Matematicki list 1975 X 3

7/28/2019 Matematicki list 1975 X 3

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1975-x-3 1/17

{) I}AVESTE\JA PRETPLATNICIIVTA

l. Urctlnistrrt pozivit nastavtrike i nrolesorc nlitcntatikc kao i ostalc i'ita-oce da \alju svo.ie flioge z.r list: cl.rnkc, oJrLl.r.rne zadatke, zatiatke sa prije'nrnihispita i nratenrirtii'kih takrrricenja, raznc zanimljivosti. polcl.jno jc da svi rukopiri(osim udcniikih rcien.ia zarlalak:i,y bu,Ju pislrni pisac'c)nt nra(rnom, s proretlttnr.Rukopisi se nc lrac:iju.

2. l\[attnatiikr /i.r/ namcnjen jc s|irnikolc. I-ist izlazi(r puta u toku ;kolskc godinc, i to I

-1. GodiSnja pretplata (za svih 6 brojeva)vi:e od l0 (r,111I)lc1;1 oJohnrrilnrtr rilhill (l{t',,,kojeg se isplati celokupna prcrpl;ita (1, Xll, I.nc uvaZavaju sc.

Nar udZbine sc Sal.ju

iurr,.Valematii'kog liste"ta{ttu arlrtsu na ko.iu listoclnosrr.r upllrta odrrosi.

irurul:hinc printunto itlitcktnt rrtkrt ItltJrt;ttt rerittkt.ijt, br- 0ll-63g-26-'1..1. RaspolaZclro konrplctinra Iist:r iz ikol:ii(j l9()E,'()9. gori. (br. III. I 5).

ik. 1969/70. g,,d. (h,r-. I"'. I 5). ik. 1970 71. uo,i (hr. v. I i -r). (k. 197t,72. god.(br, VI, I -it, ik. lell,7.1. god. (hr'. Vlt. | ,s). (k. I97.r,7.tr. gotl. (br.. Vilt. I 5),i il:. 197.1,t75. gor1. 1i,r. IX I .6). ()d ovih gtrriijra nrorlaju .sc: gorJiita Ill, lV,Vl i VII po srlilcnoj ct'tti od (r tiinani za kornplcl. go,liitl ! pr icli 6,1 ;1 djrraiai gotliitc VIII i IX po cc;ri od l() din. Zl-,irka rcier,ih zatiatrku sa ntalcrtratiCkilrtrrktri[enje udcnika ()snr)\nc:kolc ntoTc sc rlobiti i)r) ccni oLl 7 tlln.

5. Molr: se pcrrcrenici ,\lut(ntu/itk()g 1i.rla da i/.nrirc sVir 1a()\titl i riuu0vlrn j.r .

6. Src prilrtgc. printctlb.t inarurlZbe siati i.r1lrk,ryd na arlr.csu:

Nlatematit'ki list, p.p. 728, ll00l llcograd

L

).

.1.

5.

6.

7.

8.

9.10.

I t.

ll.l,l.t4.

SADIT.ZAJ

P. D.: Cetiri znaiajnc krivc linijc

'\.1. trlilitia: Kub i kubni ktrren vi(ccifr.cnog broja

lz istorijc clcntcntarnc nt:ltcnlrtikcIl. .Sinti(: Tcorenn-obratnl [)itagorinoj tcttrcntiLj. Cukit: Sta je konrbinatort:r gcontctrija . . .

Tcstor i 1ii pro\e ravanje ,rtcdenog znanjltr it ntatcntat jke

Zadai'i od republiikiot natpre\ar po ntatcntatik:r ro SI{ N4akctlonijaOd;rbrani zaJ.rei .

Konkursni zadaci.

Na iahovskoj tribli i oko njel\nrr\ kir

Spisak reiavalaca konkurskilr zadatakaNagradni zadatak br. 4tr .

Rezultati konkursa zn nagradni zadatak br. 4t

' rr , l r t i i ,ii;al

uienicintu I V- VI I I raz. osnovrlc. x, l-s. xt, l I, 15. II, l.lv i 15.v.

iznosi -10 dinara. \arrr.ioL il)rd /al-5:';, 10",,), u uvi:no oti loklr dolll, L Vl). Nikakri tlrugi orltriei

siu)ro nt:l)osrcrtno nn lrrlresrr lislrr, li rrrrrlic na iircl-ra-broj 60t106-67i{-1162i. i)ri lorrrc lrqb:t ofravezno nurcstilrt'ba tjostirritr i ltrsno nlizlt:riiti na ita sc n:riutjTbina

65

6t)

11

75

76

l9lJ.l

u6

8ri91

91

95

9(;

korice

),

ATEM,,ZA UCENII(E

1,,.

",

t



SA\IEZ DRUSTAVA I\IA'I'EIVIATICARA, FIZICARA I ASTRONOMAJI,;COSLAVIJE

MATEMATICKI LIST

za u[enikc osnovnc Skole

Cod. X, broj 3 (1975/76t

Izlazi \est Puta godiinje

IZDAJE DRUS-TVO NIA'I'E}IATICARA, FIZIC,\IIA I ASTROI'iOMASR SRI}IJE

Ileograd, Knez Nlihajlova 35,1\" p. p. 728.

Urednici:

Plaron Dimic (gl. ured.) i Miroslav 2ivkovic (odg. ured.)

Rcdakcioni odbor:

I iinja Brkir-Devtii (.Zagrcbl, Kosta l{iiatovii (Sarajevo)

Bosumila Kolenka (Ljubljana), Vetiko 2it'kot'ii (Titograd;

Du!ko Kovoier (Skc'p.le), Ytadimir Stoianovit (Bcograd;

Sva prava utnnoZavanja, presrampavanja i prevodenja zadr'zava

Drustvo matematieara, fizidara i astronoma SR Srbije

oslobodeno piacanja poreza na promet na osnovu re.enja Republidkog sekretarij.rta

za kuituru SR Srbije br. 413-186-03 od 11.1. i9T3 godine

Sampa: Beograciski izdavadko-grafidki zavod, Beograd, Bul. vojvode lrtisiia br. l7

Hero cy r{ Aa,'rexo Ay6Jbe Mef)yco6Ho noBe3aHe rllMe IUTO Ce CBe oHe

ruory Ao6nrr.r xao npeceu[ jeAue r:s. ABojHe KoHycHe I]oBpluH I{ paBHn.

Hexa je AtBtAzB2OAt'Bt'Ar'Br' cJrI{Ka jeAHor IlpaBor Kpyx-

rror ABojHor xoHyca (cl. l) H Hexa je a yrao KojH cBaKa H3BoAttHIIa

IIETI,IPU 3HAIIAJHE KPI4BE JII,IHI,IJE

floruaro je aa cy y [paKrlrqHoM xnBoryHaj.reuhe noMr{BaHe xpHBe nLIHHje xpyxHr.lqa,

eJrr{nca, [apa6ona H xlluep6ora. HeMa qoBeKa

r(oju He 3Ha rura je xpyxnuua (xoja ce y o6nt{-

HOM rOBOpy qecTo Ha3HBa KpyroM), I{HorLI I4MAjy

6ap yr,ranHnoM jacHy npeAcraBy o o6nuxy enun-ce

'rflapa6oJle, a IIHje peTKocr Aa je I'I Malbc

ur(otoBaH qoBeK tlyo 3a x[nep60Jly, ].laKo o6Htl-

HO He 3Ha r(al(Ba je ro xpr4Ba. Ho, one qerupH

KprrBe He caMo ruro ce .reuhe Hero Apyre cpehy

Ha TexHHYr(r4M IIpTer(HMa, opHaMeHTflN{a t,I CJr.,

oBor KoHyca 3aKJIaIra ca ocoM KoHyca.

I{exa je, Aa:l'e, p upaBa naPa,'IeJIHa

ca npeqHr.{ur4\LA BrB2 W Br'Br' oc'

HOBa OBOr KOHycar.r Hexa

cy lp12, 13

H /4 paBHH xoje rpora3e xpo3 nPaBY

p H 3aKJIa[aJy, peAoM, ca ocoM yr-JIOBC BeJIHqI{He cll : 90", a<Ar<90',dt: cL n 0 < c(n<a, Kao llrro je 10

npeAcraBJbeHo Ha cn. l. TaAa npBa

oA oBHX paBHH ceqe oMoTaq roHyca

no rpyry; Apyra oA lbux ra ceqe no

eJrr{ncH; Tpeha ra ceqe IIo Jlyxy IIa-

pa6one; a rlerBpra ra ceqe no JIyIII'Ma xnnepboJle-oA KojI{X Cy IIpBe

ABe KpHBe y noTrryHoCTH npe.qcraBJbe-

He Ha cJI. l, Aox cy Apyre ABe oA

IbLIX ilpe.q,CTaBJbeHe CaMO AeIIItMI'IqHo'

rroruro ce HeorpaHHqeHo npyxajyno ABojHoj xoHycHoj noBplull Kojoj

npHrraAa oMoTaq geojnor xoHyca

A.BLA2B2OA.' Br' A2' 82'.

Tavnuja npeAcraBa o oBHM KpLIBLIMa Moxe ce go6nru axo ce

o.q nnacTeJlr.rHa HatInHH MaKap caMo Je.4aH [paB xpyxHH KoHyc I'I

Cr

65



3aTI,tM HCT'I npeceqa HoxeM oHaKo xao IIITOHo. TaAa ce yBilba Aa AoEHjeHe KpnBe uMajyxoje ce BuAe Ha ct.2a, 26, 2s u 2r.

je ro uanpeA HaBeAe"

o6,rnx cirr.lqag o""tu3. XNuep6o,ra je xpnna y paBHl{ (c;r.5) vraje cne rauxe uuajy.

cnojcroo ga je pa:-,rnxa oAcrojan a (norera) cBaxe oA tbux oA ABeyrnpleue ravxe (xNxe) lrr ucre paBHH cra,qna.

Hapanuo, caA 6x rpeba,ro raqHocT oBnx rBpArbu r.r goxa3aru. Ho,N{r{ To oeAe Hehevo yrrHHr4Tt4, jep cy oBu AoKa3u AyrH H TetuKH,na ce caouuraeajy yqeHnunNra rex y cpe,rlboj ruxolr. 3aro hetuo oegejour cauo noxa3aru KaKo ce Ha ocHoBy HaBeAeHnx cnojcraea noMe-

Hyrux KpHBrax, roje Mx nornyHo o,cpebyjy r.{ Mory ce cMarparu 3arsltxoBa .aeSurrHquje, N{oxe KoilerpyHcarr{ npol,t3BoJbau Spoj [bHXoBr4x

Tarraxa, Taxo Aa ce nocJre rora. cnaja*en rHX Tar{axa, Mory Ha-qpTaTn npu6,lnxHo r.i cilNle riphBe.

[a [oqHeMo oA eJrr{nce. tr4: Aare 4e(rn-nlrquje npou3-ra3H Aa je. panH rioHclpyr(-quje e,runce, norpebHo nperxoAHo Aa HaN{

6yAe aaro (oguocHo Aa ce npon3BorbHouaabepe) xr.IxHo pacrojarce F, F..-2e ucralau :6np 2o pactojaH,a cBaxe rar{xee,'rnnce oA xuxa, H To raxo m je 2a>2e.Harlprajr'to 3arur\{ rauxe F, H F, ra Aarot\lpacrojarry u je4ny AylK PQ Ayxune 2a,

S

7

a ua onoj oApeAnMo no,roxaj raqxe R n S raxo aa je PR:a-e:

P^S:0S: a. (ctr.6) Hanocnerxy, Hta6epr.rMo Ha ayxu RS jegHy, xojy6rlo ravxy I, na oxo cBaKe oA Taqaxa F, u F, onutur4Mo no jeAanxpyxnl{ JIyI( lonynpetuuxa TQ u uojeAau xpyxHg nyrc nonynperrHr.rKaPT. y npeceqr{Ma culra oHa ABa nyxa, og xojux je jeaau onncaHflorynperrur.rxou TQ, a Apyru onucaH [oJryfipeqHr.rrolr PI, 4o6nhelrono ABe raqxe, og xojnx cnaxa npunaAa rpaxeuoj eluncu. 36Hpogcrojar+a cBaKe oA oBHx raqaKa oA xr,rxa 6nhe, Haulre, 2a.

