II Kinematika Tacke 12

7/23/2019 II Kinematika Tacke 12

http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 1/26

Brzina u polarno cilindrinom sistemu

Polarna osa, cirkularna i aplikata po pravcu i smeru su definisane jedininim vektorima, pa se svakivektor, pa i vektor brzine može

prikazati na slede#i nain:

0r z k,= r ×r + ×rr r

k c , , 00

rrr

c z 0 c 0 zv v v c k.r rn = + + = n ×r + n × + n ×r rr rr r r

Vektor položaja take je:

Diferenciranjem vektora položaja po vemenu dobija se brzina:

0 00 0

d ddr d dz dk v k z z k.

dt dt dt dt dt dt

r rr= = ×r + r× + × + × = r ×r + r × + ×

rr rr rr rr rr

& &



Vremenske promene ortova je mogu#e odrediti

ako te ortove izrazimo pomo#u konstantnih ortova00 , c

rrr

., jirr

Transformacija koordinata proizvoljne take M:

j r cos×= M x j r sin×= M y

22 M M y x +=r

M

M

x

ytg =j

M

M

x

yarctg =j

,sincossincos 000 ji jirrr

rr

rr ×+×=××+××= j j j r j r r

ji jciccrrrrrrr

×+×-=××+××-= j j j j cossincossin 000

10 =r r

10 =cr



Izvodi ortova po vremenu su:

ji jdt

d i

dt

d

dt

d r&

r&

rrr

××+××-=××+××-= j j j j j

j j

j r

cossincossin0

( ) ,cossin 00 c ji

dt

d r&

rr&

r

×=×+×-×= j j j j r

,sincossincos0 ji jdt

d i

dt

d

dt

cd r&

r&

rrr

××-××-=××-××-= j j j j j

j j

j

( ) ,coscos 00 r j j j j

r&

rr&

r

×-=×+××-= jidt

cd



.0

0

0

0 k z

dt

d

dt

k d z k

dt

dz

dt

d

dt

d

dt

r d v

r&

rr

&

rr

rr

rrr

×+×+×=×+×+×+×== r

r r r r

r r r

)0(,0 == k dt

k d &rr

jer je: . i 0000 r j j r r

&

rr

&

r

×-=×= dt

cd cdt

d

c

z

,

,

z.

rn = r

n = r × j

n =

&

&

&

( )2 2 2 2 2, z .n = n n = r + r ×j +r r

& & &

( )2

2 2 2 2 2c zv z ,r= n = n + n + n = r + r ×j +

r& & &

c zcos , cos , cos .r

n n n

n n na = b = g =

n n n

,00 k z cvr

&r

&r

&r

×+××+×= j r r r

Komponente brzine: Intenzitet brzine:

Pravac vektora brzine:



Brzina take u sfernom koordinatnom

sistemux r cos cos ,

y r cos sin ,

z r sin .

= y j

= y j

= y

2 2 2 2x y zn = + +& & &

x r cos cos r sin cos r cos sin ,= × y × j - ×y × y × j - ×j× y × j& & &&

y r cos sin r sin sin r cos cos ,= × y × j - ×y × y × j + ×j× y × j& & &&

z r sin r cos ,= = y + ×y × y& &&

( ) ( )

2 22 2r r cos r .n = + ×j × j + × y& & &

r 0 c 0 0v r c .n= n × + n × + n × nr r rr

r

c

r,

r cos ,

r .n

n =

n = × j × j

n = × y

&

&

&

Komponente brzine:



r 0 c 0 0v r c .n= n × + n × + n ×nr r rr

r

c

r

r cos

r .n

n =

n = ×j× j

n = ×y

&

&

&



Opisivanje brzine u prirodnom koordinatnom

sistemu

r d ds r

±=

T ds

r d rr

=

T ds

r d rr

×= 1

( )s s t=

dr ds T / dt= × rr

dr dr dsv s T.

dt ds dt= = × = ×

r rrr

&

T

N

B

s,

0,

0.

n =

n =

n =

&



.

s 0,>&

s 0<&

v s.= &

( )T Tv v v t= =

brzina je usmerena u pozitivnom smeru, a ako je

u negativnom smeru putanje.

Intenzitet brzine je

U sluaju da je dat zakon promene brzine

onda se integraljenjem brzine dobija zakon kretanja:

pri emu se konstanta C odre%uje iz poetnih uslova.

