INTERVALOS DE CONFIANZA

ESTADÍSTICA PARA INGENIERIA II

SESIÓN 01

LOGRO

Al finalizar la sesión, el estudiante será capaz de:

•Reconocer la importancia de usar inferencia estadística.

• Estimar e interpretar la media de una población con varianza desconocida mediante intervalos de confianza.

• Estimar e interpretar la varianza poblacional mediante intervalos de confianza.

• Estimar e interpretar la proporción poblacional mediante intervalos de confianza.

TEMARIO

• Intervalo de confianzaPromedioVarianzaProporción

« El pensamiento estadístico será una condición tan necesaria para la convivencia eficiente como la capacidad de leer y escribir»

H, G, Wells (55 – 135)

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INTRODUCCIÓN

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DEFINICIONES

• Población objetivo Es la totalidad de elementos que se desea estudiar y que se encuentran agrupados bajo una o más características comunes.

• Muestra Es un subconjunto de elementos de la población que se selecciona a partir de un marco muestral (es la lista de las unidades de muestreo.

• Unidad de análisis Es la unidad estadística, es el elemento del que se obtiene información.

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Ejemplo:

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La Corporación Aceros Perú, es una empresa que se dedica a la industria del acero. Actualmente esta empresa está fabricando hierro esponja, palanquillas de acero, barras helicoidales, alambrón y barras de construcción, teniendo una capacidad de 680,000 toneladas al año.

Al departamento de control de calidad de la empresa se le ha encargado realizar un estudio mensual sobre las barras de acero para observar si éstas cumplen con los estándares de calidad establecidos, por lo tanto, decide tomar una muestra aleatoria de 90 barras de aceros y se miden varias características de acuerdo a la siguiente ficha técnica:

N° de barra:___________

1.- Tipo de barra de acero:

Corrugado ASTM Corrugado Grado60 Corrugado NBR7480 Corrugado 4.7 mm

2.- El destino de uso de la barra de acero

Columnas Vigas Cimentación Concreto armado

3.- Resistencia a la tracción:________________ Kg/cm2

4.- Número de protuberancias:________________

5.- Categoría del límite a afluencia

Alta Regular Baja

6.- Tipo de defecto

Escamas Pliegues Grietas

Marcas mecánicas Fisuras Porosidad

Corrosión

La población objetivo estará formada por toda la producción mensual de barras de acero de la empresa Aceros Perú S.A

La muestra será 90 barras de aceros de la empresa Aceros Perú S.ALa unidad elemental sería una barra de acero de la empresa Aceros Perú S.A.

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DATO DATO DATO DATO Un registro

Tipo Grosor de la Barra Longitud Número de fallas

Fierro corrugado ½ pulgadas 9 metros 2

MUESTREO

• El muestreo es un proceso que permite determinar qué parte de una población debe examinarse con la finalidad de hacer inferencias sobre dicha población.

• Obtener una muestra representativa significa lograr una versión simplificada de la población, que reproduzca de algún modo sus características básicas.

• El muestreo puede hacerse:

Con reposición las unidades se pueden seleccionar más de una vez

Sin reposición las unidades se pueden seleccionar solo una vez,10

INTERVALOS DE CONFIANZA CON UNA MUESTRA

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MOTIVACIÓN

¿Cuál es la resistencia promedio a la tracción (kg/cm2 )de las barras de

acero?

¿Qué es la inferencia estadística?

Resistencia promedio a la

tracción de todos los barras de acero de la

construcción

¿µ?

Resistencia promedio a la tracción de 90

barras de acero de la construcción

Estimador

Parámetro

n=90

µ ε [x ] Con una probabilidad de 1-α

Nivel de confianzaError de estimación

ESTIMACIÓN PUNTUAL

• Para estimar el valor de un parámetro se utiliza una característica correspondiente en la muestra que se denomina estadístico.

• A los valores numéricos obtenidos en la muestra se les llama estimaciones puntuales de los parámetros.

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ESTIMACIÓN POR INTERVALO [ e]

• Una estimación por intervalo de un parámetro se construye al restar y sumar un valor, denominado margen de error, a una estimación puntual.