,,flouepajyhu" rauxy ?t no gyxlr RS, lroxerro KoHcrpyncarnnpolr3BorbaH 6poj rauaxa rpaxsHe e[Htrce. Crrajan elr ravaxa godr-

R

P

jeuux ua oraj ua.rrH gobtja ce nplrb,ruxuo eJ'IHnca.

dl +t Ha apyrojaqr HaquH MoxeMo KoHcrpyr(-

Ctr- 7

uo ca npanov r/,

ceqe nonynpaBy

THBHo Aa orpeAr.rMo npor,r3BoJban 6poj TarraxaTpaxeHe uapabone. 3a ro nau je norpebHo cauoAa 3HaMo KoJmKo je oacrojaHje p cranHe raqxe

.F oA cralse npaBe rl. Axo ro 3HaMo, Haqpra-heuo je4uy npaay (d) n, Ha ogcrojarry p oIrue, jegny raqry (F) (cl. 7). Cnycrnlro ca4aHopMaJry AF ua npauy d lr noByrluN{o, napaJren-

Ha npor.r3Bo,luuolr orlcrojaH,y oA lbe, npaBy /, xojaAF y ratxu Ar. HanocJrerxy, y3MHMo y ruecrap

Crr. 26 C.:r. 2o C,r. 2 rTaxo crvlo go6ulu H3BecHo ogpefeuo objaurrcerce o roMe urra je

eJrlrnca, napabona N xunep6o;ra, ctaarpajyhu Aa nanr je nperxotHonosrrarHo caMo rura cy paBaH, KpyxHuua H npaB xpyxt{n xouyc. Ho,re raxo 4o6ajeue 4e$ltrHqraje He Kaxy Hau jout Hr.rura o roM xa-xan je vefycobHr.r oAHoc raqaKa ua cnaxoj oA THX xpHilHx, Kao ruroce ro Kaxe, peur.rMo, xaA ce HaBoAH no3Hara 4erprrHurlr.rja xpyxHr.r_u,e, A raxaa r43BecHa eaje4uuvxa coojcrna, HMaJy l.r raqxe Ha e,tnncn,Ha napa6o,ry, n Ha xunep6o,rl.r lr oHa cy c,regeha:

l. E,'IHnca je xpr.rna y paBHr.r (crr. 3) unje cne r-avxe rrnlajycnojcrno.qa je :6Hp o4crojan,a (norera) cBaxe o! tr,rrx oA ilue yrepl;eueTaqxe H3 r,rcre paBHr{ (xlrxe)cranan(F, M+F2M: FMt'... [,M'--2a).

FrFr:2e AtA2:2a^'t^'-1^l I 12-Yr t (, --v AM:p A'lvl':9'

Cr. 4

2. llapaSona je xpnna y paB-

Hn (cn. 4) unje cBe raqKe uvrajy

cnojcr ro Aa cy o4c'rojama cnaxcoA rbux oA jeAne yrepfene npane(.{upexrpuce) n jeaue yropfeueraure (xnxe) us lrcre panHu vefy-co6Ho jeguaxa (AM: MF, A'M' :: M)F,.

Cl't. 2 a

Mi

PO:OF

Cn. 3

Ft F2:2e ArAr:2a

P:-Pr: Pi -Pr':2a

Cr. 5

66 6'l



2343:200r : 80000003.200,.30: 3 6000003.200.30r: 54000030r : 27 0003.230'.4: 6348003.230.4'

': ll 0404t:64

]28129o4

Mef;yruu, ropfr,e nocrynKe MoxeMo jour ynpocrraru aKo cBe HyJre-

xojnrulaceranpuranajy cabupqn (ceira oxe xoja ce, eBeuryaJrHo. javuynocneAlbeM oA rrux) r,r3ocraBnMo, a H3paqyHare BpeAHocrl,r nornn-cyjevo raKo Aa cBaKn cJreAehu oA gobujeurax 6pojeea 6yge nouepen

sa je4no Mecro yAecHo y oAHocy na ca6npax xoju je HerrocpeAHoH3HaA pera. Taxo 4o6ujauo:

Hafnuo, Ha nplrMep, npeMa je4naxocruua (l) n (2), ryboaebpojena 24 u 234.

243 : (2O + 4), : 203 + 3. 202 . 4 + 3. 20. 42 + 43 : 8 000 + 4 800 + 960 + 64 : 13 824,

234r : (200 + 30 + 4)3 == 200r + 3. 200r. 30 + 3. 200. 30, + 303 + 3. 2302. 4 + 3. 230. 4, +

-. 43 - 8 000 000 + 3 600 000 + 540 000 + 27 000 + 634 800 + I I 040 + 64: t2 812 904.

. Axo npnnuxoM HaBeAeHux [ocryrraKa cabrpxe nornucyjeuo

Je.qaH r,rcno.4 Apyror, uuahevo:

Hpernocrau4Mo caA ga rpe6a uahn xy6 HeKor AeuLIMarHor6poja, peqnMo AeqnManHor 6poja 0,24 xoju utua 2 4eqnltaLle. Onaj

6poj ce Moxe Hanr{carfi y BLIAy o6H.IHor pa3noMi(a 241100, re je raxo:

0,243 : (241r00)r - 24rl100' : 13 82411 000 000 - 0,013724.

!,o ooor pe3yJrrara 6racuo AoruJur K KaAa 6ucvo H3BpIuI,IJIII

xy6uparre 4aror 6poja ..xao Aa y rbeMy HeMa AeuhMarHor 3ape3a.

rra y pe3ynrary o4nojnall AeuHManHuM 3ape3otu rp]r nyra oHoJlLlKo

AeufiMana, KonHr'Io nx HMa y caMoM 6pojy". llpnrou cMo ce MornHnocJryxHTtr l4croM oHor\{ cxeNlorra xojy cMo y[oTpe6r.r,rn npn xy6u-palby npupoaunx 6pojeoa. Ha crnqaH HaiIuH 6u ce Morlo nocry-nr{T}r y cnyvajy ror 6u,ro AerruMannor 6poja, re ce raKo xy6npanecBaKor /IeuuManHor 6poja rr.roxe cBecrri Ha xy6r.rparee npHpoAuor 6poja.

2. KySNu KopeH Ltpupogttol u ge4uuantoi Spoja

flpefnrr.ro caA r{a HaJraxe}be xy6Hor KopeHa Aaror rrpnpo.q-

uor 6poja.V osov c,ry'rajy rpeba I4MarL4 y BuEy 4a xybun xope' np'-

poAuor 6poja Huje yBeK npl{polau 6poj, nero je qecro HeKaKaB

T3B. ,,[paqr{orraJraH 6poj", xojn ce HaJra3r,r rarrtre$y ABa y3acronHa

npupoAHa 6poja u Moxe ce catrao npu6JIHXHo H3pa3HrI4 y nrlAy

AerlrrMannor 6poja ca Malr,e HJTT,I BI,IIue AerdHMaJIa, TaKo je, ua npu-uep, 2<rlrS<3, laro ruro je 2r:8<15, a 33:27> l5.3aro henouajnpe roBopr.rrr.r caMo o roM KaKo ce oapebyjy oue rlntfpe xy6uorr(opeHa [p[poAHor 6poja roje ce HaJra3e ]rc[peA AerrnNrairnor 3ape3a,

rj. raro ce ogpefyje ILeroBa npu6nnxno Nraea BpeAHocr ca rpeu-KoM MaboM oa jeaHe jeAuuaue.

I,1: je4uaxocrn 13: l, 103: 1 000, 100r - 1 000 000 ura. cneAuga xy6orn jeauoqu$peHnx fipupoAnnx 6pojena HHcy Marbr oA l, a

MaIbLr cy oA 1 000; ga xyboru [email protected] 6pojena Hr.rcy Marbno.{ 1 000, a Mabr.r cy oA I 000 000, nrg. .{axle, axo 6poj vvra nqnSapa, IberoB xy6 nrraa 3n-2, 3n-l utw, 3 n quSapa.

Ha ocHoey rora MoxeMo yBeK yua[peA oApeAr{r[ KoJrr.rro

ur.r$apa caApxr.r uenn Aeo xy6Hor KopeHa HeKor npnpoAHor 6poja:paAr,r Tora rpe6a carrlo noAeJrr.rTn

4aru 6pojHa KJIace jeAnunqa,

xHJbaAa, Mr.rJrr.roHa u ra. (rj. Ha xtace oA no 3 qu$pe), na he 6pojTr.rx Knaca 6urrl jeAnax 6pojy rpaxeHr.rx qr.rQapa.

.{a blrclvro naK Br.rAeJIr{ H Kaxo ce r1u$pe rpaxeHor xopeHaorxpunajy, nohu hevo oA jeAHor KoHxperHor c-nyvaja, peqr.rMo oAu3HaJlaxeH'a xybHor xopena 6noja 13 935.

24r.=

2bl : 8 ooo3.20r.4 - 4 8003.20.4r: 96043:64

13 824

243:

tr :83.2r.4:493.2;42: 9643:64

l38la

2343:t :8-3.22.3: 363.2.32 : 5433:273.232.4: 63483.23.4r: ll0443 :64

128n9o4

Oraj nocryuaK ce Jraxo naMrn; a npaBr,rJro o xy6upany npu-po,{Hor 6poja cnogn ce, oqurreAHo, Ha npaBr.iJro xoje cuo n3BeJrr{

3a r.r3paqyHanarre xy6a noIHHOMa, C TnM tuTo he ce ca,q IIoA .,npBr4M..

noApa3yMeBarn rpBa qrQpa (cJreBa) garor 6poja, noA ,,t6HpounpBor H Apyror" gnoqa$peuu floqerax garor 6poja, HrA. flpnrouJe JacHo Aa 3a npaKTlrrrHo cnponolene oBor nocryrrxa rpe6a :naruHanaMer 6ap xragpare u xybore je.qHoqraQpeHr{x bpojena, xao H Aace no:uaje nocrylaK 3a xBa,qpuparbe BlltuequspenlIx npupoAHrrx6pojena.

707l



Karo onaj 6poj no4eren y r(Jrace go6nja o6nltK l3'935, To r{enrr

Aeo lberoBor xy6uor KopeHa uwa 2 uu$pe. Hera je ro,pequuo, 6poj

ii:tox+/. TaAa je:

IITLI

( I 0 x -r- l)r < I 3 935 < [l 0 x + (] a I )lr

I 000xr+ 3.100x'z y + 3.10 xyz+ xr<13 935<1 000xr + 3' 100.r'1(yr- l).t.

t3'10(y t-l)?+g+l)r.Cala rpe6a yotu,rrr.r crteAehe: ,qa je .r uajeeh n oA cBr.rx [pl4poAHHx

6pojena urjn xyb urje_ oehu oA 6poja y Knacn xHJbaAa 4aror 6poja,rrrt'o 3Har{K Aa je x:2. To npolt3r.rJra3n oryA ruro x He Moxe 6}.rrt{sehlr oA 2, noruro 6n y rolt cnyvajy 6poj y xnaclr xuJba.aa .qarorSpoja 6no 6ap 27; alu x Huje Hn MaILH oA 2, jep je 2t:8, a y

AaroM 6pojy je 13 6poj y I(,raclr xAJ:"aAa. flpelra rolre je r:2.Ogyrrvrututo caA oA 13 935 6poj (10x)r:8 000; raro go6ujarrao

6poj 5 935, na I{3 HanpeA HaBeAeHor saxnyuyjeuo 4a je:

3'100.22y+3.10'2 y'+/r<5 935; 3.100.2'y<5 935;

3'2'? Y<59'35:"''i_''iOI''.2r' -

12

V calLa je, ycreaprt, nocraBJbeHr.r 3aAaraK peueH. Jep helro Ha

ocHoBy oBor nperrrocraBuTr.r Aa je .y:4 n sr.rAerlr 4a lr.r je

3'100.2'?.4+ 3.lO'2.42 +43<5 935.

