JACOBY DALAM MERUMUSKAN PERSAMAAN GERAK BENDA
(The Comparison of Effectiveness , Efficiency and Capabilty between the Newton, Lag range, Hamilton, and Hamilton-J acoby ‘s
 Methods in Formulating the Equation of Motion)
I Gede Rasagama
Unit Pelayanaan Mata Kuliah Umum  – Politeknik Negeri Bandung Jln. Gegerkalong Hilir Ds. Ciwaruga Bandung 40551  
Abstract
This research attempts to elaborate the comparison of the motion equation formulation within 4 methods, i.e. Newton, Lagrange, Hamilton and Hamilton Jacoby. Three different cases are involved in applying the four methods. These cases are among others about the motion of aliance, rolling motion and harmonic oscillations. Observation and analysis have been carried out at every formulating level for each method to obtain general view of effectiveness and efficiency as well as capability. The purpose of this research is to identify the capability of each mehod in overcoming the cases. The result showed that (1) The Hamilton Method has the highest level of effectiveness, which has the same level as that of Lagrange, (2) The Hamilton Method has the highest level of efficiency, and (3) The Hamilton Jacoby has the lowest level of effectivity, efficiency and capability
Key words : Equation of Motion, Newtonian, Lagrangian, Hamiltonian, Hamilton-Jacoby.
PENDAHULUAN
Dalam kajian gerak dikenal beberapa istilah seperti partikel (titik materi), gabungan bebe- rapa partikel (sistem materi), benda tegar dan sistem mekanis. Sistem mekanis adalah sistem di mana bagian-bagiannya mempunyai kaitan mekanis satu sama lain [Soedojo,P, 1985]. Sistem mekanis dapat berwujud himpunan titik materi atau kerangka yang tersusun atas sejumlah benda tegar dengan pola yang dapat berubah-ubah. Hukum Newton dalam meka- nika, hanya mengatur tentang gerak titik materi dan himpunan titik materi.
Tampak setiap istilah memiliki pengertian berbeda. Jika seorang analis telah memahami betul semua istilah tersebut, maka analis tersebut akan mengetahui konsekuensi-konse- kuensi yang timbul, setelah suatu kajian dike- lompokkan ke dalam salah satu istilah di atas.
Kajian setiap istilah akan memunculkan cara perumusan persamaan gerak yang berbeda.
 
Dalam buku-buku mekanika klasik disebutkan bahwa ada empat metode yang dapat digunakan untuk merumuskan persamaan gerak, antara lain metode Newton, metode Lagrange, metode Hamilton, dan metode Hamilton-Jacoby. Metode Newton banyak menerapkan konsep vektor, tiga metode lainnya banyak menerapkan konsep matematika, teru- tama konsep deferensial parsial. Metode Hamilton-Jacoby merupakan metode yang paling rumit dan untuk memahaminya perlu keterampilan berpikir kritis dan kreatif.
Metode Newton dapat diterapkan pada gerak translasi. Dalam perkuliahan Fisika Dasar, persamaan gerak untuk gerak rotasi disebut persamaan dinamika rotasi, yang sebenarnya dapat dirumuskan dari persamaan Newton. Pada metode Newton, analisa awal terfokus pada gaya-gaya sebagai penyebab benda bergerak translasi. Pada dinamika rotasi, analisis awal terfokus pada torka-torka sebagai penyebab benda bergerak rotasi. Persamaan Newton untuk gerak translasi dan persamaan dinamika gerak rotasi berbentuk [Halliday, D., dkk., 1978].
F = m a  dan      . I    ….………………….. 1)
Keterangan : F  : gaya resultan
 I    : momen inersia     : percepatan anguler.
Persamaan Lagrange merupakan formulasi yang merepresentasikan hukum-hukum gerak Newton yang dapat memakai koordinat- koordinat sembarang dan tidak terikat untuk satu jenis sistem koordinat.
