Matemtica Avanzada

Series de Fourier de Funciones Pares e Impares

Grupo: 3Integrantes:Chimarro MarilynGuerrero CarlosPalma Jacinto

???_Marked as resolved__Re-opened_Sebas esto se esta repitiendo mirale si le dejas o le borras... :DFunciones Pares e ImparesUna funcin f: R -> R es una funcin par si para todo x perteneciente a R f(x) = f(-x)

Una funcin f: R -> R es una funcin par si para todo x perteneciente a Rf(-x) = -f(x)

Geomtricamente se caracterizan por la simetra respecto al eje y y el origen

PropiedadesEl producto de dos funciones pares es una funcin par2. El producto de dos funciones impares es una funcin impar3. El producto de una funcin impar y una funcin par es una funcin impar

4. La suma o diferencia de dos funciones pares es una funcin par

5. La suma o diferencia de dos funciones impares es una funcin impar

6.A que se refiere esto?Determinar si la funcin es par o impar

a)

Por tanto la funcin no es par ni imparb)

Por tanto la funcin es impar

Series de Fourier de Cosenos ( f(x) Funcin Par)

Los coeficientes de Fourier de f (siendo f par) vienen dados por:

De esta manera podemos expresar nuestra funcin f en trminos de la serie de Fourier

Series de Fourier de Senos ( f(x) Funcin Par)

Los coeficientes de Fourier de f vienen dados por:

De esta manera podemos expresar nuestra funcin f en trminos de la serie de Fourier

Nota:Cuando la funcin no es par o impar utilizamos la forma general , y si es par o impar ocupamos la forma senoidal o cosenoidalEjemplo:

Simetra de Media OndaSi la funcin f(t) es peridica con periodo T, entonces se dice que la funcin f(t) tiene simetra de media onda si satisface la condicin:

f(t) = -f(t + T/2)

Mostraremos en la figura una forma de onda con simetra de media onda, se debe observar que la porcin negativa de la onda es el reflejo de la porcin positiva desplazado horizontalmente medio periodo.

Simetra de Media Onda no es par ni impar

Simetra de Cuarto de OndaSi una funcin peridica f(t) tiene Simetra de Media Onda, y adems es una funcin par o impar, entonces se dice que f(t) tiene una Simetra de Cuarto de Onda Par o Impar.

Simetra de Cuarto de Onda ParSe denomina as a una funcin f(t) que tenga Simetra de Media Onda y adems sea par.

Simetra de Cuarto de Onda ImparSe denomina as a una seal f(t) que tenga Simetra de Media Onda y adems sea impar.

Simetra EscondidaCon frecuencia la simetra de una funcin peridica no es evidente, debido a la presencia de un trmino constante. Esto lo ilustraremos en el ejemplo siguiente.

En la figura ilustrada construiremos una nueva funcin sustrayendo de f(t) el trmino constante (A/2) , la nueva funcin es una funcin impar:

La sustraccin del trmino constante (A/2) de f(t), lo que hace es desplazar el eje horizontal hacia arriba en (A/2) y resulta la nueva funcin

g(t) = f(t)-(A/2)Es una funcin impar.

EjercicioEjerciciosDemostrar que una funcin par puede no tener trminos de seno en su desarrollo de Fourier

Mtodo 1.No aparecen trminos de seno si bn = 0, n = 1, 2, 3, Para demostrar esto escribamos

Si hacemos la transformacin x = -u en la primera integral de la derecha de (1), obtenemos

donde hemos usado el hecho de que pasara una funcin par f(-u) = f(u) y en el ltimo paso la variable figurativa de integracin u puede ser reemplazada por cualquier otro smbolo, x en particular.

Entonces de (1), usando (2) tenemos

Mtodo 2.Asumiendo convergencia

EntoncesSi f(x) es par entonces, f(-x) = f(x). Por tanto

y asesto es

y no aparecen trminos de seno. Este mtodo es menos efectivo que el Mtodo 1 puesto que se asume la convergencia Desarrollar f(x)=x, 0