Karo nrpa: ua leooj crpaHr{ one ueje4uxocru r{3uocw 5 824,BuAH ce 4a je ooa HejeAuaxocr 3aAoBoJbeHa, rra i{oxetr(o rBpAr.rrr{La je y:4.

.{a ce, vefyruu, .qoro.qr{Jro 4a je :6up Ha lenoj crpaHu noc-JreArbe uejegHaxocru nehu on 5925,3uaquro 6n aa Apyra uaQparpaxeHor KopeHa unje 4, sero 3. Osaxo sax-iryvyjeuo aa je

24<l/ n %5425, osuocno rf t: gls :24, . . .

[-(eo roprrn nocryrrar, cxeMarr{qno [peAcraBJbeH, [3nre,qa oBaro:

1r.... _ -l2 286 60

I4r osora ce oAMax Bt4Av Aa nyreM HaBeAeHor nOcrynxa xnje

reuxo oApeAHrH rpBe ,rlBe r1u$pe xybHor xoPeHa Aaror qe'qor 6R9ja'

anv aa nen oape4Nrar"e *erose rpehe quQpe tloB"Iar{H ga co6ou

rJroMa3Ha H3paqyHaBafba.

Ho, ga nr.ratvo caA xaxo ce Mory ro6nrN H lruQpe H3a AeunMaJIHor

3ape3a rpaxeHof xopeHa, peur.tMo xaa je y nr{Ta}by seh HcnutHsaxu

flTtgti, o vujen cMo uerloM Aeny neh yrBpAHnH rc-je-24'

MNraj

Kopex MoxeMo Hanrcartr y o6'nnxv rf i:915,000:

: rrr :tlr5'ooo/I000 : f t ys:5CI00 f to um v obnnxv

f'1tt15,000-ooo: t Il-s35 ooo-ooo7r o'oo oo6: /l l-l:s ooo oooitoo

uTA., Te TaKo K uur[pe I{3 rberoBor AequManHor Aena MoxeMo

Aoburlr lpoAyxyjyhh caMo geh :anoqeru nocrynax, c rHM luTo

MopaMo BoAurLI paYyHa o Mecry AeuHManHor 3ape3a fleaYlrary'Ilpeva Totrre, aKo 6nc}uro, Ha npHMep, xTenH Aa oApeAxMo y I J Ca TaqHe

ABe AeqlrMare, ltaul cxeMarH3oBaHH nocrynaK x3rneAao 6r oBaxo:

Crn.rno roMe, axo 6n rPe6ano

6ncr*lo:

. 'V ro5ze,agr - rt r, . .

3r..... .. -27

3.31.12

3326

-27

-9-ls lse 9l

-3 06i--93

uahx ]f 30326' 891 , HMarH

l

tl

3.22.4 .......

3.2.4' .......4r....

3.24:.1 ......3.24.1: ......lr ....

l

l/T1:z,qr ..

-8-50 00

-48

-96-64iz oo oo

-17 28a1

-l

l

. t. lT3:2, ...2. 5O:3.22:50: 12:4,3. l 760 ; 3.242 - t IOO : tlia- l, . . .

J

y'w $s:zq, ...23..... -g

3

r. ll:-2,...2. 59 : 3.22 : 59 : 12: 4, ...(Ilu$pe 2 a 4 nojaasyjy ce ype3ynTaTy r(operroBarba nocnenouohnor [ocrynKa 1., ognoc-no 2.)

3.22,4 .

3.2.42 .

5 935

-48_96

-64

-l1l

72

24 79

13



Ho, ul noclreArter Hauler 3axJbyqKa npon3n.tra3l4 H c,tegehe:

ra ce l.t 3a fl3parryHaearue .xy6uor KopeHa AeqHMaJ'IHor 6poja rnroxe

Hcxopucrnrw lacrn oxaj nocrynax xoju ce npuvenyje npu Tpaxelbyxy6nor xopeHa npxpoAHor 6poja, c rHM rlro no.[eJly Ha Knace

4aror 6poja rpe6a urapurnru uAyhn,'reBo u AecHo oA Mecra Aeuu-MaJrHor 3ane3a r{ urro y pe3ynrar.v rpe6a cranHTr{ 3ape3 KaAa ce 3aBpruupaqyHalbe ca xJ.racaMa xoje npunaqajy qe.[oN{ AeJIy Aaror 6poja.

3aro, axo rpe6a aa nafeuo, Ha rpnMep, {39,16 - rrocrynuheruroOBAKO:

l

l':yJeo-r,+....3r -27 l

iz r eo r. Vts:t, . . .

3.3,.4..-108--- 2' l2l:3.32:l2l:27:4,.-.3.3.41 ...-l 444r..... -64

ea s6

3aaaur

l. I,Irpavynarn: a) (x + 5)r; b) (2 ab -a1)r' c) (-r + /'?-l)3; d) 2,71:' c) 3,123.

2. Hrparyuarx 3 npBe uxope xopeHa: a) l/82 l5:; b iiS2lJj;

"i'onIZ ISTORIJE ELEMENTARNE MATE]VIATIKE

Jedan zadatak Abu Hasana

Svi znaju da desto golim okom nije lako utvrditi da li je neki

ugao u nacrtanom trouglu prav, tup ili ostar. Ali kako to da se postigne .

ako se ne raspolaZe uglomerom? No, i za to ima nadina, i evo Sta o tome

kaZe Abu Hasan, arapski matematidar iz XIII veka.

Ako se hoie da se utvrdi da lije ugao C u trouglu ABC (sl. la, lbi lc) prav, tup ili o5tar, treba nad stranicom AB, kao prednikom, nacrtatipolovinu kruZnice. Prema tome da li ce se teme C naii na nacrtanom Iu-

ku, ,,ispod" njega ili ,,iznad" njega, ugao C je prav, tup ili o5tar..oC

c

C.n. I c

Bora Simi6 (Veliki Popovii)

TEORENIA - OBRATNA PITAGORINOJ T'EOREN{I

Postoje mnogi naiini (oko stotinu) da se dokaZe Pitagorina teo-

rema,po

kojojje

kodpravouglog trougla kvadrat nad jednom strani-

com (hipotenuzom) jednak zbiru kvadrata nad drirgim dvema strani-cama (katetama). No, u vezi s ovim moZe se postaviti pitanje: da livaZi i obratni stav, obratna teorema, tj. da li je pravougli svaki onaj

trougao za koji se moZe utvrditi da je'kvadrat nad jednom njegovom

stranicom jednak zbiru kvadrata nad njegovim drugim dvema stt'a-

nicama? Na ovakvo pitanje upuiuju sledeii prirneri.Znamo, na primer, da su kod romba dijagonale medusobno nor-

malne; medutim. svi detvorouglovi dije se dijagonale seku pod pravimuglom nisu rombovi. Dalje, svaka dva prava trgla su suplementna.

ali dva suplementna ugla nisu uvek pravi uglovr.

Zato temo ovde posebno dokazati da za Pita-

gorinu teoremu traZi i obratna teorema. tj.da je svaki trougao koji ima svojstvo da je

kvadrat nadjednom

njegovom stranicomjednak

zbiru kvadrata nad njegovim drugim dvema

stranicama uvek pravougli.

Pretpostavimo da je za dati trougao l-BC

(sl. l) utvrdeno da je kod njega AB2:BCz+i- FCz. KonstruiSimo polupravu CD, normalnu

na AC i neka je tadka D odabrana tako da je

Co:Ee . Tada je. prema Pitagorinoj teoremi, u trouglu ACD:

AD?:)Cz+CDz. No, kako jc cD-bc, rc je ADz: Ac2+8C2,

Sto znadi da je ,ld::FSz, odnosno da je AD:,q8. tz ovoga pro-

izlazi da je svaka stranica trougla IBC jednaka po jednoj od stranica

trougla ACD, da su ova dva trougla medusobno podudarni i da je,

prema tome, trougao ABC pravougli

-

5to je i trebalo dokazati.

Zadaci

l. Natlite, ako moZete, joS kakav dokaz o tome da je tadna obratna Pita-

gorina teorema.- 2. Navedite joS neku planimetrijsku teoremu i utvrdite da li je tadna njena

obratna teorema.

/,./\,Z* \A5B

Cr.ls

74 75



Iz LETNJE Sxom MLADIH MATEMATTCIuuCnNrxl osNovNE Sxor,s

Ljubomir Cuki6 (Beograd)

ST,q, .IB KoMBINAToRNA GEoMETRIJA?

Purem ovog izlaganja pokuSaiemo da upoznamo ditaoce sa

problemima kombinatorne geometrije, iako dinas joS nije lako upotpunosti odgovoriti na pitanje:_Sta

je kombinatoina geometrija?

Tq dolazi, pgreq ostalog. i otud-ito

je kombinatorna g.o-.t.ijajedna od najmlatlih grana. geometrije, koja se jo5 uvek razvila. Mogiobi se, istina, reii da je kombinatorna geomttrija onaj cleo matema-tike

.u kome se proudavaju odnosi izmedu tadaka,- pravih, delova

ravni i delova prostora. Ali to malo kazuje o komblnatornoj geo-metriji, pa iemo zato ovde podi od nekoliko zadataka: koji 6e namukazati na ono dime se kombinatorna geometrija bavi.

Zadatak 1. U ravni su date I 003 tadke od koiih nikoie trine

-leZe na jednoj prayoj, takve da su tri od njih tenrena trlugla

u kome se nalaze ostalih I 000 tadaka. Koliko ima trouglova t-oiise ne preklapaju, a dija su temena date tadke?

Zadotak 2. U ravni je dato 25 taEaka, takve da se izmedubilo koje tri mogu izabrati dve izmedu kojih je rastojanje manje odI cm. Dokazati da sve taike mogu pokriti sa dvi kiuga iiji supoluprednici po I cm.

Zadatak -1. U ravni je dato I 975 tadaka koje irnaju slede6uosobinu: na svakoj pravoj koja prolazi kroz dve od datih-1975 ta-daka lezi bar jo5 jedna od datih tadaka. Dokazati da svih 1975 ta-Eaka leZe na jednoj pravoj.

Zadatak 4. Bela ravan je polivena crnom bojom. Dokazati dapostoje dve tadke iste boje izmedu kojih je rastojanje I 975 m.

Zadatak 5 . I 97 5 krugova ravni pokrivaju deo ravni povr5ine I m2.Dokazati da se moie izabrati izvestan broj njih koji je ne seku, ada je zbir njihovih povr3ina veii od ll9 r:J.

- _ Svaki od prethodnih zadataka je predstavnik po jcdne oblastikombinatorne geometrije, ali je sa ovih pet zadaiaka predstavljensamo njen mali deo. Pritom, ono Sto je karakteristidno ia kombina-lornu-. geometriju, jeste lepota i neobidnost rezonovanja do kojihdovodi.rujna problematika. Da bismo to uvideli, pogledaJmo resenjaprethodnih zadataka.