• La diferencia en valor absoluto entre un estimador puntual insesgado y el parámetro al cual estima, se conoce como margen de error o error de estimación.

• El nivel de confianza es la probabilidad a priori de que el intervalo a calcular contenga al verdadero valor del parámetro.

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Estimación de la media poblacional

Estimación puntual

 

Estimación por intervalo

 

Supuestos:Población normalMuestra aleatoria, 1

2n

se t

n

donde

Intervalo de confianza de 100(1-)% es:

Intervalo de confianza para 𝜎 2 :

Intervalo de confianza para 𝜎 :

2 22

2 22, 1 1 2, 1

1 1

n n

n s n s

2 2

2 22, 1 1 2, 1

1 1

n n

n s n s

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Estimación de la varianza poblacional

Estimación de la proporción poblacional p

Estimación puntual

Estimación por intervalo

 

donde

Intervalo de confianza de 100(1-)% es:

 

 

p

1. El jefe de control de calidad de una empresa decide evaluar los artículos que exportará próximamente, considerando exportar, si el promedio de los artículos es menor a 16 kg. Para tal fin, elige una muestra aleatoria de 100 artículos producidos y registra su peso (en kg), estos datos se almacenan en la hoja Peso.

a. Estime e interprete, con una confianza del 95%, el peso promedio de artículos. ¿El jefe de control de calidad decidirá exportar los artículos?

b. Estime e interprete, con una confianza del 90%, la varianza del peso de los artículos.

2. En una fabrica de materiales de construcción se desea determinar la proporción de personas que padecen alergias como consecuencia de interactuar con cierto tipo de materiales, para ello, se elige al azar a 100 trabajadores y se obtuvieron los siguientes resultados que fueron almacenados en la hoja Alergia. Estime e interprete, con una confianza del 97% la proporción de personas que padecen alergias.

Ejercicios 1

a. Estime e interprete, con una confianza del 95%, el peso promedio de artículos. ¿El jefe de control de calidad decidirá exportar los artículos?

T de una muestra: Peso

Error estándar de laVariable N Media Desv.Est. media IC de 95%

Peso 100 15.2039 0.9590 0.0959 (15.0136, 15.3942)

b. Estime e interprete, con una confianza del 90%, la varianza del peso de los artículos.

Prueba e IC para una varianza: Peso

Método

El método de chi-cuadrada sólo se utiliza para la distribución normal.El método de Bonett se utiliza para cualquier distribución continua.

Estadísticas

Variable N Desv.Est. VarianzaPeso 100 0.959 0.920

Intervalos de confianza de 90%

IC para IC paraVariable Método Desv.Est. varianzaPeso Chi-cuadrada (0.860, 1.087) (0.739, 1.182) Bonett (0.855, 1.094) (0.731, 1.196)

2 En una fabrica de materiales de construcción se desea determinar la proporción de personas que padecen alergias como consecuencia de interactuar con cierto tipo de materiales, para ello, se elige al azar a 100 trabajadores y se obtuvieron los siguientes resultados que fueron almacenados en la hoja Alergia. Estime e interprete, con una confianza del 97% la proporción de personas que padecen alergias.

Prueba e IC para una proporción

Muestra X N Muestra p IC de 97%1 24 100 0.240000 (0.147319, 0.332681)

Uso de la aproximación normal.

Evaluación

El intervalo de confianza determina un rango de valores donde está contenido el valor del parámetro.

El intervalo de confianza para la proporción poblacional se basa en la proporción de éxitos en una muestra.

Si el nivel de confianza aumenta, entonces se reduce la amplitud del intervalo de confianza.

En un intervalo del 98% de confianza para la media, se espera que si se toman 100 muestras, 98 de estas muestras nos lleven a construir intervalos que contienen a la media de la población y solo 2 de ellos no la contendrán.

El error de estimación es la diferencia absoluta entre el valor del parámetro poblacional y su estimador.

V

V

F

V

V

Indique V o F según corresponda en los siguientes enunciados: