UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA GRADBENIŠTVO

KINEMATIKA IN DINAMIKA

Z UVODOM V TEORETIČNO MEHANIKO

Prof. dr. B R U N O C V I K L

m3

k3 m2

k2 m1 x1 x2 x3 k1 k1 m1 k2 m2 k3 m3

MARIBOR, 1997

PREDGOVOR

Predmetu Kinematika in dinamika je v tretjem semestru univerzitetnega izobraževalnega programa Gradbeništvo na Fakulteti za gradbeništvo, Univerze v Mariboru dodeljenih 2 ure predavanj in ena ura vaj na teden. Vsebina je osredotočena na mehaniko togega telesa in predstavlja, ob uporabi že pridobljenih matematičnih orodjih, ki so jih slušatelji osvojili v prvih dveh semestrih ter sprotnem nadgrajevanju v tretjem, posplošitev vsebin ustreznih poglavij Fizike I iz prvega letnika izobraževanja. Namen predmeta je v podajanju tistih osnov, vključno z uvodnimi spoznanji analitične mehanike, ki tvorijo temelj nadaljnim strokovno teoretičnim predmetom tretjega in četrtega letnika študija. V pričujočem učbeniku so podani zgolj najnujnejši zgledi z namenom, da se utrdi razumevanje obravnavanih vsebin in navedenih splošnih trditev. Vsebina je prilagojena potrebam izobraževalnega programa gradbeništva in zato posamezna poglavja nekoliko odstopajo od usmeritev podanih v običajnih učbenikih z zapisanim naslovom, ki so avtorju služili kot vzor pri pisanju. Predstavljena snov je podrobneje razčlenjena in njena upraba predočena v obširni zbirki nalog, ki jo je pripravil doc. dr. Dean Korošak kar prazvaprav skupaj tvori zaokroženo osnovo za razumevanje in uspešno uporabo vsebin v nadaljnjem poteku študija gradbeništva Prof. dr. Andrej Umek je podal številne koristne pripombe in predloge, tako tudi glede vsebin, ki jih tovrstno delo naj zajema. Večino skic je skrbno oblikoval študent Sašo Turnšek. Obema se prijazno in iskreno zahvaljujem. Avtor

ii

KAZALO

1. Uvod 1

1. Kinematika masne točke 2 1.1 Kartezični koordinatni sistem 3 1.2 Prostorski polarni (cilindrični) koordinatni sistem 5 1.3 Krogelni (sferični) koordinatni sistem 8 1.3.1 Zveza med krogelnim in (prostorskim) polarnim koordinatnim sistemom 10 1.3.2 Zveza med krogelnim in kartezičnim koordinatnim sistemom 12 1.4 Ločna dolžina prostorske krivulje; naravna koordinata s 13 Zgledi 16

2. Hitrost masne točke 18 Zgledi 22

3. Pospešek delca 25 3.1 Kartezični koordinatni sistem 29 3.2 Polarni koordinatni sistem 29 3.3 Krogelni koordinatni sistem 30 Zgledi 30 4. Kinematika togega telesa 35 4.1 Vrtenje togega telesa okoli stalne osi; Eulerjeva enačba 36 4.2 Splošno gibanje togega telesa v primeru, da ena točka miruje 38 4.3 Translacijsko gibanje togega telesa 39 4.4 Splošno gibanje togega telesa; Chasle-jev teorem 40 4.5 Ravninsko gibanje togega telesa 40 4.5.1 Dokaz, da je kotna hitrost vseh točk preseka enaka 44 4.5.2 Projekcijski teorem hitrosti pri ravninskem gibanju togega telesa 45 4.5.3 Pol hitrosti pri ravninskem gibanju togega telesa 47 4.5.4 Pol pospeška pri ravninskem gibanju togega telesa 50 Zgledi 52 4.6 Opis splošmega gibanja togega telesa 58 5. Linearne transformacije 60 Zgledi 65 5.1 Formalne lastnosti transformacijske matrice 66 5.2 Eulerjevi koti 72 6. Dinamika 6.1 Splošni zakoni dinamike masne točke 76 6.1.1 Izreki o gibanju za masno točko 79 6.1.2 Izrek o sunku rezultante sil in spremembi

iii

količine 79 6.1.3 Izrek o sunku navora in spremembi vrtilne količine masne točke 80 6.1.4 Izrek o delu sile in spremembi kinetične energije delca 82 6.1.5 Omejeno gibanje masne točke 86 6.1.6 Lagrangejeve enačbe I. vrste omejenega gibanja masne točke 88 Zgledi 99 6.1.7 Eulerjeve enačbe omejenega gibanja masne točke 97 Zgledi 93 6.2 Splošni zakoni dinamike sistema masnih točk 104 6.2.1 Izrek o gibanju masnega središča; gibalna količina sistema masnih točk 104 6.2.2 Izrek o sunku navora in spremembi vrtilne količine sistema delcev 107 6.2.3 Transformacija vrtilne količine sistema masnih točk 109 6.2.4 Energija sistema masnih točk; Koenigs-ov teorem 113 6.3 Splošni zakoni dinamike togega telesa 121 6.3.1 Enačbe gibanja togega telesa 121 6.3.2 Vrtenje togega telesa okoli stalne osi, ki poteka skozi masno središče 124 6.3.3 Tenzor vztrajnostnega momenta togega telesa 125 6.3.4 Diagonalizacija tenzorja vztrajnostnega momenta togega telesa; lastne vrednosti in lastni vektorji 130 6.3.4.1 Lastnosti lastnih vrednosti in lastnih vektorjev za primer simetričnega tenzorja 133 6.3.4.2 Diagonalizacija nesimetričnega tenzorja 136 6.4 Eulerjeve enačbe gibanja togega telesa 137 Zgledi 142 7. Alternativna formulacija mehanike - uvod v teoretično mehaniko 158 7.1 Statika sistema masnih točk; načelo virtualnega dela 158 7.1.1 Delo omejitvene sile pri gibanju delca-virtualni pomiki 158 7.1.2 Načelo virtualnega dela za sistem masnih točk 161 Zgledi 163 7.2 D’Alambertovo načelo in Lagrangejeve enačbe 169 7.2.1 D’Alambertovo načelo za sistem gibajočih se masnih točk 169 7.2.2 Lagrangejeve enačbe za holonomni sistem masnih točk 171 Zgledi 176 7.2.3 Lagrangejeve enačbe za primer neholonomnega sistema masnih točk 189 Zgledi 193

iv

7.2.4 Hamiltonovo načelo; povezava z Lagrangejevimi enačbami

202

Zgledi 206 8. Nihanje sklopljenih nihal z majhnimi amplitudami 219 8.1 Pogoj stabilnega gibanja dinamičnega sistema v okolici ravnovesne lege

219

8.2 Lastni načini nihanj sistema delcev okoli ravnovesne lege

221

8.3 Transformacija na normalne koordinate 223 8.4 Lastna nihanja sistemov podvržena vzbujevalnim in disipacijskim silam

227

Zgledi 232

v

Seznam uporabljene literature

1. Vlatko Brčić, Dinamika konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd 1981. 2. Peter Fajfar, Dinamika gradbenih konstrukcij, FAGG, Ljubljana 1984. 3. Herbert Goldstein, Classical Mechanics, Addison – Wesley, Reading,

Mass., ZDA 1965. 4. Stjepan Jecić, Mehanika II - Kinematika i dinamika, Tehnička knjiga,

Zagreb 1989. 5. M. M. Kabaljski, V. D. Krivošej, N. I. Savicki, G. N. Čajkovski, Tipski

zadaci iz teorijske mehanike i metode njihovih rešavanja, Univerztet u Beogradu, 1963.

6. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Mechanics – Vol. 1 of Course of Theoretical Physics, Pergamon Press, Oxford 1969.

7. I. V. Meščerski, Zbirka zadataka iz teorijske mehanike, Građevinska knjiga, Beograd 1979.

8. Milan Muršič, Osnove tehniške mehanike, 2. del, Kinematika, Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS, Ljubljana 1986.

9. Milan Muršič, Osnove tehniške mehanike – III, Dinamika, Akademska založba, Ljubljana 1991.

10. Sergej Pahor, Uvod v analitično mehaniko, Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS, Ljubljana 1989.

11. Lazar Rusov, Mehanika – Kinematika,Naučna knjiga, Beograd 1980 12. Lazar Rusov, Mehanika - Dinamika, Naučna knjiga, Beograd 1979. 13. Miran Saje, Kinematika in dinamika, 14. John C. Slater and Nathaniel H. Frank, Mechanics,McGraw-Hill, New

York 1947. 15. Murray R. Spiegel, Theoretical Mechanics with an introduction to

Lagrange's equations and Hamiltonian theory, Schaum's outline series, McGraw-Hill, New York, 1967.

16. Keith R. Symon, Mechanics, Addison-Wesley, Reading, Mass. ZDA, 1964. 17. S. M. Targ, Teorijska mehanika – kratak kurs, Građevinska knjiga,

Beograd 1979. 18. Andrej Umek, Dinamika gradbenih konstrukcij, Univerza v Mariboru

1998. 19. Luka Vujošević in Slavko Đurić, Zbirka rešenih zadataka iz dinamike – sa

izvodima iz teorije, Naučna knjiga, Beograd 1983.

vi

UVOD

Klasična mehanika je veda, ki proučuje splošne zakone vzajemnega delovanja teles v pogojih, kadar so kvantni in relativistični pojavi povezani z njihovim obstojem zanemarljivo majhni. Posledica vzajemnega sodelovanja dveh ali več teles se izraža v spremembah, ki jih ob tem doživi dano (opazovano) telo in ki se v splošnem kaže v spreminjanju lege v prostoru v odvisnosti od časa (kar se po definiciji pojmuje kot gibanje telesa) in/ali v spremembah oblike in prostornine telesa, oziroma danega dela telesa (kar predstavlja deformacijo telesa). Vzajemno delovanje dveh ali več teles (t. im. interakcije) se v splošnem popiše s pojmom sile. V omenjenem smislu je torej sila fizikalna količina s katero se popiše delovanje enega telesa (ali več teles) na dano telo zaradi česar se stanje slednjega (gibanje, deformacije, temperatura, mehanske, električne ali magnetne lastnosti telesa, kemijska sestavain lastnosti zaradi n.pr. prisotnosti jedrskih sil, in podobno) v časovnen intervalu učinkovanja sil (iz okolice telesa) spremeni. Klasična mehanika proučuje zakonitosti delovanja tistih sil (in njihovih posledic), katerih učinki na izbrano telo se v splošnem odražajo tako v spremembah gibanja telesa kot v deformacijah, oziroma v primerih, ki privedejo do sočasne spremembe obeh zvrsti stanja telesa. Klasično mehaniko je mogoče, z ozirom na posledice obstoja vzajemne interakcije dveh ali več teles, torej sil med posameznimi telesi, razdeliti na naslednja glavna (pod)področja: -- statiko, ki obravnava sile in navore ter pogoje, ki privedejo do ravnovesja teles pod vplivom delovanja sil, -- kinematiko, ki proučuje splošne geometrijske lastnosti gibanja in načine njegovega zapisa ter -- dinamiko, ki proučuje zakone gibanja enega ali skupine teles pod vplivom na njih delujočih sil. V odvisnosti od velikosti in sestave teles se mehaniko deli na: (a) mehaniko točkastega telesa, pri čemer točkasto telo (delec) pomeni geometrijsko točko, ki se ji pripiše dano maso, (b) mehaniko togega telesa (neskončno število masnih točk, katerih vzajemna razdalja se s časom ne spreminja iz česar sledi, da so deformacije togega telesa po definiciji enake nič), (c) mehaniko masnih točk, ki vključuje primere, ko njihovo skupno število ni konstantno, (d) mehaniko deformabilnih teles, ki se deli na elastomehaniko (deformacije telesa so sorazmerne silam, ki deformacijo povzročajo pri čemer mora biti zadoščeno dodatnemu pogoju, da je ob prenehanju delovanja sil na telo deformacija slednjega ponovno enaka nič) in plastomehaniko, ki proučuje primere, kjer enemu ali obema gornjima pogojema ni zadoščeno, (e) mehaniko tekočin (neviskoznih in viskoznih kapljevin) in (f) mehaniko plinov (aerodinamiko). V splošnem je privzeto stališče po katerem se področja zapisana pod (d), (e) in (f) uvrščajo v širše področje mehanike zveznih sredstev, t.j. mehanike kontinuuma.

1

1. KINEMATIKA DELCA (MASNE TOČKE) Kinematika je veja mehanike, ki proučuje geometrijo gibanja, to je opis gibanja na način, kjer se ne upošteva mase telesa in vpliva sil, ki na masni delec delujejo. Hitri razvoj mehanskih strojev in delov v 19. stoletju in potrebe po njih, zlasti v obdobju, ki je sledilo, je povzročilo veliki razvoj kinematika, ki se je zato zlagoma osamosvojila in prerastla v samostojno vedo klasične mehanike, katere dandanašnji pomen predvsem zadeva teorije mehanizmov, zlasti pa kinematiko robotov. Najpreprostejši primer gibanja je časovno spreminjanje lege masne točke v prostoru. Pri opisovanju gibanja se izkaže za ustreznega pristop, kjer se opisuje gibanje delca z ozirom na v naprej določenega opazovalca, ki se po definiciji nahaja v dani točki prostora. Za opazovalca se (do nadaljnjega) privzame, da miruje in točko prostora v kateri se le-ta nahaja se označi z O. Z ozirom na izbrano mirujočo točko O, opisuje gibanje masne točke neko krivuljo v prostoru (prostorsko krivuljo), katere shematsko obliko ponazarja slika 1. T(t = 0) O T(t) 0 T(t+dt) 0 Slika 1. Krivulja C za primer namišljenega gibanja masne točke v prostoru kot jo vidi mirujoči opazovalec, ki se nahaja v izhodišču 0. V splošnem je lega točke v prostoru podana s krajevnim vektorjem vr , ki je definiran kot vektor, ki kaže iz stalnega prijemališča (izhodišča) do dane točke. Ker se masna točka v prostoru giblje se tedaj spreminjata tako velikost kot smer krajevnega vektorja iz česar sledi, da je v splošnem krajevni vektor funkcija časa, t.j. vr = vr (t). Konica krajevnega vektorja, tedaj ko se masna točka giblje po prostoru, opisuje prostorsko krivuljo in očitno je enačba omenjene krivulje gibanja masne točke podana z izrazom vr = vr (t). Gibanje masne točke je poznano tedaj, ko je poznana časovna odvisnost spreminjanja krajevnega vektorja, oziroma kako krajevni vektor vr zavisi eksplicitno od časa t. V primeru, ko je ta časovna sprememba eksplicitno podana pravimo, da je podan zakon gibanja masne točke, oziroma, da poznamo enačbo gibanja masne točke (po prostorski krivulji). Osrednja naloga kinematike masne točke je poiskati eksplicitno časovno odvisnost spremembe krajevnega vektorja.

2

Zapis krajevnega vektorja v različnih koordinatnih sistemih Iz matematike je poznano, da je krajevni vektor vr definiran z najmanj tremi neodvisnimi podatki: s prijemališčem (ki je v zgornjem primeru stalna točka), s smerjo krajevnega vektorja in z dolžino vektorja oziroma z njegovo velikostjo. Pomembno se je zavedati, da je vektor količina, ki je enolično definirana z navedenimi tremi podatki in torej ne zavisi od izbire koordinatnega sistema. Toda za opis vektorja se izkaže kot nadvse umestno uprabiti katerega koli izmed množice različnih koordinatnih sistemov za popis navedenih treh količin, ki vektor enolično določajo, pri čemer sama izbira koordinatnega sistema običajno zavisi od vrste problema, ki se ga obranava. 1. Kartezični koordinatni sistem Krajevni vektor vr , kaže iz izbrane točke, ki se imenuje izhodišče in se označi z O, do dane točke T v prostoru. Ta krajevni vektor vr , je najpreprosteje zapisati v pravokotnem ali kartezičnem koordinatnem sistemu, ki ga definirajo trije, med seboj pravokotni, od časa neodvisni, enotni vektorji

vi ,v

in jvk . Po definiciji le-ti enolično določajo smeri osi-x, osi-y

in osi-z kartezičnega koordinatnega sistema v prostoru, slika 2. Z uporabo definicije skalarnega produkta dveh vektorjev in če se upošteva, da je velikost enotnega vektorja (po dogovoru) enaka 1, velja: vi . i = . = . = 1 in v v

jvj

vk

vk

vi .vj = . = . = 0

vjvk

vivk

z T(x,y,z) rv k

v v

j y

iv

y-os x x-os Slika 2. Zapis krajevnega vektorja vr v kartezičnem koordinatnem sistemu, ki

v v v ga definirajo časovno neodvisni enotni vektorji i , j in k . Tedaj, ko potuje točka T v prostoru opisuje krajevni vektor prostorsko krivuljo.

3

V izbranem kartezičnem koordinatnem sistemu se krajevni vektor vr zapiše kot naslednja linearna kombinacija enotnih vektorjev

vi ,vj in

vk ,

vr = x i + y + z ,

v vj

vk

pri čemer so x, y in z, komponente vektorja vr vzdolž kordinatnih osi. V splošnem zavisi krajevni vektor od časa, vr = vr (t), zato velja, da so komponete vektorja vr tudi od časa odvisne količine, x = x(t) y = y(t) z = z(t). Pomen komponent x, y in z, je razviden brž, ko se tvori skalarne produkte vektorja vr z enotnimi vektorji

v, v

in v

. Lahko se je prepričati, da velja naslednje, i j k vr . i = r.1 cos v

α 1 = r cos α 1 = x, kjer r označuje velikost (dolžino) krajevnega vektorja vr . Toda z uporabo definicije prav tako velja tudi naslednja relacija, vr . i = (x i + yv v v

j + z ).vi = x.

vk

Na podoben način se dokaže veljavnost izrazov vr . = r cos vj α 2 = y

v vr . = r cos k α 3 = z Očitno so komponente x, y in z pravokotne projekcije vektorja vr na koordinatne osi kartezičnega koordinatnega sistema, saj so koti α i (i=1, 2, 3) koti, ki jih krajevni vektor vr oklepa s pripadajočimi koordinatnimi osmi x, y in z, slika 2. Toda koti α i (i=1, 2, 3) med seboj niso neodvisni saj vendar velja, vr . vr = r2 = (x + y + z ).(x

vi

vj

vk

vi + y

vj + z

vk ) = x2 + y2 + z2 =

= r2 (cos2 α 1 + cos2 α 2 + cos2 α 3), od koder sledi prvič, da je velikost (dolžina) krajevnega vektorja r podana z r = x y z2 2+ + 2 in drugič, da so smerni kosinusi krajevnega vektorja vr med seboj povezani s pomembnim izrazom (cos2 α 1 + cos2 α 2 + cos2 α 3) = 1.

4

Poljubni vektor se v kartezičnem koordinatnem sistemu zapiše kot va va = ax

)i + ay + a

vj z

)k

in je enolično podan s tremi kartezičnimi komponentami, va =( ax, ay, az), vzdolž osi x, y in z. 2. Prostorski polarni (cilindrični) koordinatni sistem Polarni (ali cilindrični) koordinatni sistem je definiran z tremi med seboj pravokotnimi enotnimi vektorji )eρ , )eϕ in

)k , pri čemer od sedaj naprej simbol ^ nad črko pomeni, da gre

za vektor katerega dolžina je enaka 1 (enotni vektor), torejrk ≡

)k , itd. Ker so vektorji )eρ ,

)eϕ in )k , enotni, med seboj pravokotni vektorji velja,

)eρ . )eρ = )eϕ . )eϕ =

)k .

)k =1 in )eρ . )e = ϕ

)eρ .)k = )eϕ .

)k = 0.

Polarni (cilindrični) koordinatni sistem, ki ga definirajo med seboj pravokotni, enotni vektorji )eρ , )eϕ in

)k , je skupaj s kartezičnim koordinatnim sistemom predstavljen na sliki

3. Enotni vektor )k je identičen z istoimenskim enotnim vektorjem, kot le-ta definira

orientacijo z-osi kartezičnega koordinatnega sistema v prostoru. z rv k

)

eϕ

) y

x eρ

)

Slika 3. Cilindrični koordinatni sistem je definiran z tremi enotnimi, med seboj pravokotnimi vektorji )eρ , )eϕ in

)k , pri čemer vektor

)k sovpada z enotnim vektorjem, ki

definira z-os kartezičnega koordinatnega sistema. Na sliki 3. je hkrati s cilindričnim koordinatnim sistemom predstavljen še ustrezni kartezični koordinatni sistem.

5

V cilindričnem koordinatnem sistemu se krajevni vektor, vr , točke T v prostoru zapiše kot vr = ρ )eρ + z

)k ,

pri čemer velja, vr . )eρ = ρ in vr .

)k = z.

Povezavo med cilindričnim in kartezičnim koordinatnim sistemom se dobi iz definicije, vr = ρ )eρ + z

)k = x + y + z

vi

vj

vk .

Iz zgornjega izraza za krajevni vektor vr takoj sledi, ρ )eρ = x i + y

v vj

kar definira enotni vektor )eρ izražen v kartezičnih koordinatah kot, )eρ = (x/ ρ )

)i + (y/ ρ )

)k ,

pri čemer ostaja ρ še nedefinirana dolžina vektorja

rρ = ρ )eρ , ki leži v x-y ravnini

kartezičnega koordinatnega sistema. To je razvidno iz dejstva, da se )eρ zapiše kot linearna kombinacija enotnih vektorjev

)i in

vj .

v Če se zgoraj zapisano povezavo za krajevni vektor r zaporedoma skalarno pomnoži z enotnima vektorjema

)i in

v sledi, j

vr .)i = ρ )eρ .

)i = ρ cos ϕ = x

vr . = vj ρ )eρ . =

vj ρ sin ϕ = y.

Zapisani enačbi definirata kot ϕ kot tisti kot, ki ga oklepa enotni vektor cilindričnega koordinatnega sistema )eρ z enotnim vektorjem

)i kartezičnega koordinatnega sistema,

slika 3. Desni strani dobljenih izrazov definirajo dolžino vektorja

rρ = ρ )eρ . Če se ju kvadrira

in sešteje sledi, ρ 2 (cos2 ϕ + sin2 ϕ ) = x2 + y2, in od tod je ρ = x y2 2+

6

Poslednji izraz, skupaj s katerimkoli od izvedenih izrazov cos ϕ = x/ ρ ali sin ϕ = y/ ρ predstavlja transformacijske izraze, ki povezujejo cilindrični in kartezični koordinatni sistem, saj velja, da se z-komponenta krajevnega vektorja v obeh zapisanih koordinatnih sistemih ohranja. To pomeni, da se v primeru, ko so podane koordinate x, y in z krajevnega vektorja vr zapisanega v kartezičnem sistemu, tedaj lahko izračuna ogovarjajoči koordinati ρ in ϕ iz zgornjih transformacijskih enačb. Velja seveda tudi obratno, če so poznane cilindrične koordinate ρ , ϕ in z, krajevnega vektorja vr v cilindričnem koordinatnem sistemu tedaj velja x=ρ cos ϕ , y= ρ sin ϕ in z=z. Dolžina vektorja vr v cilindričnem koordinatnem sistemu je seveda enaka, r = v rr r. = ρ2 2+ z ≡ x y z2 2+ + 2 , saj gre za identični karajevni vektor vr , toda zapisanem v dveh koordinatnih sistemih. Z uporabo poslednjih izrazov se sedaj lahko zapiše vektor )eρ izražen v kartezičnih koordinatah v obliki, )eρ = cos ϕ

)i + sin ϕ .

vj

Ker v splošnem velja, da je krajevni vektor funkcija časa, vr = vr (t), sledi, ρ = ρ (t) ϕ = ϕ (t) z = z(t) toda enotna vektorja, )eρ in )eϕ sta, v nasprotju s časovno neodvisnimi enotnimi vektorji

)i ,

in vj

)k , sedaj od časa odvisni količini. Velja torej,

)eρ = )eρ (t) in ) )eϕ = eϕ (t). Trojica enotnih vektorjev, ki definira cilindrični kordinatni sistem, )eρ , )eϕ in

)k tvori

desnosučno trojico vektorjev, podobno kot to velja za trojico enotnih vektorjev )i ,

vj in

)k .

Kako se tedaj izraža vektor )eϕ z vektorjema )i in

vj kartezičnega sistema? Iz dejstva, da

tvorijo vektorji )eρ , )eϕ in )k desnosučno trojico, med seboj pravokotnih enotnih vektorjev,

se omenjeno zavisnost izračuna na naslednji način: )eϕ = u

)i + v

vj

pri čemer sta količini u in v še neznani. Očitno mora veljati,

7

)eϕ . )eϕ = 1 = u2 + v2, ) )eϕ . i = cos δ = u, ) veϕ . = cos (j δ -90o) = v kjer je δ kot, ki ga oklepata vektorja )eϕ in

)i . Druga relacija sledi iz dejstva, da je kot med

vektorjema )i on enak 90

vj o. Toda kot med vektorjema )eρ in

)i je po definiciji enak ϕ in

zaradi tega sledi, da je δ = ϕ + 90o. Če se slednje vstavi v dobljena izraza je, u = cos δ = cos (ϕ +90o) = - sin ϕ v = cos (δ -90o) = cos ϕ od koder sledi da se vektor )eϕ v kartezičnem sistemu izraža kot, )eϕ = - sin ϕ

)i + cos ϕ .

vj

Posebej velja opozoriti, da v zapisu krajevnega vektorja vr točke T v prostoru, v cilindričnem koordinatnim sistemu, enotni vektor )eϕ ne nastopa. Toda v splošnem zavisi smer (vzajemno pravokotnih) vektorjev )e =ρ

)eρ (t) in )eϕ = )eϕ (t) eksplicitno od časa in zato je potrebno navesti še kot ϕ , ki ga v vsakem trenutku oklepata vektorja, n.pr. kot med

)i in

)eρ . Poljuben vektor va se v polarnem koordinatnem sistemu zapiše, va = aρ

)eρ + aϕ)eϕ + az

)k

in je enolično podan s trojico polarnih komponent va =( , , aaρ aϕ z ,) 3. Krogelni (sferični) koordinatni sistem Krogelni ali sferični koordinatni sistem definirajo trije, med seboj pravokotni, enotni vektorji, )er , )eθ in )eϕ , kot kaže slika 4. Ker so vektorji enotni in med seboj pravokotni velja, )er . )er = )eθ . )eθ = )eϕ . )eϕ = 1 ) ) ) ) ) )er . eθ = er . eϕ = eθ . eϕ = 0. Enotni vektor )er kaže po definiciji vzdolž krejevnega vektorja vr . Enotni vektor )eθ je podan s smerjo tangente na krožnico v točki T prostora, ki jo definira krajišče vektorja vr ,

8

če se, pri konstantni vrednosti kota ϕ , kot θ spreminja v intervalu 0≤ θ ≤ π /2. Enotni vektor )eϕ je podan s smerjo tangente na krožnico, ki jo definira krajišče vektorja vr , če se spreminja kot ϕ v intervalu 0≤ ϕ ≤2π , pri konstantni vrednosti kota θ . Iz definicije je razvidno, da je enotni vektor )eϕ krogelnega sistema identičen z vektorjem )eϕ , ki ga zajema definicija prostorskega polarnega koordinatnega sistema. V krogelnem koordinatnem sistemu se krajevni vektor vr do poljubne točke T v prostoru zapiše v preprosti obliki, vr = r )er pri čemer velja, da sta, ko se masna točka giblje po prostoru, velikost krajevnega vektorja r in enotni vektor )er ( )er = vr /r) eksplicitno odvisna od časa. z )er )eϕ vr )eθ θ k

v

iv

jv

y x ϕ ρ Slika 4. Krogelni koordinatni sistem je definiran s tremi, med seboj prevokotnimi, enotnimi vektorji, )er , )eθ in )eϕ . Krajevni vektor vr , ki kaže do masne točke v prostoru, oklepa v kartezičnem koordinatnem sistemu kot θ z z-osjo in kot ϕ z x-osjo. Pravokotna projekcija krajevnega vektorja vr na x-y ravnino kartezičnega koordinatnega sistema je označena s simbolomρ .

9

3.1 Zveza med krogelnim in (prostorskim) polarnim koordinatnim sistemom Krajevni vektor vr se v obeh navedenih koordinatnih sistemih izraža v naslednji obliki, vr = r )er = ρ )eρ + z

)k .

Od tod neposredno sledi, )er = ( ρ /r) )eρ + (z/r)

)k

)er = cos(θ -π /2) )eρ + cos θ )k

)er = sinθ )eρ +cos θ )k

Preostala enotna vektorja )eθ in )eϕ se v polarnem sistemu najenostavneje izrazita s pomočjo slike 5.

)k )er

θ )eρ θ )eθ Slika 5. Prikazuje projekcijo enotnih vektorjev )er in )eθ krogelnega koordinatnega sistema na polarni kordinatni sistem, podan z enotnima vektorjema

)k in )eρ .

Iz slike 5 je neposredno razvidna veljavnost pravkar izpeljanega izraza, poleg tega pa očitno velja tudi naslednja zveza, )eθ = cos θ )eρ - sin θ

)k , tako da se transformacijske

enačbe zapišejo )er = sin θ )eρ + cos θ

)k ))eθ = cos θ )eρ - sin θ k

)eϕ = )eϕ

10

Dobljeni izrazi so transformacijske enačbe, ki izražajo enotne vektorje krogelnega koordinatnega sistema v polarnem koordinatnem sistemu. Obratne transformacije, to je izražava polarnih vektorjev )eρ , )eϕ in

)k v krogelnem koordinatnem sistemu je dobljena s

pomočjo slike 5., ali pa preprosteje, da se prvi gornji enačbi zaporedoma pomnoži s faktorjema sin θ in cos θ ter sešteje. Na podoben način se izračuna razstavitev vektorja

)k

v krogelnem koordinatniem sistemu. Lahko je uvideti, da veljajo naslednje povezave, )eρ = sin θ )er + cos θ )eθ )eϕ = )eϕ )k = cos θ )er - sin θ )eθ . Poslednja dva sklopa enačb povezuje trojico desnosučnih pravokotnih enotnih vektorjev enega koordinatnega sistema s trojico desnosučnih pravokotnih enotnih vektorjev drugega koordinatnega sistema. Očitno je sedaj mogoče zapisati, vr = ρ )eρ + z

)k = ρ ( sin θ )er + cos θ )eθ ) + z(cos θ )er - sin θ )eθ )

kar predstavlja zapis krejevnega vektorja vr polarnega kordinatnega sistema v krogelenem koordinatnem sistemu. Komponente so podane z izrazom, vr = ( ρ sin θ + z cos θ ) )er + ( ρ cos θ - z sin θ ) )eρ . Toda dobljeni izraz je po definiciji enak vr = r )er , zato mora veljati, r = ( ρ sin θ + z cos θ ) 0 = ( ρ cos θ - z sin θ ) od koder je očitno (primerjaj tudi s sliko 4.), da je kot θ podan z, r = ( ρ sin θ + z cos θ )

tg θ = ρz

pri čemer je smer enotnega vektorja )er , zapisana v polarnem koordinatnem sistemu, podana z že zgoraj zabeleženim izrazom, )er = sin θ )eρ + cos θ

)k .

Iz zapisanega je razvidno, da je s polarnima koordinatam (ρ , z) krajevnega vektorja vr zapisanega v prostorskem polarnem koordinatnem sistemu, ki ga definira trojica vektorjev )eρ , )eϕ in

)k , znane orientacije, enolično določen zapis vektorja vr v krogelnem

koordinatnem sistemu, )er , )eθ , )eϕ .

11

3.2 Zveza med krogelnim in kartezičnim koordinatnim sistemom S pomočjo zgoraj izvedenih enačb in z uporabo izrazov dobljenih v razdelku 2., sledi, )er = sin θ )eρ + cos θ

)k = sin θ (cos ϕ

)i + sin ϕ

vj ) + cos θ

)k

in zato je kaj lahko pokazati, da vodi izraz vr =r )er , do naslednjih transformacijskih enačb, x )i +y +z

vj

)k = r sin θ (cos ϕ

)i + sin ϕ

vj ) + r cos θ

)k ,

ki se v komponentni obliki zapišejo v obliki, x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ . Zapisani izrazi se lahko izpeljejo na bolj neposredni način; namreč s projiciranjem vektorja vr na osi kartezičnega koordinatnega sistema, slika 4. Gornje izraze je moč razumeti tudi tako, da je krajevni vektor vr podan s krogelnimi koordinatami (r, θ , ϕ ) oziroma, da velja vr = (x, y, z) = (r, θ, ϕ ). Obratna transformacija, torej zapis krogelnih koordinat vektorja vr v primeru, da so podane kartezične koordinate, sledijo neposredno iz zgornjih treh enač in se zapišejo,

cos θ = zr

tg ϕ = yx

r = x y z2 2+ + 2 . Poljubni vektor va se v krogelnem koordinatnem sistemu v splošnem zapiše kot, va = ar

)er + a θ)eθ + a ϕ

)eϕ = (ar, a , a ), θ ϕ

a = a a ar2 2 2+ +θ ϕ

in (ar, a , a ) so krogelne koordinate poljubnega vektorja θ ϕ

va izražene z ozirom na enotne vektorje krogelnega koordinatnega sistema, pri čemer pomeni a= va dolžino (jakost) vektorja va .

12

4. Ločna dolžina prostorske krivulje; naravna koordinata s Enačbo krivulje v vektorski obliki podaja izraz vr = vr (t)=(x(t), y(t),z(t)), kjer je t parameter. Izraz je z vrednostjo parametra t natanko določen, kajti ko zavzame t vse možne vrednosti opiše krajišče krajevnega vektorja dano krivuljo v prostoru. Naj bo enačba prostorske krivulje eksplicitno podana. V tem primeru je možno enostavno določiti trenutni položaj masne točke na krivulji, če je podana vrednost ločne dolžine s. Po definiciji je ločna dolžina, s, razdalja, merjena vzdolž loka krivulje, od neke poljubno izbrane začetne točke To na krivulji, katere lega je določena z izrazom vr (to) do točke T na krivulji, ki je podana s krajevnim vektorjem v danem trenutku, t.j. rv = vr (t). Vrednost naravne koordinate, s, to je ločne dolžine izbrane točke T na prostorski krivulji z ozirom na dano začetno točko krivulje To, je mogoče izračunati s pomočjo slike 6. To ∆s rv∆ T T vr (to) vr (t) Slika 6. V časovnem intervalu ∆ t = t-to, se masna točka, ki se giblje po prostorski krivulji podani z enačbo vr = vr (t), premakne iz točke To v točko T, ki sta povezani z vektorjem pomika ∆ vr = vr (to+ t) - ∆ vr (to). Velikost pomika ∆vr =∆ r v splošnem ni enaka ločni dolžini s, t.j. razdalji merjeni po loku prostorske krivulje, ki povezuje točki T∆ o in T na krivulji. V časovnem intervalu t = t-t∆ o je pomik masne točke podan z vektorjem ∆ vr = vr (t)-vr (to), ki povezuje točki To in T na prostorski krivulji. V istem časovnem intervalu se je masna točka premaknila po loku krivulje za razdaljo ∆ s. Očitno v splošnem velja, da pomik masne točke, = r, ni enak ločni dolžini ∆ ∆ s. Toda v limiti, ko gre čas opazovanja t 0, sledi, ∆ → ∆ vr d→ vr in ∆ s ds. V prvem približku prav gotovo velja,

→∆vr

drv = dr = ds,

13

kar predstavlja iskano povezavo med ločno koordinato s in velikostjo vektorja pomika, dr. Najenostavneje se izraža ločna koordinata s, s pomikom krajevnega vektorja d vr zapisanim v kartezičnem koordinatnem sistemu. Ker velja, dr = dr drv v. = dx dy dz2 2+ + 2 , od koder je iskani rezultat dobljen z integracijo izraza,

s = ∫ dx dy dz2 2+ + 2 = ∫ & & &x y z2 2+ + 2 dt,

pri čemer so bili upoštevani izrazi, dx = &x dt, dy= dt in dz = dt. &y &z V polarnem koordinatnem sistemu se d vr zapiše kot, d vr = d ρ )eρ + ρ d )eρ + dz

)k ,

pri čemer je potrebno posebej izračunati izraz d )eρ . Diferencial enotnega vektorja )eρ se najenostavneje izvrednosti, če se izhaja iz zapisov obeh polarnih vektorjev v kartezičnem koordinatnem sistemu, )eρ = cos ϕ

)i + sin ϕ

vj

) ) veϕ = -sin ϕ i + cos ϕ j . Polarna vektorja sta enotna vektorja, ki implicitno zavisita od časa t, t.j. ϕ =ϕ (t), zato se diferencial obeh izrazov enostavno zapiše v obliki, d )eρ = (-sin ϕ

)i + cos ϕ

vj ) dϕ = )eϕ dϕ

) ) v )d eϕ = -(cos ϕ i + sin ϕ j ) dϕ = - eρ dϕ Dobljena izraza se ob upoštevanju dejstev, da je d )eρ = )&eρ dt in dϕ = &ϕ dt, zapišeta v preglednejši obliki, )&eρ = &ϕ )eϕ ) )&eϕ = - &ϕ eρ Časovna odvoda enotnih vektorjev sta torej pravokotna na prvotni vektor in ležita v isti ravnini kot vektorja )eρ in )eϕ . Toda časovni odvod enotnega vektorja ni več enotni vector!

14

Gornji rezultat je del splošnega izraza za primer, če je le velikost poljubnega vektorja va konstanta. Diferencial skalarnega produkta vektorja va je namreč tedaj enak,

va . va = a = konst vd( a . va ) = 2 va d va = 0 vd a ⊥ va

in je torej diferencial vektorja d va pravokoten na vektor va sam. Toda v splošnem, pa ni mogoče trditi, da tudi vektor d va leži v isti ravnini kot vektor va . Sedaj je moč izraziti element ločne dolžine, ds, zapisanega v polarnem koordinatnem sistemu saj velja, d vr = d ρ )eρ + ρ dϕ )eϕ + dz

)k

v vds2 = d r .d r = d ρ 2 + ρ 2 dϕ 2 + dz2 tako, da se ločna dolžina oziroma naravna koordinata, s, izražena v polarnem koordinatnem sistemu, zapiše,

s = & & &ρ ρϕ2 2 2+ +∫ z dtt

t

o

.

Na podoben način kot zgoraj se ločna dolžina, s, lahko zapiše še v ostalih koordinatnih sistemih, pri čemer je ključni izhodiščni izraz podan z enačbo,

s = v v& &r r dtt

t

o

⋅∫ ,

saj vedno velja, da je d vr = v&r dt, pri čemer tudi sedaj velja, da označuje pika odvod ustrezne količine po času, t. Ker je določeni integral zvezna in odveljiva funkcija zgornje meje sledi iz zgornje definicije veljavnost, po kateri je ločna dolžina, s = s(t), monotona naraščajoča funkcija parametra t. Posebej je potrebno poudariti, da podaja naravna koordinata, s, le trenutno lego masne točke na prostorski krivulji in v splošnem ni enaka njeni celotni pretečeni poti. To je kaj lahko uvideti n.pr. pri nihanju na vrvici vpete masne točke okoli ravnovesne lege, kjer se celotna pretečena pot izraža kot vsota (absolutnih) vrednosti odmikov (koordinate s) masne točke kot merjenih iz izbranega izhodišča na krožnici.

15

Zgled: 1. Vijačnica Iz matematike dobro poznana (vektorska) enačba vijačnice, vr = vr (t) = vr (x(t), y(t), z(t)), se v parametrični obliki zapiše kot, x = R cost y = R sint in z = C t, ki je izbrana tako, da se točka, ki kroži po krožnici polmera R, pri čemer se delec v smeri osi z giblje enakomerno s hitrostjo C, v času t=0 nahaja v točki T0 na x-osi kartezičnega koordinatnega sistema. Po času t je naravna koordinata, s, delca, ki se giblje po vijačnici (hkrati je v tem primeru je naravna koordinata s, enaka celotni opravljeni poti delca v času t) podana z,

s = ∫ & & &x y z2 2+ + 2 dt = R C do

t2 2+∫ t = R C2 2+ t

in je sorazmerna parametru t. Iz dobljenega izraza očitno sledi,

t = sR C2 2+

in enačba vijačnice izražena z naravnim parametrom, s, se glasi,

x = R cos sR C2 + 2

y = R sin sR C2 + 2

z = C sR C2 2+

.

Kakšne so pa vrednosti odvodov komponent po naravni koordinati, s? Če se označi s simbolom x’, y’ in z’, odvod ustrezne koordinate po parametru s, tedaj velja,

x’ = - RR C2 + 2

sin sR C2 + 2

y’ = RR C2 + 2

cos sR C2 2+

z’ = CR C2 2+

.

Brž je mogoče uvideti, da je vsota kvadratov gornjih izrazov, to je vsota kvadratov odvodov koordinat izraženih z naravno koordinato, s, prostorske krivulje vr = vr (s), enaka 1 torej, x’2 + y’2 + z’2 = 1 Kaj lahko je dokazati, da velja zapisani izraz popolnoma splošno.

16

2. V zgornjem primeru je bila podana enačba krivulje v vektorski obliki, vr = vr (t). Toda krivulje v prostoru je moč opisati na različne načine. Zelo pogosto je v uporabi tisti, ki definira prostorsko krivuljo (to je krivuljo, katerih točke ne ležijo vse v isti ravnini) kot presečišče dveh ploskev v prostoru. Enačbi,

y = xa

2

2 in z = x

a

3

26,

kjer je a dana konstanta, sta enačbi paraboličnih valjev v prostoru, pri čemer sečišče prve ploskve z x-y ravnino popiše kvadratne, sečišče druge ploskve z z-x ravnino pa kubične parabole. Zgornji enačbi sta potemtakem enačbi parabol zapisanih v ustreznih ravninah. Prostorska krivulja je krivulja, ki nastane kot presek obeh ploskev v prostoru, pri čemer ta krivulja poteka skozi izhodišče. Ločna dolžina s, delca merjeno po opisani prostorski krivulji z ozirom na koordinatno izhodišče je,

s = ∫ dx dy dz2 2+ + 2 = (12

2

20

+∫xa

dxx

) = x + xa

3

26 = x + z.

Torej je ločna dolžina, oziroma naravna koordinata delca, s, na dani krivulji enolična funkcija trenutne lege delca podane s točko T, kot je določena s (trenutnima) koordinatama x in z.

17

2. HITROST MASNE TOČKE Delec potuje po prostorski krivulji podani v vektorski obliki z enačbo vr = vr (t). Delec, ki se v času t nahaja v točki T0 na krivulji se, po preteku časovnega intervala t, nahaja v točki T, ki je podana s krajevnim vektorjem

∆vr = vr (t+∆ t). V danem časovnem intervalu

t, opravi delec (končni) pomik ∆ ∆ vr , ki je definiran z izrazom, ∆ vr = vr (t+ t) - ∆ vr (t) in veže točki T0 ter T , kot je to prikazano na sliki 7. r ′∆v et

)

T0 T´ rv∆ T T ∆ vr (t) vr (t+ t’) ∆ vr (t+∆ t) O Slika 7. Delec, ki potuje po prostorski krivulji se nahaja v trenutku t v točki To na krivulji podani z krajevnim vektorjem vr (t). V časovnem intervalu ∆ t se nahaja delec v točki T, ki jo podaja krejevni vektor vr (t+∆ t). Pomik delca ∆ vr , v danem časovnem intervalu ∆ t, je podan z vektorsko razliko pripadajočih krajevnih vektorjev ∆ vr = vr (t+ t)-∆ vr (t), ki sovpada s sekanto skozi točki To in T. V limiti, ko gre časovni interval t → dt, sledi ∆ ∆ vr → d vr , in pomik d vr tedaj kaže vzdolž tangente na prostorsko krivuljo s prijemališčem v začetni točki opazovanja, tj. točki To. Na sliki 7. je prikazan pomik delca ∆ vr ’= vr (t+∆ t’)- vr (t), za primer časovnega intervala opazovanja gibanja delca ∆ t’, ki je krajši kot prvotni časovni interval, ∆ t’ < ∆ t. Očitno v splošnem velja, da se spremeni smer in velikost pomika delca iz začetne točke v

18

končno točko opazovanja T’, kot jo podaja vektor vr (t+∆ t’). V splošnem velja naslednje; v limiti, ko gre ∆ t → dt, se nahaja točka T infinitezimalno blizu začetne točke To in sekanta preide v tangento na prostorsko krivuljo v začetni točki opazovanja, t.j. v točki To. Infinitezimalni pomik delca, d vr , iz navedenega razloga sovpada s tangento na krivuljo v tej točki.

)+ ∆

ms

v

t

vtt

( ) r∆∆

vr

vv

Povprečna hitrost vv , je vektor, ki je definiran kot pomik delca, ∆ vr = vr (t+ t) - ∆ vr (t), ki ga le-ta opravi v pripadajočem časovnem intervalu ∆ t, deljeno z navedenim intervalom, torej, vv = ∆

∆

vrt

= v vr t t r t

t( ) (−

∆

katerega smer je podana s pomikom ∆ vr , ki leži vzdolž sekante med danima točkama opazovanja na krivulji. Povdariti gre, kot to izhaja iz same definicije povprečne hitrosti, da je potrebno pri računanju kvocienta ∆ vr / t, upoštevati tako spremembo velikosti vektorja pomika kot spremembo njegove smeri.

∆

Enota povprečne hitrosti je podana z,

[ ]rv = ∆∆

vrt

= .

V limiti, ko gre t → 0, gornji izraz za povprečno hitrost preide v (trenutno) hitrost, ∆vv , ki je definirana kot, vv = lim∆t→0

vv = lim∆t→0∆∆r = lim∆t→0

vr t t(+ − = drdt

v. )

Hitrost je torej kvocient infinitezimalnega pomika delca, d vr , s pripadajočim infinitezimalnim časovnim intervalom dt ali, kot se to zapiše v matematičnem jeziku, hitrost delca je podana z odvodom krajevnega vektorja , po času t. Smer vektorja hitrosti je podana s tangento na krivuljo gibanja delca v izbrani točki opazovanja. Enota hitrosti je enaka enoti povprečne hitrosti, t.j. m/s. V kartezičnem sistemu je hitrost podana s tremi komponentami vzdolž koordinatnih osi, vv = v&r = & & &xi yj zk

v v v+ + = vx

)i + vy

vj + vz

)k

od koder sledi, da so vx = &x vy = v&y z = &zkomponente hitrosti vektorja v kartezičnem koordinatnem sistemu. V polarnem koordinatnem sistemu kjer se krajevni vektor zapiše, vr = ρ )eρ + z

)k

in zato je hitrost vv ,

19

vv = v&r = &ρ )eρ + ρ &ϕ )eϕ + &z)k ≡ v ρ

)i + vϕ

vj + vz

)k

vektor, ki je v polarnem koordinatnem sistemu v splošnem podan s tremi komponentami, &ρ , ρ &ϕ in pri čemer velja, &z

v ρ = &ρ , vϕ = ρ &ϕ in vz = . &z V krogelnem koordinatnem sistemu, kjer je krajevni vektor vr do točke T v prostoru posan z že znanim izrazom vr =r )er velja, vv = v&r = &r )er + r )&er Iz definicije enotnega vektorja )er , sledi, )&er = (cos θ cos ϕ &θ - sin θ sin ϕ &ϕ )

)i + v

(cos θ sin ϕ &θ + sin θ cos ϕ &ϕ ) j - sin θ &θ

)k

Od tod se dobi, z uporabo definicije vektorjev )eθ in )eϕ , željeni rezultat, )&er = &θ )eθ + &ϕ sin θ )eϕ , tako, da se hitrost delca v krogelnem koordinatnem sistemu zapiše, vv = v&r = &r )er + r &θ )eθ + r &ϕ sin θ )eϕ . Poljubni vektor va se v sferičnem koordinatnem sistemu zapiše kot, va = ar

)er + aθ )eθ + aϕ )eϕ in iz primerjave za hitrost delca, vv , torej v avv ≡ sledi, da so komponente vektorja hitrosti v krogelnem koordinatnem sistemu podane z, vr = &r vθ = r &θvϕ = r &ϕ sin θ , Seveda je velikost hitrosti, v, v krogelnem koordinatnem sistemu podana z izrazom v = r vv v⋅ = & ( & sin ) ( & )r r r2 2+ +ϕ θ θ 2 Na podoben način se izraža hitrost, vv , tudi v drugih koordinatnih sistemih. Posebej zanimiv je primer, ko se hitrost vv izrazi z naravno koordinato s. Iz izraza za ločno dolžino navedenega v prejšnjem poglavju sledi,

20

s = ∫ dx dy dz2 2+ + 2 = ∫ & & &x y z2 2+ + 2 dt,

od koder je razvidno, da je, časovni odvod naravne koordinate, , podan z izrazom &s &s = & & &x y z2 2+ + 2 .

Iz definicije hitrosti vv namreč sledi, vv = dr

dt

v = dr

dsdsdt

v⋅ = &s dr

ds

v.

Hitrost v dani točki na prostorski krivulji v vsakem trenutku kaže v smeri tangente na krivuljo v tej točki, zato mora veljati, da je odvod krajevnega vektorja po naravni koordinati, d vr /ds , vektor, ki prav tako leži vzdolž tangente. Kolikšna pa je njegova jakost? Po definiciji imamo, drds

v = (dx/ds)

)i + (dy/ds) + (dz/ds)

vj

)k = x’

)i + y’

vj + z’

)k

pri čemer je s črtico nad spremenljivko označeno dejstvo, da gre za odvod spremenljivke po naravni koordinati, s. Skalarni produkt gornjega izraza s samim seboj je tedaj, drds

v. drds

v = x’2 + y’2 + z’2 ≡

&

&

xs

2

+ &

&

ys

2

+ &

&

zs

2

= 1

pri čemer je bil upoštevan zgoraj zapisani izraz za , kot tudi dejstvo, da velja verižno pravilo, t.j. dx/ds=(dx/dt)(dt/ds), itd.

&s

Dobljeni rezultat, namreč da je skalarni produkt odvoda krajevnega vektorja delca po naravni koordinati, s, enak 1, služi kot dokaz da je, navedeni odvod vr ’ = dr

ds

v = )etg

kar enak )e , enotnemu vektorju v smeri tangente na krivuljo v dani točki. Končni rezultat za hitrost

tgvv masne točke, ki se giblje po prostorski krivulji, zapisano v odvisnosti od

naravne koordinate s, se sedaj zapiše kot, vv = &s )etg . V splošnem velja, da sta in &s )etg implicitni funkciji časa.

21

Zgledi: 1. Delec se giblje po prostorski krivulji, ki je podana v parametrični obliki z enačbami: x = 3e-2t, y = 4 sin3t, z = 2 cos3t. Izračunaj hitrost delca vv , v odvisnosti od: 1) parametra t in 2) v odvisnosti od naravnega parametra s. Kolišna je velikost vektorja hitrosti v času t=0. vr = x

)i +y +z

vj

)k = 3e-2t

)i + 4 sin3t

vj + 2 cos3t

)k

v )v = v&r = -6e-2t

)i + 12 cos3t - 6 sin3t

vj k

v&r t=o = -6

)i +12

vj

vt=0 = 6 122 + 2 = 6 5 2. Delec se giblje po krivulji C, ki jo opisuje krajevni vektor vr = 3cos2t

)i + 3sin2t +(8t-4)

vj

)k

Izračunaj enotni vektor v smeri tangente, )et , in preveri veljavnost izraza vv =v )et . Hitrost vv delca kaže v smer tangente na krivuljo, zato sledi, vv = v&r = -6sin2t

)i +6cos2t +8

vj

)k ,

v = ( sin ) ( cos )− +6 2 6 2 82 2t t + 2 = 10 )et =

vvv

= - 35

sin2t )i + 3

5 cos2t

vj + 4

5 )k

Toda, po drugi strani velja, da je vv = v&r = drdsdsdt

v = )et &s , pri čemer je , &s

&s = & & &x y z2 2+ + 2 = 10

in zato je )et =

vvs&

= - 35

sin2t )i + 3

5 cos2t

vj + 4

5 )k

kar pa je identično z že zgoraj izračunanim izrazom za enotni vektor v smeri tangente. Kako pa se izraža enačba krivulje z naravno koordinato s? V splošnem velja,

22

s = ∫ dx dy dz2 2+ + 2 = ∫ & & &x y z2 2+ + 2 dt,

s = v v& &r r dto

t

⋅∫ = 10 t

in od tod, ker je t=s/10 sledi, vr = 3cos0.2s

)i + 3sin0.2s + (0.8s - 4)

vj

)k .

Z neposrednim izračunom je kaj lahko pokazati veljavnost izraza drds

v = )et .

3. y A L C r C v

vvv j o

Θ v O i B x Drog dolžine L, ki se s krajiščem A opira na navpično steno, se giblje tako, da je hitrost krajišča B, vv = vv o, usmerjena vzdolž x-osi in konstantna po velikosti, v=vo. Pokaži, da opisuje težišče droga lok krožnice polmera L/2, s središčem v O. Izračunaj hitrost težišča v trenutku, ko se krajišče B nahaja na razdalji x=b < L. Iz skice je razvidno, da velja, OB = L cosΘ vr OB = L cosΘ

)i

v vOA = L sinΘ r OA = L sinΘ j vr AB = vr OB - vr A v

O

r AB = L cosΘ )i - L sinΘ

vj

vr C = vr OA + vr AC = vr OA + 12

vr AB = 12

L (cosΘ )i + sinΘ

vj )

rC = vr = ( ) (cos sin12

2 2 2L Θ Θ+ ) = 12

L,

23

kar pomeni, da se težišče giblje po krožnici polmera 12

L, s središčem v izhodišču. vHitrost težišča je po definiciji podana z izrazom vv C = &r C.

vv C = (L/2)(- sinΘ

)i + cosΘ ) .

vj &Θ

Hitrost točke B je tedaj enaka, vv B = - L sinΘ &Θ

)i ,

iz česar sledi, da velja, L sinΘ = -v&Θ o in če se krajišče B nahaja na razdalji x=b od navpične stene, sledi,

sinΘ = L bL

2 2− = - &Θv

Lo

sinΘ = - v

L bo

2 2−,

tako, da se hitrost težišča zapiše kot, vv C = 1

2 vo (

)i - b

L b2 2− ), vj

od koder je razvidno, da je velikost hitrosti težišča podana z izrazom, vC = Lvo/(2 L b2 2− ).

24

3. POSPEŠEK DELCA Po prostoru gibajoči se delec se v času t nahaja v točki T na krivulji, podani s krajevnim vektorjem vr = vr (t), pri čemer znaša njegova hitrost tedaj, ko se nahaja v navedeni točki T, = (t). Po preteku (končnega) časovnega intervala t se delec nahaja v točki T’, ki je podana s krajevnim vektorjem

vv vv ∆vr ’= vr (t+∆ t) kjer znaša tedaj trenutna

hitrost delca ’= (t+ t). V danem časovnem intervalu vv vv ∆ ∆ t, se je hitrost delca spremenila za (končno) vrednost ∆ vv , ki je definirana z izrazom, = v ’ - ∆ vv v vv = v (t+ t) - (t). V v ∆ vv (t) vv T’ T (t+∆t) vv vv∆ (t+ t) vv ∆ vr (t) vr (t+∆t) Slika 8. V trenutku t, ko se masna točka nahaja v točki T krivulje znaša njena hitrost vv (t). V časovnem intervalu t se delec premakne v točko T’ prostora kjer je hitrost delca

’= v (t+ t). Vektorska sprememba hitrosti v danem časovnem intervalu opazovanja, t, je podana z

∆vv∆

v ∆∆ vv = v ’- v in je usmerjena v konkavno stran prostorske krivulje gibanja.

V to smer kaže tudi povprečni pospešek v v

va . splošnem kaže tako definirana vektorska sprememba hitrosti, ∆ vv , vedno na konkavno stran dane prostorske krivulje gibanja, slika 8. Za zelo umestno se izkaže, če se definira povprečni pospešek, va , kot va = ∆

∆

vvt

= t

tvttv∆

−∆+ )()( vv,

količino, ki podaja spremembo (vektorja) hitrosti v danem časovnem intervalu. Iz definicije sledi, da je smer vektorja povprečnega pospeška podana s smerjo spremembe vektorjev hitrosti, ki se odvije v intervalu opazovanja ∆ t. Iz definicije je razvidno, da je enota povprečnega pospeška enaka,

25

[ ]va = m ss/ = m

s2 .

Povprečni pospešek, va , sam po sebi ne predstavlja pomembnejše kinematične karakteristike gibajočega delca, marveč služi le za definicijo (trenutnega) pospeška va , ki je podan z izrazom, va = lim∆ t → 0

∆∆

vvt

= lim∆ t → 0 ttvttv

∆−∆+ )()( vv

= dvdt

v = d r

dt

2

2

v = v&&r .

