Matematicki list 1974 IX 2

7/28/2019 Matematicki list 1974 IX 2

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1974-ix-2 1/18

()ll^\'1.:s I t.:N.l \ I'1il. I I't \ I \t. t\l \

l. LJredniitvo ltoziv:l tt:rsl:rrrlkt. r pr,,l, .,,r, rr,rt,,r, rr,l r I r.. r ,, r,t, ,r(:rlitt svoic nrilogc u:r lisf i-l:rrrL, ,r,l rlr, ,rr, ,,,l,rr. ..r.,r)cc JJ slllJtl \vojc pril()go za list: i-llrnkt, orl.rlrr.rrrr' .,.rrl.rtl, r,l rll,'t,,,t,,,,,r1,rti,,t,,,,

,lrrr,rl,'1

l,r,'r,,l"rrr

l,l, lr',ll(',, lrr

I l\ r l, \

ispita i maternatiikih taknriicnllr, r'lrlltc /:lr)rrjtr!()\tr 1,,,.., 11,,, 1,

(osirn uienidkih reienja zadataka) butlrr pis:lri pir;rtorn nr.r.rr,,rrcrteZi izradeni na posebnoj ivrstoj harti.ji. I{uLoprrr .\(' nr. \ r.ri .r tl

2- Matenatiiki /iJf nanlenjcn jc ,rrrlr ui.(,tt( utttt \ V lllikole. List izlazi 6 puta u toku Skolstc godinc, i to: l. X, I 5. \ I. I I, I 1 I I

Sk. 1969/70 god. (br. IV I-5),

Sk. 1970i 7l . sotl. (hr \' .) r I y. .,t,

(br. VI I 5), ik. 197217-l god. 1gp. y11 1 5) i \k t,)/ l i.t r,,,,t rt,,Od ovih godi(ta prodaju sc lll, lV, VI r Vll po srrizr.rroj r {.nr ,,,1

kontplct, godi\te V po ceni ()d 4 dinara i gotlrslt.\lll p,' rirr,,,t

2. Matematiika razonoda3. Odgovori na pitanj.i iz oro5log broja4. Nagradni zadatak br. .10 .

5. Obaveitenja prerplarnicima ..

3. Godi5nja pretplata (za svih 6 brojeva) iznosi 25 rlin:rrrr. N;rr1(r(x11.r /.rviSe od l0 komplcta odobravamo rabat (2O7;, l5ll;,, l0',,,), z;r'isrr,r .tl r.k;r rl,rkojeg se isplati celoktrpna prelp.lata (1. XII, l. IIl, l. Vl.y. Nik:rkvi tlr.rrrii orll,r, r

ne uva2avaju sc.

NarudZbine se -(alju na adresu lista, a novac nu iiro-r:ri'rrrr ,,Nl:rtr.nr:rlir lr.1ilista" broj 6080G678-1,1627. Pri tome trcba obavczno nlrvcsli ttt['trtt tttlrt ttt rr.r l.,r1rrlist treba dostaviti i jasno naznaiiti na ita sc n:rnrtlTbirr;r otlr)orrro rrpl.rt.r,,,lrr,,,r

Narudihine prinano i dfrektno prtko tclt.fitntt rr,tlttl,, t1t. /,r Ol I rr)t tr, \

4. Raspolaicnto kompietima lista iz ikolsk(. 1()(,1'i i(,,) 1,.o,t {l,r ilt I r

MA ll'[\4,,\ I lt l*. I

/\ t rt I I.tlh I I l',1'it t\ l'.ll

t\

l' ls'

,1,, ( )l I

5. Mofe se poverenici Llutenntit\kog listLr rlt rttttrr \,t

6. Svc pl iloge, prirneclbc i narudThc sl:rlr rrl, /7r

Matematii'ki list,p.p.

72t1, ll(X)l lk'o1'1;11;

!,ADl{lAi

tr . Dr. ,\4. llil Dalovic. Kako uveCati iii srlarr jiti ir)n()1,.()u1.r,,2. JJ,ttuxo k'oaaqte . KpurepHylru la riolHI]()e r uit ul)rp() r!lr!r( ,,1,()r.rrr r,,

7, ll u""rrlr lJ..."-\.'t/ladinrir Slojanovic" ReSavan.jc nekih zlitjatakit t)()r)l()(.u t,)rk.r rr.rrorrlrdijagrama

1. lJranka Dera.gimoyii: Il.ciavanje konstruktivnih zadatirk:i Lr l)ir)si()r li5, U.: Nalorostija oomocna srcdstva za radunanje6. Testovi za proveravan.jc znanja iz nratcmatike . . .. .

7. ir4atenratidka takmiienja (:i. R. iScsna i *-lerccgvvrnal3. Odabrani zadaci9. Konkursni zadaci .

0" Re5enja konkursnih zadataka 235-246 iz Matenrltiiliog lisl;r 1..," 1

l. Vi pitate-

mi odgovaramo '. . . . .

l,)/l t, 1,,',1

\ ilr I

t, ,lrr.rl ,

Iot-rt r.'

I' t: t ir:t:

'.tl rii r:

/, 1

()4

.l

1

I

I

I

t

I

lll I ll rltl" r I



SAVEZ DRUSTAVA MATEMATIEARA, FIZIEARA I ASTRONOMAJUGOSLAVIJE

MATEMATIEKI LIST

za uienike osnoyne Skole

God. rX, broj 2 (1974175)

Izlazi Sest puta godiinje

IZDAJE DRUSTVO MATEMATIEARA, FIZIEARA I ASTRONOMASR SRBIJE

Beograd, Knez Mihajlova 3S/IV, p. p. 7Zg.

Urednici:

Plaron Dimit (gl. ured.; i Miroslav Zivkovit (odg. ured.l

Redakcioni odbor:

Viinja Brkit-Devtit (Zagreb), Kosta Mijatovr: (Sarajevo)Bogumila Kolenko (Ljubljana), Veljko Z ivkovit (Titograd)Duiko Kovatev (Skopje), Yladimir Stojanovit (Beograd)

Sva prava umnoZavanja, preStampavanja i prevodenja zadriavaDruitvo matematidara, fizitara i astronoma SR Srbije

oslobodeno placanja poreza na promet na osnovu resenja Republid'kog sekretarijata

____ 1_!!:ru SR Srbije br. 413-18G03 od lt.l.1973. godine

Stampa: ,,Nova Prosvet",, -;;r;

Dr. M.

nranji cd datogputa veia (manja)

Ili6-Dajovi6 (Beograd)

KAKO UVECATI ILI SMANJITI MNOGOUGAO

2. Ako je dat kvadrat ABCD stranicc a (na primer, a,4cm),tada je lako konstruisati uvedani kvadrat stranice at 2a (tj. dr . 8 cm)

ili pak smanjeni kvadrat stranicc

a2: al2 (tj ar:2cm).Obe konstruk-cije mogu se izvesti na slededi nadin.

ProduZimo stranice AB i AD(sl. l) ina polupravulMprenesimo'duL ABr:2a, a na polupravu APdul ADr:2a. Ako sada iz Br po-vudemo polupravu BtSlAP,aiz D,polupravu DtT

il,AM, ove polupiave

se6i ie se u tadki C,; detvorougaoABtCtD, ima dva para paralelnih

stranica (Sto znadi da je to paralelo-gram), dve susedne stranice jednake

i prave uglove na stranicama l8ri ADt. Prema tome ABrCrD, je

dvaput veiom od stranice datogACt:2AC.

1. Svako zna da uve6ati dvaput sliku,na primer sliku Dubrovnika na razglednici,

znadi nadiniti novu sliku na kojoj 6e svakazgrada biti dvaput duZa i dvaput vi5a. Istotako. smanjiti deset puta geografsku kartu,na primer kartu puteva u na5oj zemlji, znalinai'rniti novu kartu na kojoj 6e rastojanjeizrncdLr. brlo koja dva mesta biti deset putanr.rrrjc. [)ri tome, uveiana slika mora da budepotpLuro slidna datoj slici, a smanjena kartapotpuno slidna datoj karti.

lsto tako, uveiati ili smanjiti dati kvad-;'rat znadi konstruisati kvadrat veii, odnosno

kradrata i takav da mu je stranica zadati brojod stranice datog kvadrata.

sl. r

traZeni kvaelrat, sh', stranicom a,

kvadrata; pritom ,je i dijagonala

N

T

33



r

Na si. 2 je ABr-ABl2, ADr-ADl2, BrEt AD,detvorougao AB.C.D. je tra7eni ]:tudrat, ,a siranico-manjon-r od stranice datos krrrtl rirrr IBCD: pri tome jc.4C. ACt2.

sl .1

st l

Za obe konstrukcije karakteristidno je to da se temena 8,, Ct, Dlve6eg kvadrata i temena 8,, C2, D, manjeg kvadrata nulu.. nupolupravama AM, AN, Ap Sto- polaze iz Gmena A kao centra iprolaze kroz po jedno od ostalih temena datog kvadrata.

3. Koristeii se ovim zapaianjima, na sr. 3 smo konstruisari pravo-ugaonik. AB.tCtD, dije su dimenzije a, ib, dvaput veie od odgovarajuiihdimenzija datog pravougaonika AtsCD (tj. ;, -, 2a, b,-ZU), ; piuuo-ugao.nik. AB)C.D,, dije su dimenzije a, i b..dvaput hanje od odgo-varajucih dimcnzrjl drrl,,! pr.;rrt)u!,rr.,nik:r tAC'O ii a. o'2. b. b-2\.

Pri tome su odgovarajudi uglovi na sl. 4

stranice paralelne.a odgovaraju6e

Za dva trougla, detvorougla i uopSte za dva mnogougla kojima

su odgovarajudi uglovi jednaki, a sve stranice jednog mnogougla su

u istom odnosu vede (ili manje) od odgovaraju6ih stranica drugog'

kaZemo da su sliini. Dva slidna mnogougla mogu se uvek postaviti

tako da su im odgovaraju6e stranice paralelne.

4. Mi smo jedno teme kvadrata i mnogougla birali za centar(to je tzv. centar perspektive) iz kojeg smo povlaiili pomo6ne polu-

prave na kojima ie se nalaziti temena traZenog kvadrata (traZenog

moogougla). Medutim, za takav centar mogli smo uzeti bilo koju drugu

tadku u-istoj ravni. Na sl. 6 je centar perspektive u preseku dija-

gonala datog kvadrala, a na sl. 7 je centar perspektive S van datog

ivadrata. Kvadrat AtBtCtD, s dvaput veiom stranicom od stranice

krrrtinrt,r .lBCD dobijc'n jc na sl. 6 na taj nadin, ito stt na prpdttTecintrt

D,F AB.a, dvaputd i.ias() nlr la

U, prvorir sl udaju kaZemo, takodc. d.i .1e pra'ougaonik ABCD uvedan uodnosu.(u razmeri) 2: i, a u drugonr slLrdaju dale smanjen u odnosu (urazmeri) I :2. ]'{a slidan naiin, na sl. 4 uveian je u odnosu 1,5: I (tj.3:2)i smanjen u odnosu I : 2 detvorougao peRS, a na sl. 5 uveian uodnosu 2: I i smanjen r.r odnosu l:1,5 ftj.Z:t) mnogougao peRST.

34

D.

t

st.6

dijagonala datog kvadrata odrcdcne tadke 1,, Bt, Ct, 1),' tako da 1e

Slr : SBr: SC,: SDt:2 Sl. Kvadrat AtBtCtDt s dvaput ve.conl stra-

nicom od stranice kvadrata ABCD, dobijen je na sl. 7 tako Sto je na po-

moinu polupravu SL preneta duZ Sr4, :25A, pa je zatim povudeno:

A,D,liAD, AtBrj AB i BtCtllBC.

ZadaciL Ako su dva trougla ABC i A,BtC, slidna, pokazati da ih moZemo

dovesti u takav poloZaj da imaju zajednidko leme A:=A,, oa B, leZi na polu-

pravoj Ab, a C, na polupravoj ,4c.

2. Polazeci od detvorougla PQRS na sl. 4, konstruisati slidan detvorougao

dvaput duZe stranice, ako je centar perspektive teme Q.