  Metode Lagrange
lk l  l 
di mana :
L : fungsi Lagrange, yaitu selisih energi kinetik dengan energi potensial benda.
k  q
waktu.
q  j  : koordinat umum yaitu koordinat yang dapat berupa koordinat kartesius, koordinat polar, koordinat silinder, koordinat bola, dan lain-lainnya.
l    : pengali Lagrange, yaitu besaran fisika yang
nantinya dapat dieleminasi untuk mendapat solusi persamaan gerak.
lk a : tetapan-tetapan koordinat yang ada dalam
persamaan holonomik (persamaan yang mengandung koordinat-koordinat, di mana satu sama lain tidak saling bebas, yang berguna untuk menjelaskan keadaan benda).





: turunan pertama koordinat umum terhadap
waktu. H : fungsi Hamilton, yaitu jumlah energi kinetik dan energi potensial benda.
Pi  : momentum umum, yaitu komponen momentum yang terkait koordinat umum bersangkutan.
l    :pengali Lagrange, yaitu suatu besaran fisika
yang nantinya dieleminasi untuk mendapatkan persamaan gerak.
k  : fungsi keadaan yang bergantung pada
),,(   t  pq ii .
waktu.
Hamilton Jacoby dalam Merumuskan Gerak Benda (I Gede Rasagama)
Persamaan Hamilton Jacoby merupakan formulasi lanjutan dari persamaan Hamilton. Metode Hamilton-Jacoby mengawali analisisnya dengan melakukan transformasi ruang fase (koordinat) bagi fungsi Hamilton dalam persamaan Hamilton, untuk memperoleh fungsi Hamilton dalam persamaan Hamilton- Jacoby. Salah satu persamaan Hamilton- Jacoby dituliskan dalam bentuk persamaan 4 [Soedojo,P, 1985] .
0),,(  
di mana :
F : fungsi generasi, yaitu fungsi yang membangkitkan atau menyebabkan fungsi Hamilton di ruang fase baru (untuk persamaan Hamilton-Jacoby) berharga nol.
Berdasarkan penjelasan di atas, nampak bahwa setiap metode memiliki bentuk rumus berbeda, memakai jenis besaran-besaran Fisika berbeda, dan memiliki langkah-langkah atau prosedur perumusan berbeda. Setiap metode memiliki karakteristik yang khas. Komparasi tingkat efektivitas, efisiensi, dan keampuhan antar metode akan menghasilkan diskripsi keung- gulan-keunggulan, kelemahan-kelemahan, dan perbedaan keampuhan setiap metode dalam memecahkan suatu kasus gerak. Hal ini merupakan kajian yang menarik, di mana pem- bahasan semacam ini tidak diketemukan dalam buku-buku mekanika klasik. Hasil kajian ini dapat bermanfaat sebagai referensi bagi dosen yang bertugas mengajar mata kuliah mekanika klasik dan mahasiswa yang sedang mengambil mata kuliah mekanika klasik. Secara opera- sional, permasalahan penelitian dijabarkan sebagai berikut.
  Apakah bentuk persamaan gerak sebagai hasil penerapan setiap metode ?
  Apakah konsep Fisika yang melatar- belakangi munculnya setiap metode ?
  Bagaimana cara kerja setiap metode dalam merumuskan persamaan gerak ?
  Berapa banyak tahapan penyelesaian yang diperlukan oleh setiap metode ?
  Berapa banyak besaran Fisika yang dilibatkan oleh setiap metode ?
  Bagaimana komparasi tingkat efektivitas antar metode pada setiap kasus ?
  Bagaimana komparasi tingkat efisiensi antar metode pada setiap kasus ?
  Bagaimana komparasi tingkat keampuhan setiap metode pada semua kasus?.
METODE
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Masalah penelitian dan pemecahan masalah bersumber pada kajian literatur. Untuk bahan analisis, peneliti menerapkan keempat metode pada satu kasus setipe, dalam tiga kasus gerak berbeda, antara lain :
  Gerak gabungan, di mana dalam sistem ada dua beban bertranslasi dan satu katrol berotasi.
  Gerak menggelinding bola pejal pada bidang miring.
  Getaran harmonis beban yang tergantung pada pegas ujung tetap.