Pospešek delca, va , je enak kvocientu infinitezimalne spremembe hitrosti, d vv , ki se je odvila v infinitezimalnem časovnem intervalu dt. Iz definicije je razvidno, da ima (trenutni) pospešek smer infinitezimalne spremembe hitrosti d vv , ki v splošnem tudi kaže na konkavno stran prostorske krivulje gibanja. Ob tej definiciji je tokrat potrebno podrobneje navesti smer vektorja pospeška va . Naj bo vr krajevni vektor do točke T na krivulji. Enotni vektor tangente v tej točki je podan z )etg . Od prej je poznano, da je

)etg = vvv

= vvs&

= drds

v = vr ’,

kjer črtica pomeni, da gre za odvod krajevnega vektorja po naravni koordinati s. Kot je znano iz matematike, je oblika prostorske krivulje natančno določena, če sta poznani t.im. fleksijska in torzijska ukrivljenost krivulje v odvisnosti od parametra s. S tem v zvezi je najprej potrebno definirati normalno ravnino prostorske krivulje kot tisto ravnino, ki poteka skozi izbrano točko T(x,y,z) krivulje in stoji pravokotno na tangenti )etg . Če vektor

vR =(X, Y, Z) označuje krajevni vektor poljubne točke (X, Y, Z) na normalni

ravnini je vektorska razlika vR - vr vektor, ki leži v normalni ravnini in zato stoji pravokotno

na )etg . Enačba normalne ravnine se zato v vektorski obliki glasi (vR - vr ) v&r = 0.

Tista ravnina, ki poteka skozi tangento, )etg , in se dani prostorski krivulji v izbrani točki T(x,y,z) najtesneje prilega se imenuje pritisnjena ravnina (v primeru, da gre za ravninsko krivuljo je pritisnjena ravnina kar tista ravnina v kateri leži krivulja sama). V splošnem je pritisnjena ravnina tista ravnina, ki poteka skozi dano točko krivulje T in dve ali več točk, ki ležijo na krivulji in se nahajajo v infinitezimalno bližnji okolici dane točke T. Če sedaj vR pomeni krajevni vektor, do poljubne točke (X,Y,Z), ki leži v pritisnjeni ravnini, vektor vr pa krajevni vektor izbrane točke T krivulje se, kot je znano iz matematike, enačba pritisnjene ravnine v vektorski obliki zapiše, (vR - vr ) ( v&r x v&&r ) = 0,

oziroma, če je krivulja izražena z naravno koordinato s, v obliki (vR - vr ) ( )et x )et ’) = 0

26

kjer je )et = )et (s) in črtica pomeni odvod enotnega vektorja v smeri tangente, )et , po naravni koordinati. Iz slednjega izraza izhaja, da je vektorski produkt )et x )et ’ vektor, ki stoji pravokotno na pritisnjeno ravnino in ker mora biti mešani produkt vektorjev, od katerih sta dva enaka po definiciji nič, je )et ’ ( )et x )et ’) = ( )et ’, )et , )et ’) = 0. Od tod izhaja, da leži vektor )et ’ v pritisnjeni ravnini in ker je )et enotni vektor stoji

pravokotno na njega. Izkaže se, da je velikost vektorja )e t' = ) )e et

't

' enaka recipročni vrednosti polmera pritisnjenega kroga, rpr, na krivuljo v točki T(x,y,z), 1rpr

= ) )e et t' ' = x y z' ' ' ' ' '2 2+ + 2 .

Enotni vektor, ki leži na premici v pritisnjeni ravnini ter poteka skozi izbrano točko T tako, da stoji pravokotno na tangenti, )et , in kaže proti središču pritisnjenega kroga (torej na konkavno stran krivulje) se imenuje glavna normala, )n . Ker je tudi )et ’ vektor v pritisnjeni ravnini in stoji pravokotno na )et , leži vektor )et ’ na glavni normali in ker je njegova absolutna vrednost enaka 1/rpr, sledi, )et ’ = 1

rpr

)n .

Vektorski produkt enotnih vektorjev tangente in glavne normale je vektor, ki po definiciji stoji pravokotno na oba vektorja in je torej pravokoten na pritisnjeno ravnino. Če se navedeni vektorski produkt označi z vektorjem )ebi , torej )ebi = )et x )n le-ta definira binormalo, to je enotni vektor, ki stoji pravokotno na vektorja )et in )n (in definirata pritisnjeno ravnino). Da je velikost (t.j. absolutna vrednost) vektorja )ebi v resnici enaka 1 je razvidno iz definicije, saj je )ebi = sin 90o = 1. Iz zapisanega je očitno, da določa krivulja v prostoru v vsaki svoji točki T tri med seboj pravokotne enotne vektorje, tangento )et , glavno normalo, )n , in binormalo, )ebi , ki tvorijo desnosučni koordinatni sistem, poimenovan naravni, oziroma osnovni trieder. Le-ta je torej definiran z izrazom, )et x )n = )ebi . Iz definicije pospeška delca, va , sledi va = v&&r = d( &s )et )/dt = &&s )et + &s de

dtt)

,

27

pri čemer je potrebno izračunati še odvod enotnega vektorja v smeri tangente na krivuljo v točki T po času. Iz definicije odvoda sledi, dedt

t)

= lim ∆t→o ∆∆

)ett ,

kjer je ∆ )et = )et (t+ t) - ∆ )et (t) in vektor )et (t+∆ t) je enotni vektor tangente v točki T’ na krivulji katere koordinate so (x(t+∆ t), y(t+∆ t),z(t+∆ t)). Ker velja,

lim ∆t→o ∆∆

)ett = lim ∆t→o

∆∆

∆∆

)es

st

t = lim&s ∆s→o ∆∆

)est = &s de

dst)

= &s )et ’

zaradi že prej izpeljanih izrazov sledi, da je pospešek delca pri poljubnem gibanju po prostorski krivulji opisan z enačbo, va = &&s )et +

&srpr

2

)n ,

kjer je &&s = d( )/dt = d(v)/dt = a&s tg &srpr

2

= vrpr

2

= an

atg komponenta vektorja pospeška vzdolž tangente na krivuljo in je povezana s časovno spremembo absolutne vrednosti (velikosti) vektorja hitrosti in an je komponenta pospeška delca vzdolž glavne normale, )n . V splošnem se da dokazati, da je vrednost polmera pritisnjenega kroga na krivuljo v točki T, rpr, enaka recipročni vrednosti fleksijske ukrivljenosti (ali upognjenosti) krivulje, 1/ ρ , pri čemer je upognjenost definirana kot, 1ρ

= lim ∆s→o ∆∆ϑs

,

kjer je kot ∆ ϑ definiran kot kot med vektorjema )et (t) in )et (t+ t) in torej pomeni kot zavrtitve enotnega vektorja tangente krivulje v časovnem intervalu t, ko se naravna koordinata spremeni za vrednost

∆∆

∆ s. Na podoben način je definirana torzijska ukrivljenost ali zvitost krivulje, τ. Binormali )ebi (t) v točki T in )ebi (t+ t) v točki T’ v splošnem med seboj oklepata od nič različen kot ψ. Tedaj meri kvocient ψ/

∆∆ ∆ ∆ s hitrost s katero se suče binormala, če gre točka od T do T’. Limita tega kvocienta, ko gre T’ proti T je definirana kot torzijska ukrivljenost ali zvitost,

28

1τ

= lim∆s→o ∆∆ψs

Mogoče je pokazati, da je recipročna zvitost krivulje 1/τ, enaka absolutni vrednosti odvoda binormale po spremenljivki s, t.j. )e bi

' . Med navedenimi količinami v splošnem velja naslednja povezava, )ebi ’ = - 1

τ )n .

Iz definicije pospeška delca, va = v&v = v&&r , je kaj enostavno zapisati komponente pospeška izraženega v različnih koordinatnih sistemih, tako n. pr. velja za: 1. kartezični koordinatni sistem, va = &&x

)i + + &&y

vj &&z

)k ,

kjer se komponente pospeška vzdolž koordinatnih osi izražajo kot ax = &&x ay = &&y az = , &&zin velikost pospeška a tedaj znaša, a = && && &&x y z2 2+ + 2 , 2. polarni koordinatni sistem, va = d/dt( d( ρ )eρ +z

)k )/dt) = d/dt( &ρ )eρ + ρ &ϕ )eϕ ) + &&z

)k

) va = ( && ) &ρ ρϕ− 2 )eρ + ( r r&& & &ϕ ϕ+ 2 ) )eϕ + &&z k od koder je razvidno, da se pospešek zapiše kot vektorska vsota med seboj pravokotnih komponent aρ, aϕ in az, kjer so, va = ( && ) ρ &ρ ρϕ− 2 )eρ v ) a = ( r rϕ && & &ϕ ϕ+ 2 ) eϕ v )

a = && z z k , količine, ki definirajo radialni pospešek vaρ , prečni (cirkularni) pospešek va in komponente pospeška v smeri stalne osi z,

ϕva tako da je absolutna vrednost pospeška

podana z, z

a = (&& & ) ( && & & ) &&ρ ρϕ ρϕ ρϕ− + + +2 2 2 22 z , 3. krogelni koordinatni sistem

29

V tem sistemu je najlažje izračunati komponente pospeška delca s pomočjo časovnega odvoda kartezičnih komponent krajevnega vektorja vr izraženega s krogelnimi koordinatami, r, θ in ϕ , x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ , tako, da se iz izraza a = && && &&x y z2 2+ + 2 , po preureditvi členov lahko zapiše, a = a a ar

2 2+ +ϑ ϕ2 ,

kjer so komponente pospeška podane z izrazi, ar = &&r - r sin&ϕ 2 2θ - r &θ 2

aθ = r && + 2 r - r sin θ & &θ &ϕ 2 θ cos θ a = r ϕ &&ϕ sin θ + 2 & &rϕ sin θ + 2 r cos & &ϕθ θ Zgled: Kroženje delca po krožnici polmera r v stalni ravnini. Ker je ρ =konstanta sledi, da je &ρ = &&ρ = 0 in če se vzame, da krožnica leži v x-y ravnini je z = 0 in zato je

va = −ρϕ& 2 )eρ + r &&ϕ )eϕ

kar pomeni, da pospešek delca sestoji iz radialne in tangentne komponente. at ar av

Slika 9. Pospešek va delca, ki se giblje po krožnici (v stalni ravnini) polmera r sestoji iz komponente v smeri tangente (tangentni pospešek) in komponente v smeri glavne normale (radialni pospešek).

Če je gibanje takšno, da velja ϕ =konst. sledi, da je va = vaρ = &&ρ )eρ , kar pa predstavlja pospešeno premočrtno gibanje delca.

30

2. Gibanje delca po vijačnici. Enačba vijačnice v parametrični obliki je podana (glej zgled v prejšnjem poglavju) v parametrični obliki: x=Rcosωt, y=Rsinωt in z=Ct, pri čemer so R, ω in C konstante. V danem primeru se skalarni produkt v&r v&r zapiše v enostavni obliki, v&r v&r = (Rω)2 + C2 od koder sledi, da je ločna dolžina enaka, s= ( )R Cω 2 + 2 t = c t, pri čemer je c

definiran kot c= R 2 2 2ω + C . Krajevni vektor vr v odvisnosti od naravne koordinate se sedaj zapiše, vr = (Rcos(ωs/c), Rsin(ωs/c), (C/c)s) in zato je enotni vektor na tangenti vijačnice v točki T, ki je za ločno dolžino s oddaljena od začetne točke To, )et = vr ’ = (-(Rω/c)sin(ωs/c), (Rω/c)cos(ωs/c), (C/c)). V tej točki je odvod enotnega vektorja po naravni koordinati podan z izrazom, )et ’ = vr ’’ = (-(Rω2/c2)cos(ωs/c), -(Rω2/c2)sin(ωs/c), 0) in dolžina (absolutna vrednost) zapisanega vektorja znaša tedaj,

1rpr

= v vr r′ ′' ' = Rcω 2

2 ,

tako, da je polmer pritisnjenega kroga na vijačnico v točki T enak,

rpr = RR

2 2 2

2

ωω+ C = R + C

R

2

2ω .

Iz gornjega izraza je razvidno, da je polmer pritisnjenega kroga rpr večji kot je polmer krožnice R, ki je projekcija vijačnice na xy ravnino. Samo za C=0 je tedaj rpr = R, toda tedaj kroži delec po krožnici v xy ravnini. Enotni vektor vzdolž glavne normale )n je sedaj podan z, )n = rpr

)et ’ = (-cos(ωs/c), -sin(ωs/c), 0) = (-cosωt, -sinωt, 0). Glavna normala )n je vzporedna z ravnino xy in poteka skozi os valja. Binormala, ki stoji pravokotno na pritisnjeni ravnini je tedaj, )ebi = )et x )n = ((C/c)sin(ωs/c), -(C/c)cos(ωs/c), Rω/c) tako, da je odvod binormale po naravni koordinati, )ebi ’, podan z

31

)ebi ’ = ((Cω/c2)cos(ωs/c), (Cω/c2)sin(ωs/c), 0). Torzijska ukrivljenost τ je tedaj,

τ = Cc2 ω = C

R C2 2 2ω +ω

in je prav tako kot fleksijska ukrivljenost, 1/rpr, ki je enaka recipročni vrednosti polmera pritisnjenega kroga, konstantna. V polarnih koordinatah se komponente hitrosti delca vv zapišejo, vv = v&r = R ω )e + C ϕ

)k

vρ = 0 vϕ = Rω vz = C tako. da je v danem primeru velikost hitrosti delca v= R 2 2 2ω + C = konstanta. Pospešek delca tedaj znaša, va = v&&r = v&v = Rω = Rω (- v&eϕ &ϕ )eρ ) = -Rω2 )eρ ,

pri čemer je bil upoštevan izraz ϕ =ωt. Komponente pospeška v polarnem koordinatnem sistemu se sedaj glasijo, aρ = - Rω2 aϕ = 0 az = 0. 3. . ϕ E R

Slika 10. Krožna plošča polmera R je vrtljivo vpeta v točki, ki je od središča oddaljena za razdaljo E. Plošča se enakomerno vrti pri čemer se kot ϕ spreminja po enačbi, ϕ=Kt kjer je K konstanta. Oboda plošče se dotika palica, ki je vpeta tako, da dovoljuje gibanje palice samo v navpični smeri. Izpelji enačbo gibanja konice palice ter izračunaj hitrost in pospešek te točke v odvisnosti od časa.

Palica se giblje samo v navpični smeri. Trenutno lego konice palice podaja krajevni vektor vr , ki ima v izbranem koordinatnem izhodišču komponente vr =(0,y). Iz skice je razvidno, da velja,

32

y=E cosϕ + R E2 2 2− sin ϕ in hitrost ter pospešek krajišča palice se dobi s časovnim odvajanjem zapisanega izraza. vv = v&r = (0, vy)

vy = - EK sin(Kt) 12 2 2

+−

E KtR E Kt

cossin

va = v&&r = (0, ay)

ay = K vy ctgKt + E K KtR E Kt

E KtR E Kt

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 21sin

sincos

sin−−

−

4. vetg θ va

Slika 11. Delec potuje po krivulji opisani z izrazom s=bekt tako, da vektor pospeška ves čas oklepa konstanten kot Θ s tangento na krivuljo. Kolikšen je krivinski polmer pritisnjenega kroga in kolikšni so hitrost delca, v, pospešek a ter tangentna, at in normalna, an, komponenta pospeška.

V splošnem velja v = , zato je, &s v = kbekt = ks at = = bk&v 2ekt = k2 s at = a cos Θ = k2 s an = a sin Θ = a at

2 2− Iz poslednjih dveh enačb sledi,

33

tg Θ = aa

n

t

zato je an = at tg Θ. Ker pa velja, da je

an = vrpr

2

je polmer pritisnjenega kroga enak

rpr = van

2

= k sk stg

2 2

2 θ = s

tgθ = b ekt ctg Θ

Pospešek delca, a, je tedaj enak a = a an

2 + t2 = at 1 2+ tg θ = k2 b ekt 1 2+ tg θ .

34

4. KINEMATIKA TOGEGA TELESA Po definiciji tvori togo telo neskončna množica masnih točk, ki se odlikuje po dejstvu, da je razdalja med poljubnima masnima točkama konstantna. Če je vr i krajevni vektor v prostoru, ki kaže do i-tega delca sistema in če vr j označuje krajevni vektor do j-tega delca sistema delcev, tedaj je po definiciji razdalja rij=

vrij med poljubno izbranima delcema togega telesa od časa neodvisna konstanta cij, rij = cij. Če sestoji togo telo (oziroma sistem delcev) iz N masnih točk, pri čemer je N lahko zelo veliko število in ker je lega enega delca določena s 3 med seboj neodvisnimi koordinatami (n.pr. (x,y,z), ali (ρ ,ϕ ,z), ali (r,θ,ϕ ), itd.), imenovanih tudi prostostnih stopenj, poseduje togo telo tedaj največ 3N koordinat. Te koordinate pa niso več vse med seboj neodvisne zaradi zahteve, da morajo biti v togem telesu vzajemne razdalje med delci konstantne. Za sistem N delcev je skupno število konstantnih razdalj, cij

i,j=1, 2,…N, enako 12

N(N-1), kar je za dovolj velik N vedno večje od vrednosti 3N.

Očitno torej mora biti število neodvisnih konstantnih razdalj, cij, v togem telesu med seboj manjše od navedene vrednosti. Izkaže se, da brž, ko so lege treh poljubno izbranih točk togega telesa, ki vse ne ležijo na eni premici, določene, so lege vseh preostalih točk togega telesa enolično izražajo s koordinatami izbranih treh delcev. [tevilo neodvisnih koordinat oziroma prostostnih stopenj, ki enolično določa lego togega telesa v prostoru tedaj ne more biti večje kot 9, pri čemer je potrebno upoštevati dejstvo, da so vzajemne razdalje treh delcev prav tako konstantne, torej r12 = c12 r13 = c13 in r23 = c23,

povezane s tremi enačbami, tako, da poseduje togo telo v splošnem največ 9 - 3 neodvisnih koordinat ali največ 6 prostorskih stopenj neodvisno od števila delcev, N, ki togo telo sestavljajo. Običajno se za določanje lege togega telesa v prostoru od 6 razpoložljivih prostorskih stopenj uporabi 3 za določitev težišča telesa, preostale 3 pa za popis njegove orientacije v prostoru. Poudariti gre, da je število prostostnih stopenj tgega telesa, v odvisnosti od dogajanja, lahko tudi manjše od 6, n.pr. v primeru, da se težišče togega telesa giblje v ravnini znaša skupno število prostostnih stopenj tedaj 5, dve za popis koordinate težišča, in tri za določanje orientacije telesa. V primeru, ko poljubna točka togega telesa miruje, je potrebno tedaj opisati samo še orientacijo togega telesa in zato le-to poseduje v tem primeru še največ tri prostostne stopnje. Za tovrstne primere, ko ena točka miruje je splošno gibanje togega telesa opisano z Eulerjevim teoremom, ki se glasi: splošni pomik togega telesa kjer ena točka miruje je podan z zavrtitvijo (rotacijo) okoli dane trenutne osi, ki poteka skozi mirujočo točko.

35

3.1 Vrtenje togega telesa okoli stalne osi; Eulerjeva enačba Pa naj bo, zaradi enostavnosti, orientacija osi vrtenja togega telesa v prostoru stalna. V kolikor os vrtenja poteka skozi telo tedaj vse točke, ki ležijo na rotacijski osi mirujeji, preostale točke pa potujejo po krožnicah, katerih ravnine ležijo pravokotno na os vrtenja pri čemer so vse ravnine med seboj vzporedne. V časovnem intevalu dt se veznica poljubne točke T togega telesa do osi vrtenja zavrti za kot dϕ , točka T pa opiše lok krožnega izseka s kotom dϕ ob vrhu in polmera enakim dolžini veznice. Po definiciji je vektor d vϕ vektor, ki kaže vzdolž osi vrtenja in velikost vektorja d vϕ je enaka kotu dϕ ob vrhu krožnega izseka. Vektor kotne hitrosti, vω , je tedaj vektor, katerega smer je podana s smerjo vektorja d vϕ in zato kaže vzdolž osi vrtenja tako, da velja, vω = d

dt

vϕ = v&ϕ

in velikost kotne hitrosti ω je tedaj enaka,

ω = vω = ddtϕ = &ϕ

Enota kotne hitrosti je s-1. d vϕ y vω dϕ x vr O Slika 12. Togo telo se vrti okoli stalne osi vrtenja. Masne točke potujejo po krožnicah v ravninah, ki so med seboj vzporedne in ležijo pravokotno na os vrtenja. V časovnem intervalu dt se veznica točke T do osi vrtenja zavrti za kot d vϕ , ki je po velikosti enak kotu krožnega izseka s kotom dϕ ob vrhu in leži vzdolž osi vrtenja s kotno hitrostjo vω , ki je enaka v&ϕ in prav tako kot vektor d vϕ usmerjena vzdolž osi vrtenja.

36

Z ozirom na poljubno izbrano točko O, ki leži na osi vrtenja je lega točke T togega telesa opisana s krajevnim vektorjem vr , katerega velikost je stalna, toda njegova smer se s časom spreminja. Hitrost delca T je po definiciji, vv = v&r = dr

dt

v

kjer je infinitezimalni pomik delca d vr v pripadajočem infinitezimalnem časovnem intervalu dt usmerjen vzdolž tangente na krožnico in po velikosti enak ds, torej infinitezimalni dolžini loka krožnice, ko jo opisuje veznica točke T z osjo vrtenja. Če R označuje polmer krožnice (dolžino veznice), tedaj je očitno, da je ds = R dϕ toda ker, kot je razvidno s slike 12., velja, R = r sin θ sledi, da je velikost vektorja hitrosti delca T togega telesa pri kroženju okoli stalne osi enaka, v = r ω sin θ , pri čemer je smer vektorja hitrosti vv podana s smerjo tangente na krožnico, vv =v )et . Slednje ugotovitve se lahko strnejo v zgoščeni obliki z izrazom, vv = vω x vr , kar je Eulerjeva enačba za izračun hitrosti poljubne točke togega telesa, ki se vrti okoli stalne osi. Kaj lahko se je prepričati, da velja Eulerjeva enačba tudi v primeru, ko stalna os vrtenja ne poteka skozi togo telo. Ker je pospešek delca podan s časovnim odvodom hitrosti, sledi, va = v&v = v v v v& &ω ωx r x r+ = v v&ω x r + vω x [ ]v vω x r

kjer je kotni pospešek vα = , ki je enak časovnemu odvodu kotne hitrosti v&ω vω vektor, ki je kolinearen z osjo vrtenja. Po definicije torej velja, vα = = v&ω d

dt

vω .

Kotni pospešek je vektor, ki je leži vzdolž stalne osi vrtenja togega telesa in njegova smer je določena s smerjo (infinitezimalne) spremembe kotne hitrosti in zato, v odvisnosti od vrtenja, lahko kaže vzdolž vektorja kotne hitrosti (pospešeno vrtenje) ali pa v nasprotni smeri vektorja vω (pojemajoče vrtenje). Kotni pospešek , je tedaj vektor, ki v splošnem ne kaže vzdolž trenutne rotacijske osi, slika 13.

v&ω

37

Iz zgornje enačbe je razvidno, da je pospešek točke T pri vrtenju togega telesa okoli stalne osi sestavljen iz dveh deležev: prvi delež je usmerjen vzdolž tangente na krožnico zato je va tg = v v&ω x r

atg = α r sinθ = α R va tg tangentni pospešek kroženja delca T po krožnici polmera R in

va rd = vω x [ ]v vω x r = -ω2 vR

ard = ω (ω r sin θ ) sin 90o = ω2 R kjer je R=r sinθ in je, radialni pospešek, kot je razvidno iz vektorskega produkta, usmerjen pravokotno na stalno os vrtenje, torej proti središču kroženja točke T. 3.2 Splošno gibanje togega telesa v primeru, da ena točka telesa miruje V primeru, kadar ena izmed točka togega telesa miruje je, po Eulerjevem teoremu, splošno gibanje tako vpetega togega telesa sestavljeno iz vrste zavrtitev (rotacij) togege telesa okoli trenutnih osi vrtenja, ki vse potekajo skozi dano mirujočo točko. Omenjene trenutne rotacijske osi kažejo vzdolž trenutnih vektorjev kotne hitrosti, vω , ki vsi potekajo iz skupnega izhodišča, t.j. mirujoče točke togega telesa. v&ω C 2,3ω&v vω (t1) vω (t2) vω (t3) O Slika 13. Poljubno gibanje togega telesa pod pogojem, da ena točka telesa miruje je po Eulerjevem teoremu sestavljajo infinitezimalne zavrtitve okoli trenutnih rotacijskih osi, opisane z trenutnimi vektorji kotne hitrosti, vω , ki potekajo skozi mirujočo točko. Vektorji kotne hitrosti v splošnem opisujejo krivuljo v prostoru in kotni pospešek togega telesa, , je v tem primeru v v vsaki točki opisane prostorsko krivuljo podan s smerjo tangente na krivuljo.

v&ω

38

V časovnem intervalu dt se, pri splošnem gibanju togega telesa okoli dane mirujoče točke telesa, spremeni vektor kotne hitrosti od vω (t) do vω (t+dt), kjer se oba vektorja razlikujeta tako po velikosti, kot po smeri, t.j. za infinitezimalni vektor d vω , ki pa v splošnem ne kaže več vzdolž (trenutne) osi vrtenja. Krajišča vektorjev trenutne kotne hitrosti, vω , v splošnem popisujejo v prostoru poljubno krivuljo in vektorji d vω tedaj ležijo vzdolž tangente na omenjeno krivuljo. Iz zapisanega je razvidno, da je tedaj kotni pospešek vektor, ki leži vzdolž trenutnih smeri vektorja infinitezimalne spremembe kotne hitrosti d v

v&ωω , in v vsaki točki krivulje, ki jo opišejo krajišča

vektorjev vω , je zato smer vektorja kotnega pospeška, v&ω , usmerjena vzdolž tangente na opisano prostorsko krivuljo. 3.3 Translacijsko gibanje togega telesa. Translacijsko gibanje togega telesa je po definiciji takšna oblika gibanja, kjer so infinitezimalni pomiki, d vr j, = d vr , j=1, N, v časovnem intervalu dt, vsake točke togega telesa, med seboj vzporedni in enaki po velikosti. Iz definicije tedaj sledi, da so tudi hitrosti, vv , vseh točk med seboj vzporedne in v vsakem trenutku enake po velikosti kar prav tako velja tudi za spremembe hitrosti točk togega telesa d vv j, in zato so tudi pospeški, va , vseh točk med seboj enaki. Iz dejstva, da so infinitezimalni pomiki točk enaki, ne pa pomiki sami sledi, da je translacijsko gibanje togega telesa v splošnem takšno kjer se vsaka točka togega telesa giblje po identičnih krivuljah v prostoru, opisanih s pripadajočimi krajevni vektorji, vr j, slika 15. Samo v primeru, da T1 T2 vv T1

’ T3 vv T2

’ vv T3

’ Slika 15. Translacijsko gibanje togega telesa je definirano kot gibanje, kjer so infinitezimalni pomiki vseh točk togega telesa, v danem časovnem intervalu, enaki, t.j. vzporedni in enaki po velikosti. Iz definicije sledi, da so tedaj v vsakem trenutku tudi hitrosti, vv , in pospeški točk, va , med seboj enaki, tako da za popis translacije togega teles zadošča proučitev kinematike gibanja ene same, poljubno izbrane, točke togega telesa. Vse točke togega telesa pri translacijskem gibanju potujejo vzdolž identičnih prostorskih krivulj, ki pa v splošnem niso premice.

39

so smeri vektorjev pomikov vseh delcev telesa konstantni s časom, je translatorno gibanje telesa premočrtno; hitrosti vv vseh točk togega telesa pa so tedaj premice. Zaradi dejstva, da so pomiki, hitrosti in pospeški vseh točk pri translaciji togega telesa med seboj enaki je očitno, da za popis translacijskega gibanja zadošča popis gibanja ene same točke togega telesa zato je kinematika translacijskega gibanja togega telesa v celoti popisana s kinematiko delca. 3.4 Splošno gibanje togega telesa; Chasle-jev teorem V mehaniki je mogoče dokazati Chasle-jev teorem, ki pravi, da je najbolj splošen pomik togege telesa sestavljen iz translacije in zavrtitve togega telesa okoli ustrezno izbrane osi vrtenja. Na tem mestu velja poudariti, da Chasle-jev teorem podaja način, kako je mogoče opisati splošno gibanje togege telesa, ki je iz dane lege v prostoru na nek način prešlo v drugo območje prostora, pri čemer se je spremenila tudi orientacija telesa. Skladno z zapisanim teoremom, je vedno mogoče omenjeno gibanje zapisati kot translacijo togega telesa in zavrtitve telesa okoli ustrezno izbrane osi vrtenja in na takšen način povezati lego in orientacijo (t.j. gibanje) togega telesa med danima območjima v prostoru. Toda ob tem se je potrebno zavedati, da je samo dejansko gibanje togega telesa lahko potekalo na bistveno bolj zapleten način, ki ga sestavlja zaporedje translacij in zaporedje ustreznih zavrtitev okoli vrste trenutnih osi vrtenja, ki pa zelo pogosto ostanejo neprepoznavni. 3.5 Ravninsko gibanje togega telesa Posebno preprost primer gibanja togega telesa je ravninsko gibanje, to je takšno gibanje kjer je mogoče poiskati poljubno število med seboj vzporednih presekov telesa, takšnih, da so infinitezimalni pomiki d vr j, vseh točk telesa, ki ležijo v dani presečni ravnini togega telesa med seboj vzporedni. To tudi pomeni, da ležijo vektorji hitrosti vseh masnih točk danega preseka prav tako v dani ravnini in ker so vse presečne ravnine vzporedne so hitrosti vseh točk togega telesa med seboj prav tako vzporedne in s tem hkrati vzporedne z ozirom na ustrezno izbrano stalno ravnino -referenčno ravnino- v prostoru, ki poteka izven telesa. Naj poteka pravokotnica na referenčno ravnino skozi togo telo, slika 16 zato v točki T1, kjer prebada presek S1 stoji pravokotno nanj, enako pa velja za presek S2, ki ga prebada v točki T2. Naj bo vv 1 hitrost točke T1 in vv 2 kitrost točke T2. Tedaj velja, da sta hitrosti vzporedni in stojita pravokotno na izbrano premico. Sedaj je potrebno ločiti dva značilna primera ravninskega gibanja togega telesa. V primeru, da gre za čisto translacijo telesa, tedaj očitno velja, da mora biti vv 1 = vv 2 po definiciji. Zapisano spoznanje velja tudi za splošni primer ravninskega gibanja, kot je to pokazano v nadaljnem. Naj bo točka O poljubno izbrana točka na referenčni ravnini in vr 1 ter vr 2 naj bosta krajevna vektorja iz

40

izhodišča O, do točk T1 in T2. Po Eulerjevem teoremu velja, z v´ S2 T2 v2 v˝ 2rv

v1 S1 1r

v

Slika 16. Ravninsko gibanje togega telesa je gibanje telesa kadar je mogoče najti takšno ravnino, ki seka togo telo, da ležijo vektorji hitrosti vsake točke preseka v tej ravnini in so tedaj vsi vektorji hitrosti točk lika vzporedni tudi stalni ravnini -referenčni ravnini- v prostoru, ki je vzporedna z danim presekom. Hitrosti, vv , vseh točk togega telesa, ki se nahajajo na premici, ki poteka skozi togo telo in stoji pravokotno na referenčno ravnino so med seboj enake, toda hitrosti točk telesa znotraj danega preseka se v spošnem med seboj razlikujejo, tako po smeri kot po velikosti, pri čemer pa vektorji hitrosti teh točk nujno vedno ležijo v presečni ravnini. vv 1 = vω x vr 1 v v vv 2 = ω x r 2 pri čemer je vω trenutne kotna hitrost vrtenja togega telesa, ki stoji pravokotno na referenčno ravnino in poteka skozi izhodišče O, tako da velja vv 1 -

vv 2 = vω x ( vr 1 - vr 2).

Toda, vektor ( vr 1 - vr 2) leži vzdolž veznice točk T1T2 in je zato kolinearen z vektorjem vω , zato je vv 1 -

vv 2 = 0 od koder sledi, da mora veljati, vv 1 = vv 2. Hitrosti dveh točk na poljubno izbranih presekih togega telesa, ki podajata presečiči premice, ki stoji pravokotno na preseka in s tem na referenčno ravnino, sta enaki tako po velikosti kot po smeri.

41

Za ravninsko gibanje togega telesa tedaj zadošča, če je poznano gibanje točk poljubnega preseka telesa, ki je vzporeden dani referenčni ravnini, kajti vse preostale točke togega telesa na presekih, ki so vzporedni danemu preseku se tedaj gibljejo na identični način. S kinematiko ravninsko gibanje togega telesa se pogosto popisuje gibanje raznovrstnih strojnih mehanizmov, kotaljenje itd. Ravninsko gibanje togega telesa je poseben primer splošnega gibanja togega telesa za katerega velja Chasle-jev teorem; zato je poljubno ravninsko gibanje v splošnem ravno tako sestavljeno iz translacije lika, ki ga podaja presek ravnine s togim telesom in zavrtitvijo lika okoli osi vrtenja, ki stoji prevokotno na referenčno ravnino. Ravninsko gibanje togega telesa je poznano, če so poznani pospeški vseh točk danega preseka. Naj bosta točki T in T’ poljubni točki danega preseka. Krajevna vektorja iz izhodišča O izbranega v referenčni ravnini do točk T in T’ se zapišeta; vr 1 = x1

)i + y1 + z

vj 1

)k

v ) v )r 2 = x2 i + y2 + zj 2 k pri čemer sta koordinati z1 in z2 točk T in T’ enaki in vse ostale točke danega preseka se nahajajo na konstantni razdalji od navedenih dveh točk. Razlika krajevnih vektorjev, vr 2 -

vr 1 = (x2 - x1) )i + (y2 - y1)

vj

je tedaj vektor, ki leži v ravnini preseka in kaže iz točke T v točko T’, pri čemer je njegova dolžina od časa neodvisna količina. Če se z vektorjem ρv označi vektorska razlika krajevnih vektorjev točk T in T’, vρ = vr 2 -

vr 1, tedaj se legi izbranih točk T in T’ dane presečne ravnine lahko zapišeta kot, vr 1 = x1

)i + y1 + z

vj 1

)k

vr 2 = vr 1 + ρv tako, da sta hitrost vv in pospešek va izbranih točk tedaj enaka, vv 1 = v&r 1 v vv 2 = &r 2 = vv 1 + ρ&v , pri čemer je vektor ρv , to je vektor, ki kaže iz točke T v točko T’ preseka, konstanten po velikosti. Toda, ker je ρv konstanten se lahko spreminja samo njegova smer, to pa pomeni, da je vρ = ρ )eρ v&ρ = ρ v&eρ = ρ &ϕ )eϕ = vω x ρv

42

pri čemer je smer kotne hitrosti vω pravolotna na referenčno ravnino tako, da sedaj velja, vv 2 = v&r 2 = v&r 1 + vω x ρv kjer je točka T izbrana za izhodišče ravninskega polarnega sistema, ki leži v ravnini preseka in (relativna) hitrost v&ρ točke T’ je pravokotna na veznico točk ρv ter kaže v smer enotnega vektorja )eϕ . Na tem mestu je pomembno poudariti, da sta hitrosti vv 1

(= v&r 1) in vv 2 (= v&r 2) hitrosti izbranih točk T1 in T2 presečne ravnine z ozirom na opazovalca, ki miruje torej hitrosti, ki se izražata z ozirom na izhodišče koordinatnega sistema v (mirujoči) referenčni ravnini. Pospeška navedenih točk sta podana z, va 1 = v&&r 1 va 2 = v&&r 1 + x v&ω ρv + vω x v&ρ v v v v v va 2 = &&r 1 + x &ω ρ + ω x (ω x ρv ) =

= v&&r 1 + x v&ω ρv + vω ( vω ρv ) - ω2 vρ = = v&&r 1 + x v&ω ρv - ω2 ρv . Iz zgornjega izvajanja je razvidno, da sta pospeška izbranih točk T in T’ preseka podana z izrazoma, va 1 = v&&r 1 va 2 = v&&r 1 + x v&ω ρv - ω2 ρv ,

kjer je sedaj očitno, da je pospešek točke T’ enolično določen kot vektorska vsota pospeška točke T in pospeška kroženja točke T’ z ozirom na izbrano začetno točko T. Kotna hitrost vω je vektor, ki stoji pravokotno na referenčno ravnino in poteka skozi izbrano začetno točko, ki se tradicionalno imenuje izbrani pol. Zgornji enačbi sta enačbi ravninskega gibanja togega telesa, ki je tedaj podano z gibanjem poljubno izbranega pola T ter z vrtenjem točke T’ relativno na izbrani pol, kjer sta T in T’ sicer poljubni točki preseka. Ravninsko gibanje togega telesa je poznano, če je podana časovna odvisnost izrazov, vr T = vr T(t) = xT(t)

)i + yT(t)

vj

ϕ = ϕ (t). Ker je z kordinata izbranega pola T konstanta je zato v zgornjem izrazu izpuščena. Zapisani kot ϕ je kot, ki ga n.pr. oklepa vektor ρv s pozitivno smerjo x’ osi koordinatnega sistema z izhodiščem v T. Poudariti gre, da je omenjeni, x’y’ koordinatni sistem izbran tako, da so njegove osi v vsakem trenutku vzporedne x- in y-osi koordinatnega sistema v referenčni ravnini z izhodiščem v točki O in zato je očitno, da se x’y’ koordinatne osi ne vrtijo.

43

Dokaz, da je kotna hitrost vseh točk preseka enaka V zgornji enačbi nastopa kotna hitrost vω , ki poteka skozi izbrani pol in podaja (trenutno) kotno hitrost vrtenja točke T’ z ozirom na točko T. Izkaže se, da je kotna hitrost pri ravninskem gibanju togega telesa količina, ki je neodvisna od izbire pola in je tedaj za vse točke preseka enaka. Dokaz poteka na naslednji način, slika 17: naj bo vω ’ kotna hitrost vrtenja točke T z ozirom na izbrani pol, ki je sedaj točka T’. Vektor vω ’ poteka skozi pol T’ in po predpostavki ni enak vω , seveda pa sta tako vω ’ kot vω pravokotna na ravnino preseka ω′v

v ω ρ′v T T` rv T r ,T

v O Slika 17. Pri ravninskem gibanju togega telesa je kotna hitrost vseh točk dane presečne ravnine v vsakem trenutku enaka, ωv = ω′v , kar neposredno vodi do dejstva, da so tedaj tudi kotni pospeški vseh točk med seboj enaki, ω&v = ω′&v .

togega telesa. Naj bo ρv ’ vektor, ki kaže iz pola T’ v točko T. Očitno sedaj velja,

vr T = vr T’ + ρv ’ v&r T = v&r T’ + ρ&v = v&r T’ + vω ’ x ρv ’,

toda od prej velja,

vv 2 = v&r T’ = v&r T + vω x ρv

zato sledi, ko se iz obeh enačb eliminira vr T’ ,

v&r T = v&r T’ + v&ρ = v&r T + vω x ρv + vω ’ x ρv ’,

44

od koder, z upoštevanjem dejstva, da je ρv = - ρv ’, sledi,

(ωv - ωv ’) x vρ = 0.

in ker sta vektorja ( vω - vω ’) ter ρv med seboj pravokotna je vektorski produkt lahko enak nič tedaj in le tedaj, ko velja,

vω ’ = vω .

Ker je kotni pospešek podan z odvodom kotne hitrosti po času velja tudi,

v&ω ’ = v&ω .

Za vse točke preseka je kotna hitrost vrtenja vω potemtakem enaka in zato je za vse točke preseka tudi kotni pospešek v&ω enak ter stoji, prav tako kot vektor vω , pravokotno na presek togega telesa.

Projekcijski teorem hitrosti pri ravninskem gibanju togega telesa Naj bo točka T izbrani pol ter točki T’ in T’’ poljubni točki preseka togega telesa, ki se ravninsko giblje. Z ozirom na izbrani pol T je lega točke T’ podana z vektorje ρv , točka T’’ pa z vektorjem ρ′v , pri čemer točke T, T’ in T’’ ne ležijo na isti premici. Sedaj velja,

vr T’ = vr T + ρv v v vr T’’ = r T + ρ ’

kjer sta hitrosti točk T’ in T’’ podani z izrazoma,

vv ’ = vv + vω x ρv v v v vv ’’ = v + ω x ρ ’.

Razlika gornjih izrazov je tedaj,

vv ’’ - vv ’ = vω x ( ρv ’ - ρv ),

kjer je vektor ρv ’ - ρv ≡ uv , vektor, ki kaže iz točke T’ v točko T’’ in je torej veznica teh dveh točk, slika 18. Skalarni produkt gornjega izraza z vektorjem uv je enak,

( vv ’’ - vv ’) uv = ( vω x uv ) uv = 0,

kajti mešani produkt treh vektorjev od katerih sta dva identična je po definiciji enak 0. Leva stran gornjega izraza se sedaj lahko zapiše,

vv ’ uv = vv ’’ uv .

45

Hitrost vv ’ točke T’ in hitrost vv ’’ točke T’’ sta hitrosti zapisanih točk z ozirom na mirujoči

koordinatni sistem povezanem z referenčno ravnino. Če je α kot med vektorjem vv ’ in ωv v ′v ρω vv× T ´ uv = ρρ vv −′ v ,,v ρv ρ′v T ˝ T ,,T

vv vT

v Tr

v,T

rv

Slika 18. Poljubno izbrani pol T in točki T´in T˝ ležijo v preseku togega telesa, ki se ravninsko giblje. Hitrost pola z ozirom na inercialni koordinatni sistem je v . Krajevna vektorja iz pola do točk T´ in T˝sta označena z

Tv

ρv in ρ′v . Skica prikazuje konstrukcijo hitrosti točke T˝, kot vektorsko vsoto izrazov vv ′′v ′′v = ρω ′×+ vvv

Tv . Zaradi jasnosti je v točki T´ prikazan samo vektorski produkt ρω vv × . Seveda velja, da je trenutna kotna hitrost, ωv , pri ravninskem gibanju telesa pravokotna na izbrani presek, vsi ostali vektorji pa s to ravnino sovpadajo.

veznico točk T’T’’, kot β pa označuje kot med hitrostjo vv ’’ točke T’’ in omenjeno veznico uv , tedaj po definiciji skalarnega produkta velja,

v’ cos α = v’’ cos β,

ali projekciji hitrosti poljubnih dveh točk T’ in T’’ na njuno veznico sta enaki. Dobljeni izraz,

vv ’’ - vv ’ = vω x ( ρv ’ - ρv ) = vω x uv ,

je pomemben tudi še zaradi drugačnega vidika. Po definiciji vektorskega produkta namreč velja,

46

v vv v' ' '− = ω u sin 90o = ω u,

pri čemer je u = vu = v vρ ' − ρ , razdalja med točkama T’in T’’. Poslednji izraz omogoča izračunati velikost kotne hitrosti vrtenja točk presečne ravnine (in s tem togega telesa pri ravninskem gibanju) pod pogojem, da sta poznana vektorja hitrosti poljubnih dveh točk preseka in njuna medsebojna odaljenost u, kajti,

ω = v vv v

u' ' '−

.

Ker je, kot je bilo pokazano zgoraj kotna hitrost vω enaka za vse točke preseka je tedaj kvocient

v vv vu

' ' '− = konstanta

konstanten za poljubni dve točki preseka pri ravninskem gibanju togega telesa.

Pol hitrosti pri ravninskem gibanju togega telesa Naj bosta točki T in T1 poljubni točki preseka togega telesa, ki se ravninsko giblje. Z ozirom na poljubni izbrani pol T je hitrost točke T1, (izražena z ozirom na izhodišče inercialnega koordinatnega sistema, vpetega v refrenčni ravnini) podana z,

vv 1 = vv + vω x ρv 1

kjer je vv hitrost (z ozirom na referenčno ravnino) pola T in vρ 1 je krajevni vektor, ki kaže iz pola T do točke T1. V splošnem je hitrost vv pola T od nič različna in podobno velja za hitrost točke T1. Toda upravičeno se zastavlja vprašanja ali je, k dani točki T1, mogoče poiskati takšno posebno točko v ravnini preseka togega telesa, pol T, da je njena trenutna hitrost enaka 0 in če obstaja, kako takšno točko -katere trenutna hitrost je nič- določiti? Točka T za katero v nekem trenutku velja, da je njena hitrost vv =0 se po definiciji imenuje pol hitrosti in se označi z Pv. Pa naj bo sedaj točka T tista katere trenutna hitrost vv =0 in tedaj je T (trenutni) pol hitrosti. Z ozirom na izbrani pol, mora torej veljati,

vv 1 = vω x ρv 1.

Poudariti gre, da sta v tem in samo v tem primeru, ko je za pol izbran prav (trenutni) pol hitrosti, Pv, relativna hitrost točke T1 (= v&ρ 1) z ozirom na izbrani pol hitrosti in hitrost vv 1 (t.j. absolutna hitrost točke) enaki. Če se zgornji izraz vektorsko pomnoži z leve s kotno hitrosjo vω x, takoj neposredno sledi da je krajevni vektor vρ 1 podan z,

47

vρ 1 = -

v vωωx v1

2 ,

tako, da znaša dolžina vektorja ρ 1,

ρ 1 = ω

1v

Toda krajevni vektor - vρ 1 je, po definiciji tedaj vektor, ki kaže iz točke T1 do pola hitrosti, Pv, in je, kot je razvodno iz zgornjega izraza, v splošnem od nič različen vektor. Na takšen način je tedaj lega (trenutnega) pola hitrosti enolično določena. Krajevni vektor - vρ 1 je v vsakem trenutku pravokoten na vektorja kotne hitrosti vω in vv 1 hitrosti izbrane točke T1. Iz dobljenih izrazov je razvidno, da se lega pola hitrosti, Pv, s časom spreminja kajti v splošnem sta velikost kotne hitrost vω in hitrosti vv izbrane točke funkciji časa. Toda vedno velja, da leži pol hitrosti v ravnini preseka togega telesa in se nahaja na razdalji ρ = ρ (t) od izbrane točke na premici, ki je po definiciji vektorskega produkta pravokotna na oba zapisana vektorja, slika 19. Očitno je, da je pol hitrosti v splošnem določen, če je poznana trenutna hitrost vv (z ozirom na nepomični koordinatni sistem v referenčni ravnini) poljubno izbrane točke ter trenutna kotna hitrost vω zasuka vseh točk togega telesa dane presečne ravnine. Toda v primeru, da sta poznani hitrosti dveh poljubno izbranih točk T1 in T2 presečne ravnine, vv 1 11 ρω vvv ×=v T1 v ω T 1ρ

v Pv

vPrv

1Trv

Slika 19. K definiciji pola hitrosti Pv. Trenutna hitrost pola hitrosti, Pv. je nič, zato je (relativna) hitrost točke T1 pri ravninskem gibanju togega telesa, , kar enaka njeni absolutni hitrosti v tem trenutku. Vektor

1vv

1vv zaradi tega dejstva stoji pravokotno na veznico pola hitrosti Pv in točke T1, to je na vektor 1ρ

v .

48

in vv 2, oziroma celo samo smeri vektorjev hitrosti, zaradi zgoraj zapisanega, določa trenutno lego pola hitrosti, Pv, tista točka v ravnini preseka, ki leži na presečišču premic, ki potekajo skozi točki T1 in T2 ter stojita pravokotno na odgovarjajoče vektorje hitrosti vv 1 in vv 2. V primeru, da sta smeri in velikosti vektorjev hitrosti, vv 1 in vv 2, poznani, absolutna vrednost razlike obeh vektorje deljena z medsebojno oddaljenosto izbranih točk, tedaj določa tudi trenutno kotno hitrost zavrtite vseh točk dane presečne ravnine. Z ozirom na pol hitrosti, Pv, se velikost hitrosti obeh točk zapiše kot,

v1 = ω ρ 1

v2 = ω ρ 2

od koder sledi, da mora za poljubno točko presečne ravnine veljati,

v1

1ρ = v2

2ρ = .... = vk

kρ = ω,

kar pomeni, da je razmerje velikosti hitrosti, vk, poljubne točke preseka z njeno oddaljenostjo do pola hitrosti, ρ k, k=1, 2,...., N, za vse točke preseka konstantno in enako (trenutni) vrednosti kotne hitrosti, ω, slika 20. V posebnem primeru ravninskega gibanja togega telesa, ko so (trenutne) hitrosti vseh točk preseka med seboj vzporedne in enake po velikosti je trenutno gibanje telesa opisano s čisto translacijo. Pol hitrosti se v tem primeru nahaja v neskončnosti. V primeru, da sta v1

v T2 T1 2ρ

v 1ρ

v v 2v

Pv 3ρ

v T3 v3

v Slika 20. K določitvi pola hitrosti Pv pri ravninskem gibanju togega telesa, to je točke katere trenutna hitrost vv =0. Z ozirom na pol hitrosti, Pv, vse točke preseka togega telesa krožijo s hitrostmi, ki so enake produktu kotne hitrosti in oddaljenosti od pola hitrosti. Poznavanje vektorjev hitrosti poljubnih dveh točk preseka togega telesa omogoča enolično določitev trenutnega pola hitrosti Pv. Pravokotnica na vektorja hitrosti in 1vv 3vv je označena s črtkano premico.

49

vektorja hitrosti vv 1 in vv 2, točk T1 in T2 nasprotno vzporedni, pri čemer točki ležita na premici, ki je pravokotna na obe hitrosti, tedaj leži pol hitrosti na pravokotni veznici med vektorjema in sicer na razdalji n.pr. ρ 1 od točke T1, za katero velja,

vv

1

2

= ρρ

1

2

= ρρ1

1l − ( = ω),

kjer je z l označena (pravokotna) razdalja med točkama, l = ρ 1 + ρ 2.

Pol pospeška pri ravninskem gibanju togega telesa Pospešek poljubne točke T togega telesa pri ravninskem gibanju izražen s pospeškom poljubno izbranega pola T’, kot je bilo izpeljano zgoraj, je enak izrazu

va T = v&&r T’ + v&ω x vρ - ω2 vρ , pri čemer je v&&r T’ = va T’ pospešek pola T’ z ozirom na referenčno ravnino. Podobno kot pri polu hitrosti, je tudi tokrat umestno vprašanje ali obstaja takšni pol T’, pol pospeška, katerega trenutni pospešek je enak nič. Pa naj bo sedaj, po predpostavki, točka T’ pol pospeška. Tedaj je njen trenutni pospešek enak nič, va T’=0, in zato se pospešek poljubne točke T, z ozirom na izbrani pol pospeška, zapiše kot

va T = v&ω x vρ - ω2 vρ ,

kar pomeni, da je pospešek izbrane točke T, izražen v referenčnem koordinatnem sistemu (absolutni pospešek) enak pospešku točke T z ozirom na izbrani pol T´ (relativni pospešek). To je torej možno tedaj in le tedaj, ko je pospešek pola T enak nič. Na podoben način kot pol hitrosti se izračuna (trenutna) lega pola pospeška, torej

vρ . va T = vρ .( v&ω x vρ - ω2 vρ ) = - ω2 ρ 2,

od koder sledi, da se kot λ, ki ga oklepa pospešek, va T, točke T z vektorjem vρ , izračuna iz izraza,

cos λ = - ω ρ2

aT

,

50

kjer pa je oddaljenost pola pospeška ρ od točke T še neznana. Toda, vektorski produkt gornjega izraza z vektorjem vρ , ob upoštevanju, da vektor vρ in kotni pospešek v&ω , oklepata kot π /2 med seboj,

vρ x va T = vρ x ( v&ω x vρ - ω2 vρ ) = v&ω ρ 2,

podaja izraz, da je oddaljenost pola pospeška od izbrane točke T enaka,

ρ = aT sin&

λω

,

kar je druga enečba z dvema neznankama, ρ in λ. Pot pospeška z ozirom na izbrano točko T pri ravninskem gibanju togega telesa je torej podan z izrazoma,

tg λ = - &ωω

ρ = aT sin&

λω

,

T2 T3 a1 λ ρ3 T1 ρ1 a2 λ λ a3

ρ1 Pa ρ4 λ a4 T4 Slika 21. Z ozirom na trenutni pol pospeška je kot λ, ki ga oklepaj trenutni pospešek točke s premico, ki poteka skozi izbrano točko in pol pospeška, za poljubno izbrano točko pri ravninskem gibanju togega telesa konstanten. Hkrati prav tako tudi velja, da je razmerje pospeška poljubno izbrane točke z njeno oddaljenostjo do pola pospeška za vse točke preseka togega telesa pri ravninskem gibanju konstantna.

51

in je enolično določen s trenutnimi vrednostmi pospeška (absolutnim pospeškom), va T, kotnega pospeška, &ω , in kotne hitrosti, ω , izbrane točke T, pri čemer je λ kot, ki ga oklepata pozitivni smeri vektorja va T in vektor vρ , t. j. vektor, ki kaže iz pola pospeška do izbrane točke T. Iz prvega od poslednjih dveh zapisanih izrazov je razvidno, da kot λ zavisi zgolj od vrednosti kotne hitrosti in kotnega pospeška in je tedaj za vse točke, ki ležijo v dani presečni ravnini, pri ravninskem gibanju togega telesa enak, slika 21. Tedaj sledi, da je tudi razmerje

aT

ρ =

aT1

1ρ = ....... =

aT

N

N

ρ =

&

sinωλ

= konstanta

pospeška točke aT z oddaljenostjoρ T točke do pola pospeška za poljubno točko dane presečne ravnine togega telesa pri ravninskem gibanju konstantno, slika 21. Pol pospeška ima v praksi posebno pomemben pomen. Namreč, iz drugega Newtonovega zakona sledi, da je pospešek točke sorazmeren rezultanti sil, ki na točko deluje kar pomeni, da je rezultanta (zunanjih) sil, ki deluje na pol pospeška enaka nič. Zgledi: 1. y T D B L ϕ A x

Slika 22. Po dveh, med seboj pravokotnih, utorih drsita dva drsnika A in B, ki sta vrtljivo povezana s prečko, kot kaže skica. Če je L razmak med pritrdiščema drsnikov in če je D oddaljenost točke T od drsnika A izračunaj enačbo krivulje, ki jo pri gibanju drsnikov A in B opisuje točka T.

Naj bo kot ϕ kot, ki ga oklepa v trenutku t prečka z vodoravno osjo. V izbranem koordinatnem sistemu se enačba gibanja točke T zapiše,

vr T = vr A + vρ T,

kjer je

vr A = ( -L cos ϕ , 0) vρ = (D cos ϕ , D sin ϕ )

52

tako, da velja,

xT = (D - L) cos ϕ yT = D sin ϕ .

Enačbo krivulje gibanja točke T se dobi, če se iz zgornjih dveh izrazov eliminira parameter ϕ . Tedaj je enačbe krivulje podana z odvisnostjo,

xD L

yD

T T2

2

2

2 1( )−

+ = ,

ki je enačba elipse s polosema (D-L) in D s središčem v koordintnem ishodišču. Iz zapisanega sledi, da točka T, pri poljubnem gibanju drsnikov A in B, opisuje elipso, zato se opisana naprava imenuje elipsograf. S spreminjanjem razdalj L in D se dobi družino elips s središčem v koordinatnem izhodišču. 2. Za zgornji elipsograf velja, da je v nekem trenutku hitrost drsnika A usmerjena vzdolž pozitivne smeri osi x in enaka vA, glej skico. Izračunaj smer in velikost hitrosti drsnika B v tem trenutku (slika 23). Po teoremu o projekcijah hitrosti velja, da sta projekciji hitrosti poljubnih dve točk na njuno veznico enaki. Torej mora veljati,

vA cos ϕ = vB cos (π /2 - ϕ ),

kar pomeni, da je hitrost drsnika B usmerjena v pozitivno smer osi y. Zgornji izraz se zato poenostavi v

vB = vA ctg ϕ .

53

3. Naj bosta v nekem trenutku smeri in velikosti hitrosti drsnikov elipsografa poznani in enaki vA ter vB, kot kaže slika 23. Izračunaj trenutno hitrost točke T ter trenutno vrednost kotne hitrosti ω prečke. T vB Pv B ϕ A vA x

Slika 23.

Po definiciji pola hitrosti Pv, ravninskega gibanja prečke se pol hitrosti nahaja na presečišču pravokotnic na smer vektorjev trenutne hitrosti drsnikov A in B. Iz skice je razvidno, da sta koordinati pola hitrosti tedaj podani z: xP = -L cosϕ in yP = L sin ϕ . Od tod tedaj sledi,

ω = vL

A

sinϕ = v

LB

cosϕ.

Hitrost točke T, vT, se izrazi s pomočjo pola hitrosti pri čemer je potrebno še izračunati razdaljo d, t.j. oddaljenost točke T do pola hitrosti Pv. Le-ta v tem primeru znaša,

d2 = (D cos ϕ )2 + [(D - L) sin ϕ ]2,

od koder takoj sledi željeni odgovor, ki je:

vT = ω d = vL

A

sinϕ [ ]( cos ) ( ) sinD D Lϕ ϕ2 2+ −

vT = v DL

ctg DLA ϕ

+ −

2 2

1

54

4. T T β R γ ρω vvv ×=,

Tv C vvC ϕ D

Izračunaj hitrost točke T na obodu valja polmera R, ki se kotali premočrtno brez podrsavanja. V danem trenutku znaša hitrost težišča C valja vC, veznica DT točke T pa oklepa kot ϕ z navpičnico, ki poteka skozi težišče, slika 24.