T1

35



.{yurro Konaqea (Cxonje)

KPI4TEPI,IYMI,I 3A AEJII,IBOCT HA NPI,IPOAHI,ITEEPOEBI,I CO 7, tl UJLV 13

l. Bo npoqecor Ha HacraBara no N,rareMaruKa Bo ocHoBHoroytrlrJll4rlrre, Hajvecro ce LI3yqyBaar [ocraI]KLITe 3a AeJ.rl,rBoct co 2,3,

4, 5, 6, 8, 9 n 10. flpaxrur{Ho Bo npoqecor Ha pa3Jrox(yBabe Ha6poennre Ha npocrr.r MHoxr,rer'r', o.{ u3yqeH,Te nocrar^r{, ce npl4Me-HyBaar caMo KpnTepuyMr.rre 3a ?qenr.raocr co 2, 3 u 5. Ce qyBcrByBanorpe6a, ua nexoj Har{HH Aa ce yrBpAar eAHocraBHr,r KplrTepilyMu3a AeJrr,rBocr 6apev co cJreAHHTe HeKoJrKy npocrr,r 6poeer.r. Ipegverua onaj uanuc *e 6uAe AelNnocr co 7, co il, o4nocuo co 13, ruroMoxe Aa 6rnAe npe.u,r,rer Ha BoHrrIKoJIcKr,I uln c,ro6oAHr,I aKTI4BHocrrcO yYeHItUuTe OA ocHoBHoTO yqHIHluTe, flor.tHyBajxr co yyeHuUHTe oIuJecTo oAAeneHr{e.

3aeAura,rruor Kpr,rrepuyM 3a AernBocr Ha 6poennre co J, I Iutru_ 13 Aone4yna Ao ncnr4ryBarbe Ha Ae,frnBocra ua rpuqraepeu 6pojco 7, co ll oguocHo co 13, rra 3aroa e HyxHo HalpeAAaceyrBp-Aar nocebnn r(purepr.ryMu 3a,AerrnBocr Ha rpr-rquQpeu Opoj co inov-Harlrre rpr.r npocru 6poja.

Axo a e qu$pa oA peAor ,,crorKu.,, D quQpa oA peAor ,,Ae-cerKu", a c quSpa of peAor ,,egr4Huqn.., Bo rro3nr-(rioHa Qopva rojce 3arrnrlyBa KaKo abc, (co qpra HaA HapeAeHure urOpr ce noKa-xyBa Aexa He ce pa6orr.r 3a [por.r3BoA Ha rpu onrura 6poja), a nonoJu.rHoMna Qopva xaxo l00a + lOb + c. Bo onoj uannc (e ce yno-rpebyna lr 3anncor l00a+ bi, so roj 6pojor bc npercranyBa ABoux-Speuuor 3aBpueroK Ha .qa,qeHrior rpurluspeu 6pbj.

3a n:neqynabe Ha r(puTepr,ryMuTe 3a AeJrr,rBocr Ha rpuqr.rQpe-uuor 6poj co 7, I I ynw 13 r(e ce cJlyxr.rMe co c,'reAHr.rre reopeMr.t:

T,- Axo cexoj o4 cobHpqure Bo AaAeH :6up e Aenr" co

ueroj 6poj, roraur n a6upor e AeJrr4B co roj bpoj.T, - Axo caMo e,qeH o4 cobnpour.rre Bo AaAeHr.{or r6tp He

e AeJ'nrB co Aa.qeu 6poj, (a ocraHaraTe co6upoqr ce AerHBl.r co roj

6poj), roraru r.r sbnpor He e AerHB co roj bpoj.l(axo noclegraqa (roporap) Ha oBHe reopeMr.l e:Kr

-Aro so AaAeH sbrlp oA ABa co6upoxa eAHilor oA Hr4B

e AenuB co AaAeH 6poj, :a Aa 6nAe u :6upor Ae,qrlB co roj 6pojnorpebHo, a r,r AoBo,qHo, e BTopr{or cobr.rpox Ia 6v1e .[enuB coLrcrnol' roj 6poj.

36

Onne reopeMu H rrocJleAlrqara ce no3Haru Ha yqeHnqttre oA

caMara HacraBa.

a\ abc: l00a+ac: 1eS + 2)a ) tc : I' lla+(bc + 2a).

Tr - TpHqa$peu 6poj e ,{enlln co 7, aro sbupor Ha HeroBl4or

,qsoqu$beH aanpureiox tt Asojuara BpeAHocr ua qnQpara Bo peAor

,,crorxn" e 6poj IrITo e Aerus co 7.

Ilpuruep 1. 903 + 03+2'9:21 (7 l2l) > 7 I 903;

817 + t7 +2' 8:33 (7 +33) ) 7 (8t7.

6);bc: l00c + bc:(99 r- l)c + bc:9 'lla r (bc t- a).

T4 - Tpr.IqnSpeu 6poj e AenI'IB co I l, aro r6upor Ha HeroBltor

asoqHopeH 3aBpuerol( I'I BpeAHOCra Ha r1r'rspara Bo peAor ,,crorxu"e 6poj ruro e AenI4B co I l.

Ilpnuep 2. 374 s 74+3:77 (ll | 77) .> ll | 374;

509 = 09+5:14 (ll (14) - ll'f 509.

n) abc- l00a +bc-(104- 4)a-bc => { 11 :t -t.t;*+,9t,[ 13.84-Aa-bc).

T, - Tpr.rqur$peu 6poj e AeJIhB co 13, axo pa3nl'Ixara Ha

HeroBrror 4noqr.r$peH 3aBpluerox H lerl4puKparHara BpeAHocr Ha

rlu$para Bo peAor ,,crorKll", (ouaa par:ruKa rltro nocrol'I Bo MHo-

xecrBoro npupoAHLI 6poenu), e 6poj Irrro e AenuB co 13.

(Bo nroplror cnyvaj ua onoj AoKa3 ce Kopl'rcreHn reopeMl4Te

3a AeJII,IBOCT Ha pa3nHKa, KO}I Ce I',lAeHTl4tl]llt co TeopeMnre 3a AeJIH-

Bocr Ha z6up T, T, u Kr).

Ilpuruep 3. 819:4'8-19:13 (13 I 13):13 l819;

3s6 : s6 - 4. 3 : 44 (t3 { 44) : B.r 3s6.

2. Ke uojaeMe oA $arror Aexa 7 '11'13: l00l' llrro 3HaqI4

Aexa 7 i 100 l, 1.1 I l00l n 13 ] 1001. I'Icro raxa (e ce Kopl'IcrrlMe H co

MoxHocra cexoj npupogen 6poj noroJleM oA tt'niaAa ,qa Moxe Aa

ce Hannlue xaKo: r:1000x*y, no xoj 6pojor / e Hanuuan co quS-pr,rre Bo K,rlacara ,,e4nHuq[" na 6pojor s, a bpojor x co qu{plrreoA ocraHarr4Te Kracu, oAHocHO peAOBI',I, na 6pojOr J, naIuyBaHH Bo

r4crr.ror pe.qocneA KaKo H ro 6pojor' 'r. Hnp.: 5 229 : 5 229 'l 000 +t322. (no onoj c,Tyvaj 1':323 a x-5229.1

37



Co npulrena Ha [o3Harn reopeMr,r ce Ao6r.rra:

s: 1000 x + y : 1000x+ 1x-x)+), :(1000x+x)_ x + y, rj.s: 1001_r +(y -x) vrrut s: l00lx _(x_y),

Bo 3aBr,rcHocr oA Toa, roja o4 pa3nr4KuTe y*x Hnla Jr_/ rrocror,rBo MHoxecrBoro npnpo4Hu 6poenu.

Tu- 3a Aa .qaAeHr{or 6poj e Aenr.rB co 7,ll utu 13, norpebHo

e,a v AoBonHo e, pa3nuKara novefy rpr,rqr.r$peHuor 3aBpmeroK HaAa.qeHlror,bpoj u 6pojor HarHrrraH co quspr.rre na ocranirure pe-

AoBLr Aa 6u,qe .Uefllrs co roj 6poj.

ffpuuep 4. a) 25 399 > 399-25:374 ..>(t\ 74+2.3:80 ( 7{s0) > 7{2s3ee;

.> \2) 74+3 :77 (tt 177) + ll 124399;(3) 74 * 4. 3 :62 (t3 { 62) } t3 ( 2s 39e.

6) 694 785 + 785-694:91:7 .13=+ 71694 785, lt(694i85 u t3l69a78j

n) 275 198 = 275 - 198:j7 :7 .tt=> 7 l2i s 198, l t l27 S t9B, t3 .{ 27 5 t9S.

Axo 6pojor e Hanr4uaH conose*e oA rxecr un$pn, nocranKarace roBTopyBa none(exparso c6 AoAer(a ua rpajor, no rpajua uepa,

ue ce 4obte rpaquQpen 6poj.

flpnnrep 5.a) 225322= 5225-322-:490i. > 907 _4:903=>

[r) 03+2.e:2t (7121) - 715225322;

= 1zl 03 + e : t2 (tt ( t2) + tt.f 5225322;[3) 4.9-03:33 (t3 {3tl - t3(s22s322.

B.ra,qnuup Crojauonnh (Eeorpal)

PEIIIABAISE HEKI4X 3AAATAKA IIOMOnyOJJIEP.BEHOBI4X AI4JAFPAMA

Aa 6u ce MouII't c,qI.{KoBI'ITo yoql'{Tn pa3nsr{HTl' oguocx uefy

cKynoBI{Ma, xopllcrllMo ce rpa$ll'txllu npeAcraBJbafbeM cl(ynoBa'

flojeauue 6pojHe cKynoBe' Kao cxyrl npupoAHl'rx 6pojena' cKyrl ue-

nui 6pojeni,-^rp,.,

MoxeMo npeAcraBI'ITl'I novohy bpojue noJlyoceuiru 6pojne oce. 3a rpa$uuxo [pegcraBJba]be cKynoBa BeoMa cy npax-

ruqHn r:;. Oitep-Beuoou gujalpauu.

Hexu Cxyn, *ottunut-unu

6ecxouaqaH, npeAcraB"'a ce noHaohy

paBHe nOBpIIIH' OrpaHHqeHe 3aTBopeI{o\1 KpltBO\1'rI}lHHJOlv{' KoJa

o6yxuaru cne e,reueHre cKyna. osa rrt,Bnttl !c rlil lllBlt oj.rcp-Bcuonttlt

gujarparvlotnl. OHa, cBllM I4JIII no1e-

Ar{HrIM cnojnt.r ratlxaMa, npeAcra-

BJba eJIeMeHTe cKyna. Ha crt. I

(rl

Kao Inro cy o3HarleHl'l

6) 74386312 > 74386_3t2 074 + 74-74:0 =(tl rl0 =>

=12)lll0+[:1 rrlo >

74

7

cxyna A:{1, 3, 5, 7, 9}. t{ecro

je xopr.tcuo grjarpave pa3nllqltrl4x

cxyrloBa o3Haqltrl'I pa3JIltqllTnM urpaSypat'la'

.qrjarpaN{I,I cxyroBa B u C ua cr' I'llo Aoronopy, KoHrypa gujarpava obyxnara cae eJIeMeHre

cKyna. Crora npa3aH cxyn o ' HeMa cBo1er AvJarpaMa''[a 6r.rcuo MOrJlr.r Aa peuaBaMo HeKe 3aAaTKe norraohy ojnep-

Benonux 4ujarpava, noAcet"heUo ce xaKo ce rpa$l.ruxu npe'craB,trajy

ynnja, lpecex H Pa3JIHKa cKY[oBa.

Yuuia Ana cxyna A n B npeAcraB,'ba cKyn cBHx eneM-eHara' KoJI't

nprnaAaji 6ap jeanor'r og cxynona- '4 w B' Ha c'r' 2 lryjarpau

yn'je"*y"o"u

i u n je Uela- ruparpupaua noBptx. flpurotu sajeA-

HHqKe eJIeMeHTe cxynona ,4 u B ypatyHaBaMccauo jegaHnyr'

Ilpecex rBa cKy[a M vr N je cxyn cuux rajeguErIKI'IX eleMe-

Hara oBa ABa cKyna (na cl. 3 npecex je upar[upan xna4paruhuua)'

Pasruxa ABa cKyna P u Q (nuruevto P\Q, a ql{raMo: P paz-

r.urca Q), je cxyu cBHx eJleMeuara, xojn upunauajy cxyny P, a ue

lll3

74 386 312;

74 386 312;

74 386 312.

3aaaqs--^ ^_1.

Vgyyr{ co xojr.r.o4 6,poenr.rre 7, ll ulu 13 e 4enra 6pojor: 730492:668 252; 4et3 2e3; s 747 423: 5+tts tzri ii s6i 3s8; lii ois siji-igt i-se zss.