 Alasan pemilihan ketiga kasus di atas adalah berikut ini. Kasus pertama, karena kasus ini mengandung dua jenis gerak (translasi dan rotasi) yang dilakukan oleh benda berbeda. Kasus kedua, karena dalam kasus ini ditemukan sebuah benda melakukan gerak rotasi dan gerak translasi secara simultan. Kasus ketiga, karena jenis gerak yang dialami benda termasuk gerak translasi yang bersifat periodik atau berkala. Berdasarkan pemi- lihan kasus-kasus yang beragam ini, diharapkan aplikasi keempat metode akan memberikan infor- masi dari proses awal sampai proses akhir, yang berbeda secara signifikan.
 
Tingkat efektivitas setiap metode diukur secara kualitatif berdasarkan ketepat-gunaan.
    r mK
m1  m2
x a=
suatu metode dalam menyelesaikan suatu kasus. Semakin tepat-guna suatu metode untuk memperoleh persamaan gerak yang diinginkan maka ketepatan metode tersebut semakin tinggi. Tingkat efisiensi setiap metode diukur secara kualitatif berdasarkan cara kerja, jumlah tahapan penyelesaian, jumlah besaran fisika yang dilibatkan dalam merumuskan persamaan gerak. Semakin sederhana cara kerja suatu metode, semakin sedikit jumlah tahapan penyelesaian, dan semakin banyak besaran fisika yang dilibatkan maka metode tersebut semakin efisien. Tingkat keampuhan setiap metode diukur secara kualitatif berdasarkan keberhasilan setiap metode merumuskan persamaan gerak untuk semua kasus yang harus diselesaikan. Semakin banyak tipe kasus yang dapat dipecahkan, semakin ampuh metode tersebut.
Prosedur penelitian dibagi dalam lima tahap, yaitu :
Kegiatan awal penelitian. Dalam tahap ini peneliti mengumpulkan informasi-informasi tentang meto- de Newton, metode Lagrange, metode Hamilton dan metode Hamilton Jacoby melalui buku-buku referensi.
Kajian literatur. Informasi yang telah terkumpul dalam beberapa referensi terkait digunakan untuk mendapatkan penjelasan tentang setiap metode yang hendak diterapkan pada persoalan gerak benda. Peneliti juga mempelajari contoh-contoh penerapan keempat metode pada kasus-kasus yang disajikan dalam referensi terkait.
Penerapan setiap metode. Dalam tahap ini, setiap metode diterapkan pada setiap kasus secara bergantian sehingga diperoleh penyelesaian persamaan gerak per kasus per metode.
 Analisis data. Analisis dilakukan terhadap proses penyelesaian dan hasil penerapan setiap metode. Fokus analisis diarahkan pada variabel terikat penelitian.
Kesimpulan. Hasil komparasi digunakan untuk menarik sejumlah kesimpulan yang terkait dengan masalah penelitian.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Penerapan keempat metode pada setiap kasus menghasilkan bentuk persamaan gerak, seperti ditunjukkan tabel 1, lengkap dengan penyelesaian persamaan geraknya.
Berdasarkan tabel-1, nampak penerapan metode Newton, metode Lagrange dan metode Hamilton pada kasus yang sama menghasilkan bentuk persamaan gerak yang berbeda, namun meng- hasilkan penyelesaian persamaan gerak yang sama. Metode Hamilton-Jacoby menghasilkan persamaan gerak dan penyelesaian persamaan gerak agak berbeda. Pada kasus III, nampak me- tode Hamilton-Jacoby memberikan perumusan yang rumit namun lengkap, tidak demikian terhadap kasus I dan II. Ini berarti metode Hamilton-Jacoby hanya cocok untuk analisis gerak benda bersifat periodik.
 
Hamilton Jacoby dalam Merumuskan Gerak Benda (I Gede Rasagama)
cukup banyak, antara lain perpindahan linier, perpindahan anguler, kecepatan anguler, momen- tum linier, dan energi. Cara kerja metode Hamilton-Jacoby tidak hanya sampai sampai pada perumusan persamaan gerak, melainkan secara langsung menampilkan penyelesaian dari persamaan gerak. Ini berarti, metode Hamilton- Jacoby merumuskan persamaan gerak dan
penyelesaiannya secara simultan. Jenis penyelesaiannya berbentuk perpindahan benda, di mana jenis besaran ini merupakan besaran paling sederhana dalam bidang kinematika. Ini menunjukkan metode Hamilton-Jacoby memberi informasi paling lengkap. Hasil observasi dan analisis terhadap aplikasi keempat metode ditunjukkan oleh tabel 2.