76

Relenje /. Ovaj zadatak iemc re5iti tako Sto 6emo izradunatizbir uglova svih trouglova i dobijenu velidinu podeliti sa 180". Neka je .,{jedna od I 000 tadaka koje se nalaze unutar pomenutog trougla (sl. l).Ona je teme izvesnog broja trouglova. Kako se ti trouglovi ne pokla-paju, zbir uglova iije je terne I iznosi 360".Tadaka kao 5to je A ima I 000. pa zbir uglovadija su temena te tadke iznosi 360". I 000. Ovomzbiru treba jo5 dodati zbir uglova ..velikog trougla",da bi se dobio zbir svih trouglova. Prema tome.traZeni broj trouglova je:

360".1000+180"-:2001.180

Reienje 2. Posmatrajmo sve duZi diji su krajevi parovi datihtadaka. Medu njima postoji bar jedna od koje nijedna druga nijeveda. Neka je to duZ AB. Dokaza6emo da krugovi s centrima u tad-kame ,{ i B pokrivaju svih 25 tadaka.

Zaista, ako je l8< I cm, onda su sve tadke pokrivene tim kru-govima, jer rastojanje proizvoljne tadke do tadaka A i B nije veieod duii l,B. Neka je AB> I cm i neka je M neka od preostale 23tadke. Po uslovu zadatka AM<l cmlli BM<l cm. Akd je AM<l cm,

onda je tadka Mpokrivena krugom s cenrrom u tadki .8. PoSto je M bilaproizvoljna ta6ka, to su onda sve tadke pokrivene sa ta dva kruga.

Reienje 3. Pretpostavimo da tvrdenje nije tadno, tj. da ne leZe

sve tadke na jednoj pravoj. Konstrui5imo normale iz svake od datihtadaka na svaku od pravih koje prolaze kroz parove datih tadaka.Medu tim normalama postoji bar jedna od koje nijedna druga nijemanja. Neka je to normala iz talke A na pravu p koja prolazikroz tadke B i C (sl. 2). Oznadimo sa l, podnoZjc nornmle iz taE-

ke A na pravu p. Po uslovu zadatka na pra-voj 2 pcstoji, sem tadaka Bi C, barjo5jedna oddatih tadaka. Neka je to tadka D. Jedna odtaiaka B,C,D je izmedu drugih dveju; nekaje to tadka C. Oznadimo sa A, i C, podnoZjanormala, konstruisanih iz tadaka

-A, i C na

pravu AD, redom. Kako je AAt> At A'2>C.C2,to smo doSli do kontradikcije, jer smo dobilida je normala CC, manja od normale ll,.

, Zanimljivo je da u toku 40 godina (od 1893. do 1933. g.)nikom nije po5lo za rukom da reii ovaj zadatak.

st. I

sl. 2

77



Reienje 4. Neka je I bela tadka. Konstrui5imo kruZnicu polu-

prednika tgZS m diji je centar tadka l. Moguia sa dva sludaja: na-kruZnici je bar jedna bela tadka i na kruZnici nema nijedne bele

tadke. U prvom slueaju oznadimo sa -B belu tadku. Onda je AB:1975 m

i dokaz je zavrSen. Predimo na drugi sludaj. Konsrui5imo pravilan

Sestougao C.C2C3C4C.C6, koji je upisan u kruZnicu. Kako je

CrCr:CrCrl .-..:CaCr:1975 m, to je dokaz zavr5en.

Reienje J. Neka je k, krug s centrom u tadki Or i polupred-

.r

TESTzA PRovERAvANrE tt""alT?grff AN J A- I z M ArEM ArIKE

l. Broj 5,932418 napiSi sa najmanjim mogu6im brojem deci-

mala tako da:

a) greSka bude manja cd 0,001 . Odgovor:

Kolika je gre5ka? Odgovor:

b) gre5ka bude manja od 0,01 . Odgovor:Kolika je gre5ka? Odgovor:

2. a) Od koga broja se mora oduzeti 0,00005 da bi se do-

bilo 3,2? Odgovor:

b) Kome broju se mora dodati 0,00005 da bi se dobilo 3,2?

Odgovor:

3. Izradunaj:

a) 2- 0,3-0,75 -tl -2 .. .. ..;b) 5-(0,4+0,04 + 0,004 + 0,0004) ..:......

4. Odredi broj koji treba da stoji na nepopunjenom mestu da

bi dobijena jednakost bila istinita:

nikom r, koji je vedi od svih ostalih polu-

prednika. Udaljimo sve krugove koji seku ovaj

krug. Pri tome smo od krugova oslobodilipovrSinu ne ve6u od 9P,, koja leZi u krugui centrom u O, i poluprednikom 3r,,_gde je

P, povrlina kruga &, (sl. 3). Neka je {r [ttes

-Centrom u tadki

-O, Eiii je poluprednik r,

ve6i od svih polupreEnika preostalih krugova.

Udaljimo i sve kiugove koji seku ovaj krug.

Pri iome se. slidno kao malodas, oslobodila

od krugova povr5ina ne veia od 9 P' gde je

P, povr5ina kruga kr.Ovaj postupak nasiavimo"sve dof ,,inia" krugova. Kako.su svi

prvobitni-

trugoni obuhvaieni"krugovima

diji su poluprednici 3 r'3 rr, ... to jel-

9 Pr+9 Prt ' . . )lm?, tj. Pl + P^' ' '>-mz''g

a to je trebalo i dokazati.-Pretpostavljamoda 6e ditalac na osnovu ovih nekoriko resenih

zadataka iteei Uat izvesnu predstavu o onom Sto se obraduje u

kombinatornoj geometriji.Zcdsci

1. Brojne podatke (1003,25 i 1975) u zadacima l-5 zameniti redom pro-

menljivama (a, b, c) i re5iti tako dobrjenc zadatke.' 2. a) U rauni je dat izvcstan broj pravih. Dakazati da u toj ravni postoji

prava koja nrje paralelna ni sa jednom od datih. pravih.' b)-U rivrii je dato 4000 taeaka od kojih nikoje tri ne..leZe najednoj

pravoj. bokazati da se moZe konstruisati I 000 detvorouglova koji ncmajuzajed-niikih tadaka, a dija su temena date tadke.

3. U ravni je dato n pravih, takvih da kroz presek svate dve prolazi barjoSjedna od njih. Dokazati da svih n pravih.prolaze kroz-jednu tadku..

4. Bela ravan je polivena crnom bojom' Dokazati da postoje ri taake

iste boje koje leZe na jednoj pravoj; takve da je jedna od njih na sredini duiidrji su krajevi druge dve tadke.

a)0,58+....:0,59;b)....i-0,58-0,581';c) 0,58 + .. .. :0,5801;d) .. .. +0,58 :0,58001.

5. a) Jedan od uporcdnih uglova je petina drugog. Odredr ve-

lidine tih uglova. Odgovor: .: . . . .

b) Jedan od kompletnih uglova je detiri puta veii od drugog.Izradunaj velidine tih uglova. Odgowr:

6. Kroz tadku M prave AB (sl. l) povudene su dvepolupraveMC i MD tako da IAMC iznosi 54', a {CMD iznosi polovinu

+AMC. Izradunaj velidinu +DMB. Odgovor:

M

st. l

7. Pomoiu lenjira konstnti5i ugao jednak datom uglu (sl. 2),

tako da ima s njim zajedniEko teme.

sl. 3

7879



3. Mesto zvezdice stavite odgovaraju6e brojeve tako da dobije-

ne jednakosti budu istinite:

TEST

ZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIKEVII RAZRED

1. a) Od koga broja s€ mora oduzeti - 5 da bi se dobilo + 5?

Odgovor:

b) Kome

Odgovor:

2. Koliko je:

broju se mora dodati

-5 da bi se dobilo + 5?

a) ( - 2) + ( - l) + 0 + ( + 2) + (+ l\ Odgovor:

b) (-2)-(- l)-0-( +2)-(+ l) odgotor:

3. Mesto zvezdica, stavite odgovarajuie znake + odnosno -tako da dobijena jednakost bude istinita

(*25) +(*36) + (*2) + (*14) + (*25) : ( - 20).

4. Upi5ite odgovarajudi broj na nepopunjena mesta tako dadobijene jednakosti budu istinite:

a) (+0,58)+(- I,l) +(+2,42)+ .. .. :(+0,16);

b) (+0,58)+(+ l,l)+(-2,42)+ .. .. :(+0,16);c) (-0,58):(+ I,l) +(-2,42)+ .. .. :(+0,16);d) (-0,58)r.(- I,l) +(+2,42)+ .. .. :(+ 0,16).

5. U paralelogramu ABCD (sl. l) tadka

E je srcdina stranice AB, Dokazati da su po-

vr5ine trouglova AED i BCE jednake.

Odgovor: SI. T

kruZni luci sa

TESTZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

VI RAZRED

1. Izradunajte:

.,(+**) 'l 5_n\ --r -.'\:r

_-

..'. !i.t

372. Pronadite umanjioce:

Ia) 5-....:3-;'2Pronadite umanjenike:

l -lc)....-2'-=,3-;'44

l5b) -'+-.'t:........;3

7

.,(+"+)'s:

b) 3 - .. .. :zL;4

d)....-5:3-!-.4

nI

t2a)-1.'*+---:*:3;'27

4. U trouglu ABC je

uglove izmedu visine ,4D i

l212b)

-'*+-l+:---i--'.'2 7 2 i

+B:70o, +C:65' (sl. l). Odreditistranica trougla koje polaze iz lemena A.

Odgovor:

sl. I sl' 2

5. Ako je u trouglu ABC (sl. 2) +2:+3, dokazati da je

{l: <4. Odgo't'or:

6. Poznata su dva ugla trougla ABC:

3). Na pravoj AB odte-i E tako da je DA:ACuglove 4ADC i 4BEC.

AU

6. U kvadratucentrima u tadkama

ffrr.

zl Izradunati:

ABCD stranice a konstruisani su

A i C Eiji su poluprednici t-c

a:44" i y:78" (sl.

dene su dve taEk-' Di BE- BC. lzrailunati

a) zbir duZina kruZnih lukova MN i PQ;

b) povr5inu osendenog dela kvadrata.

Odgovor: a)

b)

80

Odrovor:

8l



1. Na slikama I a,porcionalnih velidina.

Sl. la

Koji od oviha) zavisnost

trougla?b) zavisnostc) zavisnost

ako je cena jednih

strane kvadrati.

TESTZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

VIII RAZRED

I b, I c prikazani su grafici direktno pro-

MATEMATIITIKA

3AAATIH OA PENYETHTIKHOT HAT-IIPEBAP fIO MATEMATIIKA 3AyqEHHIII4TE OA OCHOBHI{TE vt{14-J'II,IIXTA HA CP MAKEAOHT{JA

oApxauo Ha aan 17. uaj 1975. roa.

VI OAAENEHI4E

l. Ilpeo'aeraja BpeaHocra ua 6poj-HfiOT U3pa3:

/ 5\ 2 / 5\(r,++r r) tt, {\ro,is-r-) 6

2-t.3\|r

, -r ,, {\t r- 4,25).ts

TAKMI,TIIEIbA

'l

I' +--grafika izralava:

obima od duZine stranice jednakostranidnog

proizvoda 3 .r od vrednosti dinioca x?ispladenog novca od broja kupljenih novina,

novina 3 dinara?

Odgovor: a) ... b) . c) ..

.

2. Ako se od 50 komada olovaka odstrani jedna, ostaje 49olovaka; ako se odstrane dve, ostaje 48; ako se odstrane tri, ostaje47 i tako dalje. Naime, ako se broj olovaka koji se odstranjuje po-ve6ava, broj olovaka koje preostaju smanjuje se. Da li je navedenazavisnost obrnuto proporciondlna?

