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La transformada de Fourier:propiedades y aplicaciones

Russell Wade: He tought me the mathematics of anatomy, but he could notteach me the poetry of medicine(The body snatcher, Robert Wise, 1945).

El concepto matemático que hoy conocemos como transformada deFourier fue introducido por Joseph B. Fourier en 1811, en conexión conun tratado sobre la propagación del calor, mediante un argumento de pa-so al límite (del discreto al continuo) a partir de las series que tambiénllevan su nombre. La transformada de Fourier –y el análisis armónico engeneral– constituye hoy una de las herramientas más útiles para el estudioy el tratamiento de múltiples aspectos de las ecuaciones en derivadas par-ciales. Podría decirse que en este ámbito desempeña un papel análogo alde la transformada de Laplace en el campo de las ecuaciones diferencialesordinarias, permitiendo simplificaciones notables en las ecuaciones todavez que contribuye a transformar derivadas en potencias, esto es, opera-dores diferenciales en polinomios. Es también significativo el papel quela transformada de Fourier juega en el terreno de las aplicaciones, funda-mentalmente en teoría de la señal, teoría cuántica de campos, tomografíay tratamiento y digitalización de imágenes.

Definición y primeras propiedades. Funciones deSchwartz y distribuciones temperadas

Aunque el concepto de transformada de Fourier puede introducirse di-rectamente sobre funciones de L1(Rd) y adquiere pleno sentido, comenza-remos estudiándolo, por razones que serán expuestas más adelante, sobre

1

2 Funciones de Schwartz y distribuciones temperadas

el espacio de Schwartz S(Rd) constituido por las funciones de clase C∞(Rd)que decrecen rápidamente en infinito; esto es, aquellas funciones φ : Rd → R

infinitamente derivables en el sentido usual que, junto con todas sus de-rivadas, decrecen más rápidamente que cualquier potencia de 1

|x| cuando|x| → ∞. Dicho de otro modo:

lı́m|x|→∞

{|xαDβφ(x)|

}= 0 ∀ α, β ∈ (N∪ {0})d ,

donde xα = xα11 . . . xαd

d , Dβφ = ∂|β|φ

∂xβ11 ...x

βdd

y |β| = β1 + β2 + . . . + βd. Un

ejemplo obvio de funciones que pertenecen al espacio de Schwartz son lasde D(Rd). La familia numerable de seminormas

‖φ‖α,β = supx∈Rd

{|xαDβφ(x)|

}da lugar a una topología en S(Rd) generada por intersecciones finitas debolas definidas con respecto a tales seminormas, mientras que la conver-gencia de una sucesión {φn} ⊂ S(Rd) hacia φ ∈ S(Rd) ha de entendersedel modo

lı́mn→∞{‖φn − φ‖α,β} = 0

para cualesquiera multiíndices α y β.El dual topológico de S(Rd) (denotado S ′(Rd)) está formado por todos

los operadores lineales y continuos definidos sobre S(Rd), y sus elemen-tos reciben el nombre de distribuciones temperadas. Tal denominación noes fortuita ni inapropiada, pues los objetos de S ′(Rd) lo son también deD′(Rd) (cf. Ejercicio 2). Por otra parte, el concepto de convergencia en esteespacio es el propio de la topología débil ?: una sucesión {Tn} ⊂ S ′(Rd)converge hacia T ∈ S ′(Rd) si

lı́mn→∞〈Tn, φ〉S ′,S = 〈T, φ〉S ′,S ∀ φ ∈ S(Rd) .

El lector interesado puede consultar [Sch] para obtener información másdetallada a este respecto.

Ejemplo 1. Enumeramos a continuación algunos elementos destacadosen el espacio de las distribuciones temperadas.

(a) El espacio de Schwartz es denso en Lp(Rd) para todo 1 ≤ p < ∞ (noolvidemos que contiene a D(Rd)) y, por supuesto, S(Rd) ⊂ L∞(Rd)aunque la inyección no sea densa. En consecuencia, para todo 1 ≤

3

p ≤ ∞ se dispone de la inclusión natural Lp(Rd) ⊂ S ′(Rd) definidaa partir de

Tf (φ) =∫

Rdf (x)φ(x) dx , f ∈ Lp(Rd) , φ ∈ S(Rd) . (1)

En particular, también se tiene S(Rd) ⊂ S ′(Rd).

(b) Los polinomios en Rd pueden identificarse con distribuciones tem-peradas, así como las funciones medibles acotadas por polinomios(conocidas como funciones de crecimiento lento). En efecto, dada f :Rd → R tal que | f (x)| ≤ C

(1 + |x|

)n para C > 0 y algún n ∈ N,entonces Tf : S(Rd) → R definida como en (1) es una distribucióntemperada, dado que∣∣Tf (φ)

∣∣ ≤ C∫

Rd

(1 + |x|

)n|φ(x)| dx < ∞ ,

pues (1 + |x|)nφ ∈ S(Rd) ⊂ L1(Rd).

(c) La delta de Dirac, definida como δx(φ) = φ(x) cualquiera que seaφ ∈ S(Rd), es una distribución temperada. Es más, cualquier ele-mento T ∈ D′(Rd) con soporte compacto es identificable con unadistribución temperada, en el sentido en que existe una única T̃ ∈S ′(Rd) cuya restricción a D(Rd) coincide con T. En efecto:

Sean B ⊂ Rd una bola abierta y Φ ∈ D(Rd) tales que

sop(T) ⊂ B ⊂ sop(Φ) , Φ = 1 en B .

Para cualquier φ ∈ S(Rd) es claro que φΦ ∈ D(Rd), por lo que cabedefinir una aplicación lineal T̃ : S(Rd)→ R de la siguiente manera:

T̃(φ) := T(φΦ) .

Si Ψ ∈ D(Rd), entonces ΨΦ ∈ D(Rd) y ΨΦ = Ψ en B, de modoque sop(ΨΦ − Ψ) ⊂ Bc, luego T(ΨΦ) = T(Ψ) y, en consecuencia,T̃(Ψ) = T(Ψ). Dicho de otro modo, T̃ extiende a T.

Para verificar la continuidad de T̃ supongamos en primer lugar que{φn} → 0 en S(Rd), de donde se desprende inmediatamente quetambién {φnΦ} → 0 en S(Rd). Como además sop(φnΦ) ⊂ sop(Φ)para todo n ∈ N, se tiene que {φnΦ} → 0 en D(Rd). Podemos afir-mar entonces que

{T̃(φn)

}={

T(φnΦ)}→ 0, de modo que T̃ es

continua en S(Rd).

José L. López


Finalmente, para demostrar la unicidad de T̃ bastaría con admitir laexistencia de S̃ ∈ S ′(Rd) coincidente con T en D(Rd), y compro-bar que ha de ser S̃ = T̃. En efecto, T̃ − S̃ ∈ S ′(Rd) y se anula enD(Rd), que a su vez es un conjunto denso en S(Rd). Un teorema deextensión clásico (Teorema BLT) nos permite concluir el argumento.

La razón principal para comenzar estudiando la transformada de Fou-rier sobre esta clase de funciones estriba en el hecho de que es actuandosobre S(Rd) (o bien sobre S ′(Rd)) cuando el operador inverso de Fouriercobra sentido a priori, pues la transformada de Fourier es cerrada para es-tos espacios (como se demostrará más avanzado el capítulo) en tanto queno lo es para L1(Rd). En otras palabras, trabajando el concepto de transfor-mada de Fourier en cualquiera de estos dos espacios tenemos garantizadode antemano el buen planteamiento de su construcción inversa.

Definición 1 (Transformada de Fourier y transformada inversa de Fourieren el espacio de Schwartz). La transformada de Fourier F [φ] : Rd → C deuna función φ ∈ S(Rd) (también denotada a menudo φ̂) se define como

F [φ](y) =∫

Rdφ(x) e−ix·y dx . (2)

La transformada inversa de Fourier de φ es la función

F−1[φ](y) =1

(2π)d

∫Rd

φ(x) eix·y dx . (3)

Aunque el marco funcional en el que la transformada de Fourier asídefinida tiene pleno sentido es bastante más amplio, baste de momentoindicar que si f ∈ L1(Rd) entonces las integrales (2) y (3) están obviamentebien definidas para todo y ∈ Rd. Además sabemos que S(Rd) ⊂ L1(Rd),por lo que la definición anterior es válida para cualquier función de S(Rd).

Definición 2 (Transformada de Fourier y transformada inversa de Fourierde una distribución temperada). La transformada de Fourier de un funcio-nal T ∈ S ′(Rd) es un funcional F [T] : S(Rd) → C que se define entérminos de la siguiente identidad:

F [T](φ) = T(F [φ]) ∀ φ ∈ S(Rd) . (4)

La transformada inversa de Fourier de T es el funcional

F−1[T](φ) =1

(2π)d F [T](

Rφ)

, (5)

donde R denota el operador de reflexión.

5

Obsérvese que para que esta definición tenga sentido es necesario quese cumpla F [φ] ∈ S(Rd), lo cual será verificado en breve por medio delTeorema 3. En este mismo resultado se comprobará asimismo que la trans-formada de Fourier de una distribución temperada es otra distribucióntemperada.

A continuación estudiamos algunas de las propiedades más relevan-tes de la transformada de Fourier. Para ello introducimos previamente lasdefiniciones correspondientes a la acción del operador de traslación sobreuna distribución temperada, la acción de una distribución temperada so-bre una homotecia, y el producto de un polinomio, de un cambio de fasey de una función de la clase de Schwartz por una distribución temperada:

Definición 3. Dados T ∈ S ′(Rd), α = (α1, . . . , αd) un multiíndice, λ ∈R \ {0} y x, a ∈ Rd, se definen las siguientes distribuciones temperadas:

(i) xαT(φ) := T(xαφ),

(ii) τaT(φ) := T(τ−aφ),

(iii) T(λx)(φ) := T(

1|λ|d φ

( xλ

)),

(iv) eia·xT(φ) := T(eia·xφ

),

(v) ψT(φ) := T(ψφ),

para cualesquiera φ, ψ ∈ S(Rd).