Za pol je umestno izbrati težišče C, kajti hitrost težišča, vC, je znana tako po smeri kot po velikosti. Z ozirom na izhodišče koordinatnega sistema v dotikališču, točka D, velja,

vr T = vr C + vρ

vv T = vv C + vω x vρ ,

kjer je ρ =R. Vektorski produkt vω x vρ je usmerjen vzdolž tangente na krožnico valja in zato hitrost točke T, vv T, na obodu krožnice oklepa kot γ z vodoravnico, t.j. z vektorjem vv C, glej sliko 24. Trenutno kotno hitrost vrtenja, ω, se izračuna iz zahteve, da točka D miruje torej,

vv D = 0 = vv C + vω x vρ D,

tako, da velja,

vv C = - vω x vρ D = vρ D x vω vC = ρ D ω = R ω.

Od tod je razvidno, da v vsakem trenutku velja, da je hitrost težišča valja vedno (če ni podrsavanja) enaka velikosti obodne hitrosti točke T pri vrtenju točke T okoli težišča, zato je paralelogram hitrosti iz točke T kar romb. Zaradi zapisanega sta kota med vektorjema vv T in vv C ter med vv T in vω x ρ med seboj enaka in označena s simbolom γ. Toda trikotnik DCT je enakostranični trikotnik zato velja, da je 2ϕ = β, skica 22. Podaljšek veznice CT oklepa kot (π /2 - β) s smerjo hitrosti vv C v točki T, zato velja (π /2 - β) + 2 γ = π /2, slika 24, od koder sledi, da je γ = ϕ . Sedaj je,

cos ϕ = vvT

C2,

od koder je takoj moč izraziti končni rezultat, da je hitrost točke T na obodu valja enaka,

55

vT = 2 vC cos ϕ .

b) Isti nalogo se neprimerno enostavneje reši z uporabo pojma pola hitrosti. Ker po predpostavki valj ne podrsava je trenutna hitrost vseh točk, ki ležijo na tvornici valja, ki poteka skozi pol D enaka nič. Pol D je torej pol hitrosti in zaradi tega dejstva mora veljati, da leži hitrost vT pola T pravokotno na veznico DT, slika 24. Zaradi tega mora veljati,

vRC = v

LT ,

kjer je L je dolžina veznice DT, ki znaša, L = 2R cos ϕ , od koder takoj sledi končni rezultat,

vT = 2vC cos ϕ .

Kaj enostavno je uvideti, da je hitrost točke T’, ki se nahaja na obodu krožnice in leži na premici, ki poteka skozi točki DC enaka dvakratni hitrosti težišča, vT’ = 2 vC. 5. Škripčevje sestoji iz sistema treh škripcev od katerih sta dva nepomična in enaka, slika 23. Kolikšna je hitrost težišča gibljivega škripca polmera R ter kotna hitrost vrtenja ω, če se giblje desna utež A s hitrostjo vA v navpični smeri navzgor, leva utež B pa z hitrostjo vB navpično navzdol, pri čemer velja vA < vB. Iz enačbe

ω = v vv v

ABA B−

= v v

RA B+2

takoj sledi kotna hitrost vrtenja, ω, gibljivega škripca. S ponovno uporabo gornjega izraza,

ω = v vv v

RB C−

= v v

RB C−

,

takoj neposredno sledi iskani razultat,

56

vC vA R vB B A Slika 25. K izračunu hitrosti masnega središča Cvv škripca polmera R. vB vC Pv R vA Slika 26. K rešitvi problema 5. Obodni hitrosti vA in vB sta nasprotno vzporedni in presečišče njune veznice s pravokotnico nanju (dolžine 2R) določa lego pola hitrosti, PV.

vC = vB - R ω = v vB A−

2.

Tezišče gibljivega škripca se torej dviguje s polovično razliko hitrosti potovanja obeh bremen.

57

B. Opis splošnega gibanja togega telesa Po Chasle-jevem teoremu je splošno gibanje togega telesa sestavljeno iz translacije in zavrtitve okoli dane, trenutne, osi vrtenja. Ob tem je pomembno spoznanje, da velikost in smer vektorja trenutne kotne hitrosti vrtenja, vω , ne zavisi od izbire pola in je tedaj za vse točke togega telesa enaka. Zapisana trditev se dokaže na naslednji način. Pa naj bosta, po predpostavki, trenutni kotni hitrosti polov A in B togega telesa, slika 27, med seboj različni, torej vω A ≠ vω B. Naj bo vρ krajevni vektor iz izbranega pola A do poljubne točke T in vρ ’ krajevni vektor iz pola B do T. Iz slike 27 je razvidno, da se tedaj lahko zapiše, Bωv Aωv B ρ′v

v ζ T

v A ρ Arv Brv Tr

v O Slika 27. Togo telo se vrti okoli trenutne osi vrtenja. Trenutna kotna hitrost, vω A je kotna hitrost vrtenja pola B z ozirom na poljubno izbrani pol A in narobe, vω B označuje trenutno kotno hitrost vrtenja pola B z ozirom na pol A.

vr T = vr A + vρ v v vr T = r B + ρ ’,

pri čemer velja, vρ ≠ vρ ’. Izraza za hitrost pola T se zapišeta v obliki,

vv T = vv A + vω A x vρ v v v vv T = v B + ω B x ρ ’.

58

Toda, naj bo vektor vς vektor, ki kaže iz pola A do pola B. Ker je telo togo, je velikost vektorja vς konstantna, spreminja se le njegova smer. Seveda velja vr B= vr A+ vς , pri čemer je zaradi prvih dveh enačb, vς = vρ - vρ ’, zato od tod neposredno sledi,

vv B = vv A + v&ς = vv A + vω A x vς .

Če se iz zgornjih dveh izrazov eliminira hitrost točke T, t.j. vv T, ter za hitrost pola B uporabi pravkar izpeljano enačbo za vv B, tedaj sledi,

vv A + vω A x vρ = vv A + vω A x vς + vω B x vρ ’.

Z uporabo definicije vektorja vς se dobljeni izraz poenostavi v,

0 = - vω A x vρ ’ + vω B x vρ ’,

ali po preureditvi,

( vω B - vω A) x vρ ’ = 0

Če se sedaj upošteva dejstvo, da sta pola A in B popolnoma poljubno izbrani točki togega telesa tedaj vektorja ( vω B - vω A) ter vρ ’ v splošnem nista med seboj vzporedna odkoder zato enolično sledi,

vω A = vω B ωv≡

ali vektor (t.j. smer in velikost) trenutne kotne hitrosti, vω , je za vse točke (na površini in v notranjosti togega telesa) enak. Od tod izhaja, da mora tedaj prav tako veljati, da je kotni pospešek, ω&v , v vsakem trenutku enak za vse točke togega telesa.

59

5. LINEARNE TRANSFORMACIJE

V 4. poglavju je bilo povedano, da je največje število neodvisnih koordinat (prostostnih stopenj), ki enolično definirajo lego togega telesa (t.j. položaj in orientacijo v prostoru) enako 6. Običajno se s tremi koordinatami poda lego težišča, preostale tri koordinate pa služijo za popis orientacije togega telesa. Za določitev orientacije togega telesa se je v splošnem mogoče poslužiti vrste med seboj različnih popisov. V tem poglavju bo orientacija togega telesa enolično določena z lego koordinatnih osi, s togim telesom trdno povezanega kartezičnega koordinatnega sistema. Iz zapisanega sledi, da koordinatni sistem z ozirom na telo miruje in je definiran tako, da izhodišče sovpada s težiščem togega telesa. Orientacija telesa je tedaj določena s koti, ki jih osi telesnega sistema oklepajo s prostorskim kartezičnim koordinatnim sistemom, katerega izhodišče prav tako sovpada s težiščem togega telesa. Ob tej definiciji je pomembno ugotoviti, da se orientacija osi prostorskega kartezičnega koordinatnega sistema ne spreminja in je torej konstantna s časom zato je trenutna orientacija togega telesa enolično določena s koti, ki jih posamezne osi telesnega sistema oklepajo z osmi prostorskega koordinatnega sistema tako, kot to prikazuje slika 5.1. Z z’ i ′

v C Y

ϕ3 x’ ϕ2 j ′

v

ϕ1 y’ z X x y Slika 5.1. V težišču togega telesa, C, je izhodišče kartezičnega koordinatnega sistema, X, Y, Z, katerega orientacija osi je od časa neodvisna in je po definiciji vzporedna osem x, y, z prostorskega (absolutnega) inercialnega sistema. Telesni kartezični koordinatni sistem, x’, y’ in z’, prav tako izbran z izhodiščem v težišču, je s togim telesom trdno povezan. Tedaj očitno velja, da je orientacija togega telesa v vsakem trenutku enolično podana z orientacijo osi telesnega sistema glede na prostorski kartezični koordinatni sistem X, Y, Z.

60

Najpreprostejši način, ki določa orientacijo telesnega koordinatnega sistema z ozirom na prostorski koordinatni sistem podajajo koti, ki jih oklepajo posamezne osi telesnega sistema z X, Y in Z osmi prostorskega koordinatnega sistema. Naj bo trenutna orientacija osi x’, y’ in z’ določena z enotnimi vektorji

v ) )vi ’, ’ in j k ’ pri čemer enotni vektor i ’ oklepa kote ϕ 1, ϕ 2 in ϕ 3 z enotnimi vektorji

)i ,

in vj

)k . Slednji enotni vektorji določajo smeri prostorskega koordinatnega sistema.

Podobno naj velja, da je orientacija vj ’ enotnega vektorja telesnega sistema podana s

trojico kotov, θ i, i=1, 2, 3, ki jih le-ta oklepa z osmi prostorskega sistema, orientacija enotnega vektorja

)k ’ pa s koti ψ j, j = 1, 2, 3.

Vsak vektor je mogoče na enolični način zapisati kot linearno kombinacijo njegovih pravokotnih komponent, zato velja, )i ’ = (

)i ’)x

)i + (

)i ’)y + (

vj

)i ’)z

)k

) ) v ) = (

)i ’

)i ) i + ( i ’ ) + (j

vj

)i ’ k )

)k .

Slednji izraz je mogoče zapisati v poenostavljeni obliki, če se definira smerne kosinuse s pomočjo naslednjih izrazov, α 1 =

)i ’

)i β 1 = ’

vj

)i γ 1 =

)k ’

)i

) v v v ) vα 2 = i ’ j β 2 = ’ j j γ 2 = k ’ j

) ) v ) ) )α 3 = i ’ k β 3 = ’ j k γ 3 = k ’ k tako, da je )i ’ = α 1

)i + α 2 +

vj α 3

)k .

Na analogen način je mogoče pokazati pravilnost tudi preostalih dveh zapisov, vj ’ = β 1

)i + β 2 +

vj β 3

)k

) ) v )k ’ = γ 1 i + γ 2 + j γ 3 k . Iz poslednjih treh izrazov je moč razbrati, da je orientacija telesnega sistema z ozirom na prostorski koordinatni sistem določena z 9 smernimi kosinusi α i, β i in γ i, kjer je i=1, 2, 3. Seveda pa je mogoča tudi obratna izražava, t.j. zapis enotnih vektorjev

)i ,

vj in

)k

prostorskega sistema vzdolž osi telesnega sistema določenega z enotnimi vektorji )i ’,

vj ’

ter )k ’. V tem primeru se dobi,

)i = (

)i )i ’)

)i ’ + (

)i ’) ’ + (vj

vj

)i )k ’)

)k ’ =

) v = α 1 i ’ + β 1 j ’ + γ 1

)k ’

in podobna izraza za enotna vektorja

vj ter

)k . Očitno se torej izražajo enotni vektorji, ki

določajo orientacijo prostorskega kartezičnega koordinatnega sistema glede na telesni kartezični koordinatni sistem z isto množico 9. smernih kosinusov, kot zgoraj.

61

Naj bo krajevni vektor iz težišča togega telesa do poljubne točke T togega telesa podan z vektorjem vr v prostorskem in z vektorjem vr ’ v telesnem kartezičnem koordinatnem sistemu. Ob upoštevanju dejstva, da sta izbrani izhodišči obeh koordinatnih sistemov v težišču togega telesa, mora očitno veljati, vr ≡ vr ’ in zato, | vr | = | vr ’ | = r, kjer je vr = (X, Y, Z) ter vr ’ = (x’, y’, z’) oziroma, vr = X

)i + Y + Z

vj

)k = x’

)i ’ + y’

vj ’ + z’

)k .

Z upoštevanjem zgoraj izpeljanih izrazov za

)i ’,

vj ’ ter

)k ’, se iz primerjave poslednjih

dveh strani enačbe izpelje, x’ = X α 1 + Y α 2 + Z α 3 ≡ vr ⋅ )i ’

v vy’ = X β 1 + Y β 2 + Z β 3 ≡ r ⋅ j ’

v )z’ = X γ 1 + Y γ 2 + Z γ 3 ≡ r ⋅ k ’, povezava med komponentami krajevnega vektorja, vr ’, do poljubne točke T togega telesa izraženega v telesnem sistemu s komponentami krajevnega vektorja vr prostorskega sistema, ki kaže iz težišča do izbrane točke togega telesa T. Očitno velja, da se vsaka od komponent vektorja vr ’ izraža kot linearna kombinacija vseh treh komponent krajevnega vektorja točke T v prostorskem koordinatnem sistemu, pri čemer imajo smerni kosinusi pomen koeficientov linearne kombinacije. Zapisane izraze je z matematičnega vidika ugodno zapisati v splošni obliki. V ta namen se naj krajevni vektor vr točke T definira kot vektor vr ≡

vX , kjer se komponente prevede v

bolj simetrično obliko, X → x1 Y → x2 Z → x3, tako, da se (preimenovana) krajevna vektorja

vX in

vX ’ lahko zapišeta v poenoteni obliki

kot,

vX =

xxx

1

2

3

vX ’ =

xxx

1

2

3

'''

Z definicijo transformacijske matrice Â, kjer je

62

 = ≡ , α α αβ β βγ γ γ

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a aa a aa a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

je mogoče zgornje transformacijske izraze zapisati v zgoščeni (posplošeni) obliki kot, vX ’ = Â

vX .

Ob tem dejstvu velja poudariti, da produkt dveh matric ni komutativen, zato je v splošnem Â

vX ≠

vX Â.

Kakšnim pogojem morajo zadoščati koeficienti transformacijske matrice Â, t.j. ai,j, (ki so očitno smerni kosinusi) kjer je i, j = 1, 2, 3? V ta namen je potrebno upoštevati dejstvo, da mora veljati, v

′X = vX ,

kar je identično enako,

xii

'21

3

=∑ = ∑ . x j

j

2

1

3

=

Kot je razvidno zgoraj so komponente krajevnega vektorja v telesnem sistemu povezane s komponentami krajevnega vekorja do točke T prostorskega kartezičnega koordinatnega sistema na naslednji način,

xi’ = i = 1, 2, 3, a xij jj=∑

1

3

zato se gornja identiteta glasi,

a x a xij jji

ik kk== =

∑∑ ∑

1

3

1

3

1

3

= = a a x xij ik j kj ki , ==∑∑

1

3

1

3

= ≡ ∑ . a a x xij ikij k

i k==∑∑

1

3

1

3

,xi

i

2

1

3

=

Toda slednjemu izrazu je možno v splošnem zadostiti samo in le tedaj, če velja,

a aij iki=∑

1

3

= . 10

j kj k

=≠

Če se vpelje Kröneckerjev delta simbol δ ij, kjer je

63

δ ij = 10

j kj k

=≠

se gornji izraz v zgoščeni zapisavi glasi,

a aij iki=∑

1

3

= kj ,δ j, k = 1, 2, 3.

Prav zaradi te lastnosti, ki jim morajo v popolnoma splošnem primeru zadoščati elementi transformacijske matrike  (toda samo v zgornjem primeru so le-ti kar smerni kosinusi, ki jih osi telesnega sistema oklepajo z osmi prostorskega kartezičnega koordinatnega sistema) se imenuje linearna transformacija, vX ’ = Â

vX ,

ortogonalna transformacija,  je transformacijska matrika, izrazi aik, (i, k = 1, 2, 3), pa matrični elementi transformacije. V zgornjem primeru, ko so matrični elementi transformacije kar enaki smernim kosinusom, gornjo vsoto produktov na levi strani enačbe podaja izraz, α j α k + β j β k + γ j γ k = δ jk , j, k = 1, 2, 3. Smerni kosinusi potemtakem zadoščajo 6. enačbam od katerih so tri nehomogene (tedaj, ko je j=k). To pomeni, da smerni kosinusi (devet po številu) med seboj niso linearno neodvisni in zato jih v splošnem ni mogoče uporabiti kot posplošene, neodvisne, koordinate za določitev orientacije togega telesa. Seveda, kot je razvidno zgoraj pa je transformacijska matrika  z njimi enolično določena.

64

Zgled: Kako se zapiše transformacijska matrika  v primeru transformacije koordinat krajevnega vektorja vr podanega v ravninskem kartezičnem koordinatnem sistemu x1, x2, na telesni kartezični koordinatni sistem x1’, x2’, če pozitivni smeri osi x1 in x1’ oklepata med seboj kot φ, slika 5.2. x2’ x2 φ x2´ x1’ φ vr φ x1 x1 Slika 5.2. Transformacija komponent krajevnega vektorja vr na ravninski (od časa neodvisne orientacije osi) kartezični koordinatni sistem x1, x2 in telesni sistem x1’ ter x2’. Iz slike 5.2 je razvidno, da se projekciji krajevnega vektorja vr na koordinatne osi sistema x1’, x2’ izražata v obliki, x1’ = x1 cos φ + x2 sin φ x2’ = - x1 sin φ + x2 cos φ od koder je razvidno, da so elementi transformacijske matrice  enaki, a11 = cos φ a12 = sin φ a21 = -sin φ a22 = cos φ tako, da se  zapiše kot,

 = . cos sinsin cosφ φφ φ−

Linearna transformacija med koordinatnima sistemoma je tedaj enolično podana z izrazom,

65

vX ’ = Â

vX ,

kjer sta krajevna vektorja v ravnini, vX ’ in

vX , definirana kot,

vX =

xx

1

2

vX ’ = .

xx

1

2

''

v kar se je kaj lahko prepričati z neposrednim množenjem. Pogoj ortogonalnosti koeficientov transformacijske matrice se tedaj zapiše, a11 a11 + a21 a21 = 1 a12 a12 + a22 a22 = 1 a11 a12 + a21 a22 = 0. Če se za koeficiente transformacijske matrice, aij, vstavi njihove ustrezne vrednosti, zapisani pogoji ortogonalnosti izražajo dobro znane odnose med trigonometrijskimi funkcijami in sicer, cos2 φ + sin2 φ = 1 sin2 φ + cos2 φ = 1 cos φ sin φ - sin φ cos φ = 0. 5.1 Formalne lastnosti transformacijske matrice Krajevni vektor do poljubne točke T togega telesa,

vX , zapisan v danem kartezičnem

koordinatnem sistemu se v novem, zavrtenem koordinatnem sistemu, v zapiše kot X ′ . Velja poudariti, da izhodišči obeh kartezičnih koordinatnih sistemov sovpadata tako, da se slednja sistema razlikujeta le po orientaciji koordinatnih osi. Krajevni vektor X ′

v se v novem (torej zavrtenem z ozirom na prvotni sistem) zapiše s

pomočjo linearne transformacije, vX ’ = Â

vX ,

kjer je matrica  transformacijska matrica. Elementi matrice Â, t. j. aij, zadoščajo pogojem,

a aij iki=∑

1

3

= δ jk j, k = 1, 2, 3,

in zato je transformacijska matrica  ortogonalna matrica in transformacija se imenuje ortogonalna transformacija.

66

Zgoraj je bila transformacijska matrice  definirana kot ortogonalna matrica, kar pa je potrebno posebej dokazati. V ta namen je ugodno izhajati iz, na poseben način tvorjenih, zaporednih transformacij koordinatnega sistema, kot je to izvedeno v nadaljevanju. Opozoriti velja, da je bilo do sedaj osvojeno stališče, po katerem je bil dani krajevni vektor vX zapisan v dveh različnih koordinatnih sistemih katerih koordinatni izhodišči sovpadata.

Linearna transformacija vX ’ = Â

vX ,

prevede vektor

vX , kot je podan v prvem sistemu, v vektor

vX ’ zapisan v drugem sistemu,

ki je z ozirom na prvotni sistem zavrten, saj je po Eulerjevemu teoremu splošno gibanje telesa, ki ima eno točko negibljivo (le-ta pa je koordinatno izhodišče) podano z zavrtitvijo okoli neke dane rotacijske osi. Orientacijo osi zavrtenega (kartezičnega) koordinatnega sistema podaja sistem devetih kotov. Kosinusi teh kotov (ne pa koti sami) tvorijo elemente transformacijske matrice Â, pri čemer so zaradi pogoja ortogonalnosti elementov

a aij iki=∑

1

3

= δ jk j, k = 1, 2, 3,

samo trije (9 - 6 povezovalnih enačb med njimi = 3) smerni kosinusi, in zato tudi koti, med seboj neodvisni. Na linearno transformacijo,

vX ’= Â

vX , je možno zaradi tega gledati tudi

drugače in sicer jo je mogoče interpretirati kot izraz kjer matrica  zavrti (transformira) dani koordinatni sistem v novo orientacijo v kateri se prvotni vektor

vX zapiše kot vektor v

X ’, ki se od prvotnega razlikuje samo v njegovih komponentah. To pomeni, da dani vektor

vX ves čas ohrani svojo smer in svojo velikost v prostoru le njegove komponente se

v zavrtenem koordinatnem sistemu zapišejo drugače. Prav zavrtitev prvotnega koordinatnega sistema pa podaja transformacijska matrica Â. Na osnovi zapisanega vidika si je sedaj kaj lahko ogledati nekatere posebne primere zavrtitev (prvotnega) koordinatnega sistema. I) Dve zaporedni zavrtitvi koordinatnega sistema. Naj transformacijska matrica Â1 (elementi so aij

(1)) prevede prvotni koordinatni sistem (x, y, z) v novo lego (x’, y’, z’), s transformacijsko matrico Â2 (katere elementi so aij

(2)) pa se nato le-ta prevede v končno orientacijo (x”, y”, z”). Naj bo matrica  tista, ki neposredno prevede začetni koordinatni sistem (x, y, z) v končno orientacijo (x”, y”, z”). Tedaj očitno velja, vX ’ = Â1

vX v v

X ’’ = Â2 X ’. Toda veljati mora tudi vX ’’ = Â

vX ,

zato sledi, da je vX ’’ = Â

vX = Â2( Â1

vX ) = (Â2 Â1)

vX

67

kar pomeni, da je ( Â - Â2 Â1)

vX = 0. v

Vektor X je od nič različen, zato mora veljati, ( Â - Â2 Â1) = 0 oziroma, Â = Â2 Â1, ki se v komponentni obliki glasi,

aij = a aik kjk

( ) (1)2

1

3

=∑ .

Dobljeni rezultat ima naslednji pomen: dve zaporedni zavrtitvi koordinatnega sistema podani najprej z zavrtitvijo Â1, ki ji nato sledi še zavrtitev Â2, sta ekvivalentni eni sami rotaciji Â, ki se dobi s produktom z leve strani obeh zaporednih zavrtitev, t. j.  = Â2 Â1. Ob tem velja ponovno poudariti, da je produkt dveh matric nekomutativen in zato Â2 Â1 ≠ Â1 Â2. II) Zavrtitvi koordinatnega sistema si naj sledita v naslednjem zaporedju: s transformacijsko matriko  se prvotni sistem zavrti okoli neke osi v dano orientacijo, z transformacijsko matrico, ki se jo označi z Â-1, pa se tako dobljeni novi sistem vrne v izhodiščno orientacijo. V tem primeru velja naslednje, vX ’ = Â

vX ,

toda po zavrtitvi v prvotno orientacijo je vX = Â-1 vX ’.

Iz dobljenih izrazov neposredno sledi, vX ’ = Â Â-1

vX ’

kar pomeni, da mora veljati, Â Â-1 =I1 kjer je enotna matrica I1 definirana kot diagonalna matrica oblike,

68

1I = . 1 0 00 1 00 0 1

Seveda je mogoče opraviti opisani zavrtitvi danega koordinatnega sistema tudi v obratnem vrstnem redu, t.j. najprej za delež kot ga popisuje transformacijska matrica Â-1, nato pa se z matrico  zavrti dobljeni novi sistem nazaj v izhodiščno lego. Analogno kot zgoraj se z lahkoto dokaže, da mora v tem primeru veljati, Â-1  = I1 kar pa pomeni, da je matrica Â-1 inverzna matrica transformacijske matrice Â. ^e se elemente matrice  označi z [ ]aij , elemente matrice Â-1 pa s simbolom [ , tedaj poslednja dva izpeljana izraza ustrezata pogojem, kjer je

]aij '

a aki iji

'=∑

1

3

= δ kj.

Če se enačbo pomnoži z elementi akl in sešteje po indeksu k je,

a a akl kiki

ij∑∑

' = ' = aδ li ij

ia∑ lj’,

kar pa se lahko izračuna tudi v drugačnem vrstnem redu,

a a aki ijik

kl'∑∑

= ∑ = aδ kj kl

ka jl.

Očitno mora torej veljati, alj’ = ajl, kar pomeni, da transformacijsko matriko Â-1 sestavljajo elementi matrice Â, ki se jih dobi tako, da se matriko  transponira okoli glavne diagonale, kar se, po običaju, označi s simbolom Ă. Izpeljani rezultat pomeni, da je transformacijska matrica  ortogonalna matrica saj velja, da je inverzna matrica k matriki  kar enaka transponirani matriki  sami, ali Â-1 = A~ . Če se obe strani enačbe pomnoži z matrico Â, se izpeljani izraz v ekvivalentni obliki glasi, Ă A~  =  A~ Ă =I

69

Vrednost determinante transformacijske matrike Â, ki je ortogonalna matrika, se sedaj lahko izračuna neposredno, kajti, det Â-1 = det A~ Ă ≡ det Â, kajti operacija transponiranja elementov matrike na vrednost determinante ne vpliva, zato je, (det A~ ) (det Â) = 1

)[ ]det A 2 = 1 in od tod je vrednost determinante ortogonalne transformacijske matrice  enaka, det  = ± 1. Dobljene rezultate linearne transformacije, ki veljajo za poljubni krajevni vektor

vX , je

pa mogoče posplošiti na katerikoli poljubni drugi vektor v

U (n. pr. gibalne količine telesa v

G , vrtilne količine telesa v

, navora Γv

M , sile vF in podobno).

Velja torej, da se pri zavrtitvi koordinatnega sistema iz prvotne lege v novo orientacijo, ki jo podaja transformacijska matrica Â, prvotni vektor

vU zapiše v novem sistemu kot

vektor v

U ’, ki je s prvotnim vektorjem povezan z linearno transformacijo, v

U ’ = Â U . v

Pogosto pa nastopi primer, ko se z delovanjem ustreznega (matematičnega) operatorja

)O ,

prevede dani vektor v

U v neki nov vektor v

V , torej, v

V = )O .

vU

Primer tovrstne transformacije ilustrira n. pr. povezava med kotno hitrostjo, vω , togega telesa in pripadajočo vrtilno količino (podrobneje o tem v poglavju 7.),

v, Γ

vΓ = J vω , kjer je J tenzor vztrajnostnega momenta togega telesa, ki se v kartezičnem, s togim telesom trdno povezanim (t.j. telesnim), koordinatnem sistemu zapiše v obliki 3 x 3 simetrične matrike. Očitno je operator

)O v tem primeru kar enak tenzorju J. Podobne

povezave obstajajo n. pr. med električno poljsko jakostjo in električno poljsko gostoto v anizotropni snovi,

vD = ε εo E

v, nadalje med magnetnimi količinami kot sta magnetna

poljska jakost in magnetna poljska gostota, vB = µ µo H

v, itd., kjer sta ε in µ tenzorja

dielektrične konstante, oziroma magnetne permeabilnosti, telesa in podobno. Pod vplivom linearne transformacije vektorjev, pri čemer je transformacija podana z dano matriko Â, se mora tedaj, poleg vektorja

vU tudi operator

)O na nek način

transformirati. V ta namen je potrebno zapisano transformacijo med vektorji nekoliko preurediti,

70

v

V = )O .

vU

Obe strani enačbe se pomnoži z matriko Â, tako da, ÂV = Â v )

O , v

U toda ker velja Â-1 Â = I, je dobljeni izraz enak, ÂV = Â v )

OIU = Âv )

O Â-1 ÂU . v

Toda zaradi veljavnosti transformacij, v

Vv

’ = Â V v

vU ’ = Â U se gornji izraz poenostavi v, v

V ’ = Â )O Â-1

vU ’,

ki pa je zahtevane oblike, v

V ’ = )O ’ U ’.

v

pri čemer je operator

)O ’ zapisan v novem, zavrtenem koordinatnem sistemu, ki je s

prvotnim operatorjem )O povezan z linearno transformacijo,

)O ’ = Â

)O Â-1.

Dobljeni rezultat je iskana transformacija pri zavrtitvi koordinatnega sistema za primer transformacije operatorja

)O . Zapisana transformacija se imenuje podobnostna

transformacija, ki poseduje značilno lastnost. Če se dobljeno enačbo pomnoži z desne strani z transformacijsko matrico Â, je tedaj, )O ’ = Â

)O Â-1

)O ’ Â = Â

)O

in od tod je neposredno razvidno, da je det

)O ’ det  = det  det

)O .

Toda, ker je vrednost determinante matrice  enaka, det  = ± 1 sledi končni rezultat namreč,

71

det )O ’ = det

)O .

V primeru podobnostne transformacije je vrednost determinante prvotnega operatorja enaka vrednosti determinante transformiranega operatorja, kar pomeni, da je determinanta pri podobnostni transformaciji invarianta. 5.2 Euler-jevi koti V zgornjem razdelku je bilo poudarjeno, da je za orientacijo togega telesa potrebno navesti tri, med seboj neodvisne, koordinate. V ta namen se uporablja številne opise, v najširši uporabi pa je popis, kjer je orientacija togega telesa enolično določena s tremi neodvisnimi parametri, t. im. Eulerjevimi koti, φ, θ in ψ. Le-ti so definirani z zaporednimi zavrtitvami danega kartezičnega koordinatnega sistema okoli točno določenih rotacijskih osi kot kažejo slika 5.3, slika 5.4 in slika 5.5. 1) Eulerjev kot φ je določen z zavrtitvijo x, y, z, osi prvotnega koordinatnega sistema okoli prvotne osi z, slika 5.3. Tako definirana zavrtitev prevede,

x, y, z, sistem ⇒ ξ, η, ζ sistem, z ≡ ζ

kjer je φ kot, ki ga oklepata osi x ter os ξ zavrtenega koordinatnega sistema, slika 5.3. z ζ y x Φ ξ Slika 5.3. K definiciji Eulerjevega kota φ. Rotacijska os je z os prvotnega koordinatnega sistema, ki sovpada z ζ osjo zavrtenega sistema. 2) Eulerjev kot θ je določen z zavrtitvijo ξ, η, ζ osi prvotnega koordinatnega sistema okoli prvotne osi ξ, slika 5.4. Tako definirana zavrtitev prevede,

ξ, η, ζ sistem ⇒ ξ’, η;, ζ’ sistem, ξ ≡ ξ’

y ⇒ η’ kjer je θ kot, ki ga oklepata osi z ter os ξ’ zavrtenega koordinatnega sistema, slika 5.4.

72

z ζ ζ’ θ η’ y x ξ φ Slika 5.4. K definiciji Eulerjevega kota θ. Rotacijska os je ξ os prvotnega koordinatnega sistema, ki sovpada z ξ’ osjo zavrtenega sistema. 3) Eulerjev kot ψ je določen z zavrtitvijo ξ’, η’, ζ’ osi prvotnega koordinatnega sistema okoli prvotne osi ζ’ = z’, slika 5.5. Tako definirana zavrtitev prevede,

ξ’, η’, ζ’ sistem ⇒ x’, y’, z’ sistem, ζ’ ≡ z’

kjer je ψ kot, ki ga oklepata osi ξ’ ter os x’ zavrtenega koordinatnega sistema, slika 5.5. z z’ = ζ’ θ y’ η’ y Φ ψ x’ x Slika 5.5. K definiciji Eulerjevega kota ψ. Rotacijska os je ξ’ os prvotnega koordinatnega sistema, ki sovpada z z’ osjo zavrtenega sistema.

73

Transformacijska matrica Â, izražena z Eulerjevimi koti φ, θ, ψ, ki prevede prvotni sistem x, y in z v končno orientacijo podano s koordinatnimi osmi kartezičnega koordinatnega sistema x’, y’ in z’, je unitarna matrica katere determinanta je enaka, det  = ± 1. Transformacija poljubnega vektorja

vU je lenearna transformacija,

v

U ’ = Â U . v

Za unitarno transformacijsko matrico Â, katere elementi so funkcije Eulerjevih kotov, je mogoče pokazati, da ima naslednjo obliko,

 = . cos cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin sinsin cos cos sin cos sin sin cos cos cos cos sin

sin sin sin cos cos

ψ φ θ θ ψ ψ φ θ φ ψ ψ θψ φ θ φ ψ ψ φ θ φ ψ ψ θ

θ φ θ φ θ

− +− − − +

−

Če je poljuben vektor U ’ podan v novem sistemu, tedaj je vektor U prvotnega sistema mogoče izraziti z inverzno transformacijo, ki se dobi, če se gornji izraz z leve strani enačbe pomnoži z inverzno transformacijsko matriko Â

v v

-1, v

U ’ = Â U / Âv -1

Â-1 U ’ = Âv -1 Â

vU = U

v

in je potemtakem vektor U prvotnega sistema podan z enačbo,

v

v

U = Â-1 U ’. v

Seveda je inverzna matrika Â-1 ortogonalne matrike  enaka njeni transponirani vrednosti, saj velja, Â-1 = A~ .

74

6. DINAMIKA

1. Splošni zakoni dinamike masne točke 1.1 Newtonovi zakoni Dinamika je področje mehanike, ki proučuje gibanje teles pod vplivom sil, ki delujejo nanje. Osnovna spoznanja, ki povezujejo gibanje masne točke (t.j. točkastega telesa mase m) z vsemi silami, ki nanjo delujejo, podajajo trije Newtonovi zakoni in sicer:

I. če je rezultanta vseh sil enaka nič, vF = 0, pri čemer je

vF =

vFi∑ in

vF i je i-ta sila, ki

deluje na masno točko, se tedaj nahaja masna točka v ravnovesju, kar pomeni, da delec ali miruje ali pa se giblje premočrtno s konstantno hitrostjo,

II. če rezultanata vseh sil, , ki delujejo na delec ni enaka nič, tedaj se masna točka giblje

s pospeškom,

vF

va , takšnim, da velja,

vF = m va

kar pomeni, da je smer pospeška enolično določena s smerjo rezultante sil na masno točko. III. Če deluje na masno točko drugi delec z neko silo

vF 1,2, tedaj deluje prvi delec nazaj na

drugega z nasprotno enako silo, vF 2,1, tako, da velja

vF 1,2 +

vF 2,1 = 0.

V mednarodnem sistemu enot kjer je enota mase kg, enota pospeška pa ms-2 je enota sile podana preko II. Newtonovega zakona tako, da je

[ ]vF = kgms-2 = N (newton).

75

Zgled: Kamen vržemo v navpični smeri navzor z začetno hitrostjo vo. Izračunaj kako se spreminja hitrost kamna, če upoštevaš, da na kamen deluje sila upora, ki je v prvem približku sorazmerna kvadratu hitrosti kamna, t.j. Fu = mCv2, slika 6.1 Začetna hitrost kamna vo je dovolj majhna tako, da je teža kamna konstantna. y v0 m x Fg = mg z Fu Slika 6.1 prikazuje izbrani koordinatni sistem in obe sili, teža in sila upora, ki sestavljata rezultanto sil in delujeta na kamen.

vF = m va

- mg - mC v2 = m a = -(g + C ) &&y &y2

= &&y dydt&

dy

g C y&

&+ 2 = - dt

dyy&

&1 2 2+ δ = -g dt δ = C

g

1δ

arc tg (δ ) = - gt + C&y 1

pri čemer so začetni pogoji podani z zahtevo, da

76

to = 0 &y vo o= ⇒ C1 = 1δ

arc tg (δ ) vo

in zato je,

t = [ ]1δ

δ δg

arctg v arctg yo( ) ( &)− .

Ko doseže kamen najvišjo točko (= metna višino) H, mora tedaj veljati, da je ≡ v = 0 in zato je dvižni čas T enak,

&y

T = 1δ

δg

arctg vo( ) .

Metno višino H se izračuna iz začetne enačbe, ki je = - g(1 + ) &&y δ 2 2&y in ker velja, da je

&&y = dydt&

= dydy&

dydt

= &&

y dydy

sledi od tod, da je

& &y dy = - g(1 + ) dy δ 2 2&y

& &

&

ydyy1 2 2+∫ δ

= -g dy∫

12

122 2

δδln( & )+ y = -g y + C2

Za to = 0, ⇒ , in y&yo = vo o = 0, zato je

C2 = 12

122 2

δδln( & )+ y

y = 12 2δ g

ln 11

2 2

2 2

++

δδ

vyo

&

Največja višina, ki jo doseže kamen v navpični smeri, H, je ob upoštevanju pogoja, da za y ≡ H mora biti hitrost delca enaka nič, t.j. = 0 in zato, &y

ynajv. = H = 12 2δ g

ln(1 + ). δ 2 2vo

77

1.2. Izreki o gibanju za masno točko 1.2.1 Izrek o sunku rezultante sil in spremembi gibalne količine. Drugi Newtonov zakon, ki podaja gibanje delca se, zapisan v vektorski obliki, glasi,

vF = m va ,

pri čemer zgornji izraz eksplicitno naveden n.pr. v danem izbranem kartezičnem koordinatnem sistemu ustreza trem skalarnim enačbam oblike,

Fi∑ x = m ax = m d xdt

2

2 = m dvdt

x

Fi∑ y = m ay = m d ydt

2

2 = m dvdt

y

Fi∑ z = m az = m d zdt

2

2 = m dvdt

z .

Masa delca konstantna in zato se lahko definira gibalno količino masne točke kot vektor

, pri čemer je vG v

G = m vv ,

kjer je vv hitrost delca v danem trenutku, tako da je mogoče II. Newtonov zakon zapisati v alternativni obliki,

vF = m d

dt dr

dt

v

=

ddt

m drdt

v

= ddt

(m vv ) = d Gdt

v

.

Rezultat pove, da je rezultanta sil na masno točko enaka infinitezimalni spremembi gibalne količine delca v infinitezialnem časovnem intervalu, ali alternativno,

vF dt = d

vG

infinitezimalni sunek rezultante sil je enak infinitezimalni spremembi gibalne količine delca. Z integracijo gornjega izraza se dobi izrek o sunku sile in spremembi gibalne količine delca v integralni obliki,

vFdt

t

t

1

2

∫ = = ∆dGv

1

2

∫vG =

vG 2 -

vG 1,

ki izraža dejstvo, da je sunek rezultante sil na masno točko enak spremembi njegove gibalne količine. Velja tudi obratno; če je rezultanta sil na delec enaka nič je tedaj sprememba gibalne količine enaka nič to pa pomeni, da mora biti gibalna količina delca konstantna. Toda,

78

zapisano pa je pravzaprav tudi vsebina prvega Newtonovega zakona. Tokrat je le-ta dobljen iz zakona o ohranitvi gibalne količine, saj za

vF = 0 sledi,

∆vG =

vG 2 -

vG 1 = 0

kar pomeni, da je v

G 2 = vG 1,

gibalna količina delca v časovnem trenutku t2 je enaka gibalni količini delca v prejšnjem trenutku t1 in ker sta t1 ter t2 poljubna časovna trenutka to pomeni, da mora biti, v

G = konstantna,

gibalna količina delca neodvisna od časa. 1.2.2 Izrek o sunku navora in spremembi vrtilne količine masne točke

C

vr z y O x

Slika 6.2. K definiciji vrtilne količine masne točke.

79

Naj bo vr krajevni vektor iz izhodišča inercialnega koordinatnega sistema, ki določa trenutno lego masne točke, ki potuje pa dani krivulji C v prostoru, slika 6.2. Če se obe strani enačbe, ki popisuje II. Newtonov zakon, zapisan v alternativni obliki, vektorsko pomnoži z leve z vektorjem vr ,

vr x vF = vr x dG

dt

v

je mogoče dobljeni izraz poenostaviti. Prvi člen na levi je po definiciji navor,

vM , kjer je v

M ,

vM = vr x

vF

navor rezultane sil na delec z ozirom na izhodišče koordinatnega sistema, člen na desni je pa mogoče dodatno preoblikovati saj velja,

ddt

( vr x ) = vG v&r x

vG + vr x d

dt(vG ) = vv x m vv + vr x dG

dt

v

v

= vr x dGdt

.

Torej je desna stran gornjega izraza enaka časovnemu odvodu vrtilne količine masne točke, pri čemer je vrtilna količina

vΓ definirana kot

vΓ = vr x

vG ,

in končni zapis transformiranega II. Newtonovega zakona za masno točko je,

vM = d

dt

vΓ .

Navor rezultante sil, ki učinkuje na masno točko je enaka infinitezimalni spremembi vrtilne količine masne točke v pripadajočem infinitezimalnem časovnem intervalu, ali če se uporabi matematični jezik, odvodu vrtilne količine po času. Poudariti gre, da je gornja vektorska enačba, zapisana v izbranem koordinatnem sistemu v splošnem ekvivalentna trem skalarnim enačbam. Pomembno je ugotoviti, da je

vM navor rezultante sil na delec,

toda ker je delec točkasto telo je v tem primeru navor rezultante sil identično enak rezultanti navorov vseh posameznih delujočih sil. Slednje v primerih, če telo ni točkasto v splošnem ne velja, saj v tem primeru vseh sil v splošnem ni mogoče nadomestiti samo z rezultatno sil msrveč z rezultanto sil in rezultanto navorov. Za točkasto telo pa je, kot to sledi iz zapisanega, da je vseeno ali se

vM pojmuje kot navor rezultante sil ali pa kot

rezultanta navorov vseh delujočih sil na delec. V primeru, da je rezultanta navorov, ki deluje na masno točko enaka nič,

vM = 0, tedaj

sledi,

80

ddt

vΓ = 0,

kar pomeni, da je tedaj vrtilna količina,

vΓ , od časa neodvisna fizikalna količina, t.j.

vΓ = konstanta.

Zapisani izraz pomeni, da sta tedaj tako smer (v prostoru) vektorja vrtilne količine,

vΓ , kot

njegova velikost konstantna in se torej s časom ne spreminjata. To je vsebina zakona o ohranitvi vrtilne količine. V primeru, da pa je samo ena izmed komponent rezultante navora na masno točko enaka nič, pa naj bo to z-komponenta navora, Mz = 0, velja

Mx = ddt

xΓ ,

My = ddt

yΓ,

0 = ddt

zΓ ,

od koder sledi, da se tedaj samo z-komponenta vrtilne količine

vΓ ohranja, t.j. samo Γz je

tedaj neodvisna od časa. 1.2.3 Izrek o delu sile in spremembi kinetične energiji delca Po definiciji je delo sile

vF , dA, enako skalarnemu produktu sile in infinitezimalnega

pomika prijemališča sile d vr ,

dA = vF . d vr = F dr cos θ ,

kjer je kot θ kot med pozitivnima smerema vektorja

vF in d vr . Iz definicije je razvidno, da

je enota dela

[ ]A = kgms-2 m = N m = J.

Če se tvori skalarni produkt II. Newtonovega zakona z infinitezimalnim pomikom prijemališča sile. d vr , tedaj sledi,

vF .d vr = m dv

dt

v.d vr = m d vv . vv ,

kjer je pomik d vr = vv dt. Skalarni produkt na desni strani enačbe je mogoče takoj pretvoriti v izraz,

81

vv . vv = v2 v vd( v . v ) = d(v2) v v2 v .d v = d(v2)

in zato se prejšnji izraz lahko zapiše kot,

dA = m d v2

2

= d mv2

2

ali z uporabo definicije T, kinetične energije masne točke,

T= mv2

2,

se sadaj lahko zapiše izrek o delu rezultante sil in spremembi kinetične nergije (v infinitezimalni obliki), ki se za masno točko glasi,

dA = dT.

Če je hitrost delca v času t = t1 , ko se le-ta nahaja v točki prostora, ki jo podaja krajevni vektor vr 1, enaka vv 1, v točki prostora podani z vektorjem v&&r 2, ki jo masna točka doseže v času t = t2, pa znaša njena hitrost delca vv = vv 2, je tedaj celotno delo, ki ga opravi rezultanta sil pri premikanju delca pa dani prostorski krivulji iz začetne lege opazovanja v končno lego enako,

A = = = TdA1

2

∫ dT1

2

∫ 2 - T1 ,

ali v krajši obliki,

A = ∆ T = T2 - T1 ,

delo rezultante sil je enako spremembi kinetične energije delca, kot se mu jo pripiše samo v končni in v začetni točki opazovanja. Zapisani izrek o delu rezultante sil in spremembi kinetične energije velja proučiti še z dodatnega zornega kota. Leva stran gornje enačbe, kot to sledi iz definicije dela, je (pogosto zapleten) integral izraza,

A = , FdsC

cosΘ∫

kjer poteka integracija po prostorski krivulji C, ki jo opiše delec v času od t=t1 do t=t2. Gornji izrek pa nadomesti opisano integracijo s preprosto operacijo odštevanja ene same skalarne količine, kinetične enrgije delca Ek, izračunane v končni in v začetni točki opazovanja. V primeru, da je kakšna izmed sil, ki deluje na delec konservativna sila,

vF ’’, je moč

rezultanto sil zapisati kot vsoto “ostalih” sili vF ’ ter sile

vF ’’, t.j.

82

vF =

vF ’ +

vF ’’,

tako, da je tedaj delo rezultante sil enako vsoti dveh odgovarjajočih prispevkov A’ in A’’,

A = A’ + A’’.

Za konservativno silo po definiciji velja, da je

A’’ = v vF dr

C

' '⋅∫ = 0,

delo konservativne sile po poljubni zaključeni krivulji enako nič je. Primer konservativne sile je n.pr. sila teže,

vF g = m vg , nadalje sila vzmeti,

vF vz = -k vx , sila na naboj v

električnem polju, vF = e

vE , itd.

Kakšnim lastnostim pa mora zadoščati sila vF ’’, da je konservativna? Do odgovora se

najlažje pride z uporabo Stokes-ovega teorema, ki nadomesti integracijo po dani zaključeni krivulji C, poljubne vektorske funkcije

vU =

vU (x,y,z), ki je funkcija lege v prostoru, z

integracijo po površini S ploskve, ki jo zaključena krivulja objema. Stokesov teorem izhaja

vU

)n dS S C Slika 6.3 K definiciji Stokes-ovega teorema. Integracijo vektorskega polja

=U (x,y,z) po sklenjeni krivulji C v smeri nasprotni vrtenju urnega kazalca se lahko nadomesti z integracijo integranda (

vU

v

)n .rot v

U ) po površini, ki jo sklenjena krivulja omejuje, pri čemer je )n normala površinskega elementa d

vS = )n dS.

83

iz integranda )n .rotU , kjer je

v )n normala površinskega elementa ploskve dS, kjer je površinski element definiran kot d

vS = )n dS, slika 6.3, pri čemer je rotor

vU na poseben

način izračunan odvod vektorske funkcije, ki je v kartezičnem koordinatnem sistemu definiran kot,

rotU = v

) ) )i j k

x y zU U Ux y

∂∂

∂∂

∂∂

z

= ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Uy

Uz

iUz

Ux

jU

xUy

kz y x z y x−

+ −

+ −

) ) ).

Iz definicije je razvidno, da je rot

vA tudi vektorsko polje, katerega komponente

vzdolž koordinatnih osi x, y in z so podane z zgornjimi izrazi. Stokesov teorem se glasi,

) v v )n rotU dS U drS C

⋅ =∫∫ ∫ ⋅ ,

zato mora konservativna sila

vF ’’ zadoščati pogoju,

rot

vF ’’ = 0.

Zapisanemu pogoju pa je vedno identično zadoščeno, če je mogoče konservativno silo

vF ’’

izraziti kot gradient skalarne funkcije lege, V = V(x,y,z) ≡ V( vr ), kar se v kartezičnem koordinatnem sistemu glasi,

vF ’’ = - grad V( vr ) ≡ ( )− + +

∂∂

∂∂

∂∂

Vx

i Vy

j Vz

k) ) )

.

S preprostim izračunom je mogoče takoj preveriti, da v resnici velja,

rot vF ’’ = - rot grad V( vr ) ≡ 0.

Zaradi navedene lastnosti je delo konservativne sile na poti po krivulji med začetno lego vr 1 in končno lego delca v prostoru vr 2 enako,

A’’ = = - v vF dr' '⋅∫

1

2 ∂∂

∂∂

∂∂

Vx

dx Vy

dy Vz

dz+ +

∫

1

2

= - = - (VdV1

2

∫ 2 - V1).

84

Delo konservativne sile je potemtakem enako (negativni) razliki skalarne funkcije V, poimenovane potencialne energije, izračunane samo v začetni in končni legi. Dobljeni izraz, ki velja za poljubno konservativno silo je bistvena poenostavitev, kajti zapleten krivuljni integral po prostorski krivulji, ki povezuje obe skrajni točki je nadomeščen s preprosto algebrajsko operacijo odštevanja skalarne funkcije - potencialne energije - izračunane v obeh skrajnih točkah. Izrek o kinetični energiji se sedaj zapiše,

A = A’ - (V2 - V1) = T2 - T1,

od koder sledi, da je delo nekonservativnih sil A’ enako,

A’ = (T + V)2 - (T + V)1 = E2 - E1 = ∆ E

spremembi mehanske energije, pri čemer je mehanska energija, E, delca definirana kot

E = T + V.

Mehanska energija E je vsota kinetične in potencialne energije delca. Poudariti gre, da je V potencialna energija delca to je energija, ki jo poseduje delec, ko se nahaja v (zunanjem skalarnem) polju konservativne (ali več konservativnih) sil. V primeru, da je delo nekonservativnih si A’ = 0 je iz zgornjega izraza takoj razvidno,

E2 = E1,

kar pomeni, da

T1 + V1 = T2 + V2

T + V = konstanta se vsota mehanske energije delca tedaj ohranja. Dobljeni izraz je poznan kot zakon o ohranitvi mehanske energije delca.

85

1.3 Omejeno gibanje masne točke Izreki o gibanju kot so formulirani v zgornjem razdelku izhajajo iz Newtonovih zakonov in veljajo za splošno gibanje masne točke v prostoru. Rezultanta sil

vF , je

sestavljena iz vseh sil s katerimi okolica deluje na dano masno točko. Pogosto pa se dogaja, da je gibanje masne točke omejeno v smislu, da je zaradi delovanja enega ali več teles iz okolice masni točki vsiljeno gibanje na v naprej predpisani del prostora, ali samo na dano površino, ali pa zgolj na krivuljo v prostoru. Primeri omejenega gibanja so n.pr. gibanje delca po dani površini, nihanje na vrvici vpetega delca pod vplivom sile teže, gibanje delca po dani prostorski krivulji, itd. Značilnost omejenega gibanja pogosto izhaja iz dejstva, da so omejitve, ki opredeljujejo gibanje delca znane v naprej in nemalokrat so izražene v obliki matematičnih izrazov, kot n.pr. enačba ploskve po kateri se delec giblje, ali enačb krivulje (pri čemer se je potrebno zavedati, da se krivuljo v prostoru v splošnem lahko popiše kot presečišče dveh ali več prostorskih ploskev) po kateri potuje delec in podobno. Tovrstni matematični izrazi, ki se v splošnem zapišejo v obliki ene ali več enačb oblike

fi(vr ) = 0, (i=1, 2,...,k),

kjer je vr krajevni vektor, ki kaže iz izhodišča koordinatnega sistema do poljubne točke T na ploskvi oziroma na krivulji, se v splošnem zato imenujejo omejitvene enačbe. Pogosto so omejitvene enačbe znane v naprej. Zgled Na vrvico, dolžine L, vpeti delec kroži po vodoravni ravnini. Gibanje delca je

očitno omejeno na ravninsko krivuljo, ki je v danem primeru krožnica. Enačba krožnice, izražena v izbranem kartezičnem koordinatnem sistemu, se zato zapiše v obliki: x2 + y2 = L2. Delec se lahko giblje le tako, da krajevni vektor vr = vr (t) v vsakem trenutku zadošča zapisani enačbi krožnice. Omejitvena enačba za navedeni primer se tedaj glasi: f( vr ) ≡ x2 + y2 - L2 = 0, kjer sta sedaj koordinati x in y koordinati krožečega delca in sta zato funkciji časa, t.j. x=x(t) in y=y(t).

Vse omejitvene enačbe se v splošnem lahko uvrsti v eno izmed naslednjih dveh skupin: a) holonomne (geometrijske) omejitve, to so takšne omejitve, kjer so omejitvene enačbe delca, (ali pa v primeru več, n.pr. n delcev katerih lego podajajo krajevni vektorji vr 1(t),

vr 2(t), ...., vr n(t)) funkcije samo koordinat delca in kvečjemu še časa (ne pa drugih

86

količin, kot n.pr. hitrosti, gibalne ali vrtilne količine, itd.) tako, da za holonomne omejitvene enačbe v teh primerih velja,

fi(vr 1,

vr 2,vr 3, ... ,

vr n; t) = 0, i=1, 2,...., k,

b) neholonomne (neintegrabilne) omejitve, to so takšne, ki jih v splošnem ni mogoče popisati v obliki enačb. Zgled holonomne omejitvene enačbe za en delec je predstavljen v zgornjem primeru kroženja delca po krožnici v ravnini ploskve, kot primer holonomnih enačb več delcev pa lahko služi togo telo, ki je definirano kot sistem velikega števila N masnih točk za katere je značilno, da so razdalje med njimi konstantne, torej

( vr k - vr j)2 - ck,j

2 = 0, k, j = 1, 2, ......, N.

Zgled neholonomne omejitve je n.pr. gibanje delca po zunanji površini krogle, polmera R, pod vplivom lastne teže. V tem primeru, če se za izhodišče koordinatnega sistema izbere središče krogle, mora krajevni vektor vr =(x,y,z) delca ustrezati pogoju, da se delec nahaja na površini krogle vse do trenutka, ko se delec od površine odlepi in zato se omejitvena enačba, ki ji morajo ustrezati koordinate delca, glasi,

f(x,y,z) ≡ r2 - R2 0, ≥

kar pa je neenačba. Vsako od navedenih skupin omejitvenih enačb je moč razvrstiti še naprej v, 1. skleronomne (stacionarne) in 2. reonomne (nestacionarne) omejitve kar zavisi od dejstva, ali so omejitveni pogoji od časa eksplicino odvisni ali ne. Tako n.pr. je pravkar zapisana omejitvena enačba za gibanje delca pod vplivom sile teže po površini krogle, primer neholonomnega skleronomnega omejitvenega pogoja. 1.3.1 Lagrange-jeve enačbe I. vrste omejenega gibanja masne točke V primerih omejenega gibanja masne točke nastopajo poleg ostalih sil, ki delujejo na delec, tudi še omejitvene sile za katere je karakteristično dejstvo, da so v splošnem v naprej nepoznane in jih je moč izračunati šele potem, ko je eksplicitno že poznana rešitev enačb gibanja. Veljavnost zapisane trditve je neposredno razvidna na dveh preprostih primerih omejenega gibanja delca. a) Prvi primer zadeva gibanje delca po idealno gladki ploskvi, katere omejitvena enačba je poznana. V tem primeru je sila podlage

vF p na masno točko v vsaki točki ploskve

pravokotna na površino po kateri se delec giblje. II. Newtonov zakon se za navedeni primer glasi,

m va = vF ’ +

vN ,

87

kjer vN sedaj označuje silo podlage

vF p , ki je v danem primeru pravokotna na ploskev,

vF ’

pa potemtakem označuje rezultanto vseh ostalih sil razen sile podlage. V kartezičnem koordinatnem sistemu se zgornja vektorska enačba zapiše v komponentni obliki,

m &&x = F’x + Nx m = F’&&y y + Ny

m && = F’z + Nz, z

od koder je očitno, da sistem treh enačb poseduje 6 neznank in sicer: 3 koordinate delca x, y in z ter 3 komponente sile podlage Nx, Ny ter Nz. Dodatno enačbo predstavlja enačba površine po kateri se giblje delec, to je omejitvena enačba,

f(x, y, z) = 0,

ki v danem primeru predstavlja enačbo ploskve v prostoru, ki se s časom ne spreminja. v

Preostali dve (skalarni) enačbi se dobi izhajajoč iz dejstva, da je sila podlage, N , vedno pravokotna na podlago in je zato kolinearna z vektorjem grad f. Zato mora v primeru gibanju delca po popolnoma gladki ploskvi veljati,

vN = λ grad f,

kjer je λ sorazmernostna konstanta, poimenovana Lagrange-jev množitelj, ki je lahko kvečjemu funkcija časa, t, ne pa koordinat. Kot je bilo razvidno v razdelku o povezavi konservativne sile in potencialne energije, se matematična operacija na skalarno funkcijo f(x, y, z) v kartezičnem koordinatnem sistemu zapiše,

grad f = ∂∂

∂∂

∂∂

fx

ify

jfz

k) ) )

+ + .