2. Koprnler 3a uprarbe nocne cHuxyBan'e Ha ucHara :a 12)i uaau 22 an-I

Hapx.'VveurvKa yaHTa nocJ-Ie cHxxyBalse or 25if, unnu I - - narx nocxano or-

Kor.rKy ruTo quHer y{eHuqruor npt6op 3a uprabe npe.q cHnxyBarrero. 3a xo,rxy

afiHapu e cHnxeHa ueHara Ha npx6opor 3a upralLe, a 3a KoJ]Ky yveunvrara vaura?

3. Bo eAHaxsoxpavHxo'r rpHaroJIHHK aroror cfiporlt ocHoBara rpl{ nary e

nororeM Bo oanoc ra r6npor Ha artHTe rlrro JIe)Kar Ha ocHoBara. Korxaafi ce

aurr{Te Ha roj egHaxnoxpaveu rpxarolnnx?4. Koncrpyxpaj rpxaroauxr aKo ce 3Hae €aHa HeroBa crpaHa (6 cv),

BHcHHa cnyrxreHa xoH Taa crpaHa (4 cv) u rexxulHara ,runuja ruro oaroBapa

Ha raa crpaHa (5 cu).

5. Cexoj oa yqeHxuHre: foprx, Kole rr flepo ceupn caMo Ha no eaeH o'q

[HcrpyMeHTHre: rpy6a, rrTapa il BHoJI]tHa. Ha xoj HHcrpyMeHT cnupn cexoj oa

vgeHHUl{Te. aKO ce 3Hae aeKa o4 l{cKa3fiTe:

i. ,,I.op., caupx rpyba", 2. ,,Ko,re He cB[pl{ rpy6a",3.,,flepo He cBHp[ BtroJII'rHa"

eneH e BHCTHHT{T a ABaTa He ce nxcruunrn?dgovor: Za\to2

3. Odredite formule po kojima su

a) xi-l l-z ls r6 l. b)ffil ty l-o,l l-o,z I o,s lo,e

Odgovor:

4. Osnova prizme je pravilni

Odgovor:

sastavljene slede6e tablice:

_' t-o,r l-o,z lo lo,i]@l

Odgovor:

Sestougao stranice a dok su bodne

povr5ine njenih

vII OMEJ'IEHI4E

l. Oapeax ro Heno3Harnor 6Poj x oa:l3

2. I

\+

I \2ar-8ab.

3b'z)-?

Nacrtaj prizmu i izradunaj dijagonale te prizme,dijagonalnih preseka i njenu povr5inu. Odgovbr: a) .

itrr,Itoo-3. Ilpec',reraj ja nnorurltuara ua rupaQupaHnor .uen oll

Qnrypara(c,r.l),arocrpauara Ha KBaaparor o : 3l "*.?:i

)

4. 3aAaqa 4. o.q VI oAAeneure. 5. 3aaa"Ia 5. o.q VI

('-19.o])-r08: ur.

C,r. I

oaAeneHtre.

83



VIII OAAENEHI4E

L Bo Eanrara ce opo{eur 2560000 nt4laptt co KaMara oal})l,HoraKaurro no i{creKor xa ceroja roa}rHA, nocne yn[u]yBabe Ha KaMarara, B;roxr{TerorlaMa npaBo aa rroArlrHe qerBprrHara oa cyMara rrrro Bo roj uoMeHr e 3annruaHaHa HeroBara xH[tura. Toa cgoe [paBo B;toxuTenor ro ficxopncrl{Jr Bo reK Haqerrlpr H3MHHarlr roar{Hr{ Co xorrasa cyMa, 3anr{ruaHo Ha xHHIuKara, ja ranov-HyBa BnoxyBaqoT neTTaTa ro.u[Ha Ha luTeae]beTo?

2. Korxasa rpeba .qa 6nae speaHocra Ha xoednqilelTol a 3a .[a rpaBara

y-a-y+4 co KoopauHaTHrrTe ocKH rpaarr TpHaroJ.rHlrK co IIroruTHHa 4 KBa.{paTHleal,lrrnun?

3. 3aaaqa 3. o.q VII o.qAeneHr{e..1. 3aaaqa 4. oa VI oAAeJreH[e.5. 3aaa.{a 5. oa VI o,qaeJreHr{e.

Peuexuja Ha 3aAa{rrre

VI OAAENEHI,{E

l. flo u:npuryBabe Ha npecMeryBarbara no cexoj oa bpoure,rure r{ HMe-

Hurelrr.rre Ha aponKure ce Ao6[sa:

l'19 107

Tz/t\,--f-:304,5 (oauocHo 3o4

z).

7 100- l 22. a) flpabopor 3a lrpa*e e cHHxeH tu 22tYO;-22:3 aus.

I 100-25 I6) Vanrara e cur.rxeHa n I

,.25: 100--l --.25= l0 ArH.

EpojHure u3pa3[ ce cocraBeHr.r ropucrejru ce co npaBr.rnoro 3a oapeAyBaneHa ,,ue,'rxHa" no AaAeHo ,,Hej:un Aen" n ,,.uponKa urro ogroriapa xa roj Aen".

3. Aro reMero rrrro Jlexfl cnporr{ ocHoBara ce o6elexu co C, nopaaxa:p ce Ao6uea 1:6ct; 8a:180'oAnocro a:B:22"30'a 1:135".

4. HajHanpe4 ce xoncrpyr{pa npaBoaronuuor rpnarorHnr ro roj BHcr{Ha-

Ta npercraByBa eAHa oA KareruTe a xlnoreny3ara rexr.luHara nuauja.

5. Aro 3a roqeu ro ur6epelre l{3xa3or ,,flepo He cBupx BrroJrnHa", Toqeuxe e ll _ucKa3or ,,Kole calipn rpy6a", rrrro AaBa gexa flepo crupu rnrapa, Ex-

4ej*n foprn fie cBilpfi Ha rpy6a, a rnrapara My nprurara Ha nepu, EeMy MyocraHyBa BuoJrnnara. CnopeA roa:

fopru cnrpu Br{onuHa, Kone caupt rpy6a, a flepo cupx rnrapa.Jlecuo ce yoqyBa rexa nper[ocraBxr{Te Aa npBr{or orgocHo BToprror Ec-

rar 6naar Br{crrHxrr{ AoBe.qyBar Ao roa Aexa aeajqa crnpar rci HHcrpyMeHT,oAHocHo aexa nocro[ Heroj o4 HHcrpyMeurtrTe Ha xoj unroj ue cBupu, rrrro e

cnpoTtrBHo Ha ycnoBoT Bo 3aAaqaTa.

84

VII OAAEJIEHI4E

l. Bpojxara BpeaHocr Ha r3pa3or Bo roJreMlre 3arpa.qu e lll-108:3.BpojHara BpeaHocr Ha H3pa3or Bo cpe.aur.rre 3arparn e 288:3:96. EpojxaraBperHocr Ha aponKara Bo cpeaHr{re 3arpaau e 144-96:48, a opourejror Ha

raa AponKa e 48'7:336. Epojnnor H3pa3 Bo IlraJIHre 3arpaArr e 336:4:84.Cnopea roa Heno3Harnor 6poj x:84+16, oauocHo -r:100,

Ilpocveryrarsara ce Bpuar rp: 6asa ua ae$nsuqnxre Ha qerupure oc-HO3H[ apfiTMeTHqKH Onepau'tH.

2. Hajnanpea ce npercraByga xaxo npoli3oA oa .uBa eAsaKB[ rprrgoMa,na no ri3BprleHoro MHoxeBe x cpegyname ce ao6nsa:

9lll-- ai -12 aa g 1-

-a3 b2 + 64 a2 b2-

-ab3 +

-ba.

16 3

r :zQ-i") : t * cu (o,r{xocxo 5,25 cv)

VIIT OA.qENEHI4E

l. K: 2 56oooo:4oa: x, :1.I! r _ I r,4 100 44

33 332 33 333 33 334K":-K.:-K: K.:- K.:- K: K.:-K":- r:33n.

'40'40r40'40r40"401flerrara roaltHa e 3anoqHara co BnHmaHa cyMa oA I 185921 aran.

2. Bnaejxu npaBara orceKyBa oape3ox oA opAuHarllara ocxa Aonr 4 eAn-

HUTIX, a CO XOOpAIdHaTHHTe OCX}I rpaAl{ npaEOarOJreH TpHaronHuK, Ha ancuncHa-/4.2 \

ra ocxa rie orcexyna orpe3ox ao,rr 2 eAuHflnHl ^ :41, cnopea ruro npaBara\2 I

rpeba Aa MnHyBa HH3 ro{Kara A(2,0) unu B(-2;O).a) Axo MurIyBa nn A(2,0), ce Aobnra O:a.2+4; a: -2.6) Axo MHHyBa Hrla A(-2,0), ce gobuaa 0=4.(-2) -4; a.:?.

3.



3AAAUHOAAEPAHI{ 3AAAUI4

Oon raAaurr rpc6a !a BaM cryxe ra aex6y. npunpe-Malbe 3a Iprjelrne ucnHTe H NtareNlartrcNa raKMtrqeBa. tsao H

:ra pan y NoaeMaauuqKoj cexuuiu. 3aaaaxe rpe6a cavocraauota peuxTe, d HaaeAcH{ peJynTaTH H ynyTcraa Hexa BaM cnyxe3a xoHTpory. 3a y{eHh(e. xojr uany peuerra Koax'-!2ctax

sagauta*a nperopJ'e,tflBo je aa nperxoaro peue OguSpoue

SU?OU|XC, jep cy orrl \tanoiaKuH oa xoHK)pcHux. na oBaj pan

npelcraDDa 3a tLt\ f,opucHo ].'Bex6aBar!e.

A\ 3a )'qetruxe IL' u V' pa3peg.t

1025. EnerueHrr cKyna S cy cau callornacH[rlu, a eneMeHTH cKyna R cy

cBa crroBa peqi 3arpe6. Oape4uru: S !r R \ 'S 1-r R

[Per.; {o, y, v, 3, r, p, 6}]

1026. Pacrojarre HlMehy rBa Mecra je 270 xM.- ABa brluxx,rucra noby

{croBpeMeHo H3 Ta .qBa N{ecTa, jelaH ApyfoM y cycper. JeAau nperaln npoceqHo

24 krn Ha qac, a Apyrr Bo3r{ cnopnje oq npBor 3a jeAHy ocMHHy. Kolxxo xs,ro-Merapa je npeurao cBaxH o.4 i$Hx .llo cycpera?

' 1027. V Ase xopne 6so je jeauar 6poj ja6yxa. Axo Nr o6aABe Koprey3MeMo cBera 33 ja6yxe, y jeaHoj KopnH ocrahe 3l ja6yxa, a y Apyroj 22 ja6yxe.

Ko;ruxo je ja6yxa y3ero lt3 cBaxe xopne?

. [Pe:.: 12,21]

f028. y. rpx ayro6yca 135 yreuxxa noDy Ha eKcKyp3ujy. flpx npaou :ay-craBrbarby }r3 jeaHor ayrooyca npebe y .'rpyrH -] yqeHHKa, a y rpehH 9 yveHr'rra.

Ka4a cy HacraBHJrtI Boxlby, y cBaKor\{ ayrobycy 6no je jeauar 6poj yqeHul(a.

Ko,rxro je npoo6urHo 6n.no yreunxa y cBaKo^I ayrobycy?

[Per.: 57, 42, 361

H LuflpxHe 2l m Ha.narN ce

oa 3haa cane. KoJr[Ka je

(Per.: 25 m u 15 m)

B) 3a yuetuxe V u VI pa3paga

1030. fleruax je npeurao nyr oa 24 km ra HeKonHKo vacoBa. Kolurox[noMerapa 6n nperuao buunrrucra. aro 6u yrporllo ABa nyra Bl'ttl.te BpeMeHa

Hero reluaK, a cBaKor qaca 6H npejla3Ho rpll nyra eehx nyr uero neurar?