Teorema 1. Las siguientes propiedades son satisfechas:

(a) [Transformada de Fourier de una derivada] Para cualesquiera φ ∈S(Rd), T ∈ S ′(Rd) y α un multiíndice, se cumple

F [Dαφ] = i|α|yαF [φ] , F [∂αT] = i|α|xαF [T] .

Nótese que en estas identidades Dα y ∂α denotan cualquier derivadade orden α en el sentido clásico y distribucional, respectivamente.

(b) [Diferenciación de la transformada de Fourier] Para cualesquiera φ ∈S(Rd), T ∈ S ′(Rd) y α un multiíndice, se cumple

Dα(F [φ]) = F [(−i)|α|xαφ] , ∂α(F [T]) = F [(−i)|α|yαT] .

Como en (a), en las identidades anteriores Dα y ∂α denotan cualquierderivada de orden α en el sentido clásico y distribucional, respecti-vamente.

José L. López


(c) [Transformada de Fourier de una traslación] Para cualesquiera φ ∈S(Rd) y T ∈ S ′(Rd), se cumple

F [τaφ] = e−ia·yF [φ] , F [τaT] = e−ia·xF [T] ,

donde τa denota el operador de traslación por el vector a ∈ Rd.

(d) [Traslación de la transformada de Fourier] Para cualesquiera φ ∈S(Rd) y T ∈ S ′(Rd), se cumple

τaF [φ] = F [eia·xφ] , τaF [T] = F [eia·yT] ,

para todo a ∈ Rd. Como en el ítem anterior, τa denota el operador detraslación por el vector a ∈ Rd.

(e) [Transformada de Fourier de un grupo de escala] Para cualesquieraφ ∈ S(Rd), T ∈ S ′(Rd) y λ ∈ R \ {0}, se cumple

F [φ(λx)] =1|λ|dF [φ]

( yλ

), F [T(λx)] =

1|λ|dF [T]

( yλ

).

(f) [Simetría L2: identidad de Parseval y fórmula de Plancherel] Paracualesquiera φ, ψ ∈ S(Rd), se cumple∫

RdF [φ](y)ψ(y) dy =

∫Rd

φ(y)F [ψ](y) dy , (6)

de donde se deduce

〈φ, ψ〉L2(Rd) =1

(2π)d 〈F [φ],F [ψ]〉L2(Rd) Identidad de Parseval

‖φ‖L2(Rd) =1

(2π)d2‖F [φ]‖L2(Rd) Fórmula de Plancherel

(g) [Transformada de Fourier de un producto de convolución] Para cua-lesquiera φ, ψ ∈ S(Rd) y T ∈ S ′(Rd), se cumple

F [φ ∗ ψ] = F [φ]F [ψ] , F [T ∗ φ] =1

(2π)dF [φ]F [T] ,

donde la convolución T ∗ φ se define como (T ∗ φ)(x) := T(τxRφ).1

1Obsérvese que basta con que T y φ mantengan entre ellas una relación de dualidadtopológica para dar sentido a esta expresión. Por consiguiente, tan válida como esta defi-nición es para los casos en que T ∈ D′(Rd) y φ ∈ D(Rd), o bien T ∈ D′(Rd) con soportecompacto y φ ∈ C∞(Rd), lo es si T ∈ S ′(Rd) y φ ∈ S(Rd)

7

(h) [Continuidad y caída en infinito] Para toda φ ∈ S(Rd), F [φ] es unafunción continua y acotada en Rd. Además, {F [φ](y)} → 0 en C si|y| → ∞.

Demostración. (a) Se tiene

F [Dαφ](y) =∫

RdDαφ(x) e−ix·y dx = (−1)|α|

∫Rd

φ(x) Dα(e−ix·y) dx

= i|α|yα∫

Rdφ(x) e−ix·y dx = i|α|yαF [φ](y) ,

para lo que se ha utilizado la fórmula clásica de integración por partes.En el caso distribucional se tiene

F [∂αT](φ) = ∂αT(F [φ]

)= (−1)|α|T

(DαF [φ]

)(b)= (−1)|α|T

(F[(−i)|α|xαφ

])= i|α|F [T](xαφ)

De f . 3 (i)= i|α|xαF [T](φ) .

(b) Se tiene

DαF [φ](y) = Dα( ∫

Rdφ(x) e−ix·y dx

)=∫

Rdφ(x) Dα

(e−ix·y) dx

=∫

Rdφ(x) (−i)|α|xα e−ix·y dx = F [(−i)|α|xαφ](y) .

En el caso distribucional se tiene

∂α(F [T])(φ) = (−1)|α|F [T](

Dαφ)= (−1)|α|T

(F [Dαφ]

)(a)= (−1)|α|T

(i|α|yαF [φ]

) De f . 3 (i)= (−i)|α|yαT

(F [φ]

)= F

[(−i)|α|yαT

](φ) .

(c) Se tiene

F [τaφ](y) =∫

Rdφ(x− a) e−ix·y dx =

∫Rd

φ(u) e−i(u+a)·y du

= e−ia·y∫

Rdφ(u) e−iu·y du = e−ia·yF [φ](y) .


F [τaT](φ) = τaT(F [φ]

) De f . 3 (ii)= T

(τ−aF [φ]

) (d)= T

(F [e−ia·xφ]

)= F [T]

(e−ia·xφ

) De f . 3 (iv)= e−ia·xF [T](φ) .

José L. López


(d) Se tiene

τaF [φ](y) =∫

Rdφ(x) e−ix·(y−a) dx = F [eia·xφ](y) .


τaF [T](φ)De f . 3 (ii)

= F [T](τ−aφ

)= T

(F [τ−aφ]

) (c)= T

(eia·yF [φ]

)De f . 3 (iv)

= eia·yT(F [φ]

)= F

[eia·yT

](φ) .

(e) Si λ 6= 0, se tiene

F [φ(λx)](y) =∫

Rdφ(λx) e−ix·y dx

=1|λ|d

∫Rd

φ(u) e−i uλ ·y du =

1|λ|dF [φ]

( yλ

).

En el caso distribucional

F [T(λx)](φ) = T(λx)(F [φ]

)De f . 3 (iii)

= T(

1|λ|dF [φ]

( xλ

))= T

(F [φ(λy)]

)= F [T]

(φ(λy)

) De f . 3 (iii)=

1|λ|dF [T]

( yλ

)(φ) .

(f) Se tiene∫RdF [φ](y)ψ(y) dy =

∫Rd

( ∫Rd

φ(x) e−ix·y dx)

ψ(y) dy

=∫

Rdφ(x)

( ∫Rd

ψ(y) e−ix·y dy)

dx

=∫

Rdφ(x)F [ψ](x) dx .

La identidad de Parseval se obtiene a partir de (6) tomando F [ψ] = ϕ,de donde se desprende que ψ = (2π)−d F [ϕ] (véase el Teorema 2 queviene a continuación). Finalmente, para obtener la fórmula de Plancherelbasta con elegir ψ = φ en la identidad de Parseval y extraer raíces cuadra-das.

9

(g) Se tiene

F [φ ∗ ψ](y) =∫

Rd(φ ∗ ψ)(x) e−ix·y dx

=∫

Rd

( ∫Rd

φ(x− ξ)ψ(ξ) dξ)

e−ix·y dx

=∫

Rdψ(ξ) e−iξ·y

( ∫Rd

φ(x− ξ)e−i(x−ξ)·y dx)

dξ

= F [φ](y)F [ψ](y) .

Por otra parte, al tener en cuenta la interpretación distribucional de laconvolución se obtiene lo siguiente:

F [T ∗ φ](ψ) = (T ∗ φ)(F [ψ]

)= T

(Rφ ∗ F [ψ]

)=

1(2π)d T

(F[F [φ]ψ

])=

1(2π)dF [T]

(F [φ]ψ

)De f . 3 (v)

=1

(2π)dF [φ]F [T](ψ) ,

donde se ha usado que F 2[φ] = (2π)dRφ en virtud del cálculo siguiente:

F 2[φ](z) =∫

RdF [φ](y)e−iy·z dy =

∫Rd

(∫Rd

φ(x)e−ix·y dx)

e−iy·z dy

=∫

Rd

(∫Rd

e−iy·(x+z) dy)

φ(x) dx =∫

RdF [1](x + z)φ(x) dx

Ejemplo 2 (a)= (2π)d

∫Rd

δ0(x + z)φ(x) dx = (2π)d(Rφ)(z) . (7)

(h) La continuidad de F [φ] se desprende de la siguiente desigualdad:∣∣F [φ](y)−F [φ](y0)∣∣ ≤ ∫

Rd|φ(x)|

∣∣e−ix·y − e−ix·y0∣∣ ,

pues basta con tomar una sucesión {yn} → y0 y observar que el integran-do está acotado por 2|φ(x)| y converge puntualmente hacia cero. Entoncesel teorema de la convergencia dominada nos permite concluir.

Que F [φ] es una función acotada es de verificación inmediata, pues|F [φ](y)| ≤ ‖φ‖L1(Rd) para todo y ∈ Rd.