( )Ts v t dt C,= +ò



Ubrzanje take

( ) ( )def

sr

v t t v tv.

t t

+ D -D= =

D D

r rrra

def

sr t 0 t 0

v dv

lim lim .t dtD ® D ®

D

= = =D

r rr r

a a

dvv,

dt= =

rr r&a

2

2d r r.dt

= =r

rr &&a

Ubrzanje je jednako drugom izvodu vektora položaja po vremenu

Dimenzija ubrzanja je:[ ] 2

L T .-= ×a



Vektor ubrzanja ima pravac tangente na hodograf brzine.

Ukoliko vektor ubrzanja take paralelno premestimo u zajedniku taku O2dobi#emo skup vektora iji vrhovi, kada se spoje, daju krivu liniju koja sezove hodograf ubrzanja. Dakle dok se taka kre#e duž putanje, i vektor

položaja opisuje hodograf - liniju putanje, vektor brzine take opisujehodograf brzine, a vektor ubrzanja - hodograf ubrzanja. Položajima M,M1 odgovaraju M'1 i M'2 na hodografu brzine, a M1² i M2² na hodografuubrzanja.



Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom

sistemu

Dvostrukim diferenciranjem vektora položaja po vremenu

dobija se ubrzanje:

r x i y j z k,= × + × + ×r r rr

x i y j z k,= × + × + ×r r r

r && && &&a

x

y

z

x,

y,

z,

=

=

=

&&

&&

&&

a

a

a

,222 z y xa &&&&&& ++= .cos ,cos ,cosa

z

a

y

a

xaaa

&&&&&&=== g b a



Primer

Neka su zakoni kretanja take dati jednainama:

x = b sin(&t ) y = 'b cos(2&t ) z = b cos(2&t )gde su b i & pozitivne konstante.

Nalaženjem drugih izvoda po vremenu sledi:

a x = 'b&2 sin(&t )

a y = 4b&2 cos(2&t )

a z = '4b&2 cos(2&t )

a = b&2 sin2(&t ) + 32cos2(2&t )



Ubrzanje u polarno-cilindrinom koordinatnom

sistemu

0 0v c z k,= r ×r + r×j× + × rr rr & & &

0 0 0 0 0

dvc c c z k

dt

= = r ×r + r×j × + r× j× + r×j× - r×j ×j×r + ×r

rr r r r rr&& & & & & && & & &&a

( ) ( )2

0 02 c z k = r - rj r + rj + rj + rr rr

&& & & & && &&a

0 c 0 zc k.r= ×r + × + ×rr rr

a a a a

Radijalna, cirkularna i

aksijalna komponenta ubrzanja su:

2

c

z

,2 ,

z.

r = r - r ×j= ×r ×j + r ×j

=

&& &

& & &&

&&

aa

a2 2 2

c z ,r= + +a a a a

c za a acos , cos , cos .

ra = b = g =a a a

a a a



U sluaju kretanja take u ravni polarno cilindrini

koordinatni sistem se svodi na polarni koordinatni sistem,

komponenta z =0, pa su komponente ubrzanja :

2

r r r ,= - j&& &a

c 2 r r ,= j + j& & &&a

2 2r c

cr

r

,

tg ,

= +

a =

a a a

a

a

priemu je:

r r =

.



Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom

sistemu

Izvod orta po luku je:

( )dv d ds dT dT dssT T s s T s .dt dt dt dt ds dt

= = = + = +

r rrr r r&r

& & && &a

k

dT 1K N N,

ds R = =

rr r

gde je K krivina krive u posmatranoj taki, a R K poluprenik krivine. Vektor

ubrzanja je:2

k

ss T N

R = +

r r&r&&a

T

2

N

k

B

s,

s,

R

0.

=

=

=

&&

&

a

a

a

Kako je Tv s,= &

to se prethodni izrazi mogu napisati pomo#u

tangencijalne komponente brzine:

TT T

dvv ,

dt

= = &a2

T N

k

v.

R

=a T T k N 2

N T

v R tg .

v

a = = &a

a



Nomalna komponenta ubrzanja je uvek usmerena prema centrukrivine.

Ukoliko je u nekom intervalu ,za kretanje kažemo da jeubrzano u tom intervalu, a ako je , kretanje je usporeno.

Fiziki posmatrano kretanje se smatra ubrzanim ukoliko seintenzitet brzine pove#ava, a usporenim ako se intenzitet brzine smanjuje. Kriterijum za procenu kretanja se svodi naispitivanje skalarnog proizvoda :

Ako je kretanje je jednoliko - ravnomerno sakonstantnom brzinom.