Tabel 1 Persamaan Gerak Hasil Aplikasi keempat Metode dan Solusinya
No Metode Persamaan Gerak sebagai Hasil Perumusan Langsung dan Solusinya
Kasus I Kasus II Kasus III
1 Newton
a=  .r
3 Hamilton
)( 21   mm
   21
Tidak dapat diterapkan
 P  H      ;
Keterangan :
- Tanda titik di atas variabel menyatakan deferensial terhadap waktu. - Simbol g menyatakan percepatan gravitasi Bumi.
Tabel 2 Hasil Analisis Variabel Bebas untuk Setiap Variabel Terikat Penelitian
Variabel Terikat Variabel Bebas
Newton Lagrange Hamilton Hamilton-Jacoby
1 Konsep Dasar Fisika yang melatar belakangi
Pernyataan hasil observasi bahwa resultan gaya yang sebanding dengan
Hasil manipulasi matematis Hukum Kedua Newton dan dinyatakan dalam
Hasil manipulasi metode Lagrange yang dilatar belakangi pentingnya
Metode pelengkap / lanjutan metode Hamilton, karena metode Hamilton belum memberikan solusi tuntas.
 
Hamilton Jacoby dalam Merumuskan Gerak Benda (I Gede Rasagama)
 perumusan setiap metode
pemunculan besaran impuls dan momentum dalam persamaan.
2 Cara kerja setiap metode dalam merumuskan
 persamaan gerak benda
-(1) Diskripsi masalah dengan gambar dan data- data besaran fisis. -(2) Perumusan resultan gaya yang bekerja pada benda atau sistem. -(3) Penerapan persamaan bahwa resultan gaya sama dengan massa dikalikan percepatan benda.
Untuk kasus tertentu dibantu dengan 2 tahapan berikut : -(4) Perumusan resultan torka yang bekerja pada benda atau sistem -(5) Penerapan persamaan dinamika rotasi bahwa resultan torka sama dengan momen inersia dikalikan percepatan anguler benda.
-(1) Diskripsi masalah dengan gambar dan koordinat benda- benda dalam sistem. -(2) Perumusan persamaan konstrain sbg wujud keterkaitan antar koordinat dalam sistem. -(3) Perumusan fungsi Lagrange yaitu energi kinetik dikurangi energi potensial sistem. -(4) Substitusi fungsi Lagrange ke persamaan Lagrange. -(5) Perumusan percepatan tiap benda dari hasil substitusi fungsi Lagrange dan persamaan kaitan antar koordinat sistem.
-(1) Diskripsi masalah dengan gambar dan koordinat benda- benda dalam sistem. -(2) Perumusan persamaan sbg wujud kaitan antar koordinat dalam sistem. -(3) Perumusan fungsi Hamilton yaitu energi kinetik ditambah energi potensial sistem. -(4) Substitusi fungsi Hamilton ke persamaan Hamilton yang secara langsung mendefinisikan kecepatan benda dan momentum sistem. -(5) Perumusan percepatan tiap benda sebagai hasil substitusi fungsi Hamilton dan persamaan kaitan antar koordinat sistem.
-(1) Diskripsi masalah dengan gambar dan koordinat benda- benda dalam sistem -(2) Perumusan fungsi Hamilton yaitu energi kinetik ditambah energi potensial sistem. -(3) Pemilihan bentuk fungsi transformasi dari ruang fase lama ke ruang fase baru. -(4) Substitusi bentuk fungsi transformasi ke fungsi Hamilton ruang fase lama sehingga diperoleh fungsi Hamilton ruang fase baru. -(5) Perumusan salah satu fungsi pembangkit. -(6) Substitusi fungsi pembangkit pada suatu persamaan untuk merumuskan besaran-besaran dalam ruang fase lama sebagai fungsi dari besaran-besaran dalam ruang fase baru. -(7) Pendiskripsian besaran- besaran dalam ruang fase baru dengan besaran-besaran yang menjelaskan keadaan sistem. -(8) Substitusikan kembali
besaran-besaran dalam ruang fase baru ke persamaan transformasi untuk menyatakan besaran-besaran di ruang fase lama dengan besaran-besaran dalam sistem.