Comprobemos finalmente que {F [φ](y)} tiende a cero cuando |y| →∞. Para ello escribimos

F [φ](y) =∫

Rdφ(x)e−ix·y dx = −

∫Rd

φ(x)e−i(x·y+π) dx

= −∫

Rdφ(x)e

−i(

x+ πy|y|2

)·y

dx = −∫

Rdφ(

z− πy|y|2

)e−iz·y dz ,

José L. López


luego

2∣∣F [φ](y)∣∣ =

∣∣∣∣∫Rd

(φ(z)− φ

(z− πy|y|2

))e−iz·y dz

∣∣∣∣≤

∫Rd

∣∣∣φ(z)− φ(

z− πy|y|2

)∣∣∣ dz .

Finalmente, usando el resultado del Ejercicio 13 del capítulo anterior seobtiene que

lı́m|y|→∞

{∥∥∥∥φ(·)− φ(· − πy|y|2

)∥∥∥∥L1(Rd)

}= 0 ,

y por consiguiente {F [φ](y)} → 0.�

En el siguiente resultado justificamos el nombre de transformada in-versa de Fourier que acompaña a F−1 en las definiciones 1 y 2. Compro-baremos que, en efecto, se trata del operador inverso de la transformadade Fourier F .

Teorema 2 (Fórmula de inversión de Fourier en S(Rd)). Sea φ ∈ S(Rd).Entonces

φ(x) =1

(2π)d

∫RdF [φ](y) eiy·x dy

para todo x ∈ Rd.

Demostración. Consideramos la función gaussiana G(x) = e−π|x|2 y defi-

nimos la siguiente sucesión de funciones: Gn(x) = G(

xn

). Entonces

F [Gn](y) = ndF [G](ny) (8)

en virtud del Teorema 1 (e). Además∫RdF [φ](y)G

( yn

)dy =

∫RdF [φ](y)Gn(y) dy =

∫Rd

φ(y)F [Gn](y) dy

= nd∫

Rdφ(y)F [G](ny) dy =

∫Rd

φ( y

n

)F [G](y) dy ,

donde se ha usado (8), el teorema de cambio de variable y la propiedadde simetría (f) del Teorema 1. Si tomamos ahora el límite n → ∞, una

11

aplicación del teorema de la convergencia dominada2 nos conduce a lasiguiente identidad:

G(0)∫

RdF [φ](y) dy = φ(0)

∫RdF [G](y) dy . (9)

Como G(0) = 1 y F [G](y) = e−|y|24π (véase el Ejemplo 2 (c) más abajo),

podemos reescribir (9) de la siguiente forma:∫RdF [φ](y) dy = (2π)dφ(0) . (10)

Aplicando finalmente la fórmula (10) al operador de traslación τ−x obte-nemos ∫

RdF [τ−xφ](y) dy = (2π)dφ(x) . (11)

Pero F [τ−xφ](y) = eiy·xF [φ](y) en virtud del Teorema 1 (c), de modo queal reemplazar esta identidad en el primer miembro de la fórmula (11) seobtiene la propiedad deseada.

�

El siguiente resultado pone de manifiesto, entre otras propiedades, quela clase de Schwartz S(Rd) y la clase de las distribuciones temperadasS ′(Rd) son cerradas tanto para la transformada de Fourier como para lacorrespondiente transformada inversa.

Teorema 3. La transformada de Fourier es un homeomorfismo lineal deS(Rd) en S(Rd) y de S ′(Rd) en S ′(Rd).

Demostración. La llevamos a cabo en dos etapas:

Primera etapa: F : S(Rd) → S(Rd) es un homeomorfismo lineal. Sea φ ∈S(Rd).

(a) [F es cerrada en S(Rd)] Claramente F [φ] es continua en virtud delTeorema 1 (h). Con respecto a su derivabilidad se dispone de la pro-piedad (a) del Teorema 1:

Dα(F [φ])(x) = F [(−i)|α|yαφ](x) .

Como la función (−i)|α|yαφ pertenece claramente a S(Rd) (puestoque φ ∈ S(Rd)) sabemos que su transformada de Fourier es con-tinua, luego podemos afirmar que Dα(F [φ]) es continua cualquiera

2Ver Ejercicio 6

José L. López


que sea el multiíndice α o, equivalentemente, que F [φ] pertenece aC∞(Rd). Falta por comprobar que F [φ] decrece rápidamente en in-finito, lo cual equivale a demostrar que, dado p(x) = ∑n

β=1 cβxβ unpolinomio de grado arbitrario, el producto pDα(F [φ]) tiende a cero.En efecto, usando la linealidad de la aplicación φ 7→ F [φ] (que esinmediata) y la propiedad (b) del Teorema 1 se tiene que

p(x)Dα(F [φ])(x) =( n

∑β=1

cβxβ)F [(−i)|α|yαφ](x) (12)

Teor. 1 (a)= F

[ n

∑β=1

cβ(−i)|α|+|β| Dβ(yαφ)](x) ,(13)

que se anula en infinito en virtud del Teorema 1 (h).

(b) [Bicontinuidad] De (13) se desprende inmediatamente que∣∣p(x)Dα(F [φ])(x)∣∣ ≤ n

∑β=1|cβ|

∫Rd|Dβ(yαφ)| dy < ∞ .

Esta estimación permite concluir la continuidad de φ 7→ F [φ], dadoque para p(x) = xβ se tiene

‖F [φ]‖β,α ≤β

∑k=0|Ck,α,β|‖φ‖α−k,β−k

en virtud de la regla de Leibniz para la derivación de un producto,donde Ck,α,β denota una constante positiva que depende de los va-lores de α, β y k. La continuidad de la aplicación inversa se sigueinmediatamente de la relación F−1 = (2π)−2dF 3 (véase el Ejemplo2 (a)).

(c) [Biyectividad] Dada ψ ∈ S(Rd), basta con elegir φ = F−1[ψ] paratener F [φ] = ψ, de donde se desprende la sobreyectividad de F .Finalmente, si F [φ] = F [ψ] entonces F [φ − ψ] = 0, y tomando latransformada inversa se concluye que φ− ψ = 0 en S(Rd), luego lainyectividad de F .

Segunda etapa: F : S ′(Rd)→ S ′(Rd) es un homeomorfismo lineal.

(a) [F es cerrada en S ′(Rd)] Sean T ∈ S ′(Rd) y {φn} ⊂ S(Rd) con{φn} → φ en S(Rd). Por continuidad de la transformada de Fourierse tiene que {F [φn]} → F [φ] en S(Rd), luego

{F [T](φn)} = {T(F [φn])} → T(F [φ]) = F [T](φ) .

13

Por otra parte, la linealidad de F [T] actuando sobre S(Rd) es deverificación inmediata, de donde se concluye que F [T] ∈ S ′(Rd).

(b) [Linealidad] Sean α, β ∈ R y T, S ∈ S ′(Rd). Entonces

F [αT + βS](φ) = (αT + βS)(F [φ]) = αT(F [φ]) + βS(F [φ])= α(F [T])(φ) + β(F [S])(φ)

para toda Φ ∈ S(Rd).

(c) [Bicontinuidad] Sea {Tn} ⊂ S ′(Rd) tal que {Tn} → T en S ′(Rd).Entonces, para toda φ ∈ S(Rd) se verifica

{F [Tn](φ)} = {Tn(F [φ])} → T(F [φ]) = F [T](φ) ,

luego F : S ′(Rd)→ S ′(Rd) es continua. La transformada inversa deFourier F−1 : S ′(Rd) → S ′(Rd) también es continua, toda vez queF−1 = (2π)−2dF 3 (remitimos nuevamente al Ejemplo 2 (a)).

(d) [Biyectividad] Si S ∈ S ′(Rd), podemos definir

T(φ) := S(F−1[φ]) ∀ φ ∈ S(Rd) .

Claramente F [T] = S, luego F : S ′(Rd) → S ′(Rd) es sobreyec-tiva. Para verificar la inyectividad supongamos que F [T] = 0. En-tonces T(F [φ]) = 0 para toda φ ∈ S(Rd). Como F : S(Rd) →S(Rd) es sobreyectiva, esta última condición se puede reformularcomo T(ψ) = 0 para toda ψ ∈ S(Rd) y, por consiguiente, T ≡ 0 yF : S ′(Rd)→ S ′(Rd) es inyectiva.

�

Ejemplo 2. Detallamos a continuación algunos ejemplos de cálculo de latransformada de Fourier, ya sea en el ámbito de la clase de Schwarz comoen el de las distribuciones temperadas, haciendo especial hincapié en loselementos de análisis complejo necesarios para llevarlo a cabo con rigor.

(a) Comprobemos que F [δx0 ](x) = e−ix0·x en el sentido de las distribu-ciones temperadas. En efecto, las siguientes identidades son satisfe-chas:

F [δx0 ](φ) = δx0(F [φ]) = F [φ](x0) =∫

Rdφ(x)e−ix·x0 dx = Tf (φ) ,

José L. López


con f (x) = e−ix0·x. Si en la expresión anterior tomamos x0 = 0 seobtiene la propiedad

F [δ0] = 1 ,

de donde se deduce que δ0 = F−1[1] = 1(2π)dF [1] y, en consecuencia,

F [1] = (2π)dδ0 .

Al hilo de estas propiedades podemos verificar cómodamente la re-laciónF−1 = (2π)−2dF 3 usada con anterioridad. En (7) ya se dedujoque F 2[φ] = (2π)dRφ, luego

F 3[φ](ω) = (2π)d∫

Rd(Rφ)(z) e−iz·ω dz

= (2π)d∫

Rdφ(z) eiz·ω dz = (2π)2dF−1[φ](ω)

después de haber aplicado en repetidas ocasiones el teorema de Fu-bini.

(b) La siguiente identidad es una consecuencia inmediata del enunciado(b) del Teorema 1 y del ejemplo anterior:

F [xα] = i|α|∂α(F [1]) = (2π)di|α|∂αδ0 .