0>T a0<T a

T Tv 0 ubrzano kretanje;× = > ®r ra a

T Tv 0 usporeno kretanje.× = < ®r ra a

0=T a



Odre#ivanje poluprenika krivine

x x(t), y y(t), z z(t),= = =

( ) 2 2 2v v t x y z ,= = + +& & &

2 2 2x y z= + +&& && &&a

T

dv

dt=

rra 22

N T aaa += 22T N aaa -=

2

T N

k R =a

2 2

Tk

N N

v vR .= =

a a

Ako su jednaine kretanja date u Dekartovom koordinatnom sistemu, onda je:



Neki posebni sluajevi kretanja take

U ovom poglavlju bi#e obra%ena etiri posebna sluajakretanja take, koja se vrlo esto sre#u u mehanici: jednoliko kretanje, jednako – promenjivo, kružnokretanje i harmonijsko kretanje.



Jednoliko kretanje

Kretanje je jednoliko ukoliko taka u jednakimvremenskim intervalima prelazi ista rastojanja.

Ovo znai da je brzina take konstantna.



Jednoliko kretanje

0

0

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

v const

x v const

v v i ,

dxv , dx v dt

dt

dx v dt C, x v t C

t 0, x x , x 0 C C x .

=

= =

=

= =

= + = +

= = = n × + Þ =ò ò

r

&

rr

,00 xt x +×=n

x y zx 0, y 0, z 0.= = = = = =&& && &&a a a

Pravolinijsko kretanje Kravolinijsko kretanje

Zakon kretanja 0 0x v t x= +

Ubrzanje

T 0v v s const= = =&

0 0s v t s= × +

2

0TT N

k

vdv0,

dt R = = =a a

Ubrzanje nije jednako nuli,

a N je posledica promene pravca

vektora brzine.

Zakon kretanja



Jednako promenjivo kretanje

Ako se u istim vremenskim intervalima brzina promeni

za istu veliinu kretanje je jednako promenjivo.

jednako ubrzano, kada je brzina linearno rastu#a

funkcija vremena, ( a>0 );

jednako usporeno, kada je brzina linearno opadaju#afunkcija vremena, ( a<0 ).



Jednako ubrzano kretanje

( )

0

0

2

0 0 0

0

x xdt dt,

x t C.x t v ,

t 0, x v

tx xdt t v dt v t C

x x2t 0, x x

= =

= + üÞ = +ý

= = þ

ü= = + = + × + ï

Þ =ýï= = þ

ò ò

ò ò

& &&

&&

&

&

a

aa

aa

.2

00

2

xt t a

x +×+×

= n x const 0= = >&& a


Zakon kretanja

2

0 0

tx v t x

2= + +

a

TT

dvs const 0

dt= = = = >&& a a

2

0 0

ts v t s

2= + +

a

( )2 2

2

N 0

k k k

v s 1t v

R R R = = = +

&a a

Zakon kretanja

0s t v ,= +& a



Jednako usporeno kretanje

x const 0= - = <&&

a

0x t v ,= - +& a

2

0 0

t

x v t x2= - + +

a


0x t v ,= - +& a

Zakon kretanja

s const 0= - = <&& a

0s t v ,= - +& a

2

0 0

ts v t s

2= - + +&

aZakon kretanja



Kružno kretanje

Ako se neka taka kre#e po kružnoj putanji, takvo

kretanje se naziva kružno kretanje.



s R ,= jBrzina take:

( )t j j =

Tv s R ,= = j& &

Ubrzanje take:T

dvs R ,

dt= = = j&& &a

2 2 2 22

Nk k

v s R R ,R R R

j= = = = j& & &a

2 2 2 4 TT N 2

N

R , tg .j

= + = j + j a = =j

&&&& &

&

aa a a

a

Položaj take na putanji odre#en je lunom koordinatom s

koja se može izraziti pomo$u ugla :

Jednoliko kružno kretanjev s const= =

& constj = w =&

( )0 0s R t t ,= w + j j = w + j2

T Ns R 0, R const.= = j = = w =&& &&a a

Vreme obilaska punog kruga T dobija se iz uslova 2 , t Tj = p =

2

2 T T .

p

p = w Þ = w

Zakon kretanja

gde je & kružna frekvencija ija je jedinica s-1



Jednako ubrzano kružno kretanje s R const 0= j = >&& &&

const 0j = e = >&&

20 0

1t t

2j = e + w + j

gde jeo veliina za t 0.w j =&

Brzina take se linearno pove$ava u toku vremena:

( )0v R R t= j = e + w&

a komponente ubrzanja su:

( )22

T N 0R R , R R t .= j = e = j = e + w&&a a

Zakon kretanja

II Kinematika Tacke 12

Documents

Transcript of II Kinematika Tacke 12