2. Aoxaxu: rpuqu$pex 6po1 obc e AerrHB: a) co 7, axo e 2a+3b+c Ae-ruBo co.7; 6) co ll, aro e^.a+b-c nnu b_1a+") lennso co il; a)co 13,aroe 4a" 3b-c unu c-l4a+36) aennso co 13.

38

.l

39



npunalajy cKy\y Q (Ha cl. 4 cnernuja rupa@ypa). O6pnyro, e\p!?.,1i:111" illt" je crvn lojn caapxn caMo oHe er'reMeHre cxvna Q,KoJr He npnnaAaJy cryny p (ua c;r. 4 rauuuja rupa,ivna).

C,r. 2 C.ry. 3

yqeHr,rKa Iauajy ynucaHe HeAoBo,'bHe oueHe i43 eHrJIecKor jerrra u

MareMaruxe. flo rpu je4uHr'rr1e uMara cy 21'reuura'

OAronopuru sa cleAeha nl'Irarl,a: a) Koruxo je 6r'rno yqeHHKa

ca no3r,rrr4BHt{M ycnexov? b) Ko,ruxo je yvennxa [MaJro caMo no

ABe HeAoBoJbHe oueHe, rrto I43 eHrrlecKot- jerr'rxa u varelrarrlre?c) Kornxo je y'reuuxa llMano caMo no je4Hy He.qoBorbHy olreHy H

nr xojel npe4turera?

, Peuterue. OsHaquN{o ca E cryn cBHXyqeHlrra,

xojr'r uuajyne-

AoBoJbHy olreliy u3 eHUIecKor jerHra, ca ,F/ cxyn cBux yqeHuxa, xoju

ulrajy neroBoibHy olreHy !t3 xeltuje n ca M cxyn cBxx yqeHHKa'

xojn rarrlajy HeAoBoJbHy oueHy I'I3 MareMaruxe. ,[l,na yvenuxa ltvajyrpn jegunnqe lI oHlt npeAcraBJbaiy :ajegunuxx Aeo (npecer) cna rpucxyna. CeM tora, [oIlITo nocroje yqeHI'lUI4 rojr nr'lajy HeAoBoJbHe

oueHe n3 eHr,qecKor jetuxa u xevraje (npecex E u H), 3aruM I'I3

eHrurecKor jeruxa x MareMarl'Ixe (npecex E u M) u ul xetuuje u

MareMarLIKe (npecex H u M), ro helro 4ujarpaue cKynoBa E, H u

M usa6parr raxo, Aa cBI'I oBI'I npeceqn noc rojc (eu.lrr c-'r. 6).

flpecer cBa Tpr{ cxyna (najratunuja rupasyplt tl\iir .11:.r c,rc\re r lu.

VnltunMo raj no4arax Ha o4rorapajyhe ve-cro y Al,Ijarpanry (cn. 7). flpecex cryuona -1:

w H nua 4 e.nelteHra (4 yuenuxa nvajy Hc-

AOBOJbHe OUeHe I'I3 eHf!'IecKol Je3I4Ka I1I Xe\,Ill-je). flourro 2 o!, wux nrvrajy u rpehy jegrr-

ur,rqy, ocraje 3axJbyqaK, Aa caMo 2 yveHrrxa

uuajy je4uuuqe caMo u3 eHinecKol jeura u

xeuuje (4-2).Ha ucru HaqLIH, cna6e oueHc

caMo u3 eHi,lecKol jesurca u MauteuauluKe uMlt

cnera jegan yqeHnK (3 - 2). Vnltruntulo re no-

AarKe Ha grljarparr. [o caga cMo orKpll,q*t Aa 3

caMo iio gee .iegutrutge. lloruro je raxsrrx yrynno 6'

yveHrrxa rrrtir,ir uc.loBoJbHe ol{eHe cQMo u3 xe.uuie

Tpe6a jour BIiAerH KoJ'Illxo yqeHI'IXa

rnrajy no je.qHy jeguHuqy u I'I3 I(ojer npeA-

\{era (HeoceHr{eHr,I AenoBI'{ 4njarpava - c,fl-

6). l4t esrlecxor jeeHra je4ranuqe nvajy 6

. )qeHHKa. Asojuua oA tbl4x uvajy neh jegu-H rmuy rar xer.tuje, jeaaH I43 MareMaruxe rt

.teojtiua ur xetrtraje I4 MareMaruxe. Cneayje

Ja je ca,uo us euirecxoi iesuxa cla6 jeaaH

)qeHLrK (6-2-1-2). Ha xcrH HaqI'IH yrBp-

Cn. 4

CaAa heuo peulrru HeKe 3aAarxe, xojr.r Ha npBH norJIeA HevajyHr{KaKBe Be3e ca Ojnep-Beuosalu{ .qajarpaMr.rMa.

3aAararc l. Ha rtncueuoj nex6u H3 MareMarr4Ke, Aara cy rpH3aAarKa. Csaru- yqeHHK je peruuo 6ap no JeAaH 3aAarax H HHKoHHJe perrrno rpehu 3aAarax. flpnu sagaraK ypaluno je 25 yveur,rra,Apyrr 3aAaraK ypa4uno_je 2i yrcunrca, u zb y".nr'*;.'pJ_"rronpBH u .qpyrlr 3aAarar(. Konuxo je yveHzra paAr.rno nucMeHy nex6y?

Pewerce. Cnu yvenuqr.r Mory ce paclope AUTI y .qBa cr(yna:

:-lY-l 1y_rl:Hr.rxa rojn cy peur.rrrrr npBr.r 3aAaraK E cxyn .8 yvenuxa

I(oJlI c{.petuxnr ,qpyrn 3aAarar(. Ilpegcranuuo cKynoBe

A u B no-uohy Oj,rep-Beuonux 4r.rjarpaua. flbruro oBr.r cryrroBr{ urraajy :ajeg_HHvKHX eJreMeHara, rpe6a naqpraur gujarpa-Me ABa cxyna xojn ce cexy (c,r. 5).

OHHx Asagecer yqeHlrra, roir.r cy pe_lllHJIH 14.npBH r.r ,4pyrH 3aAaTaK, npeAcTaB-:ba)y 3alegHuqKe eJreJdeHwe cxynona A M B,,1il / o.lHocHo npe4craeruajy eneMeHTe upeceKa oBLtx

<-/ cxyrroBa (rupaSrEpaua nonpu). lloruro je npanC;r. 5 3a.qaTaK perrJr,rXo 25 yueHuxa, :arrsy.ryjet{o

(2s-20). cauo spyrf"##X" i#"'""iTT fiffi:trii:;;;

Vnecurro Te noAarK^e y g"jurpa,, Ha cJr. 5. Buguvo 4a jerr{cMeny nex6y paAn,ro 32 yueuuxa JZO + s + Z;.

3aAalan 2. V oAererry oA 35 y.{eHaxa, ua xpajy loryroAr.r_trtta 6nao .ie ueAosorHHx oueHa caMo r,t3 Tprr npeAMera, rr ro i{3e'rJrecxor jesuxa 6, lr: xevuj e 7 u H3 MareMarure i 0 HeAoBoJrbHr,rxol{eHa. Cauo no ABe HeAoBoJ.bHe oqeHe uuajy 6 y""n"o^. Anuro4a 4 yueuura rvajy jeaunnqe H3 eHrJrecKo. j.rr*u

"*.*r.;.,'o :

40

(.t {t

yueuuxa r.rtrajyc,regyje ga 3

u uaweuawurce,

(.I. 7

4l



.qHheMo Aa 4 yqeHr.rKa Mty,ajy HeAoBoJbHy oUeHy caMo u3 MaLueMCrnuKe(10- I -3-2). floruro Hr,rjegaH yqeHriK ueva jegnuur\y can4o u3

xeuuje (7 -2-3 -2), ro gujarpaM cKyna N rpe6a uaqpraru 6e:ror AeJra (nuglt cn. 7).

CaAa oAronope qr.rraMo ca 4ujarpava.a) Ha cn. 7 su1uMo, Aa ca HeAoBoJbHtrM orleHaMa uva 13

yyeHlrxa, na je ca no3r,rrr.rBHr,rM ycnexoM 6uno 22 yrreHLtKa (35- l3).b) u c) Ogronopure cavn.

3aAarar 3. V ruxolcxoM rr3Berurajy aaru cy nolaqu o cnopr-cKHM aKrr.rBHocrr4Ma: 5O\ yuenuxa vrpa Ko[rapKy, a 40/, pyKoMer.lo/o yrcuuxa 6asr ce pyxoMerorvr r.r $yatia.rroM, a 5l ce 6anu cacBa rpr.r clopra. 3a Sy46al yonrxre ur,rje ranHrepecoyauo 40Y.yqeHr.rKa. 301 yuenurca urpa Qy46al, a He r.rrpa KorxapKy, a 20\lrrpa pyxoMer, a 3a r(ouapry ce ue nurepecyje.

Kolnxo nporleHara yqeHr,rKa oBe urKoJre He ynpaxrbasa Hr.rjeAaH

oA HaBeAeHux cnoprona?

Peuene. OsHaqHMo ca F cxyn yqeHHKa rojn urpajy $y46a,,r,ca K cxyn yyeHr.rKa roju r.rrpajy KouapKy u ca R cKyn yqeHuKa xojrrurpajy pyKoMer. Zrnogehu 3aKJbyrrKe Kao

y nperxoAHrlM 3aAarIHMa, 4o6ujauo guja-rpaM npr.rxatau se cl. 8 (U je cxyn ceux

yvenlrxa). flpu H3paqyHaBarby ynflcau rxnporleHaTa, r,rMaJIr{ cMo HeKe IrOAaTKe, /lalcapyravr.rje Hero y nperxoAHlrM npnMepH\ra.Ha npu:uep, Lt3 [oAarKa rc 401 yr{eHu-Ka He rrpa $ya6al, raxryvyjeMo !a ccoBnM croprolr 6asr 6O\ yveyuxa. Ceurora, AarH cy noAaqr{ Aa cxyn F1K (F par-;lwxa K) caApxr.t 30\ yuenuxa ruKole, acxyn R\K 20/o yueuuxa. Ca Haqprauor grajarpaMa BXIliMo, Aa ce95f yueuuxa 6anu HeKr{M oa HaBeAeHr.rx cfloproBa, na je ueaxrunuoHa croprcxoM norby cvera 5f yyeHHKa (cryn U\(F9IKUR) caApxlr5l yueyuxa).

CneAehu 3aAaraK perxure caMocrarHo.

3a\arax4.

Ha jyroc,roBeHcKoMr(oHrpecy MareMarr{yapa, cBa(r{ oA 100yqecHr.rKa, rooope 6ap jeaan ol crpaHlix jerrra: eHrrecrn, Spauqycxll rnfi pycxr{.

Pycrn jetur roBope 57 y.recnaxa, eauecKu 58, pycxn r.r $panqycrr-2g xeHrJIecKH u Spanuycxn 34. 5 y.recnrlra roBope cavo Qpanqycxu, carro ABa crpaHajeruxa roaope 49 yvecHr.lxa, a cBa rprr ll yyecHuxa.

Ogroropure: a) xolnxo yrrecHuKa roaope (fpanqycxr jerur; b) xo.nuxoyrrecunxa roBope caMo pycxu je:ux?

42

llranka Derasimovi6 (Be()grad )

RESAVANJE KONSTRUKTIVNIH ZADATAKA U PROSTORU*)

II Zadaci koji se odnose na paralelnost pravih i ravni

Zaiatak l. Kroz datu tadku A izvan date ravni zr konstruisati

ravan c(' paralelnu datoj ravni ]i.**)

Reienje. lzabracemo u ravni r dve pra\e nx 'i z koje se sekll.

Prava m i tadka A, koja je izvan nje, odreduju ravan koja se mo2ckonstruisati. Neka je to ravan I (sl. I ). U ravni p kroz tatku A

konstruisana je prava D paralelna pravoj ltl. Na isti nadin, ptava n

i tadka ,4 odreduju ravan y, u kojoj se konstrui5e prava c koja sa-

drZi tadku A, a paralelna je sa pravom n. Prave D i c se seku u

Sl. I Sl. 2

tadki ,4 i odretluju ravan d, koja je paralelna sa datom ravni ;;.

zato Sto sadrZi dve prave koje se seku i paralelne su sa ravni ;.

Zadatak 2. Kroz datu ta(ku A, konstruisati pravu koja sede

datu pravu m, a paralelna je datoj ravni a.

Reienje. Pretpostaviiemo najpre da tadka ,{ ne pripada datoj

pravi m, a da prava',x

sede ravan c[.