(c) F [e−α2x2](y) =

√π|α| e−

y2

4α2 . En efecto, completando cuadrados en elintegrando se obtiene

F [e−α2x2](y) =

∫ ∞

−∞e−α2x2−ix·y dx = e−

y2

4α2

∫ ∞

−∞e−(αx+ i

2α y)2dx

=1|α| e−

y2

4α2

∫ ∞

−∞e−(λ+

i2α y)2

dλ =1|α| e−

y2

4α2

∫Im(u)= y

2α

e−u2du .

Basta entonces con verificar que la recta del plano complejo Im(u) =y

2α puede transportarse al eje real Im(u) = 0, ya que en ese caso po-dríamos escribir∫

Im(u)= y2α

e−u2du =

∫ ∞

−∞e−λ2

dλ =√

π , (14)

obteniendo con ello el resultado esperado. Para comprobar la pro-piedad (14) consideramos el contorno rectangular cR de la Figura 2.

15

Como la función e−u2es holomorfa y cR una curva cerrada, para todo

R > 0 se tiene que ∫cR

e−u2du = 0 , u = λ + iτ , (15)

en virtud del teorema de Cauchy. En los segmentos

c2R =

{λ = −R, 0 ≤ τ ≤ y

2α

}, c4

R ={

λ = R, 0 ≤ τ ≤ y2α

}se verifica ∣∣∣e−u2

∣∣∣ = ∣∣∣e−R2+τ2−2iλτ∣∣∣ = e−R2+τ2

,

cantidad que tiende a cero para valores R→ ∞, de modo que

lı́mR→∞

{ ∫c2

R

e−u2du +

∫c4

R

e−u2du}= 0 .

Usando entonces (15) obtenemos

lı́mR→∞

{ ∫cR

e−u2du}= 0 = lı́m

R→∞

{ ∫c2

R

e−u2du +

∫c4

R

e−u2du}

,

luego

0 = lı́mR→∞

{ ∫c3

R

e−u2du +

∫c1

R

e−u2du}=∫ ∞

−∞e−λ2

dλ−∫

τ=y

2α

e−u2du ,

de donde se desprende (14).

(d) Si d = 3,

F[

1|x|2

]=

2π2

|y| .

En primer lugar observamos que la función f (x) = 1|x|2 pertenece

a L1loc(R

3) y decae en infinito, por lo que puede identificarse con ladistribución temperada Tf : S(Rd) → R definida como Tf (φ) =∫

R3φ(x)|x|2 dx (cf. Ejercicio 3). Teniendo en cuenta que

1|x|2 = − 1

|x|2∫ ∞

0

ddt(e−πt2|x|2) dt = 2π

∫ ∞

0te−πt2|x|2 dt ,

José L. López


-R 0 R

r cR1

cR2

cR3

cR4

Figura 1: Contorno de integración en (14)

se tiene que

F [Tf ](φ) = Tf(F [φ]

)=∫

R3

F [φ](x)|x|2 dx

= 2π∫

R3

( ∫ ∞

0te−πt2|x|2 dt

)F [φ](x) dx

= 2π∫ ∞

0t( ∫

R3e−πt2|x|2F [φ](x) dx

)dt

= 2π∫ ∞

0

1t2

( ∫R3

e−|x|24πt2 φ(x) dx

)dt ,

para lo que se ha empleado el teorema de Fubini y el hecho de que∫R3

e−πt2|x|2F [φ](x) dx =1t3

∫R3

e−|x|24πt2 φ(x) dx

en virtud de la identidad de Parseval (Teorema 1 (f)) y del ejemploexpuesto en (c). Bastará, pues, con calcular

2π∫ ∞

0

1t2 e−

|x|24πt2 dt =

2π

|x|

∫ ∞

0e−

s24π ds =

2π2

|x| .

(e) La transformada de Fourier de la función característica del intervalo[−a, a] ⊂ R (a > 0),

χ[−a,a](x) ={

1 si x ∈ [−a, a]0 si x /∈ [−a, a] ,

17

esF[χ[−a,a]

](y) =

2y

sen(ay) .

(f) El siguiente ejemplo es un ejercicio interesante de integración com-pleja. Calculemos F

[eiα|x|2], donde x ∈ Rd y α > 0. Como

eiα|x|2 = eiαx21 eiαx2

2 . . . eiαx2d ,

bastará con calcular la transformada de Fourier de la función f (x) =eiαx2

con x ∈ R. Considerando la identificación de esta función conla correspondiente distribución temperada Tf y construyendo la su-cesión de funciones

fn(x) ={

f (x) si − n < x < n0 si |x| ≥ n ,

es inmediato concluir que {Tfn} → Tf en S ′(R) o, dicho de otromodo,

{Tfn(φ)} ={ ∫ n

−neiαx2

φ(x) dx}→∫ ∞

−∞eiαx2

φ(x) dx = Tf (φ)

para toda φ ∈ S(R). Entonces la continuidad de la transformada deFourier (cf. Teorema 3) asegura que {F [Tfn ]} → F [Tf ] en S ′(R), porlo que (abusando del lenguaje)

F [ f ](y) = lı́mn→∞

{F [ fn](y)

}=∫ ∞

−∞eix(αx−y) dx

= e−i y24α

∫ ∞

−∞eiα(x− y

2α)2

dx = e−i y24α

∫ ∞

−∞eiαξ2

dξ

= 2e−i y24α

∫ ∞

0eiαξ2

dξ (16)

sin más que completar cuadrados en el integrando. Para resolver laintegral

∫ ∞0 eiαξ2

dξ utilizamos el contorno Γ = OABO en el planocomplejo (véase la Figura 2).

Como la función z 7→ eiαz2es holomorfa y la curva Γ es cerrada, el

teorema de Cauchy garantiza que∫Γ

eiαz2dz = 0 .

José L. López


A0

B

pÄÄÄÄ4

R

>

Figura 2: Contorno de integración en (16)

Por tanto, se tiene∫ R

0eiαξ2

dξ = −∫

ABeiαz2

dz−∫

BOeiαz2

dz . (17)

Comenzamos comprobando que la primera de las integrales del se-gundo miembro de (17) converge a cero cuando R→ ∞. En efecto, alo largo de la trayectoria AB se tiene que z = Reiθ (la parte radial semantiene fija y cambia solo el ángulo), por lo que

lı́mR→∞

∣∣∣ ∫AB

eiαz2dz∣∣∣

= lı́mR→∞

{R∣∣∣ ∫ 1

R2

0eiαR2e2iθ

eiθ dθ +∫ π

4

1R2

eiαR2e2iθeiθ dθ

∣∣∣}≤ lı́m

R→∞

{R( ∫ 1

R2

0e−αR2 sen(2θ) dθ +

∫ π4

1R2

e−αR2 sen(2θ) dθ)}

≤ lı́mR→∞

{R( 1

R2 + e−αR2 sen(

2R2

)(π

4− 1

R2

))}= 0 .

Por otro lado, a lo largo de BO se tiene que z = ξei π4 =

√2

2 (1 + i)ξ (laparte angular se mantiene fija y cambia solo el radio), con ξ variando

19

entre R y 0. En este caso

∫BO

eiαz2dz = −

√2

2(1 + i)

∫ R

0e−αξ2

dξ = −√

2(1 + i)2√

α

∫ √αR

0e−ξ2

dξ ,

de modo que (17) puede reescribirse de la siguiente forma:

∫ R

0eiαξ2

dξ = −∫

ABeiαz2

dz +√

2(1 + i)2√

α

∫ √αR

0e−ξ2

dξ . (18)

Como∫ ∞

0 e−ξ2dξ =

√π

2 , al pasar al límite R→ ∞ en (18) se deduce

∫ ∞

0eiαξ2

dξ =

√2π(1 + i)

4√

α. (19)

Por tanto, a raíz de la fórmula (16) se obtiene

F [ f ](y) =√

2π(1 + i)2√

αe−i y2

4α . (20)

Finalmente,

F[eiα|x|2](y) = (√2π(1 + i)

2√

α

)d

e−i |y|2

4α .

(g) A continuación proponemos otra forma de resolver el problema abor-dado en (g) bajo la hipótesis (más general) α ∈ C. Consideramos elcaso n = 1 y, tratando α como variable, definimos

f (y, α) = F[eiαx2]

(y) . (21)

Un cálculo sencillo que involucra a las propiedades expuestas en elTeorema 1 (a) y (b) nos conduce a la identidad

iy f (y, α) = F[ d

dx

(eiαx2

)](y) = F [2iαxeiαx2

](y) = −2α∂ f∂y

(y, α) ,

de donde se obtiene la siguiente ecuación lineal en derivadas parcia-les:

∂ f∂y

(y, α) + iy

2αf (y, α) = 0 . (22)

José L. López


Resolviendo (22) llegamos a la expresión

f (y, α) = C(α)e−i y24α , (23)

donde C(α) es una constante a determinar que depende de α.

Derivando ahora en (21) con respecto a α y volviendo a hacer uso delTeorema 1 (b) observamos que

∂ f∂α

(y, α) = F[ix2eiαx2

](y) = −i

∂2 f∂y2 (y, α) ,

de donde se deduce una nueva ecuación en derivadas parciales queha de ser satisfecha por f :

∂ f∂α

(y, α) + i∂2 f∂y2 (y, α) = 0 . (24)

Sustituyendo (23) en (24) obtenemos la siguiente ecuación diferencialpara C(α):

C′(α) +1

2αC(α) = 0 ,

por lo que

C(α) =K√

α=

K√|α|

e−i θ2 (25)

después de considerar la representación polar α = |α|eiθ.