3 Jumlah tahapan  penyelesaian setiap metode dalam merumuskan
 persamaan gerak benda
4 Jumlah besaran Fisika yang dilibatkan setiap metode dalam merumuskan
 persamaan gerak benda
 Ada 6 (enam) macam, yaitu : gaya, torka, massa, momen inersia, percepatan linier dan percepatan anguler.
 Ada 7 (tujuh) macam, yaitu : energi kinetik, energi potensial, fungsi Lagrange, pengali Lagrange, massa, percepatan anguler, dan percepatan linier.
 Ada 8 (delapan) macam, yaitu : energi kinetik, energi potensial, fungsi Hamilton, pengali Lagrange, fungsi keadaan, massa, percepatan linier dan percepatan anguler.
 Ada 11 (sebelas) macam, yaitu : perpindahan dalam dua ruang fase, momentum dalam dua ruang fase, fungsi Hamilton dalam dua ruang fase, fungsi pembangkit, kecepatan, massa, energi, dan sudut fase.
Tingkat Efektivitas Metode dalam Merumuskan Persamaan Gerak untuk Tiap Kasus
Efektivitas metode Newton terhadap kasus I dan II tergolong rendah. Kegunaan metode Newton untuk menyelesaikan kasus I dan II harus dibantu persamaan dinamika rotasi, sehingga metode Newton kurang lengkap. Efektivitas metode Newton terhadap kasus III tergolong tinggi, di mana persamaan gerak
 
dengan efektivitas metode Lagrange. Metode Hamilton Jacoby sangat tidak efektif pada kasus I dan II, walaupun pada kasus III
tergolong efektif namun tingkat keefektifannya tergolong sangat rendah. Hasil analisis, tingkat efektivitas diperlihatkan pada tabel 3.
Tabel 3. Tingkat Efektivitas Keempat Metode Terhadap Ketiga Kasus
Metode Kasus I Kasus II Kasus III
Newton Rendah Rendah Tinggi Lagrange Tinggi Tinggi Sangat Tinggi Hamilton Tinggi Tinggi Sangat Tinggi Hamilton Jacoby Tidak efektif Tidak efektif Rendah
Tingkat efisiensi tertinggi dalam perumusan persamaan gerak dimiliki oleh metode Hamilton.
Metode Hamilton-Jacoby merupakan metode perumusan persamaan gerak yang memiliki tingkat efektivitas, tingkat efisiensi dan tingkat keampuhan paling rendah dibanding metode lainnya.
Satu saran dalam penelitian ini, agar dilakukan penelitian lebih lanjut tentang aplikasi ke empat metode pada kasus gerak harmonik non linier dan gerak zat-alir sehingga dasar analisis untuk perumusan kesimpulan lebih lengkap.
DAFTAR PUSTAKA
Desloge, E.A. (1982), Classical Mechanics, New York: Jhon Wiley and Sons, p. 349-391.
Goldstein, H. (1980), Classical Mechanics, Massachusetts : Addison Wesley, p. 35-63 dan 339-377.
Halliday, D., dkk., (1978), Fisika, Jakarta: Erlangga,(Terjemahan P.Silaban, dkk ) h.111-113 dan 355-364.
Jose, J.V., et.al. (1998), Classical Dynamics, New York: Cambridge, p. 240-248.
Moeryono (1996), Mekanika,  Proyek Pendidikan Tenaga Akademik, DIKTI, h. 169-177.
Simon, K.R. (1980), Mechanics, Third Edition, Massachusetts: Addison Wesley, p. 353-396.
Soedojo, P., dkk., (1985), Mekanika Klasik, Edisi Pertama, Yogyakarta: Liberty, h. 55 dan 81-91.
Sutrisno, dkk., (1979), Fisika Dasar , Bandung: ITB, h. 6-13.
UCAPAN TERIMA KASIH