Konstruisaiemo ravan p, odredenu pravom nr i tadkom A (sl' 2)'

Kako prava m, koja pripada ravni p, sede ravan a, to ravni a i p

imaju Jednu zajednidku tadku (tadku M), pa se seku. Njihovu presednu

* Nastavak dlanka ,,Resavanje konstruktivnih zadataka u prostoru" (ML IX l)

at Zld^tzk l. dat je ditaocima za samostalno resavanje u proSlom btojv Llatcntatiikog litta

na strani 4.

sl. I

43



pravu oznadimo sa s. Kroz tadku z1 konstrui5imo pravu 4 para-lelnu pravoj s.

Prave a, s i m pripadaju ravni p, pri demu su prave a i s para-lelnc, a prave m i s se seku. Zakljulak je da je praia o paralelna saravni a i da sede ptayu m.

Ostavlja se ditaocu da ovaj zadatak resi i u slededim sludajevima.a) Prava rn sede ravan ct i tadka A pripada pravi m.

b) Prava m je paralelna ravni a i tadka u4 ne pripada pravi m.c) Prava m je paralelna ravni a i tadka A pripada piavi m.

Z adtciI. Kroz datu tabku P konstruisati ravan r paralelnu dvema datim mimo_

ilaznim pravama a i 6 kojima ova tadka ne pripada.

2. Kroz datu tadku I konstruisati pravu a, paralelnu dvema datimravnima B i y. Razmotriti sve sludajeve.

I,I3 I4CTOPI,IJE EJIEMEHTAPHE MATEMATI'KI,

Hajnpocruja noMohHa cpeAcrBa 3a paqyHarbe

Joru y BpJlo crapa BpeMeHa r(o! rbyAu ce janula norpe6a 3aH3BptrJaBalbelr 6ap Hajnpocrujux paqyHcr(Hx onepaquja ca npnpo4-nl{u bpojenuua. Hexe o.q r]4x onepaquja oHr.r cy MorJr}{ Aa u3Bprxe,,y fJraBLt". 3a urnpruaealbe HeKHx Apyrux oHr4 cy ce ocroco6ttlr.rrex xacHnje, xaAa cy Hayvvr,u Aa rruruy, rra HautJn{ Hal,v*a yL 3anoAecHo.o3HaqaB.an,e 6pojeoa. Atu u y uajpaur.rjr.rM BpeMeHHMa, an racHuje, r(aA gy neh uayunlH Aa,,rl,rcMeuo pauynajy,,, Jbyl.u cyce cTaJIHo TpyAnnH Aa olaxruajy cebu nocrynKe oKo n3parryHaBalbanojeAr.rHrrx 6pojera r noKyrxaJrr,r Aa crBope 3a ro r,r3Becsa novohuacpeAcTBa.

On4e hervro ce 3aApxarr4 caMo Ha HeKlrM oA Tr.tx cpeAcraBa.

flpcrr.r

Kao Hajnpocrnje novohHo cpeAcrBo 3a paqyHaH,e, joLu oa naj-crapr{trx BpeMeHa, noxa3aJrrr cy ce npcrr4 Ha qoBeKoBoj pyuu. TaKoJolu I,I IaHac AeTe, aro neh 3Ha.qa 6poju ao 10, a,rn He 3Ha HHT3B. ,,MaJry rabruqy ca6upama.., a rpe6a .qa ca6epe, perrr4Mo, 4 w 3,HaJnpe Ha HeKH Hasl,tn u:4naja na je4uoj pywt 4 npcra, a Ha Apy-

44

roj pyura 3 npcra, na oHAa npe6paja l43lBojeHe rpcre. Atru npcrrlMOry Aa rrocnyxe H 3a obaBJbalr,e HexHx cloxeHujHx paqyHa.

Mn hevo oBAe noKa3arl,r KaKo ce r{oBer y HexI4M clyuajenuvta no-

Marao Aa 6u Ao6rao npol.r3BoAe je.qHollu$peHux npnpoAut'tx 6pojeaa,

naxo ntje 3Hao Htr ueJly ,,MaJIy rabnnqy MHoxeH,a", Hero caMo

Konr,rKo lr3Hoce npor{3BoAr aeajy 6pojesa o4 xojux Hu je4an nnjesehr oA 5.

Ta.qa je lberoB uocrynaK 6no creAehn. Axo je rpebano nahr,peur.rMo, pe3ynrar MHoxelba 6. 7, uoner 6r.r Hajnpe Hcrrpyxllo cBo-

jux l0 npcrnjy Ha pyKaMa, na 6u ouAa ua:renoj pyqr caBt{o I npcr(nourro je 6-5- l), a Ha AecHoi pyqu 6u casuo 2 npcra (rarouro je 7 -5:2),na6v.6pojene canujeur.rx npcrljy ca6pao (l+2:3)lr oHo urro 6n Ao6uo cMarpao 6ra ra 6poj Aecernuq (rj. 10.3:30).3arnv 6u novtsoxno 6pojere ucnpyxeHux npcrujy (4'3:12) u

oHo ruro 6u Ao6uo .qoAao 6H ouou ruro je seh Haulao. Taxo 6u

Ao6uo aa je 6.7:30 +12:42.3aruro je Her(aA, 3a HeyKe Jr'yAe, JIaKnre 6uro Aa 3a[aMTe

onaj nocrynax, Hero ,qa Hayqe HaIIaMer qeny Many ra6luqy MHoxerba,

To AaHac uuje naxo pa3yMJbHBo. A saruro cy ce, H KaA ce MHox[JIona onaj HaqHH, Aobtrsarl.I yBeK TaqHu pe3ynrarl{, ocraanherro ga

obpa3xoxe caMlt rtltraouu (jep je i(oeoJbHo Aa ce HaBeAeHH noc-

Tynl{u ,,npeBeAy na jernx arre6pe", na .u.a uM ce ro ,,caMo xaxe".)

A6axyc3a n:eofeme ocHoBHr,rx paqyHcxr.rx partbrl ca sehr4v 6pojenuua

ynorpebnaaaJra ce seh u I(oA crap[x fpra, a LI Hexl4x ApyrLIx cra-pI1Ix HapoAa, AacKa unH KaMeHa nJror{a Ha rojoj je 6ulo rnrue no-

ByqeHr.rx napanenHr.rx qpra, ttrefy xojutua cy ocraja,ra npa3Ha noJba.

JeAHo o,q rux nora (o6uvuo npro) 6uno je HaMetteHo, yKoJr.Ir(o ce

paAlrxo o AeKaAHoM 6pojuor'l cHcTeMy, 3a To Aa ce Ha rbeMy o3HaeH

6poj je.uuHnrla ca.qpxaHux y AaroM 6pojy, Apyro, Aa ce y lbeMy

Ha3Harru 6poj 4ecerraUa, I{T.q. Epojeen cy ce o3Hat{aBanll KaMeHqI{-

hlrMa, Aoquuje xeroHuMa. Ia 6u ce paALIno ca MaIbr.rM 6pojerra

xaMeH.ryrha, a v pa,'w nehe nperleAuocrr.r, 6nlo je yo6uvajeuo Aa

ce cBaKr,rx 5je.qunrnqa,

oAHocHo AeceTI.Iua, croTI,IHa nrA. obelexaaajynoce6unu xaMen.rnhuN{a, TaKo Aa Ha jegnov noJby, yKoJrr.rKo ce

paAr4 o qenr4M bpojennua, ue 6yAe HuKaA Br.rue oA 4 ravenqnha.Cev rora ua abaxyclrrnta je yner 6u,ro Mecra u :a obenexaBalbepa3JroMaKa, oHaKBr.rx c KaKBHM ce npeMa [paKTr{qHuM norpe6atua

!,oTsriHor BpeMeHa paqyHano.

45



Abaxyc nuje ynex t{ cByrAe I4Mao }Icrl't K3rJ'IeA. Ha cl. I npn-

Ka3aHa je cxeva jeguor a6axyca u3 pI{McKor .qo6a. Ha }beMy BI'IAHMo

jeAan xna4par, I{3AeJbeH Ha noJba, lI ABa y3aHa npaBoyraoHl{Ka'

raxole r.{3AerbeHa Ha noJba. 3uaun y roprbeM AeJIy Aeny KBaApara

(rnayh" 3AecHa yneno) o:Hauanajy lll2,1, 10, 100, 1000, 10000,

ioo0oo, I 000 000 jeAntruqa. flope4 4uejy 4pyrrEx lnunja, napa-

reJrHKx ca ocHoBI,IqoM KBaApara, npeAcraBJbeHa cy uouohy KaMeH-

.rraha Asa 6poja, H To, c o6iupou Ha oHo urro je peqeHo' bpojern

28 L n 7804 1. fIo,T a y oKBI{py gnajy yraHnx npaBoyraonuxa 6ula12 12

cy ogpelena 3a oberexaBalbe jour t"Iamux AeJIoBa je4nnnqe, c xa-

KBHMa ce ra\a, npeMa raAaulLeM CI{CTeMy Mepa' paqyHaJIO' a Ha

xojrrlta ce NrH oBAe lre \{oxeN{o 3aapxaBarl.{.

Huje reruxo 3aMLIcJII,I-

r H xaKo cy ce o6an$ane pa-qyHcKe paAILe ca6upara v().ly3HMalba ua a6axycy. Ha

abaryc cy ce Hajnpe craB-

-ba-rrrr xaueuqnhn novohyxojr.rx ce [peAcraBJbao uPBH

ca6upax, a 3arHM cY ce

ruM KaMeHqnhnua AoAaBa-

rLr Apytu xauenvnhn, xojn-Nfa ce rIpeAcraBJbao Apyrnca6rpax. flocle rora nPe-

,ta3HJIO Ce Ha T3B. ,,rI[IU-herue": axo 6u ce, PeqLIMo,y roJby jeanHHua narulo 5

TEST

ZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJAIZ MATEMATIKE

V RAZRED

sledece kolidine diste destilisane vode't.

a)

b)

c).,

a)

b)

c)

3.

Koliko merc

pola litra?

l7 dl

5m3

O dgovor : __-__-.-..---.-

l?t ((0)) (0) a X I Q)

C.,r. I

.'f-jcl ILl

flSicili-

, l--lh-l

,tii;t-.1'1t

I

L_lll

Koja kolidina diste destilisane vode meri:

t7 g2

39 cg27 vBi vw6vtvt

2 t 500 kg? Odgovor: -...-.-.--..-..---.--.

Saberite horizortalno i vertikalno napisane sabirke:

130286+

3022+ 3 598 134+ 79:

3'164 t54 + 29 000 + 287 :

Zaito se

zultat'l Koja jedobija isti re'

r.rJlr.r Br4ue raveHuuha, ca Tor no,'ra 6u ce cKI'IHyno 5 xauenquha,

a r43HaA upre, rroA xojor"r cy ouu crajalu' craBJbao 6u ce jegax

xar'reuvuh; ln.trn, axo, 6H ce Asa xauenvuha, og xojux cBaKH o3Ha'

qaBa no 5 jeAnHnqa, HaIUnH jegan nopeA Apyror, ouu 6n ce cKIr-

EAntr ca a6aryca, a yMecTo rblrx cTaBJbao 6tr ce jeAan rau_enur,rh y

oarosapajyhe-norbe jegr'rHuua Buuer peAa' t4TA' Texe 6u 6nlo

objacturrra lpoqeAypy MHoxerba H AeJbe]ba. 3aro je 6nlo norpe6Ho

seh st,rure 3Haba ]'I BeuITI{He, rra cyKacHl'lje, y cpe.qbeM BeKy, KaA

ce jour yBeK Ha onaj nauuu paqyHano, cByrAe no rpaAoBI{Ma nocrojanH

cneq[jarHn ,,vrajcropn pavyuuuje" roju cy ce 6annln oBHM IIocJIoM'

Vnorpe6a a6axyca riAp*ana ce y Enponu cBe Ao XVII sexa'

v.