Solamente resta determinar el valor de la constante K. Para ello eva-luamos f (y, i) en (21) y (23) y aplicamos el cálculo llevado a cabo en(c), de donde se desprende que C(i) =

√π. Sustituyendo finalmente

en (25) se obtiene

K =

√2π

2(1 + i) ,

luego

f (y, α) =

√π

2|α| (1 + i) e−i θ2 e−i y2

4α .

Es inmediato comprobar que esta expresión se reduce a (20) cuando0 < α ∈ R.

�

21

La transformada de Fourier en Lp(Rd)

Estudiamos en la última parte de este capítulo aquellas propiedadesde la transformada de Fourier que describen su comportamiento en elambiente de los espacios de Lebesgue. Según la construcción hecha pre-viamente y en virtud del Teorema 3, la transformada de Fourier de unafunción f ∈ Lp(Rd) puede identificarse con una distribución temperada.Comenzamos observando que, además, F [ f ] es también una función si1 ≤ p ≤ 2.

Teorema 4 (Plancherel). La aplicación (2π)−d2F : L2(Rd)→ L2(Rd) es un

isomorfismo isométrico, es decir: si f ∈ L2(Rd), entonces F [ f ] ∈ L2(Rd) y

‖F [ f ]‖L2(Rd) = (2π)d2 ‖ f ‖L2(Rd) .

Demostración. La conclusión es cierta cualquiera que sea φ ∈ S(Rd), talse expuso ya en el Teorema 1 (f). Como además S(Rd) es denso en L2(Rd),el operador transformada de Fourier extiende la igualdad entre las normasa toda función de L2(Rd).

�

Teorema 5 (Desigualdad de Hausdorff–Young). Si f ∈ Lp(Rd) para algún1 ≤ p ≤ 2, entonces F [ f ] ∈ Lp′(Rd) y se cumple

‖F [ f ]‖Lp′ (Rd)≤ (2π)

dp′ ‖ f ‖Lp(Rd) .

Observación 1. La igualdad se alcanza en el teorema anterior si y sola-mente si f es una función gaussiana de la forma

f (x) = k e−〈x,Ax〉+〈b,x〉 ,

donde k ∈ R, A es una matriz real simétrica y definida positiva y b ∈ Rd.Esta caracterización fue demostrada por E. Lieb en [Li].

�

Demostración. Claramente F : L1(Rd) → L∞(Rd) y, en virtud del teore-ma de Plancherel (Teorema 4), también F : L2(Rd)→ L2(Rd). Además, setiene que

‖F [ f ]‖L∞(Rd) ≤ ‖ f ‖L1(Rd) , ‖F [ f ]‖L2(Rd) = (2π)d2 ‖ f ‖L2(Rd) .

José L. López

22 Aplicación I: cálculo de la solución fundamental

Esto nos sitúa en condiciones de poder aplicar el teorema de interpolaciónde Riesz–Thorin (véase el siguiente documento) con p0 = 1, q0 = ∞, p1 =

q1 = 2, M0 ≤ 1 y M1 = (2π)d2 , lo que permite concluir la prueba.

�

Los textos [Duo], [RS2], [DL] y [DMc] son muy recomendables a distin-tos niveles para contrastar y ampliar los contenidos aquí expuestos sobreintegrales de Fourier.

Aplicación I: cálculo de la solución fundamental

La transformada de Fourier es una herramienta particularmente po-tente para el estudio de ecuaciones en derivadas parciales lineales concoeficientes constantes. Ilustremos con algunos ejemplos sencillos la for-ma habitual de proceder.

Ejemplo 3 (Ecuación de Laplace). Consideramos el problema

−∆u = −d

∑i=1

∂2u∂x2

i= f (26)

en Rd, donde f ∈ L2(Rd), con el propósito de encontrar una fórmula ex-plícita para la solución u : Rd → R. Para ello aplicamos la transformaciónde Fourier a la ecuación (26) y obtenemos el problema equivalente

|y|2F [u](y) = F [ f ](y) (27)

donde hemos utilizado la propiedad (b) del Teorema 1. A diferencia de(26), la ecuación (27) es algebraica y se resuelve de forma inmediata:

F [u](y) = F [ f ](y)|y|2 ,

por lo que

u(x) = F−1[F [ f ](y)|y|2

].

Utilizando ahora la parte (g) del Teorema 1 encontramos

u(x) =(

f ∗ F−1[

1|y|2

])(x) . (28)

23

Calculamos seguidamente F−1[

1|y|2]. Como 1

α =∫ ∞

0 e−αt dt para todo

α > 0, se tiene que 1|y|2 =

∫ ∞0 e−|y|

2t dt. Entonces

F−1[

1|y|2

]=

1(2π)d

∫ ∞

0

(∫Rd

eix·y−|y|2t dy)

dt . (29)

Si consideramos ahora z =√

bx − a2√

bi para cualesquiera a, b ∈ R con

b > 0, es fácil comprobar que∫R

eiax−bx2dx =

e−a2/4b√

b

∫Γ

e−z2dz ,

donde Γ ={

z ∈ C : Im(z) = − a2√

b

}. Deformando Γ en el eje real se tiene∫

Γe−z2

dz =∫ ∞

−∞e−x2

dx =√

π .

Por tanto, ∫R

eiax−bx2dx = e−

a24b

√π

b. (30)

Finalmente∫Rd

eix·y−|y|2t dy =d

∏j=1

∫R

eixjyj−y2j t dyj =

(π

t

) d2 e−

|x|24t (31)

como consecuencia de (30). Entonces, de (29) y (31) se concluye que

F−1[

1|y|2

]=

1(2√

π)d

∫ ∞

0t−

d2 e−

|x|24t dt .

Luego la solución de (26) se puede expresar explícitamente a través de lasiguiente fórmula integral:

u(x) =∫ ∞

0

∫Rd

1

(4πt)d2

e−|x−y|2

4t f (y) dy dt . (32)

�

Ejemplo 4 (Ecuación del calor). Consideramos el siguiente problema devalores iniciales para la ecuación del calor:{

∂u∂t (x, t)− ∆u(x, t) = 0 en Rd × (0, ∞)

u(x, 0) = u0(x) en Rd . (33)

José L. López

24 Aplicación I: cálculo de la solución fundamental

Si aplicamos a este problema la transformada de Fourier con respecto a lavariable espacial obtenemos el siguiente problema lineal equivalente:{

∂F [u]∂t (y, t) + |y|2F [u](y, t) = 0 en Rd × (0, ∞)

F [u](y, 0) = F [u0](y) en Rd .

Resolviendo para F [u] por el método de separación de variables encon-tramos

F [u](y, t) = e−|y|2tF [u0](y) .

Por tanto,

u(x, t) = F−1[e−|y|2tF [u0](y)]=(F−1[e−|y|2t] ∗ u0

)(x, t) . (34)

Usando (31) podemos calcular

F−1[e−|y|2t](x, t) =

1(2π)d

∫Rd

eix·y−|y|2t dy =1

(2√

π)d t−d2 e−

|x|24t .

Luego la fórmula (34) puede reescribirse como

u(x, t) =1

(4πt)d2

∫Rd

e−|x−y|2

4t u0(y) dy , x ∈ Rd , t > 0 . (35)

�

Ejemplo 5 (Ecuación de Schrödinger). Consideramos a continuación elsiguiente problema de valores iniciales para la ecuación de Schrödinger:{

i ∂u∂t (x, t) + ∆u(x, t) = 0 en Rd × (0, ∞)

u(x, 0) = ϕ(x) en Rd , (36)

donde ahora la función u toma valores complejos.Si formalmente reemplazamos t por it en el segundo miembro de (35)

se obtiene la siguiente fórmula:

u(x, t) =1

(4πit)d2

∫Rd

ei|x−y|2

4t ϕ(y) dy x ∈ Rd, t > 0 (37)

(véase el argumento siguiente para justificar la elección que debe hacer-se de

√i). Es obvio que esta expresión tiene pleno sentido para tiempos

positivos toda vez que ϕ ∈ L1(Rd). La razón de considerar el cambio de

25

variable t 7→ it radica en el hecho de que si |y|2ϕ ∈ L1(Rd) entonces u(dada por la fórmula (37)) resuelve la ecuación de Schrödinger

i∂u∂t

(x, t) + ∆u(x, t) = 0 en Rd × (0, ∞) ,

como se deduce fácilmente de un cálculo directo.También puede seguirse un procedimiento análogo al llevado a cabo

para la ecuación del calor, salvo que en este caso se tiene

F [u](y, t) = e−i|y|2tF [u0](y) .

Por tantou(x, t) =

(F−1[e−i|y|2t] ∗ u0

)(x, t) .

Aplicando entonces lo expuesto en (h) del Ejemplo 2 (con α = −t y θ = π)se calcula

F−1[e−i|y|2t](x, t) =1

(8πt)d2(1− i)de

i|x|24t ,

expresión que puede reinterpretarse en términos de una raíz cuadrada dela unidad, a saber: √

i =1√2(1 + i) , (38)

pues en tal caso(2

i) d

2 = (1− i)d y puede escribirse

F−1[e−i|y|2t](x, t) =1

(4πit)d2

ei|x|2

4t ,

luego u viene dada por (37).�

Ejemplo 6 (Ecuación de ondas). Consideramos a continuación el siguien-te problema de valores iniciales para la ecuación de ondas:{

∂2u∂t2 (x, t)− ∆u(x, t) = 0 en Rd × (0, ∞)

u(x, 0) = u0(x) , ∂u∂t (x, 0) = u1(x) en Rd . (39)

Aplicando la transformada de Fourier con respecto a la variable espacial aeste problema (como en el caso anterior) se obtiene el siguiente problemaequivalente:{

∂2

∂t2F [u](y, t) + |y|2F [u](y, t) = 0 en Rd × (0, ∞)

F [u](y, 0) = F [u0](y) , ∂F [u]∂t (y, 0) = F [u1](y) en Rd

, (40)

José L. López

26 Aplicación II: teoría de la señal

que es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden en t (con coe-ficientes constantes) para cada y ∈ Rd fijo. De la ecuación característicaasociada λ2 + |y|2 = 0 obtenemos λ = ±i|y|, por lo que un sistema funda-mental de soluciones es { cos(|y|t), sen(|y|t)}, es decir,

F [u](y, t) = A(y) cos(|y|t) + B(y) sen(|y|t)

con A, B : Rd → C. Teniendo en cuenta las condiciones iniciales de (40) sededuce fácilmente que

A = F [u0](y) , B =F [u1](y)|y| ,

de donde

F [u](y, t) =F [u0](y)

2

(ei|y|t + e−i|y|t

)− iF [u1](y)

2|y|

(ei|y|t − e−i|y|t

).