Zgornji izraz za silo podlage

vN se sedaj zapiše,

Nx )i + Ny

vj + Nz

)k = λ (

∂∂

∂∂

∂∂

fx

ify

jfz

k) ) )

+ + ),

od koder sledi, da se dajo komponente sile podlage Ni, (i=x,y,z) v splošnem izraziti s (parcialnimi) odvodi omejitvene funkcije f(x,y,z), v obliki,

Nu = λ∂∂

fu

, (u = x, y, z).

Z na takšen način dobljenimi izrazi je gornji sistem gibalnih enačb postal popolnoma rešljiv. Zapisan v komponentni obliki se sistem enačb, ki podaja (omejeno) gibanje masne točke po ploskvi, podane z enačbo f(x,y,z) = 0, glasi:

m &&x = F’x + λ ∂∂

fx

88

m = F’&&y y + λ ∂∂

fy

m = F’z + &&z λ∂∂

fz

f(x, y, z) = 0.

Zapisane enačbe se poznane kot Lagrange-jeve enačbe I. vrste omejenega gibanja masne točke. Reštve gornjih enačb so koordinate x=x(t), y=y(t) in z=z(t) delca, ki se giblje po gladki površini ter Lagrangejev množitelj λ . [ele, ko je slednji poznan je mogoče izračunati silo podlage

vN s pomočjo izraza

vN = λ grad f in na takšen način je dinamika

omejenega gibanja masne točke po polnoma gladki površini enolično določena. Lagrangejev množitelj pa je mogoče izračunati tudi neposredno, ne da bi predhodno rešili enačbo gibanja. Ob upoštevanju, da se delec giblje po popolnoma gladki (stacionarni) ploskvi, katere omejitvena enačba se glasi, f( vr ) ≡ f(x, y, z) = 0, mora veljati,

vv .grad f = 0,

kar pomeni, da je v vsakem trenutku skalarni produkt sile podlage in hitrosti delca enak 0. Odvod zapisanega izraza po času se izrazi kot,

va . grad f + vv . d grad f

d t( )

= 0.

Če se dobljeno enačbo pomnoži z maso delca, m, se lahko s pomočjo izrazov m va =

vF ’+

vN

ter vN = λ grad f, izračuna Lagrangejev množitelj λ , kjer je

λ = -

v vF grad f mv ddt

grad f

grad f

' ⋅ + ⋅2

tako, da je sila podlage

vN enolično podana, v načelu, zgolj s prvim integralom (kajti

potrebno je izračunati hitrost vv delca) enačb omejenega gibanja masne točke po idealno gladki ploskvi.

89

b) Drugi primer zadeva gibanje delca po idealno gladki krivulji v prostoru, pri čemer je

krivulja v splošnem definirana z enačbama dveh ploskev v prostoru, ki se sekata, kot

f1(x, y, z) = 0

vN 1

f2(x. y. z) = 0

vN 2

C Slika 6.4 Prostorska krivulja C je podana kot presečišče dveh ploskev v prostoru, ki

se sekata. Zaradi dejstva, da sta privzeti ploskvi idealno gladki, sta odgovarjajoči sili podlage

vN i (i=1, 2) v vsaki točki krivulje pravokotni na

pripadajočo ploskev katerih enačbi se glasita, f1(x,y,z)=0 in f2(x,y,z)=0, pri čemer velja, da je

vN i = λ i grad fi, (i=1, 2) kjer sta λ 1 in λ 2 Lagrangejeva

množitelja.

shematično predočeno na sliki 6.4, to je,

f1(vr ) = 0 vf2( r ) = 0.

Ker je krivulja C podana s presečiščem dveh ploskev mora veljati, da vsaka točka krivulje hkrati pripada tako prvi kot tudi drugi ploskvi. Zaradi tega dejstva, tako kot v prejšnjem primeru, mora tudi tokrat tedaj veljati, da je sila podlage v poljubni toči krivulje pravokotna na ustrezno ploskev, torej

vN 1 = λ 1 grad f1 vN 2 = λ 2 grad f2,

90

tako, da je sila podlage vN v dani točki krivulje v vsakem trenutku podana kot vektorska

vsota komponent vN 1 in

vN 2. Ker torej velja,

vN =

vN 1 +

vN 2

se sedaj II. Newtonov zakon za omejeno gibanje delca po idealno gladki krivulji zapiše,

m va = vF ’ + λ 1 grad f1 + λ 2 grad f2,

ali v komponentni obliki, skupaj z omejitvenima enačbama

m &&x = F’x + λ 1 ∂∂

fx1 + λ 2

∂∂

fx2

m = F’&&y y + λ 1 ∂∂

fy1 + λ 2

∂∂

fy2

m && = F’z z + λ 1∂∂

fz1 + λ 2

∂∂

fz2

f1(x, y, z) = 0 f2(x, y, z) = 0

predstavlja sistem diferencialnih enačb drugega reda s konstantnimi koeficienti katerega rešitve x=x(t), y=y(t), z=z(t) ter λ 1 in λ 2, ob upoštevanju danih začetnih pogojev popisujejo omejeno gibanje masne točke po idealno gladki krivulji v prostoru. Tako kot v prejšnjem primeru je tudi tokrat mogoče samo s prvim integralom izraziti Lagrangejeva množitelja in tako izračunati silo podlage

vN , saj mora vedno veljati,

vv .grad f1 = 0 v v .grad f2 = 0.

c) Problem omejenega gibanja delca po površini ploskve z upoštevanjem sile trenja se rešuje na podoben način kot v primeru pod a), čeprav je večinoma matematično zahtevnejši. Ob tem je potrebno izhajati iz dejstva, da sila podlage

vF p na masno točko v

primeru obstoja (suhega) trenja ni več pravokotna na dano površino in sestoji iz dveh komponent in sicer pravokotne komponente na podlago

vN ter komponente sile trenja,

vF tr,

to je komponente, ki leži v tangentni ravnini v dani točki ploskve in je usmerjena v nasprotno smer vektorja hitrosti delca vv . Velja namreč naslednje,

vF p =

vN +

vF tr,

pri čemer pa sta velikosti obeh komponent sile podlage, če le hitrost delca vv ni prevelika, med seboj sorazmerni, saj velja,

Ftr = ktr N,

kjer je ktr koeficient trenja, ki se ga določi empirično.

91

II. Newtonov zakon za primer omejenega gibanja masne točke po dani ploskvi ob upoštevanju trenja se sedaj zapiše,

m va = vF ’ +

vN +

vF tr

kar se, v izbranem kartezičnem koordinatnem sistemu, glasi

m &&x = F’x + λ ∂∂

fx

+ (Ftr)x

m = F’&&y y + λ ∂∂

fy

+ (Ftr)y

m && = F’z z + λ∂∂

fz

+ (Ftr)z,

pri čemer se dajo komponente sile trenja eksplicitno izraziti, če se upošteva, da je sila trenja usmerjena v nasprotno smer vektorja hitrosti delca vv . Veljati namreč mora,

vF tr = - K vv

kjer je K konstanta, ki jo je potrebno še določiti. Iz zgornje enače sledi,

Ftr = ktr N = K v

in zato je

K = kvtr N,

tako, da so tedaj komponente sile trenja zapisane v danem koordinatnem sistemu enake,

(vF tr)x = -

kvtr N &x = -

kfx

fy

fz

x y zx

tr λ∂∂

∂∂

∂∂

( ) ( ) ( )

& & &&

2 2 2

2 2 2

+ +

+ +

in na podoben način se izrazita še preostali dve komponenti sile trenja. Zgoraj zapisani sistem treh enačb omejenega gibanja se rešuje hkrati z omejitveno enačbo

f(x, y, z) = 0

kar skupaj predstavlja formalno sicer rešljivi sistem štirih Lagrangejevih enačb I. vrste s štirimi neznankami, vr = vr (t) ter λ .

92

Zgledi: 1. Z uporabo enačb za omejeno gibanje delca izpelji pospešek kvadra mase m na klancu

nagiba θ. (Navodilo: omejitvena enačba klanca v predstavljenem koordinatnem sistemu se glasi, y = konst.).

y N Ft x Fg θ

Slika 6.6. Omejitvene enačbe se glasijo:

m = FCx&& x´ + Nx

m = FCy&& y´ + Ny

m = FCz&& z´ + Nz

vN = λ grad f

f( rv ) = y – konst. = 0.

Iz skice, slika 6.6, je razvidno:

Fx’ = mg sinθ - Ft Fy

’ = - mg cosθ

Nx = xf

∂∂λ = 0

Ny = yf

∂∂λ = λ

N = 22yx NN + = λ,

tako, da se diferencialne enačbe zapišejo v obliki,

93

m = mg sinθ - FCx&& t m = - mg cosθ + λ Cy&&

m = 0. Cz&& Toda sila trenja je podana z izrazom,

Ft = k N = k λ,

tako, da se enačbe omejitvenega gibanja sedaj glasijo,

Cx&& = g sinθ - λmk

λ = mg cosθ

oziroma po preureditvi,

Cx&& = g (sinθ - k cosθ ) Ny = mg cosθ.

1. Delec se giblje po notranjosti vodoravnega, popolnoma gladkega, plašča valja polmera R pod vplivom lastne teže. Delecu, ki se v času t = 0 nahaja v točki T s koordinatami, xo = 0, yo = R in zo = 0, se podeli začetna hitrost vv o katere komponente v izbranem koordinatnem sistemu, glej sliko 6.7, so naslednje: &x o = vo, &y o = 0, &z o = 0. Izračunaj silo podlage

vN , s katero deluje valj na delec.

x

x

R R ϕj 0vv

y

ϕ z Slika 6.7. Definicija koordinatnega sistema

94

Enačbe omejenega gibanja masne točke po notranjosti popolnoma gladkega vodoravnega plašča valja so:

m &&x = F’x + λ xf

∂∂

m = F’&&y y + λ ∂∂

fy

m && = F’z + z λ∂∂

fz

,

kjer je rezultanta “ostalih” sil kar enaka teži masne točke, t.j.

vF ’ ≡

vF g = (0, 0, mg), in

omejtvena enačba f( vr ) = 0 se glasi,

f(x, y, z) ≡ y2 + z2 - R2 = 0.

Išče se torej rešitev naslednjega sistema sklopljenih diferencialnih enačb, m &&x = 0 m = 2&&y λ y m = mg + 2&&z λ z Rešitev prve enačbe je očitno enakomerno gibanje saj velja,

x = vo t,

rešitev drugih dveh pa se poišče s pomočjo ustrezne substitucije. V ta namen se pomnoži drugo enačbo s koordinato z, tretjo enačbo pa s koordinato y, ter se dobljena izraza odšteje: v naslednjem koraku se pomnoži drugo enačbo s koordinato y, tretjo enačbo pa s koordinato z ter se sešteje rezultirajoča izraza. Kot rezultat izvedenih algebrajskih operacij se tedaj dobi naslednji enačbi, m( y - z) = mgy &&z &&y m( y + &&z) = 2&&y z λ (y2 + z2) + mgz. Za nadaljni izračun je ugodno vpeljati ravninski polarni kordinati, R in ϕ , slika 6.7, kjer je kot ϕ definiran kot kot med z-osjo kartezičnega koordinatnega sistema in enotnim vektorjem )er , torej,

y = R sin ϕ z = R cos ϕ ,

tako, da se s pomočjo zapisane substitucije sistem gornjih dveh enačb poenostavi v mR2 &&ϕ = - mgR sin ϕ -mR2 &ϕ 2 = mgR cos ϕ + 2 λ R2.

95

Ker je &&ϕ = ddt&ϕ

= dd

ddt

&ϕϕ

ϕ = &ϕ

dd&ϕϕ

, se prvi integral zgornje enačbe poišče s preprosto

integracijo in sicer se dobljeni izraz glasi,

&ϕ 2

2 = g

Rcos ϕ + C1,

kjer je integracijska konstanta določena z začetnim pogojem, da ko je t=0 je ϕ o=π /2 ter &ϕ o =0, od koder je razvidno, da je C1=0 in zgornji izraz za kotno hitrost &ϕ je tedaj enak,

&ϕ 2 = 2gR

cos ϕ .

Iz druge enačbe je sedaj moč izračunati Lagrangejev množitelj λ , ki je,

λ = - 32mgR

cos ϕ

in zato je končni rezultat, to pa so komponente sile podlage

vN , enak

Nx = λ ∂∂

fx

= 0

Ny = λ ∂∂

fy

= -2 32mgR

cos(ϕ ) Rsin(ϕ )

Nz = λ∂∂

fz

= -2 32mgR

cos(ϕ ) Rcos(ϕ ),

sama velikost sile podlage N, pa je tedaj

N = N N Nx y2 2+ + z

2 = 3 mg cos ϕ .

Enačba

&ϕ 2 = 2gR

cos ϕ .

v načelu podaja odvisnot polarnega kota ϕ od časa t, t.j. ϕ =ϕ (t). Pripadajoči integral na desni strani

dϕϕcos∫ =

2gR

dt∫ ,

96

zapisane enačbe ni več elementarni integral ter se, v splošnem, izrazi z eliptičnim integralom prvega reda. 1.3.2 Euler-jeve enačbe omejenega gibanja masne točke V primeru, da je enačba krivulje po kateri se giblje delec eksplicitno poznana je tedaj pogosto priročno obravnavati omejeno gibanje masne točke po dani krivulji C kot funkcijo ločne dolžine s, s pomočjo naravnega triedra, ki je definiran s trojico med seboj pravokotnih enotnih vektorjev in sicer, tangente na krivuljo )et , normale )n in binormale )ebi , pri čemer je )ebi = )et x )n . Projekcija enačbe gibanja masne točke po krivulji C,

m va = vF ’ +

vF p

na osi naravnega triedra se zapisano v komponentni obliki glasi,

m an = F’n + Fpn m ae = F’e + Fpe

m abi = F’bi + Fpbi.

Kot je bilo pokazano v 2. in 3. poglavju, ležita vektorja hitrosti vv in pospeška va , delca v pritisnjeni ravnini in zato je,

ae = dvdt

t = d sdt

2

2

an = 1Rk

d sdt

2

abi = 0, kjer je Rk = Rk(s) krivinski polmer v dani točki krivulje C. V primeru, da gre za gibanje po popolnoma gladki krivulji je

vF p v vsaki točki krivulje

pravokotna na krivuljo C in zato je tedaj projekcija sile podlage vF p na enotni vektor

tangente, )et , enaka nič, t.j. Fpe ≡ 0. V primeru, da krivulja C ni gladka, leži tedaj sila trenja v nasprotni smeri vektorja hitrosti vv , to je v nasprotni smeri enotnega vektorja )et . V tem primeru je

Fpe ≡ Ftr = ktr N = ktr F Fpn pbi2 2+ .

Enačbe gibanja izražene v naravnem triedru se sedaj v končni obliki zapišejo,

97

m d sdt

2

2 = F’e - Ftr

m 1Rk

d sdt

2

= F’n + Fpn

0 = F’bi + Fpbi.

Zapisane enačbe omejenega gibanja masne točke po krivulji C v prostoru se imenujejo Eulerjeve enačbe omejenega gibanja delca.

Zgled: 1. Izračunaj nihajni čas T matematičnega nihala, ki niha nedušeno pod vplivom sile teže v stalni ravnini. Za zadani problem je priporočljivo izbrati naravni trieder kot kaže slika 6.8. V danem primeru se enačba gibanja masne točke tedaj zapiše,

m va = vF g +

vF v,

kjer je rezultanta “ostalih” sil kar enaka teži delca, sila podlage pa se v danem primeru poistoveti z silo vrvice,

vF v.. Eulerjeve enačbe se za ta primer glasijo,

m d sdt

2

2 = - mg sin ϕ

m 1Rk

d sdt

2

= - mg cos ϕ + Fv,

98

L ϕ )n Fv )etg m mg Slika 6.8. Matematično nihalo, ki ga sestavlja na neraztegljivi brezmasni vrvici

dolžine L vpeta masna točka mase m, niha pod vplivom sile teže v ravnini slike. Vpliv dušenja na nihanje je zanemarjen.

pri čemer je tretji Eulerjevi enačbi zadoščeno identično. Delec se giblje po loku krožnice polmera L in zato velja,

s = L ϕ ; v = = L &s &ϕ ; && = L s &&ϕ ,

pri čemer je potrebno upoštevati še dejstvo, da je krivinski polmer konstanten in enak dolžini vrvice L, t.j. Rk = L, tako da se gornja izraza zapišeta,

&&ϕ + gL

sin ϕ = 0

m L &ϕ 2 = - mg cos ϕ + Fv.

Na tem mestu naj bo omenjeno, da v običajnem približku nihanj z majhnimi amplitudami, t.j. kadar velja ϕ << 1, in zato je sin ϕ ≈ ϕ , nihanje delca postane harmonično nihanje katerega nihajni čas, T, je enak

T = 2 π Lg

.

Toda za primer nihanja z večjimi amplitudami pa nihanje ni več harmonično in nihajni čas, T, se ne izraža več na tako enostaven način kot zgoraj zapisano.

99

Rešitev prve enačbe ob upoštevanju začetnih pogojev, ki so izbrani tako, da je v t = 0 odklon vrvice od vertikale ϕ =ϕ o in kotna hitrost &ϕ = &ϕ o, tako, da je tedaj,

&ϕ d &ϕ = - gL

sin ϕ dϕ

& &&

&

ϕ ϕϕ

ϕ

do

∫ = - gL

sinϕ ϕϕ

ϕ

do

∫

&ϕ 2 - &ϕ o2 = 2 g

L(cos ϕ - cos ϕ o)

in če se tako dobljeni izraz vstavi v drugo Eulerjevo enačbo je sila vrvice,

Fv = mg (vg L

o2

+ 3 cos ϕ - 2 cos ϕ o),

pri čemer je bilo že upoštevano dejstvo, da je velikost začetne hitrosti delca v0 = L &ϕ o.. Dobljeni izraz za silo vrvice ni konstanten marveč zavisi od dveh začetnih parametrov, t.j. od velikosti začetne hitrosti vo ter še od začetne amplitude nihanja ϕ o. Odmik vrvice od ravnovesne lege, ϕ = ϕ (t), se dobi za poljubne vrednosti amplitude nihanja z integracijo prve enačbe, oziroma njenega prvega integrala, t.j.

&&ϕ + gL

sin ϕ = 0

&ϕ 2 - &ϕ o2 = 2 g

L(cos ϕ - cos ϕ o)

Izraz se rešuje ob podanih začetnih pogojih, n.pr. za t = 0 naj velja, da se delec nahaja v najbolj oddaljeni točki iz ravnovesne lege (t.j. amplituda), ϕ = ϕ o. Seveda mora tedaj veljati, da je hitrost masne točke takrat enaka 0, t.j. &ϕ o = 0. Dobljeni izraz je sedaj naslednji,

ddtϕ

= ± −2 2ω ϕ ϕo o(cos cos ) ,

pri čemer je z ω o označena konstanta,

ω o 2 = gL

.

Ker je nihanje matematičnega nihala nedušeno morata biti amplitudi nihanja na obeh straneh ravnovesne lege enaki tako, da znaša največja vrednost odmika ϕ majvečji = ± ϕ o. Z ozirom na začetne pogoje nihanja, kjer se nihalo v času t = 0 nahaja na največji

100

oddaljenosti od mirovne lege, t.j. ϕ = + ϕ o, zajema integracija po času zgornjega izraza časovni interval enega nihaja T, kar znaša,

ϕ ϕscos

ϕ

2ω 2

2

n(

1ω o

ϕ (sin

sin−

dtT

0∫ = 1

ω o

−−

+−

−

−∫ ∫

d d

o oo

o

o

oϕ ϕϕ ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

2 2( co ) (cos cos )

pri čemer je v prvem integrandu upoštevan negativni predznak pred korenom zaradi dejstva, da poteka integracija po v smeri zmanjševanja kota, to je proti ravnovesni legi. Zaradi simetrije zapisanih izrazov je nihajni čas T tedaj enak,

T = 2 o

d

o

o ϕϕ ϕ

ϕ

0 (cos cos )−∫ .

Zapisani integral ni elementarni integral, toda lahko se ga transformira v obliko integrala, ki je podan v tabelah. Transformacija poteka s substitucijo izraza,

cos ϕ = 1 - 2 sin2(ϕ /2),

tako, da se gornji izraz zapiše,

T =

2si )ϕo ( )

( )

d

o

o

o ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

12

2

2

2−

∫ sin /

sin /

.

V nadaljevanju je umestno vpeljati novo spremeljivko ψ s pomočjo izraza,

sin ψ = ( )( )

sin /sin /

ϕϕ

22o

d = )( )

2 2

1 22 2

/ cos

/ sin

ϕ ψ

ϕ ψ

d

o

, ψ

Končni izraz za nihajni čas nedušenega nihanja v stalni ravnini matematičnega nihala je sedaj naslednji,

T = 4ω o

d

k

ψ

ψ

π

1 2 20

2

−∫ sin

/

,

kjer je konstanta, k, funkcija začetne amplitude nihanja,

k = sin(ϕ o/2).

101

Končni izraz za nihajni čas T nedušenega nihanja matematičnega nihala v stalni ravnini je izražen z tako imenovanim eliptičnim integralom prve vrste, kot definiran zgoraj, pri čemer je razvidno, da nihajni čas T matematičnega nihala na zapleten način zavisi od začetne amplitude nihanja, ϕ o. Za majhne amplitude nihanja se integrand lahko zapiše v obliki konvergentne vrste, ki je

11 2 2− k sin ψ

= 1 + 12

sin2(ϕ o/2) sin2 ψ + ....

in tedaj se nihajni čas T izrazi kot,

T ≅ 4ω o

π π ϕ2 4 2

2+

sin o ,

kar je enako,

T ≅ 2π Lg

1 14 2

2+

sin

ϕ o .

Za primer majhnih amplitud nihanja, tedaj ko velja ϕ o « 1, se gornji približni izraz še nadalje poenostavi v

T ≅ 2π Lg

,

kar je običajni približek za nihajni čas T nedušenega nihanja matematičnega nihala, ki pa je izpeljan na daleč bolj elementarni način Za oceno velikosti nihajnega časa v odvisnosti od amplitude naj služita primera, ko je amplituda nihanja enaka: a) za ϕ o = 100

kjer znaša korekcijski faktor 1 14 2

2+

sin

ϕ o = 1.0019 in

b) v primeru, da je amplituda nihanja ϕ o = 70o pa je tedaj zapisani korekcijski faktor že enak 1.0823.

102

2. Splošni zakoni dinamike sistema masnih točk 2.1 Izrek o gibanju masnega središča; gibalna količina sistema masnih točk Do sedaj je bila pozornost usmerjena na dinamiko ena same masne točke, ki se giblje v prostoru pod vplivom rezultante sil, ki jo sestavljajo sile s katerimi deluje okolica na dani delec in katerih lastnost je, da se sekajo v isti točki, t.j. v dani masni točki. Sistem masnih točk sestoji iz N točkastih delcev mase mi, i=1, 2, 3, .... N, ki se gibljejo v prostoru. V primerjavi z dinamiko delca vnaša sistem masnih točk v razpravo novost in sicer v dejstvu, da na sistem delcev deluje okolica s tako imenovanimi zunanjimi silami vF i, kjer pomeni

vF

F

i rezultanto vseh zunanjih sil, ki delujejo na dani i-ti delec sistema masnih točk. Rezultanta vseh zunanjih sil s katerimi okolica deluje na sistem N delcev se torej zapiše kot

v =

v. Toda poleg sil okolice je v splošnem potrebno ugotoviti še

obstoj notranjih sil s katerimi posamezni delci sistema delujejo drug na drugega in sicer popolnoma neodvisno od okolice. Notranje sile se zato, da se jih loči od zunanjih, označi s simbolom

v

Fi∑

f ij, (i,j = 1, 2, 3, .....N), pri čemer pomeni vf ij notranjo silo s katero deluje j-ti

delec na i-ti delec sistema masnih točk, slika 6.7. Po definiciji velja, v

f ii = 0 vv

f ij + f ji = 0,

vF i

mi v f ij

vf il

vf ik

è ml v z vr i f ji

vF k

mj C vr j vr C mk vr k y

vF j

x Slika 6.7. K definiciji sil, ki delujejo na sistem masnih točk. Rezultanta sil s katero okolica deluje na k-to masno točko, katere lega v prostoru je določena s krajevnim vektorjem vr k, je

vF k, rezultanta notranjih sil, to je sil s katerimi preostali delci sistema delujejo na dani k-

ti delec pa je vf k =

v, pri čemer f k j

j∑

vf kj označuje notranjo silo s katero j-ti delec sistema

deluje na dano k-to masno točko.

103

kar izraža dejstvo, da je sila s katero deluje delec sam nase identično enaka nič ter dejstvo, da tudi za notranje sile sistema velja III. Newtonov zakon, t.j. zakon o akciji in reakciji. Mogoče je pokazati, da v kolikor notranje sile ležijo vzdolž veznice med dvema delcema (to je tako imenovani Boltzman-ov teorem), slednji vedno velja, pri čemer pa je vendarle kot zanmivost potrebno navesti, da jedrske sile, ki delujejo med dvema nukleonoma (proton-proton ali nevtron-proton ali nevtron-nevtron) v atomskem jedru, temu pogoju ne zadoščajo. Enačba gibanja, t.j. II Newton-ov zakon, se za k-ti delec tedaj zapiše,

mk va k =

vF k + ∑ , k = 1, 2, 3, ......., N.

vf k j

j

N

=1

Notranje sile,

vf kj, so večinoma nepoznane zato v splošnem zgornji sistem N, med seboj

sklopljenih, diferencialnih enačb ni mogoče enostavno rešiti. Za splošni sistem delcev pa velja, da je, navzlic nepoznanim notranjim silam med delci, vendarle mogoče popisati gibanje ene same točke v prostoru, katere lega je podana z krajevnim vektorjem vr c, (poudariti velja, da krajevni vektor vr c v splošnem definira lego geometrijske točke v prostoru za katero ni nujno, da bi ji pripadala tudi kakšna izmed masnih točk danega sistema delcev). Lego in gibanje omenjene točke se določi na naslednji način: če se zgornji izraz sešteje po indeksu k, tedaj je,

m ak kk

v∑ = vFk

k∑ + f k j

jk∑∑

toda zaradi III Newton-ovega zakona je, ko indeksa k in j pretečeta vse vrednosti, drugi člen na desni strani izraza identično enak nič, zato je,

m ak kk

v∑ = vFk

k∑ =

vF .

Rezultat sesštevanja pove, da je rezultanta vseh zunanjih sil,

vF , s katero okolica deluje na

dani sistem masnih točk enaka vsoti produkov posameznih masnih točk in pripadajočih pospeškov. Dobljeni izraz ne vsebuje več neznanih notranjih sil med delci, toda za praktično uporabo ga je mogoče še dodatno preurediti. Levo stran enačbe je mogoče zapisati tudi kot,

ddt

2

2 [ mkk∑

m r

m

k kk

kk

v∑∑

] = vF ,

toda, ker velja, da je masa celotnega sistema masnih točk enaka,

m = mkk∑ ,

in ker je po običajni definiciji krajevnega vektorja težišča, vr c, sistema masnih točk

104

vr c = m r

m

k kk

kk

v∑∑

,

se prvotna, modificirana enačba, zapiše v obliki II Newton-ovega zakona za eno samo masno točko, ki se sedaj glasi,

m d rdt

c2

2

v =

vF .

Izraz pomeni, da se masno središče sistema masnih točk giblje tako, kot da bi nanj delovala rezultanta vseh zunanjih sil, pri čemer bi bila masa celotnega sistema delcev v masnem središču združena. Zapisani izraz je izrek o gibanju masnega središča in je ekvivalenten II Newton-ovemu zakonu za gibanje ene masne točke. Čeprav sta oba izraza formalno identična velja poudariti, da je izrek o gibanju masnega središča sistema delcev v bistvu matematično simbolni zapis, saj za razliko od ene same masne točke, rezultanta zunanjih sil, ki delujejo na sistem masnih točk v splošnem nima prijemališča v masnem središču in dodatno, kaj lahko se primeri, da krajevni vektor masnega središča, vr c, kaže do točke v prostoru v kateri se sploh ne nahaja noben delec danega sistema masnih točk. Kot zgled naj služi primer kotaljenja tankega obroča mase m in polmera R po klancu, kjer je rezultanta zunanjih sil sestavljena iz sile podlage, ki ima prijemališče v dotikališču ter sile teže, ki ima prijemališče v masnem središču, to je v središču krožnice, kjer pa -govora je o obroču- se ne nahaja nobeden delec obroča. Toda, skladno gornjemu izrazu je gibanje masnega središča obroča navzlic temu natančno definirano; določeno je samo z rezultanto zunanjih sil, oziroma navorov in celotno maso obroča. V primeru, da je rezultanta vseh zunanjih sil s katerimi okolica deluje na dani sistem masnih točk enaka nič,

v = 0, tedaj sledi, F

m d rdt

c2

2

v =

ddt

(m vv c) = ddt

mkk∑

m v

m

k kk

kk

v∑∑

= 0,

kar pa pomeni, ob upoštevanju dejstva, ker je masa sistema konstantna, da je časovni odvod celotne gibalne količine sistema masnih točk enak nič oziroma in se zato celotna gibalna količina sistema delcev v tem primeru ohranja. Iz gornje enačbe je tedaj nemudoma razvidno,

vG = m vv c = ∑ = konstanta, m vi i

i

N v

=1

kar pa tudi pomeni, da je gibalna količina celotnega sistema podana kar s produktom mase sistema in hitrosti težišča ali pa, alternativno, kot vsota gibalnih količin,

vG i = mi

vv i, posameznih delcev, ki sestavljajo sistem masnih točk.

105

Podobno kot v primeru ene masne točke tudi tokrat velja zapisati izrek o sunku sile in spremembi gibalne količine sistema delcev. II. Newton-ov zakon za sistem delcev se lahko še zapiše kot,

m dvdt

cv

= d mv

dtc( )v

= vF ,

od koder takoj sledi, da je

vFdt

t

t

1

2

∫ = = dGv

1

2

∫ ∆vG =

vG 2 -

vG 1

sunek rezultante (samo) zunanjih sil enak spremembi gibalne količine sistema masnih točk. Notranje sile, ki vladajo med delci sistema, na gibanje masnega središča sistema ne vplivajo. 2.2 Izrek o sunku navora in spremembi vrtilne količine sistema delcev Po definiciji je vrtilna količina i-tega delca mase mi, katerega lego podaja krajevni vektor vr i, pri čemer se dani delec giblje s hitrostjo vv i v prostoru, enaka v

Γ i = vr i x vG i,

pri čemer je prijemališče krajevnega vektorja vr i v ishodišču koordinatnega sistema, ki miruje. Če se enačbo gibanja delca vektorsko pomnoži z leve strani s pripadajočim krajevnim vektorjem je,

vr k x mk va k = vr k x

vF k + vr k x

vf k j

j∑ , (k, j = 1, 2, ..... ,N).

Po definiciji je vrtilna količina sistema masnih točk enaka vektroski vsoti vrtilnih količin vseh delcev, ki sistem sestavljajo, torej, v

Γ = vΓi

i∑ = ( )v vr x m vi i i

i∑ .

Če se sedaj dobljene izraze sešteje po vseh delcih sistema in če se upošteva dejstvo, da velja,

v vr x m ai i∑ i = ddt

r x m vi

i i i∑ ( )v v = ddt

r x m vi i ii

( )v v∑ ,

tedaj je dobljeni rezultat enak,

106

ddt

vΓ

= v vr xFk

kk∑ + v v

r x fk kjk

j∑∑ (k, j = 1, 2, .... ,N)

Toda drugi izraz na desni je identično enak nič. To je lahko uvideti, če se v dvojni vsoti posamezni členi zapišejo po pripadajočih parih, in upošteva zakon o akciji in reakciji tako, da je tedaj n. pr. za k-ti in j-ti delec,

vr k x vf kj + vr j x

vf jk = ( vr k -

vr j) x vf kj = 0,

kajti vektorja ( vr k -

vr j) ter vf kj sta kolinearna in zato je njun vektorski produkt identično

enak nič. Prvi člen na desni predstavlja rezltanto navorov,

vM , vseh zunanjih sil s katerimi

okolica učinkuje na dani sistem delcev,

vM = v v

r xFk kk∑

zato se končni rezultat sedaj zapiše v obliki,

vM =

ddt

vΓ

,

kar pomeni, da je rezultanta navorov zunajih sil enaka spremembi vrtilne količine sistema masnih točk. Ob tem velja posebej poudariti, da enačba, kot je zapisana, velja za primer, ko je izhodišče koordinatnega sistema mirujoča točka, pri čemer so vsi navori zunanjih sil ter vrtilna količina sistema izraženi z ozirom na tako definirano mirujočo točko. Formalno podobno kot za masno točko se za sistem masnih točk zapiše izrek o sunku navora in spremembi vrtilne količine, v obliki

vMdt

t

t

1

2

∫ = = dvΓ

1

2

∫ ∆vΓ =

vΓ 2 -

vΓ 1,

pri čemer je pomembno dejstvo, da se vrtilna količina sistema lahko spremeni samo pod vplivom delovanja rezultante navorov (samo) zunanjih sil. Če je rezultanta navorov zunanjih sil, ki delujejo na sistem masnih točk enaka nič, je tedaj vrtilna količina sistema konstantna; torej za

vM = 0 sledi, da je v tem primeru,

vΓ 2 =

vΓ 1 = konstanta,

vektor vrtilne količine sistema delcev se s časom ne spreminja, t.j. velikost in smer vektorja celotne vrtilne koločine sistema,

vΓ , se ohranja. Poudariti velja, da v primeru, ko

je celotna vrtilna količina sistema konstantna, to pomeni, da se vrtilna količina kakšnega delca ali več delcev sicer lahko spremeni, toda v tem primeru mora sprememba vrtilne količine potekati tako, da se celotna vrtilna količina sistema masnih točk ohrani.

107

2.3 Transformacija vrtilne količine sistema masnih točk Vrtilna količina sistema delcev

vΓ , tako kot jo definira izraz,

vΓ =

vΓi

i∑ = ( )v vr x m vi i i

i∑ ,

je zapisana z ozirom na izhodišče koordinatnega sistema, ki miruje. Pogosto je tovrstni izraz za sistem delcev, ki se poljubno giblje, nepripraven za uporabo in je ugodneje izraziti vrtilno količino kot (vektorsko) vsoto dveh ustreznih prispevkov in sicer vrtilno količino sistema z ozirom na njegovo masno središče (neodvisno od načina gibanja) ter vrtilno količino masnega središča (z ozirom na mirujoče ishodišče koordinatnega sistema), kot da bi bila celotna masa sistema v tej točki prostora združena. Transformacija poteka na način, kot je prikazan na sliki 6.8. z’ è mi mk r ,

sv è ms

è vr ’i vr s v r k C y’

v z ’ x, r C ir

v è mj ,irv

è ml vr l y x Slika 6.8 . K transformaciji vrtilne količine sistema masnih točk. Mirujoči -prostorski- koordinatni sistem definira trojica stacionarnih koordinatnih osi, x, y in z. V masnem središču sistema delcev, ki ga definira krajevni vektor vr c, je postavljeno izhodišče telesnega, t.j. gibajočega se koordinatnega sistema ki ga definirajo osi x’, y’ in z’ izbrane tako, da so ves čas vzporedne koordinatnim osem prostorskega koordinatnega sistema. Telesni koordinatni sistem x’, y’ in z’ se v splošnem lahko giblje samo translatorno, pri čemer se njegovo izhodišče, ki sovpada z masnim središčem sistema delcev, v splošnem giblje pospešeno. Lego, vr k, in hitrost, vv k, poljubne k-te masne točke danega sistema delcev se s pomočjo telesnega koordinatnega sistema x’, y’ in z’, z izhodiščem v masnem središču, slika 6.8, se sedaj lahko zapiše,

108

vr k = vr c + vr k’ v&r k = v&r c + v&r k’,

pri čemer vektorja vr k’ in v&r k’ popisujeta sedaj lego in hitrost k-tega delca z ozirom na masno središče sistema masnih točk. Vrtilna količina

vΓ sistema je sedaj,

vΓ = ( ' ) ( & & ' )v v v vr r xm r rc k k c k

k

+ +∑ = v vr xm rc kk

&c∑ +

v v v v v v+ r xm rk kk

' &c∑ + r xm rc k

kk∑ & ' + r xm rk k k

k

' & ' ,∑

pri čemer se dobljeni rezultat poenostavi v končni izraz, v

Γ = vr c x m v&r c + v vr xm rk k kk

' & ' ,∑

če se upošteva, da mora veljati,

v vr xm rk kk

' &∑ c = ( )m rk kv '∑ x v&r c = m vr c’ x v&r c = 0,

saj je po definiciji krajevni vektor vr c’ masnega središča sistema delcev z ozirom na x’, y’ in z’ osi koordinatnega sistema z izhodiščem v masnem središču identično enako nič, torej vr c’ 0. Podobno velja za tretji člen kajti, ≡

v vr xm rc kk

k∑ & ' = vr c x ddt ( )m rk k

v '∑ = vr c x ddt

(m vr c’) = 0.

Celotna vrtilna količina sistema delcev,

vΓ , izražena z ozirom na mirujoče iskodišče

prostorskega koordinatnega sistema se torej zapiše kot vektorska vsota izrazov in sicer v

Γ = vr c x m vv c + vΓ c v v v

Γ = Γ tir + Γ c,

deleža, ki podaja vrtilno količino masnega središča sistema delcev (kot, da bi bila vsa masa združena v masnem središču) glede na mirujoče izhodišče, to je tirno vrtilno količino,

vΓ tir,

kjer je v

Γ tir = vr c x m vv c, plus vrtilno količino sistema delcev z ozirom na lastno masno središče, to je lastno vrtilno količino,

vΓ c, pri čemer je

vΓ c = v vr xm rk k k

k

' & '∑ = v vr xm vk kk

' 'k∑ .

V zadnjem izrazu na desni strani enačbe pomeni vv k’ hitrost k-tega delca, izraženo z ozirom na masno središče, C, sistema delcev.

109

Poudariti gre, da je iz dobljenega izraza za (celotno) vrtilno količino sistema delcev, vΓ , razvidno, da je le-ta enaka lastni vrtilni količini, tedaj in samo tedaj, če je hitrost masnega središča sistema delcev identično enako nič, t. j. vv c ≡ 0. Samo v tem posebnem primeru, je (celotna) vrtilna količina sistema delcev neodvisna od izbire mirujoče točke, t. j. od izhodišča mirujočega prostorskega koordinatnega sistema. Tako kot vrtilno količino je tudi rezultanto navorov zunanjih sil, ki deluje na sistem delcev moč zapisati kot vsoto ustreznih dveh deležev kajti izhajajoč iz transformacije koordinat delca je rezultanta navorov zunanjih sil enaka,

vM = v v

r xFkk

k∑ = ( ' )v v vr r xFk c

k

+ k∑

v v v vvM = r c x F + r xFk k

k

'∑ ,

jer je

vF rezultanta vseh zunanjih sil ki delujejo na sistem delcev. Izraz je moč

poenostavljeno zapisati kot vsoto dve prispevkov, v

M = v

M delca + v

M c,

kjer je

vM delca =

vr c x vF

navor rezultante zunajih sil

vF izražen z ozirom na ishodišče prostorskega koordinatnega

sistema, kot da je prijemališče rezultante sil v masnem središču sistema delcev ter

vM c = v v

r xFk kk

'∑

rezultanto navorov vseh zunanjih sil, ki delujejo na posamezne delce sistema, izračunano z ozirom na masno središče. Za masni delec, tako kot je bilo to pokazano v razdelku 6.2.2 vedno velja,

vM delca =

ddt

tir

vΓ

,

za sistem delcev pa,

vM =

ddt

vΓ

,

od koder sledi, da je

vM delca +

vM c =

ddt

tir

vΓ

+ ddt

c

vΓ

.

Prvi člen na levi se krajša s prvim členom na desni, tako da je končni rezultat enak,

110

v

M c = ddt

c

vΓ

,

kar pomeni, da je rezultanta navorov zunanjih sil, izračunana z ozirom na masno središče, enaka časovni spremembi lastne vrtilne količine sistema delcev. Dobljeni izraz velja za splošno gibanje masnega središča, tudi če se le-ta giblje pospešeno. Poudariti je potrebno, da so navori posameznih zunanjih sil in pa lastna vrtilna količina sistema delcev izračunani za primer izhodišča telesnega koordinatnega sistema, ki sovpada z masnim središčem sistema delcev, pri čemer pa morajo osi telesnega koordinatnega sistema ostati ves čas vzporedne osem prostorskega koordinatnega sistema. Če je rezultanta navorov,

vM c, izražena z ozirom na masno središče sistema, vseh

zunanjih sil, ki delujejo na dane delce sistema, enaka nič tedaj se lastna vrtilna količina sistema masnih točk ohranja, v

Γ c = v vr xm vk kk

' k '∑ = konstanta,

neodvisno od načina gibanja masnega središča. Zapisana trditev predstavlja eno izmed različic zakona o ohranitvi vrtilne količine sistema masnih točk.

111

2.4 Energija sistema masnih točk; Koenigs-ov teorem V trenutku t=t1 je sistem N masnih točk v prostoru določen z N krajevnimi vektorji vr k, k=1, 2, .... , N, ki kažejo iz izhodišča mirujočega prostorskega koordinatnega sistema pa do k-tega delca danega sistema masnih točk. Le-ta je sicer poljuben, toda takšen, da se N, število delcev sistema, ves čas ohranja. Tedaj velja, da je sistem delcev zaključen. Po definiciji vektorji vr k = vr k(t=t1), kjer je k=1,......, N, definirajo konfiguracijo sistema v času t=t1, to je lego vsake posamezne masne točke v prostoru v zapisanem trenutku. Po običaju se za opisano stanje sistema delcev navede, da se sistem delcev v času t=t1 nahaja v začetni konfiguraciji. Zaradi delovanja tako zunanjih kot notranjih sil se delci v splošnem gibljejo in se zato v času t=t2 sistem delcev v splošnem nahaja v drugači, t.j. končni konfiguraciji. V zvezi z opisano spremembo konfiguracije sistema delcev, ki se je odvila v časovnem intervalu t = t∆ 2 - t1, je pomembno poiskati odgovor na vprašanje kolikšno delo je pri tem opravila rezultanta vseh zunanjih in notranjih sil, ki učinkujejo na sistem masnih točk. Pri iskanju odgovora na zastavljeno nalogo je potrebno izhajati iz osnovne gibalne enačbe k-tega delca, ki se glasi,

vF k =

vF k’ + = m

vf k j

j

N

,=∑

1k va k,

kjer pomeni vF k rezultanto vseh sil, ki delujejo na k-ti delec in se bistveno razlikuje od

vF k’, ki na tem mestu označuje rezultanto samo zunanjih sil delujočih na zapisano masno točko. Po definiciji je delo dA enako skalarnemu produktu sile

vF in pomika prijemališča

sile d vr , zato velja, da je

dAk = vF k ⋅ d vr k,

delo rezultante vseh (tako zunanjih kot notranjih) sil, ki delujejo na k-ti delec. Celotno delo vseh sil pri spremembi konfiguracije sistema iz začetnega stanja v končno stanje je tedaj enako,

A = = = + , dAkt

t

k

N

1

2

1∫∑

=

v vF drkk

⋅∫∑1

2

k k

v vF drkk

'⋅∫∑1

2 v vf drk j kk j

,,

⋅∫∑1

2

pri čemer spodnja in zgornja meja integrala simbolizirata, da integracija poteka od začetne konfiguracije 1, do končne konfiguracije 2 sistema delcev, to je spremembe sistema, ki se je odvila v časovnem intervalu ∆ t = t2 - t1. Tretji člen zgornjega izraza, to je člen

v vF drk kk

⋅∫∑1

2

je mogoče pretvoriti na podoben način kot je bilo to izvedeno za en sam masni delec. Velja namreč,

112

v vF drkk

⋅∫∑1

2

k = = = m v drk k kk

v v& ⋅∫∑1

2

m v dv dtk k kk

v v& ⋅∫∑1

2

= d m vkk

( )121

22∫∑ = ∑ , dTk

k 1

2

∫

pri čemer izraz

Tk = m vk k

2

2

označuje kinetično energijo k-tega delca danega sistema masnih točk. S tako vpeljanim izrazom se poslednji člen zgornje vsote sedaj lahko zapiše,

dTkk 1

2

∫∑ = = = Td Tkk

( )∑∫1

2

dT1

2

∫ 2 - T1,

pri čemer je celotna kinetična energija sistema masnih točk definirana kot T, kjer je

T = Tkk∑ =

m vk k

k

2

2∑ .

Na takšen način je izpeljan končni rezultat, ki se formalno glasi podobno kot za primer ene same masne točke,

A = ∆ T = T2 - T1,

ki pove, da je delo rezultante (zunanjih in notranjih) sil na sistem masnih točk enako spremembi celotne kinetične energije sistema delcev. To je vsebina izreka o delu rezultante sil in spremembi kinetične energije za sistem masnih točk. Celotna kinetična enegija T danega sistema delcev, ki se glasi,

T = m vk k

k

2

2∑

je izražena z ozirom na mirujočo točko, t.j. z ozirom na izhodišče prostorskega kordinatnega sistema. Če se vpelje, podobno kot je bil to primer v prejšnjem razdelku, dodatni -telesni- koordinatni sistem z izhodišču v masnem središču sistema delcev, pri čemer mora orientacija osi telesnega sistema v vsakem trenutku sovpadati z orientacijo osi mirujočega prostorskega koordinatnega sistema, tedaj velja,

vr k = vr c + vr k’ v v vv k = v c + v k’

in zato se celotna kinetična energija sitema delcev zapiše v obliki vsote treh členov, v naslednji obliki,

113

T = 12

2m vk ck∑ + m v vk c k

k

v v⋅∑ ' + 12

2m vk kk

'∑ .

Drugi člen je identično enak nič saj je,

m v vk c kk

v v⋅∑ ' = vv c ⋅ m vk kk

v '∑ = vv c ⋅ ddt

m rk kk

v '∑ =

= vv c ⋅ ddt

mrc( 'v ) = 0,

krajevni vektor iz izhodišča telesnega sistema, do masnega središča sistema delcev, v primeru, ko izhodišče in masno središče sovpadata, identično enak nič, vr c’ 0. ≡ Celotna kinetična energija T sistema masnih točk se torej lahko zapiše kot,

T = mvc

2

2 + 1

22m vk k

k

'∑

vsota kinetične energije masnega središča, ki se giblje s hitrostjo vv c, kot da bi bila vsa masa sistema delcev združena v tej točki prostora ter kinetične energije, ki jo posedujejo delci sistema masnih točk z ozirom na pripadajoče masno središče. Tako zapisani izraz se imenuje Koenigs-ov teorem. Izrek o delu rezultante (zunanjih in notranjih) sil, ki učinkuje na sistem delcev in spremembi kinetične energije sistema masnih točk je bil izpeljan na osnovi samo levega dela izraza,

A = = + . v vF drk

k

⋅∫∑1

2

k k

v vF drkk

'⋅∫∑1

2 v vf drk j kk j

,,

⋅∫∑1

2

Toda nekatere izmed zunanjih sil, ki delujejo na delce sistema masnih točk so lahko konservativne sile za katere je značilno dejstvo, da se v splošnem dajo izraziti kot gradient neke skalarne funkcije -potenciala. Za ta primer je ugodno ustrezni člen zgornjega izraza zapisati v obliki, kjer se zunanje sile na sistem delcev eksplicitno ločijo na konservativne in nekonservativne sile,

v vF drkk

'⋅∫∑1

2

k = , v v v vF dr F drk k

k

( )' ( )'1 2

1

2

1

2

+

∫∫∑

pri čemer je rezultanta vseh zunanjih sil,

vF k

’, na delec zapisana kot vsota vF k

(1)’ rezultante (preostalih) zunanjih nekonservativnih sil ter

vF k

(2)’, zunanjo konservativno silo, ki (sočasno) delujejo na k-ti delec danega sistema masnih točk. Po predpostavki se zato lahko zapiše,

vF k

(2)’ = - gradk Vk(vr k) = -

∂∂

∂∂

∂∂

Vx

Vy

Vz

k

k

k

k

k

k

; ;

,

114

kjer je gradient potenciala eksplicitno zapisan v kartetičnih koordinatah. Zapisani izraz pomeni, da se k-ti delec nahaja v (skalarnem) polju Vk(

vr k) zunanje konservativne sile, ki deluje nanj pri čemer je navedeno skalarno polje funkcija samo koordinate danega delca ne pa tudi ostalih delcev sistema. V ilustracijo naj služi primer sila teže k-tega delca sistema, ki je enolično opisana s skalarno funkcijo (=potencialno energijo) Vk(

vr k) = mgzk, če je kartezični koordinatni sistem tako izbran, da je z-os pravokotna na zemeljsko površino. Seveda je v tem primeru potencial nekega drugega, n.pr. j-tega delca sistema masnih točk enak, Vj(

vr j) = mgzj. Delo takšne konservativne sile je tedaj podano z,

v vF dk k( )'2

1

2

⋅∫ r = - ∂∂

∂∂

∂∂

Vx

dxVy

dyVz

dzk

kk

k

kk

k

kk+ +

∫

1

2

=

= - = - ( VdVk1

2

∫ k,2 - Vk,1),

kar pomeni, da je delo (zunanje) konservativne sile, ki deluje na k-ti delec, med spremembo danega sistema delcev iz začetnega v končno stanje, enako (negativni) razliki potencialne energije k-tega delca kot jo le-ta poseduje v končnem in začetnem stanju. Celotno delo zunanjih sil na sistem masnih točk, pri spremembi konfiguracije sistema iz začetnega stanja v končno stanje je tako enako,

v vF drkk

'⋅∫∑1

2

k = A(1) - , ( ), ,V Vk kk

N

2 11

−=∑

pri čemer pomeni A(1) delo vseh preostalih zunanjih nekonservativnih sil, ki delujejo na sistem delcev, to je,

A(1) ≡ . v vF dk k

k

N( )'1

1

2

1

⋅∫∑=

r

r

Na podoben način se lahko obravnava tudi drugi člen, ki popisuje delo notranjih sil sistema masnih točk, t.j člen,

v vf drk j kk j

,,

⋅∫∑1

2

= , v v v vf dr f dk j k k j k

jk

( ),

( ),

1 2

1

2

1

2

⋅ + ⋅

∫∫∑∑

pri čemer je rezultanta notranjih sil na k-ti delec razdeljena na nekonservativni delež, vf (1)

k,j, ter preostalo konservativno silo vf (2)

k,j. v

Konservativna notranja sila, f (2)k,j, je sila s katero deluje j-ti delec na dano k-to masno

točko in ker je sila konservativna se mora izražati kot gradient skalarne funkcije, označene kot Vk,j. Izkaže se, da zaradi zahteve, da: a) notranje sile delujejo vzdolž veznice med delci in b) da mora tudi za notranje sile veljati zakon o akciji in reakciji, je tedaj skalarna funkcija Vk,j lahko odvisna samo od absolutne vrednosti izraza v vr rk − j , to je razmaka med obema delcema, torej,

115

Vk,j ≡ Vk,j(

vr k,vr j) = Vk,j (

v vr rk − j ),

tako, da se v tem primeru notranja sila zapiše kot gradient potenciala v obliki,

vf (2)

k,j = - gradk Vk,j = - ∂∂

∂∂

∂∂

Vx

Vy

Vz

k j

k

k j

k

k j

k

, ,; ;

, .

pri čemer po definiciji velja, da je potencial Vk,j za k=j identično enak 0, to je

Vk,k ≡ 0 (k=1, 2, ..... , N). Po daljši in matematično nekoliko zapleteni izpeljavi je mogoče pokazati, da je delo notranjih konservativnih sil pri spremembi konfiguracije sistema delcev iz začetnega stanja v končno stanje enako,

v vf k j kjk

( ),

2

1

2

⋅∫∑∑ dr = - ( ) ( )[ ]12 1 1

2 1k

N

j

N

k j k jV V= =∑ ∑ −, , ,

(negativni) spremembi notranje potencialne energije sistema izračunane med končnim in začetnim stanjem sistema masnih točk. Faktor 1/2 pred izrazom na desni nastopa zaradi dejstva, da je vsak par delcev v vsoti seštet natanko dva-krat. Potencialna energija je skalarna funkcija lege masne točke. Gornja izraza za potencialno energijo zunanjih ter notranjih se lahko združi v eno samo skalarno funkcijo, ki je poimenovana potencialna energija sistema masnih točk, V, pri čemer je le-ta definirana kot,

V = + Vkk

N

=∑

1

12 11

Vk jj

N

k

N

,==∑∑ ,

kjer je potencialna energija sistema sistema funkcija koordinat vseh N delcev, ki sestavljajo sistem masnih točk, t.j.,

V = V( vr 1, vr 2, .... ,

vr N).

Rezultate pričujočega razdelka je sedaj mogoče strniti v bolj zgoščeni obliki zapisa izreka o delu rezultante sil in spremembi kinetične energije sistema delcev, pri čemer po predpostavki na sistem masnih točk delujejo tako zunanje kot notranje konservativne in nekonservativne sile, kot predstavljeno zgoraj. V tem primeru sledi,

v vF drkk

⋅∫∑1

2

k ,1 = A(1) - + A( ),V Vk kk

N

21

−=∑ (1)

not. sil - ( ) ( )[ ]12 1 1

2 1k

N

j

N

k j k jV V= =∑ ∑ −, , ,

kjer simbola A(1) ter A(1)

not. sil označujeta delo zunanjih nekonservativnih in delo notranjih nekonervativnih sil. Leva stran enačbe je po definiciji enaka delu rezultante vseh (zunanjih

116

in notranjih) sil, ki učinkujejo na dani sistem masnih točk in zaradi katerih se spremeni stanje sistema iz začetne konfiguracije v končno konfiguracijo. Toda, kot je razvidno zgoraj, je delo rezultante vseh sil na sistem masnih točk enako spremembi kinetične energije zato, z upoštevanjem definicije celotne potencialne energije, velja

T2 - T1 = A(1) + A(1)not. sil - (V2 - V1),

in če se za oba deleža, ki izhajata iz prispevka nekonservativnih sil, uvede simbol A*, tedaj se zapisani izraz poenostavi v,

A* = ∆ T + ∆ V = T2 - T1 + (V2 - V1),

kar pomeni, da je delo vseh nekonservativnih sil na sistem masnih točk enako spremembi celotne kinetične in celotne potencialne energije sistem delcev. Če se definira celotno mehansko energijo sistema masnih točk, E, kot vsoto celotne kinetične in celotne potencialne energije sistema delcev,

E = T + V,

tedaj se gornji izraz za delo nekonservativnih sil zgoščeno zapiše v obliki,

A* = ∆ E = E2 - E1 = (T+V)2 - (T+V)1. Delo vseh, notranjih in zunanjih, nekonservativnih sil na sistem delcev je enako spremembi celotne mehanske energije sistema masnih točk. To je vsebina nadvse pomembnega in priročnega izreka o delu nekonservativnih sil in spremembi mehanske energije zaključenega sistema delcev. Če je delo nekonservativnih sil enako nič, tedaj iz zgornjega izreka za sistem masnih točk sledi,

0 = ∆ E = E2 - E1,

ali drugače zapisano,

E t t= 1 = E t t= 2

oziroma,

T + V = konstanta,

kar pomeni, da je vsota celotne kinetične in celotne potencialne energije sistema delcev od časa neodvisna količina. S tem je zajeta vsebina izreka o ohranitvi celotne mehanske energije sistema masnih točk, ki velje le tedaj, kot je razvidno zgoraj, če je delo vseh nekonservativnih sil, ki učinkujejo na sistem, enako nič.