46

4. Nacrtaj kruinicu poluprednika 2.cm' Od

bilo toj. tueti Z na kiuZnlci odmeri tetivu

iB:i;^. U tadkama A i B konstrui5i tangente

na kruZnicu

5. Ako su na datoj kruZnici lukovi Eq i FH '

mereni u istom ,*"ro," jednaki, dokaZi da su i E

lukovi 6i i ?n jednaki (slika l)'

Odgovor:

Odgovor: sl. I

NaPomena u vezi sa datim testovima

Namcna ovih testova, pored ostatog'.jc da sc. uterici veibaju i priprcmaiu za ovakvu

vrstu proverc znanja. Pri raou-ircbalo bi reriti u'"-"i p'ouJituuiitatnostodlo"otisadrugovima

ili nasravnikom. Ato pr, ,.raoi"r-a-d-"iuii ,ii-i-a"iorjno'pro"io-tu "uilitu,ti"uo koristiti svesku'

4'.1



TEST

ZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKEVI RAZRED

1. Odredite, bez dovodenja na zajedni6ki imenilac, koji razlo-mak ima veiu vrednost

7 894 ... 7 869

7 895 7 874

Odgovor:

TEST

ZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

VII RAZRED

izraza x (x - a) + x (x - b) + x (x - c),

a x je aritmetidka sredina za a, b

Odgovor:

je poznato da je a'n:at odgovorite koliko je n?

1. Odreditije a:ll, b: -3,

2. Jedan zupdastizubaca. Koliko puta 6e

prvi put ponovo sastave

kotad zahvata drugi. Prvi ima 36, a drugi 68se svaki od ovjh kotada okrenuti, dok se

dva zupca od kojih je podelo okretanje?

2. Ako vam

Odgovor: . ...

3. Odreditet 1t2

-(;) :

22

^t'

4. Poznato je da I al<1b1.

a)a>.0i0>0. Odgovor:.

b) a<0 i'6<0. Odgovor:

c) a> 0 ir<0. Odgovor:.

d) a< 0 i b>0. Odgovor:.

5. a) Na koliko trouglova je

povudenim iz jednog temena?

b) Koliko ukupno dijagonala

Odgovor: a)

6, Koliko stranica ima mnogougaonjih uglova jednak 1440"2

Odgovor:

7. Koliko osalan desetougao.

Odgovor: a)

II

Odgovor:

koliko je

' (- 2;)':3. Bez odre<livanja

,- 6.120, dokazati da je

Odgovor:

brojne vrednostiisti deljiv sa 5 i

32

4. Najmanji zajednidki sadrZalac tri broja je 975. Jedan odtih brojeva je 15. Odredi druga dva.

Odgovor:5. Datoj figuri konstrui5i simetridnu figuru u odnosu na datupravu 7.l (sl. l).

aib,akoje

podeljen devetougao dijagonalama

b)

kod koga je

da- simetrije a) pravilan osmougao, b) pravi-

"b)poluprednika r:3 cm opi5i pravilan osmougao.

vl r st. 2

6. Na datoj pravoj a konsrrukcijom odredi tadku najbliZuroj tadki A (sl. 2).

7. U trouglu ABC konstrui5i visinu kojaodgovara stranici lB i odredi na njoj tatku Mxoja je jednako udaljena od stranica AB i AC.

48

izraza 625.3+144.15+3, a nije deljiv sa 2.

8. Oko kruZnice

49



TEST

ZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIKEVIII RAZRED

l. U ravni koordinatnog sistema na sli-ci osendite oblast kojoj pripadaju tadke dije

su apscise izmedu brojeva 3 i - 3, a ordinatsizmedu brojeea

-li 2.

Da Ii toj oblasti pripadaju tadke

/ l\a) (1, 2J

/?odgovor:

( - 3, 3)? Odgovor:

Re5ite jednadinu(3x - 4\2 + 27 :25 + 9x2

Odgovor:

b)

2.

3. Dva se brojatrostruki drugi za 48.

razlikuju za 28. Dvosttuki prvi prema5uje

Koji su to brojevi?

Odgovor:

4. Prodajna cenaiznosi 544 din. Kolika

jednog artikla posleje bila njegova cena

poskupljenja za 32/opre poskupljenja?

Odgovor:

5. Podvuci tadan iskaz:a) Ravan je odredena dvema mimoilaznim pravama.

b) Ako je prava paralelna sa ravni, ona je paralelna sa svakom

pravom u toj ravni.c) A!'. je prava paralelna sa jednom pravcm u ravni, ona je

paralelna i sa tom ravni.

6. Kroz tadku ,8, koja pripada ravni B, moZe se povuii na

ravan p: a) jedna normala, b) tri normale, c) bezbroj normala.

Zaokrui.i tadan iskaz.

7. Date su prava a i ravan a,

a) Koliko ravni paralelnih sa

b) Koliko ravni normalnih na

Odgovor: a\

tako je da a1a"ravni a prolazi kroz pravu a?

ravan 6r prolazi kroz pravu a?

b)

50

MATEMATI,TT{KA TAKMNqE}bN 6 -OLIFSR Bosna i Hercegovin" ---,€aY\ -^ A-

-$v--l\-,/--:{J

a6

zADAcr sA vrr REP-uBLreKoq (9@)) C)-q:O a

TAKMIeENJA ZA UeENIKE Os - o$ /*sR BosNE I HERCEGoVINE --6-\f'

VII RAZRED Y)'l. Dokazati da zbir bilo kojih pet uzastopnih prirodnih brojcva nc tttoZe

biti prost broj.2. Ako su kraci lrapeza medusobno normalni (okomiti) dokaZi da je zbir

kvadrata njegovih dijagonala jednak zbiru kvadrata osnovica tog trapeza'

3, U paralelogramt ABCD stranica lABl je

dva puta duZa od stranice [AC]. Neka je tadka MsrediSte stranice lABl. Dokali da je duZ lCMlnor-nralna na dul {DMI.

4. Rastavi na proste faktore (dinioce) izraz:

r.r'--0,1)'z-(0,2x+ 1)2, pa zatim odredi sve vrijed-

rrosti broja x za koje je dati izraz jednak nuli'

5. Izradunaj povr5inu osjenEenog dijela kva-

drata stranice a:6cm - sl. l.

VIII RAZRED

l. Dokazati da ce proizvod bilo koja tri uzastopna prirodna broja, uvecan

za drugi od tih brojeva, biti jednak kubu tog drugog broja.

2. Dat je trougao ABC kod koga je lABl>lBCl i tadka D koja pripada

duZi [la] takva da ie lBCl=lBDl' Dokazati aa iCDI aijeti + c na dva dijela od kojih jedan ima mjeru

jednaku poluzbiru, a drugi polurazlici mjera uglova 4ACB i 4CAB.

3. U tri posude nalazi se voda. Ako polovinu vode iz prvog sudaprespemo u

drugu posudu, zatim trecinu tako dobivene kolidine vode prespemo iz drugog suda

u trie,i posudu, i najzad, detvrtinu vode iz treie posude prespemo u prvu.posudu,

LAu r" u svatoj posudi nalazi po 6 litara vode. Koliko je bilo vode u svakoj posudi?

4. Data je trostrana jednakoiviEna piramida sa ivicom a:4 l/ 2' Sredine

ivica ove piramide su tjemena novog tijela.

Izradunaj: a) povr5inu tog novog tijela,b) zapreminu tog novog tijela.

5. Data je prava jednaiinom: 3x+4y:10. Odredi

a) duZinu odsjedka lMNl te prave izmedu koordinatnih osa;

b) udaljenost koordinatnog pobetka O od date prave;

cj zapreminu koja nastaje rotacijom trougla MNO oko strauice [MN]'

5l



Uputstva sa rezultatima:

VII RAZRED

- l. Neka je s zbir pet uzastopnih prirodnih brojeva: s:n+(n-i l)+(n++2)+(n+ 3)+(z+4):52+10:5(n+2), a to je broj deljrv sa 5, pa nije prost bro.y.

_ - - 2, Iz-pravouglih trouglova ACE i BDE (sl. 2) dobijam o lACl, :[AE], + lCEl, iIB Dl,

_: .lB El,1- lD E], , Pa le. - t.acl y IB Dl, =. IA E1t , 1c E1, r 1b qt + tb qi __ l) r]; t

-t lBEl'1 , [CE), .: lDEl, . lABl' [CD]: (hipotenuze pravouglih irorigtova iAf i Cbnl.

3. Nekg je N sredrStc srranice [CD]. Tada yc [,,tfN]::[CN], pa krug konrejc [('Dl pre6nik, sadrZi taiku ,tl. Kako je periferijski ugao nad predniko,i., pruu,to je i ugao 4.CMD:90'. pa je duilCMlnormalna na1ullDMi,Sto se i tvidilo.

' (.r-0,1 +0,2xt l) (r-0,1-0,2x-l):

: (1,2x + 0,9) (0,8x- l,l).

Proizvod je jednak nuli, ako je jedan odrnilaca nula: l,Zx+0,9:0 ili 0,8x-l,l:0, pa je

33ili x:l -

4,8

5. Kvadrat OMBN ima stranicu a(uiOi.l.t2'

l)ra isjedka AMO i NCO Eine zajedno pola kruga.I raienu povr'Sinu dobiiemo kad od Eetvrtine krugar.Lrlijusa [13] oduzmemo dva isjedka i neosjenEeni.lirr kvadrata OMBN (sl. 4):

P.4 : (;)' " -,[( ; )' - I (;

)' "]:

: " (; _'):, 0,26 crn2 (za a =. 6 cm)

VIII RAZRED

l. Oznaeirno uzastopne prirodne brojeve sa: (n- l), n i (a +. l). I'ar,ra jc:(n-l).n.(n r l\ r n.- n3, Sto se i tvrdilo.

52

2, Oznadimo sa

Neka je 4ACD:q itrougao (sl. 5), to je:

180"-B Y+c(0=

22

a.. 4CAB, B i y - jACB unutra(n_ic uglove datog trourlir4BCD:0. Po5to je po pretpostnrci /lCD .jc.<tnrrk,'l:.r1. r

I

,'(4ACBr 4CAB).

d+-y Y--dDaljeje: I'y-0-y- z 2

-)runru-4cAB). A D i B

sl. 5

3. Oznaiimo sa a, b i c kolidine vodc. Poslije prvog presipanja inranro u

aaprva dva suda: - i b +

llitara. Poslije drugog presipanja u drugom sudu imamo

2l a\ 2l a\

, (rl ;J, sto nrema uslovu daje jednakost:t (U. fJ-6,odakleje:2b*a:18.

Kako je ukupna kolidina vode: a +b+c-= l8 litara, slijedi: D:c. Tada utredemsudu

imamo

lt,r\o

I I a\,,

.. (o, ,/i noslije

(r, oditkle jc: 8h a .1S

prelivanja u prvi sud, a.Uiiu*o' ] fr,

l{ciavanjem sistema jednad'""'33; i |i}

dobijamo: a:8,b-5:c.4. Dobiveno tijelo sastoji se

od dvije pravilne detverostrane pi-ramide, koje imaju zajednidku bazu(osenEeni kvadrat MNPQ na sl. 6).Sve ivice ovih piramida jednake

su polovini ivice date trostrane

3 piramide: b:21 2

a) Povr5ina se sastojiizosamjednakostranidnih trouglova stra-

nice b:2V1, pa je:

' osI "

:z !|!oJ :rdY='

b; Ccnorougao ,{ISPR je kvadrat, a njegova dijagonala tnsl:, /T:l1edvostruka visina svake od detverostranih piramida koje obrazuju tijelo. Dakle,

H:2, a zapremina tijela je:b2H 32v:2.- :33

5

- r: ^-presek sa y-osom. Isto takoz

l0je zz y:O: 3x: l0 + .r:--presek sa x-osom. Pomodu ovih odsjedaka nacr-

tajmo pravu. Dobijamo pravougli trougao OMN - vidi sl 7.