Por tanto,

u(x, t) = F−1[F [u0](y)

2

(ei|y|t + e−i|y|t

)− iF [u1](y)

2|y|

(ei|y|t − e−i|y|t

)]=

1(2π)d

{∫Rd

F [u0](y)2

[ei(x·y+|y|t) + ei(x·y−|y|t)

]dy

− i2

∫Rd

F [u1](y)|y|

[ei(x·y+|y|t) − ei(x·y−|y|t)

]dy}

para todo x ∈ Rd y t ≥ 0.�

Aplicación II: teoría de la señal

La motivación para el empleo de la transformada de Fourier en la teoríamatemática del tratamiento de señales reside en la descomposición carac-terística de una señal (representada por una función u(x)) como superpo-sición infinita de señales más fácilmente tratables:

u(x) = ∑n∈N

an einωx ,

donde ω = 2πT es una frecuencia asociada al periodo T y eiωx representa un

armónico (es decir, la señal correspondiente a una frecuencia pura ν = ω2π ).

27

Los problemas matemáticos abordados por la transformada de Fourieren el contexto de la teoría de la señal responden típicamente al siguienteesquema: un sistema recibe (como entrada) una señal f y emite (como sali-da) una señal g, donde f y g vienen descritas por funciones que dependendel tiempo. Entonces se nos plantea en primer lugar el

(a) problema de identificación del sistema, supuesto que f y g son cono-cidas,

o bien el

(b) problema consistente en el cálculo de la señal de salida g, supuestoque el input f y el sistema son conocidos.

De naturaleza distinta es el llamado

(c) problema de filtraje de la señal, en el que el sistema recibe el nombrede filtro y actúa como tal sobre la señal.

Llamemos F al operador asociado al filtro, de modo que F( f ) = g. Sobreel filtro se consideran las siguientes tres hipótesis:

(i) F es lineal: F(λ1 f1 + λ2 f2) = λ1F( f1) + λ2F( f2).

(ii) El filtro es estacionario (es decir, invariante con respecto al tiempo).

(iii) F es invariante por traslaciones: F( f (t− τ)) = g(t− τ).

El único operador que satisface las hipótesis (i)–(iii) es el de convolución,de modo que existirá una función h : R→ R que verifica

F( f (t)) = g(t) = ( f ∗ h)(t) =∫ ∞

−∞f (t− τ)h(τ) dτ .

La función h se interpreta como la respuesta del filtro ante un impulso.En efecto, si f = δ (aquí la masa de Dirac representa el impulso) entoncesg = δ ∗ h = h. Por otra parte, si f (t) = eiωt entonces

g(t) = ( f ∗ h)(t) =∫ ∞

−∞h(τ)eiω(t−τ) dτ

= eiωt∫ ∞

−∞h(τ)e−iωτ dτ = F [h](ω) f (t) .

José L. López

28 Aplicación II: teoría de la señal

En este caso es F [h] la que determina la respuesta al impulso f y recibe elnombre de función de transferencia del filtro. Además, acabamos de observarque

F(eiωt) = F [h](ω) eiωt ,

lo cual indica que eiwt es un vector propio del filtro con valor propio aso-ciado F [h](ω). En la práctica, la expresión gráfica de la transformada deFourier de una señal es la representación (compleja) en el espacio de fre-cuencias de la misma, llamada espectro.

Otro ejemplo interesante de filtro es el siguiente. Sea f una función det ∈ R. La base de la construcción del filtro consistirá en reemplazar f (t)por su valor promedio f (t) sobre un intervalo de longitud τ, es decir:

f (t) =1τ

∫ t+ τ2

t− τ2

f (s) ds =1τ

∫ ∞

−∞χ[t− τ

2 ,t+ τ2 ]

f (s) ds =∫ ∞

−∞h(t− s) f (s) ds ,

donde la función h : t 7→ 1τ χ[t− τ

2 ,t+ τ2 ]

recibe el nombre de ventana cuadrada yla señal filtrada es f (t) = (h ∗ f )(t). En este caso la función de transferenciaviene dada por

F [h](ω) =sen(πωτ)

πωτ,

luego

F [ f ](ω) = F [h](ω)F [ f ](ω) =sen(πωτ)

πωτF [ f ](ω) ,

y el factor 1τ puede adaptarse a la banda de frecuencias útil de la señal f .

Ejercicios

1. Sea p(x) un polinomio con coeficientes reales en la variable x. En-cuentra condiciones suficientes y necesarias para que la función x 7→ep(x) pertenezca al espacio de Schwartz.

2. Demuestra que las distribuciones temperadas son auténticas distri-buciones, es decir: dada T ∈ S ′(Rd), su restricción a D(Rd) es unelemento de D′(Rd).

3. Se define el valor principal de la función 1x del siguiente modo:

V.P.1x(Φ) := lı́m

ε→0+

{∫|x|>ε

Φ(x)x

dx}

, ∀Φ ∈ S(Rd) .

Comprueba que se trata de una distribución temperada.

4. Considérese la función f : R→ R definida como

f (x) ={

1− |x| si |x| ≤ 1 ,0 si |x| > 1 .

(a) Calcula F [ f ]. ¿Es continua? ¿Es integrable en R en el sentido deLebesgue?

(b) Usando el resultado de (a), comprueba que∫ ∞

−∞

(sin(t)

t

)4

dt =2π

3.

5. Sea f : R → R una función perteneciente a L1(R) cuya transfor-mada de Fourier es F[ f ](y) = 0 para todo y ∈ R. Demuestra quenecesariamente f = 0 c.p.d. en R.

6. Demuestra que la transformada de Fourier de una distribución es-féricamente simétrica (es decir, invariante bajo transformaciones or-togonales) es otra distribución esféricamente simétrica. Si además la

29

30 Ejercicios

distribución es real, entonces su transformada de Fourier es tambiénreal.

7. Sea

G ={

ua,b : R→ R, ua,b(x) := e−a(x−b)2: a > 0, b ∈ R

}el conjunto formado por todas las funciones gaussianas. Usando latransformada de Fourier y sus propiedades, prueba que G es den-so en L2(R).

Sugerencia: como la transformada de Fourier es un operador unitario,basta con demostrar que F [G] es denso en L2(R). Para ello es conve-niente utilizar la caracterización de densidad en espacios de Hilbert:un subconjunto M de un espacio de Hilbert H es denso en H si ysolamente si

〈u, v〉 = 0 ∀v ∈ M⇒ u = 0 .

La verificación de esta propiedad se basa en el Ejercicio 5.

8. Comprueba la aplicabilidad del teorema de la convergencia domina-da en el paso al límite que conduce a la identidad (9).

9. Comprueba que la desigualdad de Hausdorff–Young (Teorema 5) noes válida para p > 2. Considera para ello funciones gaussianas de laforma

g(x) = e−(a+ib)π|x|2 , a > 0 .

10. Usa la transformada de Fourier para calcular la solución fundamen-tal de la siguiente ecuación en derivadas parciales (Vlasov–Fokker–Planck) que rige la evolución de f = f (x, v, t):

ft + v fx = fvv + (v f )v + fxv + fxx .

11. Sea T > 0. Llamamos peine de Dirac de periodo T a la distribución

∆(x) = ∑n∈Z

δ(x− nT) .

Demuestra que la transformada de Fourier de un peine de Dirac deperiodo T es un peine de Dirac de periodo 2π

T . Concretamente,

F[

∑n∈Z

δ(x− nT)]=

1T ∑

n∈Z

δ(

x− 2nπ

T

).

31

Sugerencia: Evalúa en x = 0 el desarrollo en serie de Fourier (conrespecto a la base trigonométrica) de la función Φ : R→ R definidapor

Φ(x) = ∑n∈Z

ϕ(

x +2nπ

T

),

donde ϕ ∈ S(R) es una función arbitraria.

12. Una mejora importante del teorema de Hausdorff–Young fue llevadaa cabo por W. Beckner en 1975, quien probó la siguiente desigualdad:

‖F [ f ]‖Lp′ (Rd)≤

p1p

(4π2

p′

) 1p′ d

2

‖ f ‖Lp(Rd) , 1 ≤ p ≤ 2 .

¿Es óptima? ¿Por qué?

13. En este ejercicio estudiamos los valores propios y las funciones pro-pias del operador transformada de Fourier T = (2π)−

d2F .

(a) Prueba que al aplicar cuatro veces el operador T se obtiene laidentidad.

(b) Usando el resultado de (a), comprueba que λ = ±1,±i son losúnicos valores propios de T.

(c) Demuestra que las funciones de Hermite

Hn(x) =(−1)n

n!e‖x‖2

2dn

dxn

(e−‖x‖

2)

, n ≥ 0 ,

son funciones propias de T asociadas a los valores propios des-critos en (b).

(d) Encuentra un punto fijo de T.

14. Usa la transformada de Fourier para demostrar que la solución de laecuación integral∫ ∞

−∞e−|x−y| u(y) dy− 2u(x) = f (x)

es u = 12(g − f ), donde g es el resultado de integrar f dos veces.