[Per.: 144 km]

1031. Koje cBe Bpcre yrJIoBa Moxe flpeacraBJbarl'I yrao xoju Hacraje xaopa3n[Ka jeaHor HexoHseKcHor l{ jeaxor ryuor yr,ra?

[Pea.: ourrap, npaB, Ty[, onpyxeH, neroHnexcau]

1032. Onpyxeg yrao je noAerex Ha qerl{pn jeauaxa aena. KotuKa je

BerHqHHa yrra xojr.r o6paryje 6ucerrpuca (curr.rerpane) npBor u qerBpror yrJra?

[Per': 135"]

86

C,r. I

[Per.: jeaHa]

1035. flpuxaxn rtpeoJIHKaBatl e rpo-yrrra (rpoxyra) ABC na nony.aapaH (cy-

(naAaH) Tpoyrao A'B'C' Kao KoMno3H-

unjy jeane rpaHcnaquje x jeAue ocse

cHMerpilJe.

[Vnyrcrao: flpeupraj cnl'rKy Ha csoj. na'nfip x oapea[ BeI(TOp rpaHcnaqfiJe lrocy cHMerpl{jel

VII u VIII paipegaD) ja yuenuxe

n2+4n+3

n+2

(n + 2)'-l: - ,;t-

(n+3) u (z+ l) nuje

:"rr-*)

f029. y jeaHoj cnoprcxoj ca,ru ayxlrHe 3l m

3nMcKrr 6aseH. Caaxa fiBHua 6a3eHa yaarseHa je 3 m

ayxr.rHa r{ urxpnHa 6areHa'J

E) 3ayueuuxe VIII

PasPega

1039. Hexr nocao pdgn eKuna oA 9 paAnnxa x no naaHy rpe6a aa ra

:aoprui 3; 46 A Ha. flocne 6 Aaua npeAyrehe oAnyqu Aa y6p3a il3Bp''Ieo"e nocna.

crora, noqes oa ceAMor AaHa, Ha nocao aobe jom urecr paAH[I(a. 3a xo,ruxo

je aana ypabeH qeo rocao?

[Per.: 30 aaHa.]

C) 3a Yuexuxe VI u VII Pasqega

1033. Axo ce oA HeKor rpouuopeHor (rpotuaueHxacror) 6poja oay3Me 7,

pa3JruKa je Aeursa ca 7, aKo ce-o4y-3Ye

8, parnnxa. je aeJbHBa ca 8' H aKo ce

;;fu" 9, parnnxa je Aeurea ca 9. Hahn raj rpoun(lpeHu 6poj'[Pe:.: 504]

12 oco6a noje,ro je 3a aopyqaK 12 netu*a. Csarl oApacln Myrx-

.je no 2 Jrenxlse, cBaKa xeHa nojexa je no noJla Jrenube, a cBaKo

je no .rernpruiy nenune. Ko.nxxo je 6n,ro xeua?

1034.Kapaq nojeoaeTe noJeno

l(l\l\V^

1036. Aoxa:arr .ua npox3Boa (npoay{r) .6pojesaaerrxn 6pojer,l (n+2),3a Ma l(oj[ npupoAaH 6poj n'

[".."*.,9:l-9il\:

1037. Aars cy cKynoBu: A: {-3, -2' 8} u 8.7 {-/, . f ,-0: 1'-2} ,

Oap"an*'"*F-n uiiu cy enetet.n ipebenuuap6eu (a,b), a€A, b€B u6poj

a-b je Aenns ca 2.

[Per.: R: t(-3,1), (-3, -l)' (-2, -2), (-2' 0)' (-2, ?)'

(8, -2), (8, 0), (8, 2))1

1038.,I14a xpyra k, u k, ca qeHTp[Ma O, u 0, cexy ce y rauraua A u

B, rarO Aa je rernsa AB:2C6 UcTOBpeMeHO CTpaHHUa npaB1lJlHor uIeCTOyrJIa

1-.cr"po*ytu) ynucaHor y Kpyry t, n xaaApara Jnl'rcaHor y xpyry k' Kojr xpyr

"ra "ehynoipiunrry (nnournxy) u xonuxo nyra?

lPez.; Pr:2 P'l

87



'329.Data je kocka brida (ivice) acm. Neka je S jednan vrh (tjeme) tekocke.

a) Izradunaj oplosje (povr5inu) piramide iija su tri brida oni bridovikocke koje polaze iz taCke S.

b) Odrediti odnos volumena (zapremina) pomenute piramide i preostalogdijela kocke.

F) Za utenike svih razretla

330. UEenici sa brojevima l,2,3 i-4 osvojili su na krosu prva detirin-rjesta. Odrediti redoslied

ovihudenika,

ako se zna: a) Brojevi mjesta koje suuEenici osvojili na krosu ne podudaraju se sa brojevima udenika; b) Sportistasa brojem 3 nije osvojio prvo nrjesto; c) Broj udenika koji je osvojio ietvrtomjesto poklapa se sa brojernmjesta koje je osvojioonaj uienik, iiji broi je brojmjesta koje je osvojio udenik sa brojem 2.

331. Drveni pravokutni paralelepiped (kvadar) dimenzija 5 dm, 4 dm i3 dm sav je obojen spolja, a zatim je rezanjem podijeljen na kocke veliiine I dmr.Koliko ima tih kocki kod kojih su obojene: 3 strane, 2 strane, jedna strana inijedna strana?

PEIIIETbA KOHKYPCHI4X 3AAATAKA 307 - 3I8I43 MATEMATIrIKOr JII4CTA X, 2

A) 3a yuettuxe IV u V pa3pega

307. Tpe6a ga ce ,MtruHu )RcrbeiHuqKa xouuotu4uja ca ulpu uylattuqKa u gsawepewHa eanaa. Ha Ko./tuKo HaquHa ce Mo)Ke ilaqutulu'u xottuotu4ija aKo ce 3Naga wepefuHu aaioHu He cuejy 6uwu jegan go gpyioi?

Konauornqrja ce Moxe Haqunurrr na 6 naqnna. Aro -ca I o3uaqnr.lo re-perHrr Barou, a ca P nyrHnqKu BaroH, oHAa cy uoryhe cleAehe xoubuHarluje:TPPPT, TPPTP, TPTPP, PTPPT, PTPTP, PPTPT,

Touucaae Cnojanoauh, y.l. IV p. OIII ,,Ka4ura,ra.., JIo3Hrua

308. Iloera4ehu utpu gyxu uogertuwu upasoyi,'tu (upaeoxyutnu) jeguaxo-KpaKu [upoyiao (utpoxyn) ua ct. I ne uemupu jegnaxa ge,ta.

Ilpeo ce y ,qaroM TpoKyry floBytre x[EoreHy3r{Ha Bu-cAHa, a 3arr{M ce y raro 4o6njennM TpoyrrrrrMa nonyxy raxo}exrrrroreHy3une nrcrne (ca. l).

3opau Cutojxoc, yv. V p. OIII ,,E. Bpebanon, Mereuqu

B) ja yuenure Y u VI paspega

309. y wpu 3utrcKa gaHa rueMuepatuypa ce Kpena,ta o6aKo: og 6 uacoeayjynry, ua noroM gaHa, ute^tuepanypa ce ygsocwpyqu, a upeKo uohu, go 6 qacoeayjyutpy,oilagne ia I cneueHu llenujycoeux (8" C), Kotuxa je 6um nevuepawypa

upsol gaHa, axo je ulpeltei gana yjyrupy uztrocuta 0" C?Aro je reMneparypa rpeher aaHa yjyrpy urnocurra 0o C, oH4a je Apyror

naua HaBeqe 6rua * 8'C, a Apyror aana yjyrpy je 6nla ABa nyra vama, rj.4' C. Cneayje aa je npBor raua HaBe.Ie 6una 4' C + 8" C :12" C, a rrpBor AaHayjyrpo je 6u,ra 12'C:2:6" C.

Mupjaua Mapan, y.r. V p. OIII ,,O. flerpoa-Pa4uuuh,. Bpuaq

90

310. Ieojuqa cy 6pojam Ko,tuKo tiporta?nuxa upo$e apofroapoM uoxpaj nuxta jegan aac. Jegau je cutajao y xyhnoj xauuju u Epojao upo,casuuxe xoju cy tuygo,taiurtu. ca o6e cnpaHe, a gpyiu ce weutao rrerD-gecHo apoujoapoM u 1pojaoilpolta?,.uKe xoju uy ugy y cycpeu. Roju je ut6pojao euute upotatnuxa?

Obojxua cy urbpoja.rrN ucrn 6poj npora3Hr{Ka. flor je onaj xojlr je crajaoy xanuju 6pojao npona3H[Ke ca o6e crpaHe, aor.ne je oHaj Koj[ ce Kperao Br{Aeo,[Banyr Br,rue flpona3Hnra xojn cy My r{rrrnrl y cycper.

Hedojua Mopxoeuh, yu. VI, p. OIll ,,A. bypoeuh,., Turcso Vxuue

C) 3a yuenuxe VI u VII pa3pega

3ll. Ha uuutane KorruKo y Kopuu uua ja6yxa, upoganaq je ogioeopuo:,,Axo ttx saguM ui Kopue uo gee, octuaue uu (y xopau) I, a axo ux BaguM uo3, ocwauy vu2, axoux saguM uo 4, ocutaay 3, axo ux saguMuo5,ocfraiy uu4,aKo ux BaguM to 6, ocutany uu 5 u aro ux soguM uo 7, y Kopuu uu ue ocutajenu jegua ja6yxa".

Haltu najuaru 6poj ja1yxa xoju zagoeomaea uociuaolbeHe ycJto6e.Tpaxeuu 6poj je HenapaH, rla KaKo npu ,ae,'belby ca 5 aaje ocrarar 4,

oH ce Mopa 3aBpruaBarn quQpov (rHarr.reuxorra) 9. Hajvarun rarar 6poj je ll9.Pyxuup )Kepjaauh, yv. VI" p. OIII ,,J6. Paj.., Maue

312. Axo je uepuu 6poj ocnoauqe upasoyiac,HuKa (upaeoxyutrtuxa) 3960,ogpeguwu uepnu 6poj (najuarcu Moiyhu upupognu 6poj) lucuve tiol upaeoy:iaonuxautaKo ga on u.ua jegnaxy uorpauvy (utouwuny) ca Ksagpatuo,v qujy uospuuHy uuepnu 6poj cnpa*uqe tupefia ogpeguutu.

Hera je h yepnu 6poj ancune npaBoyraouxKa, a k uepnr 6poj crpanuqeKBaApara. Taaa je: 3960h:k,. Pacraauvo 6poj 3960 Ha npocre vlrHuoqe:2'2.2.3.3.5.11.h: k,. ,{a 6u aera crpaHa jeaHar(ocrn 6n'ra xeaapar npfipoAHor

6poja. najvarra BpeAHocr 6poja h lropa 6urx: h-2.5.11:1lO- Caai lrrnarnro:(2.2.3.5.11)2:k2, olaxne je vepnn 6poj crpaunrle KBaApara k:660 oou, a nOBpIXI{Ha')_Il

, vp

KBaapara P "= 435 600. Engpe Ea6a, yu. VIu p. Oru ,,Aan Enape.., Topaa

. D) 3a yuenuxe VII u VIII pa3pega

fl3;-,[oxasautu ga je csaKuupocut 6poj p (p>3) o1nuxa6k-r I u,tu 6k-1,a ta4iuv;ako je 2p+I upocut 6poj, yiuepguwu ga nu je u 6poj 4p+l upocur.

flpN aenerry npupoAnor 6poja ca 6 lroxepro aoburx jeAan oa c.ne,iehnxocraraKa: O, l, 2, 3, 4, 5. flp-eMa_roure, caaxl 6poj Moxe ce Hdflucarn y jeAHoMoA obn'Ka: 6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4,6&-5. (floc;re.qbr.r o,q *r.ri nroxe6rrs sanncas y o6,uxy 6k-l). flpBx o.q HaBeAeHnx oblrra (6&) npeacrasnabpojene xojr.r cy .rreJbrrBtr ca, 6, gpyly rl qerBprs .{e]br{Br{ cy

'ca2, i rpehN ji

ae,.bxB ca 3. 3Havn, npocrr{ 6pojenn vory 6urlr caMo .qpyrr I{ nocnea]Lr{, a rocy 6k+1 u 6k-1. Cnaxn npocr 6poj, rehn oa 3, ruopa ur,aaru jelan oA oBa.aaa obrxra, aau o6pnyro He Baxr.r: cnaxN 6poj o6nuxa 6k+l unu 6&_l revopa 6xrri npocr.