5. Za x:O dobijanro: 4y:10

naJprue:

1)l

53



1) [t/\']l Dobijamo: It1N]

N :401

fut;'/\I ,'):X.n,\1,./,/ \\ \

F/ ,.' ',\oMSl. li

62s

io

I l0 5 15. b; Trougao OMN ima povrSinu: , - T'7'-, 6

, Pu,

. I 25 125P:-t lMNl.toPl )

Z:t'T'loPl => [oPl:2.

c) Rotacijom trougla OMN oko [MN] dobijamo dva konusa sa

kom bazom poluprednika r:lOPl:2 (sl. 8), pa je:

lllV :

-r2 r h, +

-r2 7E hr:

-r2 r (h, + hr)'

Kako je: h,+ h,:IMNI:'j , OrU",o

I 25 50rsV:-,4r..-

369

Za Savezno takmiienje kvalifikovali su se slede6i udenici:

VII RAZRED

Trnko Sevala O.S. ,,Igmanski mar5", VogoicaBerbit lasminka O.S. ,,Hasan Kikic", Sanski MostLovrek Dijana O.S. ,,Vasa Pelagic", Zenica

Crnjak Berislav O.S. ,,Braia Ribar", MostarTimiiiin Jelena O.S. ,,Rade Kondid", KozaracPopovit Dejan O.S. ,,29. novembar", Sarajevo

VIII RAZREDMitit Duiko O.S. ,,Aleksa Santii", HrasnicaDogo Goran O.5. , Petar Dokic", SarajevoKulosman Hamid O.S. ,,Vuk KaradZic", SarajevoArbutina Ljiljana O.S. ,,SI. Vajner-dica", SarajevoObradovit Milan O.S. ,,Franja Rezad", Tuzla

54

zajedniC-

3AAAIIII

OAABPAHH 3AAAUI4

Osu :aaauu rpc6a,la BaM cnyxe 3a Bex6y, trprnpeMabe ra npnjcunc Hcnurc H Marc-MaTHcKa raxMHyebar xao f, 3a pa[ y MaueMofuuuxoj cex4uju. 3aAarre rpe6a caMocruao !apeuuTc, a HareaeHH pe3ynrarx x ytryrcrBa neKa BaM ctyxe 3a xoHTpony. 3a yveHnxe rojr uanygcuewt Ronxypcnux sagatuaxa npenopy{ElBo je ga nperxoguo peu€ Ogafipaui ngaaxe, jep cy onuMano traKuH o! KoH(ypctux na oaaj paa npe,(craBra 3a bgx KopEcHo yeex6aaane.,

A) 3a yuenuxe V, VI, VII u VIII paspega

925. Oape.qrrr{ Herro3Hare ur{Ope y npon3Boay r*r.r8. HahE csa peurerba.

*ta+ aa+

r*+r0[Per: 120.98 nrx 115.98]

926. y 6pojy sanncauoM pr{Mcrr.rM uu0paMa yMecro noje4rnNx uu$apacroje raerAuqe: MC***LVr*r. OApeanre raj 6poj. Moxe lu ce ucTrrM pHMcKuMuu$pava 3arrucarn jour nexr 6poj?

[Per: .(ar je 6poj MCCCXLVIII; Apyrr je: MCCCLXVTII]927. fiaa cyrneMeHrHa yua pauxryjy ce ta l'30". Ko,ruxn cy rx yr,roan?

928. Ha clsqn je: 4AOC: 4BOD.Kojr cy jou yrnonn sa roj crurlu jeAxarx

uely co6oru? Aro cy no3xarrr yrJroBu:

4AOD : ll9" u 4BOE: 138o, xlpa.ryHarg

4AOC.

IPez: 4AOB: 4COD; 4AOC:7'l'lC.n. l.o

B) 3a yuenuxe VI, VII u VIII pazpega

929. flponaro4 rvra xoja rptr y3acronHa npspoAHa 6poja nogenxrrr{ cMoca 6. Korurr je ocrarax ,qerretra?

[Per: Hyla- raurro?]

930. Cxyn A ulr.a za eJreMeHTe pa3JroMKe ca HMeHrroqeM 3, vuje cy npea-3 ll

nocrn sehe oA

J-u

Marre oA

-.

Hahu cBe eJreMeHre crcynaA.

[."., ^-l+.; i] ]931. Ko.nnrn yrao raxrarajy cr{Merpane: a) gea ourrpa yrna y lpaBoyrnoM

rpoyrny; b) 6uno xoja gua yHyrpaurba yrna je4narocrpaur.rrrHor rpoyua?[Per: a) 135'; b) 120']

[Per: tl9 59'15" ,t 90 45"]

55



C) 3a Yuenuxe VII u VIII PatPega

933. OtpeatrH eneMeHTe a c]r.yfla A \enux 6pojena, xojn :a4onorsaaajy

penaqujy:2 a+7 5

J'--<J'lPet: A:{-3, -2' -1' 0' 1' 2' 3}l

934. 36rp gaa 6poja je 78 293' I{n$pa croruna jeasor 6poja je 2 u uu$pa

Aecerxrra l. Axo ce ror"r 6p-ojy xr6pnury rpl{-[ocJreAl6e qnQpe (jearasn^ua' aece-

;;id;;;"na) aobrja "ir-pvtt ipaxexn 6poj. Kojn cv ro-6poj-egr?-

[Per: 78 215 u 78]

935. V jeaxorvr oaerelsy najuarre nerfiqa, je ynucano nr xeltrje' $nuxeH MaTeMarI{Ke, I{ TO: Xr xerrauje 9, nr ourrxe 17 u uz MareMarfiKe 7 netutla'qr*;; t;ili<a u*rajy nerulre r{3 cBa rpn npeAMera' cavo no gne neruqe uuajy

6 yqixlria. Illecroprqa ur'rajy nernqe ur xeunje x MareMarr{Ke' a neropnua I'13

rlnsrxe Ir MareMarltKe. OAronopure: a) xolnro--yrreHl'IKa y oBoM pa3peay ItMa

6ap jeaxv nerHlty fl3 HaBeaeHlx npequera? b) Kollrro yqeHHKa I'IMa caMo no

jeaHi o,q oBHx nergqa n ur xojer- np-e4vera?'--'" -Oar;;op'

")tl y"etru*i; b;'3 yrennra nuajy nernuy caMo s3 $urure'l

936. Ha gyxn AB:Za uza6paxa je nponrsorbga raqKa M' 3a-ruucy nap'

,y*"-u-7U,-lib n ,qB xoHcrpyr{caHfi noty*pyroBr{. Vlcnu'ra-rn Aa rr o6r'rpr

i'n" no"p*",ia earype orpa'fiqeHe oBxM nonyxpyroBr{Ma gasnc' oA ur6oparauxe M.''[Per: Hexa

jeAM:2a'

Taaa jeO:Zar - -He

3aBxcll oa

'M, u P:2i (a-x) tr - rrrro 3aBHcIl oa u:6opa tauxeM'l

D) 3a yuenuxe VIII PazPega

937. Hahn rpoqnopenu 6poj rojn je ll nyra sehn oA r6upa cnojril qnoapa'

[Pe::198]

938. flaaa rnura. Kpot ojlyK H orBop Ha roplleM geny 6ypera yJII{Ba ce

y 6r'pe tl .-rHrop.r Bo.re ) cnlxo\r MlrHyry (augu crruxy)' II:-t^ t1-^:1l3yY

932. Yrao a je ucrn (ueo) 6pOj nyra aehn o,q cBor xoMIIJl€M€HrHoI lriaH Marrn o1l cBor cynlevesrror yrna. Kojn je ro yrao? [Per: a 60 ]

6ypera, Kanaqurera 160 lurapa' HaJra3I{ ce

rrrBop, Kpo3 xojn lcruve Tpu nuTpa Boae y

.rHHyry.

Hahn npanuno Qynxuuje roja nrpaxanario.rurrfiHy Boae y bypery y rlynruuju BpeMeHa

llporeKnor oA KaAa je norena naAarl{ xnlla'flocre xoluro he nPeueua 6YPe 6urn

nyHo ao apxa? Hauprarr rpaQlrr aobujeue

6yHxrluje. [Per: Axo je x 6Poj nPoreKrl'Ix MI{-

Hyra, a / Kon[tuHa BoAe y 6ypery, onaa-je:

,i--8x, ga x(10; y:80+5x, ra l0<x<26 n'r-tOO, la x>26. Fpa$nx upra o6lrlrc H3toM-

;reue .nnanje]

- t--\

5657

939..[aru cy cKynoBu: A:{a:a je nolrrrnnax napan 6poj} n B:{b:b jeno3nrrrBaH HenapaH 6poj). Oapeauri ynujy l,r rrpeceK aalnx cKynoBa.

[Per: VnNja je cxyn N npupo4uux 6pojeaa, a npeceK je nparaH cKyr, q.l

940. Ha c,rnur je 5 xourr. Koja o: r6xx HMa Mpexy nprrca3aHy Harrcro.i c.ruuu?

ffiffiffiOgu talaqu cy HaMebentr npBeHcrrcHo 3a caMocransfl

par oHHx yveHrra xojH ce y aehoj wepn xHrepecyjy 3a MareMa-rnxy. Peue*e cBaror 3atrar(a 6ahe o6jaaneuo ca norntcoM onorpeuaBarena, xoju je ncicrao cacBtrM Ta{Ho u aaj6one o6pauo-xeHo peu€be.

Peuaaajre trocraBnele 3a,qarre H uasaTe trx y uro Ee-heu 6pojy ypequtrurBy MsuevanuuKoi tucua, y trocne,qneM6pojy rncra 6nhe oEjameua HMeHa cBtrx oaux xoju 6yay nocrarr6ap wajvann 6poj ucnpaeuxx peuepa, npe.uanlearx 3a rorHqtsqpa:peg. Ceu rora, 3a xaj6ore peuaaarene, npe,qarlexe cy xHOBYaHe Harpalc.

3a4arxe peuaaajTe caMcruHo,-nc rpaxehu nouoh sro,q xora. Cnuxe uprajre npeuE3Ho, a pcuena nnurire o6paraoxeno{ vur(o. HeypeAHa, HeyrrDflBa lrucba x pe3ynrarg (o,(roBopH)6er o6parnoxera uehe ce y3f,Marx y o6:up.

Ha jeaaow nscry nanffpa rpe6a nanucarn ca Hcre crpaHei :peaur 6poj, Texcr H KoMnrerao peuebe cavo jeguor 3ararxa H

cBaxo peueBe qHTKo norntrcarE nyHHM HMeHoM u upc3lM€HoM, HJtsolehti palpe! E ore&c#,uKory, Mecro x xyhry agpecy. Ha nptvep: Aparrhcanh Msluua, yv. VI" p.a:p. Ocsoosc uxoae,,By6arcrn xepoju", 18000 HHIII. Kyhaa a.qpcca: yn. Mapuaaa Tura 6p. l6111 18000 HI,IIII.

Peueroa gaaaraxa ni oEor 6poja noclarr rairacrxle .qo 25, XII 1974.

Aapecy nanncaru aa creAehs uaqur:

MATEMATI4IIKN TTWCT

(KonrypcHu :a,uaqx)t.n, 728

ilool EEoTPAA

MonuNto peuaBareDe la ce y ca'ewy npagpxaaajy oBHx yuyrcrara. Peuew uartuae o6u\-Horr tou[toM, a He ApeAo]rtceBot KaKo ce he'6ucwe u3naiaau xeiofuped\uM frpowxoauMq.

C;1. 3

[Per: llpsa y rpyrolr pe:y]

KOHKYPCHI4 3AAAIII4



A) 3a YTenuxe V, VI, VII u VIII Pa3qega

247. Kojov ce un$pov (rnan'renxorra) 3aBpuaBa 6poj 2100? ,[,aru o6pa-

3no)Kerbe.

248. JeaaH patro3Hanh yqeHHK ynurao je ceojy HacraBHH.uy M.areMaryKe

*onr*o joj je roalrsa. Oua r.ay je o4roeopw:ra: ,,Moj cnn- u ja 3ajeaHo cMo

,iiii sqioo 4 t.. 3 .&aHa". ,,A *o:tt*o je crap Baur cnH?" ynHrao je oH no-

no"t. AoOro je oaroeop: ,,.[anac je oH ravuo ABa I{ no nyra rul:rafn 01 MeHe"'"" -?on"*o cy ra'a 6u;nn ctapw. HacraRHtllra MareMar[Ke u rsen cnu? (V:ern

.[a cBaKa ro,qnHaHMa rro 12 veceuu lI cBaKll Meceq no 30 aaHa)'

249. Yrao {xyr) oc eehu je oa cBor xoMnneMeHTHor yrna railHo 3a oHo-

JroKo 3a (oJIHKo Je Malbl'( oA cBor cynneMeHTHor yua' Kolnxn je yrao a?

B) 3a Yuenuxe VI' VII u VIII PatPega

28*3250. !.ar je pa:rovax 'rrn,

"o*ece je,rHa undpa y bpojuouY (6pojuuxy,

rar6praca,ra. Kojra 6poj rpe6a oayreru 6pououy, a 3arllM Eo!'arv I'IMeHHouy2

{lril }lt,runri\ ). na xa ce nocre crcpahnearsa Ao6uje pafnot'rax ., ?

251. AerundpoBarr{ npoH3BoA (npo.ayKr):

-,qe ac. ,cBc AEC,qac.

A, B u C o:ua.raeajy pa3nxqlire un0pe.