117

Zgled: z m2 m1 θ z1 u) 1r

v2rv

x x1 Zapiši izraza za kinetično energijo T in potencialno energijo V sistema dveh delcev mas m1 in m2, glej skico, spojenih z vzmetjo konstante K. Sistem lahko drsi po brezmasnem drogu. Dolžina neraztegnjene vzmeti je L. V nekem trenutku oklepa drog kot θ s horizontalo, raztezek vzmeti v tem trenutku pa označimo z ξ. Seveda velja, ξ = ξ(t). Iz zgornje skice je razvidno:

2rv = r + (L + ξ) 1

v u) kjer je u) enotni vektor vzdolž veznice delcev usmerjen iz delca mase m1 v smeri proti delcu mase m2. V izbranem koordinatnem sistemu očitno velja, u) = (cosθ, sinθ) ) uu )⋅ = cos2 θ + sin2 θ = 1 )u& = (- sin θ , cos θ) θ& Sedaj neposredno izhaja,

2r&v = r1

&v + (L + ξ) u&) + ξ& u) , tako, da se rezultat v komponentni obliki zapiše,

2x& = + cos θ - (L + ξ) sin θ 1x& ξ& θ&

2z& = + sin θ + (L + ξ) cos θ 1z& ξ& θ&

Kinetična energija sistema delcev je,

118

T = ∑⋅2

1 2iii rrm &v&v

= ( )

2

21

211 zxm && + +

( )2

22

222 zxm && + ,

Kinetična energija sistema je tedaj, ko v izraz za kinetično energijo izrazimo zgoraj zapisani komponenti hitrosti delca mase m2, funkcija 4 neodvisnih koordinat, x1, z1, ξ in θ. Potencialna energija sistema delcev je po definiciji,

V = + ∑2

1iV ∑∑

= =

2

1

2

1,2

1i j

jiV

pri čemer prvi člen podaja potencialno energijo delca zaradi zunanjih konservativnih sil, drugi pa potencialno energijo delcev zaradi notranjih konservativnih sil. Seveda velja, Vii ≡ 0. Potencialna energija zapisanega sistema je tedaj enaka,

V = m1g z1 + m2 g z2 +

+

2221 22 ξξ KK

V = (m1 z1 + m2 z2) g + .2

2ξK

119

3. Splošni zakoni dinamike togega telesa 3.1 Enačbe gibanja togega telesa Po definiciji je togo telo sestavljeno iz N masnih točk (pri čemer je N lahko tudi zelo veliko število, saj n. pr. kilomol poljubne snovi vsebuje N ≈ 1026 molekul) za katere je značilno dejstvo, da so razmaki med vsemi posameznimi delci togega telesa konstantni, neodvisni od časa in neodvisni od delovanja zunanjih (in notranjih) sil in navorov. Ker je togo telo po definiciji sistem masnih točk, ki poseduje posebno značilnost, razmaki med delci so namreč konstantni, veljajo za togo telo vsi tisti izreki, ki so bili izpeljani v prejšnjem poglavju in opisujejo dinamiko sistema masnih točk. Značilnosti gibanja togega telesa opredeljujeta dva pomembna teorema: 1. splošno gibanje togega telesa okoli poljubne, togemu telesu pripadajoče, mirujoče točke

je ekvivalentno zavrtitvi (rotaciji) okoli premice, ki poteka skozi dano mirujočo točko (teorem Eulerja).

Premica okoli katere se zavrti telo je definirana kot trenutna os rotacije togega telesa. Zavrtitve (rotacije) so lahko odvijajo za končne vrednosti kota zavrtitve ali pa za njegove infinitezimalne vrednosti. V splošnem velja, da končne zavrtitve ne morejo biti predstavljene v obliki vektorjev zaradi dejstva, da dve poljubni končni zavrtitvi ne zadoščata pogoju komutativnosti. Zapisanemu pogoju pa vedno zadoščajo

v infinitezimalne zavrtitve zato jih je moč zapisati kot vektorje (n. pr. dϕ ), 2. v primeru, ko ne obstaja mirujoča točka telesa, se splošno gibanje togega telesa v

prostoru lahko opiše kot sestavljeno iz translacije togega telesa plus zavrtitve okoli ustrezne točke telesa, ki jo je moč pogosto poistovetiti z masnim središčem (teorem Chasle-ja).

Za togo telo veljajo torej naslednji spodaj zapisani izrazi s katerimi se popisuje značilnosti gibanja togega telesa. 1. Newton-ov zakon za togo telo - izrek o gibanju mesnega središča,

vF = m va c = m v&&r c

ki pravi, da je pospešek masnega središča togega telesa, va c, enak rezultanti vseh zunanjih sil,

vF , ki nanj učinkujejo, deljeno z maso m togega telesa. Pospešek masnega središča va c

je povezan z drugim odvodom krajevnega vektorja masnega središča, vr c, kjer je ,

vr c = 1m

r dmv∫

in lega masnega elementa, dm, togega telesa je določena s krajevnim vektorjem vr , ki kaže iz mirujoče točke do danega elementa dm na katere je togo telo (v mislih) razdeljeno. V

120

kartezičnem koordinatnem sistemu je zgornja vektorska enačba ekvivalentna trem skalarnim izrazom in sicer,

xc = 1m

xdm∫

yc = 1m

ydm∫

zc = 1m

zdm∫

2. Izrek o sunke rezultante zunanjih sil in spremembi gibalne količine togega telesa,

vFdt

t

t

1

2

∫ = ∆vG =

vG 2 -

vG 1,

kjer je gibalna količina togega telesa definirana kot,

vG

vG = m vv c.

3. Izrek o rezultanti navorov zunanjih sil in spremembi vrtilne količine sistema,

v

M = ddt

vΓ

= vr c x m vv c + ddt

vΓ'

,

kjer je

vM rezultanta navorov zunanjih sil na togo telo,

vΓ pa celotna vrtilna količina

togega telesa, v

Γ = vr c x m vv c + vΓ ’,

oboje izraženo z ozirom na mirujočo točko v prostoru (izhodišče mirujočega koordinatnega sistema),

vΓ ’ pa je vrtilna količina togega telesa izračunana z ozirom na

njegovo masno središče. Z ozirom na masno središče, katerega lega je določena s krajevnim vektorjem vr c, z izhodiščem v mirujoči točki, in ki se v splošnem giblje z neko hitrostjo vv c = vv c(t), je ustrezneje računati z izrazom,

vM ’ =

ddt

vΓ'

,

ki povezuje rezultanto navorov vseh zunanjih sil izraženo z ozirom na masno središče, v

M ’, ter celotno vrtilno količino togega telesa, vΓ ’, ki je prav tako izračunano z ozirom na

njegovo masno središče, pri čemer je vΓ ’ sedaj,

121

vΓ ’ = v vr dmv

V

' '×∫ ,

kjer je vr ’ krajevni vektor iz masnega središča, do masnega elementa togega telesa dm, katerega trenutna hitrost (z ozirom na masno središče) je vv ’ in integracija po dm poteka po celotnem območju telesa. 4. Izrek o sunku rezultante navora zunanjih sil in spremembi vrtilne količine,

vM dt

t

t

1

2

∫ = ∆vΓ =

vΓ 2 -

vΓ 1

oziroma v alternativni obliki, ki zadeva navore in vrtilno količino togega telesa podane z ozirom na masno središče. 5. Izrek o delu nekonservativnih sil in spremembi mehanske energije togega telesa se glasi,

A* = (T2 - T1) + (V2 - V1) = ∆ E E = T + V,

kjer je kinetična energija togega telesa podana z,

T = 12

2v dm∫

in kot običajno je v2 = vv ⋅ vv in vv je hitrost masnega elementa dm z ozirom na mirujočo točko. 3.2 Kinetična energija togega telesa Z uporabo Koenigs-ovega teorema je izraz za kinetično energijo togega telesa moč zapisati kot vsoto dveh členov,

T = 12

2v dm∫ = mvc

2

2 + 1

22v dm'∫ ,

kjer je drugi člen na levi strani enačbe tokrat izražen z ozirom na masno središče. Zapisana potencialna energija, V, togega telesa je potencialna energija, ki jo ima togo telo v prostoru

122

zaradi samo zunanjih konservativnih sil, kajti prispevek k potencialni energiji zaradi konstantnih notranjih sil med delci je konstanta, ki se jo lahko vzame kot da je identično enaka nič, kar izhaja iz dejstva, da v izreku o delu nekonservativnih sil nastopa samo razlika potencialne energije in ne potencialna energija sama. Toda drugi izraz na levi strani enačbe je moč nekoliko preoblikovati, če se upošteva, da je hitrost masnega delca dm, z ozirom na masno središče podana z,

vv ’ = vω x vr ’, saj je gibanje masnega elementa togega telesa, dm, katerega lego z ozirom na njegovo masno središče podaja vektor vr ’, lahko le vrtenje s trenutno kotno hitrostjo ω okoli trenutne rotacijske osi, vω , ki poteka skozi masno središče. Tako sedaj sledi,

vv ’ ⋅ vv ’ = vv ’ ⋅ ( vω x vr ’) = vω ⋅ ( vr ’ x vv ’), kar pomeni, da je integral enak

v dm'2∫ = vω ⋅ v vr dmv' '∫ × ≡ vω ⋅vΓ ’,

skalarnemu produktu trenutne kotne hitrosti togega telesa vω s pripadajočo vrtilno količino, vΓ ’, izvrednoteno z ozirom na njegovo masno središče. Kinetična energija togega telesa, izražena z ozirom na mirujočo točko, se tako sedaj v splošni obliki lahko zapiše,

T = mvc

2

2 +

v vω ⋅ Γ'

2.

Izpeljana enačba je najbolj splošen izraz za kinetično energijo togega telesa. 3.2.1 Vrtenja togega telesa okoli stalne osi, ki poteka skozi masno središče; rotacijska kinetična energija Samo v primeru, da se togo telo vrti okoli stalne osi v prostoru, katere smer določa enotni vektor vzdolž rotacijske osi )n , pri čemer velja vω = ω )n , se lahko drugi člen poslednjega izraza, ki podaja rotacijsko kinetično energijo togega telesa z ozirom na masno središče, zapiše v bolj poznani obliki, kot bo razvidno v nadaljnjem. v V primeru stalne osi vrtenja, se lahko splošni izraz za vrtilno količino Γ ’ togega telesa kot izraženo z ozirom na masno središče, nekoliko preuredi in sicer,

vΓ ’ = v vr dmv

V

' '×∫ = ∫ ′×′V

dmrxr )( vvv ω =

= [ ]v v v vω ωr r r dV

' ' ( )2 − ⋅∫ m .

Izraz, vω ⋅

vΓ ’ = [ ]ω ω2 2 2r r

V

' ( ' )− ⋅∫ dmv v =

123

= [ ]ω ω δ2 2 2r r' ( ' cos )−∫ dm ,

je mogoče v tem primeru bistveno poenostaviti. Iz definicije sledi, da je kot δ kot med vektorjema vω in vr ’, zato je r’cosδ projekcija krajevnega vektorja masnega elementa dm na rotacijsko os,

r’|| = r’ cosδ

in z uporabo Pitagorjevega izreka sledi,

r’2 - (r’ cosδ )2 = r’2 (1 - cos2δ ) = (r’ sinδ )2 = r’2

, kjer pa sedaj r’ pomeni pravokotno oddaljenost masnega elementa dm do osi vrtenja. Na takšen način sledi končni rezultat, ki je

Tc = v vω ⋅ Γ'

2 =

Jc ω2

2,

dobro znani izraz za rotacijsko kinetično energijo togega telesa z ozirom na masno središče, pri čemer je,

Jc = ( ' )r dpravV

2∫ m ,

kjer je r’prav r’≡ in zato je, po definiciji, izpeljani izraz vztrajnostni moment togega telesa z ozirom na rotacijsko os, ki poteka skozi masno središče. 3.3 Tenzor vztrajnostnega momenta togega telesa Vrtilna količina togega telesa izračunana z ozirom na pripadajoče masno središče se glasi,

vΓ ’ = ( ' ' )v vr dmv×∫ ,

kjer je vr ’ krajevni vektor iz masnega središča do masnega elementa mase dm togega telesa, ki se z ozirom na masno središče kroži s trenutno hitrostjo vv ’. Le-ta je enaka,

vv ’ = vω ’ x vr ’

kjer pomeni vω ’ trenutno kotno hitrost vrtenja togega telesa (in delca dm) okoli osi, ki poteka skozi masno središče. Z uporabo identitete,

vr ’ x ( vω ’ x vr ’) = vω ’( vr ’ ⋅ vr ’) - vr ’( vr ’ ⋅ vω ’), se vrtilna količina

vΓ ’ tedaj zapiše,

124

vΓ ’ = [ ]r r r' ' '( )2 dmv v v vω ω− ⋅∫ .

Projekcija vrtilne količine ’ na osi telesnega (neinercialnega) koordinatnega sistema, S’, katerega orientacija osi sovpada z orientacijo osi mirujočega prostorskega sistema, S, podaja komponente vrtilne količine, ki so

vΓ

Γ ’x = ω ’x - ( )r x d' '2 2−∫ m ω ’y - x y dm' '∫ ω ’z x z dm' '∫Γ ’y = ω ’y - ( )r y d' '2 2−∫ m ω ’x - x y dm' '∫ ω ’z y z dm' '∫Γ ’z = ω ’z - ( )r z d' '2 2−∫ m ω ’x - x z dm' '∫ ω ’y , y z dm' '∫

kajti komponente trenutne kotne hitrosti, vω ’ ter krajevnega vektorja, vr ’ na koordinatne osi neinercialnega sistema z zhodiščem v masnem središču so,

vω ’ = ω ’x )i ’ + ω ’y

vj ’ + ω ’z

)k ’

) v )vr ’ = x’ i ’ + y’ j ’ + z’ k ’ kjer podajajo enotni vektorji

)i ’,

vj ’ in

)k ’ (stalno) orientacijo osi neinercialnega

koordinatnega sistema z izhodiščem v masnem središču togega telesa. Dobljeni izraz je mogoče zapisati v bolj pregledni obliki, če se definira vztrajnostne momente togega telesa, J’xx, J’yy in J’zz, okoli koordinatnih osi x’-, y’- ter z’-osi,

J’xx = ( )r x d' '2 2−∫ m = ( )y z d' '2 2+∫ m

J’yy = ( )r y d' '2 2−∫ m = ( )x z d' '2 2+∫ m

J’zz = ( )r z d' '2 2−∫ m = ( )x y d' '2 2+∫ m

ter deviacijske momente, oziroma vztrajnostne produkte, J’xy, J’xz ter J’yz, pri čemer so le-ti podani z izrazi,

J’xy = - = J’x y dm' '∫ yx

J’xz = - = J’x z dm' '∫ zx

J’yz = - = J’zy y z dm' '∫

ter so očitno simetrični. S tako definiranimi količinami se komponente vrtilne količine sedaj lahko zapišejo,

Γ ’x = J’xx ω ’x + J’xy ω ’y + J’xz ω ’z Γ ’y = J’yx ω ’x + J’yy ω ’y + J’yz ω ’z Γ ’z = J’zx ω ’x + J’zy ω ’y + J’zz ω ’z

125

kar pomeni, da se komponente vektorja vrtilne količine togega telesa izražajo kot linearna kombinacija vseh treh komponent vektorja kotne hitrosti, vω ’. Na tem mestu gre opozoriti, da so vztrajnostni momenti, J’jj in vztrajnostni produkti (deviacijski momenti) J’jk (j, k=x, y, z) funkcija časa, kajti zaradi gibanja (vrtenja) togega telesa je vr ’ = vr ’(t). Seveda v splošnem tudi velja, da je vω ’ = vω ’(t). Krajevni vektor vr ’ do danega masnega elementa dm togega telesa pa je od časa neodvisen vektor, če se definira relativno na togo telo mirujoči -telesni- koordinatni sistem. Gre za, s togim telesom, trdno povezani koordinatni sistem (definiran z med seboj pravokotnimi koordinatnimi osmi x, y in z) katerega izhodišče se nahaja v masnem središču togega telesa in zaradi časar se orientacija osi tedaj spreminja v prostoru skladno reorientaciji togega telesa. Z ozirom na tako definirani telesni sistem so vsi vztrajnostni momenti ter vztrajnostni produkti, kot definirani zgoraj, od časa neodvisne količine. Krajevni vektor vr ’ do danega masnega elementa dm izražen v zapisanem telesnem koordinatnem sistemu je od tod naprej označen brez črtice, torej vr , pri čemer sedaj velja, da je vr ≠ vr (t). Podobno bo veljalo za vse preostale količine, n.pr. vztrajnostne momente, vztrajnostne produkte, vrtilno količino, itd. Povezavo med obema sistemoma, katerih koordinatni izhodišči se nahajata v masnem središču togega telesa in zato sovpadata, podaja transformacijska matrica Â. Njeni elementi so funkcije Eulerjevih kotov in matrica prevede telesni sistem v neinercialni sistem, katerega koordinatne osi ohranjanjo orientacijo v prostoru. Velja seveda,

vr ’ = Â(t) vr ,

pri čemer se dolžina krajevnega vektorja do masnega elementa dm ohranja, torej r’ = r. Zaradi reorientacije telesa so seveda vsi trije Eulerjevi koti funkcija časa in reorientacija togega telesa je enolično določena, če je eksplicitno poznana časovna odvisnost Eulerjevih kotov. Z ozirom na tako definirani telesni sitem se sedaj komponente vrtilne količine togega telesa zapišejo,

Γ x = Jxx ω x + Jxy ω y + Jxz ω z Γ y = Jyx ω x + Jyy ω y + Jyz ω z Γ z = Jzx ω x + Jzy ω y + Jzz ω z,

kar pa je možno preoblikovati v prikladnejšo matrično zapisavo, če se vektor vω definira kot enostolpično matrico,

vω = , ωωω

x

y

z

matrico, poimenovano tenzor, vztrajnostnega momenta J , kot

J = . J J JJ J JJ J J

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

126

Z direktnim izračunom je kaj lahko pokazati, da velja naslednja zveza med vrtilno količino in vektorjem kotne hitrosti, v

Γ = J vω .

Slednji izraz pove, da pri splošnem gibanju togega telesa vektor vrtilne količine, vΓ , ter

vektor kotne hitrosti, vω , nista kolinearna, oziroma da se smeri obeh zapisanih vektorjev v prostoru med seboj razlikujeta. Zgoraj definirana matrica, tenzor vstrajnostnega momenta togega telesa, J , je matrica, ki jo sestavlja devet elementov, med katerimi so, zaradi simetrije, trije med seboj enaki tako, da je samo šest elementov tenzorja različnih in sicer: trije vztrajnostni momenti, Jjj ter trije vztrajnostni produkti, Jjk. Zaradi zapisanega dejstva, je zgoraj definirani tenzor vztrajnostnega momenta J simetrična matrica, oziroma simetrični tenzor. Da je zgoraj definirana matrica J pravzaprav tenzor drugega reda izhaja iz naslednje lastnosti dane matrice. Naj bo Â(t) transformacijska matrica, ki prevede dani telesni koordinatni sistem v drugi telesni sistem, ki se od prvega razlikuje samo po orientaciji osi. Ker je tudi drugi sistem s telesom togo povezan so elementi transformacijske matrice, ak,l (k, l = 1, 2, 3), od časa neodvisne konstante. V tem drugem koordinatnem sistemu se matrica vztrajnostnega momenta zapiše kot (simetrična matrica) J ’, katerega 9 elementov je J’kl. Seveda mora tudi v tem drugem -novem- sistemu veljati izraz, v

Γ ’ = J ’ vω ’,

kjer je ’ vrtilna količina telesa z ozirom na navedeni drugi telesni koordinatni sistem. Čeprav je mogoče izračunati matrico vzrajnostnega momenta,

vΓ

J ’, v tem drugem telesnem sistemu iz definicije je bolj ugodno poiskati navedeni izraz neposredno, to je s transformacijo prvotne matrice J . To se stori na način, kjer se prvotni izraz za vrtilno količino pomnoži s transformacijsko matrico in sicer, v

Γ = J vω / Â(t) v

Â(t) Γ = Â(t) ( J vω ) Â(t)

vΓ = Â(t) ( J (Â(t))-1 Â(t) vω ),

toda ker je vΓ ’ = Â(t)

vΓ

v vω ’ = Â(t) ω ,

je iz primerjave z začetnim izrazom takoj mogoče dobiti željeno transformacijo,

J ’ = Â(t) J (Â(t))-1,

ki je, kot je to bilo poudarjeno v poglavju o lastnostih linearnih transformacij, podobnostna preslikava, saj je transformacijska matrica Â(t) ortogonalna matrica. Če se dobljeno podobnostno transformacijo zapiše po elementih matrice J ’, to je po elementih J’kl, velja,

127

J’kl = , a a Jkm mnnm

ln==∑∑

1

3

1

3

pri čemer so akm elementi (ortogonalne) transformacijske matrice Â, ki prevede prvi telesni sistem v drugega. Dobljeni izraz pove, da se pri rotaciji koordinatnega sistema, vsi elementi prvotne matrice vztrajnostnega momenta transformirajo s pomočjo elementov transformacijske matrice na naznačeni način, kot kvadratna forma elementov matrice Â, v elemente vztrajnostnega momenta zapisanega v drugem, zavrtenem, koordinatnem sistemu. Vsaka matrica, katere elementi se pri zavrtitvi koordinatnega sistema transformirajo na zgoraj zapisan način je po definiciji tenzor drugega reda. Poleg tenzorja vztrajnostnega momenta drugi najbolj pogosti tenzorji s katerimi se bralec še često srečuje so n.pr., napetosti tenzor v elastomehaniki, tenzor dielektrične konstante, tenzor magnetne permeabilnosti itd. Rotacijska kinetična energija togega telesa, izračunana z ozirom na masno središče telesa, je torej zapletena kvadratna forma komponent vektorja kotne hitrosti in sicer,

Tc = v vω ⋅Γ

2 =

v vω ω⋅ (J2

) =

= 12

(Jxxω x2 + Jyyω y

2 + Jzzω z2 + 2Jxyω xω y + 2Jxzω xω z + 2Jyzω yω z).

Pa naj velja, da je smer vektorja kotne hitrosti ωv v telesnem koordinatnem sistemu podana z enotnim vektorjem )n , tako da velja,

vω = ω (cosα )i + cos β

vj + cos γ

)k ),

kjer so α , β in γ koti, ki jih oklepa vektor )n z odgovarjajočimi koordinatnimi osmi telesnega sistema. V tem primeru, se izraz za kinetično energijo, Tc, glasi,

Tc = ω2

2J*,

kjer je izraz J* definiran kot,

J* = (Jxx cos2α + Jyy cos2β + Jzz cos2γ + + 2Jxy cosα cosβ + 2Jyz cosβ cosγ + 2Jxz cosα cosγ ).

Z novo matematično transformacijo in sicer z uvedbo vektorja vu , s komponentami v danem telesnem sistemu,

vu = ux )i + uy

vj + uz

)k

takšnega da je

vu = vnJ *

,

128

se tedaj gornji izraz za J* prelevi v,

Jxxux2 + Jyyuy

2 + Jzzuz2 + 2 Jxyuxuy + 2 Jxzuxuz +2 Jyzuyuz = 1.

Dobljeni izraz pa je natančno enak enačbi elipsoida zapisanega kot funkcija spremenljivk (koordinat), ux, uy ter uz, zato se gornji izraz imenuje enačba elipsoida vztrajnostnega momenta. Toda iz matematike je dobro poznano dejstvo, da je vedno mogoče zavrteti dani pravokotni koordinatni sistem v novi koordinatni sistem u1, u2 in u3, v katerem zavzame enačba elipsoida svojo normalno obliko, t.j.,

J1 u12 + J2 u2

2 +J3 u32 = 1,

tako, da glavne osi elipsoida vztrajnostnega momenta ležijo sedaj vzdolž novih koordinatnih osi. Koeficienti Jk (k=1, 2, 3) se tedaj imenujejo glavni vzrajnostni momenti in enotni vektorji, ki podajajo orientacijo novih koordinatnih osi z ozirom na prejšnji sistem se imenujejo glavne osi elipsoida vztrajnostnega momenta. 3.4 Diagonalizacija tenzorja vztrajnostnega momenta togega telesa; lastne vrednosti in lastni vektorji tenzorja V prejšnjem razdelku je bilo pokazano, da je tenzor vztrajnostnega momenta togega telesa, J , simetrični tenzor, katerega elementi zavisijo od orientacije osi telesnega koordinatnega sistema. V posebnem, pri zavrtitvi telesnega koordinatnega sistema z izhodiščem v masnem središču, se dani tenzor J , preslika s podobnostno transformacijo, izvedena s pomočjo transformacijske matrice Â, v tenzor vztrajnostnega momenta J novi, v novem, t.j. zavrtenem, telesnem koordinatnem sistemu. Velja naslednje,

J novi = Â J Â-1,

kjer je Â-1 inverzna matrica k matrici Â, kar pomeni, da je  Â-1 = Â-1  = E, pri čemer je E enotna matrica. V primeru, da uspe najti takšno transformacijsko matrico Â, da je tenzor vztrajnostnega momenta v novem koordinatnem sistemu diagonalen, t.j.

J novi = , J

JJ

1

2

3

0 00 00 0

je tedaj izraz za kinetično energijo togega telesa, Tc, bistveno poenostavljen in se glasi,

Tc = v vω ⋅ Γ

2 =

( )v vω ωtr novi trJ⋅2

,

129

kar se prevede v enostavni izraz,

Tc = J1 1

2

2ω

+ J2 2

2

2ω

+ J3 3

2

2ω

.

V zgornjih izrazih je vω tr vektor kotne hitrosti zapisan v transformiranem (zavrtenem) novem koordinatnem sistemu, katerega projekcije na koordinatne osi so, ω 1, ω 2 in ω 3. Kotna hitrost v novem sistemu se tedaj zapiše,

vω tr = ω 1 )e 1 + ω 2

)e 2 + ω 3 )e 3,

kjer podajajo enotni vektorji )e l (l=1, 2, 3) smeri koordinatnih osi novega pravokotnega koordinatnega sistema. Koeficienti Ji (i=1, 2, 3), se v tem primeru imenujejo lastne vrednosti tenzorja vztrajnostnega momenta togega telesa in kot zapisano zgoraj, ležijo vzdolž glavnih osi tenzorja (t.j. elipsoida), ki jih definirajo novi enotni vektorji )e i (i=1, 2, 3). V nadaljnjem je potrebno poiskati odgovor na vprašanje, kako izračunati glavne vrednosti in glavne osi tenzorja vztrajnostnega momenta togega telesa. Postopek je naslednji: člene zgornje podobnostne preslikave se z obeh strani enačbe pomnoži z transformacijsko matrico Â, tako da se dobi,

J novi  =  J .

V poglavju o linearnih transformacijah je bilo ugotovljeno, da je transformacijska matrica, Â, ortogonalna matrica, katere splošna oblika se zapiše,

 = , a a aa a aa a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

kjer pa je tokrat potrebno elemente še izračunati. Elementi tenzorja vztrajnostnega momenta J so izvrednoteni v prvotnem telesnem koordinatnem sistemu in so zato znane konstante. Ker je tenzor J simetrični tenzor seveda velja,

J = J T,

kajti operacija transponiranja pusti simetrični tenzor nespremenjen, t.j. invarianten. Izraz, ki ga je potrebno rešiti, t. j., J novi  =  J , zapisan v matrični obliki,

a a aa a aa a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

J J JJ J JJ J J

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

= J

JJ

1

2

3

0 00 00 0

a a aa a aa a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

se z definicijo novih vektorjev,

vX k, ki se jih tvori iz stolpičev transformacijske matrice Â,

130

vX k = (k = 1, 2, 3),

aaa

k

k

k

1

2

3

na osnovi neposredne primerjave elementov rezultirajočih matric leve in desne strani gornje matrične enačbe, takoj neposredno prevede v reševanje 3 ločenih skupin enačb (kjer po trije elementi vsake vrstice rezultirajočih matric leve in desne strani tvori eno skupino enačb), ki se glasijo,

J vX k = Jk

vX k (k = 1, 2, 3),

To je dobro poznani izraz za izračun lastnih vrednosti, Jk, in lastnih vektorjev,

vX k,

(realnega, simetričnega) tenzorja vztrajnostnega momenta, J . Značilnost zapisane enačbe lastnih vrednosti in lastnih vektorjev je v dejstvu, da se k danemu tenzorju išče lastno vrednost Jk in njemu pripadajoči lastni vektor

vX k takšen, da se produkt tenzorja (z leve

strani) s pripadajočim lastnim vektorjem odraža v množenju lastne vrednosti, t.j. skalarja, z istim lastnim vektorjem. Naj bo indeks k kar enak ena, torej k=1. Enačba lastnih vrednosti se tedaj eksplicitno glasi,

(J11 - J1)a11 + J12a12 + J13a13 = 0 J12a11 + (J22 - J1)a12 + J23a13 = 0

J13a11 + J23a12 + (J33 - J1)a13 = 0, kar predstavlja sistem 3 homogenih linearnih enačb z neznankami, a11, a12 in a13 (ter še neznano lastno vrednost J1). Za to, da ima zapisani sistem netrivialo rešitev mora biti determinanta koeficientov enaka 0, torej,

J J J JJ J J JJ J J

11 1 12 13

12 22 1 23

13 23 33 1

−−

− J = 0.

Izračun zapisane determinante se po preureditvi členov izraža v obliki kubične, t.im. sekularne, enačbe za neznanko J1, t.j.,

J13 + c2 J1

2 + c3 J1 + c4 = 0,

kjer so c-ji ustrezni (realni) koeficienti sestavljeni iz elementov tenzorja J . Na tem mestu je potrebno posebej poudariti, da izhaja dobljena sekularna enačba iz determinante koeficientov sistema linearnih homogenih enačb in zato je kaj lahko uvideti, da se podobni sekularni enačbi, s popolnoma identičnimi koeficienti kot zgoraj, dobi v preostalih dveh primerih, t.j. za vrednosti indeksa k=2 in k=3. Potemtakem posedujejo navedene tri sekularne enačbe med seboj identične rešitve in ker so sekularne enačbe kubične, poseduje vsaka takšna sekularna enačba največ tri, korene, označene J1, J2 in J3. Dobljeni koreni so lastne vrednosti tenzorja vztrajnostnega momenta J in predstavljajo diagonalne člene tenzorja v novem koordinatnem sistemu.

131

Vektor vX 1, to je prvi lastni vektor enačbe, ki pripada prvi lastni vrednosti tenzorja

vztrajnostnega momenta, se dobi z rešitvijo gornjega sistema linearnih enačb, če se vanje vstavi prvo lastno vrednost, J1. Ker je sistem linearnih enačb homogen je enolična rešitev za vektor

vX 1 določena z dodatnim pogojem, namreč z normalizacijo navedenega vektorja,

to je,

vX 1

T ⋅vX 1 ≡ a11

2 + a21

2 + a312 = 1.

Tako določeni lastni vektor

vX 1, očitno hkrati definira prvi stolpič transformacijske

matrice Â. Zaradi pogoja normalizacije so tedaj komponente vektorja vX 1 enake smernim

kosinusom, ki jih enotni vektor, )e 1, novega telesnega sistema oklepa z osmi danega telesnega ortogonalnega koordinatnega sistema v katerem je podan tenzor J . Preostala stolpiča transformacijske matrice, t.j. lastna vektorja

vX 2 in

vX 3 se dobi na popolnoma

identičen način kot zgoraj za vrednosti indeksa k=2 in k=3, izhajajoč iz druge, J2 in tretje, J3, pripadajoče lastne vrednosti tenzorja vztrajnostnega momenta togega telesa. Očitno je na takšen način konstruirana transformacijska matrica Â, formalno popolnoma enaka transformacijski matrici katere lastnosti so bile podrobno proučene v poglavju o linearnih transformacijah. 3.4.1 Lastnosti lastnih vrednosti in lastnih vektorjev za primer simetričnega tenzorja a) Lastne vrednosti simetričnega tenzorja so realne V splošnem se izhaja iz predpostavke, da so koreni sekularne enačbe, torej lastne vrednosti, kompleksna števila in zato so prav tako kompleksni tudi pripadajoči lastni vektorji. Enačba lastnih vrednosti je,

J vX k = Jk

vX k

zato se adjungirani (transponirani in kompleksno konjugirani) izraz iste enačbe zapiše kot,

vX k

*T J * = Jk* vX k

*T

Če se sedaj pomnoži prvo izmed obeh enačb z leve z lastnim vektorjem vX k

*T, drugo enačbo z desne pa z lastnim vektorjem

vX k in se tako dobljene izraze med seboj odšteje,

sledi,

(vX k

*T J vX k) - (

vX k

*T J * vX k) = (Jk - Jk

*) (vX k

*T ⋅vX k),

kjer znak T pomeni transponiranje in

vX k

*T je tedaj,

vX k

*T = [ ]a a ak k k1 2 3*, *, * .

132

Tenzor J je simetrični tenzor katerega elementi so po definicije realne vrednosti, zato velja, J * ≡ J , zato se leva stran gornjega izraza izniči tako, da preostane

(Jk - Jk*) (

vX k

*T ⋅vX k) = 0.

Skalarni produkt lastnega vektorja samim s seboj, (

vX k

*T ⋅vX k) =

vX k

2, je v splošnem od

nič različen (zgoraj je bil normiran na vrednost 1), zato mora veljati,

Jk* = Jk,

ali vse lastne vrednosti simetričnega tenzorja (oziroma koreni pripadajoče sekularne enačbe) so realna števila. Zaradi tega dejstva so pripadajoči lastni vektorji,

vX k, tudi realni.

b) Lastni vektorji, ki pripadajo različnim lastnim vrednostim simetričnega tenzorja so med seboj ortogonalni Naj bodo J1, J2 in J3, izvrednoteni koreni gornje sekularne enačbe, ki naj bodo vsi med seboj različni. Lastne vrednosti so tudi realne zato torej po predpostavki velja,

J vX k = Jk

vX k

v vX j

T J T = Jj X jT,

pri čemer sta indeksa j, k = 1, 2, 3, toda takšna, da j ≠ k. Če se pomnoži prvo enačbo z leve z lastnim vektorjem

vX j

T, drugo pa z desne z vektorjem vX k in se izraza odšteje je

rezultat enak,

(vX j

T JvX k) - (

vX j

T JvX k) = (Jk - Jj) (

vX j

T ⋅vX k),

oziroma,

(vX j

T ⋅vX k) (Jk - Jj) = 0.

Po predpostavki sta lastni vrednosti različni, Jk ≠ Jj, zato mora veljati

(vX j

T ⋅vX k) = 0

kar pa pomeni, da sta lastna vektorja, ki pripadata različnima lastnima vrednostima med seboj ortogonalna. c) V primeru dvojne, oziroma trojne, degeneracije lastnih vrednosti, t.j tedaj, ko sta dve ali pa so vse tri lastne vrednosti med seboj enake, je vedno mogoče konstruirati pripadajoče lastne vektorje takšne, da so le-ti med seboj ortogonalni. Nekoliko daljši dokaz za zapisano trditev je mogoče najti v tistih matematičnih učbenikih, kjer so obravnavane lastnosti končno dimenzionalnih vektorskih prostorov.

133

Torej, sedaj je mogoče poistovetiti osi, )e j (j=1, 2, 3), novega pravokotnega telesnega koordinatnega sistema v katerem je tenzor vztrajnostnega momenta diagonalen, z na zgornji način izračunanimi lastnimi vektorji,

vX 1,

vX 2 in

vX 3, t.j.,

)e k ≡

vX k k=1, 2, 3.

Tako definirani enotni vektorji )e l (l=1, 2, 3) podajajo smeri posameznih koordinatnih osi novega pravokotnega koordinatnega sistema z ozirom na dani telesni koordinatni sitem z izhodiščem v masnem središču. Ortogonalna transformacijska matrica Â, ki zavrti dani telesni koordinatni sistem v novi telesni pravokotni koordinatni sistem v katerem so od nič različni samo diagonalni členi tenzorja, je sestavljena iz lastnih vektorjev, ki se jih izračuna iz enačbe za lastne vrednosti tenzorja. d) Sled tenzorja ter determinanta tenzorja J sta invarianti, neodvisni od izbora koordinatnega sistema. Sled tenzorja, tr( J ), ki je skalar, je po definiciji vsota diagonalnih elementov tenzorja, torej

tr( J ) = = J∑=

3

1iiiJ 11 + J22 + J33.

Naj bo tenzor J ’ matrica zapisana v nekem drugem koordinatnem sistemu katerega transformacijo (zavrtitev) iz začetnega sistema popiše transformacijska matrica Â. Tedaj sta tenzorja povezana s podobnostno preslikavo

J ’ = Â J Â-1.

Sled tenzorja J ’ je tedaj enaka,

tr( J ’) = ∑ = J jjj

'=1

3

∑∑j li

iljlji Jaa,

= illi j

jlji Jaa∑ ∑

,

= ∑li

ililJ,

δ

= , ∑=

3

1iiiJ

to pa je identično enako tr( J ), kar je bilo potrebno dokazati. Druga invariantna skalarna količina značilna za tenzor je determinanta tenzorja, torej

134

det( J ) =

332313

232212

131211

JJJJJJJJJ

.

To se dokaže izhajajoč iz zgornje definicije za J ’, kajti ker velja,

J ’ = Â J Â-1,

je zaradi tega veljaven izraz,

det( J ’) = det(Â) det( J ) det(Â-1),

ker pa je vrednost determinante rotacijske matrice vedno takšna, da je det(Â) = det(Â-1) = 1, je zaradi tega ±

det( J ’) = det( J )

kar je bilo potrebno dokazati. V posebnem je zaradi poslednjega izraza očitno, da je determinanta vztrajnostnega momenta tenzorja zato kar preprosto enaka produktu treh lastnih vrednosti tenzorja, torej

det( J ) = J1J2J3.

3.4.2 Diagonalizacija nesimetričnega tenzorja Zgoraj zapisane lastnosti je mogoče posplošiti na sicer popolnoma poljubni simetrični tenzor. Kako pa ravnati v primeru, da tenzor ni simetrični? Iz matematike je poznano, da je mogoče vsak tenzor zapisati kot vsota simetričnega, Τ s, in antisimetričnega, Τ a, tenzorja in sicer,

Τ = Τ s + Τ a,

pri čemer sta oba člena na desni definirana kot,

Τ s = 12

(Τ + Τ T)

Τ a = 12

(Τ - Τ T)

polovična vsota oziroma razlika danega tenzorja in njegove transponirane vrednosti. Simetrični tenzor Τ s se diagonalizira po zapisanem postopku, za antisimetrični tenzor, Τ a, pa je mogoče dokazati, da je vedno ekvivalenten določenemu vektorju. Seveda simetrični in antisimetrični tenzor zadoščata pogojema,

Τ s = Τ sT

135

Τ a = - Τ aT.

Za elemente, Tkj, antisimetričnega tenzorja je torej značilno dejstvo, da je

Tkj = - Tjk.

3.5 Eulerjeve enačbe gibanja togega telesa Splošni enačbi gibanja togega telesa, z ozirom na mirujočo točko prostora, sta podani z

vF = m v&&r c vv

M = ddtΓ

kjer je vrtilna količina definirana kot,

vΓ

vΓ = vr c

x m vv c + v vr v dm' '×∫ = vΓ m.sred. + J ⋅ vω

pri čemer je vr c krajevni vektor od mirujoče točke do masnega središča togega telesa, vr ’ je krajevni vektor iz masnega srediča do masnega elementa dm in ter

vF

vM sta rezultanti

zunanjih sil in zunanjih navorov, ki delujejo na togo telo. Vektor kotne hitrosti vω je zapisan v telesnem sistemu, definiran z glavnimi osmi tenzorja vztrajnostnega momenta J , kjer je tenzor J diagonalni tenzor tako, da je

vω = ω 1 )e 1 + ω 2

)e 2 + ω 3 )e 3.

Enačba vrtenja togega telesa, zapisana z ozirom na masno središče, se tedaj glasi,

vM c =

ddt

c

vΓ

kjer sedaj pomeni

vM c rezultanto zunanjih navorov z ozirom na masno središče. Časovni

odvod vrtilne količine togega telesa z ozirom na masno središče je tedaj,

ddt

c

vΓ

= ( )d edtΓ1 1v

+ ( )d e

dtΓ2 2v

+ ( )d edtΓ3 3v

= v&Γ c + (Γ 1 v&e 1 + Γ s v&e 2 + Γ 3 v&e 3)

kjer pomeni

v&Γ c odvod vrtilne količine, kot da osi telesnega sistema mirujejo, saj vrtenje glavnih osi okoli masnega središča predstavlja drugi del dobljenega izraza. Z ozirom na dejstvo, da se enotni vektorji )e k (k=1, 2, 3) vrtijo v prostoru, je

v&e k = vω x )e k

136

in je torej časovni odvod vektorja vrtilne količine

vΓ c podan z,

ddt

c

vΓ

= v&Γ c + vω x

vΓ c

vsoto dveh členov od katerih prvi popisuje spremembo vektorja, kot da telesni sistem miruje, drugi člen pa podaja spremembo vektorja zaradi vrtenja enotnih vektorjev, ki definirajo telesni sistem. Zapisani izraz je pomemben in podaja povezavo med (t. im. totalnim) časovnim odvodom poljubne količine z ozirom na mirujoči prostorski koordinatni sistem, ki se torej izraža kot vsota členov,

ddt prost

.

= ddt telesni

+ vω x

tako, da se časovni odvod poljubne količine kar neposredno dobi, če se zgornji izraz z njo pomnoži z desne strani. Na tem mestu velja opozoriti, da je časovni odvod kotne hitrosti vω v obeh sistemih enak, kajti

ddt prost

vω

.

= ddt telesni

vω

+ vω x vω =

= ddt telesni

vω

.

Enačba vrtenja togega telesa z ozirom na masno središče se sedaj zapiše v končni obliki kot,

J ⋅ ddt

vω + vω x ( J vω ) =

vM c

kar pa se močno poenostavi. če se za telesni koordinatni sistem izbere sistem lastnih vektorjev tenzorja vztrajnostnega momenta. Tedaj se gornji izpeljani izraz, zaradi dejstva, da ima tenzor J v tem sistemu od nič različne samo diagonalne elemente, zapisan po komponentah glasi,

J1 &ω 1 + (J3 - J2)ω 3ω 2 = Mc1 J2 &ω 2 + (J1 - J3)ω 1ω 3 = Mc2 J3 &ω 3 + (J2 - J1)ω 2ω 1 = Mc3.

Zapisane enačbe gibanja telesa okoli masnega središča so poznane kot Eulerjeve enačbe gibanja togega telesa. V gornjem izrazu pomenijo Mck (k=1, 2, 3) komponente rezultante zunanjih navorov vzdolž glavnih osi tenzorja vztrajnostnega momenta togega telesa, t.j., v

M c = Mc1 )e 1 + Mc2

)e 2 + Mc3 )e 3.

137

Eulerjeve enačbe veljajo tudi za primer, če ena točka togega telesa miruje. V tem primeru je mirujoča točka izhodišče koordinatnega sistema, ki ga tvorijo lastni vektorji tenzorja vztrajnostnega momenta izraženi z ozirom na mirujočo točko telesa. Posebno enostaven primer gibanja togega telesa je reorientacijsko gibanje telesa, ki poseduje rotacijsko simetrijo, n.pr. rotacijsko simetrični elipsoid, valj, stožec in podobna telesa, v območju kjer je rezultanta zunanjih sil in navorov (z ozirom na masno središče), ki učinkujejo na telo enaka nič. V prvem približku lahko kot zgled takšnega gibanja služi prav Zemlja, ki se v 24 urah enkrat zavrti okoli svoje simetrijske osi. V tem primeru, ko je J1 = J2, pri čemer je os simetrije definirana kot 3-ja glavna os telesnega koordinatnega sistema lastnih vektorjev, se Eulerjeve enačbe glasijo,

J1 &ω 1 + (J3 - J1)ω 3ω 2 = 0 J1 &ω 2 + (J1 - J3)ω 1ω 3 = 0

J3 &ω 3 = 0. Iz poslednje enačbe je razvidno, da je ω 3 = konstanta, ki je določena z dnevnim vrtenjem Zemlje. Če se prvo enačbo odvaja po času ter se s pomočjo druge enačbe eliminira spremenljivka &ω 2 ,

&ω 2 = - J J

J1 3

1

−ω 1ω 3

je rezultirajoča enačba,

&&ω 1 + ( )J J

J1 3 3

1

2−

ωω 1 = 0,

enačba nedušenega nihanja, katere rešitev (ob ustrezno izbranih začetnih pogojih) je na primer,

ω 1 = K sin (Ωt ),

kjer je K konstanta in sicer je to amplituda komponente kotne hitrosti, ω 1, okoli 1. glavne osi telesnega sistema. Krožna frekvenca, , nihanja kotne hitrosti Ω ω 1 je konstanta, ki je enaka,

Ω = J J

J1 3

1

−ω 3,

in je prav tako količina, ki je neodvisna od časa.

v Komponenta vektorja ω na 2. glavno os telesnega sistema, t.j., ω 2, je sedaj moč izračunati iz druge Eulerjeve enačbe in rezultat je

ω 2 = K cos (Ωt ).

138

Vektor kotne hitrosti, vω , togega telesa zapisan v koordinatnem sistemu glavnih osi tenzorja vztrajnostnega momenta Zemlje, je tedaj

vω = K sin (Ωt ) )e 1 + K cos (Ωt ) )e 2 + ω 3 )e 3,

količina, ki eksplicitno zavisi od časa, pri čemer pa je njegova velikost, ω , od časa neodvisna, saj je

ω 2 = vω ⋅ vω = K2 + ω 32 = konst.

To torej pomeni, da se vektor vω z ozirom na koordinatni sistem glavnih osi tenzorja enakomerno vrti s krožno frekvenco Ω , okoli tretje glavne osi, pri čemer vω popisuje plašč stožca katerega simetrala je prav tretja glavna os. Opisano vrtenje vektorja vω po plašču stožca je definirano kot precesija vektorja vω okoli tretje glavne osi s precesijsko krožno frekvenco . Poudariti gre, da se precesijsko gibanje vektorja Ω

vω odvija glede na tretjo os koordinatnega sistema glavnih osi, pri čemer se pa navedeni sistem še sam po sebi vrti, okoli trenutne rotacijske osi, ki jo podaja vektor vω , s kotno hitrostjo ω = K 3

2+ ω2 . Vrtilna količina Zemlje zapisana v sistemu glavnih osi tenzorja se zapiše, v

Γ c = J1ω 1)e 1 + J2ω 2

)e 2 + J3ω 3)e 3 =

= J1 K (sin (Ωt ) )e 1 + cos (Ωt ) )e 2) + J3ω 3

)e 3 in glede na sistem glavnih osi tenzorja prav tako precesira okoli tretje glavne osi. Torej, s stališča opazovalca, ki je trdno povezan s togim telesom (in se torej vrti skupaj z njim), vektor vω izvaja precesijsko gibanje okoli tretje glavne osi ter na takšen način popisuje plašč stožca, definiranega kot telesni stožec. Zunanji opazovalec, to je opazovalec umeščen v inercialni prostorski koordinatni sistem pa ugotovi, da vektor vω precesira okoli vektorja vrtilne količine,

vΓ c, po plašču stožca, ki se imenuje prostorski stožec.

Ker je rezultanta zunanjih navorov na togo telo enaka nič (z ozirom na inercialni prostorski koordinatni sistem) je vrtilna količina

vΓ c = konstanta. Opisane razmere

pojasnuje slika 6.9. Zemlja je na obeh polih nekoliko sploščena, je oblike oblatega sferoida, kar ima za posledico, da je glavni vztrajnostni moment J1, manjši kot pa je glavni vztrajnostni moment J3. Na podlagi izmerjene sploščenosti polov Zemlje in ob predpostavki, da je Zemlja idealni oblati sferoid ter upoštevanju povprečne gostote zemeljske mase, se za kvocient dobi vrednost,

J JJ

1 3

1

− = - 0.0033,

tako, da je precesijska krožna frekvenca enaka,

Ω 300

3ω≈ ,

139

vΓ c

ve 3

vω

ve 2 ve 1 Slika 6.9. Razmere pri vrtenju togega telesa (oblati sferoid) okoli tretje glavne osi telesnega koordinatnega sistema, definiranega z lastnimi vektorji tenzorja vztrajnostnega momenta za primer, ko je rezultanta zunanjih sil in navorov na telo enaka nič. Telo se vrti s konstantno kotno hitrostjo vω 3 = ω 3

)e 3, okoli svoje tretje glavne osi, )e 3. Za opazovalce, ki je togo povezan s telesom vektor rezultirajoče kotne hitrosti, vω , togega telesa precesira po plašču stožca -telesni stožec, katerega simetralo predstavlja smer enotnega vektorja )e 3. Za opazovalca v inercialnem prostorskem koordinatnem sistemu pa vektor vω precesira okoli z-osi prostorskega sistema, ki kaže vzdolž vrtilne količine togega telesa

vΓ c, po

plašču stožca poimenovanem kot prostorski stožec.

in v aproksimaciji, ko je ω ≈ ω 3, je tedaj obhodni čas precesije Tpreces = 2π /Ω , približno 305 dni. To torej pomeni, da opiše rotacijska os v približno 305 dnevih krožnico s središčem v n.pr. severnem zemeljskem polu. Navedeni izračuni so do neke mere potrjeni z meritvami, ki kažejo, da je polmer krožnice okoli 5 m, toda obhodni čas znaša okoli 427 dni. Razliko razlagajo z dejstvom, da Zemlja ni popolnoma togo telo marveč poseduje določene elastične lastnosti, ki hkrati z dejstvom, da porazdelitev mase ni popolnoma homogena, vplivajo na vrednosti glavnih vztrajnostnih momentov.

140

Zgledi; 1. Homogen valj polmera R in mase M se kotali po klancu z nagibom α . če je koeficient trenja med valjem in podlago enak µ izračunaj pospešek težišča valja v primeru, da valj podrsava.

Slika 6.10.

Naj bo izhodišče koordinatnega sistema v točki O na klancu tako kot kaže slika 6.10. V danem trenutku t, delujejo na valj zunanje sile;

vF n ter

vF tr, ki sta komponenti

sile podlage ter teža vF g=M vg . če je vr

krajevni vektor iz točke O do masnega središča valja, se II Newton-ov zakon zapiše,

M v&&r = M vg + vF n +

vF tr,

vv

M c = ddt

cΓ ,

kjer je

vF n = Fn j

),

vF tr = -µ Fn

)i in vg =g (sinα

)i - cosα ).

vj

v

M c je rezultanta zunanjih navorov glede na masno središče , vΓ c pa lastna vrtilna količina,

kjer je,

vM c = vr ’tr x

vF tr = (-R)

vj x (-Ftr)

)i = - R Fn

)k

in v

Γ c = Jc vω = Jc(-θ&

)k ).

Jc je vztrajnostni moment valja okoli osi skozi masno središče, Jc = M R 2

2. Enačbi gibanja

se zato zapisani v komponentni obliki glasita,

Jc && = R Fθ tr

141

M &&x = Mgsinα - Ftr M = F&&y n - Mgcosα .

Ker je y = R = konstanta, sledi iz poslednjega izraza, da je Fn = Mg cosα in zato je Ftr =µ Mg cosα od koder sledi, da je tangentni pospešek valja enak,

atg = R && = θR F

Jtr

c

2

= 2µ gcos α .

Pospešek težišča valja, a’, je v primeru, da valj podrsava enak,

a’ = &&x - R = g(sin&&θ α - 3µ cos α ).

V primeru, da kotaleči se valj ne podrsava je a’ ≤ 0, kajti tedaj velja x ≤ Rθ , zato je za ta primer,

µ ≥ 13

tgα ⇒ Ftr ≥ 13

Mgsinα .

Pospešek težišča valja pri kotaljenju se tedaj izračuna s pomočjo izrazov,

&&x = R && θJc && = R Fθ tr

M &&x = Mgsinα - Ftr

in je enak,

(ac)kotaljenja = 23

gsinα .

V primeru, da je koeficient trenja µ =0, drsi valj po klancu brez vrtenja s pospeškom, ki je enak,

ac = g sinα ,

kar je dobro poznan rezultat, ki se ga z lahkoto izračuna na bolj elementarni način.

142

2. Izračunaj vztrajnostni moment, J, in vztrajnostni radij, kr, homogenega stožca mase M, polmera R in višine H z ozirom na njegovo simetrijsko os, slika 6.11.

Slika 6.11.

Po definiciji je vztrajnostni moment telesa podan z izrazom,

J = , r dm2∫kjer je r pravokotna oddaljenost masnega elementa dm od z- osi okoli katere se računa vztrajnostni moment. Za izračun je ugodno uporabiti prostorski polarni koordinatni sistem (ρ ,θ , z) v katerem se masni element dm zapiše kot, dm = µ dV, kjer je µ gostota stožca. Upoštevaje označbe na sliki 6.11, je masni element tedaj enak,

dm = µ ρ d ρ dz, tako, da je

dJ = µ ρ 3 d ρ dz

Iz slike 6.11 je razvidno, da velja razmerje,

H zH− = ρ

R, oziroma z = H R

R− ρ

Vztrajnostni moment J okoli z-osi je tedaj enak,

J= = µρ ϕρ

π3

000

2

drd dzz

H R RR

=

−

∫∫∫( )/ 1

10π R4 µ H,

toda masa M stožca je enaka,

M = = µρ ρ ϕρ ρπ

d d dzH RR

o 00

2 ( )/−

∫∫∫13π R2µ H,

od koder takoj sledi končni rezultat za vztrajnostni moment stožca okoli z-osi,

J = 310

M R2.

Po definiciji je J = kr

2 M, zato iz primerjave iz zgornje enačbe sledi,

143

kr = R 310

.

3. S kolikšnim navorom

vM c je potrebno delovati na tanko pravokotno homogeno ploščo

mase M s stranicama a in b, da se bo plošča vrtela s konstantno kotno hitrostjo ω okoli stalne osi vrtenja, ki sovpada s telesno diagonalo, slika 6.12.

Slika 6.12.

V izbranem težiščnem pravokotnem koordinatnem sistemu se masni element dm zapiše kot, dm =µ dxdy, kjer jeµ gostota na enoto površine plošče. Vztrajnostni moment plošče z ozirom na y-os je,

Jy = = = x dm2∫ µx dydxb

b

a

a2

2

2

2

2

−−∫∫

/

/

/

/

= 112

µ ba3,

Jy = 112

M a2,

ker je masa plošče enaka M=µ ab. Na podoben način se dobi, da je

Jx = 112

M b2,

vztrajnostni moment plošče z ozirom na x-os. Vztrajnostni moment plošče z ozirom na z-os danega koordinatnega sistema je tedaj enak,

Jz = Jx + Jy = 112

M(a2 + b2),

kar je možno dokazati tudi z neposrednim računom. Izven diagonalni elementi vztrajnostnega momenta plošče so tedaj,

Jxy = = 0. xy dxdyµ∫

Na podoben način je mogoče pokazati, da so tudi drugi izven diagonalni leni tenzorja vztrajnostnega momenta plošče enaki 0, t.j., Jxz = Jyz = 0, iz česar sledi, da je na sliki 8.4 izbrani koordinatni sistem že sistem glavnih osi tenzorja vztrajnostnega momenta. V tem sistemu se vektor vω zapiše,

vω = ω x )i + ω y

vj = ( vω ⋅ )i )

)i + ( vω ⋅ vj )

vj ,

144

zato je

ω 1 ≡ ω x = - ωa

a b2 + 2; ω 2 ≡ ω y = -

ωb

a b2 + 2; ω 3 = 0.

Rezultirajoči navor se dobi iz Eulerjevih enačb gibanja togega telesa, ki so zapisane v sistemu glavnih osi tenzorja J ,

J1 &ω 1 + (J3 - J2) ω 3 ω 2 = Mc1 J2 &ω 2 + (J1 - J3) ω 3 ω 2 = Mc2 J3 &ω 3 + (J2 - J1) ω 1 ω 2 = Mc3,

in upoštevaje, da je vω = konstanta, sledi, da je

Mc1 = 0 M = 0c2

Mc3 = ( )

( )M b a ab

a b

2 2

2 212

−

+

ω 2

.

Iskana rezultanta zunanjih navorov je tedaj enaka,

vM = Mc3

)k .

4. Poiskati je potrebno lastne vrednosti in lastne vektorje tenzorja T ter rotacijsko matrico Â, ki prevede dani koordinatni sistem v katerem je podan tenzor T , v sistem glavnih osi, kjer so samo diagonalni elementi tenzorja T od nič različni, pri čemer je T

T = a216 0 00 14 60 6 2

−− −

,

in a je dana konstanta. Pripadajoča sekularna enačba se v danem primeru zapiše,

16 0 0

0 14 60 6 2

2

2 2

2 2

aa a

a a

−− −

− −

λλ

λ− = 0,

145

oziroma,

(16a2 - λ )(λ 2 + 12λ - 64A4) = 0, tako, da so koreni enačbe enaki,

λ 1 = 16a2 λ 2 = 16a2 λ 3 = - 4a2,

pri čemer sta očitno dva korena sekularne enačbe enaka. Lastni vektorji morajo zadoščati sistemu homogenih linearnih enačb,

(16a2 - λ ) x1 = 0

(14a2 - λ ) x2 - 6a2 x3 = 0 - 6a2 x2 - (2a2 + λ ) x3 = 0,

ki se v primeru prvih dveh (degeneriranih) lastnih vrednostih λ 1 = λ 2 glasi,

0 = 0

- 2a2 x2 - 6a2 x3 = 0 - 6a2 x2 - 18a2 x3 = 0.