_ Epoj 2p+l v.oxe 6urn npocr caMo axo je p:6k-1. (3a p:6k+l

ao6rjanao: 2p+l:lzk+3:3(4k+l), 1 roje

6poj aerEr{B ca 3).'3a p+6k_lHMaMo:4p+l:24k-3:3(8/c-t), na 6poj 4p+l unje rpocr.-(lu,tocae Majctuopoeuh, yv. VII p. OIII ,,p. Bep6nh-Ilunor.., Eorxouqu

. hfL LIz ueueua (apxa) A u.tpoyina (apoKynO ABC puywweue cy HopMane(oxouutlel AM u AP Ha cuireutpane cuo,bararbux ytaoea (xyhoea) xog'gpyio guouleveua. ,(oxazaluu ga je gyx (gyxuna) Mp uogygapua (cyimgHa)-ilotoeunuo6una utpol,gtra ABC.

9l



Hera cy N nja caapxx raury ,{

C;r. 2

saj ,{r T, cycrnxe fleruaxa y raqKn -R. Ha ocHoByoBrx no.qaraxa MoxeMo cacraBlrrr ,uBe jeaHa.{uHe:

6V+6Vo:Vt i llv-l2Vo= l't. Axo npuy jersaxocrnonauoxiur'ro ca 2 u Ao,qaMo Apyroj, Aoluhewo:24V:

Koncrpynulrvo BucHHe AG u AH rpoyrroBa ABC uBoyrnfl rpoyrnoBfi AQH tr AFH nolyaapun (cyxaa4nu) cy

g2

Q npece.rue raqKe Aarflx cuMerpara lr npaBe (npanua) ro-n napanenHa je clpaunux BC (cn. 2). Vrao ANB r:olyla-

paH Je oHoJ noJroBHHr{ cnoJr,a[rH,€n yr.Jra ltoa TeMeHa

n B, roja nexu Ha npaeoj BC (naurvenxqHu yrnoBl't).qoOryaa rarryvyjevo !a cy [oAyAapur n yrlouu ,4NBu ABN, na je rpoyrao ABN jetuaxoKpann(AB>.AN)H BucI{Ha AM nonosn ocHoBxuy .BN. Ha Hcru HaqfiH

P 3axr,yqyjevo aa je rpoyrao ACQ jepuaxoxpa(il (AC=

=.AQ)u Aa BI{crHa AP nor.osn crpaHr{uy CO. Ilpeva

ToMe, Ayx MP je cpearca ;runrja (cpeAnurnuua) rpa-In$a BCON, na je MP- -; (BC+NQ\. Iloruro je

z

IN Q:AN + AQ: AB + AC, cne1yie rpaxeHu 3a(rLyqaK: hl P :

-(P BC + A B + AC).

Ilsana Joeanoauh, yu. VIII. p. OIII ,,B. Ile.'rarnh", Jlecrogau

E) 3a yuenuxe VIII pazpega

315. Ilewax ce pa*Honepttox fptunot"r xpehe ytu4o,rr u cnaKux 12' ttunytuacycfrDne ia wpauaaj, a csaKux 6 uuuywa cycpehe wpauaaj u3 cyupon*ol cMepa.Cuafrpajyltu ga ce c6u wpaueaju xpehy paeuouepHo u uciao.\t 6ptunor*, ollpeguutuy xojuu apeMeHcKuM uHnepsaruMa (pazuaquua) wpaueoju uonaie ca ucule ciiauu4e.

ilpernocraruvo .qa nerxax xpehe xr ralxe P, y xojoj ra je ynpano cyc-rurao je4au rpavraj, a Apyra 4na rparvraaja xpehy ce H3 Taqara T, u T, ycMepoBlrMa o3HaqeunM Ha cJruqn 3. Hera cy V u Vo 6pluwe rpar*leaja H rretua-Ka, a t y MuHyrHMa r{3paxeHo apeve xoje je norpe6roAa rpaMsaju rB Tt v 7, crurHy y P (rpaxeHa BpeMeH-

cxn rrHTepBan). Ilocae 5 unHyra neluaK rr rpavraj

poR T2

Cr. 3

: 3 Vt, olaxae rax.nyvyjelro aa je , : 8. 3HaqH, nr jeaHe craHuqe rpavaajr.rnona3e nocne cBaxnx 8 uuxyra.

Iavup Ma:txau, yq. Villa p. OllI ,,A. 6yropau", Ocujer

316. Hag cnaKoM cwpatu4ov jegrnxocnpaHwHoi npoyira (npoxyuta) ABC,cwpailuqe.a, Ko\cidpyucailu cy cuo./ba Ksagpanu

/{BEF, CBMN u ACPQ. Cuaja-tbev rueLrena E u IvI, N u P, Q u F go6uja ce uecaoyiao (wecraepoKyut) MNPQFE,

Htpazuutu o6utr a uosputuny (uaouuutry) go6ujeuoi tuecuioyi,ta y rlyuxrgujuog cnpailnp a.

AQF (cn. 4). Ilpa-rpoyrny ABG, na

nMaMo: QF=3y'*3. Ca.ua :raro H3paqyHaBaMo

rpaxeHr{ o6uM u noBprunxy: O--3a+3a{ j n P:a2 ll-i

:3a2 + 4* :-: :3u2 + u2y':. lnoopur uec'royrna qH-

4He Aaru Tpoyrao .48C, rpn KBanpara crpaHHue o llTprl Tynoyrna rpoyna rojr ruajy notlpunHe jeanarce

roBprul{Hu Aaror rpoyrra ABC).Pafiaen lfejuunoauh, yv. VIII. p. OllI ,.A. IIIenoa",3arpe6

P

F) ja yueauxe c6ux pa3pegaC-r.

3l7r a) 3auuctruo caM ulpu 6pojo, Axo ce ca6epy(t6poje) csa ulpu 6poja gofuje ce Il5. 36up (t1poj)ilpaoi u gpyioi 6poja je 40, a sSup ttpooi u rlipehei 6poja je 90, Koje cav 6po-jeee tauuc,tuo?

6) 3auuc,ruo cat iipu 6poja. Koju c.y u1u Spojeeu aKo ce ua ga je i|pout-aog (upogyxru) csa iipu 6poja 240, ga je upoussog ie6a goa 60, a upourcog gpy-ioi u upehei 80?

a) fiourro je r6rp cB3 rpu 6poja ll5, a 36up npBor r{ npyror 40. cle-nyje na je rpeflr 6poj 75. 36rp npaor r rpeher 6poja je 90, na je npnu 6poj15. 3Havr.r, apfrx 6po-i je 25. 3ar'ancnno caM 6pojene: 15,25 u 75.

6) flporarou cBa rpn 6poja je 240, a nponroo! rrpBa ABa je 60, illro 3Ha-

vu ga je rpehr 6poj 4. flpolr:noa irpyror N rpeher 6poja je 80, na je apyru6poj 20, a npBu 3. 3aulrcluo carur 6pojene: 3,20 u 4.

Pag,uuta Augpoauh, yu. VII p. OIII ,,M. Cpreurr.rh", Ilerponau Ha Mopy

318. Pacuopegunu qenupu iriauxe A,B,C u D y palttu (paarruttn) fraxo ga

ce Lrepetbev uefiyco|nnx pacwojarr,a utuehy 6u,ro xoja gae gaire naqKc goEujajy

cano g6e painuqune gyxilne (g.vmnue) u tilaxo ga Mab.r gyxuHa uvncu I MCAap.Hahu cea peuetba.

3aaarax uua 5 peruena xoja cy np[Ka3aHa Ha cnHKaMa

^@N R'^K

rpolfr-roBlr ABC u AQF nuajy jeauare noBprxr.rHe. Cev rora, au.quMo .qa je

Mapuja lriapunxocuh, yr. VII. p. OllI ,,A. Mparoruh", Covbop

oy'7QF=2AG, na Kar(o je ..lG=.-. --

T,

KB^4.

93



Milovanovid Bilirne, OS,>N. NaumoviE<, Badnjevac 295: Milovuovid Msine' OS Stublinc-317' 3l8i

iliiffi;ffi ii'j.'i"L os ;u pi-pi''iii., i.p-J'il'* is!' zt1, 306; Milormovid otivera' oS )N' Puric('

varievo 308, 309; Miturinovi6 Bitfi; bs;t.'i;.,ie'", r.iporilu'ziii-i-g{i, 106; Iuirtit ongica. os

>P. rasic<. Le\nica 2e6; Misk"iit'61;;;ib'sls' ii"ir't';ii"' fiii ist'zg:8:MiikoYi6 lvanr'-os >s'

Kerkovic(, Liis 29i, zge; x."tr"i""i"1iji'",-5s liriuiiaota.n n'l"o'"i 295' 298i NeSkovi6 Tatiana'

iji';id;;i;i],, rip"r"':is, lb?iN"ir.iiiiie 'c-.ia"'ilos i'v. j(araoiid<, {aiqk 2e6' 2e7; Nikolaievid

Teriana. oS )o. P. Radisid(, vr# );;;r-8':b6-:'r-tie. irll NiLotic Yesna,-oS

DR' K' Maksim(' Le'

'i'"",i!'5isiit"i'ir.i,;id b__ii";';. o-s ;i: ;";;;c;' vr, aiiliiii je8: Novakovid'Z*\'' .91 llY' Karad2ic<'

Priboi 295-298: obradovid s""ii"tti' b.{"r'1.-i'l^u*ouii<'

Bad-njevac 298: PrYtoi'id Miriane' OS >S'

'i;il|;j;, LliJ)s-6-2-e8; p""i""it'lvit J". OS >o.,P. Radilii<, Vriac 296-298:. Pavlidevid Predrae.