252. Ha cluuu je aara qerBprl'IHa npol'I3Bo;l'Hor

*py.u " y l6eMy je roncrpyucaH yrao o/l 22"' Kopncrehr'rclrrlo ruecTap KoHcrpy[caTl{ JIyK Aaror rpoyrna' KoMe

olroBapa nepnsepujcxu yrao oa l0'. Onncaru nocrynaK'

C) 3a yqeuuxe VII u VIII PazPega

253. /Jorc:rt;iru .ua je apoH3BoA cBHx npupoAHl'tx 6pojena oq 1.01 ao 200'

r:. ror .lo:ijgJ.. '19g'19"9'2d0, aerl,tn ca 2t00, a nnje 'uersnn ca 2r0r'

254. Y o,rc,T ,ersy o.q 36 yqeHI4Ka, cBI'r o6aBe3Ho yqe eHrJ'IecKH' $pauqycxtl

r,rJrr4 HeNralrKlr '.:,nr(camoleaaH oa r+'ux), xao obaeelaH LIJKoJIcKlr

"9"{Y:t'y

oKBHpy BaHHacraBHt'rx aKTItBHocrI{' noje4r'ruu yqeHfiqu oanyqe aa yqe Jo^uI no

i;;;;;t ;;;i j.rr*u' Cana 22 v'(reH'nxa vqe eHrnecKl{' 20 Spanqvcxx. u 2o ue-

irur*"l"rt*. Og *t* 9 yve eHr,recru.H HeMaqKH u 7 eHr'recxn u Spanuycxu'

Kolnxo yqeHI.{Ka yqe caMo no jeAan crpaH[ je:nr n xojr'r?

255. Tpoyrao (rpoxyr) ABC uva yr'roae.p : I 5' n Y: 30'' flpasa (npasau)

xoja caApxr raqKy A

"ttop*"r,ttu (oxovura) je na AB, ceqe Ayx (ayxlrHy) 8C

y raqKLI D. ,{oxararn rc ie BD:24C.

D) 3a yuenuxe VIII PazPega

256. O.apeaHrI'I pa3rl{qllre u}r$pe a' b u c, oa xojux ur'rjeaxa Hnie jeAnaxa

HyIw, ia xoje je abc'.c - bi- Hahu cBa perrrerra'

58

257. larn cy cxynoBlr: A:{1, 2, 3, 4, 5,6, 8} u B:\2' 4, t' 9' 9} Oa-peAHrH cryn S, raKaB aa je loS-{3, a} Ir B )S-12,3' 4' 5' 6' 7' 8' 9}.

258. O,q nanrpa obluxa npaBoyraoHltKa (npaeoxyrHur), xoue je je4na

crpaHr{qa 7 cm, canujarrev je navu*eH oMorarl qerBopocrpaHe npI'I3Me. Bucusa

npr{3Me je aara crpaHl{qa, a ocHoBe (6are) cy rpaBoyraoHl.rqn. 36up noBp[II'IHa

oiHosa jeAxax je noBplulrHn aaror npaBoyraoHnxa. Ko.nnxa je apyra crpaHlrqa

AaTOr npaBoyraonuxa?

RESENJA KONKURSNIH ZADATAKA 235_246 TZ

MATEMATIEKOG LISTA IX 1

A) Za uienike V, W, VII i VIII razreda

235. U tri korpe nalaze se 12, 14 i 22 iabuke. Treba sa tri prebacivanja

izjednaiiti broj jabuka u sve tri korpe. Prehacivanje se moie izvriiti samo tako,

da se iz jedne korpe premesti u drugu tatno onoliko jabuka koliko ih u drugoj

vet ima.Ima ukupno 48 jabuka, i njih treba rasporediti tako, da dobijemo po 16

u svakoj korpi. Prema datim uslovima mogu6e je vrSiti prebacivanje jedino iz

korpe u kojoj se nalazi viSe jabuka u korpu u kojoj je manje jabuka. To iemoposiiei na sledeii naEin: l) Iz trece korpe prebacimo u drugu 14 jabuka; 2) Iz

druge korpe prebacimo u prvu 12 jabuka; 3) Iz prve korpe prebacinro ll _jahrrka

u treiu korpu. Sada u svakoj korpi ima po 16 jabuka.

Bosa Petrovii,ud. Vrr. O.5. ,,Dragan Dokovi6-Uda", Ladevci

236. Deiifrovati proizvod: a.b.ab: tb6. SaZb ,':'naien je dvocifren broj, a sa bbb trocifren. Razlitita slot,t

oznaiavaju razliiite cifre, a jednaka slova jednake cilrt'lz ttt:b.lll zaklju6ujemo daje o'ob:lll. Poi-

to je 111:3.37, dobijamol d:3, b:7, Sto odgovarrr

zadatom proizvodu: 3.7.37 :777.Damii Rigo, ud. V, r. O.S. ,,August Cesarec", Zagrcl'

237. Figuru datu na slici L podeliti na tetiri jednuA,,

dela, tako da se u svakom delu nalazi po jedna zve:dittt. st I

Re5enje se vidi na sl. l.Elenq 2ivku, ud. V, r. O.5. ,,Prvi nraj", Vladinrirorac

B) Za uienike VI, VII i VIII razreda

238. Pri sabiranju dvo decimalna broja, napravili smo greiku u potpisivanju(potpisoli smo krajnje cifre jednu i.spod druge, pa je decimalni zarez kod jednog

broja otilao za jedno nteslo udesno). Tako smo dobili zbir 14,7 umesto 29,73.Odrediti sahirke.

Da bismo naSli traZene brojeve, izvrSi6emo navedene operacije stavljajuiizvezdice unresto nepoznatih cifara sabiraka.

**,* * **,*** *,i **r+

AJ teJ3

59



-Des I se odmah vidi da je krajnja cifra prvog broja 3, a zatim, ako je

upi5emo le6 na odgovarajuie mesto, vidimo da je krajnja cifra drugog broja7 (3+7:10 - krajnja cifra pogreSnog zbira je0).A,ko7 upiSemo.na svoje mesto

u desnom zbiru, zakljudiiemo da je pretposledna cifra prvog broja 0 (0'r'7 ' 7),

itd. Nastavljajuii ovaj postupak dobijamo sabirk-e: 13,03 i 16,7.

Boris Altman, u6. VI, r. O.S. ,,Branko Radidevic", Beograd

N apomena: Zadatak je mogao da se reSi i pomoiu jednadina.

239. (lienik je kupio ietiri udibenika. Prva tri staiu 36 dinara. Sve. kniige

bez druge staju 40 dinara, prva, druga i ietvrta zaiidno staiu 38 dinara, a sve

knjige bez prve staju 42 dinara. Koliko dinara staje svaki udibenik posebno?Zbir cena prve, trece i detvrte knjige je 40 din, a zbir cena druge, trece i

detvrte je 42 din. Vidimo da je druga knjiga skuplja od prve za 2 din. Na isti

naEin zakljudujemo da je tre6a knjiga skuplja od prve za 4 din, a detvrta za

6 din. To moZemo predstaviti na sledeii nadin:

Ccna prve knjigc: l-- | ,

l-l uI

Po3to prve tri knjige staju zajedno 36 din, cena prve knjige bice: 30:3 - l0'Prema tome, udZbenici pojedinadno staju: l0 din, 12 din 14 din i 16 din.

Marina Eogosavljevit, ud. V, r. O.S. ,,Lela Popovic"' Miljkovac

240. Od komada kartona kvadratnog oblika, duiine 9 dm, izrezana ie i

natinjena mreia kutije (bez poklopca) oblika kvadra. Otpaciiseteni

sauglova

sastavljeni su lepljenjem u jedan komad i od toga je naiinjen poklopac kutije.

a) Kolika je zapremina ovakve kutiie,'ako ie za njenu izradu upolreblienceo komad kartona, bez ikarta?

b) Kako temo od istog takvog komada kartona izrezati kutiju najve[e mogtiezapremine? Kolika je najveta moguta zapremina?

a) Da bi se od ietiri otpatka, izrezana sa uglova kartona (sl. 2), sastavio

poklopac kutije. svaki od njih mora biti jednak detvrtini osnove (baze) kutije.Prema tome, osnova kutije (kvadra) bice

kvadrat stranice 4,5 dm. Visina je 2,25 dm,pa je zapremina kutije: V :4,52.2,25 dm3 :-- 45,5625 dmr.

b) Najveia zapremina dobija se kadase naEini kutija bez poklopca, dija je osnovakvadrat stranice 6 dm. Zapremina tada ii-nosi 54 dmr.

Dragica Celit, ut. VII r. O. S.

,,V. Blagojevii", B. KoviljadaPri med b a urcd ni stv a: Od kartona

kvadfatnog obiika duZine a dobija sc kutija bez pok-lopca oblika kvadra najveie zapremine, ako sc na

svakom uglu izreie kvadrat duiinedU

.

C ) Zo ut'anikt' I ll i LlllI ru:rctlu

241. Biciklista je za I Ius i l2 nrinttttt preiao lvt serlminc rastojanja odsvog sela S do grada G. Odrediri t)t'(,tu':(t hoie bi on prcluo, kretuti se istom

brzinom, polovinu rastojonio ol S lo (i.

26_ pu(il l)r(\ir(r ;t' z;r -- lasitl)

I Dtllill

37t-,7 t'its:l55

Prenla tome, biciklista jc prt:srto !t() put zit 2 e'asa i6 minuta.

Ivit'a Alunnr', rrc'. Vl, r. O. S. ,,lrr Ii. Vrcbalov", Melenci

242. Nati nelntonji printlni ltrrti, /.rtji pomnoict, su 2 pos!aje kvadral nekog

broja, a porunoZen sa -1 po.stojt kult rtrLoll drugog hntiu.

Ako se traZeni broi rastuvi tut prostc iiniocc, svi dobijeni dinioci biiedvojke i trojke. U protivnorn [](]sl()il(r hi i mqnji broj koji ispunjava date uslove.

Da bismo mnoZenjcm sa 2 tkrtrili kv;trtr:tl nekdg. broi:r, rnora medu diniocimabiti 3.3, tj.3'z. Medutim, poito nrtto)cttjcttt sa 3 trcba tla dobijenlo kub nekog

broja, to medu diniocinra nrorir bi(i 2'2.2, tj.2r. ZnaCi, najnranji prirodni brojsa navedenom osobinonr jc 2-2.2.3. .l 72.

Zaista:'72'2,144 122i12.1 216 51.

Nudcitlu 2ugtr, trt. VII, r. (). S. ,,S. .lakovljevii", Paraiin

243, Ll pruvotqlorn tntuglu (ln*utu) ABC kort:trtri.t,trtu.it ti.sirttt CD (sl. j).Nektt it, Ii srediitc duii CI) i l;:ruli.il<'duii BD. I\rl,tt:ttti rlti ic Jtrura.4E nor'ttrulnu no pruvu ( l:.

N a gr o n) c n u: (.1 lckslrr u:rtl. l4.l u proilotrtbro.ju Nlulttrtuliiltog /i,t/rr (slr. 30;, orttlt(l.om jc rrtl'Itarnpuno (/i, a lrcbrtlo jc tla stoii ( 1, zbog degit sc

izvinjavlltto Iilltoeirttit. Mcr'ltttirtr, vccitrrt iitalaca, koir

su nacrtali odgovuntjuctr sliLu, uttiill jc ovu grc(ktr.

l'o kortslrukci.ii tlrri /r'l 1c srctlrt.ia linija trouglir

1i('D, pa .jc pat'alcltra sl /J(', i slttttirtt tim norntalttltntr A('. l)oittl jo ('/) lrrkotlc rtorttt:tltr:t na ,4F, slodrrje

da je taika lj ortocctttur ltougl:r ;l/"(, pa je lri trce:t

visina tog trougla. Ottrtla izlazi tllt ic ltrava AIi nor'malna na CF, Sto se i tvltliltt.

Goran Ilirt, uI. Vll, r. (). S. ,,Kltllttlorde", 'I'opollt

6.1-:2 tllts:t55

ceo put

I

1puta

2l )t,, ,,

tt2 ,Uditsit,, drugc ,.