Rešitve tega sistema so: x1 je poljubna vrednost ter x2 = - 3 x3. Očitno je prvi lastni vektor tenzorja sorazmeren (še nenormaliziranemu) vektorju,

)e 1’ = , xx

x

1

3

3

3−

ki se ga lahko izbere tako, da se postavi za x3 vrednost nič, x3 ≡ 0, ter se na takšen način dobi prvi (normalizirani) lastni vektor )e 1,

)e 1 = . 100

Za primer druge lastne vrednosti je dobljeni sistem linearnih enačb in pripadajoče rešitve identičen z zapisanimi zgoraj, zato je ( za x1 se tokrat vzame vrednost 0) normalizirani lastni vektor )e 2 enak,

)e 2 = 110

03

1−

146

in je očitno ortogonalen na lastni vektor )e 1. če je prvotni telesni sistem v katerem je tenzor T zapisan definiran z enotnimi vektorji

)i ,

vj in

)k je tedaj prvi lastni vektor v danem

koordintnem sistemu kar identično enak,

)e 1 = )i ,

drugi lastni vektor pa je tedaj,

)e 2 = - 3 1

10vj + 1

10

)k

in je očitno ortogonalen na enotni vektor )e 1. Sistem homogenih linearnih enačb za izračun tretjega lastnega vektorja, se sedaj glasi,

20a2x1’’ = 0

18a2x2’’ - 6a2x3’’ = 0 - 6a2x2’’ + 2a2x3’’ = 0,

katerega rešitve so x1 = 0 in x3 = 3 x2. K tem vrednostim pripada tretji lastni vektor )e 3, ki leži v y-z ravnini prvotnega koordinatnega sistema, saj je

)e 3 = 110

013

= 110

vj + 3 1

10

)k .

Transformacijska matrica Â, ki prevede (

)i ,

vj in

)k ) koordinatni sistem v sistem lastnih

vektorjev ( )e 1, )e 2 in )e 3), ter s tem dani tenzor T v diagonalno obliko, je tedaj,

 = 110

10 0 00 30 1 3

−

1 ,

kar se da, z matričnim produktom  T Â-1, tudi neposredno dokazati.

147

5. Zapiši enačbe gibanja in prouči njihove rešitve za primer vrtavke, to je togega telesa, ki se giblje pod vplivom sile teže okoli svoje mirujoče točke. Gibanje vrtavke sestoji iz vrtnja okoli vzdolžne glavne osi tenzorja vztrajnostnega momenta pri čemer se le-ta dodatno še sama po sebi vrti okoli vertikalne z-osi prostorskega koordinatnega sistema, slika 6.13.

Slika 6.13. Izhodišče prostroskega koordinatnega sistema (x, y, z) naj bo kar mirujoča točka O vrtavke, ki je hkrati izhodišče telesnega koordinatnega sistema (x’, y’, z’) definiranega z enotnimi vektorji )e 1,

)e 2 in )e 3 vzdolž glavnih osi tenzorja vztrajnostnega momenta togega telesa. Orientacijo vrtavke, t.j. lego telesnega koordinatnega sistema, glede na prostorski sistem podajajo Eulerjevi koti ϕ , θ , ψ kot prikazuje slika 6.13. Kotna hitrost, vω 1, je vektor, ki popisuje gibanje (vrtenje) telesnega sistema glede na prostorski sistem. Projiciran na telesni sistem se vektor vω 1 zapiše kot,

vω 1 = ω 1 )e 1 + ω 2

)e 2 + ω 3 )e 3,

toda tudi sam telesni sistem se vrti s kotno hitrostjo vω 2 okoli svoje vzdolžne glavne osi )e 3, pri čemer je

vω 2 =

ddtψ

)e 3 = &ψ )e 3.

Rezultirajoči vektor kotne hitrosti, vω , vrtavke zapisan v telesnem sistemu je tedaj podan,

vω = vω 1 + vω 2,

148

tako, da je lastna vrtilna količina vrtavke, vΓ c, podana v telesnem sistemu enaka,

vΓ c = J1 ω 1

)e 1 + J2 ω 2 )e 2 + J3 (ω 3 + &ψ ) )e 3.

V enačbi vrtenja vrtavke, v

M c = ddt

c

vΓ

se odvod vrtilne količine nanaša glede na inercialni

(prostorski) koordinatni sistem, torej

ddt prost

.

= ddt telesni

+ vω x

zato je časovni odvod vrtilne količine podan z izrazom,

ddt

c

prost

vΓ

.

= [ J1 &ω 1 + (J3 - J2)ω 3ω 2 + J3ω 2ψ ] )e 1

) + [J2 &ω 2 + (J1 - J3)ω 1ω 3 - J3ω 1ψ ] e 2 + [J3 ( &ω 3 + &ψ ) + (J2 - J1)ω 2ω 1] )e 3. Rezultirajoči navor zunanjih sil,

vM c, glede na izhodišče O je,

v

M c = lc )e 3 x

vF c = lc

)e 3 x (-mg )k ),

kjer je lc oddaljenost vrtišča da težišča vrtavke. Enotni vektor

)k se v telesnem sistemu

izrazi kot,

)k = (

)k ⋅ )e 1) ⋅ )e 1 + (

)k ⋅ )e 2) ⋅ )e 2 + (

)k ⋅ )e 3) ⋅ )e 3 =

= cos(π /2 - θ ) )e 2 + cos θ )e 3 = = sin θ )e 2 + cos θ )e 3, zato je rezultanta navorov enaka,

v

M c = -mglc ()e 3 x

)k ) = mglc sin θ )e 1.

Ob predpostavki, da je J1 = J2, se sedaj enačba vrtenja zapiše v komponentni obliki,

J1 &ω 1 + (J3 - J1)ω 3ω 2 +J3ω 2 &ψ = mglc sinθ J1 &ω 2 + (J1 - J3)ω 1ω 3 - J3ω 1 &ψ = 0 J3( &ω 3 + &ψ ) = 0 Kot je bilo pokazano v poglavju o linearnih transformacijah, stran 75, so komponente kotne hitrosti vω vzdolž telesnega koordinatnega sistema enake,

149

ω 1 = cos&θ ψ + &ϕ sinθ sinψ ω 2 = - sin&θ ψ + &ϕ sinθ cosψ

ω 3 = &ψ + &ϕ cosθ Zastavljeni problem je neodvisen od izbire Eulerjeva kota ψ , zato se lahko postavi ψ =0. V tem primeru se komponente kotne hitrosti nekoliko poenostavijo in so enake,

ω 1 = , &θ ω 2 = &ϕ sinθ ter ω 3 = &ϕ cosθ .

Sistem treh diferencialnih enačb, ki jih je potrebno rešiti se torej glasi,

J1 && + (Jθ 3 - J1) &ϕ 2 cosθ . sinθ +J3 &ψ &ϕ sinθ = mglc sinθ

J1( &&ϕ sinθ + &ϕ &θ cosθ ) + (J1 - J3) &θ &ϕ cosθ . - J3 &θ &ψ = 0 J3( &&ϕ cosθ - &ϕ &θ sinθ + &&ψ ) = 0, pri čemer so po definiciji &ϕ , in &θ &ψ (velikosti) kotne hitrosti precesije, nutacije in spina (t.j. vrtenje okoli vzdolžne lastne osi tenzorja vztrajnostnega momenta). Iz tretje enačbe sledi, da velja

&ϕ cosθ + &ψ = konstanta = C,

zato se prvi dve enačbi poenostavita v obliko,

J1 &&θ - J1 &ϕ 2 cosθ . sinθ +J3 C &ϕ sinθ = mglc sinθ

J1( &&ϕ sinθ + 2 &ϕ &θ cosθ ) - J3 C = 0. &θ Če se pomnoži prvo enačbo s faktorjem , drugo pa z izrazom &θ &ϕ sinθ ter se dobljena izraza sešteje je rezultat,

J1( && + θ &θ &&ϕ &ϕ sin2θ + &ϕ 2 sinθ cosθ ) = mgl&θ &θ c sinθ

Toda zapisani izraz je enak časovnemu odvodu,

J112

ddt

( &θ 2 + &ϕ 2 sin2θ ) = ddt

(- mglc cosθ ).

Če se tretjo izmed zgornjih enačb pomnoži s faktorjem ( &ϕ cosθ + &ψ ) se le-ta tedaj glasi,

J3( &&ϕ cosθ - &ϕ &θ sinθ + &&ψ )( &ϕ cosθ + &ψ ) = 0,

kar pa je enako,

J3 ( &ϕ cosθ + &ψ ) ddt

( &ϕ cosθ + &ψ ) = 0,

150

oziroma,

J3 12

ddt

( &ϕ cosθ + &ψ )2 = 0.

Zapisano enačbo se lahko sedaj prišteje k prejšnjemu izrazu, ki povezuje časovna odvoda pri čemer je rezultat enak,

ddt

12

J1 ( &θ 2 + &ϕ 2 sin2θ ) + 12

J3 ( &ϕ cosθ + &ψ )2 + mglc cosθ = 0,

kar pomeni, da je (totalni) časovni odvod izraza v oklepaju enak nič oziroma, da je izraz v oklepaju od časa neodvisna konstanta. Toda izraz v zavitem oklepaju je vsota kinetične energije (prva dva člena) in potencialne energije (tretji člen) vrtavke in izpeljani izraz torej podaja izrek o ohranitvi celotne energije vrtavke, t.j.,

12

J1 ( &θ 2 + &ϕ 2 sin2θ ) + 12

J3 ( &ϕ cosθ + &ψ )2 + mglc cosθ = E,

kjer je celotna energija, E, vrtavke konstantna, od časa neodvisna količina. Če se pomnoži drugo enačbo s členom, sinθ , jo je tedaj prav tako mogoče zapisati v obliki časovnega odvoda ustreznega izraza in sicer,

J1 &&ϕ sin2θ + 2 &ϕ &θ cosθ sinθ - J3 C sin&θ θ = 0,

ddt

( J1 &ϕ sin2θ + J3 C cosθ ) = 0,

od koder sledi, da se izraz

J1 &ϕ sin2θ + J3 C cosθ = Γ cz,

ki je enak z-komponenti vrtilne količine vrtavke, tudi ohranja. Izpeljani izraz je skladen z dejstvom, da je komponenta rezultante zunanjih navorov okoli z-osi prostorskega koordinatnega sistema identično enaka nič. Iz poslednja enačbe je mogoče izračunati &ϕ ,

&ϕ = Γcz J C

J− 3

12

cossin

θθ

,

tako, da se izraz za celotno energijo sedaj glasi,

12

J1 &θ 2 + ( cossin

Γcz J CJ− 3

2

122

θθ

) + 12

J3 C + mglc cosθ = E.

Na tem mestu je prikladno vpeljati novo spremenljivko, u=cosθ , =- sin&u &θ θ in sin2u = 1- u2, tako da je

151

&u 2 + Γcz J Cu

J−

3

1

2

+ ( )2 1 2

1

mgl u uJ

c − =

( )2 1 12

2

13

2−

−

uJ

E J C ,

kar pa je mogoče preoblikovati v,

&u 2 = (α -β u)(1-u2) - (γ -δ u)2 = f(u)

pri čemer so parametri α , β , γ in δ definirani kot,

α = 2 3

2

1

E J CJ−

; β = 2

1

mglJ

c ; γ = Γcz

J1

; δ = J CJ3

1

.

Kotna hitrost precesije, &ϕ , se v tem novem zapisu glasi,

&ϕ = γ δ−−

uu1 2 ,

za izraz u pa je moč formalno poiskati rešitev, &

&u = dudt

= f u( )

tako, da se čas t, izraža z

t = duf u( )∫ + K1,

eliptičnimi funkcijami, ki so periodične funkcije spremenljivke u. Kdaj je kotna hitrost nutacije, , enaka nič? V tem primeru mora veljati, &θ

&u = - sin&θ θ , od koder sledi, da mora tedaj veljati =0, to pa pomeni, da mora biti zadoščeno enačbi, &u

f(u) = (α -β u)(1-u2) - (γ -δ u)2 = 0,

kar se lahko zapiše še drugače,

f(u) = β u3 - (δ 2+α )u2 + (2γ δ -β )u + α -γ 2 = 0.

Ker mora biti β > 0, sledi da zavzame funkcija f(u) naslednje vrednosti,

f(∞) = ∞, f(1) = - (γ -δ )2; f(-∞) = - ∞; f(-1) = - (γ +δ )2,

152

od koder je razvidno, da mora na intervalu 1≤u<∞ ležati vsaj en koren zapisane kubične enačbe, ki se ga označi kot u3. Toda za to, da se bo vrtavka gibala mora veljati pogoj, f(u) = &u 2 0 in ker leži kot ≥ θ znotraj območja 0≤ θ ≤ π /2, mora zato spremenljivka u ležati v intervalu, 0≤u≤1. Od tod izhaja, da morata ležati preostala dva korena zgornje kubične enačbe, u1 in u2, v intervalu med (0,1) tako kot je shematsko prikazano na sliki 6.14. f(u) u1 u2 - 1 1 u

Slika 6.14.

K tema korenoma sta torej pripisani dve vrednosti kota θ , in sicer je u1=cosθ 1 ter u2=cosθ 2. V odvisnosti od vrednosti parametrov se lahko pripeti, da sta pa dva korena enaka, n.pr. u1 = u2 ali u2 = u3 = 1. V prvem primeru je tedaj kot θ konstanten, vrtavka je podvržena zgolj presecijskemu gibanju in nutacija ne nastopa. V drugem primeru je kot θ = 0, os vrtavke je tedaj konstantno usmerjena vzdolž z-osi prostorskega koordinatnega sistema. Splošni primer gibanja vrtavke, kot ga podajajo trije različni koreni, u1, u2 in u3 enačbe f(u) = 0, pomeni, da se os vrtavke giblje v intervalu θ 1 ≤ θ ≤ θ 2, pri čemer se vrti okoli lastne osi. Rezultirajoče gibanje osi je superpozicija nutacijskega gibanja in precesije osi vrtavke, ki lahko v odvisnosti od vrednosti parametrov, opisujejo raznovrstne krivulje na površini krogle. Obliko le-teh je za primer treh limitnih primerov najpomembnejših parametrov, prikazuje slika 6.15.

153

Slika 6.15.

6. Krogla polmera R1 in mase m se nahaja na vrhu pritrjene krogle polmera R2 v (labilni) ravnovesni legi. Površini krogel sta hrapavi tako, da ni drsenja. Če se vrhnja krogla za malenkost premakne iz ravnovesne lege se bo kotalila po podlagi dokler se ne bo od podlage odlepila, slika 6.16. Kakšen kot glede na vodoravnico opisuje tedaj veznica težišč obeh krogel?

Slika 6.16.

V postavljenem kartezičnem koordinatnem sistemu z ishodiščem v težišču mirujoče krogle je krajevni vektor do težišča prve, to je zgoraj ležeče, krogle polmera R1 podan z vr . V ravninskem polarnem koordinatnem sistemu, pri čemer izhodišči obeh sistemov sovpadata, se sila teže

vF g zgornje krogle zapiše,

154

vF g = (

vF g ⋅ )eρ ) )eρ + (

vF g ⋅ )eϕ ) )eϕ =

= (- mg

vj ⋅ )eρ ) )eρ + (- mh

vj ⋅ )eϕ ) )eϕ =

= - mg sinθ )eρ - mh cosθ )eϕ , kjer sta )eρ in )eϕ enotna vektorja, ki definirata ravninski polarni koordinatni sistem. Sila

podlage, vF p, na zgornjo kroglo sestoji iz pravokotne komponente

vN = N )eρ ter sile

lepenja vF l = kl

)eϕ . Rezultanta zunanjih sil, ki podeli težišču zgornje krogle pospešek va c je tedaj enaka,

vF =

vF g +

vN +

vF l = m va c

(N - mg sinθ ) )eρ + (Fl - mg cosθ ) )eϕ = m [( )&& &r r− θ 2 )eρ + ( )r r&& & &θ +2 θ )eϕ ],

od koder sledi, da je

m( &&r r ) = N - mg sin&− θ 2 θ m( ) = Fr r&& & &θ +2 θ l - mg cosθ .

V zapisanih izrazih je velikost krajevnega vektorja, ki povezuje težišči krogel enaka, r = R1 + R2, tako da se zapisani enačbi poenostavita v,

- m (R1 + R2) &θ 2 = N - mg sinθ

m (R1 + R2) && = Fθ l - mg cosθ .

Enačba vrtenja okoli težišča zgornje krogle je,

v

M c = ddt

c

vΓ = Jc

ddt

vω

kjer je rezultanta navorov enaka,

v

M c = (- R1 )eρ ) x

vF l = (- R1 )eρ ) x (F1 )eϕ ) = - R1 F1

)k .

Kotni pospešek v&ω je podan z drugim odvodom kotov (ϕ + ψ ),

v&ω = - ddt

2

2 (ϕ + ψ ))k = - ( && &&ϕ ψ+ )

)k ,

155

kajti, krogli ne podrsavata zato sta loka merjena po obodu zgornje ali spodnje krogle enaka, to je, R2 ϕ = R1 ψ . Ker velja, da je ϕ = π /2 - θ ter ψ = (R2/R1)(π /2 - θ ) je,

v&ω = - ( && &&ϕ ψ+ )

)k =

R RR

1 2

1

+ &&θ )k .

Ob upoštevanju, da je vztrajnostni moment krogle z ozirom na os skozi težišče enak, Jc = 2mR1

2/5, se enačba vrtenja sedaj zapiše,

- R1 F1 )k = (2mR1

2/5) R RR

1 2

1

+ &&θ )k ,

od koder sledi, da je velikost sile lepenja podana z,

F1 = - 25

m (R1 + R2) && , θ

tako, da se sedaj lahko dobljeni izraz vstavi v drugo enačbo izreka o gibanju težišča zgoraj, pri čemer se dobi,

&&θ = -

( )5

7 1 2

gR R+

cos θ .

Če se dobljeni izraz množi s členom , ter se upošteva začetni pogoj po katerem je v času t=0 kotna hitrost vrtenja

&θ&θ o = 0 in kot θ = π /2, sledi

&θ 2 =

( )10

7 1 2

gR R+

(1 - sinθ ).

Izpeljani izraz se sedaj vstavi v prvo izmed obeh enačb, tako da se izračuna velikost pravokotne komponente sile podlage, N, ki znaša

N = mg (17 sinθ -10)/7.

V trenutku, ko se prva krogla razdruži od druge je tedaj N ≡ 0, kar se pripeti tedaj, ko je kot θ enak,

θ = arc sin 1017

= 36.03o,

pri čemer je pomembno poudariti, da je izpeljani rezultat neodvisen od polmerov krogel.

156

7. ALTERNATIVNA FORMULACIJA MEHANIKE; UVOD V TEORETIČNO MEHANIKO

7.1 STATIKA SISTEMA MASNIH TOČK; NAČELO VIRTUALNEGA DELA 1.1 Delo omejitvene sile pri gibanju delca; virtualni pomiki delca V prejšnjih poglavjih je bilo podrobno obravnavano gibanje delca pod vplivom omejitvenih sil, katerega popis podajajo ali Lagrangejeve enačbe prve vrste, ali pa Eulerjeve enačbe omejenega gibanja masne točke. Tokrat bo problem omejenega gibanja delca proučen z alternativnega stališča in sicer s stališča dela omejitvene sile. Za primer gibanja delca po popolnoma gladki stacionarni ploskvi v prostoru, katere enačba ploskve (t.j. omejitvena enačba),

f ( vr ) = f(x,y,z)=0, je poznana tedaj velja,

vN = λ grad f,

pri čemer je

vN =

vN ( vr ) sila podlage s katero deluje ploskev na gibajoči delec, ki potuje

po ploskvi. Ker po predpostavki trenje ne nastopa, je sila podlage pravokotna na dano ploskev in to dejstvo izraža gornja enačba. Delec se giblje po ploskvi v smeri vektorja hitrosti, , ki leži v pritisnjeni ravnini na dano točko ravnine. Ker je pritisnjena ravnina v dani točki ploskve vedno pravokotna na grad f, mora veljati,

vv

vN ⋅ vv = 0,

oziroma, zapisano v prostorskem kartezičnem koordinatnem sistemu,

∂∂

∂∂

∂∂

fx

fy

fz

, ,

⋅ ( )& , & , &x y z = 0,

∂∂

∂∂

∂∂

fx

xfy

yfz

z& & &+ + = 0 .

Poslednji izraz pa poseduje fizikalni pomen, kajti če se obe strani enačbe pomnoži z diferencialom časa dt, sledi

∂∂

∂∂

∂∂

fx

dxfy

dyfz

dz+ + = 0,

kar pa je enako izrazu,

dAN = vN ⋅ d vr = 0,

157

skalarnemu produktu omejitvene sile,

vN , in (infinitezimalnega) pomika njenega

prijemališča, d vr . Po definiciji je zapisani izraz enak (infinitezimalnemu) delu, dA, omejitvene sile,

vN , ki je tako -pri omejenem gibanju delca po polnoma gladki stacionarni

ploskvi v prostoru- identično enako nič. Posebej je potrebno poudariti, da je v zgornjem primeru pomik delca, d vr , ki se odvije v infinitezimalnem časovnem intervalu dt, sicer popolnoma poljuben pomik, ki pa mora biti nujno skladen z omejitvijo na delec. V danem primeru to pomeni, da mora pomik delca, d vr , vedno ležati v pritisnjeni ravnini na dano točko ploskve. Seveda pa je v splošnem orientacija pritisnjene ravnine v vsaki posamezni točki ploskve funkcija krajevnega vektorja vr in se zato od točke do točke spreminja. Kakšne so pa razmere, to je kakšno je delo omejitvene sile, v primeru, ko je ploskev nestacionarna kar pomeni, da se omejitvena enačba gibanja delca tokrat glasi,

f(x,y,z,t) = 0.

Skupaj z delcem se giblje tudi sama ploskev, pri čemer seveda velja, da mora krajevni vektor, vr =(x,y,z), masne točke v vsakem trenutku zadoščati zgornji omejitveni enačbi. Totalni odvod po času omejitvene enačbe pa je enak,

d fd t

= ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

fx

xfy

yfz

zft

& & &+ + + = 0,

in če se enačbo pomnoži z diferencialom časa, dt, v katerem delec opravi pomik d vr , je rezultat,

df = ∂∂

∂∂

∂∂

∂fx

dxfy

dyfz

dzf

dtdt+ + + = 0.

Izpeljani izraz mora veljati za poljuben pomik delca d vr , ki se pripeti v časovnem intervalu, dt, in ki je v skladu z predpisano omejitvijo f(x,y,z,t) = 0. Toda zgornji izraz je tedaj enak,

vN ⋅ d vr + λ

∂∂

ft

dt = 0,

pri čemer je omejitvena sila

vN , tako kot v prejšnjem primeru, podana z izrazom

vN =λ

grad f, kajti nestacionarna ploskev je po predpostavki popolnoma gladka. Dobljeni izraz pove, da je v primeru nestacionarnih omejitev delo omejitvene sile v splošnem tokrat različno od nič, torej

dAN = vN ⋅ d vr ≠ 0,

oziroma, omejitvena sila s katero deluje ploskev na delec,

vN , sedaj v splošnem ni več

pravokotna na pomik delca d vr . Gledano s formalnega stališča, se delec v časovnem intervalu od t do t+dt premakne v prostoru za infinitezimalni pomik d vr . Ker se hkrati s pomikom delca giblje tudi sama ploskev v prostoru (v splošnem ne gre za translacijo ploskve, marveč se le-ta lahko še suče) je po časovnem intervalu dt, grad f vektor, ki je

158

sicer še vedno v pravokotni smeri z ozirom na ploskev, toda v splošnem, kot to pove zgornji izraz, ne stoji več pravokotno na pomik delca. Posledica tega dejstva se odraža v delu omejitvene sile na delec, ki je kot kaže zgornji izraz za delo sile

vN , tokrat v splošnem

od nič različno, glej sliko 7.1.

vN (t+dt)

vr (t+dt) d vr

vN (t)

v r (t) f(x,y,z,t+dt)=0 f(x,y,z,t)=0 Slika 7.1. V časovnem intervalu dt se delec, ki se giblje po popolnoma gladki nestacionarni površini, podani z enačb f(x,y,z,t)=0, premakne v prostoru za (realni) pomik d vr . Sila podlage

vN je sicer v vsakem trenutku pravokotna na dano ploskev, toda v

splošnem se velikost in smer sile podlage, zaradi gibanja ploskve, s časom spreminjata. Zaradi zapisanega vzroka, infinitezimalni pomik d vr delca ni več pravokoten na omejitveno silo in zato je v splošnem delo omejitvene sile v primeru nestacionarnih omejitev, različno od nič, dAN =

vN d vr ≠ 0. Virtualni pomik δ vr , za razliko od d vr , je

katerikoli možni infinitezimalni pomik delca v danem trenutku, ki je skladen z omejitvami in zato je v danem primeru na sliki 7.1 v času t katerikoli pomik, ki stoji pravokotno na

vN (t) in torej leži v pripadajoči pritisnjeni ravnini, oziroma v času t+dt, katerikoli

infinitezimalni pomik, ki stoji pravokotno na pripadajočo omejitveno silo, ki deluje na delec v tem trenutku, to je

vN (t+dt).

Omejitvene sile so večinoma nekonservativne sile in samo v primerih, ko je delo omejitvene sile (oziroma omejitvenih sil) na delec enako nič se lahko izrek o delu nekonservativnih sil in spremembi kinetične energije zelo poenostavi. To spoznanje, v povezavi z dejstvom, da v problemih mehanike omejitvene sile, pri čemer pa so te v naprej neznane in je za njihovo določitev potrebno zastavljeni problem rešiti v celoti, zelo pogosto nastopajo je eden izmed razlogov, da se je formuliralo klasično mehaniko na

159

alternativni način izhajajoč iz dejstva, da je (virualno) delo omejitvenih sil v primeru tako stacionarnih kot nestacionarnih omejitev identično enako nič. Zastavljeni cilj se doseže, če se vpelje t. im. virtualni pomik delca, δ vr , to je katerikoli izmed množice možnih, infinitezimalnih, pomikov delca, ki pa morajo biti vsi skladni z omejitvami, ki na delec delujejo v danem trenutku. Iz definicije izhaja, da virtualni pomik delca, δ vr , ki je vektor, v primeru nestacionarne omejitve v splošnem ne sovpada z realnim pomikom delca d vr , ki se dogodi v infinitezimalnem (toda končnem) časovnem intervalu dt. V splošnem se v danem časovnem intervalu dt (lahko) spremenijo sile, ki delujejo na sistem prav tako pa se lahko spremenijo tudi omejitvene sile, ki učinkujejo na delec v gibanju. V primeru nestacionarne omejitve je iz zapisanega razloga tedaj samo eden izmed množice možnih virtualnih pomikov δ vr lahko enak realnemu pomiku d vr . Virtualni pomiki so definirani kot možni infinitezimalni pomiki delca, ki so skladni z omejitvami na delec, ki v tem danem trenutku delujejo nanj. Po definiciji je torej čas opazovanja delca zamrznjen, je torej konstanten, sile -tudi omejitvene- so tedaj tudi konstantne in na ta trenutek se nanašajo virtualni pomiki. Ker je čas zamrznjen, t=konstanta, je po definiciji variacija (sprememba) časa δ t 0. Poudariti je potrebno, da iz definicije virtualnih pomikov delca,

≡δ vr , sledi, da le-ti zadoščajo pravilom diferencialnega računa s pomembnim

pristavkom, da je po definiciji, ker je čas zamrznjen, tedaj vedno variacija (t. j. infinitezimalna sprememba) časa identično enaka nič, δ t = 0. Z na takšen način definiranimi virtualnimi pomiki, δ vr , delca se tedaj totalni (virtualni) diferencial nestacionarne omejitvene enačbe zapiše,

δ f(x,y,z,t) = ∂∂

δ∂∂

δ∂∂

δfx

xfy

yfz

z+ + = grad f ⋅ δ vr = 0,

in zato je (

vN = λ grad f),

δ AN =

vN ⋅ δ vr = 0,

virtualno delo omejitvene sile (v danem časovnem trenutku), ki deluje na delec vedno enako nič. Zapisani izraz predstavlja preprosti primer načela virtualnega dela. 1.2 Načelo virtualnega dela za sistem masnih točk Zgoraj zapisano načelo virtualnega dela za omejeno gibanje delca se sedaj posploši na sistem N delcev, ki mirujejo in se torej nahajajo v ravnovesju. Izkazalo se bo, da v tem primeru načelo virtualnega dela sistema delcev v ravnovesju na alternativni način izraža pogoje statičnega ravnovesja sistema delcev in omogoča prehod iz Newtonove formulacije v posplošeno Lagrange-jevo formulacijo klasične mehanike. Naj sestoji sistem iz N masnih točk, ki mirujejo in se torej nahajajo v ravnovesju. Rezultanta sil,

vR i, (i = 1, 2, ....., N), ki deluje na vsako masno točko posebej mora biti

tedaj enaka nič in zato je virtualno delo rezultante sil na i-ti delec prav tako nič,

δ Ai = vR i ⋅ δ vr i = 0, i = 1, 2, 3, ....., N

160

kar pa pomeni, da je tedaj tudi (celotno) virtualno delo vseh sil, ki delujejo na mirujoči sistem N masnih točk enako nič,

δ A = = = 0. δ Aii

N

=∑

1

v vRii

N

⋅=∑ δ

1

ri

Toda rezultanto sil

vR i, ki deluje na i-ti delec, v splošnem sestavljajo sile, ki se jih lahko

zapiše kot vektorsko vsoto vseh omejitvenih, vF ’i, ter rezultante preostalih -aktivnih- sil,

vF i, ki delujejo na i-to masno točko, torej

vR i =

vF ’i +

vF i, i = 1, 2, ......, N.

Celotno virtualno delo, δ A, rezultante vseh sil, ki delujejo na sistem N delcev je tedaj,

δ A = + = 0, v vFi i

i

N′ ⋅

=∑ δ

1r ri

v vFii

N

⋅=∑ δ

1

toda kot pokazano v prejšnem poglavju je virtualno delo omejitvene sile na masni delec enako nič zato velja, da mora biti

δ A = = 0, v vF ri

i

N

⋅=∑ δ

1i

(celotno) virtualno delo zunanjih (pritisnjenih, oziroma aktivnih) sil pri virtualnih pomikih sistema enako 0. Dobljeni izraz se imenuje načelo virtualnega dela. Ker v zgornjem izrazu zapisani virtualni pomiki, δ vr i , (i = 1, 2, ....,N), v splošnem med seboj niso neodvisni v splošnem ne velja, da bi bila rezultanta zunanjih, pritisnjenih, sil na i-ti delec enaka nič, to je

vF i 0. ≠

Pri izpeljavi načela virtualnega dela se je potrebno zavedati, da gre za delo tako omejitvenih kot “ostalih” sil pri virtualnih pomikih delca, to je namišljenih infinitezimalnih sprememb koordinat, takšnih ki so skladni s (trenutnimi) omejitvami, ki na delec delujejo. To pomeni, da gre za mentalno predstavitev, ob danih omejitvah, vseh možnih infinitezimalnih pomikov delca, pri čemer so v danem trenutku vse sile, tudi omejitvene, zamrznjene. Toda dopustni virtualni pomiki (t.j. infinitezimalne spremembe koordinat) i-tega delca so takšni, da je virtualno delo rezultante omejitvenih sil na dani delec enako nič. Še več, virtualni pomiki vseh N delcev sistema med seboj niso poljubni, kajti dejstvo, da sestavlja N delcev dani sistem masnih točk (kar ne gre enačiti s sistemom N popolnoma neodvisnih delcev) pomeni, da morajo med delci obstajati določene povezave, ki pa se odražajo v omejitvah dopustnih koordinat delcev.

161

Zgledi: 1. Telesi mase m1 in m2, ki sta povezani z brezmasno vrvico, se nahajata v ravnovesju na dvojnem popolnoma gladkem klancu z nagiboma α 1 in α 2, slika 7.2. S pomočjo načela virtualnega dela pokaži, da je, v primeru zanemarljive mase škripca, pogoj ravnovesja podan z izrazom,

sinsin

αα

1

2

= mm

2

1

.

vN 1

vF v1

vF v2

vN 2

α1 vF g1 α2

vF g2

Slika 7.2.

Sistem sestoji iz dveh teles na katerega delujejo zunanji sili teže, vF g1 in

vF g2, sili

podlage, ki sta omejitveni sili, vN 1 in

vN 2 ter notranji sili

vF v1 ter

vF v2. Načelo virtualnega

dela (v širšem smislu) se v tem primeru zapiše,

δ A = vR 1 ⋅ δ vr 1 +

vR 2 ⋅ δ vr 2 = 0,

v v v v v(vF g1+

vN 1+ F v1) ⋅ δ r 1 + ( F g2+ N 2+ F v2) ⋅ δ vr 2 = 0,

kar je očitno enako,

(vF g1+

vF v1) ⋅ δ vr 1 + (

vF g2+

vF v2) ⋅ δ vr 2 = 0,

ker je skalarni produkt omejitvene sile, ki je pravokotna glede na pripadajoči virtualni pomik identično enak nič. Zaradi dejstva, da sta notranji sili

vF v1 in

vF v2 nasprotno enaki,

kajti masa škripca je po predpostavki nič, se gornji izraz lahko še dodatno poenostavi, kajti,

vF v1 ⋅ δ vr 1+

vF v2 ⋅ δ vr 2 = Fv1 δ r1 - Fv2 δ r2,

162

pri čemer je bilo privzeto, da je virtualni pomik, δ vr 2, telesa mase m2 usmerjen po klancu navzdol. Toda ker je vrvica neraztegljiva mora veljati, da sta zato tudi velikosti (virtualnih) pomikov obeh teles med seboj enaka, to je, δ r1 = δ r2 in ker je Fv1 =Fv2, je virtualno delo notranjih sil nič. Načelo virtualnega dela se zato za navedeni primer zapiše, δ A =

vF g1 ⋅ δ vr 1 +

vF g2 ⋅ δ vr 2 =

= m1g cos(α 1+π /2)δ r1 + m2g cos(π /2-α 2) δ r2 = - m1g sinα 1 δ r1 + m2g sinα 2 δ r2 = 0, in zaradi enakosti velikosti obeh virtualnih pomikov je pogoj za ravnovesje teles tedaj enak izrazu,

sinsin

αα

1

2

= mm

2

1

.

Seveda pa bi bilo mogoče kar v začetku ugotoviti, da je virtualno delo vseh omejitvenih in notranjih sil (ki sta v danem primeru prav tako omejitveni sili) enako nič ter računati z običajnim zapisom načela virtualnega dela, t.j.

δ A = ∑ ⋅ i

di rF vv

δ)( = vF g1 ⋅ δ vr 1+

vF g2 ⋅ δ vr 2 = 0,

kjer so

vF i

(d) “dejanske”, aktivne (pritisnjene) sile, ki učinkujejo na sistem. 2. S pomočjo načela virtualnega dela izračunaj pogoj, da se bo sistem na sliki 7.3 nahajal v ravnovesju tedaj, ko je levo krajišče droga obremenjeno z utežjo mase m Brezmasna drsnika, povezana s togim brezmasnim drogom dolžine L, se lahko brez trenja gibljeta po pripadajočih vodilih. Dolžina vzmeti v neobremenjenem stanju je xo. Vertikalno vodilo se nahaja na razdalji xo + L od stene. xo x L - x k x Θ L m y

Slika 7.3.

163

V izbranem koordinatnem sistemu se aktivne sile in njihova prijemališča, ki delujejo na sistem teles zapišejo,

vF = (- kx, 0) vr 1 = (xo+x, 0) 1

vF 2 = (0, mg) vr 2 = (xo+L, y),

pri čemer je xo dolžina nedeformirane vzmeti konstante k, x pa deformacija (podaljšek) vzmeti, ko se sistem nahaja pod (statično) obremenitvijo. Načelo virtualnega dela se za prikazani sistem v ravnovesju, ob upoštevanju samo “aktivnih” sil, glasi,

δ A = v vF ri

di

( ) ⋅∑ ∂ = v v = F 1 ⋅ δ r 1 +

vF 2 ⋅ δ vr 2 =

= - kxδ x + mgδ y = 0. Omejitvena enačba je podana z izrazom,

f(x, y) = ( )L x y L− + −2 2 = 0 kar se po preureditvi zapiše,

x2 + y2 - 2xL = 0 in zato je,

xδ x + yδ y - Lδ x = (x - L)δ x + yδ y = 0.

Od tod izhaja, da je

δ y = L xy− δ x = L x

Lx x−

−2 2δ x

kar podaja zvezo med virtualnima pomikoma obeh drsnikov. Iz izraza za virtualno delo je tedaj raztezek vzmeti, x, ko se sistem nahaja v ravnovesju, podan z rešitvijo enačbe četrte stopnje,

x L xL x

3

2

2( )( )

−−

= mgk

,

pripadajočo vrednost za y pa se izračuna iz gornje omejitvene enačbe. Zadani problem je mogoče rešiti tudi tako, da se namesto dveh med seboj povezanih spremenljivk, x in y, uvede novo neodvisno spremenljivko θ , tako da velja,

L - x = L cosθ δ x = L sinθ δ θ

164

y = L sinθ δ y = L cosθ δ θ , s čimer je zgornji omejitveni enačbi identično zadoščeno. Očitno torej poseduje zadani problem eno samo prostostno stopnjo, ki jo podaja posplošena (generalizirana) koordinata, to je spremenljivka θ . Načelo virtualnega dela izraženo s pomočjo generalizirane koordinate je,

δ A = - kL(1-cosθ )L sinθ δ θ + mgL cosθ δ θ = 0,

tako, da je ravnovesni pogoj podan z rešitvijo transcendentne enačbe,

(1 - cosθ ) tgθ = mgkL

,

ki neposredno sledi tudi iz zgoraj dobljenega rezultata za raztezek x.

3. Neraztegljiva, brezmasna vrvica dolžine l je na enem krajišču vpeta v točki O popolnoma gladke navpične stene, drugo krajišče vrvice pa je pritrejeno za konec homogene palice PQ mase m in dolžine L pri čemer se drugi konec palice opira na navpično steno, tako da palica v ravnovesju oklepa kot β , vrvica pa kot α z vertikalo, slika 7.4. V primeru, da palica in vrvica ležita v isti navpični ravnini, ki oklepa pravi kot s steno pokaži, da se sistem nahaja v ravnovesju tedaj, kadar velja

sinα = 43

2 2L ll

− , sinβ = 43

2 2L lL

− .

vi O vj α l P L/2 β C L/2 Q

v F g

Slika 7.4.

165

Od vseh sil, ki delujejo na palico je aktivna sila zgolj teža palice, saj sta tako sila podlage (stena) kot sila vrvice, ki prav tako učinkujeta na palico, omejitveni sili katerih virtualno delo je enako nič. To je neposredno razvidno iz dejstva, da je sila podlage pravokotna na steno, dopustni virtualni pomik krajišča palice v točki P pa mora ležati vzporedno z njo. Podobno se ugotovi, da je virtualni pomik palice v krajišču Q možen le v smeri, ki je (ker je vrvica neraztegljiva) pravokoten na vrvico. Z ozirom na izbrani koordinatni sistem, slika 7.4, je težišče palice podano s krajevnim vektorjem vr c = x

)i + y

v, kjer očitno velja, j

x = (L/2) sinβ

y = l cosα - (L/2) cosβ .

Načelo virualnega dela se zapiše,

δ A = mgδ y = 0,

kar pomeni, da mora biti virtualni pomikδ y enak nič, torej

δ y = -l sinα δ α + (L/2) sinβ δ β = 0, oziroma,

l sinα δ α = (L/2) sinβ δ β .

pri čemer je iz slike razvidno, da sta kota α in β povezana z izrazom,

l sinα = L sinβ ,

oziroma virtualna pomika δ α in δ β pa z enačbo,

l cosα δ α = L cosβ δ β .

Če dobljena izraza, ki povezujeta virtualne pomike, med seboj delimo je rezultat,

tgα = 12

tgβ ,

kar skupaj z enačbo

l sinα = L sinβ ,

predstavlja sistem dveh enačb z dvema neznankama, katerih rešitvi sta podani z izrazoma,

166

sinα = 43

2 2L ll

−

sinβ = 43

2L lL− ,

kar pa je bilo potrebno dokazati.

167

2. D’ALAMBERT-OVO NAČELO IN LAGRANGEJEVE ENAČBE 2.1 D’Alambert-ovo načelo za sistem gibajočih se masnih točk Načelo virtualnega dela, ki podaja pogoj za ravnovesje (mirovanje) sistema masnih točk, velja v vseh tistih primerih, ko je virtualno delo omejitvenih (notranjih in zunanjih) sil enako nič. Tako kot to ilustrirajo zgledi na koncu prejšnjega poglavja je potrebno virtualno delo vseh omejitvenih sil, ki v sistemu nastopajo vsakokrat posebej proučiti. V vseh tistih primerih kjer je virtualno delo omejitvenih sil dejansko enako nič je tedaj takšna formulacija pogoja ravnovesja vnesla bistveno novost; ker so omejitvene sile večinoma v naprej neznane in jih je mogoče določiti šele po tem, ko je zadani statični problem rešen v celoti, kar pa utegne privesti do zapletenega postopka reševanja ravnovesnih enačb, izpeljano načelo virtualnega dela, zaradi dejstva, da v ravnovesnih enačbah omejitvene sile ne nastopajo več, bistveno poenostavi iskanje ustreznih rešitev. Toda, v kolikor zadani problem eksplicitno povprašuje po izvrednotenju omejitvenih sil, ki delujejo na mirujoči sistem masnih točk, je tedaj vendarle potrebno izhajati iz osnovnih zakonov statike, t.j. iz Newtonovega opisa mehanike. Primer zunanjih omejitvenih sil, katerih virtualno delo je vedno enako nič je virualno delo sile podlage na posamezno masno točko, če se sistem delcev nahaja v ravnovesju na popolnoma gladki površini poljubne oblike. V primeru, da se dva delca nahajata na konstantni medsebojni oddaljenosti (sta torej togo povezana med seboj) je tedaj virtualno delo tudi notranje (omejitvene) sile, ki deluje med delcema enako nič, kar je moč takoj neposredno pokazati. Če se namreč označi z vr 1,2 vektor,

vr 1,2 = vr 2 - vr 1,

ki kaže iz prve masne točke, katere lega je določena s krajevnim vektorjem vr 1, v drugo masno točko vr 2, (po predpostavki je vr1 2, = r1,2 = konstanta), je tedaj,

δ ( vr 1,2 ⋅ vr 1,2) = 2 δ vr 1,2 ⋅ vr 1,2 = 0

od koder je razvidno, da je virtualni pomik masne točke, δ vr 1,2, z ozirom na (konstantno) veznico med delcema, ki ju povezuje vedno pravokoten na veznico, vr 1,2. Ker pa velja, da leži notranja sila med delcema,

vf 1,2, (to je notranja omejitvena sila) vzdolž njune veznice,

kar pomeni

vf 1,2 = f1,2

vrr1 2

1 2

,

,

,

pri čemer je f1,2 velikost notranje sile ned delcema, je tedaj virtualno delo notranje omejitvene sile

vf 1,2 med delcema vedno identično enako nič, to je

δ A1,2 =

vf 1,2 ⋅ δ vr 1,2 ≡ 0.

Ker po definiciji togo telo sestavlja sistem velikega števila masnih točk, ki se nahajajo na vzajemno konstantnih razdaljah, je potemtakem virtualno delo vseh notranjih omejitvenih

168

sil pri togem telesu vedno enako nič in zato jih pri uporabi načela virtualnega dela za primer togega telesa ni potrebno posebej upoštevati. Seveda pa v zgornjem primeru dveh masnih točk, ki se nahajata na konstanti medsebojni oddaljenosti, predstavlja izraz,

vr 1,2 = ( ) ( ) ( )x x y y z z2 12

2 12

2 12− + − + − = konstanta

omejitveno enačbo, ki izraža dejstvo, da virtualna pomikaδ vr 1 in δ vr 2 delcev nista med seboj neodvisna. Zgornja omejitvena enačba se v splošni obliki zapiše kot

f( vr 1,vr 2) = 0

in predstavlja primer holonomne, skleronomne, omejitve. V splošnem ima sistem N, med seboj nevezanih, delcev 3N neodvisnih koordinat, (xi, yi, zi, i = 1, 2, ...., N), oziroma prostostnih stopenj, ki podajajo lego delcev v prostoru. V kolikor delci med seboj niso vsi neodvisni, ker delce povezuje k holonomskih omejitvenih enačb, je število neodvisnih koordinat, ki podaja konfiguracijo sistema N masnih točk enako 3 N - k. Sistem tedaj poseduje 3 N - k prostopnih stopenj, kajti zaradi k enačb, ki povezujejo koordinate delcev je k koordinat možno z njimi izraziti in zato jih je preostalo še 3 N - k neodvisnih med njimi. Teh preostalih 3 N - k prostostnih stopenj pa je možno izraziti z izbiro novih 3 N - k neodvisnih, sicer pa popolnoma poljubno izbranih, spremenljivk, q1, q2, ......., q3N-k, imenovane posplošene ali tudi generalizirane koordinate, s katerimi se izrazi krajevni vektor do vsake masne točke sistema delcev. V splošnem, če se delci sistema gibljejo velja,

qi = qi(t), i=1, 2, ...., 3N - k. so tedaj tudi posplošene (generalizirane) koordinate funkcija časa. S tako izvedenim izborom 3N-k posplošenih koordinat je vedno možno zapisati krajevne vektorje sistema N masnih točk v obliki,

vr 1 = vr 1(q1, q2, q3, ......, q3N-k, t) v vr 2 = r 2(q1, q2, q3, ......, q3N-k, t) . . . .

v v r N = r N(q1, q2, q3, ......, q3N-k, t). Če se za število posplošenih (generaliziranih) koordinat uporabi novo število n takšno, da je n=3N-k, je zgornje izraze mogoče v splošni obliki izraziti kot,

vr j = vr j(q1, q2, q3, ......, qn, t); j= 1, 2, ...., N.

Za posplošene koordinate je mogoče uporabiti kakršne koli fizikalne količine, kot n.pr., ustrezne koordinate zapisane v primernem koordinatnem sistemu, ustrezno izbrane kote ali komponente kotne hitrosti, izbrane komponente gibalne količine, komponente vrtilne količine, količine, ki imajo enote energije, itd. Za primer masne točke, ki je omejena na gibanje po površini krogle, sta za posplošeni koordinati lahko izbrana n. pr. kota θ in ϕ , to sta polarna kota krogelnega koordinatnega sistema in podobno.

169

Načelo virtualnega dela, kot zapisano zgoraj velja za sisteme masnih točk, ki mirujejo. V splošnem primeru, ko se pa sistem delcev giblje, oziroma se masne točke, ki sistem delcev sestavljajo tudi gibljejo, tedaj je potrebno zgoraj zapisano načelo virualnega dela posplošiti. Za vsak gibajoči delec sistema masnih točk mase mj tedaj velja,

vR j =

vF j

(aktivne) + vF j

(omej) = mj v&v j, j=1, 2, ....., N

kjer je v&v j pospešek i-tega delca, da se izraz lahko zapiše v obliki,

vF j

(aktivne) + vF j

(omej) - mj v&v j = 0, j=1, 2, ....., N,

kar pomeni, da je rezultanta vseh, na i-ti delec delujočih sil plus t. im. inercialne sile, vF inec

= - mjv&v j, enaka nič. Pri tem ni odveč opozorilo, da se vse zgoraj zapisane količine izražajo

z ozirom na inercialni koordinatni sistem. Na takšen formalni način je dinamični problem preveden na statičnega za katerega je sedaj moč uporabiti postopek, ki je privedel do načela virtualnega dela. Virtualno delo vseh realnih in inercialnih sil, δ A, ki učinkujejo na sistem, to je skalarni produkt zgornjega izraza z virtualnim pomikom j-tega delca, δ vr j, seštet po vseh delcih sistema, se sedaj izrazi v obliki,

δ A = + ∑ = 0 ( )( )v v vF m vjakt

j j jj

N* &− ⋅

=∑ δ

1

r ( )v vF rjomej

jj

N

⋅ ⋅=

δ1

in ob upoštevanja dejstva, da je delo omejitvenih sil enako nič, se dobljeni izraz poenostavi v obliko,

( )( )v vF m vjakt

j j jj

N* &− ⋅

=∑ δ

1

vr = 0

ki je poznana pod imenom D’Alambertovo načelo. Slednje izraža dejstvo, da je virtualno delo vseh aktivnih ter inercialnih sil, za primer ko se sistem delcev nahaja v dinamičnem ravnovesju enako nič. D’Alambertovo načelo je v zapisani obliki že moč uporabiti, toda dobljeni izrazi so zapleteni in težko pregledni kajti virtualni pomiki delcev v splošnem niso vsi med seboj neodvisni. Zaradi zapisanega je zelo prikladno prevesti D’Alambertovo načelo v formulacijo kjer se dani sistem N gibajočih se delcev izrazi s pomočjo n=3 N - k neodvisnih posplošenih koordinat, qi(t), i = 1, 2, ....., n.

170

2.2 Lagrange-jeve enačbe za holonomni sistem masnih točk Z izbiro ustreznih n posplošenih neodvisnih koordinat, q1(t), q2(t), .... , qn(t), se krajevni vektor, vr i, do i-te masne točke sistema delcev v splošnem zapiše v obliki,

vr i(t) = vr i(q1(t), q2(t), .... , qn(t), t); i=1, 2, .... , N.

Hitrost, vv i, i-te masne točke je v tem primeru enaka,

vv i = drdt

iv

= ∂∂

vrq

qi

jj

j

n

&=∑

1

+ ∂∂

vrti ,

pripadajoči virtualni pomik δ vr i pa je podan z,

δ vr i = ∂∂

δvrq

qi

jj

j

n

=∑

1

,

kajti δ t je po definiciji virtualnih pomikov identično enak nič. Prvi člen D’Alambertovega načela je tako moč zapisati,

v vF rii

N

⋅=∑ δ

1i =

vFi

i

N

⋅=∑

1

∂∂

δvrq

qi

jj

j

n

=∑

1

= , Q qj jj

n

δ=∑

1

kjer označuje Qj komponento posplošene sile, ki je definirana kot,

Qj = v vF

rqi

i

ji

N

⋅=∑ ∂

∂1

; j=1, 2, .... , n.

pri čemer je

vF j rezultanta aktivnih (zunanjih) sil na i-ti delec. Poudariti gre, da v splošnem

merska enota komponente posplošene sile ni enaka merski enoti za silo, toda produkt posplošene sile Qj z virtualno spremembo ustrezne neodvisne posplošene koordinate,δ qj, se mora vedno izraziti z mersko enoto dela. Drugi člen D’Alambert-ovega načela se pa preuredi na naslednji način,

m v ri i ii

N v& ⋅=∑ δ

1

v = m rrq

qi ii

jj

j

n

i

N vv

&& ⋅==∑∑ ∂

∂δ

11

.

V nadaljevanju si velja ogledati naslednji izraz,

m r rqi i

i

ji

N vv

&& ⋅=∑ ∂

∂1

= ddt

m r rq

m r ddt

rqi i

i

ji i

i

ji

N vv

vv

& &∂∂

∂∂

−

=

∑1

,

ki ga je mogoče nadalje preoblikovati, če se upošteva, da je,

171

ddt

rq

i

j

∂∂

v

=

∂∂ ∂

∂∂ ∂

2 2

1

v vrq q

qr

q ti

j kk

i

jk

n

& +=∑ =

∂∂

vvq

i

j

,

in ker velja še

∂∂

vvq

i

j& =

∂∂

vrq

i

j

,

je tedaj preoblikovani člen enak,

m r rqi i

i

ji

N vv

&& ⋅=∑ ∂

∂1

= ddt

m r vq

m v vqi i

i

ji i

i

ji

N vv

vv

&&

⋅

− ⋅

=

∑ ∂∂

∂∂1

.

Drugi člen D’Alambert-ovega načela se sedaj zapiše,

m rrq

qi ii

jj

j

n

i

N vv

&& ⋅==∑ ∂

∂δ

11∑ =

= ddt q

m vq

m vq

j

i i

i

N

j

i j

i

N

j

n

j∂∂

∂∂

δ&

2

1

2

11 2 2= ==∑ ∑

−

∑ .

Če se definira celotno kinetično energijo sistema delcev, T, kot

T = m vi i

i

N 2

1 2=∑ ,

se tedaj D’Alambert-ovo načelo glasi,

ddt

Tq

Tq

Q qj j

jj

n

j∂∂

∂∂

δ&

− −

=∑

1

= 0.

Sistem delcev je po predpostavki povezan s holonomnimi omejitvenimi pogoji pri čemer je izbranih n posplošenih koordinat, q1, ... , qn med seboj neodvisnih. Zaradi omenjnega dejstva morajo biti koeficienti v zgornji linerni kombinaciji identično enaki nič, kar pomeni, da mora veljati,

ddt

Tq

Tqj j

∂∂

∂∂&

− = Qj, j=1, 2, ..... , n.

Dobljeni sistem diferencialnih enačb drugega reda, ki podaja gibanje sistema masnih točk se imenuje Lagrange-jeve enačbe (druge vrste). V primeru, ko so dajo aktivne sile, ki delujejo na sistem, zapisati kot vsota konservativnih (praktično vedno poleg ostalih sil deluje na vsak delec tudi sila teže,

172

pogosto so prisotne med delci tudi notranje sile vzmeti, in podobno) ter m nekonservativnih sil je,

Qj = v vF

rqi

i

ji

N

⋅=∑ ∂

∂1

= ( )v vF

rqi

kons i

ji

N

⋅=∑ ∂

∂1

+ ( )v vF

rqi

nekons i

jj

m

⋅=∑ ∂

∂1

=

= - ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Vx

xq

Vy

yq

Vz

zqj

j

j j

j

j j

j

jj

N

+ +

=1∑ + Qj

(nekons),

= - ∂∂

Vq j

+ Qj(nekons),

kjer je bila uporabljena definicija

vF j

(konser) = - gradi V, pri čemer je V celotna potencialna energija (zunanjih in notrajih sil) sistema delcev,

V = V( vr 1, vr 2, ... ,

vr N) =

= + ( )V ri ii

N v

=∑

1( )1

2V r ri j i j

i j

N

,v v−

≠∑ .

Očitno potencialna energija sistema delcev, V, ne zavisi od posplošenih hitrosti q , zato se Lagrangejeve enačbe lahko zapiše,

& j

( ) ( )d

dtT V

qT V

qj j

∂∂

∂∂

−

−

−&

= Qj(nekons), j=1, 2, ..... , n.

Če se sedaj definira skalarna funkcija L, kjer je

L = T - V,

razlika kinetične energije minus (celotne) potencialne energije sistema N delcev se Lagrangejeve enačbe v tem splošnem primeru zapišejo,

ddt

Lq

Lqj j

∂∂

∂∂&

− = Qj

(nekons), j=1, 2, ..... , n.

V kolikor na sistem delcev delujejo samo konservativne sile je Qj

(ekons) ≡ 0 in Lagrangejeve enačbe za konservativni sistem masnih delcev predstavljajo,

ddt

Lq

Lqj j

∂∂

∂∂&

− = 0, j=1, 2, ..... , n.

173

sistem n vzajemno odvisnih (sklopljenih) homogenih diferencialnih enačb drugega reda, kjer kot neodvisne spremenljivke nastopa n neodvisnih posplošenih koordinat, qj, in n posplošenih hitrosti, . &q j

Primer nekonservativnih sil, ki često delujejo na gibajoči se sistem masnih točk je sila trenja, Ftr, ki se jo izpelje iz Rayleigh-jeve disipacijske funkcije, R,

R = ( )12

2 2

1

k v k v k vx i x y i y z i zi

N

, ,+ +=∑ 2

,

kjer so kx, ky, in kz koeficienti trenja v smeri koordinatnih osi pri čemer je n.pr. x komponenta sile trenje je podana z

Ftr,x = - ∂∂

Rvx

= - kx vx

in podobno velja za ostali dve komponenti sile trenja. V splošnem se torej lahko silo trenja, ki deluje na i-ti delec zapiše kot,

vF tr = - R, gradvv

zato je j-ta komponenta posplošene sile, ki pripada sili trenja, enaka,

Qj(tr) = ( )v v

Frqi

tr i

ji

N

⋅=

∂∂1

∑ = - grad Rrqv

i

ji

N

v

v⋅

=∑ ∂

∂1

= - gradrqv

i

ji

N

v

v∂∂

&

&=∑

1

= - ∂∂

Rq j&

.

V primeru, ko na sistem masnih točk poleg sile trenja delujejo samo še konservativne sile se tedaj Lagrangejeve enačbe glasijo,

ddt

Lq

Lqj j

∂∂

∂∂&

− +

∂∂

Rq j&

= 0, j=1, 2, ..... , n.

kar pomeni, da je v tem primeru potrebno definirati dve skalarni funkciji L ter R. V Newtonovi formulaciji mehanike je v splošem gibanje sistem podano z vektorskimi količinami, kot so to sile, pospeški, navori, vrtilna količina, itd., pri čemer v enačbah gibanja nastopajo tudi omejitvene sile, ki so v naprej neznane in jih je mogoče izraziti šele tedaj, ko je problem gibanja eksplicitno rešen. V nasprotju z navedenim je v Lagrangejevi formulaciji gibanje (konservativnega) sistema podano zgolj z dvema skalarnima funkcijama, kinetično energijo T in potencialno energijo sistema V, kar reševanje problema zelo poenostavi še zlasti zato, ker v Lagrangejevi posplošeni formulaciji klasične mehanike omejitvene sile ne nastopajo.