Encuentra u para el caso particular en que f (x) = e−|x|.

José L. López

32 Ejercicios

15. Discute razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdade-ras o falsas:

(a) La función f (x) = ex no es una distribución temperada, aunquesí es una distribución.

(b) Si f ∈ L2(Rd), entonces F [ f ] es continua.

(c) Bajo hipótesis adecuadas sobre f : R → R, su momento deprimer orden

∫ ∞∞ x f (x) dx puede escribirse como i(F [ f ])′(0).

(d) Si f ∈ L1(R) es una función impar, entonces la transformada senode Fourier de f definida como∫ ∞

0f (x) sen(xy) dx

coincide con i2F [ f ](y).

16. Sean f : R3 → R tal que f ∈ L1(R3) ∩ L2(R3) y

V(x) =1|x| ∗ f

el potencial coulombiano generado por f . Demuestra la siguiente de-sigualdad:

‖F [V]‖L1(R3) ≤ 3(2π)53‖ f ‖

13L1(R3)

‖ f ‖23L2(R3)

.

Sugerencia: Estudia separadamente el comportamiento de ‖F [V]‖L1(R3)dentro y fuera de la bola euclídea de radio R y optimiza con respectoa R.

17. Sea ψ ∈ L2(R) tal que ‖ψ‖L2(R) = 1 y

∫R

|F [ψ](y)|2|y| dy = C(ψ) < ∞ .

Se define la transformada wavelet continua de f ∈ L2(R) como

w[ f ](a, b) =1√|a|

∫R

f (x)ψ(x− b

a

)dx .

Demuestra las siguientes propiedades:

Apéndice: Soluciones a algunos de los ejercicios planteados 33

(a) Si f , g ∈ L2(R), entonces∫R

∫R

1|a|2 w[ f ](a, b)w[g](a, b) da db = C(ψ)

∫R

f (x)g(x) dx .

(b) f es Hölder continua de orden α si y solamente si existe C > 0tal que

|w[ f ](a, b)| ≤ |a|α+ 12 .

18. Sea f ∈ L2(Rd). La transformada inversa de Fourier de |F [ f ]|2 reci-be el nombre de transformada de Patterson de f (y la denotamos porP [ f ]), la cual se emplea con frecuencia en cristalografía para medir ladensidad electrónica de un cristal a partir de las intensidades del es-pectro difractado correspondiente a una determinada radiación (porejemplo, rayos x). Demuestra que

P [ f ](x) =∫

Rdf (x + y) f (y) dy .

19. Sean f ∈ S(Rd) y u(xd) := f (0, . . . , 0, xd). Comprueba que

Fxd 7→ξd [u](ξd) =1

(2π)d−1

∫Rd−1Fx 7→ξ [ f ](ξ) dξ1 . . . dξd−1 .

Apéndice: Soluciones a algunos de los ejerciciosplanteados

2. La linealidad es obvia. Supongamos entonces que {Φn} → 0 enD(Rd). En tal caso existirá un compacto K ⊂ Rd tal que sop(Φn) ⊂ Kpara todo n ∈ N y lı́mn→∞

{supx∈K

∣∣DβΦn(x)∣∣} = 0 para cualquier

multiíndice β. Por consiguiente

{‖Φn‖α,β

}={

supx∈K

∣∣xαDβΦn(x)∣∣} ≤ Cα

{supx∈K

∣∣DβΦn(x)∣∣}→ 0 ,

donde Cα denota una constante positiva tal que |xα| ≤ Cα para to-do x ∈ K. De ello se desprende que {Φn} → 0 en S(Rd), luego{T(Φn)} → T(0) (por hipótesis) y T es continua en D(Rd).

�

José L. López

34

3. La linealidad es obvia. Para verificar la continuidad observamos enprimer lugar que

V.P.1x(Φ) = lı́m

ε→0+

{∫ ∞

ε

Φ(x)−Φ(−x)x

dx}

=∫ ∞

0

Φ(x)−Φ(−x)x

dx .

Por otra parte, para todo x > 0 se tiene∣∣∣∣Φ(x)−Φ(−x)x

∣∣∣∣ ≤ 1x

∫ x

−x|Φ′(z)| dz ≤ 2‖Φ′‖∞ .

Considerando entonces {Φn} → 0 en S(Rd), se tiene∣∣∣V.P.1x(Φn)

∣∣∣ ≤ ∫ 1

0

∣∣∣∣Φn(x)−Φn(−x)x

∣∣∣∣ dx +∫ ∞

1x∣∣∣∣Φn(x)−Φn(−x)

x2

∣∣∣∣ dx

≤ 2‖Φ′n‖∞ + 2‖xΦn‖∞ = 2(‖Φn‖0,1 + ‖Φn‖1,0

)→ 0 ,

de donde se desprende la continuidad de V.P. 1x en S(Rd).

�

4. Consideramos la función f : R→ R definida como

f (x) ={

1− |x| si |x| ≤ 1 ,0 si |x| > 1 .

(a) Se tiene

F [ f ](y) =∫ ∞

−∞f (x) e−ixy dx =

∫ 1

−1(1− |x|) e−ixy dx

=∫ 0

−1(1 + x) e−ixy dx +

∫ 1

0(1− x) e−ixy dx

=∫ 1

−1e−ixy dx +

∫ 0

−1x e−ixy dx−

∫ 1

0x e−ixy dx

=iy

(e−iy − eiy

)− d

dy

[1y

(2− eiy − e−iy

)]=

2y

sen(y)− 2d

dy

(1− cos(y)

y

)= 2

(1− cos(y)

y2

).

Es claro que F [ f ] es continua, ya que en el origen F [ f ](0) = 1.Para observar que es integrable en en el sentido de Lebesgue,comprobaremos que puede identificarse con el límite en L1(R)


-10 -5 5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 3: Representación gráfica de las funciones f y F [ f ] del Ejercicio 3.

de una sucesión de funciones integrables. En efecto, consideran-do la sucesión fn := F [ f ]χ(−n,n) obtenemos3

0 ≤ lı́mn→∞

{∫ ∞

−∞|F [ f ](x)− fn(x)| dx

}= 2 lı́m

n→∞

{∫ ∞

−∞

1− cos(x)x2

(1− χ(−n,n)

)dx}

= 2 lı́mn→∞

{∫ −n

−∞

1− cos(x)x2 dx +

∫ ∞

n

1− cos(x)x2 dx

}= 4 lı́m

n→∞

{∫ ∞

n

1− cos(x)x2 dx

}≤ 8 lı́m

n→∞

{−1

x

]∞

n

}= 0 .

(b) Evaluando F [ f ] en 2x se obtiene fácilmente

F [ f ](2x) =12

(1− cos(2x)

x2

)=

(sen(x)

x

)2

,

por lo que, en virtud del teorema de Plancherel (Teorema 62),

3Obsérvese que cada una de las funciones fn es (Riemann) integrable en R por sercontinua y acotada en el intervalo (−n, n)

José L. López

36

puede concluirse que

2∫ ∞

−∞

(sin(x)

x

)4

dx = 2∫ ∞

−∞|F [ f ](2x)|2 dx

=∫ ∞

−∞|F [ f ](y)|2 dy = 2π

∫ ∞

−∞| f (y)|2 dy

= 4π∫ 1

0(1− y)2 dy =

4π

3.

�

5. Cualquier f ∈ L1(R) induce una distribución temperada definidapor

Tf (Φ) =∫ ∞

−∞f (x)Φ(x) dx ,

según lo establecido en (1). Por tanto, tiene sentido hacer actuar latransformada de Fourier sobre Tf y lo que obtenemos es otro ele-mento de S ′(R) dado por

F [Tf ](Φ) = Tf (F [Φ]) =∫ ∞

−∞f (x)F [Φ](x) dx , Φ ∈ S(R) .

Finalmente, basta con apelar al lema fundamental del cálculo de va-riaciones para asegurar que ha de cumplirse f = 0 c.p.d. si la expre-sión anterior se anula para toda Φ ∈ S(R).

�

9. Consideremos, por ejemplo, la función f (x) = e−πx2con x ∈ R (co-

rrespondiente a las elecciones a = 1 y b = 0 en la familia del enun-ciado). Por una parte se tiene

‖ f ‖Lp(R) =

(1√

p

)1/p,

mientras que, por otra parte,

F [ f ](y) = e−y24π y ‖F [ f ]‖Lp′ (R)

=

(2π√

p′

)1/p′

.

Si la desigualdad de Hausdorff–Young (Teorema 5) fuese cierta paravalores p > 2, tendría que cumplirse(

2π√p′

)1/p′

≤ (2π)1/p′(

1√

p

)1/p,


2 3 4 5

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.02

0.04

Figura 4: Representación gráfica de la función x1/x−1/2− (x− 1)1/2x−1/2 que apa-rece en el Ejercicio 7.

o equivalentemente

p1/p−1/2 − (p− 1)1/2p−1/2 ≤ 0 . (41)

Claramente la igualdad se alcanza para p = 2; sin embargo, el primermiembro de (41) se vuelve estrictamente positivo para valores de pmayores que 2 (véase la Figura 4).

�

10. Aplicando la transformada de Fourier F = Fx 7→η,v 7→ξ y sus propie-dades a la ecuación de Vlasov–Fokker–Planck obtenemos

∂F [ f ]∂t− 2πη

∂F [ f ]∂ξ

= −ξ2F [ f ]− 2πξ∂F [ f ]

∂ξ− ξηF [ f ]− η2F [ f ] ,

dado que

F [(v f )x] = iηF [v f ] = iηFv 7→ξ [v] ∗ξ F [ f ] = −2πη∂F [ f ]

∂ξ,

F [ fvv] = −ξ2F [ f ] ,

F [(v f )v] = iξF [v f ] = iξFv 7→ξ [v] ∗ξ F [ f ] = −2πξ∂F [ f ]

∂ξ,

F [ fxv] = −ξηF [ f ] ,F [ fxx] = −η2F [ f ] .