,, lreda

,, eetvrtc ,,

60

Si :

6l



D) Za utenike VIII razreda

244. Ako se dvocifrenom broiu dopiie cifra I s leve i s desne strane, dobiia

se hroj koii ie 2t puta ieti od prvobitnog broja. Nati taj dvocifreni broj'

Neka je a tralerri dvocifreni broj. Dopisivanjem po_ jedne- jedinice ispred

i iza njega dbbiiamo broj, koji je za 1001 vedi od lga. Otuda dobijamo jedna-

dinu: lba+ l00l:21a. Re5enje ove jednadine ie a:91-Dragana Tihomirovit, rrd. VIII, r. O. S. ,,Prvi partizani", Rabrovo

245. Nati sve prirodne broieve koii se zavriavaiu sa iste dve cifre, sakojima se zavriavaiu i njihovi kvadrati.

Neka je traZeni broj x:l}a+b (a>l- ne mora biti jednocifren broj i

O<r<9). Njegov kvadrat-je

x':l}0a2+2oab't-62. Prema uslovu x2 i x zavrla-

;rj, r; ia iite-dve cifre, pa je x'-x1lQo't lO,(2ab-a)+b2.-b.deljivo sa 100'

od'norno x2-x zavrSava s-" si dve nule. ZnaEi: l0(2ab-a)+bz-b: l00k'. gde je

k ceo broj. Otuba zakljudujemo da mora biti b2-b deljivo sa 10, a to Je mo-

guie ako je ,e {0, l, 5, 6}. Proverimo sve sludajeve.

1) b:0 => -l0a:100k => aQ{10, 20, 30, ...}. U tom sludaju traZeni

broj se zavr5ava sa dve nule: x:"'00.2) b:l => l}a:l}Ok > aQ{10, 20, 30, . '.}, pa se traZeni broj zavr-

Sava sa 01, tj.: x: .''01.

3) b:5 - 9a+2: lOk + a({ 2, 12,22'.'.}' tj.: x: "'25'

4) b:6 -> lla+ 3:lOk + oe{ 7,17,27, ...}' tj. x: "'76'

Znadi, ako se neki broj zavriava ciframa: 00, 01, 25 ili 76, onda se i

njegov kvadrat zavr5ava istim tim ciframa.

Igor Vukitevii, ud. VIII r. O. S. ,,20' oktobar", Beograd

246. lJ trouglu ABC, kroz centar upisanog kruga, povuiena je prava

paralelna stranici n"C, koia sete stranicu AB u taiki M, a stranicu AC u taiki N.

Dokazari da ie MN -BM+CN.'

BH III4TATE - MI,I OAIOBAPAMO

V uarny peaaxqnjy crrrxy noBpeMeHo nurarsa xojnua HaM ce o6pahajyHalnH qfiTaoq]r y Be3H ca HacTaBHHM fpaauBoM l{3 MaTeMaTI,IKe 3a OCHOBHy

ruKony. Ao caaa cMo Ha raKBa nuralba oaroBapanfi nojeAuHaquo.

Pe.qarqfija cMarpa aa 6u cnararo 6u:ro Kopr.rcHo aa ce Hera oA Tr{x

nnrarba o6jaae rajeano ca oaroBopr.rva. 3aro je N oAry.rvra aa oA onor 6pojayne4e py6prary ,,BV IIVTATE

-MH O,4|OBAPAMO". Bu HaM I{ Aarbe rroc-

raarajre rr,rrar6a. Barua uuena Heheruro HaBoArrH, yxorr.rxo ro He xeJrHTe.

O4a6pa.nn cMo 3a roqeraK:

l. VqeuNr VI pa3peaa Har'r je nocnao nnralbe oBe caApxuHe:,,V jeguon

uteciliy Hauuao caM Ha oeaKaq iagc:,rar(.' ,,7r: 3,14 . .. , tc:3,141 . .. , r:3,1415. ,,,n:3,14159..,. la au je r KoHciua+rua unu upoMe*,'buea?" Mo,,tuu Bac ga nutaxeue xoju je ogioeop utauan, jep uu je uetioguo ga uuna,v HacwasHuKa".

Oarosop: n je xoHcraHra. To je Herepxoar.rqaH AeqrManan 6poj ca 6ec-:.,rajno uuoro aeqr.rMana, xojn npe4craoJl'a craJlHr,r r(oi'rttitHl{K o6uua u rrpetlrnral{oa cBaKor xpyra. FLeroay BpeAHocr Aobujavo cae ravnnje, yKoJIHXo Bume6eroB'rx Aeqr,rMana y3uMaMo y o6:np. Taqrsue fi3a nocneAr$e qn$pe ornauanajyAA Ce v3a lbe HHxy r.r apyre.

2. Vqesrr{a C. M. nuure uav; ,,Mo,tu.u Bac Aa l,tu og.osopuwe ga ru je

, !trc.: upo6teJil wpucex4uje yim. Hnutepecyje ue jou Hewuto. At<o ocnoeu4y ABjegnaxoxpaxoi utpoyi,la uogenunto Ha tupu jegaaxa geia u csa+y naqxy cuojuiloca we.MeHo,+t C, ga ru uocwoju goKas ga cy npu go6ujena yina, Hactuana geodon

yi.n ACB, jegtnxa."OAronop: V 6p. VIll 4 MaweuautuqKo, ,tucwa oA npolrrJre urKoncKe

roAHHe 6rl,ro je H3Hero Aa je npobrervr rpncexquje yrna peureH, lr To Herarr{Bxo,

rj. raxo urro je aoxa3aHo Aa ce npos3BoJbr{o BeJrlr( yrao He Moxe noaeJruTr{

cavo nouohy Jrersupa H uecrapa Ha rpLI jeAuaxa Aena. -Tpr gobujena yrna

y jeguarorparoM Tpoyrny, o xojnua nuruere, Hncy velyco6Ho je4nara, ruroMo)Kere raKo aoKa3arfi H. cault ropucrehu ce noayAapHoruhy rpoyrnoaa. Moxerece y ro yBepr,rrr{ rr npocrlrM MeperleM, aKo Harrprare Mano BehH jegHaxoxpaxr

Tpoyrao xoju npn Bpxy rrMa ryn yrao.

3. Yqerrlaqa VII parpe4a: ,,Ha 6eois;, tj ute'teauzuju qectuo ce 6uge pa?Hu

tl'tt.hut;t,ilu. Bclt tu'xo.tuxtt uyun ca,4 H1 Ib upuMenula ga ce 4eHiuu,uenap, Se.rctrccutu ca ct. (ca tuaqKov w Kpajy! | .Iu utaxo y utKo:u nucuo yiu,tu.

O4r'onop: flpcrnocrannaMo aa c. .r rxKoJIu yqunfi Aa ce rleHTrrMerepotic.;rexaoa ca cnr (6ct raqKc r{a xpajy).'l o je ro, npeMa jeAHoM MebyHapoAHoM

aoroBopy Hayqrrux yc'raHoBa, npnxri'rhcr y MHoTHM 3eMJbaMa y cBery, na fiKoA Hac. V Hac nocrojn nocebart -l: o MepaMa. V rrevy cy HaBeAeHe cBejeaur-urqe 3a Mepelbe Be;rr4rrnHa, ILri..i ,u vefyco6Hn oAHocr{ Kao rr o3uaKe.

Ideururraerap ce o3naqaBa ca cm (6er raqKe Ha xpajy), Mr.unMerap ca mm,xxJroMerap ca km fi TA.

Neka je O centar upisanog kruga trougla

.18C. Poznato je da se centar upisanog kruga tro-ugla nalazi u preseku simetrala unutra5nji! uglova.

znad da prave BO i CO polove unutra3nje uglove

", i ^1 kod temena 3 i C. Stoga ie 4MBO: 4CB-O-.\'lcdutim, kako je prava MN paralelna sa BC'.leduje da je 4MOB jednaka sa 4CBO (naizme-

niini uglovi), pa ie i 4MOB: +MBO. Prema to-nre, trougao BOM je jednakokraki, pa ie OM:BM.

Na isti naEin se ilokazuje da je i trougaoroN jednakokraki, tj. da je ON:CN. Posto je

.\lN:OM+ON, sleduje: MN:BM+ CN,5to se itvrdilo.

62

Miloi hfitrovit, u6. VII r. O. S.,,Vojvoda Z. MiSi6", Brezde

n-t



MATEMATICKA RAZONODA

Seci, pa sastavljaj!

1.- Raseci kvadrat na 5 delova tako, da se od njih mogu naEiniti 2 jednaka

kvadrata.

2. Veci od dva nacrtana kvadrata raseci na 4 podudarna trougla tako,da se posle toga od njih i od manjeg kvadrata moie sastaviti novi kvadrat (sl. l)i

3. Nacrtanu sliku treba rasedi po povu6enim linijama nir 2 dela tako, dase od njih moZe sastaviti Sahovska tabla (sl. 2).

rll. l

Pomozi ielezniEaru!

4. U prostor ,4 mogu se uvesti vagoni P i Q,ali neilokomotivaR.'KakomoZe lokomotiva .R di dovdde vagon P na mesto vagona Q, a vagon Q na

mesto vagona P, pa da se posle toga vrati opet na svoje mesto?

5. Pretpostavimo sad da u prostor '4 mo-Ze da ude i lokomotiva, ali bez i jednog vagona.Kako moZe lokomotiva rR da dovede vagon Pna mesto vagona Q, a vagon Q na mesto va-gona P, a da se uz to i sama okrene, te dadode na svoje mesto okrenuta ka D?

Pauxo Cuuoeuh

JF'P\VIH14 IIA

Oua je cnecHacaoje..r"rofulcaMo xaA HuJey cavohn.

KaAa je cauacae cyse rujeca ynnauleHorMaJror nfiqa,

jep nuxo raxoHa cBery HrrJe

ycaMJbeH Kaoje4nunqa.

64

sl. 3

ODGOVORI NA PITANJA IZ PROSLOC BROJA

L Treba staviti na svaki tas terazija po 3 kese. Ako se pokaze da su onc jednako teskc,kcsr sa manje aecera se nalazi medu onim trima kesama koje nisu na terazijama. Ako se pokaZeda nisu jcdnako tcske, kesa sa manje iecera je na onom tasu koji ,,odskade.,, Kad se tako odredinrcdu kojima trima kesama se nalazi kesa sa manje le6era, dve od te tri kese treba staviti na tera-lijc (svaku ra po jedan tas), i onda se odmah moz€ odrediti u kojoj kesi ima manje Secera.

2. 7,5.l. Nije bila u pravu. Da nije prodala sve odjednom, primila bi 25 dinara, a ovako jc

prirnila samo 24 dinara.4- Medu brojevima na kartondi6ima bila su tri neparna l>roja, iz dega se odmah, i bez

rrhiranja brojeva na kartondiiima, moglo zakljuditi da je njihov zbir neparan broj i da se ne moiet)rcd\tr\iti u ridu zbira dva .jednaka broja.

5- Rcienjir su prikazana na sl. I i sl_ l.

A @sr. -1

t. I

trrrr. porukarii ciglu du7 njcnc iviec -48 u

6. Re3enje je prikazano na sl. 3.7. MoSuce jc. Treba najpre postaviti ciglu na sto u poloiaj koji je na sl. 4 oznaten sa I, a za-

n sa ll, neposrcdno izmeriti dui,l('r

rC^

\t {

l. Zbir svih brojeva koje treba upisati u kruZiie je 28. Posto zbir onih brojeva, koji serrrlaze na ,,osnovici" i na s njom paralelnoj duzi treba da su medusobno jednaki, na ,,vrh.. trouglanrogu doii samo brojevi 2, 4 ili 6, itd. MoZe se urvrditi da od njih dolazi u obzir samo broj 4l

2. Trcba najpre odrediti broj koji nedostajc u poslednjem redu, ili u poslednjem stupcu.Re5enja zad. I i 2 (Pronsatite put) prikazana su na sl. 5 i 6.

NAGRADNI ZADATAK BR.40

a) Uz proizvoljan tupougli trougao treba docrtati jedan jednakokraki trougaotako da se dobije novi tougao. Na koliko raznih naiinaje to mogute? (Priloiiti crtei.)

h) Pronadite kuko je konstruisan matematiiki ornament na naslovnoj slranili:tttt i poittljite nam gu nacrlanog u razmeri 2:1.

Za tatno relcnjc ovog zadatka nagradicemo 50. udenika matematiakim knjigama ili pribg-rom za pisanic, Po potrcbi odludiCc lrcb.

ReScnjc poslati na adrcsu: Matcmatiaki Iist, p.p. 728, ll0Ol Beograd. Na samom raduobavezno napisitc svoje imc i prczimc, razred, odeljcnje, skolu i postu (sa postanskim brojem), kaoi kuinu adresu. Na koverti (()motu) naznalirc: Nagradni zadatak br- 40.

Resenja primamo do 2O. XIf o. g. RcScnja koja ne ispunjavaju sve navedene uslove ne6cse uzimati u obzir-

. \aqomena: Rcsenje Negreduog zrdrtkr br. 39, kao i spisak nagradenih resavatclja doneCemo u slcdcdem broju lista,

st. 6

Matematicki list 1974 IX 2

Documents

Transcript of Matematicki list 1974 IX 2