174

Lagrange-jeva funkcija, L=T-V, je v splošnem funkcija neodvisnih posplošenih koordinat s katerimi sta izraženi tako kinetična energija, T, kot celotne potencialna energija, V, sistema delcev, saj velja

vr i(t) = vr i(q1(t), q2(t), .... , qn(t), t); i = 1, 2, .... , N. zato je hitrost i-te točke podana z,

vv i = drdt

iv

= ∂∂

vrq

qi

jj

j

n

&=∑

1

+ ∂∂

vrti ,

tako, da je splošni izraz za kinetično energijo T tedaj enak,

T = mvi

i

N 2

1 2=∑ =

= m r

ti i

i

N

21

2∂∂

v

=∑ + m

rt

rq

qii i

jj

i j

∂∂

∂∂

v v⋅∑ &

,

+ 12

mrq

rq

q qii

j

i

kj k

i j k

∂∂

∂∂

v v⋅∑ & &

, ,

.

175

Zgledi: k 1. Na popolnoma gladkem klancu z nagibom α se nahaja kvader mase m, ki je preko vzmeti, m konstante k, vpet na oporo vrh klanca. Z uporabo načela virtualnega dela izračunaj raztezek vzmeti tedaj, ko se kvader nahaja v ravnovesni legi. α Načelo virtualnega dela se glasi,

δA = = (( )∑=

⋅N

ii

akti rF

1

vvδ vzg FFN

vvv++ ). δ ir

v =

= [N j

) + (mg sin α i

) - mg cos α j

)) - k x i

) ]. δ x i

) =

= 0 + mg sin α δ x - k x δ x in to mora biti enako nič v ravnovesju. Ker je variacija pomika, δx ≠ 0 sledi od tod, da je raztezek vzmeti x v ravnovesju enak,

x = k

mg αsin .

2. Zapiši enačbe gibanja kvadra v zgornjem primeru. a) Lagrangejeve enačbe gibanja za konservativni sistem se glasijo,

jj qL

qL

dtd

∂∂

−

∂∂&

= 0, j = 1, 2,…..,n,

kajti delo omejitvene sile N

v je identično enako nič (oklepa pravi kot z ozirom na možne

pomike kvadra). Očitno poseduje sistem na skici eno samo prostostno stopnjo, ki je kar enaka raztezku vzmeti, x. Lagrangejeva funkcija L = T - V se tedaj zapiše,

L = 2

2xm & -( mgh +

2

2xk ),

kjer je h vertikalna višina težišča kvadra merjena od poljubno izbrane vodoravne ravnine. Iz skice je očitno, da se z rastočim raztezkom x, višina h težišča zmanjšuje. Pa označimo višino ho tisto višino težišča, ko je raztezek vzmeti x = 0. Tedaj je,

176

h = (ho - x sin α ) in posledično je,

L = 2

2xm & - mg(ho - x sin α ) -

2

2xk ,

od koder takoj sledi Lagrangejeva enačba gibanja za gornji primer, ki se glasi, m + k x = mg sin α x&& b) Toda uporabiti je mogoče tudi alternativno obliko Lagrangejevih enačb,

jj qT

qT

dtd

∂∂

−

∂∂&

= Qj j = 1, 2,…,n,

kjer so Qj komponente posplošene sile. Slednje se dobi iz definicije virtualnega dela, saj velja,

δ A = = . ( )∑=

⋅N

ii

akti rF

1

vvδ ∑

=

n

jjj qQ

1δ

Srednji izraz je identičen s tistim, ki je bil izračunan že v primeru št. 1 zgoraj, zato velja, mg sin α δ x - k x δ x = Q δx od koder sledi, da je posplošena sila Q enaka, Q = mg sin α - k x. Ker je

xT&∂

∂ = m in x&xT∂∂ = 0 se dobi,

m = mg sin α - k x, x&& kar pa je identično enako že zapisanemu rezultatu zgoraj. Rešitev diferencialne enačbe gibanja se tedaj zapiše,

x = xo sin ( tmk - δ ) +

kmg αsin

Tu sta amplituda nihanja xo ter fazni pomik δ določena še z danimi začetnimi pogoji.

177

3. Z uporabo Lagrangejevih enačb izpelji enačbo gibanja matematičnega nihala, to je nihanje delca, mase m, ki je vpet na vrvici dolžine L, slika 7.5. θ L C B m A

Slika 7.5.

Če se za posplošeno koordinato q izbere kot θ , to je kot, ki ga vrvica oklepa z navpičnico je tedaj kinetična energija delca,

T = m v2/2 = ( )m L &θ

2

2 = 1

2mL , &θ 2

njegova potencialna energija (merjena iz ravnovesne lege delca) pa znaša,

V = mgz = mg(L - L cosθ ) = mgL (1-cosθ ),

tako, da se Lagrangejeva funkcija v danem primeru zapiše,

L = T - V = 12

mL2 &θ 2 - mgL (1-cosθ ).

Ker ima sistem eno samo prostostno stopnjo, ki jo podaja posplošena koordinata θ se Lagrangejeva enačba zapiše,

ddt

L∂∂θ

∂∂θ&

−

L = 0,

( )ddt

mL mgL2 & sinθ θ+ = 0,

oziroma,

&& sinθ θ+gL

= 0,

178

kar je enačba sinusnega nihanja, katere rešitve se izražajo z eliptičnim integralom prve vrste, glej str. 96. V približku majhnih amplitud nihanja je θ << 1, torej sinθ = θ - θ 3/6 + ..., in zato je enačba gibanja,

&&θ + g

Lθ = 0,

katere splošna rešitev je

θ = θ 1,0 sin gL

t + θ 2,0 cos gL

t,

pri čemer sta θ 1,0 in θ 2,0 konstanti, ki se ju določi iz danih začetnih pogojev. 4. Zapiši enačbe gibanja dvojnega nihala, ki niha brez trenja v vertikalni ravnini. Dvojno nihalo sestavljata uteži mase m1 in m2, ki sta vpeti na krajišči brezmasnih togih palic dolžine L1 in L2, pri čemer sta palici na med seboj členkasto povezani, slika 7.6. y O θ1 L1 (x1, y1) m1 L2 θ2 m2 (x2, y2) x

Slika 7.6.

Dvojno nihalo, ki je omejeno na gibanje v vertikalni ravnini poseduje dve prostostni stopnji, θ 1 in θ 2, ki sta definirana kot kota, ki jih v danem trenutku oklepata palici L1 in L2 z vertikalo, slika 7.6. S tako izbranima neodvisnima koordinatama se krajevna vektorja masnih točk, vr 1 in vr 2, zapišeta,

vr 1 = (L1 cosθ 1, L1 sinθ 1)

179

vr 2 = (L1 cosθ 1 + L2 cosθ 2, L1 sinθ 1 + L2 sinθ 2).

Kinetična energija sistema je tedaj,

T = 12

m1 v&r 1 ⋅ v&r 1 + 1

2m2

v&r 2 ⋅ v&r 2

= 12

m1L12 &θ 1

2 + 12

m2 [L12 &θ 1

2 + L22 &θ 2

2 + 2 L1L2 &θ 1 &θ 2 cos(θ 1-θ 2)].

Potencialna energija dvojnega nihala V z ozirom na vodoravno ravnino, ki poteka skozi najnižjo lego nihala je,

V = m1g (L1+L2 - L1 cosθ 1) + m2g [L1+L2 - (L1 cosθ 1 + L2 cosθ 2)],

tako, da je Lagrangejeva funkcija, L = T - V, enolično definirana. Lagrange-jevi enačbi gibanja se za zapisani konservativni sistem glasita,

ddt

L∂∂θ

∂∂θ&

1 1

−

L = 0

ddt

L∂∂θ

∂∂θ&

2 2

−

L = 0,

ki se neposredno izrazita v naslednjih dveh sklopljenih diferencialnih enačbah,

(m1+m2) L1

2 &&θ 1 + m2L1L2 &&θ 2 cos(θ 1-θ 2) + m2L1L2 &θ 22 sin(θ 1-θ 2) =

= (m1+m2) gL1 sinθ 1

m2L22 &&θ 2

2 + m2L1L2 &&θ 1 cos(θ 1-θ 2) - m2L1L2 &θ 12 sin(θ 1-θ 2) =

= - m2gL2 sinθ 2. Dobljeni Lagrange-jevi enačbi se nekoliko poenostavita, če se vzame da sta masni točki enaki, m1 = m2 = m, ter da je tudi dolžina prečk enaka, L1 = L2 = L. Tedaj se dobi,

2L &&θ 1 + L &&θ 2 cos(θ 1-θ 2) + L &θ 22 sin(θ 1-θ 2) = - 2g sinθ 1

L &&θ 1 cos(θ 1-θ 2) + L &&θ 2 - L &θ 12 sin(θ 1-θ 2) = - g sinθ 2.

Sklopljeni sistem diferencialnih enačb je še vedno prezapleten, da bi bilo mogoče upati, da obstaja preprosta splošna rešitev, zato se Lagrangejevi enačbi linearizira v upanju dodatne poenostavitve. To pomeni, da se predpostavi, da sistem niha z majhnimi amplitudami, tako da je v prvem približku mogoče zapisati,

sinθ = θ cosθ = 1

180

in če se zanemari člene velikosti drugega reda, kot n.pr., &θ 2θ , sta poenostavljeni (linearizirani) diferencialni enačbi,

2L &&θ 1 + L &&θ 2 = - 2gθ 1 L &&θ 1 + L &&θ 2 = - g θ 2.

Rešitev sistema se išče s pomočja nastavka,

θ 1 = A1 e-iωt in θ 2 = A2 e-iωt ,

kjer so A1, A2 in ω še neznane konstante. Zgornji sistem se sedaj zapiše,

2(g - Lω 2) A1 - Lω 2 A2 = 0 - Lω 2 A1 + (g - Lω 2) A2 = 0,

to pa je sistem dveh linearnih homogenih enačb za koeficienta A1 in A2. Kot je znano ima sistem linearnih enačb netrivialno rešitev tedaj in le tedaj, če je determinanta koeficientov enaka nič,

2 2 2

2 2

( )( )

g L LL g L− −

− −ω ω

ω ω = 0.

Izvrednotenje determinante privede do naslednje kvadratne enačbe,

L2 ω 4 - 4Lg ω 2 + 2g2 = 0,

katere rešitvi sta,

ω 21,2 =

4 16 82

2 2 2 2

2

Lg L g L gL

± − =

( )2 2± g

L

in ker mora biti frekvenca ω pozitivna, sta rešitvi nastavka,

ω 1 = ( )2 2+ g

L

ω 2 = ( )2 2− g

L.

Izračunani frekvenci nihanja, ω 1 in ω 2, se imenujeta lastni (krožni) frekvenci nihanja dvojnega nihala. Če se v zgornji sistem homogenih linearnih enačb za ω vstavi vrednost prve lastne frekvenco ω =ω 1, je rešitev sistema podana z

A2 = - 2 A1,

181

kar pomeni, da gre za lastno nihanje, kjer se delca gibljeta v nasprotni smeri. Za ω =ω 2 se pa za rešitev sistema linearnih enačb dobi vrednost,

A2 = 2 A1,

kar pomeni, da gre za lastno nihanje kjer se delca gibljeta v isti smeri. 5. Kvadratni okvir mase m1 in s stranicami dolžine 2L se vrti okoli vertikalne osi, pod vplivom zunanjega navora Mz, tako da poteka os vrtenja, definirana z z-osjo prostorskega koordinatnega sistema, vzdolž ene izmed stranic okvira, slika 7.7. V stranice okvira vpeta palica dolžine 2L in mase m, lahko drsi po okviru z zanemarljivo majhnim trenjem. Če v danem trenutku oklepa palica kot θ z osjo vrtenja, zapiši enačbe gibanja sistema ter identificiraj posplošene sile, ki delujejo nanj. z 2L θ 2L y ϕ

x

Slika 7.7.

Položaj okvirja je v prostorskem (mirujočem) koordinatnem sistemu določen s kotom ϕ , ki ga stranica okvirja oklepa z x-osjo, zato poseduje sistem dve prostostni stopnji, ki ju podajata neodvisni posplošeni koordinati, θ in ϕ . Za zadani primer je ustrezno izhajati iz najbolj splošne oblike Lagrangejevih enačb in sicer,

ddt

Tq

Tqj j

∂∂

∂∂&

− = Qj, j=1, 2

182

pri čemer je T celotna kinetična energija sistema. Le-ta sestoji iz kinetične energije vrtečega se okvirja, Tok, ter kinetične energije vrteče se palice, Tpal, ki še lahko dodatno drsi po stranicah okvirja.

T = Tok + Tpal,

kjer je kinetična energija okvirja enaka rotacijski kinetični energiji,

Tok = Jok &ϕ

2

2

pri čemer je vztrajnostni moment okvirja, Jok, glede na os vrtenja je enak,

Jok = 2 (m1/4) (2L)2/3 + (m1/4) (2L)2 = 5 m1L2/3,

tako, da je

Tok = 56 1

2 2m L &ϕ

Kinetično energijo drseče palice, ki se hkrati vrti okoli z-osi skupaj z okvirjem, se izračuna z uporabo Koenigs-ovega teorema,

Tpal = mr Jcv& &2 2

2 2+

θ

Krajevni vektor težišča palice, vr c, zapisan v prostorskem sistemu, je enak,

vr c =(L sinθ cosϕ , L sinθ sinϕ , L cos θ ),

tako, da je kvadrat hitrosti, v&r c2, težišča palice podan z izrazom,

vc

2 = L2 ( &θ 2 + sin2θ &ϕ 2).

Ker je težiščni vztrajnostni moment palice Jc = m(2L)2/12 = mL2/3, je celotna kinetična energija sistema podana z izrazom,

T = 23

mL2 &θ 2 + 16

(5m1 + 3m sin2θ )L2 &ϕ 2.

Za izračun generaliziranih sil se izhaja iz virtualnega delaδ A, ki jih na sistemu opravijo vse aktivne sile in navori,

δ A = v

M ⋅ δϕv - mg )k ⋅ δ vr c

= Mzδ ϕ + mgL sinθ δ θ

kar mora biti enako,

183

δ A = Q θ δ θ + Q ϕ δ ϕ ,

zato se iz primerjave vidi, da sta generalizirani sili enaki,

Q = mgL sinθ θ Q = Mϕ z.

Lagrange-jevi enačbi gibanja sistema se potemtakem glasita,

43

L&&θ - ( )12

2 2L sin &θ ϕ = g sinθ

(5mm

1 + 3 sin2θ ) + 3 sin(2&&θ & &θϕ θ ) = 3Mz.

6. Sklopljeni nihali, katerih gibanje se lahko odvija samo vzdolž horizontalne smeri, satavljata dve enaki uteži mase m, ki sta povezani z tremi enakimi vzmetmi, katerih konstanta vzmeti je k. Zapiši enačbe gibanja sistema za primer, da je trenje zanemarljivo. Vzmeti na obeh skrajnih legah sta vpeti v opori, ki se nahajata na konstantni razdalji, slika 7.8. k m k m k i

v

x1 x2

Slika 7.8.

184

Ker je virtualno delo omejitvenih sil enako nič, je sistem konservativen in pripadajoče Lagrangejeve enačbe se glasijo,

ddt

Lq

Lqj j

∂∂

∂∂&

− = 0, j=1, 2,

pri čemer sta očitno pomika uteži iz ravnovesne lege, x1 in x2, neodvisni koordinati, ki določata gibanje sistema. Kinetična energija sistema obeh uteži je,

T = 12

m &x 12 + 1

2m &x 2

2,

potencialna sile teže obeh uteži je konstantna in jo zato ni potrebno upoštevati, prožnostna energija sistema je pa funcija časa tako, da je celotne potencialna energija sistema,

V = 12

k x12 + 1

2k (x1 - x2)2 + 1

2k x2

2.

Lagrangejeva funcija L = T - V in je,

L = 12

m &x 12 + 1

2m &x 2

2 - [ 12

k x12 + 1

2k (x1 - x2)2 + 1

2k x2

2],

tako, da se pripadajoči Lagrangejevi enačbi zapišeta,

m &&x 1 = k (x2 - 2 x1)

m &&x 2 = k (x1 - 2 x2).

Sistem obeh diferencialnih enačb s konstantnimi koeficienti se rešuje z nastavkoma,

x1 = A1 ei tω ter x2 = A1 ei tω

kar se po podobnem postopku kot v zgledu 2 zgoraj, odraža v sistemu homogenih, linearnih enačb katerega netrivialna rešitev je podana z zahtevo, da je determinanta koeficientov enaka nič,

22

2

2

k m kk k m

− −− −

ωω

= 0.

Korena pripadajoče kvadratne enačbe sta,

m2 ω 4 - 4km ω 2 + 3k2 = 0,

185

ω 12 = k

m

ω 22 = 3k

m.

Podobno kot zgoraj, se tudi tokrat izkaže, da k prvi lastni frekveci ustreza lasten način nihanja, kjer je

A1 = A2,

kar pomeni, da se uteži gibljeta v isti smeri (ali obe v eno ali pa obe v obratno smer), kar se opiše z dejstvom, da uteži tedaj nihata v fazi. K drugi lastni frekvenci, ω = ω 2, pripada lastno nihanje, kjer sta amplitudi nihanja povezani z izrazom,

A1 = - A2,

kar pomeni, da se uteži gibljeta druga proti drugi, oziroma druga od druge. Uteži tedaj nihata z nasprotno fazo. Zgled: Na popolnoma gladki vodoravni ravnini, ki se nahaja na višini H nad tlemi, je skozi majhno odprtino povlečena brezmasna, neraztegljiva, vrvica dolžine d. Delec mase m1, ki drsi po površini ravnine je vpet na krajišče vrvice, na drugem koncu vrvice pa prosto visi delec mase m2, pri čemer velja, m2 > m1. V začetnem trenutku se nahaja delec mase m1 na razdalji r(t=0) = r0 of odprtine ter oklepa kot ϕ (t=0) = ϕ0 z ozirom na izbrano smer v ravnini ploskve. V tem trenutku naj znaša njegava radialna hitrost r& (t=0) = ter kotna hitrost

0r&ϕ& (t=0) = 0ϕ& . Zapiši enačbe gibanja sistema delcev!

r m1 d – r x m2 r ϕ H z y z

186

Očitno je delo omejitvene sile, t.j. sile podlage, enako nič, zato se Lagrangejeve enačbe za konservativni sistem zapišejo,

∂∂

jqL

dtd

& -

jqL

∂∂ = 0 qj = 1, 2,…., n.

Lagrangejeva funkcija L je, L = T – V, kjer je kinetična energija sistema delcev, T, enaka,

T = ∑ 2

2ii vm

= 2

211 rm &

+ 2

222 rm &

,

potencialna energija V sistema pa znaša, V = m2g zC + m1 g H = m2 g [H - (d – r)] + konst. V slednjem izrazu pomeni zC lego masnega središča delca m2 izraženega z ozirom na izbrano raven, ki se nahaja na globini z = H. Krajevna vektorja delcev, zapisana v prostorskem polarnem koordinatnem sistemu, sta tedaj enaka,

1rv = r er

) in zato je r1&v = r& re) + rϕ& ϕe)

2rv = (d-r) k

) r2

&v = - r& k)

. Kinetična energija sistema se sedaj zapiše,

T = ( )

22

221

221 ϕ&& rmrmm

++ .

Očitno sta r in ϕ posplošeni koordinati danega sistema, zato se Lagrangejevi differencialni enačbi lahko zapišeta v obliki, (m1+m2) r&& - m1 r + m2ϕ& 2 g = 0 m1 r2 ϕ&& + 2 m1 r ϕ&&r = 0. Druga enačba se da pretvoriti v nekoliko spremenjeni izraz,

( ϕ&21 rm

dtd ) = 0,

187

ki pa je kar enak odvodu komponente celotne vrtilne količine sistema delcev z ozirom na z-os. Iz zapisanega izraza torej sledi, da se z-komponenta celotne vrtilne količine ohranja. Če označimo začetno vrtilno količino z Γz

0 = m1 r02 0ϕ& , je sedaj

ϕ& = 21

0

rm

zΓ.

Zapisani izraz vstavimo v prvo Lagrangejevo enačbo in dobimo nehomogeno differencialno enačbo drugega reda s konstatnimi koeficienti, ki podaja časovno odvisnost oddaljenosti delca, r = r(t), od odprtine v ravnini.

188

2.3 Lagrange-jeve enačbe za primer nekaterih zvrsti neholonomnega sistema delcev Neholonomni sistemi masnih točk, so definirani kot sistemi, ki se jih sicer lahko opiše s posplošenimi koordinatami, q1, q2, ..., qn, ki pa tokrat niso vse neodvisne, toda povezave med njimi v splošnem ni mogoče izraziti v obliki ene ali več omejitvenih enačb oblike f(q1,q2,....,qn,, t) = 0. Neholonomni sistemi so torej sistemi masnih točk, kjer so posplošene koordinate med seboj povezane, obstaja torej množica n odvisnih posplošenih koordinat, saj zaradi dejstva, da omejitvene enačbe ne obstajajo njihovega števila zato ni mogoče še dodatno zmanjšati. Izpeljava Lagrangejevih enačb za primere neholonomnih sistemov masnih točk sicer poteka na identični način kot za holonomne sisteme vse do koraka, kjer se D’Alambertovo načelo zapiše v obliki,

ddt

Tq j

Tq j

Q jj

nq j

∂∂

∂∂

δ&

− −

=∑

1 = 0; j = 1, 2, ......, n

pri čemer pa tokrat celo število n pomeni število posplošenih (v splošnem med seboj odvisnih) koordinat. Kot običajno, tudi tokrat pomeni Qj, j-to komponento posplošene sile, ki je prirejena j-ti generalizirani koordinati, qj. Toda samo, če so vse aktivne sile, ki delujejo na sistem delcev konservativne sile, je tedaj posplošena sila Qj kar enaka odvodu celotne potencialne energije sistema, V, po koordinati qj in samo tedaj je mogoče definirati Lagrangejevo funkcijo L=T-V sistema delcev. Toda neodvisno od dejstva ali so aktivne sile konservativne ali ne, je gornji izraz v splošnem mogoče nadalje poenostaviti le v tistih posebnih primerih neholonomnih sistemov delcev, ko se omejitvene enačbe lahko zapišejo v obliki m enačb toda takšnih, ki povezujejo samo diferenciale posplošenih koordinat oblike

alk dqkk

n

=∑

1+ altdt = 0, l= 1, 2, ....., m.

Ker je sistem delcev neholonomen, podobne enačbe, ki pa bi povezovale zgolj posplošene koordinate, seveda ne obstojajo. Virtualni pomiki δ qk posplošenih koordinat morajo, zaradi zapisanih izrazov in zaradi dejstva, da je δt=0 po definiciji, ustrezati pogojem,

a qlk kk

n

δ=∑

1

= 0, l= 1, 2, ....., m.

Z metodo Lagrange-jevih nedoločenih množiteljev je pa mogoče pretvoriti zgorji sistem odvisnih posplošenih koordinat v neodvisne koordinate. Značilnost metode sestoji v dejstvu, da se gornji izraz, ki jim morajo ustrezati virtualni pomiki n generaliziranih koordinat, pomnoži s še neznanimi funcijami λ l(t), tako da je

λ l a qlk kk

n

δ=∑

1

= 0, l= 1, 2, ....., m.

189

pri čemer so funkcije λ l samo funkcije časa ne pa posplošenih koordinat ali njihovih časovnih odvodov. Izhodiščno enačbo je mogoče zapisati tudi v obliki,

dt1

2

∫ddt

Tqk

Tqk

Qkk

nqk

∂∂

∂∂

δ&

− −

=∑

1 = 0,

in podobno mora veljati, da

dtl

m

1

2

1∫ ∑

=

λ l a qlk kk

n

δ=∑

1

= 0,

kar pomeni, da mora biti razlika obeh izrazov prav tako enaka nič,

dt ddt

Tq

Tq

Q ak k

k l lkl

m

k

n

k∂∂

∂∂

λ δ&

− − −

==

∑∑∫11

1

2q = 0.

Na tem mestu velja poudariti, da so virtualne spremembe posplošenih koordinat δ qk, k=1,2 ...., n, med seboj povezane z m enačbami, kar po drugi strani pomeni, da obstaja tedaj n-m posplošenih virtualnih pomikov, ki pa so med seboj neodvisni. V splošnem je vedno mogoče izbrati m funkcij λ l, takšnih da zadoščajo pogoju

ddt

Tq

Tq

Qk k

k ll

m∂∂

∂∂

λ&

− − −

=∑

1

alk = 0 k=n-m+1, n-m+2, ......, n,

toda ker je n-m posplošenih virtualnih pomikov, δ qk, neodvisnih mora zato vedno veljati,

ddt

Tq

Tq

Qk k

k ll

m∂∂

∂∂

λ&

− − −

=∑

1

alk = 0 k=1, 2, ....., n-m.

Poslednja dva sistema diferencialnih enačb drugega reda je pa sedaj mogoče zapisati v obliki enega samega sistema in sicer,

ddt

Tq

Tq

Qk k

k ll

m∂∂

∂∂

λ&

− − =

=∑

1

alk k=1, 2, ....., n,

ki se ga rešuje skupaj z omejitvenimi enačbami,

a q alk k ltk

m

& +=∑

1

= 0 l=1, 2, ......, m.

Zapisano pomeni, da je v omenjenih posebnih primerih neholonomnih sistemov, kjer so vezi med posplošenimi koordinatami podane v diferencialni obliki, z metodo

190

Lagrangejevih nedoločenih množiteljev potrebno rešiti n+m enačb z n+m neznankami qk in λ k. Rešitve obeh sistemov diferencialnih enačb so torej n posplošene koordinate qj = qj(t), j=1, 2, ...., n ter m od časa odvisne funkcije λ i = λ i(t), i=1, 2, ...., m, kar pomeni, da rešitev zastavljenega dinamičnega problema podaja več odgovorov, kot pa jih je bilo v začetku zahtevanih, namreč izračunati eksplicitno časovno odvisnost n posplošenih koordinat. Postavi se vprašanje, kakšen je tedaj pomen tako izračunanih m novih, od časa odvisnih, funkcij λ j, ki tudi nastopijo kot del rešitve problema dinamike danega sistema delcev. Odgovor na to vprašanje se dobi, če se izhaja iz samega začetnega koraka izpeljave načela virualnega dela za gibajoči se sistem masnih točk, ki je privedel do D’Alambert-ovega načela in sicer iz izraza

δ A = + = 0, ( )( )v v vF m vjakt

j j jj

N* &− ⋅

=∑ δ

1

r ( )v vF rjomej

jj

N

⋅ ⋅=∑ δ

1

pri čemer pa se privzame alternativno stališče po katerem sedaj na sistem delcev delujejo namesto omejitvenih (neznanih) sil takšne znane zunanje sile, katerih učinek na sistem je enak učinku omejitvenih sil vsled česar ostaja gibanje sistema delcev nespremenjeno. Na identični način kot prej, torej s transformacijo ustreznih izrazov na posplošene koordinate ter z vpeljavo posplošenih sil Qk

(omej), ki ustrezajo tem na novo vpeljanim znanim zunanjim silam, katerih učinek je enak učinku prvotnih omejitvenih sil, se enačbe gibanja za zgornje posebne primere neholonomnih sistemov zapišejo v obliki,

( )ddt

Tq

Tq

Q Qk k

k komej∂

∂∂∂&

− − = .

Iz primerjave desnih strani obeh izrazov je razvidno, da mora tedaj veljati,

λ l lkl

m

a=∑

1

= Qk(omej), k =1, 2, ...., n

kar pomeni, da je k-ta komponenta posplošene omejitvene sile, Qk

(omej), enaka linearni kombinaciji izračunanih m časovno odvisnih funkcij λ l. Zaradi tega dejstva torej sledi spoznanje, da v obravnavanih posebnih primerih neholonomnih sistemov masnih delcev, omejitvene sile v enačbah, z metodo nedoločenih Lagrange-jevih množiteljih izpeljanih, dejansko niso eliminirane in se pojavijo kot del odgovora kot navedeno in pokazano zgoraj. Postopek reševanja obravnavanih posebnih primerov neholonomnih sistemov je mogoče vedno uporabiti tudi za holonomne sisteme, to je takšne kjer se omejitvene enačbe, ki povezujejo posplošene koordinete, zapišejo v obliki,

fl(q1, q2, ..., qn, t) = 0, l=1, 2, .... , s

kar pa je ekvivalentno izrazom,

191

df = ∂∂

∂∂

fq

dqft

dtl

kk

l

k

n

+

=∑

1

= 0,

kar pomeni, da je mogoče poistovetiti ustrezne koeficiente, pri čemer je razvidno, da velja,

alk = ∂∂

fq

l

k alt = ∂

∂ftl , l=1, 2, ..., s.

Na tem mestu velja poudariti, da obravnavani holonomni sistem tokrat ni opisan z neodvisnimi posplošenimi koordinatami qj, kar je vedno mogoče izvesti in to zaradi dejstva, da je: 1. funkcijska povezava posplošenih koordinat takšna, da je neprikladno reducirati število posplošenih koordinat na same neodvisne ali pa, 2. se želi v odgovoru dobiti poleg časovno odvisnih posplošenih koordinat, še časovno odvisne posplošene omejitvene sile, oziroma njim pripadajoče funkcije λ (t). Če je neholonomni (ali pa holonomni) sistem delcev konservativen, pri čemer pa se omejitvene enačbe izražajo kot povezave med diferenciali posplošenih koordinat, tedaj se pripadajoče Lagrange-jeve enačbe glasijo,

ddt

Lq

Lq

ak k

l lkl

m∂∂

∂∂

λ&

− =

=∑

1, k=1, 2, ...., n

kjer je L=T - V in enačbe se rešujejo hkrati z omejitvenimi enačbami oblike,

a q alk k ltk

m& +

=∑

1 = 0 l=1, 2, ......, m.

192

Zgledi: Delec mase m se giblje pod vplivom teže po notranjosti rotacijskega paraboloida, to je lika, ki nastane s 360o zavrtitvijo parabole okoli vertikalne simetrijske osi. Enačba površine se glasi x2 + y2 = az, kjer je a konstanta, gibanje se pa odvija brez trenja, slika 7.9. z m û vr y ϕ x

ρ

Slika 7.9.

Lagrange-jeva funkcija delca zapisana v prostorskem polarnem koordinatnem sistemu je,

L = T - V = 12

m( + &ρ2 ρ 2 &ϕ2 + ) - mgz. &z2

Polarne koordinate ρ , ϕ in z, niso neodvisne marveč so med seboj povezane z enačbo površine rotacijskega paraboloida, to je z izrazom,

x2 + y2 ≡ ρ 2 = az,

oziroma, ρ 2 - az = 0, tako da je,

193

2 ρ δ ρ - a δ z = 0.

Iz primerjave z omejitvenim izrazom katerega splošna oblika je

a qlk kk

n

δ=∑

1

= 0, l= 1, 2, ....., m,

je razvidno, da je l = 1 in n = 3, tako da sledi,

a11 = 2ρ , a12 = 0, a13 = -a,

kajti koeficient člena pred variacijo polarnega kota, δ ϕ , je enak nič. Lagrangejeve enačbe se zato zapišejo,

ddt

L∂∂ρ

∂∂ρ&

−

L = 2 λ 1 ρ

ddt

L∂∂ϕ

∂∂ϕ&

−

L = 0

ddt

Lz

Lz

∂∂

∂∂&

− = - aλ 1.

Če se izračuna odvode Lagrange-jeve funkcije po zapisanih spremenljivkah se kot rezultat dobi naslednje diferencialne enačbe,

m( ) = 2&& &ρ ρϕ− 2 λ 1 ρ

m ( )ddt

ρ ϕ2 & = 0

m && = - mg - az λ 1,

ki se rešujejo skladno še z omejitveno enačbo,

2 ρ &ρ - a = 0. &z

Posebno zanimiva rešitev zapisanega sistema nastopi, če se predpostavi, da je začetna hitrost delca takšna, da kroži po horizontalni krožnici, ki se nahaja na višini z=h, po notranjosti rotacijskega paraboloida. Polmer krožnice ρ o na višini z=h je tedaj enak

ρ o = ah .

Iz zadnje diferencialne enačbe se za z=h dobi vrednost Lagrange-jevega nedoločenega množitelja, ki je tokrat enak,

194

λ 1 = - mg/a.

Iz druge diferencialne enačbe se vidi, da je kotna hitrost kroženja delca, &ϕ , je konstantna. Če se označi z &ϕ = ω in dobljene izraze vstavi v prvo diferencialno enačbo sledi,

m(- ρ ω 2) = 2 (- mg/a)ρ

in odtod je kotna hitrost kroženja delca po krožnici polmera ρ o enaka,

ω = 2ga

.

V primeru, da se začetna (tangentna) hitrost delca v vodoravni smeri vo samo za majhen delež razlikuje od zgoraj izračunanih vrednosti, kar pomeni

vo ≈ ρ oω

tedaj delec niha okoli krožnice na višini z=h. To se lahko pokaže na način, kjer se izhaja da zaradi

( )ddt

ρ ϕ2 & = 0,

mora veljati

ρ 2 &ϕ = konst. = ahω .

To pomeni, da sta kotna hitrost kroženja in polmer krožnice vzajemno povezana z enačbo,

&ϕ = ahω / ρ 2,

in če se dobljeni izraz vstavi sedaj v prvo diferencialno enačbo se le-ta glasi,

&&ρ - a2h2 ω 2/ ρ 3 = - 2g ρ /a.

Toda, po predpostavki se polmer krožnice delca ρ le malo razlikuje od polmera krožnice ρ o, zato se lahko v prvem približku postavi,

ρ = ρ o + u,

kjer je u<< ρ o. Če se sedaj razvije izraz 1/ ρ 3 v vrsto po členih spremenljivke u ter se ohrani samo linearne člene razvoja, je rezultat

( )1

3ρo u+ = 1 13

3

ρ ρo o

u−

−

≈ 1 1 33ρ ρo o

u−

,

195

tako, da se diferencialna enačba poenostavi v obliko,

&&u + (8g/a) u = 0,

kar pa je diferencialna enačba nedušenega harmoničnega nihanja katere rešitve so,

u = A1 sin(2ω t) + A2 cos(2ω t)

kjer sta konstanti A1 ter A2 določeni z začetnimi pogoji. Odmik u delca iz ravnovesne lege, to je od krožnice polmera ρ o, niha z dvakratno frekvenco kroženja delca po krožnici, ki se nahaja na višini z=h. Polmer krožnice delca se zato v danem primeru, kot funkcija časa, spreminja po enačbi,

ρ = ah + A1 sin(2ω t) + A2 cos(2ω t). 2. Na vrhu togo vpetega valja polmera R se nahaja valj polmera R’ in mase m, ki se lahko pod vplivom sile teže kotali po vpetem valju pri čemer sta simetrijski osi obeh valjev ves čas vzporedni. Če znaša koeficient lepenja med valjemaµ prouči gibanje valja, slika 7.10. ϕ R’ θ mg r R

Slika 7.10.

V splošnem je potrebno ugotoviti, da je gibanje valja polmera R’ in mase m, tudi v idealiziranem primeru, sestavljeno iz treh deležev in sicer: a) kotaljenje valja iz začetne lege pa do nekega mejnega kota, θ 1, to je do trenutne lege, ko prične valj drseti, b) drsenja

196

valja od mejnega kota θ 1 do trenutka, ko postane omejitvena sila vF s katero deluje togi

valj na drseči valj polmera R’ enaka nič, kar se pripeti pri kotu θ 2 in c) za θ ≥ θ 2, to je od trenutka, ko je omejitvena sila enaka nič, sta valja že ločena.

θ

≠

θ

γ

Dani problem je še vedno idealiziran in sicer v tem smislu, da je po predpostavki koeficient trenja med valjema enak 0. To torej pomeni, da brž ko valj zdrsne, se bo od tedaj naprej gornji valj gibal po popolnoma gladkem plašču spodnjega. Opisana predpostavka v zaznavni meri poenostavi zadani problem. Ker za silo lepenja vedno velja povezava,

Fl ≤ µ N,

pri čemer je N pravokotna komponenta sile podlage (očitno je N = N( )), ki je hkrati omejitvena sila s katero delujo spodnji valj na zgornjega, bo potekalo kotaljenje po plašču spodnjega valja tako dolgo dokler bo zadoščeno neenačbi ob pogoju, da je le Fl 0. Toda v neki točki na površini mirujočega valja bo omejitvena sila N sicer majhna, toda še vedno od nič različna zato bo tedaj sila lepenja Fl tako majhna, da bo na tem mestu tedaj prišlo do zdrsa valja. Matematično se ta pogoj zapiše v obliki,

Fl =µ N,

pri čemer je normalna komponenta sile podlage N izračunana pri mejnem kotu θ 1. Soglasno dejstvu, da je koeficient trenja identično enak nič, bo valj v intervalu 1 ≤ θ ≤ θ 2 zato drsel po popolnoma gladki podlagi, to pa pomeni, da mora tedaj veljati Fl =0, pri čemer pa je še vedno N ≠ 0. Lego kotalečega se valja se enolično opiše s kotom θ , ki ga oklepa veznica med težiščema obeh valjev z navpično smerjo. Zadani problem je torej določen z eno samo prostostno stopnjo, to je s kotom θ , ki pa je povezan s kotom zavrtitve vrhnjega valja, polmera R’. Ker poteka kotaljenje valja brez podrsavanja mora veljati naslednje,

R θ = R’ ϕ ,

ali

θ = RR

' ϕ .

V primeru, da valj podrsava je ustrezno vpeljati novo posplošeno koordinato, , kot mero podrsavnja, kjer je koordinataγ definirana kot razlika

γ = θ - RR

' ϕ ,

ob pogoju, da nastopi podrsavanje tedaj, ko se valja dotikata torej, ko je razdalja med težiščema valjev enaka,

r = R + R’.

197

Kinetična energija gibajočega se valja je po Koenigs-ovemu teoremu podana z vsoto izrazov, ki opisujeta kinetično energijo težišča in rotacijsko kinetično energijo valja okoli lastnega težišča,

T = 12

m( &r 2 + r2 &θ 2) + 12

Jc &ϕ2,

kjer je vztrajnostni moment valja okoli težišča Jc = 1

2mR’2. Končni izraz za kinetično

energijo valja za primer splošenega gibanja, torej tudi podrsavanja valja, je tako podan z izrazom

T = 12

m( &r 2 + r2 &θ 2 - R2 & &θγ ) + 14

mR2( &θ 2 + &γ 2).

Posplošene sile Qj, je za zadani primer najustrezneje določiti is definicije, saj velja

δ A = Q qk kδ∑

ali

δ Ak = Qkδ qk,

kar pomeni, da je produkt k-te posplošene sile in pripadajoče virtualne koordinate enak virtualnemu delu sistema, ko se sistem giblje na takšen način, da se k-ta posplošenea koordinata spremeni za vrednostδ qk, pri čemer morajo ostati vse preostale posplošene koordinate sistema delcev konstantne. Virtualno delo sile teže je tedaj enako,

δ Ateže = v

M teže ⋅ δ vθ = mgr sinθ δ θ

in odtod sledi, da je pripadajoča posplošena sila enaka,

Q θ = mgr sinθ .

Virtualno delo vseh sil v pravokotni smeri na stično površino je

δ Ar = (N - mgcosθ ) δ r,

kar pomeni, da je

Qr = N - mgcosθ .

Na analogni način je moč pokazati, da je posplošena sila Q , če se upošteva, da je virtualno delo sile lepenja od nič različno samo pri podrsavanju valja, enaka

γ

δ A γ = Fl R’δ ϕ - Fl Rδ θ = - Fl R (δ θ - R

R' δ ϕ )

198

δ A γ = - Fl R δ γ ,

in tako je

Q = - Fγ l R. Lagrange-jeve enačbe z ozirom na spremenljivke θ , r terγ , se sedaj glasijo,

(m r2 + 1

2m R2) - &&θ 1

2m R2 &&γ + 2mr r = mgr sin& &θ θ

m &&r - m r &θ 2 = N - mgcosθ - 1

2m R2 &&θ + 1

2m R2 &&γ = - Fl R.

Za primer čistega kotaljenja, t.j. tedaj, ko je γ =0 in r = R+R’ =konstanta, so rešitve dobljenih izrazov naslednje,

(r2 + 12

R2) = gr sin&&θ θ

Fl = 12

m R &&θ

N = mg cosθ - m r &θ 2.

Če se zα označi konstanto,

α = g r

r R2 212

+,

za pa se upošteva ekvivalentni izraz, &&θ &&& &

&&

θ θ θθ

θ θ θθ

= = =ddt

dd

ddt

dd

, se tedaj prva Lagrange-

jeva enačba glasi,

&θ d = &θ α sinθ dθ , latere nedoločeni integral je enak,

&θ2

2 = - α cos + C.

Integracijsko konstanto C se določi iz začetnih pogojev in sicer, ko je θ =0 je =&θ &θ o, tako da se gornji izraz prevede v integral,

d

o

θ

θ θα

θ

sin&

22

0

2 4

+

∫ = 2 α dtt

0∫ ,

199

ki pa ni elementarni in se izraža z eliptičnim integralom prve vrste. Integracijske težave sta povzročila začetna pogoja kajti v najvišji točki se valj nahaja v labilnem ravnovesju in mu je tedaj potrebno podeliti neko (majhno) začetno hitrost, da se bo pričel kotaliti. To težavo se da zaobiti, če se za začetne pogoje izbere alternativne pogoje in sicer naj se prične valj kotaliti iz neke začetne lege θ =θ o kjer je tedaj =0, pri čemer je začetni kot &θ θ o lahko zelo majhen. V tem primeru se gornji izraz prevede v

d

o

θθ

θ

θ

sin2

∫ = 2 α dtt

0∫ ,

izraz, katerega rešitve so,

tg θ4

= tg θ αo te4

.

Z neposrednim odvajanjem je mogoče pokazati, da velja

&θ = 12

α sin θ2

&&θ = 116

α sinθ ,

zato se pogoj za kotaljenje Fl ≤ µ N, prevede v neenačbo,

14

Rr

Λ sinθ ≤ µ ( )[ ]8+ −Λ Λcosθ ,

kjer je koeficient definiran kot, Λ

Λ = 1

1 12

2

+

Rr

.

Za primer, ko sta oba valja enakih polmerov, R=R’, sledi r=2R in je tedaj mejni kot θ 1, do katerega se kotali valj brez podrsavanja, podan z rešitvijo izraza,

sinθ 1 = 80µ cosθ 1 - 8µ kar se z lahkoto prevede na kvadratno enačbo in je zato rešitev podana analitično. Interval podrsavanja valja je θ 1 ≤ θ ≤ θ 2, pri čemer je mejni kot θ 2 mogoče določiti iz Lagrangejevih enačb, ki sta

m r2 &&θ + 2mr r = - F& &θ lR + mgr sinθ m &&r - m r &θ 2 = N - mg cosθ ,

ob pogoju, da je Fl na zapisanem intervalu enaka 0 ter, da je razmak med težiščema valjev r=konstanten. Prva izmed gornjih enačb se tedaj prevede v,

200

&&θ = g

r sinθ ,

katere rešitev je,

&θ 2 = - 2 gr

(cosθ - cosθ 1) + &θ 12.

Časovno odvisnost kota θ v intervalu, ko valj podrsava je podana z rešitvijo pravkar dobljenega izraza, ki je

da b

θθ

θ

θ

−∫ cos1

= , dtt

t

1

∫

kjer sta konstanti a in b definirani z enačbama,

a = 2 gr

cosθ 1 + &θ 12

b = 2 gr

.

Podobno kot zgoraj, se tudi tokrat integral na levi izraža z eliptičnim integralom prve vrste. Pravokotno komponento sile podlage, N, podaja druga enačba,

N = mg cosθ - mr &θ 2,

in iz pogoja, da se pri kotu θ = θ 2, tedaj ko je N=0, zgornji valj od spodnjega loči, je mejni kot podrsavanja θ 2 enak,

cosθ 2 = 23

1 12g r

gcos &θ θ+ .

201

2.4 Hamiltonovo načelo; povezava z Lagrangejevimi enačbami

V prejšnjem razdelku so bile Lagrangejeve enačbe gibanja sistema masnih točk oziroma togega telesa izpeljane s pomočjo t. im. D´Alambertovega načela. Slednji izhaja iz načela virtualnega dela, kot pogoja za ravnovesje sistema delcev, ki mirujejo, pogoja po katerem mora veljati izraz,

δA = = 0, ∑=

•N

iii rF

1

rrδ

katerega pomen je v dejstvu, da mora biti virtualno delo vseh zunanjih aktivnih (pritisnjenih) sil na sistem N delcev enako nič. Pri uporabi zapisanega načela se je potrebno prepričati, da je virtualno delo vseh omejitvenih sil, ki delujejo na sistem, zares enako nič. D´Alambertovo načelo, skladno kot je to prikazano v prejšnjem podpoglavju, pa podaja posplošitev zgoraj zapisanega izraza –načela virtualnega dela- za splošen primer, kadar sistem delcev ne miruje marveč se poljubno giblje. Zapisana linearna kombinacija N členov v zgornjem izrazu mora biti enaka nič, pri čemer tako pritisnjene zunanje sile, iF

r , kot virtualni pomiki delcev, ir

vδ , toda v splošnem tudi skalarni produkti, niso vsi identično enaki nič. Če naj bo temu tako to pomeni, da mora veljati, da so virtualni pomiki delcev, ir

vδ , med seboj nujno odvisni oziroma, da so krajevni vektorji ir

v med seboj odvisne količine. Za primer holonomnih omejitev je v splošnem tedaj mogoče poiskati n neodvisnih, t.j. posplošenih, koordinat q1, q2, ....., qn, in z njimi izraziti krajevni vektor do vsakega delca danega sistema N delcev,

irv = ir

v (q1,q2,......,qn,t) i=1, 2, 3, ......, N

Z zapisano transformacijo se tedaj, ob uporabi pravil diferencialnega računa, D´Alambertovo načelo prevede v sistem parcialnih diferencialnih enačb drugega reda, poimenovanih Lagrangejeve enačbe, ki se za konservativne sisteme zapišejo, kot

ddt

Lq

Lqj j

∂∂

∂∂&

− = 0, j=1, 2, ..... , n.

Tu je Lagrangejeva funkcija, L, definirana kot razlika kinetične in potencialne energije izbranega sistema delcev, L = T – V. Posplošene koordinate sistema delcev, qj, kjer je j=1, 2, ..., n, so v splošnem od časa odvisne količine. Zaradi tega tudi vrednost Lagrangejeve funkcije zavisi od časa kar pomeni, da se njena vrednost s časom spreminja. Tedaj je vedno mogoče definirati dani, sicer poljubni, časovni interval ∆t = t2 – t1, kjer je t1 začetni trenutek opazovanja in t2 končni čas opazovanja. V odvisnosti od tega, kakšne vrednosti zavzame Lagrangejeva funkcija,

L=L(q1,q2,..,qn; q& 1, q& 2,..., q& n,t) znotraj danega časovnega intervala ∆t, se tedaj spreminja tudi vrednost določenega integrala Lagrangejeve funkcije, t.j.

202

I = ( ) tdtqqqqLt

tnn∫

2

1

;,....;,..., 11 &&

kar pomeni, da določeni integral, I, zato v splošnem zavzame različne vrednosti, ki zavisijo izključno od tega kako se spreminjajo posplošene koordinate in posplošene hitrosti v odvisnosti od časa. Te koordinate in posplošene hitrosti pa seveda popisujejo gibanje posameznega delca sistema delcev s časom, oziroma na tak način popisujejo gibanje danega celotnega sistema delcev v časovnem intervalu opazovanja ∆t. Z ozirom na dejstvo, kako se delci gibljejo, je s tem časovna odvisnost posplošenih koordinat in posplošenih hitrosti enolično določena in s temi funkcijami je vrednost integrala Lagrangejeve funkcije, izračunana v danem časovnem intervalu opazovanja ∆t = t2 – t1 enolično določena. Potemtakem vsakemu možnemu načinu gibanja delcev odgovarja neka vrednost določenega integrala, I. Teh možnih načinov gibanja je v splošnem lahko zelo veliko zato obstaja množica vrednosti določenega integrala I, ki so v splošnem med seboj različne. Ena od teh vrednosti je najmanjša, obstaja pa tudi takšna za katero je vrednost določenega integrala Lagrangejeve funkcije v intervalu ∆t = t2 – t1 največja. Potemtakem je očitno, da poseduje določeni integral I ekstremne vrednosti. Toda, če poseduje neka funkcija ekstrem to pomeni, da se v dovolj bližnji okolici ekstrema funkcija lahko le malo spreminja in je zato njena variacija (t.j. diferencial) izračunana v točki ekstrema enaka 0. Iz zapisanega sledi, da je pogoj za to, da bo določeni integral I zavzel ekstremno vrednost matematično ekvivalenten zahtevi,

δI = δ = 0. ( )∫2

1

;,....,,;,....,, 2121t

tnn tdtqqqqqqL &&&

Sedaj je mogoče zapisati Hamiltonovo načelo najmanjše akcije za konservativne sisteme, ki se glasi: gibanje poljubnega konservativnega sistema delcev v danem časovnem intervalu ∆t = t2 – t1 je takšno, da zavzame določeni integral Lagrangejeve funkcije tega sistema, I, svojo ekstremno, minimalno, vrednost. Iz pogoja, da zavzame vrednost določenega integrala dane funkcije ekstremno vrednost pa je mogoče določiti časovno odvisnot posplošenih koordinat oziroma posplošenih hitrosti. Torej nalogo poiskati eno ali več funkcij za katero ima dani integral ekstrem pa rešuje variacijski račun. Potemtakem se Hamiltonovo načelo v celoti navezuje na variacijski račun katerega osnovna naloga je iskanje ekstremov integralov. Zaradi enostavnosti se v nadaljnjem omejimo na sistem z eno samo prostorsko stopnjo kar pomeni, da je potrebno določiti časovno odvisnost samo ene posplošene koordinate q(t). Pa naj bo q = q(t) tista koordinata za katero doseže integral I ekstremno minimalno vrednost. To pomeni, da če se zapisano koordinato zamenja z novo,

q(t) + δq(t)

pri čemer je δq(t) funkcija, ki je v časovnem intervalu ∆t=t2-t1 majhna v primerjavi z q(t), je tedaj vrednost integrala I večja kot je njegova minimalna vrednost. Funkcija δq(t) se imenuje variacija funkcije δq(t). Toda v krajiščih intervala mora koordinata q(t) zavzeti predpisano vrednost, t.j. q(t1)= q(1) in q(t2)=q(2), zato mora veljati,

δq(t1) = δq(t2) = 0.

203

Sprememba določenega integrala, I, ko se zamenja koordinato q z novo vrednostjo q+δq je tedaj enaka,

( )∫ ++2

1

;;t

tdttqqqqL && δδ - ( )∫

2

1

:;t

tdttqqL &

Zapisani izraz se lahko razvije v Taylorjevo vrsto dveh spremenljivk in sicer po δq ter q&δ . V linearnem približku se gornji izraz prevede v,

δI = dtqqLq

qLt

t∫

∂∂

+∂∂2

1

&&δδ = 0.

Če se zapisani izraz integrira per partes in upošteva, da je δ = d(δq/dt), je rezultat, q&

δI = dtqqL

dtd

qLq

qL t

t

t

tδδ ∫

∂∂

−∂∂

+

∂∂ 2

1

2

1&&

= 0.

Zaradi robnih pogojev, ki ji mora ustrezati variacijska funkcija δq(t) je izraz v oglatem oklepaju enak nič iz česar sledi, da mora biti določeni integral enak nič za vse vrednosti δq. To je je mogoče samo tedaj, če je integrand identično enak nič. Iz zapisane zahteve pa takoj sledi diferencialn enačba drugega reda sistema delcev z eno prostorsko stopnjo,

qL

qL

dtd

∂∂

−

∂∂&

= 0,

kar pa je že znana Lagrangejeva enačba, ki podaja povezavo med pospeškom, hitrostjo in koordinato, torej predstavlja enačbo gibanja danega sistema. Obravnava sistemov, ki posedujejo n prostostnih stopenj, poteka na podoben način kot zgoraj. Matematično predstavljajo Lagrangejeve enačbe sitem n sklopljenih diferencialnih enačb drugega reda za n neznanih funkcij qi(t). Splošna rešitev vsebuje 2n poljubnih konstant, ki se jih enolično določi iz začetnih pogojev, kot n.pr. začetne vrednosti posplošenih koordinat in posplošenih hitrosti. Na tem mestu velja opozoriti, da je mogoče Hamiltonovo načelo posplošiti z vpeljavo nekonservativnih sil še za primere nekonservativnih in celo nekaterih zvrsti neholonomskih sistemov delcev. Izkaže se, da se v teh primerih splošna oblika Hamiltonovega načela zapiše v obliki,

δI = δ = δ + = 0. ( )∫ +2

1

t

tdtAT ∫

2

1

t

tdtT ∫

2

1

t

tdtAδ

204

Toda virtualno delo δA, z ozirom na dejstvo, da je virtualno delo omejitvenih sil enako nič, sedaj zato pomeni celotno virtualno delo vseh zunanjih pritisnjenih (aktivnih) sil na sistem N delcev, ki se sicer poljubno giblje. Kot pokazano v prejšnjem razdelku je virtualno delo vseh pritisnjenih (konservativnih in nekonservativnih) sil podano z izrazom,

δA = = ∑=

⋅N

i iriF1

vvδ ∑

=

n

j jqjQ1

δ

kjer je Qj ( j=1, 2, ..., n) j-ta generalizirana ali posplošena sila, ki deluje na gibajoči se sistem N delcev. Hamiltonovo načelo se torej v primeru nekonservativnega sistema delcev lahko zapiše tudi v ekvivalentni obliki,

δI = = δ + = 0. ∫2

1

t

tdtT ∫ ∑

=

2

1 1

t

t

n

jdtjqjQ δ

V posebnem primeru, ko na holonomni sistem delujejo poleg nekonservativnih sil še konservativne sile, se člen s komponentami posplošene sile, Qj, lahko poenostavi s pomočjo celotne potencialne energije, V, sistema, kot že prikazano spredaj, saj velja,

Qj = - jq

V∂∂ + Qj

nekons. sil

Splošna oblika Hamiltonovega načela se sedaj glasi,

δI = δ = 0, ∫ ∑

+−

2

1

.t

t jjj

silnekons dtqQVT δ

pri čemer zajema komponenta posplošene sile Qj

nekons. sil,

Qjnekons. sil = ∑ •

i j

isilnekonsi q

rF

δδ vv

vse aktivne nekonservativne sile, ki delujejo na izbrani sistem. V splošnem je kinetična energija, T, sistema delcev, kjer omejitve niso eksplicitno od časa odvisne (skleronomni sistemi), funkcija posplošenih koordinat in posplošenih hitrosti, potencialna energija, V, pa samo posplošenih koordinat,

T = T(q1,......, qn, ) nqq && ,........,1

V = V((q1,......, qn), zato je Hamiltonovo načelo mogoče preoblikovati v,

205

( ) ( )∫∑

=

+

∂−∂

−∂−∂2

1 1

.t

t

n

jj

silnekonsj

jj

tdqQq

VTdtd

qVT δ

& = 0,

od koder, zaradi dejstva, da so posplošene koordinate qj med seboj neodvisne, neposredno sledijo že znani izrazi za Lagrangejeve enačbe za primer nekonservativnega sistema,

( ) ( ) silnekonsj

jj

Qq

VTq

VTdtd .=

∂−∂

−

∂−∂&

j=1, 2, …….., n.