Obsérvese que para el cálculo de F [(v f )x] y F [(v f )v] se ha utilizadoademás el resultado del Ejemplo 2 (b).

José L. López

38

Agrupando convenientemente se obtiene

∂F [ f ]∂t− 2π(η − ξ)

∂F [ f ]∂ξ

= −(ξ2 + η2 + ξη)F [ f ] .

Las curvas características asociadas a esta ecuación de transporte son

Φ′(t) = 0 con Φ(0) = η − ξ ,Θ′(t) = −2πΦ(t) con Θ(0) = ξ ,

es decir,Φ(t) = η − ξ , Θ(t) = ξ − 2π(η − ξ)t .

Es claro que

ddt{F [ f ](t, Φ(t), Θ(t))

}= −(Θ(t)2 + Φ(t)2 + Θ(t)Φ(t))F [ f ](t, Φ(t), Θ(t)) ,

de donde resulta

F [ f ](t, η − ξ, ξ − 2π(η − ξ)t) = e−∫ t

0

(Θ(s)2+Φ(s)2+Θ(s)Φ(s)

)ds

= e−∫ t

0

(η2+ξ2−ηξ−2π(η2−ξ2)s+4π2(η−ξ)2s2

)ds

= e−(η2+ξ2−ηξ)t+π(η2−ξ2)t2− 4

3 π2(η−ξ)2t3

previa consideración del dato inicial F [ f ](0, η, ξ) = F [δ0(x, v)] = 1,como corresponde al cálculo de la solución fundamental para unaecuación de evolución. Deshaciendo ahora el cambio de variablesη − ξ 7→ η y ξ − 2π(η − ξ)t 7→ ξ llegamos a la siguiente expresiónpara F [ f ]:

F [ f ](t, η, ξ) = e−(η2+ξ2+ηξ)t−πη(η+2ξ)t2− 4

3 π2η2t3.

A completar por el alumno.

�

11. Dada una función ϕ ∈ S(R) arbitraria, definimos Φ : R→ R como

Φ(x) := ∑n∈Z

ϕ(

x +2nπ

T

).


Claramente Φ es periódica de periodo 2πT . Por tanto, admite un desa-

rrollo en serie de Fourier de la forma

Φ(x) = ∑k∈Z

ck eikTx ,

con

ck = T∫ 1

T

0Φ(x) e−ikTx dx = T

∫ 1T

0∑

n∈Z

ϕ(

x +nT

)e−ikTx dx

= T ∑n∈Z

∫ 1T

0ϕ(

x +nT

)e−ikTx dx = T ∑

n∈Z

∫ n+1T

nT

ϕ(y) e−ikT(y− 2nπT ) dy

= T∫

Rϕ(y) e−ikTy dy = TF [ϕ](kT) .

LuegoΦ(x) = T ∑

n∈Z

F [ϕ](nT) einTx .

La teoría clásica de series de Fourier nos permite afirmar que la igual-dad anterior es válida puntualmente, ya que Φ ∈ C1(R). Por tanto,evaluando en x = 0 se obtiene la identidad

T ∑n∈Z

F [ϕ](nT) = ∑n∈Z

ϕ(2nπ

T

)=⟨

∑n∈Z

δ(

x− 2nπ

T

), ϕ⟩

.

Por otro lado⟨F[

∑n∈Z

δ(x− nT)], ϕ⟩=⟨

∑n∈Z

δ(x− nT),F [ϕ]⟩= ∑

n∈Z

F [ϕ](nT) ,

de donde se desprende que

F[

∑n∈Z

δ(x− nT)]=

1T ∑

n∈Z

δ(

x− 2nπ

T

).

�

12. Sí. Porque la función gaussiana f (x) = e−π|x|2 proporciona la igual-dad.

�

José L. López

40

13. (a) y (c) son fruto de un cálculo directo. En virtud de lo afirmadoen (a), los únicos valores propios posibles del operador T son lasraíces cuartas de la unidad, de lo que se deduce lo expuesto en (b).Finalmente, para resolver (d) observamos que H0 es claramente unpunto fijo de T.

�

14. La ecuación integral puede reescribirse en términos del producto deconvolución como e−|x| ∗ u− 2u = f . Aplicando la transformada deFourier a esta ecuación y teniendo en cuenta las propiedades de lamisma con respecto a la convolución (Teorema 59 (g)) obtenemos

F [u] = F [ f ]F[e−|x|

]− 2

,

donde

F[e−|x|

](y) =

∫ ∞

−∞e−|x| e−ixy dx

=∫ 0

−∞ex e−ixy dx +

∫ ∞

0e−x e−ixy dx =

21 + y2 .

Por consiguiente

F [u](y) = − (1 + y2)F [ f ](y)2y2 ,

de donde se concluye que

u = −12F−1

[(1 + y2)F [ f ]

y2

]= −1

2

{F−1

[F [ f ]

y2

]+ f

}.

Por otra parte, F [ f ] = F [g′′] = −y2F [g] (cf. Teorema 59 (b)), luego

u = −12

{F−1[−F [g]] + f

}=

12(g− f ) .

�

15. Argumentamos a continuación la veracidad o falsedad de los enun-ciados propuestos:


(b) FALSO. Valga como muestra la relación establecida en el Ejem-plo 22 (f). En efecto, la función f (x) = sen(x)

x pertenece a L2(R)

(de hecho,∫ ∞−∞

sen(x)2

x2 dx = π) y su transformada de Fourierviene dada por

F [ f ](y) = 2πF−1[ f ](y) = πχ[−1,1] .

(c) VERDADERO. Siempre que las siguientes integrales tengan sen-tido, se tiene

i(F [ f ])′(0) = iF [−ix f ](0) = F [x f ](0) =∫ ∞

−∞x f (x) dx

en virtud del Teorema 59 (a).

(d) VERDADERO. Se tiene

i2F [ f ](y) =

i2

∫ ∞

−∞f (x)e−ix·y dx

=i2

∫ ∞

−∞f (x) cos(xy) dx +

12

∫ ∞

−∞f (x) sen(xy) dx

=∫ ∞

0f (x) sen(xy) dx ,

debido a la imparidad de f .

�

16. Es fácil comprobar (cf. Ejemplo 2 (e)) que

‖F [V]‖L1(R3) =

∥∥∥∥F [ 1|x| ∗ f

]∥∥∥∥L1(R3)

=

∥∥∥∥ 4π

|x|2 F [ f ]∥∥∥∥

L1(R3)

.

Sea BR la bola euclídea de radio R y BcR su conjunto complementario.

Entonces∥∥∥∥ 1|x|2F [ f ]

∥∥∥∥L1(BR)

≤ 4πR∥∥F [ f ]

∥∥L∞(R3)

≤ 4πR‖ f ‖L1(R3) .

Por otra parte∥∥∥∥ 1|x|2F [ f ]

∥∥∥∥L1(Bc

R)

≤√

4π

R∥∥F [ f ]

∥∥L2(R3)

=2

52 π2√

R‖ f ‖L2(R3) ,

José L. López

42

donde se ha empleado el teroema de Plancherel (Teorema 62). Porconsiguiente, se tiene∥∥F [V]

∥∥L1(R3)

≤ 4πR‖ f ‖L1(R3) +2

52 π2√

R‖ f ‖L2(R3) .

Finalmente, optimizando el segundo miembro de la desigualdad an-terior con respecto a R obtenemos que el mínimo se alcanza cuando

R =

(π‖ f ‖L2(R3)√

2‖ f ‖L1(R3)

) 23

,

de donde se concluye el resultado anunciado.

�

17. (a) Comprobamos la igualdad en dos etapas.

Etapa 1: utilizando las reglas de transformación establecidas en elTeorema 59, se tiene que

Fb→β

[ψ

(x− b

a

)]= −|a|e−iβxF [ψ](aβ) .

La identidad de Parseval da pie entonces a la siguiente igualdad:∫ ∞

−∞ψ

(x− b

a

)ψ

(y− b

a

)db

=1

2π

∫ ∞

−∞Fb→β

[ψ

(x− b

a

)]Fb→β

[ψ

(y− b

a

)]dβ

=|a|22π

∫ ∞

−∞e−iβ(x−y)|F [ψ](aβ)|2 dβ

A completar por el alumno.

�

18. Basta con recordar que F−1[1] = δ0 (cf. Ejemplo 2 (a)). Entonces

P [ f ](x) =1

(2π)d

∫Rd|F [ f ](u)|2 eiu·x du

=1

(2π)d

∫Rd

(∫Rd

f (z) e−iz·u dz)(∫

Rdf (y) eiy·u dy

)eiu·x du

=1

(2π)d

∫R3d

f (z) f (y) eiu·(x+y−z) dz dy du

=∫

R2df (z) f (y) δ0(x + y− z) dz dy =

∫Rd

f (x + y) f (y) dy .


�

19. Recordamos en primer lugar que

f (x) = F−1[F [ f ]](x) =1

(2π)d

∫RdF [ f ](ξ) eix·ξ dξ ,

de modo que

u(xd) = f (0, . . . , 0, xd) =1

(2π)d

∫RdF [ f ](ξ) eixdξd dξ

=1

(2π)d−1F−1ξd 7→xd

[∫Rd−1F [ f ](ξ) dξ1 . . . dξd−1

].

Para concluir basta con tomar la transformada de Fourier en ambosmiembros de la igualdad.

�

José L. López

Bibliografía

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