrinr. OS >V. Karadzid<, Pirot 566-570;Curtin Milan. OS >D. iak5ii(. Perlez 566,569,57O,577'578t Cokeniec Deien, OS DDr. D. MisoviC(,('rt'rk 566.568,570,577.578: Cobo Azra OS DV. Vlahovid(, Gradaeac 566-569,570'578: Dikanovidviolcrr, OS "r. !. Zm;j<, Obrenovac 566.567,569,570,577,578; Dozet Snelene, O )tJj Popo-vii(, N.Srrrt 5r',6-570,577,578:-Dresevid Uros, OS >8. RadideviC<<, Bcograd 566,568-570,57]'578; Dordevi6llilirne, OS >V. Karad2ii<, Vranje 566,567,568,570,577,578; Dordevid Miodreg. OS >Karadorde<,lfcograd 566,567,569,570,577,5?8;Dudd Aleksrndrr, OS tB. RadideviC<, Beograd,566,567,5'1O,5?7,518;Durovid Marija, bS

"XaiaCorae,i,Beograd 566,568,570,5?,578; GeiidDeian.OS)'P'Tasid(, Lesnica

JJJ.556,564,655; Gaii6 Jesmina, OS->M. Kosovac<, Sabac 553,554,564,565,5!6,567; Gavrilori6l)rniicll, oS >P. Tasid(, Le5nica 553-55?,564,566-570,577,578; Golenin SaSa, OS >B. Radidevic<'Vrrnc{i 566,567,570,577,578: Goliovid Vera, OS >M. lvkovii<, UsCe 566,56!.570.577'578: Gordid()livcrr, oS >V. Kaiadzic<, Prib6j 566-5?b,57?,578; Gtupl mltemrtitrra, oS DA. savaii<. valjelo56(r, 5(17,569,570,577; Hediiefendid Hasen, OS >V. VlahoviC<<, Gradadac 553, 555,556,565.566,569r570:578; H;jilovi; M*i;; oS nV. vt.tronic... Cradadac, 566,569,570-,577,578i Hestnori6 Aida, oS>V. Karadlic<, Priboi, 556,567,569,5?0,5?7,5ib; Hrsanovid Beeo, oS >Bektiii(, sutje,ska, 553,555,{56,565,566,569,570,577,578: Frankovi6 Sandra. OS t'V. Nazor(, Podpiian 551'566'569'570.578:lirscla5cv Aleksandra, OS DJ. Popovii(, N. Sad,566--570,577,578, Ilid Dregen, OS >S' P. Krcun(.l'()tckovina,566,569,570,5?7.578; Ilid Slobodanka, OS >D. Popovid<, BeluIui. 553,556,566,569,570,177; llid Snetsna, oS )C. Milosevrievid<< Peck-a 566.567'57O,577'578: Ilid Snelana. OS )P' Tasii<'v. l.cinica. 553-556,557;565; Inki6 Samira, OS rV, Vlahovidr(, Crada-aac, 566,567,569.570'578: Iskidl.iilinna. OS DP. Tasii(, Lesnica, 553-556,564,565; Iskrid Seniie. OS >v' Vlahovid(, Cradaaac,1r'6,567.56s.570.577,578; I5liamovid lvena. OS D2l. Mai<, NiS, 566,567,570,577,578: lvenovid Milena'()S DV.

Kosovac", Sihac.- 554555,556.564.565;Ivkovid Tetirne. OS )'V. Dugosevii(, PoZarevac,

5/,(, 569. 578: tvosevid Liubica'OS >V. DugoEcvii<, Ruqa. 566-570,577,578; Janid Aleksandar,tlS "J. Pooovii<. N. Sad.566-570 577.578:JanidJesna. OS >V. Dusoievii<, Poljana,566,567'569'570.578:lsiidSlavica.OS>R-Mitrovid(.Cadak.566-570,5?7,578; Jele[a Anestazii. OS DJ. Popovic(N. sad, 566,567,56i.570,57-7,578: Jevtid Sania, OS DJ. Kostid((, Leskovac. 566,567,570.577'578-;

.tovrnovid Aleksandar. OS DI- PoDoviC<(. N. Sad 566.567.569,510,577.578: Jovrnovi6 Liubisav. OS

"l)rrilqovac(, B )jnik,'553,554,556,556,564,565; Jovanovi6 Merko, OS >M. Kosovac<, Sabac, 566-570'577,578; Jovanovid Sania, OS DJ. J. zmaj(, Beograd,566--570; Jovenovi6 Sini5a, OS >J. Popovii('N. Sad,566,567, 569,57O,577,578: Jovanovid Sunlica, OS >8. StankoviC<<, Vudje.553,556,557,564,566,5611,570,577.578; Jovi6 Milan, OS >R. Paviievii<<, B. Basta, 566,569,569.570,577,578:-Jovi6Vcsna, OS >2. Popovii(. Vladimirci. 553,556,565,569,567,57O,577,578i Xocid Dragan. OS >R.vukicevii<. Ni<, 566,567,570.577,578: Koci6 Sladane. OS >J. Popovid<, N. Sad,567.569,5?0,577.578;Xoruga Zeliko. OS >M. Kosovac<, Sabac. 553.556,557,564,565: Kosovid Meis. OS >J. Popovii<,N. s;d, 566,567,569,57o,577i Kosanin Sredko, oS DM. Ivanovid<, Usde, 566-570,577,578i Kovatevi6f)ragoliub. oS >P. Tasic(, LeSnica, 553,-556,564,565; Krstid Deian, oS >s. veljkovic

-Zelc<<,

Bojnik, 553,554,556,557.564,565; Xrsti.id Elyir. OS >V. Vlahovii(, Cradafac. 553-555,556-568,577,578: Kulagliia Sabaheta, OS DV. KaradZid<, Priboj, 566,567,569,570,5?7t ieki(evi6 Zoran. OS>V. Vlahovii<, Gradadac,553-555,566,569,570,578; Leten Tanja, OS DJ. Popovii<<. N. Sad, 566,567,569,510,577: Lazovid Ratko. OS )V. KaradZiC<, Priboj, 566,567,570,577,578; Likar Mratira. OSDspomenik NOB<, Cerkno,566,567,569,570,577,5f8; Luka! Sava, OS DJ. Popovii<(. N. Sad, 553.556,557,564, 566,-570,5J7,578: Luiaid Drasana, OS >J. Popovid(, N. Sad, 566,567,569..570,577,578;Malesev Radoslav. OS >J. Popcvii<, N. Sad,56S,56].57O,577,578i Malesevid Olca. OS >P. Tasii<,LeSnica,55l-557,564,565: Manoilovid Milan, OS >C. Milosavlievii<, Pecka, 554,556,565,567,578:

Marianovid Aleksandar, OS DKaradorde(, Beograd, 566,568,569,570,577,578; Moraok Goran, OSDJ. Povii((, N, Sad, 566,567,568,570,577,578.

(Spimk se nrstrvlj. u elededem broiu ML)

Matematicki list 1980 XIV 4

Documents

Transcript of Matematicki list 1980 XIV 4