Zapisani izrazi so uporabni tudi v posebnem primeru, kadar je ugodno vpeljati posplošene koordinate, ki pa niso med seboj vse neodvisne marveč so povezane z enačbami, ki povezuje diferenciale posplošenih koordinat, ne pa posplošenih koordinat samih. Na tej osnovi sestoji metoda Lagrangejevih multiplikatorjev, ki pa je že bila predstavljena spredaj. Zgledi: 1. Krajišče vzmeti je vpeto na horizontalno steno, drugo krajišče pa na utež mase m, ki se lahko giblje po vodoravni podlagi. Koeficient trenja med utežjo in podlago je ktr, konstanta vzmeti pa je K. Zapiši enačbo gibanja uteži, skica ???? a) Neposredna metoda z uporabo II. Newtonovega zakona: V izbranem koordinatnem sistemu velja, se izraz F

v = m av v komponentni obliki zapiše, kot

Fx = m ax Fy = m ay toda, ker se utež po predpostavki giblje samo vzdolž x-osi je ax ≡ a, ay ≡ 0, zato je, - K x - Ftr = m a N - Fg = 0 velja pa še povezava med horizontalno in vertikalno komponento (z ozirom na stično površino) sile podlage, ki se glasi, Ftr = ktr N. Enačba gibanja se torej zapiše, m a + K x + ktr mg = 0, kar pa je diferencialna enačba (saj a = ) dušenega nihanja vzmetnega nihala. x&&

206

b) Metoda z uporabo Lagrangejevih enačb: Očitno lahko sistemu na skici pripišemo samo eno prostostno stopnjo, ki jo poistovetimo s koordinato masnega središča uteži, x. Zato se problem prevede na reševanja izraza,

xL

xL

dtd

∂∂

−

∂∂&

= Qnekons,

pri čemer je L = T – V, komponenta posplošene sile Qnekns pa je povezana s silo trenja. Kinetična energija uteži ter potencialna energija sile vzmeti (konservativna sila) sta, T = m /2 in V = konst + K x2x& 2/2, kjer konstanta označuje dejstvo, da je v zadanem primeru, potencialna energija sile teže konstantna. Komponento posplošene sile, ki je v tem primeru kar enaka posplošeni sili, se izpelje iz definicije, δA = rFtr

vvδ• = Ftr δx cos 180o = - ktr mg δx

kar mora biti enako Qnekons δx. Iz primerjave sledi, da je, Qnekons = - ktr mg tako, da se Lagrangejeva enačba poenostavi v izraz, m + K x = - kx&& tr mg, kar pa je identična enačba kot zapisana zgoraj. Rešitev nehomogene diferencialne enačbe je vsota njenega homogenega dela ter partikularne rešitve. Kaj lahko se je prepričati, da je partikularna rešitev enaka, xpart. = - ktr mg/K. Splošna rešitev homogenega dela diferencialne enačbe x&& + (K/m) x = 0 je sedaj enaka, xhom = A sin (ωo t) + B cos (ωo t), kjer je

ωo = mK

207

krožna frekvenca, konstanti A in B pa sta določeni z robnim pogojem. Pa naj bo v času t=0 utež premaknjena za razdaljo xo od ravnovesne lege. Tedaj je hitrost uteži, v=dx/dt v času t=0 enaka 0. Očitno se splošna rešitev gornje diferencialne enačbe v tem primeru glasi,

x = - Kmgktr + (xo +

Kmgktr ) cos

t

mK

Za ktr = 0, torej če ni trenja, izraz podaja nedušeno nihanje okoli ravnovesne lege x=0 z amplitudo nihanja xo. V nasprotnem primeru, da je vzmet zelo šibka tako, da približno velja ωo t << 1, tedaj je cos (ωo t) ∼ 1 in v tej limiti je splošna reštev podana z izrazom x = xo, kar pomeni, da utež miruje. 2. Podobna naloga, toda sila trenja naj bo (nasprotno) sorazmerna trenutni hitrosti uteži, t.j. trF

v= - C x&v , kjer je C konstanta.

Podobno kot v zgornjem primeru je virtualno delo nekonservativne sile trenja enako, δA = trF

vxvδ• = - C δ x ≡ Qx& tr δ x

in zato je Qtr = -C . x& Lagrangejeva enačba se sedaj zapiše, x&& + 2 β + ωx& o

2 x = 0, kjer je konstanta C/m = 2 β in β je koeficient dušenja. Enačbo se rešuje z nastavkom, x = es t, kjer je s še nedoločena konstanta. Seveda velja, = s ex& s t in = sx&& 2 e s t. Če se zapisane funkcije vstavi v diferencialno enačbo se slednja preobrazi v kvadratno enačbo, s2 + 2 β s + ωo

2 = 0.

Korena enačbe sta s1 = - β + 22oωβ − ter s2 = = = - β + 22

oωβ − , ki za vrednosti β ≠ 0 nista nikdar čisto imaginarna. V odvisnosti od vrednosti β se rešitve diferencialne enačbe dušenega nihanja glasijo, a) β > ωo

V tem primeru sta oba korena kompleksna, zato se splošna rešitev zapiše kot, x = e- β t (A sin (ω t) + B cos (ω t) )

208

in če naj zadošča zgornjim začetnim pogojem se glasi, x = xo e- β t ( (β/ω) sin (ω t) + cos (ω t)), pri čemer je frekvenca dušenega nihanja, ω, sedaj definirana, kot, ω2

= ωo2 - β 2

in je manjša (nihajni čas je daljši), kot v primerjavi, kadar nihalo niha nedušeno (β = 0). b) β > ωo Korena s1 in s2 sta sedaj realna in splošna rešitev je podana z izrazom, x = A e + B e . ts1 ts2

pri čemer sta konstanti A in B, za gornje začetne pogoje, enaki A = - (s2/s1) B in B = xo/(1 – s2/s1). V tem primeru je lahko uvideti, da pojav ni več periodičen. Nihalo se eksponencialno približuje svoji ravnovesni legi. 3. Na nihalo, ki niha dušeno deluje okolica z dodatno periodično silo F(t) = Fo sin (ω t), kjer je ω frekvenca vzbujevalne sile. Kako se amplituda nihanja nihala spreminja z vzbujevalno frekvenco? Nekonservativni sili, ki delujeta na utež sta sila trenja (upora) ter vzbijevalna sila. Virtualno delo teh dveh sil je enako, δA = - C δx + F(t) δx = Qx& trenja δx + Qvzb δx. Lagrangejeva enačba se sedaj zapiše v obliki, x&& + 2 β + ωx& o x = (Fo/m) sin (ω t) kar je nehomogena diferencialna enačba drugega reda s konstantnimi koeficienti. Nastavek za iskanje rešitve (partikularna rešitev) je, x = a sin (ω t) + b sin (ω t), tako, da se diferencialna enačba tedaj preoblikuje v izraz, -(a ω2 – a ωo

2 + 2 β ω b) sin(ω t) – (b ω2 – b ωo2 - 2 β ω a) cos (ω t) = (Fo/m) sin (ω t).

Zapisana zveza velja za poljuben t zato mora veljati, da so koeficienti pred trigonometričnih funkcijah enaki od koder sledi,

209

a (ω2 - ωo2) + 2 β ω b = - Fo/m

b (ω2 - ωo

2) - 2 β ω a = 0. Rešitvi zapisanega sistema sta,

a = - ( )

( ) 22222

22

4

/

ωβωω

ωω

+−

−

o

oo mF, b = -

( ) 22222 4

/2

ωβωω

ωβ

+− o

o mF.

Na takšen način je je partikularna rešitev diferencialne enačbe poznana funkcija časa. Toda dobljene rezultate je mogoče izraziti še na drugi način z vpeljavo substitucije, a = D cos φ b = - D sin φ. Če delimo drugo enačbo s prvo je,

tg φ = 22

2

oωωωβ

−

s kvadriranjem izrazov in seštevanjem, pa sledi,

D = 22 ba + = ( ) 22222 4

/

ωβωω +− o

o mF ,

tako, da se partikularno rešitev lahko zapiše kot, x = D sin (ω t - φ ). Nihalo torej niha s frekvenco, ω, vzbujevalne sile F(t), pri čemer pa tako fazna razlika, φ, med nihanjem nihala in vzbujevalno silo, kot amplituda nihanja D prav tako zavisita od frekvence ω. Resonanca nastopi tedaj, ko doseže amplituda nihala največjo vrednost, kar pomeni, da mora biti odvod amplitude po frekvenci tedaj nič, t.j.

ωdDd

= 0.

Rešitev gornje enačbe se glasi,

ωres = 22 2βω −o , iz česar je razvidno, da je samo v primeru, da je β = 0 (ni dušenja), resonančna frekvenca enaka lastni frekvenci, ωo, nedušenega nihala. V splošnem se resonančna frekvenca z naraščajočim dušenjem nihala zmanjšuje; resonanca nastopa pri nižji vrednosti, kot pa je vrednost lastne krožne frekvence nihala, če bi nihalo nihalo nedušeno.

210

Splošna rešitev enačbe vsiljenega nihanja je vsota partikularne rešitve in splošne rešitve pripadajoče homogene diferencialne enačbe. Slednja je že bila zapisana v prejšnjem primeru, zato je splošna rešitev diferencialne enačbe vsiljenega nihanja podana z, x = e- β t (A sin (ω* t) + B cos (ω* t) )+ D sin (ω t - φ ). kjer je sedaj ω*2 = ωo

2 - β 2, lastna krožna frekvenca dušenega nihala. Toda zaradi eksponentno pojemajočega časovnega faktorja se delež prispevka, ki ga predstavlja splošna rešitev homogene enačbe izniči in preostane samo še izraz za vsiljeno nihanje. Po določenem času od pričetka delovanja vzbujevalne sile nihalo samo še niha s frekvenco vzbujevalne sile, toda s (frekvenčno odvisnim) faznim zamikom z ozirom na vzbujevalno silo. 4. Palica dolžine L in mase M je na spodnjem koncu vrtljivo pritrjena na vpeto vertikalno os tako, da se lahko giblje v ravnini vzporedni osi, hkrati pa se vrti skupaj z osjo. Os in palica sta vzajemno spojeni s sučno vzmetjo direkcijske konstante D. Na palici se nahaja drsnik mase m, ki lahko brez trenja drsi po palici. Zapiši enačbe gibanja drsnika, če je je začetna lega palice vzporedna z vertikalno osjo, drsnik pa se je v tem trenutku nahajal na sredini palice, skica ???? Z ozirom na izbrani inercialni koordinatni sistem (x, y, z), skica ????, definiramo telesni koordinatni sistem x`, y` in z` tako, da izhodišče le-tega sovpadata s težiščem palice mase M in dolžine L, pri čemer z`-os telesnega sistema leži vzdolž palice. Če privzamemo, da so v začetku osi telesnega in inercialnega koordinatnega sistema vzporedne med seboj, tedaj je lega telesnega sistema v času t z ozirom na inercialni koordinatni sistem podana s transformacijsko matrico A, katere elementi so funkcije Eulerjevih kotov φ, θ, in ψ. Kot φ podaja zavrtitev telesnega sistema okoli z-osi inercialnega sistema, kot θ pa označuje naklon z`-osi telesnega sistema (t.j. nagib palice) z ozirom na z-os inercialnega koordinatnega sistema. Slednja zavrtitev je izvedena okoli trenutne x`-osi telesnega sistema, glej poglavje o linearnih transformacijah. Z ozirom na zadani problem sledi, da mora biti tretji Eulerjev kot ψ identično enak 0 (palica se ne vrti okoli svoje osi). Trenutna lega drsnika je podana s koordinato z` vzdolž palice. Sistem očitno poseduje 3 prostostne stopnje in sicer; Eulerjeva kota φ in θ ter koordinato drsnika, z`. Lega sistema, ki sestoji iz palice in drsnika se v telesnem koordinatnem sistemu očitno da izraziti na zelo preprosti način. Enačbe gibanja sistema podajajo Lagrangejeve enačbe, ki jih za vajo zapišemo v najbolj splošni obliki,

jjj

QqT

qT

dtd

=∂∂

−

∂∂&

j=1, 2, …….., n.

ne oziraje se na dejstvo, da je sistem delcev, ki ga obravnavamo izključno konservativni sistem. Seveda v zadanem primeru velja, da je n=3.

211

Celotna kinetična energija sistema mora biti izražena v inercialnem koordinatnem sistemu x, y in z. Sestoji se iz kinetične energije palice in kinetične energije drsnika, t.j. T = TL + Td,

pri čemer sta izraza, z uporaba Koenigsovega teorema za palico, enaka,

v

TL = 22

2CCrM Γ•

+v&v ω

Td = 2

2drm&v

.

V zapisanih izrazih sta Cr

v in drv krajevna vektorja masnega središča palice in drsnika zapisana

v inercialnem koordinatnem sistemu z izhodiščem izbranim na spodnjem koncu vertikalne osi, ωv , je trenutna kotna hitrost sistema izražena v tako izbranem inercialnem koordinatnem sistemu. CΓ

v je vrtilna količina palice zapisana z ozirom na (pomožni) inercialni koordinatni

sistem, ki ima osi vzporedne s prvotnim le, da se njegovo izhodišče nahaja v masnem središču palice in torej sovpada z izhodiščem telesnega sistema. Krajevni vektor do težišča palice, zapisan v inercialnem sistemu, je

Crv =

2L pale) ,

kjer je epal

) enotni vektor, ki leži vzdolž palice in je zato kolinearen z z´-osjo telesnega

sistema, katere orientacijo (v telesnem sistemu) podaja enotni vektor k ′)

, kjer je,

k ′)

= .

100

Skladno pravilom linearne transformacije vektorjev sta oba enotna vektorja povezana z izrazom,

pale) = A-1 k ′)

. Zapisani izraz je namreč posebna oblika splošne transformacije, kajti če se označi poljubni krajevni vektor v telesnem koordinatnem sistemu z vektorjem rv `= (x`, y`, z`), v prostorskem pa z rv = (x, y, z), tedaj mora vedno veljati, rv = A-1 rv ` kjer je inverzna transformacijska matrica, A-1, t.j. matrica, ki prevede telesni sistem v prostorski inercialni sistem, eksplicitno podana v poglavju o linearnih transformacijah. Podobna ugotovitev velja za krajevni vektor drsnika, dr

v , kajti,

212

drv = (

2L + z´) pale)

pri čemer se razdalja drsnika sedaj z´ izraža z ozirom na izhodišče telesnega sistema, ki se nahaja v težišču palice. Na začetku je potrebno ugotoviti, da se v telesnem koordinatnem sistemu tenzor vztrajnostnega momenta palice, J ′ zapiše zelo enostavno. Velja namreč,

J ′ = ,

0000000

2

1

JJ

kjer sta očitno lastni vrednosti vztrajnostnega momenta palice z ozirom na težiščno os J1 = Jx`x` in J2 = Jy`y` . V primeru, da je palica simetrična z ozirom na njeno vzdolžno os nemudoma sledi, JC = J1 = J2 = M L2/12 in Jz`z` = 0 . V prostorskem koordinatnem sistemu se tenzor vztrajnostnega momenta palice zapiše,

J = A-1 J ′ A v skladu z zahtevo podobnostne transformacije. Seveda pa velja, da sta vrtilna količina palice in tenzor vztrajnostnega momenta povezana s splošnim izrazom, v

ωvJ=Γ . V danem primeru, ko je kot ψ = 0, se rotacijska matrica A zapiše,

A = ,

−−

θφθφθθφθθφ

φφ

coscossinsinsinsincoscoscossin

0sincos

pri čemer velja, da je inverzna matrica k matrici A kar transponirana matrica A, t.j. A-1 = AT. Za tenzor vztrajnostnega momenta palice v (pomožnem) inercialnem koordinatnem sistemu, z ozirom na izhodišče v težišču palice, se dobljeni izraz zapiše,

−

+−

−−+

=

θφθθφθθ

φθθφθφφφθφφ

φθθφφθφφφθφ

22

2

sincoscossin2sincossin2

cossincos2cos2cos22sin1cossin2cos2cossin1

sinsincos2cossin2cos2sincos12sin2cos2

2cos1

JsJJJJJJJ

JJJJJ

J

Kotna hitrost ωv ima v prostorskem koordinatnem sistemu samo eno komponento od nič različno,

ωv =

φ&00

213

in zato je vrtilna količina palice zapisana v (pomožnem) prostorskem koordinatnem sistemu enaka,

ωvv

JC =Γ = J2 ,

θφθθφθθ

φ2sin

cossincossinsincos

&

tako, da je (lastni) delež kimetične energije palice zaradi vrtenja okoli navpične z-osi inercialnega koordinatnega sistema enak,

2CΓ•vvω

= θφ 2

22 sin2

&J .

Krajevni vektor Cr

v težišča palice zapisan v prostorskem koordinatnem sistemu se dobi s pomočjo zgoraj navedene transformacije. Končni rezultat se glasi,

Crv =

−

θφθφθ

coscossin

sinsin

2L .

Kinetična energija težišča palice je sorazmerna CCC rrr &v&v& •=2 , kar se po krajšem računu poenostavi v,

2Cr& = ( )θφθ 222

2

sin2

&& +

L .

Kinetična energija palice v inercialnem koordinatnem sistemu se torej glasi,

TL = θφθ 2222

sin28&

&oJLM

+ ,

kjer je z Jo označen vztrajnostni moment palice okoli vrtišča, Jo = J2 + M(L/2)2, to je rezultat, ki bi ga dobili če bi uporabili Steinerjev izrek za vztrajnostni moment palice okoli osi, ki je vzporedna osi skozi težišče. Na podoben način se dobi izraz za krajevni vektor do trenutne lege drsnika v prostorskemu sistemu tako, da je

drv = (

2L + z´) A-1 k ′

) = (L/2 + z´) .

−

θφθφθ

coscossin

sinsin

Po nekoliko daljšem računu se dobi izraz za kinetično energijo drsnika izraz

214

Td = 2

2drm &

= ( )θφθ 222

2

2

sin2

22

&&&+

+′

+′

Lzmzm ,

kjer se razdalja z´ nanaša v telesnem koordinatnem sistemu vzdolž z´-osi, pri čemer je izhodišče sistema izbrano v težišču palice. Celotna kinetična energija sistema palice in drsnika je tedaj, T = TL + Td =

= θφ 22

2

2

sin2

22

&&

+′+

+′

LzmJzm o

+ 2

22

222 θ&

+′+

LzmLM

Zunanje aktivne sile, ki delujejo na sistem so; teža palice, teža uteži in navor spiralne vzmeti,

θvv

DM nav −= . Čeprav na palico v točki vpetja na vertikalno os deluje še sila ležaja je potrebno ugotoviti, da je pomik prijemališča te sile (ta je seveda omejitvena sila) enak nič in zato je virtualno delo te sile identično enako nič. Iz izraza za virtualno delo vseh aktivnih sil dobimo, δA = M ⋅gv rvδ C + m ⋅gv rvδ d - D θδθ

vv = Qφ δφ + Qθ δθ + Qz´ δz´.

V izbranem inercialnem kordinatnem sistemu se pospešek prostega pada zapiše kot, gv = (0, 0, -g) = - g k

).

Virtualni pomik težišča, rvδ C je v tem sistemu enak,

rvδ C = (L/2) ,

−+−

+

δθθδφφθφδθθδφϕθφδθθ

sinsinsincoscos

cossinsincos

virtualni pomik drsnika, rvδ d, pa je,

rvδ d = δz´ + (L/2 + z´) .

−

θφθφθ

coscossin

sinsin

−+−

+

δθθδφφθφδθθδφϕθφδθθ

sinsinsincoscos

cossinsincos

Po izračunu skalarnih produktov, se dobi izraz, δA = (- mg cos θ - Qz´) δz´ + [(mg (L/2+z´) sin θ + Mg (L/2) sin θ - D θ ) - Qθ] δθ - Qφ δφ = 0. Ker so posplošene koordinate z´, θ in φ med sebij neodvisne koordinate je gornja linearna kombinacija lahko enaka nič samo tedaj, če velja,

215

Qz´ = - mg cos θ Qθ = mg (L/2+z´) sin θ + Mg (L/2) sin θ - D θ Qφ = 0. Lagrangejeve enčbe se sedaj zapišejo v obliki, 2 m (z´+ L/2) sinφ&&z′ 2θ + [Jo + m (z´ + L/2)2] ( sinφ&& 2θ + sin 2θ ) = 0 θφ &&

2 m (z´+ L/2) + [ m (z´+ L/2)θ&&z′ 2 + ML2/4] - [Jθ&& o + m (z´ + L/2)2] sin θ cos θ = 2φ&

+ [ m (z´+ L/2) + ML/2] g sin θ - D θ m - m (z´ + L/2) z′&& ( )θφθ 222 sin&& + = - mg cos θ. Očitno gre za sklopljen sistem treh nelinearnih diferencialnih enačb katerega splošna analitična rešitev ni znana zato se problem naprej rešuje numerično. Ker zastavljeni problem zadeva konservativni sistem »delcev«, je mogoče izraziti potencialno energijo sistema kar neposredno torej,

V = VLzunanj + Vd

zunanj + Vnotr = Mg zC + mg zd + 2

2θD ,

kjer koordinati zC in zd podajata razdalji do težišča palice in težišča uteži vzdolž z-osi inercialnega koordinatnega sistema. Iz zgornjih izrazov za krajevna vektorja sledi,

zC = 2L cos θ, zd = (

2L + z´) cos θ,

tako, da se celotna potencialna energija sistema neposredno zapiše v obliki,

V = Mg 2L cos θ + mg (

2L + z´) cos θ +

2

2θD .

Za konservativne sisteme tedaj neposredno sledi iz definicije,

Qj = - jq

V∂∂ ,

tako, da so v danem primeru vse tri komponente Qj posplošene sile enake,

Qz´ = - zV′∂

∂ = - mg cos θ

Qθ = - θ∂∂V = Mg

2L sin θ + mg (

2L + z´) sin θ - D θ

Qφ = - φ∂∂V = 0,

216

kar so pa poznani izrazi, ki se že bili izpeljani zgoraj, s pomočjo definicije virtualnega dela aktivnih sil, na alternativni toda docela ekvivalentni način. 5. Navpična palica dolžine L in mase M je na spodnjem krajišču vrtljivo vpeta okoli vodoravne osi. Z osjo je palica povezana s torzijsko vzmetjo direkcijske konstante D, drsnik mase m, ki se brez trenja pomika po palici, pa je vpet na vijačno vzmet ravnovesne dolžine L/2, katere konstanta vzmeti je K. Drugi konec vzmeti je vpet na zgornjem krajišču palice, skica ???? Zapiši enačbe gibanja sistema palice in uteži. Po predpostavki je sistem konservativen, ki poseduje dve prostostni stopnji; θ in z´. Kinetično energijo palice in uteži podajata izraza zgornjega primera, če se postavi spremenljivki φ = = 0, upoštevati pa je potrebno, da ima vektor kotne hitrosti sedaj od nič različno komponento vzdolž osi vrtenja.

φ&

Kinetična energija palice je torej,

TL = 2

2CrM &

+ 2

CΓ•vvω

,

kjer je sedaj,

2Cr& = 2

2

2θ&

L .

Vektor kotne hitrosti se v laboratorijskem koordinatnem sistemu v tem primeru glasi,

ωv ≡ θ&v

= ,

00θ&

tenzor vztrajnostnega momenta palice v laboratorijskem sistemu z izhodiščem v težišču palice pa privzamemo iz zgornjega primera in upoštevamo, da je φ = = 0 tako, da imamo, φ&

=

θθ

θθ

2

2

sin2sin210

2sin21sin0

001

CJJ .

Vrtilna količina palice z ozirom na težišče je tedaj,

217

CΓv

= J ωv = JC ,

00θ&

in zato je celotna kinetična energija palice enaka,

TL = 2M 2

2

2θ&

L +

2

2θ&CJ = ( )

23/ 22 θ&LM =

2

2θ&oJ,

kjer je Jo vztrajnostni moment palice okoli vrtišča, Jo = ML2/12 + ML2/4 = M L2/3. Seveda pa bi lahko izračunali kinetično energijo palice neposredno iz definicije, kajti T z ozirom na mirujoče izhodišče in ob pogoju, da je os vrtenja stalna, je T = J ω2/2, kjer je J vztrajnostni moment telesa okoli vrtišča. Kinetična energija drsnika prav tako neposredno privzamemo od prejšnjega primera ob pogoju, da je φ = = 0 tako, da je φ&

Td = 2

2

2

22

2θ&

&

+′

+′

Lzmzm .

Celotna kinetična energija sistema je sedaj,

T = 2

2

2

22

2θ&

&

+′+

+′

LzmJzm o

.

K prejšnjemu izrazu za potencialno energijo je sedaj potrebno dodati še notranjo prožnostno energijo uteži tako, da je celotna potencialna energija podana z izrazom,

V = Mg 2L cos θ + mg (

2L + z´) cos θ +

2

2θD + 2

2zK ′,

kajti koordinata z´ vzdolž osi palice v telesnem koordinatnem sistemu podaja, tako kot je problem zastavljen, hkrati tudi deformacijo same vijačne vzmeti. Kaj lahko je sedaj pokazati, da se Lagrangejevi enačbi sklopljenega gibanja sistema glasita, m + K z´ + m g cos θ = 0 z′&&[Jo + m (z´+L/2)2] + [(M g L/2) + m g (z´+L/2)] sin θ - D θ = 0. θ&&

218

8. NIHANJE SKLOPLJENIH NIHAL Z MAJHNIMI AMPLITUDAMI

8.1 Pogoj stabilnega gibanja dinamičnega sistema v okolici ravnovesne lege V številnih zgledih v preteklih poglavjih je postalo očitno, da sile, ki delujejo na dani delec, kot enega od elementov sistema delcev, samo posredno vplivajo na pomik delca proti njegovemu ravnovesnemu položaju, marveč se sile predvsem odražajo preko interakcije danega delca s preostalimi masnimi točkami sistema delcev. Tako n.pr. če prične dani delec sistema nihati, tedaj zaradi vzajemnih interakcijskih sil deluje na sosede in na takšen način vzbudi njihovo gibanje, slednji delujejo na njihove sosede, itd, s končnim rezultatom, da se vzpostavi zapleteno nihanje vseh delcev sistema. Dobljene diferencialne enačbe takšnega sklopljenega gibanja so zapletene in v splošnem njihovih rešitev ni mogoče podati v analitični obliki. Nihanje delca je v mehaniki opredeljeno kot periodično gibanje, ki se odvija okoli njegove ravnovesne lege. Po definiciji je ta ravnovesna lega stabilna samo tedaj, če se v primeru majhnega pomika delca iz te ravnovesne lege, ki je posledica delujoče rezultante sil na delec, dinamika delca odraža izključno v obliki gibanja okoli te ravnovesne lege in to s pomiki, ki morajo biti majhni. Kot zgled lahko služi polkrogla, ki poseduje dve stabilni legi in sicer, če leži plosko na vodoravni površini, toda stabilna lega je tudi tista lega polkrogle, kjer se krogelna površina in vodoravna ravnina dotikata v skupni točki. V primeru, da povzroči majhna zunanja motnja na delec v ravnovesju obliko gibanje, ki lokalno ni omejeno, tedaj je takšna lega po definiciji nestabilna lega. Kot zgled služi n.pr. narobe obrnjen stožec. V splošnem se lahko za poljubni skleronomni mehanski sistem delcev (takšen, kjer omejitve ne zavisijo eksplicitno od časa) zapiše kinetično energijo sistema v obliki,

T = ∑=

n

lkkllk qqM

1,21

&& .

Lagrangejeve enačbe gibanja za konservativni sistem se zato glasijo,

( )∑=

n

lllk qM

dtd

1& - ml

n

ml k

lm qqx

M&&∑

= ∂∂

1,21 +

kqV

∂∂ = 0, k=1, 2, ...., n.

Ravnovesna lega je tista lega, kjer posplošene koordinate q1, q2,...., qn ne zavisijo od časa. Konservativni sistem delcev se torej nahaja v ravnovesni legi tedaj, kadar so komponente posplošene sile enake nič,

- Qk = kq

V∂∂ = 0, k=1, 2, ...., n.

Dobljeni izrazi pa, kot je znano, predstavljajo potrebni pogoj za nastop ekstrema funkcije V, torej potencialna energija sistema mora imeti v ravnovesni legi (v splošnem lokalni) ekstrem. Kaj lahko je uvideti, da je obstoj stabilne lege konservativnega sistema delcev, ki se izraža s pogojem za nastop ekstrema funkcije V(q1, q2,...., qn) istovetna z zahtevo po (lokalnem) minimumu potencialne energije sistema delcev kar pomeni, da mora biti drugi odvod funkcije V > 0. V nadaljevanju se omejimo na takšno dinamiko sistemov, ki se odvija v neposredni okolici stanja stabilnega ravnovesja. Ker so odmiki iz ravnovesja zato majhni, lahko

219

potencialno energijo sistema razvijemo v Taylorjevo vrsto in obdržimo samo najnižje člene. Spremembo posplošene koordinate od vrednosti, ki jo le-ta ima v ravnovesju naj označuje simbol ηi, i = 1, 2,...,n, zato velja,

qi = qoi + ηi, i=1,2, 3,...,n.

Razvoj potencialne energije sistema okoli ravnovesne vrednosti koordinat se tedaj zapiše,

V(q1,q2,.....,qn) = V(qo1,qo2,,.....,qon) + ∑

∂∂n

ii

iqV η

0

+ ∑

∂∂∂n

jiji

ji qqV

,0

2

21 ηη + ......

Linearni člen mora biti, zaradi pogoja ravnovesne lege (ekstrem potencialne energije) identično enak nič. S premikom nivoja koordinatnega sistema se v splošnem lahko doseže, da postane vrednost potencialne energije, V(qo1,qo2,,.....,qon), ko se nahaja sistem v ravnovesnem položaju, enaka nič. Tedaj prvi od nič različen člen razvoja potencialne energije preostane le kvadratni člen, t.j.,

V(q1,q2,.....,qn) = ∑

∂∂∂n

jiji

ji qqV

,0

2

21 ηη = ∑

n

jijiijV

,21 ηη ,

Na tem mestu je vrednost drugega odvoda potencialne energije v položaju ravnovesja označena kot konstanta Vij, ki zavisi izključno od vrednosti posplošenih koordinat, ko se nahaja sistem v ravnovesju. Poudariti velja, da so koeficienti Vij simetrični, torej,

Vij = Vji i,j = 1,2,....., n.

Podobno kot zgoraj je mogoče razviti v Taylorjevo vrsto tudi kinetično energijo sistema. Z ozirom na dejstvo, da posplošene koordinate sistema delcev, qi, od časa ne zavisijo eksplicitno je zato kinetična energija homogena kvadratna forma posplošenih hitrosti,

T = ∑n

jijiij qqc

,21

&& = ∑n

jijiijc

,21 ηη && ,

kjer so koeficienti cij v splošnem funkcija posplošenih koordinat qi. Zaradi tega dejstva je mogoče tudi koeficiente cij v splošnem zapisati kot Tayloryevo vrsto okoli ravnovesnih vrednosti posplošenih koordinatn,

cij = cij (qo1,qo2,,.....,qon) + ∑

∂

∂n

kk

k

ij

qc

η0

+ .......,

pri čemer se pa v najnižjem približku zadovoljimo kar samo s prvim členom razvoja. Če se definira,

cij (qo1,qo2,,.....,qon) ≡ Tij,

se tedaj izraz za kinetično energijo sistema, v prvem približku glasi,

220

T = ∑n

jijiijT

,21 ηη && .

Zapisani izraz je invarianten na medsebojno zamenjavo indeksov kar je očitno, če se zapiše določeni člen vsote. Ko zavzameta indeksa i in j vse možne vrednosti nastopajo v vsoti paroma členi,

( )jiij TT +

21 ( )ijji ηηηη &&&& + .

Ker velja, da je η& i η& j = η& j η& i , bo zgornji člen simetričen tedaj, če velja, da so tudi koeficienti simetrični, torej,

Tij = Tji.

Lagrangejeva funkcija L = T - V, se zato v prvem približku zapiše,

L = ( )∑ −n

jkjiijjiij VT

,21 ηηηη && ,

kjer predstavljajo spremenljivke η nove posplošene koordinate. Enačbe gibanja sistema delcev v okolici stabilnega ravnovesja se zato sedaj glasijo,

∑∑ +n

jjij

n

jjij VT ηη&& = 0 i=1, 2, ...., n,

kar predstavlja sklopljeni sistem diferencialnih enačb, katerega rešitev popiše dinamiko sistema. Vsaka od enačb se v splošnem izraža z vsemi n posplošenimi koordinatami tako, da je za splošno rešitev potrebno dobljeni sistem dodatno razčleniti. Gre namreč za dejstvo, da se rešitev najenostavneje dobi, če se uspe spremenljivke ločiti na takšen način, da se sitem prevede na n enačb, pri čemer v vsaki izmed njih nastopa le ena spremenljivka. To se doseže z metodo »normalnih koordinat«, oziroma z metodo lastnih načinov nihanj. 8.2 Lastni načini nihanj sistema delcev okoli ravnovesne lege Zgoraj zapisani sklopljeni sistem enačb gibanja predstavlja sistem linearnih diferencialnih enačb s konstantnimi koeficienti, katerega rešitev je mogoče iskati z nastavkom,

ηi = C ai e- iωt, kjer je v splošnem predstavlja produkt koeficientov Cai kompleksno amplitudo nihanja posplošene koordinate ηi, pri čemer je privzeto, da je konstanta C enaka za vse koordinate. S

221

pomočjo zapisanega nastavka se sitem diferencialnih enačb prevede na homogeni sistem navadnih linearnih enačb oblike,

( )∑ −n

jjijjij aTaV 2ω = 0,

pri čemer so amplitudni faktorji aj še neznani koefficienti. Homogeni sistem linearnih enačb ima netrivialno rešitev tedaj, če je determinanta koeficientov enaka 0,

nnnnnn

nn

TVTV

TVTVTV

TVTVTVTV

21

21

312

31

222

2221221

12

1132

13122

12112

11

.............

...

ωω

ωωω

ωωωω

−−

−−−

−−−−

= 0.

Determinanta je, zaradi pogojev, ki jim ustrezajo koeficienti Vij in Tij, simetrična okoli glavne diagonale. Zapisana enačba, poznana pod imenom sekularna enačba, je enačba n-tega reda, ki poseduje n-korenov za neznanko ω2. Na podoben način, kot za tenzor vztrajnostnega momenta je mogoče pokazati, da so koreni enačbe realni, kar pomeni, da so frekvence ω ali realne (če je ω2 > 0) ali čisto imaginarne (za ω2 < 0). Če je ω realno število se časovni faktor gornjega nastavka za rešitev zapiše kot e i ω t ali e -i ω t (kajti korena sta tedaj ω in – ω), če pa je rešitev čisto imaginarna je tedaj ω = ϖi± t, kjer je ϖ sedaj pozitivno število. V tem primeru sta rešitvi očitno sorazmerni faktorju , oziroma e , ki pa ne predstavljata nihanje zato jih v nadaljnjem ne obravnavamo.

teϖ tϖ−

Predpostavimo sedaj, da je rešitev sekularne enačbe za neznanke ω2 poznana in da je vseh n rešitev realnih. Pa označimo ter rešitve, teh n-korenov, kot ω1, ω2, ω3, ...., ωk, ...., ωn, pri čemer so, n.pr. razvrščeni od najmanjše vrednosti do največje. Očitno se tedaj rešitev sistema diferencialnih enačb zapiše kot,

ηi+k = aik Ck

+ e ter ηti kω+i-k = aik Ck

- ti ke ω−

V splošnem je privzeto, da kompleksni faktor pri dani vrednosti indeksa k zavisi še od predznaka frekvence ω. Torej obravnavani sistem niha okoli ravnovesne lege s frekvenco ωk. Ta frekvenca se imenuje k-ta lastna frekvenca (nedušenega) nihanja sistema. Z neposredno substitucijo v enačbe gibanja se izkaže, da je rešitev tudi vsota obeh izrazov, torej,

ηik = ηi

+k + ηi-k,

pri čemer se imenuje dobljena rešitev ηi

k, k-ti lastni način nihanja sistema delcev (t.j. normal mode). Za slednjega je značilno, da vsi delci sistema nihajo s frekvenco, ki je enaka ωk in amplitudami, ki so sorazmerne faktorjem aik. Sistem torej lahko niha z največ k-lastnimi frekvencami ωk, k vsaki frekvenci je prirejen en sam lastni način nihanja, torej je skupno število lastnih načinov nihanj enako n po številu.

222

Zapisana rešitev velja za katerikoli frekvenco, ωk, zato kot splošno rešitev lahko zapišemo,

ηi = ( )∑=

−−++ +n

k

tik

tikik

kk eCeCa1

ωω .

Toda dejansko gibanje sistema podaja le realni del zgornje kompleksne rešitve za koordinato ηi, ki se lahko zapiše v obliki,

ηi = ( )∑ +n

kkkikk taf δωcos ,

kjer je amplitudo nihanja, fk, in fazo, δk, potrebno določiti iz začetnih pogojev za n.pr. amplitude nihanj ter hitrosti delcev sistema v času t=0. Prav iz razloga, da je potrebno poiskati realno komponento kompleksne rešitve pa je omogočeno, da se nastavek izrazi ali samo v zgoraj zapisani obliki, ali pa se uporabi že zapisani nastavek v kompleksni obliki

ηi = , ∑ −

k

tikik

keCa ω

ter se na koncu računa poišče realne komponente posplošenih koordinat ηi. 8.3 Transformacija na normalne koordinate Če so posplošene koordinate η1, η2, ..., ηn, ortogonalne koordinate, n. pr. kartezične koordinate, x1, x2, x3, ....., x3N, tedaj so mešani produkti enaki nič in kinetična energija sistema se v tem primeru zapiše v obliki,

T = ∑n

jijiijT

,21 ηη && = ∑

iii xM 2

21

& ,

kar pomeni, da je sedaj matrica T diagonalna in zato velja,

Tij = Tii δij.

Seveda so diagonalni elementi matrice T v tem primeru kar mase delcev, ki sestavljajo sistem, Tii = Mi. Očitno tedaj izraz za kinetično energijo sestoji izključno iz komponent hitrosti delcev na kvadrat. S pomočjo transformacije,

ζi = ii xM & ,

se tedaj kinetična energija poenostavi v vsoto kvadratov, t.j.,

T = ∑i

i2

21 ς& ,

223

kar pomeni, da so pod zapisano transformacijo elementi matrice kinetične energije sedaj enaki,

Tij = δij.

Zgornja enačba za amplitudne faktorje se v tem primeru bistveno poenostavi v,

∑j

jij aV = λ ai,

kjer je namesto ω2 sedaj vpeljan simbol λ. Toda zapisani izraz je natančno enak izrazu za diagonalizacijo tenzorja vztrajnostnega momenta posplošenega na n dimenzij. Če si torej zamislimo, da Vij predstavlja (i,j)-ti element n x n matrice V ter da je ai i-ta komponenta n-dimenzionalnega vektorja av , tedaj se gornji izraz lahko zapiše v obliki enačbe za določanje lastnih vrednosti,

V av = λ av .

Ker je V simetrična in realna matrica, tedaj sledi, da so odgovarjajoče lastne vrednosti izraza realne. Če se iz n lastnih vektorjev, ki pripadajo lastnim vrednostim tvori matrica A, tedaj slednja diagonalizira matrico V po načelu podobnostne transformacije. Seveda dodatno velja, da je n pripadajočih lastnih vektorjev, av , med seboj ortogonalnih in zato je transformacijska matrica A ortogonalna matrica. Pokazati je mogoče, da prav tako v splošnem primeru, ko ima matrica T od nič različne tudi izvendiagonalne elemente, Tij ≠ 0, je gornji izraz, ki vodi do sekularne enačbe v bistvu posplošena enačba za določanje lastnih vrednosti, ki se v kompaktni obliki lahko zapiše kot,

V av = λ T av .

Za razliko od prej pa se tokrat operacija množenja matrice potencialne energije, V, z pripadajočim lastnim vektorjem av , ne odraža kot produkt tega lastnega vektorja pomnoženega s skalarjem λ, kot pri običajnih problemih lastnih vrednosti in lastnih vektorjev, marveč gre za izraz kjer se delovanje matrice V na lastni vektor av , odraža v zmnožku skalarja λ z rezultatom delovanja matrice T na lastni vektor av . Mogoče je dokazati, da posedujejo rešitve zapisanega izraza, ki se v komponenti obliki glasi,

∑j

jkij aV = λk ∑j

jkij aT ,

vse značilnosti rešitev problema diagonalizacije tenzorja vztrajnostnega momenta in sicer;

a) lastne vrednosti λ, ki zadoščajo zapisanemu izrazu so realne in so, zaradi hermitskih lastnosti matric V in T, vse pozitivne,

b) pripadajoči lastni vektorji av , so med seboj, v posplošenem smislu, ortogonalni, c) matrica sestavljena iz lastnih vektorjev A, hkrati diagonalizira tako matrico T, kot

tudi matrico V, pri čemer je diagonalizirana matrica T identično enaka matrici enote E (t.j. Tij = δij), diagonalno matrico V pa sestavlja n lastnih vrednosti λk, k=1, ....., n.

Z ozirom na dejstvo, da so v gornjem izrazu dobljene lastne vrednosti vse realne sledi, da mora biti razmerje komponent lastnega vektorja, ajk, prav tako realno. Toda, kot je znano je rešitev homogenega sistema enačb izražena z poljubno vrednostjo ene od neznank nakar so vse ostale n-1 neznanke enolično določene. Pri diagonalizaciji tenzorja vztrajnostnega momenta se je tej poljubnosti mogoče izogniti z dodatno postavljeno zahtevo, da se lastne

224

vektorje normira na 1. Kako se tej poljubnosti izogniti v poplošenem problemu iskanja lastnih vrednosti in lastnih vektorjev? Če se enačbo zgoraj, zapisano za lastno vrednost λp kompleksno konjugira,

∑i

ipij aV * = λp* ∑

ijpij aT *,

in se obe enačbi odšteje je dobljeni rezultat enak,

(λk - λp) ∑ji

pijkij aaT,

= 0.

V primeru kadar so vsi koreni sekularne enačbe med seboj različni, λk ≠ λp, mora zato veljati,

∑ji

jkipij aaT,

= δpk.

V zapisanem izrazu (pravzaprav obstaja n takšnih enačb, ki enolično opredelijo vrednosti ene od sicer poljubnih n komponent, ki sestavljajo vsakega od n lastnih vektorjev av ) je že bilo upoštevano dejstvo, da so vse lastne vrednosti prav tako, kot lastni vektorji, realni. V primeru dvo ali mnogoličnosti lastnih vrednosti, pripadajoči lastni vektorji, v zgornjem smislu, z utežjo Tij, niso več ortogonalni. To pomeni, da v splošnem ni mogoče več tvoriti ortogonalne matrice A, ki simultano diagonalizira matrici T in V. Toda izkaže se, da je v takšnem primeru še vedno mogoče izhajajoč iz večličnih rešitev za lastne vrednosti in konstruirati takšne lastne vektorje, ki so med seboj in na preostale lastne vektorje, ki pripadajo različnim lastnim vrednostim, vedno ortogonalni. Gornji (posplošeni) pogoj ortogonalnosti, ki velja za λk ≠ λp, k,p = 1, 2, ..., n, pa je mogoče razumeti tudi čisto geometrično. Po definiciji skalarnega produkta v kartezičnem vektorskem prostoru je norma n-dimenzionalnega vektorja av k, ki sestoji iz n komponent katerih pomen so amplitude nihanja posplošenih koordinat, aki, enaka

av k . av k = ∑ = 1. j

jka 2

Poljubna vektorja, ki ustrezata različnim lastnim vrednostim sta v tem prostoru med seboj ortogonalna zato,

av i. av k = ∑j

jkjp aa = 0 za j ≠ k.

Če vektorski prostor ni kartezičen, to pomeni, da koordinatne osi tega n-dimenzionalnega prostora niso med seboj pravokotne (v posplošenem smislu), tedaj se dolžina danega vektorja in pogoj ortogonalnosti poljubnih dveh vektorjev tega vektorskega prostora zapiše v obliki,

av k . av k = ∑ji

jkikij aaT,

v va i . a k = ∑

jijkipij aaT

,.

Primerjava obeh enačb z enačbami zgoraj neposredno vodi, do naslednje (matematične) ugotovitve: pogoj ortogonalnosti, ki je zapisan za primer različnih lastnih vrednosti matrice A,

225

potemtakem pomeni pogoj ortogonalnosti te matrice v vektorskem prostoru, katerega metrični tenzor je T. Ker je v evklidskem (kartezičnem) vektorskem prostoru metrični tenzor kar enak enotnemu tenzorju, 1, se tedaj zgoraj zapisana pogoja norme in ortogonalnosti neposredno poenostavita v že znane izraze. Pogoj ortogonalnosti je nadvse priročen za določitev faktorjev Ck iz zadanih začetnih pogojev za vrednosti posplošenih koordinat in posplošenih hitrosti. Na osnovi zgoraj zapisanega je očitno, da se splošna rešitev Lagrangejevih enačb gibanja glasi,

ηi = , ∑ −

k

tiijk

keaC ω

tako, da se začetni pogoji izrazijo na naslednji način,

ηi(t=0) = ( )∑k

ikk aCRe

ηi(t=0) = ( )∑

kkijk aC ωIm ,

kjer besedi Re in Im pomenita realni, oziroma imaginarni del izraza v oklepaju, t.j. koeficienta Ck. Če se desne in leve strani gornjih izrazov pomnoži s členom Tijajp in nato sešteje dobljene izraze po indeksih i in j se dobi,

( )∑ji

jpiij aT,

0η = Re ∑kji

jpijijk aaTC,,

= ( )∑k

kpkC δRe ,

od koder je nemudoma razvidno, da je realni del koeficienta Cp enak,

Re Cp = ( )∑ji

jpiij aT,

0η .

Na podoben način se pokaže, da se imaginarni del koeficienta Cp glasi,

Im Cp = - ( )∑ji

jpiijp

aT,

01 ηω

& .

Na takšen način določeni koeficienti, Ck, aik, in ωk, tedaj enolično določajo rešitev začetnega sistema sklopljenih diferencialnih enačb, ki se z nastavkom,

ηi = ∑k

kika ζ ,

kjer funkcija ζk

definirana kot,

kζ = Ck , ti ke ω−

zadošča Lagrangejevi funkciji (po izvedeni diagonalizaciji matric T in V ) v obliki,

L = ( )∑ −k

kkk222

21 ζωζ& .

226

Lagrangejeve enačbe gibanja zapisane za vsako od n koordinat ζk, k=1, 2, ….n, se zato glasijo,

kkk ζωζ 2+&& = 0,

kar pomeni, da so enačbe gibanja sistema delcev, zapisane z koordinatami ζk sedaj nesklopljene. Rešitev zgornjega izraza. ki je očitno,

kζ = Ck k=1,2,…….,n ti ke ω−

se imenuje normalna koordinata sistema delcev. 8.4 Lastna nihanja sistemov povržena vzbujevalnim in disipacijskim silam V prejšnjem razdelku je bilo pokazano, da predstavlja vsaka lastna (normalna) koordinata, ζk, nedušeno harmonično nihanje sistema delcev okoli ravnovesnih leg z natančno določeno frekvenco, t.im. lastno frekvenco, ωk. Iz zapisanega razloga se zato lastna koordinata ζk pojmuje kot k-ti lastni način nihanja (včasih pa kot k-ti normalni mod, oziroma k-ti normalni lastni način nihanja) sistema delcev, ki se ga obravnava. Pomen lastnega načina nihanja sloni na dejstvu, da vsak lastni način nihanja predstavlja nihanje sistema, kjer so vsi delci sistema podvrženi nedušenemu harmoničnemu nihanju (okoli njihovih ravnovesnih leg) z enako frekvenco in enako fazo. Koeficienti, aik, k=1, 2,….., n, podajajo relativne amplitude posameznih lastnih načinov nihanja, kajti kot je razvidno iz izraza,

ηi = ∑k

kika ζ i=1, 2,……,n ,

je najbolj splošno nihanje sistema (bolj natančno nedušeno harmonično nihanje i-te generalizirane koordinate) sestavljeno iz vsote, t.j., linearne kombinacije vseh, za dani sistem delcev dopustnih, lastnih načinov nihanj. Toda v naravi mehanski sistemi po tem, ko so bili vzbujeni, sami od sebe zlagoma preidejo v stanje statičnega ravnovesja (mirovanja). Za to, da se bodo nahajali v stanju dinamičnega ravnovesja, t.j. nihanja delcev sistema okoli ravnovesnih leg z majhnimi amplitudami, je potrebno na delce delovati s časovno odvisnimi harmoničnimi vzbujevalnimi silami. V splošnem je problem sklopljenega nihanja z majhnimi amplitudami sistema delcev rešljiv samo v nekaterih posemeznih primerih, zato je ustrezneje najprej proučiti problem vsiljenega nihanja nedušenega sistema delcev na katerega deluje okolica z vzbujevalnimi silami Fs, kjer teče indeks s = 1, 2, ...., L. Iz definicije virtualnega dela za vzbujevalne sile sledi,

δA = ∑=

L

sss rF

1. vvδ = ∑ ∑

= ∂∂N

s

n

jj

j

ss q

qr

F1

δvv

= , ∑=

n

jjj qQ

1δ

kjer so Qj, komponente generalizirane sile, ki so povezane z vzbujevalnimi silami na sistem delcev, enake,

227

Qj = ∑= ∂

∂L

s j

ss q

rF

1.vv

= ∑= ∂

∂L

s j

ss

rF

1.η

vv.

Pri izpeljavi je bilo upoštevano, da velja,

qj = qjo + ηj j = 1, 2, ...., n,

pri čemer je ravnovesna posplošena koordinata qjo, od časa neodvisna količina in zato je δqj = δηj. Toda prav tako mora veljati,

δ A = = , ∑=

n

jjj qQ

1δ ( )∑

=

n

nnnQ

1δζζ

in zato so posplošene komponente vzbujevalnih sil, Qj

(ζ), enake,

Qn(ζ) = ∑

= ∂

∂n

j n

jq1

jQζ

Toda iz transformacijskih enačb

ηi = ∑k

kika ζ ,

je nemudoma razvidno, da je

Qn(ζ) = . ∑

=

n

jjjn Qa

1

Lagrangejeve enačbe zapisane za normalno koordinato, ζj,

jj

LLdtd

ζζ ∂∂

−

∂∂&

= Qj(ζ) j = 1, ....., n

kjer je Lagrangejeva funkcija za konservativni sistem delcev enaka,

L = ( )∑ −k

kkk222

21 ζωζ& ,

se tedaj razcepijo v preproste, že poznane nesklopljene diferencialne enačbe vsiljenega nihanja oblike,

jjj ζωζ 2+&& = ( )ζjQ j = 1, 2,....,n.

Zapisane enačbe je mogoče rešiti, če je poznana časovna odvisnost komponent posplošene vzbujevalne sile, Q . Toda jasno je, da tudi v primeru zunanjih vzbujevalnih sil na sistem ( )ζ

j

228

delcev, ki lahko nihajo z majhnimi amplitudami okoli ravnovesne lege, formulacija problema z vpeljavo lastnih (normalnih) koordinat ohrani zgoraj opisano prednost in sicer, da omogočijo ločitev spremenljivk in tako reducirajo reševanje sklopljenega sistema direferencialnih enačb na reševanje diferencialne enačbe ena same spremenljivke. V primeru, ko je vzbujevalne sile mogoče opisati s periodično časovno odvisnostjo dane frekvence tako, da je

( )ζjQ = Qjo cos (Ω t+δj),

kjer je ω krožna frekvenca vzbujevalnih sil se pripadajoča nehomogena diferencialna enačba drugega reda za neznano funkcijo ζj glasi,

jjj ζωζ 2+&& = Qjo cos (Ω t+δj).

Splošna rešitev je vsota partikularne rešitve in rešitve homogenega dela diferencialne enačbe in torej sestoji iz vsote, ki podaja nedušeno harmonično nihanje in partikularne rešitve. Z ustrezno izbiro začetnih pogojev je mogoče doseči, da je prispevek harmoničnega nihanja zanemarljiv. V tem primeru se išče partikularna rešitev z nastavkom,

ζj = Bj cos (Ω t+δj).

Amplitude Bj se tedaj določi iz diferencialne enačbe od koder se dobi,

Bj = 22 Ω−j

ojQ

ω,

tako, da je pod navedenimi pogoji časovna odvisnost posplošenih koordinat in s tem rešitev problema vsiljenega nihanja podana z

ηj = = ∑=

n

iijia

1ζ ( )

=+Ω

Ω−

n

ii

i

iji tQa

122

0 cos δω

∑ .

Očitno je nihanje posplošene koordinate in s tem delcev sistema sestavljeno iz linearne kombinacije lastnih načinov nihanj, pri čemer pa je časovna odvisnost vsakega lastnega načina nihanja podana s frekvenco vzbujevalne sile. Iz zgornjega izraza bi na prvi pogled sledilo, da v primeru, ko se vzbujevalna frekvenca Ω približuje lastni frekvenci nekega določenega lastnega načina nihanja, n.pr. Ω → ωp, tedaj bi nastopila resonanca za p-ti lastni način nihanja. To bi pomenilo, da vsi preostali lastni načini nihajo z majhnimi amplitudami, amplituda Bp pa bi naraščala preko vsake meje. Takšno pričakovanje pa ni realno, kajti potrebno se je zavedati, da je celotna teorija sklopljenega nihanja sistema delcev zgrajena na predpostavki nihanj z majhnimi amplitudami, to pa pomeni, da zapisani pristop ni uporaben v primeru, da je frekvenca vzbujevalne sile blizu lastni frekvenci danega lastnega načina nihanja. Seveda pa so v praksi nihanja delcev povržena dušenju. V posebnem primeru, ko je sila upora sorazmerna hitrosti delca je mogoče definirati Rayleigh-ovo disipacijsko funkcijo Rdis, glej razdelek 2.2, ki je homogena kvadratna funkcija posplošenih hitrosti,

229

Rdis = ∑n

jijiijR

,21 ηη && .

Koeficienti Rij so simetrični torej Rij = Rji, in so lahko funkcija koordinat. V tem primeru jih razvijemo v Taylorjevo vrsto in obdržimo samo prvi, t.j. konstantni člen, podobno kot je bilo to storjeno za kinetično energijo. V splošnem se pokaže, da so koeficienti Rij pozitivni ali kvečjemu enaki nič. V tem primeru se Lagrangejeve enačbe gibanja glasijo,

∑j

jijT η&& + ∑j

jijR η& + jijj

V η∑ = 0.

Dobljeni sistem enačb je neposredno mogoče rešiti le tedaj, če je mogoče najti takšno matrico, ki khrati diagonalizira tri matrice, T, V in Rdis. To je pa le tedaj, ko so sile upora sorazmerne tako hitrosti delca kot tudi masi delca. Samo v tem primeru se enačbe gibanja pretvorjene na lastne (normalne) koordinate, ζi, glasijo

iiiii R ζωζζ 2++ &&& = 0,

kjer so Ri pozitivni koeficienti ki ležijo vzdolž glavne diagonale, diagonalizirane matrice Rdis. Rešitev enačbe se išče z nastavkom,

ζj = Cj e ti jω′− ,

kjer mora še neznana krožna frekvenca ωj´ zadostiti enačbo,

ωj´2 + i ωj´Rj - ωj2 = 0.

Dobljeni rešitvi sta očitno kompleksni,

ωj´ = 24

22 jj

j

Ri

R−−± ω ,

kar pomeni, da lastna koordinata ζj niha dušeno, s frekvenco, ki zavisi od koeficienta dušenja. Samo v primeru nadalnje poenostavitve, da je Rj majhen se tedaj dinamika lastnega načina nihanja ζj izraža, kot eksponencialno dušeno harmonično nihanje oblike,

ζj = Cj 2tRi−e e . ti jω−

Bolj pogosti pa so primeri, ko dejanske disipacijske funkcije sistema delcev ni mogoče diagonalizirati hkrati z diagonalizacijo T in V. Izkaže se, da je tudi v teh primerih mogoče iskati rešitev izraza,

∑j

jijT η&& + ∑j

jijR η& + jijj

V η∑ = 0,

z nastavkom,

230

ηj = C aj e- i ωt,

ki prevede gornji sistem v množico linearnih enačb,

( ) jj

ijjiij aTRiV∑ −− 2ωω = 0.

V splošnem je rešitev tega homogeneg sistema linearnih enačb za neznanke aj podana samo za določene vrednosti ω, ki je kompleksno število. Še večje težave nastopijo v primerih vsijenega nihanja ob prisotnosti sil upora na delce sistema. Če se zapiše časvna sprememba vzbujevalne sile v obliki,

Fj = Foj e – i ω t,

kjer so amplitude Foj lahko kompleksna števila, se enačbe gibanja glasijo, ( )∑ ++

jjijjijjij TRV ηηη &&& = Foi e – i ω t.

Z nastavkom,

ηj = Aj e- i ω t

se gornji sistem prevede na nehomogeni sistem linearnih enačb za amplitude Aj, v obliki,

( ) jj

ijjiij ATRiV∑ −− 2ωω = Foj j=1, 2, ...., n.

Če število enačb ni preveliko (n.pr. n < 10) tedaj se zapisani sistem lahko rešuje s pomočjo Cramerjevega pravila,

Aj = ( )( )ωω

detdet j ,

kjer je det[ω] kar determinanta koeficientov neznak Aj, detj[ω] pa označuje to determinanto v kateri je j-ti stolpič koeficientov zamenjan z stolpičem desne strani, t.j. s stolpičem F01, F02, ......., F0n. V splošnem se izkaže, da je sedaj resonanca dopustna, toda zaradi dušenja so lahko amplitude v resonanci še vedno sprejemljivo velike, vedno so pa končne. Seveda pa velja, da lastni način nihanja, katerega lastna frekvenca je blizu ali pa enaka vzbujevalni frekvenci, vedno prevladuje v primerjavi s preostalimi lastnimi nihanji, ki so še v sistemu prisotni. Teorija sklopljenih nihanj z majhnimi amplitudami je sicer izhajala iz problemov mehanike, toda njen nadalnji razvoj izhaja iz vzpodbud, ki so nastale pri razvoju prenašanja signalov z elektromagnetnim valovanjem, natančneje pri analizi sklopljenega nihanja množice električnih nihajnih krogov, sestavljenih iz kondenzatorjev, tuljav in ohmskih uporov.

231

Zgledi: 1. Na togi vertikalno vpeti palici sta preko vijačnih vzmeti konstant k1 in k2 vpeti uteži mas m1 in m2, ki drsita brez trenja po paličnem vodilu, skica ??? Zapiši enačbe gibanja za primer nihanj z majhnimi amplitudami in podaj njihove rešitve. Če se označi z z1 in z2 trenutni odmik drsnikov mase m1 in m2 iz njunih ravnovesnih leg se tedaj če je število enačb sorazmerno majhno, sicer pa z n.pr. Gaussovo eliminacijsko metodo in pd.,

232