Ai';G;;i;ffi", lopoiJ lros' 3be, i;;i;i';i iJ'"' oS !F.-V'"goiid<' Ljubovija. 2e5' 2e6' 306; Perrovid

Virr"ii.'o--S in.'r{ii-oylcn,giinje"ac

2e8; Perrid Predrag'oS >'L' Pooovid<' Toponica 296' 297'

jdi.'ji'oii;"iri Mir"n. oS 'or'61'iiiir*ic"' b"+t !or, rot' rtz; Petkorid ]tlarina' oS-)L'fopoviicil#;;; zs';)ii,'ioi' 106: F;trc;i{ n.a'"' oS >Z' iopovii<, Vtadimirci-2fp;Jq1rysgv Davor' oS

,lifiii""?rJi.r.i",'sitit"'log,'p'"it t"iiii.-cjS-,,N. Na"nio'ic., Badnjcvac-296; Pe5id Sonia, oS >S'

ii'";G'Jij.i]r-irli zii,-iie, pl$d 21..rloi,"N..Naumovic<,

Badnjevac 298;-Pivtjanin Dubravka, OS

iJ.Tji-"aii.iipriuoilss-zsz: Ft"ci6'vor.'nr, oS DA. Savdii(, Valjevo-295, 296: Xadivoievid Snelana,

i;i';s:'ftil;;idii1-iiizst,2e8-; Radonjid-Sneiana, OS DKaradgrde(, Beosrad 29s' 298:-Radovatrovi€-

;;;;i;dS""P V;;tlf"' li'tio"iii Jos: Radnil6-IvtirEna' os Dl' L' Ribar<' Ruma 295-298' 306;

ftiii""i|"lJr.li.rstav;oS ';A.-d;;Jid.,VulLr.)s3,ze6:hainovii Predrae,.o-S >B' Radii:vii<, Beograd

iii'i;il'R'#;t;,iz bord"n", os ,9.'rr.r"ir",ic", LJskovac^2e6: Rankovic lgsng.ps_>p. P. Radiiid(,

V;;;i;Lb-8;R"ir.uit e,r,lnr-oS "v. crurcn, zagreb,29-6; Ristid-RadmilapS >J' Popovii<' Kru-

i""".- ic6l n-"eii J;.i"". o-S t2. F"pJe", vlaoimlrcizs5: Savkovii Duiica' os tKaradord€(' Topola

le?. 2e8: Savkovic Nada, os '2:.P;;;i;.;: vi;;i;l;:l 2'sJt.Serako" Miriana'-oS->M' Irotii(('.Tovari'

#J;-:r5,

16oi-s-i-*.noiie srro.'r.'oS "v. Kirarlzic<, Priboj 298: Simid .Nata'a'. o's )'S' lindelii<'V.'iop"JiiZsi,-i9o: SI"ti1, Bj;;;g, OS ',v. xara.t_zii<., lriboj 295-298: Srankolid_Goran.

-Leskovacjtiei Sti"Lrri6 brrdana, OS "2. f. S!un".n. Ravne 307,308;-Saevanae_vid Lela, OS-"Dr ?. Milkovi4(,

b;;f :U: ,9i, stoi"no".Livt"rlo, o3 ,ti {reelovski'(. iiitola l0-8; qtoikov zoran' os"PI P' YI:b^loY1"

ii$".-i-lbti-St"ik'orid SaSa, O"irir AS6: Si'inovid liiliana, OS >S. Kerko-viC<, ljis 296-298: SaSi6

ii;;i;:'bS;'D. ilaosavljevic,,.-triiJ. 'Mi,;;"i;; joe : Siniorie' lt"ksandra,-oS >v' Du€-oievic<' Beosrad

ic"i:19i. :OZi i"Jt Zoirn. OS"2,-popouii,,<

Vladimirci 295; Tanasid.Miriara, OS DZ. Popovic(, Vlr-

aiitl*i'ilii*iflovi6 Liilian-a, o5-',4--s"utic", Valjevo-29^6:-Tepavtevid Sonia' oS3>J'J' zmej'<' Obre'ir,"floe: Terzi6 Dracan,-Os;i:i;;"tri;but" ioz, ros-lt7: Tomid Liubisr, QS >Cegar(. Nis 296;

tii-"iliii'ei"riiiiaf],"o-S ;_;. l"rsi,:[.- x"iin 295.:-Toiid_Dragan,.oS DL. Popovid((, Toponica 305;

iurualt Sn"z.n". OS;2. J. Sp"n"cn, niunj"lO7. 308; llro5evid Rad-isav. OS >Karadorde(,- To-pola 296

i'lii.i*i"r.iiJir-u, o5,,-i;]'v.Liic.. sloit" :sz; Vasig Zorica, oS 'P. Tasic(, Lesnica 296; versnskit;;;;. ofs ;-o:"P. huoisiei,, Vtiii:is5-29s. lo6; \'esid Gmrcina,-oS >S' Kerkovii('.Ljig 297' 298iVitri"sil"'r.r.-oS 'r. i"*'i;,.. Vil;"". 2s5,2s6i Viietov-Drasan. oS DO' P' Radisic< 'Vrsac 296-298'joii', lii"-ii" i;r-al",'0'5",,6''i. S";itld.i, Vrsic :g7, 298; _vujitia Dusan, OS DO. P.-Radisic<(, Vrsac 297,

isii v;k".r'ri"tid'Oti".r.. OSl,bll"'tii*,, Kovin 295; Vuletid Marinr. OS 32. Popovid<, Vladimirci

:sii la;rk."id'Liiti"na.-dS"x"rucortle<,

Beograd 295,29E: Ziberelc Etcla. OS D2' oktobar(' zrgnjanin

'*ilii'it*f $i"r*$:";,?:zy"*rxiti,l'63',Js".'i??i331'"lTlllt"iill'il'l*"',';''i;'i:OS >11. maj<, Ni5 295.

Spisak se nastavlir u idu6em broiu lista.

NH.lrplAHI,I 3AAATAK EP. 46

o a) OKprberr rBa.qpar ABCDEF (cn. l) crpasnqeva= I cm, Koa Kora FM:MA:DN:NC: I cm,pasperarnrla ABa .4eJra raxo Aa ce oA If,Itx Moxe cacraBrrr[ npa-

BOyraoHnK.

6) flpoxafrre xaxo je roucrpylrcaH MareMarrqKllopHaMeHT Ha HacnoBHoj cTpaHI{ Jlncra Ir [oluaJb[Te HaM

ra EaupraHor y pa3Mepn 2:1.

I

3a raqxo peur€be oBor 3aAarxa HarpaAlheMo 50

yqeHrxa MaTeMaru\KuM KISrf:IMa l{nu llpubopoM 3a nI{'ca&e, flo norpe6u oAnyqnhe xpe6.

Pemerse [ocrar]r Ha aapecy: Marer"rarnrxl nucr,

n.n.728,11001 EeorpaA, Ha caMoM paay aarlrlurre cBoje HMe I{ rpe3rMe, ca

HaBobeb;M pa3peAa, n mrone, Ha xoiepry (ovory). o6aBe_3f,o_ Ea3gaqure: Ha-

rpaA;n saAarax 6i. 46. Peruena uocrlarlr Eajxacxnje Ao 5' II 1976, r'

ACn. I

B

96

PE3YNTA:I'T{ KOHK}PCA 3.\ FIATPAAHII ]AA{TAK 6P' 44

Pctuctr'e la.ilarKar()il()clrl\lo ,lua (c-'1. l, c'r. ia It

n o ll lt) -3a.rarllr tl\lil BHUIe peulcba or xojHx

I [r.

)':

(:r. I (-'r' ia C'r' 35

()rt yryttHtr 'l0l nprlcrtc;ra o-'ltollopa raq;lH cy 6tt:u )47' C tl6'ruporl xa

ap,r,.,alri,,r-.uro, ,, ,ro[rr-ieHtl\ la!lllH\ o]lt()Ro]la' ttc'Beha'ril crt6 tt;le''lsufel61 6poj

,,i,, rr,,.,i, ca 5() tta 70. llrrar cllo lobrtutttlc Hatl)a/lll \1()panH oJlpc'll'lIl{ xpcfitxr'

llptt6rllltrrt 3a rlncau'c nltt pttllctin c) c'lclL 'hn -""'tettNutr:

\ Dxlt)c!: [;tIilh Lrriipx, OLll ll -lyrnh "Jrarrrltrr:-ljor:tarroorhCraf]arr' Otll 'l) liouace-

rillr.., ,:1,-6xre; 'zKuuarosnh t.,,*,,,,^.-irui ..i-. ri.p^,,",th . -T,ur; Josarogxh 'jb!'ar-ila' olll"V-

tlr-.r rr", llc ttrrlt Il:rrrra; J,rr;crlroo,t' llupj"*"' ()lll l\ dpilbcs:rcxr 6ata lor"' Kpa:reuo: (iroir:u_

r'rrrh ,rlpararre. ()lll ..13 K-rpaur;i .';;j;;";; Toropoouh'Ctcr'riitra' ()lll "Boxr !irt'abopbe ' rltrri:

lll,,rir,firr'il (.r,,Iio-ratt. ( )lll ..K Pltttrtt . [lptl ltn\ I pr rpc;r: ,l,,,r.unt Cn,,,^t'. ()tll ''l Tpttole rlr_ Crr'tric; 'hlpnh '_lcrrua' Olll "rl

flo-

r.r,rrlr", Nlrrr'u'rr",,; )Kuu,riuu,,orljl'i.,"n"'ut"p' ()lll "J llorlosrrll ' Kl'luicnJrL: Jcprtrh Mrr'lovup'

()lll .1. \t'r.r"ri.r,,,'n,,1' . t,,,',',';'l'""d"*'li'^"";' ()lll-B

K'rtr'rurtlr" Bl'rrr'u:.\lvrcs.lopar'('ltl .ll l,rrl\.r,),rr". Jt'rltri: rltt*ii""ift :iti*o. 0lll

Lj.rrtsr{'6:r11 ' [lP3rts'ri'rr: llcrrrrh loprttr'

rtlll ,.1. Ii"r.,r,,"' rt', 't,,n',':'iiOo,,,,t*f. hoprnoic'lr[l J llrirrjrrlr" J'\!'rtrrrir: lowsh \lrr'rr'

,,x. ()ttl ,.Krrr.ih(,phe . r,,,,,,,r1:'1,,,J;;;;1; il;";. o[i -'t' tl"''un i 3'je"an: Vqaxap llrop' Otll.,1i. l \il:r!)rrh . I)cor Piir-

\ll parDcf,:,{6prwooxh Cre'ra. OLll ,Rojso:a \1ilrxilh"' Beoinrr;r: Bpctrh tDrulia' ()lll

'.\l ll()'rr!h . l.rHrrr: litil-l)h'-;;;;;i;, blx "B-K''pou"lt ' llla6art: 'ilanuroarhllp"ria' o[l K'

( ,ri\t(r{tr()rtilh -rlr':x.nau: ;fp^tl"ir"",'oLii "c ri-rip'u ',3':rrrrrr;'Iiopbcash lix+urir' 9lu "n

Il,,'t)'rt\". t"trJ r,tsr)tsru: lrr.rr"rn'riprl"*]biir-..rit*tt*Oap l'e'rrp'" ,Jltlli^-11'li;l'

r)lIJ B'

1.rt,ir.rrrr.'. (trrq;rr: Jarreecra il;;;;'6ti',.i.--po,ittn", Kyrrauort,; Iiocrrh Carsa' uu "L l''et-

r,,rrrlr", -ii,ur; .;larrrh I'pasrnual'iil :M ii'tii,t,,al' Berura. [l-ra"a; NIrr'rocas'-renrh-lie6oira' Otlj

..'t,.r.,; . Ilr,rr,. \lr.r,crrr *r-i, i-ir,^".'i,lij'..c. c"nr,. rrlr'. Bc trrxtt fi 'rr''r'r;:: Msoxorgh Jpa-

"ri, ' rrlJ .,J. \1rr r 'r,.ri,,,srrl,' ."C"i'l,il ir"t^.orl, ll"6o1-"' OllJ '9c'rp H'r'rr flpo:taxoexh [iDatt-

ri,r, ()1i ..A ( rHeritr". U.-n,"r.''p"^on"ur:;;;;;'Ao;;.t,;. Otll ..C Keprostth'- -fbrr; P-oeqansfl l\{aia'

t)llt ..t'. ,lrrrrirrr,,',,1r". Kpa,;lcuitii'Ct,,i*ttt g;csa, Ol-ll ..M- IIuiare"' Bc rtrK' fl'ratttr 'l'aHac-

r*,rsh \ls:rarrr. (.rLx ..J. vrriiJa;;';h::i^c;,;.';'-lii"i' Enu"""' ()tx B' 1r)prrtrtrtr"' 'lrpt.sait;llnclx'tcxx l;'-Laila. ()Lll ..8.'K:;;;,;'h"" ii;;;p";;'it tueioerh lopax' OllJ "J Jos:ritorrrh ' 06-

Matematicki list 1975 X 3

Documents

Transcript of Matematicki list 1975 X 3